关于费马定理
高等数学费马定理
高等数学中费马定理是指当n>2时，方程x^n+y^n=z^n无整数解。
这个定理是费马在阅读丢番图（Diophatus）《算术》拉丁文译本时提出的，但他没有给出证明。
随后，1678年G·W莱布尼兹证明了n=4时定理成立；1770年C·欧拉证明了n=3和4的情形；P·G狄利克雷和G·拉梅分别证明了n=5和7的情形；1884年E·E库默尔创立了理想数，从而证明了当n是介于2与100之间的奇数p（除去（p=37,59和67）时，定理成立。
1995年，安德鲁·怀尔斯等人将费马猜想证明过程发表在《数学年刊》，成功证明了这一定理。
费马大定理表述虽简单，但它的证明耗费了数代人的努力，许多数学家在证明过程中发现了许多新的数学理论，拓展了新的数学方法，证明费马大定理的过程可以算得上是一部数学史。
证明托勒密(ptolemy)定理
证明托勒密(ptolemy)定理
【提纲】
1.介绍托勒密定理
托勒密定理，又称托勒密-费马定理，是一个关于三角形内角和与边长之间关系的数学定理。
该定理的表述为：在同一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
2.证明托勒密定理的步骤
证明托勒密定理的方法有多种，这里我们以几何证明法为例：
（1）假设三角形ABC的三边长分别为a、b、c，其中a+b>c、
a+c>b、b+c>a；
（2）作边BC的平行线，交边AC于点D，构造三角形ABD和DBC；
（3）根据平行线性质，可知∠ADB=∠C，∠BDA=∠BC；
（4）在三角形ABD和DBC中，根据三角形内角和为180°，可得
∠ABD+∠ADB+∠BDA=180°；
（5）将∠ADB和∠BDA替换为∠C和∠ABC，得到
∠ABC+∠ABD+∠C=180°；
（6）同理，可得∠ABC+∠ADB+∠BC=180°；
（7）将（4）和（6）两式相减，得到∠AB D-∠C=∠C-∠ABC；
（8）根据步骤1中的条件，可知a+b>c，故∠ABD>∠C，同理
∠C>∠ABC；
（9）结合（7）式，得到∠ABD>∠C>∠ABC，即证明了托勒密定理。
3.托勒密定理的应用
托勒密定理在几何学中具有广泛的应用，如在解决三角形的判定、性质、最值等问题时，都可以利用托勒密定理进行求解。
此外，托勒密定理还可以与其他定理相结合，如与勾股定理、相似三角形等定理相互验证。
4.结论
托勒密定理是一个重要的几何定理，通过几何证明法可以简洁明了地证明其正确性。
费马小定理秒懂百科
费马小定理秒懂百科费马小定理是一项数论中的重要定理，它以法国数学家皮埃尔·德·费马的名字命名。
费马小定理可以简化计算，快速求解大数取模的问题，被广泛用于密码学、计算机科学和数学竞赛等领域。
本文将为您详细介绍费马小定理的定义、原理和应用。
一、费马小定理的定义费马小定理是在数论中，关于素数的一条重要定理。
设p是一个素数，a是任意整数，则有如下等式成立：a^p ≡ a (mod p)其中，a^p表示a的p次幂，mod p表示取模运算，即取a^p与p的商的余数。
二、费马小定理的原理费马小定理的原理基于数论中的模指数运算。
当p是素数时，对于任意整数a，a与p互质（即a和p没有公约数），那么a^p对p取模的结果必然等于a。
为了更好地理解费马小定理的原理，我们举一个例子：假设p是素数，a是一个整数，我们想要求解a^p对p取模的结果。
首先，我们可以使用二进制展开式将p转化为二进制形式，例如：p = b0 + 2 * b1 + 2^2 * b2 + ... + 2^n * bn其中，b0、b1、b2...bn是p的二进制表示中的0或1。
接下来，我们使用迭代的方法对a进行计算：a^p ≡ a^(b0 + 2 * b1 + 2^2 * b2 + ... + 2^n * bn) (mod p)根据指数运算的性质，上式可以转化为：a^p ≡ (a^b0) * (a^(2 * b1)) * (a^(2^2 * b2)) * ... * (a^(2^n * bn)) (mod p)我们观察上式可以发现，每个a的指数对应的系数（b0、b1、b2...bn）都是二进制表示中的位数，因此可以采用迭代的方式，从最低位开始计算，每一步将计算结果乘以自身再对p取模。
最终，我们能够得到a^p对p取模的结果。
三、费马小定理的应用费马小定理具有广泛的应用价值，特别是在计算和密码学领域。
以下是费马小定理的一些常见应用：1. 快速幂算法费马小定理可以用于快速计算大数的幂取模运算。
费马定理
定理及其证明(c _ 6, c + 6)费马定理：设f(X)在c的某邻域内有定义，而且在这个领域上有f(X)乞f (c) (其中f(c)为局部最大值)或者f(x) 一f(c)(其中f(c)为局部最小值)，当f(x)在c处可导时，则有f'(c)=O.证明：因为假设f'(c)存在，由定义可得左导数f-'(x)和右导数fjc)均存在且满足：f-'(c)=仃。
