小升初数学衔接暑假班系列讲义第六讲：有理数的乘方与混合运算
有理数的乘方和混合运算
有理数的乘方和混合运算 【知识点一：有理数的乘方】求几个相同因数的积的运算叫做乘方．乘方的结果叫幂（power ）． 要点诠释：（1）、一般地，n 个a 相乘，即记作，其中a 叫底数，n 叫指数，叫做a 的n次幂或a 的n 次方，用图表示为：（2）、乘方的运算：乘方是利用乘法来定义的．乘方是乘法的特例，所以乘方的运算可以利用乘法的运算来进行． （3）、乘方运算的符号法则：①正数的任何次幂都是正数；②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；③任何一个数的偶次幂都是非负数，如．（4）、乘方的性质（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。
（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。
（5）、做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序： 1.先乘方，再乘除，最后加减； 2.同级运算，从左到右进行；3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。
巩固练习1、乘方的意义（1）在中，指数是____，底数是____。
（2）在中，指数是 ，底数是_____。
（3）在中，指数是________，底数是________。
2、有理数乘方180= =25 =-3)2( =31.0=-4)10( =-2)2.0( =-2)3.0( =-2)211(3、 有理数的混合运算=---1110)1()1( =-⨯-33)21(2 =-⨯-22)41(4=-÷-)10()10(33 =-÷-)5()5(22 222)4(52-⨯⨯-=4、(－2)6中指数为 ，底数为 ；4的底数是 ，指数是 ；523⎪⎭⎫⎝⎛-的底数是 ，指数是 ，结果是 ；5、根据幂的意义，(－3)4表示 ，－43表示 ；754.-⎛⎝ ⎫⎭⎪125b m6、平方等于641的数是 ，立方等于641的数是 ；【知识点二：有理数混合运算】有理数混合运算的运算顺序规定如下： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②同级运算，按照从左至右的顺序进行；③如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。
第六讲 有理数的应用-小升初数学衔接教材(人教版)
第六讲 有理数的应用知识1.掌握有理数的乘除乘方运算；2.掌握有理数的混合运算.方法1.能够正确计算有理数的乘除运算；2.能够正确计算有理数的混合运算.已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值等于2，求223ba cdx x +-+的值． 【答案】见试题解答内容【分析】根据a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值等于2，可以求得a+b ，cd ，x 的值，然后即可求得所求式子的值．【解答】解：∵a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值等于2， ∴a+b=0，cd=1，x=±2， 当x=2时，原式=23+1×22-0 =8+1×4-0 =8+4-0 =12；当x=-2时，原式=（-2）3+1×（-2）2-0 =-8+1×4-0 =-8+4-0 =-4，由上可得，原式的值为12或-4． 若a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，|m |=2，求代数式3223m cd ba +-+的值． 01课堂目标02例题精析利用有理数的性质求值题型一例1例2【答案】见试题解答内容【分析】直接利用相反数以及倒数和绝对值的性质分别分析得出答案． 【解答】解：∵a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，|m|=2， ∴a+b=0，cd=1，m=±2， 当m=2时， ∴原式=0-2+2×23 =14； 当m=-2时，∴原式=0-2+2×（-2）3 =--18，综上所述：代数式的值为14或-18．若a 、b 互为相反数，b 、c 互为倒数，并且m 是绝对值等于它本身的数．求bc m ba +++222值． 【答案】见试题解答内容【分析】利用相反数，倒数，以及绝对值的意义求出a+b ，cd ，m 的值，代入原式计算即可得到结果.【解答】解：由题意得：a+b=0，bc=1，m 为非负数，则原式=1.已知a 、b 互为相反数且a ≠0，c 、d 互为倒数，|m |是最小的正整数，求cdb a m -++2020)(20192的值．【答案】1或-3．【分析】先根据相反数的性质、倒数的定义和绝对值的性质得出a+b=0，cd=1，|m|=1，再分别代入计算即可．【解答】解：根据题意知a+b=0，cd=1，|m|=1， 当m=1时，原式=2×1+0-1=1； 当m=-1时，原式=2×（-1）+0-1=-3； 综上，原式的值为1或-3．变式1 变式2 定义新运算题型二对于有理数a 、b ，定义一种新运算“⊗”如下：a b ab b a 2-=⊗，则=-⊗-)43()3(____ ． 定义一种新运算“☆”，规则为：m ☆n =mn +mn -n ，例如：2☆3=23+2×3-3=8+6-3=11，解答下列问题：（1）（-2）☆4；（2）（-1）☆[（-5）☆2]． 【【【【☆1☆4☆☆2☆-27☆【分析】（1）根据m ☆n=m n +mn-n ，可以求得所求式子的值； （2）根据m ☆n=m n +mn-n ，可以求得所求式子的值． 【解答】解：（1）∵m ☆n=m n +mn-n ， ∴（-2）☆4=（-2）4+（-2）×4-4 =16+（-8）+（-4） =4；（2）∵m ☆n=m n +mn-n ， ∴（-1）☆[（-5）☆2]=（-1）☆[（-5）2+（-5）×2-2] =（-1）☆（25-10-2） =（-1）☆13=（-1）13+（-1）×13-13 =（-1）+（-13）+（-13） =-27．已知a ，b 为有理数，如果规定一种新的运算“☆”，规定：a ☆b =2b -3a ，例如：1☆2=2×2-3×1=4-3=1，计算：（2☆3）☆5=__________． 【答案】10．【分析】根据a ※b=2b-3a ，可以计算出所求式子的值． 【解答】解：∵a ※b=2b-3a ， ∴（2※3）※5 =（2×3-3×2）※5 =（6-6）※5例1例2变式1=0※5 =2×5-3×0 =10-0 =10，故答案为：10．规定一种新运算a *b =a -b 2，则4*[5*（-2）]=__________．【答案】3．【分析】根据a*b=a-b 2，可以求得所求式子的值 【解答】解：∵a*b=a-b 2， ∴4*[5*（-2）] =4*[5-（-2）2] =4*（5-4） =4*1 =4-12 =4-1 =3，故答案为：3．某天早上，一辆交通巡逻车从A 地出发，在东西向的马路上巡视，中午到达B 地，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶纪录如下．（单位：km ）第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 +15﹣8+6+12﹣4+5﹣10（1）巡逻车在巡逻过程中，第 次离A 地最远． （2）B 地在A 地哪个方向，与A 地相距多少千米？（3）若每千米耗油0.2升，每升汽油需7元，问这一天交通巡逻车所需汽油费多少元？变式2 有理数中的实际应用题型三例1【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据有理数的加法运算，分别计算出每次距A地的距离，可得离A地最远距离；（2）根据有理数的加法运算，可得正数或负数，根据向东记为正，向西记为负，可得答案；（3）根据行车就耗油，可得耗油量，再根据总价=单价×数量即可求解．【解答】解：（1）第一次距A地：15千米，第二次距A地：15-8=7千米，第三次距A地：7+6=13千米，第四次距A地：13+12=25千米，第五次距A地：25-4=21千米，第六次距A地：21+5=26千米，第七次距A地：26-10=16千米，26＞25＞21＞16＞15＞13＞7，答：巡逻车在巡逻过程中，第6次离A地最远；（2）15-8+6+12-4+5-10=16（千米），答：B地在A地东方，与A地相距16千米；（3）|+15|+|-8|+|+6|+|+12|+|-4|+|+5|+|-10|=60（千米），60×0.2=12（升），12×7=84（元）．答：这一天交通巡逻车所需汽油费84元．故答案为：6．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上变式1到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+15，-8，+9，-6，+14，-5，+13，-4．（1）B地位于A地的什么方向？距离A地多少千米？（2）若冲锋舟每千米耗油0.6升，油箱容量为30升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？（3）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远时，距A地多少千米？【答案】见试题解答内容【分析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则B地在A地的东方，若结果为负数，则B地在A地的西方；（2）先求出这一天航行的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需补充的油量；（3）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可．【解答】解：（1）∵15-8+9-6+14-5+13-4=28，∴B地在A地的东边28千米；（2）这一天走的总路程为：15+|-8|+9+|-6|+14+|-5|+13|+|-4|=74千米，应耗油74×0.6=44.4（升），故还需补充的油量为：44.4-30=14.4（升），答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充14.4升油；（3）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：15千米；15-8=7千米；7+9=16千米；16-6=10千米；10+14=24千米；24-5=19千米；19+13=32千米；32-4=28千米．∴冲锋舟离出发点A最远时，距A地32千米．汽油价格的毎一次调整影响着有车一族的汽车用油的费用．王旭驾驶的汽车毎一次都加92号汽油，例2他时刻关注92号汽油的价格变化.2018年12月20日92号汽油的价格为6.74元/升，下表是92号汽油价格在6.74元/升基础上连续七次调整的变化情况，其中在上一次价格的基础上涨价记为正数，降价记为负数，如表中的﹣0.12表示第四次调整是在第三次调整后的92号汽油价格基础上毎升降0.12元．调整次数第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次价格变化-0.30+0.27+0.27-0.12+0.18-0.05-0.10（1）在这七次调整中，哪次调整后92号汽油的价格最高，每升多少元？哪次调整后92号汽油的价格最低，每升多少元？