2019-2020学年高中数学章末检测(三)北师大版选修1-1

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2020版高中数学章末检测试卷(三)北师大版选修1_1

章末检测试卷(三)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f－f－x2x＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( ) A ．2B ．－1C ．1D ．－2 答案 D解析 k ＝f ′(1)＝lim x →0f－x －f－x＝2lim x →0f－f －x2x＝－2.2．某质点沿直线运动的位移方程为f (x )＝－2x 2＋1，那么该质点从x ＝1到x ＝2的平均速度为( )A ．－4B ．－5C ．－6D ．－7 考点平均变化率的概念题点求平均变化率答案 C 解析 Δy Δx＝f －f 2－1＝－2×22＋－－2×12＋1＝－6.3．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D.12答案 B解析设切点坐标为(x 0，y 0)，且x 0>0，因为y ′＝12x －3x ，所以k ＝12x 0－3x 0＝－12，所以x 0＝2(或x 0＝－3舍去)．4．设曲线y ＝f (x )＝1＋cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( )A ．－1B.12C ．－2D ．2考点导数的乘法与除法法则题点利用导数的乘除法则求解切线问题答案 A解析 ∵y ′＝f ′(x )＝－sin 2x －＋cos x xsin 2x＝－1－cos x sin 2x ，又f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，∴1a ＝－1， ∴a ＝－1，故选A.5．已知二次函数f (x )的图像如图所示，则其导函数f ′(x )的图像大致形状是( )考点导数的综合应用题点导数的综合应用答案 B解析由图像知f (x )＝ax 2＋c (a <0)， ∴f ′(x )＝2ax (a <0)，故选B.6．已知曲线f (x )＝2ax 2＋1过点P (a ，3)，则该曲线在点P 处的切线方程为( ) A ．y ＝－4x －1 B ．y ＝4x －1 C ．y ＝4x －11D ．y ＝－4x ＋7考点切线方程的求解及应用题点求曲线的切线方程答案 B解析 ∵f ′(x )＝4ax ，又f (a )＝3，∴3＝2a 2＋1，∴a ＝1，∴f ′(x )＝4x ，f ′(1)＝4. ∴曲线f (x )在点P 处的切线方程为y －3＝4(x －1)，即y ＝4x －1.7.如图所示，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋3是曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线，令h (x )＝xf (x )，h ′(x )是h (x )的导函数，则h ′(1)的值是( )A ．2B ．1C ．－1D.12考点导数的几何意义题点导数几何意义的理解答案 B解析由题干中的图像可知直线的切线经过点(1,2)，则k ＋3＝2，得k ＝－1，即f ′(1)＝－1，且f (1)＝2， ∵h (x )＝xf (x )，∴h ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，则h ′(1)＝f (1)＋f ′(1)＝2－1＝1，故选B.8．对于函数y ＝f (x )＝1x2，其导数等于原来的函数值的点是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－2，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，19D ．(1,1) 考点基本初等函数的导数公式题点常数、幂函数的导数答案 A解析设f ′(x 0)＝f (x 0)，又f ′(x 0)＝－2x 30，由－2x 30＝1x 20，得x 0＝－2，从而得y 0＝14.9．抛物线y ＝f (x )＝x 2＋bx ＋c 在点(1,2)处的切线与其平行直线bx ＋y ＋c ＝0间的距离是( ) A.24B.22C.322D. 2 考点导数的综合应用题点导数的综合应用答案 C解析 ∵抛物线过点(1,2)，∴b ＋c ＝1.又∵f ′(1)＝2＋b ，由题意得2＋b ＝－b ，∴b ＝－1，c ＝2. ∴所求的切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0， ∴两平行直线x －y ＋1＝0和x －y －2＝0间的距离d ＝|1＋2|2＝322.10．已知函数f (x )的导数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( ) A ．－2B ．2C ．－94D.94考点导数的加法与减法法则题点利用导数的加减法则求导答案 C解析 ∵f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x，∴f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，得f ′(2)＝－94.11．已知函数f (x )在R 上的导函数为f ′(x )，且2f (x )＋xf ′(x )>x 2，下面的不等式在R 上恒成立的是( ) A ．f (x )>0 B ．f (x )<0 C ．f (x )>x D ．f (x )<x答案 A解析当x ＝0时，2f (x )＋xf ′(x )>x 2为2f (0)＋0f ′(0)>02，即f (0)>0，排除B ，D 项；当f (x )＝x 2＋18时，f ′(x )＝2x ，满足2f (x )＋xf ′(x )>x 2在R 上恒成立，而f (x )－x ＝x 2－x ＋18＝(x －12)2－18≥－18，不满足f (x )>x 在R 上恒成立，排除C.综上可知，应选A.12．设a >0，f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则P 到曲线y ＝f (x )对称轴距离的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1a B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12a C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2a D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －12a答案 B解析因为在点P (x 0，f (x 0))处的切线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，且a >0，P 在对称轴的右侧，所以P 到曲线y ＝f (x )对称轴x ＝－b2a 的距离d ＝x 0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝x 0＋b2a .又因为f ′(x 0)＝2ax 0＋b ∈[0,1]，所以x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－b 2a ，1－b 2a .所以d ＝x 0＋b 2a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12a .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．设f (x )＝1sin x ＋1cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________.答案－23＋2 3解析 f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1sin x ＋1cos x ′＝－cos x sin 2x ＋sin x cos 2x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－12⎝⎛⎭⎪⎫322＋32⎝⎛⎭⎪⎫122＝－23＋2 3.14．已知f (x )是偶函数，若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点(－1，f (－1))处的切线的斜率为________．考点切线方程的求解及应用题点求切线倾斜角或斜率答案－1解析由偶函数的图像关于y 轴对称，由此可得y ＝f (x )在(1，f (1))处与在点(－1，f (－1))处的切线斜率互为相反数．15．设f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 2－2x(x >0)，则f ′(1)＝________.答案－4解析令1x ＝t ，则x ＝1t.∴f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2－2t ，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2－2x ，f ′(x )＝－2x －3－2，∴f ′(1)＝－2－2＝－4.16．设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为________．答案 y ＝－3x解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －3为偶函数，∴a ＝0， ∴f ′(x )＝3x 2－3，f ′(0)＝－3， ∴所求切线方程为y ＝－3x .三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1与直线4x －y －1＝0平行，且点P 0在第三象限． (1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．考点切线方程求解及应用题点求曲线的切线方程解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知得3x 2＋1＝4，解得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)． (2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)， ∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.18．(12分)求下列函数的导数： (1)y ＝(3x 3－4x 2)(4x 2＋3x 3)； (2)y ＝e x＋1e x －1；(3)y ＝x 5＋x ＋sin x x 2.解 (1)y ′＝[(3x 3－4x 2)(4x 2＋3x 3)]′ ＝(9x 6－16x 4)′＝54x 5－64x 3.(2)方法一 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x＋1e x －1′ ＝x＋x－－x＋x－x －2＝－2e xx －2.方法二 ∵y ＝e x＋1e x －1＝e x－1＋2e x －1＝1＋2e x －1，∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋2e x －1′＝1′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2e x －1′ ＝x－－x －x －2＝－2e xx －2.(3)∵y ＝x 3＋32x-＋x －2sin x ，∴y ′＝3x 2－5232x -＋(x －2)′sin x ＋x －2(sin x )′＝3x 2－5232x -－2x －3sin x ＋x －2cos x .19．(12分)已知f (x ) 是一个关于x 的三次函数，若f (－3)＝2，f (3)＝6且f ′(－3)＝f ′(3)＝0，求此函数的解析式．解设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧f －＝2，f ＝6，f －＝0.f＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－27a ＋9b －3c ＋d ＝2，27a ＋9b ＋3c ＋d ＝6，27a －6b ＋c ＝0，27a ＋6b ＋c ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－127，b ＝0，c ＝1，d ＝4，即f (x )＝－127x 3＋x ＋4.20．(12分)已知函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x .(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围．考点题点解 (1)当a ＝1时，f (x )＝12x 2－x ＋ln x ，f ′(x )＝x －1＋1x，f ′(1)＝1，又f (1)＝－12，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＋12＝x －1，即2x －2y －3＝0.(2)∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x，∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，∴x ＋1x－a ＝0有解．∴a ＝x ＋1x≥2(x >0)，当且仅当x ＝1时，取等号，即a 的取值范围是[2，＋∞)．21．(12分)已知函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x .(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当a ≥1时，求证：当x ∈[1，e]时，f ′(x )≥0，其中e 为自然对数的底数． (1)解当a ＝1时，f (x )＝x 2－3x ＋ln x ，f ′(x )＝2x －3＋1x，因为f ′(1)＝0，f (1)＝－2，所以切线方程是y ＝－2.(2)证明函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax －(a ＋2)＋1x，即f ′(x )＝2ax 2－a ＋x ＋1x＝x －ax －x，当a ≥1时，在x ∈[1，e]上，2x －1>0，ax －1≥0，可得f ′(x )≥0.22．(12分)已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12，直线m 的方程为y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在实数k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．考点导数的综合应用题点导数的综合应用解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，f ′(－1)＝0，即3a －6－6a ＝0，∴a ＝－2.(2)由题意知直线m恒过定点(0,9)，先考虑直线m是曲线y＝g(x)的切线，设切点坐标为(x0,3x20＋6x0＋12)．∵g′(x0)＝6x0＋6，∴切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)．将点(0,9)代入得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9.当x0＝1时，曲线y＝g(x)的切线方程为y＝12x＋9，经检验知y＝12x＋9不是y＝f(x)的切线．由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.当x＝－1时，曲线y＝f(x)的切线方程为y＝－18，不符合题意．当x＝2时，曲线y＝f(x)的切线方程为y＝9，符合题意．∴当k＝0时，直线m：y＝9既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线．。

2019—2020年新课标北师大版高中数学选修1-1《变化率与导数》阶段质量评估及答案解析.docx

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1第三章变化率与导数一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列求导运算正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2B ．(log 2x)′＝1xln 2C ．(5x )′＝5x log 5eD ．(x 2cos x)′＝2xsin x解析： ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1－1x 2；(5x )′＝5x ln 5； (x 2cos x)′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x)′＝2x ·cos x －x 2sin x ∴B 选项正确．答案： B 2．已知函数y ＝x 2＋1的图像上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则limΔx →0Δy Δx等于( )A ．2B ．2xC ．2＋ΔxD ．2＋(Δx)2解析： ∵Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx＝(1＋Δx )2＋1－2Δx ＝2＋Δx∴limΔx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(2＋Δx)＝2. 答案： A3．已知函数f(x)＝xsin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值为( )A.π2 B ．0 C ．－1D ．1解析： f ′(x)＝sin x ＋xcos x －sin x ＝xcos x.∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2cos π2＝0.答案： B4．一个物体的运动方程是s ＝1－t ＋t 2，s 的单位是米，t 的单位是秒，该物体在3秒末的瞬时速度是( )A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒解析： ∵s ′＝－1＋2t ，∴s ′(3)＝5，故选C. 答案： C5．若对于任意x ，有f ′(x)＝4x 3，f(1)＝－1，则此函数为( ) A ．f(x)＝x 4 B ．f(x)＝x 4－2 C ．f(x)＝x 4＋1D ．f(x)＝x 4＋2解析： ∵A 、B 、C 、D 满足f ′(x)＝4x 3， ∴只要验证f(1)＝－1即可．答案： B6．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为( ) A ．e B ．－e C.1eD ．－1e解析： y ′＝1x ，则1x ＝k.∴直线x ＝1k y 过⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，1.∴1＝ln 1k ，∴k ＝1e .答案： C7．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为( ) A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2D ．e 22解析： ∵y ＝e x ，∴y ′＝e x ，∴y ′|x ＝2＝e 2＝k ，∴切线为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2.在切线方程中，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝1，∴S 三角形＝12×|－e 2|＝e 22.答案： D8．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．2B ．12C ．－12D ．－2解析：由y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，求导得y ′＝－2(x －1)2，所以切线斜率k ＝y ′|x ＝3＝－12，则直线ax ＋y ＋1＝0的斜率为2，所以－a ＝2，即a ＝－2. 答案： D9．若f(x)＝－x 2＋2ax 与g(x)＝ax ＋1在区间(1,2]上切线的倾斜角都是钝角，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析： g ′(x)＝－a(x ＋1)2，要使g(x)在(1,2]上切线的倾斜角为钝角，则有g ′(x)＝－a(x ＋1)2＜0，所以a ＞0.而f(x)＝－x 2＋2ax 的对称轴为x ＝a ，由f(x)在(1,2]上切线的倾斜角为钝角知a ≤1，故0＜a ≤1.答案： D 10．若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋34上移动，点P 处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3解析： y ′＝3x 2－6x ＋3－3＝3(x －1)2－3≥－3，即tan α≥－3，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π. 答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．已知a 为实数，f(x)＝(x 2－4)(x －a)，且f ′(－1)＝0，则a ＝________. 解析： f ′(x)＝(x 3－ax 2－4x ＋4a)′＝3x 2－2ax －4，由f ′(－1)＝0，得a ＝12.答案： 1212．设f(x)为偶函数，若曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为________．解析： ∵f(x)为偶函数，∴f ′(x)为奇函数．又∵f ′(1)＝1，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－1. 答案：－113．已知直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 切于点(1,3)，则b 的值为________．解析：点(1,3)在直线y ＝kx ＋1上，则k ＝2. ∴2＝f ′(1)＝3×12＋a ⇒a ＝－1，∴f(x)＝x 3－x ＋b. ∵点(1,3)又在曲线上，∴b ＝3. 答案： 314．若曲线f(x)＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析： ∵f ′(x)＝5ax 4＋1x ，x ∈(0，＋∞)，∴由题知5ax 4＋1x＝0在(0，＋∞)上有解．即a ＝－15x 5在(0，＋∞)上有解．∵x ∈(0，＋∞)，∴－15x 5∈(－∞，0)．∴a ∈(－∞，0) 答案： (－∞，0)三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)求下列函数的导数： (1)y ＝x 5＋x ＋sin x x 2；(2)f(x)＝(x 3＋1)(2x 2＋8x －5)； (3)y ＝1－sin x1＋cos x.解析： (1)y ＝x 5＋x ＋sin x x 2＝x 3＋x －32 ＋x －2sin x.∴y ′＝3x 2－32x －52 －2x －3sin x ＋x －2cos x. (2)f(x)＝(x 3＋1)(2x 2＋8x －5) ＝2x 5＋8x 4－5x 3＋2x 2＋8x －5， ∴f ′(x)＝10x 4＋32x 3－15x 2＋4x ＋8.(3)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫1－sin x 1＋cos x ′ ＝(1－sin x )′(1＋cos x )－(1－sin x )(1＋cos x )′(1＋cos x )2＝sin x －cos x －1(1＋cos x )2.16．(12分)已知函数f(x)＝ax 2－43ax ＋b ，f(1)＝2，f ′(1)＝1. (1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在(1,2)处的切线方程．解析： (1)f ′(x)＝2ax －43a由已知得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝2a －43a ＝1，f (1)＝a －43a ＋b ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝52.∴f(x)＝32x 2－2x ＋52. (2)函数f(x)在(1,2)处的切线方程为 y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.17．(12分)已知函数f(x)＝2x 3＋ax 与g(x)＝bx 2＋c 的图像都经过点P(2,0)，且在点P 处有公共的切线，求函数f(x)和g(x)的解析式．解析：由f(x)的图像经过点P(2,0)，得a ＝－8，从而f(x)＝2x 3－8x ，f ′(x)＝6x 2－8.由g(x)的图像经过点P(2,0)，得4b ＋c ＝0，又g ′(x)＝2bx ，且f(x)、g(x)的图像在点P 处有公共的切线，所以g ′(2)＝f ′(2)，即4b ＝16，b ＝4，所以c ＝－16. 综上f(x)＝2x 3－8x ，g(x)＝4x 2－16.18．(14分)已知f(x)＝x 2＋ax ＋b ，g(x)＝x 2＋cx ＋d ，又f(2x ＋1)＝4g(x)，且f ′(x)＝g ′(x)，f(5)＝30，求g(4)．解析：由f(2x ＋1)＝4g(x)，得4x 2＋2(a ＋2)x ＋(a ＋b ＋1)＝4x 2＋4cx ＋4d.于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝2c ， ①a ＋b ＋1＝4d. ②由f ′(x)＝g ′(x)，得2x ＋a ＝2x ＋c. ∴a ＝c. ③ ∴由①③可得a ＝c ＝2.由f(5)＝30，得25＋10＋b ＝30. ④ 由④得b ＝－5.再由②得d ＝－12.∴g(x)＝x 2＋2x －12. 故g(4)＝16＋8－12＝472.。

