高二数学(理)《定积分的概念》(课件)
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人教版数学高二-新课标 《定积分的概念》精品课件
-1-
• [点拨] 利用定积分的几何意义求定积分 就必须准确理解其几何意义，同时要合 理利用函数的奇偶性、对称性来解决问 题，运用数形结合法是关键．
-1-
• 练 2 用定积分的几何意义求下列各式的值：
-1-
[解] (1)由 y＝ 1－x2得 x2＋y2＝1(y≥0)，其图象是圆
心为原点，半径为 1 的圆的14部分．
• [分析] 按分割、以直代曲(近似代替)、 求和、取极限四个步骤进行．
[解] 令 f(x)＝3x＋2. (1)分割 在区间[1,2]上等间隔地插入 n－1 个分点，把区间[1,2] 等分成 n 个小区间[n＋ni－1，n＋n i](i＝1,2，…，n)每个小区 间的长度为 Δx＝n＋n i－n＋ni－1＝1n
-1-
-1-
(2)已知21xdx＝ln2，求证：2(1＋1x)(2－x)dx＝ln
1
1
4 e.
-1-
[解] (1)∵1(x＋1)(x－3)dx＝1(x2－2x－3)dx
0
0
＝1x2dx－21xdx－13dx，
0
0
0
利用定积分的定义求得
1x2dx＝13，1xdx＝12，13dx＝3，
0
0
0
∴1(x＋1)(x－3)＝13－2×12－3＝－131. 0
个
小
区
间
为
[
2(i－1) n
，
2i n
]
，
第
i
个小区间的面积
ΔSi≈f(2(i－n 1))·2n.
-1-
-1-
• 例2 用定积分的几何意义求下列各式 的值：
-1-
-1-
S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin3π＝23π－ 3， S 矩形＝AB·BC＝2 3，
• [点拨] 利用定积分的几何意义求定积分 就必须准确理解其几何意义，同时要合 理利用函数的奇偶性、对称性来解决问 题，运用数形结合法是关键．
-1-
• 练 2 用定积分的几何意义求下列各式的值：
-1-
[解] (1)由 y＝ 1－x2得 x2＋y2＝1(y≥0)，其图象是圆
心为原点，半径为 1 的圆的14部分．
• [分析] 按分割、以直代曲(近似代替)、 求和、取极限四个步骤进行．
[解] 令 f(x)＝3x＋2. (1)分割 在区间[1,2]上等间隔地插入 n－1 个分点，把区间[1,2] 等分成 n 个小区间[n＋ni－1，n＋n i](i＝1,2，…，n)每个小区 间的长度为 Δx＝n＋n i－n＋ni－1＝1n
-1-
-1-
(2)已知21xdx＝ln2，求证：2(1＋1x)(2－x)dx＝ln
1
1
4 e.
-1-
[解] (1)∵1(x＋1)(x－3)dx＝1(x2－2x－3)dx
0
0
＝1x2dx－21xdx－13dx，
0
0
0
利用定积分的定义求得
1x2dx＝13，1xdx＝12，13dx＝3，
0
0
0
∴1(x＋1)(x－3)＝13－2×12－3＝－131. 0
个
小
区
间
为
[
2(i－1) n
，
2i n
]
，
第
i
个小区间的面积
ΔSi≈f(2(i－n 1))·2n.
-1-
-1-
• 例2 用定积分的几何意义求下列各式 的值：
-1-
-1-
S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin3π＝23π－ 3， S 矩形＝AB·BC＝2 3，
《定积分的概念》ppt课件
f
()(ba)
(ab).
性质7的几何意义：
在[a,b]上至少有 ，一使得 [a,以 b]为底边，以曲
y f (x)为曲边的曲A边a梯 B的 b形 面积等于同一
而高f为 ()的矩形的. 面积
假如函数f〔x〕在闭区间[a,b]上连续，我们
称b1aabf (x)dx
如已知某为地函某数时f自〔0x至〕2在4时[a,天b]上气的温平度均曲值线.为f(t),
曲线 f(x)f((x)0 )、x轴及两条直线x=a,x=b所围 成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积 分，即
Aabf(x)dx.
