江苏专版2019届高三数学备考冲刺140分问题07平面向量中最值范围问题含解析

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平面向量的最值问题

平面向量的最值问题
平面向量的最值问题指的是求平面向量的最大值和最小值的问题。

在求解平面向量的最值问题时，一般可以通过以下几种常用的方法进行求解：
1. 向量的模的最大值和最小值：对于平面向量a=(x,y)，其模的最大值和最小值分别为：
最大值：|a| = √(x^2 + y^2)
最小值：|a| = 0
2. 向量的投影的最大值和最小值：对于平面向量a=(x,y)，其在某个方向上的投影的最大值和最小值分别为：
最大值：|proj_u a| = |a|·cosθ，其中θ为a与u的夹角
最小值：|proj_u a| = 0
3. 向量的点乘的最大值和最小值：对于平面向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，其点乘的最大值和最小值分别为：
最大值：a·b = |a|·|b|·cosθ，其中θ为a与b的夹角
最小值：a·b = |a|·|b|·cosθmin，其中θmin为a与b的夹角的最小值，即θmin=0时
需要注意的是，以上方法中的最大值和最小值都是相对于给定的条件和向量范围的。

具体在实际问题中求解向量的最值时，需要根据具体的条件和向量的性质进行分析和计算。

(高考冲刺押题)2019高考数学三轮基础技能闯关夺分必备向量的坐标运算(含解析).doc

(高考冲刺押题)2019高考数学三轮基础技能闯关夺分必备向量的坐标运算（含解析）【考点导读】1. 掌握平面向量的正交分解及坐标表示.2. 会用坐标表示平面向量的加减及数乘、数量积运算.3.掌握平面向量平行的充要条件的坐标表示,并利用它解决向量平行的有关问题.【基础练习】1假设OA =)8,2(，OB =)2,7(-，那么31AB =(3,2)-- 2平面向量,a b 中，假设(4,3)=-a ，b =1，且5⋅=a b ，那么向量b =43(,)55- 3.向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，那么k=23-4.平面向量(3,1)=a ，(,3)=-b x ，且⊥a b ，那么x =15.向量(cos ,sin )θθ=a ,向量1)=-b 那么|2|-a b 的最大值，最小值分别是4,0【范例导析】例1、平面内给定三个向量()()()3,2,1,2,4,1==-=ab c ，回答以下问题：〔1〕求满足=+amb nc 的实数m ,n ；〔2〕假设()()//2+-a kc b a ，求实数k ；〔3〕假设d 满足()()//-+d c a b，且-=d c ，求d 分析:此题主要考察向量及向量模的坐标表示和向量共线的充要条件.解：〔1〕由题意得()()()1,42,12,3n m +-=所以⎩⎨⎧=+=+-2234n m n m ，得⎪⎩⎪⎨⎧==9895n m 〔2〕()()2,52,2,43-=-++=+a b k k c k a()()()1316,025432-=∴=+--+⨯∴k k k 〔3〕设(),d x y =，那么()()4,2,1,4=+--=-b a y x c d由题意得()()()()⎩⎨⎧=-+-=---5140124422y x y x得⎩⎨⎧-==13y x 或⎩⎨⎧==35y x ∴()()3,153d =-或，点拨:根据向量的坐标运算法那么及两个向量平等行的充要条件、模的计算公式，建立方程组求解。

江苏专版2019届高三数学备考冲刺140分问题06三角形中的不等问题与最值问题含解析

问题6 三角形中的不等问题与最值问题一、考情分析根据条件确定三角形中角、边、周长或面积的取值范围是解三角形中较难的一类问题,常作为客观题中的压轴题或解答题中的第二问. 二、经验分享(1)求角的范围或三角函数值的范围要注意三角形内角和为π这一限制条件．(2)求边的范围可利用正弦定理把边转化为三角函数,利用三角函数的有界性求范围．或根据角的范围利用余弦定理求边的范围,同时要注意两边之和大于第三边.(3)求周长或面积的范围与最值可转化为边与角的范围,也可利用基本不等式求范围．三、知识拓展(1)若△ABC 是锐角三角形,则,、(2)若△ABC 中,若A 是锐角,则222a b c +>；若A 是钝角,则222a b c +<(3) △ABC 中,若π3A =,则, ,=.(4)若,,a b c 成等差数列,则π3B ≤. 四、题型分析(一) 角或角的三角函数的范围或最值【例1】【江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟】在中，若，则的最大值为______. 【答案】【分析】先由题得，再化简得=，再利用三角函数的图像和性质求出最大值.【解析】在△ABC 中，有, 所以==,当即时取等.故答案为：【点评】求三角函数式的范围一般是先确定角的范围,利用利用三角函数的单调性及有界性求范围与最值,有时也利用基本不等式求最值.【小试牛刀】【2018江苏省南京市多校第一次段考】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，4ab=，则的最小值是__________．【解析】，4ab=，,()0,Cπ∈,,当且仅当时成立.(二) 边的范围或最值【例2】在△ABC中,若,点E,F分别是AC,AB的中点,则BECF的取值范围为．【分析】先得出,设bta=,转化为函数求值域.【解析】设分别是,AC AB的中点,, 所以由正弦定理得,114-,设b t a =,结合23c b =,由,a b c a c b b c a+>⎧⎪+>⎨⎪+>⎩可得.,故答案为17(,)48.【点评】本题主要考查三角形中位线定理、正弦定理及求范围问题,属于难题.求范围问题的常见方法有 ①配方法；②换元法；③不等式法；④图象法；⑤函数单调性法：将问题转化为关于某一参变量的函数后,首先确定函数的定义域,然后准确地找出其单调区间 ,最后再根据其单调性求凼数的值域；本题就是先将BECF表示为关于t 的函数,再根据方法⑤解答的. 【小试牛刀】【江苏省如皋中学2018-2019学年高三第一学期期中】某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉，观景喷泉的示意图如图所示，两点为喷泉，圆心为的中点，其中米，半径米，市民可位于水池边缘任意一点处观赏．（1）若当时，，求此时的值；（2）设，且．（i ）试将表示为的函数，并求出的取值范围；（ii ）若同时要求市民在水池边缘任意一点处观赏喷泉时，观赏角度的最大值不小于，试求两处喷泉间距离的最小值．【解析】（1）在中，由正弦定理得，所以，即．（2）（i ）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，又所以，即．又，解得，所以所求关系式为，．（ii ）当观赏角度的最大时，取得最小值．在中，由余弦定理可得，因为的最大值不小于，所以，解得，经验证知，所以．即两处喷泉间距离的最小值为．(三) 周长的范围或最值【例3】在锐角ABC ∆中, 2c =,.（1）若ABC ∆求a 、b ；（2）求ABC ∆的周长的取值范围.【分析】（1）利用已知条件通过正弦定理集合三角形的面积,余弦定理转化求解即可；（2）利用正弦定理表示三角形的周长,利用三角函数的有界性求解即可．【解析】（1）由及正弦定理得：,又sin 0A ≠,.又C 为锐角,故3C π=, 又, 4ab ∴=由得,所以由解得2{2a b ==.（2）由正弦定理得,,记ABC ∆周长为l ,则,又23A B π+=,,ABC ∆为锐角三角形,.【点评】周长问题也可看做是边长问题的延伸,所以在解决周长相关问题时,着眼于边长之间的关系,结合边长求最值(范围)的解决方式,通常都能找到正确的解题途径. 【小试牛刀】C ∆AB 中,角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ,且．（1）求角A ；（2）若2a =,求C ∆AB 的周长的最大值．【答案】（1）60A =︒；（2）6．【解析】（1）,解得60A =︒．（2）,周长,当3C π=时,△ABC 的周长的最大值为6． (四) 面积的范围与最值【例4】如图,在等腰直角三角形OPQ 中,∠POQ ＝90°,OP ＝点M 在线段PQ 上．(1)若OM =求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上,且∠MON ＝30°,问：当∠POM 取何值时,△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．【分析】第(1)题利用余弦定理求MP 的长,难度不大；第(2)题求△OMN 的面积最小值,前面的要求也很明确：以∠POM 为自变量,因此,本题的中点就是如何将△OMN 的面积表示为∠POM 的函数关系式,进而利用函数最值求解.其中,利用正弦定理将OM 和ON 的长表示为∠POM 的函数是关键.【解析】(1)在OMP ∆中, ,OM =OP =,由余弦定理得, ,得, 解得1MP =或3MP =．(2)设,,在OMP ∆中,由正弦定理,得,所以, 同理故因为, ,所以当30α=︒时,的最大值为1,此时OMN ∆的面积取到最小值．即时,△OMN 的面积的最小值为8-．【点评】面积问题是边长与角问题的综合,解题中既要考虑边的变化,也要考虑相关角的变化,通常是利用面积公式,将其转化为同一类元素,然后利用三角函数范围或者实数的不等关系求解.【小试牛刀】【江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中2019届高三10月月考】如图所示，某市政府决定在以政府大楼O 为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼设扇形的半径，，OB 与OM 之间的夹角为．Ⅰ将图书馆底面矩形ABCD 的面积S 表示成的函数．Ⅱ若，求当为何值时，矩形ABCD 的面积S 有最大值？其最大值是多少？精确到【解析】Ⅰ由题意可知，点M 为的中点，所以．设OM 于BC 的交点为F ，则，．．所以，． Ⅱ因为，则．所以当，即时，S 有最大值．．故当时，矩形ABCD 的面积S 有最大值．(五) 与其它知识点的综合问题【例5】【江苏省盐城中学2018届高三上学期期末】已知ABC ∆的周长为6，且,,BC CA AB 成等比数列，则BA BC ⋅的取值范围是______．【答案】【解析】因为,,BC CA AB 成等比数列，所以，从而02b <≤，所以，又，即，解得，故.【点评】三角函数值也是一个实数,所以,它也可以与其他实数进行代数运算,也可以与其它知识点进行交汇,如向量、数列、不等式等等,解题中要综合这些知识和相关方法,灵活处理,才能既快又准的解决问题. 【小试牛刀】如图,已知平面上直线12//l l ,A ,B 分别是1l ,2l 上的动点,C 是1l ,2l 之间的一定点,C 到1l 的距离1CM =,C 到2l 的距离CN =ABC ∆三内角A ∠、B ∠、C ∠所对边分别为a ,b ,c ,a b >,且.（Ⅰ）判断ABC ∆的形状；（Ⅱ）记ACM θ∠=,,求()f θ的最大值.【答案】（Ⅰ）ABC ∆是直角三角形；（Ⅱ）()f θ的最大值为3. 【解析】（I ）由正弦定理得：,集合,得,又a b >,所以A B >,且,所以,∴2C π=,所以ABC ∆是直角三角形；（II ）ACM θ∠=,由（I ）得,则1cos AC θ=,sin BC θ=, ,所以6πθ=时,()f θ的最大值为3. 五、迁移运用1．【江苏省如皋市2018-2019学年高三年级第一学期期末】在△锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知，则的最小值是_______．【答案】6【解析】根据题意，已知，由余弦定理得，化简得由正弦定理：即（正弦平方差）整理可得：即设因为为锐角三角形，所以此时即所以=令当，f()递增；当，f()递减；所以故的最小值是6故答案为62．【江苏省无锡市2019届高三上学期期末】在锐角三角形ABC 中，已知2sin2 A+ sin2B = 2sin2C，则的最小值为___．【答案】【解析】由正弦定理，得：，如图，作BD⊥AC于D，设AD＝，CD＝y，BD＝h，因为，所以，，化简，得：，解得：＝3y，，，＝＝＝＝，当且仅当时取得最小值.故答案为：.3．【江苏省南京市13校2019届高三12月联合调研】已知的三边长，，成等差数列，且，则实数的取值范围是_______.【答案】.【解析】【解析】设公差为d，则有a＝b﹣d，c＝b+d，代入a2+b2+c2＝63，化简可得3b2+2d2＝63，当d＝0时，b有最大值为，由三角形任意两边之和大于第三边，得到较小的两边之和大于最大边，即a+b＞c，整理得：b＞2d，可得：3b2+2（）2＞63，解得：b＞3，则实数b的取值范围是（3，]．故答案为：（3，]．4．【江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研】在中，设角的对边分别是若成等差数列，则的最小值为________.【答案】【解析】由题得,所以,所以因为所以故答案为：5．【江苏省镇江市2019届高三上学期期中】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4(tanA＋tanB)＝＋，则cosC的最小值为__________．【答案】【解析】∵4（tanA+tanB）=则4（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB，即4sin（A+B）=sinA+sinB，又∵A+B=π﹣C，∴4sinC=sinA+sinB，由正弦定理得，4c=a+b．由余弦定理得cosC=,∵4c=a+b，∴cosC=，∴cosC的最小值为．故答案为：．6．【江苏省如皋市2018-2019学年高三数学第一学期教学质量调研】在△ABC中，D为AB的中点，若，则的最小值是_______．【答案】．【解析】根据D为AB的中点，若，得到，化简整理得，即，根据正弦定理可得，进一步求得，所以，求导可得当时，式子取得最大值，代入求得其结果为，故答案为.7．【江苏省扬州中学2019届高三10月月考】在中，若则的最大值为_______.【答案】【解析】已知等式即，，即可得，即，即．所以，．∴sinA故答案为：8．【江苏省苏州市2017-2018学年高三上学期期中】设ABC 的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,D 为AB 的中点,若且CD =,则ABC 面积的最大值是_____．1 【解析】因为,所以,即,即sin cos A A =,即π4A =,又因为D 为AB 的中点,且CD =,所以,即,即,则,则ABC 面积的最大值是9．【百校联盟2018届TOP20一月联考】ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若， 2b =，则ABC ∆外接圆面积的最小值为__________．【答案】98π【解析】由条件及正弦定理得，∴，整理得3ac =．在ABC ∆中，由余弦定理得，∴1cos 3B ≥，当且仅当a c ==sin B ≤设ABC ∆外接圆的半径为r ，则，故4r ≥． ∴．故ABC ∆外接圆面积的最小值为98π．答案：98π 10．【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟】若不等式对任意ABC ∆都成立，则实数k 的最小值为________．【答案】100【解析】由正弦定理得因此100k ≥ ，即k 的最小值为10011．【山东省德州市2018届高三上学期期中考试】在ABC ∆中， ,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，，则ABC ∆面积的最大值为__________．【解析】∵，∴, 由余弦定理得，∴2b a c -=，即2a c b +=。