= f'(c)当X :c 时，f(x) - f(c)_0，所以f'(c)=lim f(x)—f(c)_oX —C ―― X —c当x c 时，f(x)一f(c)M，所以f'(c) = lim f(x)—f(c)M X —C X —C所以f'(c) =0以上是对于f (X)空f (c)这种情况进行的证明，同理也可证明 f ( X)_ f(C)这种情形罗尔定理：设f (X)在a,b ］上连续，在a,b上可导，若f(a)=f(b)，则必有一点c a,b使得f'(c) =0.证明：分两种情况，若f (x)为常值，结论显然成立•若 f (x)不为常值，根据最大、最小值定理(有界闭区间a,b上的连续函数f (x)具有最大值和最小值)可知，f(x)必在a,b内某一点c处达到最大值或最小值，再有费马定理可得， f '(c) = 0.拉格朗日中值定理：设f (x)在a, b 1上连续，在a, b上可导，则一定有一点-三ia,b使f(.b —a证明：分两种情况，若f (x)恒为常数，则f'(x) =0在a,b上处处成立，则定理结论明显成立•若f(x)在a,b不恒为常数时，由于f(x)在a,b 1上连续，由闭区间连续函数的性质，f (X)必在a, b 1上达到其最大值M和最小值m，有一种特殊情况f (a) = f (b)时，定理成立，这就是上面所证明过的罗尔定理•考虑一般情形，f (a) = f (b).做辅助函数「(x)二f(x) -f (b)—f (a )x •由连续函数的性质及导数运算法则，可得(x)在a,b 1上连b —a续，在 a,b 上可导，且「(b) 一bf (a八af (b)— a , 这就是说半(x)满足刚刚的特殊情况，b —a因此在 a,b 内至少有一点'，使得「'「)= f '『;「f (b)-f(a)=o 即b — a『•二辿上坐•定理得证.b -a柯西中值定理：若f (x)和g(x)在la, b 1上连续，在a,b 上可导，且g '(x) = 0，则一定存在a,b 使仙")」,’• g(b)-g(a) g (C)证明：首先能肯定g(a)= g(b)，因为如果g(a) =g(b)，那么由拉格朗日中值定理， g ' (x)在a,b 内存在零点，因此与假设矛盾. 还是做辅助函数 F (x) = f (x) -丄^―f(a)gx-ga .由Fa=Fb ，再由拉格朗日 g(b )-g (a )中值定理，可以证明定理成立.泰勒中值定理：若f(x)在x = 0点的某个邻域内有直到n 1阶连续导数，那么在此邻域内有 f x f 0 f ' 0 x X 2…」0x nR n x •其中2!n!证明：做辅助函数「t 二 f X • f t - f't x-t - f t x-t 2 -…- f n t x-t n •由 2! n!假设容易看出t 在0,x 1或 x,0 上连续，且 0 = R n x ，: x =0 ,'t=-ft-〔ftx-t-ft :」：x-t -ft x-t -…-ft x-t 〕〔x-t -...-_ 2! 2!［心叫x —t —H —t rln!(n -1 !化简后有「’t A - (叫) n------- (x -t f .在引进一个辅助函数n! R n X 二n 1 !是介于0与x 之间的某个值.对函数t 和t t 利用柯西中值定理得到X- 0 = _ ,-是介于o 与x 之间的某屮（x a 屮（0）屮（匕）个值，此时有 o = R n x ，:: x =o ,'二x - n ，- o =x n 1 , x =o , n!；•」］：-n • 1 x - n ，代入上式，即得尺x = f、 定理证明完毕.这是函数f X 在X =0点的泰勒公式，同理推导可得 f X 在X =x 0点附近的泰勒公式△x-X o 2…jx-J R n X .其中2! n!f n 1 \X-X 0--是介于X o 与X 之间的某个值.定理间关系：罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理以及泰勒公式是微分学的基本 定理。
费马两平方和定理
费马两平方和定理费马两平方和定理，也被称为费马定理，是数学中一个重要的定理。
它指出，对于任意一个自然数n，都不可能找到三个整数a、b、c，使得a的平方加上b的平方等于c的平方，即a^2 + b^2 = c^2成立。
费马两平方和定理的证明由法国数学家费马于17世纪提出，而真正的证明则由英国数学家安德鲁·怀尔斯完成。
这个定理的证明过程十分复杂，需要运用高深的数学知识和技巧。
但是，对于一般的人来说，我们可以通过简单的例子来理解这个定理。
假设我们想找到一个满足费马定理的例子，即找到满足a^2 + b^2 = c^2的整数a、b、c。
我们可以从最简单的情况开始，即a、b、c都等于1。
但是很明显，1的平方加上1的平方等于2的平方，不符合费马定理。
我们可以继续尝试其他的整数，如2、3、4等等，但是都无法找到满足条件的整数。
费马两平方和定理的意义在于它证明了平方数的和不可能再次是一个平方数。
这个定理在数学中有广泛的应用，尤其在数论和几何中。
它不仅帮助我们了解了数学中的一种特殊情况，更为我们提供了一种方法来判断一个数是否为平方数。
尽管费马两平方和定理的证明过程十分复杂，但是它的意义和应用却是非常明确的。
它告诉我们，平方数的和不可能再次是一个平方数，这是数学中的一个基本原理。
通过理解和运用这个定理，我们可以更好地理解数学中的其他概念和定理，并将其应用于实际问题中。
费马两平方和定理是数学中一个重要的定理，它告诉我们平方数的和不可能再次是一个平方数。
虽然它的证明过程复杂，但是通过简单的例子，我们可以理解和应用这个定理。
它不仅帮助我们更好地理解数学中的其他概念和定理，也为我们提供了一种方法来判断一个数是否为平方数。
利用费马定理计算
利用费马定理计算