2019-2020年高中数学模块质量检测北师大版选修

只有一项是符合题目要求的）1•与命题：“若a€ P则b?P'等价的命题是（选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,A 若a?P,贝U b?P C.若a?P,贝U b€ P B.若b?P,则a € P D.若b€ P,贝U a?P解析：原命题的逆否命题是“若 b € P,则a ?P ”. 答案： Da c2.条件甲：“ a 、b 、c 成等差数列”是条件乙：“計E = 2”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D 既不充分也不必要条件解析：甲?乙，女口 a =— 1, b = 0, c = 1 ；乙？甲，故甲是乙的必要不充分条件. 答案： A33.曲线f （x ） = x + x — 2在点P 0处的切线平行于直线 y = 4x — 1,则点P 的坐标为（）A. （1,0）B. （2,8）C. （1,0）和（一1,— 4）D. （2,8）和（一1 , — 4）解析： f '（ X 0）= 3x 0 + 1 = 4, 答案： C2 22 2x VA — + ^-= 116〒 12 B .2 2x y+ 4 = 1 12〒 162 2x yC. — + ■= 1 16 4D. 2 2x y+ — = 1 4 162 x 解析：双曲线〔一土=— 1,即R 12 122 2x y4 1224 = 1的焦点为（2 2所以对椭圆分討1而言，a 2=16, C 2= 12 ••• b 2= 4,答案： D215.函数y = 4x + -的单调递增区间为（A. (0，+m) B. (—g, 1)答案：CC. , +mD. （1 ,+g 解析：由已知定义域为{x |x 丰0}, 1 1y '= 8x — x 2，令 y '> 0 得 x >2，故选 C. 答案： C6•若k 可以取任意实数，则方程 x 2 + ky 2= 1所表示的曲线不可能是（）A.直线B.圆C.椭圆或双曲线D.抛物线解析：本题主要考查圆锥曲线的一般形式：Ax 2+ By 2= c 所表示的圆锥曲线问题，对于k = 0,1及k > 0且1,或k v 0,分别讨论可知：方程 x 2 + ky 2= 1不可能表示抛物线.答案:7•函数 1f （x ） = — §X 3+ x 2在区间［0,4］上的最大值是（）A. 0 16 B — 74 C.3 16解析:f '( x ) = 2x — x 2,令 f '( x ) = 0, 解得x = 0或2.又••• f (0) = 0, f (2)4164, f (4)=—•••函数 f (x )在[0,4]4上的最大值为3.&若椭圆 2 2x y2+ 2 = 1(a >b >0)的离心率为a b-2，则双曲线 2x~2—— a2A 1的离心率为（）5 A.—4 解析:2 2x y因为椭圆—+ 2= 1的离心率8 =a b-2，所以e 1=4即a 2=4，而在双曲2 2线倉-b =1中，设离心率为 e 2,b 21 5 y[5则e 2=1+a 2=1+4=4，所以■=牙故选B.答案:A. (0，+m)B. (—g, 1)BV 3C.323_ 6D.—或三答案：C g x9. ------------------------------------------------------------------------------------------------ 已知f(2) =- 2, f ' (2)= g(2) = 1, g' (2) = 2,则函数 f ------------------------------------------------------- (f(x)丰 0)在x = 2处的导数为（）A. B.D. 5解析：令h(x)=g x ,g『x x —f if2 x5••• h' (2)=—-.故选A.4答案：A10. 已知命题p：| x —1| >2,命题的x为()A. {x| x w—1 或x > 3, x?Z}C. { —1,0,123}解析：•/ p且q假，非q为假，• p假q真，排除A, B, p为假，即|x —1| v 2,••—1v x v 3 且x€ Z. • x= 0,1,2. q：x € Z,如果p且q、非q同时为假，则满足条件B. {x| —1 w x w3, x?Z}D. {0,1,2}答案：D11 .中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线则双曲线C的离心率是（）A. 3或中C的两条渐近线与圆x2+ （y—2）2= 1都相切,B. 2 或.3C.解析：设圆的两条过原点的切线方程为y= kx.2_k2+ 1= 1得k=± 3.C.—5则h'(x) =当b= ■ 3时，e=C a a当b= 3时，e= C12.设f (x ) , g (x )分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数.当 x v 0时，f '(x )g (x ) +f (x )g '(x ) >0,且 g ( — 3) = 0,则不等式 f (x ) g (x ) v 0 的解集是()A. ( — 3,0) U (3 ,+s)B. ( — 3,0) U (0,3)C. ( —s,— 3) U (3 ,+s)D. ( —s,— 3) U (0,3)解析：f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，则f (x )g (x )是奇函数.又当x v 0时，f '(x )g (x ) + f (x )g '(x ) > 0，即[f (x )g (x )] '> 0，所以 Rx ) = f (x ) • g (x ) 在 ( —s, 0)上是增函数，又 g ( — 3) = g (3) = 0,故 F ( — 3) = F (3) = 0.所以不等式f (x )g (x ) v 0的解集为(一s, — 3) U (0,3). 答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分•把答案填在题中横线上)13. ____________________________________________________ 曲线y = *x 3 — 2在点'一 1,— 7处切线的倾斜角是 ______________________________________ .解析： y '= x 2,则曲线在x =— 1处的导数为1,所以tan a = 1，又因为a 是切线的倾斜角，所以 a = 45°.答案： 45° 14.已知双曲线的离心率为 _______________________________ 2,焦点是(一4,0)(4,0)，则双曲线的方程为 _________________________________________________ .解析：由题意知c = 4, e = C = 2,故a = 2,所以b 2= c 2— a 2= 12,a2 2双曲线的方程为令一12= 1.2 2x y答案： 4 一 12=1解析： T f '(x ) = 1 — 2sin x ,sin即f '(x )在卜专，0 I 上恒大于0,15 .函数f (x ) = x + 2cos x 在区间 |—n2, 0 I 上的最小值是 ________令 f '(x ) > 0,「. sinx V夕••• f (x)在区间•- f ( x) min = f 答案:16. 已知：① 命题"若xy = 1,则x , y 互为倒数”的逆命题； ② 命题“所有模相等的向量相等”的否定；③ 命题"若 me 1,贝U x 2— 2x + m= 0有实根”的逆否命题; ④ 命题“若AH B = A ,则A B ”的逆否命题.其中能构成真命题的是 ________ (填上你认为正确的命题的序号).解析： ①逆命题：若x , y 互为倒数，则xy = 1.是真命题.②的否定是：“存在模相等的向量不相等” •是真命题.女口，a = (1,1) , b = ( — 1,1)有|a | = |b | = 2，但 a z b .③ 命题“若 m e 1，则x — 2x + m= 0”是真命题.这是因为当n K 0时△ = ( — 2)2— 4m= 4— 4m> 0恒成立.故方程有根.所以其逆否命题也是真命题.④ 若A H B =代则A ? B,故原命题是假命题，因此其逆否命题也是假命题. 答案：①②③三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. (12分)已知p ： 1e x <2, q ： a e x < a + 2，且？ p 是？ q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围.解析： V? p 是？q 的必要不充分条件，•••q 是p 的充分不必要条件.一..a <1, • {x |1 e xW 斛 :x| a < x < a + 2}，•—a + 2> 2,• 0e a e 1.2 2 218. (12分)已知命题p ：方程宁一-^-= 1表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线*2 m m 152x—=1的离心率e € (1,2)，若p V q 为真命题，p A q 为假命题，求实数 m 的取值范围.解析：p :1 才5+ m0<2m < 1 — n? 0< m <3, q ： 1 <一-< 2? 0< m < 15,p 且q 为假， p 或q 为真？ p 假q 真，或p 真q 假.0< m< 15 0< m <1q 假p 真？ 3irre 0 或 m> 15r1p 假q 真?或m> 31? 3e m < 15,m€ ?.1综上可知3W m K 15.319. (12分)已知动圆过定点 g, 0)与直线x =-号相切，其中P >0，求动圆圆心的轨迹方程. 解析：如图，设M 为动圆圆心，i p , 0记为点F .P过点M 作直线x =- g 的垂线，垂足为N,由题意知|MF = |MN ,即动点M 到定点F 与到定直线x=-g p 的距离相等，由拋物线的定义，知点 M 的轨迹为拋物线，其中 F P , 0为其焦点，x = — p 为其准线，所以动圆圆心的轨迹方程为 y 2= 2px (p >0).20. (12分)已知函数f (x ) = 2ax 3 + bx 2— 6x 在x =±1处取得极值.(1) 求f (x )的解析式，并讨论 f (1)和f ( — 1)是函数f (x )的极大值还是极小值； (2) 试求函数f (x )在x = — 2处的切线方程. 解析： ⑴ f '(x ) = 6ax + 2bx — 6, 因为f (x )在x =±1处取得极值，所以x =±1是方程3ax 2 + bx — 3 = 0的两个实根.所以 f (x ) = 2x 3— 6x ,f '(x ) = 6x 2 — 6.令 f '(x ) > 0,得 x > 1 或 X K — 1；令 f '(x ) K 0,得—1K X K 1.所以f ( — 1)是函数f (x )的极大值，f (1)是函数f (x )的极小值.⑵由(1)得f ( — 2) =— 4, f ' ( — 2) = 18,即f (x )在x =— 2处的切线的斜率为18.所以所求切线方程为 y — ( — 4) = 18[ x — ( — 2)], 即 18x — y + 32= 0.39 221. (12 分)设函数 f (x ) = x — ?x + 6x — a .(1) 对于任意实数x , f '(x ) > m 恒成立，求 m 的最大值； (2) 若方程f (x ) = 0有且仅有一个实根，求a 的取值范围.解析： (1)f '(x ) = 3x — 9x + 6 = 3(x — 1)( x — 2).所以3a =0,33a =—1,解得a=Jb = 0.2因为x€ ( —8,+s), f '(X) >m 即3X —9X+ (6 —m >0 恒成立,3所以△= 81 —12(6 —m 三0,解得me —4,3即m的最大值为一4.(2)因为当x v 1 时，f '(x) > 0;当1v x v2 时，f '(x) v 0;当x>2 时，f '(X)> 0.5所以当x = 1时，f (x)取极大值f⑴=2—a；当x = 2时，f (x)取极小值f(2) = 2—a,故当f(2) > 0或f(1) v 0时，f(x) = 0仅有一个实根.5解得a v 2或a>222. (14分)某椭圆的中心是原点，它的短轴长为2 2，一个焦点为F( c, 0)( c >0) , x 轴上有一点A c, 0且满足| OF = 2| FA，其中a为长半轴长，过点A的直线与该椭圆相交于P, Q两点•求：(1) 该椭圆的方程及离心率；(2) 若OP- 0Q= 0，求直线PQ的方程.2 2解析：⑴依题意可设椭圆的方程为与+ y = 1(a> 2),a 2-2 2a—c, "晶由已知得f 、解得l c= 2C-C丿’Q = 2.所以椭圆的方程为x+y=1,离心率e=.6 2 3⑵由⑴可得点A(3,0),由题意知直线PQ的斜率存在，设为k,则直线PQ的方程为y= k(x —3),-2 2二 + y- = 1由方程组6 2' 得(3 k2+ 1)x2—18k2x+ 27k2—6= 0,y= k x —3 ,依题意知，△= 12(2 — 3 k2) > 0，得—-3 v k v-^.设 P (X 1 , y" , QX 2 , y 2),2 2nrt 18k 27k — 6则X 1+X 2=3kT7，X 1X 2=3k"+r ，从而得 y i = k (x i — 3), y 2= k (X 2 — 3),2于是 y i y 2= k (x i — 3)( X 2— 3). 因为&• 3Q = 0,所以 X 1X 2 + y i y 2 = 0, 解得 5k? = 1,从而 k =± -5- € — ^36,5 i 3 所以直线PQ 的方程为X — 5y — 3= 0或x +5y — 3= 0.2019-2020年高中数学模块质量评估北师大版必修 ⑴一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列表示错误的是( )A . {a } € {a, b }B . {a , b }? {b , a } C. { — 1, 1}? { — 1, 0, 1}D. ?? { — 1, 1}解析： A 中两个集合之间不能用“€”表示， B, C, D 都正确. 答案： A2 .若集合 A = {y |y = 2X , x € F} , B = {y |y = x 2, x € F}，则( )A . A ? BB . A ? B C. A = BD. A H B = ?解析： A= {y | y >0}, B = {y | y >0} ,「. A ? B. 答案： A 3. 设 a = log 32, b = log 52, c = log 23，则()A . a >c >bB . b >c >aC. c >b >aD. c >a >b解析：易知log 23>1, log 32, log 52 € (0 , 1).在同一平面直角坐标系中画出函数 y =log 3X 与y = log 5X 的图像，观察可知log 32>log 52.所以c >a >b .比较 a , b 的其他解法：r 1厂 11 1 log 32>log 3 3 = -, log 52<log 5 5 =-,得 a >b ; 0<log 23<log 25，所以>' ，结合换底公 2 2log 23 log 25式即得log 32>log 52.答案：D4. 函数y= ax2+ bx+ 3在（—s, —1］上是增函数，在［—1, +8）上是减函数，则（）C. b = 2a >0D. a , b 的符号不定b解析：由题知 a <0,—丁 = — 1 ,••• b =2a <0.2a 答案： B 5.要得到y = 3X 1 %的图像，只需将函数y = 2丿D 正确. 答案： D 16.在同一坐标系内，函数y = x a (a <0)和y = ax + -的图像可能是如图中的( )a1 a 1 解析：■/ a <0, • y = ax +的图像不过第一象限.还可知函数y = x (a <0)和y = ax + 在a a各自定义域内均为减函数.答案： B 27 .设 a = log 54, b = (log 53) , c = log 45，则()A . a <c <bC. a <b <cD. b <a <c解析： ■/ 0<log 53<log 54<1, log 45>1 ,• b <a <c . 答案： D2 . .&若函数f (x ) = ax + 2x + 1至多有一个零点，则 a 的取值范围是( )A . 1B . [1 ,+^) C. ( —a, — 1]D.以上都不对解析：当f (x )有一个零点时，若 a = 0,符合题意，若 a ^0,贝U △= 4 — 4a = 0 得 a = 1, 当 f (x )无零点时，△= 4 — 4a <0,「. a >1. 综上所述，a >1或a = 0. 答案： D9 .已知函数f (x ) = log a | x |在(0，+a )上单调递增，则( )A . f (3)< f ( — 2)<f (1)B . f (1)< f ( — 2)< f (3)的图像(A .向左平移3个单位长度 C.向左平移1个单位长度B. 向右平移3个单位长度 D.向右平移1个单位长度解析: B . b <c <aC. f ( —2)<f (1)< f (3)D. f (3)< f(1)< f ( —2)解析：因为f (x) = log a| x|在(0，+a)上单调递增，所以a>1, f (1)< f (2)< f (3).又函数为 f (x ) = log a | x | 为偶函数，所以 f (2) = f ( - 2)，所以 f (1)<f ( - 2)<f (3). 答案： B10.设f (x )是奇函数，且在(0 ,+s )内是增加的，又f ( - 3) = 0，则x • f (x )<0的解集解析：设这批货成本为 a 元，月初售出可收益屮=(a +1 000) x (1 + 2.4%)(元)，月末售出可收益 y 2= a + 1 200 - 50 = a + 1 150(元).则屮-y 2 = (a +1 000) x 1.024 - a - 1 150=0.024 a - 126.当a <5 250时，月末售出好；当a = 5 250时，月初、月末收益相等，但月末售出还要保管一个月，应选择月初售出. 答案： D 12.若 a <b <c ,则函数 f (x ) = (x - a )( x - b ) + (x - b )( x -c ) + (x -c )( x -a )的两个零点分别位于区间()A . (a , b )和(b , c )内B . ( -a, a )和(a , b )内 C. ( b ,c )和(C ,+a )内D. ( -a,a )和(C ,+a )内解析：计算出函数在区间端点处的函数值并判断符号，再利用零点的存在条件说明零是()A . {x | x <- 3，或 0<x <3} C. {x | x <- 3，或 x >3}B . {x | - 3<x <0，或 x >3} D. {x | - 3<x <0，或 0<x <3}解析：•/f (x )是奇函数， ••• f (3) =-f ( - 3) = 0. ••• f (x )在(0,+^)是增加的， • f (x )在(一a, 0)上是增加的.结合函数图像x • f (x )<0的解为答案： D0<x <3 或—3<x <0. 11. 一个商人行月息为2.4%;如果月末售出可获利 1 200元，但要付50元货物保管费.这个商人若要获得最大收益，则这批货()B .月末售出好C.月初或月末一样D.由成本费的大小确定出售时机126 a>—0.024 >5 250时，月初售出好;点的位置.T f (x ) = (x — a )( x — b )+ (x — b )( x — c ) + (x — c )( x — a ),••• f (a ) = (a — b )( a — c ) , f (b ) = (b — c )( b — a ),f (c ) = (c — a )( c — b ),T a <b <c ,二 f (a )>0 , f (b )<0 , f ( c )>0,• f (x )的两个零点分别位于区间(a , b )和(b , c ) 内. 答案： A、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分•请把正确答案填在题中横线上)e x , x w o ,13•设 g(x) =in x , x >0,1答案：214. 已知集合 A ={刈og 2x w 2}, B = ( a )，若A ? B,则实数a 的取值范围是(c ,+ m)，其中 c= _________ .解析： A= {x |0<x w 4}, B= ( —g, a ).若A ? B,则a >4,即a 的取值范围为(4 ,+^), • c = 4. 答案： 415. _______________________________________ 函数y = 22 — 2x — 3x 2的递减区间是 __________________________________________________ .解析：令 u = 2 — 2x — 3x 2, y = 2：解析：作出函数y = f (x )与y = g (x )的图像如图，由图可知，两个函数的图像有 3个交占则gg1=解析:12.由 u = — 3x — 2x + 2 知,u 在—3,+^上为减函数，而y = 2%增函数，所以函数的答案:-3,16•函数f (x ) = F ：—4, x W 1,的图像和函数x — 4x + 3, x >1g (x ) = log 2x 的图像有个交占_________________ I苏。

