湖北省宜昌金东方高级中学、三峡高中16—17学年高一11月月考数学试题(附答案) (1)
湖北省宜昌市2016_2017学年高一数学下学期第一次月测习题理
湖北省宜昌市2016-2017学年高一数学下学期第一次月考试题 理本试题卷共4页，三大题22小题。
全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★ 第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分） 1.在△ABC 中，3=a ，3=b ，A=120°，则B 等于( ) A. 30° B. 60° C. 150° D. 30°或150°2.已知非零向量b a ,满足a b 4=，且)2b a a +⊥（，则b a与的夹角为（ ）A ．B ．C ．D ．3.下列各式中，值为3的是（ ） A ． 15cos 15sin B ．12sin 12cos22ππ-C ．15tan 115tan 1-+ D ．4.将函数x x x x x f 2sin )sin 2)(cos cos(+-+=π）（的图象向左平移8π后得到函数)(x g ，则)(x g 具有性质（ ）A ．最大值为，图象关于直线对称B ．周期为π，图象关于)0,4(π对称C ．在)0,2(π-上单调递增，为偶函数 D ．在)4,0(π上单调递增，为奇函数5.已知A （3，0），B （0，3），C （cos α，sin α），若1-=∙→→BC AC ，则）（4s i n πα+的值为（ ）A ．B ．C ．D ．6.已知等差数列{a n }与等差数列{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若3213+-=n n T S n n ，则=1010b a ( )(A)32 (B)1413 (C) 5641(D) 2923 7.函数)0,0)(cos()(>>+=ωφωA x A x f 的部分图象如图所示，则f （1）+f （2）+…+f（2011）+f （2012）的值为（ ）A ．2+B ．C ．D ．08.已知数列{}n a 中，11=a ，121()n n a a n N *+=+∈，n S 为其前n 项和，则5S 的值为（ ） A.57 B.61 C.62 D.63 9.等比数列{a n }各项为正，a 3，a 5，﹣a 4成等差数列．S n 为{a n }的前n 项和，则36S S =（ ）A ．2B ．C ．D ．10.已知数列{a n }满足：a 1=2，11121++-=+）（n n a a ，则12a =（ ） A ．101 B ．122 C ．145 D ．17011.已知首项为正数的等差数列｛a n ｝满足:0.,02006200520062005<>+a a a a .则使0>n S 成立的最大自然数n 是 ( )A. 4009B.4010C. 4011D.401212.已知数列}{n a 中kn n a n -=2)(*∈N n ，且}{n a 单调递增，则k 的取值范围是 （ ） A 、]2,(-∞ B 、)3,(-∞ C 、)2,(-∞ D 、]3,(-∞第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.等差数列{a n }中，33,552==a a ，则=+43a a ．14.已知ABC ∆中，4315=∆ABC S ,3,5,0,AB AC AB AC BC ==⋅<=且则 . 15.已知数列{}n a 是递增的等比数列，8,93241==+a a a a ，则数列{}n a 的前n 项和等于 ______ 16.ABC ∆中，a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，ABC S ∆=23，那么b = . 三、解答题（本题共6道小题,第17题10分,第18题至第22题每题12分。
湖北省宜昌市金东方高中2016-2017学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析
2016-2017学年湖北省宜昌市金东方高中高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知三个集合U，A，B及元素间的关系如图所示，则（C U A）∩B=（）A．{5，6}B．{3，5，6}C．{3}D．{0，4，5，6，7，8}2．若，不共线，且λ+μ=（λ，μ∈R），则（）A．=，=B．λ=μ=0C．λ=0，=D．=，μ=03．在平行四边形ABCD中，点E为CD中点，=，=，则等于（）A．﹣B．﹣C．D．4．函数f（x）=2x﹣8+log3x的零点一定位于区间（）A．（5，6） B．（3，4） C．（2，3） D．（1，2）5．已知，则=（）A．B．C．D．6．已知函数则f（x）在区间[0，]上的最大值与最小值分别是（）A．1，﹣2 B．2，﹣1 C．1，﹣1 D．2，﹣27．若将函数y=cos 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）8．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷、0.76万公顷，则沙漠增加数y（万公顷）关于年数x的函数关系较为近似的是（）A．y=0.2x B．C．D．y=0.2+log16x9．在同一直角坐标系中，函数f（x）=x a（x＞0），g（x）=log a x的图象可能是（）A．B．C．D．10．已知函数在（﹣∞，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，）C．D．11．设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]12．已知函数f（x）=（a是常数，且a＞0）．对于下列命题：①函数f（x）的最小值是﹣1；②函数f（x）在R上是单调函数；③若f（x）＞0在[，+∞）上恒成立，则a的取值范围是a＞1；④对任意x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有f（）＞．其中正确命题的序号是（）A．①②B．①③C．③④D．②④二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）13．设扇形的半径长为2，圆心角为，则扇形的面积是．14．化简f（α）==．15．已知函数g（x）=（a+1）x﹣2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数f（x）=log3（x+a）的图象上．则实数a=．16．