高一数学-§6.4不等式解法2 精品

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高一数学不等式解法举例2

不等式解法举例（第二课时）高次与分式不等式
一.高次不等式
例1：解不等式
x3 3x2 2x 6
例2：解不等式
(x2 4x 5)(x2 x 2) 0
数轴标根法注意的几点：
1。分解因式后x的系数为正数； 2。准确的考察清楚各根是否在解集内； 3。这种解法同样适用于较复杂的分式
不等式。
作业：
1.解不等式：(3x
(x 2)4 (x 1)3 2)3 (x 2)2 (x2
x
2)
0
2.解不等式 1 1 1 1 xx 1
x2 9x 11 x2 2x 1 7
例6：解不等式
16 x 1 x 1
练习：解下列不等式
(1)x3 2x2 3 0 (2)x4 2x3 3x2 0 (3)1 x x3 x4 0 (4)x 1
x
小结：
1。高次不等式：数轴标根法
2。分式不等式：（1）利用同解原理转化为同解的整式不等式（2）数轴标根法
例3：解不等式
(x 2)2 (x 1)3(x 1)(x 2) 0
本题若改为
(x 2)2(x 1)3(x 1)(x 2) 0
二.分式不等式
例4：解不等式
x2 3x 2 x2 2x 3 0
本题若改为
x2 x2
3x 2 2x 3
0
x2 x2
9x 11 2x 1
7
例5.解不等式

不等式的解法举例

x b , (a 0) a
例1.解不等式 2(x 1) x 2 7x 1 32
x | x 2
三、一元一次不等式的解法：
ax b (a 0)
x b , (a 0) a
x b , (a 0) a
例1.解不等式 2(x 1) x 2 7x 1 32
x | x 2
例2.解不等式: ax≥x+3
x | 1 x 2
(2) x2-2x-8≤0 x | 2 x 1或1 x 4 x2-1>0
（3）x2 3x 4 0
思考
(ax 1)(x 2) 0的解集是什么
五、含绝对值的不等式的解法：
例5.解不等式 | x2 5x 5 | 1
x |1 x 2或3 x 4
例6、解不等式 x2 4 x 2
代数不等式
有理不等式无理不等式
整式不等式分式不等式
一次二次
高次
初等超越不等式
指数不等式对数不等式
二、不等式的分类
代数不等式
有理不等式无理不等式
整式不等式分式不等式
一次二次
高次
初等超越不等式
指数不等式对数不等式
三、一元一次不等式的解法：
ax b (a 0)
x b , (a 0) a
1、把未知数x的系数转化成正数，把因式分解成(x－a)(x－b)(x－c)……形式
2、在数轴上把每个因式的根标出来 3、按照从左至右从上至下的顺序
开始画曲线 4、若因式的指数是奇数次方，则曲线可
以穿过数轴；若因式的指数是偶数次方则曲线不穿过数轴 5、不等式为大于零则取数轴上方所取得x范围；不等式为小于零则取数轴下方所取的x范围
当a 1时x

