条件概率全概公式
概率公式大全
概率公式大全概率公式大全（上篇）概率公式在概率论中起着非常重要的作用，它们用于描述随机事件的发生概率以及事件之间的关系。
本文将介绍一些常见的概率公式，帮助读者更好地理解和应用概率论。
1. 基本概率公式1) 事件的概率公式：在概率论中，事件的概率通常用P(A)表示，其中A表示一个事件。
事件A的概率可以用下述公式计算：P(A) = N(A) / N(S)其中，N(A)表示事件A发生的次数，N(S)表示样本空间S 中的总次数。
2) 样本空间的概率公式：当样本空间S的每个样本点发生的概率相同且为1/N(S)时，我们可以使用下述公式计算事件A的概率：P(A) = N(A) / N(S)这个公式在实际问题中应用广泛，是基本的概率公式之一。
2. 条件概率公式1) 条件概率的定义：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为A在B 条件下的条件概率，用P(A|B)表示。
条件概率的计算公式如下：P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)其中，P(A ∩ B)表示事件A与事件B同时发生的概率。
2) 乘法公式：乘法公式是条件概率的推广形式，用于计算两个事件同时发生的概率。
根据乘法公式，我们可以得到：P(A ∩ B) = P(A|B) * P(B)这个公式在计算复杂事件的概率时非常有用。
3. 全概率公式全概率公式用于计算一个事件发生的总概率，它假设事件发生的样本空间可以划分为若干个互斥事件。
全概率公式如下：P(A) = Σi P(A|Bi) * P(Bi)其中，Bi表示样本空间S的一个划分，P(A|Bi)表示在Bi条件下事件A发生的概率。
这个公式可以在一些复杂问题中计算事件发生的概率，非常实用。
4. 贝叶斯公式贝叶斯公式是条件概率公式的逆运算，用于通过已知的条件概率反推出相反的条件概率。
根据贝叶斯公式，可以得到：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。
条件概率公式与全概率公式
2021/3/27
CHENLI
9
推论2 在 A 与 B, A 与 B,A 与 B ， A 与 B这四对事件中,若 有一对独立,则另外三对也相互独立。
证明 不妨设A.B独立,则
P (A B ) P (A B ) P (A ) P (A) B P (A ) P (A )P (B ) P (A )1 ( P (B ) )P (A )P (B )
20课上练习小王忘了朋友家电话号码的最后一位故只能随意拨最后一个号求他至多拨三次由乘法公式设事件表示三次拨号至少一次拨通表示第i次拨通他只能随意拨最后一个号他连拨三次由乘法公式表示第i次拨通10件产品中有3件次品从中任取2在所取2件中有一件是次品的条件下设事件表示所取2件中有一件次品事件表示另一件也是次品
3
14 1 10 10 10
3. 5
2021/3/27
CHENLI
16
一般 B 1, ： ,B n为 设 的一个 A 为划 一分 事， 件
P(Bi
|
A)
P( P
AB (A
i
)
)
P(Bi )P(A| Bi ) P( A)
P(Bi )P(A | Bi )
n
P(BK )P(A | BK )
❖——贝叶斯(Bayes)公式
2021/3/27
CHENLI
2
例2 10个人为两张球票抽签，依次抽取，取后不 放回，若已知第一个人抽到球票，求第2个人也 抽到球票的概率。
解1：设A=“第一个人抽到球票”。 B=“第二个人抽到球票”。
1
则所求为
9
记为 P ( B A)
2021/3/27
CHENLI
3
定义P(： B| A)P(AB) P(A)
条件概率、全概公式、贝叶斯公式
P(AB 3 36 1 ) P(A| B) = = = 。 P(B ) 6 36 2 解法2: 解法 P(A| B) = 3 = 1。 6 2
在B发生后的 发生后的 缩减样本空间 中计算
设某种动物由出生算起活到20年以上的 例2: 设某种动物由出生算起活到 年以上的 概率为0.8，活到25年以上的概率为 年以上的概率为0.4。 概率为 ，活到 年以上的概率为 。问 现年20岁的这种动物 它能活到25岁以上的 岁的这种动物， 现年 岁的这种动物，它能活到 岁以上的 概率是多少？ 概率是多少？ 能活20年以上 能活25年以上 解:设A={能活 年以上 B={能活 年以上 设 能活 年以上}, 能活 年以上}, 所求为P(B|A) 。 所求为 依题意， 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4， ，
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。” 先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。 先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大
我们用A 表示“ 个人抽到入场券 个人抽到入场券” 我们用 i表示“第i个人抽到入场券”， i＝1,2,3,4,5。 ＝ 。 表示“ 个人未抽到入场券 个人未抽到入场券” 则 A “第i个人未抽到入场券”， 表示 i 显然，P(A1)=1/5，P( A)＝4/5， 显然， ， ， 1＝ 也就是说， 也就是说， 个人抽到入场券的概率是1/5。 第1个人抽到入场券的概率是 。 个人抽到入场券的概率是
乙两厂共同生产1000个零件，其中 个零件， 例3: 甲、乙两厂共同生产 个零件 其中300 件是乙厂生产的。而在这300个零件中，有189个 个零件中， 件是乙厂生产的。而在这 个零件中 个 是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这 个零件中任取一个， 是标准件，现从这 个零件中任取一个 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 零件是乙厂生产}， 设B={零件是乙厂生产 ， 零件是乙厂生产 A={是标准件 ， 是标准件}， 是标准件 所求为P(AB)。 。 所求为
1.3,1.4条件概率,全概率公式
C表示抽到的人有色盲症。
则
1 P( A) P( B) , P(C | A) 0.05, P(C | B) 0.0025 2
由Bayes公式有
P( A) P(C | A) 0.5 0.05 P( A | C ) P( A) P(C | A) P( B) P(C | B) 0.5 0.05 0.5 0.0025
2 1 3 2 2 , 5 4 5 4 5
P( A3 ) P( A3) P( A3 ( A1 A2 A1 A2 A1 A2 ))
P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 )
P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 )
i 1 n
全概率公式
证明 B B B ( A A A ) 1 2 n
BA1 BA2 BAn .