利用费马定理计算是一种常见的算法，可以用来计算大数的幂取模运算。
本文将从几个方面介绍费马定理的定义、计算公式、应用场景和注意事项，以便读者更好地理解和使用该算法。
一、费马定理的定义
费马定理又称为费马小定理，是指对于所有的质数 p 和任意整数 a，有a^p ≡ a(mod p)。
其中≡ 表示“同余于”，即两个数除以模数的余数相等。
二、基本计算公式
根据费马定理，可以得出以下计算公式：
a^p % p = a % p
该公式即为利用费马定理计算的基本公式，用于求取 a 的 p 次方对 p 取模后的余数。
这个公式其实非常简单，只需要对 a 取模之后再进行 p 次方运算，再对模数 p 取模就可以了。
三、应用场景及注意事项
1、应用场景
利用费马定理计算常见的应用场景包括密码学、组合数学、随机化算法等领域。
其中，密码学是利用费马定理实现 RSA 公钥加密算法的主要方法之一。
2、注意事项
（1）费马定理仅适用于质数情况，若 p 不是质数，则可能存在多解。
（2）当 p 很大时，直接用费马定理计算可能会导致整数溢出，需要采用优化算法。
（3）费马定理只适用于求幂取模问题，不适用于求模取幂问题。
四、总结
费马定理是一种简单易用的求取幂取模的算法，其基本计算公式可以解决大多数问题。
但是，为了得到正确的结果，在实际应用中需
要注意公式的使用场景及注意事项。
作为一名优秀的内容创作者，我们应该熟悉并应用这样的算法，为读者提供更加优质的内容服务。
费马大定理与费马点
费马大定理与费马点
费马大定理是指当时不定方程$x^n+y^n=z^n$（$n$为大于2的整数，$x,y,z$为自由未知量），除平凡解外，没有正整数解。
这个定理是法国数学家皮耶·德·费马于1637年提出的，是数学领域的著名难题。
费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。
若给定一个三角形$ABC$，从这个三角形的费马点$P$到三角形的三个顶点$A$、$B$、$C$的距离之和比从其它点算起的都要小。
值得一提的是，这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。
费马大定理的证明过程中，为数学研究提供了很多有价值的思路和方法，它的相关理论也被广泛应用于其他数学领域和科学领域。
费马素数定理证明
费马素数定理证明
费马素数定理是指当n为素数时，对于所有的a，满足a^n ≡ a (mod n)。
下面给出费马素数定理的证明。
首先考虑当a与n互质时，费马小定理成立。
因为在此情况下，根据费马小定理，有a^(n-1) ≡ 1 (mod n)。
接下来考虑当a与n不互质时，即存在某个整数b满足a ≡ b (mod n)。
我们可以将a^n进行展开：
a^n = (a^n-1) * a
根据假设有a ≡ b (mod n)，则对于上式右边的每一项，我们都
可以将其表示为b的倍数：
(a^n-1) * a ≡ (b^(n-1) * a
由于b和n不互质，所以b^(n-1)与n的最大公约数不等于1。
因此，我们可以得到下面的结论：
(b^(n-1) * a) ≡ 0 (mod n)
所以我们可以得到对于所有的a，都满足a^n ≡ a (mod n)。
综上所述，无论a与n是否互质，都有a^n ≡ a (mod n)，从而
证明了费马素数定理。
费马大定理及其证明方法
费马大定理及其证明方法费马大定理是数学界著名的难题之一，它的证明历经四百年，让数学界的研究者们投入了无数的精力和时间。
一、费马大定理的定义费马大定理，又称费马最后定理，是一条非常著名的代数数论问题。
它的表述方式比较简单：将指数大于二的整数幂表示为三个平方数之和的情况是不存在的。
也就是说，方程x^n+y^n=z^n在n>2时，不存在整数解。
这条定理由法国数学家费马在17世纪首次提出，并致力于证明此定理近40年之久，但他从未公布证明方案。
直到1960年才由Andrew Wiles在英国剑桥完成了证明。
二、费马大定理的历史费马大定理的历史可以追溯到17世纪。
当时，法国数学家费马在研究数学问题时提出了一个假设：如果一个整数n大于2，那么方程x^n+y^n=z^n中不存在正整数解。
费马声称自己已经发现了一种证明方法，但遗憾的是，他没有将这个证明公布出来。
此后，费马大定理便成为了数学界的一个谜题。
一方面，人们认为它是成立的，因为一些数学家通过计算发现，在一些特定情况下，这个方程是不存在正整数解的。
另一方面，也有一些数学家认为费马的想法是错误的，因为他的证明并没有被记录下来，所以根本不知道他的假设是否真的成立。
20世纪60年代以来，学者们对费马大定理提出了更为深刻的思考。
许多著名的数学家投入了大量的时间和精力，尝试寻找一个完整的证明方案。
最终，英国数学家安德鲁·怀尔斯在1994年完成了这一证明，以此圆满地结束了费马大定理的历史传说。
三、费马大定理的证明费马大定理的证明历时四百年，这是数学界难以磨灭的辉煌。
然而，这个证明方案并不是一蹴而就的，实际上，数学家们在寻找证明方案时遇到了一系列的困难。
根据怀尔斯的证明方案，费马大定理的证明分为三部分。
首先，他证明了一个定理，称为“伊万·斯蒂年奇模型”。
这个定理规定，有限域之上的模空间可以在几何上与椭圆曲线相比较。
然后，他使用了一个称为“输影结果”的独特工具，证明了另一个定理，称为“塔尼雅马分解”。