平面向量中最值、范围问题解题模板

解题模板应用：
例2在中，，，点是所在平面内一点，则当取得最小值时，（）
A. B. C. D.24
【答案】D
解题模板选择：
本题中题意得，可建立适当的直角坐标，故选取解题方法模板二坐标法进行解答.
解题模板应用：
第一步，根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标；
以C为坐标原点，直线CB，CA分别为x，y轴建立直角坐标系，
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】作出图像如下图所示，取的中点为D，由，则P在以O为圆心，以1为半径的圆上，再由公式，可得选项.
【解析】作出图像如下图所示，取的中点为D，则，因为，则P在以O为圆心，以1为半径的圆上，
则 .又为圆O上的点P到D的距离，则，
∴ 的最小值为 .
故选：A.
3.如图，在中，，点，分别在，上，且， .若与相交于点，则的取值范围是__.
【答案】 .
【分析】设，，由三点共线的向量表示可设，结合已知条件进一步得到，
由此可得，结合余弦函数的有界性即可得出答案.
【解析】不妨设，，由于，，三点共线，，，三点共线，
故由平面向量基本定理可设，，
10.如图，在等腰梯形中，，，高为，为的中点，为折线段上的动点，设的最小值为，若关于的方程有两不等实根，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】先以为坐标原点，为轴，建立直角坐标系，设的横坐标为，将用表示分段表示出来，再求最小值，再对有两不等实根变形，可转化为两函数有两个交点，数形结合，求出的取值范围.
而，所以 .

平面向量：求取值范围难题(含答案)

《平面向量：求取值范围》1、在直角△ABC 中，︒=∠90BCA ，1==CB CA ，P 为AB 边上的点且AB AP λ=，若PB PA AB CP ⋅≥⋅，则λ的取值范围是 ]1,222[- 【方法】建立坐标系2、在ABC ∆中，点D 在线段BC 的延长线上，且→→=CD BC 3，点O 在线段CD 上（与点C 、D 不重合），若→→→-+=AC x AB x AO )1(则x 的取值范围是 1(,0)3-【方法】选择基底；向量相等3、已知点G 是ABC ∆的重心，AC AB AG μλ+=(λ, R ∈μ )，若0120=∠A ，2-=⋅AC AB ，则AG 的最小值是324、在矩形ABCD 中，1,3AB AD ==, P 为矩形内一点，且32AP =, 若→→→+=AD AB AP μλ,則3λμ+的最大值为 625、在ABC ∆中，D 是BC 上一点，→→-=DB DC 2，若2||=→AB ,3||=→AC ，则||→AD 的取值范围为 .)37,31(6、已知平面向量)(,βαβα≠满足2=α，且α与αβ-的夹角为120°，t R ∈，则βαt t +-)1( 的取值范围是),3[+∞．7、设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，ABC ∆中BC 边上的高为h ,且216BC =||||→→→→-=+AC AB AC AB 则h 的最大值为_____________2.8、已知正△ABC 的边长为1，点G 为边BC 的中点，点,D E 是线段,AB AC 上的动点，DE 中点为F ．若AD AB λ=，(12)AE AC λ=-()λ∈R ，则FG 的取值范围为 17,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ．14@．如图,//AB MN ，且2OA OM =，若OP xOA yOB =+，（其中,x y R ∈），则终点P 落在阴影部分（含边界）时，21y x x +++的取值范围是 4[,4]3 .9、已知(0,0)O ，(cos ,sin )A αα，(cos ,sin )B ββ，(cos ,sin )C γγ，若(2)0kOA k OB OC +-+=，(02)k <<，则cos()αβ-的最大值是 12-． 10、已知向量,a b 满足：||13a =,||1b =,|5|12a b -≤，则b 在a 上的投影的取值范围是 5113[,].ABOC11、设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则mλ的取值范围是 [－6，1]12、已知向量||||a bp a b =+，其中a 、b 均为非零向量，则||p 的取值范围是 [0,1]13、已知向量与则),sin 2,cos 2(),0,2(),2,0(αα===夹角的取值范围是]43,4[ππ14、已知平面上的向量PA 、PB 满足224PA PB +=,2AB =，设向量2PC PA PB =+，则PC 的最小值是 215、已知直线2022=+=++y x m y x 与圆交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，|,|||m AB OB OA 那么实数≥+的取值范围是 )2,2[]2,2(⋃--16、22(,1),(2,3),||||x x a b a b a b ==+⋅已知向量则的最大值是4217、设向量a ，b ，c 1==，21-=⋅b a ，若向量c a -与c b -的夹角等于60的最大值为 21==， 21-=⋅∴ a 与b的夹角为︒120令：a OA =→， b OB =→ ，c OC =→ →=-CA c a , →=-CB c a , 向量CA 与CB 的夹角等于60根据题意画图 C 点在△AOB 的外接圆上(优弧B C A上，不含端点)运动，该外接圆的半径为1 ，当OC 为圆的直径时，c 的最大值为 218、已知向量是单位向量a ，b ，若0a b ⋅=，且25c a c b -+-=，则2c a +的取值范围是]22,1[19、已知)1,0(),0,2(B A ，O 是坐标原点。

江苏专版2019届高三数学备考冲刺140分问题11含参数的线性规划与非线性规划问题含解析

问题11含参数的线性规划与非线性规划问题性一、考情分析线性规划是高考必考问题,常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题,是线性规划中的难点,其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．二、经验分享(1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形结合的方法去求解．(3)先准确作出可行域,再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．当目标函数是非线性的函数时,常利用目标函数的几何意义来解题.(4)当目标函数中含有参数时,要根据临界位置确定参数所满足的条件,含参数的平面区域问题,要结合直线的各种情况进行分析,不能凭直觉解答,目标函数含参的线性规划问题,要根据z的几何意义确定最优解,切忌搞错符号．三、知识拓展常见代数式的几何意义：①x2＋y2表示点(x,y)与原点(0,0)的距离,x－a2＋y－b2表示点(x,y)与点(a,b)的距离；②yx表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,y－bx－a表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率．四、题型分析类型一目标函数中含参数若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解），将点的坐标代入目标函数求得参数的值．1．目标函数中x的系数为参数【例1】x，y满足约束条件，若z y ax=-取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为_______________. 【答案】2或1-【解析】如图，画出线性约束条件所表示的可行域，坐出直线y ax =，因此要使线性目标函数取得最大值的最优解不唯一，直线y ax =的斜率，要与直线或的斜率相等，∴2a =或1-．【点评】本题主要考查最优解的求法以及两直线的位置关系．通过本题应进一步明确两点：（1）线性规划问题可能没有最优解；（2）当线性目标函数所表示的直线与可行域的某一条边界平行时，线性规划问题可以有无数个最优解．【牛刀小试】已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =___________.【答案】2【解析】将z ax y =+化为z ax y +-=，作出可行域（如图所示），当0≤a 时，当直线z ax y +-=向右下方平移时，直线z ax y +-=在y 轴上的截距z 减少，当直线z ax y +-=过原点时，0max =z （舍）；当0>a 时，当直线z ax y +-=向右上方平移时，直线z ax y +-=在y 轴上的截距z 增大，若01<-≤-a ，即10≤<a 时，当直线z ax y +-=过点)1,1(B 时，，解得3=a （舍），当1-<-a ，即1>a 时，则当直线z ax y +-=过点)0,2(A 时，，解得2=a ．【评注】处理简单的线性规划问题的基本方法是：先画出可行域，再结合目标函数的几何意义进行解决，往往容易忽视的是目标函数基准直线与可行域边界的倾斜程度，如本题中，不仅要讨论斜率a -的符号，还要讨论斜率a -与边界直线斜率1-的大小关系. 2．目标函数中y 的系数为参数【例2】已知变量,x y 满足约束条件若目标函数的最大值为1，则a = ．【答案】3．【解析】约束条件所满足的区域如图所示，目标函数过B （4，1）点是取得最大值，∴141a =-⨯，∴3a =．【点评】这类问题应根据图形特征确定最优解，进而用代入法求参数的值． 3．目标函数中,x y 的系数均含参数【例3】设x ，y 满足约束条件221x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，若目标函数的最小值为2，则ab 的最大值为．【答案】41．【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影部分，易求得，要目标函数的最小值为2，∴222=+b a ，即1==b a ，∴，当且仅当21==b a 等号成立．故ab 的最大值为41．【点评】本题主要考查最优解的求法以及均值不等式的应用．应明确若可行域是封闭的多边形，最优解一般在多边形的顶点处取得．应用均值不等式时需注意“一正、二定、三相等”，缺一不可．【牛刀小试】设x y ，满足约束条件，若目标函数的最大值为12，则ba 32+的最小值为______________. 【答案】625【解析】作出x y ，满足约束条件下平面区域，如图所示，由图知当目标函数经过点()4,6A 取得最大值12，即，亦即236a b +=，所以＝，当且仅当b a a b =，即65a b ==时等号成立．【评注】运用线性规划求解最值时，关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系，以好确定在哪个端点，目标函数取得最大值，在哪个端点，目标函数取得最小值；已知ax by m +=﹙﹚求的最小值，通常转化为c d x y +＝1()c d m x y+（ax by +)，展开后利用基本不等式求解． 4．目标函数为非线性函数且含有参数【例4】设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+01,0,4x x y y x 表示的平面区域为D ．若圆()0>r 不经过区域D 上的点，则r 的取值范围是_______________．【答案】【解析】不等式对应的区域为ABE ∆．圆心为(1,1)--，区域中A 到圆心的距离最小，B 到圆心的距离最大，∴要使圆不经过区域D ，则有0r AC <<或r BC >．由1x y x =⎧⎨=⎩得11x y =⎧⎨=⎩，即(1,1)A ．由14x y x =⎧⎨=-+⎩，得13x y =⎧⎨=⎩，即(1,3)B．∴AC =，BC =，∴0r <<或r >，即r 的取值范围是．【点评】本题的关键是给出目标函数的实际意义，即圆与可行域无公共点的问题．对于目标函数为平方型：，可看成可行域内的点(),P x y 与定点(),Q a b 两点连线的距离的平方，即；也可看成是以(),Q a b 为半径的圆，转换为圆与可行域有无公共点的问题．【牛刀小试】设二元一次不等式组所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x (a ＞0，a ≠ 1)的图象过区域M 的a 的取值范围是___________. 【答案】[2，9]【解析】平面区域M 如图所示，求得，由图可知，欲满足条件必有且图象在过B 、C 两点的图象之间，当图象过B 点时，，当图象过C 点时，，所以，故的取值范围是．【评注】巧妙地识别目标函数的几何意义是研究此类问题的基础，纵观目标函数包括线性与非线性、非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得线性规划问题得以深化，本题的解答中正确理解目标函数表示指数函数的图象与二元一次不等式组表示的平面区域有公共点这一意义是解得本题的关键。