【精品】高中数学 6.4不等式的解法举例(备课资料) 大纲人教版必修

●备课资料一、参考例题［例1］解下列关于x 的不等式:(a ∈R )(1)2x 2+ax +2>0.(2)x 2-(a +a 2)x +a 3>0.分析:根据一元二次不等式的结构特点,先由判别式确定不等式对应方程的根的情况,再结合图象或公式表得出不等式的解集.解:(1)∵Δ=a 2-16∴当Δ<0,即-4<a <4时,原不等式解集为R .当Δ=0,即a =±4时,原不等式解集为:{x |x ≠-4a }. 当Δ>0,即a >4或a <-4时,方程2x 2+ax +2=0的两根为:x 1=41(-a -162-a ) x 2=41(-a +162-a )原不等式的解集为: {x |x <41(-a -162-a ),或x >41(-a +162-a )}. 故当-4<a <4时,原不等式解集为R . 当a =±4时,原不等式解集为{x |x ≠-4a}. 当a >4或a <-4时,原不等式解集为: {x |x <41(-a -162-a ),或x >41(-a +162-a ). (2)原不等式等价于(x -a )(x -a 2)>0.当a <0时,有a <a 2,原不等式的解集为:{x |x <a 或x >a 2}.当a =0时,原不等式的解集为:{x |x ≠0}当0<a <1时,有a >a 2,原不等式的解集为:{x |x <a 2或x >a }当a =1时,原不等式的解集为:{x |x ≠1}当a >1时,有a <a 2,原不等式的解集为:{x |x <a 或x >a 2}评述:一元一次不等式和一元二次不等式的解法是解各类不等式的基础,要给予足够的重视.对含字母系数的一元二次不等式,要学会讨论的方法,对一元二次不等式常用的分类方法有:①按x 2项的系数a 的符号分类,即a >0,a =0,a <0; ②按判别式Δ的符号分类,即Δ>0,Δ=0,Δ<0;③按方程ax 2+bx +c =0的根x 1,x 2的大小来分类,即x 1<x 2,x 1=x 2,x 1>x 2. ［例2］解不等式|x -1|+|x +2|>5.分析:解含绝对值的不等式的关键是去掉绝对值符号,本题由于含有的绝对值符号较多,故不宜直接用前面例1的办法去解决,转而考虑绝对值的定义.解:(1)当x >1时,x -1>0,x +2>0,原不等式等价于:(x -1)+(x +2)>5,即x >2,与x >1取公共部分得:x >2.(2)当-2≤x ≤1时,x -1≤0,x +2≥0,原不等式等价于:(1-x )+(x +2)>5,得3>5,显然不成立.(3)当x <-2时,x -1<0,x +2<0,原不等式等价于:(1-x )-(x +2)>5,得:x <-3,与x <-2取公共部分得:x <-3.故原不等式的解集为:{x |x >2,或x <-3}.评述:当一个不等式中含有较多的绝对值符号时,常用定义来去掉绝对值符号.用定义去绝对值符号,实际上就是进行分类讨论.这时,一定要注意两点:一是分类要“不重不漏”,二是要对所分的类与该类的结果求交集,最后再把所求的各个交集并起来.因此在学习时,一定要注意用集合的思想、观点、方法去理解和解决不等式的有关问题.［例3］解不等式|2x +1|>3x -2.分析:解含绝对值的不等式的基本原则是去掉绝对值,转化为不含绝对值的不等式.通常有下面三种解题思路:(1)定义法:利用绝对值的定义,通过分类讨论的方法去掉绝对值符号;(2)公式法:|f (x )|>g(x )⇔f (x )<-g(x )或f (x )>g(x );|f (x )|<g(x ) ⇔-g(x )<f (x )<g(x );(3)平方法:|f (x )|>a (a >0) ⇔f 2(x )>a 2;|f (x )|<a (a >0) ⇔f 2(x )<a 2.解法一:（定义法）|2x +1|>3x -2或⎩⎨⎧->+≥+2312012x x x321321512132123)12(012<⇔-<<≤-⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<⎪⎩⎪⎨⎧<-≥⇔⎩⎨⎧->+-<+x x x x x x x x x x 或或 ∴原不等式的解集为{x |x <3}. 解法二:（公式法）|2x +1|>3x -2⇔2x +1>3x -2或2x +1<-(3x -2)⇔x <3或x <51 ⇔x <3.∴原不等式的解集为{x |x <3}. 解法三:（平方法）|2x +1|>3x -2⇔或⎪⎩⎪⎨⎧->+≥-22)23(12023x x x3323323235132320)23()12(32R02322<⇔<<≤⇔<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<≥⇔<⎪⎩⎪⎨⎧>--+≥⇔⎩⎨⎧∈<-x x x x x x x x x x x x 或或或故原不等式的解集为:{x |x <3}.评述:解不等式时,要做到小心细致,注重等价,分类讨论,着力转化.本例中的解法二运用了公式,避免了讨论,应予以重视.二、参考练习题 1.解下列不等式:(1)x 2-2|x |-3>0 (2)2-3x <|2x -1|解:(1)由x 2-2|x |-3>0⇔|x |2-2|x |-3>0 ⇔(|x |-3)(|x |+1)>0⇔|x |>3 ⇔x >3或x <-3.故原不等式的解集为{x |x <-3,或x >3}. (2)2-3x <|2x -1|⇔2x -1>2-3x 或2x -1<-(2-3x )⇔x >53或x >1⇔x >53.故原不等式的解集为{x |x >53}. 2.解不等式|x 2-9|≤x +3.解:|x 2-9|≤x +3⇔-(x +3)≤x 2-9≤x +3⎩⎨⎧≤≤-≥-≤⇔⎩⎨⎧≤--≥-+⇔43230120622x x x x x x x 或⇔2≤x ≤4或x =-3.故原不等式的解集是{x |2≤x ≤4,或x =-3}.3.解不等式|2x +1|+|x -2|>4.分析:解含多个绝对值符号不等式的方法之一是:分段讨论,将各段的解集并起来作为最后结果.解:|2x +1|+|x -2|>4⎩⎨⎧>-++>⎪⎩⎪⎨⎧>--+≤≤-⎪⎩⎪⎨⎧>--+--<⇔421224)2(122214)2()12(21x x x x x x x x x 或或⇔x <-1或1<x ≤2或x >2⇔x <-1,或x >1.故原不等式组的解集是{x |x <-1或x >1}. 4.解关于x 的不等式: (1)ax -2>3x +b (a ,b ∈R )(2)ax 2-(a +1)x +1<0,其中a >0 解:(1)原不等式为:(a -3)x >2+b . 当a -3>0,即a >3时,不等式解集为 {x |x >32-+a b}. 当a -3=0,即a =3时,若2+b <0,即b <-2时,不等式的解集为R ;若2+b ≥0,即b ≥-2时,不等式无解.当a -3<0,即a <3时,不等式解集为{x |x <32-+a b}. (2)∵a >0∴原不等式⇔(x -1)(x -a1)<0. 当a >1时,不等式的解集为{x |a1<x <1}.当0<a <1时,不等式的解集为{x |1<x <a1}.当a =1时,不等式的解集为∅.5.定义在R 上的减函数f (x ),如果不等式组⎩⎨⎧-+>-+>-+)1()13()2()1(22x kx f kx f k f x kx f 对任何x ∈［0,1］都成立,求k 的取值范围.解:原不等式组⎩⎨⎧-+<-+<-+⇔2211321x kx kx k x kx 在［0,1］内恒成立 ⎩⎨⎧<-+>++-⇔0220122kx x k kx x 在x ∈［0,1］内恒成立.[][][][].2112111,0)(1,0)(1,022)(1,01)(212221为所求上的最大值为负在上的最小值为正在上恒负在上恒正在<<-⇔⎪⎩⎪⎨⎧<->⇔⎩⎨⎧⇔⎪⎩⎪⎨⎧--=++-=⇔k k k x f x f kx x x f k kx x x f●备课资料一、参考例题［例1］解下列不等式:(1)(-3x +2)(4x +2)2(x -1)3(x -3)≤0. (2)29)3(x x x --≤0.分析:根据题型特点,可用“数轴标根法”求解.解:(1)∵不等式(-3x +2)(4x +2)2(x -1)3(x -3)≤0 ∴方程(-3x +2)(4x +2)2(x -1)3(x -3)=0的根为32,-21,1,3,这些根把数轴分为5个区间(如图所示).故原不等式的解集为: {x |x =-21或32≤x ≤1或x ≥3}. (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥+≠⇔≤--03309)3(2x x x x x x 30330)3(≠≥-<⇔⎩⎨⎧±≠≥+⇔x x x x x x 且或所以原不等式的解集为{x |x <-3或x ≥0且x ≠3}.评述:（1）解高次不等式时,如何“画线”是关键环节,因此,要十分重视“画线”的方法.一般地,在“画线”时应注意以下两点:①注意观察f (x )最高次项的系数,若系数为正,则从右上方开始切入,依次穿过各点;否则,从右下方开始切入,如例1中(1)题;②穿点时,遇到根对应的因式的指数为偶数时,则转弯;指数为奇数时,则直穿过轴.如例1中(1)题.（2）基本型不等式是将原不等式右边化为0,左边进行因式分解,将恒不为零的二次因式约去,同时保持各因式中x 的系数为正号,对于多重根的因式可先将偶次因式约去,单独考虑重根是否为不等式的解,如例1中(2)题.［例2］解下列不等式:(1)3x 2-2x -3<(271)x -1；(2)16x -22+2x+3<0；(3)lg(x 2-3x -4)-lg(x +5)≥lg2； (4)l o g 21x -8l o g x21+7>0. 分析:解指数与对数不等式的基本思路大体是:①可以考虑把不等式的两边化成同底数的幂或同底数的对数的形式,然后再根据指数函数、对数函数的单调性.把它化为代数不等式,但要注意对数不等式的真数大于零这一隐含条件.其解法模型是:当a >1时,a f (x )>a g(x )⇔f (x )>g(x )l o g a f (x )>l o g a g(x ) ⇔⎩⎨⎧>>)()(0)(x g x f x g当0<a <1时,af (x )>ag(x )⇔f (x )<g(x ) l o g a f (x )>l o g a g(x )⎩⎨⎧<>⇔)()(0)(x g x f x f②可以考虑令不等式中某一个简单的指数式或对数式为y ,把原不等式转化成关于y 的代数不等式,然后先对于y 解不等式,再通过y 来求出原不等式的解集.对于例2(1)中,右边可化为3-3x +3,再运用指数函数y =3x的单调性,将不等式转化为关于x的二次不等式.对于例3(2)中,可考虑y =4x,将原不等式转化为关于y 的二次不等式.对于例3(3)中要注意x 2-3x -4>0及x +5>0,为简化运算可将lg(x +5)移至不等式的右边.再运用对数运算法则及单调性.对于例3(4)中,要化为同底的形式,再考虑运用换元法.解:(1)原不等式等价于3x 2-2x -3<33-3x∵3>1 ∴x 2-2x -3<3-3x即有x 2+x -6<0⇔{x |-3<x <2} 故原不等式的解集为{x |-3<x <2}.(2)原不等式等价于42x -4·4x+3<0.令y =4x ,则有y 2-4y +3<0⇔1<y <3即1<4x<3 ∴0<x <l o g 43.故原不等式的解集是{x |0<x <l o g 43}.(3)原不等式等价于lg(x 2-3x -4)≥lg2(x +5)⎩⎨⎧->-≤≥⇔⎩⎨⎧>++≥--⇔52705)5(2432x x x x x x x 或⇔-5<x ≤-2或x ≥7故原不等式的解集为{x |-5<x ≤-2或x ≥7}. (4)原不等式等价于l o g 21x -x21log 8+7>0令y =l o g 21x ,则原不等式转化为y -y 8+7>0⇔yy y 872-+>0⇔y (y +8)(y -1)>0⇔-8<y <0或y >1，即-8<l o g 21x <0或l o g 21x >1，⇔1<x <256或0<x <21.故原不等式的解集是{x |1<x <256或0<x <21}. 评述:解指数不等式的思路是将其等价地转化为代数不等式,转化的方法主要有①利用指数函数的单调性;②利用换元法将原不等式转化为代数不等式.解对数不等式的关键是将其等价地转化为代数不等式,转化过程中要特别注意真数大于零底数大于零且不等于1这些隐含条件,同时考虑如何合理地运用对数函数的单调性及换元法完成转化工作.二、参考练习题 1.选择题(1)不等式6x 2+5x <4的解集为（）A.(-∞,-34)∪(21,+∞) B.(-34,21)C.(-21,43)D.(-∞,-21)∪(34,+∞)答案:B(2)a >0,b >0,不等式a >x1>-b 的解集为（） A.-b 1<x <0或0<x <a 1 B.-a 1<x a 1D.-a 1<x <0或0<x <b1答案:C (3)不等式11+x (x -1)(x -2)2(x -3)<0的解集是（） A.(-1,1)∪(2,3) B.(-∞,-1)∪(1,3) C.(-∞,-1)∪(2,3) D.R答案:B(4)若a >0,且不等式ax 2+bx +c <0无解,则左边的二次三项式的判别式（） A.Δ<0 B.Δ=0 C.Δ≤0 D.Δ>0 答案:C(5)A={x |x 2+(p +2)x +1=0,x ∈R },且R *∩A=∅,则有（） A.p >-2 B.p ≥0 C.-4-4 答案:B(6)θ在第二象限,cos θ=524+-m m ,sin θ=53-+m m ,则m 满足（）A.m <-5或m >3B.3<m <9C.m =0或m =8D.m =8答案:D(7)已知不等式l o g a (x 2-x -2)>l o g a (-x 2+2x +3)在x =49时成立,则不等式的解集为（） A.{x |1<x <2}B.{x |2<x <25}C.{x |1<x <25}D.{x |2<x <5} 答案:B (8)设0b 21B.l o g b (1-b )>1C.cos(1+b )>cos(1-b )D.(1-b )n <b n,n ∈N 答案:C(9)若不等式x 2-l o g a x <0在(0,21)内恒成立,则a 满足（） A.161≤a <1 B.161<a <1C.0<a ≤161D.0<a <161答案:A(10)不等式112+<-x x 的解集是（） A.［0,1］ B.［0,+∞］ C.(1,+∞)D.［-1,1］答案:A(11)不等式112)21(--<x x 的解集是（）A.∅B.(1,2)C.(2,+∞)D.(1,+∞)答案:D(12)不等式(x -1)2+x ≥0的解集是（）A.{x |x >1}B.{x |x ≥1或x =-2}C.{x |x ≥1}D.{x |x ≥-2且x ≠1}答案:B(13)函数f (x )=822--x x 的定义域为A ,函数g(x )=ax --11的定义域为B ,则使A ∩B=∅,实数a 的取值范围是（）A.{a |-1<a <3}B.{a |-2<a <4}C.{a -2≤a ≤4}D.{a |-1≤a ≤3}答案:D(14)关于x 的不等式22x a -<2x +a (a >0)的解集为（） A.(0,a ) B.(0,a ］ C.(0,+∞)∪(-∞,-54a ) D. ∅ 答案:B 2.填空题(1)不等式1≤|x -2|≤7的解集是 . 答案:［-5,1］∪［3,9］(2)不等式x1>a 的解集是 . 答案:a =0时x >0;a >0时,0<x <a 1;a <0时,x <a1或x >0(3)不等式lg|x -4|<-1的解集是 . 答案:{x |4<x <1041或1039<x <4} (4)不等式xb c-<a (a >0,b >0,c >0)的解集是 . 答案:{x |x b -ac}(5)若不等式43)1(22+++--x x a ax x <0的解为-1<x <5,则a = . 答案:4(6)函数f (x )=l o g 2(x 2-4),g(x )=2kx 2-(k <-1),则f (x )g(x )的定义域为 .答案:［2k -2)∪(2,+∞) 3.解下列不等式(1)(x +4)(x +5)2>(3x -2)(x +5)2；(2)1)3()4)(1(2+---x x x x ≤0；(3)45820422+-+-x x x x ≥3.解:(1)当x ≠-5时,(x +5)2>0,两边同除以(x +5)2得x +4>3x -2,即x <3且x ≠-5 ∴x ∈(-∞,-5)∪(-5,3)(2)当x ≠4时,原不等式⇔(x -1)(x -3)(x +1)≤0(x ≠-1) ⇔1≤x ≤3或x <-1,当x =4时,显然左边=0,不等式成立.故原不等式的解集为{x |1≤x ≤3或x <-1或x =4}.(3)原不等式可化为451820422+-+-x x x x -3≥00)4)(1()3)(2(0456522≥----⇔≥+-+-⇔x x x x x x x x∴x ∈(-∞,1)∪［2,3］∪(4,+∞).4.设不等式(2x -1)>m (x 2-1)对满足|m |≤2的一切实数m 的值都成立,求x 的取值范围.解:①若x 2-1=0,即x =±1,且2x -1>0,即x >21时,此时x =1,原不等式对|m |≤2恒成立; ②若x 2-1>0,要使1122--x x >m ,对|m |≤2恒成立,只要1122--x x >2,即⎩⎨⎧->->-22120122x x x 得1<x <231+. ③若x 2-1<0时,要使1122--x x <m ,对|m |≤2恒成立,只要1122--x x <-2,即 ⎩⎨⎧+->-<-22120122x x x 得271+-<x <1. 综合①②③得,所求x 的范围为271+-<x <231+.。