费马大定理
费马大定理（Fermat's last theorem）现代表述为：当n＞2时，方程xn＋yn＝zn没有正整数解。
费马大定理的提出涉及到两位相隔1400年的数学家，一位是古希腊的丢番图，一位是法国的费马。
丢番图活动于公元250年左右，他以著作《算术》闻名于世，不定方程研究是他的主要成就之一。
他求解了他这样表述的不定方程（《算术》第2卷第8题）：将一个已知的平方数分为两个平方数。
（1）现在人们常把这一表述视为求出不定方程x2＋y2＝z2 （2）的正整数解。
因而，现在一般地，对于整系数的不定方程，如果只要求整数解，就把这类方程称为丢番图方程。
有时把不定方程称为丢番图方程。
关于二次不定方程（1）的求解问题解决后，一个自然的想法是问未知数指数增大时会怎么样。
费马提出了这一数学问题。
费马生前很少发表作品，一些数学成果常写在他给朋友的信中，有的见解就写在所读的书页的空白处。
他去世后，才由后人收集整理出版。
1637年前后，费马在读巴歇校订注释的丢番图的《算术》第2卷第8题，即前引表述（1）时，在书的空白处写道：“另一方面，将一个立方数分成两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂，这是不可能的。
关于此，我已发现一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。
” （3）费马去世后，人们在整理他的遗物时发现了这一段话，却没有找到证明，这更引起了数学界的兴趣。
后来，表述（3）被理解为：当整数n＞2时，方程xn＋yn＝zn （4）没有正整数解。
欧拉、勒让德、高斯等大数学家都试证过这一命题，但都没有证明出来，问题表述的简单和证明的困难，吸引了更多的人投入证明工作。
这一命题就被称为费马猜想，又叫做费马问题，但更多地被叫做“费马最后定理”，在我国，则一般称之为费马大定理。
“费马最后定理”的来历可能是：费马一生提出过许多数论命题，后来经过数学界的不懈努力，到1840年前后，除了一个被反驳以外，大多数都被证明，只剩下这个费马猜想没有被证明，因此称之为“最后定理”。
费马点定理
费马点定理
费马点定理是一个由著名的19世纪德国数学家费马提出的有关有
理数的定理。
全称为“费马数定理：如果λ是一个正数，且不为1，则
有理数λ可以表示为n个有理数的和，而n不超过λ+1和λ+2之中更小的那个数。
”
费马点定理在概念上可以看作是塞满有理数集。
换句话说，有理数集
中没有洞。
如果一个有理数λ被划分成完全有理数的和，这意味着任
何有理数在λ+1或λ+2的情况下都可以表示为n个序列的完全有理数。
由于费马点定理的存在，它被用来推动很多学术领域的研究，包括群
论和代数以及各种概率和优化问题的数学理论和算法的发展。
费马点
定理也有很多实际的应用，例如金融衍生品的定价和最优化算法等。
实际上，费马点定理还被广泛应用在电脑科学领域，如密码学，计算
复杂性理论，网络安全等。
特别是在编码理论中，它们被广泛应用在
编码的设计和分析，以使得数据的传输更加安全，减少错误，并提供
更好的传输速率。
费马点定理也得到了许多理论研究，其中最著名的例子是由费马和高
斯在19世纪末提出的关于此定理的证明。
之后，随着数学的进步，费
马点定理也得到了更完善的证明，获得了更广泛的应用和研究。
总之，费马点定理是一个关于有理数的定理，具有重要的理论和实际
意义，因而获得了极大的关注和研究，有助于我们更好地理解整数中的一些基本概念。
关于费马大定理
关于费马大定理费马在数论方面的有几个猜想，除了他关于素数的猜想，费马大定理是费马的所有猜想中最困难、最有影响的一个，从1637年提出直到1994年有怀尔斯（A.Wiles ）解决，整整经历了357年，费马大定理的证明是20世纪诸多重大数学成就之一。
1. 什么是费马大定理？费马大定理又称费马最后一个定理（Fermat ’ Last Theorem ），简记成FLT ，据说是由于到19世纪初期，除了这个定理以外，费马的所有其他猜想均以被解决而得名。
1637年费马在阅读古希腊数学家丢番图著的《算术》的拉丁文译本中第二卷第八个命题：“把一个平方数写成两个平方数之和”时，在书的填白处写道：“相反，不能把一个立方数写成两个立方数之和，也不能把一个四次方表成两个四次方之和，一般地，每个幂次大于2的方幂数均不能表成两个同样方幂次之和，我对此已经找到了一个真正奇妙的证明，但空白的地方太小写不下。
”这就是数学史上著名的费马大定理，用现代术语可表述如下：对每个正整数3≥n ，方程n n n z y x =+均没有正整数解),,(z y x 使得0≠xyz 。
对于2=n 的情况，早在三千多年前，即公元前1100年，我国西周的商高就提出了“勾3股4弦5”的结论，在几何上讲，这是勾股定理的特例，从代数角度看，就是方程222z y x =+有一组整数解)5,4,3(。
费马大定理一提出就立即引起了数学界的兴趣，特别是数学家们都在寻找他说的“奇妙证明”。
多数数学家对此说持怀疑态度。
至少可以说，方程n n n z y x =+对于费马并不是典型的，他所研究的绝大多数方程的指数均小于等于4。
此外，他在与朋友的通信中只叙述了3=n 的情形。
对4=n 时，他采用无穷下降（推）的技巧给出了证明。
虽然后人一直未找到他的证明细节，但对此却确信无疑，因为这可由费马的另一个定理推出。