江苏专版2019届高三数学备考冲刺140分问题06 三角形中的不等问题与最值问题含解析

问题6 三角形中的不等问题与最值问题一、考情分析根据条件确定三角形中角、边、周长或面积的取值范围是解三角形中较难的一类问题,常作为客观题中的压轴题或解答题中的第二问.二、经验分享π这一限制条件． (1)求角的范围或三角函数值的范围要注意三角形内角和为(2)求边的范围可利用正弦定理把边转化为三角函数,利用三角函数的有界性求范围．或根据角的范围利用余弦定理求边的范围,同时要注意两边之和大于第三边.(3)求周长或面积的范围与最值可转化为边与角的范围,也可利用基本不等式求范围．三、知识拓展ABC ,、是锐角三角形,则(1)若△222222AAABC cba?c?a??b则是钝角中,若是锐角,则；若,(2)若△π?A ABC ,则(3)△若中, ,,3.=πc,ba,?B. 则若成等差数列,(4)3四、题型分析 ) (一角或角的三角函数的范围或最值则中，若20191【例】【江苏省南京市、盐城市届高三第二次模拟】，在______. 的最大值为【答案】【分析】先由题得=，再化简得，. 再利用三角函数的图像和性质求出最大值, 中，有ABC【解析】在△所以=.时取等即当,=故答案为：【点评】求三角函数式的范围一般是先确定角的范围,利用利用三角函数的单调性及有界性求范围与最值,有时也利用基本不等式求最值.a bABCC BA，的对边分别为中，角，，，【【小试牛刀】2018江苏省南京市多校第一次段考】在c4?ab．，若，，则的最小值是__________422?【答案】24?ab【解析】， , ，???0,C?,,.当且仅当时成立边的范围或最值二) (BE ACABC ABFE的中点,的取值范围为则,点,分别是,．若】在△【例2中,CFbt?设,【分析】先得出.,转化为函数求值域aABAC, ,的中点分别是【解析】设所以由正弦定理得,,c?a?b??2b1,?ba?c b???tc?.,设,结合,由可得3a14?a?b?c?71)(,.故答案为,84①【点评】本题主要考查三角形中位线定理、正弦定理及求范围问题,求范围问题的常见方法有属于难题.首配方法；②换元法；③不等式法；④图象法；⑤函数单调性法：将问题转化为关于某一参变量的函数后,BE本题就是先将 ,最后再根据其单调性求凼数的值域；先确定函数的定义域,然后准确地找出其单调区间CF t.表示为关于再根据方法⑤解答的的函数,学年高三第一学期期中】某公园准备在一圆形水池里设置两个观【江苏省如皋中学【小试牛刀】2018-2019半径米，为的中点，其中景喷泉，观景喷泉的示意图如图所示，两点为喷泉，圆心米，市民可位于水池边缘任意一点处观赏．，求此时的值；1（时，）若当，且．（2）设）试将表示为的取值范围；的函数，并求出（i，试求的最大值不小于两）若同时要求市民在水池边缘任意一点（ii处观赏喷泉时，观赏角度处喷泉间距离的最小值．，）在【解析】（1中，由正弦定理得所以，．即，）在中，由余弦定理得（2）（i在中，由余弦定理得，又所以，．即又，，解得，．所以所求关系式为）当观赏角度的最大时，（ii取得最小值．在中，由余弦定理可得，因为的最大值不小于，，解得，所以经验证知，．所以即两处喷泉间距离的最小值为．) 三周长的范围或最值 (2c??ABC.,3【例】在锐角中,a bABC?3；求,1（）若的面积等于、ABC?.的周长的取值范围）求2（．【分析】（1）利用已知条件通过正弦定理集合三角形的面积,余弦定理转化求解即可；（2）利用正弦定理表示三角形的周长,利用三角函数的有界性求解即可．,）由及正弦定理得：【解析】（1??C CA?0sin,,故,又.又为锐角34?ab? , 又,由得2a? {.解得所以由2?b ABC?l周长为,记2）由正弦定理得,,则（,?2?AB?, 又3,ABC? ,为锐角三角形.结合边着眼于边长之间的关系所以在解决周长相关问题时【点评】周长问题也可看做是边长问题的延伸,,,. ,)范围的解决方式通常都能找到正确的解题途径(长求最值ca b???CC?? ,且所对的边为、【小试牛刀】,中角．、、、?）求角；1（C a????2的周长的最大值．2（）若求,?60?A．6）2（；）1（【答案】．）【解析】（1,??60A．解得,）（2,周长??C当时,△ABC的周长的最大值为6．3 (面积的范围与最值四) PQPOQOPMOPQ＝90°,＝在线段∠2,点在等腰直角三角形【例4】如图,上．中,2PM5?OM ,(1)求若的长；OMNPOMNMQMON△＝30°,问：当∠的面积最小？并求出面积的最小值．若点(2)取何值时在线段,上,且∠OMNMP前面的要求也很明确：的面积最小值(2)题求△,【分析】第(1)题利用余弦定理求第的长,难度不大；POMOMNPOM进而利用函数最值的面积表示为∠的函数关系式以∠为自变量,因此,本题的中点就是如何将△,POMOMON. 求解.其中,和的函数是关键的长表示为∠利用正弦定理将OMP?5OM?,,【解析】(1)在,中,2?OP2 ,,由余弦定理得3MP?1MP?解得或得．,,设(2),OMP?得,,由正弦定理,中在同理, 所以．故,,因为??OMN?30?1,的面积取到最小值．此时所以当时的最大值为,OMN38?4 ,即时△．的面积的最小值为通常是利用面,,也要考虑相关角的变化,【点评】面积问题是边长与角问题的综合解题中既要考虑边的变化.然后利用三角函数范围或者实数的不等关系求解将其转化为同一类元素积公式,,月月考】如图所示，某市政府决定在【小试牛刀】【江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中2019届高三10为了充分利用这块以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该．与，市政府大楼设扇形的半径，OBOM 之间的夹角为的函数．表示成S的面积ABCD将图书馆底面矩形Ⅰ．精确到有最大值？其最大值是多少？的面积S若，求当为何值时，矩形ⅡABCD M为Ⅰ【解析】．由题意可知，点的中点，所以FBCOM，则．于设的交点为，．所以，．因为Ⅱ，则．S有最大值．，即时，所以当．SABCD故当时，矩形．的面积有最大值与其它知识点的综合问题五) (ABCA,BC,ABC?成等比数列，的周长为6，且【例5】【江苏省盐城中学2018届高三上学期期末】已知．则的取值范围是______BCBA?【答案】AB,BC,CA2b?0?以所，，，所以】【解析因为从而列成等比数又，故解即，得，，.,也可以与其它知识点进行交汇,【点评】三角函数值也是一个实数,所以它也可以与其他实数进行代数运算,. 如向量、数列、不等式等等,解题中要综合这些知识和相关方法才能既快又准的解决问题,,灵活处理l//lllll CC BA ,上的动点,分别是,,,【小试牛刀】如图已知平面上直线是,,之间的一定点212121．ac ll b??CM?1CABCC B??A3?CN,、,,到、的距离到的距离三内角,所对边分别为,21b?a.且,ABC?（Ⅰ）判断的形状；?)f(???ACM.（Ⅱ）记的最大值, ,求32?)f(ABC?. 的最大值为是直角三角形；【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）3集合）由正弦定理得：,,得,【解析】（I??C b?a BA?,,,所以,所以又且∴,2ABC?所以是直角三角形；???ACM ,I,II（）由（）得则13?AC?BC ,,,?cos?sin?32??)f(?时.所以,的最大值为63五、迁移运用，，ABC 【江苏省如皋市1．2018-2019学年高三年级第一学期期末】在△锐角中，角AB，Ca所对的边分别为．_______的最小值是，则，已知，bc6【答案】【解析】根据题意，已知，由余弦定理得，化简得由正弦定理：（正弦平方差）即．整理可得：即设因为为锐角三角形，所以即此时 =所以令当，f(x)递减；递增；当，f(x)所以 6故的最小值是6故答案为222，则C A+ sin届高三上学期期末】在锐角三角形2．【江苏省无锡市2019 ABC 中，已知 2sinB = 2sin．的最小值为___【答案】【解析】由正弦定理，得：，，hBD＝，yCDxADDACBD如图，作⊥于，设＝，＝因为，化简，得：，所以，3y，解得：＝x，，，＝＝.，当且仅当＝＝时取得最小值.故答案为：月联合调研】已知2019届高三，12，成等差数列，且3．【江苏省南京市13校的三边长_______.的取值范围是，则实数 .【答案】【解析】22222+2d，，化简可得3bb+da，则有＝b﹣d，c＝，代入a＝+b63+c＝63【解析】设公差为d 0时，有最大值为 b，当d＝由三角形任意两边之和大于第三边，得到较小的两边之和大于最大边，即a+b＞c，整理得：b＞2d，22．，]，则实数 b的取值范围是（3可得：3b+2）（，解得：＞63b＞3 3．，]（故答案为：在成届高三第二次教学质量调研】【江苏省清江中学4．2019中，设角的对边分别是若________.的最小值为等差数列，则【答案】,【解析】由题得,所以所以因为所以．故答案为：4(tanAc，已知a的对边分别为，b，2019届高三上学期期中】在△ABC中，角A，B，C5．【江苏省镇江市 __________．，则cosC＋tanB)的最小值为＝＋【答案】= （【解析】∵4tanA+tanB）=sinA+sinB，则4（sinAcosB+cosAsinB） =sinA+sinB，即4sin（A+B），又∵A+B=π﹣C ，∴4sinC=sinA+sinB ．由正弦定理得，4c=a+b,cosC=由余弦定理得，∵4c=a+b，∴cosC=．∴cosC的最小值为．故答案为：的中点，若中，D为ABABC．6【江苏省如皋市2018-2019学年高三数学第一学期教学质量调研】在△的最小值是_______，则．．【答案】【解析】根据，D为AB，得到的中点，若，即化简整理得，，进一步求得，根据正弦定理可得所以，求导可得当时，式子取得最大值，代入求得其结果为，.【江苏省扬州中学201910故答案为在7．月月考】若中，届高三则的最_______. 大值为【答案】，【解析】已知等式即，即可得，，即．所以即，． sinA∴故答案为：c,AB,Cb,a,ABC D AB为,学年高三上学期期中】【江苏省苏州市．2017-2018设的内角的对边分别是8ABC面积的最大值是_____．,则且若的中点, 2CD?【答案】12?即,以所,为因】析解【．π?A A cossin A?D AB所,即,,又因为,为,即且的中点2CD?4,以ABC面积的最大值则,则,即,即是c,bA,B,Ca,ABC?若TOP20校联盟2018届一月联考】，中，角边分别为的对．9【百ABCb?2?外接圆面积的最小值为，则__________，．9?【答案】8，【解析】由条件及正弦定理得3ac?∴，整理得．ABC?，中，由余弦定理得在122?cos B?sin B3a?c?∴，当且仅当．时等号成立．∴3323r ABC??r，故设．，则外接圆的半径为499??ABC?∴．答案：．故外接圆面积的最小值为88届高三年级第一次模拟】若不等式2018对任意【南京市、盐城市10．k?ABC的最小值为都成立，则实数________．100 【答案】【解析】由正弦定理得k?100k的最小值为，即100因此a,b,cA,B,C ABC?的对边， 11．【山东省德州市2018届高三上学期期中考试】在分别为内角中，ABC?．面积的最大值为________，则__3【答案】,【解析】∵，∴，由余弦定理得??4bca?ca?c?2ba?2b?2. 。

