(精选3份合集)2020届广州市重点中学高考数学模拟试卷

合集下载

2020年4月广东省广州市普通高中2020届高三下学期综合测试(一)(一模)数学(理)试题(解析版)

绝密★启用前广东省广州市普通高中2020届高三毕业班下学期综合测试(一) (一模)数学(理)试题(解析版)2020年4月一、选择題：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合題目要求的．1.设集合{}{|01}|2M x x x R N x x x R =<<∈=<∈，，，，则（）A. M N M ⋂=B. M N N ⋂=C. M N M ⋃=D. M N R ⋃=【答案】A【解析】【分析】由题意{}22,N xx x R =-<<∈，分别计算出M N ⋂、M N ⋃即可得解.【详解】由题意{}{}2,22,N x x x R x x x R =<∈=-<<∈，{}01,M x x x R =<<∈，所以{}01,M N x x x R M ⋂=<<∈=，{}22,M N x x x R N ⋃=-<<∈=. 故选：A. 【点睛】本题考查了集合的运算，属于基础题. 2.若复数z 满足方程220z +=,则3z =（） A. ± B. -C. -D. ± 【答案】D【解析】220z +=,即22z =-,解得z =．所以32()(2)z z z =⋅=⋅-=±,故选D 3.若直线10kx y -+=与圆222410x y x y ++-+=有公共点,则实数k 的取值范围是（）A. [)3-+∞，B. (]3-∞-，C. ()0+∞，D.()-∞+∞，【答案】D【解析】【分析】由题意得圆心到直线的距离2d =≤,解不等式即可得解.【详解】圆222410x y x y ++-+=的圆心为()1,2-,半径为2,由题意可知圆心到直线的距离2d =≤,化简得2183033k ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭, 故(),k ∈-∞+∞.故选：D.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,考查了计算能力,属于基础题. 4.已知1223p x q x +><<：，：,则p 是q 的（） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由题意:12p x +>⇔1x >或3x <-,利用充分条件和必要条件的概念即可得解. 【详解】由题意:1212p x x +>⇔+>或121x x +<-⇔>或3x <-, 由“1x >或3x <-”不能推出“23x <<”；由“23x <<”可推出“1x >或3x <-”；故p 是q 的必要不充分条件.故选：B.。

广州市2020届高三年级数学(文科)一模试题(含答案)

3．作答填空题和解答题时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
x
2x y 2 e 0 . （1）求 a ， b 的值；
（2）证明函数 f x 存在唯一的极大值点 x0 ，且 f x0 2 ln 2 2 .
（二）选考题: 共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分. 22. [选修 4-4：坐标系与参数方程](10 分)
………………………………6 分
（2）解：从频率分布直方图中可得 80 个零件中尺寸在 63.0,64.5之外的零件共有
0.075 0.225 0.100 0.580 16 个，
…………………………………8 分
故从 80 个零件中随机抽取1个零件，则所抽取的零件为二等品的概率为 P 16 0.2 . 80
的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的
内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2
23
得 ac 3 . 由于 b 2 ，则 a2 c2 2 ac 4 ，即 a2 c2 6 .

2020年广东省广州市高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)

2020年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={x|x<2}，集合N={x|0<x<1}，则M∩N=()A. {x|1<x<2}B. {x|0<x<1}C. {x|x<2}D. R2.设复数z=1−i，则z3=()A. −2+2iB. 2+2iC. −2−2iD. 2−2i3.若直线y=x+b与圆x2+y2−4x+2y+3=0有公共点，则实数b的取值范围是()A. [−2,2]B. [−3,1]C. [−4,0]D. [−5,−1]4.条件p：|x−m|≤2，条件q：−1≤x≤n，若p是q的充要条件，则m+n=()A. 2B. 3C. 4D. 55.当0≤x≤π2时，函数f(x)=sinx+√3cosx的()A. 最大值是√3，最小值是12B. 最大值是√3，最小值是1C. 最大值是2，最小值是1D. 最大值是2，最小值是126.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB=3,BC=5,，M是AA1的中点，则三棱锥A1−MBC1的体积为()A. 5B. 4C. 3D. 27.同文中学在高一年级进行“三城同创”演讲比赛，如果高一(8)班从3男1女4位同学中选派2位同学参加此次演讲比赛，那么选派的都是男生的概率是()．A. 34B. 14C. 23D. 128.直线l：y=k(x−1)与抛物线C：y2=4x交于A、B两点，若线段AB的中点横坐标为3，则|AB|的值为()A. 8B. 8√3C. 6√3D. 69.若等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=1，a8+a9=9，则S9=()A. 15B. 16C. 17D. 1810.曲线y=3x−lnx在点(1,3)处的切线方程为()A. y=−2x−1B. y=−2x+5C. y=2x+1D. y=2x−111.已知O为坐标原点，F1，F2是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，PM为∠F1PF2的角平分线，过F1作PM的垂线交PM于点M，则|OM|的长度为()A. aB. bC. a2D. b212.函数f(x)=x2−x−2的零点是()A. –2，–1B. 2，–1C. 1，2D. 1，–2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图，是一个几何体的三视图，其中正视图与侧视图完全相同，均为等边三角形与矩形的组合，俯视图为圆，若已知该几何体的表面积为16π，则x=______ ．14.已知(2+x2)(ax+1a)6展开式中含x4项的系数为45，则正实数a的值为______．15.设单位向量e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 的夹角是2π3，若(e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ )⊥(k e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ )，则实数k的值是______ ．16.已知数列{a n}的前n项和S n=n3，则a6+a7+a8=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin(2A+B)sinA=2+2cos(A+B)．(1)证明：b=2a；(2)若c=√7a，求∠C大小．18.“一本书，一碗面，一条河，一座桥”曾是兰州的城市名片，而现在“兰州马拉松”又成为了兰州的另一张名片，随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在兰州，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加．为此，某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查．其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”．(1)经调查，该市约有2万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；(2)某调查人员在调查这200人时，有3张周末的马拉松训练活动体验卡要向他们发放，若被调查者为“热烈参与者”，即送其1张体验卡，否则不予送出．调查人员顺次调查完前3人后，剩余的体验卡数量为ξ，试根据统计表的数据，以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，求ξ的分布列及期望．19.如图，三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都是2，AA1⊥平面ABC，D，E分别是AC，CC1的中点．(1)求证：AE⊥平面A1BD；(2)求二面角D−BE−B1的余弦值．20.已知定点A(−3,0)、B(3,0)，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为−1，记动点M的9轨迹为曲线C．(Ⅰ)求曲线C的方程；(Ⅱ)过点T(1,0)的直线l与曲线C交于P、Q两点，是否存在定点S(s,0)，使得直线SP与SQ斜率之积为定值，若存在求出S坐标；若不存在请说明理由．21. 已知函数f(x)=ln(x +a)−x ，a ∈R ．(1)当a =−1时，求f(x)的单调区间；(2)若x ≥1时，不等式e f(x)+a 2x 2>1恒成立，求实数a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：{x =1+12t y =√32t(t 为参数)，曲线C 1：{x =√2cosθy =sinθ(θ为参数)．(1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB|；(2)若Q 是曲线C 2：{x =cosαy =3+sinα(α为参数)上的一个动点，设点P 是曲线C 1上的一个动点，求|PQ|的最大值．23. 设f(x)=|x +1|−|2x −1|，(1)求不等式f(x)≤x +2的解集；(2)若不等式满足f(x)≤|x|(|a −1|+|a +1|)对任意实数x ≠0恒成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查交集的运算，属于基础题．求出集合M，N，即可求解．解：∵集合M={x|x<2}，集合N={x|0<x<1}，∴M∩N={x|0<x<1}．故选B．2.答案：C解析：本题考查了复数的运算法则、考查了计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则求解即可．解：，故选C．3.答案：D解析：本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．将圆的一般方程转化为标准方程，根据题意可知圆心(2,−1)到直线x−y+b=0的距离小于等于半径√2，即可求得b的取值范围．解：圆x2+y2−4x+2y+3=0转化成标准方程为(x−2)2+(y+1)2=2，圆心为(2,−1)，半径为√2，因为直线y=x+b与圆x2+y2−4x+2y+3=0有公共点，≤√2，解得−5≤b≤−1，所以√1+1故选：D．4.答案：C解析：解：条件p：|x−m|≤2，解出m−2≤x≤m+2.条件q：−1≤x≤n，由p是q的充要条件，∴m−2=−1，m+2=n，解得m=1，n=3．则m+n=4．故选：C．条件p：|x−m|≤2，解出m−2≤x≤m+2.条件q：−1≤x≤n，由p是q的充要条件，可得m−2=−1，m+2=n，解出即可得出．本题考查了不等式与方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：C解析：利用辅助角公式将函数f(x)化简，根据三角函数的有界限求解即可．本题考查三角函数的图象及性质的运用，考查转化思想以及计算能力．解：函数f(x)=sinx+√3cosx=2sin(x+π3).当0≤x≤π2时，则π3≤x+π3≤5π6，那么：当x+π3=5π6时，函数f(x)取得最小值为1．当x+π3=π2时，函数f(x)取得最大值为2．故选C．6.答案：B解析：本题考查三棱柱体积的求法，属于基础题.根据题意可得sin∠MA1B=35，A1B=5，，A1M=2，即可得到S△A1MB,进而求出三棱锥A1−MBC1的体积．解：直三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB=3,BC=5,M是AA1的中点，则sin∠MA1B=35，A1B=5，，A1M=2，所以S△A1MB =12·A1M·A1B·sin∠MA1B=12×2×5×35=3，所以棱锥A1−MBC1的体积为 VA1−MBC1=VC−A1MB=13×C1A1·S△A1MB=13×4×3=4．7.答案：D解析：本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．基本事件总数n=C42=6，选派的都是男生包含的基本事件个数m=C32=3，由此能求出选派的都是男生的概率．解：高二8班从3男1女4位同学中选派2位同学参加某演讲比赛，三男一女分别记为A，B，C，D，则4位同学中选派2位同学的结果有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种，选派的都是男生包含的结果有AB，AC，BC，共三种，∴选派的都是男生的概率p=36=12．故选D．8.答案：A解析：本题考查抛物线的性质和应用，正确运用抛物线的定义是关键．线段AB的中点到准线的距离为4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知|AB|的值．解：由题设知直线l：y=k(x−1)经过抛物线C：y2=4x的焦点坐标，线段AB的中点到准线的距离为3+1=4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知：|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8．故选：A．9.答案：B解析：本题考查等差数列的通项公式及前n 项和公式，属于基础题．由a 8+a 9=9，a 4=1联立解方程组即可求出等差数列的的公差和首项，然后代入求和公式．解：因为{a n }是等差数列，所以可设a n =a 1+(n −1)d ，所以a 4=a 1+3d =1，a 8+a 9=2a 4+9d =9，所以d =79，a 1=−43，所以S 9=9×(−43)+9×82×79=16．故选B ． 10.答案：C解析：本题考查曲线的切线方程，考查导数的几何意义，属于基础题．求导数，确定切线的斜率，即可求出曲线y =3x −lnx 在点(1,3)处的切线方程．解：由题意，y ′=3−1x ，所以曲线过点(1,3)处的切线斜率为k =3−1=2，所以切线方程为y −3=2(x −1)，即y =2x +1，故选C ． 11.答案：A解析：解：依题意如图，延长F 1M ，交PF 2于点T ，∵PM 是∠F 1PF 2的角分线．TF 1是PM 的垂线，∴PM 是TF 1的中垂线，∴|PF 1|=|PT|，∵P为双曲线x2a2−y2b2=1上一点，∴|PF1|−|PF2|=2a，∴|TF2|=2a，在三角形F1F2T中，MO是中位线，∴|OM|=a．故选：A．先画出双曲线和焦点三角形，由题意可知PM是TF1的中垂线，再利用双曲线的定义，数形结合即可得结论．本题考查了双曲线的定义的运用以及双曲线标准方程的意义，解题时要善于运用曲线定义，数形结合的思想解决问题．12.答案：B解析：本题主要考查函数零点的判定定理．由方程的根与函数零点的关系可知，求方程的根，就是确定函数的零点，也就是求函数的图象与x轴的交点的横坐标．令f(x)=0，由二次方程的解法，运用因式分解解方程即可得到所求函数的零点．解：令f(x)=0，即x2−x−2=0，即有(x−2)(x+1)=0，解得x=2或x=−1．即函数f(x)的零点为2或−1．故选B．13.答案：2√3解析：解：由三视图可知此几何体是组合体：上面是圆锥、下面是圆柱，∵正视图与侧视图完全相同，均为等边三角形与矩形的组合，∴圆锥的高是x，则半径为xtan60°=√3，母线长是xsin60°=2√3x3，则圆柱的底面半径是√3，高是1，∵该几何体的表面积为16π，∴π×(√3)2+2π×√3×1+π√3× 2√3x 3=16π，化简得，√3x 2+2x −16√3=0，解得x =2√3或x =3舍去)，故答案为：2√3．由三视图可知此几何体是组合体：上面是圆锥、下面是圆柱，由条件和直角三角形的三角函数求出半径、圆锥母线长，利用圆柱、圆锥的表面积公式列出方程求出x 的值．本题考查了由三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．14.答案：√22或1解析：本题考查了二项式定理的应用以及利用二项展开式的通项公式求展开式中某项系数的问题，是综合性题目，属于基础题．根据(ax +1a )6展开式的通项公式求出展开式中含x 4与x 2，从而求出(2+x 2)(ax +1a )6展开式中含x 4项的系数，列出方程求出正实数a 的值．解：∵(ax +1a )6展开式的通项公式为：T r+1=C 6r ⋅(ax)6−r ⋅(1a )r =C 6r⋅a 6−2r ⋅x 6−r ，令6−r =4，得r =2，∴T 2+1=C 62⋅a 2⋅x 4=15a 2x 4，令6−r =2，得r =4，∴T 4+1=C 64⋅a −2⋅x 2=15a −2x 2，∴(2+x 2)(ax +1a )6展开式中含x 4项的系数为： 2×15a 2+15a −2=45，整理得2a 4−3a 2+1=0，解得a 2=1或a 2=12， ∴正实数a =1或a =√22．故答案为√22或1．15.答案：54解析：本题考查了平面向量的数量积公式的应用以及向量垂直的性质；属于常规题．首先求出单位向量e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 的数量积，再根据(e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ )·(k e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ )=0，得到关于k的方程解之即可．解：因为单位向量e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 的夹角是2π3，所以e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =1×1×cos2π3=−12，并且(e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ )⊥(k e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ )，所以(e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ )⋅(k e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ )=0，展开得k e1⃗⃗⃗ 2−2e2⃗⃗⃗ 2+(1−2k)e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =0，即k−2−12(1−2k)=0，解得k=54．故答案为：54．16.答案：387解析：本题考查数列递推式，考查了由数列的前n项和求数列部分项的和，是基础的计算题．由已知数列的前n项和，利用a6+a7+a8=S8−S5求得结果．解：由S n=n3，得a6+a7+a8=S8−S5=83−53=387．故答案为：387．17.答案：解：(1)sin(2A+B)sinA=2+2cos(A+B)．∴sin(2A+B)=2sinA+2sinAcos(A+B)，∴sinAcos(A+B)+cosAsin(A+B)=2sinA+2sinAcos(A+B)，∴−sinAcos(A+B)+cosAsin(A+B)=2sinA，即sinB=2sinA，故由正弦定理可得b=2a．(2)由余弦定理可得cosC =a 2+b 2−c 22ab=a 2+4a 2−7a 24a 2=−12，因为∠C 是△ABC 的内角，故∠C =2π3．解析：(1)等式可化简为sinB =2sinA ，故由正弦定理可得b =2a ； (2)由余弦定理可得cosC =−12，∠C 是△ABC 的内角，故可得∠C =2π3．本题主要考查了余弦定理的综合应用，属于基础题．18.答案：解：(1)以200人中，“热烈参与者”的频率作为概率，则估计该市“热烈参与者”的人数约为：20000×15=4000； (2)根据题意可知，ξ～B(3,45)，P(ξ=0)=C 30×(15)3=1125， P(ξ=1)=C 31×45×(15)2=12125， P(ξ=2)=C 32×(45)2×15=48125， P(ξ=3)=C 33×(45)3=64125，∴ξ的分布列为：E(ξ)=3×45=125．解析：本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)以200人中，“热烈参与者”的频率作为概率，可估计该市“热烈参与者”的人数； (2)根据题意可知，ξ～B(3,45)，由此能求出ξ的分布列和E(ξ)．19.答案：证明：(1)∵AB =BC =CA ，D 是AC 的中点，∴BD ⊥AC ，∵AA 1⊥平面ABC ，AA 1⊂平面AA 1C 1C ，∴平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，又平面AA 1C 1C ∩平面ABC =AC ，BD ⊂平面ABC ， ∴BD ⊥平面AA 1C 1C ，又AE ⊂平面AA 1C 1C ， ∴BD ⊥AE ．又∵在正方形AA 1C 1C 中，D ，E 分别是AC ，CC 1的中点，根据相似三角形，易得A 1D ⊥AE ．又A 1D ∩BD =D ，A 1D 、BD ⊂平面A 1BD ， ∴AE ⊥平面A 1BD ．解：(2)因为BD ⊥平面AA 1C 1C ，根据题意，取A 1C 1中点F ，以DF ，DA ，DB 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， D(0,0，0)，E(1,−1,0)，B(0,0,√3)，B 1(2,0,√3)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,√3)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,√3)，设平面DBE 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =√3z =0DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =x −y =0，令x =1，则m⃗⃗⃗ =(1,1，0)，设平面BB 1E 的一个法向量为n⃗ =(a,b ，c)，则{BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2a =0EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =a +b +√3c =0，令c =√3，则n ⃗ =(0,−3,√3) 设二面角D −BE −B 1的平面角为θ，观察可知θ为钝角， cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−√64，∴cosθ=−√64，故二面角D −BE −B 1的余弦值为−√64．解析：本题考查线面垂直的证明，考查向量法求解二面角的余弦值，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)推导出BD ⊥AC ，从而平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，进而BD ⊥平面AA 1C 1C ，BD ⊥AE ，再求出A 1D ⊥AE ，由此能证明AE ⊥平面A 1BD ．(2)取A 1C 1中点F ，以DF ，DA ，DB 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D −BE −B 1的余弦值．20.答案：解：(Ⅰ)设动点M(x,y)，则k MA =yx+3,k MB =yx−3(x ≠±3)， ∵k MA k MB =−19，即yx+3⋅yx−3=−19．化简得x 29+y 2=1，由已知x ≠±3，故曲线C 的方程为x 29+y 2=1(x ≠±3)．(Ⅱ)由已知直线l 过点T(1,0)，设l 的方程为x =my +1，则联立方程组{x =my +1x 2+9y 2=9，消去x 得 (m 2+9)y 2+2my −8=0，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则{y 1+y 2=−2mm 2+9y 1y 2=−8m 2+9，直线SP 与SQ 斜率分别为k SP =y 1x 1−s =y 1my 1+1−s ，k SQ =y 2x 2−s =y2my 2+1−s ，k SP k SQ =y 1y 2(my 1+1−s)(my 2+1−s)=y 1y 2m 2y 1y 2+m(1−s)(y 1+y 2)+(1−s)2=−8(s 2−9)m 2+9(1−s)2．当s =3时，k SP k SQ =−89(1−s)2=−29；当s =−3时，k SP k SQ =−89(1−s)2=−118．所以存在定点S(±3,0)，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值．解析：本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，属于较难题． (Ⅰ)设动点M(x,y)，则k MA =yx+3,k MB =yx−3(x ≠±3)，利用k MA k MB =−19，求出曲线C 的方程． (Ⅱ)由已知直线l 过点T(1,0)，设l 的方程为x =my +1，则联立方程组{x =my +1x 2+9y 2=9，消去x 得(m 2+9)y 2+2my −8=0，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)利用韦达定理求解直线的斜率，然后化简即可推出结果．21.答案：解：(1)当a =−1时，f(x)=ln(x −1)−x ，x >1，f′(x)=1x−1−1=2−xx−1，当1<x <2时，f′(x)>0，f(x)递增，当x >2时，f′(x)<0，f(x)递减，故f(x)在(1,2)递增，在(2,+∞)递减；(2)由题意得：x ≥1时，x +a >0恒成立，故a >−1，①，不等式e f(x)+a2x 2>1恒成立，即a2x 2+x+a e x −1>0对任意的x ≥1恒成立，设g(x)=a2x 2+x+a e x−1，x ≥1，g′(x)=ae x x−x+1−ae x，a ≤0时，g(2)=a(2+1e 2)−1+2e 2<0，不合题意， a >0时，要使x ≥1时，不等式e f(x)+a2x 2>1恒成立，只需g(1)=a(12+1e )−1+1e >0，即a >2(e−1)e+2，a >2(e−1)e+2时，ae x x −x +1−a =a(e x x −1)+1−x >2(e−1)e+2(e x x −1)+1−x ，设ℎ(x)=2(e−1)e+2(e x x −1)+1−x ，x ≥1，ℎ′(x)=2(e−1)e+2e x x +2(e−1)e+2e x −1，x ≥1，显然ℎ′(x)在(1,+∞)递增，∴ℎ′(x)>ℎ′(1)=4e 2−5e−2e+2>0，∴ℎ(x)在(1,+∞)递增，ℎ(x)>ℎ(1)=2(e−1)2e+2>0，即ae x x −x +1−a >0，②，由①②得：a >2(e−1)e+2时，满足题意．解析：(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； (2)问题转化为a2x 2+x+a e x−1>0对任意的x ≥1恒成立，设g(x)=a 2x 2+x+a e x−1，x ≥1，通过求导得到g(x)的单调性，从而求出a 的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．22.答案：解：(1)由曲线C 1：{x =√2cosθy =sinθ(θ为参数)，消去参数θ，可得普通方程为x 22+y 2=1．把直线l 的参数方程代入为x 22+y 2=1，得7t 2+4t −4=0．则t 1+t 2=−47，t 1t 2=−47．∴|AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=8√27； (2)设点P(x,y)是曲线C 1上的一个动点，化曲线C 2：{x =cosαy =3+sinα(α为参数)为x 2+(y −3)2=1． ∴|PC 2|=√x 2+(y −3)2=√−(y +3)2+20， ∵−1≤y ≤1， ∴|PC 2|的最大值为4，则|PQ|的最大值为5．解析：(1)化曲线C 1的参数方程为普通方程，把直线的参数方程代入，化为关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系及此时t 的几何意义求解；(2)点P(x,y)是曲线C 1上的一个动点，化曲线C 2的参数方程为普通方程，由两点间的距离公式写出|PC 2|，利用二次函数求其最大值，进一步得到|PQ|的最大值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了圆与椭圆位置关系的应用，是中档题．23.答案：解：(1)根据题意可得，当x <−1时，−x −1+2x −1≤x +2，解得−2<2，所以x <−1；…(1分) 当−1≤x ≤12时，x +1+2x −1≤x +2，解得x ≤1，所以−1≤x ≤12；…(2分) 当x >12时，x +1−2x +1≤x +2，解得x ≥0，所以x >12；…(3分) 综上，不等式f(x)≤x +2的解集为R …(5分) (2)不等式f(x)≤|x|(|a −1|+|a +1|)等价于|x+1|−|2x−1||x|≤|a −1|+|a +1|，…(6分)因为||x+1|−|2x−1||x||=||1+1x|−|2−1x||≤|1+1x+2−1x|=3，…(8分)当且仅当(1+1x )(2−1x )≤0时取等号，因为|x+1|−|2x−1||x|≤|a −1|+|a +1|，所以|a −1|+|a +1|≥3，解得a ≤−32或a ≥32，故实数a 的取值范围为(−∞,−32]∪[32,+∞)…(10分)解析：(1)利用x 的范围去掉绝对值符号，然后求解不等式的解集即可． (2)不等式f(x)≤|x|(|a −1|+|a +1|)等价于|x+1|−|2x−1||x|≤|a −1|+|a +1|，利用绝对值不等式的几何意义求解左侧的最值，然后求解a 的范围即可．本题考查不等式恒成立，绝对值不等式的解法，考查转化思想以及分类讨论思想的应用．。