2019版高考数学总复习第六章不等式、推理与证明6.4基本不等式课件文

考向二
基本不等式的实际应用
[互动讲练型] [例 1] “节能减排，绿色生态”是当今世界各国所倡导，某公司在科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该公司每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间 1 2 的函数关系可近似地表示为：y＝2x －200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元． (1)该公司每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该公司每月能否获利？
[知识重温] 一、必记 3●个知识点 a＋b 1．基本不等式 ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号． a＋b (3)两个平均数： 2 称为正数 a，b 的算术平均数， ab称为正数 a，b 的几何平均数．
2．几个重要不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． a＋b 2 (2)ab≤ 2 (a，b∈R)． 2 2 a＋b a ＋ b 2 (3) 2 ≤ 2 (a，b∈R)． b a (4)a＋b≥2(a· b＞0)． a＋b a2＋b2 2 (5)1 1≤ ab≤ 2 ≤ 2 (a＞0，b＞0)． a＋b
解析：由基本不等式得 a＋b≥2 ab＝2，当且仅当 a＝b＝1 时 a＋b 1 2 1 取到等号；ab≤ ＝，当且仅当 a ＝ b ＝时取到等号． 2 4 2 1 答案：2 4
4 6．若 x>1，则 x＋的最小值为________． x－1
4 4 解析：∵x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5. x－1 x－1 4 当且仅当 x－1＝，即 x＝3 时等号成立． x－1 答案：5

高中数学中所有不等式解法汇总每题均含详细解析

高中数学中所有不等式解法汇总每题均含详细解析本文介绍了解简单不等式的几种方法，包括解二元一次不等式组、一元二次不等式、含绝对值的简单不等式、分式不等式和简单高次不等式。

其中，第一部分介绍了分数不等式的性质，包括两种情况下的大小关系。

第二部分介绍了“三个二次”的关系，即二次函数图象、一元二次方程的根和不等式的解集之间的关系。

第三部分介绍了解一元二次方程的三种方法，包括求根公式、因式分解法和配方法。

最后一部分介绍了解一元二次不等式的方法，包括统一处理二次项系数为正数，以及(x －a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法。

由y=x^2-3x-10的开口向上，可得x^2-3x-10>0的解集为(-∞,-2)∪(5,+∞)。

设集合M={x|x^2-3x-4<0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N等于[0,4)。

解析：因为M={x|x^2-3x-4<0}={x|-1<x<4}，所以M∩N=[0,4)。

已知不等式ax^2-bx-1≥0的解集是(3/2,3]，则不等式x^2-bx-a0，且Δ=b^2-4ac0，b<0，且0<b<3.综合可得x^2-bx-a<0的解集是(0,3)。

若关于x的不等式m(x-1)>x^2-x的解集为{x|1x^2-x的解集为{x|1<x<2}，所以1和2一定是m(x-1)=x^2-x的解，因此m=2.若一元二次不等式2kx^2+kx-8<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(-3,0]。

解析：因为2kx^2+kx-8<0对一切实数x都成立，所以2k<0，解得k∈(-∞,0)，又因为Δ=k^2-4×2k×(-8)<0，解得k∈(-3,0]。

设a为常数，∀x∈R，ax^2+ax+1>0，则a的取值范围是(0,4)。

解析：对于任意实数x，ax^2+ax+1>0，即Δ=a^2-4a<0，解得0<a<4.若不等式x^2-2x+5≥a^2-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)。