高中数学北师大选修1-1练习：章末检测(三)

章末检测(三)(时间90分钟满分100分) 第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝x 3；④y ＝1x 中，平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．①解析：将每个函数的平均变化率求出，再进行比较大小． y ＝x 的平均变化率为Δy Δx ＝x ＋Δx －xΔx ＝1；y ＝x 2的平均变化率为ΔyΔx＝2x ＋Δx ＝2＋0.3＝2.3；y ＝x 3的平均变化率为ΔyΔx ＝3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2＝3＋3×0.3＋0.32＝3.99；y ＝1x 的平均变化率为Δy Δx ＝－1x (x ＋Δx )＝－11×(1＋0.3)＝－11.3. ∴y ＝x 3的平均变化率最大．答案：B2．下列结论：①若f (x )＝1x，则f ′(2)＝－22；②若f (x )＝cos x ，则f ′(π2)＝－1；③若f (x )＝e x ，则f ′(x )＝e x .其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：正确的是②③，共有2个，故选C. 答案：C3．设函数f (x )在x ＝2处的导数存在，则li m Δx →0 f (2)－f (2＋Δx )2Δx ＝( )A ．－2f ′(2)B ．2f ′(2)C ．－12f ′(2) D.12f ′(2)解析：因为函数f (x )在x ＝2处的导数存在，所以lim Δx →0f (2)－f (2＋Δx )2Δx ＝－12lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝－12f ′(2)．答案：C4.已知函数f (x )的图像如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)解析：从图像上可以看出f (x )在x ＝2处的切线的斜率比在x ＝3处的斜率大，且均为正数，所以有0<f ′(3)<f ′(2)过此两点的割线的斜率为f (3)－f (2)3－2比f (x )在x ＝2处的切线的斜率小，比f (x )在x ＝3处的切线的斜率大，所以0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故选B.答案：B5．将半径为R 的铁球加热，若铁球的半径增加ΔR ，则铁球的表面积增加( ) A ．8πR (ΔR )B ．8πR (ΔR )＋4π(ΔR )2C ．4πR (ΔR )＋4π(ΔR )2D ．4π(ΔR )2解析：Δs ＝4π(R ＋ΔR )2－4πR 2＝8πR (ΔR )＋4π(ΔR )2. 答案：B6．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －4 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋3D ．y ＝4x －5解析：因为y ′＝3x 2－6x ，所以曲线过点(1，－1)的切线的斜率为－3，所以所求切线方程为y ＋1＝－3(x －1)，即y ＝－3x ＋2.答案：B7．函数y ＝x (x 2＋1)的导数为( ) A ．x 2＋1 B ．3x 2 C ．3x 2＋1 D ．3x 2＋x解析：∵y ＝x 3＋x ，∴y ′＝(x 3＋x )′＝(x 3)′＋x ′＝3x 2＋1. 答案：C8．已知函数f (x )＝x 3的切线的斜率等于3，则这样的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．多于2条D ．不确定解析：f ′(x )＝3x 2，令f ′(x )＝3，即3x 2＝3，∴x ＝±1，故应有2条．答案：B9．函数f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )是常数函数D ．f (x )＋g (x )是常数函数解析：f ′(x )＝g ′(x )可知f ′(x )－g ′(x )＝0， ∴f (x )－g (x )＝c . 答案：C10．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则实数a 的值为( )A ．2B ．－2 C.12D ．－12解析：因为y ′＝x －1－x －1(x －1)2＝－2(x －1)2，所以曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线斜率为－12.因为直线ax ＋y ＋3＝0的斜率为－a ，所以－a ·⎝⎛⎭⎫－12＝－1，解得a ＝－2，选B. 答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 11．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，ΔyΔx ＝________.解析：∵Δy ＝(2＋Δx )3－2－6＝(Δx )3＋6(Δx )2＋12Δx . ∴ΔyΔx＝(Δx )2＋6Δx ＋12. 答案：(Δx )2＋6Δx ＋12 12．(1)已知函数f (x )＝15，则f ′(0)＝________； (2)已知函数f (x )＝x n ，且f ′(1)＝2，则n ＝________. 解析：(1)因为f ′(x )＝0，所以f ′(0)＝0.(2)由公式得f ′(x )＝nx n －1，所以f ′(1)＝n ＝2，即n ＝2. 答案：(1)0 (2)213．设f (x )＝ax 2－b sin x 且f ′(0)＝1，f ′(π3)＝12，则a ＝________，b ＝________.解析：∵f ′(x )＝2ax －b cos x ， ∴f ′(0)＝－b ＝1，∴b ＝－1， f ′(π3)＝2π3a －12b ＝12，解得a ＝0.答案：0 －114．已知函数f (x )＝12x 2－a ln x ，若函数f (x )的图像在点(1，f (1))处的切线不过第四象限且不过原点，则实数a 的取值范围为__________．解析：由f ′(x )＝x －a x ，得f ′(1)＝1－a ，∵f (1)＝12，∴函数f (x )的图像在点(1，f (1))处的切线方程为y －12＝(1－a )(x －1)，即y ＝(1－a )x ＋a －12，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≥0a －12>0，解得12<a ≤1，所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤12，1. 答案：⎝⎛⎦⎤12，1三、解答题(本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)求下列函数的导数： (1)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (2)y ＝x sin x ＋x .解析：(1)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′ ＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′ ＝3x 2＋12x ＋11.(2)y ′＝(x sin x )′＋(x )′＝sin x ＋x cos x ＋12x .16．(10分)已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．解析：(1)根据已知得点P (2,4)是切点，且y ′＝x 2，∴曲线在点P (2,4)处的切线的斜率为4， ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0. (2)设切点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′＝x 20，∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.17．(12分)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，求函数f (x )的解析式．解析：由f (x )的图像经过P (0,2)知d ＝2， ∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c . 由在点M (－1，f (－1))处的切线方程是6x －y ＋7＝0，知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，又可知f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2b ＋c ＝6－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3b －c ＝0，解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.18．(12分)设曲线C ：y ＝x 3－3x 和直线x ＝a (a >0)的交点为P ，过P 点的曲线C 的切线与x 轴交于点Q (－a,0)，求a 的值．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3－3x ，x ＝a ，解得P (a ，a 3－3a )．因为y ′＝3x 2－3，所以过P 点的切线的斜率为3a 2－3，切线方程为y －(a 3－3a )＝(3a 2－3)(x －a )．令y ＝0得切线与x 轴的交点为(2a 33a 2－3，0)，则2a 33a 2－3＝－a ，解得a ＝155或a ＝－155或a ＝0.因为a >0，所以a 的值为155.由Ruize收集整理。

2019—2020年新课标北师大版高中数学选修1-1《变化率与导数》章末综合测评及答案解析.docx

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1 章末综合测评(三) 变化率与导数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若y＝5x，则y′＝( )A.15x4B．155x4C.5x43D．15x x【解析】y＝x 15，则y′＝15x-45＝155x4.【答案】 B2．某质点沿直线运动的位移方程为f(x)＝－2x2＋1，那么该质点从x＝1到x＝2的平均速度为( )A．－4 B．－5C．－6 D．－7【解析】v＝f(2)－f(1)2－1＝－2×22＋1－(－2×12＋1)2－1＝－6.【答案】 C3．如果物体做S(t)＝2(1－t)2的直线运动，则其在t ＝4 s 时的瞬时速度为( )A ．12B ．－12C ．4D ．－4【解析】 S(t)＝2(1－t)2＝2t 2－4t ＋2，则S ′(t)＝4t －4，所以S ′(4)＝4×4－4＝12.【答案】 A4．曲线y ＝e x 在点A(0,1)处的切线斜率为( ) A ．1 B ．2 C ．eD ．1e【解析】由题意知y ′＝e x ，故所求切线斜率k ＝e x |x ＝0＝e 0＝1. 【答案】 A5．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( )A ．－1B ．12C ．－2D ．2【解析】 ∵y ′＝－sin 2x －(1＋cos x )cos x sin 2x ＝－1－cos xsin 2x ，又f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝－1，∴1a ＝－1，∴a ＝－1，故选A. 【答案】 A6．(2016·淮北高二检测)若曲线y ＝f(x)＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b)处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1【解析】 y ′＝2x ＋a ，∴f ′(0)＝a ＝1，∴y ＝x 2＋x ＋b ，又点(0，b)在切线上，故－b ＋1＝0， ∴b ＝1. 【答案】 A7．若函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 的图像的顶点在第四象限，则函数f ′(x)的图像是( )【解析】 f ′(x)＝2x ＋b ，因为f(x)顶点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－b 2，4c －b 24在第四象限．所以b<0，则f ′(x)图像与y 轴交于负半轴．【答案】 A 8．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，π2B ．⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4，π D ．⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤π2，3π4【解析】 y ′＝3x 2－1≥－1，则tan α≥－1. ∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4，π.【答案】 B9．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 在点(1,2)处的切线与其平行直线bx ＋y ＋c ＝0间的距离是( )A.24B ．22C.322D ． 2【解析】 ∵抛物线过点(1,2)，∴b ＋c ＝1.又∵f ′(1)＝2＋b ，由题意得2＋b ＝－b ，∴b ＝－1，c ＝2. ∴所求的切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0，∴两平行直线x －y ＋1＝0和x －y －2＝0间的距离d ＝|1＋2|2＝322.【答案】 C 10．设函数f(x)＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]【解析】 ∵f ′(x)＝x 2sin θ＋3xcos θ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π3因为θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，5π12，所以θ＋π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22，1，故f ′(1)∈[2，2]．【答案】 D11．过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( ) A ．2x ＋y ＋2＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0【解析】 y ′＝2x ＋1，设所求切线的切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)．则x 20＋x 0＋1x 0＋1＝2x 0＋1，∴x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，曲线y ＝x 2＋x ＋1在点(0,1)处的切线斜率为1，方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0.当x 0＝－2时，切线方程为3x ＋y ＋3＝0.【答案】 D12．点P 是曲线x 2－y －2ln x ＝0上任意一点，则点P 到直线4x ＋4y ＋1＝0的最短距离是( )A.22(1－ln 2)B ．22(1＋ln 2)C.22⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋ln 2 D ．12(1＋ln 2)【解析】将直线4x ＋4y ＋1＝0平移后得直线l ：4x ＋4y ＋b ＝0，使直线l 与曲线切于点P(x 0，y 0)，由x 2－y －2lnx ＝0得y ′＝2x －1x，∴直线l 的斜率k ＝2x 0－1x 0＝－1解得x 0＝12或x 0＝－1(舍去)，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，14＋ln 2，所求的最短距离即为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，14＋ln 2到直线4x ＋4y ＋1＝0的距离d ＝|2＋(1＋4ln 2)＋1|42＝22(1＋ln 2)．【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)13．若y ＝－3cot x ，则y ′＝________.【导学号：63470074】【解析】 y ′＝－3(cot x)′＝－3·－1sin 2x ＝3sin 2x .【答案】3sin 2x14．下列四个命题中，正确命题的序号为________． ①若f(x)＝x ，则f ′(0)＝0；②(log a x)′＝xln a ；③加速度是质点的位移s对时间t 的导数；④曲线y ＝x 2在点(0,0)处有切线．【解析】 ①因为f ′(x)＝12x，当x 趋近于0时平均变化率不存在极限，所以函数f(x)在x ＝0处不存在导数，故错误；②(log a x)′＝1xln a ，故错误；③瞬时速度是位移s 对时间t 的导数，故错误；④曲线y ＝x 2在点(0,0)处的切线方程为y ＝0，故正确．【答案】 ④15．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝x 3＋2的一条切线，则k 的值为________．【解析】设切点为M(x 0，y 0)，则y 0＝x 30＋2， ① y 0＝kx 0，② ∵y ′＝3x 2，∴k ＝3x 20， ③ 将③代入②得y 0＝3x 30， ④将④代入①得x 0＝1， ∴y 0＝3，代入②得k ＝3. 【答案】 316．(2016·临沂高二检测)设函数f(x)的导数为f ′(x)，且f(x)＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＝________.【解析】因为f(x)＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2sin x ＋cos x ，所以f ′(x)＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2cos x －sin x ，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2cos π2－sin π2.即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝－1，所以f(x)＝－sin x ＋cos x ，故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－2.【答案】－2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝t －1t 2＋2t 2(路程单位：m ，时间单位：s)，求s ′(3)，并解释它的实际意义.【导学号：63470075】【解】 ∵s(t)＝t －1t 2＋2t 2＝tt 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2， ∴s ′(t)＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ， ∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327m/s.18．(本小题满分12分)求过曲线y ＝cos x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，12且与过这点的切线垂直的直线方程．【解】 ∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x. 曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，12处的切线斜率是y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为23.∴所求直线方程为y －12＝23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π3. 19．(本小题满分12分)求满足下列条件的函数f(x)．(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0； (2)f(x)是二次函数，且x 2f ′(x)－(2x －1)f(x)＝1. 【解】 (1)由题意设f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d(a ≠0)，则f ′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c.由已知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝d ＝3，f ′(0)＝c ＝0，f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝－3，f ′(2)＝12a ＋4b ＋c ＝0，解得a ＝1，b ＝－3，c ＝0，d ＝3. 故f(x)＝x 3－3x 2＋3.(2)由题意设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，则f ′(x)＝2ax ＋b.所以x 2(2ax ＋b)－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c)＝1，化简得(a －b)x 2＋(b －2c)x ＋c ＝1，此式对任意x 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，b ＝2c ，c ＝1，得a ＝2，b ＝2，c ＝1，即f(x)＝2x 2＋2x ＋1.20．(本小题满分12分)已知两曲线f(x)＝x 3＋ax 和g(x)＝x 2＋bx ＋c 都经过点P(1,2)，且在点P 处有公切线，试求a ，b ，c 的值．【解】 ∵点P(1,2)在曲线f(x)＝x 3＋ax 上， ∴2＝1＋a ，∴a ＝1，函数f(x)＝x 3＋ax 和g(x)＝x 2＋bx ＋c 的导数分别为f ′(x)＝3x 2＋a 和g ′(x)＝2x ＋b ，且在点P 处有公切线，∴3×12＋a ＝2×1＋b ，得b ＝2，又由点P(1,2)在曲线g(x)＝x 2＋bx ＋c 上可得2＝12＋2×1＋c ，得c ＝－1. 综上，a ＝1，b ＝2，c ＝－1.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x 在x ＝14处的切线为l ，直线g(x)＝kx ＋94与l 平行，求f(x)的图像上的点到直线g(x)的最短距离．【解】因为f(x)＝x ，所以f ′(x)＝12x.所以切线l 的斜率为k ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14＝1，切点为T ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，12. 所以切线l 的方程为x －y ＋14＝0. 因为切线l 与直线g(x)＝kx ＋94平行，所以k ＝1，即g(x)＝x ＋94. f(x)的图像上的点到直线g(x)＝x ＋94的最短距离为切线l ：x －y ＋14＝0与直线x －y ＋94＝0之间的距离，所以所求最短距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪94－142＝ 2.22．(本小题满分12分)已知直线l 1为曲线f(x)＝x 2＋x －2在点P(1,0)处的切线，l 2为曲线的另一条切线，且l 2⊥l 1.(1)求直线l 2的方程；(2)求直线l 1，l 2与x 轴所围成的三角形的面积S.【解】 (1)设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，由题意可知k 1＝f ′(1)＝3，故直线l 1的方程为y ＝3x －3，由l 1⊥l 2，可知直线l 2的斜率为－13，设l 2与曲线相切于点Q(x 0，y 0)，则k 2＝f ′(x 0)＝－13，解得x 0＝－23，代入曲线方程解得y 0＝－209，故直线l 2的方程为y ＋209＝－13⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋23，化简得到3x ＋9y ＋22＝0. (2)直线l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－223，0，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －3＝0，3x ＋9y ＋22＝0解得两直线交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16，－52，故所求三角形的面积S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－223－1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52＝12512.。