【附20套高考模拟试题】2020届广东省三校高考数学模拟试卷含答案

2018 年初制定人才引进与落户新政（即放宽政策，以下简称新政）：硕士研究生及以上可直接落户并享有
当地政府依法给与的住房补贴，本科学历毕业生可以直接落户，专科学历毕业生在当地工作两年以上可以
落户。高中及以下学历人员在当地工作 10 年以上可以落户。新政执行一年，2018 年全年新增落户人口较
2017 年全年增加了一倍，为了深入了解新增落户人口结构及变化情况，相关部门统计了该市新政执行前
9．已知 m ，n 是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（）
A．若 m ，则 m
B．若 m ， n ，则 m n
C．若 m ， m ，则 m / / D．若 I m ， n m ，则 n
10．在等差数列 an 中，若 a3 a5 a7 a9 a11 55 ， S3 3 ，则 a5 等于（）
4．函数 f (x) ln x2 2 ex1的图像可能是（）
A．
B．
C．
D．
5．已知
a
log8
5
，
b
log4
3
，
c
2 3
，则
a
，
b
，
c
的大小关系是（
）
A． a b c
B． b a c
C． b c a D． c b a
6．若不等式 2xln x≥－x2＋ax－3 对 x∈(0，＋∞)恒成立，则实数 a 的取值范围是( ) A．(－∞，0) B．(－∞，4] C．(0，＋∞) D．[4，＋∞) 7．下列函数中，图象的一部分如图所示的是（）
一年（即 2017 年）与新政执行一年（即 2018 年）新增落户人口学历构成比例，得到如下饼图：

2020年广东省广州市高考数学模拟试卷(文科)

2020年广东省广州市高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数(1)z i i =+，则||(z =)A ．12B ．22C ．1D ．22．（5分）已知集合{0A =，1，2，3}，{1B =-，0，1}，P A B = ，则P 的子集共有()A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个3．（5分）设向量(,1)a m = ，(2,1)b =- ，且a b ⊥ ，则(m =)A ．2-B ．12-C ．12D ．24．（5分）已知{}n a 是等差数列，35a =，2467a a a -+=，则数列{}n a 的公差为()A ．2-B ．1-C ．1D ．25．（5分）已知命题:p x R ∀∈，210x x -+<；命题:q x R ∃∈，23x x >，则下列命题中为真命题的是()A ．p q∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q⌝∧⌝6．（5分）已知偶函数()f x 满足2()(0)f x x x x=->，则{|(2)1}(x f x +>=)A ．{|4x x <-或0}x >B ．{|0x x <或4}x >C ．{|2x x <-或2}x >D ．{|2x x <-或4}x >7．（5分）如图，圆O 的半径为1，A ，B 是圆上的定点，OB OA ⊥，P 是圆上的动点，点P 关于直线OB 的对称点为P '，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，将||OP OP -' 表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[0，]π上的图象大致为()A ．B ．C ．D ．8．（5分）陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为()A ．(722)π+B ．(1022)π+C ．(102)π+D ．(112)π+9．（5分）某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为()A ．1211e er R e e ++--B ．111e er R e e ++--C ．1211e er R e e-+++D ．111e er R e e-+++10．（5分）已知函数()1f x x alnx =--存在极值点，且()0f x 恰好有唯一整数解，则实数a 的取值范围是()A ．(,1)-∞B ．(0,1)C ．1(0,2ln D ．1(2ln ，)+∞11．（5分）已知1F ，2F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，若||2AB =2ABF ∆的内切圆的半径为()A．3B．3C．3D．312．（5分）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题：①1EF B C ⊥；②直线FG 与直线1A D 所成角为60︒；③过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形；④三棱锥B EFG -的体积为56．其中，正确命题的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数()y f x =的图象与2x y =的图象关于直线y x =对称，则f （4）=．14．（5分）设x ，y 满足约束条件1302x x y ⎧⎨+⎩，则2z x y =-的最小值为．15．（5分）羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成．某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为．16．（5分）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若1122n n n S a --=，则34a a +=，数列2{}n n a a +-的前n 项和n T =．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．（12分）某企业质量检验员为了检测生产线上零件的情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：)mm ，得到如图的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01)；（2）已知尺寸在[63.0，64.5)上的零件为一等品，否则为二等品．将这80个零件尺寸的样本频率视为概率，从生产线上随机抽取1个零件，试估计所抽取的零件是二等品的概率．18．（12分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，2222sin sin sin sin sin 3A C A CB +-=．（1）求sin B 的值；（2）若2b =，ABC ∆的面积为ABC ∆的周长．19．（12分）如图，三棱锥P ABC -中，PA PC =，AB BC =，120APC ∠=︒，90ABC ∠=︒，2AC ==．（1）求证：AC PB ⊥；（2）求点C 到平面PAB 的距离．20．（12分）已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB =-．（1）判断点(0,1)D -是否在直线AB 上？说明理由；（2）设点M 是PAB ∆的外接圆的圆心，求点M 的轨迹方程．21．（12分）已知函数()xbe f x alnx x=-，曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为220x y e ---=．（1）求a ，b 的值；（2）证明函数()f x 存在唯一的极大值点0x ，且0()222f x ln <-．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线1C 的参数方程为cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数），曲线2C 的参数方程为sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）．（1）求1C 与2C 的普通方程；（2）若1C 与2C 相交于A ，B 两点，且||AB =sin α的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知0a >，0b >，且1a b +=．（1）求12a b+的最小值；（2）证明：22212ab b a b +<++．2020年广东省广州市高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数(1)z i i =+，则||(z =)A ．12B．2C ．1D【解答】解：(1)1z i i i =+=-+，||z ∴==故选：D ．2．（5分）已知集合{0A =，1，2，3}，{1B =-，0，1}，P A B = ，则P 的子集共有()A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个【解答】解：集合{0A =，1，2，3}，{1B =-，0，1}，{0P A B ∴== ，1}，P ∴的子集共有224=．故选：B ．3．（5分）设向量(,1)a m = ，(2,1)b =- ，且a b ⊥ ，则(m =)A ．2-B ．12-C ．12D ．2【解答】解：向量(,1)a m =，(2,1)b =- ，且a b ⊥ ，∴210a b m =-=，解得12m =，∴实数12m =．故选：C ．4．（5分）已知{}n a 是等差数列，35a =，2467a a a -+=，则数列{}n a 的公差为()A ．2-B ．1-C ．1D ．2【解答】解：{}n a 是等差数列，35a =，2467a a a -+=，∴111125(3)57a d a d a d a d +=⎧⎨+-+++=⎩，解得11a =，2d =．∴数列{}n a 的公差为2．故选：D ．5．（5分）已知命题:p x R ∀∈，210x x -+<；命题:q x R ∃∈，23x x >，则下列命题中为真命题的是()A ．p q∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q⌝∧⌝【解答】解：22131()024x x x -+=-+>恒成立，故命题:p x R ∀∈，210x x -+<为假命题，当1x =-时，23x x >，成立，即命题:q x R ∃∈，23x x >，为真命题，则p q ⌝∧为真，其余为假命题，故选：B ．6．（5分）已知偶函数()f x 满足2()(0)f x x x x=->，则{|(2)1}(x f x +>=)A ．{|4x x <-或0}x >B ．{|0x x <或4}x >C ．{|2x x <-或2}x >D ．{|2x x <-或4}x >【解答】解：偶函数()f x 满足2()(0)f x x x x=->，在(0,)+∞递增，且f （2）1=，故(2)1f x +>，即|2|2x +>，解得{|0x x >或者4}x <-，故选：A ．7．（5分）如图，圆O 的半径为1，A ，B 是圆上的定点，OB OA ⊥，P 是圆上的动点，点P 关于直线OB 的对称点为P '，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，将||OP OP -' 表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[0，]π上的图象大致为()A ．B ．C ．D ．【解答】解：设PP '的中点为M ，则||||2||OP OP P P PM '-'==，当[0x ∈，]2π时，在Rt OMP ∆中，||1OP =，OPM POA x ∠=∠=，所以||cos ||PM x OP =，所以||cos PM x =，||2cos OP OP x -'= ，即()2cos f x x =，[0x ∈，]2π．从四个选项可知，只有选项A 正确，故选：A ．8．（5分）陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为()A ．(722)π+B ．(1022)π+C ．(102)π+D ．(112)π+【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：上部是圆柱，下部是圆锥，几何体的表面积为：144223(102)2ππππ+⨯⨯⨯=+．故选：C ．9．（5分）某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为()A ．1211e er R e e ++--B ．111e er R e e ++--C ．1211e er R e e-+++D ．111e er R e e-+++【解答】解：椭圆的离心率：(0,1)ce a=∈，(c 为半焦距；a 为长半轴），只要求出椭圆的c 和a ，即可确定卫星远地点离地面的距离，设卫星近地点，远地点离地面距离分别为m ，n ，由题意，结合图形可知，a c r R -=+，远地点离地面的距离为：n a c R =+-，m a c R =--，1r Ra e +=-，()1r R ec e+=-，所以远地点离地面的距离为：()121111r R e r R e en a c R R r R e e e e+++=+-=+-=+----．故选：A ．10．（5分）已知函数()1f x x alnx =--存在极值点，且()0f x 恰好有唯一整数解，则实数a 的取值范围是()A ．(,1)-∞B ．(0,1)C ．1(0,2ln D ．1(2ln ，)+∞【解答】解：函数的定义域为(0,)+∞，且()1a x af x x x-'=-=，又函数()f x 存在极值点，即()y f x ='有变号零点，故0a >，故函数()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，注意到f （1）0=，0x →时，()0f x >，①当01a < 时，显然()0f x 恰好有唯一整数解1x =，满足题意；②当1a >时，只需满足f （2）0>，即120aln ->，解得12a ln <；综上，实数a 的取值范围为1(0,)2ln ．故选：C ．11．（5分）已知1F ，2F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，若||AB =2ABF ∆的内切圆的半径为()A ．3B ．3C ．3D ．3【解答】解：由双曲线的方程可设左焦点1(,0)F c -，由题意可得22b AB a ==，再由1b =，可得a =2212x y -=，所以1(F 0)，2F 0)，所以2121122ABF S AB F F === 三角形2ABF 的周长为2211(2)(2)42C AB AF BF AB a AF a BF a AB =++=++++=+=设内切圆的半径为r ，所以三角形的面积1122S C r r === ，所以=r =，故选：B ．12．（5分）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题：①1EF B C ⊥；②直线FG 与直线1A D 所成角为60︒；③过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形；④三棱锥B EFG -的体积为56．其中，正确命题的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：如图；连接相关点的线段，O 为BC 的中点，连接EFO ，因为F 是中点，可知1B C OF ⊥，1EO B C ⊥，可知1B C ⊥平面EFO ，即可证明1B C EF ⊥，所以①正确；直线FG 与直线1A D 所成角就是直线1A B 与直线1A D 所成角为60︒；正确；过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图：是五边形EHFGI ．所以③不正确；三棱锥B EFG -的体积为：123115(22131)232223G EBM V -+=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯=．123115(22131)132226F EBM V -+=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯=．所以三棱锥B EFG -的体积为56．④正确；故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数()y f x =的图象与2x y =的图象关于直线y x =对称，则f （4）=2．【解答】解：由题意可知，函数()y f x =与函数2x y =互为反函数，2()log f x x ∴=，f ∴（4）2log 42==，故答案为：2．14．（5分）设x ，y 满足约束条件1302x x y ⎧⎨+⎩，则2z x y =-的最小值为1-．【解答】解：由约束条件得到如图可行域，由目标函数2z x y =-得到1122y x z =-；当直线经过A 时，直线在y 轴的截距最大，使得z 最小，由12x x y =⎧⎨+=⎩得到(1,1)A ，所以z 的最小值为1211-⨯=-；故答案为：1-．15．（5分）羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成．某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为29．【解答】解：设分为甲乙两队；则甲队的人任选的话有：11339⨯=种情况，乙队去选时有：11224⨯=种情况；故共有9436⨯=种情况；若1A 和1B 两人组成一队，在甲队时，乙队有11224⨯=种情况；在乙队时，甲队有11224⨯=种情况；故共有448+=种情况；所以：1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为：82369=．故答案为：29．16．（5分）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若1122n n n S a --=，则34a a +=18-，数列2{}n n a a +-的前n 项和n T =．【解答】解：（1）由于数列{}n a 满足1122n n n S a --=，①当2n 时，112122n n n S a ----=②，①-②得：11211222n n n n n a a a ----+=-，整理得1121122n n n n a a ---+=-，所以43321111122848a a +=-=-=-．（2）由于1121122n n n n a a ---+=-，故2111122n n n na a ++++=-③，所以111122n n n n a a +-+=-④，③-④得：211121222n n n n n a a ++--=-+，所以21032111121121121()()(222222222n n n n T +-=-++-++⋯+-+，23112011111111111()2()(222222222n n n +-=++⋯+-⨯++⋯++++⋯+，11111(1(1)142222()2()()111111222n n n⨯-⨯--=-⨯+---，11122n +=-．故答案为：（1）18-，（2）11122n +-三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．（12分）某企业质量检验员为了检测生产线上零件的情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：)mm ，得到如图的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01)；（2）已知尺寸在[63.0，64.5)上的零件为一等品，否则为二等品．将这80个零件尺寸的样本频率视为概率，从生产线上随机抽取1个零件，试估计所抽取的零件是二等品的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图的性质得：(0.0750.225)0.50.15+⨯=，0.150.750.50.525+⨯=，所以中位数在[63.0，63.5)内，设为a ，则0.15(63.0)0.750.5a +-⨯=，解得63.47a ≈，所以估计中位数为63.47；（2）尺寸在[63.0，64.5)上的频率为(0.7500.6500.200)0.50.8++⨯=，且10.80.2-=，所以从生产线上随机抽取1个零件，估计所抽取的零件是二等品的概率为0.2．18．（12分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，2222sin sin sin sin sin 3A C A CB +-=．（1）求sin B 的值；（2）若2b =，ABC ∆的面积为ABC ∆的周长．【解答】解：（1）因为2222sin sin sin sin sin 3A C A CB +-=．由正弦定理可得，22223a cb ac +-=，由余弦定理可得，1cos 3B =，故22sin 3B =；（2）1sin 26ABC S ac B ∆=== ，所以3ac =，因为22223a cb ac +-=，所以28()448123a c ac +=+=+=，所以2a c b ++=+．19．（12分）如图，三棱锥P ABC -中，PA PC =，AB BC =，120APC ∠=︒，90ABC ∠=︒，2AC ==．（1）求证：AC PB ⊥；（2）求点C 到平面PAB 的距离．【解答】（1）证明：取AC 的中点为O ，连接BO ，PO ．在PAC ∆中，PA PC = ，O 为AC 的中点，PO AC ∴⊥，在BAC ∆中，BA BC = ，O 为AC 的中点，BO AC ∴⊥，OP OB O = ，OP ，OB ⊂平面OPB ，AC ∴⊥平面OPB ，PB ⊂ 平面POB ，AC BP ∴⊥；（2）解：在直角三角形ABC 中，由2AC =，O 为AC 的中点，得1BO =，在等腰三角形APC 中，由120APC ∠=︒，得3PO =，又3PB =，222PO BO PB ∴+=，即PO BO ⊥，又PO AC ⊥，AC OB O = ，PO ∴⊥平面ABC ，求解三角形可得PA =，又AB =12PAB S ∆==设点C 到平面PAB 的距离为h ，由P ABC C PAB V V --=，得11132236⨯=⨯，解得h =，故点C 到平面PAB．20．（12分）已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB =-．（1）判断点(0,1)D -是否在直线AB 上？说明理由；（2）设点M 是PAB ∆的外接圆的圆心，求点M 的轨迹方程．【解答】解：（1）由抛物线的方程可得顶点(0,3)P -，由题意可得直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为：4y kx =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 联立直线与抛物线的方程：2134y kx by x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，整理可得：244(3)0x kx b --+=，△21616(3)0k b =++>，即230k b ++>，124x x k+=，124(3)x x b =-+，2222222121212()4(3)412y y k x x kb x x b k b k b b b k =+++=-+++=-，21212()242y y k x x b k b +=++=+，因为1(PA PB x =，123)(y x +，222221212123)3()94(3)123(42)923y x x y y y y b b k k b b b +=++++=-++-+++=+-，而4PA PB =-，所以2234b b +-=-，解得1b =-，m 满足判别式大于0，即直线方程为1y kx =-，所以恒过(0,1)-可得点(0,1)D -在直线AB 上．（2）因为点M 是PAB ∆的外接圆的圆心，所以点M 是三角形PAB 三条边的中垂线的交点，设线段PA 的中点为F ，线段PB 的中点为为E ，因为(0,3)P -，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 所以1(2x F ，13)2y -，2(2x E ，23)2y -，113PA y k x +=，223PB y k x +=，所以线段PA 的中垂线的方程为：11113()232y x xy x y --=--+，因为A 在抛物线上，所以211134y x +=，PA 的中垂线的方程为：211143(82x x y x x -+=--，即211418x y x x =-+-，同理可得线段PB 的中垂线的方程为：222418x y x x =-+-，联立两个方程211222418418x y x x x y x x ⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-+-⎪⎩，解得1212221212()3288M x x x x x x x x x y +⎧=-⎪⎪⎨++-⎪=⎪⎩，由（1）可得124x x k +=，124(3)8x x b =-+=-，所以8432M kx k -⨯=-=，22221212122()288M x x x x x x y k +++===，即点2(,2)M k k ，所以212M M x y =，即点M 的轨迹方程为：212x y =．21．（12分）已知函数()xbe f x alnx x=-，曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为220x y e ---=．（1）求a ，b 的值；（2）证明函数()f x 存在唯一的极大值点0x ，且0()222f x ln <-．【解答】解：（1）函数的定义域为(0,)+∞，2()()x x a b xe e f x x x-'=-，则f '（1）a =，f （1）be =-，故曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为0ax y a be ---=，又曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为220x y e ---=，2a ∴=，1b =；（2）证明：由（1）知，()2x e f x lnx x =-，则22()x xx xe e f x x -+'=，令()2x x g x x xe e =-+，则()2x g x xe '=-，易知()g x '在(0,)+∞单调递减，又(0)20g '=>，g '（1）20e =-<，故存在1(0,1)x ∈，使得1()0g x '=，且当1(0,)x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1(x x ∈，)+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，由于(0)10g =>，g （1）20=>，g （2）240e =-<，故存在0(1,2)x ∈，使得0()0g x =，且当0(0,)x x ∈时，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增，当0(x x ∈，)+∞时，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减，故函数存在唯一的极大值点0x ，且00000()20x x g x x x e e =-+=，即00002,(1,2)1x x e x x =∈-，则0000002()221x e f x lnx lnx x x =-=--，令2()2,121h x lnx x x =-<<-，则222()0(1)h x x x '=+>-，故()h x 在(1,2)上单调递增，由于0(1,2)x ∈，故0()h x h <（2）222ln =-，即00222221lnx ln x -<--，0()222f x ln ∴<-．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线1C 的参数方程为cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数），曲线2C 的参数方程为sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）．（1）求1C 与2C 的普通方程；（2）若1C 与2C 相交于A ，B 两点，且||AB =sin α的值．【解答】解：（1）由曲线1C 的参数方程为cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数），消去参数t ，可得tan 1y x α=+；由曲线2C 的参数方程为sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），消去参数θ，可得y =，即221(0)2y x y += ．（2）把cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数）代入2212y x +=，得22(1cos )2sin 10t t αα++-=．∴1222sin 1t t cos αα-+=+，12211t t cos α-=+．12||||AB t t ∴=-===．解得：2cos 1α=，即cos 1α=±，满足△0>．sin 0α∴=．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知0a >，0b >，且1a b +=．（1）求12a b+的最小值；（2）证明：22212ab b a b +<++．【解答】解：（1）12122()(333a b a b a b a b b a +=++=+++=+ ，当且仅当“b =”时取等号，故12a b+的最小值为3+；（2）证明：2222222224122)155ab bab b ab b b b a b ab b a +++===++++++，当且仅当1,22a b ==时取等号，此时1a b +≠．故2221ab b a b +<++。

