裂隙岩体逾渗模型中渗透概率递推矩阵

000
011
011
100
100
101
101
110
110
111
111
P3×n = ∑ f i n = ∑ ( A3n −1 f 1 )
i =1 i =1
15
15
(8)
110 110
当 n = 3(3×3 阶方阵)时，有
000 000 010 010 011 011 100 100 100 100 110 110 111 111
111 111
图3 Fig.3 of elements 表1 Table 1
序号 1(001) 2(010) 3(011) 4(100) 5(101) 6(110) 7(111) 7 1 6 7 3 1(001) 1 2 3
Abstract：The 2D site percolation model is used for characterizing the permeability problem of fractured rock，in which the rock mass is divided into a network of many elements，each element assigned a definite permeable probability. An analytical method is proposed for calculating the permeable probability of fractured rock mass. The concept of recurrence matrix of permeable probability is introduced；and the recurrence matrices of permeable probability are derived for the networks of 3×n and 4×n elements，with which the permeable probabilities of arbitrary columns of elements can be determined. Based on the recurrence matrix of permeable probability，the analytical formulas of permeable probability are derived for networks of 3×3 and 4×4 elements. By using the renormalization group method，the critical permeable probabilities are calculated for networks of 2×2，3×3 and 4× 4 elements respectively in comparison with the results obtained by the Monte Carlo method. Finally，the errors inherently in the renormalization group method are investigated. Key words：rock mechanics；fractured rock；percolation model；renormalization group method；permeable probability 水运动或石油运移问题的研究[1
001 001
000 000
011 011
000 000
001 001
000 000
111 111
010 010
000 000 010 010 011 011 000 000 000 000 110 110 111 111
011 011
001 001
010 010
011 011
000 000
001 001
P3×3 = ∑ f i 3 = ∑ ( A2 f 1 ) =
i =1 i =1 9 8 7 6 5 4 3 p0 − 6 p0 + 14 p0 − 9 p0 − 6 p0 + 4 p0 + 3 p0 (9)
15
15
111 111
001001010来自010011 011
100 100
101 101
110 110
f 1 = { f11，f 21，f 31，f 41，f 51，f 61，f 71}T 3×1 型单元网格渗透概率为
P3×1 = ∑ f i1
i =1 7
(1)
(2)
其中，
f11 = f 21 = f 41 = p0 (1 − p0 ) 2
2 (1 − p0 ) f 31 = f 51 = f 61 = p0 3 f 71 = p0
RECURRENCE MATRIX OF PERMEABLE PROBABILITY IN PERCOLATION MODEL FOR FRACTURED ROCK MASS
ZHU Dayong1 2，FAN Pengxian2，GUO Zhikun2，QIAN Qihu2
，
(1. School of Civil Engineering，Hefei University of Technology，Hefei，Anhui 290003，China； 2. PLA University of Science and Technology，Nanjing，Jiangsu 210007，China)
第 26 卷 第 2 期 2007 年 2 月
岩石力学与工程学报 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering
Vol.26 No.2 Feb.，2007
裂隙岩体逾渗模型中渗透概率递推矩阵
朱大勇 1 2，范鹏贤 2，郭志昆 2，钱七虎 2
，
(1. 合肥工业大学 土木建筑工程学院，安徽 合肥 290003；2. 解放军理工大学，江苏 南京 210007)
110 110
111 111
列数增加时，该递推矩阵是不变的，即
f 3 = A3 f
2 k −1
100 100
000
101 101
000
000
000
000
000
100
100
100
100
110
110
111
111
f
k
= A3 f
⎫ ⎬ ⎭
(7)
最终 3 × n 型单元网格渗透概率可表示为
001 001
000
第 26 卷 第 2 期
朱大勇，等. 裂隙岩体逾渗模型中渗透概率递推矩阵
• 263 •
图 1 所示为二维座逾渗模型(本文限于讨论此 模型)，将介质所占区域划分为小方格(单元)，形成 一个单元网格，有阴影单元为透水，空白单元为不 透水， 有公共边界的两透水单元互通。 流体从左边 界流入， 如能从右边界流出， 则整体介质是透水的， 否则为不透水。实际上每个单元在平均意义上只有 一定的概率是透水的，即渗透概率 p0 。而由众多单 元组成的单元网格渗透概率 P，则需通过数值模拟 方法计算，常用的方法有 Monte Carlo 法、重整化 群法等 。
3 × n 型渗透概率递推阵。
第一列单元类型组合 8 种，用二进制编码(其十 进制为其序号)分别表示为 000， 001， 010， 011， 100，
Monte Carlo 法取较密单元网格如 100×100， 每 个单元以概率 p0 随机抽样认定为透水或不透水， 然 后判断每次模拟后整个单元网格是否透水，根据大 量随机模拟结果统计单元网格的渗透概率。Monte Carlo 法原理简单，但判断单元网格是否透水并非易 事，计算工程量较大，同时得不到解析解。 重整化群法的基本过程为：先推导出一个少量 单元(如 2×2 型)组成的基元透水概率 p1 与单元渗透 概率 p0 的关系式，然后将此基元作为下一级单元， 按同样方式构造成新的基元(见图 2)，根据类推关 系计算相应的渗透概率，如此类推可计算无限多单 元组成的网格渗透概率。重整化群法计算过程极为
2
3×n 型单元网格渗透概率递推矩阵
为简单起见，首先考虑 3 × n 型单元网格。将单
元按列分组，每个单元的渗透概率为 p0 ，第一列的 透水概率 p1 根据 p0 确定，第二列透水的概率 p2 根 据第一列透水概率 p1 确定，以此类推，可以得到
图1 Fig.1 二维座逾渗模型 2D percolation model
(3a) (3b) (3c)
则
2 3 P3×1 = ∑ f i1 = 3 p0 (1 − p0 ) 2 + 3 p0 (1 − p0 ) + p0 = i =1 3 2 p0 − 3 p0 + 3 p0 7
(a) 2×2 型单元
(b) 3×3 型单元
(4)
图2 Fig.2
重整化群法示意
两列单元类型出现的组合见图 3，共 7 × 7 = 49 种可能(略去其中一行一列为 000)。
101， 110， 111(1 代表透水， 0 代表不透水)。f 02 ，f12 ， f 22 ， f 32 ， f 42 ， f 52 ， f 62 ， f 72 分别表示为第 i 列出
现的 8 种组合渗透概率。某一列完全不透水时(000)， 其渗透概率自然为 0，故可不考虑。将 7 种组合情 况的渗透概率表示为列向量：
～ 6]
。对于裂隙宏观
1
引
言
均匀分布的岩体可以理想化为均匀多孔介质。多孔 介质在数学上用理想化单元网格描述，流体可穿越 单元(座逾渗)或沿单元边界(键逾渗)流动。
逾渗理论已愈来愈多地用于裂隙岩体的中地下