（2）王旭一家在五一期间自驾游玩，他驾驶的汽车毎行驶100km耗油8升，如果在这次游玩中他驾驶的汽车一共行驶600km，92号汽油价格按第六次调整的价格计算，那么在这次游玩中王旭驾驶汽车的用油费用是多少元？【答案】见试题解答内容【分析】（1）求得这七次调整后92号汽油的价格，比较即可得到结论； （2）根据单位油价乘以总用油量，可得答案．【解答】解：（1）第一次价格：6.74-0.30=6.44（元）， 第二次价格：6.44+0.27=6.71（元）， 第三次价格：6.71+0.27=6.98（元）， 第四次价格：6.98-0.12=6.86（元）， 第五次价格：6.86+0.18=7.04（元）， 第六次价格：7.04-0.05=6.99（元）， 第七次价格：6.99-0.10=6.89（元），∵6.44＜6.71＜6.86＜6.89＜6.98＜6.99＜7.04，∴第五次调整后92号汽油的价格最高，每升7.04元，第一次调整后92号汽油的价格最低，每升6.44元；（2）600÷100×8=48（升）， 6.99×48=335.52（元），答：在这次游玩中王旭驾驶汽车的用油费用是335.52元．2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，市场上医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求，计划每天生产6000个，由于各种原因与实际每天生产量相比有出入，下表是三月份某一周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：个）．（2）与原计划产量比较，这周产量超产或减产多少个？（3）若口罩加工厂实行计件工资制，每生产一个口罩0.2元，则本周口罩加工厂应支付工人 的工资总额是多少元？【答案】（1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产500个； （2）这周产量超产500个；（3）本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是8500元．变式2【分析】（1）根据正负数的意义确定星期三产量最多，星期二产量最少，然后用记录相减计算即可得解；（2）求出一周记录的和即可求出这周产量超产或减产多少个；（3）求出一周记录的和，然后根据工资总额的计算方法列式计算即可得解． 【解答】解：（1）+300-（-200）=500（个）， （2）+150-200+300-100-50+250+150=500（个），（3）6000×7+（150-200+300-100-50+250+150）=42500（个）， 42500×0.2=8500（元），答：（1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产500个； （2）这周产量超产500个；（3）本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是8500元．第六讲 有理数的应用作业1.若a 与b 互为相反数，b 与c 互为倒数，并且m 的平方等于它本身，试求m bc m ba 3222-+++的值． 【答案】见试题解答内容【分析】直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案【解答】解：∵a 与b 互为相反数b 与c 互为倒数，并且m 的平方等于它本身， ∴a+b=0，bc=1，m=1或0； 当m=1时，则原式=0+1-3=-2； 当m=0时，则原式=0+1-0=1．2.已知：a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，m 的绝对值是2，求代数式222m mcdb a --+的值． 【答案】见试题解答内容【分析】根据题意可得，a+b=0，cd=1，m=±2，代入求解即可．作业一 利用有理数的性质求值【解答】解：由题意得，a+b=0，cd=1，m=±2， 分两种情况：（1）当m=2时，原式=29-；（2）当m=-2时，原式=27-1.对于有理数a ，b ，定义一种新运算“⊗”，规定a ⊗b =|a +b |-|a -b |．计算（-3）⊗2的值． 【答案】见试题解答内容【分析】根据a ⊗b=|a+b|-|a-b|，可以求得所求式子的值． 【解答】解：∵a ⊗b=|a+b|-|a-b|， ∴（-3）⊗2=|（-3）+2|-|（-3）-2| =1-5 =-4.2.定义一种新运算“⊗”，即m ⊗n =（m +2）×3-n ，例如2⊗3=（2+2）×3-3=9．根据规定解答下列问题： （1）求6⊗（-3）的值；（2）通过计算说明6⊗（-3）与（-3）⊗6的值相等吗？ 【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）分别计算出两式的值，即可做出判断． 【解答】解：（1）6⊗（-3）=（6+2）×3-（-3） =24+3 =27；（2）（-3）⊗6=（-3+2）×3-6 =-3-6 =-9，所以6⊗（-3）与（-3）⊗6的值不相等．作业二 定义新运算作业三有理数中的实际应用1.有10袋小麦，每袋以90kg为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如表：袋号12345678910重量（kg）+1+1+1.5-1+1.2+1.3-1.3-1.2+1.8+1.1（1）请通过计算说明这10袋小麦总计超过多少kg或不足多少kg？（2）若每千克小麦2.5元，求10袋小麦一共可以卖多少元？【答案】（1）超过5.4kg；（2）2263.5元．【分析】（1）“正”和“负”相对，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，把称重记录的数据相加，和为正说明超过了，和为负说明不足；（2）先求10袋小麦的总重量，即乘单价即可求解．【解答】解：（1）+1+1+1.5-1+1.2+1.3-1.3-1.2+1.8+1.1=5.4（kg）．故这10袋小麦总计超过5.4kg；（2）（90×10+5.4）×2.5=2263.5（元）．故10袋小麦一共可以卖2263.5元．2.在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+14，-9，+8，-7，+13，-6，+12，-5．（1）请你帮忙确定B地相对于A地的方位？（2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？（3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？【答案】见试题解答内容【分析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则B地在A地的东方，若结果为负数，则B地在A地的西方；（2）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可；（3）先求出这一天走的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需补充的油量．【解答】解：（1）∵14-9+8-7+13-6+12-5=20，∴B地在A地的东边20千米；（2）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：14千米；14-9=5千米；14-9+8=13千米；14-9+8-7=6千米；14-9+8-7+13=19千米；14-9+8-7+13-6=13千米；14-9+8-7+13-6+12=25千米；14-9+8-7+13-6+12-5=20千米．∴最远处离出发点25千米；（3）这一天走的总路程为：14+|-9|+8+|-7|+13+|-6|+12+|-5|=74千米，应耗油74×0.5=37（升），故还需补充的油量为：37-28=9（升）。
小升初 数学 暑假课14讲 第6讲 有理数(四)——有理数的乘除 讲义 备选
学生/课程年级小升初学科数学授课教师江老师日期时段核心内容有理数的乘除法及混合运算（第6讲）1．有理数的乘除法法则；2．有理数的乘法运算律；3．有理数的乘除法混合运算；【学习重难点】1．有理数的乘除法混合运算；2.有理数的乘法分配律【知识点汇总】1．有理数的乘法（1）有理数的乘法法则：两个数相乘，同号得__________，异号得__________，并把__________相乘；任何数与0相乘，都得__________；（2）倒数的定义：乘积为__________的两个数互为倒数．注意：①__________没有倒数；②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母__________即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为__________，再把分子、分母颠倒位置；③正数的倒数是__________，负数的倒数是__________；（即求一个数的倒数，不改变这个数的__________）④倒数等于它本身的数有__________个，分别是__________，注意不包括0．（3）有理数乘法的运算律：乘法交换律：两个数相乘，交换__________，积相等，即__________．乘法结合律：三个数__________，先把前两个数__________，或者先把后两个数__________，积相等，即（ab）c=__________．分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数__________，再把积__________，即a (b +c )=__________．（4）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．（5）几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．（6）任何数同1相乘仍得原数，任何数同–1相乘得原数的相反数． 2．有理数的除法（1）有理数除法法则：除以一个__________的数，等于乘这个数的__________．即a b ÷=__________． （2）从有理数除法法则，容易得出：两个数相除，同号得__________，异号得__________，并把__________相除．0除以任何一个__________的数，都得__________． 3．有理数的乘除混合运算（1）因为乘法与除法是同一级运算，应按__________的顺序运算．（2）结果的符号由算式中__________的个数决定，负因数的个数是__________时结果为正，负因数个数是__________时结果为负． （3）化成乘法后，应先约分再相乘．（4）有理数的乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．1．（1）正，负，绝对值，0（2）1，0，颠倒位置，假分数，正数，负数，符号，两，1和–1（3）因数的位置，ab =ba ，相乘，相乘，相乘，a （bc ），相乘，相加，ab +bc 2．（1）不等于0，倒数，1a b⨯（b ≠0）（2）正，负，绝对值，不等于0，0 3．（1）从左到右（2）负因数，偶数，奇数计算（–1）×（–31）=__________．例 1（–0.75）×（–79）×4×（–18）．两个有理数的商是正数，那么这两个数一定（ ）A ．都是负数B ．都是正数C ．至少一个是正数D ．两数同号四、有理数的加减乘除四则运算有理数的加减乘除四则运算：在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，应先算括号里面的．