这个定理是：“三边为整数的直角三角形的面积不能为平方数”。
而后者的证明，费马写在空白处。
费马最后的定理：费马大定理
费马最后的定理费马大定理,又被称为“费马最后的定理”,由17世纪法国数学家皮耶·德·费玛提出。
它断言当整数n >2时,关于x, y, z的方程x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
德国佛尔夫斯克曾宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内,第一个证明该定理的人,吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。
被提出后,经历多人猜想辩证,历经三百多年的历史,最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明。
大约1637年左右,法国学者费马在阅读丢番图(Diophatus)《算术》拉丁文译本时,曾在第11卷第8命题旁写道:“将一个立方数分成两个立方数之和,或一个四次幂分成两个四次幂之和,或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和,这是不可能的。
关于此,我确信已发现了一种美妙的证法,可惜这里空白的地方太小,写不下。
”(拉丁文原文: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.")毕竟费马没有写下证明,而他的其它猜想对数学贡献良多,由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。
数学家们的有关工作丰富了数论的内容,推动了数论的发展。
证明完成定理到了最后攻关阶段,并且这刚好是他的研究领域,他开始放弃所有其它活动,精心疏理有关领域的基本理论,为此准备了一年半时间把椭圆曲线与模形式通过伽罗瓦表示方法“排队”。
接下来的要将二种“排队”序列对应配对,这一步他二年无进展。
此时他读博时学的岩泽理论一度取得实效,到1991年他之前的导师科茨告诉他有位叫弗莱切的学生用苏联数学家科利瓦金的方法研究椭圆曲线,这一方法使其工作有重大进展。
1993年6月在剑桥牛顿学院要举行一个名为“L函数和算术”的学术会议,组织者之一正是怀尔斯的博士导师科茨,于是在1993年6月21日到23日怀尔斯被特许在该学术会上以“模形式、椭圆曲线与伽罗瓦表示”为题,分三次作了演讲。
费马定理
费马原理（Fermat principle）最早由法国科学家皮埃尔·德·费马在1662年提出：光传播的路径是光程取极值的路径。
这个极值可能是最大值、最小值，甚至是函数的拐点。
[1]最初提出时，又名“最短时间原理”：光线传播的路径是需时最少的路径[2]。
费马原理更正确的称谓应是“平稳时间原理”：光沿着所需时间为平稳的路径传播。
所谓的平稳是数学上的微分概念，可以理解为一阶导数为零，它可以是极大值、极小值甚至是拐点。
费马原理是几何光学的基本定理。
用微分或变分法可以从费马原理导出以下三个几何光学定律：
1. 光线在真空中的直线传播。
2. 光的反射定律 - 光线在界面上的反射，入射角必须等于
出射角。
3. 光的折射定律（斯涅尔定律）。
最短光时线可以有多条，例如光线从椭圆面焦点A经过反射到另一焦点B，可以有无数条路径，所有这些路径的光线传播时间都相等。
fermat 定理
**费马定理（Fermat's Theorem）**费马定理，又称费马小定理，是数论中的一个基本定理，与费马大定理不同。
这个定理是由17世纪的法国数学家皮埃尔·德·费马提出的。
费马定理提供了一个在模运算中关于质数的重要性质。
**定理内容**如果p是一个质数，而a是任何整数，那么a的p次方减去a一定是p的倍数。
即对于所有的整数a和所有的质数p，有：\(a^p ≡ a (mod p)\)或者可以等价地表示为：\(a^p - a ≡ 0 (mod p)\)**证明概要**费马定理的证明依赖于数学归纳法和二项式定理。
证明过程大致如下：1. 首先证明当a是p的倍数时，定理显然成立，因为\(a^p - a\)本身就是p的倍数。
2. 当a不是p的倍数时，我们使用数学归纳法和二项式定理来展开\((a+1)^p\)并化简得到\(a^p + ... + p*C(p-1, a) + 1\)。
其中\(C(p-1, a)\)表示组合数。
3. 通过模运算的性质和归纳假设，我们可以证明\(a^p + ... + 1 ≡ a + 1(mod p)\)。
这样就完成了对a的归纳证明。
4. 通过这个证明，我们可以看到费马定理实际上是对所有整数a都成立的。
**应用和意义**费马定理在数论和计算机科学中有广泛的应用。
它是许多加密算法（如RSA算法）的基础，也是一些复杂数学问题的重要工具。
此外，费马定理还与其他数学领域（如群论和抽象代数）有着密切的联系。
费马定理虽然看似简单，但却揭示了质数和模运算之间深刻的联系。
它是数论中一个非常基本和重要的定理，对于理解质数的性质和模运算的行为具有重要意义。
费马三大定理
费马大定理：当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程x^n + y^n = z^n. 无正整数解。