高三数学选择填空难题突破平面向量中范围最值等综合问题

平面向量中范围、最值等综合问题一．方法综述平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．二．解题策略类型一与向量的模有关的最值问题【例1】【2018河北定州中学模拟】设向量,,a b c 满足2a b ==， 2a b ⋅=-， ,c >60a c b <--=︒，则c 的最大值等于（）A. 4B. 2C.D. 1【答案】A【指点迷津】由已知条件得四点共圆是解题关键，从而转化为求外接圆直径处理. 【举一反三】1、【2018辽宁沈阳东北育才学模拟】在R t A B C ∆中， 090A ∠=，点D 是边B C 上的动点，且3A B =,4A C =,(0,0)A D A B A C λμλμ=+>>，则当λμ取得最大值时， A D 的值为（）A.72B. 3C.125D.52【答案】D2、【2018湖南长沙市长郡中学模拟】已知向量,a b 满足： 1a b ==，且12a b ⋅=，若c x ay b=+，其中0x >，0y >且2x y +=，则c 的最小值是__________．【解析】1a b ==，且12a b ⋅=，当c x a y b =+时，222222cx ax y a b y b=+⋅+，()222x xy yx y xy =++=+-，又0,0x y >>且22,12x y x y x y +⎛⎫+=∴≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1x y ==时取“=”，()2222213,2x y cx y c +⎛⎫∴≥+-=-=∴ ⎪⎝⎭的最小值是3、【2018浙东北联盟联考】已知向量,,a b c ，满足1,2,3a b c ===， 01λ≤≤，若0b c ⋅=，则()1a b c λλ---的最大值为_________，最小值为__________．【答案】 4113【解析】设()()1,1n b c a b c a nλλλλ=+----=-，n a a n n a-≤-≤+，即11n a n n -≤-≤+，()()()2222221121nb cbcb c λλλλλλ=--=+-+-()()2224911318901λλλλλ=+-=-+≤≤，由二次函数性质可得，266136139,3,1114131313nn n a n n ≤≤≤≤-≤-≤-≤+≤， ()1a b c λλ∴---，最大值为4，最小113-，故答案为4，113-.类型二与向量夹角有关的范围问题【例2】已知向量→OA 与→OB 的夹角为θ，→→→→→→→-====PQ OB t OQ OA t OP OB OA ,)1(,,1,20t 在时取得最小值，当0105t <<时，夹角θ的取值范围为________________.【分析】将P Q 表示为变量t 的二次函数P Q 1)cos 42()cos 45(2+--++=t t θθ，转化为求二次函数的最小值问题，当θθcos 45cos 210++=t 时，取最小值，由已知条件0105t <<，得关于夹角θ的不等式，解不等式得解．【指点迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解．【举一反三】1、非零向量b a,满足b a⋅2=22b a，2||||=+b a，则b a与的夹角的最小值是．【答案】3π【解析】由题意得2212a b a b ⋅=，()24a b+=，整理得22422aba b a b +=-⋅≥⋅，即1a b ⋅≤11c o s ,22a b a ba b a b⋅==⋅≤，,3a b ππ∴≤≤，夹角的最小值为3π2、已知向量=（－2，－1），=（λ，1），则与的夹角θ为钝角时，λ的取值范围为（）A. B. C. 且λ≠2 D. 无法确定【答案】C【解析】∵与的夹角θ为钝角，∴=－2λ－1＜0，解得λ＞，又当λ=2时，满足向量∥，且反向，此时向量的夹角为180°，不是钝角，故λ的取值范围为λ＞，且λ≠2.故选C.类型三与向量投影有关的最值问题【例3】设1,2O A O B ==， 0O A O B ⋅=， O P O A O B λμ=+，且1λμ+=，则O A 在O P 上的投影的取值范围( )A. -5⎛⎤⎥⎝⎦B. 5⎛⎤⎥ ⎝⎦C. 5⎛⎤⎥ ⎝⎦D. -5⎛⎤⎥ ⎝⎦【答案】D当λ0=时， 0,x =当1λ0x>===，故当λ1=时，1x取得最小值为1，即1101x x≥∴<≤，当λ0<时，1x==-==1x<05x ∴-<<综上所述]( ,15x ∈-故答案选D【指点迷津】由已知求得O AO P→⋅→及O P→，代入投影公式，对λ分类后利用二次函数求最值，在分类讨论时需要讨论完整，不要漏掉哪种情况，讨论完可以检查下是否把整个实数全部取完。