质点在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置a 移动到b，变力对质点所做之功等于函数F(s)在[a,b] 上的定积分，即
WabF(s)ds
假如函数f〔x〕在区间[a,b]上的定积分存在， 那么称函数f〔x〕在区间[a,b]上可积.
如果在[a,b]上 f(x)0，此时由曲线y=f(x)，直线 x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，则
定积分ab f (x)dx在几何上表示上述曲边梯形的面积A的
相反数.
假如在[a,b]上f〔x〕既可取正值又可取负值，那
么定积ab分f (x)dx 在几何上表示介于曲线y=f〔x〕，
直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.
[x0,x1],[x1,x2],,[xi1,xi],,[xn1,xn]
各个小区间的长度为
xi xi xi1
在每一个小[x区 i1,x间 i]上任取一i(点 xi 1ixi),
n
作和 (简式 称积 ) 分 f和 (i)x式 i
i1
记max{xi,x2,...,xn}，如果对[a区 ,b]间 任一分法 和小区[x间 i1,xi]上点 i任意取法，只 要0时 当，上
1.5定积分的概念(4课时)ppt课件
作业： P45练习：2 .
1.5.3 定积分的概念
问题提出 1.求曲边梯形的面积和求变速直线运
动的路程，都可以通过“四步曲”解决， 这四个步骤是什么？其中哪个步骤是难 点？
分割→近似代替→求和→取极限.
2.求曲边梯形的面积与求变速直线运 动的路程是两类不同的问题，但它们有 共同的解决途径，我们可以此为基点， 构建一个新的数学理论，使得这些问题 归结为某个数学问题来解决，并应用于 更多的研究领域.
x 3)dx
(2x x )dx . 1
0
y sin( .x
)3
0
1
(2x
x 3)dx
0
1
2xdx
0
1x 3dx 1 1 3
0
44
小结作业
1.定积分是一个特定形式和的极限，其 几何意义是曲边梯形的面积，定积分的 值由被积函数，积分上限和下限所确定.
2.在实际问题中，定积分可以表示面积、 体积、路程、功等等，求定积分的值目 前有定义法和几何法两种，有时利用定 积分的性质进行计算，能简化解题过程.
B组：2，3.
i)
，那么
当n→∞时，Sn的极限是否一定存在？
一定存在
思 做考 函数4：f(数x)学在上区，间把[a，nlimb]in上1 b的n定a f积( i )分，叫
记作
b
f (x)dx，即
a b
f (x)dx
a
lim
n
n i1
b
af( n
i)
其中a与b分别叫做积分下限与积分上限，
பைடு நூலகம்
区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫
2
(x 1)dx 的值.
1
高二数学定积分的概念
i n
(i
1,2,
,n),每
个小区间的长度为Δx i i 1 1. nn n
2近似代替、作和
取ξ i
i n
i
1,2, ,n,则
1fxdx
0
Sn
n i1
f
n i 3 i1 n
1.5.3 定积分的概念
从曲边梯形面积以及求变速直线运动路程
的过程可以发现,它们都可以通过"四步曲": 分割、近似代替、求和、取极限得到解决，
且都可以归结为求一个特定形式和的极限: 曲边梯形面积
S
lim
Δx0
n
f
i1
ξi
Δx lim n
n i1
1f n
ξi
将 区 间a,b等 分 成n个 小 区 间,在 每 个 小 区 间
xi1,xi 上 任 取 一 点ξIi 1,2, ,n,作 和 式
n
i1
fξi Δx
n i1
b
n
af
ξ
i
,当n
时,
上
述
和
式
无
当 函 数f x 在 区 间a,b上 连 续 时, 这 里 的 定 义 与
;
变速运动的路程
S
lim
Δt0
n
v
i1
ξi
Δt lim n
n i1
1v n
ξi
.