在同级别运算中，要按从左到右的顺序来计算，并能合理运用运算律，简化运算．计算：（1）)2(66-÷+-； （2）)12(60)4()3(-÷--⨯-；（3）)6()61(51-⨯-÷+-； （4）101411)2131(÷÷-.（5）)425()327261(-÷+-； （6）]51)31(71[1051---÷.例 2 例 3例 41．计算12–12×3的结果是A．0 B．1 C．–2 D．–1 2．若等式–2□（–2）=4成立，则“□”内的运算符号是A．+ B．–C．×D．÷3．计算（–1）×（–2）的结果是A．2 B．1 C．–2 D．–34．|–13|的倒数是A．13B．3 C．–13D．–35．–711的倒数是A．711B．−711C．117D．−1176．2×(–3)=__________．7．计算：1724()1312-⨯-+. ()717()369218-+⨯-.412()53⨯-÷．236(3)2(4)-⨯-+⨯-．（+36）÷（－4）; （－213）÷（－116）;1．12()2⨯-的结果是 A ．–4B ．–1C ．14-D ．322．计算：740(16) 2.54÷--÷= A ．–1.1B ．–1.8C ．–3.2D ．–3.93．下列各数中，与–2的积为1的是 A ．12B ．–12C ．2D ．–24．计算11(6)()666⨯-÷-⨯的值为A ．1B ．36C ．1-D ．+65．计算(1+14+56−12)×12时，下列可以使运算简便的是 A ．运用乘法交换律 B ．运用加法交换律 C ．运用乘法分配律D ．运用乘法结合律6．在–3，–2，–1，4，5中取出三个数，把三个数相乘，所得到的最大乘积是__________． 7．有三个互不相等的整数a 、b 、c ，如果abc =9，那么a +b +c =__________． 8．计算：103＋(310–815)÷(–720)． –1–(1–12)÷3×|3–9|． 12112()()3031065-÷-+-． (14+512–56)×(–60)．1．2的倒数是 A ．12B ．–2C ．−12D ．±122．2019的倒数的相反数是 A ．–2019B ．–12019C ．12019D ．20193．计算：（–3）×5的结果是 A ．–15B ．15C ．–2D ．24．如果6a =1，那么a 的值为A ．6B ．16 C ．–6 D ．–165．–2的相反数是__________；12的倒数是__________．课后练习1．－3的倒数是（ ）A. 13-B. 31C. －3D. 32．如果b a ＞0，c b＞0，则下列说法错误的是（ ）A. ac ＜0B. ab ＞0C. ac ＞0D. bc ＞0 3．下列说法错误的是（ ）A. 小于－1的数的倒数大于其本身；B. 大于1的数的倒数小于其本身C. 一个数的倒数不可能等于它本身D. （m －n ）（其中m ≠n ）的倒数是nm -14．下列说法正确的是A .几个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负B .几个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负C.几个有理数相乘，当积为负数时，负因数有奇数个D.几个有理数相乘，当负因数有偶数个时，积为负5．化简下列分数：(1)26--; (2)39--; (3)3-; (4)-ab--.6．计算:（1）29÷3×13; （2）(-35)×(-312)÷(-114)÷3;7.a、b、c为有理数．（1）如果ab＞0，a+b＞0，试确定a、b的正负；（2）如果ab＞0，abc＞0，bc＜0，试确定a、b、c的正负．8. 如下图所示，a，b，c在数轴上的位置，用“＞”“＜”“＝”填空.（1）a－c_______0； (2)b_______c； (3)ab______0； (4)abc______0.9. 判断题：(1)同号两数相乘，符号不变；（）(2)异号两数相乘，取绝对值较大的因数的符号；（）(3)两数相乘，如果积为正数，则这两个因数都为正数；（）(4)两数相乘，如果积为负数，则这两个因数异号；（）(5)两数相乘，如果积为0，则这两个数全为0；（）(6)两个数相乘，积比每一个因数都大. （）10.教室里一般都装日光灯来照明，已知每根灯管每小时的平均耗电量约为0.04千瓦•时（俗称为度）；而1度电（1千瓦•时）价格是0.75元；设教室每天平均开灯10小时．请计算并回答以下问题：（1）若每所中小学平均有30间教室，每间教室配有12根灯管，那么一所中小学所有教室一天的耗电量是多少千瓦•时？（2）成都市约有500所中小学；一年若按210个工作日（即上学时间）计，则每年全市中小学所有教室的照明电费约为多少元？。
有理数的乘方及混合运算
有理数的乘方及混合运算一、有理数的乘方 一）乘方的慨念边长为a 的正方形的面积是a·a ，棱长为a 的正方体的体积是a·a·a ． a·a 简记作a 2，读作a 的平方（或二次方）． a·a·a 简记作a 3，读作a 的立方（或三次方）．一般地，几个相同的因数a 相乘，记作a n ．即a·a ……a ． 这种求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在a n 中，a 叫底数，n 叫做指数，当a n 看作a 的n 次方的结果时，也可以读作a 的n 次幂．问题：1.在94中，底数是，指数是，94读作，或9的4次幂，它表示个相乘； 2.（－2）4的底数是，指数是，读作（或－2的4次幂），它表示． 思考：32与23有什么不同？（－2）3与－23的意义是否相同？其中结果是否一样？（－2）4与－24呢？（）2与呢？注意： 一个数可以看作这个数本身的一次方，例如5就是51，指数1通常省略不写．因为a n 就是n 个a 相乘，所以可以利用有理数的乘方运算来进行有理数的乘方运算． 二）、典型例题 例1：计算：（1）（－4）3； （2）（－2）4； （3）（－）5； （4）33； （5）232⎪⎭⎫⎝⎛；解：3523512因此，可以得出：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何非零次幂都是正数；0的任何非零次幂都是0．强调：乘方的意义，a n 表示n 个a 相乘的积．注意（－a ）n 与－a n •两者的区别及相互关系：（－a ）n 的底数是－a ，表示n 个－a 相乘的积；－a n 底数是a ，表示n 个a 相乘的积的相反数．当n 为偶数时，（－a ）n 与－a n 互为相反数，当n 为奇数时，（－a ）n 与－a n 相等．211、212……219；31、32……39.三）、当堂练习（1）在式子n a 中，a 叫做，n 叫做. （2）式子n a 表示的意义是.（3）从运算上看式子n a ，可以读作， 从结果上看式子n a ，可以读作. （4）你能根据乘方的概念填写下表吗？（5）你能指出4)3(-和43-、65⎪⎭⎫⎝⎛和265的异同．．吗？（从写法、读法、意义、结果上看）（6）将下列各式写成乘方（即幂）的形式：1） （–2.3）×（–2.3）×（–2.3）×（–2.3）×（–2.3）=2）=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-414141413）=⋅⋅⋅⋅ 个2014x x x x（7）计算.1）34 2）()51- 3）()310- 4）231-（（8）求下列各式的值并找规律.()=-23，()=-81，()=-52，=⎪⎭⎫⎝⎛-321.规律：当指数是数时，负数的次幂是数. 当指数是数时，负数的次幂是数.思考：正数的奇次幂是什么数？正数的偶次幂是什么数？0呢？二、有理数的混合运算一）、知识回顾1、我们已经学习了哪几种有理数的运算？2．有理数的运算循序是什么？ 1）．先乘方，再乘除，最后加减； 2）．同级运算，从左往右进行；3）．如果有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 二）、有理数的混合运算1、问题：下面的算式里有哪几种运算？3+50÷22×（－）－1这个算式里，含有有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算，按怎样的顺序进行运算？3+50÷22×（－）－1=3+50÷4×（－）－1=3+50××（－）－11515151415=3－－1 =－ 2、典型例题例1：计算：（1）. 2×（－3）3－4×（－3）+15；（2）.（－2）3+（－3）×[（－4）2+2]－（－3）2÷（－2）．分析：分清运算顺序，先乘方，再做中括号内的运算，接着做乘除，最后做加减．计算时，特别注意符号问题． 解：例2.计算： （1）、（-3）2×〔-32+（-95）〕 （2）、-14-〔（-2）3-4×（-1）5〕例3：观察下面三行数：－2，4，－8，16，－32，64，…① 0，6，－6，18，－30，66，… ② －1，2，－4，8，－16，32，… ③ （1）第①行数按什么规律排列？（2）第②、③行数与第①行数分别有什么关系？ （3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和．分析：（1）第行数，从符号看负、正相隔，奇数项为负数，偶数项为正数，•从绝对值看，它们都是2的乘方． 解：（1）第①行数是－2，（－2）2，（－2）3，（－2）4，（－2）5，（－2）6，…5212（2）对比①②两行中位置对应的数，你有什么发现？第②行数是第①行相应的数加2．即 －2+2，（－2）2+2，（－2）3+2，（－2）4+2，… 对比①③两行中位置对应的数，你有什么发现？ 第③行数是第①行相应的数的一半，即－2×0.5，（－2）2×0.5，（－2）3×0.5，（－2）4×0.5，…（3）根据第①行数的规律，得第10个数为（－2）10，那么第②行的第10个数为（－2）10+2，第③行中的第10个数是（－2）10×0.5． 所以每行数中的第10个数的和是： （－2）10+[（－2）10+2]+[（－2）10×0.5] =1024+（1024+2）+1024×0.5 =1024+1026+512=2562三、巩固练习1.331⎪⎭⎫⎝⎛-读作，其中底数是，指数是，结果是. 2.54表示（ ）A. 4个5相乘B. 5个4相乘C. 5与4的积D. 5个4相加的和 3. 下列计算中，正确的是（ ）A. 11-1-11=）（ B. 255-2= C. 2516542= D.41212=⎪⎭⎫ ⎝⎛- 4. 用乘方的意义计算下列各式：（1）42 （2）42- （3）3)5(- （4）7)1(- （5）332- （6）22.0222220,46,86,1618,..++++-−−→−−→-−−→-−−→5.在2+32×（-6）这个式子中，存在着种运算，这个式子应该先算、再算、最后算。
含有理数的乘方的混合运算ppt课件
(2)(2)3与23 的 区 别(2， )3 (2)(2)(2),33ຫໍສະໝຸດ 3 33323 222. 33
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
• 要做好有理数的混合运算，应按照有理数 混合运算的顺序进行，即：
2、计算
117 8 2 4 3
232 50 22 1 1
10
3
1
2 3
0 .5
2 3
1
1 9
4 1 1 1 0 .5 4 3
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
有理数的混合运算顺序：
(1)先算乘方，再算乘除，后算加减； (2) 同级运算按从左到右的顺序行； (3) 如果有括号，就先算小括号的， 再算中括号里的，然后算大括号里的.
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
观察: 下面算式中含有哪几种运算?