费马小定理：是数论中的一个重要定理，其内容为：假如p是质数，且(a,p)=1，那么a^(p-1) ≡1（mod p）假如p是质数，且a,p互质，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1费马平方和定理费马平方和定理是由法国数学家费马在1640年提出的一个猜想，但他没有提出有力的数学证明，1747年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉提出证明后成为定理。
内容费马平方和定理的表述是：奇质数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该素数被4除余1。
欧拉的证明欧拉在1747年证明了费马平方和定理，当年他四十岁。
他在当年5月6日寄给哥德巴赫一封信，讲述这个定理的证明。
该证明分五步，且用到了无穷递降法；由于信中没有把第五步讲清楚，因此1749年他再次寄给哥德巴赫一封信，详细讲述第五步的证明。
第一步、“如果两个整数都能表示为两个平方数之和，则它们的积也能表示为两个平方数之和。
”第二步、“如果一个能表示为两个平方数之和的整数被另一个能表示为两个平方数之和的素数整除，则它们的商也能表示为两个平方数之和。
”假设a2 + b2能被p2 + q2整除，且后者为素数。
则p2 + q2能整除(pb −aq)(pb + aq) = p2b2 −a2q2 = p2(a2 + b2) −a2(p2 + q2).由于p2 + q2是素数，因此它能整除两个因子之一。
假设它能整除pb −aq。
由于可推出p2 + q2能整除(ap + bq)2。
于是等式能被p2 + q2的平方整除。
两边除以(p2 + q2)2得：因此其商能表示为两个平方数之和。
如果p2 + q2能整除pb + aq，则利用等式同样可证。
第三步、“如果一个能表示为两个平方数之和的整数被另一个不能表示为两个平方数之和的整数整除，则它们的商也必有一个不能表示为两个平方数之和的因子。
费马 定理
费马定理
费马定理，也称为费马大定理或费马最后定理，是法国数学家皮埃尔·德·费马在17世纪提出的一个数论问题。
该定理的原始陈述是：对于任何大于2的整数n，不可能找到三个正整数a、b、c使得a^n + b^n = c^n成立。
费马在其手稿中提出了这个猜想，并表示自己有证明，但未给出具体证明。
这个猜想在数学界引起了长期的关注和研究，成为数论中的一个重要问题。
直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯证明了费马定理的一个特例，即当n大于2时，方程a^n + b^n = c^n没有正整数解。
这一证明被广泛认可并获得了费尔马奖。
然而，怀尔斯的证明并不能推广到一般情况，即对于所有大于2的整数n。
至今，费马定理在一般情况下仍然是一个未解决的问题。
数学家们一直在寻找一个通用的证明方法，但目前还没有找到。
费马定理介绍
费马定理费马原理是光学中最为基础的原理，它在物理学发展的历程中有着至关重要的作用。
它用一种新的看法将几何光学的三个基本实验定律（光的反射定律和折射定律、光的独立传播定律光的直线传播定律直线传播）进行统一，并表述了三者的联系。
通过研究几何光学问题，能彰显出费马定理的重要性，能更加系统化光学理论。
可见通过费马原理推导上述三个基本实验定律，能使我们更加系统的理解光学理论，这对广大学者都有着不可或缺的意义。
费马原理的直观表达:光从空间的一点到另一点的实际路径是沿着光程为极值的路径传播的。
或者说, 光沿着光程为极大、极小或者常量的路径传播。
光线从Q 点传播到P 点所需的总时间：⎰∑∑=∆=∆===ndl ct l n c v l t PQ i i i i i i 1111费马原理：在所有可能的光传播路径中，实际路径所需的时间 取极值。
⎰==01ndl ct P Q δδ 在光传播的所有可能存在的路径中，其实际路径所对应的光程取极致。
⎰==0ndl L P Qδδ① 直线传播定律：两点间的所有可能连线中，线段最短——光程取极小值。
② 内椭球面的反射： 椭球面上任一点到两个焦点连线的角平分线即过该点()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=222221x a H x H n OBn AO n L +=的面法线，且两线段长度之和相等。
用费马原理导出反射定律如下图， PQ 为两个介质间的平面反射镜,从A 点发射出的光线照射到PQ 平面上的O 点，经过反射到达B 点。
假设光线所处的介质为均匀介质。
光线的透射点O 到A 点与反射平面垂足P 的长度为x 。
那么点A 到点B 的光程为：很明显，光程L 是关于变量x 的函数，由费马原理分析，真实的光程是固定的，在均匀介质中的一阶导数是0，即()()0222221=-+--+=x a H x a n xH nx dxdL即有()I n I n -sin sin =即I I -=反射定律由上面推导出来了。
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学院学术论文题目: 费马定理的有关讨论学号：学校：专业：班级：姓名：指导老师：时间：课题：费马定理【摘要】1637年后，法国数学家得出了下面一个结论：当n ≥3时，不定方程n n n z y x =+没有正整数解。