由 Ai A j ( BAi )( BAj ) P( B) P( BA1 ) P( BA2 ) P( BAn ) P( B) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 )
解
设Ａ表示取得一等品，Ｂ表示取得合格品，则
（1）因为100 件产品中有 70 件一等品，所以 70 P( A) 0.7 100 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以 （2）方法1： 70 P( A B) 0.7368 95 方法2：
条件概率、乘法公式、全概率公式
• 条件概率的定义与性质 • 乘法公式及其应用 • 全概率公式及其应用 • 条件概率、乘法公式、全概率公式的
联系与区别 • 案例分析
01
条件概率的定义与性质
条件概率的定义
条件概率是指在某一事件B已经发生的情况下，另一事件A发生的概率。数学上表示为P(A|B)，读作“在B 的条件下A的概率”。
总结词
应用乘法公式
详细描述
天气预报中经常使用概率模型来预测未来天 气情况。例如，预测明天下雨的概率是70%， 那么应用乘法公式可以计算出在明天下雨的 条件下，明天是阴天的概率是30%。
案例三：保险业务中的风险评估
总结词
利用全概率公式
详细描述
在保险业务中，全概率公式用于评估风险。例如，一辆 汽车在一年内发生事故的概率是0.01，那么可以根据全 概率公式计算出在1000辆汽车中，预计有10辆汽车会 发生事故。
条件概率的定义公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B) 表示事件B发生的概率。
条件概率的性质
非负性
01
P(A|B) ≥ 0，即条件概率不能是负数。
归一性
02
P(A|B) = 1 - P(¬A|B)，即条件概率满足归一化条件，其中¬A
05
案例分析
案例一：赌博游戏中的概率计算
总结词
理解条件概率
VS
详细描述
在赌博游戏中，条件概率是一个重要的概 念。例如，在掷骰子游戏中，如果已知前 一个骰子的点数，那么下一个骰子的点数 与此无关。这可以通过条件概率公式来描 述，即P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
案例二：天气预报的概率模型
条件概率、全概率、贝叶斯公式
杨鑫的数学课堂条件概率、全概率、贝叶斯公式、p(A|B)=P(A∩B)P(B)⇒p(A∩B)=p(A|B)×p(B)⇒p(A∩B)=P(B|A)×P(A)(1)p(A|B)=P(A∩B)P(B)=p(B|A)×P(A)p(B)(2)先举个例子，小张从家到公司上班总共有三条路可以直达（如下图），但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于路的远近不同，选择每条路的概率如下：p(L1)=0.5,p(L2)=0.3,p(L3)=0.2(3)每天上述三条路不拥堵的概率分别为：p(C1)=0.2,p(C2)=0.4,p(C3)=0.7(4)其实不迟到就是对应着不拥堵，设事件Ｃ为到公司不迟到，事件Li为选择第i 条路，则：p(C)=p(L1)×p(C|L1)+p(L2)×p(C|L)+p(L3)×p(C|L3) p(C)=p(L1)×p(C1)+p(L2)×p(C2)+p(L3)×p(C3)p(C)=0.5×0.2+0.3×0.4+0.2×0.7=0.36(5)全概率计算公式p(C)=p(L1)p(C|L1)······p(L n)p(C|L n)=n∑i=1p(L i)p(C|L i)(6)三、贝叶斯公式仍旧借用上述的例子，但是问题发生了改变，问题修改为：到达公司未迟到选择第１条路的概率是多少？0.5这个概率表示的是，选择第一条路的时候并没有靠考虑是不是迟到，只是因为距离公司近才知道选择它的概率，而现在我们是知道未迟到这个结果，是在这个基础上问你选择第一条路的概率，所以并不是直接就可以得出的。
故有：p(L1|C)=p(C|L1)×p(L1)p(C)p(L1|C)=p(C|L1)×p(L1)P(L1)×p(C|L1)+P(L2)×p(C|L2)+P(L3)×p(C|L3)p(L1|C)=0.2×0.50.2×0.5+0.3×0.4+0.2×0.7=0.28(7)1。
全概论公式
全概公式是概率论中的一个重要公式，它表示在一定条件下，一个随机事件A的概率等于其对立事件A的概率乘以一个常数加上事件A的概率。
具体地，如果事件A 的概率是P(A)，那么全概公式可以表示为：
P(A)=∑BP(B)P(A∣B)
其中，B是样本空间中与事件A有关的所有可能样本点，P(B)是样本点B发生的概率，P(A∣B)是在样本点B发生的条件下事件A发生的概率。
全概公式在概率论中有着广泛的应用，它可以用于计算复杂事件的概率，解决实际问题的概率分析和决策问题等。
例如，在赌博游戏中，全概公式可以帮助我们计算各种可能的赢率；在可靠性工程中，全概公式可以用于分析系统的可靠性和故障概率等。
需要注意的是，全概公式的前提条件是样本空间中每个样本点的发生概率非零，即P(B)>0。
如果存在样本点的发生概率为零，那么全概公式就不适用。