第二级运算
乘除运算
35022 151
第一级运算
加减运算
乘方运算 第三级运算
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
例3计算:
(1)2 ×(-3)3-4 ×(-3)+15; (2)(-2)3 ×[(-4)2+2]-(-3)2 ÷(-2)
有理数-有理数乘方以及混合运算
【有理数】【有理数的乘方】➢有理数的乘方的概念1、乘方含义：这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
形式：读法：a的n次方或a的n次幂；2、乘方法则（根据有理数乘法法则）（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；3、乘方结果的正负号判断：“一看底数，二看指数”；要准确识别乘方运算中的底数；二、有理数的混合运算（1）含义：算式中含有有理数的加、减、乘、除、乘方等多种运算，称之为有理数的混合运算；（2）混合运算顺序：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②同级运算，按照从左往右的顺序进行；③如果有括号，先算小括号里的，再算中括号里的，然后算括号里的；进行分数的乘除运算时，一般要把带分数转化为假分数，把除法转化为乘法；【基础练习】2．填空：(-的底数是，指数是，结果是；（1）2)3（2）2)3(--的底数是 ，指数是 ，结果是 ；（3）23-的底数是 ，指数是 ，结果是 。
（4）=-3)2( ；=-3)21( ；=-3)312( ；=30 ； （5）=-n 2)1( ；=-+12)1(n ；=-n 2)10( ；=-+12)10(n 。
（6）=-21 ；=-341 ；=-432 ；=--3)32( . 3一个数的平方等于它本身，则这个数一定是（ ）A. 0B. 1C. 0或1D. ±14、 一个数的立方等于它本身，则这个数是（ ）A. 1,－1B. －1,0C. 0,1D. 1,－1,05、不超过3)23(-的最大整数是（ ） A. –4 B. –3 C. 3 D. 46、最大的负整数的2005次方与绝对值最小的数的2006次方的和是( )A. －1B. 0C. 1D. 27、已知8.62＝73.96，若x 2＝0.7396，则x 的值等于（ ）A. 86. 2B. 862C. ±0.862D. ±8628、 a 是最大的负整数，b 是绝对值最小的有理数，则a2007＋b 20092008＝（ ） A. －1B. 0C. 12008D. 20079、（1）=-⨯-20042003)5.0()2(__________；（-2）100+（-2）101= . （2）（13-15）×52÷|-13|+（-15）0+（0.25）2003×42003（3）（－3）×（－2）3＋（－6）2×（－19）（4）（－1）2×5＋（－1）×52－12×5＋（－1×5）2（5）－14－（1－0.5）×13×［2－（－3）2］10、观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256……通过观察，用你所发现的规律写出811的末位数字是（ ）A. 2B. 4C. 6D. 811、已知a n ＝（－1）n ＋1，当n ＝1时，a 1＝0；当n ＝2时，a 2＝2；当n ＝3时，a 3＝0；… 则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6的值为__________。
有理数的乘除乘方及混合运算讲义
有理数的乘除【知识点回顾】有理数的分类，有理数的加减法，绝对值与相反数【知识点介绍】 （一）有理数的乘法（1）两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。
任何数与0相乘仍得0.（2）如果两个有理数的乘积为1，那么称其中一个数是另一个数的倒数，也称这两个数互为倒数。
（3）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。
负因数的个数是奇数时，积的符号为_______；负因数的个数是偶数时，积的符号为_______。
积的绝对值等于各个因数的绝对值的_______。
（4）乘法交换律_________________________________________。
乘法结合律_________________________________________。
乘法对加法的分配律_________________________________。
【例题精讲】1．下列算式中，积为正数的是（ ） A ．（－2）×（＋21） B ．（－6）×（－2） C ．0×（－1） D ．（＋5）×（－2） 2．下列说法正确的是（ ）A ．异号两数相乘，取绝对值较大的因数的符号B ．同号两数相乘，符号不变C ．两数相乘，如果积为负数，那么这两个因数异号D ．两数相乘，如果积为正数，那么这两个因数都是正数 3、若两个有理数的和与它们的积都是正数，则这两个数( )A.都是正数B.是符号相同的非零数C.都是负数D.都是非负数4、下列说法正确的是( )A.负数没有倒数B.正数的倒数比自身小C.任何有理数都有倒数D.-1的倒数是-15、如果x2y250+++=，那么(－x)·y=( )A．100 B．－100 C．50 D．－506、两个有理数的积是负数，和是正数，那么这两个有理数是( )A．都是正有理数 B．都是负有理数C．绝对值大的那个有理数是正数，另一个有理数是负数D．绝对值大的那个有理数是负数，另一个有理数是正数7、a、b互为相反数且都不为0，则(a+b一1)×a1b⎛⎫+⎪⎝⎭的值为( )A．0 B．－1 C．1 D．28、若a、b为有理数，请根据下列条件解答问题：(1)若ab>0，a+b>0，则a、b的符号怎样?(2)若ab>0，a+b<0，则a、b的符号怎样?(3)ab<0，a+b>0，a b>，则a、b的符号怎样?9、若a1,a b0=+=，求－ab－2的值。
小升初数学无忧衔接第06讲有理数的乘方(原卷版)
第六讲有理数的乘方【课程解读】————小学初中课程解读————、、初中数学中，理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）。
【知识衔接】————小学知识回顾————一、面积计量单位及进率：平方千米、公顷、平方米、平方分米、平方厘米1平方千米=100公顷1平方千米=1000000平方米1公顷=10000平方米1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米二、体积容积计量单位及进率：立方米、立方分米、立方厘米、升、毫升1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1立方分米=1升1立方厘米=1毫升————初中知识链接————一、乘方的定义⋅⋅⋅⋅⋅记作n a.这种求几个相同因数的机的运算，叫做乘方，乘方一般地，n个相同的因数a相乘，即a a a a的结果叫做幂.在n a中，a叫做底数，n叫做指数，n a读作“a的n次方”；当n a看作a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂.一个数可以看做这个数的1次方.二、乘方的性质正数的任何次幂是正数，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数；0的任何正整数次幂都等于0.三、有理数的混合运算的运算顺序：（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；（2）同级运算，从左到右进行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
【经典题型】小学经典题型1．一根圆柱形铁棒有多少立方厘米是求（），做一个圆柱形通风管要用多少铁皮是求（）。
A．容积；表面积B．表面积；侧面积C．体积；侧面积D．侧面积；表面积2．南京到徐州的铁路长346（）。
A．千米B．米C．分米3．学校9：25上第二节课，一节课40分钟，（________）下第二节课。
4．2时＝（________）分24个月＝（________）年3平方米＝（________）平方分米5000平方厘米＝（________）平方分米5．在括号里填上合适的小数。
8角＝（________）元5分米＝（________）米4厘米＝（________）米6．等量划算。
小升初衔接班《有理数的运算》知识点讲解
板块一有理数的加减运算有理数混合运算知识导航定义示例剖析有理数加法法则：①同号两数相加，取相．同．的．符．号．，并把绝．对．值．相．加．．②异号两数相加，取绝．对．值．较．大．的加数符号，并用较大的绝对值减．去．较小的绝对值．③互为相反数的两个数相加得0．一个数同0相加，仍得这个数．10+17=27(-10)+(-17)=-(10+17)=-27-17+10=-(17-10)=-7-10+17=+(17-10)=7-17+17=0-17+0=-17有理数加法的运算律：①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变．②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．加法交换律的推广：任意若干个数相加，无论各数相加先后次序如何，其和不变．a +b =b +a(加法交换律)如：10+17=17+10(a +b )+c =a +(b +c )(加法结合律)如：20.17+3.14+16.86=20.17+（3.14+16.86）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相．反．数．．a -b =a +(-b )(减法法则)如：1000-2017=1000+(-2017)=-(2017-1000)=-1017有理数加减混合运算的步骤：①运用减法法则，把所有的减法转化为加法；②利用运算律及技巧简便计算，求出结果．如：6-5.6-17+9.6-15=(+6)+(-5.6)+(-17)+(+9.6)+(-15)它的含义是正6，负5.6，负17，正9.6，负15的和．10经典例题【例1】简单计算填空：（请在长横线上写出运算步骤）⑴(-17)+(-85)= =⑵(-54)+19= = ；⑶134-(-67)= =；⑷-137-(-53)=+ = = ；⑸(-536)-(+239)= + = = ；⑹-32-⎛-12⎫=；⑺-9-(+0.25)=；⑻-(-(-3.75))--2.16=．5 3⎪16⎝⎭【例2】加减混合运算以下题目请写出详细计算过程，不允许跳步：⑴-995+⎛2002⎫-⎛-3001⎫-1；6 3⎪ 2⎪⎝⎭⎝⎭⑵1-⎛-2⎫+⎛-1⎫-0.9-⎛+3⎫-1-14+0.9； 3⎪ 5⎪ 4⎪45⎝⎭⎝⎭⎝⎭⑶--5+0.25-⎛-2.6-3⎫+⎛-7⎫．3 5⎪ 12⎪⎝⎭⎝⎭板块二有理数的乘除运算【例3】加减运算应用⑴若a -1=2.5，b +1=1，则a -b =；⑵a ，b 所对应的数字如图所示，则-a ，a +b ，a -b ，-a -b ，a -3，1a中为负数的有：；ab⑶若三个有理数的和为0，则下列结论正确的是（）A ．这三个数都是0B ．最少有两个数是负数C ．最多有两个正数D ．这三个数是互为相反数知识导航定义示例剖析有理数乘除运算总则：先确定结果的符号，再进行绝对值的运算．1、有理数乘法法则：两数相乘，同．号．得．正．，异．号．得．负．，并把绝对值相乘．任何数同0相乘，都得0．2、有理数乘法运算律：①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变．②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．③乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把第一个数分别同这两个数相乘，再把积相加．