2020届广州市高三理科数学一模模拟卷

绝密★启用前2020届广州市高三一模模拟卷考试时间：120分钟；命题人：高三备课组第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−2x−3<0}，集合B={x|2x+1>1}，则∁B A=()A. [3,+∞)B. (3,+∞)C. D.2.若z=1+2i，则4iz⋅z−−1=()A. 1B. −1C. iD. −i3.若tanα=34，则cos2α+2sin2α=()A. 6425B. 4825C. 1D. 16254.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为√33，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4√3，则C的方程为()A. x23+y22=1 B. x23+y2=1 C. x212+y28=1 D. x212+y24=15.正四面体ABCD中，M是棱AD的中点，O是点A在底面BCD内的射影，则异面直线BM与AO所成角的余弦值为()A. √26B. √23C. √24D. √256.已知数列{a n}满足：a1=−13，a6+a8=−2，且a n−1=2a n−a n+1(n≥2)，则数列{1a n a n+1}的前13项和为()A. 113B. −113C. 111D. −1117.安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有()A. 360种B. 300种C. 150种D. 125种8.函数f(x)=(1−2x1+2x)cosx的图象大致为()A. B.C. D.9. 某兴趣小组有男生20人，女生10人，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，则①该抽样可能是系统抽样； ②该抽样可能是随机抽样： ③该抽样一定不是分层抽样；④本次抽样中每个人被抽到的概率都是15．其中说法正确的为( )A. ①②③B. ②③C. ②③④D. ③④10. 已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA =AB =1，BC =√2，则球O 的表面积等于( )A. 4πB. 3πC. 2πD. π11. 已知函数f(x)=e x (x −b)(b ∈R).若存在x ∈[12,2]，使得f(x)+xf ′(x)>0，则实数b 的取值范围是( )A. (−∞,83)B. (−∞,56)C. (−32,56)D. (83,+∞)12. 数列{a n }满足a 1=14，a n+1=14−4a n，若不等式a2a 1+a3a 2+⋯+an+2a n+1<n +λ对任何正整数n 恒成立，则实数λ的最小值为( )A. 38B. 34C. 78D. 74第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(m,1)，若向量a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ 垂直，则m =______． 14. 已知实数x ，y 满足{y ≤23x −y −3≤02x +y −2≥0，目标函数z =3x +y +a 的最大值为4，则a = ．15. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ∈(−∞,0)时，f(x)=2x 3+x 2，则f(2)=______． 16. 已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的左、右焦点，P 为双曲线左支上任意一点，若PF 22PF 1的最小值为8a ，则双曲线的离心率的取值范围为________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知函数f(x)=sin(2x +π6)+2sin 2x ．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；(Ⅱ)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若f(A2)=32，b +c =7，△ABC 的面积为2√3，求边a 的长．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，AB=2，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．(Ⅰ)证明：AE⊥PD；(Ⅱ)设H为线段PD上的动点，若线段EH长的最小值为√5，求二面角E−AF−C的余弦值．19.已知函数f(x)=xe x−ln (x+1)−x．(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)证明：函数f(x)在区间(0,1)内有且只有一个零点．20.已知椭圆C：x2b2+y2a2=1(a>b>0)的离心率为√32，椭圆C的长轴长为4．(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l：y=kx+√3与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．21.2019年7月1日至3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善．某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程(理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程)的测试．现对测试数据进行分析，得到如下的频率分布直方图：(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)．(2)根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布N(μ,σ2)，经计算第(1)问中样本标准差s的近似值为50.用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率．参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973． (3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券，已知硬币出现正、反面的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、……、第50格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格(从k 到k +1)，若掷出反面，遥控车向前移动两格(从k 到k +2)，直到遥控车移到第49格(胜利大本营)或第50格(失败大本营)时，游戏结束．设遥控车移到第n 格的概率为P n ，试说明{P n −P n−1}是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车．22. 已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，圆C 的极坐标是ρ=2asinθ，直线l 的参数方程是{x =−35t +a y =45t(t 为参数)． (1)若a =2，M 为直线l 与x 轴的交点，N 是圆C 上一动点，求|MN|的最大值； (2)若直线l 被圆C 截得的弦长为2√6，求a 的值．。