最全高中不等式解法

不等式的解法高考要求1．在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力；2．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式3掌握解指数、对数不等式的方法，一般来说，与解指数、对数方程的方法类似即：(1)同底法：能化为同底数先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底是参数时要注意对其进行讨论并注意到对数真数大于零的限制条件(2)转化法：多用于指数不等式，通过两边取对数转化为对数不等式（注意转化的等价性）(3)换元法：多用于不等式两边是和的形式，或取对数后再换元，并注意所换“元”的范围4掌握基本无理不等式的转化方法知识点归纳三、解不等式1．解不等式问题的分类(1)解一元一次不等式．(2)解一元二次不等式．(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式．①解一元高次不等式；②解分式不等式；③解无理不等式；④解指数不等式；⑤解对数不等式；⑥解带绝对值的不等式；⑦解不等式组．2．解不等式时应特别注意下列几点：(1)正确应用不等式的基本性质．(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性．(3)注意代数式中未知数的取值范围．3．不等式的同解性(1)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0f(x)0g(x)0·＞与＞＞或＜＜同解．⎧⎨⎩⎧⎨⎩(2)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0 f(x)0g(x)0·＜与＞＜或＜＞同解．⎧⎨⎩⎧⎨⎩ (3)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0 f(x)0g(x)0(g(x)0)＞与＞＞或＜＜同解．≠⎧⎨⎩⎧⎨⎩ (4)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0 f(x)0g(x)0(g(x)0)＜与＞＜或＜＞同解．≠⎧⎨⎩⎧⎨⎩(5)|f(x)|＜g(x)与－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0) (6)|f(x)|＞g(x) 与①f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)≥0)；②g(x)＜0同解(7)f(x)g(x) f(x)[g(x)]f(x)0g(x)0f(x)0g(x)02＞与＞≥≥或≥＜同解．⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎩(8)f(x)g(x)f(x)[g(x)]f(x)02＜与＜≥同解．⎧⎨⎩(9)当a ＞1时，a f(x)＞a g(x)与f(x)＞g(x)同解，当0＜a ＜1时，a f(x)＞a g(x)与f(x)＜g(x)同解．(10)a 1log f(x)log g(x)f(x)g(x)f(x)0a a 当＞时，＞与＞＞同解．⎧⎨⎩当＜＜时，＞与＜＞＞同解．0a 1log f(x)log g(x)f(x)g(x) f(x)0g(x)0a a ⎧⎨⎪⎩⎪4 零点分段法：高次不等式与分式不等式的简洁解法步骤：①形式：分母）移项，通分（不轻易去←>0)()(x Q x P ②首项系数符号>0——标准式，若系数含参数时，须判断或讨论系数的符号，化负为正③判断或比较根的大小题型讲解例1 不等式(1+x)(1-x )>0的解集是（） A ．{}10<≤x x B ．{}10-≠<x x x 且 C ．{}11<<-x x D ．{}11-≠<x x x 且解：(1+x)(1-x )＝0的解为x=1,x= -1(二重根) 画出数轴：+-+1-1x∴不等式(1+x)(1-x )>0的解集是{}11-≠<x x x 且另法：x=21和2-=x 显然属于原不等式的解集，所以选（D ）例2 解不等式x x x xx ≤---2322 解：由0)2)(1()1(23222≥-+-⇔≤---x x x x x x x x x其零点分别为：-1,0,1(二重),2 ，画出数轴如下：--2+-+1-1x由图知，原不等式的解集为(]{}()+∞-,210,1 例3 求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->x x x x x 22330的解集解法一：由题设x>0，xxx x +->+-2233，得033>+-x x ，即33<<-x ，30<<∴x ，原不等式组等价于（1）⎩⎨⎧+->+-≤<)3)(2()2)(3(20x x x x x ；（2）⎩⎨⎧+->+-<<)3)(2()2)(3(32x x x x x由（1）得20≤<x ，由（2）得62<<x ，故原不等式组解集为{}60<<x x解法二：由已知条件可知033>+-xx两边平方，原不等式组等价于 ()()[]()()[]600)6)(6(03223022<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-+>⇔+->+->x x x x x x x x x x 即原不等式组解集为{}60<<x x例4 解关于x 的不等式()[]())(0113R m x x m ∈>+-+解：下面对参数m 进行分类讨论：①当m=3-时，原不等式为x+1>0，∴不等式的解为1-<x②当3->m 时，原不等式可化为()0131>+⎪⎭⎫⎝⎛+-x m x 1031->>+m，∴不等式的解为1-<x 或31+>m x ③当3-<m 时，原不等式可化为0)1(31<+⎪⎭⎫⎝⎛+-x m x 34131++=++m m m，当34-<<-m 时，131-<+m 原不等式的解集为131-<<+x m ；当4-<m 时，131->+m 原不等式的解集为311+<<-m x ；当4-=m 时，131-=+m 原不等式无解综上述，原不等式的解集情况为：①当4-<m 时，解为311+<<-m x ； ②当4-=m 时，无解； ③当34-<<-m 时，解为131-<<+x m ； ④当m=3-时，解为1-<x ； ⑤当3->m 时，解为1-<x 或31+>m x 例5 已知f(x)，g(x)都是定义在R 上的奇函数，不等式f(x)>0的解集是(m ，n)，不等式g(x)>0的解集是⎪⎭⎫⎝⎛2,2n m ，其中20n m <<，求不等式0)()(>⋅x g x f 的解集解：∵f(x)，g(x)是奇函数，不等式f(x)>0的解集是(m ，n)，不等式g(x)>0的解集是⎪⎭⎫⎝⎛2,2n m ， ∴不等式f(x)<0的解集是()m n --,，不等式g(x)<0的解集是⎪⎭⎫⎝⎛--2,2n m 而不等式0)()(>⋅x g x f 等价于⎩⎨⎧>>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧<<0)(0)(x g x f ，所以其解集为()()⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛m n n m m n m n n m n m ,22,2,2,2,2, 例6 若不等式kx 2-2x+1-k<0对满足22≤≤-k 的所有k 都成立，求x 的取值范围解：原不等式可化为0)12()1(2<---x k x设)12()1()(2---=x k x k f )22(≤≤-k ，是关于k 的单调函数，根据题意有：⎪⎩⎪⎨⎧<---=<----=-0)12()1(2)2(0)12()1(2)2(22x x f x x f ，即⎪⎩⎪⎨⎧<-->-+0122032222x x x x 解得231271+<<+-x 点评：用换元、分离变量的方法在不等式的求解过程中比较常出现，也是解决含参数问题的重要方法例7 己知关于x 的不等式0)32()(<-++b a x b a 的解为)31,(--∞，求关于x 的不等式0)2()3(>-+-a b x b a 的解集解：)23()(a b x b a -<+，因其解集为)31,(--∞，,0>+∴b a 且3123-=+-b a a b ，从而,2b a =又,0,03>∴>=+b b b a将b a 2=代入0)2()3(>-+-a b x b a ，得3,03-<>--x b bx∴所求解集为)3,(--∞例8 己知不等式02>++c bx ax 的解集为}|{βα<<x x ，其中0>>αβ，求不等式02<++a bx cx 的解集解： βα, 为方程20ax bx c ++=的两根，(),(),b cb ac a a aαβαβαβαβ∴=-+=⇒=-+= ∴不等式02<++a bx cx 可化为2()0,a x a x a αβαβ-++>由己知条件得0<a 得2()10,x x αβαβ-++< 即01)11(2>++-αββαx x ，∴它的解集为}11|{β<>x a x x 或点评：根据解集的表示形式可以确定0<a例9 解不等式：（1）x x ->+33；（2）1212+≤-x x 解（1）原不等式与不等式组2)3(303x x x ->+≥-，或 0303<-≥+x x 同解，分别解不等式组得31≤<x 或3>x ，∴原不等式的解集为),1(+∞（2）原不等式与不等式组 22221)1(02101x x x x -≥+≥-≥+同解，解之得3222-≤≤-x 或220≤≤x ， ∴原不等式的解集为]22,0[]32,22[ --点评：一个无理不等式转化为两个不等式组还是转人为一个不等式组，这是解无理不等式的一个基本问题（1）中的第一个不等式组中可省去03≥+x ，（2）中的不等式组中则不可省去任何一个（1）的结果可从函数3+=x y 和x y -=3的图象上看出，让学生学会用图象法解不等式例10 设关于x 的二次方程01)1(2=++-+p x p px 有两个不等的正根，且一根大于另一根的两倍，求p 的取值范围解：由0)1(4)1(2>+--=∆p p p ，得33213321+-<<--p当0121>-=+p p x x 及0121>+=⋅pp x x 时，方程的两根为正，解之，得10<，并注意0>p ，得0116332>->+--p p p ，0852282<-+∴p p ，即021372<-+p p ，712<<-∴p 综上得p 取值范围为}710|{<p ，01>-p ，在不等式的转化过程中起了简化作用例11 解不等式)0(,0]1)1()1(2[log 22421><++-++a a a a ax x x x解：1)1()1(2224++-++x x x x a a a a >1, ∴ x x x x a a a a 224)1()1(2+-++>0,0112122222>-⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+xxa a a a , ∴ 12122->⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+xa a①当 0<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+122a a <1，即0<a<251+时，原不等式的解为)12(log122-<+a a x ;②当a>251+时，解集为{x|)12(log 122->+a a x }; ③当a=251+时，解集为R 小结：1一元一次不等式、一元二次不等的求解要正确、熟练、迅速，这是解分式不等式、无理不等式、指数不等式、对数不等式的基础带等号的分式不等式求解时，要注意分母不等于0，二次函数c bx ax y ++=2的值恒大于0的条件是0>a 且0<∆；若恒大于或等于0，则0>a 且0≤∆若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形2忽略对定义域的考虑以及变形过程的不等价，是解无理不等式的常见错误，因此要强化对转化的依据的思考3 数形结合起来考虑，可以简化解题过程，特别是填空、选择题，还可利用图形验证，解题的结果4解指数、对数不等式的过程中常用到换元法底数是参数时，须不重不漏地分类讨论化同底是解不等式的前提取对数也是解指数、对数不等式的常用方法之一，在取对数过程中，特别要注意必须考虑变量的取值范围当所取对数的底数是字母时，随时要把“不等号是否变向”这一问题斟酌再三5．解含参数的不等式时，必须要注意参数的取值范围，并在此范围内对参数进行分类讨论分类的标准要通过理解题意（例如能根据题意挖掘出题目的隐含条件），根据方法（例如利用单调性解题时，抓住使单调性发生变化的参数值），按照解答的需要（例如进行不等式变形时必须具备的变形条件）等方面来决定，要求做到不重复、不遗漏解不等式是不等式研究的主要内容，许多数学中的问题都可以转化为一个解不等式的问题，如函数的定义域、值域、最值和参数的取值范围，以及二次方程根的分布等因此解不等式在数学中有着极其重要的地位，是高考的必考内容之一学生练习1．不等式4x >x9的解集是（）A {x | x <－23或x >23} B {x | x >－23且x ≠23} C {x | －23<x <0或x >23} D {x | －23<x <23}答案: C2．不等式1622----x x x <0的解集是（） A {x |－2<x <3} B {x |x <－2或x >3} C {x |x >－2} D {x |x <3} 答案: B3．不等式1-x >x －3的解集是（）A {x |3≤x <5}B {x |3<x ≤5}C {x |1≤x <3或3<x <5}D {x |1≤x <5} 答案: D4．不等式1－lg (2x －1)>lgx 的解集是（）A {x |－2<x <25} B {x |0<x <25} C {x |21<x <25} D {x |x >21}答案: C5．不等式组⎩⎨⎧≥-≤--0)(0)5)(2(a x x x x 与不等式(x －2)(x －5)≤0同解，则a 的取值范围是（）A a >5B a <2C a ≤5D a ≤2答案: D 提示: 不等式组⎩⎨⎧≥-≤--0)(0)5)(2(a x x x x 的解是2≤x ≤5且x (x －a )≥0, 即要求x (x －a )≥0的解包含2≤x ≤5，∴ a <26．不等式x 2>－3的解集是（） A {x |x <－32} B {x |x <－32或x >0} C {x |x >－32且x ≠0} D {x |－32<x <0}答案: B7．不等式4x 33x 2--<2的解集是（）A {x |x >45}B {x |x <45或x >34}C {x |x >34}D {x |45<x <34}答案: B8．不等式ax 2＋ax ＋(a －1)<0的解集是全体实数，则a 的取值范围是（）A (－∞, 0)B (－∞, 0)∪(34,+∞) C (－∞, 0] D (－∞, 0]∪(34,+∞) 答案: C 提示: 不等式ax 2＋ax ＋(a －1)<0的解集是全体实数, ∴a =0时成立，当a <0时, 判别式△<0,得a <0时成立，∴a ∈(－∞, 0] 9．不等式log 31324-+x x <log 31(8－x )的解集是（） A {x |23<x <2或x >7} B {x |23<x <8} C {x |23<x <2或7<x <8} D {x |x <－4} 答案: C 提示: 324-+x x >0, 8－x >0且324-+x x >8－x , 解得23<x <2或7<x <8 10．若不等式f (x )≥0的解集是F , 不等式g (x )<0的解集是G ，则不等式组⎩⎨⎧≥<0)(0)(x g x f 的解集是A ()R C F GB ()RC F G C F ∪GD F ∩G 答案: B 提示: f (x )<0的解集是F , g (x )≥0的解集是R C G , ∴不等式组⎩⎨⎧≥<0)(0)(x g x f 的解集是()R C F G 11．不等式1-x <x －2的解集是（）A (－∞,255-)∪(255+,+∞)B (255-,255+) C (1,+∞) D (255+,+∞) 答案: D 12．解不等式ax 2＋bx ＋2>0得到解集{x |－21<x <31}，那么a ＋b 的值等于 A 10 B －10 C 14 D －14答案: D 提示: x 1＋x 2=－61, 13．不等式(x －3)(x ＋2)(5－x )>0的解集是答案: x <－2或3<x <514．不等式9 x＋2·3x +1－24>0的解集是答案: x >log 3 2 提示: 设3x =t , t 2＋6t －16>0, t >2或t <－8, ∴x >log 3 2 15．函数y =[lg (x 2－2x －2)]21-的定义域是答案: x <－1或x >3 16．设全集I =R ，集合M ={x |2x >2}, N ={x |log x 7>log 37}，那么M ∩R C N =答案: {x | x ≥3或x ≤－2}提示: M ＝{x | x >2或x <－2}, N ={x | 1<x <3}, ∴M ∩R C N = {x | x ≥3或x ≤－2}17．满足不等式5121<05 n <321的最小整数n 是答案: n =618．若0<a <1，则关于x 的不等式a 2x －1≤a (x －1)的解集是答案: x ≥－a1 提示: (a 2－a )x ≤1－a , ∵0<a <1, ∴a 2－a <0, x ≥－a 1 19．不等式a 1022--x x >105lga (a >0, a ≠1)的解集是答案: 当0<a <1时,－3<x <5; 当a >1时, x <－3或x >5提示: 105lga ＝a 5, 当0<a <1时,x 2－2x －10<5, ∴－3<x <5; 当a >1时, x 2－2x －10>5, ∴x <－3或x >520．不等式log sinx (x 2－9)>0的解集是答案: {x | －10<x <－π或3<x <π}提示: 0<sinx <1且0<x 2－9<1, ∴{x |－2π<x <－π或0<x <π或…}并且{x | －10<x <－3或3<x <10}, ∴{x | －10<x <－π或3<x <π}21．曲线x 2y －2x ＋y =0的最高点的坐标是答案: (1, 1)提示: △=4－4y 2≥0, y 2≤1, y max =1, 此时x =1, ∴最高点的坐标是(1, 1) 22．解关于x 的不等式a x -2<1+x 答案：当a ≤－2时，解集为空集；当a >－2时,2a ≤x <a ＋1 提示： 2x －a >0, x ＋1>0, 2x －a <x ＋1, ∴x >2a , x >－1, 当a ≤－2时,解得x <a ＋1<－1,矛盾；当a >－2时, 2a >－1， ∴2a ≤x <a ＋1 23．已知正三角形ABC 的三个顶点是A (－a , 0), B (a , 0), C (0, 3a )，其中a >0，连接AB 边上的点P (x , 0)及AC 边上的点Q 的线段PQ 把△ABC 的面积二等分,求|PQ |的最大值和最小值答案：最小值是2a ，最大值是3a 提示：|AP ||AQ |sin 60°= 3a 2, |AP |=x ＋a , ∴|AQ |=a x a +22 |PQ |2=(x ＋a )2＋(a x a +22)2－4a 2cos 60°≥2a 2, ∴|PQ |的最小值是2a ，再讨论函数的增减性，得当x =0或x =a 时,取得最大值为3a24 已知6<a <10, 2a ≤b ≤2a ,c =a ＋b , 则c 的取值范围是（） A 9≤c ≤30 B 9≤c ≤18 C 9<c <30 D 15<c ≤30 答案：C 提示： 23a <c <3a , ∴9<c <30 25 不等式6x 2 ＋5x <4的解集为（）A (－∞，－4/3)∪(1/2, +∞)B (－4/3, 1/2)C (－∞, －1/2)∪(4/3, +∞)D (－1/2, 4/3)答案：B 26 a >0, b >0, 不等式a >x 1>－b 的解集为（） A －b 1<x <0或0<x <a1 B x <－b 1或x >a 1 C －a 1<x <0或0<x 0 答案：B 提示：023≥--x x 的解是2<x ≤3, 0<x －2≤1的解也是2<x ≤328 不等式 12-x >x －2 的解集是（） A {x ｜1<x <5} B {x ｜21≤x <5} C {x ｜2≤x <5} D {x ｜x >2} 答案：B29 若f (x )=x 31, 则当x >1时，f (x ) f －1(x )(填>, <或=) 答案：<30 当0≤x ≤2时，f (x )=4327122x x ++-⋅+ 的最大值为 ;最小值为答案：－3；－11 提示：f (x )=4327122x x ++-⋅+＝2(2x －3)2－11, 当x =0时,最大值为－3，当x =log 23时,最小值为－1131 函数f (x )=log 2 (x 2－4), g (x )=22x k - (k <－1), 则f (x )g (x )的定义域为答案：[2k , －2)∪(2, +∞) 提示：x 2－4>0, 得x >2或x <－2, x －2k ≥0,得x ≥2k , ∴x ∈[2k , －2)∪(2, +∞)32 A ={x 023122≥++-x x x }, B ={x ｜x 2＋(a －5)x －5a <0}, 若A ∩B ＝{x ｜21≤x <5}, 则a 的取值范围是答案：[－21, 1]提示：A ={x | －1<x <－2)或x ≥21}, B ={x | －a <x <5}, ∴ －1≤－a ≤21, a ∈[－21, 1] 33 不等式x 2－22x －2<0的解集是答案：－1－3<x <1＋3 提示：x 2－22x －2<0,其中2x ＝|x |, 解得1－3<|x |<1＋3, ∴－1－3<x <1＋334 若x 、y ∈R , 且x 2＋y 2=1,则 (1＋xy )(1－xy )的最大值为 ;最小值为答案：1；43 35若二次方程x 2－2mx ＋4x ＋2m 2－4m －2=0有实根，则两根之积的最大值为答案：10＋46提示：x 2－2mx ＋4x ＋2m 2－4m －2=0有实根，∴△≥0, 解得－6≤x ≤6, x 1x 2=2m 2－4m －2, 当m =－6时, x 1x 2取最大值为10＋4636 解不等式：(x ＋4)(x ＋5)2>(3x －2)(x ＋5)2答案：x <－3且x ≠－5 37 解不等式：3451820422≥+-+-x x x x 答案：x ∈(－∞, 1)∪[2, 3]∪(4, +∞)38 解不等式：x x x 71215>--+ 答案：无解提示：有定义域知x ≥21, 当x ≥21时, 移项后两边平方得5x ＋1>7x ＋2x －1＋21x 2-x 7, ∴1x 2-x 7<1－2x , 1－2x <0, ∴原不等式无解 39解不等式：245x x --≥x 答案：(─5≤x ≤─1+14/2)两种解法，其一为数形结合 40解不等式1)1(22+-x x <)1(2+x x 解：x 2─1<x 12+x ,(1) x ≤─1, x ∈ϕ; (2)─1<x<0, x ∈(─3/3,0); (3)0≤x ≤1, x ∈[0,1], (4) x>1,x ∈(1,+∞) 综合得：x ∈(─3/3,+∞)41．在我国西部某一地区，有四个农庄A ，B ，C ，D 恰好坐落在边长为2km 的正方形顶点上，为发展经济，政府决定建立一个使得任何两个农庄都有通道的道路网，道路网由一条中心道及四条支道组成，要求各农庄到中心道的距离相等，（如图）（1）若道路网总长度不超过55km,试求中心道长的取值范围；（2）问中心道长为何值时，道路网的长度最短？解：(1)设中心道的长为2xkm,(0<x<1),依题意，2x+42)1(1x -+≤55,范围为[1/2,7/6](2)设y=2x+42)1(1x -+,y ≥2+23,此时，x=1─3/3, 中心长为2(1─3/3) 42．解关于x 的不等式：)22(223x x x x a --<-（其中a >0）解原不等式得：即),12()12(2222-<-x x x a0)14)(4(),14()14(4<--∴-<-x x x x x a a)0,(log ,14,104a a a x 此时不等式的解集为时当<<<<此时不等式无解时当,0)14(,12<-=x a)log ,0(,41,14a a a x 此时不等式的解集为时当<<>43 220,2a a a x x a <-≥+设且为常数，解不等式 ⎩⎨⎧≥+≥-⎪⎩⎪⎨⎧++>-≥+≥-002220022*******a x x a a ax x x a a x x a 或解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∴a a 22,22原不等式的解集为：课前后备注。