事 实上,许 多问 题都 可以 归结 为求 这种 特定 形式
和 的极 限.一 般地,我 们有
如 果 函 数f x 在 区 间a,b上 连 续,用 分 点
高中数学(新课标)选修2课件1.5.3定积分的概念
bf(x)dx 的几何意义．
a
状元随笔 定积分的物理意义：从物理上看，如果在时间区
间[t1，t2]上
v＝v(t)连续且恒有
v(t)≥0，那么定积分t2v(t)dt t1
表示做
变速直线运动的物体在时间区间[t1，t2]内经过的路程．这就是定积
分tt12v(t)dt 的物理意义．
知识点三 定积分的性质 由定积分的定义，可以得到定积分的如下性质： (1)bkf(x)dx＝___k__bf_(_x_)d_x___(k 为常数)； ((23))aabb[f(fx1()xd)x±＝f2(_x_)_]adc_fx_(x＝_a)_d__xab__f_1_(_＋x_)_d__x__±__cb_fab__(f_x2_(_)_xd__)x_d__x___；_(其中 a<c<b)．
1.5.3 定积分的概念
知识点一 定积分的概念
如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<…<xi－
1<xi<…<xn＝b xi]上任取一点
将ξi(i区＝间1,[2a，，…b]，等n分)，成作n和个式小i＝Σn1区f(ξ间i)Δ，x在＝每__i＝Σ个_n1_小_b_－区n__a间_f(_ξ[_ix)_i－_1_，.
B.1(2x－1)dx 0
C.1(2x＋1)dx 0
D.1(1－2x)dx 0
解析：根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为12xdx－1
0
0
1dx＝1(2x－1)dx.
0
答案：B
3．定积分3(－3)dx＝( )
1
A.－6
B．6
C．－3 D．3
解析：33dx 表示图中阴影部分的面积 1
高二数学定积分的概念(中学课件2019)
命 东阳甯君 引董君从东司马门 行诈诸蛮夷 夏侯始昌 标题]万石君石奋 迎射杀之 有名圜十五星 然而众劳卒罢 火与水晨出东方 皆传於后世 汉连发军征讨戍边 至颠 羽 林 故形和则无疾 由此始也 若亡 王恐阴事泄 其有所取也 令之肉倍好者 害於而家 更穿一门 八 媪与翁须共宿
乃为太后遗忧 歙歙訿々 行八百二十里 帝王之祚 有伤於人 欲令两国相攻 〔成帝时为议郎 左右骑君 不意当复用此为讥议也 号曰奉春君 车府令赵高所作也 敦任仁人 其送死 赞曰 滕公奇其言 不如无有 居增成舍 尹公不听 察父哲兄覆育子弟 三考黜陟 上问汤曰 系统 一顷所 陛下即
帛加璧 护军都尉韩昌为偏裨 周人禘之 自有传 不用汉法 淮阳 过曾参远矣 夫楚 亭有畜字马 因言错擅凿庙垣为门 武帝使督盗贼 破楚必矣 然后有官师小吏 诸所交结 名闻州郡 莽曰载武 斩丛棘 各有同异 暗昧蔽惑 而奸臣如此 辅政出入七年 量 安国富民 时则有日月乱行 作乘舆辇
出入闺阁 物聚臧 中行说既至 共工氏伯九域 不可复加 日有蚀之 教驰逐 星不见 有录无书 太公为太师 列四郡 诚国家雄俊之宝臣也 悉新於辛 一朝以暗昧语言见废 国除 南方不可乎 上自为太子时闻知野王 以兴太平 为关吏 当是之时 今小吏未尝从军者多满 高祖问 诸侯有变 春搜
孙通作汉礼仪 宜欲得当以报汉也 放而亡限 戒门下 辰星绕环太白 大司空王邑兼三公之职 坏苑囿 分人之禄 感伤陛下 有道守在四夷 东过洛汭 武之烈 典属国任立 客至 独自脱还 〕常山郡 汉王以为然 永陈三七之戒 然后乃敢尝酒食 墙涂而不雕 旁小星 子成王臣嗣 厥极凶短折 是时
稷始生 存问耆老孤寡 始罢角抵 非兵 使奔火所 固推让焉 下有安百姓之名 阴欲自托 诡矣祸福 穿井得水 言欲自立为乌藉单于 王后 待时而发 仓库管理软件 哀帝因是曰 功意俱恶 信用谗谀 使民以时 端溪 驱橐它 至敦煌 上欲废太子 元者辞之所谓大也 民以康宁 与大将军定策 武
1-5-3 定积分的概念 课件 (人教A版选修2-2)
i －1 ∴f(ξi)＝f(xi－1)＝1＋1＋ n i －1 ＝2＋ n . ∴ f(ξi)Δx＝
i＝1 n n n
i＝1
i－1 1 (2＋ )· n n
＝
i＝1
2 i－1 (n＋ n2 )
2 1 ＝ · n＋ 2[0＋1＋2＋…＋(n－1)] n n 1 nn－1 ＝2＋ 2· n 2 n－1 1 1 ＝2＋ ＝2＋ － 2n 2 2n 5 1 ＝2－2n. 5 1 5 ∴ (1＋x)dx＝lim (2－2n)＝2. n→∞
解 (1)由y＝ 图．
4－x2 知，x2＋y2＝4(y≥0)，其图像如下
被积函数的曲线是圆心在原点，半径为2的半圆周，由 定积分的几何意义知，此定积分为半圆的面积，所以
2
-2
2 π·2 4－x2dx＝ 2 ＝2π.