2020届高中高三广州一模理科数学试卷试题及参考答案.doc

2020 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M { x | 0 x 1, x R}, N { x | x 2, x R} ，则（）A．MI N M B．MI N N C．M UN M D．M UN R2．若复数z满足方程z2 2 0 ，则z3 （）A．22 B．2 2 C．2 2i D．2 2i3．若直线kx y 1 0 与圆 x2 y2 2x 4y 1 0 有公共点，则实数k 的取值范围是（）A．[ 3, ) B．( , 3] C．(0, ) D．( , )4．已知p : x 1 2 ， q : 2 x 3 ，则p是q 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．设函数f (x) 2cos 1 x3 ，若对任意 x R 都有f ( x1)≤f (x)≤f (x2)成立，则 x1 x2的最小2值为（）A．B．C．2 D．42 1AA1, CQ 1CC1，6．已知直三棱柱ABC A1B1C1的体积为V，若 P, Q 分别在 AA1, CC1上，且 AP3 3 则四棱锥 B APQC 的体积为（）A．1V B．2V 1 D．7VC．V6 9 3 9A 1 C1B 1P QA CB7．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由 10 位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2 位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3 位同学．现从这10 位同学中选派 5 人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1 人的概率为（）5B ． 934A ．C ．D ．1414778．已知直线 l : y x2 与 x 轴的交点为抛物线 C : y 22 px( p 0) 的焦点，直线 l 与抛物线 C 交于 A, B两点，则 AB 的中点到抛物线 C 的准线的距离为（）A ．8B ．6C ． 5D ． 49．等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，已知 a 11, a 2 a 5 4 ，若 S n ≥ 4a n 8 (n N ) ，则 n 的最小值3为（）A ．8B ．9C ． 10D ． 1110．已知点 P( x 0, y 0 ) 是曲线 C : y x 3 x 2 1上的点，曲线 C 在点 P 处的切线方程与直线 y 8x 11 平行，则（）A ． x 02B ． x 04344 C ． x 0D ． x 02 或 x 02 或 x 03311．已知 O 为坐标原点，设双曲线x 2 y 20, b 0) 的左、右焦点分别为 F 1, F 2 ，点 P 是双曲C : 2 2 1(aa b线 C 上位于第一象限上的点，过点 F 2 作 F 1PF 2 的平分线的垂线，垂足为A ，若 bF 1F 2 2 OA ，则双曲线 C 的离心率为（）5B ．45D ． 2A ．3C ．4312．已知函数 f (x)x 2 x 1, x 0 ，若 F ( x)f ( x) sin(2020 x) 1在区间 [ 1,1]上有 m 个零x2x 1, x ≥ 0点 x 1, x 2 , x 3, L , x m ，则 f ( x 1 ) f (x 2 ) f (x 3 ) Lf ( x m ) （）A ．4042B ．4041C ． 4040D ． 4039二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．13．如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为 1 的圆及其圆心，则这个几何体的体积为，表面积为．14．在ax 1 ( x2 1)5的展开式中，x3的系数是15，则实数a ．xur uur ur uur ur uur的夹角为5，则实数 k 的值为15．已知单位向量e1与e2 的夹角为，若向量 e1 2e2 与 2e1 ke23 6．16．记数列{ a n}的前n项和为S n，已知anan 1 cosnsinn(n N ) ，且 m S2019 1009 ，n 2 21 9a1m 0 ，则的最小值为．a1 m三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、 23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60 分．17．（本小题满分12 分）△ABC 的内角A, B,C的对边分别为a,b, c．已知c 3 ，且满足ab sin C．3（ 1）求角C的大小；asin A b sin B c sin C（ 2）求b 2a的最大值．18．（本小题满分12 分）随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取 100 人，对其每月参与马拉松运动训练的天数进行统计，得到以下统计表：平均每月进行训练的天数x x ≤ 5 5 x 20 x≥ 20人数15 60 25（ 1）以这 100 人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取 4 个人，求恰好有 2 个人是“平均每月进行训练的天数不少于20 天”的概率；（ 2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100 个人中抽取 12 个，再从抽取的 12 个人中随机抽取 3 个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20 天”的人数，求Y的分布列及数学期望 E (Y )．19．（本小题满分12 分）如图 1，在边长为 2 的等边△ABC中，D, E 分别为边 AC , AB 的中点．将△AED沿DE折起，使得AB AD， AC AE ，得到如图2的四棱锥 A BCDE ，连结 BD ， CE ，且 BD 与 CE 交于点 H ．（ 1）求证：AH 平面 BCDE ；（ 2）求二面角B AE D 的余弦值．AAE D E DHB C B图 2 C图 120．（本小题满分 12 分）已知 e M 过点 A(3,0) ，且与 e N : ( x3) 2 y 2 16 内切，设 e M 的圆心 M 的轨迹为曲线 C ．（ 1）求曲线 C 的方程；（）设直线 l 不经过点 B(2,0) 且与曲线 C 相交于 P, Q 两点．若直线PB 与直线 QB 的斜率之积为12，2判断直线 l 是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由． 21．（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x)( x 4)e x 3x 2 6x, g( x)a 1 x 1 ln x ．3（ 1）求函数 f ( x) 在 (0, ) 上的单调区间；（ 2）用 max{ m, n} 表示 m, n 中的最大值， f (x) 为 f (x) 的导函数．设函数 h( x)max{ f (x), g(x)} ，若 h( x) ≥ 0 在区间 (0, ) 上恒成立，求实数 a 的取值范围；（ 3）证明：111 L 1 1 ln 3 (n N ) ．nn 1n 2 3n 13n（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．22．【选修 4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分）xOy 中，曲线x 3 t 在平面直角坐标系C 1 的参数方程为1 （ t 为参数），曲线 C2 的参数方程为y2t3x, 3cos（为参数且）．2 2y 3 tan（ 1）求曲线 C 1 和 C 2 的普通方程；（ 2）若 A, B 分别为曲线 C 1, C 2 上的动点，求AB 的最小值．23．【选修 4—5：不等式选讲】（本小题满分 10 分）已知函数 f ( x) 3x 6x a , a R ．（ 1）当 a 1 时，解不等式 f (x) 3 ；（ 2）若不等式 f ( x) 11 4x 对任意 x4,3成立，求实数 a 的取值范围．22020 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学参考答案1．答案： A解析： M { x | 0 x 1, xR }, N { x | x 2, x } { x | 2 x 2, x R },MN ，RMINM ．2．答案： D解析： z 22 0, z 22, z2i, z 3 (2i) 32 2i ．3．答案： D解析：圆的标准方程为( x 1)2 ( y 2)2 4 ，圆心为 C( 1,2) ，半径 r 2 ，直线 kx y 1 0 过定点P(0,1) ，因为 CP2r ，所以直线与圆恒有公共点，所以实数k 的取值范围是 (, ) ．4．答案： B解析：由 x 1 2 ，得 x 1 2 或 x 1 2 ，解得 x 3 或 x 1 ，因为 { x | 2 x 3} { x | x3或 x 1} ，所以 p 是 q 的必要不充分条件．5．答案： C解析：由题可知 x 1 是函数 f ( x) 的最小值点， x 2 是函数 f (x) 的最大值点．所以 x 1 x 2 的最小值为函数f (x) 半个周期， T4 ,1T2 ．2A 1 C 16．答案： B解析：设底面正三角形的边长为a ，直三棱柱的高为 h ，则 V3a 2 h ， B 14PQ所以 V B APQC11ah3 a 3 a 2 h 2V ．AC33 21897．答案： CB解析：从 10 位同学中选取 5 人，共有 C 105252 种不同的选法，若每个宣传小组至少选派1 人，则共有2C 22C 21C 31C 31 2C 21C 21C 32 C 3136 72 108 种不同的选法，则所求概率为108 3 ．252 78．答案： A解析：依题可知抛物线的焦点坐标为F (2,0) ，所以 p 4 ，将 yx 2 代入 y 28x ，得x 2 12x 40 ，设 A( x 1, y 1), B( x 2 , y 2 ) ， AB 中点 M ( x 0 , y 0 ) ，则 x 1 x 2 12 ， x 0 x 1x 26 ，2则点 M 到准线 x2的距离为 6 ( 2) 8．9．答案： C{ a n } 的公差为 d ，则 a 2 a 5 2a 125d4 ，解得 d 2解析：设等差数列 5d3 ．3所以a na 1 (n 1)d 1 2( n 1)2n 1 ， S n n(a 1 a n ) 1 n2，由 S n ≥ 4a n 8 ，化简得：3 3 3 2 3n 28n 20≥ 0 ， (n 2)( n 10) ≥ 0 ， n ≥ 10 ，即 n 的最小值为 10．10．答案： B解析：令 y3x 2 2x8，得 3x 22x 8， (3x 4)( x 2) 0 ，解得 x4 或 x2 ，43当 x2 时， y5 ，此时 M (2,5) 在直线 y 8x 11 上，故舍去，所以．x311．答案： CP解析：延长 F 2 A 交 PF 1 于点 B ，因为PA 是F 1PF 2 的平分线且 PA F 2B ，B可得 PBPF ，且 ABAF ，A22所以 OA 是 △ F 1 BF 2 的中位线，F 1O F 2所以 OA11 PF 1PB1 PF 1PF 2a ，BF 1222又由 b F 1F 2 2 OA ，可得 b 2c 2a ，所以 b 2 (2c 2a) 2 ， c 2 a 24c 2 4a 28ac ，所以 3c 28ac 5a 2 0 ， 3e 2 8e 5 0 ， (3e 5)(e1) 0 ， e 5 ．312．答案： B解析： f ( x) x xx 1 ，所以 F ( x) f ( x) sin(2020 x) 1 x x x sin(2020 x) 为奇函数，m0，显然 F(1)F (0) F (1) 0 ，当0 ≤ x ≤ 1 时，由 F (x) x 2所以x ix sin(2020 x) 0 ，i1得 x 2xsin(2020 x) ，在同一坐标系中作出 y x 2 x (0 x ≤ 1) 和 y sin(2020 x) (0x ≤ 1) 的图象， ysin(2020 x) 的最小正周期 T1，1010在每个区间0, 1 , 1 , 2 , L L 1009 , 1010 内各有 2 个零点，所以两函数在区间 (0,1] 内1010 1010 1010 1010 1010共有 2020 个交点，即 F ( x) 在 (0,1] 内共有 2020 个零点，由对称性， F ( x) 在 [ 1,0) 内也有 2020 个零点，又 F(0)0 ，所以 m 4041，所以 f (x 1)4041f (x 2 ) f ( x 3 ) L f ( x m )(x x x 1)4041 ．i 113．答案： 3 ， 3 （第 1 个空 2 分，第二个空 3 分）3解析：该几何体是一个圆锥，其底面半径r 1 ，高h 3 ，母线长 l 2，体积V 1 r 2h 3 ，表面积 S r 2 rl 3 ．3 314．答案： 5解析：ax 1 ( x2 1)5 ax ( x2 1)5 1 ( x2 1)5，x x而 ( x2 1)5的展开式中含x2的项为 C54 x2 ( 1)4 5x2 ，含 x4 的项为 C53 (x2 )2 ( 1)3 10 x4 ，所以ax 1 (x2 1)5的展开式中，x3的系数是5a 10 15 ，解得 a 5 ．x15．答案：10ur uur 1 3 r ur uur(2, r ur uur k 3k ，解析：不妨取 e1 (1,0), e2 , ，设 a e 2e 3) ，b 2e1 ke2 2 ,2 2 1 2 2 2r r 3r r a b 4 k k 32k 2 19k 10 0 ，则 cos a, b r r 2 ，两边平方，并整理得a b k 2 3 k2 27 22 4(k 10)(2 k 1) 0 ，解得k 10 或k 1 5k 0 ，所以k 10 ．，又因为 42216．答案： 16解析：当 n 2 时，得a2 a3 1, a2 a3 2 ；当n 4时，得a4 a5 1, a4 a5 4 ，2 4a2 a3 a4 a5 2 ，同理可得a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 L a2014 a2015 a2017 a2019 2 ，又a2018a2019 1,a2018a2019 2018 ，2018所以 S2019 a1 (a2 a3 a4 a5 ) ( a6 a7 a8 a9 ) L (a2018a2019)a1 504 2 2018 a1 1010 ，由 m S2019 1009 ，得 a1 m 1，所以19 1 9 (a1 m) 10 m9a1 ≥10 2 m 9a1 16 ．a1 m a1 m a1 m a1 m17．解：（ 1）根据正弦定理a b c，得abc3．sin A sin B sin C b 2 c 2a 2因为 c3 ，所以 ab a 2 b 2c 2 【或 ab a 2 b 2 3 】．由余弦定理，得 cosC a2b 2c21【或 cosCa 2b 231】，因为 0 C ，所以C ．2ab 22ab 23（ 2）由已知与（ 1）知 c3 ， C．由正弦定理abc3 ， sin A sin Bsin C23sin3得 a2sin A ， b 2sin B2sin2A ．3所以 b2a2 A4sin A 5sin A3 cos A 2 7 sin( A) ，2sin3（其中 tan3）．因为 02 ， 0，所以 0 A5， 02 A．5366所以 A时， b 2a2 7 sin( A) 取得最大值 2 7 ．所以 b 2a 的最大值为 2 7 ．218．解：（ 1）设从该市参与马拉松运动训练的人中随机抽取一个人，抽到的人刚好是“平均每月进行训练的天数不少于 20 天”记为事件为 A ，则 P( A)25 1 ．100 4设抽到的人是“平均每月进行训练的天数不少于20 天”的人数为，则 :B14，．4所以恰好抽到 2 个人是“平均每月进行训练的天数不少于20 天”的概率为22P2C 42 3127 ．4 4128（ 2）用分层抽样的方法从100 个马拉松训练者中抽取 12 个，则其中 “平均每月进行训练的天数不少于20天”有 3 个．现从这 12 人中抽取 3 个，则“平均每月进行训练的天数不少于20 天”的数量 Y 服从超几何分布， Y 的所有可能的取值为0，1，2，3．则P(Y 0) C 30C 9321 ， P(Y1) C 13C 9227 ，C 12355C 12355P(Y2)C 32C 19273)C 33C 90 1 ． C 123， P(Y C 322022012所以 Y 的分布列如下：Y12 3P21 2727 15555220220所以EY 0211 272 2731 165=3 ． 5555220220 220 419．（ 1）证明 1：在图 1中，因为 △ ABC 为等边三角形，且 D 为边 AC 的中点，所以 BD AC ．在 △BCD 中， BD CD ，BC 2， CD 1，所以 BD3 ．因为 D, E 分别为边AC, AB 的中点，所以 ED // BC ．在图 2 中，有DHED 1 ，所以 DH 1BD3 ．HBBC 233因为 ABAD ，所以 △ABD 为直角三角形．因为 AD1， BD3 ，所以 cosADB AD 3BD．3在 △ADH 中，由余弦定理得AH 2 AD 2 DH 2 2AD DH cos ADB1 12 1 33 2 ，所以 AH 6 ．3 3 3 3 3在 △ADH 中，因为 AH 2DH 2 2 1 1 AD 2 ，所以 AH BD ．同理可证 AH CE ．3 3因为 CEI BDH ，CE 平面 BCDE ， BD 平面 BCDE ，所以 AH 平面 BCDE ．证明 2：在图 1中，因为 △ABC 为等边三角形，且 D 为边 AC 的中点，所以 BDAC ．在 △BCD 中， BDCD ，BC2， CD 1，所以 BD3 ．因为 D , E 分别为边 AC, AB 的中点，所以ED// BC ．在图 2 中，有DHED1 ，所以 DH 1BD3 ．在 Rt △ BAD 中， BD3，AD 1，HBBC 233在 △BAD 和 △ AHD 中，因为DBDA3 ，BDAADH ，所以 △BAD ∽△ AHD ．DA DH所以AHD BAD 90 ．所以 AH BD ．同理可证 AH CE ．因为 CEI BDH ，CE平面 BCDE ， BD 平面 BCDE ，所以 AH平面 BCDE ．（ 2）解法 1：以 E 为原点， EB 所在直线为 x 轴， EC 所在直线为 y 轴，平行于 AH 的直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz ，则 B(1,0,0), C (0, 3,0), A 0, 3 , 6 ，33zAE Duuur3 6 uuuruuur1 uuur13．EA0,,, EB(1,0,0), EDBC,,0 332 2 2ur设平面 ABE 的法向量为 m ( x 1 , y 1, z 1 ) ，ur uuur3 6ur则 m EA3 y 13 z 10 ，取 m (0, 2, 1) ．ur uuurm EB x 1 0r uuur36rn EAy 2z 2设平面 ADE 的法向量为( x 2 , y 2 , z 2 ) ，则33r( 6, 2, 1)．n，取 nr uuur1x 23y 2n EDur r22ur r33m n所以 cos m, n urr3 3 ．m n 3由图可知，二面角B AE D 的平面角是钝角，故二面角BAE D 的余弦值为3 ．3解法 2：在四棱锥 ABCDE 中，分别取 AE ， AB 的中点 M ， N ，连接 DM ， MN ， ND ．因为 △ADE 为等边三角形，所以 DMAE ，因为 BEEC ， BE AH ，CEI AH H ，且 CE, AH平面 AEC ，所以 BE 平面 AEC ．因为 AE平面 AEC ，所以 BEAE ．AMNED因为点 M ， N 分别为边 AE ， AB 的中点，H所以 NM // BE ．所以 NM AE ．B C 所以 DMN 为所求二面角的平面角．在等边三角形 ADE 中，因为 AD1，所以 DM3 ．在 △ABE 中， MN 1EB 1 ．22 2在 Rt △ ABD 中， AD 1 ， BD3 ，所以 AB2．所以 DNAN 2 AD 21 1 6 ．223 21 226在 △DMN 中，由余弦定理得 cos 22 23 ． DMN3 12322所以二面角 B AE D 的余弦值为3．320．（ 1）解：设 e M 的半径为 R ，因为 e M 过点 A( 3,0)RMA，且与 e N 相切，所以，即MN4 RMN MA 4 ．因为 NA 4，所以点 M 的轨迹是以 N ， A 为焦点的椭圆．设椭圆的方程为 x 2y 2 1(a b 0) ，则 2a4 ，且 ca 2b 23 ，a 2b 2所以 a2 ， b 1．所以曲线 C 的方程为x 2y 2 1 ．4（ 2）解法 1：依题意，直线 BP, BQ 的斜率均存在且不为0，设直线 BP 的斜率为 k (k0) ，则直线 BPyk (x 2)2222的方程为 y k( x2) ．由x 2，得 (1 4k )x 16k x 16k40 ，y214解之得 x 12， x 28k 2 2 ．因此点 P8k 2 24k1 4k2 的坐标为1 4k 2,4k 2．1因为直线 BQ 的斜率为1，所以可得点 Q 的坐标为2 2k 2 ,2k ．2k 1 k 2 1 k 2当 k2kPQ=3k时，直线 l 的斜率为．22(1 2k 2 )所以直线 l 的方程为 y2k3kx2 2k 2，k 22(11 k 212k 2 )整理得 y2(1 3k 2 x 1 k 2 ．即 y 2(1 3k 2 x 2 ．2k ) 2k 2k ) 3此时直线 l 过定点2,0 ．当 k2 时，直线 l 的方程为 x 2 ，显然过定点 2,0 ．32 3 3综上所述，直线l 过定点2,0 ．3解法 2：当直线 l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为： xx 1 ．设点 P( x 1, y 1) ，则点 Q ( x 1 , y 1 ) ，依题意x 12 ，因为 kBPkBQy 1y 1x2y 1 241，所以 y 1 2x 124x 1 4 ．x2 x24x221 1 1 1因为x 12y 12 1，且 x 1 2 ，解得 x 1 2 ．此时直线 l 的方程为 x 2 ．4 33当直线 l 的斜率存在时，设直线l 的方程为： y kx m ．y kx m,由x 2 得 (4 k 2 1)x 2 8kmx 4( m 2 1) 0 ．y2 14需要满足(8km) 2 16(4 k2 1)(m2 1) 0 ，即 m2 4k 2 1 ．设点 P( x1, y1 ), Q( x2 , y2 ) ，则有 x1 x28km， x1 x2 4(m2 1) ．4k 2 1 4k 2 1因为 y1 kx1 m ， y2 kx2 m ，所以 y1 y2 ( kx1 m)(kx2 m) m2 4k2 ．4k 2 1因为 k BP k BQy1 y2 y1 y2 1，所以 x1 x2 2 x1 x2 4 2 y1 y2．x1 2 x2 2 x1 x2 2( x1 x2 ) 4 24(m2 1) 16km4 2( m2 4k 2 ) 28km 2 0．所以 m2k 或m 2k．即4k 21 4k24k21，即 3m 4k1 3当 m 2 k 时，满足 m2 4k2 1 ，直线l的方程为 y k x 2 ，恒过定点 2 ,0 ．3 3 3当 m 2k 时，满足m2 4k 2 1 ，直线l的方程为 y k(x 2) ，恒过定点 (2,0) ，不合题意．显然直线 x 2 2，也过定点,03 3综上所述，直线 l 过定点2,0 ．321．（ 1）解：因为f ( x) (x 4)e x 3 x2 6x ，所以 f ( x) ( x 3)e x 3 2x 6 ( x 3)(e x 3 2) ．当 0 x 3 时，f ( x) 0 ， f ( x) 单调递减；当x 3时， f (x) 0， f (x) 单调递增，所以函数 f ( x) 的单调递减区间为(0,3) ，单调递增区间为 (3, ) ．（ 2）解：由（1）可知，当x [3, ) 时， f ( x) ≥ 0 ．所以要使 h( x) ≥ 0 在区间 (0, ) 上恒成立，只需 g(x) ≥ 0 在区间 (0,3) 上恒成立即可．因为g( x) ≥ 0 a 1 x 1 ln x ≥ 0．3以下给出四种求解思路：思路 1：因为 x0 ，所以 a 1 x 1 ln x ≥ 0在区间0,3 上恒成立，3转化为 a ≥1ln x 1 在区间 0,3 上恒成立．x 3 令 m( x)1 ln x 1 ln xx ，则 m ( x) x 2 ．3因为当 x (0,1) 时， m (x) 0 ，当 x (1,3) 时， m ( x)0 ．所以 m( x) 在 (0,1) 上单调递增，在 (1,3) 上单调递减．所以 m( x) ≤ m(1)4 ．所以 a ≥ 4．所以实数 a 的取值范围为4 , ．3 3 3思路 2：因为 g( x)a1 x 1 ln x ，则 g ( x)a1 1(3a 1)x 3(0 x 3) ．33 x3x①若 a ≤ 10 在 (0,3) 上恒成立，所以 g( x) 在 (0,3) 上单调递减，，则 g ( x)3所以 g(x)g(3)a 1 3 1 ln 3，由 g (3) ≥ 0 ，解得 a ≥ 2ln 3 ．33此时实数 a 不合题意．②若1a ≤ 2 ，则 g ( x) ≤ 0 在 (0,3) 上恒成立，所以 g(x) 在 (0,3) 上单调递减，3 3所以 g(x)g(3)a 1 3 1 ln 3，由 g (3) ≥ 0 ，解得 a ≥2ln 3 ．33此时实数 a 不合题意．③若 a2x3时， g ( x)3x3 时， g (x) 0 ．，则当 03a 0 ，当313a1所以函数 g( x) 在0, 3 上单调递减，在 3 ,3 上单调递增．1 3a3a 1所以 g(x) ≥ g3ln 3 ，由3≥ 0 ，解得 a ≥ 43a 11 ln．3a3a 13 此时实数 a 满足 a ≥ 4．3综上所述，实数 a 的取值范围为 4．,3思路 3：因为 g( x)a1 x 1 ln x ，则 g ( x)a1 1 ．33 x因为 g(x) a 1 x 1 ln x≥ 0 在 (0,3) 上恒成立，则 g (1) a 1 1≥ 0 ，即 a ≥4 ．3 3 3因为 g ( x) a 1 1 在 (0,3) 上单调递增，3 x因为 g 1 10 ，【或 x 0 时，g ( x) 】 g (3) a20 ．a 3 3所以存在x0 (0,3) ，使得 g ( x0 ) a 1 1 0 ．3 x0当 x (0, x0 ) 时， g ( x0 ) 0 ，当 x ( x0 ,3) 时， g ( x0 ) 0 ．所以函数 g( x) 在 (0, x0 ) 上单调递减，在( x0 ,3) 上单调递增．所以 g(x) ≥ g( x0 ) a 1x0 1 ln x0 ln a 1 ．3 3要使 g(x) a 1 x 1 ln x≥ 0 在 (0,3) 上恒成立，只要 ln a 1 ≥ 0 ，解得 a ≥4．3 3 3 所以实数 a 的取值范围为4 , ．3思路 4：因为x 0 ，所以 a 1x 1 ln x ≥ 0在区间 (0,3) 上恒成立，3转化为 a 1x ≥ 1 ln x 在区间 (0,3) 上恒成立．3令 s(x) 1 ln x ，则 s ( x) 10 ， x (0,3) ．x所以 s(x) 在 (0,3) 上单调递增．而 y a 1s( x) 1 ln x 相切于点 (x0 , y0 ) ，x 是经过原点的直线，设过原点的直线与3则切线方程为 y y0 1 ( x x0 ) ，因为 y y0 1( x x0 ) 过原点，所以y0 1 ．x0 x0因为 y0 1 ln x0，所以x0 1．即切点为(1,1)．所以经过原点且与s( x) 1 ln x 相切的直线方程为y x ．所以足a1 x ≥ 1 ln x 的条件是 a1 ≥ 1 ，解得 a ≥ 4．3 33所以数 a 的取范4 ,．3（ 3）明 1：由（4 ，有 ln x ≤ x 1．即 ln( x 1) ≤ x ．2）可知，当 a31ln 1 1lnn1 ，n nn同理11 ln n2 ， 1 lnn 3，⋯，1ln3n1．n n 1 n 2 n 23n3n所以1n 1 n 1 L 1 1 ln 3n 1ln 3 1ln 3 ．n 1 23n 1 3nnn所以1n 1 n 1 L 1 1 ln 3 ． n 1 23n1 3n明 2：要11 1 L 1 1 1 ln 3，n n 1 n 23n 3n111L1111111即 e n n 1 n 2 3n 1 3n3 ，即 e n e n 1e n 2Le 3n 1 e 3 n3 ．先明 e x 1 x ( x0) ，事上， p( x) = e x 1 x ， p ( x) = e x1 ，当 x0 ， p ( x) = e x 1 0 ，所以 p( x) 在 (0,) 上增．所以 p( x)p(0) 0 ，所以 e x1 x ( x 0) ．11111所以 e n en 1en 2L e3n 1e3nn 1 n 2 L 3n 3n 1 n n1 3n 1 3n所以11 1 n 1 L 11 n n 23n1+11+ 1L1+1 1+1nn 13n 13n3n 1 ．3n1．ln 3 3nx 3 t 22．解：（ 1）因曲 C 1 的参数方程1 （ t 参数），消去参数 t ，得 2x y 5 0．y2t所以曲 C 1 的方程 2x y5 0 ．x3 ,因曲 C 2 的参数方程 cos （参数），y3 tan则由 x3，得 cos3，代入 y3 tan 得 siny，消去参数，得 x 2y 2 3 ．cosxx因为,2 ，所以 x 0 ．所以曲线 C 2 的方程为 x 2y 2 3 (x0) ．2（ 2）因为点 A ， B 分别为曲线 C 1 ， C 2 上的动点，设直线 2x y b 0 与曲线 C 2 相切，2x y b 0，消去 y 得 3x 24bx b 2 3 0．所以(4b) 24 3 (b 23) 0 ，解得 b3 ．由y3x 2 2因为 x0 ，所以 b 3 ．因为直线 2 x y 5 0 与 2x y3 0间的距离为：3 ( 5)85．所以 AB 的最小值85 ．d1)222 ( 5523．（ 1）解：因为 a 1 ，所以 f ( x) 3 x 2 x 1 ．当 x ≤ 1时，由 f (x) 7 4x 3 ，解得 x 1 ，此时 x．当 1 x2 时， f (x) 5 2x3 ，解得 x 1，此时 1 x 2 ．当 x ≥ 2 时， f (x)4x 7 3 ，解得 x552 ，此时 2 ≤ x．2综上可知， 1 x5 5．．所以不等式的解集为 1,22（ 2）解法 1：由 f ( x) 11 4x ，得 3 x 2 x a 11 4x ，因为 x4, 3 ，所以 x a 5 x ．问题转化为 x a5 x 对任意的 x4,3恒成立，22所以 x 5x a 5 x 【或 (x a)2(5 x)2 】．所以 2x 5 a 5 ．因为当 x4,3时， (2 x5)max8 ．所以实数 a 的取值范围为 ( 8,5) ．2解法 2：由 f ( x)11 4x ，得 3 x 2x a 11 4x ，因为 x4, 3 ，所以 |x a | 5 x ．2问题转化为x a 5 x 对任意的 x4, 3 恒成立，分别作出函数y x 5 与函数 y x a 的图2像，如图所示，要使 xa5 x 对任意的 x4,3恒成立，则当 x4, 3时，函数 y x 5 的22图像在函数 yx a 的图像的上方．所以当 x4,3时，需要满足 a x5 x 且 x a 5 x ．2因为当 x4, 3 时， 2x 5max 8 ．2所以实数 a 的取值范围为8,5．。