2019北师大版高中数学选修1-1：单元测评三

单元测评三第三章本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷60分,第Ⅱ卷90分,共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每小题的四个选项中,有一项是符合题目要求的)1.设f(x)为可导函数,且f'(1)=-,则--的值为()A.1B.-1C.D.-2.若函数f(x)=ax2+2的图像在点(a,f(a))处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a=()A.1B.±C.±1D.-13.物体的运动方程是s(t)=,则物体在t=4时的瞬时速度是()A.B.C.D.4.已知函数f(x)=ax2-8x+13,且f'(1)=4,则a的值为()A.6B.7C.8D.95.设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为()A.4B.-C.2D.-6.设f(x)=x ln x,若f'(x0)=2,则x0等于()A.e2B.eC.D.ln 27.设函数f(x)=x++b,若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处的切线经过坐标原点,则ab=()A.1B.0C.-1D.-28.下列说法中不正确的是()A.若y=ln 3,则y'=0B.若y=-,则y'=-C.若y=,则y'=-D.若y=3x,则y'=39.f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数,若f(x),g(x)满足f'(x)=g'(x),则f(x)与g(x)满足()A.f(x)=g(x)B.f(x)-g(x)为常数函数C.f(x)=g(x)=0D.f(x)+g(x)为常数函数10.设点P在曲线y=e x上,点Q在曲线y=ln x上,则|PQ|的最小值为()A.B.(1-ln 2)C.1D.(1+ln 2)11.已知曲线y=ln x的切线经过原点,则此切线的斜率为()A.eB.-eC.D.-12.设函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)=f'cos x+sin x,则f'=()A.1B.0C.2D.3请将选择题答案填入下表:第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每题5分,共20分,把答案填在题中横线上)13.已知f(x)=x3+2xf'(1),则f'(1)=.14.已知f(x)=xα,若f'(-1)=-4,则α的值是.15.过原点作曲线y=e x的切线,则切线的方程为.16.设f″(x)是函数y=f(x)的导函数f'(x)的导函数,定义:若f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),且方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的图像的对称中心.有同学发现“任何一个三次函数的图像都有对称中心”,请你运用这一发现处理下列问题:设g(x)=x3-x2+2x+,则g+g+g+…+g= .三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)求下列函数的导函数:(1)y=;(2)y=3x·(ln x-x).18.(12分)若曲线y=x2+1在点P处的切线与曲线y=-2x2-1也相切,求点P的坐标.19.(12分)已知f(x)的导函数f'(x)是一次函数,且对定义域内的任意x,x2f'(x)-(2x-1)f(x)=2恒成立,求f(x)的解析式.20.(12分)若两曲线y1=3x3+ax与y2=x2-ax+1在x=1处的切线互相平行,求a的值.21.(12分)已知f(x)=ax2+ln x的图像存在垂直于y轴的切线,求实数a的取值范围.22.(12分)已知曲线S:y=-x3+x2+4x及点P(0,0),求过点P的曲线S的切线方程.。

2019—2020年新课标北师大版高中数学选修1-1全册模块质量试题及答案答案解析.docx

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1模块质量检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与命题：“若a ∈P 则b ∉P ”等价的命题是( ) A ．若a ∉P ，则b ∉P B ．若b ∉P ，则a ∈P C ．若a ∉P ，则b ∈PD ．若b ∈P ，则a ∉P解析：原命题的逆否命题是“若b ∈P ，则a ∉P ”．答案： D2．条件甲：“a 、b 、c 成等差数列”是条件乙：“ab ＋cb ＝2”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：甲⇒/乙，如a ＝－1，b ＝0，c ＝1；乙⇒甲，故甲是乙的必要不充分条件．答案： A3．曲线f(x)＝x 3＋x －2在点P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 0的坐标为( ) A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(－1，－4)D ．(2,8)和(－1，－4)解析： f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4， ∴x 0＝±1. 答案： C4．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B ．x 212＋y 216＝1C.x 216＋y 24＝1 D ．x 24＋y 216＝1解析：双曲线x 24－y 212＝－1，即x 212－y 24＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．所以对椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1而言，a 2＝16，c 2＝12.∴b 2＝4，因此方程为y 216＋x 24＝1.答案： D 5．函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：由已知定义域为{x|x ≠0}， y ′＝8x －1x 2，令y ′＞0得x ＞12，故选C.答案： C6．若k 可以取任意实数，则方程x 2＋ky 2＝1所表示的曲线不可能是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆或双曲线D ．抛物线解析：本题主要考查圆锥曲线的一般形式：Ax 2＋By 2＝c 所表示的圆锥曲线问题，对于k ＝0,1及k ＞0且k ≠1，或k ＜0，分别讨论可知：方程x 2＋ky 2＝1不可能表示抛物线．答案： D7．函数f(x)＝－13x 3＋x 2在区间[0,4]上的最大值是( )A ．0B ．－163C.43D ．163解析： f ′(x)＝2x －x 2，令f ′(x)＝0，解得x ＝0或2. 又∵f(0)＝0，f(2)＝43，f(4)＝－163，∴函数f(x)在[0,4]上的最大值为43.答案： C8．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A.54 B ．52C.32D ．54解析：因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e 1＝32，所以1－b 2a 2＝e 21＝34，即b 2a 2＝14，而在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1中，设离心率为e 2，则e 22＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，所以e 2＝52.故选B. 答案： B9．已知f(2)＝－2，f ′(2)＝g(2)＝1，g ′(2)＝2，则函数 g (x )f (x )(f(x)≠0)在x ＝2处的导数为( )A ．－54B ．54C ．－5D ．5解析：令h(x)＝g (x )f (x )，则h ′(x)＝g ′(x )f (x )－f ′(x )g (x )f 2(x )，∴h ′(2)＝－54.故选A.答案： A10．已知命题p ：|x －1|≥2，命题q ：x ∈Z ，如果p 且q 、非q 同时为假，则满足条件的x 为( )A ．{x|x ≤－1或x ≥3，x ∉Z}B ．{x|－1≤x ≤3，x ∉Z}C ．{－1,0,1,2,3}D ．{0,1,2}解析： ∵p 且q 假，非q 为假， ∴p 假q 真，排除A ，B ，p 为假，即|x －1|＜2，∴－1＜x ＜3且x ∈Z.∴x ＝0,1,2. 答案： D11．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1都相切，则双曲线C 的离心率是( )A.3或62B ．2或 3C.233或2D ．233或62解析：设圆的两条过原点的切线方程为y ＝kx. 由2k 2＋1＝1得k ＝±3.当ba ＝3时，e ＝ca＝1＋b 2a 2＝2.当ab ＝3时，e ＝ca＝1＋b 2a 2＝233.答案： C12．设f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数．当x ＜0时，f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)＞0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)解析： f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则f(x)g(x)是奇函数．又当x ＜0时，f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)＞0，即[f(x)g(x)]′＞0，所以F(x)＝f(x)·g(x)在(－∞，0)上是增函数，又g(－3)＝g(3)＝0，故F(－3)＝F(3)＝0.所以不等式f(x)g(x)＜0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)13．曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－73处切线的倾斜角是________．解析： y ′＝x 2，则曲线在x ＝－1处的导数为1，所以tan α＝1，又因为α是切线的倾斜角，所以α＝45°.答案： 45°14．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)(4,0)，则双曲线的方程为________．解析：由题意知c ＝4，e ＝ca ＝2，故a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝12，双曲线的方程为x 24－y 212＝1.答案：x 24－y 212＝1 15．函数f(x)＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最小值是________．解析： ∵f ′(x)＝1－2sin x ，令f ′(x)＞0，∴sin x ＜12.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，sin x ＜0＜12，即f ′(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上恒大于0，∴f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上为增函数，∴f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－π2.答案：－π216．已知：①命题“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②命题“所有模相等的向量相等”的否定；③命题“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实根”的逆否命题； ④命题“若A ∩B ＝A ，则AB ”的逆否命题．其中能构成真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．解析： ①逆命题：若x ，y 互为倒数，则xy ＝1.是真命题． ②的否定是：“存在模相等的向量不相等”．是真命题．如，a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)有|a|＝|b|＝2，但a ≠b.③命题“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0”是真命题．这是因为当m ＜0时Δ＝(－2)2－4m ＝4－4m ＞0恒成立．故方程有根．所以其逆否命题也是真命题．④若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，故原命题是假命题，因此其逆否命题也是假命题．答案： ①②③三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知p ：1≤x ≤2，q ：a ≤x ≤a ＋2，且¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解析： ∵¬p 是¬q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的充分不必要条件．∴{x|1≤x ≤2}{x|a ≤x ≤a ＋2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ＋2≥2，∴0≤a ≤1.18．(12分)已知命题p ：方程x 22m －y 2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线y 25－x 2m＝1的离心率e ∈(1,2)，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数m 的取值范围．解析： p ：0＜2m ＜1－m ⇒0＜m ＜13，q ：1＜5＋m5＜2⇒0＜m ＜15， p 且q 为假，p 或q 为真⇒p 假q 真，或p 真q 假．p 假q 真⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ≤0或m ≥130＜m ＜15⇒13≤m ＜15， q 假p 真⇒⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜13m ≤0或m ≥15m ∈∅.综上可知13≤m ＜15.19．(12分)已知动圆过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，与直线x ＝－p2相切，其中p ＞0，求动圆圆心的轨迹方程．解析：如图，设M 为动圆圆心，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0记为点F.过点M 作直线x ＝－p2的垂线，垂足为N ，由题意知|MF|＝|MN|，即动点M 到定点F与到定直线x ＝－p2的距离相等，由拋物线的定义，知点M 的轨迹为拋物线，其中F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0为其焦点，x ＝－p2为其准线，所以动圆圆心的轨迹方程为y 2＝2px(p ＞0)．20．(12分)已知函数f(x)＝2ax 3＋bx 2－6x 在x ＝±1处取得极值． (1)求f(x)的解析式，并讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值； (2)试求函数f(x)在x ＝－2处的切线方程．解析： (1)f ′(x)＝6ax 2＋2bx －6，因为f(x)在x ＝±1处取得极值，所以x ＝±1是方程3ax 2＋bx －3＝0的两个实根．所以⎩⎪⎨⎪⎧－b3a ＝0，－33a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.所以f(x)＝2x 3－6x ，f ′(x)＝6x 2－6.令f ′(x)＞0，得x ＞1或x ＜－1；令f ′(x)＜0，得－1＜x ＜1.所以f(－1)是函数f(x)的极大值，f(1)是函数f(x)的极小值．(2)由(1)得f(－2)＝－4，f ′(－2)＝18，即f(x)在x ＝－2处的切线的斜率为18. 所以所求切线方程为y －(－4)＝18[x －(－2)]，即18x －y ＋32＝0. 21．(12分)设函数f(x)＝x 3－92x 2＋6x －a. (1)对于任意实数x ，f ′(x)≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．解析： (1)f ′(x)＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)．因为x ∈(－∞，＋∞)，f ′(x)≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m)≥0恒成立，所以Δ＝81－12(6－m)≤0，解得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x ＜1时，f ′(x)＞0；当1＜x ＜2时，f ′(x)＜0；当x ＞2时，f ′(x)＞0.所以当x ＝1时，f(x)取极大值f(1)＝52－a ；当x ＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a ，故当f(2)＞0或f(1)＜0时，f(x)＝0仅有一个实根．解得a ＜2或a ＞52.22．(14分)某椭圆的中心是原点，它的短轴长为22，一个焦点为F(c,0)(c ＞0)，x轴上有一点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0且满足|OF|＝2|FA|，其中a 为长半轴长，过点A 的直线与该椭圆相交于P ，Q 两点．求：(1)该椭圆的方程及离心率；(2)若OP →·OQ →＝0，求直线PQ 的方程．解析： (1)依题意可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 22＝1(a ＞2)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－c 2＝2，c ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，c ＝2.所以椭圆的方程为x 26＋y 22＝1，离心率e ＝63.(2)由(1)可得点A(3,0)，由题意知直线PQ 的斜率存在，设为k ，则直线PQ 的方程为y ＝k(x －3)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y22＝1，y ＝k (x －3)，得(3k 2＋1)x 2－18k 2x ＋27k 2－6＝0，依题意知，Δ＝12(2－3k 2)＞0，得－63＜k ＜63. 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝18k 23k 2＋1，x 1x 2＝27k 2－63k 2＋1，从而得y 1＝k(x 1－3)，y 2＝k(x 2－3)，于是y 1y 2＝k 2(x 1－3)(x 2－3)．因为OP →·OQ →＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，解得5k 2＝1，从而k ＝±55∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－63，63，所以直线PQ 的方程为x －5y －3＝0或x ＋5y －3＝0.。