5⨯30=150-5⨯30=-(5⨯30)=-150-5⨯(-30)=150-5⨯0=0①a ⨯b =b ⨯a (乘法交换律)②a ⨯b ⨯c =a ⨯(b ⨯c )(乘法结合律)③a ⨯(b +c )=ab +ac (乘法分配律)有理数乘法法则的推广：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负．因．数．的个数是偶数时，积为正数；负．因．数．的个数是奇数时，积为负数．（规律：奇负偶正）②几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0．有理数除法法则：除以一个数（不等于0），等于乘以这个数的倒数．10÷(-17)=-⎛10⨯1⎫=-10 17⎪17⎝⎭有理数混合运算的运算顺序：⑴先乘方开方，再乘除，最后加减；⑵同级运算，从左到右进行；⑶如有括号，先算括号里的：有多重括号时，先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的．运算顺序可以简记为：“从．左．到．右．，从．高．（级）到．低．（级），从．小．（括号）到．大．（括号）”．12经典例题【例4】简单乘除计算⑴-⎛-3⎫⨯⎛-1⎫⨯(-3)==5⎪ 2⎪⎝⎭⎝⎭⑵121÷(+3.75)÷(-2.2)==；9⑶⎛-332⎫⨯0.785⨯0⨯⎛-8⎫=；913⎪15⎪⎝⎭⎝⎭⑷32.5⨯(-1.25)⨯(-11)⨯8⨯1⨯(-5)=．2511【例5】乘除混合运算以下题目请写出详细的计算过程：⑴⎛-22⎫÷⎛-4⎫⨯⎛-5⎫⨯⎛5⎫；⑵-1÷-⎛-1⎫÷⎛-1⎫⨯⎛-1⎫； 5⎪ 5⎪ 4⎪ 6⎪37.54⎪ 3⎪ 3.2⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⑶--31÷⎛-5⎫÷(-(-2.6))⨯⎛-35⎫；⑷-33⨯⎛-1⎫÷0.0625⨯⎛+8⎫．4 6⎪ 9⎪8 2.25⎪ 27⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭板块三有理数的乘方运算知识导航定义示例剖析1、乘方的概念：求n 个相．同．因数a 相．乘．的．积．的运算，叫做乘方．即：a⨯ a ⨯ ⨯ a =a n n 个a乘方的结果叫做幂．在a n 中，a 叫做底数．n 叫做指数，表示因数a 的个数．a n 读作“a 的n 次方”或“a 的n 次幂”．2、一个数可以看做这个数本身的一次方，例如，3就是31，此时指数1通常省略不写．二次方也叫平方，如32通常读作“3的平方”；三次方也叫立方，如33通常读作“3的立方”．3、注意：幂的底数是分数或负数时，⎛2⎫4底数应该加上括号，如(-2)5, ⎪．⎝9⎭25表示5个2相乘，即：25=2⨯2⨯2⨯2⨯2；(-2)5表示5个(-2)相乘，即：(-2)5=(-2)⨯(-2)⨯(-2)⨯(-2)⨯(-2)；-25表示5个2相乘的相反数，即：-25=-(2⨯2⨯2⨯2⨯2)；⎛2⎫52⎛2⎫522222 9⎪表示5个9相乘，即： 9⎪=9⨯9⨯9⨯9⨯9；⎝⎭⎝⎭25252⨯2⨯2⨯2⨯2表示5个2相乘再除以9，即：=．999把下列式子写成乘方的形式：⑴1⨯(-3)⨯(-3)⨯(-3)⨯(-3)⨯(-3)52⨯2⨯2⨯2⨯2⑵7⑶-6⨯6⨯(-6)⨯6⨯(-6)⑷( a +b )( a +b )( a +b ) ( a + b )n 个a +b144 ⑸23⨯23⨯23⑹66+66+66+66+66+66【例7】幂的运算法则⑴-0.12=；⑵-12014=；⎛3⎫324⑶ -⎪⎝⎭=；⑷-=；3⑸-20+⎛-⎝1⎫⎪⎭=；⑹-22016-22017+22018=；⑺(-4)2016⨯⎛-⎝1⎫2017⎪⎭=；⑻()2=16．25【例8】乘方的应用⑴设a ≠0，m 是正奇数，有下面的四个叙述：①(-1)ma 是a 的相反数；②(-1)m +1a 是a 的相反数；③(-a )m是a m 的相反数；④(-a )m +1是a m +1的相反数，其中正确的序号有．⑵已知(a -2)2+|ab +3|+|c 2-4|=0，求a +2b +3c 的值．【例9】有理数混合运算⑴-22+4⨯[32-5⨯(-1)2]÷(-1)322234⎛1⎫23223⎡⎛2⎫2⎤2013⑵0.25⨯(-2)-⎢4÷ -3⎪+1⎥+(-1)⎢⎝⎭⎥⎦⑶-3.8⨯2.4⨯799.6⨯⎛-11⎫⨯(33-3⨯9)⨯882 7⎪3⎝⎭⑷-32⨯(-2)2÷(0.3)2⨯(-22)+ ⎪-1⎝⎭习题1．填空⑴7+⎛-53⎫=温故知新；⑵(-5.7)-(-4.3)=；6 6⎪⎝⎭⑶-9-(+0.25)=16⑷-21-(-1.37)=；4161311613148习题2．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，正数m 的绝对值为3.5，求2m -⎛-cd ⎫-2015am -1-2015bm3⎪⎝⎭的值．习题3．下列判断正确的有几个（）①若3个有理数的乘积为负，则这3个有理数均为负数；②若abc <0，则a ，b ，c 中至少有一个负数；③几个有理数相乘，负因数的个数为奇数个，则积为负数；负因数的个数为偶数个，则积为正数；④绝对值不超过10的所有有理数的和为0．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个习题4．把以下各式表示成幂的形式：①22+22+22+22=；②(-5)5+(-5)5+(-5)5+(-5)5+(-5)5= ；③2⨯2⨯(-2)⨯2⨯(-2)⨯(-2)=；8习题5．用“>”、“<”或“=”填空：①(-2)4(-4)2；②-53(-3)5；③-32(-2)3；④-|-3|3-(-3)2；⑤a 4a 5（a <0）⑥m 2(-m )2习题6．计算：⎛3⎫4⎛1⎫5131⑴ 2⎪⨯ -3⎪-2⨯-+--2；48⎝⎭⎝⎭⎛135⎫⎛1⎫2⎛1⎫⑵24⨯ --⎪+ -⎪÷ -⎪；⎝648⎭⎝3⎭⎝72⎭⎡⎛1⎫216⎤2⑶⎢-8+ 24⎪⨯⎥÷(0.1)．27⎢⎝⎭⎥⎦习题7．若(a+6)2+1-1+(a+2c)2=0，求(a+b+c)2017的值（写出解题过程）．b2。
初一数学暑假版第6讲---(有理数的乘方与混合运算)教案
学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：初一 课 时 数： 3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 授课类型 T 有理数的乘方（二）T 有理数的混合运算（一） T 有理数的混合运算（二）星级 ★★ ★★★★授课日期及时段教学内容有理数的乘方（二）1．能正确应用乘方运算律简化计算；2．能对有理数的乘方法则和运算以数学系语言叙述； 3．能明确数学的分类思想1.根据有理数乘法运算法则，我们有：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 你能把上述的结论用数学符号语言表示吗?当a ＞0时，a n＞0(n 是正整数)； 当a <0时，⎪⎩⎪⎨⎧<>)(0)n (0是正整数是正整数n a a n n ；当a =0时，a n =0(n 是正整数) (以上为有理数乘方运算的符号法则)a 2n =(―a )2n (n 是正整数)；12-n a=―(―a )2n-1(n 是正整数)；a 2n ≥0(a 是有理数，n 是正整数)2．例题：【例1】填空：（1） （-2）3中，底数是 ，指数是 ，幂是（2）-23中，底数是，指数是 ，结果是（3）323-中，底数是，指数是，结果是【参考答案】（1） -2，3，（-2）3（2）2，3，-8 （3）2，3，38- 【例2】（1）（-0.25）2003×(-4)2002的值是( )A.－２Ｂ．４Ｃ．－４ Ｄ．－２(2)(1-2)(2-3)(3-4)(4-5)…(2003-2004)的值是 ( ) A.－１ Ｂ．１ Ｃ．－2002 Ｄ．2003 (3)一个数的立方是它本身,那么这个数是 ( )A.１ Ｂ．０或１ Ｃ．－１或１ Ｄ．０或１或－１ (4) 一个数的平方是它的相反数,那么这个数是 ( )A.１Ｂ．－１ Ｃ．０ Ｄ．０或－１(5)-24(-22)(-2)3的值是（ ）A.92Ｂ．－92Ｃ．－242 Ｄ．242【参考答案】BBDDB我来试一试！1.下列各式中，正确的是 （ ）A ．53＝3×5 B.63＝36C.(―3)(―3)(―3)(―3)=34D.(－43)3＝43×43×432.任何一个有理数的4次幂都是( )A.正数B.负数C.非负数D.非正数3.一个正数a 的立方 ( )A.一定比a 小B.一定比a 大C.一定等于aD.以上都有可能 4..如果一个数的偶次幂是非负数,那么这个数是( ) A.正数 B.负数 C.非负数 D.任何有理数 【参考答案】CADD 5．计算(1) (－121)3 (2)(－0.2)3 (3)－34(4)―(―3)4(5)―32×(―2)2(6) (32)2×(―32)2(7)―122―(―11)2(8)( 32)3÷323―(―3)2―(―32)(9)(－41)3×(―4)2×(―1)2002【参考答案】41)9(91)8(265)7(8116)6(36)5(81)4(81)3(008.0)2(827)1(-------6.我们知道（-2）2=4，22=4，因此，有x 2=4，时，x=2或-2， 依次类推，当（x-1）2=1时，x-1= 所以， x= 7. 如果（0|2|)2=-++b b a ，求3020)(a b a ++的值【参考答案】6. 1±，2或0 7. 302有理数的混合运算（一）1．能准确熟练根据有理数的混合运算的顺序进行正确解题； 2．能明确数学的分类思想.一、复习引入： 1．计算：(1)(―2)+(―3)； (2)7×(―12)； (3)；―31+21； (4)17―(―32)； (5)―252； (6)(―2)3； (7) ―23； (8) 021；(9) (―4)2； (10) ―32； (11) (―2)4； (12) ―100―27；(13) (―1)101； (14) 1―61―31； (15) 187×(―221)； (16)―7+3―6； 2．说一说我们学过的有理数的运算律：加法交换律：a+b=b+a ； 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； 乘法交换律：ab=ba ； 乘法结合律：(ab)c=a(bc)； 乘法分配律：a(b+c)=ab+ac 二、讲授新课： 1．观察：下面的算式里有哪几种运算? 3＋50÷22×(51-)－1。
.6有理数的乘方及混合运算