高一基本不等式题型及解题方法

高一基本不等式题型及解题方法不等式是数学中的重要概念之一，通过不等式可以描述数值之间的大小关系。

在高中数学中，学生将接触到基本不等式的概念和解题方法，这是数学学习的重要内容之一。

本文将介绍高一基本不等式的题型及解题方法，帮助学生更好地掌握不等式的知识。

一、基本不等式的概念在数学中，不等式是指两个数或表达式之间的大小关系。

基本不等式是指形如a < b、a > b、a ≤ b、a ≥ b这样简单的不等式，其中a和b是实数。

不等式的解集是所有满足不等式关系的实数集合。

在高一阶段，学生将学习不等式的基本性质、解法和应用。

掌握不等式的基本概念是解决各种不等式问题的重要基础。

二、不等式的解法不等式的解法主要有两种：代入法和图像法。

1.代入法代入法是解决不等式问题的常用方法，它的基本思想是根据题目的给定条件，找到合适的实数值代入不等式进行验证，从而确定不等式的解集。

例如，对于不等式3x + 5 > 1，可以通过代入x的不同取值进行验证。

找到一个合适的x值，使得3x + 5 > 1成立，这样就确定了不等式的解集。

2.图像法图像法是通过解不等式对应的方程，将不等式表示的数学关系用图像表示出来，从而直观地看出不等式的解集。

例如，对于不等式x + 2 ≤ 5，可以将不等式表示的数学关系用数轴上的图像表现出来，找出满足不等式关系的实数解。

通过代入法和图像法，可以有效地解决各种不等式问题，帮助学生更好地理解不等式的概念和解题方法。

三、常见的基本不等式题型在高一数学中，常见的基本不等式题型主要包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式等。

1.一元一次不等式一元一次不等式是指不等式中只有一个变量，并且变量的次数是一次的不等式。

解决一元一次不等式的关键是要找到不等式的解集，通常可以通过代入法或图像法来解题。

例如，解不等式2x - 3 > 5，可以通过将给定条件代入不等式进行验证，找到满足不等式关系的实数解。

高一数学不等式解法举例2(中学课件201910)

数轴标根法注意的几点：
1。分解因式后x的系数为正数； 2。准确的考察清楚各根是否在解集内； 3。这种解法同样适用于较复杂的分式
不等式。
例3：解不等式
(x 2)2 (x 1)3(x 1)(x 2) 0
本题若改为
(x 2)2(x 1)3(x 1)(x 2) 0
二.分式不等式
不等式解法举例（第二课时）高次与分式不等式
一.高次不等式
例1：解不等式
4x 5)(x2 x 2) 0
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勇冠戎夷不能保其首领以至诛戮夫二三子非慎始而保终也赞曰君子立功守以谦冲小人得位足为身害侯张凶险望窥圣代雄若韩彭难逃菹醢《旧唐书》後晋·刘昫等史籍选要 ○魏徵魏徵字玄成钜鹿曲城人也父长贤北齐屯留令徵少孤贫落拓有大志不事生业出家为道士好读书多所通涉见天下渐乱尤属意纵横之说大业末武阳郡丞元宝藏举兵以应李密召徵使典书记密每见宝藏之疏未尝不称善既闻徵所为遽使召之徵进十策以干密虽奇之而不能用及王世充攻密于洛口徵说密长史郑颋曰 "魏公虽骤胜而骁将锐卒死伤多矣；又军无府库有功不赏战士心惰此二者难以应敌未若深沟高垒旷日持久不过旬月敌人粮尽可不战而退追而击之取胜之道且东都食尽世充计穷意欲死战可谓穷寇难与争锋请慎无与战 "颋曰 "此老生之常谈耳 "徵曰 " 此乃奇谋深策何谓常谈？"因拂衣而去及密败徵随密来降至京师久不见知自请安辑山东乃授秘书丞驱传至黎阳时徐世勣尚为李密拥众徵与世勣书曰自隋末乱离群雄竞逐跨州连郡不可胜数魏公起自叛徒奋臂大呼四方响应万里风驰云合雾聚众