此外，全概公式的应用也需要根据具体问题进行适当的条件限制和假设检验，以确保结果的准确性和可靠性。
条件概率,全概率公式,贝叶斯公式
在实际问题中经常考虑在一个事 件发生的前提下另一个事件发生的概 率，这样就引入了条件概率的概念。 条件概率中同时考虑了两个事件， A与B． 在B发生的前提下考虑A发生的可能性的大小。 用记号P（A|B）表示。 合理的看法是P（A|B）与P（AB）成正比： 用公式表达如下 P（A/B）， P（A/B）=kP（AB） 因为P（B/B）=1=kP（BB）=kP（B） 所以k=1/P（B） 得到P（A/B）= 当然有P（B）>0. 上面作为条件概率的定义。 容易证明，条件概率也满足概率定义中三条公理 所以条件概率也是概率。 条件概率的运算规律与、普通概率完全一样。 特别有： 例1．4．2 设一批产品中一，二，三等品各占 60%，30%，10%。从中随意抽取一件， 发现不是三等品，求此产品不是一等品 的概率。 解： 设Ai表示“取出的产品是i等品“，i=1， 2，3， 则：
例.1.4.4。 解:
全概率公式与贝叶斯公式.
全概率公式是一个计算复杂事件的概率的公式:
其基本想法是样本空间的划分的概念. ,
全概率公式可以理解为各个条件概 率的一种平均值。（加权平均，权重为 各种可能的可能性大小）。
贝叶斯公式： 是一个计算复杂的条件概率的公式：
注意到上式的特点，贝叶斯公式也叫逆概公式。
通常条件概率不是通过定义计算的。 而是用其它方法计算（或者是直接给 出）。其中一种常用的方法是缩减样本空 间。
乘法公式： P（AB）=P（A/B）P（Bபைடு நூலகம்=P（B/A）P（A）
使用乘法公式的注意事项： 1． 先发生的当条件 2． 简单的当条件 3． 用问题中已经知道（或者容易计算的）的为条件。
例1．4．3 已知P（A）=0.6,P(C)=0.2,P(AC)=0.1, P(B|)=0.7,A,求 解:
概率论-1-5条件概率,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式
P ( B) P ( Ai )P ( B｜Ai )
i 1
1 1 1 2 1 1 8 3 5 3 5 3 15
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式.
2. 样本空间的划分及全概率公式
定义 设S为试验E的样本空间， B1 B1, B2,, Bn 为E的一组事件，若
注意P(AB)与P(A | B)的区别！ 请看下面的例子
例4 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中 300 件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是标准 件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂 生产的标准件的概率是多少？
解 设B={零件是乙厂生产}, A={是标准件}
PBi PA | Bi
i 1
当 n=2 时，划分 B1, B2 可写成划分 B, B ，于是 P( A) P(B)P( A | B) P(B)P( A | B))
3. 全概率公式的理解
n
PA PBi PA | Bi
i 1
全概率公式 .
全概率公式的基本思想 是把一个未知的复杂事 件
样本空间中的任一事件 A ,恒有
n
PA PBi PA | Bi
i 1
证明 因为 A AS AB1 B2 Bn
AB1 AB2 ABn
并且 ABi AB j , i j ,所以
PA PAB1 PAB2 PABn
P n
B1
P
A
|
B1
PBn PA | Bn
解 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3;
B ={取得红球}
12 3
其中 A1、A2、A3两两互斥 B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，
条件概率及全概率公式
求解如下: 设B={飞机被击落} Ai={飞机被i人击中}, i=1,2,3
则 B=A1B+A2B+A3B
由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)
+ P(A3)P(B |A3)
依题意，
P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1
为求P(Ai ) , 设 Hi={飞机被第i人击中}, i=1,2,3 可求得:
而且每一原因对结果的影响程度已知，
即 PB An 已知
则我们可用全概率公式计算结果发生的概率．
即求 PB
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例1 有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的. 其中甲厂产品占50%,乙厂产品占30%,丙厂产品占 20%,甲厂产品中正品率为95%,乙厂产品正品率为 90%,丙厂产品正品率为85%,如果从这批产品中随机 抽取一件,试计算该产品是正品的概率多大?