1.6有理数的乘方及混合运算【学习目标】1．理解有理数乘方的定义；2.掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；3. 进一步掌握有理数的混合运算.【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power )．即有：n a a a a n ⋅⋅⋅=个.在na 中，a 叫做底数，n 叫做指数.要点诠释： （1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 要点二、乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即．要点诠释：(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．(2)任何数的偶次幂都是非负数．要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算； （2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行． (3)在运算过程中注意运算律的运用． 【典型例题】类型一、有理数乘方1. 把下列各式写成幂的形式： (1)22225555⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (2)(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×5×5；(3)xxxxxxyy ． 【答案与解析】(1)44222222555555⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯+⨯+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(2)(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×5×5＝(-3.7)4×52；(3) 62xxxxxxyy x y =【总结升华】乘方时，当底数是分数、负数时，应加上括号.2．计算：（1）3(4)- （2）34- （3）4(3)- （4）43-（5）⎛⎫⎪⎝⎭335 （6）335 （7）22×3（） （8）22×3【答案与解析】（1）3(4)-(4)(4)(4)64=-⨯-⨯-=-； （2）34-44464=-⨯⨯=-；（3）4(3)-(3)(3)(3)(3)81=-⨯-⨯-⨯-=； （4）43-333381=-⨯⨯⨯=-； （5）⎛⎫ ⎪⎝⎭33533327555125=⨯⨯=； （6）3353332755⨯⨯==； （7）3⨯（2）22636==； （8）22×32918=⨯=【总结升华】()n a -与n a -不同，()()()n n a a aa -=--⋅⋅⋅个，而nn a aa a -=-⋅⋅⋅个表示a 的n 次幂的相反数．举一反三：【变式1】计算：(1)(-4)4(2)23(3)225⎛⎫⎪⎝⎭(4)(-1.5)2【答案】 (1)(-4)4=(-4)×(-4)×(-4)×(-4)=256；(2)23＝2×2×2=8；(3)2222455525⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭(4) (-1.5)2=(-1.5)×(-1.5)=2.25【变式2】比较(-5)3与-53的异同．【答案】相同点：它们的结果相同，指数相同；不同点：(-5)3表示-5的3次方，即(-5)×(-5)×(-5)＝-125，而-53表示5的3次方的相反数，即-53＝-(5×5×5)．因此，它们的底数不同，表示的意义不同．类型二、乘方的符号法则3．不做运算，判断下列各运算结果的符号．(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，553⎛⎫⎪⎝⎭，-(-2)2010【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断，可得：(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；553⎛⎫⎪⎝⎭运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负． 【总结升华】“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负． 举一反三：【变式】（南充）计算：(-1)2009的结果是( )．A ．-lB ．1C ．-2009D ．2009 【答案】A类型三、有理数的混合运算4.计算：（1）()⎡⎤⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦211-1-0.5××2--33（2）()⎡⎤⎣⎦341-1-×2--36（3）3201111(1+-2.75)×(-24)+(-1)--238（4）33211-+|-2-3|(-0.1)(-0.2)【答案与解析】 （1）法一：原式＝517(1)(7)(7)666-⨯-=⨯-=-； 法二：原式=1117(11)(29)(7)2366-+⨯⨯-=⨯-=- （2）原式()=⎡⎤⎣⎦1-1-×2--276=1-1-×296=35-6(3)原式=411(+-(-2384=-32-3+66-9=22 (4) 原式=11-+|-8-3|-0.0010.04=-1000-25+11=-1014 【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提．举一反三：【变式1】计算：4211(10.5)[2(3)]3---⨯--- 【答案】原式111151(29)1(7)123666⎛⎫=--⨯--=----=--+= ⎪⎝⎭【变式2】计算：2421(2)(4)12⎛⎫-÷-⨯- ⎪⎝⎭【答案】原式11116(4)11612444=÷-⨯-=-⨯⨯-=5.20032004(2)(2)-+-=（ ）（A ）2- （B ）4007(2)- （C ）20032（D ）20032-【答案】C【解析】逆用分配律可得：20032004200320032003(2)(2)(2)[1(2)](2)2-+-=-+-=--=，所以答案为：C【总结升华】当几项均为幂的形式，逆用分配律提出共同的因数时，要提指数较小的幂的形式. 举一反三：【变式】计算：7734()()43-⨯-【答案】7773434()()[()()]14343-⨯-=-⨯-=类型四、探索规律6.你见过拉面馆的师傅拉面吗？他们用一根粗的面条，第1次把两头捏在一起抻拉得到两根面条，再把两头捏在一起抻拉，反复数次，就能拉出许多根细面条，如下图，第3次捏合抻拉得到 根面条，第5次捏合抻拉得到 根面条，第n 次捏合抻拉得到 根面条，要想得到64根细面条，需 次捏合抻拉.第1次第2次 第3次【答案】8; 32; 2n ; 6【解析】由题意可知，每次捏合后所得面条数是捏合前面条数的2倍，所以可得到：第1次：122=；第2次：224=；第3次：328=；…；第n 次：2n .第3次捏合抻拉得到面条根数：32，即8根；第5次得到：52，即32根；第n 次捏合抻拉得到2n ；因为6264=，所以要想得到64根面条，需要6次捏合抻拉.【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循． 举一反三：【变式】(2009·肇庆)已知21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，观察上面的规律，试猜想22008的末位数字是________．【答案】6【巩固练习】一、选择题1.下列说法中，正确的个数为( )．①对于任何有理数m ，都有m 2＞0； ②对于任何有理数m ，都有m 2＝(－m)2；③对于任何有理数m 、n(m≠n )，都有(m －n)2＞0；④对于任何有理数m ，都有m 3＝(－m)3．A ．1B ．2C ．3D ．02.下列说法中，正确的是（ ）A ．一个数的平方一定大于这个数；B ．一个数的平方一定是正数；C ．一个数的平方一定小于这个数；D ．一个数的平方不可能是负数.3.下列各组数中，计算结果相等的是 ( )．A ．-23与(-2)3B ．-22与(-2)2C ．22()5与225D ．(2)--与2-- 4．式子345-的意义是 （ ）A. 4与5商的立方的相反数B.4的立方与5的商的相反数C.4的立方的相反数除5D.45-的立方5．(2010·浙江杭州)计算(-1)2+(-1)3＝( )A ．-2B ．- 1C ．0D ．2 6．观察下列等式：71=7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649…由此可判断7100的个位数字是( ) ．A ．7B ．9C ．3D ．17．一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的绳子的长度为( ) ．A ．312⎛⎫ ⎪⎝⎭米B ．512⎛⎫ ⎪⎝⎭米C ．612⎛⎫⎪⎝⎭米D ．1212⎛⎫⎪⎝⎭米二、填空题1．在(-2)4中，指数是________，底数是________，在-23中，指数是________，底数是________，在225中底数是________，指数是________．2．一个数的平方等于它本身的数是____；一个数的立方等于它本身的数是 ．3.()3--= ；52-= ；313⎛⎫-- ⎪⎝⎭= ；225= ．4. 3[(3)]_______---=,233(2)_______-⨯-= 5．213____+= ， 2135_____++=，21357_____+++= ，……，从而猜想：135+++ (2)2005_____+=.6. 21(2)________3-= 三、解答题1. 计算下列各式：(1)-23+(3-6)2-8×(-1)4；(2)232121(3)242433⎛⎫⎛⎫-÷⨯-+-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(3)2(5)10.8( 2.25)77⎛⎫-÷-⨯⨯-÷ ⎪⎝⎭；(4)75218 1.456 3.9569618⎛⎫-+⨯-⨯+⨯ ⎪⎝⎭．2. 已知x 的倒数和绝对值都是它本身，y 、z 是有理数，并且2|3|(23)0y x z +++=，求32525x yzx y --+-的值．3. 探索规律：观察下面三行数，2, -4， 8， -16， 32， -64，… ① -2， -8， 4， -20， 28， -68，… ② -1， 2， -4， 8， -16， 32，… ③ (1) 第①行第10个数是多少？(2) 第②③行数与第①行数分别有什么关系？ (3) 取每行第10个数，计算这三个数的和.【答案与解析】一、选择题 1.【答案】B【解析】①错：当m 为0时，不满足；②③对；④错：次数为3，互为相反数的两个数的奇数次方的结果也互为相反数. 2.【答案】 D 【解析】一个数的平方与这个数的大小不定，例如：2242=>；而2111()242=<；200=，从而A ，C 均错；一个数的平方是正数或0，即非负数，所以B 错，只有D 对. 3.【答案】A【解析】-23=-8, （-2）3= -8． 4.【答案】B 【解析】345-表示4的立方与5的商的相反数 5.【答案】C【解析】 (-1)2＝1，(-1)3＝-1 6.【答案】D【解析】个位上的数字每4个一循环，100是4的倍数，所以1007的个位数字应为1.7.【答案】C 二、填空题1.【答案】4 ， -2 ， 3 ， 2， 2， 2 【解析】依据乘方的定义解答2.【答案】0,1；0,1,-1;3.【答案】3, -32, 14,2754.【答案】-27，725.【答案】21003【解析】2132+= ， 21353++=，213574+++=， ……从而猜想：每组数中，右边的幂的底数a 与左边的最后一个数n 的关系是：12n a +=. 所以13+++……22120052005()10032++==.6.【答案】459【解析】222117494(2)(2)()533399-=+===三、解答题1.【解析】(1)-23+(3-6)2-8×(-1)4＝-8+9-8＝-7；(2)232121(3)242433⎛⎫⎛⎫-÷⨯-+-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭164444033=-++=-+=； (3)2(5)10.8( 2.25)77⎛⎫-÷-⨯⨯-÷ ⎪⎝⎭7491519547=-⨯⨯⨯⨯=-；(4)75218 1.456 3.9569618⎛⎫-+⨯-⨯+⨯⎪⎝⎭141526 2.511516=-++⨯=+=．2.【解析】因为x 的倒数和绝对值都是它本身， 所以x ＝1，又因为|y+3|+(2x+3z )2＝0，所以y+3＝0且2x+3z ＝0．所以y ＝-3．当x ＝1时，2x+3z ＝0，23z =-. 把x ＝1，y ＝-3，23z =-代入得：3232252(3)52541351(3)51953x y z x y ⎛⎫-⨯-⨯- ⎪--⎝⎭===-+--+---+-．3.【解析】（1）2, -4，8，-16，32，-64，…①第①行可以改写为：2，,,，……,,……由-2的指数规律，可以知道n=10时，即=-1024为第①行第10个数.（2）第②行数是第①行相应的数减4；第③行数是第①行相应的数的-0.5倍；（3）第②行第10个数为-1024-4=-1028第③行第10个数为（-0.5）（-1024）=512 所以第①行、第②行、第③行第10个数字之和为-1024+（-1028）+512=-1540.。
