用直接开平方法解一元二次方程Doc1
§12.2一元二次方程的解法(1)——直接开平方法
§12.2一元二次方程的解法（1）——直接开平方法各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢[课题] §12。
2 一元二次方程的解法（1）——直接开平方法[教学目的] 使学生掌握直接开平方法，并会解某些一元二次方程；使学生会解（x－a）2=b （b≥0）型的方程，为进一步学习公式法作好准备。
[教学重点] 掌握直接开平方法，并会解某些一元二次方程。
[教学难点] 会解（x－a）2=b（b≥0）型的方程。
[教学关键] 会解（x－a）2=b（b≥0）型的方程，为进一步学习公式法作好准备。
[教学用具] [教学形式] 讲练结合法。
[教学用时] 45′×1[教学过程][复习提问] 1、什么叫做整式方程？（方程两边都是关于未知数的整式，叫做整式方程。
）2、什么样的方程叫做一元一次方程？什么样的方程叫做一元二次方程？（在整式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的方程叫做一元一次方程；在整式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程。
）3、说明一元一次方程与一元二次方程的相同点和不同点？（都是整式方程，并且都含有一个未知数，这是它们的相同点；它们的不同点是未知数的次数，一个是一次，一个是二次。
）4、一元二次方程的一般形式是什么？其中a应具备什么条件？（一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0，其中a应不等于零。
因为a=0，则方程ax2+bx+c=0就不是一元二次方程了。
）5、x2－4=0是一元二次方程吗？其中二次项的系数、一次项的系数、常数项各是什么？（是。
二次项系数是1、一次项系数是0、常数项是－4。
）[讲解新课]我们来解方程：x2－4=0。
先移项，得：x2=4。
（这里，一个数x的平方等于4，这个数x叫做4的什么？——这个数x叫做4的平方根或二次方根；一个正数有几个平方根？——一个正数有两个平方根，它们互为相反数；求一个数的平方根的运算叫做什么？——叫做开平方。
22.2.1_一元二次方程的解法---直接开平方法--
方法一：
22.2.1直接开平方法
(1).χ2=4 (2).χ2－1=0
对于方程(1),可以这样想: ∵ χ2=4
∴ χ= 4
即: χ=±2 这时,我们常用χ1、χ2来表示未知数为χ的一元 二次方程的两个根。 ∴ 方程 χ2=4的两个根为 χ1=2，χ2=－2.
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,利用 平方根的定义直接开平方求一元二次方程的
作业：
1. x²=49 ;
（6）42x 32 7
2. (2x+3)²=5 ;
3. 2x²=128 ;
4. (x + 1)2 – 4 = 0
5. 12(2 - x) ²- 9 = 0
解的方法叫直接开平方法。
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得 x1 a,x2 a
这种解一元二次方程的方法叫做直接开平 方法.
1、利用直接开平方法解下列方程:
(1). χ2=25
解：（1） χ2=25
开平方，得χ=±5
∴ χ1=5，χ2=5
(2). χ2－900=0
以变形为： （χ+1）2=4 现在再运用直接开平方的方法可求得χ的值。
解：
(1) 移项，得 （χ+1）2=4 ∴ χ+1=±2 ∴ χ1=1，χ2=－3.
练习、解下列方程:
(1）、4x2=3；
(2)2x2 18 0
(3)42x 32 7
1.用直接开平方法可解形如χ2=a(a≥0)或 （χ－a）2=b（b≥0)类的一元二次方程。
（2）移项，得 χ2=900 开平方，得 χ=±30
∴χ1=30 ，χ2=－30
直接开平方法解一元二次方程
1 4.2.1直接开平方法
设计人：何生平
预习目标
1.了解形如（x ＋m ）2= n （n ≥0）的一元二次方程的解法 —— 直接开平方法.
2.会用直接开平方法解一元二次方程.
3.体会一元二次方程“降次”的转化思想．
预习内容
自学下面小资料,了解一元二次方程的解法--直接开平方法.
如何解方程x 2-2=0呢?尝试：移项，得x 2=2
根据平方根的意义， x 就是2的平方根，∴x=2±
即此一元二次方程的解（或根）为： x 1=2，x 2 =2-
概括总结．像解x 2-2=0这样，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
说明：运用“直接开平方法”解一元二次方程的过程，就是把方程化为形如x 2=a （a ≥0）或
（x+h ）2=k （k ≥0）的形式，然后再根据平方根的意义求解.
典型例题 解方程： 4x 2-1=0
解： 移项，得4x 2=1 两边都除以4，得x 2=4
1 ∵x 是41的平方根∴x=2
1± ∴x 1=21，x 2=2
1- 预习训练题目
1.如果x 2=a(a ≥0)那么x 就叫做a 的平方根，即x= .