关于函数f（x）=sin （2x﹣）（x∈R），给出下列三个结论：①对于任意的x∈R，都有f（x）=cos （2x﹣）；②对于任意的x∈in R，都有f（x+）=f（x﹣）；③对于任意的x∈R，都有f（﹣x）=f（+x）．其中，全部正确结论的序号是．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．计算（1）lg 8+lg 125﹣（）﹣2+16+（﹣1）0（2）已知tanα=3，求的值．18．已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}（1）若a=，求A∩B．（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．19．已知函数f（x）=2sin （2x+）．（1）求函数f（x）的最小正周期及其单调减区间；（2）用“五点法”画出函数g（x）=f（x），x∈[﹣，]的图象（完成列表格并作图），由图象研究并写出g（x）的对称轴和对称中心．20．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）设π＜x＜π，且方程f（x）=m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和．21．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0时，有成立．（1）判断f（x）在[﹣1，1]上的单调性，并证明它；（2）解不等式f（x2）＜f（2x）；（3）若f（x）≤m2﹣2am+1对所有的a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．22．已知函数（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）若f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），判断f（x）在定义域上的增减性，并加以证明；（3）若0＜m＜1，使f（x）的值域为[log m m（β﹣1），log m m（α﹣1）]的定义域区间[α，β]（β＞α＞0）是否存在？若存在，求出[α，β]，若不存在，请说明理由．2016-2017学年湖北省宜昌市金东方高中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知三个集合U，A，B及元素间的关系如图所示，则（C U A）∩B=（）A．{5，6}B．{3，5，6}C．{3}D．{0，4，5，6，7，8}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由图象可知U={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，2，3}，B={3，5，6}，根据集合的混合运算法则即可得出答案．【解答】解：∵U={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，2，3}，B={3，5，6}，∴C U A={0，4，5，6，7，8}，∴（C U A）∩B={5，6}，故选A．2．若，不共线，且λ+μ=（λ，μ∈R），则（）A．=，=B．λ=μ=0C．λ=0，=D．=，μ=0【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】，不共线，从而可以由平面向量基本定理得到λ=μ=0，即A正确．【解答】解：根据平面向量基本定理，由λ+μ=，得：λ=μ=0．故选：A．3．在平行四边形ABCD中，点E为CD中点，=，=，则等于（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】向量的几何表示；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由条件利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，求得．【解答】解：由题意可得，=++=﹣++=﹣，故选：B．4．函数f（x）=2x﹣8+log3x的零点一定位于区间（）A．（5，6） B．（3，4） C．（2，3） D．（1，2）【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据连续函数f（x）的解析式，求出f（3）和f（4）的值，根据f（3）f（4）＜0，由函数的零点的判定定理得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=2x﹣8+log3x是连续函数，f（3）=﹣1，f（4）=log34＞0，f（3）f（4）＜0，故函数f（x）=2x﹣8+log3x的零点一定位于区间（3，4）内，故选B．5．已知，则=（）A．B．C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】将所求利用诱导公式化简，结合已知即可求值得解．【解答】解：∵，∴=cos[﹣（）]=．故选：B．6．已知函数则f（x）在区间[0，]上的最大值与最小值分别是（）A．1，﹣2 B．2，﹣1 C．1，﹣1 D．2，﹣2【考点】正弦函数的定义域和值域．【分析】根据正弦函数的图象和性质，即可求出函数的最大值和最小值．【解答】解：∵0≤x≤，∴≤2x≤，∴当2x=时，即sin（2x）=1时，函数取得最大值为2﹣1=1，当2x=时，即sin（2x）=时，函数取得最小值为﹣×2﹣1=﹣2，故选：A．7．若将函数y=cos 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：由题意，将函数y=cos 2x的图象向左平移个单位得y=cos 2（x+）=cos（2x+）的图象，令2x+=kπ，求得x=﹣，故平移后函数的对称轴为x=﹣，k∈Z，故选：C．8．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷、0.76万公顷，则沙漠增加数y（万公顷）关于年数x的函数关系较为近似的是（）A．y=0.2x B．C．D．y=0.2+log16x【考点】函数模型的选择与应用．【分析】将（1，0.2），（2，0.4），（3，0.76）分别代入四个选项，通过求值比较即可选出答案．【解答】解：将（1，0.2），（2，0.4），（3，0.76）代入y=0.2x，当x=3时，y=0.6，和0.76相差较大；将（1，0.2），（2，0.4），（3，0.76）代入，当x=3时，y=0.8，和0.76相差0.04；将（1，0.2），（2，0.4），（3，0.76）代入，当x取1，2，3所得的y值都与已知值相差甚远；将（1，0.2），（2，0.4），（3，0.76）代入y=0.2+log16x，当x=3时所得y值相差较大．