高考数学压轴专题淮安备战高考《平面向量》难题汇编及答案解析

新数学《平面向量》高考复习知识点一、选择题1．在ABC ∆中，已知3AB =，23AC =，点D 为BC 的三等分点(靠近C)，则AD BC ⋅u u u v u u u v的取值范围为（）A ．()3,5B ．()5,53C ．()5,9D ．()5,7【答案】C 【解析】【分析】利用向量加法法则把所求数量积转化为向量AB AC u u u r u u u r，的数量积，再利用余弦函数求最值，得解．【详解】如图，()()()13AD BC AC CD AC AB AC CB AC AB ⎛⎫⋅=+⋅-=+⋅- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()11213333AC AB AC AC AB AC AB AC AB u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ⎛⎫⎛⎫=+-⋅-=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22211333AC AB AB AC =--⋅u u ur u u u r u u u r u u u r ＝8﹣113233cos BAC -⨯⨯∠ ＝7﹣2cos ∠BAC ∵∠BAC ∈（0，π）， ∴cos ∠BAC ∈（﹣1，1）， ∴7﹣2cos ∠BAC ∈（5，9），故选C ．【点睛】此题考查了数量积，向量加减法法则，三角函数最值等，难度不大．2．在ABC ∆中，已知8AB =，4BC =，6CA =，则AB BC ⋅u u u v u u u v的值为（）A ．22B ．19C ．-19D ．-22【答案】D 【解析】由余弦定理可得22211cos 216AB BC AC B AB BC +-==⋅，又()11cos 482216AB BC AB BC B π⎛⎫⋅=⋅⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v ，故选D.【思路点睛】本题主要考查平面向量数量积公式以、余弦定理解三角形，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60ooo等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.3．在平行四边形OABC 中，2OA =，OC =6AOC π∠=，动点P 在以点B 为圆心且与AC 相切的圆上，若OP OA OC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则43λμ+的最大值为（）A．2+B．3+C．5+D．7+【答案】D 【解析】【分析】先通过计算证明圆B 与AC 相切于点A ，再求出43OB OA BP OA λμ+=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，再求出7OB OA ⋅=u u u r u u u r ，BP OA ⋅u u u r u u u r的最大值为.【详解】如图所示，由2OA =，6AOC π∠=，由余弦定理得24+3221,1AC AC =-⨯=∴=， ∴90OCA BAC ∠=∠=o , ∴圆B 与AC 相切于点A ，又OP OA OC λμ=+u u u r u u u r u u u r，∴243OP OA OA OC OA λμλμ⋅=+⋅=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r；∴()43OP OA OB BP OA OB OA BP OA λμ+=⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r；如图，过点B 作,BD OA ⊥连接,OB 由题得6BAD π∠=,所以22333333,,(2)()13222AD DB OB =⨯==∴=++=, 所以72cos 13213BOA ∠==, 所以1327213OB OA ⋅=⨯⨯=u u u r u u u r ，因为BP OA ⋅u u u r u u u r的最大值为32cos023⨯⨯=o ，∴43λμ+的最大值是723+. 故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数和余弦定理解三角形，考查平面向量的数量积运算和范围的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4．已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()0,2A ，2220OB OA +=，若平面内点P 满足3PB PA =u u u r u u u r，则PO 的最大值为（）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】C 【解析】【分析】设(),P x y ，(),B m n ，根据3PB PA =u u u r u u u r可得262m x n y=-⎧⎨=-⎩，再根据2220OB OA +=可得点P 的轨迹，它一个圆，从而可求PO 的最大值. 【详解】设(),P x y ，(),B m n ，故(),PB m x n y =--u u u r ，(),2PA x y =--u u u r. 由3PB PA =u u u r u u u r可得363m x x n y y-=-⎧⎨-=-⎩，故262m x n y=-⎧⎨=-⎩，因为2220OB OA +=，故()22443420x y +-+=，整理得到()2234x y +-=，故点P 的轨迹为圆，其圆心为()0,3，半径为2，故PO 的最大值为325+=，故选：C. 【点睛】本题考查坐标平面中动点的轨迹以及圆中与距离有关的最值问题，一般地，求轨迹方程，可以动点转移法，也可以用几何法，而圆外定点与圆上动点的连线段长的最值问题，常转化为定点到圆心的距离与半径的和或差，本题属于中档题.5．已知向量a r 与向量b r 满足||2a =r ，||b =r ||||a b a b +⋅-=r r r r ，则向量a r与向量b r的夹角为( )A ．4π或34π B ．6π或56πC ．3π或23πD ．2π 【答案】A 【解析】【分析】设向量a r ，b r的夹角为θ，则2||12a b θ+=+r r ，2||12a b θ-=-r r ，即可求出2cos θ，从而得到向量的夹角；【详解】解：设向量a r ，b r的夹角为θ，222||||||2||||cos 48a b a b a b θθ+=++=++r r r r r r12θ=+，222||||||2||||cos 4812a b a b a b θθθ-=+-=+-=-r r r r r，所以2222||||144128cos 80a b a b θ+⋅-=-==r r r r ，21cos 2θ∴=，因为[0,)θπ∈，故4πθ=或34π，故选：A. 【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算律，及夹角的计算，属于中档题.6．在ABC ∆中，若点D 满足3CD DB =u u u r u u u r ，点M 为线段AC 中点，则MD =u u u u r（）A ．3144AB AC -u u ur u u u rB ．1136AB AC -u u ur u u u rC ．2133AB AC -u u ur u u u rD ．3144AB AC +u u ur u u u r【答案】A 【解析】【分析】根据MD MA AB BD =++u u u r u u u u u u r u r u u u r，化简得到答案. 【详解】 ()11312444MD MA AB BD AC AB AC AB AB AC =++=-++-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u uu u u u r r u u u r .故选：A . 【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.7．已知a =r 2b =r ，且()(2)b a a b -⊥+r r r r ，则向量a r 在向量b r 方向上的投影为（） A ．-4 B ．-2C ．2D ．4【答案】D 【解析】【分析】根据向量垂直，数量积为0，求出a b r r g ，即求向量a r 在向量b r方向上的投影a b b ⋅r rr .【详解】()(2),()(2)0b a a b b a a b -⊥+∴-+=r r r r r r r r Q g ，即2220b a a b -+=r r r r g .2,8a b a b ==∴=r r r r Q g ，所以a r 在b r方向上的投影为4a b b⋅=r r r .故选：D . 【点睛】本题考查向量的投影，属于基础题.8．若向量(1,1)a =r ，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r 满足(3)10a b c +⋅=r r r，则x =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】【分析】根据向量的坐标运算，求得(3)(2,6)a b +=rr，再根据向量的数量积的坐标运算，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，向量(1,1)a =r，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r，则向量(3)3(1,1)(1,3)(2,6)a b +=+-=rr ，所以(3)(2,6)(2,)22610a b c x x +⋅=⋅=⨯+=r r r，解得1x =，故选A.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，及向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.9．已知A ，B ，C 是抛物线24y x =上不同的三点，且//AB y 轴，90ACB ∠=︒，点C 在AB 边上的射影为D ，则CD =（） A ．4 B．C ．2D【答案】A 【解析】【分析】画出图像，设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12y y >，由90ACB ∠=︒可求221216y y -=，结合221244y y CD =-即可求解【详解】如图：设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12y y >，由90ACB ∠=︒可得0CA CB ⋅=u u u r u u u r ，222212121212,,,44y y y y CA y y CB y y ⎛⎫⎛⎫--=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，()222221212004y y CA CB y y ⎛⎫-⋅=⇔--= ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，即()()222122212016y y y y ---= 解得221216y y -=（0舍去），所以222212124444y y y y CD -=-==故选：A 【点睛】本题考查抛物线的几何性质与向量的综合应用，计算能力，逻辑推理能力，属于中档题10．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v（）A ．-16B ．0C ．16D ．32【答案】B 【解析】【分析】先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r，再利用平面向量的数量积求解. 【详解】∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点.由24y x y x⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-，则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r， ∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r.故选B 【点睛】本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11．如图，已知1OA OB ==u u u v u u u v ，2OC =u u u v 4tan 3AOB ∠=-，45BOC ∠=︒，OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v =+，则mn等于（）A．5 7B．75C．37D．73【答案】A【解析】【分析】依题意建立直角坐标系，根据已知角，可得点B、C的坐标，利用向量相等建立关于m、n 的方程，求解即可．【详解】以OA所在的直线为x轴，过O作与OA垂直的直线为y轴，建立直角坐标系如图所示：因为1OA OB==u u u r u u u r，且4tan3AOB∠=-，∴34cos sin55AOB AOB∠=-∠=，，∴A（1，0），B（3455-，），又令θAOC∠=，则θ=AOB BOC∠-∠，∴413tanθ413--=-=7，又如图点C在∠AOB内，∴cosθ=210，sinθ=7210,又2OCu u u v=C（1755，），∵OC mOA nOB=+u u u r u u u r u u u r，（m，n∈R），∴（1755，）=（m,0）+（3455n n-，）=(m35n-，45n）即15= m35n-，7455n=，解得n=74，m=54，∴57mn=，故选A．【点睛】本题考查了向量的坐标运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是常用的处理向量运算的方法，涉及到三角函数的求值，属于中档题．12．已知平面向量a v ,b v 的夹角为3π，且||2a =v ，||1b =v ，则2a b -=v v ( )A ．4B ．2C ．1D ．16【答案】B 【解析】【分析】根据向量的数量积和向量的模的运算，即可求解. 【详解】由题意，可得222|2|||4||4444||||cos 43a b a b a b a b π-=+-⋅=+-⋅=r r r r r r r r ，所以|2|2a b -=r r，故选B.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.13．已知椭圆2222:1(0)x y T a b a b +=>>F 且斜率为()0k k >的直线与T 相交于A ，B 两点，若3AF FB =uu u r uu r，则k =（）A ．2 BCD ．1【答案】C 【解析】【分析】由2e =可得a =，b =，可设椭圆的方程为222334x y c +=，()()1122,,,A x y B x y ，并不妨设B 在x 轴上方，由3AF FB =uu u r uu r得到12123430x x c y y +=⎧⎨+=⎩，再由22211334x y c +=，22222334x y c +=得到A 、B 两点的坐标，利用两点的斜率公式计算即可. 【详解】因为c e a ===，所以2a b =，所以a =，b =，则椭圆方程22221x y a b+=变为222334x y c +=.设()()1122,,,A x y B x y ，不妨设B 在x 轴上方，则210,0y y ><，又3AF FB =uu u r uu r，所以()()1122,3,c x y x c y --=-，所以()121233c x x c y y ⎧-=-⎨-=⎩，12123430x x cy y +=⎧⎨+=⎩因为A ，B 在椭圆上，所以22211334x y c +=，① 22222334x y c +=②. 由①—9×②，得2121212123(3)(3)3(3)(3)84x x x x y y y y c +-++-=-，所以21234(3)84c x x c ⨯-=-，所以12833x x c -=-，所以123x c =，2109x c =，从而13y =-，29y c =所以2(,)33A c -，10(,)99B c c，故9102393k c c +==- 故选：C. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，当然本题也可以利用根与系数的关系来解决，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.14．在平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，3BAD π∠=，M 为DC 的中点，N为平面ABCD 内一点，若AB NB AM AN -=-u u u v u u u v u u u u v u u u v ，则AM AN ⋅=u u u u v u u u v（）A ．16B ．12C ．8D ．6【答案】D 【解析】【分析】根据条件及向量加减法的几何意义即可得出|AN u u u r |＝|MN u u u u r|，再根据向量的数量积公式计算即可【详解】由|AB NB -u u u r u u u r |＝|AM AN -u u u u r u u u r |，可得|AN u u u r |＝|NM u u u u r|，取AM 的中点为O ，连接ON ，则ON ⊥AM ，又12AM AD AB =+u u u u r u u u r u u u r ，所以AM u u u u r •21122AN AM ==u u u r u u u u r （12AD AB +u u u r u u u r ）212=（2214AD AB AD ++u u u r u u u r u u u r •AB u u u r ）12=（414+⨯16+2×412⨯）＝6，故选：D ．【点睛】本题主要考查了平面向量的几何表示，数量积的几何意义，运算求解能力，属于中档题 15．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE =u u u rA ．12AB AD -+u u u r u u u r B ．12AB AD -u u u r u u u r C ．12AB AD +u u u r u u u r D ．12AB AD -u u u r u u u r 【答案】A【解析】【分析】由平面向量的加法法则运算即可.【详解】如图，过E 作//,EF BC 由向量加法的平行四边形法则可知1.2BE BF BC AB AD =+=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 故选A.【点睛】本题考查平面向量的加法法则，属基础题.16．已知AB 是圆22:(1)1C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅u u u v u u u v 的最小值是（）A 21-B 2C ．0D ．1【答案】D【解析】试题分析：由题意得，设，,,又因为,所以，所以PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值为1，故答案选D. 考点：1.圆的性质；2.平面向量的数量积的运算.17．如图，向量a b -r r 等于A ．1224e e --u r u u rB ．1242e e --u r u u rC ．123e e -r u u rD ．123e e -+r u u r 【答案】D【解析】【分析】【详解】由向量减法的运算法则可得123a e b e -=-+r r r u u r ，18．向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，()cos ,1b α=r ，且//a b r r ，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．13 B ．223- C ．23- D ．13- 【答案】D【解析】【分析】根据向量平行的坐标运算以及诱导公式，即可得出答案.【详解】//a b ∴r r1cos tan sin 3ααα∴=⋅= 1cos sin 23παα⎛⎫∴+=-=- ⎪⎝⎭故选：D【点睛】本题主要考查了由向量平行求参数以及诱导公式的应用，属于中档题.19．三角形ABC 中，5BC =，G ，O 分别为三角形ABC 的重心和外心，且5GO BC ⋅=u u u r u u u r ，则三角形ABC 的形状是（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述均不是【答案】B【解析】【分析】取BC 中点D ，利用GO GD DO =+u u u r u u u r u u u r代入计算，再利用向量的线性运算求解．【详解】如图，取BC 中点D ，连接,OD AD ，则G 在AD 上，13GD AD =，OD BC ^， ()GO BC GD DO BC GD BC DO BC ⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r221111()()()53326GD BC AD BC AB AC AC AB AC AB =⋅=⋅=⨯+⋅-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴2223025AC AB BC -=>=，∴2220AB BC AC +-<，由余弦定理得cos 0B <，即B 为钝角，三角形为钝角三角形．故选：B ．【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查向量的线性表示，考查余弦定理．解题关键是取BC 中点D ，用,AB AC u u u r u u u r 表示出,GD BC u u u r u u u r ．20．已知向量(),1a x =-r ， (3b =r ，若a b ⊥r r ，则a =r （） A 2B 3C ．2D ．4 【答案】C【解析】由a b r r ⊥，(),1a x =-r ， (3b r =，可得：x 30x 3，==，即)3,1a =-rr Array所以2 a==故选C。

平面向量中范围、最值综合问题-玩转压轴题,突破140分之高三数学选择题填空题高端精品(2019版)(原卷版)

一．方法综述平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数（二次函数、三角函数）的最值或应用基本不等式，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．二．解题策略类型一与向量的模有关的最值问题【例1】【安徽省黄山市2019届高三一模】如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（）A．B．C．D．【举一反三】1、【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期二模】如图，矩形中边的长为，边的长为，矩形位于第一象限，且顶点分别位于轴、轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值为（）A．B．C．D．2、【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（）A ．B ．C ．5D ．3、【四川省成都外国语学校2019届高三3月月考】在平面直角坐标系中，，若，则的最小值是（） A ． B ．C ．D ．类型二与向量夹角有关的范围问题【例2】【四川省成都市实验外国语学校2019届高三10月月考】已知向量与的夹角为，，，，，在时取得最小值若，则夹角的取值范围是______.【举一反三】1、非零向量b a ,满足b a ⋅2=22b a，2||||=+b a，则b a与的夹角的最小值是．2、【上海市2019年1月春季高考】在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为____________类型三与向量投影有关的最值问题【例3】【辽宁省沈阳市郊联体2019届高三一模】若平面向量，满足||=|3|=2，则在方向上的投影的最大值为（） A ．B ．C ．D ．【举一反三】1、已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC ++=，则向量CA 在向量CB 方向上的投影为( ) A. 3 B.3 C. -3 D. 3-2、设1,2OA OB ==， 0OA OB ⋅=， OP OA OB λμ=+，且1λμ+=，则OA 在OP 上的投影的取。

平面向量最值问题解题方法

平面向量最值问题解题方法平面向量最值问题是高中数学中的重要知识点，涉及面广，难度较大。

下面介绍一些平面向量最值问题的解题方法。

一、向量模长的最值问题1、向量模长最大值设向量a的模长为|a|，则向量a的模长最大值为|a|=√(a_x+a_y)，其中a_x和a_y分别代表向量a在x轴和y轴上的分量。

求出向量a的模长后，可以采用以下两种方法求出向量a的模长最大值：（1）对于a的分量a_x和a_y，分别求出它们的绝对值，即|a_x|和|a_y|，然后将它们代入|a|=√(a_x+a_y)中，求出|a|的最大值。

（2）根据勾股定理，可以得出|a|的最大值为向量a在x轴和y 轴上的分量的平方和的平方根，即|a|=√((a_x+a_y))。

2、向量模长最小值同样设向量a的模长为|a|，则向量a的模长最小值为|a|=√(a_x+a_y)，其中a_x和a_y分别代表向量a在x轴和y轴上的分量。

求出向量a的模长后，可以采用以下两种方法求出向量a的模长最小值：（1）对于a的分量a_x和a_y，分别求出它们的绝对值，即|a_x|和|a_y|，然后将它们代入|a|=√(a_x+a_y)中，求出|a|的最小值。

（2）根据勾股定理，可以得出|a|的最小值为向量a在x轴和y 轴上的分量的平方差的平方根，即|a|=√((a_x-a_y))。

二、向量夹角的最值问题设向量a和向量b的夹角为θ，则向量a和向量b的夹角的最值为：1、夹角最大值当向量a和向量b的方向相反时，它们的夹角最大，此时θ=π。

2、夹角最小值当向量a和向量b的方向相同时，它们的夹角最小，此时θ=0。

三、向量和的模长的最值问题对于两个向量a和b，它们的和向量c=a+b。

则向量c的模长最值为：1、模长最大值当向量a和向量b的方向相同，且它们的模长相等时，它们的和向量c的模长最大，此时|c|=2|a|。

2、模长最小值当向量a和向量b的方向相反，且它们的模长相等时，它们的和向量c的模长最小，此时|c|=0。

高三数学备考冲刺140分问题02函数中存在性与恒成立问题(含解析)(最新整理)