2.一个正数有 个平方根，负数 平方根，0的平方根是
3.用直接开平方法解下列方程：
（1）2x 2 =3 （2）0.001y 2 =49 （3）
2 =5 （4）2
1(x+1)2=4
(5)42x -7＝0; （6）9(x-1)2= 25 （7）13
(x －12)2＝9；
学习小结：
1、通过预习，你有哪些疑惑的地方？
2、通过今天的学习你有什么收获？。
直接开平方法解一元二次方程专题
注意 :
(1)直 接开平 方法是最直接 的解一元二次 方程的方法 ,并 不适合所有 的一元 二次方程 的求
解;
(2)对 于一元二次方程 石2=`,当
,方 程无解 ;
`(0时
(3)对 于一元二次方程 (弼 +D)2=c:
① 当c>0时 ,一 元二次方程有 两个 不相等的实数根 ; ② 当c=0时 ,一 元二次方程有 两个 相等的实数 根 ; ③ 当c<0时 ,一 元二次方程没有 实数根.
言 (2)16男 2〓 81,艿 2=÷
万=±
=±
樗
÷
·
·· 万 1=÷ ,万 2=-÷ ·
第 1页
例 2.解 下列方程 :
(1) (石 -3)2-9=0;
(2) 12(2一 艿)2-9=0.
分析:观 察到两个方程的特点,都 可以化为(锚 +θ2=c(c≥ 0)的 形式,所 有选择用直接开
平方法求解。
直接开平方法佴 一元二次方程
直接开平方法
解形如
'=`(`≥
ω 和 (锚 十θ2=C(c≥ ω 的一元二次方程,用 直接开平方法。
用直接开平方法解 一元二次方程 的一般步骤 :
(1)把 一元二次方程化为 豸2=`(`≥
0)或 ⑺F+θ 2〓 c(c≥ ω
的形式 ;
(2)直 接 开 平方 ,把 方 程 转化 为 两个 一 元 一次 方程 ; (3)分 别解这两个一元一次方程,得 到一元二次方程 的两个解 ,
(2)9l3J-2)2=64.
第 2页
习题 5.解下列方程 :
(1)e艿 一1)2-9=0;
〔至 石〓 (Biblioteka )-ˉ4·:;⊥ )2〓
《23.21 一元二次方程的解法——直接开平方法》
1.会用直接开平方法解形如 ( x a) b(b 0) 的方程. 2.了解转化、降次思想在解方程中的运用。 合理选择直接开平方法解法较熟练地解一元 二次方程。
2
1.如果
x a(a 0) ，则 x 就叫做a 的
（χ+1）2=4
解： (1)（χ+1）2=4
∴ χ+1=±2 ∴ χ1=1，χ2=－3.
12(2 x) 9 0
2
解：
（2）移项，得
系数化为1，得：
12(2-χ)2=9 9 3 2 (2 x) 12 4
直接开平方，得
3 3 2 x 4 2
3 x 2 2
3 3 即：x1 2 ，x2 2 2 2
2
平方根
。
2 x 2.如果 a(a 0)
x， 则 =
a
2 x 3.如果 64
x，则 =
8
。
(1). χ2=4
(2). χ2－1=0
对于方程(1),可以这样想:
∵ ∴ 即: χ2=4 χ= 4 χ=±2 根据平方根的定义可知:χ是4的(平方根 ).
这时,我们常用χ1、χ2来表示未知数为χ的一元 二次方程的两个根。 ∴ 方程 χ2=4的两个根为 χ1=2，χ2=－2.
a b
小结中的两类方程为什么要加条件：a≥0,b≥0呢？
课本第37页习题22.2第1题、第2题。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
——整体思想的运用
32x 5 12 22x 5 4
2 2
3(2x 5) 2(2x 5) 4 12
2 2
直接开平方法解一元二次方程
-------直接开平方法
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以 2 化为 ax 2 bx 的形式 , 我们把 ax bx c 0 c 0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
二次项系 数
一次项系数
2 2
探索:解方程 (1) x 16
2
?
(2) x 1800
2
解：方程x 16
2
解：方程x 1800
2
意味着x是16的平方根 意味着x是1800的平方根 x 16 x 1800
即 x 4
即 x 30 2
即x1 4, x2 4 这种解方程的方法叫做直接开方法。
15 x 3
把( x 2)看成 一个整体
例题讲解
2
解方程 : (3)( x 2) 5
能用直 接开平 方解吗?
解:直接开平方得:
x2 5
x1 2 5, x2 2 5
?
例题讲解
解方程 : (4)3( x 2) 5 0 2 解 : 先移项得: 3( x 2) 5
?