2019—2020年北师大版高中数学选修1-1《最大值、最小值问题》课后考点练习及解析.docx

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1第4章 2.2 最大值、最小值问题一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列结论正确的是( )A ．若f(x)在[a ，b]上有极大值，则极大值一定是f(x)在[a ，b]上的最大值B ．若f(x)在[a ，b]上有极小值，则极小值一定是f(x)在[a ，b]上的最小值C ．若f(x)在[a ，b]上有极大值，则极大值一定在x ＝a 或x ＝b 时取得D ．若f(x)在[a ，b]上连续，则f(x)在[a ，b]上存在最大值和最小值解析：根据极值与最值的区别与联系作出判断．答案： D2．函数f(x)＝x 2－4x ＋1在[1,5]上的最大值和最小值分别是( ) A ．f(1) f(2) B ．f(2) f(5) C ．f(1) f(5) D ．f(5) f(2)解析： f ′(x)＝2x －4 令f ′(x)＝2x －4＝0，∴x ＝2 f(1)＝－2，f(2)＝－3 f(5)＝6∴最大值f(5)，最小值f(2)．答案： D3．函数y ＝lnxx 的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2D.103解析：令y ′＝(lnx )′x －lnx ·x ′x 2＝1－lnxx 2＝0，得x ＝e.当x>e 时，y ′<0；当x<e 时，y ′>0，y 极大值＝f(e)＝1e ，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝1e.答案： A4．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析：因y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0得x ＝9 当0<x ≤9时，y ′≥0，f(x)为增函数当x>9时，y ′<0，f(x)为减函数 ∴当x ＝9时，y 有最大值．故选C. 答案： C二、填空题(每小题5分，共10分) 5．函数y ＝xe x 的最小值为________．解析： y ′＝(x ＋1)e x ＝0，x ＝－1.当x<－1时，y ′<0；当x>－1时，y ′>0.∴y min ＝f(－1)＝－1e .答案：－1e6．已知f(x)＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m 的取值范围是________．解析： f ′(x)＝m －2x ，令f ′(x)＝0，则x ＝m2，由题设得m2∈[－2，－1]，故m ∈[－4，－2]．答案： [－4，－2]三、解答题(每小题10分，共20分) 7．已知函数f(x)＝13x 3－4x ＋4.(1)求函数的极值；(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．解析： (1)f ′(x)＝x 2－4，解方程x 2－4＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. 当x 变化时，f ′(x)，f(x)变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 (－2,2) 2 (2，＋∞) f ′(x) ＋0 －0 ＋f(x)283－43从上表看出，当x ＝－2时，函数有极大值，且极大值为283，而当x ＝2时，函数有极小值，且极小值为－43.(2)f(－3)＝13×(－3)3－4×(－3)＋4＝7，f(4)＝13×43－4×4＋4＝283，与极值点的函数比较，得函数在区间[－3,4]上的最大值是283，最小值是－43.8．已知函数f(x)＝4x 3＋ax 2＋bx ＋5的图像在x ＝1处的切线方程为y ＝－12x. (1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．解析： (1)f ′(x)＝12x 2＋2ax ＋b. f ′(1)＝12＋2a ＋b ＝－12. ① 又x ＝1，y ＝－12在f(x)的图像上，∴4＋a ＋b ＋5＝－12. ② 由①②，得a ＝－3，b ＝－18， ∴f(x)＝4x 3－3x 2－18x ＋5.(2)f ′(x)＝12x 2－6x －18＝0，得x ＝－1或32，f(－1)＝16，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－614，f(－3)＝－76，f(1)＝－12.∴f(x)的最大值为16，最小值为－76. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知某工厂生产x 件产品的成本为C ＝25 000＋200x ＋140x 2(元)，问：(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元出售，要使利润最大，应生产多少件产品？解析： (1)设平均成本为y 元，则y ＝25 000＋200x ＋140x 2x＝25 000x ＋200＋x 40(x ≥0)，y ′＝－25 000x 2＋140，令y ′＝0，得x ＝1 000或x ＝－1 000(舍去)．当0≤x<1 000时，y ′<0；当x>1 000时，y ′>0，故当x ＝1 000时，y 取极小值，而只有一个点使y ′＝0，故函数在该点处取得最小值．因此，要使平均成本最低，应生产1 000件产品．(2)利润函数为S(x)＝500x －(25 000＋200x ＋x 240)＝300x －25 000－x 240，S′(x)＝300－x20，令S′(x)＝0，得x＝6 000.当0≤x<6 000时S′(x)>0；当x>6 000时，S′(x)<0，故当x＝6 000时，S(x)取极大值，而只有一个点使S′(x)＝0，故函数在该点处取得最大值．因此，要使利润最大，应生产6 000件产品．。

2019—2020年北师大版高中数学选修1-1《导数应用》单元同步练测及解析.docx

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1第四章导数应用建议用时实际用时满分实际得分120分钟一、选择题(每小题6分)1. 下列说法正确的是 ( )A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2.函数()323922y x x x x =---<<有（）A ．极大值5，极小值-27B ．极大值5，极小值11C ．极大值5，无极小值D ．极小值-27，无极大值 3.函数xx y 142+=的单调递增区间是（） A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),21(+∞D ．),1(+∞4.函数xxy ln =的最大值为（） A.1e - B.e C.2e D.310 5.函数在区间[0,3]上的最大值与最小值分别是( ) A.5,-15 B.5,-4 C.-4,-15 D.5,-16 6.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内的极小值点有（）A.1个B.2个C.3个D.4个7.已知函数f(x)＝12x 3－x 2－72x ，则f(－a 2)与f(－1)的大小关系为( ) A ．f(－a 2)f(－1) B ．f(－a 2)f(－1) C ．f(－a 2)f(－1)D ．f(－a 2)与f(－1)的大小关系不确定 8.函数的极值情况是( )A ．有极大值2，极小值-2B ．有极大值1，极小值-1C ．无极大值，但有极小值-2D ．有极大值2，无极小值二、填空题（本题共4小题,每小题5分，共16分）9.已知函数既存在极大值又存在极小值，则实数的取值范围是. 10.函数x x x f -⋅=e )(的单调递增区间是.11.函数的极值点为.12．用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的长、宽、高各为时，其体积最大. 13.函数y=x+2cos x 在[0,]上取得最大值时，x 的值为三、解答题（共76分）14.（15分）一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小？15．（14分）已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-.（1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间.16．（14分）已知函数c bx x ax x f -+=44ln )((x>0)在x = 1处取得极值-3-c ，其中c b a ,,为常数.（1）试确定b a ,的值（2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意x >0，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围.17．（16分）已知函数2()ln (0).f x x ax x a =-->（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为-2，求a 的值以及切线方程；（2）若()f x 是单调函数，求a 的取值范围.18．（16分）已知函数f(x)=aln x++1．（1）当a=－时，求f(x)在区间[，e]上的最值；（2）讨论函数f(x)的单调性.19．（16分）已知函数()2a f x x x=+，()ln g x x x =+，其中0a >．（1）若1x =是函数()()()hx f x g x =+的极值点，求实数a 的值；（2）若对任意的[]12,1e x x ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围一、选择题1．D 解析：函数的极值与最值没有必然联系.2．C 解析：令'23690,1y x x x =--==-得，或3当时，不满足题意，故舍去.当x 在(－2,2)上变化时，的变化情况如下表：x(－2，－1)－1（－1，2）＋－y5由上表可知，函数y 有极大值5，无极小值.3．C 解析：令3'322181180,810,.2x y x x x x x -=-=>->>即得 4．A 解析：令'''22(ln )ln 1ln 0, e.x x x x x y x x x -⋅-====得当x 变化时，随x 的变化情况如下表：x(0，e) e(e ，+∞)＋－y由上表可知，函数y在x=e时取得最大值，最大值.5.A 解析：由，得.令，得当变化时，,f(x)的变化情况如下表：0 (0，2) 2 (2，3) 3－0 +f(x) 5 -15 -4所以函数的最大值与最小值分别是5,-15.6.A 解析：若处取得极小值点，则,在的左侧，在的右侧.据此可知，f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有1个.7.A 解析：由题意可得.由＝12(3x－7)(x＋1)＝0，得x＝－1或x＝73.当时，为增函数；当时，为减函数；当x>时，为增函数.所以f(－1)是函数f(x)在(－∞，0]上的最大值.又因为－a2≤0，故f(－a2)≤f(－1)．8.A 解析：函数的定义域为,因为,所以解得.当或时，；当或时，＜0，所以当时函数有极大值；当时函数有极小值2．故选A ．二、填空题9. 解析：因为函数f(x)＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，所以方程有两个不同的实数根. 由得m 的取值范围为．10．解析：∵ ()e exx x f x x -=⋅=∴，21e e ()e x xx x f x ⋅-⋅'=（）0,1x >∴<. ∴ 函数x x x f -⋅=e )(的单调递增区间是.11．解析：函数的定义域为（0，+∞），.令，得.当时，，当时，，所以当时函数取得极大值，为函数的极大值点.12.2 cm,1 cm, cm 解析：设长方体的宽为x cm ，则长为2x cm ，高为181293(3)(c m)0422xh x x -==-⎛⎫ ⎪⎝⎭＜＜. 故长方体的体积为223393()2(3)(96(c m )(0).22V x x x x x x =-=-）＜＜从而).1(181818)(2x x xx x V -=-='令0)(='x V ，解得x =0（舍去）或x =1，因此x =1. 当0＜x ＜1时，0)(>'x V ；当1＜x ＜32时，0)(<'x V ，故在x =1处()V x 取得极大值，并且这个极大值就是()V x 的最大值. 从而体积最大时长方体的长为2 cm ，宽为1 cm ，高为32cm. 13.f( 解析：y ′=1－2sin x ，令1－2sin x=0，得sin x=.∵ x ∈[0,]，∴ x=. 当x ∈[0,)时，y ′＞0；当x ∈[,]时，y ′≤0，∴ f(). 二、解答题14.解：设轮船速度为x 千米/时（x ＞0），每小时的燃料费用为Q 元，则Q=kx 3.由6=k ×103可得，所以， ∴ 轮船行驶中每千米的费用总和， .令y ′=0得x=20.当x ∈（0，20）时，y ′＜0，此时函数单调递减；当x ∈（20，+∞）时，y ′＞0，此时函数单调递增. ∴ 当x=20时，y 取得最小值.因此当轮船以20千米/时的速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小，为元．15.解：（1）因为c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，所以1c =. ①'3'()42,(1)421f x ax bx k f a b =+==+=. ②由题意得切点为(1,1)-，则c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(1,1)-，得. ③ 联立①②③得所以（2）令得当x 变化时， x－＋－＋由上表可知，函数的单调递增区间为 16.解：（1）由题意知(1)3f c =--，因此3b c c -=--，从而3b =-．又对()f x 求导得3431()4ln 4f x ax x ax bx x'=+⨯+3(4ln 4)x a x a b =++．由题意(1)0f '=，因此40a b +=，解得12a =．（2）由（1）知3()48ln f x x x '=（0x >），令()0f x '=，解得1x =．当01x <<时，()0f x '<，此时()f x 为减函数；当1x >时，()0f x '>，此时()f x 为增函数．因此()f x 的单调递减区间为(01)，，而()f x 的单调递增区间为(1)+，∞．（3）由（2）知，()f x 在1x =处取得极小值(1)3f c =--，此极小值也是最小值，要使2()2f x c -≥（0x >）恒成立，只需232c c ---≥．即2230cc --≥，从而(23)(1)0c c -+≥，解得32c ≥或1c -≤．所以c 的取值范围为3(1]2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，，. 17.解：(1)由题设，f '(1)＝－2a ＝－2，所以a ＝1，此时f(1)＝0，切线方程为y ＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0． (2)，令＝1－8a ．当a ≥ 1 8时，≤0，f '(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减．当0＜a ＜1 8时，＞0，方程＋1＝0有两个不相等的正根，不妨设，则当时，f '(x)＜0，当时，f '(x)＞0，这时f(x)不是单调函数．综上，a 的取值范围是[ 1 8，＋)．18.解:（1）当a=－时，f(x)=－ln x++1，∴ f ′(x)=+=．∵ f(x)的定义域为(0,+∞)，∴ 由f ′(x)=0,得x=1．∴ f(x)在区间[,e]上的最值只可能在f(1), f(),f(e)取到，而f(1)=,f()=+,f(e)=+， ∴ =f(e)=+,=f(1)=．（2）f ′(x)=，x ∈(0,+∞)．①当a+1≤0，即a ≤－1时，f ′(x)<0,∴ f(x)在(0,+∞)上单调递减； ②当a ≥0时，f ′(x)>0,∴ f(x)在(0,+∞)上单调递增；③当－1<a<0时，由f ′(x)>0,得>,∴ x>或x<－（舍去）,∴ f(x)在(,+∞)上单调递增，在(0,)上单调递减.综上，当a ≥0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；当－1<a<0时，f(x)在(,+∞)上单调递增，在(0,)上单调递减；当a ≤－1时，f(x)在(0,+∞)上单调递减.19.解：（1）方法1：∵ ()22ln a h x x x x =++，其定义域为()0 +∞，，∴ ()2212a h x x x'=-+． ∵1x =是函数()hx 的极值点，∴ ()10h '=，即230a -=． ∵ 0a >，∴ 3a =．经检验当3a =时，1x =是函数()h x 的极值点，∴ 3a =．方法2：∵ ()22ln a h x x x x =++，其定义域为()0+∞，，∴ ()2212a h x x x'=-+．令()0h x '=，即22120a x x-+=，整理，得2220x x a +-=． ∵ △2180a =+>，∴ ()0h x '=的两个实根为211184a x --+=（舍去），221184a x -++=，当x 变化时，()h x ，()h x '的变化情况如下表： x ()20,x2x ()2,x +∞ ()h x '- 0 ＋ ()h x 单调递减极小值单调递增依题意，211814a -++=，即23a =，∵ 0a >，∴ 3a =．（2）对任意的[]12,1e x x ∈，都有()1f x ≥()2g x 成立等价于对任意的[]12,1e x x ∈，都有()min f x ⎡⎤⎣⎦≥()max g x ⎡⎤⎣⎦．当x ∈［1，e ］时，()110g x x '=+>．∴ 函数()ln g x x x =+在[]1e ，上是增函数． ∴ ()()max e e 1g x g ==+⎡⎤⎣⎦．∵ ()()()2221x a x a a f x x x +-'=-=，且[]1,e x ∈，0a >． ① 01a <<且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x +-'=>， ∴ 函数()2a f x x x=+在［1，e ］上是增函数， ∴ ()()2min11f x f a ==+⎡⎤⎣⎦. 由21a +≥e 1+，得a ≥e .又01a <<，∴a 不合题意． ②当1≤a ≤e 时，若1≤x ＜a ，则()()()20x a x a f x x +-'=<，若a ＜x ≤e ，则()()()20x a x a f x x +-'=>． ∴ 函数()2a f x x x=+在[)1,a 上是减函数，在(]e a ，上是增函数． ∴ ()()min 2f x f a a ==⎡⎤⎣⎦.由2a ≥e 1+，得a ≥e 12+.又1≤a ≤e ，∴e 12+≤a ≤e ． ③当e a >且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x +-'=<， ∴ 函数()2a f x x x =+在[]1e ，上是减函数．∴ ()()2min e e ea f x f ==+⎡⎤⎣⎦.由2eea+≥e1+，得a≥e，又ea>，∴ea>．综上所述，a的取值范围为e1,2+⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。