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为 3 ,可知 f '(e) 3,可建立关于 a 的方程：
,从而解得 a 1；（2)要使 f (x) kx2 对任
意 x 0 恒成立，只需
即可,而由(1)可知
,∴问题即等价于求函数
的最大值 , 可以通过导数研究函数 g(x) 的单调性 , 从而求得其最值：
将
转化为
，构造函数
，利用导数判断函数的单调
性,求出函数的最值，从而得到 m 的取值范围．
（2）
可化为
,
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（江苏专版）2019 届高三数学备考冲刺 140 分问题 02 函数中存在性与恒成立问题（含解析）
令
，则
,
因为 x 0 ,所以
,
, 故 h(x) 0 ，
所以 h(x) 在 (0, ) 上是减函数,因此
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（江苏专版）2019 届高三数学备考冲刺 140 分问题 02 函数中存在性与恒成立问题（含解析）
所以有 F(x) ＝F(ek－2）＞0，即 ek－2－k－1＜0。当 k＝3,容易验证，ek－2－k－1＜0；下证：当 k≥4，ek－2－k－1＞0 成立。
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，令 g '(x) 0 ，解得 x 1 ，当 0 x 1时, g '(x) 0 ,∴ g(x) 在 (0,1) 上
是增函数；当 x 1 时, g '(x) 0 ，∴ g(x) 在 (1, ) 上是减函数,因此 g(x) 在 x 1 处取得最大值 g(1) 1,∴ k 1即为所求。

【问题】专题23平面向量中范围最值等综合问题玩转压轴题突破140分之高三数学选填题高端精品

【关键字】问题一．方法综述平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．二．解题策略类型一与向量的模有关的最值问题【例1】【2018河北定州中学模拟】设向量满足，，，则的最大值等于（）A. 4B. 2C.D. 1【答案】A【指点迷津】由已知条件得四点共圆是解题关键，从而转化为求外接圆直径处理.【举一反三】1、【2018辽宁沈阳东北育才学模拟】在中，，点是边上的动点，且,,，则当取得最大值时，的值为（）A. B. 3 C. D.【答案】D2、【2018湖南长沙市长郡中学模拟】已知向量满足：，且，若，其中，且，则的最小值是__________．【答案】【解析】，且，当时，，，又且，当且仅当时取“=”，的最小值是，故答案为.3、【2018浙东北联盟联考】已知向量，满足，，若，则的最大值为_________，最小值为__________．【答案】 4【解析】设，，即，，由二次函数性质可得，，，最大值为，最小值为，故答案为，.类型二与向量夹角有关的范围问题【例2】已知向量与的夹角为，时取得最小值，当时，夹角的取值范围为________________.【分析】将表示为变量的二次函数，转化为求二次函数的最小值问题，当时，取最小值，由已知条件，得关于夹角的不等式，解不等式得解．【指点迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解．【举一反三】1、非零向量满足=，，则的夹角的最小值是．【答案】【解析】由题意得，，整理得，即，，夹角的最小值为2、已知向量=（－2，－1），=（λ，1），则与的夹角θ为钝角时，λ的取值范围为（） A. B. C. 且λ≠2 D. 无法确定【答案】C【解析】∵与的夹角θ为钝角，∴=－2λ－1＜0，解得λ＞，又当λ=2时，满足向量∥，且反向，此时向量的夹角为180°，不是钝角，故λ的取值范围为λ＞，且λ≠2.故选C. 类型三与向量投影有关的最值问题【例3】设，，，且，则在上的投影的取值范围( ) A. B. C. D. 【答案】D 当时，当故当时，取得最小值为，即当时，，即综上所述故答案选【指点迷津】由已知求得及，代入投影公式，对分类后利用二次函数求最值，在分类讨论时需要讨论完整，不要漏掉哪种情况，讨论完可以检查下是否把整个实数全部取完。

江苏省2019年高考数学小专题复习7--解析几何中的变量范围及最值问题(有答案)

解析几何中的变量范围及最值问题一、问题背景解析几何是近几年江苏高考解答题必考题之一，而作为解答题一方面考察学生的思想方法，另一方面考察学生的计算能力，作为主观题考察变量范围及最值问题是考察的一个重点，也是近几年的常考题型。

变量范围包括不等关系和函数思想，最值问题包括最大值和最小值，一方面是极限思想，另一方面是求函数的值域。

二、常见方法特殊位置法，基本不等式，消元法，换元法，几何法，构造函数法，三角代换法等，主要思想方法，数形结合，转化与化归思想，函数与方程思想，分类讨论的思想等。

三、范例例1.已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-,抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和最小值是________【解题分析】：这道题考的是动点到两定直线距离之和的最小值，两个都在动无法处理，只有把其中一个定下来才好处理，把到准线的距离用抛物线的定义转化为到焦点的距离。

【解法】：如图所示，动点P 到直线2:1l x =-的距离可转化为PF的距离，由图可知，距离和的最小值，即F 到直线1l 的距离2d ==【点评】：考查平面距离之和最小值问题，要转化为三点共线问题或者点到直线距离问题。

利用图象的性质来转化。

变式1.已知)0,4(A 和)2,2(B ，M 是椭圆192522=+y x 上的动点，求MB MA +的最大值；变式2.已知)0,4(A 和)2,2(B ，M 是椭圆192522=+y x 上的动点，求MB MA +的最大值；例 2.已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为__________________【解题分析】：考查动点到两定点距离之和最小问题往往转化为三点共线问题。

利用两点之间线段最短或者三角形的性质处理。

【解法】：注意到A 点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为'(4,0)F ，于是由双曲线的性质'24PF PF a -==而''5PF PF AF +≥= 两式相加得9PF PA +≥，当且仅当,,'A P F 三点共线时等号成立。