有可能结果构成的集合就是B，
B中共有3个元素，它们的出现是等 可能的，其中只有1个在集A中，
于是P(A|B)= 1/3. 容易看到
P(A|B) 1 1 6 P( AB) 3 3 6 P(B)
又如，10件产品中有7件正品，3件次品， 7件正品中有3件一等品，4件二等品. 现从这 10件中任取一件，记
例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点, 问“掷出点数之和不小于10”的概率是多 少解? : 设A={掷出点数之和不小于10}
B={第一颗掷出6点}
应用定义
解法1: P( A | B) P( AB) 3 36 1 P(B) 6 36 2
解法2: P( A | B) 3 1 62
PAnB PAn PB An
13条件概率全概公式贝叶斯公式
打破的概率是 7 ,若前两次未打破 , 第三次落下打
破的概率是
9
10 ,试求透镜落下三次未打破的概率 .
10
解 设 Ai 透镜第 i 次落下打破,i 1,2,3 ,
B 透镜落下三次未打破 ,则 B A1A2 A3 .
PB PA1A2 A3 PA1 PA2 | A1 PA3 | A1A2
1
1 2
1
7 10
1
9 10
3 200
.
本题也可以先求 PB ,再由 PB 1 PB 求得 PB .
由于 B A1 A1 A2 A1 A2 A3 并 , 且 A1, A1A2 , A1A2 A3 为两两不相容事件, 故有
PB PA1 A1A2 A1A2 A3
PA1 PA1A2 PA1A2 A3
PB1 PA | B1 PBn PA | Bn n
PBi PA | Bi
i 1
n
PA PBi PA | Bi
i 1
全概率公式 .
全概率公式的基本思想是把一个未知的复杂事件 分解为若干个已知的简单事件再求解 , 而这些简单 事件组成一个互不相容事件组 ,使得某个未知事件 A 与这组互不相容事件中至少一个同时发生 ,故在 应用此全概率公式时 ,关键是要找到一个合适的 S 的一个划分.
我们还可以从另一个角度去理解 全概率公式.
某一事件A的发生有各种可能的原因 ，如果A 是由原因Bi (i=1,2,…,n) 所引起，则A发生的概率是
P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi)
每一原因都可能导致A发生，故A发 生的概率是各原因引起A发生概率的总和， 即全概率公式.
由此可以形象地把全概率公式看成为“由原 因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“ 作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作 用”大小有关. 全概率公式表达了它们之间的关系
条件概率及全概率公式
1963.3条件概率及全概率公式教学要求本节要求学生正确理解条件概率的概念及其运算公式， 学会运用概率的乘法定理. 对于全概率公式不但要求能深刻理解其内在含义，而且要求学生会熟练运用此公式去解决实际问题. 要求学生掌握两个事件独立的概念，了解多个事件相互独立的条件.知识点1. 条件概率2. 概率的乘法定理3. 全概率公式4. 两个事件的独立性5. 多个事件的独立性 *6.贝叶斯(Bayes )公式 *7.贝努里(Bernoulli )概型3.3.1 条件概率在实际问题中, 除了要知道事件A 的概率P (A )外, 有时还需要知道在事件B 已发生的条件下，事件A 发生的概率, 这就是我们所要讲的条件概率, 将它记为P (A |B ).我们先通过一个例子来引入条件概率的概念. 掷一颗骰子, 观察其出现点数, 令事件A 表示“出现点数小于4”, 则P (A )=1/2, 如果已知事件B 表示“出现偶数点”, 且B 已发生, 这时只剩下三种可能, 即“2点”,“4点”或“6点”. 从而在B 已发生的条件下, A 发生的概率为P (A |B )=1/3, 注意P (B )=1/2, P (AB )=1/6, 此时有)()()()|(A P B P AB P B A P ≠=. 定义.设A ﹑B 是随机试验E 的二个事件, 且P (B )>0, 则称 )()()|(B P AB P B A P =为事件B 发生条件下事件A 发生的条件概率.不难验证, 条件概率P (A |B )也是一种概率, 它符合概率的三个条件. 由前面的条件概率的定义, 我们可以知道, 计算条件P (A |B )有两种方法: (1)在样本空间Ω的缩减后的样本空间ΩB (事件B 发生时的样本空间)上计算A 发生的（无条件）概率, 就可以得到P (A |B ).(2)样本空间Ω中, 先计算P (AB ) ﹑P (B ), 然后由定义公式求得P (A |B ).197例3.3.1 全年级100名学生中, 有男生(以事件A 表示)80人, 女生20人; 来自北京的(以事件B 表示)有20人, 其中男生12人, 女生8人; 免修英语的(用事件C 表示)40人中有32名男生, 8名女生. 试写出P (A )、P (B )、P (B |A )、 P (A |B ) 、P (AB )、P (C )、P (C |A )、)|(B A P 、P (AC ).解.根据题意有P (A )=80/100=0.8; P (B )=20/100=0.2; P (B |A )=P (AB )/P (A )=12/80=0.15; P (A |B )=P (AB )/P (B )=12/20=0.6 ;P (AB )=12/100=0.12; P (C )=40/100=0.4; P (C |A )=P (AC )/P (A )=32/80=0.4; )|(B A P )()(B P B A P ==15.08012=;P (AC )=32/100=0.32.例3.3.2 8个乒乓球中有5个新的，3个旧的. 第一次比赛时, 同时取出2个, 用完后放回去; 第二次比赛时又取出2个球, 求第一次取到1个新球的条件下, 第二次取到2个新球的概率.