2019—2020年北师大版高中数学选修1-1《导数应用》单元检测B及解析.docx

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1第四章导数应用(B)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．函数f(x)＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B ．[－3，＋∞) C ．(－3，＋∞) D ．(－∞，－3)2．若函数f(x)＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，123．函数f(x)＝x1－x 的单调增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)，(1，＋∞)D ．(－∞，－1)，(1，＋∞)4．函数f(x)＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则( ) A ．0<b<1 B ．b<1 C ．b>0 D ．b<125．若函数f(x)＝asin x ＋sin x 在x ＝π3处有极值，那么a 等于( )A ．2B ．－1 C.233 D ．06．函数f(x)＝x 3－3x 2＋1的单调减区间为( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(－∞，0) D ．(0,2)7．若函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x)的图象是( )8．方程x 3＋x 2＋x ＋a ＝0 (a ∈R)的实数根的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．函数y ＝4x －x 4在x ∈[－1,2]上的最大值，最小值分别是( ) A ．f(1)与f(－1) B ．f(1)与f(2) C ．f(－1)与f(2) D ．f(2)与f(－1) 10．函数f(x)＝2x 2－13x 3在区间[0,6]上的最大值是( )A.323B.163C ．12D ．9 11．对于函数f(x)＝x 3－3x (|x|<1)，正确的是( ) A ．有极大值和极小值 B ．有极大值无极小值 C ．无极大值有极小值 D ．无极大值无极小值12．函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ，b 的值是( ) A ．a ＝－11，b ＝4 B ．a ＝－4，b ＝11 C ．a ＝11，b ＝－4 D ．a ＝4，b ＝－11 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若f(x)＝－12x 2＋bln x ＋2在(0，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是__________．14．设函数f(x)＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R)，若对于x ∈[－1，1]，都有f(x)≥0，则实数a 的值为________． 15.如图所示，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A 、B 在抛物线上运动，C 、D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．16．已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2,2]表示过原点的曲线，且在x ＝±1处的切线的倾斜角均为34π，有以下命题：①f(x)的解析式为f(x)＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]． ②f(x)的极值点有且只有一个． ③f(x)的最大值与最小值之和等于零．其中正确命题的序号为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)若函数f(x)＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．18．(12分)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c在x ＝－23与x ＝1时都取得极值．(1)求a ，b 的值与函数f(x)的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f(x)<c 2恒成立，求c 的取值范围．19.(12分)已知函数f(x)＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a. (1)求f(x)的单调减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．20．(12分)某大型商厦一年内需要购进电脑5 000台，每台电脑的价格为4 000元，每次订购电脑的其它费用为1 600元，年保管费用率为10%(例如，一年内平均库存量为150台，一年付出的保管费用60 000元，则60 000150×4 000＝10%为年保管费用率)，求每次订购多少台电脑，才能使订购电脑的其它费用及保管费用之和最小？21.(12分)设a为实数，函数f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1.22．(12分)已知函数f(x)＝x 2＋ln x.(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；(2)求证：当x ∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图像在g(x)＝23x 3＋12x 2的下方．第四章导数应用(B)1．B [f ′(x)＝3x 2＋a.令3x 2＋a ≥0，则a ≥－3x 2，x ∈(1，＋∞)．∴a ≥－3.] 2．D [∵f ′(x)＝3x 2－6b ，由题意，函数f ′(x)图像如图所示．∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)<0，f ′(1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－6b<0，3－6b>0，得0<b<12.]3．C [∵f ′(x)＝x ′(1－x )－x (1－x )′(1－x )2＝1－x ＋x (1－x )2＝1(1－x )2>0，又x ≠1. ∴f(x)的单调增区间为(－∞，1)，(1，＋∞)．] 4．A [∵f ′(x)＝3x 2－3b ＝3(x 2－b)，若b ≤0，均不满足题意，若b>0，则由f ′(x)＝0，得x ＝±b ，由题意得0<b<1.∴0<b<1.]5．B [∵f ′(x)＝acos x ＋cos x ，由题意f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0，即a ·12＋12＝0，∴a ＝－1.]6．D [f ′(x)＝3x 2－6x 2＝3x(x －2)．令f ′(x)<0，得0<x<2.所以函数f(x)＝x 3－3x 2＋1的单调减区间为(0,2)．]7．A[由已知，⎩⎪⎨⎪⎧－b 2>0c －b24<0，b<0.f ′(x)＝2x ＋b ，只有A 适合．] 8．B [构造函数利用单调性． f(x)＝x 3＋x 2＋x ＋a ，f ′(x)＝3x 2＋2x ＋1，因为Δ＝－8<0，所以f ′(x)>0，所以f(x)在R 上单调递增．所以f(x)与x 轴有一个交点．即f(x)＝0只有一根．]9．B [利用导数求最值． y ′＝4－4x 3＝0，所以x ＝1，因为f(1)＝3，f(－1)＝－5，f(2)＝－8，所以，f(x)max ＝f(1)，f(x)min ＝f(2)．] 10．A [f ′(x)＝4x －x 2，令f ′(x)＝0，得x ＝0，x ＝4，比较f(0)，f(4)，f(6)，得f(x)max ＝f(4)＝323.]11．D [∵f ′(x)＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， ∴f ′(x)＝0在(－1,1)内无解，函数无极值点．] 12．D [由f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，得f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，根据已知条件⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＋3＝0，a 2＋a ＋b ＋1＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.(经检验应舍去)]13．(－∞，0]解析 ∵f ′(x)＝－x ＋b x ＝－x 2＋b x ，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，即f ′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，又x>0，故－x 2＋b ≤0在(0，＋∞)上恒成立，即b ≤x 2在(0，＋∞)上恒成立． ∴b ≤0. 14．4解析若x ＝0，则不论a 取何值，f(x)≥0，显然成立；当x>0，即x ∈(0,1]时， f(x)＝ax 3－3x ＋1≥0可转化为a ≥3x 2－1x 3，设g(x)＝3x 2－1x 3，则g ′(x)＝3(1－2x )x 4.所以g(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上单调递减，因此g(x)max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4；当x<0，即x ∈[－1,0)时，f(x)＝ax 3－3x ＋1≥0. 可转化为a ≤3x 2－1x 3，g(x)在区间[－1,0)上单调递增．因此g(x)min ＝g(－1)＝4，从而a ≤4，综上所述a ＝4. 15.439解析设CD ＝x (0<x<2)，则点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，0.点B 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22.∴矩形ABCD 的面积S ＝f(x)＝x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝－x 34＋x (x ∈(0,2))．由f ′(x)＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－23(舍)，x 2＝23，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，23时，f ′(x)>0，f(x)是递增的， x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，2时，f ′(x)<0，f(x)是递减的，当x ＝23时，f(x)取最大值439.16．①③解析 f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意得f(0)＝0，f ′(－1)＝f ′(1)＝tan 3π4＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝03－2a ＋b ＝－13＋2a ＋b ＝－1，∴a ＝0，b ＝－4，c ＝0.∴f(x)＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]．故①正确．由f ′(x)＝3x 2－4＝0得x 1＝－233，x 2＝233.根据x 1，x 2分析f ′(x)的符号、f(x)的单调性和极值点.∴x ＝－233是极大值点也是最大值点．x ＝233是极小值点也是最小值点．f(x)min ＋f(x)max ＝0.∴②错，③正确． 17．解 f ′(x)＝x 2－ax ＋a －1，由题意知f ′(x)≤0在(1,4)上恒成立，且f ′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．由f ′(x)≤0得x 2－ax ＋a －1≤0，即x 2－1≤a(x －1)． ∵x ∈(1,4)，∴x －1∈(0,3)， ∴a ≥x 2－1x －1＝x ＋1.又∵x ＋1∈(2,5)，∴a ≥5，① 由f ′(x)≥0得x 2－ax ＋a －1≥0，即x 2－1≥a(x －1)． ∵x ∈(6，＋∞)，∴x －1>0， ∴a ≤x 2－1x －1＝x ＋1.又∵x ＋1∈(7，＋∞)，∴a ≤7，② ∵①②同时成立，∴5≤a ≤7. 经检验a ＝5或a ＝7都符合题意，∴所求a 的取值范围为5≤a ≤7. 18．解 (1)f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，由f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝129－43a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0得a ＝－12，b ＝－2.f ′(x)＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，令f ′(x)>0，得x<－23或x>1，令f ′(x)<0，得－23<x<1.所以函数f(x)的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23和(1，＋∞)，递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.(2)f(x)＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，由(1)知，当x ＝－23时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝2227＋c 为极大值，而f(2)＝2＋c ，则f(2)＝2＋c 为最大值，要使f(x)<c 2，x ∈[－1,2]恒成立，则只需要c 2>f(2)＝2＋c ，得c<－1或c>2. 19．解 (1)f ′(x)＝－3x 2＋6x ＋9. 令f ′(x)<0，解得x<－1或x>3，所以函数f(x)的单调递减区间为 (－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)因为f(－2)＝8＋12－18＋a ＝2＋a ， f(2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，所以f(2)>f(－2)．因为在(－1,3)上f ′(x)>0，所以f(x)在[－1,2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值．于是有22＋a ＝20，解得a ＝－2. 故f(x)＝－x 3＋3x 2＋9x －2. 因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.20．解设每次订购电脑的台数为x ，则开始库存量为x 台，经过一个周期的正常均匀销售后，库存量变为零，这样又开始下一次的订购，因此平均库存量为12x 台，所以每年的保管费用为12x ·4 000·10%元，而每年的订货电脑的其它费用为5 000x·1 600元，这样每年的总费用为5 000x ·1 600＋12x ·4 000·10%元．令y ＝5 000x ·1 600＋12x ·4 000·10%， y ′＝－1x 2·5 000·1 600＋12·4 000·10%. 令y ′＝0，解得x ＝200(台)．也就是当x ＝200台时，每年订购电脑的其它费用及保管费用总费用达到最小值，最小值为80 000元．21．(1)解由f(x)＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x)＝e x －2，x ∈R.令f ′(x)＝0，得x ＝ln 2. 于是当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)．(2)证明设g(x)＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ，于是g ′(x)＝e x －2x ＋2a ，x ∈R.由(1)知当a>ln 2－1时，g ′(x)取最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.于是对任意x ∈R ，都有g ′(x)>0，所以g(x)在R 内单调递增．于是当a>ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，都有g(x)>0，即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.22．(1)解 ∵f(x)＝x 2＋ln x ，∴f ′(x)＝2x ＋1x .∵x>1时，f ′(x)>0，∴f(x)在[1，e]上是增函数，∴f(x)的最小值是f(1)＝1，最大值是f(e)＝1＋e 2.(2)证明令F(x)＝f(x)－g(x)＝12x 2－23x 3＋ln x ，∴F ′(x)＝x －2x 2＋1x ＝x 2－2x 3＋1x＝x 2－x 3－x 3＋1x ＝(1－x )(2x 2＋x ＋1)x. ∵x>1，∴F ′(x)<0，∴F(x)在(1，＋∞)上是减函数，∴F(x)<F(1)＝12－23＝－16<0. ∴f(x)<g(x)．∴当x ∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图像在g(x)＝23x 3＋12x 2的下方．。

2019_2020学年高中数学综合检测北师大版选修1_1

综合检测(时间90分钟满分100分) 第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“已知a ，b ∈R ，若a 2＋b 2＝0，即a ＝b ＝0”的否定是( ) A ．已知a ，b ∈R ，若a 2＋b 2≠0，则a ≠0且b ≠0 B ．已知a ，b ∈R ，若a 2＋b 2＝0，则a ≠0且b ≠0 C ．已知a ，b ∈R ，若a 2＋b 2＝0，则a ≠0或b ≠0 D ．已知a ，b ∈R ，若a 2＋b 2≠0，则a ≠0或b ≠0解析：命题“已知a ，b ∈R ，若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0”即命题“已知a ，b ∈R ，若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”，故其否定是“已知a ，b ∈R ，若a 2＋b 2＝0，则a ≠0或b ≠0”．答案：C2．已知双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)解析：∵a 2＝4，b 2＝－k ， ∴c 2＝4－k .∵e ∈(1,2)，∴c 2a 2＝4－k4∈(1,4)，k ∈(－12,0)．答案：B 3．设曲线f (x )＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2 B.12 C ．－12D ．－2解析：∵f ′(x )＝x －1－(x ＋1)(x －1)2＝－2(x －1)2，∴f ′(3)＝－12.又∵(－a )×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，∴a ＝－2. 答案：D4．下列说法中正确的是( )A ．命题“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题是真命题B ．命题“存在x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“对任意x ∈R ，x 2－x ≤0” C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题 D ．已知x ∈R ，则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件解析：命题“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为“若a <b ，则am 2<bm 2”，当m ＝0时，是假命题，故A 不正确；命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和“q ”中至少有一个为真命题，故C 不正确；x >2⇒x >1，而x >1⇒/ x >2，则“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，故D 不正确．答案：B5．函数f (x )＝x 3－3x 2＋7的极大值是( ) A ．－7 B ．7 C ．3D ．－3解析：f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，即3x 2－6x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2.当x <0时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.∴f (x )的极大值是f (0)＝7.答案：B6．设p ：x 2－3ax ＋2a 2≤0，其中a >0；q ：18<2x <8.若p 是q 的充分不必要条件，则实数a的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 答案：C7．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 242－y 232＝1B.x 2132－y 252＝1 C.x 232－y 242＝1 D.x 2132－y 2122＝1 解析：对于椭圆C 1，∵长轴长2a 1＝26，∴a 1＝13，又离心率e 1＝c 1a 1＝513，∴c 1＝5.由题意知曲线C 2为双曲线，且与椭圆C 1同焦点，∴c 2＝5，又2a 2＝8，∴a 2＝4，b 2＝c 22－a 22＝3，又焦点在x 轴上，故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1.故选A.答案：A8．函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．(－∞，3)C ．(0，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 解析：y ′＝3x 2－2a ，∵函数在区间(0,1)内有极小值， ∴0<2a 3<1，即0<a <32. 答案：D9．已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，右焦点为F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，35B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－355，355C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，54 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－574，574解析：依题意，得m ＝3，所以x 225＋y 29＝1.以原点为圆心，c ＝4为半径作圆，则F 1F 2是圆的直径．若P 在圆外，则∠F 1PF 2为锐角；若P 在圆上，则∠F 1PF 2为直角；若P 在圆内，则∠F 1PF 2为钝角．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 225＋y 29＝1x 2＋y 2＝16，消去y ，得x ＝±574.故结合图形(图略)可知－574<x <574.答案：D10．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图像不可能为y ＝f (x )的图像的是( )解析：设h (x )＝f (x )e x，则h ′(x )＝(2ax ＋b )e x＋(ax 2＋bx ＋c )e x ＝(ax 2＋2ax ＋bx ＋b ＋c )e x .由x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，得当x ＝－1时，ax 2＋2ax ＋bx ＋b ＋c ＝c －a ＝0，∴c ＝a .∴f (x )＝ax 2＋bx ＋a .若方程ax 2＋bx ＋a ＝0有两根x 1，x 2，则x 1x 2＝a a＝1，D 中图像一定不满足该条件．答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 11．已知命题p ：函数f (x )＝mx 2－(2－m )x ＋14的定义域是R ，若p 是真命题，则实数m的取值范围为__________．解析：∵函数f (x )＝mx 2－(2－m )x ＋14的定义域是R ，∴mx 2－(2－m )x ＋14≥0对任意的x ∈R 恒成立．当m ＝0时，－2x ＋14≥0，不合题意；当m ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧m >0[－(2－m )]2－4m ×14≤0，解得1≤m ≤4.综上，若p 是真命题，则实数m 的取值范围是[1,4]．答案：[1,4]12．已知正项等比数列{a n }中的a 1，a 7是函数，f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －3的极值点，则log6a 4＝__________.解析：∵f ′(x )＝x 2－8x ＋6，∴a 1·a 7＝6.又{a n }为正项等比数列，∴a 24＝a 1·a 7＝6，∴a 4＝ 6. ∴log6a 4＝log66＝1.答案：113．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF →＝2FD →，则C 的离心率为________．解析：设椭圆C 的焦点在x 轴上，如图，B (0，b )，F (c ，0)，D (x D ，y D )，则BF →＝(c ，－b )，FD →＝(x D －c ，y D )，∵BF →＝2FD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2(x D －c )，－b ＝2y D ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝3c 2，y D＝－b2.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22b2＝1，即e 2＝13，∴e ＝33.答案：3314．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为245，则此双曲线方程是________．解析：由已知得椭圆中a ＝5，b ＝3， ∴c ＝4，且它的焦点在y 轴上，故双曲线的焦点也应在y 轴上且为(0,4)和(0，－4)，又椭圆的离心率为e ＝c a ＝45，∴双曲线的离心率为2，即c a＝2，又c ＝4，∴它的实半轴长为2，虚半轴长的平方为b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12，则双曲线方程为y 24－x 212＝1.答案：y 24－x 212＝1三、解答题(本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，0)上是增函数，在[0,2]上是减函数，且方程f (x )＝0的一个根为2.(1)求c 的值； (2)求证：f (1)≥2.解析：(1)∵f (x )在(－∞，0)上是增函数，在[0,2]上是减函数，∴f ′(0)＝0. ∵f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，∴f ′(0)＝c ＝0. ∴c ＝0.(2)证明：∵f (2)＝0，∴8＋4b ＋2c ＋d ＝0，而c ＝0，∴d ＝－4(b ＋2)．∵方程f ′(x )＝3x 2＋2bx ＝0的两个根分别为x 1＝0，x 2＝－23b ，且f (x )在[0,2]上是减函数，∴x 2＝－23b ≥2，∴b ≤－3.∴f (1)＝b ＋d ＋1＝b －4(b ＋2)＋1 ＝－7－3b ≥－7＋9＝2. 故f (1)≥2.16．(10分)已知m ∈R ，对p ：x 1和x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个根，不等式|m －5|≤|x 1－x 2|对任意实数a ∈[1,2]恒成立；q ：函数f (x )＝3x 2＋2mx ＋m ＋43有两个不同的零点．求使“p 且q ”为真命题时实数m 的取值范围．解析：由题设知x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝－2，∵|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8.当a ∈[1,2]时， a 2＋8的最小值为3.要使|m －5|≤|x 1－x 2|对任意实数a ∈[1,2]恒成立，只需|m －5|≤3，即2≤m ≤8.由已知，得f (x )＝3x2＋2mx ＋m ＋43＝0的判别式Δ＝4m 2－12(m ＋43)＝4m 2－12m －16>0，得m <－1或m >4.综上，要使“p 且q ”为真命题，只需p 真q 真，即⎩⎪⎨⎪⎧2≤m ≤8，m <－1或m >4，解得实数m 的取值范围是(4,8]．17．(12分)某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0≤x ≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解析：(1)设商品降价x 元，则多卖出的商品数为kx 2，若记商品在一个星期的获利为f (x )，则依题意有f (x )＝(30－x －9)(432＋kx 2) ＝(21－x )(432＋kx 2)．又由已知条件，24＝k ×22，于是有k ＝6.所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,30]． (2)根据(1)有f ′(x )＝－18x 2＋252x －432 ＝－18(x －2)(x －12)．x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：30－12＝18元时，能使一个星期的商品销售利润最大．18．(12分)如图，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，设点P(a，b)满足△PF1F2是等腰三角形．(1)求该椭圆的方程．(2)过x轴上的一点M(m,0)作一条斜率为k的直线l，与椭圆交于A，B两点，问是否存在常数k，使得|MA|2＋|MB|2的值与m无关？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2c＝2(a－1)2＋b2＝4c2＝a2－b2，解得⎩⎨⎧a＝2b＝3，故所求椭圆的方程为x24＋y23＝1.(2)假设存在满足题意的常数k.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y＝k(x－m)x24＋y23＝1，消去y整理得(3＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－12＝0.在Δ>0的情况下，有⎩⎪⎨⎪⎧x1＋x2＝8k2m3＋4k2x1x2＝4k2m2－123＋4k2，|MA|2＋|MB|2＝(1＋k2)[(x1－m)2＋(x2－m)2]＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－2x1x2－2m(x1＋x2)＋2m2]＝1＋k2(3＋4k2)2[(－24k2＋18)m2＋96k2＋72]．令－24k2＋18＝0，得k2＝34，即k＝±32.此时|MA|2＋|MB|2的值与m无关．。