综合以上分析，选用函数关系较为近似．故选B．9．在同一直角坐标系中，函数f（x）=x a（x＞0），g（x）=log a x的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0＜a＜1时和当a＞1时两种情况，讨论函数f （x ）=x a （x ≥0），g （x ）=log a x 的图象，比照后可得答案． 【解答】解：当0＜a ＜1时，函数f （x ）=x a （x ≥0），g （x ）=log a x 的图象为：此时答案D 满足要求，当a ＞1时，函数f （x ）=x a （x ≥0），g （x ）=log a x 的图象为：无满足要求的答案， 综上：故选D ， 故选：D ．10．已知函数在（﹣∞，+∞）上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（0，）C ．D ．【考点】函数单调性的性质．【分析】由已知，f 1（x ）=（2a ﹣1）x +7a ﹣2，f 2（x ）=a x 在各自的区间上均应是减函数，且当x=1时，应有f1（x）≥f2（x），求解即可．【解答】解：由已知，f1（x）=（2a﹣1）x+7a﹣2在（﹣∞，1）上单减，∴2a ﹣1＜0，a＜①f2（x）=a x在[1，+∞）上单减，∴0＜a＜1．②且当x=1时，应有f1（x）≥f2（x）．即9a﹣3≥a，∴a≥③且由①②③得，a的取值范围是[，）故选C．11．设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]【考点】分段函数的应用．【分析】当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，问题解决．【解答】解；当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，f（0）=a2，由题意得：a2≤x++a，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，∴0≤a≤2，故选：D．12．已知函数f（x）=（a是常数，且a＞0）．对于下列命题：①函数f（x）的最小值是﹣1；②函数f（x）在R上是单调函数；③若f（x）＞0在[，+∞）上恒成立，则a的取值范围是a＞1；④对任意x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有f（）＞．其中正确命题的序号是（）A ．①②B ．①③C ．③④D ．②④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①由图只需说明在点x=0处函数f （x ）的最小值是﹣1； ②只需说明函数f （x ）在R 上的单调性即可；③只需说明f （x ）＞0在[，+∞）上恒成立，则当x=时，函数取得最小值，从而求得a 的取值范围是a ＞1；④已知函数在（﹣∝，0）上的图象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，故D 正确． 【解答】解：函数f （x ）=（a 是常数，且a ＞0）的图象如下图所示：①由图可得：当x=0时，函数f （x ）的最小值是﹣1；故正确； ②由图象说明函函数f （x ）在R 上不是单调函数；故错；③若f （x ）＞0在[，+∞）上恒成立，则f （）=a ﹣1＞0，求得a 的取值范围是a ＞1；故正确；④已知函数函数在（﹣∞，0）上的图象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，即f （）＜，故错误．故正确命题的序号是：①③． 故选：B二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）13．设扇形的半径长为2，圆心角为，则扇形的面积是．【考点】扇形面积公式．【分析】设扇形的圆心角大小为α（rad），半径为r，则扇形的面积为S=r2α，由此得解．【解答】解：∵r=2，α=，∴SS=r2α=22×=．故答案为：．14．化简f（α）==﹣cosα．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式化简f（α）的解析式，可得结果．【解答】解：f（α）===﹣cosα，故答案为：﹣cosα．15．已知函数g（x）=（a+1）x﹣2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数f（x）=log3（x+a）的图象上．则实数a=7．【考点】指数函数的图象与性质．【分析】令x﹣2=0，求出A点的坐标，将A带入f（x），求出a的值即可．【解答】解：令x﹣2=0，解得：x=2，此时g（2）=2，故定点A=（2，2），又点A又在函数f（x）=log3（x+a）的图象上，则log3（a+2）=2，解得：a=7，故答案为：7．16．关于函数f（x）=sin （2x﹣）（x∈R），给出下列三个结论：①对于任意的x∈R，都有f（x）=cos （2x﹣）；②对于任意的x∈in R，都有f（x+）=f（x﹣）；③对于任意的x∈R，都有f（﹣x）=f（+x）．其中，全部正确结论的序号是①②③．．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的图象和性质进行判断即可．【解答】解：①f（x）=cos[﹣（2x﹣）]=cos（﹣2x）=cos（2x﹣），故①正确，②f（x+）=sin[2（x+）﹣）]=﹣sin（2x﹣）]，f（x﹣）=sin[2（x﹣）﹣）]=﹣sin（2x﹣），则f（x+）=f（x﹣）故②正确③f（）=sin（2×﹣）=sin=1为最大值，故x=是函数的对称轴，故③正确，故答案为：①②③．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．计算（1）lg 8+lg 125﹣（）﹣2+16+（﹣1）0（2）已知tanα=3，求的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用；对数的运算性质．【分析】（1）利用对数的运算法则、分数指数幂的运算法则，化简所给的式子，可得结果．（2）利用同角三角函数的基本关系，吧要求的式子化为，可得结果．【解答】解：（1）lg 8+lg 125﹣（）﹣2+16+（﹣1）0 =lg1000﹣49+23+1=3﹣49+8+1=﹣37．（2）∵tanα=3，∴===．18．已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}（1）若a=，求A∩B．