解. 设事件A =“第一次取到1个新球”;事件B =“第二次取到2个新球”.由于第一次比赛后, 球被放回去, 因此在A 已发生的条件下, 再取2个球时, 总球数仍为8. 但是, 因第一次比赛所用的一个新球已变成旧球，其新旧比例已变化为: 新球4个, 旧球4个, 所以所求的概率为: 143)|(2824==C C A B P . 由条件概率,我们可以得到概率的乘法定理及两个事件的独立性.3.3.2 概率的乘法定理由前面的条件概率的定义公式,可得到下面的定理.概率的乘法定理. 设A ﹑B 为随机试验E 中的两个事件,且P (B )>0,则有 P (AB )=P (A |B )P (B ).198这个公式称为概率的乘法公式. 同样地,概率的乘法公式还有另一种形式:若P (A )>0, P (AB )=P (B |A )P (A ).例3.3.3. 设在一盒子中装有4个蓝色球和6个红色球, 取球两次, 一次取1个, 取后不放回, 问两次都取到红球的概率是多少? 解. 设事件A =“第一次取到红球”, 事件B =“第二次取到红球” ∵ P (A )=6/10, P (B |A )=5/9,因此 P (AB )=P (B |A )P (A )=1/3.我们还可以将概率的乘法公式推广到3个事件的情形: P (A 1A 2A 3)=P (A 1)P (A 2|A 1)P (A 3|A 1A 2).我们已经学习了条件概率和概率的乘法定理,由此我们可以得到下面的全概率公式.3.3.3 全概率公式前面我们学习了条件概率和概率乘法定理，下面我们介绍一个重要的公式--全概率公式.定理(全概率定理). 如果事件A 1, A 2, …, A n 构成一个完备事件组, 且P (A i )>0,(i =1,2,…,n ). 则对任一事件B , 有 ∑==ni i i A A B P P B P 1)|()()(这个公式称为全概率公式.证明. A 1, A 2,…,A n 是一个完备事件组, 从而A i (i =1,2,…,n )是两两互斥的, 且P (A i )>0, 由于B 被分成n 个部分A i B (i =1,2,…,n )之和, 且A i B (i =1,2,…,n )也是两两互斥的, 于是 B A A B B ni i ni i ∑∑====11.由概率的可加性及概率乘法定理得到:∑∑====ni i ni i B A P B A P B P 11)()()(=∑=ni i i A A P B P 1)()|(.全概率公式应用较广, 它的基本思路是将一个比较复杂的事件分解成若干个较简单且199两两互斥事件的和, 即要找一个完备事件组, 然后利用概率的可加性及概率乘法定理来计算.例3.3.4 设袋中装有5件同样的产品, 其中3件正品, 2件次品, 每次从袋中取1件,无放回地连续取2次, 求第2次取到正品的概率.解. 设事件A 表示“第1次取到正品”, 则A 表示“第1次取到次品”；事件B 表示“第2次取到正品”．事件A A ,构成一个完备事件组, A B BA B +=(即第2次取正品的可能性是与第1次取到正品或次品有关).因A B BA , 互不相容, 则有)()()()(A B P BA P A B BA P B P +=+= )|()()|()(A B P A P A B P A P += =(3/5)×(2/4)+(2/5)×(3/4)=3/5.例3.3.5 某厂有甲﹑乙﹑丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总产量的25%﹑35%﹑40%. 各自的废品率为5%﹑4%﹑2%, 今从总产品中任取一件, 求所取出的产品为废品的概率.解．设A 1=“所取产品为甲车间生产的”; A 2=“所取产品为乙车间生产的”; A 3=“所取产品为丙车间生产的”; B =“所取产品为废品”. 则A i (i =1,2,3)构成一个完备事件组, 且P (A 1)=0.25, P (A 2)=0.35, P (A 3)=0.4, P (B |A 1)=0.05, P (B |A 2)=0.04, P (B |A 3)=0.02， 由全概率公式有∑==31)|()()(i i i A A B P P B P=0.25×0.05+0.35×0.04+0.4×0.02=0.0345.由全概率公式我们可以求出,从总产品中任取一件,其为废品的概率是0.0345；反之，若已知从总产品取出一件,其为废品,反过来求它是甲车间(或乙车间﹑丙车间)生产的可能有多大,即为我们后面要讲的贝叶斯公式.3.3.4 两个事件的独立性前面我们讨论了条件概率P(A|B), 一般说来P(A|B)≠P(A)即事件B的发生对事件A发生的概率是有影响. 但当P(A|B)=P(A), 即B的发生对A发生的概率没有影响,此时即说事件A独立于事件B, 此时由概率乘法定理得到P(AB)=P(A|B)P(B)=P(A)P(B). 由此我们可给出两个事件独立的定义.定义. 设A﹑B是试验E的两个事件, 若有P(AB)=P(A)P(B)则称事件A﹑B为相互独立的事件.由概率乘法定理, 容易得出: 当事件A独立于事件B时, 事件B也独立于事件A, 即独立是一个对称性概念.例如, 从具有次品的一批产品中，有放回的连抽取二次, 每次抽取一件. 这样,事件A(第一次抽得正品)的出现并不影响事件B(第二次抽得正品)的概率, 即事件A与事件B是相互独立的两个事件.定理. 设A﹑B是试验E的两个事件, 且有P(B) >0, 则A与B相互独立的充分必要条件为:P(A|B)=P(A).证明. 必要性. 若A﹑B相互独立,则当P(B)>0时,由概率乘法公 式有:P(B)P(A|B)=P(AB)=P(A)P(B)从而 P(A|B)=P(A).充分性. 若P(A|B)=P(A),由概率乘法公式有:P(AB)=P(B)P(A|B)=P(B)P(A)即A﹑B相互独立.在实际问题中, 往往是通过对问题性质的分析来判断事件间是否独立.例3.3.6 甲﹑乙两人同时射击某一目标．