江苏省2019高考数学二轮复习自主加餐的3大题型14个填空题强化练七平面向量含解析

14个填空题专项强化练(七)　平面向量A 组——题型分类练题型一　平面向量的线性运算1．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若＋2＝3，则的值为________．OA ―→ OC ―→ OB ―→ ||||解析：由＋2＝3，得－＝2－2，OA ―→ OC ―→ OB ―→ OA ―→ OB ―→ OB ―→ OC ―→即＝2，所以＝.BA ―→ CB ―→ ||||12答案：122．在▱ABCD 中，＝a ，＝b ，＝3，M 为BC 的中点，则＝AB ―→ AD ―→ AN ―→ NC ―→ MN ―→____________(用a ，b 表示)．解析：由＝3得＝＝(a ＋b )，＝a ＋b ，所以＝－＝AN ―→ NC ―→ AN ―→ 34AC ―→ 34AM ―→ 12MN ―→ AN ―→ AM ―→ (a ＋b )－＝－a ＋b .34(a ＋12b )1414答案：－a ＋b 14143．已知Rt △ABC 的面积为2，∠C ＝90°，点P 是Rt △ABC 所在平面内的一点，满足＝CP ―→＋，则·的最大值是________．4||9||PA ―→ PB ―→ 解析：由条件可知||·||＝4，·＝0，因为＝－＝－CA ―→ CB ―→ CA ―→ CB ―→ PA ―→ CA ―→ CP ―→ CA ―→－，＝－＝－－，故·＝·＝97－4||9||PB ―→ CB ―→ CP ―→ CB ―→ 4||9||PA ―→ PB ―→ (－4||－9||)(－4||－9||)9||－4||≤97－12×2＝73，当且仅当9||＝4||，即||＝，||＝3CA ―→ CB ―→ CA ―→ CB ―→ CA ―→ 43CB ―→ 时等号成立．答案：73[临门一脚]1．对相等向量、零向量、单位向量等概念的理解要到位．2．用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或平行四边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果．3．线性运算由于基底运用难度较大，能建立坐标系的时候，建系优先．4．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．5．已知＝λ＋μ (λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.OA ―→ OB ―→ OC ―→题型二　平面向量的坐标表示1．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则向量的坐标为AB ―→ AC ―→ BD ―→________．解析：因为＝－＝(－1，－1)，BC ―→ AC ―→ AB ―→所以＝－＝－＝(－3，－5)．BD ―→ AD ―→ AB ―→ BC ―→ AB ―→答案：(－3，－5)2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值是________．解析：因为u ＝(1＋2x,4)，v ＝(2－x,3)，u ∥v ，所以8－4x ＝3＋6x ，所以x ＝.12答案：123．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝____________.解析：不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，对于(c ＋a )∥b ，有－3(1＋m )＝2(2＋n )．①对于c ⊥(a ＋b )，有3m －n ＝0.②联立①②，解得m ＝－，n ＝－.7973故c ＝.(－79，－73)答案：(－79，－73)[临门一脚]1．解决向量的坐标运算问题，关键是掌握线性运算法则及坐标运算的特点．一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标．解题时注意利用向量相等(横、纵坐标分别相等)建立方程(组)求解．2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成＝，因为x 2，y 2x 1x 2y 1y 2有可能等于0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.题型三　平面向量的数量积1．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为________．解析：依题意，λa ＋b ＝(3λ＋1，－2λ)，a －2b ＝(1，－2)，所以(λa ＋b )·(a －2b )＝7λ＋1＝0，λ＝－.17答案：－172．已知向量与的夹角为120°，且||＝2，||＝3.若＝λ＋AB ―→ AC ―→ AB ―→ AC ―→ AP ―→ AB ―→ AC ―→，且⊥，则实数λ的值为________．AP ―→ BC ―→解析：由题意得，·＝－3，由·＝(λ＋)·(－)＝0，AB ―→ AC ―→ AP ―→ BC ―→ AB ―→ AC ―→ AC ―→ AB ―→得λ·－λ2＋2－·＝0，即－3λ－4λ＋9＋3＝0，故λ＝.AB ―→ AC ―→ AB ―→ AC ―→ AC ―→ AB ―→ 127答案：1273．(2018·南京高三模拟)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，D 为边BC 上一点．若·＝5，AB ―→ AD ―→·＝－，则·的值为________．AC ―→ AD ―→ 23AB ―→ AC ―→ 解析：因为D 为BC 边上一点，所以可设＝x ＋y ，x ＋y ＝1，x >0，y >0　①，AD ―→ AB ―→ AC ―→则·＝·(x ＋y )＝9x ＋y ·＝5　②，·＝·(x AB ―→ AD ―→ AB ―→ AB ―→ AC ―→ AB ―→ AC ―→ AC ―→ AD ―→ AC ―→＋y )＝x ·＋4y ＝－　③，联立①②③，可得·＝－3或，当AB ―→ AC ―→ AB ―→ AC ―→ 23AB ―→ AC ―→ 223AB ―→ ·＝时不满足x ，y >0，舍去，故·＝－3.AC ―→ 223AB ―→ AC ―→ 答案：－34．(2018·武汉调研)在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1.边DC 上的动点P (包含点D ，C )与CB 延长线上的动点Q (包含点B )满足||＝||，则·的最小值为________．DP ―→ BQ ―→ PA ―→ PQ ―→解析：以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，1)，Q (2，y )，由题意知0≤x ≤2，－2≤y ≤0.∵||＝||，∴|x |＝|y |，∴x ＝－y .∵＝(－x ，－1)，DP ―→ BQ ―→ PA ―→＝(2－x ，y －1)，∴·＝－x (2－x )－(y －1)＝x 2－2x －y ＋1＝x 2－x ＋1＝2＋，PQ ―→ PA ―→ PQ ―→ (x －12)34∴当x ＝时，·取得最小值，为.12PA ―→ PQ ―→ 34答案：345．在△ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝，AC ＝t ，P 是△ABC 所在平面内一点，若＝＋，1t AP ―→ 4||||则△PBC 面积的最小值为________．解析：由于AB ⊥AC ，故以AB ，AC 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则B ，C (0，t )，因为＝＋，所以点P 坐标为(4,1)，直线BC 的方程为t 2x ＋y －(1t ，0)AP ―→ 4||||t ＝0，所以点P 到直线BC 的距离为d ＝，BC ＝，所以△PBC 的面积为×|4t 2＋1－t |t 4＋1t 4＋1t 12×＝≥，当且仅当t ＝时取等号．|4t 2＋1－t |t 4＋1t 4＋1t 12|4t ＋1t －1|3212答案：32[临门一脚]1．若向量a ，b ，c 满足a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则不一定有b ＝c .2．两个向量a 与b 的夹角为锐角(钝角)，则有a ·b >0(a ·b <0)，反之不成立(因为夹角为0(π)时不成立)．3．在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a |＝a ·a 要引起足够重视，是求模常用的公式．4．数量积的运算中，a ·b ＝0⇔a ⊥b ，是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a ·b ＝0，但不能说a ⊥b .5．平面向量的求解常见方法有定义法、坐标法、转化法、极化恒等式法、投影法．B 组——高考提速练1．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(0,1)，则|a ＋2b |＝________.解析：因为a ＋2b ＝(2,1)，所以＝＝.|a ＋2b |22＋125答案：52.如图，已知＝a ，＝b ，＝3，用a ，b 表示，则AB ―→AC ―→ BD ―→ DC ―→ AD ―→＝________.AD ―→解析：因为＝－＝a －b ，又＝3，CB ―→ AB ―→ AC ―→ BD ―→ DC ―→所以＝＝(a －b )，所以＝＋＝b ＋(a －b )＝a ＋b .CD ―→ 14CB ―→ 14AD ―→ AC ―→ CD ―→ 141434答案：a ＋b 14343．已知D 为△ABC 边BC 的中点，△ABC 所在平面内有一个点P ，满足＝＋，PA ―→ PB ―→ PC ―→则的值为________．|||―→|解析：由＝＋知，四边形ABPC 为平行四边形，如PA ―→PB ―→ PC ―→图所示，则＝1.||||答案：14．已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 不共线，若向量a ＋k b 与a －k b 垂直，则k ＝________.解析：因为(a ＋k b )⊥(a －k b )，所以(a ＋k b )·(a －k b )＝0，即|a |2－k 2|b |2＝0.又因为|a |＝3，|b |＝4，所以k 2＝，即k ＝±.91634答案：±345．若a ，b 均为单位向量，且a ⊥(a －2b )，则a ，b 的夹角大小为________．解析：设a ，b 的夹角为θ.因为a ⊥(a －2b )，所以a ·(a －2b )＝a 2－2a·b ＝0，所以1－2cos θ＝0，所以cos θ＝，12而θ∈[0，π]，故θ＝.π3答案：π36.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，cos ∠BAC ＝，＝2，则13DC ―→ BD ―→ ·的值为________．AD ―→ BC ―→解析：由＝2，得＝(＋2)．又＝－，AB ＝AC ＝3，cos ∠DC ―→ BD ―→ AD ―→ 13AC ―→AB ―→ BC ―→ AC ―→ AB ―→ BAC ＝，所以· ＝(＋2)·(－)＝×(－9＋3)＝－2.13AD ―→ BC ―→ 13AC ―→ AB ―→ AC ―→ AB ―→ 13答案：－27．已知边长为1的正方形ABCD ，＝2＋，则||＝________.CM ―→ CA ―→ DB ―→ CM ―→解析：法一：由题意得，2＝(2＋)2＝42＋2＋4·.又四边CM ―→ CA ―→ DB ―→ CA ―→ DB ―→ CA ―→ DB ―→形ABCD 是边长为1的正方形，所以⊥，所以·＝0.又||＝，||＝CA ―→ DB ―→ CA ―→ DB ―→ CA ―→ 2DB ―→，所以2＝4×2＋2＝10，所以||＝.2CM ―→ CM ―→10法二：由题意，作出＝2＋，如图所示，则||为CM ―→ CA ―→ DB ―→ CM ―→边长分别为，2的矩形CFME 的对角线的长，22所以||＝ CM ―→ 22 2＋ 2 2＝.10答案：108．将向量＝(1,1)绕原点O 逆时针方向旋转60°得到，则＝____________.OA ―→ OB ―→ OB ―→解析：法一：＝(1,1)，设＝(x ，y )，则||＝||＝＝，·OA ―→ OB ―→ OB ―→ OA ―→ 12＋122OA ―→＝||||×cos 60°＝1，又由向量的坐标运算可知·＝x ＋y ＝1，①OB ―→ OA ―→ OB ―→ OA ―→ OB ―→||＝||＝＝，化简得x 2＋y 2＝2，②OA ―→ OB ―→x 2＋y 22因为点B 在第二象限，故x <0，所以解得Error!故＝.OB ―→ (1－32，1＋32)法二：因为||＝||＝＝，直线OB 的倾斜角为60°＋45°＝105°，OB ―→ OA ―→12＋122故点B 的横坐标x B ＝||·cos(60°＋45°)＝×＝，纵坐标y B ＝|OB ―→ 22－641－32OB ―→ |·sin(60°＋45°)＝×＝，故＝.22＋641＋32OB ―→ (1－32，1＋32)答案：(1－32，1＋32)9．若向量a ＝(cos 15°，sin 15°)，b ＝(cos 75°，sin 75°)，则a ＋b 与a 的夹角为________．解析：a ＋b ＝(cos 15°＋cos 75°，sin 15°＋sin 75°)＝(cos 15°＋sin 15°，sin 15°＋cos 15°)，则(a ＋b )·a ＝cos 15°(cos 15°＋sin 15°)＋sin 15°(cos 15°＋sin 15°)＝1＋2cos 15°·sin 15°＝1＋sin 30°＝，32|a ＋b |＝＝ cos 15°＋sin 15° 2＋ sin 15°＋cos 15° 22 sin 15°＋cos 15° 2＝＝，cos 〈a ＋b ，a 〉＝＝＝，2 1＋2sin 15°·cos 15° 3 a ＋b ·a |a ＋b ||a |323×132又〈a ＋b ，a 〉∈[0，π]，所以〈a ＋b ，a 〉＝.π6答案：π610．已知a ＝(1，t )，b ＝(t ，－6)，则|2a ＋b |的最小值为________．解析：由a ＝(1，t )，b ＝(t ，－6)，得|a |＝，|b |＝，所以|2a ＋b |＝1＋t 236＋t 2＝＝.由二次函数的性质知，当t 4a 2＋4a ·b ＋b 24＋4t 2＋4t －24t ＋36＋t 25t 2－20t ＋40＝2时，|2a ＋b |min ＝2 .5答案：2511.如图，等边△ABC 的边长为2，顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴，y 轴的非负半轴上移动，M 为AB 的中点，则·的最大值为________．OA ―→ OM ―→解析：设∠OBC ＝θ，因为BC ＝2，所以B (2cos θ，0)，C (0,2sin θ)，则＝(－BC ―→2cos θ，2sin θ)，设＝(x ，y )，因为△ABC 是边长为2的等边三角形，所以Error!解得Error!BA ―→即＝(sin θ－cos θ，cos θ＋sin θ)，则＝＋＝(sin θ＋cos θ，BA ―→ 33OA ―→ OB ―→ BA ―→3cos θ＋sin θ)，因为M 为AB 的中点，所以＝＋＝3OM ―→ OB ―→ 12BA ―→ ，所以·＝＋sin 2θ＋＋sin (32sin θ＋32cos θ，32cos θ＋12sin θ)OA ―→ OM ―→ 32312322θ＋cos 2θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋＝sin(2θ＋φ)＋3321252752，所以·的最大值为＋.(其中cos φ＝32114，sin φ＝714)OA ―→ OM ―→ 527答案：＋52712．已知△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，重心为G ，若2sin A ·＋sin B ·＋3sin GA ―→ 3GB ―→C ·＝0，则cos B ＝________.GC ―→解析：设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，由正弦定理得2a ·＋b ·＋3c ·＝0，GA ―→ 3GB ―→ GC ―→则2a ·＋b ·＝－3c ·＝－3c (－－)，GA ―→ 3GB ―→ GC ―→ GA ―→ GB ―→即(2a －3c )＋(b －3c )＝0.GA ―→ 3GB ―→又，不共线，GA ―→ GB ―→所以Error!由此得2a ＝b ＝3c ，3所以a ＝b ，c ＝b ，3233于是由余弦定理得cos B ＝＝.a 2＋c 2－b 22ac 112答案：11213．已知平面向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围为________．解析：法一：由|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，作向量＝α，＝β－OA ―→ AB ―→α，则＝β，在△OAB 中，∠OAB ＝60°，OB ＝1，则由正弦定理＝，OB ―→ OB sin 60°OA sin ∠ABO得OA ＝sin ∠ABO ∈，即0<|α|≤.233(0，233]233法二：设|α|＝u ，|β－α|＝v ，由|β|2＝|α＋(β－α)|2＝α2＋2α·(β－α)＋(β－α)2，得v 2－uv ＋u 2－1＝0，再由关于v 的一元二次方程有解，得u 2－4(u 2－1)≥0，又u >0，故0<u ≤，即0<|α|≤.233233答案：(0，233]14．在平面直角坐标系xOy 中，设点A (1,0)，B (0,1)，C (a ，b )，D (c ，d )，若不等式2≥(m CD ―→－2)·＋m (·)·(·)对任意实数a ，b ，c ，d 都成立，则实数m OC ―→ OD ―→ OC ―→ OB ―→ OD ―→ OA ―→的最大值是________．解析：原不等式可化为(a －c )2＋(b －d )2≥(m －2)·(ac ＋bd )＋mbc ，即a 2＋b 2＋c 2＋d 2－m (ac ＋bd ＋bc )≥0，整理成关于实数a 的不等式为a 2－mca ＋b 2＋c 2＋d 2－mbd －mbc ≥0恒成立，从而Δ1＝m 2c 2－4(b 2＋c 2＋d 2－mbd －mbc )≤0，再整理成关于实数d 的不等式为d 2－mbd＋b 2＋c 2－mbc －m 2c 2≥0，从而Δ2＝m 2b 2－4≤0，再整理成关于实数b 14(b 2＋c 2－mbc －14m 2c 2)的不等式为(4－m 2)b 2－4mcb ＋4c 2－m 2c 2≥0，从而Error!解得1－≤m ≤－1＋，所以m 的55－1.5答案：－15。