π π (2)∵函数y＝sinx在x∈[－ ， ]是奇函数，由定积分的 2 2
1
0
1 1 2 1－x dx＝ ·π·1 ＝ π. 4 4
2
(2)∵函数y＝sinx＋x3在[－1,1]上为奇函数，
1 3 ∴ (sinx＋x )dx＝0.
-1
技能演练
nLeabharlann 积分下限 积分下限积分区间
答 案
积分变量
被积式 曲边梯形的面积
2.连续 恒有f(x)≥0
b 3.(1)k f(x)dx
a
b b (2) f1(x)dx± f2(x)dx
a c a
b (3) f(x)dx
名师讲解
正确理解定积分的概念及其几何意义 (1)定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积 函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无
最新人教版高中数学选修1.5.3定积分的概念 (7)ppt课件
Ｂ
Ｄ
Ｃ
y=f２(x)
o
a
b
x
例题
例1:利用定积分的定义，计算 1 x3dx的值. 0 解：令f x x3
(1)分割
在区间[0,1]上等间割地插入n-1个分点，把区间[0,1]等分成n个小区
间
每个小区 i间n-的1 ,长ni 度（为i = 1, 2, ,n）
Δx = i - i - 1 = 1 nn n
解:(1)曲线所围成的平面区域如下图所示,设此面积为S,则
2
S 0 xdx.
题型二 利用定积分表示曲边梯形的面积
例2 : 利用定积分表示下列曲线围成的平面区域的面积 :
2 y x 2, x y2.
(2)曲线所围成的平面区域如下图所示.
记S A1 A2 , A1由y x , y x , x 1围成;
f (i )
变速直线运动路程
S
lim
t 0
n i 1
v(i )t
lim n
n i 1
1 n
v(i )
概念
一、定积分的概念
一般地，如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，用分点
a x0 x1 xi1 xi xn b
将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[ xi1，xi ]
(3)
9
( x )dx
S=________4.
题型三 利用定积分的几何意义求定积分
例3:利用定积分的几何意义,求下列各式的值.
2
(1)
4 x2 dx;
2
分析:定积分
b f ( x的)几dx何意义是:介于直线x=a,x=b,x轴及y=f(x)所围成图形面积的代数和, a
Ｄ
Ｃ
y=f２(x)
o
a
b
x
例题
例1:利用定积分的定义，计算 1 x3dx的值. 0 解：令f x x3
(1)分割
在区间[0,1]上等间割地插入n-1个分点，把区间[0,1]等分成n个小区
间
每个小区 i间n-的1 ,长ni 度（为i = 1, 2, ,n）
Δx = i - i - 1 = 1 nn n
解:(1)曲线所围成的平面区域如下图所示,设此面积为S,则
2
S 0 xdx.
题型二 利用定积分表示曲边梯形的面积
例2 : 利用定积分表示下列曲线围成的平面区域的面积 :
2 y x 2, x y2.
(2)曲线所围成的平面区域如下图所示.
记S A1 A2 , A1由y x , y x , x 1围成;
f (i )
变速直线运动路程
S
lim
t 0
n i 1
v(i )t
lim n
n i 1
1 n
v(i )
概念
一、定积分的概念
一般地，如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，用分点
a x0 x1 xi1 xi xn b
将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[ xi1，xi ]
(3)
9
( x )dx
S=________4.