设甲击中目标的概率为0.8，乙击中目标的概率为0.5，求目标被击中的概率.解．设事件A=“甲击中目标”,事件B=“乙击中目标”,事件C=“目标被击中”.从题意可知： C=A+B,且200201P (C )=P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB ).由于甲﹑乙射击是相互独立的, 因此可以认为甲﹑乙互不干扰, 从而A 与B 是相互独立的.P (AB )=P (A )P (B )=0.8×0.5=0.4,所以 P (C )=0.8+0.5-0.4=0.9. 例3.3.7 试证A ﹑B 相互独立与以下每一条件等价:(1)事件A 与B 独立；(2)事件A 与B 独立；(3) 事件A 与B 独立.证明．我们在这里只证由A 和B 相互独立,推出A 与B 独立,对于其它情形,由两个事件独立的对称性,同样可以推出.若A 与B 相互独立,则P (AB )=P (A )P (B ).由概率的性质,得到: )(B A P =P (A -AB )=P (A )-P (AB )=P (A )-P (A )P (B )=P (A )(1-P (B )) =)()(B P A P . 故A 与B 相互独立. 此例的结论,我们可用下表来表示: 表3.3.1表中任意一种情形成立, 都可以推出其它情形成立.由两个事件的独立性的概念，我们可以推出多个事件的独立性.3.3.5 多个事件的独立性前面我们学习了两个事件的独立性的概念﹑定理, 由此我们可以给出三个事件的独立性的概念.定义. 若A ﹑B ﹑C 是随机试验E 中的三个事件, 满足下列条件:(1) P (AB )=P (A )P (B )； (2)P (BC )=P (B )P (C )；202(3) P (AC )=P (A )P (C )； (4)P (ABC )=P (A )P (B )P (C )。
条件概率与全概率公式教案
条件概率与全概率公式教案一、概述条件概率和全概率公式是概率论中非常重要的两个概念和公式，它们可以帮助我们解决很多实际问题。
二、条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率，一般用P(B|A)表示。
其中，P(B)是事件B发生的概率，P(A|B)是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(A∩B)是事件A和B同时发生的概率。
条件概率公式：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)。
三、全概率公式全概率公式是指如果将一个样本空间分成多个互不相交的事件B1、B2、...、Bn，并且这些事件构成一个完备事件组，即B1∪B2∪...∪Bn = S，那么可以用下面的公式来求解任意事件A的概率：P(A) = Σ P(Bi) P(A|Bi)，i = 1,2,3,...,n。
其中，P(Bi)是事件Bi发生的概率，P(A|Bi)是在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率。
四、实例优素福掷硬币游戏规则如下：有一组硬币，其中有两枚都是正面朝上，有两枚都是反面朝上，还有两枚是反正面朝上。
现在随机取出一枚硬币掷，结果是正面。
那么这枚硬币是正面朝上的概率是多少？解法：我们可以先用全概率公式来求出硬币掷出正面的概率，然后再使用条件概率公式来求出这枚硬币是正面朝上的概率。
设事件A表示硬币掷出正面，事件Bi表示取出的硬币是第i枚硬币。
则，完备事件组为B1、B2、B3，其中：B1：取出第一枚硬币；B2：取出第二枚硬币；B3：取出第三枚硬币。
所以，P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + P(B3)P(A|B3)。
根据题意，P(B1) = P(B2) = P(B3) = 1/3；P(A|B1) = 1/2；（第一枚硬币是正面的可能性为1/2）P(A|B2) = 1/2；（第二枚硬币是正面的可能性为1/2）P(A|B3) = 2/3。
（第三枚硬币是正面的可能性为2/3）代入公式，得到：P(A) = (1/3)×(1/2) + (1/3)×(1/2) + (1/3)×(2/3) = 5/9。
概率论 第四节条件概率 全概率公式
乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？
解 设事件A表示“取到的产品为正
B1, B2品, B”3 分，别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”
由已知 P(B1 ) 0.2, P(B2 ) 0.3, P(B3 ) 0.5
P( A B1 ) 0.95, P( A B2 ) 0.9, P( A B3 ) 0.8
当有了新的信息（知道B发生），人们对
诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计。 贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。
例8 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应。 由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、 0.90、0.80，三家产品数所占比例为2:3:5，混 合在一起。
（1）从中任取一件，求此产品为正品的概率； （2）现取到一件产品为正品，问它是由甲、
我们也称A ，B，C 是相互独立的事件。 定理 若事件A与B是相互独立的，则
A与B ,A与 B , A与 都B 是相互独立的。
例 3 一个均匀的正四面体,将第一面染成
红色,第二面染成白色,第三面染成黑色,第四
面同时染上红、白、黑三种颜色，如果以A、