（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．【考点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算．【分析】（1）当a=时，A={x|}，可求A∩B（2）若A∩B=∅，则A=∅时，A≠∅时，有，解不等式可求a 的范围【解答】解：（1）当a=时，A={x|}，B={x|0＜x＜1}∴A∩B={x|0＜x＜1}（2）若A∩B=∅当A=∅时，有a﹣1≥2a+1∴a≤﹣2当A≠∅时，有∴﹣2＜a≤或a≥2综上可得，或a≥219．已知函数f（x）=2sin （2x+）．（1）求函数f（x）的最小正周期及其单调减区间；（2）用“五点法”画出函数g（x）=f（x），x∈[﹣，]的图象（完成列表格并作图），由图象研究并写出g（x）的对称轴和对称中心．【考点】五点法作函数y=Asin （ωx +φ）的图象；正弦函数的图象．【分析】（1）根据正弦函数的图象与性质，求出f （x ）的最小正周期与单调减区间；（2）根据题意列出表格，根据表格画出函数在x ∈[﹣，]的图象，结合图象得出此函数没有对称轴，有一个对称中心． 【解答】解：（1）函数f （x ）=2sin （2x +），∴f （x ）的最小正周期为T==π； 令2kπ+≤2x +≤2kπ+，k ∈Z ， 则2kπ+≤2x ≤2kπ+，k ∈Z ，kπ+≤x ≤kπ+，k ∈Z ；∴函数f （x ）的单调减区间为[kπ+，kπ+]（k ∈Z ）；（2）根据题意列出表格得：）根据表格画出函数g （x ）=f （x ），x ∈[﹣，]的图象如图所示，从图象上可以直观看出，此函数没有对称轴，有一个对称中心，对称中心是（﹣，0）．20．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）设π＜x＜π，且方程f（x）=m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（2）在同一坐标系中画出y=2sin（2x+）和直线y=m（m∈R）的图象，结合正弦函数的图象的特征，数形结合求得实数m的取值范围和这两个根的和．【解答】解：（1）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得A=2，根据==﹣，求得ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=，∴φ=，f（x）=2sin（2x+）．（2）如图所示，在同一坐标系中画出y=2sin（2x+）和直线y=m（m∈R）的图象，由图可知，当﹣2＜m＜0或＜m＜2时，直线y=m与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根．∴m的取值范围为：﹣2＜m＜0或＜m＜2；当﹣2＜m＜0时，两根和为；当＜m＜2时，两根和为．21．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0时，有成立．（1）判断f（x）在[﹣1，1]上的单调性，并证明它；（2）解不等式f（x2）＜f（2x）；（3）若f（x）≤m2﹣2am+1对所有的a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．【分析】（1）利用函数单调性的定义进行证明：在区间[﹣1，1]任取x1、x2，且x1＜x2，利用函数为奇函数的性质结合已知条件中的分式，可以证得f（x1）﹣f （x2）＜0，所以函数f（x）是[﹣1，1]上的增函数；（2）由（1）可得f（x）在[﹣1，1]递增，不等式即为﹣1≤x2＜2x≤1，解不等式即可得到所求范围；（3）根据函数f（x）≤m2﹣2am+1对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，说明f（x）的最大值1小于或等于右边，因此先将右边看作a的函数，m为参数系数，解不等式组，即可得出m的取值范围．【解答】解：（1）f（x）是[﹣1，1]上的增函数．理由：任取x1、x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）∵＞0，即＞0，∵x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0．则f（x）是[﹣1，1]上的增函数．（2）由（1）可得f（x）在[﹣1，1]递增，可得不等式f（x2）＜f（2x），即为即解得0＜x≤，则解集为（0，]；（3）要使f（x）≤m2﹣2am+1对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，只须f（x）max≤m2﹣2am+1，即1≤m2﹣2am+1对任意的a∈[﹣1，1]恒成立，亦即m2﹣2am≥0对任意的a∈[﹣1，1]恒成立．令g（a）=﹣2ma+m2，只须，解得m≤﹣2或m≥2或m=0，则实数m的取值范围是{m|m=0或m≤﹣2或m≥2}．22．已知函数（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）若f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），判断f（x）在定义域上的增减性，并加以证明；（3）若0＜m＜1，使f（x）的值域为[log m m（β﹣1），log m m（α﹣1）]的定义域区间[α，β]（β＞α＞0）是否存在？若存在，求出[α，β]，若不存在，请说明理由．【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【分析】（1）先求得f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞），关于原点对称．再验证，从而可得f（x）为奇函数；（2）f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），则[α，β]⊂（3，+∞）．设x1，x2∈[α，β]，则x1＜x2，且x1，x2＞3，作差f（x1）﹣f（x2）==，从而可知当0＜m ＜1时，log m，即f（x 1）＞f （x 2）；当m ＞1时，log m ，即f （x 1）＜f （x 2），故当0＜m ＜1时，f （x ）为减函数；m ＞1时，f （x ）为增函数． （3）由（1）得，当0＜m ＜1时，f （x ）在[α，β]为递减函数，故若存在定义域[α，β]（β＞α＞0），使值域为[log m m （β﹣1），log m m （α﹣1）]，则有，从而问题可转化为α，β是方程的两个解，进而问题得解．