不等式的解法

不等式的解法学科：数学教学内容：6.4 不等式的解法【基础知识精讲】1.解不等式的差不多思想我们已学过的一元一次不等式、一元二次不等式的解法是学习本节的基础.在解其它类型的不等式时，通过转化，将它们等价变形为一次、二次不等式(组).转化思想为：假如不等式是超越不等式，则把它等价变形为代数不等式；假如代数不等式是无理不等式，则把它等价变形为有理不等式；假如有理不等式是分式不等式，则把它等价变形为整式不等式；假如整式不等式是高次不等式，则把它等价变形为一次、二次不等式(组).注意：每一步变形，都应是不等式的等价变形. 2.不等式的解法①一元一次不等式的解法一元一次不等式ax>b 的解集情形是：1°当a>0时，解集为｛x ｜x>a b ｝ 2°当a<0时，解集为｛x ｜x<ab｝3°当a ＝0时， b ≥0时，解集为φb<0时，解集为R.②一元二次不等式的解法：设a>0，x 1，x 2是方程.2注：当a<0时，可在不等式两边乘-1转化为二次项系数为正的情形，再按上表进行. ③高次不等式的解法：高次不等式用根轴法求解，其步骤是： 1°将f(x)的最高次项的系数化为正数. 2°将f(x)分解为若干个一次因式的积.3°将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次穿过每一个根点画曲线. 4°依照曲线显现出f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集. ④分式不等式的解法：先将不等式整理成)()(x g xf >0或)()(x g x f ≥0的形式，再转化为整式不等式求解. 即)()(x g x f >0⇔f(x)·g(x)>0 )()(x g x f ≥0⇔⎩⎨⎧≠≥•0)(0)()(x g x g x f⑤无理不等式的解法：转化为有理不等式求解.)(x f >g(x) ⇔⎩⎨⎧≥≥2)]x (g [)x (f 0)x (g 或⎩⎨⎧≥<0)x (f 0)x (g)(x f <g(x) ⇔⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥2)]([)(0)(0)(x g x f x f x g)(x f >)(x g ⇔⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥)x (g )x (f 0)x (f 0)x (g ⇔f(x)>g(x)≥0⑥指数不等式的解法. 1°同底法 af(x)>ag(x)⇔⎩⎨⎧>><<<)()(1)()(10x g x f a x g x f a 2°取对数法 af(x)>bg(x)⇔⎪⎩⎪⎨⎧<<<>>babax g x f a x g x f a log )()(10log )()(1 3°换元法⑦对数不等式的解法.1°同底法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧>>>⎩⎨⎧><<<⇔>0)()()(10)()()(10log log )()(x g x g x f a x f x g x f a x g ax f a 2°换元法3.本节学习要求(1)解各种变型的不等式，关键要把它们变形为一次、二次不等式(组).(2)求函数的定义域、值域、二次方程的根的分布、讨论参变量的取值范畴等均可化为解不等式的问题.通过本节学习，培养学生的运算能力，使学生明白得把握等价转化的致学思想方法. 【重点难点解析】知识的学习应遵循人类的认识规律和知识本身的渐近性、逻辑性.因此，建议同学们在学习本节时，应复习初中的一元一次不等式、一元二次不等式的解法，在此基础上，连续学习高次不等式、分式不等式、无理不等式、指数不等式及对数不等式的解法.例1 解关于x 的不等式：2)1(--x x a >1 (a ≠1)分析这是一个分式不等式，应先移项，再通分进行因式分解变形.切忌两边同乘以(x-2)而转化为整式不等式，因为(x-2)的正负未知.另外，注意对参数a 的正确的分类讨论.解：原不等式等价于2)2()1(----x x x a >0即为 2)2()1(----x a x a >0⇔ ［(a-1)x-(a-2)］(x-2)>0⇔ (a-1)(x-12--a a )(x-2)>0 ① 当a>1时，式①⇔ (x-12--a a )(x-2)>0 ∵ 12--a a -2＝-11-a -1<0∴1a 2a --<2. ∴ 原不等式的解集为(-∞，12--a a )∪(2,+∞). 当a<1时，式①⇔(x-12--a a )(x-2)<0 由 2-12--a a ＝1-a a知当0<a<1时，1a 2a -->2，则原不等式解集为(2，12--a a ) 当a ＝0时，原不等式(x-2)2<0，解集为φ.当a<0时，12--a a <2，则原不等式解集为(12--a a ,2). 综上所述：当a<0时，原不等式解集为(12--a a ,2) 当a ＝0时，原不等式解集为φ. 当0<a<1时，原不等式解集为(2，12--a a )当a>1时，原不等式解集为(-∞，12--a a )∪(2,+∞) 点评：本题需要两级分类，第一级按a>1和a<1分为两级，多数学生都能做到，在a<1的情形下，又要按两根12--a a 与2的大小关系分为a<0,a ＝0和0<a<1三类，这时就有许多学生找不到分类的依据，甚至缺乏分类讨论的意识.例2 解不等式222322xx x x -+-+<x 分析此题是分式不等式，可按分式不等式的解法求解.即需先移项通分，整理成)()(x g x f 0的形式，再转化为它们的整式不等式求解.解：移项整理，将原不等式转化为：)1)(3()1)(2(2+-++-x x x x x >0∵ x 2+x+1>0恒成立. ∴ 原不等式等价于)1)(3(2+--x x x >0解之，得原不等式解集为｛x ｜-1<x<2或x>3｝.注：此题也可用列表法或数轴标根法求解，但用根轴法更简捷. 例3 解不等式log 2)12(-x·log 21)22(1-+x >-2.分析此题为对数不等式，(可通过换元)，由log 21)22(1-+x ＝21log)]12(2[1x -+＝-1-log 2)12(-x，因此可通过换元令t ＝log 2)12(-x，则可转化为代数不等式求解.解：原不等式可化为： log 2)12(-x·［-1-log 2)12(-x］>-2令log 2)12(-x＝t,则上面不等式可化为：t(-1-t)>-2.即t 2+t-2<0即 (t+2)(t-1)<0 ∴ -2<t<1 从而有 -2<log 2)12(-x<1则 2-2<2x-1<2 即45<2x<3∴ log 245<x<log 23∴ log 25-2<x<log 23∴ 原不等式解集为｛x ｜log 25-2<x<log 23｝【难题巧解点拨】例1 关于x 的二次方程x 2+(m-1)x+1＝0在区间［0，2］上有解，求实数m 的取值范畴. 分析此题为含参的一元二次方程解的情形，可由二次方程的实根分布来解.则可设f(x)＝x 2+(m-1)x+1题意即为f(x)＝0在［0，2］上有解，其中包括两种情形：1°有一解，2°有两解.解：设f(x)＝x 2+(m-1)x+1 x ∈［0，2］，则： (1)f(x)＝0在区间［0，2］上有一解：因为f(0)＝1>0 因此只需f(2)≤0 即 4+2(m-1)+1≤0⇒m ≤-23 (2)f(x)＝0在区间［0，2］上有二解.则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤≤-⇒≤-≤≥0)2(12322100f m m △综上由(1)(2)可知：m ≤-1.例2 若关于x 的方程4x +a ·2x+a+1＝0有实数解，求实数a 的取值范畴?解法一：令t ＝2x (t>0)，则原方程化为t 2+at+a+1＝0(1)则问题转化为方程(1)在(0，+∞)上有实数解，求a 的取值范畴.由⎩⎨⎧≥0)1(0的较大根大于方程△ 即⎪⎩⎪⎨⎧>+-≥+-020)1(42△a a a解得：a ≤2-22解法二：令t ＝2x(t>0)，则原方程化为t 2+at+a+1＝0，变形为：a ＝-tt ++112＝-12)1(2++-t t＝-［(t-1)+12+t ］＝-［(t+1)+ 12+t -2］≤-(22-2)＝2-22例3 已知f(x)是定义在区间(-∞，4)上的减函数，是否存在实数m ，使得 f(m-sinx)≤f(m 21+-47+cos 2x)对定义域内的一切实数x 均成立.若存在，求出m 的取值范畴，若不存在，说明理由.解：假设存在实数m ，依题意得⎪⎩⎪⎨⎧--≥++-≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧+≥++-≤-22)21(sin 21214sin sin cos 47214sin x m m x m x x m m x m ∵sinx 的最小值为-1，且-(sinx-21)2的最大值为0，要满足题意，则须有： ⎪⎩⎪⎨⎧-=≥≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥++--≤-212330212114m m m m m m 或∴m 的取值范畴是｛m ｜m ＝21或23≤x ≤3｝【命题趋势分析】平常要求：1.按解各类不等式的解法来求解不等式. 2.含参的不等式问题，能对参数进行正确的分类讨论.3.应用不等式可求函数的定义域、值域、讨论函数的单调区间、讨论函数的一元二次方程根的存在和根的分布.【典型热点考题】例1 实数m 在什么范畴时方程x 2+(m-3)x+m ＝0的两根满足：(1)差不多上正根；(2)都在(0，2)内.解：(1)依题意，满足⎪⎩⎪⎨⎧>>-≥--=00304)3(2m m m m △时，即m ∈(0,1)时两根均为正.(2)设f(x)＝x 2+(m-3)x+m ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><<-≤≥⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><-<≥32031190)2(0)0(22300m m m m m f f m 或△⇒32<m ≤1，即m ∈(32，1)时，两根都在(0，2)内. 例2 关于实数x 的不等式｜x-21(a+1)2｜≤21(a-1)2与x 2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0 (a ∈R)的解集分别为A 和B ，求使A ⊆B 的a 的取值范畴.解：由｜x-21(a+1)2｜≤21(a+1)2得2a ≤x ≤a 2+1,∴A ＝｛x ｜2a ≤x ≤a 2+1,a ∈R ｝. 由x 2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0，可得(x-2)［x-(3a+1)］≤0，当3a+1≥2即a ≥31时，B ＝｛x ｜2≤x ≤3a+1 a ∈R ｝，当3a+1<2即a<31时，B ＝｛x ｜3a+1≤x ≤2 a ∈R ｝,∴当a ≥31时，若A ⊆B ，则有⎩⎨⎧+≤+≤131222a a a ，解不等式组得1≤a ≤3. 当a<31时，若A ⊆B ，则有⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≤+211221322a a a a a ，解不等式组得：a ＝-1，故使A ⊆B 的a 的取值范畴是｛a ｜1≤a ≤3或a ＝-1｝. 例3 设y ＝]1)(2[2122log +-+x x x b ab a (a>0,b>0)，求使y 为负值的x 的取值范畴.解：要y<0，只要a 2x +2(ab)x -b 2x >0，即b 2x［(b a )2x +2·(ba )x-1］>0, ∵b 2x>0,∴［(b a )x ］2+2(b a )x-1>0. 解那个关于(b a )x 的二次不等式得：(b a )x >2-1或(b a )x <-2-1，但(b a )x>0，∴只有(ba )x>2-1,∴当a ＝b>0时，x ∈R. 当a>b>0时，b a >1，两边取以b a 为底的对数，得x>)12(log -ba .当0<a0时，x ∈R.当a>b>0时，x ∈()12(log -ba,+∞).当0<a-3则x 的取值范畴是( ) A. -31<x<21 B .x>21C. x<-31 D. 0<x<21 2.函数y ＝)23(31log x -的定义域为( )A.｛x ｜x ≥-3｝B.｛x ｜-3≤x ≤23｝ C.｛x ｜1≤x ＜23D.｛x ｜x ≥-1｝ 3.与不等式xx --45≥0同解的不等式是( )A.(x-5)(4-x)≥0B.lg (x-4)≤0C.xx --45≥0 D.lg (x-5)≥0 4.设0<a<1，给出下面四个不等式： ①)1(2log +a a <)1(3log +a a②2a a >(2a )a③(2a )a >a a ④a a >2a a 其中不成立的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个5.已知方程mx 2-2(m+2)x+(m+5)＝0有两个不同的正根，则m 的取值范畴是( ) A.m<4 B.0<m<4C.m<-5或0<m<4D.m<-2或0<m<4 二、填空题6.不等式21x -≥x 的解集为 .7.不等式(31)82-x >3-2x的解集为 . 8.不等式lg )22(2++x x <1的解集为 .三、解答题9.若不等式49)1(220822+++++-m x m mx x x <0的解集为R ，求实数m 的取值范畴.10.解不等式lg )1(xx -<0AA 级一、选择题1.已知I ＝R ，集合M ＝｛x ｜20012000--x x ≤0,x ∈R ｝，N ＝｛x ｜(x-2000)(x-2001)≥0，x∈R ｝，P ＝｛x ｜10(x-2000)(x-2001)≥1，x ∈R ｝，则( )A.M ∩N ＝PB.M ∪P ＝NC.M ∩N ∪P ＝MD.M ∪N ∪P ＝R2.已知不等式x 2-4x+3<0① x 2-6x+8<0② 2x 2-9x+m<0③，要使同时满足①②的x 也满足③，则有( )A.m>9B.m ＝9C.m ≤9D.0<m ≤93.若函数f(x)＝)2(212log ++kx x 的值域为(-∞,+∞)，则实数k 的取值范畴是( )A.(-22，22)B.［-22,22］C.(-∞，-22)∪(22,+∞)D.(-∞,-22)∪［22,+∞］4.关于x 的不等式(k 2-2k+25)x <(k 2-2k+25)1-x的解集为( ) A.｛x ｜x<21｝ B.｛x ｜x>21｝C.｛x ｜x>2｝D.｛x ｜x<2｝ 5.若ax 2+bx+c>0的解集为｛x ｜x<-2或x>4｝，那么关于函数f(x)＝ax 2+bx+c 会有( ) A.f(5)<f(2)<f(-1) B.f(2)<f(5)<f(-1) C.f(-1)<f(2)<f(5) D.f(2)<f(-1)<f(5) 二、填空题6.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>≤-0492x x 的解集是 .7.不等式ax 2+bx+2>0的解集为(-21，31)，则a+b 的值是 . 8.4x(x+2)-8·32x >0的解集为 . 三、解答题9.已知A ＝｛x ｜5-x ≥21-x ｝B ＝｛x ｜x 2-ax ≤x-a ｝，当A ⊂B 时，求a 的取值范畴.10.设关于x 的二次方程px 2+(p-1)x+p+1＝0有两个不等的正根，且其中一根大于另一根的两倍，求p 的取值范畴.【素养优化训练】一、选择题1.假如不等式a x +≥x 的解集在数轴上构成长度为2a 的区间，则a 的值等于( ) A.1 B.2 C.3 D.42.设命题P:关于x 的不等式a 1x 2+b 1x+c 1>0与a 2x 2+b 2x+c 2>0的解集相同；命题Q ：21a a ＝21b b ＝21c c，则命题Q 是命题P 的( ) A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.设x 1<x 2…<x n ,n ∈N 且n ≥2.｛x ｜(x-x 1)(x-x 2)…(x-x n )>0｝⊃｛x ｜x 2-(x 1+x n )x+x 1x n >0｝，则n( )A.等于2B.是大于2的任意奇数C.是大于2的任意偶数D.是大于1的任意自然数4.在x ∈(31,3)上恒有｜log a x｜<1成立，则实数a 的取值范畴是( ) A.a ≥3 B.0<a ≤31C.a ≥3或0<a ≤31D.a ≥3或0<a<315.已知f(x)、g(x)差不多上奇函数，f(x)>0的解集为(a 2-b),g(x)>0的解集为(22a ，b)，则f(x)·g(x)>0的解集为( )A.(22a ,2b ) B.(-b,-a 2)C.(a 2, 2b )∪(-2b ,-a 2) D.(22a ,b)∪(-b 2,-a 2)二、填空题6.若关于x 的不等式组⎩⎨⎧>+->01a x ax 的解集不是空集，则实数a 的取值范畴是 .7.设函数f(x)＝122++x bax ,x ∈(-∞，+∞)的最大值为4，最小值为-1，则a 、b 的值为 .8.已知函数f(x)＝ax+2a+1的值在-1≤x ≤1时有正有负，则a 的取值范畴为 .三、解答题9.已知F(x)＝f(x)-g(x)，其中f(x)＝log a (x-b)，当且仅当点(x 0，y 0)在f(x)的图像上时，点(2x 0,2y 0)在y ＝g(x)的图像上.(b>0,a>0且a ≠1)(1)求y ＝g(x)的解析式. (2)当F(x)≥0时，求x 的范畴.10.汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车时还要连续向滑行一段距离才能停住，称这段距离为刹车距离，刹车距离是分析事故的一个重要因素，在一个限速为40千米/小时以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发觉情形不对时，同时刹车，但依旧相撞了.事故后，现场测得甲车的刹车距离是略超过12米，乙车的距离略超过10米，又已知甲、乙两种车型刹车距离s 米与车速x 千米/小时之间有如下关系：S 甲＝0.1x+0.01x 2，S 乙＝0.05+0.005x 2，问超速应负责任的是谁?答案：A 级1.D2.C3.B4.B5.B6.｛x ｜x ≤22｝ 7.｛x ｜-2<x<4｝ 8.｛x ｜-4<x<2｝ 9.解：∵x 2-8x+20＝(x-4)2+4>0恒成立，∴原不等式等价于mx 2+2(m+1)x+9m+4<0恒成立，则只须⎩⎨⎧<<00△m 即⎩⎨⎧<+-+<<0)49(4)1(402m m m m △，因此可得m ∈(-∞,- 21). 10.解：由对数函数的性质和定义知：0<x-x 1<1，即0<x x 12-<1,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-110122xx xx 即⎪⎩⎪⎨⎧<-->-0)1(0)1(22x x x x x ，当x>0时，有⎪⎩⎪⎨⎧<-->->0101022x x x x ，∴解集为｛x ｜1<x<251+｝,当x<0时，有⎪⎩⎪⎨⎧>--<-<0101022x x x x ,∴解集为｛x ｜-1<x<251-｝,∴原不等式解集为｛x ｜-1<x<251-｝∪｛x ｜1<x<251+｝. AA 级1.D2.C3.D4.A5.D6.［3，5］7.-148.｛x ｜x>23或x<-1｝ 9.解：A ＝｛x ｜1≤x ≤3｝，B ＝｛x ｜(x-a)(x-1)≤0｝，要使A ⊂B ，则只需a>3即可，故a 的取值范畴为a>3.10.解：方程有两不等正根的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧>>+>0002121x x x x △，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+>->+--=01010)1(4)1(2pp pp p p p △解得：0<p<332-1，证x 1＝p p p p 216312+----,x 2＝pp p p 216312+--+-，由x 2>2x 1并注意p>0得：31632+--p p >1-p>0,∴28p 2+52p-8<0，即7p 2+13p-2<0,∴-2<p<71,综上得p 的取值范畴为｛P ｜0<p<71｝. 【素养优化训练】1.B2.D3.C4.C5.C6.a>-17. ⎩⎨⎧==32b a 或⎩⎨⎧=-=32b a 8.-1<a<-319.解：(1)易知y 0＝log a)(0b x -，令2x 0＝u,2y 0＝v,则x 0＝2u ，y 0＝2v代入得v ＝2log a )2(b u-，又因为点(u 、v)在y ＝g(x)图象上，∴y ＝g(x)＝2log a)2(b x -.(2)F(x)＝f(x)-g(x)＝log a)(b x --2log a)2(b x-，由F(x)≥0得log a)(b x --2log a )2(b x-≥0①，当a>1时，不等式①等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->--≥-020)2(2b xb x b x b x ⇒⎩⎨⎧>≤+++-b x b b x b x 2044)44(22⇒⎩⎨⎧>+++≤≤+-+bx b b x b b 244224422⇒2b<x ≤2b+2+21+b .当0<a<1时，不等式①等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->--≤-020)2(2b xb x b x b x ⇒x ≥2b+2+21+b ，∴当a>1，2b<x ≤2b+2+21+b 时F(x)≥0，当0<a<1，x ≥2b+2+21+b 时，F(x)≥0.10.解：依题意⎪⎩⎪⎨⎧>+>+10005.005.01201.01.022乙乙甲甲x x x x ②① 由①解得x 甲<-40或x 甲>30，由②解得x 乙<-50或x 乙>40，∴乙车超速，应负事故的要紧责任.。