B、C分别表示投掷一次正四面体时红、白、
黑颜色着地的事件，由于在四个面中两面上
冒病毒是相互独立的，则所求概率为
P1500 Ai 1 PA1A2 A1500
i1
1 PA1PA2 PA1 1 1 0.002 1500 1 e1500 ln 10.002
1 e15000.002 1 e3 0.95
从这个例子可见，虽然每个带有感冒病 毒的可能性很小，但许多聚集在一起时空气 中含有感冒病毒的概率可能会很大，这种现 象称为小概率事件的效应。卫生常识中,不让 婴儿到人多的公共场所去就是这个道理。
写出全概率公式和贝叶斯公式
写出全概率公式和贝叶斯公式
（1）全概率公式
全概率公式是概率统计学中的一种重要概率公式，它可以用来描述一
个随机事件B的条件概率，简称P(B|A)，即B发生的条件概率是多少，其公式为：
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)
其中：P(A∩B)代表A与B共同发生的概率，P(A)代表A发生的概率。
（2）贝叶斯公式
贝叶斯公式也叫条件概率公式，它是概率统计学中一种非常重要的概
率模型，它表示在已知条件下，某件事情发生的概率。
它的公式为：
P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)
其中：P(A|B)代表A在已知B的情况下发生的概率，P(B|A)即为全概
率公式中的P(A∩B)，P(A)代表A发生的概率，P(B)代表B发生的概率。
条件概率与全概率公式
B={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝
若已知出现的点数不超过3，求出现的点数是 奇数的概率
即事件 B 已发生，求事 件 A 的概率 Ｐ（Ａ｜Ｂ）
A B 都发生，但样本空间 缩小到只包含Ｂ的样本点
P( A | B) AB 2 B 3
ABA (AB ) B()(B )(n)
条件概率 Conditional Probability
所以 P(A) 1 P( A) 1 1 5 66
已知P（A）=0.3,P(B)=0.6,试在下列两种 情形下分别求出P(A-B)与P(B-A)
(1) 事件A,B互不相容 (2) 事件A,B有包含关系
解
(1) 由于 AB , 因此 A B A, B A B
P(A B) P(A) 0.3
P(B A) P(B) 0.6 (2) 由已知条件和性质,推得必定有 A B
P(A B) P() 0
P(B A) P(B) P(A) 0.3
考察甲，乙两个城市6月逐日降雨情况。已 知甲城出现雨天的概率是0.3, 乙城出现雨天 的概率是0.4, 甲乙两城至少有一个出现雨 天的概率为0.52, 试计算甲乙两城同一天出 现雨天的概率. 解 设A表示“甲城下雨”，B表示“乙城下雨”
第二节 随机事件的概率
概率论
集合论
样本空间（必然事件） Ω 全集
不可能事件 Φ
空集Φ
子事件 A⊂B
子集A⊂B
和事件 A∪B
并集A∪B
积事件 A∩B
交集A∩B
差事件 A-B
差集A-B
对立事件 A
补集 A
事件之间的运算律
交换律 A B B A AB BA
结合律 (A B) C A (B C) 分配律 A(B C) (AB) (AC)
条件概率与全概率公式
条件概率与全概率公式
条件概率和全概率公式是概率论中的两个重要概念，也是解决实际问题时常用的工具。
条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率；全概率公式则是用来计算某一事件发生的总概率，其中考虑了所有可能的情况。
条件概率的计算方法是根据贝叶斯定理得出的，公式为：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A
发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表
示事件B发生的概率。
全概率公式的计算方法是将一个事件分解为若干个互不相交的
子事件，然后分别计算这些子事件的概率，再将它们相加得到总概率。
全概率公式的表达式为：P(A) = ∑[P(A|B_i)×P(B_i)]，其中B_i
表示事件A的所有可能的子事件，P(A|B_i)表示在B_i发生的条件下，事件A发生的概率，P(B_i)表示B_i发生的概率。
条件概率和全概率公式在实际应用中经常用于解决复杂问题，如在医学诊断中，通过已知的临床表现和检验结果，利用条件概率计算某种疾病的概率；在市场调查中，通过对各种因素的分析，利用全概率公式计算某产品销售的总概率等。
熟练掌握条件概率和全概率公式，对于解决实际问题具有重要的意义。
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例如，掷一颗均匀骰子A＝{掷出2点}，
B={掷出偶数点}，P(A )=1/6，P(A|B)=？
已知事件B发生，此时试验所
有可能结果构成的集合就是B，
掷骰子
B中共有3个元素，它们的出现是
等可能的，其中只有1个在集A中，
于是P(A|B)= 1/3. 容易看到：
P(A B)116P(AB ) 3 36 P(B)
A与B , A 与 B , A与 都B 是相互独立的。
例 3 一个均匀的正四面体,将第一面染成
红色,第二面染成白色,第三面染成黑色,第四
面同时染上红、白、黑三种颜色，如果以A、
B、C分别表示投掷一次正四面体时红、白、
黑颜色着地的事件，由于在四个面中两面上
着红色，故 同理可知
PA 1
2
PBPC1
其 中 P ( F G ) 1 - P ( F ) P ( G ) 0 .9 3 7 5
代入得
P(W)0.782
二 、全概率公式 贝叶斯公式
全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算 比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公 式和乘法公式的综合运用.