2019-2020年高中数学章末质量评估1北师大版选修

、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分•在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）1 •下列两个变量之间的关系，不是函数关系的是（）A.角度和它的余弦值 B.正方形的边长和面积 C.正n 边形的边数和内角和D.母亲的身高与子女的身高解析：变量是否具有函数关系，关键看两个变量是否具有 --- 对应关系. 答案： D2 .对于线性相关系数 r ，叙述正确的是（）A. | r | € （0 ,+^）, | r |越大，相关程度越大，反之相关程度越小B. r € （ -m ,+m）, r 越大，相关程度越大，反之，相关程度越小C.| r | wi 且|r |越接近于1,相关程度越大；|r |越接近于0，相关程度越小D. 以上说法都不对解析：由相关关系的概念可知， C 正确. 答案： C 3. 给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据（变量x , y 的单位都为：kg ）:C. (31,400)D. (32,401)解析：回归直线必过样本点的中心 (x , y ),计算得到 x = 30, y 〜399. 答案： B4.某班主任对全班 50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表所示:A. 45,8 C. 9,8 D. 54,52则表中a、b的值分别为（）解析：•/ a+ 18= 27,「. a= 9.又18+ b = 26,「. b= 8.故选 C.答案：C5. 设有一个回归方程为y= 3-2x,变量x增加一个单位时（）A. y平均增加2个单位B. y平均减少3个单位C. y平均减少2个单位D. y平均增加3个单位解析：•/ [3 —2（x+ 1）] —（3 —2x）= - 2,••• y的值平均减少2个单位.答案：C6. 某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x（千元）与居民人均消费水平y（千元）统计调查，y与x具有相关关系，回归方程为y= 0.66 x+1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（）A. 83%B. 72%C. 67%D. 66%解析：将y= 7.675代入回归方程，可计算得x~9.26，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7.675 - 9.26疋0.83，即约为83%.答案：A7•对四对变量Y和x进行线性相关检验，已知n是观测值组数，r是相关系数，且已知：◎n= 7, r = 0.953 3 :②门二15, r = 0.301 2 ;3n= 17, r = 0.499 1 ;④n= 3, r = 0.995 0.则变量Y和x具有线性相关关系的是（）A.①和②B.①和③C.②和④D.③和④解析：由于小概率0.05与n —2在附表中分别查得：① r0.05 = 0.754 :② r0.05 = 0.514 :③ r0.05 = 0.482 :④ r 0.05 = 0.997.因此知①、③中相关系数比r oe大，变量Y和x具有线性相关关系.而②、④中的相关系数小于「0.05，故变量Y与x不具有线性相关关系.答案：B&冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调查结果如下表所示：根据以上数据，则（）A.含杂质的高低与设备改造有关B. 含杂质的高低与设备改造无关C. 设备是否改造决定含杂质的高低D. 以上答案都不对解析：由已知数据得到如下2X2列联表:由公式X 2昭汀X202-121X22158X 224X 59X323 13.11.由于13.11 > 6.635，故有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的.答案：A9.已知某车间加工零件的个数x与所花费时间Y(h)之间的回归直线方程为y = 0.01 x + 0.5，则加工600个零件大约需要()A. 6.5 hB. 5.5 hC. 3.5 hD. 0.5 h解析：依题意，加工600个零件大约需要0.01 X 600+ 0.5 = 6.5(h).答案：A10.甲、乙两人抢答竞赛题，甲答对的概率为5，乙答对的概率为4则两人中恰有一人5 4答对的概率为7A.20B. 12 20D. _2 20解析：设甲答对为事件A,乙答对为事件B, A、B相互独立.P(A) = 5 P(B)=扌，贝VC.20甲、乙两人中恰有一人答对的概率为P(C) = P(AB + AB) = P(AB) + R AB) =P^A)P( B) + P(A)R B)1 1 113 4 75 . 4 T 5 4 20 20 20答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)11.某人一周晚上值班2次，在已知他星期日一定值班的前提下，其余晚上值班所占的概率为_________ .2解析：本题为条件概率，在星期日一定值班的前提下，只需再从其余6天中选一天值班即可，概率为6.1答案：612.若施化肥量x与小麦产量y之间的回归直线方程为y= 250+ 4x,当施化肥量为50 kg 时，预计小麦产量为________ kg.解析：把x= 50 kg 代入y = 250+ 4x，可求得y= 450 kg.答案：45013•考察棉花种子是否经过处理跟生病之间的关系，得下表所示的数据:解析：7 = 3+5+2+8+9+12= 6.5.66—2 ^2 _2 ^2 ^2 小2 2j X i = 3 + 5 + 2 + 8 + 9 + 12 = 327,i =16' xy = 3X 4+ 5X 6+ 2X 3+ 8X 9+ 9X 12+ 12X 14= 396.i =1396-6X 6.5 X8 b= — ~ 1.143 , a= 8 — 1.143 X 6.5 ~ 0.57.327 —6X 6.5回归直线方程为y= 1.143X + 0.57.答案：y = 1.143x+ 0.57三、解答题（本大题共4小题，满分50分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或种子处理种子未处理合计得病32101133不得病61213274合计93314407根据以上数据得x 2的值是 ________ .解析：直接代入公式计算得x 2=0.164.4 + 6+ 3+ 9 + 12+ 146 =8.回归直线方程为______________演算步骤)15. (本小题满分12分)甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分1 1别为2与p,且乙投球2次均未命中的概率为池.(1) 求乙投球的命中率p；(2) 求甲投球2次，至少命中1次的概率.解析：(1)方法一：设"甲投球一次命中”为事件A,"乙投球一次命中”为事件 B.2 2 1由题意得(1 - P( B)) = (1 —P) = 16,解得P= 3或p=5(舍去)，3所以乙投球的命中率为-.4方法二：设"甲投球一次命中”为事件A,"乙投球一次命中”为事件B.1由题意得P( B)P( B) = 16，1 1于是R B) = 4或P( B) =-4(舍去)，3故p= 1 - P( B) = 4,3所以乙投球的命中率为；.41 — 1(2) 由题设和(1)知，P(A) = 2, P( A) = ,3故甲投球2次至少命中1次的概率为1 —P( A A)=.416. (本小题满分12分)为了调查经常参加体育锻炼能否预防感冒，经统计得到数据列入下表：试问：经常参加体育锻炼能否预防感冒?解析：这是一个独立性检验冋ad —be由公式X 2=a+ b c+ d a + e b+ d2因为79.59>6.635，所以我们有99%勺把握说经常参加体育锻炼能有效地预防感冒.17. (本小题满分12分)在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：(1) 第1次抽到理科题的概率；(2) 第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3) 在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率.解析：设第1次抽到理科题为事件A,第2次抽到理科题为事件B,则第1次和第2 次都抽到理科题为事件AB(1)从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为n( Q ) = A5= 20.根据分步乘法计数原理，n(A) = A XA；= 12.12 320 5'(2)因为n(AB = A3= 6,⑶方法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率_3, P AB 10 1为RBA)=irp—=3=25方法二：因为n(AB = 6, n(A) = 12,n AB 6 1所以RB I A)= 2.18. (本小题满分14分)某公司利润y(单位：千万元)与销售总额x(单位：千万元)之间有如下对应数据：(1) 画出散点图；(2) 判断y与x是否具有线性相关关系，若有，求出其线性回归方程. 解析：(1)画散点图如图所示.議x -S2X 10-1 -206X16-1268X 268X 226X310〜79.597,于是所以RAB =n AB nQ解析：疑问句不能判断真假，因此不是命题.D 是命题，且是个特称命题.答案： A2.已知命题："若 x >0, y >0,则xy >0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是 ( )A. 1个B. 2个C. 3个解析：原命题是真命题，逆否命题为真命题，逆命题为"若 xy >0,则x >0, y >0”20(2)从散点图可看出各样本点都在一直线附近摆动，所以x 、y 之间存在线性相关关系.由表格数据可得:7、x 2 = 3 447 , i =17二X i y i = 346.3 , x = 21, y = 2.1 ,i= 1进而可求得b =7' X i y i — 7 x yi = 1346.3 — 7X 21 x 2.12 0 1043 447 — 7X 21272 2 ' X i - 7xi = 1a = y —b x = 2.1 — 0.104 x 21 = - 0.084.••• x , y 之间的线性回归方程为 y =— 0.084 + 0.104 x .一、选择题(本大题共12小题，每小题只有一项是符合题目要求的 )1. 下列语句中，不能成为命题的是 ( A.指数函数是增函数吗？C.若 a 丄b ,则 a • b = 05分，共60分.在每小题给出的四个选项中, )B. 2 012>2 013D.存在实数x o ,使得x o <0D. 4个是假命题，则否命题为假命题.答案：B3. 设a€ R,则"a= 1”是"直线l i: ax+ 2y —1 = 0与直线丨2：x + 2y+ 4 = 0平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：先求出两直线平行的条件，再判断与a= 1 的关系．若I i//丨2，贝y 2a—2= 0,「. a= 1.故a= 1是11 // 12的充要条件.答案：C4. 命题p：x+y 丰3,命题q：x工1且y丰2,那么命题p是命题q的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D既不充分也不必要条件解析：pq,且qp.所以选D.答案：D5．下列命题中是全称命题并且是真命题的是( )A. 每个二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点B. 对任意非正数c,若a< b+ c,则a< bC. 存在一个菱形不是平行四边形D. 存在一个实数x使不等式x2—3x+ 7<0成立解析：A, B为全称命题，但A为假命题；B是真命题.答案：B6下列命题是真命题的是( )A“若x= 0,则xy = 0”的逆命题B“若x= 0,贝U xy =0”的否命题C若x>1 ,则x>2D“若x= 2,则(x —2)(x—1) = 0”的逆否命题解析：A中逆命题为：若xy = 0,则x= 0，错误；选项B中，否命题为：若x丰0,则xy z0,错误；选项C中，若x>1，则x>2，显然不正确；D选项中，因为原命题正确，所以逆否命题正确．答案：D7.有下列命题：①2012年10月1日是国庆节，又是中秋节；②9的倍数一定是3的倍数；③方程x2= 1的解是x =± 1.其中使用逻辑联结词的命题有()A. 1个B. 2个C 3个D 0个解析：①中有“且”；②中没有；③中有“或”.答案： B则下列判断正确的是（）A. p 是真命题B. q 是假命题C.? p 是假命题D. ? q 是假命题21 f 1 "2解析： •••任意x € R, x — x + 4 = x — 2 >0恒成立， •••命题p 假,? p 真；又 sin x + cos x = 2sin i x +寸，当 sin j x + ： = 1 时， sin x + cos x =寸2, • q 真,? q 假. 答案： D 9.给定下列命题：① “ x >1 ”是“ x >2”的充分不必要条件；1 n② “若Sin a工乙，贝U a 工玄”； 2 6③ “若xy = 0,则x = 0且y = 0”的逆否命题；2 __________________________④ 命题"？ x o € R,使x o — x o + K 0”的否定. 其中假命题的序号是（）A.①②③B.②④C.①③D.②③④解析： “x >1 ”是“ x >2”的必要不充分条件，①错误；②的逆否命题为：若则sin a = 2■正确，故②正确；若 xy = 0,则x = 0或y = 0,③错误；④正确.答案： C10.不等式（a + x ）（1 + x ）<0成立的一个充分而不必要条件是— 2<x < — 1，则a 的取值范围是（）A. a < — 2B. a >2C. a <— 2D. a >2解析：不等式变形为（x + 1）（ x + a ）<0，因当一2<x <— 1时不等式成立，所以不等式的解为一a <x < — 1. ••— 2>— a ,即 a >2,故选 D.答案： D&已知命题 P ：任意x € R,使 21x — X + 4v 0,命题 q :存在 x € R , 使 sin x + cos x =2,冗11. 下列说法错误的是（）A. 如果命题“？p”与命题“ p或q”都是真命题，那么命题q —定是真命题B. 命题p: ? X0 € R, x2+ 2x0 + 2< 0,则？p: ? x € R, x2+ 2x + 2>0C. 命题“若a, b都是偶数，则a+ b是偶数”的否命题是“若a, b都不是偶数，则a + b不是偶数”D. 特称命题“ ？x € R,使一2x? + X —4 = 0”是假命题解析：A中？p是真命题，则p是假命题，p或q是真命题，/• q是真命题，故A正确.B 中，特称命题的否定是全称命题，B正确.C中，命题的否命题应为“若a, b不都是偶数，则a+ b不是偶数”，故C错误.D中，方程—2x2+ x —4= 0无实根，D正确.答案：C12. 下列命题中为真命题的是()1A. 若XM0,贝U x+ —>2xB. “ a= 1”是“直线x—ay = 0与直线x + ay= 0互相垂直”的充要条件C. 直线a, b为异面直线的充要条件是直线a, b不相交D. 若命题p：“? x€ R, x2—x—1>0”，则命题p 的否定为：“？x € R, x2—x—K 0”解析：命题A为假命题；当x v 0时不成立；直线x—ay= 0与直线x + ay= 0互相垂直的充要条件是a=± 1,故B为假命题；显然命题C也是假命题.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上)13. ______________________________________ “对顶角相等”的否定为____ ，否命题为__________________________________________________ .解析：“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”.答案：对顶角不相等若两个角不是对顶角，则它们不相等14. a= 3是“直线I仁ax+ 2y + 3a = 0和直线12: 3x+ (a—1)y= a—7平行且不重合”的________ 条件.解析：当a= 3 时，11: 3x+ 2y+ 9 = 0, 12 ：3x+ 2y+ 4= 0 ,「. I 1 // I 2.反之，若11 // I2,贝y a(a—1) = 6，即a= 3 或a=—2,但a=— 2 时，l 1 与12重合.答案：充要15. __________________________________________________________________ 若“任意x€ R, x2—2x—m>0”是真命题，则实数m的取值范围是_______________________ .2解析：由4 = ( —2) — 4 x ( —n)<0，得n< — 1.答案：(—R,—1)16. ______________________________ 下列说法中正确的是 .(填序号)①命题“若an i v bn2，则a v b”的逆命题是真命题；②“ a>0”是“| a| >0”的充分不必要条件；③命题“ P或q”为真命题，则命题"p”和命题"q”均为真命题；④"b= 0”是"函数f(x) = ax2+ bx+ c是偶函数”的充要条件.解析：命题"若am i v bn2，贝U a v b”的逆命题为"若a v b,贝U arm< bm i"，当m= 0 时，不成立，是假命题，故①不正确；若a>0,则|a| >0，所以“ a>0”是“| a| >0”的充分条件；若| a| >0,则a>0或a < 0，所以“ a>0”不是a| >0”的必要条件.故②正确.命题“ p或q”为真命题，则命题“ p”和“ q”中至少有一个为真命题.故③不正确.b= 0时f (x) = ax2+ bx+ c是偶函数.函数f (x) = ax2+ bx+ c是偶函数时b= 0,故④正确.答案：②④三、解答题(本大题共6小题，共74分•解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本小题满分12分)写出命题“若，x —2 + (y + 1)2= 0,则x= 2且y= —1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.解析：逆命题：若x = 2且y =—1，^「x—2+ (y+ 1)2= 0,真命题.否命题：若，x —2 + (y + 1)2工0,贝U x^2或y z—1,真命题. 逆否命题：若x z2或y M—1,^U .X —2+ (y + 1)2工0,真命题.18. (本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假.(1) p：不论m取何实数，方程x2+ mx- 1 = 0必有实数根；(2) p:存在一个实数x，使得3x<0 ；(3) p：若a n=—2n+ 1，则？n€ N,使S<0；(4) p:有些偶数是质数.解析：(1)这一命题可表述为p：对任意的实数m方程x2+ mx- 1 = 0必有实数根.其否定为？p：存在一个实数m使方程x2+ mx- 1 = 0没有实数根.因为该方程的判别式△= m+4>0恒成立，故？p 为假命题.(2) ? p：对于所有的实数X,都满足3x>0.显然？p为真命题.(3) ? p：若a n=—2n+ 1,则？n€ N, S》0.(假)(4) ? p：所有偶数都不是质数.(假)19. (本小题满分12分)设命题p：c <c和命题q：对？x€ R, x + 4cx + 1>0,且p V q 为真，p A q为假，求实数c的取值范围.解析：解不等式c2<c，得0<c<1,即命题p：0<c<1,•••命题？p：c W0 或c> 1.1 1 又由(4c)—4<0,得一2<c<2,11 11 即命题q：—2<c<2，二命题? q：c<—2或C>-,由p V q为真，知p与q中至少有一个为真，由p A q为假，知p与q中至少有一个为假，所以p与q中一个为真命题，一个为假命题.1 当p真q假时，实数c的取值范围是2 w c<1 ；1 当P假q真时，实数c的取值范围是一2<c w 0;1 1综上所述，实数c的取值范围是—2<c W0或c<1.20. (本小题满分12 分)已知p：| x —3| w 2, q：(x —1)( x —m—1) w 0,若？p 是？q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围.解析：由题意p：—2w x —3w2,1 w x w 5./•? p：x v 1 或x> 5.q：m— 1 w x w 1,.?q：x v m— 1 或x> 1.又'/? p是？q的充分而不必要条件，rn-1 > 1,m+1 w 5.2w m w 4.21. (本小题满分12分)已知ab z0,求证：a+ b= 1的充要条件是a3+ b3+ ab—a2—b2=0.证明：必要性：••• a+ b= 1,b= 1 —a.…a + b + ab—a —b3 3 2 2=a + (1 —a) + a(1 —a) —a —(1 —a)3 2 3 2 2 2=a + 1 —3a+ 3a —a + a—a —a — 1 + 2a—a = 0.充分性：••• a3+ b3+ ab—a2—b2= 0,2 2 2 2即(a+ b)( a —ab+ b) —(a —ab+ b) = 0,2 2•• (a — ab + b )( a + b — 1) = 0, 又 ab z 0, 即卩 a zo 且 b z 0,22b 2 3b亠••• a -ab + b = Q —厅 i+丁工0,只有 a + b = 1.4综上可知，当 ab ^0时，_ 3322a +b = 1的充要条件是 a + b + ab — a — b = 0.22. (本小题满分14分)给出两个命题：命题甲：关于x 的不等式x 2 + (a — 1)x + a 2<0的解集为？，命题乙: 为增函数. 分别求出符合下列条件的实数a 的范围.(1) 甲、乙至少有一个是真命题； (2) 甲、乙中有且只有一个是真命题.解析：甲命题为真时，△ = (a — 1)2— 4a 2v 0,1 即 a >-或 a v — 1. 3乙命题为真时，2a 2— a > 1,1即a > 1或a v —勺(1) 甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集, a 的取值范围是ja a v — 2 或a >gr . (2) 甲、乙中有且只有一个是真命题，有两种情况：1 1甲真乙假时，3V a < 1,甲假乙真时，一1< a <— ^, •••甲、乙中有且只有一个真命题时， a 的取值范围为 1 1ia 3 v a < 1或一1< a v —2xy = (2 a — a )。