1、形如x a方程用直接开平方法
2
求得的解为x a (a 0)
2、a 0时，根据平方根的性质方程 x a无解。
2
例题讲解
解方程 : (1) x 5 解: x 5
2
(2)3x 5
2
?
解 : 方程两边同除以3得: 5 能用直 2 x 接开平 3 直接开平方得: 方解吗? 5 x 3
方程 x 6 x 9 2的左边是完全平方形式 ，
用直接开平方法解一元二次方程的题
用直接开平方法解一元二次方程的题嘿，朋友们！咱今儿来聊聊用直接开平方法解一元二次方程的题。
你说这一元二次方程啊，就像是一个小小的谜团，等着我们去解开。
直接开平方法呢，就是解开这个谜团的一把特别钥匙。
咱就说那最简单的例子，像 x²=4 这样的，多直白呀！那 x 不就是正负2 嘛，就像你知道了一扇门的钥匙在哪里，直接去开就行，爽快！再比如（x-3）²=16，这也好办呀，x-3 不就是正负 4 嘛，那 x 不就等于3 加减4 嘛，一下子就求出答案了。
这就好比你要去一个地方，直接开平方法就是给你指了一条最直接的路，让你能最快地到达目的地。
那有的人可能会问了，是不是所有的一元二次方程都能用直接开平方法呀？嘿，那当然不是啦！这得看方程的形式对不对路。
要是方程能化成那种一边是完全平方式，另一边是个常数的样子，那就能用啦。
比如说有些方程，它长得奇奇怪怪的，那咱就得想办法给它变变形，让它符合直接开平方法的要求。
这就好像你要把一个不规则的东西，通过裁剪、拼凑，变成一个你熟悉的形状。
还有啊，在用直接开平方法的时候，可别马虎大意哦！要仔细算，别算错了正负号啥的。
不然就像你明明找到了钥匙孔，却插错了钥匙，那可就打不开门啦！解一元二次方程就像是一场小小的冒险，而直接开平方法就是我们手中的有力武器。
它能让我们在这场冒险中更加得心应手，快速地找到答案。
咱再想想，生活中不也有很多这样的情况吗？有时候我们遇到问题，就需要找到那个最直接、最有效的方法去解决。
就像直接开平方法解一元二次方程一样，简单直接，干脆利落。
所以啊，朋友们，学会用直接开平方法解一元二次方程，不仅能让我们在数学的世界里畅游，还能让我们在生活中更加聪明、灵活地应对各种问题呢！你们说是不是呀？可别小瞧了这小小的方法哦！它能带来的可不仅仅是数学上的收获呢！。
人教版九年级数学上册21.2.1《用直接开平方法解一元二次方程》教学设计
人教版九年级数学上册21.2.1《用直接开平方法解一元二次方程》教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册21.2.1《用直接开平方法解一元二次方程》是本册教材中关于一元二次方程解法的一个知识点。
学生在学习本节课之前，已经掌握了一元一次方程的解法、不等式的解法以及二次根式的性质和运算。
本节课通过实例引入直接开平方法解一元二次方程，让学生掌握一元二次方程的解法，为后续学习一元二次方程的应用和更深入的数学知识打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于方程、不等式等知识有一定的了解。
但学生在解一元二次方程时，仍存在一定的困难，尤其是对于开平方法的运用和理解。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生通过观察、分析、归纳等方法，深入理解直接开平方法解一元二次方程的原理和步骤。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握一元二次方程的直接开平解法，能运用该方法解一元二次方程。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，让学生学会用数学思维解决问题。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的直接开平解法。
2.难点：对直接开平方法解一元二次方程的理解和运用。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，引导学生发现规律。
2.实例分析法：教师通过具体实例，讲解一元二次方程的直接开平解法。
3.小组讨论法：学生分组讨论，交流解题心得，共同解决问题。
六. 教学准备1.教材：人教版九年级数学上册。
2.课件：教师根据教材内容制作课件。
3.练习题：针对本节课内容，准备适量的一元二次方程练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾一元一次方程的解法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）教师通过课件展示一元二次方程的直接开平解法，让学生观察、分析，引导学生发现解题规律。
3.操练（15分钟）教师给出具体的一元二次方程实例，让学生分组讨论，运用直接开平方法解方程。
第1课时 用直接开平方法解一元二次方程
t2
45
（4）1.5
3 5
x2
0
2.解下列方程：
（1）(x 1)2 16
（2）(x 2)2 5 （ x2 -2x 1 4 （3） x2 8x 16 3
4）
这节课你收获了什么？
