2014人教A版数学必修五《等比数列前n项和的性质及应用》课件

图象上的一些离散的点．
思考感悟
1．若一个数列是等比数列，它的前n项和写成Sn＝Aqn ＋B(q≠1)，则A与B有何关系？
提示：A＋B＝0， ∵Sn＝a111－－qqn＝1－a1 q－1－a1 q·qn，则常数项与qn的系数 互为相反数．
2．前n项和的性质：“Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数 列”，有什么条件吗？
新知初探
1．等比数列前n项和的性质 性质一：若某数列前n项和公式为Sn＝an－1(a≠0， a≠±1，n∈N*)，则{an}成 等比 数列．
性质二：若数列{an}是公比为q的等比数列，则
①Sn＋m＝Sn＋ qnSm .
②在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则SS偶 奇＝ q . ③Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成 等比 数列．
[答案] A
[点评] 通过三种方法的比较，可看出利用等比数列 的性质，如方法三思路比较清晰、过程较为简捷．
变式训练1
设等比数列{an}的前n项和为Sn，若
S6 S3
＝
3，则SS96等于(
)
A．2
7 B.3
8 C.3
D．3
解析：设公比为q，则S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数 列，且公比为q3.
解：设等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N*)，由已
11－－qq22n＝85，
①
知，a1＝1，q≠1，且有q11－－qq22n＝170.
②
②÷①得q＝2.将q＝2代入①得11－－44n＝85， ∴4n＝256，∴n＝4.∴公比q＝2，项数为8.
[例3] 在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99 ＝56，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值．
[分析] 本题考查了等比数列前n项和的性质．根据题 意列出方程求出S奇，S偶，再由SS偶奇求得公比q.
[解] 由题意知：SS奇奇＋－SS偶偶＝＝－802，40， ∴SS奇偶＝＝－－8106，0. ∴公比q＝SS偶奇＝－－18600＝2.
[点评] 本题应用等比数列前n项和的性质使问题迎刃 而解．
变式训练2 一个等比数列的首项为1，项数是偶数， 其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和 项数．
由SS26＝＝79，1，
a11＋q＝7， 得a111－－qq6＝91，
∴a11＋q1－1－qq1＋q2＋q4＝91.
∴q4＋q2－12＝0. ∴q2＝3. ∴S4＝a111－－qq4＝a1(1＋q)(1＋q2)＝7×(1＋3)＝28. ∴S4＝28.
方法二：设数列{an}的公比为q， ∵S2＝7，S6＝91， ∴aa11＋ ＋aa22＝ ＋7a3，＋a4＋a5＋a6＝91. ∴a71＋＋7aq22＝＋77，q4＝91. ∴q4＋q2－12＝0. ∴q2＝3. ∴S4＝a111－－qq4＝28.
2．等比数列前n项和公式的函数观点 (1)当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式可写成Sn＝
－1－a1q·qn＋1－a1q 的形式，数列{Sn}对应的点(n，Sn)是指 数型函数y＝ －Aqn＋A 图象上的一些离散的点．
(2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝ na1 是n的正 比例函数，数列{Sn}对应的点(n，Sn)是正比例函数 y＝a1x
方法三：∵{an}为等比数列， ∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列， 即7，S4－7,91－S4成等比数列． ∴(S4－7)2＝7(91－S4)， 解得S4＝28或－21. ∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1 ＋q2)＝S2(1＋q2)>S2， ∴S4＝28.
例 练 结 合 ········································· 素 能 提 升
典例导悟
类型一 等比数列前n项和性质的应用
[例1] 等比数列{an}中，S2＝7，S6＝91，则S4为
()
A．28
B．32
C．35
D．49
[解析] 方法一：∵S2＝7，S6＝91，易知q≠1，
提示：当q＝－1，n为偶数时，上述性质不成立．原因 是：Sn＝0，S2n－Sn＝0，S3n－S2n＝0n＋qnSm如何推导？
提示：Sm＋n＝Sn＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m ＝Sn＋qn(a1＋a2＋…＋am) ＝Sn＋qn·Sm.
课堂 互 动 探 究
[分析] 考虑通过基本量a1和q来处理或通过a3＋a6＋a9 ＋…＋a99是前99项中的一组，与另两组联系在一起进行求 值．
[解] 方法1：∵S99＝a111－－qq99＝56， ∴a3＋a6＋a9＋…＋a99 ＝a3(1＋q3＋q6＋…＋q96) ＝a1q21－1－qq3333 ＝a1q2·1－q1－1＋q9q9 ＋q2
第二章 数列
2.5 等比数列的前n项和
第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
课前自主预习
课堂互动探究
随堂知能训练
课时作业
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.理解等比数列前n项和的性质，会运用性质解题． 2．能用等比数列的知识解决一些综合性问题.
课前 自 主 预 习
课 前 预 习 ········································· 明 确 目 标
∴S6＝S3＋(S6－S3)＝(1＋q3)S3. S9＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＝(1＋q3＋q6)S3. ∴SS63＝S3＋S3q3S3＝1＋q3＝3. 得q3＝2.
于是SS96＝S3S13＋1＋q3＋q3q6＝1＋1＋q3＋q3 q6＝73. 故选B.
答案：B
[例2] 等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数 项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
＝1＋qq2＋q2[a111－－qq99] ＝1＋42＋4×56＝32.
方法2：设b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a97. b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a98， b3＝a3＋a6＋a9＋…＋a99， 则b1q＝b2，b2q＝b3且b1＋b2＋b3＝56， ∴b1(1＋q＋q2)＝56. ∴b1＝1＋526＋4＝8. ∴b3＝b1q2＝32. 即a3＋a6＋a9＋…＋a99＝32.