【解答】解：（1）由得f （x ）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞），关于原点对称．∵∴f （x ）为奇函数 …（2）∵f （x ）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），则[α，β]⊂（3，+∞）． 设x 1，x 2∈[α，β]，则x 1＜x 2，且x 1，x 2＞3，f （x 1）﹣f （x 2）==∵（x 1﹣3）（x 2+3）﹣（x 1+3）（x 2﹣3）=6（x 1﹣x 2）＜0， ∴（x 1﹣3）（x 2+3）＜（x 1+3）（x 2﹣3）即，∴当0＜m ＜1时，log m ，即f （x 1）＞f （x 2）；当m ＞1时，log m ，即f （x 1）＜f （x 2），故当0＜m ＜1时，f （x ）为减函数；m ＞1时，f （x ）为增函数． …（3）由（1）得，当0＜m＜1时，f（x）在[α，β]为递减函数，∴若存在定义域[α，β]（β＞α＞0），使值域为[log m m（β﹣1），log m m（α﹣1）]，则有…∴∴α，β是方程的两个解…解得当时，[α，β]=，当时，方程组无解，即[α，β]不存在．…2017年3月10日。
宜昌一中2017届数学(文科)11月月考试卷
摸底考试数学（文科）试题全卷满分：150分 考试用时：120分钟★祝考试顺利★注意事项:1、答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数312i i i z +-=（i 为虚数单位）的虚部为( ) A ．2- B ．i 2- C ．1- D ．i -2．已知集合{}2,1,0=A ，{}222≤+=y x x B ，则B A 的子集个数为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．83．将函数x x x f cos 3sin )(-=的图象向左平移m 个单位)0(>m ，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是( )A ．6π- B ．3π C ．32π D ．65π 4．已知等比数列{}n a 中，23=a ，1664=a a ，则981312a a a a --的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．165．当曲线24x y --=与直线42-+=k kx y 有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是( )A .3(0,)4 B .53(,]124 C .3(,1]4 D .3(,)4+∞6．下列选项中，说法正确的是( )A .命题“0,2≤-∈∃x x R x ”的否定是“0,2>-∈∃x x R x ”B .命题“q p ∨错误！未找到引用源。
湖北省宜昌金东方高级中学17-18学年度高一上学期第三
湖北省宜昌金东方高级中学 2017—2018学年度上学期第三次月考高一数学试题本试题卷共4页，三大题22小题。
全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}{}|27,|1,A x x B x x x N =-<<=>∈，则的元素的个数为 A.3 B.4 C.5D.62.函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 A. B. C. D. 3.下列函数中,在区间上是增函数的是A. B. C. D. 4.要得到函数的图像，只要将函数的图像A.向左平移个单位B.向右平移3个单位C.向左平移3个单位D.向右平移个单位5.给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④sin 7π10cos πtan17π9;⑤其中符号为负的是A.①④B.②③C.③⑤D.④⑤ 6.已知f （x ）在R 上是奇函数，且f （x +4）=f （x ），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x 2，则f （7）= A.﹣2 B.2 C.﹣98 D.98 7.已知函数)0)(3sin()(>+=ωπωx x f 的最小正周期为π，则该函数的图像A.关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称B.关于直线x ＝π4对称 C.关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 D.关于直线x ＝π3对称 8.的零点所在的区间是A. B. C. D. 9. 设0.80.461.214,8,()2a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系为A.a ＞b ＞cB.b ＞a ＞cC.c ＞a ＞bD.c ＞b ＞a 10.若当时，函数始终满足，则函数1log ay x=的图象大致为A B CD 11.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ) (A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如图所示，则当t＝1100秒时，电流强度是A.－5安B.5安C.53安D.10安 12.若方程083492sin sin =-+⋅+⋅a a a x x 有解，则a 的取值范围是 A. 或 B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设函数()21,12,1x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩则____________．14.已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为 cm 2． 15.已知，且，则的值是________． 16.设函数sin()(0,(,))22y x ππωϕωϕ=+>∈-的最小正周期为，且其图像关于直线对称，则在下面四个结论中：①图像关于点对称；②图像关于点对称；③在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数；④在,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数．以上正确结论的编号为________．