但并未找到关于这个结论的证明，这个问题也困惑了许多人。
在中国古代也有人提出类似的问题当2p=2(mod p)，p 才是一个质数。
如p 是一个质数的话，则2p = 2(mod p)成立（这是费马小定理的一个特殊情况）是对的。
但反过来，假如2p = 2(mod p)成立那么p 是一个质数是不成立的（比如341符合上述条件但不是一个质数）。
【关键词】费马小定理、整除、质数费马小定理费马小定理是数论中的一个定理,其内容为:假如a 是一个整数，p 是一个素数的话，那么 ()p a a p mod ≡假如a 不是p 的倍数的话，即()1,=p a 那么这个定理也可以写成：()p a p mod 11≡- 因而).(mod p a a p ≡若),1,≠p a 则a p ，故()p a a p mo d≡ 关于费马定理的历史皮埃尔•德•费马于1636年发现了这个定理，在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的书写方式。
在他的信中费马还提出a 是一个质数的要求，但是这个要求实际上是不存在的。
与费马无关的有一个中国猜想，这个猜想是中国数学家提出来的，其内容为：当且仅当 2p ≡2(mod p)，p 才是一个质数。
假如p 是一个质数的话，则2p ≡2(mod p)成立（这是费马小定理的一个特殊情况）是对的。
但反过来，假如2p ≡ 2(mod p)成立那么p 是一个质数是不成立的（比如341符合上述条件但不是一个质数）。
因此整个来说这个猜想是错误的。
一般认为中国数学家在费马前2000年的时候就已经认识中国猜测了，但也有人认为实际上中国猜测是1872年提出的，认为它早就为人所知是出于一个误解关于费马定理证明假如a 差不能被p 整除的话 ， 那么假如x>0 ，x 和p 的最 大 公约数为1的话(a,p 互素) ， 则a x 与 p x 的差也不能被n 整除(也就是说x.a,x.a,.....(p-1).a 不是模n 同余的)。
取a 为所有小于p 的整数的集（a 中的数都不能被p 整除），b 为a 中所有元素除以a 所获得的数集。
任何两个a 的元素的差都不能被p 整除而又有相同的余数，由此任何两个b 中的元素的差也无法被p 整除。
由此 可得而试图在p-1个元素里取p-1个不同的元素，则必定是相同的，则a 集合中元素的乘积，和b 集合中元素的乘积一定是模p 同余的即 1.a ×2.a x×3.a......(p -1).a=1×2×3×4......×（p-1）(mod p)，（p-1）!=（ap-1）(p-1)!(mod p)在这里w=1•2•3•...•(p -1)。
(威尔逊定理) 由于gcd((p-1),p)=1,两边同除以(p-1)!,即可得到费马小定理费马定理的推广费马小定理是欧拉定理的一个特殊情况：假如n 和a 的最大公约数是1的话，那么()p a a mod ≡在这里φ(n)是“欧拉商数”。
“欧拉商数”的值是所有小于n 的自然数中与n 没有公约数的数的量。
假如n 是一个质数，则φ(n) = n-1，即费马小定理。
在费马小定理的基础上费马提出了一种测试质数的算法。
费马定理的实际应用上所述，中国猜测只有一半是正确的，符合中国猜测但不是质数的数被称为“伪质数”。
假如所有符合1 < b < p 的b p 都满足下列条件的话：()p b b p mod ≡则p 必定是一个质数。
实际上没有必要测试所有的小于p 的自然数，只要测试所有的小于p 的质数就可以了。
这个算法的缺点是它非常慢，运算率高。
大定理17世纪的一位法国数学家，提出了一个数学难题，使得后来的数学家一筹莫展，这个人就是费马(1601——1665)。
这道题是这样的：当n>2时，不定方程 n n n z y x =+没有正整数解。
在数学上这称为“费马大定理”又称为“书边定理”，“费尔马大定理”。
为了获得它的一个肯定的或者否定的证明，历史上几次悬赏征求答案，一代又一代最优秀的数学家都曾研究过，即使用现代的电子计算机也只能证明：当n 小于等于4100万时，费马大定理是正确的。
由于当时费马声称他已解决了这个问题，但是他没有公布结果，于是留下了这个数学难题中少有的千古之谜。
被公认世界报纸执牛耳地位的纽约时报于1993年6月24日在其中一版头题刊登了一则有关数学难题得以解决的消息，那则消息的标题是： 在陈年数学困局中，终于有人呼叫我找到了 。
五十年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲线的猜想，后来由另一位数学家知村五郎加以发扬光大，当时没有人认为这个猜想与费马定理有任何关联。
在八十年代德国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理联系在一起，而安德鲁·怀尔斯所做的正是根据这个关联论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的，进而推出费马最后定理也是正确的。
这个结论由威利斯在1993年的6月21日于美国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会正式发表，这个报告马上震惊整个数学界，就是数学门墙外的社会大众也寄以无限的关注。