高一数学不等式讲解

高一数学不等式讲解一、教学任务及对象1、教学任务本节课的教学任务是以高一数学不等式为核心内容，使学生掌握不等式的概念、性质以及解不等式的方法。

通过讲解和练习，让学生理解不等式在现实生活中的应用，培养他们运用数学知识解决实际问题的能力。

同时，注重培养学生的逻辑思维能力和推理能力，提高他们对数学学科的兴趣。

2、教学对象本节课的教学对象是高中一年级学生，他们在初中阶段已经接触过简单的不等式，具备一定的数学基础。

但在高中阶段，不等式的难度和复杂性有所增加，需要学生具备更高层次的抽象思维和逻辑推理能力。

因此，在教学过程中，要充分考虑到学生的认知水平，因材施教，引导他们逐步掌握不等式的相关知识。

同时，激发学生的学习兴趣，使他们积极主动地参与到课堂教学中来。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解不等式的定义，掌握不等式的性质，包括传递性、加减乘除同向性、反向性等；（2）掌握一元一次不等式、一元二次不等式及高次不等式的解法，并能熟练运用到实际问题中；（3）掌握不等式组的解法，能够解决实际问题中的不等式组问题；（4）学会利用数轴和区间表示不等式的解集，以及在不同情况下求解不等式的方法；（5）培养逻辑思维能力和推理能力，提高解题技巧。