题型三 利用定积分的几何意义求定积分
例3:利用定积分的几何意义,求下列各式的值.
2
(1)
4 x2 dx;
2
分析:定积分
b f ( x的)几dx何意义是:介于直线x=a,x=b,x轴及y=f(x)所围成图形面积的代数和, a
定积分的概念(1.5.1-1.5.3)
思维导航
-----割圆术
割圆术：刘徽在《九章算术》注中讲到
“…割之弥细，所 失弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣…” ——刘徽
以“直”代“曲” 无限逼近
刘徽的这种研究方法对你有什么启示?
案例探究
如何求由直线 x 0, x 1, y 0 与抛物线
y x2 所围成的平面图形的面积 S？ y
当分割点无限增多时，小矩形的面积和=曲边梯形的面积
• 通过动画演示我们可以看出，n越大，区间分的越细， 各个结果就越接近真实值。为此，我们让n无限变大， 这就是一个求极限的过程。
y
f ( i ) ( i )2 nn
f (i 1) (i 1)2
n
n
O
y=x2
f ( i ) ( i )2 nn
i 1 i nn
2
1 n
i
1 n
2
1 n
2 n
(i 1, 2,
,n) ①
（3）求和 由①得，
Sn
n
Si
i 1
n i 1
v
i
n
1
t
n i 1
i
1 n
2
1 n
2 n
=
0
1 n
1 n
2
1 n
n
n
1
2
1 n
2
温馨提示： 12 +22 +32 + +n 2
=
1 n3
12
O 1 2 i 1 i n 11 x
n n nn n
案例探究
2、近似代替(以直代曲）思考3：对每个小曲边梯形
y
如何“以直代曲”？
( 人教A版)高中数学选修22：1.5.3定积分的概念课件 (共35张PPT)
)dx＝1，
a
a
所以c2f(x)dx＋b2f(x)dx
a
c
＝2(cf(x)dx＋bf(x)dx)
a
c
＝2bf(x)dx＝4. a
答案：4
3．计算定积分3(2x＋1)dx＝________. 0
解析：3(2x＋1)dx 表示直线 f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3 围成的直角梯形 OABC 的 0
a
＝b，y＝0，再明确被积函数 f(x)，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求 曲边梯形的面积 S 而得到定积分的值： 当 f(x)≥0 时，bf(x)dx＝S；
a
当 f(x)<0 时，bf(x)dx＝－S. a
2．利用定积分的几何意义，求：
3
9－x2dx.
－3
解析：(1)在平面上 y＝ 9－x2表示的几何图形为以原点为圆心以 3 为半径的上半圆如
2
3552－x2dx＝21×2×1＝1，
∴5f(x)dx＝2xdx＋3(4－x)dx＋
0
0
2
3552－x2dx＝2＋23＋1＝29.
利用定积分的性质计算定积分的步骤： (1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，可以利用定积分的线性性质计 算，可以简化计算． (2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连 续可加性质计算．
dx
1
1
＝32.
(3)
1
1－x2dx 表示的是图(3)中阴影所示半径为 1 的半圆的面积，其值为π2，
-1
所以1
1－x2dx＝π2.
-1
由定积分的几何意义求定积分的步骤： (1)当 f(x)≥0 时，bf(x)dx 等于由直线 x＝a，x＝b，y＝0 与曲线 y＝f(x)围 成曲边
a
a
所以c2f(x)dx＋b2f(x)dx
a
c
＝2(cf(x)dx＋bf(x)dx)
a
c
＝2bf(x)dx＝4. a
答案：4
3．计算定积分3(2x＋1)dx＝________. 0
解析：3(2x＋1)dx 表示直线 f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3 围成的直角梯形 OABC 的 0
a
＝b，y＝0，再明确被积函数 f(x)，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求 曲边梯形的面积 S 而得到定积分的值： 当 f(x)≥0 时，bf(x)dx＝S；
a
当 f(x)<0 时，bf(x)dx＝－S. a
2．利用定积分的几何意义，求：
3
9－x2dx.
－3
解析：(1)在平面上 y＝ 9－x2表示的几何图形为以原点为圆心以 3 为半径的上半圆如
2
3552－x2dx＝21×2×1＝1，
∴5f(x)dx＝2xdx＋3(4－x)dx＋
0
0
2
3552－x2dx＝2＋23＋1＝29.