小升初数学衔接讲与练第六讲有理数的乘方
第六讲 有理数的乘方【学习目的】1、理解有理数的乘方的意义，正确地进展有理数的乘方运算，理解乘方运算、幂、底数和指数等概念的意义。
2、使学生理解什么是科学计数法，并会用科学记数法表示大于10的数。
【知识要点】1、乘方的根本概念：一般地，n 个一样的因数a 相乘，即 记作a n。
这种求几个一样因数的积的运算，叫做乘方。
乘方的结果叫做幂。
在a n中，a 叫做底数，n 叫做指数，a n读作a 的n 次方，或者读作a 的n 次幂。
2、乘方需要注意的三个问题：〔1〕一个数可以看作是它本身的1次方，指数1通常略不写，例如：2=21。
〔2〕当底数是负数或者者是分数时，必须用括号将底数括起来，例如：(-2)3，2)41(。
〔3〕负数的乘方与乘方的相反数不同，例如：4)2()2()2(2=-⨯-=-，42222-=⨯-=-。
3、幂的符号确定法那么〔1〕小数化为分数再计算，带分数化为假分数再计算。
〔2〕正数的任何次幂是正数，负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数 〔3〕0的正数次幂等于0，1的任何次幂等于1，-1的奇次幂是-1，-1的偶次幂是1。
4、科学记数法：把一个大于10的数记成10na ⨯的形式，其中n 为正整数，a 是整数数位只有一位的数〔1=<a<10〕，这种方法叫做科学记数法。
【典型例题】例1、把以下各式写乘方的形式，并指出底数和指数各是什么：个n aa a ⋅⋅⋅⋅〔1〕〔－2.1〕×〔－2.1〕×〔－2.1〕 ×××〔3〕⨯⨯52525252⨯ 〔4〕⨯-⨯-)14.3()14.3(⨯-)14.3()14.3()14.3(-⨯-例2、把以下各式写成乘法运算的形式：3511⎪⎭⎫⎝⎛－ 4)11.0( 5)32(- 6)5.1(-例2、计算以下各题：〔1〕34〔2〕1003〔3〕5)21( (4)2006)1(-(5)35- (6) 3)43(- (7)1281 (8)132例3、答复下面问题：〔1〕2×32与〔2×3〕2有什么区别？各等于什么？ 〔2〕32和23有什么区别？各等于什么？ 〔3〕－34与〔－3〕4有什么区别？各等于什么？例4、以下科学记数法表示的各数，原数各是什么数？ ×105、4×106×104×107例5、用科学计数法记下例各数：【经典练习】1、 把以下各式写成幂的形式：32323232⨯⨯⨯-6.06.0⨯ )10()10(10-⨯-⨯- )21()21()21(21-⨯-⨯-⨯2、填空：〔1〕、 叫做乘方运算。
有理数的乘方及混合运算提高知识讲解.doc
有理数的乘方及混合运算（提高）责编：杜少波【学习目标】1．理解有理数乘方的定义；2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；3. 进一步掌握有理数的混合运算. 【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．即有：n a a a a n ⋅⋅⋅=g g g 14243个.在na 中，a 叫做底数， n 叫做指数.要点诠释： （1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果． （2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 要点二、乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即．要点诠释：(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．(2)任何数的偶次幂都是非负数． 【高清课堂：有理数的乘方及混合运算 356849 有理数的混合运算】要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．(3)在运算过程中注意运算律的运用． 【典型例题】类型一、有理数的乘方1.（2016•虞城县一模）下列各数：①﹣12；②﹣（﹣1）2；③﹣13；④（﹣1）2，其中结果等于﹣1的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④【思路点拨】原式各项计算得到结果，即可作出判断． 【答案】A ．【解析】解：①﹣12=﹣1，符合题意；②﹣（﹣1）2=﹣1，符合题意；③﹣13=﹣1，符合题意；④（﹣1）2=1，不符合题意． 故选A ．【总结升华】注意()n a -与n a -的意义的区别．22()nn a a -=（n 为正整数），2121()n n a a ++-=-（n 为正整数）．举一反三：【变式1】比较(-5)3与-53的异同．【答案】相同点：它们的结果相同，指数相同；不同点：(-5)3表示-5的3次方，即(-5)×(-5)×(-5)＝-125，而-53表示5的3次方的相反数，即-53＝-(5×5×5)．因此，它们的底数不同，表示的意义不同． 【变式2】（2015•杭州模拟）若n 为正整数，（﹣1）2n=（ ） A ．1 B ． ﹣1 C ． 2n D ． 不确定【答案】A ．因为n 为正整数，2n 一定是偶数，所以（﹣1）2n=1.类型二、乘方运算的符号法则2．不做运算，判断下列各运算结果的符号．(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，553⎛⎫ ⎪⎝⎭，-(-2)2010【答案与解析】根据乘方的符号法则判断可得：(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；553⎛⎫⎪⎝⎭运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负． 【总结升华】 “一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0，指数不为０时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负． 举一反三：【变式】当n 为奇数时，()()()1111144n n n n ++--+--= ．【答案】0类型三、有理数的混合运算3.计算：（1）-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)]（2）[73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214)（3）3112222233⎛⎫⎛⎫-+⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）()2311113121121324424340.2⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭- 【答案与解析】（1）-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)]＝-9+(-8)÷(-3+5) ＝-9+(-8)÷2 ＝-9+(-4)＝-13（2） [73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214)＝(7×72-6×72-1)÷(-214+214-24)＝[72×(7-6)-1]÷(-24) ＝(49-1)÷(-24) ＝-2（3）有绝对值的先去掉绝对值，然后再按混合运算.原式11221111[(2)]82338324=-+⨯--=--=- （4）将带分数化为假分数，小数化为分数后再进行运算.()23311113121121324424340.215457551()()241162434()5125724241251652313960561251204040⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-=÷-++-⨯--=-⨯-⨯+⨯+=--++=【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提．举一反三：【高清课堂：有理数的乘方及混合运算 356849 典型例题1】【变式】计算：（1）()⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦211-1-0.5××2--33（2）()⎡⎤⎣⎦341-1-×2--36（3）3201111(1+-2.75)×(-24)+(-1)--238（4）33211-+|-2-3|(-0.1)(-0.2)【答案】（1）原式 ()7651-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=()=1×-767=-6或原式=（1-1+1123⨯）（2-9）()1=×-76 （2）原式()=⎡⎤⎣⎦1-1-×2--276=1-1-×296=35-6(3) 原式=4111(+-)×(-24)-1-8384=-32-3+66-9=22(4) 原式=11-+|-8-3|-0.0010.04=-1000-25+11=-10144.计算：20112012(2)2-+【答案与解析】逆用分配律可得：2011201220112012201120112011(2)2222(12)122-+=-+=-+=⋅=【总结升华】灵活运用运算律，简化运算.另外有212222121222;222n n n n n n +---=-=举一反三：【变式1】计算：201918171643222222...2222--------- 【答案】原式=191817164321817164322222...2222222...2222--------=-------2...222==-=【变式2】计算：7734()()43-⨯-【答案】7773434()()[()()]14343-⨯-=-⨯-=类型四、探索规律5.（2015•滕州市校级二模）求1+2+22+23+…+22013的值，可令S=1+2+22+23+…+22013，则2S=2+22+23+…+22014，因此2S ﹣S=22014﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52014= ． 【答案】解：设S=1+5+52+53+…+52014，则5S=5+52+53+…+52015，5S ﹣S=（5+52+53+…+52015）﹣（1+5+52+53+…+52014）=52015﹣1， 所以，S=．7=-6【总结升华】根据题目信息，设S=1+5+52+53+…+52014，表示出5S=5+52+53+…+52015，然后相减求出S即可．举一反三：【变式】观察下面三行数：①-3，9，-27，81，-243，729，…②0，12，-24，84，-240，732，…③-1，3，-9，27，-81，243，…(1)第①行数按什么规律排列?(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系?(3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和．【答案】 (1)第①行数的规律是：-3，(-3)2，(-3)3，(-3)4，…；(2)第②行数是第①行数相应的数加3，即：-3+3，(-3)2+3，(-3)3+3，(-3)4+3，…；第③行数是第①行数相应的数的13，即133-⨯，21(3)3-⨯，31(3)3-⨯，41(3)3-⨯，…；(3)每行数中的第10个数的和是：1010101(3)[(3)3](3)3-+-++-⨯=59049+59052+19683＝137784．。
有理数的乘方及混合运算
Байду номын сангаас
有理数的乘方及混合运算
学习目标 1．理解有理数乘方的定义； 2.掌握有理数乘方运算的符号 法则，并能熟练进行乘方运算； 3. 进一步掌握有理数的混合运 算.