综合运用
加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
95 94 5 0.046 100 99 98
3、 事件的相互独立性 对乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A) ，有的
问题中事件B发生的概率与事件A发生的条 件下事件B发生的概率是相等的，即
PB|APB,
相当于无条件概率，B是否发生与A无关，从 而
P ( A B ) P ( A ) P ( B |A ) P ( A ) P ( B )
2
P A B P A C P B C 1 P AB 1C
4
4
对以上三事件A、B、C，成立: P A B P A P B , P A C P A P C , P B C P B P C
但 P A B P A P B C P C 所以A、B、C三事件不是相互独立的,但它
例1 设某种动物由出生算起活到20岁以上的 概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4。如果 现在有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁 以上的概率是多少？
解 设A表示“能活到20岁以上”， B表示 “能活到25岁以上”则。BA, ABB
由已知 P (A ) 0 .8 , P (A) B P (B ) 0 .4 。
1e15000.002 1e3 0.95
从这个例子可见，虽然每个带有感冒病
毒的可能性很小，但许多聚集在一起时空气
中含有感冒病毒的概率可能会很大，这种现
象称为小概率事件的效应。卫生常识中,不让
婴儿到人多的公共场所去就是这个道理。
例5 下面是一个串并联电路示意图. A、B、 C、D、E、F、G、H都是电路中的元件.
此时称A与B是相互独立的。
对三个事件A，B，C，如果成立：
(1) P(AB) P(A) P(B) (2) P(AC) P(A) P(C) (3) P(BC) P(B) P(C) (4) P(ABC) P(A) P(B) P(C)
我们也称A ，B，C 是相互独立的事件。 定理 若事件A与B是相互独立的，则
故 P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (3)
例2 在100件产品中有5件是次品，从中连 续无放回地抽取3次，问第三次才取得次品 的概率。
解：设 表A i示“第i次取得次品”（i=1， 2，3）,B表示“第三次才取到次品”，则
B A1 A2A3
PBP A1A2A3 P A1 P A2 | A1 P A3 | A1A2
A、B互斥
乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A)
解 以 表A i示事件“第i个人带有感冒病毒” （i=1,2,…，1500），假定每个人是否带有感
冒病毒是相互独立的，则所求概率为
1500
P Ai
1PA1A2A1500
i1
1PA1PA2PA1
1 10.00215001e1500ln10.002
第四节 条件概率 全概率公式
一 、条件概率 乘法公式 二 事件的相互独立性
1、条件概率的定义 设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称
P(A|B)P(A)B 1
P(B) 为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率。
若事件B已发生，则为使A也发生,试验结果 必须是既在B中又在A中的样本点 , 即此点必属 于AB。由于我们已经知道B已发生,故B变成了 新的样本空间 , 于是有(1)式。
从而所求的概率为
P(BA)P(AB )0.40.5。 P(A) 0.8
2、 乘法公式 由条件概率的定义：P(A| B) P(AB)
P(B)
若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).
即若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2) 将A、B的位置对调，有
它若(们2P)可和(A计()3>算)0式两,则都个P称事(B为件A乘)同=法P时(公A发)式生P(,的利B|A概用)率 而 P(AB)=P(BA)
们是两两独立的。
对于多个随机事件，若 A1，A是2， 相互An独立
的，则n 个事件中至少有一个发生的概率为
PA 1A2 An
1PA 1A2 An
1PA 1A2 An1PA 1PA2 PAn
例4 若每个人的呼吸道中有感冒病毒的概率 为0.002,求在有1500人看电影的剧场中有感 冒病毒的概率。
它们下方的数是它们各自正常工作的概率。
求电路正ห้องสมุดไป่ตู้工作的概率。
A
0.95
B
0.95
C
0.70
D
0.70
E
0.70
F
0.75
G
0.75
H
0.95
解 将电路正常工作记为W，由于各元件独 立工作，有
P (W ) P (A )P (B )P (C D E )P (F G )P (H ) P (C D E ) 1 -P (C )P (D )P (E ) 0 .9 7 3