形如x2=a(a≥0)的方程，用开平方法。
即若二元一次方程的左边是一个含有未知 数的一次式的完全平方数，右边是一个非 负数，可以根据平方根的意义，通过开平 方法求解。
这就是说，x=3就是方程x2-9=0的一个根； 同样，x=-3也是方程x2-9=0的一个根。这时， 我们说方程x2=9有两个根x1=3，x2=-3。
议一议
x2 9 可以直接开平方，这样的方
程有什么特征？你能借助这个经验接下
面的两个方程吗？
（1）4x2 7 0 （2）
(x 2)2 9
你是怎么做的？与同伴进行交流。
用配方法解一元二次方
程
第一课时
(1)理解直接开平方法解一元二次方程的依 据是平方根的意义。
(2)会用直接开平方法解一元二次方程。 (3)初步理解配方法。
怎样解一元二次方程呢？比如，解一元二次方
程：x2-9=0。
如果将常数项-9移到方程的右边，可以得到
x2=9。
根据平方根的意义，x就是9的平方根，而9的 平方根就是+3和-3，因此应该有x= 3。
如果一元二次方程的一边是一个含有未 知数的一次式的完全平方式，而另一边是 一个非负数，那么就可以根据平方根的意 义，通过开平方求出这个方程的根。
一般地，对于形如x 2=x a(ma≥20)的a 方程，根
据平方根的定义，可解得 x1 a, x2 a 这种解一元二次方程的方法叫做开平方法。
直接开平方法解一元二次方程【精品】
考点1 利用直接开平方解形如x2=p方程
例1 利用直接开平方法解下列方程:
(1) x2=6；
(2) x2－900=0.
解：（1） x2=6，
直接开平方，得 x 6,
x1 6 ，x2 6
（2）移项，得 x2=900.
直接开平方，得
x=±30， ∴x1=30, x2=－30.
练习1 解下列方程：
【学习目标】
1.理解一元二次方程“降次”──“二次”转化为“一次” 的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． （重点）
2.运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程. （重点、难点）
活动一：知识回顾
1. 什么是平方根？一个数的平方根怎么样表示？
一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根.
x1= 3 2 x2= 3 2
练习3
解方程 （1） x2+6x+9=2.
（2）x2＋2 5x＋5=0
解：（2）方程的左边是完全平方形式，这个 方程可以化为：（x+ 5）2=0 进行降次得：
x 5 0
x1= x2= 5
活动三：做一做，你会成功！
基础巩固题
1.一元二次方程x2﹣9=0的解是 x1=3，x2=﹣3
2 9x2＋6x＋1 4
解： 3x 12 4,
3x 1 2,
3x 1 2， 3x 1 2,
x1
1 3
x2 1.
练习3
解方程 （1） x2+6x+9=2.
（2）x2＋2 5x＋5=0
解：（1）方程的左边是完全平方形式，这个
方程可以化为：（x+3）2=2
进行降次得： x 3 2
两边都除以12，得（3-2x）²=0.25.
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导学案
学科：数学课题：22.2.1用直接开平方法解一元二次方程一：课前目标自学
1.利用平方根的意义求x的解
①x2=25 x= ②3x2=18 x= ③(x+1)2-12=0 x= 2上述3个方程的解是利用的方法求出来的，能利用此方法的方程的特点是：左边是一个式，右边是一个非负数，即x2=p(p≥0)，解得x= ，分别记做x1= ,x2= ；或
（mx+n）2=p(p≥0), 解得x= ，分别记做x1= ,x2= . 3.利用直接开平方法解一元二次方程（x--1）2=64,开平方后可得两个一元一次方程：即①x-1= ②x-1= ,分别解得
x1= ,x2= .
总结：解一元二次方程的基本思想是:把一个一元二次方程通过转化成两个方程来解。
二：课中探究交流
用直接开平方法解下列方程
① 2x2-8=0 ② 9x2-5=3 ③ (x+6)2-9=0
④ 3(x-1)2-6=0 ⑤ x2-4x+4=5 ⑥ 9x2+6x+1=4
三：课堂巩固训练
1.方程(x-m)2=n 有根的条件是
2.若(x-2)2=25 则x=
3.若分式2
42--x x 的值为0，则x 的值是 4.若关于x 的方程(x+3)2+a=0,有实数根，则a 的取值范围
5.解方程(x+m)2=n,正确的结论是（ ）
A 有两个解x=n ±
B 当n ≥0时，有两个解x=n ±-m
C 当n ≥0时，有两个解x=m n -±
D 当n ≤0时，无实数解
6.一元二次方程ax 2-b=0(a ≠0)的根是（ ） A b a B a
ab C a ab ± D a 、b 异号时无实数根；a 、b 同号时根为a ab ±
7.解方程
① 08)13(212=--x ② 09)12(42=-+x ③x 2+6x+9=8
④ 3x 2-5=0 ⑤ b a x =-2)((b ≥0) ⑥ 22)(b a x =-。