三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余各题12分，共70分）17（本小题满分10分）（1）已知，求)sin()tan()23sin()2cos()sin(αππαπααπαπ----+---的值；（2）已知1cos(75),180903αα+=-<<-其中,求sin(105)cos(375)αα-+-的值．18、（本小题满分12分）已知函数2()21f x x ax =-+ （1）若在区间上为单调递增函数，求实数的取值范围； （2）当时，求函数的最大值．19、（本小题满分12分）设函数的定义域为R ，并且满足1()()(),()13f x y f x f y f +=+=，且当时，．（1）求f （0）的值； （2）判断函数的奇偶性；（3）如果()(2)2f x f x ++<，求取值范围．20、（本小题满分12分）已知函数12()log )4f x x π=-．（1）求它的定义域，值域； （2）判定它的奇偶性和周期性；（3）判定它的单调区间及每一区间上的单调性． 21、（本小题满分12分）已知定义在区间上的函数的图象关于直线对称，当时，函数)22,0,0()sin()(πϕπωϕω<<->>+=A x A x f ，其图象如图3所示（1）求函数在的表达式； （2）求方程的解． 22、（本小题满分12分）已知点1122(,()),(,())A x f x B x f x 是函数2sin(y ω=点，且角φ的终边经过点，若12()()4f x f x -=时，的最小值为 （1）求函数的解析式；（2）若方程[]23()()0f x f x m -+=在内有两个不同的解，求实数m 的取值范围．x宜昌金东方高级中学2017年秋季学期12月月考高一数学答案命题人：张用玮 审题人：胡辉本试题卷共8页，四大题22小题。
学年湖北省宜昌市西陵区金东方高中高一下第一次考数学试卷理科解析版
学年湖北省宜昌市西陵区金东方高中高一下第一次考数学试卷理科解析版 The following text is amended on 12 November 2020.2016-2017学年湖北省宜昌市西陵区金东方高中高一（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．（5分）在△ABC中，a=3，b=，A=120°，则B等于（）A．120°B．60°C．45°D．30°2．（5分）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（）A．B．C．D．3．（5分）下列各式中，值为的是（）A．sin15°cos15°B．C．D．4．（5分）将函数f（x）=cos（π+x）（cosx﹣2sinx）+sin2x的图象向左平移后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A．最大值为，图象关于直线对称B．周期为π，图象关于对称C．在上单调递增，为偶函数D ．在上单调递增，为奇函数5．（5分）已知A （3，0），B （0，3），C （cosα，sinα），若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知等差数列{a n }与等差数列{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若，则=（ ）A ．B ．C ．D ．7．（5分）函数f （x ）=Acos （ωx +）（A ＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f （1）+f （2）+…+f （2011）+f （2012）的值为（ ） A ．2+B ．C ．D ．08．（5分）已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=2a n +1（n ∈N *），S n 为其前n 项和，则S 5的值为（ ）A ．57B ．61C ．62D ．639．（5分）等比数列{a n }各项为正，a 3，a 5，﹣a 4成等差数列．S n 为{a n }的前n 项和，则=（ ）A ．2B ．C ．D ．10．（5分）已知数列{a n }满足：a 1=2，a n+1=（+1）2+1，则a 12=（ ）A ．101B ．122C ．145D ．17011．（5分）已知首项为正数的等差数列{a n }满足：a 2005+a 2006＞0，a 2005a 2006＜0，则使前项S n ＞0成立的最大自然数n 是（ ） A ．4009B ．4010C ．4011D ．401212．（5分）已知数列{a n }中，且{a n }单调递增，则k 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，2]B ．（﹣∞，3）C ．（﹣∞，2）D ．（﹣∞，3]二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）等差数列{a n }中，a 2=5，a 5=33，则a 3+a 4= ． 14．（5分）已知△ABC 中，，，且＜0，则= ．15．（5分）已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1+a 4=9，a 2a 3=8，则数列{a n }的前n 项和等于 ．16．（5分）△ABC 中，a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，S △ABC =，那么b= ．三、解答题（本题共6道小题，第17题10分，第18题至第22题每题12分．共计70分）17．（10分）（Ⅰ）已知在△ABC中，AB=1，BC=2，∠B=，=，=求（2﹣3）（4+）；（Ⅱ）已知向量=（2，1），=（﹣1，3），且向量t+与向量﹣平行，求t 的值．18．（12分）已知数列{an }是一个等差数列，且a2=1，a5=﹣5．（Ⅰ）求{an }的通项an；（Ⅱ）求{an }前n项和Sn的最大值及相应的n的值．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＜b＜c，=．（1）求角B的大小；（2）若a=2，c=3，求b边的长和△ABC的面积．20．（12分）已知数列{an }和{bn}满足a1=2，b1=1，an+1=2an（n∈N*），b1+b2+b3+…+=bn+1﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求an 与bn；（Ⅱ）记数列{an bn}的前n项和为Tn，求Tn．21．（12分）已知数列{an }中，a1=2，an+1=2﹣，数列{bn}中，bn=，其中n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{bn}是等差数列；（Ⅱ）设Sn 是数列{bn}的前n项和，求++…+．