要点梳理 要点三、有理数的混合运算 有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加 减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括 号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释： (1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算， 加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方 (以后学习)是第三级运算； (2)在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点 也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行． (3)在运算过程中注意运算律的运用
小学升七年级数学暑假班讲义第06讲有理数的乘除法
第六讲 有理数的乘除法一 知识要点 1、有理数乘法法则法则1：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
例如：()()()()6232363232=⨯=-⨯--=⨯-=⨯-， 法则2：任何数同0相乘，都得0。
法则3：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数个时，积是正数；负因数的个数是奇数个时，积是负数。
例如：()()(),2443214321-=⨯⨯⨯-=⨯-⨯-⨯- ()()()(),2443214321=⨯⨯⨯=-⨯-⨯-⨯- 法则4：几个数相乘，若其中有因数为0，则积为等于0。
知识延伸：(1)法则1针对两个因数相乘，法则3针对多个不是0的因数相乘，法则4针对几个因数中至少有一个是0的因数相乘。
乘法法则也是先确定结果的符号，再确定绝对值。
(2)多个有理数相乘，要先根据负因数的个数确定结果的符号，若负因数的个数为偶数个，结果为正；若负因数的个数为奇数个，则结果为负，再把绝对值相乘。
(3)在运算中最好把小数化成分数，带分数化成假分数，便于约分。
2、倒数的概念倒数：乘积是1的两个数互为倒数。
当0≠a 时，a 与a1互为倒数；当0≠m ，0≠n 时，n m 与m n互为倒数。
例如：2与21，32-与23-互为倒数。
知识延伸：由倒数的概念可知，正数的倒数仍为正数，负数的倒数仍为负数，0没有倒数。
3、有理数的乘法运算律(1)乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。
即ba ab =。
(2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
即()()bc a c ab =(3)乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把它们的积相加。
即()ac ab c b a +=+知识延伸：(1)多个不是0的有理数相乘时，适当运用交换律和结合律，使某两个数或某几个数先相乘，能化简运算过程。
例如：()553313531-=⨯⨯-=-⨯⨯；(2)一个数与几个数的和相乘时，有时利用分配律可以简化运算过程。
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第六讲有理数的乘方与混合运算课标要求：内容具体要求有理数的乘方A．理解乘方的意义；了解近似数的概念；会用科学记数法表示数．B．掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）；在解决实际问题中，能按问题的要求对结果取近似值．C.能运用的有理数的运算解决简单问题．有理数的混合运算A．理解有理数的运算律；B．能用有理数的运算律简化有理数运算．教学内容：一、有理数的乘方知识点1：有理数乘方的意义意义定义求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．记法n个相乘，记作n；在n中，叫做底数，n叫做指数．读法n ：看作运算时，读作的n次方；看作结果时，读作的n次幂．注11.一个数可以看作是自身的一次方，通常指数1省略不写．2.习惯上，二次方也读作平方，三次方也读作立方．3.书写负数或分数的乘方时，要先用括号把底数括起来，再在右上角写上指数．【典型例题】例1 (1) 把(-5)×(-5)×(-5)写成幂的形式是．(2) (-2)4读作；-24读作．(3) 计算：(-3)2= ；(-3)3= ；-32= ；-33= ．练习1 (1)把171×171×171×171写成幂的形式是．（2）式子(-3)5的意义是．(3) 计算：（21）2= ；-52= ；432= ．知识点2：有理数乘方的符号法则法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0．注2(1)进行有理数乘方运算时，先确定符号，再计算绝对值．(2)任何一个数的偶次幂都是非负数．(3)互为相反数的两个数的奇次幂互为相反数，偶次幂相等．【典型例题】例2 (1) 如果一个有理数的偶次幂是正数，那么这个有理数( ).A.一定是正数B.是正数或负数C.一定是负数D.可以是任意有理数(2)下列结论正确的是( )A.若a 2=b 2，则a =b B.若a ＞b ，则a 2＞b 2C.若a ，b 不全为零，则a 2+b 2＞0 D.若a ≠b ，则 a 2≠b 2(3)计算： (-1)2013+(-1)20142×(-3)3 -32×(-2)4练习2(1)若x ，y 为有理数，下列各式成立的是（ ）.A ．(-x )3=x3B ．(-x )4=-x4C ．(x -y )3=(y -x )3D ．-x 3=(-x )3(2)下列各数按从小到大的顺序排列正确的是( ). A.(-0.2)3＜0.54＜(-0.3)4 B.-0.54＜0.34＜(-0.2)3C.-0.54＜(-0.2)3＜(-0.3)4D.0.34＜-0.54＜(-0.2)3(3) 计算 22)32(32-- (-1)2013×(-1)2014 -(-2)3×(-3)2知识点3：科学记数法与近似数 定义科学记数法 把一个大于10的数表示成a ×10n的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，n 是正整数．近似数 非常接近实际数目，但与实际数目还有差别的数叫做近似数． 注31.用科学记数法a ×10n的形式表示一个n 位整数，其中a 的整数位只能有一位，10的指数是n-1．2.求一个数的近似数一般用四舍五入法，在实际应用中还有去尾法和进一法．3.求一个数的近似数，应注意题目要求的精确度和实际问题中的现实需求．【典型例题】例3 (1)用科学记数法表示下列各数．1180000= ；567.8= ； -1230= ． (2)下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？1×105= ； 5.18×103= ； 7.04×106= ．(3)2.953（保留两位小数） ；2.953（保留一位小数） ． 练习3(1)用科学记数法表示下列各数：1000000= ； -57000000= ； 961.34= ．(2)下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？1×105= ； 3.96×103= ； -7.80×104= ． (3)用四舍五入法，按括号里的要求对下列各数取近似值． 0.9541（精确到十分位）2.5678（精确到0.01） 1495486（精确到万位） 二、有理数的混合运算知识点1：有理数的混合运算顺序 运算顺序(1)在没有括号的不同级运算中，先算乘方,再算乘除，最后算加减； (2)在同一级运算中，按照从左向右的顺序依次进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 注11. 进行有理数混合运算时，要先观察算式特征，确定好运算顺序，再进行运算．2. 算式中有乘方的，按照先高级运算，再低级运算的顺序，要先进行乘方运算．【典型例题】例1 计算： (-3)×(-5)2［(-3)×(-5)］2(-1)4×［2-(-3)2］(-4×32)-(-4×3)2(-2)2-(-52)×(-1)5+87÷(-3)×(-1)4练习1 计算： 25(6)(4)(8)⨯---÷- 32(6)8(2)(4)5-⨯----⨯1612()(2)472⨯-÷- 2 2232[3()2]23-⨯-⨯-- 215[4(10.2)(2)]5---+-⨯÷-知识点2：有理数混合运算之简算 运算律加法交换律： a b b a +=+ 加法结合律： ())(c b a c b a ++=++ 乘法交换律：ab=ba ；乘法结合律：abc =a (bc )；乘法分配律：a (b+c ) =ab+ac 注21.在进行有理数混合运算时，要先观察算式特征，注意运算律的运用．2.运用交换律时，注意交换时，包括前面的符号；运用分配律时，注意不要漏乘括号内的任何一项． 【典型例题】 例2 计算：481211876543⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+- 666(5)(3)(7)(3)12(3)777-⨯-+-⨯-+⨯-练习2 计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+--241121161143 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-÷61413121241【知识小结】重点：科学记数法 近似数 混合运算与简算 难点：运算律的应用技巧 易错点：运算顺序 乘法分配律【模拟试题】一、选择题1. 下列说法正确的是（ ）．A.有理数的平方是正数B.小于１的数的平方小于原数C.如果一个数的偶次幂是非负数，那么这个数是任意有理数D.负数的偶次幂一定大于这个数的相反数2. 已知0,10a b <-<<，则2a ab ab 、、按从小到大的顺序排列为（ ）．A.2a ab ab <<B.2ab a ab <<C.2ab ab a <<D.2a ab ab << 3. 下列各组数中，不相等的是（ ）．A.(-3)2和-32B. (-3)3和-33C.23-和23- D. (-3)2和324. 一根长一米的绳子，第一次减去一半，第二次减去剩下的一半，如此剪下去，第9次剩下的绳子的长度为（ ）．A.412⎛⎫ ⎪⎝⎭米B.812⎛⎫ ⎪⎝⎭C.912⎛⎫ ⎪⎝⎭D.1012⎛⎫ ⎪⎝⎭5. (-2)2014-5(-2)2012的值为（ ）．A.22012B.-22012C. 22014D. -22014二、填空题6．(-５)3读作 ；其中(-５)叫做 ；3叫做 ． 7．平方后等于259的数是 ；立方后等于278-的数是 ． 8． (-1)2014 = ； 02014= ；20141= ．9．若21(1)0a b ++-=，则a 2013+b 2014＝ ． 10．22012×32013×72014所得的积的末位数字是 ．三、解答题11．计算：(１) 212⎛⎫- ⎪⎝⎭ (２) 212⎛⎫- ⎪⎝⎭(3) 212-12．计算：(１) 2144⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭ (２) 4215334224268⎛⎫⎛⎫-÷---⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13．已知x 2=4，y 3=-1，求20144yx 的值．14． (1) 当a =-3，b =-5，c =4时，求a 2-b 2+c 2- (-a +b -c )2的值(2) 已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值等于2，试求 x 2-(a +b +cd )x +(a +b )2013+(-cd )2013值．。