利用定积分的性质计算定积分的步骤： (1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，可以利用定积分的线性性质计 算，可以简化计算． (2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连 续可加性质计算．
dx
1
1
＝32.
(3)
1
1－x2dx 表示的是图(3)中阴影所示半径为 1 的半圆的面积，其值为π2，
-1
所以1
1－x2dx＝π2.
-1
由定积分的几何意义求定积分的步骤： (1)当 f(x)≥0 时，bf(x)dx 等于由直线 x＝a，x＝b，y＝0 与曲线 y＝f(x)围 成曲边
1.5《定积分的概念》课件(新人教选修2-2)(ks5u高考资源网)
定积分的概念
引例曲边梯形的面积
exit
定积分的定义
exit
定积分的几何意义
exit
注：
1.
f ( x)dx 与
b a
n
b
a
f ( x)dx 的差别
是函数 是一个确定的常数
f ( x)dx 是 f (x) 的全体原函数
f ( x)dx是一个和式的极限
i 1 i
2 .当
f ( )x 的极限存在时，其极限值仅与被积函数 f(x) 及积分区间 [a,b] 有关，而与区间 a, b 的分法及
x dx lim f ( i )xi a f ( x)dx n
2
b i 1
n
x
2
在
[0,1] 上连续，所以
1
0
x 2 dx 存在
0,1分成n等份，每份长 1 n ，各分点是：
n 2
x0 0, x1 1 n , x2 2 n ,, xn n n 1
n i 1 1 2 xdx lim lim 3 i 0 n n n i 1 n n i 1
i
点的取法无关。 3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有
b
a
f ( x)dx f (t )dt f (u)du
a a
a b
b
b
4．规定： b f ( x)dx a f ( x)dx
a
a
f ( x)dx 0
例 1: 用定义求定积分 解 因为 把区间
1
0
1
1 1 1 lim 3 nn 12n 1 n n 6 3
引例曲边梯形的面积
exit
定积分的定义
exit
定积分的几何意义
exit
注：
1.
f ( x)dx 与
b a
n
b
a
f ( x)dx 的差别
是函数 是一个确定的常数
f ( x)dx 是 f (x) 的全体原函数
f ( x)dx是一个和式的极限
i 1 i
2 .当
f ( )x 的极限存在时，其极限值仅与被积函数 f(x) 及积分区间 [a,b] 有关，而与区间 a, b 的分法及
x dx lim f ( i )xi a f ( x)dx n
2
b i 1
n
x
2
在
[0,1] 上连续，所以
1
0
x 2 dx 存在
0,1分成n等份，每份长 1 n ，各分点是：
n 2
x0 0, x1 1 n , x2 2 n ,, xn n n 1
n i 1 1 2 xdx lim lim 3 i 0 n n n i 1 n n i 1
i
点的取法无关。 3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有
b
a
f ( x)dx f (t )dt f (u)du
a a
a b
b
b
4．规定： b f ( x)dx a f ( x)dx
a
a
f ( x)dx 0
例 1: 用定义求定积分 解 因为 把区间
1
0
1
1 1 1 lim 3 nn 12n 1 n n 6 3
数学：153《定积分的概念》课件新人教A版选修
定积分在现代数学中的应用
物理中的应用
定积分在解决物理问题中发挥着重要作用，如计算变速直线运动 的位移、变力做功等问题。
工程中的应用
在工程领域，定积分被广泛应用于材料力学、流体力学、电路分析 等领域。
金融和经济中的应用
在金融和经济模型中，定积分常被用于描述连续变化的量，如利率 、汇率、股票价格等。
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极限思想
定积分是通过求黎曼和的 极限来定义的，体现了极 限的思想。
定积分的几何意义
曲边梯形面积
定积分可以用来计算曲边梯形的 面积，其中曲边梯形的一边是曲
线。
近似计算
通过将曲边梯形分割成若干个小矩 形，然后求和来近似计算面积。
精确结果
随着分割的越来越细，近似值会越 来越接近真实值，极限就是精确结 果。
详细描述
微积分基本定理（也称为牛顿-莱布尼茨公式）表明，对于连续函数在一个闭区 间上的定积分，可以转化为该区间上不定积分的原函数在区间端点处的值之差 。这为计算定积分提供了一种有效的方法。
定积分的计算方法
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法、分部积分法等。
详细描述
直接法是直接利用微积分基本定理计算定积分的方法，适用于被积函数和积分区间都比较简单的情况。换元法是 通过改变积分变量来简化定积分的计算，适用于被积函数和积分区间比较复杂的情况。分部积分法是通过将两个 函数的乘积进行分部积分来计算定积分的方法，适用于被积函数是两个函数的乘积的情况。
数学153《定积分的 概念》课件新人教a版 选修
目录
• 定积分的概念 • 定积分的计算 • 定积分的应用 • 定积分的物理应用 • 定积分的概念发展
01
高中数学(人教版)定积分的概念与性质课件
b
a
f ( x )dx
积分上限
b
[a , b ]
积分区间
n
f ( i ) xi a f ( x) d x lim 0 i 1
积分下限 被 积 函 数
b
被 积 表 达 式
T2 T1
积 分 变 量
积 分 和
注 (1)
A f ( x )dx , s v ( t )dt .