22．（12分）已知函数（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性并证明；（Ⅱ）若对于x∈[2，4]，恒有成立，求m的取值范围．2016-2017学年湖北省宜昌市西陵区金东方高中高一（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．（5分）（2016春红桥区期中）在△ABC中，a=3，b=，A=120°，则B等于（）A．120°B．60°C．45°D．30°【分析】由已知利用正弦定理可求sinB的值，利用大边对大角可得B为锐角，从而得解．【解答】解：∵在△ABC中，a=3，b=，A=120°，∴由，可得：sinB===，∵b＜a，B为锐角，∴B=30°．故选：D．【点评】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，大边对大角等知识在解三角形中的应用，属于基础题．2．（5分）（2015重庆）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（）A．B．C．D．【分析】由已知向量垂直得到数量积为0，于是得到非零向量的模与夹角的关系，求出夹角的余弦值．【解答】解：由已知非零向量满足||=4||，且⊥（），设两个非零向量的夹角为θ，所以（）=0，即2=0，所以cosθ=，θ∈[0，π]，所以；故选C．【点评】本题考查了向量垂直的性质运用以及利用向量的数量积求向量的夹角；熟练运用公式是关键．3．（5分）（2016秋定州市校级期末）下列各式中，值为的是（）A．sin15°cos15°B．C．D．【分析】由条件利用二倍角公式、两角和的差三角公式，求出各个选项中式子的值，从而得出结论．【解答】解：由于sin15°cos15°=sin30°=，故排除A．由于﹣=cos=，故排除B．由于=tan60°=，满足条件．由于=cos15°=cos（45°﹣30°）=cos45°cos30°+sin45°sin30°=，故排除D，故选：C．【点评】本题主要二倍角公式、两角和的差三角公式，属于基础题．4．（5分）（2012秋麻城市校级期末）将函数f（x）=cos（π+x）（cosx﹣2sinx）+sin2x的图象向左平移后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A．最大值为，图象关于直线对称B．周期为π，图象关于对称C．在上单调递增，为偶函数D．在上单调递增，为奇函数【分析】利用三角函数的恒等变换求得f（x）=sin（2x﹣），根据函数y=Asin（ωx+）的图象变换规律求得g（x）=sin2x，从而得出结论．【解答】解：函数f（x）=cos（π+x）（cosx﹣2sinx）+sin2x=﹣cosx（cosx﹣2sinx）+sin2x=﹣cos2x+sin2x=sin（2x﹣），把函数f（x）的图象向左平移后得到函数g（x）=sin[2（x+）﹣]=sin2x 的图象，故函数g（x）在上单调递增，为奇函数，故选D．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+）的图象变换规律，三角函数的恒等变换，三角函数的图象和性质，属于中档题．5．（5分）（2010陕西模拟）已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），若，则的值为（）A． B．C．D．【分析】由A，B，C的坐标求出和，根据平面向量数量积的运算法则及同角三角函数间的基本关系化简得到sinα+cosα的和，然后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求出sin（α+）的值．【解答】解：∵=（cosα﹣3，sinα），=（cosα，sinα﹣3）∴=（cosα﹣3）cosα+sinα（sinα﹣3）=﹣1得cos2α+sin2α﹣3（cosα+sinα）=﹣1∴，故sin（α+）=（sinα+cosα）=×=故选B【点评】此题考查学生掌握平面向量的数量积的运算，灵活运用两角和的正弦函数公式、同角三角函数间的基本关系及特殊角的三角函数值化简求值，是一道中档题．6．（5分）（2017春西陵区校级月考）已知等差数列{an }与等差数列{bn}的前n项和分别为Sn 和Tn，若，则=（）A． B．C．D．【分析】由等差数列的求和公式和性质可得==，代值计算可得．【解答】解：由等差数列的求和公式和性质可得===．故选C．【点评】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，属基础题．7．（5分）（2015秋衡水校级期末）函数f（x）=Acos（ωx+）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（1）+f（2）+…+f（2011）+f（2012）的值为（）A．2+B．C．D．0【分析】根函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）及其图象，可以求得A=2，ω=，利用函数的周期性可以求得答案．【解答】解：由图象知A=2，T=可得ω=，由五点对应法得，可求得，∴，又f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2sin+2sin+2sin+2sinπ=2×+2+2×=2+2，故选：C ．【点评】本题考查三角函数解析式的求解，根据三角函数的图象与周期性是解决本题的关键．，难点在于根据图象求得A ，ω，φ的值，属于中档题．8．（5分）（2016秋龙岩期末）已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=2a n +1（n ∈N *），S n 为其前n 项和，则S 5的值为（ ） A ．57 B ．61 C ．62 D ．63【分析】由a n =2a n ﹣1+1，得a n +1=2（a n ﹣1+1）（n ≥2），可判断{a n +1}是以2为公比，2为首项的等比数列，由此可求得a n ，然后利用分组求和法可得S n ，当n=5时，代入即可求得S 5=64﹣5﹣2=57，即可得到答案． 【解答】解：由a n+1=2a n +1 ∴a n+1+1=2（a n +1）， ∵a 1=1，∴所以{a n +1}是以2为公比，2为首项的等比数列， 所以a n +1=22n ﹣1=2n ， ∴a n =2n ﹣1，∴S n =（2﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n ﹣1） =（2+22+23+…+2n ）﹣n ，=﹣n ，S n =2n+1﹣n ﹣2． =2n+1﹣n ﹣2．