平面向量中的最值和范围问题

平面向量中的最值和范围问题平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．考点1、向量的模的范围例1、(1) 已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,090ADC ∠=,1,2==BC AD ,P 是腰DC 上的+的最小值为____________.(2)（2011辽宁卷理）若c b a ,,均为单位向量，且0=⋅b a ，0))((≤--c b c a b -+最大值为( ) A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2(3)（2010浙江卷理）已知平面向量），（，βααβα≠≠01=，且α与αβ-的夹角为120°的取值范围是_____________ .变式：已知平面向量α，β满足||||1αβ==，且α与βα-的夹角为120︒，则|(1)2|t t αβ-+()t R ∈的取值范围是；小结1、模的范围或最值常见方法：①通过|a →|2=a →2转化为实数问题；②数形结合；③坐标法．考点2、向量夹角的范围例2、已知OB →＝(2,0)，OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则OA →与OB →夹角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π12，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，π2小结2、夹角范围问题的常见方法：①公式法；②数形结合法；③坐标法．考点3、向量数量积的范围例3、(1)已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，则PB PA ⋅的最小值为( ) (A) 24+- (B) 23+- (C) 224+- (D) 223+-(2)如右图，在梯形ABCD 中，DA=AB=BC =12CD =1.点P 在阴影区域（含边界）中运动，则AP →·BD→的取值范围是；小结3、数量积问题涉及的方法较多，常用的方法有：①定义；②模与投影之积；③坐标法；④a →·b →=(a →+b →2)2-(a →-b →2)2．考点4、向量的系数问题：例4、给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ⌒上变动.若OC →=xOA →+yOB →其中x ，y ∈R ，则x +y 的最大值是______.小结4、向量系数问题的一般处理方法：①点乘法；②几何法；③整体法．变式：已知点G 是ABC ∆的重心，点P 是GBC ∆内一点，若,AP AB AC λμλμ=++则的取值范围是（） A ．1(,1)2 B ．2(,1)3 C ．3(1,)2D ．（1，2）专题十、平面向量中的最值和范围问题练习题1、（2011全国新课标理）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:||1[0,)3p a b πθ+>⇔∈ 22:||1(,]3p a b πθπ+>⇔∈13:||1[0,)3p a b πθ->⇔∈ 4:||1(,]3p a b πθπ->⇔∈其中真命题是（） A.14,p p B.13,p p C.23,p p D.24,p p2、（2012广东卷）对任意两个非零的平面向量α和β,定义⋅⋅=⋅αβαβββ,若平面向量a 、b 满足0≥>a b ,a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则=a b （）A ．12B ．1C ．32D ．523、(201宁波市期末)在ABC∆中，D 为B C 中点，若120=∠A ，，则AD 的最小值是（）A.21 B.23C.2D.224、（2011福建卷）已知O 是坐标原点，点A （－1,1）若点M （x,y ）为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x ，上的一个动点，则OA OM ⋅的取值范围是（）A ．[－1，0]B ．[0，1]C ．[0，2]D ．[－1，2] 5、（2012浙江会考）在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是BC 的中点，P , Q 是正方体内部及面上的两个动点，则PQ AM ⋅的最大值是（） A.21 B.1 C.23D.456、（2011全国大纲理）设向量c b a ,,满足1==b a ，21-=⋅b a ，060,=--c b c a ，则c 的最大值等于（） A ．2 B ．3 C ．2 D ．17、如图，在直角梯形ABCD 中，，动点P在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆内运动，设，则的取值范围是( )O A BCEFxy A. B. C. D.8、（2012安徽卷）若平面向量,a b 满足:23a b -≤;则b a ⋅的最小值是_____；9、已知向量a =),2,1(-x b =),4(y ,若a ⊥b ，则yx 39+的最小值为；10、（2012北京卷）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则CB DE ⋅的值为________，DC DE ⋅的最大值为____ __；11、如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为1，E 为AB 的中点，若F 为正方形内（含边界）任意一点，则OE OF ⋅的最大值为；12、如图，线段AB 长度为2，点,A B 分别在x 非负半轴和y 非负半轴上滑动，以线段AB 为一边，在第一象限内作矩形ABCD ，1BC =，O 为坐标原点，则OD OC •的范围是 .11题图 12题图13、（2012上海卷理）在平行四边形ABCD 中,∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足||||||||CD CN BC BM =,则AN AM ⋅的取值范围是_________ ；。

2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(文) 专题07 平面向量含答案解析

专题07 平面向量1．【2019年高考全国I 卷文数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ．【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π． 2．【2019年高考全国II 卷文数】已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a -b |= A 2 B ．2 C ．2D ．50【答案】A【解析】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)-=-=-a b ，所以22||(1)12-=-+=a b 故选A.【名师点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．3．【2019年高考北京卷文数】已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________．【答案】8【解析】向量(4,3),(6,)m =-=⊥，，a b a b 则046308m m ⋅=-⨯+==，，a b . 【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.4．【2019年高考全国III 卷文数】已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则c o s ,=a b ___________. 【答案】210-【解析】222228262cos ,||||1022(8)6⨯-+⨯⋅===-⋅+⨯-+a b a b a b ．【名师点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键． 5．【2019年高考天津卷文数】在四边形ABCD 中，,23,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________．【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，23,5,AB AD ==则(23,0)B ，535()2D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒，所以直线BE 的斜率为33，其方程为3(3)3y x =-，直线AE 的斜率为33y x =. 由3(23),333y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得3x =1y =-，所以3,1)E -.所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-.【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.6．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.3【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，得2213,22AB AC =即3,AB AC =故3AB AC=【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.7．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.【答案】0；5【解析】以, AB AD 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图.则(1,0),(0,1),(1,0),(0,1),(1,1),(1,1)AB BC CD DA AC BD ===-=-==-, 令(123456y AB BC CD DA AC BD λλλλλλλ=+++++=≥00.又因为(1,2,3,4,5,6)i i λ=可取遍1±，所以当1345621,1λλλλλλ======-时，有最小值min 0y =. 因为()135λλλ-+和()245λλλ-+的取值不相关，61λ=或61λ=-，所以当()135λλλ-+和()245λλλ-+分别取得最大值时，y 有最大值，所以当1256341,1λλλλλλ======-时，有最大值22max 242025y =+==故答案为0；5【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.8．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)数学试题】在矩形ABCD 中，4AB =uu u r,2AD =．若点M ，N 分别是CD ，BC 的中点，则AM MN ⋅=A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得：12AM AD DM AD AB =+=+， 1122MN CN CM CB CD =-=-11112222BC DC AD AB =-+=-+.∴111222AM MN AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221111||||41622424AD AB =-⋅+⋅=-⋅+⋅=.故选：C ．【名师点睛】本题主要考查基底向量的设立，以及向量数量积的运算，属基础题．9．【福建省漳州市2019届高三下学期第二次教学质量监测数学试题】已知向量a ，b 满足||1=a ，||3=b a 与b 的夹角为6π，则()(2)+⋅-=a b a bA ．12B ．32-C ．12-D ．32【答案】A【解析】()()22312223132+-=-+⋅=-+=a b a b a b a b . 故选A.【名师点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．10．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学试题】已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ，(4,5)=c ，若()λ+⊥a b c ，则实数λ=A ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】C【解析】因为(1,2)=a ，(2,3)=-b ，所以()12,23λλλ-+a +b =，又()λ+⊥a b c ，所以()0λ+⋅=a b c ，即()()4125230+=λλ-+，解得2λ-= . 故选C.【名师点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记运算法则即可，属于常考题型. 11．【2019届北京市通州区三模数学试题】设a ，b 均为单位向量，则“a 与b 夹角为2π3”是“||3+=a b ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】因为a ，b 均为单位向量，若a 与b 夹角为2π3，则222||||||211211cos 13π+=++⋅++⨯⨯⨯a b a b a b ，因此，由“a 与b 夹角为2π3”不能推出“||3+=a b ”；若||3+=a b 22||||||211211cos ,3+=++⋅++⨯⨯⨯a b a b a b a b 解得1cos ,2=a b ，即a 与b 夹角为π3，所以，由“||3+=a b ”不能推出“a 与b 夹角为2π3” 因此，“a 与b 夹角为2π3”是“||3+=a b ”的既不充分也不必要条件. 故选D【名师点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，以及向量的数量积运算，熟记充分条件与必要条件的概念，以及向量的数量积运算法则即可，属于常考题型.12．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试数学（二)】在ABC △中，2AB AC AD +=，AE DE +=0，若EB xAB y AC =+，则A ．3y x =B ．3x y =C ．3y x =-D ．3x y =-【答案】D【解析】因为2AB AC AD +=，所以点D 是BC 的中点，又因为AE DE +=0，所以点E 是AD 的中点，所以有：11131()22244BE BA AE AB AD AB AB AC AB AC =+=-+=-+⨯+=-+，因此 31,344x y x y =-=⇒=-，故题选D.【名师点睛】本题考查了向量加法的几何意义、平面向量基本定理.解题的关键是对向量式的理解、对向量加法的几何意义的理解.13．【2019年辽宁省大连市高三5月双基考试数学试题】已知直线y =x +m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B两点，O 为坐标原点，若32AO AB ⋅=，则实数m = A ．1±B ．3C ．22±D ．12±【答案】C 【解析】联立221y x mx y =+⎧⎨+=⎩ ，得2x 2+2mx +m 2−1=0， ∵直线y =x +m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点， ∴∆=-2m 2+8＞0，解得22x -<<设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−m ，21221-=m x x ，y 1y 2=（x 1+m ）（x 2+m ）=x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2，AO =（-x 1，-y 1），AB =（x 2-x 1，y 2-y 1），∵21123,2AO AB AO AB x x x ⋅=∴⋅=-+y 12-y 1y 2=1221122m m ----+m 2-m 2=2-m 2=23，解得m =2±．故选：C ．【名师点睛】本题考查根的判别式、根与系数的关系、向量的数量积的应用，考查了运算能力，是中档题．14．【天津市和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学试题】已知菱形ABCD的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，3BC BE =，DC DF λ=，若1AE AF ⋅=，则λ的值为 A ．3 B ．2C ．23D ．52【答案】B【解析】由题意可得：()()113AE AF AB BE AD DF AB BC BC AB λ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111133AB BC AB BC λλ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭，且：224,22cos1202AB BC AB BC ==⋅=⨯⨯=-，故()44112133λλ⎛⎫+++⨯-= ⎪⎝⎭，解得：2λ=. 故选：B.【名师点睛】本题主要考查平面向量数量积的定义与运算法则，平面向量基本定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．【江西省新八校2019届高三第二次联考数学试题】在矩形ABCD 中，3,4,AB AD AC==与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，则AE EC ⋅=A ．572B ．14425C ．125D ．2512【答案】B 【解析】如图：由3AB =，4=AD 得：9165BD =+=，125AB AD AE BD ⋅== 又()AE EC AE EO OC AE EO AE OC AE EO AE AO ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅+⋅AE BD ⊥，0AE EO ∴⋅=，又2144cos 25AE AE AO AE AO EAO AE AO AE AO⋅=∠=⋅==14425AE EC ∴⋅=. 故选B.【名师点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够通过线性运算将问题转化为模长和夹角已知的向量之间的数量积问题.16．【湖师范大学附属中学2019届高三数学试题】如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF =A ．3144AB AD + B ．1344AB AD + C ．12AB AD +D ．3142AB AD +【答案】D【解析】根据题意得：1()2AF AC AE =+，又AC AB AD =+，12AE AB =，所以1131()2242AF AB AD AB AB AD =++=+.故选D.【名师点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题.17．【2019年北京市高考数学试卷】已知向量a =（－4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________.【答案】8.【解析】向量4,36,m =-=⊥（），（），，a b a b 则046308m m ⋅=-⨯+==，，a b .【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.18．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)数学试题】已知圆22450x y x ++-=的弦AB 的中点为(1,1)-，直线AB 交x 轴于点P ，则PA PB ⋅的值为__________. 【答案】8. 【答案】5-【解析】设(1,1)M -，圆心(2,0)C -，∵10112MC k -==-+，根据圆的性质可知，1AB k =-，∴AB 所在直线方程为1(1)y x -=-+，即0x y +=，联立方程22450x y x x y ⎧++-=⎨+=⎩可得，22450x x +-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1252x x =-，令0y =可得(0,0)P ，12121225PA PB x x y y x x ⋅=+==-，故答案为：-5．【名师点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示及直线与圆相交性质的简单应用，属于常考题型.。

2019年人教版江苏省高三数学一轮复习备考试题：平面向量(含答案)Word版

高考一轮复习备考试题(附参考答案)平面向量一、填空题1、（2014年江苏高考）如图，在平行四边形中，已知，，则的值是▲．2、（2013年江苏高考）设分别是的边上的点，，，若（为实数），则的值为。

3、（2012年江苏高考）如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是▲．4、（2015届江苏南京高三9月调研）已知向量a＝(2，1)，b＝(0，－1)．若(a＋λb)⊥a，则实数λ＝▲．5、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）已知△ABC中，∠C=90°，，分别为边上的点，且，，则▲．6、（2015届江苏苏州高三9月调研）如图是半径为3的圆的直径是圆上异于的一点是线段上靠近的三等分点且则的值为▲7、（南京市2014届高三第三次模拟）在R t △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围为▲．8、（南通市2014届高三第三次调研）在直角三角形中，=90°，，．若点满足，则▲．9、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））已知平面内的四点O ，A ，B ，C 满足，，则=▲．10、（徐州市2014届高三第三次模拟）如图，在△中，已知，，，，，则▲．11、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为▲ 12、（2014江苏百校联考一）如图，是半径为1的圆的直径，△ABC 是边长为1的正三角形，则的最大值为13、（2014南通二模）在△ABC 中，D 是BC 的中点，AD ＝8，BC ＝20，则的值为▲．14、（苏锡常镇四市2014届高三3月调研（一））如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，，设∥，若，则的值为▲。