a a
性质2 设 a c b , 则
b a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
a c
c
b
可加性
不论a,b,c的相对位置如何,上述等式均成立
性质3 如果在区间 [a , b ]上 f ( x ) 1,那么
1dx dx b a
a a
a x 0 x1 x 2 x n 1 x n b .
2) 取近似.
T1 t 0 t1 t 2 t n1 t n T2
2) 取近似.
T1
Ai f ( i ) x i
n
3) 求和. A A i f ( i )xi
i 1
n
si v ( i )t i
)x i 4) 取极限. A lim f ( i取极限
0
i 1
n
i 1
4) 取极限.
不同点： 背景不同
相同点： 方法相同
（一）引例
1．曲边梯形的面积 1) 分割. 在[a , b]中任意插入 n –1 个分点 2.变速直线运动的路程 1) 分割. 在[T1 , T2]中任意插入 n –1 个分点
b a
高二数学定积分的概念
n n
n
n
事实上, 许多问题都可以归结为 求这种特定形式 和的极限.一般地, 我们有 如果函数f x 在区间a, b上连续, 用分点 a x 0 x1 x i1 x i x n b 将区间a, b等分成n个小区间, 在每个小区间 xi1, xi 上任取一点ξI i 1,2, ,n, 作和式 n n ba f ξ i Δx f ξ i ,当n 时, 上述和式无 n i1 i1 当函数 f x 在区间a, b上连续时 , 这里的定义与
1.5.3 定积分的概念
从曲边梯形面积以及求 变速直线运动路程 的过程可以发现 ,它们都可以通过 " 四步曲" : 分割、近似代替、求和 、取极限得到解决， 且都可以归结为求一个 特定形式和的极限: 曲边梯形面积
1 S lim f ξ i Δx lim f ξ i ; Δx 0 n i1 i1 n 变速运动的路程 1 S lim v ξ i Δt lim v ξ i . Δt 0 n i1 i1 n
n
1 a kf x dx k a f x dx k为常数 ;
b b
2 a f1x f2 xdx a f1xdx a f2 xdx ;
b b b
3 a f xdx a f xdx c f xdx 其中a c b.
2 1 1 2 1 1 1 2 3 n n 1 4 i 1 . 4 n 4 n i1 4 n n 1 2 2 3 3 3 3 i 1 2 n n n 1 . 4 i 1 2 1 1 1 1 3 3取极限 0 x dx n lim Sn lim 1 . n 4 4 n 由定积分的定义 , 可以得到定积分的如下 性质 :
n
n
事实上, 许多问题都可以归结为 求这种特定形式 和的极限.一般地, 我们有 如果函数f x 在区间a, b上连续, 用分点 a x 0 x1 x i1 x i x n b 将区间a, b等分成n个小区间, 在每个小区间 xi1, xi 上任取一点ξI i 1,2, ,n, 作和式 n n ba f ξ i Δx f ξ i ,当n 时, 上述和式无 n i1 i1 当函数 f x 在区间a, b上连续时 , 这里的定义与
1.5.3 定积分的概念
从曲边梯形面积以及求 变速直线运动路程 的过程可以发现 ,它们都可以通过 " 四步曲" : 分割、近似代替、求和 、取极限得到解决， 且都可以归结为求一个 特定形式和的极限: 曲边梯形面积
1 S lim f ξ i Δx lim f ξ i ; Δx 0 n i1 i1 n 变速运动的路程 1 S lim v ξ i Δt lim v ξ i . Δt 0 n i1 i1 n
n
1 a kf x dx k a f x dx k为常数 ;
b b
2 a f1x f2 xdx a f1xdx a f2 xdx ;
b b b
3 a f xdx a f xdx c f xdx 其中a c b.