北师大版高中数学选修1-1章末综合测评(三) 变化率与导数.docx

章末综合测评(三) 变化率与导数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若y＝5x，则y′＝( )A.15x4B．155x4C.5x43D．15x x【解析】y＝x 15，则y′＝15x-45＝155x4.【答案】 B2．某质点沿直线运动的位移方程为f(x)＝－2x2＋1，那么该质点从x＝1到x＝2的平均速度为( )A．－4 B．－5C．－6 D．－7【解析】v＝f(2)－f(1)2－1＝－2×22＋1－(－2×12＋1)2－1＝－6.【答案】 C3．如果物体做S(t)＝2(1－t)2的直线运动，则其在t＝4 s时的瞬时速度为( )A．12 B．－12C．4 D．－4【解析】S(t)＝2(1－t)2＝2t2－4t＋2，则S′(t)＝4t－4，所以S′(4)＝4×4－4＝12.【答案】 A4．曲线y＝e x在点A(0,1)处的切线斜率为( )A ．1B ．2C ．eD ．1e【解析】由题意知y ′＝e x ，故所求切线斜率k ＝e x |x ＝0＝e 0＝1. 【答案】 A5．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( )A ．－1B ．12C ．－2D ．2【解析】 ∵y ′＝－sin 2 x －(1＋cos x )cos x sin 2 x ＝－1－cos xsin 2x ，又f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，∴1a ＝－1，∴a ＝－1，故选A. 【答案】 A6．(2016·淮北高二检测)若曲线y ＝f (x )＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1【解析】 y ′＝2x ＋a ，∴f ′(0)＝a ＝1，∴y ＝x 2＋x ＋b ，又点(0，b )在切线上，故－b ＋1＝0， ∴b ＝1. 【答案】 A7．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图像的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图像是( )【解析】 f ′(x )＝2x ＋b ，因为f (x )顶点⎝⎛⎭⎪⎫－b 2，4c －b 24在第四象限．所以b <0，则f ′(x )图像与y 轴交于负半轴．【答案】 A8．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4【解析】 y ′＝3x 2－1≥－1，则tan α≥－1. ∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 【答案】 B9．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 在点(1,2)处的切线与其平行直线bx ＋y ＋c ＝0间的距离是( )A.24 B ．22C.322D ． 2【解析】 ∵抛物线过点(1,2)，∴b ＋c ＝1.又∵f ′(1)＝2＋b ，由题意得2＋b ＝－b ，∴b ＝－1，c ＝2. ∴所求的切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0，∴两平行直线x －y ＋1＝0和x －y －2＝0间的距离d ＝|1＋2|2＝322.【答案】 C10．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]【解析】 ∵f ′(x )＝x 2sin θ＋3x cos θ， ∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，所以θ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，3π4，所以sin⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，故f ′(1)∈[2，2]．【答案】 D11．过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( ) A ．2x ＋y ＋2＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0【解析】 y ′＝2x ＋1，设所求切线的切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)．则x 20＋x 0＋1x 0＋1＝2x 0＋1，∴x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，曲线y ＝x 2＋x ＋1在点(0,1)处的切线斜率为1，方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0.当x 0＝－2时，切线方程为3x ＋y ＋3＝0.【答案】 D12．点P 是曲线x 2－y －2ln x ＝0上任意一点，则点P 到直线4x ＋4y ＋1＝0的最短距离是( )A.22(1－ln 2) B ．22(1＋ln 2) C.22⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋ln 2 D ．12(1＋ln 2)【解析】将直线4x ＋4y ＋1＝0平移后得直线l ：4x ＋4y ＋b ＝0，使直线l 与曲线切于点P (x 0，y 0)，由x 2－y －2ln x ＝0得y ′＝2x －1x，∴直线l 的斜率k ＝2x 0－1x 0＝－1解得x 0＝12或x 0＝－1(舍去)，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14＋ln 2，所求的最短距离即为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14＋ln 2到直线4x ＋4y ＋1＝0的距离d ＝|2＋(1＋4ln 2)＋1|42＝22(1＋ln 2)．【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)13．若y ＝－3cot x ，则y ′＝________.【导学号：63470074】【解析】 y ′＝－3(cot x )′＝－3·－1sin 2x ＝3sin 2x. 【答案】3sin 2x14．下列四个命题中，正确命题的序号为________．①若f (x )＝x ，则f ′(0)＝0；②(log a x )′＝x ln a ；③加速度是质点的位移s 对时间t 的导数；④曲线y ＝x 2在点(0,0)处有切线．【解析】 ①因为f ′(x )＝12x，当x 趋近于0时平均变化率不存在极限，所以函数f (x )在x ＝0处不存在导数，故错误；②(log a x )′＝1x ln a，故错误；③瞬时速度是位移s 对时间t 的导数，故错误；④曲线y ＝x 2在点(0,0)处的切线方程为y ＝0，故正确．【答案】 ④15．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝x 3＋2的一条切线，则k 的值为________．【解析】设切点为M (x 0，y 0)，则y 0＝x 30＋2，① y 0＝kx 0，② ∵y ′＝3x 2，∴k ＝3x 20， ③ 将③代入②得y 0＝3x 30， ④将④代入①得x 0＝1， ∴y 0＝3，代入②得k ＝3. 【答案】 316．(2016·临沂高二检测)设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.【解析】因为f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos π2－sin π2.即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x ，故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2.【答案】－ 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t2＋2t 2(路程单位：m ，时间单位：s)，求s ′(3)，并解释它的实际意义.【导学号：63470075】【解】 ∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2， ∴s ′(t )＝－1t2＋2·1t3＋4t ，∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327m/s.18．(本小题满分12分)求过曲线y ＝cos x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与过这点的切线垂直的直线方程．【解】 ∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x . 曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12处的切线斜率是y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32. ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为23. ∴所求直线方程为y －12＝23⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.19．(本小题满分12分)求满足下列条件的函数f (x )．(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0； (2)f (x )是二次函数，且x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1. 【解】 (1)由题意设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由已知⎩⎨⎧f (0)＝d ＝3，f ′(0)＝c ＝0，f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝－3，f ′(2)＝12a ＋4b ＋c ＝0，解得a ＝1，b ＝－3，c ＝0，d ＝3.故f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由题意设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .所以x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1，化简得(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c ＝1，此式对任意x 都成立，所以⎩⎨⎧a ＝b ，b ＝2c ，c ＝1，得a ＝2，b ＝2，c ＝1，即f (x )＝2x 2＋2x ＋1.20．(本小题满分12分)已知两曲线f (x )＝x 3＋ax 和g (x )＝x 2＋bx ＋c 都经过点P (1,2)，且在点P 处有公切线，试求a ，b ，c 的值．【解】 ∵点P (1,2)在曲线f (x )＝x 3＋ax 上， ∴2＝1＋a ，∴a ＝1，函数f (x )＝x 3＋ax 和g (x )＝x 2＋bx ＋c 的导数分别为f ′(x )＝3x 2＋a 和g ′(x )＝2x ＋b ，且在点P 处有公切线，∴3×12＋a ＝2×1＋b ，得b ＝2，又由点P (1,2)在曲线g (x )＝x 2＋bx ＋c 上可得2＝12＋2×1＋c ，得c ＝－1. 综上，a ＝1，b ＝2，c ＝－1.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 在x ＝14处的切线为l ，直线g (x )＝kx ＋94与l 平行，求f (x )的图像上的点到直线g (x )的最短距离．【解】因为f (x )＝x ，所以f ′(x )＝12x.所以切线l 的斜率为k ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1，切点为T ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.所以切线l 的方程为x －y ＋14＝0.因为切线l 与直线g (x )＝kx ＋94平行，所以k ＝1，即g (x )＝x ＋94.f (x )的图像上的点到直线g (x )＝x ＋94的最短距离为切线l ：x －y ＋14＝0与直线x －y ＋94＝0之间的距离，所以所求最短距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪94－142＝ 2.22．(本小题满分12分)已知直线l 1为曲线f (x )＝x 2＋x －2在点P (1,0)处的切线，l 2为曲线的另一条切线，且l 2⊥l 1.(1)求直线l 2的方程；(2)求直线l 1，l 2与x 轴所围成的三角形的面积S .【解】 (1)设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，由题意可知k 1＝f ′(1)＝3，故直线l 1的方程为y ＝3x －3，由l 1⊥l 2，可知直线l 2的斜率为－13，设l 2与曲线相切于点Q (x 0，y 0)，则k 2＝f ′(x 0)＝－13，解得x 0＝－23，代入曲线方程解得y 0＝－209，故直线l 2的方程为y ＋209＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23，化简得到3x ＋9y ＋22＝0.(2)直线l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0，联立⎩⎨⎧3x －y －3＝0，3x ＋9y ＋22＝0解得两直线交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－52，故所求三角形的面积S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－223－1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52＝12512.。