不过怀尔斯的证明马上被检验出有少许的瑕疵，于是怀尔斯与他的学生又花了十四个月的时间再加以修正。
1994年9月19日他们终于交出完整无瑕的解答，数学界的梦魇终于结束。
1997年6月，怀尔斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖。
当年的十万法克，约为两百万美金，不过怀尔斯领到时，只值五万美金左右，但安德鲁·怀尔斯已经名列青史，永垂不朽了。
说明：要证明费马最后定理是正确的（即n n n z y x =+对n ≥3 均无正整数解）只需证 444z y x =+ 和 p p p z y x =+ (p 为奇质数)，都没有整数解上世纪末，剑桥大学的怀尔斯教授在利用前人研究成果的基础上，运用几何方法巧妙的给出的证明。
但太复杂冗长，看懂的人不多，失去普遍意义。
实际上，方程的确存在一种奇妙证法。
为了不失一般性，本文在复整数范围内应用筛选法给出方程简单的证明。
首先将下面两个命题作为引理。
引理1 形如222z y x =+ (1) 的不定方程存在整数解。
其整数解的解析式为x=a²–b²y=2abz=a²+b²且a,b 为整数。
显然引理1证法很简单，这里无需赘述。
引理2 方程x 4+y 4=z 4 (2) 无整数解（零解除外）。
引理2可以利用无穷递降法证明，过程略。
因为n=4时费马方程无整数解，对于n=4m （m 属于整数） 方程 （x m ）4+(y m )4=(z m )4也无整数解。
因为每一整数n.>2可写成n=pr.其中p 为一奇素数。
费马方程可写成 ()()()pr p r p r z y x =+ (3) R 为最大公约偶次指数，x,y,z 不都有底为整数的偶次方根。
因此，费马方程只需证得当n 为奇素数时，命题成立就行了。
费马定理 当n>2时，方程n n n z y x =+ (4)无整数解。
证明 假设当n>2且是一个素数，存在互相的整数x,y,z 使得方程 n n n z y x =+ (5)有整数解。
将n n n z y x ,, 恒等变形得由于 ， 都为整数，所以x |, y, z 也都为整数。
（4）式中n 为奇素数，且x, y, z 不都含有底为整数的偶次方根。
那么x y z 至少有一个不是完全平方数，即 至少有一个为无理数；也就是说， 至少有一个为无理数。
可是由（5）式可知， 都是整数，这是不可能的。
故 假设不成立。
因此，当n>2且n 为奇素数时，方程（4）无整数解。
因为当n=4m,和n>2且n 为奇素数时方程（4）无整数解。
所以 当n>2时，方程无整数解。
显然可证，当n>2时，方程（4）无有理数解。
但是，“每个素数都是任何这种级数中的一个幂加：的因子”，这个命题却不一定正确 。
因为若所说的素数是一个幂减：的因子，其指数若是奇数，则在这种情况下这个素数就不是级数中下文幂加：的因子；例：在之的直至无穷的级数中，23是2的11次幂减：的因子，但它不是2的某个幂加：的因子。
但如果第一个使所给的素数是一个幂减：的因子的指数是偶数，则在这种情况下，原指数的一半为指数的幂加：＝将以给定的素数作为它的一个因子。
所有的难点在于找出那些素数，它们不是给定的级数中的任何幂加：的因子。
因为这有助于发现哪些素数是完全数的根的因子，也有助于发现许许多多别的事情，诸如为什么2的37次幂减1有因子223。
总而言之，我们必须确定哪些素数力最小幂减：的因子，这里的幂指数为一奇数——我认为这是很困难的。
费马小定理是数论中的一个定理。
其内容为假如a 是一个整数，p 是一个质数的话，那么()p a a p mod ≡假如a 不是p 的倍数的话，那么这个定理也可以写成()p a p mod 11≡-这个书写方式更加常用些。
（符号的应用请参见模运算。
）皮埃尔"德"费马于1636年发现了这个定理，在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的书写方式。
在他的信中费马还提出a 是一个质数的要求。
这个要求实际上不存在。
与费马无关的有一个中国猜想。
这个猜想是中国数学家提出来的。
其内容为如果，而且只有当2p = 2(mod p)成立时p 才是一个质数。
假如p 是一个质数的话，则2p = 2(mod p)成立（这是费马小定理的一个特殊情况）是对的。
但反过来，假如2p = 2(mod p)成立那么p 是一个质数是不成立的（比如341符合上述条件但不是一个质数）。
因此整个来说这个猜想是错误的。
一般认为中国数学家在费马前2000年的时候就已经认识中国猜测了。
但也有人认为实际上中国猜测是1872年提出的，认为它早就为人所知是出于一个误解。
费马定理的有关计算1621年，法国数学家费马（Fermat ）在读看古希腊数学家丢番图 著写的算术学一书时，针对书中提到的直角三角形三边整数关系，提出了方程n n n z y x =+在n=2时有无穷多组整数解，在n ＞2时永远没有整数解的观点。
并声称自己当时进行了绝妙的证明。
这就是被后世人称为费马大定理的旷世难题。
时至今日，此问题的解答仍繁难冗长，纷争不断，令人莫衷一是。
本文利用直角三角形、正方形的边长与面积的相互关系，建立了费马方程平方整数解新的直观简洁的理论与实践方法，本文利用同方幂数增比定理，对费马方程 n n n z y x =+在指数n ＞2时的整数解关系进行了分析论证，用代数方法再现了费马当年的绝妙证明。