2020年广东省广州市高考理科数学模拟试卷及答案解析

2020年广东省广州市高考理科数学模拟试卷一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．已知集合A＝{﹣3，﹣2，﹣1}，B＝{x|x2+x﹣2＞0}，则A∩∁R B＝（）A．{﹣3，﹣2，﹣1}B．{﹣2，﹣1}C．{﹣3}D．{﹣1}2．已知a+bi（a，b∈R ）是的共轭复数，则a+b＝（）A．﹣1B ．﹣C ．D．13．已知向量＝（cos20°，sin20°），＝（sin10°，cos10°）．若t 为实数，且＝+t，则||的最小值为（）A ．B．1C ．D ．4．将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为（）A ．B ．C ．D ．5．使得（3x +）n（n∈N*）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A．4B．5C．6D．76．已知等比数列{a n}的前n项和为S n ，若，a2＝2，则S3＝（）A．8B．7C．6D．47．已知命题：p：函数y＝x2﹣x﹣1有两个不同的零点：命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x ＝对称．在下列四个命题中，真命题是（）A．（￢p）∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∨（￢q）8．若．则sin x•cos（π+x）＝（）A ．B ．﹣C ．D ．9．已知点A（2，0），抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线F A与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|＝（）A．2：B．1：2C．1：D．1：310．在三棱锥P﹣ABC中，P A＝PB＝PC＝2，AB＝AC＝BC＝2，则三棱锥P﹣ABC 外接球的体积是（）第1 页共21 页。

2020届广州市高三理科数学一模模拟卷含答案

绝密★启用前2020届广州市高三一模模拟卷考试时间：120分钟；命题人：高三备课组第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−2x−3<0}，集合B={x|2x+1>1}，则∁B A=()A. [3,+∞)B. (3,+∞)C. D.2.若z=1+2i，则4iz⋅z−−1=()A. 1B. −1C. iD. −i3.若tanα=34，则cos2α+2sin2α=()A. 6425B. 4825C. 1D. 16254.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为√33，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4√3，则C的方程为()A. x23+y22=1 B. x23+y2=1 C. x212+y28=1 D. x212+y24=15.正四面体ABCD中，M是棱AD的中点，O是点A在底面BCD内的射影，则异面直线BM与AO所成角的余弦值为()A. √26B. √23C. √24D. √256.已知数列{a n}满足：a1=−13，a6+a8=−2，且a n−1=2a n−a n+1(n≥2)，则数列{1a n a n+1}的前13项和为()A. 113B. −113C. 111D. −1117.安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有()A. 360种B. 300种C. 150种D. 125种8.函数f(x)=(1−2x1+2x)cosx的图象大致为()A. B.C. D.第2页，共4页9. 某兴趣小组有男生20人，女生10人，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，则①该抽样可能是系统抽样； ②该抽样可能是随机抽样： ③该抽样一定不是分层抽样；④本次抽样中每个人被抽到的概率都是15．其中说法正确的为( )A. ①②③B. ②③C. ②③④D. ③④10. 已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA =AB =1，BC =√2，则球O 的表面积等于( )A. 4πB. 3πC. 2πD. π11. 已知函数f(x)=e x (x −b)(b ∈R).若存在x ∈[12,2]，使得f(x)+xf ′(x)>0，则实数b 的取值范围是( )A. (−∞,83)B. (−∞,56)C. (−32,56)D. (83,+∞)12. 数列{a n }满足a 1=14，a n+1=14−4a n，若不等式a2a 1+a3a 2+⋯+an+2a n+1<n +λ对任何正整数n 恒成立，则实数λ的最小值为( )A. 38B. 34C. 78D. 74第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(m,1)，若向量a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ 垂直，则m =______． 14. 已知实数x ，y 满足{y ≤23x −y −3≤02x +y −2≥0，目标函数z =3x +y +a 的最大值为4，则a = ．15. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ∈(−∞,0)时，f(x)=2x 3+x 2，则f(2)=______． 16. 已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的左、右焦点，P 为双曲线左支上任意一点，若PF 22PF 1的最小值为8a ，则双曲线的离心率的取值范围为________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知函数f(x)=sin(2x +π6)+2sin 2x ．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；(Ⅱ)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若f(A2)=32，b +c =7，△ABC 的面积为2√3，求边a 的长．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，AB=2，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．(Ⅰ)证明：AE⊥PD；(Ⅱ)设H为线段PD上的动点，若线段EH长的最小值为√5，求二面角E−AF−C的余弦值．19.已知函数f(x)=xe x−ln (x+1)−x．(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)证明：函数f(x)在区间(0,1)内有且只有一个零点．20.已知椭圆C：x2b2+y2a2=1(a>b>0)的离心率为√32，椭圆C的长轴长为4．(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l：y=kx+√3与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．21.2019年7月1日至3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善．某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程(理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程)的测试．现对测试数据进行分析，得到如下的频率分布直方图：(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)．(2)根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布N(μ,σ2)，经计算第(1)问中样本标准差s的近似值为50.用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率．第4页，共4页参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973． (3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券，已知硬币出现正、反面的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、……、第50格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格(从k 到k +1)，若掷出反面，遥控车向前移动两格(从k 到k +2)，直到遥控车移到第49格(胜利大本营)或第50格(失败大本营)时，游戏结束．设遥控车移到第n 格的概率为P n ，试说明{P n −P n−1}是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车．22. 已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，圆C 的极坐标是ρ=2asinθ，直线l 的参数方程是{x =−35t +a y =45t(t 为参数)． (1)若a =2，M 为直线l 与x 轴的交点，N 是圆C 上一动点，求|MN|的最大值； (2)若直线l 被圆C 截得的弦长为2√6，求a 的值．。

2020年广东省广州市华南师大附中高考数学三模试卷2 (含答案解析)

2020年广东省广州市华南师大附中高考数学三模试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U={1,2，3，4，5，6}，M={1,2，3}，N={3,4，5}，则(∁U M)∩N=()A. {3}B. {4,5}C. {3,4，5}D. (4,5)2.已知a∈R，若复数z=a−2i1+i为纯虚数，则|1+ai|=()A. 10B. √10C. 5D. √53.已知a⃗=(3,−4)，b⃗ =(cosα,sinα)，则|a⃗+2b⃗ |的取值范围是()A. [1,4]B. [2,6]C. [3,7]D. [2√2,4√2]4.班集体搞某项活动，将全班同学分成3个不同的小组，每位同学被分到每个小组的可能性相同，则甲、乙两位同学被分到同一个小组的概率为()A. 13B. 12C. 23D. 345.(13x −x3)4的展开式中常数项为()A. 23B. 427C. −23D. −4276.已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a2=a4，则S4a2+a5等于()A. 56B. 57C. 34D. 797.函数f(x)=cos(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期是π，则其图象向右平移π3个单位后的单调递减区间是()A. [−π4+kπ,π4+kπ](k∈Z) B. [π4+kπ,3π4+kπ](k∈Z)C. [π12+kπ,7π12+kπ](k∈Z) D. [−5π12+kπ,π12+kπ](k∈Z)8.设函数f(x)=cos(2x+π3)，则下列结论错误的是()A. f(x)的一个周期可为−2πB. f(x)的图象关于直线x=4π3对称C. f(x)在(π4,π2)上单调递减D. f(x+π)的一个零点为x=π129.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线l：x=−32，点M在抛物线C上，点A在准线l上，若MA⊥l，且直线AF的斜率k AF=−√3，则△AFM的面积为()A. 3√3B. 6√3C. 9√3D. 12√310.在三棱锥E−ABD中，已知AB=1,DA=√3，三角形BDE是边长为2的正三角形，则三棱锥E−ABD的外接球的最小表面积为()A. 2√3π3B. 8√3π3C. 32√3π27D.16π311. 由偶数组成的数阵如图：则第21行第4列的数为( )A. 594B. 546C. 592D. 644 12. 已知函数f (x )=lnx −ax 2+x 有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,1)B. (0,1)C. (−∞,1+e e 2) D. (0,1+e e 2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 在数列{a n }中，a n+1={2a n (a n <12)2a n −1(a n ≥12)，若a 1=45，则a 20的值为______． 14. 若直线2ax −by +2=0(a,b ∈R)始终平分圆x 2+y 2+2x −4y +1=0的周长，则ab 的取值范围是______．15. 已知函数f(x)=(x −1)(px +q)为偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，则不等式f(x −3)<0的解集为______．16. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为6，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1−DEF 的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a 2+c 2=b 2+2acsinC 且c =2acosB ．(1)求A ；(2)若D 是AC 的中点，BD =√14，求△ABC 的面积．18.关于x与y有以下数据：x24568y3040605070已知x与y线性相关，由最小二乘法得b̂=6.5．(1)求y与x的线性回归方程；(2)现有第二个线性模型：ŷ=7x+17，且R2=0.82.若与(1)的线性模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好，请说明理由．参考公式：R2=1−i ∧2ni=1∑(y−y)2n19.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，P是AB的中点，将△ADP沿DP向上折起到△A1DP的位置，使平面A1DP⊥平面BCDP．(1)求证：A1D⊥CP；(2)求二面角B−A1C−P的余弦值．20.若直线l：y=kx+√2与双曲线x23−y2=1恒有两个不同的交点A和B，且OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >2(其中O为原点)，求k的取值范围．21.已知函数f(x)=(x−1)2+alnx，a∈R．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：“0<a<49”是函数f(x)有三个零点的必要条件．22.[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的倾斜角为π3且过极坐标点P(1,π2)，若曲线C的极坐标方程为．(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C交于A,B两点，求1|PA|+1|PB|的值．23.设f(x)=|x+1|−|x−4|．(1)若f(x)≤−m2+6m恒成立，求实数m的取值范围；(2)设m的最大值为m0，a，b，c均为正实数，当3a+4b+5c=m0时，求a2+b2+c2的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：C U M ={4,5，6}， ∴(C U )∩N ={4,5}．故选：B ．根据补集的定义求出集合M 的补集，然后与集合N 进行交集运算可答案．本题考查了集合的交集、补集运算，熟练掌握交集、补集的定义是关键．2.答案：D解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了纯虚数的概念，训练了复数模的求法，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简z ，由题意求出a 值，则答案可求．【解答】解：∵z =a−2i 1+i=(a−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=(a−2)−(a+2)i2为纯虚数，∴{a −2=0a +2≠0，解得：a =2，∴|1+ai|=|1+2i|=√5．故选：D ．3.答案：C解析：解：a ⃗ =(3,−4)，b ⃗ =(cosα,sinα)，则a ⃗ +2b ⃗ =(3+2cosα,2sinα−4)，故|a ⃗ +2b ⃗ |=√(2cosα+3)2+(2sinα−4)2=√20sin(θ−α)+29，其中sinθ=35，cosθ=45，故sin(θ−α)=1时，|a ⃗ +2b ⃗ |取最大值7， sin(θ−α)=−1时，|a ⃗ +2b ⃗ |取最小值3，故选：C ．求出|a ⃗ +2b ⃗ |的解析式，根据三角函数的性质求出其最大值和最小值即可．本题考查了向量的运算，考查三角函数的性质以及向量求模问题，是一道中档题．4.答案：A解析：解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到P =39=13．故选：A ．本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式能求出结果．本题考查概率的求法，是基础题，使用列举法、“树图法”、“坐标法”等，确定得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数．5.答案：D解析：解：由(13x −x 3)4的展开式得通项T r+1=C 4r (13x )4−r (−x 3)r =(−1)r (13)4−r C 4r x 4r−4，令4r −4=0，解得r =1，即展开式中常数项为(−1)⋅(13)3C 41=−427，故选：D ．由二项式定理及展开式的通项公式得：T r+1=C 4r (13x )4−r (−x 3)r =(−1)r (13)4−r C 4r x 4r−4，令4r −4=0，解得r =1，即展开式中常数项为(−1)⋅(13)3C 41=−427，得解．本题考查了二项式定理及展开式的通项公式，属中档题．6.答案：A解析：解：设公比为q >0，由4a 2=a 4，∴4=q 2，解得q =2．则S 4a 2+a 5=a 1(24−1)2−12a 1(1+23)=56．故选：A ．利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.答案：B解析：【分析】本题主要考查三角函数的解析式的求法和性质的灵活运用能力，属于基础题．根据最小正周期是π，可知ω=2，求得图象向右平移π3个单位后解析式，再结合三角函数的性质求单调递减区间．【解答】解：由函数f(x)=cos(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期是π，即，解得：ω=2，图象向右平移π3个单位，经过平移后得到函数解析式为y=cos[2(x−π3)+π6]=cos(2x−π2)=sin2x，由π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ(k∈Z)，解得单调递减区间为[π4+kπ,3π4+kπ](k∈Z)．故选：B．8.答案：C解析：解：利用排除法，①函数f(x)=cos(2x+π3)，则函数的周期为π的倍数，故：A正确．②当x=4π3时，f(4π3)=1，故f(x)的图象关于直线x=4π3对称．故：B正确．③f(π12+π)=cos(2π+π2)=0，故f(x+π)的一个零点为x=π12，故：D正确．故选：C．直接利用余弦函数的性质，单调性、周期性、对称性和函数的周期求出结果．本题考查的知识要点：余弦函数的性质的应用．9.答案：C解析：【分析】本题考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质的应用，三角形的面积计算，属于中档题．由抛物线的性质和正三角形的性质计算出A，M的坐标，计算三角形的面积．【解答】解：抛物线的焦点为F(32,0)，准线方程为x =−32，抛物线C ：y 2=6x点M 在抛物线C 上，点A 在准线l 上，若MA ⊥l ，且直线AF 的斜率k AF =−√3，准线与x 轴的交点为N ，则AN =3tan π3=3√3，A(−32,3√3)，则M(92,3√3)， ∴S △AMN =12×6×3√3=9√3．故选：C ．10.答案：D解析：【分析】本题考查多面体外接球表面积最值的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．由题意画出图形，可得AD ⊥AB ，取BD 中点G ，则G 为△ABD 的外心，设正三角形BDE 得外心为O ，可知当平面ABD ⊥平面BDE 时，三棱锥E −ABD 的外接球的半径有最小值，由此求得答案．【解答】解：如图，由AB =1,DA =√3，BD =2，得AD ⊥AB ，取BD 中点G ，则G 为△ABD 的外心，设正三角形BDE 得外心为O ，可知当平面ABD ⊥平面BDE 时，三棱锥E −ABD 的外接球的半径有最小值为OE =23√3． ∴三棱锥E −ABD 的外接球的最小表面积为4π×(2√33)2=16π3．故选D ．11.答案：A解析：【分析】本题考查了观察能力及归纳推理，属中档题．先观察再进行归纳推理得：第一列的数设为数列{a n }，则有a 1=2，a n −a n−1=2n ，解得a n =n 2+n ，即第21行的第一个数为212+21=462，由图可知，则第21行第4列的数为462+42+44+46=594，得解．【解答】解：由图可知，第一列的数设为数列{a n }，则有a 1=2，a n −a n−1=2n ，解得a n =n 2+n ，即第21行的第一个数为212+21=462，由图可知，第21行第4列的数为462+42+44+46=594，故选：A ．12.答案：B解析：【分析】本题考查函数的零点与方程的根，以及利用导数研究函数的单调性，属于中档题．依题意，问题转化为函数y =a 与g (x )=lnx+x x 2的图像交点个数问题，g ′(x )=1−2lnx−xx 3，设g ′(1)=0，x ∈(0,1),g ′(x )>0,g (x )递增，g (x )∈(−∞,1)，x ∈(1,+∞),g ′(x )<0,g (x )递减， g (x )∈(0,1) ，即可求得a 的范围．【解答】解：由题意得a =lnx+x x 2有两个零点，∵令g (x )=lnx+x x 2，，又g ′(1)=0，且y =1−2lnx −x 单调递减． ∵x ∈(0,1),g ′(x )>0,g (x )递增， ∴g (x )∈(−∞,1)；∵x ∈(1,+∞),g ′(x )<0,g (x )递减，g (x )∈(0,1) ， ∴要有两个零点，实数a 的取值范围是(0,1)．故选B ．13.答案：25解析：解：∵a n+1={2a n (a n <12)2a n −1(a n ≥12)，a 1=45， ∴a 2=2a 1−1=2×45−1=35，同理可得：a 3=15，a 4=25，a 5=45，……． ∴a n+4=a n ．则a 20=a 4×4+4=a 4=25．故答案为：25． a n+1={2a n (a n <12)2a n −1(a n ≥12)，a 1=45，可得a n+4=a n .即可得出a 20=a 4×4+4=a 4．本题考查了数列递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.答案：(−∞,14]解析：解：∵直线2ax −by +2=0(a 、b ∈R)始终平分x 2+y 2+2x −4y +1=0的周长， ∴圆心(−1,2)在直线2ax −by +2=0上，可得−2a −2b +2=0 解得b =1−a∴a ⋅b =a(1−a)=−(a −12)2+14≤14，当且仅当a =12时等号成立因此a ⋅b 的取值范围为(−∞,14]. 故答案为(−∞,14].根据圆的性质，得圆心在直线2ax −by +2=0上，解得b =1−a ，代入式子a ⋅b 并利用二次函数的图象与性质，即可算出a ⋅b 的取值范围．本题给出直线始终平分圆，求ab 的取值范围．着重考查了直线的方程、圆的性质和二次函数的图象与性质等知识，属于基础题．15.答案：(−∞,2)∪(4,+∞)解析：【分析】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析f(x)=0的值，属于基础题．由f(x −3)<0⇒f(|x −3|)<f(1)⇒|x −3|>1，即可得出结果．【解答】解：根据题意，函数f(x)=(x −1)(px +q)，有f(1)=0，又由函数f(x)为偶函数，且在(0,+∞)单调递减，f(x −3)<0⇒f(|x −3|)<f(1)⇒|x −3|>1，解可得x >4或x <2，即f(x −3)<0的解集为(−∞,2)∪(4,+∞)；故答案为(−∞,2)∪(4,+∞)．16.答案：36解析：解：∵B 1C//平面EDD 1，F 为线段B 1C 上的点， ∴F 到平面EDD 1的距离为正方体的棱长为6，∵E为线段AA1上的点，∴E到DD1的距离为6，∴V D1−DEF =V F−EDD1=13S△EDD1⋅DC=13×12×6×6×6=36．故答案为：36．由已知直接利用等积法求三棱锥D1−DEF的体积．本题考查利用等积法求多面体的体积，是基础题．17.答案：解：(1)a2+c2=b2+2acsinC∴a2+c2−b22ac=sin C由余弦定理得cosB=sinC，或由正弦定理c=2acos B⇒sinC=2sinAcos B又cosB=sinC，故sinA=12或与矛盾，故∴C为钝角，故．(2)又，，解得设CD=x，则CB=2x由余弦定理得BD2=CD2+CB2−2CD·CBcosC∴14=x2+4x2+2x2=7x2解得x=√2，∴b=a=2√2∴△ABC的面积S=12absinC=12×2√2×2√2×√32=2√3解析：本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．(1)由已知及正弦定理可得sinA=12，结合B与C的关系，利用特殊角的三角函数值可求A的值．(2)由(1)得B，C，设CD=x，则CB=2x由余弦定理可求x的值，进而根据三角形面积公式即可计算得解．18.答案：解：(1)依题意设y与x的线性回归方程为y∧=6.5x+a∧，x−=2+4+5+6+85=5，y−=30+40+60+50+705=50，因为y∧=6.5x+a∧经过(5,50)，则50=6.5×5+a ∧，解得a ∧=17.5，所以y 与x 的线性回归方程为y ∧=6.5x +17.5； (2)(1)的线性模型拟和效果比较好，由(1)的线性模型得y i −y i ∧与y i −y −的关系如下表所示： y i −y i ∧−0.5 −3.5 10 −6.5 0.5 y i −y − −20 −10 10 0 20∑(y i −y i ∧)25i=1=155， ∑(y i −y −)25i=1=1000，则R 12=1−1551000=0.845，由于第二个线性模型y ̂=7x +17的相关指数R 22=0.82， R 12>R 22，所以(1)的线性模型拟合效果比较好．解析：本题考查线性回归方程的求法，考查利用相关指数判断线性模型拟合效果，属于中档题． (1)依题意设y 与x 的线性回归方程为y ∧=6.5x +a ∧，因为y ∧=6.5x +a ∧经过样本中心点(5,50)，解得a ∧=17.5，即可得解；(2)由(1)的线性模型得∑(y i −y i ∧)25i=1=155，∑(y i −y i −)25i=1=1000，则R 12=1−1551000=0.845，由于R 22=0.82，所以R 12>R 22，所以(1)的线性模型拟合效果比较好．19.答案：证明：(1)在矩形ABCD 中，AB =2，AD =1，P 是AB 的中点，∴DP =√AD 2+AP 2=√2，CP =√BP 2+BC 2=√2， ∴CD 2=4=DP 2+CP 2，∴CP ⊥DP ，∵平面A 1DP ⊥平面BCDP ，平面A 1DP ∩平面BCDP =PD ， CP ⊂平面BCDP ，∴CP ⊥平面A 1DP ， ∵A 1D ⊂平面A 1DP ，∴A 1D ⊥CP ．解：(2)以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，作A 1E ⊥DP 于点E ，则A 1E =12DP =√22，P(1,1，0)，B(1,2，0)，C(0,2，0)，E(12,12,0)，A 1(12,12,√22)，从而CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−32,√22)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)，CP⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，设m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)是平面A 1BC 的法向量，则{m ⃗⃗⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12x −32y +√22z =0m ⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =x =0，取z =3，得m ⃗⃗⃗ =(0,√2,3)，设n⃗ =(x,y ，z)为平面A 1CP 的法向量，则{n ⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12x −32y +√22z =0n⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x −y =0，取z =√2，得n⃗ =(1,1，√2)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√22√11=2√2211， ∴二面角B −A 1C −P 的余弦值为2√2211．解析：(1)推导出CP ⊥DP ，从而CP ⊥平面A 1DP ，由此能证明A 1D ⊥CP ．(2)以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，作A 1E ⊥DP 于点E ，利用向量法能求出二面角B −A 1C −P 的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.答案：解：由将y =kx +√2代入双曲线x 23−y 2=1消去y 得(1−3k 2)x 2−6√2kx −9=0．由直线l 与双曲线交于不同的两点得{1−3k 2≠0△=(−6√2k)2+36(1−3k 2)=36(1−k 2)>0即k 2≠13且k 2<1.①设A(x A ,y A )，B(x B ,y B )，则 x A +x B =6√2k1−3k 2，x A x B=−91−3k 2．由OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >2，得x A x B +y A y B >2，即x A x B +y A y B =x A x B +(kx A +√2)(kx B +√2)=(k 2+1)x A x B +√2k(x A +x B )+2=)=(k 2+1)⋅−91−3k 2+√2k(6√2k1−3k 2)+2=3k 2+73k 2−1．于是3k 2+73k 2−1>2，即−3k 2+93k 2−1>0，解此不等式得13<k 2<3.② 由①②得13<k 2<1．故k 的取值范围为(−1,−√33)∪(√33,1)．解析：联立直线和双曲线方程，转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系即可求出k 的取值范围．本题主要考查直线和双曲线的位置关系，利用直线和双曲线联立转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．21.答案：解：(1)∵f(x)=(x −1)2+alnx ，a ∈R ．∴f′(x)=2(x −1)+ax =2x 2−2x+ax(x >0)，当△≤0，即a ≥12时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；当△>0，且a ≤0，即a ≤0时，由f′(x)=0得x =1+√1−2a2，∴f(x)在(0,1+√1−2a2)单调递减，在(1+√1−2a2,+∞)单调递增；当△>0，a >0，即0<a <12时，由f′(x)=0得x =1±√1−2a2，∴f(x)在(0,1−√1−2a2)递增，在(1−√1−2a 2,1+√1−2a2)递减，在(1+√1−2a2,+∞)递增；(2)由(1)知，函数f(x)有三个零点，则必有0<a <12，即f(x)在(0,1−√1−2a2)递增，在(1−√1−2a 2,1+√1−2a 2)递减，在(1+√1−2a2,+∞)递增； ∵x →0，f(x)→−∞，且f(1)=0(1>1+√1−2a2)，故函数有三个零点，必有f(1−√1−2a2)>0，令x 1=1−√1−2a2，2x 1−2x 12=a(0<x 1<12)， f(x 1)=(x 1−1)2+alnx 1=(x 1−1)2+(2x 1−2x 12)lnx 1=(1−x 1)(1−x 1+2x 1lnx 1)，令g(x)=1−x +2xlnx(0<x <12)， g′(x)=2lnx +1，g′(x)=0，x =e>12，∴g(x)在(0,12)递减，又g(1e 2)>0，g(13)<0， ∴存在x 0，使g(x 0)=0，且0<x 0<13， ∴f(x 1)>0⇔0<x 1<x 0，∴0<x 1<13，∴由a =2x 1−2x 12=−2(x 1−12)2+12， ∴0<a <2×13−2×(13)2=49．解析：(1)利用导数结合二次函数的性质判断函数的单调性，求得单调区间；(2)根据必要条件的定义及函数的零点的判断方法，利用导数判断函数的零点情况即可得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性、判断函数零点的情况及必要条件的证明等知识，考查学生的划归转化思想及分类讨论思想的运用能力、运算能力，属难题．22.答案：解：(1)直线l 的倾斜角为π3且过极坐标点P(1,π2)，转换为直线l 的参数方程为{x =12ty =1+√32t(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为：y 2=−4x ． (2)将{x =12ty =1+√32t代入y 2=−4x ，得34t 2+(2+√3)t +1=0．其判别式Δ=4+4√3>0，故有t 1+t 2=−4(2+√3)3，t 1⋅t 2=43，∴1|PA|+1|PB|=−t 1+t 2t 1⋅t 2=2+√3．解析：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用．(1)直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． (2)利用一元二次方程根与系数的关系的应用求出结果．23.答案：解(1)|x +1|−|x −4|≤|(x +1)−(x −4)|=5，由于f(x)≤−m 2+6m 恒成立，， ∴−m 2+6m ≥5，即1≤m ≤5． ∴实数m 的取值范围为：[1,5]． (2)由(1)得m 的最大值为5，∴3a +4b +5c =5由柯西不等式(a 2+b 2+c 2)(32+42+52)≥(3a +4b +5c)2=25 故a 2+b 2+c 2≥12.(当且仅当a =310，b =410，c =510时取等号) ∴a 2+b 2+c 2的最小值为12．解析：本题考查绝对值不等式的最值，柯西不等式的应用，属于中档题． (1)求出f(x)=|x +1|−|x −4|的最大值，f(x)max ≤−m 2+6m 即可．(2)由柯西不等式(a2+b2+c2)(32+42+52)≥(3a+4b+5c)2=25。