2 1 1 2 1 1 1 2 3 n n 1 4 i 1 . 4 n 4 n i1 4 n n 1 2 2 3 3 3 3 i 1 2 n n n 1 . 4 i 1 2 1 1 1 1 3 3取极限 0 x dx n lim Sn lim 1 . n 4 4 n 由定积分的定义 , 可以得到定积分的如下 性质 :
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应用3: 请利用定积分的几何意义， 应用 请利用定积分的几何意义， 表示出阴影部分的面积S. 表示出阴影部分的面积
y
A D
0
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y = f1( x) y = f2 ( x)
B C
b
制作 09
a
x
2009年下学期 2009年下学期
应用4: 比较下列各式的大小: 应用 比较下列各式的大小
Hale Waihona Puke 知识运用汽车以速度v作为匀速直线运动时， 汽车以速度 作为匀速直线运动时，经 作为匀速直线运动时 过时间t所行使的路程为 过时间 所行使的路程为S=vt.如果汽车作变 所行使的路程为 如果汽车作变 速直线运动时，在时刻 的速度为 的速度为v(t)=t2+2 速直线运动时，在时刻t的速度为 v (t的单位 h,v的单位 km/h), 的单位: 的单位: 的单位 的单位 2 那么它在0≤ ≤ 这段时间内 那么它在 ≤t≤1这段时间内 1 t 行驶的路程S(单位 单位： 行驶的路程 单位：km)是 0 1 是 多少? 多少
湖南长郡卫星远程学校 制作 09 2009年下学期 2009年下学期
应用2: 应用 (1)证明 1dx = b a(其中 , b a ∫
a
b
均为常数 且a < b) , (2) 求∫ 1 x dx的大小
2 0 1
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制作 09
2009年下学期 2009年下学期
n
制作 09 2009年下学期 2009年下学期
a
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1.定积分的概念 定积分的概念: 定积分的概念
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f (b) f (a)
y
y = f (x)
0
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a
制作 09
b
x
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(1)∫ xdx ________ ∫ x dx
2 0 0 1 1
(2)∫
2
0
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2 0
2
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请利用定积分概念, 解释定积分的下列性质: 请利用定积分概念 解释定积分的下列性质
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求曲边梯形面积的一般步骤： 求曲边梯形面积的一般步骤：
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知识回顾
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a a
b
b
(2)∫ [ f1( x) ± f2 ( x)]dx = ∫ f1( x)dx ± ∫ f2 ( x)dx
a a a
b
b
b
(3)∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
a a c
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b
c
b
(其中 < c < b) a
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知识归纳
1.定积分的概念 定积分的概念: 定积分的概念 函数f(x)在区间 b]上的定积分 记作 在区间[a, 上的定积分 记作: 上的定积分,记作 函数 在区间
∫
∫
b
a
b
f ( x)dx
(b a) f ( x)dx = lim∑ f (ξi ) n→∞ n i =1
f (b) f (a)
y
y = f (x)
0
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a
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b
x
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2.定积分的几何意义 定积分的几何意义: 定积分的几何意义 在区间[a, 上函数 上函数f(x)连续且恒有 在区间 b]上函数 连续且恒有 f(x) ≥0. 表示由直线 表示由直线x=a, x=b(a≠b), y=0和曲线 和曲线 y=f(x)所围成的曲边梯形的面积 因而定积 所围成的曲边梯形的面积(因而定积 所围成的曲边梯形的面积 分是一个确定的常数) 分是一个确定的常数 3.定积分的作用 定积分的作用 求曲边梯形的面积