2、过程与方法（1）通过实例引入，使学生感受不等式在生活中的广泛应用，培养他们的数学应用意识；（2）采用问题驱动法，引导学生主动探究不等式的性质和解法，提高他们的自主学习能力；（3）运用对比、归纳、总结等方法，帮助学生掌握不等式的解题规律，提高解题效率；（4）鼓励学生进行合作学习，开展小组讨论，培养他们的团队协作能力和沟通能力；（5）通过课堂讲解、课后作业、习题课等多种教学形式，巩固所学知识，提高学生的数学素养。

3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，培养他们积极向上的学习态度；（2）通过不等式的学习，使学生认识到数学知识的严谨性和逻辑性，培养他们的科学精神；（3）引导学生关注生活中的数学问题，体会数学与实际的联系，增强数学应用的意识；（4）培养学生面对困难时的坚持和毅力，提高他们克服挫折的能力；（5）通过数学学习，引导学生树立正确的价值观，认识到知识的力量，激发他们追求卓越的精神。

专题6.4 基本不等式(原卷版)

第六篇不等式、推理与证明专题6.4 基本不等式【考纲要求】1. 了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【命题趋势】对基本不等式的考查，主要是利用不等式求最值，且常与函数、数列、解析几何等知识结合在一起进行考查.【核心素养】本讲内容主要考查逻辑推理、数学建模的核心素养【素养清单•基础知识】 1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．几个重要不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为 a ＋b2 ，几何平均数为 ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值，是 2p (简记：积定和最小)；(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值，是 p 24 (简记：和定积最大)．【真题体验】1.【2019年高考浙江卷】若，则“”是 “”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2.【2019年高考天津卷理数】设，则的最小值为__________．3.【2018年高考天津卷理数】已知，且，则的最小值为 .4. 【2018年高考江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D ，且，则的最小值为___________．5. 【2017年高考天津卷理数】若，，则的最小值为___________．【考法解码•题型拓展】考法一利用基本不等式求最值归纳总结:(1)利用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；二是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．【例1】 (1)已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23(2)已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为__________．(3)(2017·天津卷)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为__________．【例2】 (1)已知x ＞0，y ＞0且x ＋y ＝1，则8x ＋2y 的最小值为__________． (2)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． (3)已知x 为正实数，且x 2＋y 22＝1，则x 1＋y 2的最大值为________．考法二利用基本不等式解决实际应用问题归纳总结(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．【例3】 (2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________．考法三基本不等式的综合应用归纳总结(1)与函数、数列等知识交汇的最值问题：此类问题常以函数、数列等知识为载体，以基本不等式为研究工具，求解最值或取值范围．(2)求参数值或取值范围：对于此类题目，要观察题目特点，利用基本不等式确定相关关系式成立的条件，从而得参数的值或取值范围．【例4】 (1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c ＞0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2(2)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n 的最小值是__________． (3)已知函数f (x )＝4x ＋ax (x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝__________. 【易错警示】易错点忽视等号成立条件的一致性【典例】已知正数x ，y ∈R 且xy ≠0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2·⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2的最小值为__________．【错解】：因为x 2＋1y 2≥2|x ||y |，1x 2＋4y 2≥2×2|y ||x |，所以⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2·⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2≥2|x ||y |·2×2|y ||x |＝8.故所求的最小值为8.【错因分析】：本题在求解过程中分别两次使用基本不等式，但等号成立的条件却不相同，即等号不可能成立，因此最小值不可能是8，因而出错．【正解答案】：9【正解】：原式＝1＋4＋4x 2y 2＋1x 2y2≥1＋4＋24x 2y 2·1x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时，等号成立，所以最小值为9.误区防范：应用基本不等式解题时应注意的三点(1)利用基本不等式求最值的三个条件为“一正、二定、三相等”，忽视哪一个都可能致误． (2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．(3)对使用基本不等式时等号取不到的情况，应考虑使用函数y ＝x ＋mx (m ＞0)的单调性．【跟踪训练】已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝2，则⎝⎛⎭⎫1a ＋1⎝⎛⎭⎫1b ＋1的最小值为__________．【递进题组】1．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．42．已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，22－1) C ．(－1,22－1) D ．(－22－1,22－1)3．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件 4．若2x ＋4y ＝4，则x ＋2y 的最大值是__________．5．若直线l ：x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是__________．【考卷送检】一、选择题1．已知f (x )＝x ＋1x －2(x <0)，则f (x )的( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－42．《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b2≥ab (a ＞0，b ＞0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a ＞0，b ＞0) C.2aba ＋b ≤ab (a ＞0，b ＞0) D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)3．若a ≥0，b ≥0，且a (a ＋2b )＝4，则a ＋b 的最小值为( ) A. 2 B ．4 C ．2 D ．2 24．(2019·永州模拟)已知三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c sin B ＋bsin C ＝2a ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形 5．若正数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋1＋4b ＋1的最小值是( ) A ．1 B.94 C ．9 D ．166．(2019·南昌模拟)不等式x 2＋2x ＜a b ＋16ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2,0)B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C ．(－4,2)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞) 二、填空题7．设P (x ，y )是函数y ＝2x (x >0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为________．8．(2019·湖北八校联考)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当zxy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为________．9．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB ＝60°，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为________．三、解答题10．设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求a 2b ＋b 2c ＋c 2a 的最小值．11．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．12．某地需要修建一条大型输油管道通过240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为(x 2＋x )万元．设余下工程的总费用为y 万元． (1)试将y 表示成x 的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y 最小，其最小值为多少？13．若正实数x ，y 满足(2xy －1)2＝(5y ＋2)(y －2)，则x ＋12y 的最大值为( )A ．－1＋322B ．－1＋332 C ．1＋332 D ．－1－322。

6.4 不等式的解法

3 3 x1 = 1 − , x2 = 1 + , 3 3 所以原不等式的解集是 {x | 1 − 3 < x < 1 + 3 }. 3 3
(2)方法一原不等式即为16 16x (2)方法一 ∵原不等式即为16x2-8x+1≥0, 其相应方程为16x 其相应方程为16x2-8x+1=0, 16 Δ=(Δ=(-8)2-4×16=0,
解 (1) 原不等式等价于 (x ＋ 4)(x ＋ 5)2(x － 2)3>0 ⇔ x＋5≠0 x≠－5 ＋ ≠ ≠ ⇔ ，其解集如下图 (x＋4)(x－2)>0 x<－4，或x>2 －＋－，的阴影部分：的阴影部分：
∴原不等式的解集为 {x|x<-5，或-5<x<-4，或 x>2}． xx ， x ，．
f (x)g(x) ≥ 0 f(x) ⇔ ， ③g(x)≥0⇔ g(x) ≠ 0 f (x)g(x) ≤ 0 f(x) . ④ ≤0⇔ g(x) ≠ 0 ⇔
g(x)
5．绝对值不等式的解法．
)>g (1)|f(x)|>|g(x)|⇔ f2(x)>g2(x) ； ⇔ )>g )<－ (2)|f(x)|>g(x)⇔ f(x)>g(x)，或f(x)<－g(x) ； ⇔ )<f )<g (3)|f(x)|<g(x)⇔ －g(x)<f(x)<g(x) ； ⇔
6.4
要点梳理
不等式的解法自主学习
基础知识
1．一元一次不等式的解法．
一元一次不等式 ax>b(a≠0)的解集为：的解集为： ≠ 的解集为 (1)当 a>0 当 (2)当 a<0 当

第13课时§6.4不等式的解法举例(2)

2.不等式的解为A.x≤-2或3≤x≤4[ ]
B.x≤-2或3<x<4 C.x≤-2或3<x<4或x=1 D.x<2或3<x<4
3.下列不等式中与不等式同解的是[ ]
A.(x-3)(2-x)≥0 B.lg(x-2)≤0 C. D.(x-3)(2-x)>0
4.不等式 ≤0的解为；
5.解不等式（组）：① <1②
例题精讲：
例1.解不等式：(x2-x+1)(x2+5x+6)(x2-4x-5)＞0
例2.解不等式： ≤0
例3.解不等式：x(x-1)(x-2)2(x2-1)(x3-1)＜0
例4.解不等式： ≤0
随堂训练：
1.不等式(x2-4x-5)(x2+8)<0的解集是[ ]
A.{x|-1<x<5}B.{x|x<-1或x>5} C.{x|0<x<5} D.{x|-1<x<0}
（2，3）
(3,+∞)
x+1
x-1
x-2
x-3
(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)
2.序轴法解不等式
①等价转化不等式为一次因式乘积式且未知数系数为1——确定“零点”；
②在数轴上标出“零点”——“零点”分段；
③从油上方开始用波浪线见“零点”穿轴——画波浪线；
④确定不等式解集——大于不等式解集在x轴上方波浪线覆盖区间，小于不等式解集在x轴下方波浪线覆盖区间.
第13课时§6.4不等式的解法举例（2）
学习目标：①掌握高次不等式及可化为高次不等式的不等式解法；
②理解列表法和序轴法解不等式的原理，并熟练用于解高次不等式.

6.4不等式解法举例(2)名师课件

2 3

0
解：原不等式 ( x2 3x 2)( x2 2x 3) 0
将方程(x2-3x+2)(x2-2x-3)=0的根按照从小到大的顺序排列在
数轴上（如图），
○
○
○
○
-1
123
从图中可知，原不等式的解集为{x|-1<x<1,或2<x<3}.
提问、
x2 3x 2 (2) x2 2x 3 0
总结——根轴法
1、将根按照从小到大的顺序排列在数轴上。 2、从右到左，从上到下依次穿根。
★奇次重根，依次穿过；偶次重根，穿而不过。
3、数轴上方为正，下方为负，写出不等式的解集。
注意：1、各因式中x的系数必须为正。 2、该法适用于高次不等式和分式不等式。
例2.解不等式
x2 x2

3x 2x

例3、( x
x
3)(10 2( x 1)
x
)

0
x | x 0或0 x 1或3 x 10
例4、x 1 1 1 2x

x

|
1 2

x

2 3
例5、x( x 1)2( x 1)3( x 2) 0
x | 2 x 1或x 0
练习：
P19 1、2题
作业：解关于x的不等式 x( x - a) > 0(a ? R)
x- 2

6.4不等式的解法举例(2)— 分式与高次不等式例1、(x 1)( x 2)( x 1) 0
解：将方程( x 1)( x 2)( x 1) 0的根按照