2020广州市高三数学模拟考(文)

试卷类型：A2020年广州市高考模拟考试数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答 2 3 4 51. 已知 A 2. N =A. {}0x ≥ 3.A 20x >， C 24. 设向量(,1)x =a ，(4,)x =b , ⋅a b 1=-, 则实数x 的值是 A ．2-B ．1-C ．13-D ．15-5. 函数()()1cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ．32π C ．π D ．2π6. A7. 用 ① ③ A8. A C ．9. A 10. 40292015f ⎛++ ⎝ A ．8058-分． 11. 12. 在平面直角坐标系xOy 中，设不等式组11,02x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所表示的平面区域是W ，从区域W 中随机取点(),M x y ，则2OM ≤的概率是 .13. 已知实数x ,y 满足221x y xy +-=，则x y +的最大值为 .OD E CBA（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图2，圆O 的直径9AB =，直线CE 与圆O 相切于点C ，AD CE ⊥于点D ，若1AD =，设ABC θ∠=，则sin θ=______．15．（坐标系与参数方程选讲选做题）图2在极坐标系中，设曲线1:2sin C ρθ=与2:2cos C ρθ=的交点分别为A ，B ，则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为______．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x a x =+(x ∈R )，4π是函数()f x 的一个零点. （1）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间；（2）若α,0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1045f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，33545f πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()sin αβ+的值.17．（本小题满分12分）某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x （°C ）与该奶茶店的这种饮料销量y （杯），得到如下数据：日期 1月11日 1月12日1月13日1月14日1月15日平均气温x （°C ） 910 12 11 8 销量y （杯）2325302621（1）若从这五组数据中随机抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）请根据所给五组数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+．（参考公式：()()()121ˆˆˆniii nii x x y y ba y bx x x ==--==--∑∑，．）FEDCBA 18．（本小题满分14分）如图3，在多面体ABCDEF 中，DE ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，平面BCEF 平面ADEF EF =，60BAD ︒∠=，2AB =，1DE EF ==．（1）求证：BC ∥EF ；（2）求三棱锥B DEF -的体积．图319．. （1（220．2b +.（1（2B 两点，问AM BM +=0是否成立？请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数()2ln f x ax b x =-在点()()1,1f 处的切线为1y =．（1）求实数a ，b 的值；（2）是否存在实数m ，当(]0,1x ∈时，函数()()()21g x f x x m x =-+-的最小值为0，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）若120x x <<，求证：212212ln ln x x x x x -<-．。

广州市2020届高中毕业班高考理科数学第一次模拟考试试题(含答案)

2 3
A
4
sin
A
5sin A 3 cos A
2 7 sin A+ （其中 tan 3 ， 0 ）．
5
2
因为 0 A 2 ， 0 ，所以 0 A 5 ．
3
6
6
所以 A = 时， b 2a 2 7 sin A+ 取得最大值 2 7 ．
2
所以 b 2a 的最大值为 2 7 ．
n
项和为
Sn
，已知
a1
1 3
，
a2
a5
4
，若
Sn
4an
8
n N*
，
则 n 的最小值为
A． 8
B． 9
C．10
D．11
10．已知点 P x0, y0 是曲线 C ： y x3 x2 1上的点，曲线 C 在点 P 处的切线方程与直线
y 8x 11 平行，则
A． x0 2
B．x0
4 3
C．x0
A． 4042
B． 4041
C． 4040
D． 4039
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等
边三角形，俯视图为一个半径为 1 的圆及其圆心，则这个几何体的体积为，表面积为．
14．在
ax
1 x
x2 1 5 的展开式中， x3 的系数是15 ，则实数 a
组至少选派1人的概率为
A． 5 14
B． 9 14
C． 3 7
D． 4 7
8．已知直线 l ： y x 2 与 x 轴的交点为抛物线 C ： y2 2 px 的焦点，直线 l 与抛物线 C 交

2020届广东省广州市一模数学(文科)试卷及答案

(2 x)2 (1)2 (4 x)2 42 ，解得 x 9 ， 4
故选： C ．
6．（5 分）如图所示，给出的是计算 1 1 1 1 值的程序框图，其中判断框内应填入
246
22
的条件是 ( )
A． i 9
B． i 10
C． i 11
【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：
其中正确命题的序号是．
16．（5 分）如图，在平面四边形 ABCD 中，BAC ADC ，ABC ，ADB ，
2
6
12
则 tan ACD ．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分． 17．（12 分）已知数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，且满足 an n Sn ，设 bn an 1 ．
之积为 1 ，判断直线 l 是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理 4
由．
第 4页（共 19页）
21．（12 分）已知函数 f (x) (x a)ebx (b 0) 的最大值为 1 ，且曲线 y f (x) 在 x 0 处的切 e
线与直线 y x 2 平行（其中 e 为自然对数的底数）．
10．（5 分）已知点 P(x0 ， y0 ) 在曲线 C : y x3 x2 1 上移动，曲线 C 在点 P 处的切线的斜
率为
k
，若
k
[
1 3
，
21]
，则
x0
的取值范围是
(
)
A．[ 7 ， 5 ] 37
B．[ 7 ， 3] 3

【数学】2020届广州市高三理科数学一模模拟卷

绝密★启用前2020届广州市高三一模模拟卷考试时间：120分钟第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，集合则)A. [3,+∞)B. (3,+∞)C. D.2.若，则A. B. −1 C. i D. −i3.若tanα=34，则cos2α+2sin2α=()A. 6425B. 4825C. 1D. 16254.已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为√33，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4√3，则C的方程为()A. B. C. D.5.正四面体ABCD中，M是棱AD的中点，O是点A在底面BCD内的射影，则异面直线BM与AO所成角的余弦值为()A. √26B. √23C. √24D. √256.已知数列{a n}满足：a1=−13，a6+a8=−2，且a n−1=2a n−a n+1(n≥2)，则数列{1a n a n+1}的前13项和为()A. 113B. −113C. 111D. −1117.安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有()A. 360种B. 300种C. 150种D. 125种8.函数的图大致为()A. B.C. D.9.某兴趣小组有男生20人，女生10人，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，则①该抽样可能是系统抽样；②该抽样可能是随机抽样：③该抽样一定不是分层抽样；④本次抽样中每个人被抽到的概率都是15．其中说法正确的为( )A. ①②③B. ②③C. ②③④D. ③④10. 已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA =AB =1，BC =√2，则球O 的表面积等于( ) A. 4π B. 3π C. 2π D. π 11. 已知函数若存，使得，则b 取值范围是( )A. (−∞,83)B. (−∞,56)C. (−32,56)D. (83,+∞)12. 数列{a n }满足a 1=14，a n+1=14−4a n，若不等式a2a 1+a3a 2+⋯+an+2a n+1<n +λ对任何正整数n 恒成立，则实数λ的最小值为( )A. 38B. 34C. 78D. 74第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(m,1)，若向量a ⃗ +b ⃗ 与a⃗ 垂直，则m =______． 14. 已知实数，y 满足，目标函数最大为4，则a = ． 15. 已知函数是定义在R 上的奇函数，当时，，则_____．16. 已知F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，P 为双曲线左支上任意一点，若PF 22PF 1的最小值为8a ，则双曲线的离心率的取值范围为________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知函数．Ⅰ)求函数的最正周期和单调递减区间；(Ⅱ)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若f(A2)=32，b +c =7，△ABC 的面积为2√3，求边a 的长．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，AB =2，∠ABC =60°，E ，F 分别是BC ，PC 的中点．(Ⅰ)证明：AE ⊥PD ；(Ⅱ)设H 为线段PD 上的动点，若线段EH 长的最小值为√5，求二面角E −AF −C 的余弦值．19. 已知函数．曲线在处的切线方程；(2)证明：函数在区间(0,1)内有且只有一个零点．20.已知椭圆C：的离心率为√3，椭圆C的长轴长为4．2(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l：与椭C交于A，B两点，是否存在实数使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．21.2019年7月1日至3日，世界新能汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善．某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程(理论上是指新能汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程)的测试．现对测试数据进行分析，得到如下的频率分布直方图：(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值代表)．(2)根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布N(μ,σ2)，经计算第(1)问中样本标准差s的近似值为50.用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率．参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973．(3)某汽车销售公司为推广此款新能汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在，方格图“胜利大本营”，则可获得购车优惠券，已知硬币出现正、反面的概率都是12上标有第0格、第1格、第2格、……、第50格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格(从到，若掷出反面，遥控车向前移动两格(从到，直到遥控车移到第49格(胜利大本营)或第50格(失败大本营)时，游戏结束．设遥控车移到第n格的概率为P n，试说明{P n−P n−1}是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能汽车．22.已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，圆C的极坐标是ρ=2asinθ，直线l的参数方程是为参数)．(1)若a=2，M为直线l与轴的交点，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；(2)若直线l被圆C截得的弦长为2√6，求a的值．绝密★启用前2020届广州市高三理科数学一模模拟卷考试时间：120分钟注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。

广东省广州市2020届高三数学第二次模拟考试试题文

广东省广州市2020届高三数学第二次模拟考试试题文本试卷共6页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A={x∈N|0<x<6} , B={2, 4, 6, 8} ,则 A∩B=A.{0,1,3,5}B.{0,2,4,6}C. {1,3,5}D.{2,4,6}2．已知复数z=m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是A． B. C． D.3．某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，产量之比依次为2：3：4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n=A. 96B. 72C. 48D. 364．执行如图所示的程序框图，则输出z的值是A. 21B. 22C. 23D. 245．从某班5名学生（其中男生3人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，则所选3人中至少有1名女生的概率为A. B. C. D.6．函数y=的部分图像如图所示，则函数的解析式为A． B.C. D．7．设等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列等式中一定成立的是A. S n+S2n=S3nB. S22n=S n S3nC. S22n=S n+S2n- S3nD. S2n + S22n=S n (S2n+S3n) 8．已知双曲线拘渐近线方程为5x±3y=0，则此双曲线的离心率为A. B. C. D.9．一个圆锥的体积为，当这个圆锥的侧面积最小时，其母线与底面所成角的正切值为A． B． C． D．10.设a≥b≥c，且1是一元二次方程ax2+ bx+c=0的一个实根，则的取值范围为A．[-2，0] B． C． D．11．在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=AC=I，BC=，则该三棱锥的外接球的表面积为A． B． C． D．12.己知函数与的图像上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，向量，则=14. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为．15.若函数f(x)=x2 -x+l+ alnx在(0，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是．16.己知点P在直线x+2y-l=0上，点Q在直线x+2y+3=O E，PQ的中点为M(x0，y0)，且-1≤y0 -x0≤7，则的取值范围是____．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17. （本小题满分12分）△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)求的值；(2)若c=2，求△ABC的面积．18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，∠APD=90°，且PA=PD，AD=PB．(1)求证：AD⊥PB；(2)求点A到平面PBC的距离．19. （本小题满分12分）科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：根据上表的数据得到如下的散点图．(1)根据上表中的样本数据及其散点图：(i)求;(ii)计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度．(2)若y关于x的线性回归方程为，求的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量．附：参考数据：参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为20. （本小题满分12分）从抛物线y2 =36x上任意一点P向x轴作垂线段，垂足为Q，点M是线段PQ上的一点，且满足(1)求点M的轨迹C的方程；(2)设直线x=my+1(m∈R)与轨迹c交于A，B两点，T为C上异于A，B的任意一点，直线AT，BT分别与直线x=-1交于D，E两点，以DE为直径的圆是否过x轴上的定点？若过定点，求出符合条件的定点坐标；若不过定点，请说明理由．21. （本小题满分12分）已知函数f(x)=(x+2)lnx+ax2 - 4x+ 7a．(1)若a=，求函数f(x)的所有零点；(2)若a≥，证明函数f(x)不存在极值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4 -4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2= 2p cosθ+8．(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，且求直线l的倾斜角．23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）己知函数f(x) =|2x-l|-a．(1)当a=l时，解不等式f(x)>x+1；(2)若存在实数x，使得f(x)< f(x+1)成立，求实数a的取值范围.绝密★启用前2020年广州市普通高中毕业班综合测试（二）文科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题二、填空题13． 14． 15． 16．三、解答题17．解：（1）因为，所以．………………………………………………1分化简得．………………………………………………2分即．………………………………………………………………………3分因在中，，则．……………………………4分从而．…………………………………………………………………………… 5分由正弦定理，得．所以． (6)分（2）由（1）知，且，所以．……………………………………………………7分因为，所以．……………………………………9分即．所以．……………………………………………………………………………………………10分所以．所以△的面积为． (12)分18．（1）证明：取的中点，连结，，，因为底面为菱形，，所以．…………………………………1分因为为的中点，所以．……………2分在△中，，为的中点，所以．………………………………………3分因为，所以平面．………4分因为平面，所以．………………………………………………………………5分（2）解法1：在△中，，所以．因为底面是边长为2的菱形，，所以．……………………………6分在△中，，，，因为，所以．……………………………………………………………7分【6-7分段另证：在△中，，为的中点，所以．在△和△中，因为，，，所以△△．所以．所以．】由（1）有，且，平面，平面，所以平面．…………………………………………………………………………………8分在△中，由（1）证得，且，所以．因为，所以．…………………………………………………………………9分在△中，，，所以．………………………………………………………10分设点到平面的距离为，因为，即．……………………………………………………11分所以．所以点到平面的距离为．…………………………………………………………………12分解法2：因为，平面，平面，所以平面．所以点到平面的距离等于点到平面的距离．………………………………………6分过点作于点．…………………………7分由（1）证得平面，且，所以平面．因为平面，所以．因为，平面，平面，所以平面．…………………………………8分在△中，，所以．因为底面是边长为2的菱形，，所以．……………………………9分在△中，，，，因为，所以．…………………………………………………………10分【9-10分段另证：在△中，，为的中点，所以．在△和△中，因为，，，所以△△．所以．所以．】在△中，根据等面积关系得．…………………………………………11分所以．所以点到平面的距离为．…………………………………………………………………12分19．解：（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（ⅰ）．…………………………………2分（ⅱ）…………3分…………………………………4分．…………………………………………………………………………5分因为，，所以． (6)分由样本相关系数，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强． (7)分（2）因为回归方程为，即．所以．【或利用】……………………………10分所以关于的线性回归方程为．将代入线性回归方程得．……………………………………11分所以根据回归方程估计年龄为岁时人体的脂肪含量为%．………………………………12分【结论没写%扣1分】20．解：（1）设，，则点的坐标为．因为，所以，………………………………………………………………………1分即 (2)分因为点在抛物线上，所以，即．………………………………………………………………………3分所以点的轨迹的方程为．…………………………………………………………………4分（2）解法1：设直线与曲线的交点坐标为，，由得．由韦达定理得=， =．……………………………………………………………5分设点，则．………………………………………………………6分所以直线的方程为．令，得点的坐标为．…………………………………………………………7分同理可得点的坐标为．………………………………………………………………8分如果以为直径的圆过轴某一定点，则满足．…………………………9分因为．所以．………………………………………………………………10分即，解得或．……………………………………………………………11分故以为直径的圆过轴上的定点和．………………………………………………12分解法2：直线与曲线的交点坐标为，，若取，则，与直线的交点坐标为，，所以以为直径的圆的方程为．该圆与轴的交点坐标为和．所以符合题意的定点只能是或．…………………………………………………6分设直线与曲线的交点坐标为，，由得．由韦达定理得=， =．……………………………………………………………7分设点，则．………………………………………………………8分所以直线的方程为．令，得点的坐标为．…………………………………………………………9分同理可得点的坐标为．………………………………………………………………10分若点满足要求，则满足．因为．……11分所以点满足题意．同理可证点也满足题意．故以为直径的圆过轴上的定点和．………………………………………………12分21．（1）解：当时，，函数的定义域为，…………………………………………………………………………1分且．……………………………………………………………………………2分设，则．当时，；当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，…………………………………………3分所以当时，（当且仅当时取等号）．…………………………………4分即当时，（当且仅当时取等号）．所以函数在单调递增，至多有一个零点. ………………………………………………5分因为，是函数唯一的零点.所以若，则函数的所有零点只有．…………………………………………………6分（2）证法1：因为，函数的定义域为，且．…………………………………7分当时，，………………………………………………………………9分由（1）知．………………………………………………………………………10分即当时，所以在上单调递增．……………………………………………………………………11分所以不存在极值．…………………………………………………………………………………12分证法2：因为，函数的定义域为，且．…………………………………7分设，则．设，则与同号．当时，由，解得，．……………………………………………8分可知当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增．…………………………………………9分由（1）知．………………………………………………………………………10分则．所以，即在定义域上单调递增．…………………………………………11分所以不存在极值．…………………………………………………………………………………12分22．（1）解法1：因为直线的参数方程为（为参数），当时，直线的直角坐标方程为．…………………………………………………………1分当时，直线的直角坐标方程为．……………………………………3分因为，…………………………………………………………………………4分因为，所以．所以的直角坐标方程为．………………………………………………………5分解法2：因为直线的参数方程为（为参数），则有……………………………………………………………2分所以直线的直角坐标方程为．………………………3分因为，…………………………………………………………………………4分因为，所以．所以的直角坐标方程为．………………………………………………………5分（2）解法1：曲线的直角坐标方程为，将直线的参数方程代入曲线的方程整理，得．……………6分因为，可设该方程的两个根为，，则，．……………………………………………………7分所以．…………………………………………………………8分整理得，故．…………………………………………………………………………………9分因为，所以或，解得或综上所述，直线的倾斜角为或．…………………………………………………………………10分解法2：直线与圆交于，两点，且，故圆心到直线的距离．…………………………………………………6分①当时，直线的直角坐标方程为，符合题意．…………………………………………7分②当时，直线的方程为．所以，………………………………………………………………8分整理得．解得．………………………………………………………………………………………………9分综上所述，直线的倾斜角为或．…………………………………………………………………10分23．（1）解：当时，由，得．…………………………………………1分当时，，解得．当时，，解得．…………………………………………………………4分综上可知，不等式的解集为．……………………………………5分（2）解法1：由，得．则．…………………………………………………………………………………6分令，则问题等价于因为……………………………………………………………………9分．所以实数的取值范围为．…………………………………………………………………10分解法2：因为，………………………………………………6分即，则．……………………………………………7分所以，…………………………………………8分当且仅当时等号成立．……………………………………………………………………………9分所以．所以实数的取值范围为．…………………………………………………………………10分。

2020年广东省实验中学高考数学模拟试卷(文科)(3月份)

D. 在区间上单调递增
11.已知椭圆，为椭圆的右项点，直线交于、两点，且，则恒过除点以外的定点（）
A. B. C. D.
12.在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则过，，三点的平面截该正方体，所得截面的周长为（）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）若曲线与相交于、、三点，求线段的长．
[选修4-5：不等式选讲]
已知函数＝．
（1）若＝，解不等式；
（2）对任意满足的实数，，若总存在实数，使得，求实数的取值范围．
参考答案与试题解析
2020年广东省实验中学高考数学模拟试卷（文科）（3月份）
4.盒中有个大小相同的球，其中白球个，黑球个，从中任意摸出个（摸出后不放回），则至少摸出一个黑球的概率为（）
A. B. C. D.
5.已知向量，，且，则
A. B. C. D.
6.若，则＝（）
A. B. C. D.
7.已知双曲线的一条渐近线与直线＝垂直，则的离心率为（）
A. B. C. D.
已知函数．
（1）当＝时，求的单调区间：
（2）当时，有且仅有个零点，，，且，求证：．
已知抛物线＝的焦点为，准线为直线，、、三点均在抛物线上且过点，过点．
（1）写出点的坐标和直线的方程；
（2）记，的面积分别为，，求的最小值．
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分。（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]

2020年广东省广州市白云区高考数学模拟试卷(文科)(3月份)

2020年广东省广州市白云区高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z=(1+2i)2，则z的实部为()A. −3B. 2C. 4D. 4i2.已知A={x∈R|y=√x}，B={x∈R|y=lg(2−x)}，则A∩B=()A. {x∈R|0<x<2}B. {x∈R|0<x≤2}C. RD. {x∈R|0≤x<2}3.抛物线y=ax2的焦点坐标为()A. (14a ,0) B. (a4,0) C. (0,14a) D. (0,a4)4.把一枚骰子掷一次，抛出的是奇数点的概率为()A. 1B. 12C. 13D. 145.程序框图的功能是()A. 若输入一个数x，判断其是否大于或等于1，然后输出符合条件的x的值B. 若输入一个数x，输出x−1的值C. 任给一个数，求|x−1|的值D. 任给一个实数x，同时输出x−1的值和x−1的值6.在正方体A1B1C1D1−ABCD中，异面直线A1C与AD所成角的正切值为()A. √3B. √2C. 1D. 27.计算sin6°cos6°cos18°+sin18°(cos26°−12)的结果是()A. −12B. 14C. −14D. 128.如图表示甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲、乙得分的中位数的和是()A. 56分B. 57分C. 58分D. 59分9. 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布( )A. 30尺B. 90尺C. 150尺D. 180尺10. 不等式0>log a 2>log b 2成立的充要条件是( )A. 1>b >a >0B. 1>a >b >0C. a >b >1D. b >a >111. 对于函数f(x)=∑1x+k 3k=1，给出如下四个结论：(1)这个函数的值域为R ；(2)这个函数在区间[0,+∞)上单调递减； (3)这个函数图象具有中心对称性； (4)这个函数至少存在两个零点．其中正确结论有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12. 已知0<α<β<π2，则下列不等式中恒成立的是( )A. αα<ββB. αα≤ββC. αβ>βαD. αβ<βα二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(2,x)，且这两个向量的夹角的余弦值为45，则x =______．14. 已知数列{a n }是首项和公差均为1的等差数列，数列{b n }为首项和公比均为2的等比数列，则数列{(a n −n +1)b n }的前n 项和S n 等于______．15. 已知直线l 与双曲线y 2−2x 2=1交于A ，B 两点，当A ，B 两点的对称中心坐标为(1,1)时，直线l 的方程为______．16. 将半径为r 的5个球放入由一个半径不小于3r 的球面和这个球的内接正四面体的四个面分割成的五个空间内，若此正四面体的棱长为2√6，则r 的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知函数f(x)=asinx +bcosx(a >0)的图象的一条对称轴为直线x =−π3，且此轴与函数图象交点的纵坐标为−√3(Ⅰ)求函数f(x)的的单调递增区间；(Ⅱ)在三角形ABC 中，两个内角A ，B 满足A =4B ，且f(A)=√3，求内角A ，B 所对的边的比ab 的值．18. 某农场经过观测得到水稻产量和施化肥量的统计数据如表：施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量y330345365405445450455求：(Ⅰ)水稻产量与施化肥量的相关系数，并判断相关性的强弱： (Ⅱ)y 关于x 的线性回归方程．(1)相关系数及线性回归直线方程系数公式：r =i n i=1i −−√(∑x i i=1−nx −2)(∑y i i=1−ny −2){b ̂=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2a ̂=y −−b ̂x −.(2)参考数据：∑x i 27i=1=7000，∑y i 27i=1=1132725，∑x i 7i=1y i =8717519. 如图，在三棱锥B −ACD ，BD ⊥平面ACD ，且BD =1，BC =AD =2，CD =√3，∠ADC =30°，E ，F 分别为△ABD ，△CBD 的重心．(Ⅰ)求证：AC//平面BEF ； (Ⅱ)求四面体BDEF 的体积．20. 设F 1(−c,0)、F 2(c,0)分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个定点，同时满足如下三个条件：(1)PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0；(2)tan∠PF 1F 2=√312；(3)PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为2√3． (Ⅰ)求椭圆的离心率及椭圆方程；(Ⅱ)过焦点F 1的直线l 交椭圆于点A 、B 两点，问是否存在以线段AB 为直径的圆与y 相切，若存在，求出此时直线l 的方程，若不存在，请说明理由．21. 设函数f(x)=x 33−ax 22+x ，其中a ∈R ．(Ⅰ)当a =52时，求f(x)的极值点；(Ⅱ)当f(x)存在两个正极值点x1，x2时，符号max{a1,a2}分别表示a1，a2中较大的，令x0=max{x1,x2}，求证：a>2，且f(x0)<13．22.已知直线l经过点P(1,−1)，倾斜角α=2π3，圆C的极坐标方程为ρ=2．(Ⅰ)写出直线l的参数方程及圆C的普通方程；(Ⅱ)设l与圆C相交于两点A、B，求|PA|+|PB|．23.若∃x∈R，使得不等式|2t−1|<sin2x−4sinx−4成立．(Ⅰ)求t的取值范围；(Ⅱ)求证：12−2t +1t+1+1t>3．答案和解析1.【答案】A【解析】解：复数z=(1+2i)2=−3+4i，则z的实部为−3．故选：A．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：A={x∈R|y=√x}=[0,+∞)，B={x∈R|y=lg(2−x)}=(−∞,2)，则A∩B={x∈R|0≤x<2}，故选：D．先求A，B，再求交集．本题考查集合交集，以及求定义域，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：∵抛物线y=ax2的标准形式是x2=1ay∴y=ax2表示焦点在y轴上的抛物线，而焦点在y轴的抛物线的标准方程为x2=2py或x2=−2py，(p>0)①当a>0时，2p=1a ，可得p2=14a，此时焦点为F(0,14a)；②当a<0时，2p=−1a ，可得p2=−14a，∵焦点为F(0,−p2)，∴该抛物线的焦点坐标为F(0,14a)综上所述，抛物线的焦点为F(0,14a)故选：C将抛物线方程化成标准形式，得到其焦点在y轴上．再分a的正负进行讨论，分别对照焦点在y轴上抛物线的标准形式，即可得到该抛物线的焦点坐标．本题给出抛物线的方程含有字母参数a ，求它的焦点坐标，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：一个一枚骰子掷一次，抛出的可能为正面，反面两种可能，则把一枚骰子掷一次，抛出的是奇数点的概率为12，故选：B ．求出总的事件个数，再求出符合题意的事件，求出概率．本题考查概率，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由题意得，该框图表达的是函数f(x)={x −1,x ≥11−x,x <1，这是一个对x −1或1−x 求绝对值的函数，只有C 选项正确．故选：C ．先根据框图写出它所表示的分段函数，然后对选项进行判断．本题考查的是利用条件结构给出分段函数，并求绝对值的问题．属于基础题．6.【答案】B【解析】解：连接A 1B ，由BC//AD ，可得∠BCA 1为异面直线A 1C 与AD 所成角，由BC ⊥平面ABB 1A 1，可得BC ⊥BA 1，在直角三角形A 1BC 中，tan∠BCA 1=A 1B BC=√2，故选：B ．连接A 1B ，由异面直线所成角的定义可得∠BCA 1为所求角，再在直角三角形A 1BC 中，由正切函数的定义可得所求值．本题考查异面直线所成角的正切值的求法，考查定义法的运用和解直角三角形，以及运算能力，是一道基础题．7.【答案】B【解析】解：sin6°cos6°cos18°+sin18°(cos26°−12)=12sin12°cos18°+sin18°(1+cos12°2−12)=12sin12°cos18°+12sin18°cos12°=12sin(12°+18°)=12sin30°=12×12=14．故选：B．由已知利用二倍角公式，两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可计算得解．本题主要考查了二倍角公式，两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：因为甲得分：4，14，14，24，25，31，32，35，36，36，39，45，49，所以中位数是32，又乙得分：8，12，15，18，23，25，26，32，33，34，35，41，42.所以中位数是26，则32+26=58．故选：C．有茎叶图看到甲，乙各有13个数据，易得中位数是32，26，再相加即可．本题考查茎叶图，中位数的概念，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：由题意每天织布的数量组成等差数列，在等差数列{a n}中，a1=5，a30=1，∴S30=30×(5+1)2=90(尺)．故选：B．利用等差数列的定义与前n项和求解即可．本题考查了等差数列的前n项和的求法问题，解题时应注意数列知识在生产生活中的合理运用，是基础题目．10.【答案】A【解析】解：由0>log a 2>log b 2可得：0>lg2lga >lg2lgb ，∵lg2>0，∴lga <lgb <0，可解得1>b >a >0．故选：A ．由0>log a 2>log b 2解出a ，b 的范围，从而选出正确选项．本题主要借助于充要条件来考查对数不等式的解法．11.【答案】D【解析】解：f(x)=∑1x+k 3k=1=1x+1+1x+2+1x+3，x ∈(−∞,−3)∪(−3,−2)∪(−2,−1)∪(−1,+∞)，当x ∈(0,+∞)，f′(x)=−1(x+1)2−1(x+2)2−1(x+3)2<0，所以函数f(x)单调递减，所以(2)正确；因为f(−2+x)=1x−1+1x +1x+1，f(−2−x)=1−x−1+1−x +1−x+1=−(1x−1+1x +1x+1)=−f(−2+x)，所以函数关于(−2,0)点成中心对称，故(3)正确；因为f(−1.2)=1−1.2+1+1−1.2+2+1−1.2+3<0， f(−1.5)=1−1.5+1+1−1.5+2+1−1.5+3>0，所以(−1.5,−1.2)上有零点；同理f(−2.5)<0，f(−2.8)>0，所以(−2.8,−2.5)上有零点，故(4)正确；当x ∈(−1,+∞)时f(x)>0，当x ∈(−∞,−3)，f(x)<0，且函数又有零点，所以函数的值域为R ，故(1)正确；故选：D ．先将函数整理，求出定义域，先判断x ∈(0,+∞)求导判断函数的单调性，可得(2)正确，再计算f(−2+x)与f(−2−x)可得互为相反数，可得对称中心，所以(3)正确，再计算f(−1.2)>0，f(−1.5)<0及f(−2.5)<0，f(−2.8)>0，可得函数至少由两个零点，故(4)正确，再求值域可得(1)也正确．本题考查演绎推理的意义，是一个基础题，这种题目可以单独出现，但是单独出现的几率不大，通过这个题目同学们要掌握几种推理的特点，学会选择．12.【答案】D【解析】【分析】构造函数f(x)=lnxx ，求导可知f(x)在(0,π2)上单调递增，进而得到lnαα<lnββ，变形可得lnαβ<lnβα，由此得解．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想及构造函数思想，属于中档题．【解答】解：构造函数f(x)=lnxx ，则f′(x)=1−lnxx，令f′(x)>0，解得0<x<e，令f′(x)<0，解得x>e，∴函数f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，∴函数f(x)在(0,π2)上单调递增，∴f(α)<f(β)，即lnαα<lnββ，∴βlnα<αlnβ，即lnαβ<lnβα，∴αβ<βα，故选：D．13.【答案】1或10【解析】解：∵已知a⃗=(1,2)，b⃗ =(2,x)，且这两个向量的夹角的余弦值为45，∴a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |⋅|b⃗|=5⋅√4+x2=45，求得x=1，或x=10，故答案为：1或10．由题意利用两个向量数量积的运算法则，两个向量数量积的夹角公式，求出结果．本题主要考查两个向量数量积的运算，两个向量数量积的夹角公式，属于基础题．14.【答案】2n+1−2【解析】【分析】运用等差数列和等比数列的通项公式，求得a n，b n，以及(a n−n+1)b n，再由等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查化简运算能力，是一道基础题．【解答】解：数列{a n}是首项和公差均为1的等差数列，可得a n=1+n−1=n；数列{b n}为首项和公比均为2的等比数列，可得b n=2⋅2n−1=2n．则(a n−n+1)b n=2n．=2n+1−2．可得前n项和S n=2(1−2n)1−2故答案为：2n+1−2．15.【答案】2x−y−1=0【解析】【分析】设A(x1,y1)，B(x2,y2)，运用中点坐标公式和双曲线方程，由点差法可得直线的斜率，由点斜式方程可得所求直线方程．本题考查双曲线的方程和运用，考查点差法和直线的斜率公式、中点坐标公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．【解答】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=2，y1+y2=2，y12−2x12=1，y22−2x22=1．两式相减，得(y1−y2)(y1+y2)=2(x1−x2)(x1+x2)，=2，可得直线l的斜率为k=y1−y2x1−x2即有直线l的方程为y−1=2(x−1)，化简得2x−y−1=0．故答案为：2x−y−1=0．16.【答案】1【解析】解：正四面体的棱长为2√6，根据对称性知，A的投影为三角形BCD的中心O1，则O1D=23DM=2√2，高AO1=√AD2−DO12=4，设外接球半径为R，故R2=(AO1−R)2+DO12，解得R=3，设正四面体内切球半径为r1，根据等体积法得到：1 3r1⋅12(2√6)2sin60°×4=13×12(2√6)2sin60°×4，故r1=1，根据题意R=3≥3r，r≤r1，r≤1，设OO1与球面相交于点Q，如图所示，画出剖面图，O1Q=R−OO1=2≥2r，故r≤1，综上所述：r≤1，故r的最大值为1．故答案为：1计算正四面体的外接球半径R=3，内切球半径为r1=1，设OO1与球面相交于点Q，如图所示，画出剖面图，R=3≥3r，r≤r1，O1Q=2≥2r，解得答案．本题考查了四面体的外接球内切球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=asinx+bcosx=√a2+b2(22+22=√a2+b2sin(x+θ)，其中cosθ=√a2+b2sinθ=√a2+b2；由题意知，√a2+b2=√3，−π3+θ=−π2+2Kπ,K∈Z；所以θ=−π6+2Kπ,K∈Z；所以sinθ=−12=√a2+b2=√3；于是b=−√32,a=32；所以f(x)=32sinx−√32cosx=√3sin(x−π6)；令−π2+2Kπ≤x−π6≤π2+2Kπ,K∈Z，解得−π3+2Kπ≤x≤23π+2Kπ,K∈Z；所以单调递增区间为[−π3+2Kπ,23π+2Kπ]，K∈Z；(Ⅱ)f(A)=√3sin(A −π6)=√3；所以sin(A −π6)=1，又因为A ∈(0,π)，所以A −π6=π2,A =23π； B =π6；由正弦定理得：ab =sinAsinB =√3．【解析】第一问需要我们根据对称轴及最值求出函数解析式，然后利用整体法求函数的单调增区间；第二问为三角函数与解三角形的综合题目，需要我们根据条件求出角A ，B 的值然后求解．本题难度较大，含有两个参数a ，b ，需要我们根据函数图象的特点求解．本题的难点在于第一问的作答．18.【答案】解：(Ⅰ)由已知数据计算可知，x −=15+20+25+30+35+40+457=30，y −=330+345+365+405+445+450+4557≈399.3，∴相关系数r =i n i=1i −−√(∑x i i=1−nx −2)(∑y i i=1−ny −2)=√(7000−7×302)(1132725−7×399．32)≈0.97．由于0.97与1十分接近，所以水稻产量与施化肥量的相关性强．(Ⅱ)b ̂=∑x i ni=1y i −nx −y −∑x i2n i=1−nx−2=87175−7×30×399.37000−7×302≈4.75， a ̂=y −−b ̂x −=399.3−4.75×30=256.8，∴y 关于x 的线性回归方程为y ̂=4.75x +256.8．【解析】(Ⅰ)先根据已知数据计算出x −,y −，再结合参考数据和相关系数的公式即可得解；(Ⅱ)结合已知数据和a ̂,b ̂的公式计算出回归方程的系数即可得解．本题考查相关系数、回归方程的求法，考查学生的运算能力，属于基础题．19.【答案】(Ⅰ)证明：连接DE 并延长，交AB 于G ，连接DF 并延长，交BC 于H ，连接GH ，∵E ，F 分别为△ABD ，△CBD 的重心，∴G ，H 分别为AB ，BC 的中点，则AC//GH ，∵GH ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ， ∴AC//平面BEF ；(Ⅱ)解：在△ADC 中，由AD =2，CD =√3，∠ADC =30°， ∴AC 2=AD 2+DC 2−2AD ⋅DC ⋅cos30°=4+3−2×2×√3×√32=1，则AC 2+DC 2=AD 2，即AC ⊥DC ．由BD ⊥平面ADC ，可得BD ⊥AC ，又BD ∩DC =D ， ∴AC ⊥平面BDC ．∵GH//AC ，∴GH ⊥平面BDC ， ∵AC =1，BD =1，CD =√3， ∴V G−BDH =13×12×12×1×√3=√312． ∵S △DEF =49S △DGH ，∴V B−DEF =49V B−DGH =49V G−BDH =49×√312=√327．【解析】(Ⅰ)连接DE 并延长，交AB 于G ，连接DF 并延长，交BC 于H ，可得G ，H 分别为AB ，BC 的中点，由三角形中位线定理可得AC//GH ，再由线面平行的判定得到AC//AC//平面BEF ；(Ⅱ)求解三角形证明AC ⊥DC ，再由BD ⊥平面ADC ，可得BD ⊥AC ，可得AC ⊥平面BDC ，求出三棱锥G −BDH 的体积，再由相似三角形对应成比例可得四面体BDEF 的体积．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)∵PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴△PF 2F 1为直角三角形， ∴P(c,b 2a )，∴tan∠PF 1F 2=b 2a2c=b 22ac =√312，∵PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为2√3， ∴2c =2√3，即c =√3， ∵a 2=b 2+c 2， ∴a =2，b =1，∴椭圆的离心率为e =ca =√32，椭圆方程为x 24+y 2=1；(Ⅱ)设满足条件的直线为l ，其方程为x =my −√3，两交点坐标为A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)，设线段AB 为直径的圆与y 相切于点D ，由{x =my −√3x 24+y 2=1，消去x 得：(m 2+4)y 2−2√3my −1=0， ∴y 1+y 2=2√3m4+m 2，y 1y 2=−14+m 2，x 1+x 2=m(y 1+y 2)−2√3=−8√34+m 2，所以AB 的中点到y 轴的距离d =|x 1+x 2|2=4√34+m ，所以弦长|AB|=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+m 2⋅√12m 2(4+m 2)2−4⋅−14+m 2=4⋅1+m 24+m 2=2d =8√34+m 2，解得m 2=2√3−1，所以m =±√2√3−1直线方程为x =√2√3−1y −√3，或x =−√2√3−1y −√3，即x −√2√3−1y +√3=0或x +√2√3−1y +√3=0．【解析】(Ⅰ)根据题目的三个条件可得c =√3，b 22ac =√312，a 2=b 2+c 2，解得即可；(Ⅱ)由(Ⅰ)可得焦点F 1的坐标，设直线l 的方程与由、椭圆联立求出两根之和及两根之积，设A ，B 的坐标，及切点D 的坐标，由题意可得DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求出参数及D 的坐标，可得直线l 的方程．本题主要考查圆锥曲线的方程和直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题．21.【答案】解：f(x)=x 33−ax 22+x ，f′(x)=x 2−ax +1．(Ⅰ)当a =52时，f′(x)=x 2−52x +1=0．解得x =12或2，当x <12或x >2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当12<x <2时，f′(x)<0，f(x)单调递减． ∴f(x)的极值点为12和2．(Ⅱ)证明：当f(x)存在两个正极值点x 1，x 2时，x 2−ax +1=0． Δ=a 2−4>0，x 1+x 2=a >0，x 1x 2=1，解得a >2．不妨设x1<x2，x0=max{x1,x2}=x2>1，x22−ax2+1=0．∴ax2=x22+1．f(x0)=f(x2)=x233−a2x22+x2=x233−x222(x2+1x2)+x2=−x236+12x2．令g(x2)=−x236+12x2，g′(x2)=−12x22+12<0，∴函数g(x2)在(1,+∞)上单调递减．∴f(x0)=g(x2)<g(1)=12−16=13．∴f(x0)<13．【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、转化方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．f(x)=x33−ax22+x，f′(x)=x2−ax+1．(Ⅰ)当a=52时，f′(x)=x2−52x+1=0.解得x即可得出f(x)的极值点．(Ⅱ)当f(x)存在两个正极值点x1，x2时，可得x2−ax+1=0．Δ>0，x1+x2=a>0，x1x2=1，可得a>2.不妨设x1<x2，x0=max{x1,x2}=x2>1，x22−ax2+1=0，于是ax2=x22+1.f(x0)=f(x2)=x233−a 2x22+x2=−x236+12x2.令g(x2)=−x236+12x2，利用导数研究其单调性、最值即可得出．22.【答案】解：(Ⅰ)直线l经过点P(1,−1)，倾斜角α=2π3，转换为参数方程为：{x=1−12ty=−1+√32t(t为参数)．圆C的极坐标方程为ρ=2转换为直角坐标方程为x2+y2=4．(Ⅱ)把直线的参数方程{x=1−12ty=−1+√32t代入x2+y2=4，得到t2−(√3+1)t−2=0，所以t1+t2=√3+1，t1t2=−2，所以|PA|+|PB|=|t1−t2|=√(t1+t2)2−4t1t2=√12+2√3．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．(Ⅱ)利用一元二次方程根和系数关系式应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(Ⅰ)设y=sin2x−4sinx−4=(sinx−2)2−8，∵−1≤sinx≤1，∴当sinx=−1时，存在最大值，即y≤1，∴|2t−1|<1，解得0<t<1，(Ⅱ)0<t<1，要证：12−2t +1t+1+1t≥(1+1+1)2(2−2t)+(t+1)+t=93=3，当且仅当12−2t =1t+1=1t，此时取等号不成立，∴12−2t +1t+1+1t>3．【解析】(Ⅰ)根据三角函数的有界性和二次函数的性质即可求出；(Ⅱ)根据不等式的性质即可证明．本题考查了不等式的性质和二次函数的性质，考查了运算能力和论证能力，属于中档题．。

2020届广东省广州市高考数学一模(文)试题(整理含标准答案解析版)

2020届广东省广州市高考数学一模（文）试题一、单选题 1．设集合，，则=（）A ．B ．C ．D ．2．高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n 座城市作试验基地，这n 座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为x 1，x 2，…x n ，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是( ) A ．x 1，x 2，…x n 的平均数 B ．x 1，x 2，…x n 的标准差 C ．x 1，x 2，…x n 的最大值 D ．x 1，x 2，…x n 的中位数3．若复数()21a ia R i-∈+为纯虚数，则3ai -=（） AB ．13C ．10D4．设等差数列{}an 的前n 项和为Sn ，若则28155a a a +=-,9S =（）A ．18B ．36C ．45D ．605．已知4cos()25πθ+=，322ππθ<<，则sin 2θ的值等于( )A.1225 B.1225-C.2425 D.2425-6．若实数x ，y 满足001x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩………，则2z y x =-的最小值为( ) A.2B.2-C.1D.1-7．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用22()4⨯⨯+=⨯+=勾股股勾朱实黄实弦实-，化简，得222+=勾股弦.设勾股形中勾股比为1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A.134B.866C.300D.5008．已知12121ln ,2x x e -==，3x 满足33ln xe x -=，则（）A.123x x x <<B.132x x x <<C.213x x x <<D.312x x x <<9．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A.aB.2aD.210．已知函数())(0f x x ωϕω=+>，)22ππ-<ϕ<，1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则()f x 的单调递增区间是( ) A.2(23k -，42)3k +，k Z ∈ B.2(23k ππ-，42)3k ππ+，k Z ∈C.2(43k -，44)3k +，k Z ∈ D.2(43k ππ-，44)3k ππ+，k Z ∈11．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为( ) A.17(1)a r + B.17[(1)(1)]a r r r +-+ C.18(1)a r +D.18[(1)(1)]a r r r+-+ 12．已知函数f （x ）＝（k ＋4k ）lnx ＋24x x－，k ∈[4，＋∞），曲线y ＝f （x ）上总存在两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），使曲线y ＝f （x ）在M ，N 两点处的切线互相平行，则x 1＋x 2的取值范围为A ．（85，＋∞） B ．（165，＋∞） C ．[85，＋∞） D ．[165，＋∞）二、填空题13．已知向量()()3,2,,1a b m =-=．若向量()2//a b b -，则m =_____．14．已知数列{}n a 满足11a =，111(*,2)n n a a a n N n -=++⋯+∈…，则当1n …时，n a =__． 15．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ=______________．16．已知直三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积为52π，1AB =，若ABC ∆外接圆的圆心1O 在AC 上，半径11r =，则直三棱柱111ABC A B C -的体积为_____．三、解答题17．某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75)，第二组[75，85)，⋯⋯第八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．18．在等比数列{}n a 中，公比(0,1)q ∈，且满足32a =，132435225a a a a a a ++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，当1212n S S S n++⋯+取最大值时，求n 的值． 19．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，且22sin 30C C -++=．（1）求角C 的大小；（2）若b =，ABC ∆sin A B ，求sin A 及c 的值． 20．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，侧面PAB 是正三角形，2AB =，BC =PC =E 、H 分别为PA 、AB 的中点．（1）求证：PH AC ⊥；（2）求点P 到平面DEH 的距离．21．已知函数2()f x lnx mx =-，21()2g x mx x =+，m R ∈，()()()F x f x g x =+．（1）讨论函数()f x 的单调区间及极值；（2）若关于x 的不等式()1F x mx -…恒成立，求整数m 的最小值．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos sin x y αααα⎧=⎪⎨=-⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 与y 轴交点为P ，经过点P 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，证明：PA PB ⋅为定值. 23．已知函数()12()f x x x m m R =-++∈. （1）若2m =时，解不等式()3f x ≤；（2）若关于x 的不等式()23f x x ≤-在[0,1]x ∈上有解，求实数m 的取值范围.2020届广东省广州市高考数学一模（文）试题1. 【答案】B【解析】试题分析：集合，故选B.【考点】集合的交集运算. 2. 【答案】B【解析】根据平均数、标准差、中位数、最值的实际意义逐一判断即可. 【详解】因为平均数、中位数、众数描述样本数据的集中趋势, 方差和标准差描述其波动大小. 所以，表示一组数据12,,...n x x x 的稳定程度的是方差或标准差．故选B ．【点睛】本题主要考查平均数、标准差、中位数的实际意义，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，以及灵活运用所学知识解答问题的能力，属于基础题. 3. 【答案】A【解析】由题意首先求得实数a 的值，然后求解3ai -即可。