∴当n=5时，S 5=64﹣5﹣2=57， 故答案选：A ．【点评】本题考查由数列递推式求数列通项、求等比数列前n 项和等知识，考查转化思想，属中档题．9．（5分）（2013湖南模拟）等比数列{a n }各项为正，a 3，a 5，﹣a 4成等差数列．S n 为{a n }的前n 项和，则=（ ）A ．2B ．C ．D ．【分析】设{a n }的公比为q （q ≠0，q ≠1），利用a 3，a 5，﹣a 4成等差数列结合通项公式，可得2a 1q 4=a 1q 2﹣a 1q 3，由此即可求得数列{a n }的公比，进而求出数列的前n 项和公式，可得答案．【解答】解：设{a n }的公比为q （q ＞0，q ≠1） ∵a 3，a 5，﹣a 4成等差数列， ∴2a 1q 4=a 1q 2﹣a 1q 3，∵a 1≠0，q ≠0， ∴2q 2+q ﹣1=0，解得q=或q=﹣1（舍去）∴===故选C【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，熟练运用等差数列的性质，等比数列的通项是解题的关键．10．（5分）（2017春西陵区校级月考）已知数列{a n }满足：a 1=2，a n+1=（+1）2+1，则a 12=（ ）A ．101B ．122C ．145D ．170【分析】a n+1=（+1）2+1＞0，可得=（+1）2，﹣=1，利用等差数列的通项公式即可得出． 【解答】解：∵a n+1=（+1）2+1＞0， 则=（+1）2， ∴﹣=1，∴数列是等差数列，公差为1．∴=1=（n ﹣1）=n ，可得a n =n 2+1，∴a 12=122+1=145． 故选：C ．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）（2017春西陵区校级月考）已知首项为正数的等差数列{a n }满足：a 2005+a 2006＞0，a 2005a 2006＜0，则使前项S n ＞0成立的最大自然数n 是（ ） A ．4009B ．4010C ．4011D ．4012【分析】根据题意可知：此等差数列的1到2005项每一项都大于0，从第2006项开始每一项都小于0，然后利用等差数列的前n 项和公式表示出前4010项的和与前4011项的和，分别利用等差数列的性质变形后，根据a 2005+a 2006＞0与a 2006＜0，判断出前4010项的和为正与前4011项的和为负，即可求出满足题意的最大自然数n 的值．【解答】解：由题意知：等差数列中，从第1项到第2005项是正数，且从第2006项开始为负数，则S 4010=2005（a 1+a 4010）=2005（a 2005+a 2006）＞0， S 4011==4011a 2006＜0，故n 的最大值为4010．故选B【点评】此题考查了等差数列的性质及等差数列的通项公式．本小题结论可以推广成一般结论：等差数列中，a1＞0，ak+ak+1＞0，且akak+1＜0，则使前n项和Sn＞0的最大自然数n是2k．12．（5分）（2013朝阳区校级二模）已知数列{an }中，且{an}单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，3）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，3]【分析】该题需注意变量n的特殊性，根据函数的单调性可得an+1﹣an＞0对于n∈N*恒成立，建立关系式，解之即可求出k的取值范围．【解答】解：∵数列{an }中，且{an}单调递增∴an+1﹣an＞0对于n∈N*恒成立即（n+1）2﹣k（n+1）﹣（n2﹣kn）=2n+1﹣k＞0对于n∈N*恒成立∴k＜2n+1对于n∈N*恒成立，即k＜3故选B．【点评】本题主要考查了数列的性质，本题易错误地求导或把它当成二次函数来求解，注意n的取值是解题的关键，属于易错题．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2017春西陵区校级月考）等差数列{a n }中，a 2=5，a 5=33，则a 3+a 4= 38 ．【分析】由等差数列的定义和性质可得a 2+a 5 =a 3+a 4，把条件代入运算求得结果． 【解答】解：等差数列{a n }中，a 2=5，a 5=33，则a 2+a 5 =a 3+a 4=5+33=38， 故答案为 38．【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，属于基础题． 14．（5分）（2012秋正定县校级期中）已知△ABC 中，，，且＜0，则= 7 ．【分析】由三角形的面积公式可得sin ∠BAC=，进而可得cos ∠BAC=，而==，代入值化简即得答案．【解答】解：由题意可得S △ABC =sin ∠BAC=，代入值解得sin ∠BAC=，由＜0可知∠BAC 为钝角，故cos ∠BAC=，所以====7故答案为：7【点评】本题考查向量的基本运算，涉及三角形的面积公式，属中档题．15．（5分）（2015安徽）已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1+a 4=9，a 2a 3=8，则数列{a n }的前n 项和等于 2n﹣1 ．【分析】利用等比数列的性质，求出数列的首项以及公比，即可求解数列{a n }的前n 项和．【解答】解：数列{a n }是递增的等比数列，a 1+a 4=9，a 2a 3=8， 可得a 1a 4=8，解得a 1=1，a 4=8， ∴8=1×q 3，q=2， 数列{a n }的前n 项和为：=2n ﹣1．故答案为：2n ﹣1．【点评】本题考查等比数列的性质，数列{a n }的前n 项和求法，基本知识的考查． 16．（5分）（2010京口区校级模拟）△ABC 中，a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，S △ABC =，那么b=． 【分析】由三边成等差数列得2b=a+c ，两边平方待用，由三角形面积用正弦定理得到ac=6，用余弦定理写出b 2的表示式，代入前面得到的两个等式，题目变化为关于b 2方程，解出变量开方即得． 【解答】解：∵a 、b 、c 成等差数列， ∴2b=a+c ，∴4b2=a2+c2+2ac，①=，∵S△ABC∴ac=6②∵b2=a2+c2﹣2accosB③由①②③得，∴．故答案为：．【点评】本题解题过程有点麻烦，在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清．三、解答题（本题共6道小题，第17题10分，第18题至第22题每题12分．共计70分）17．（10分）（2017春西陵区校级月考）（Ⅰ）已知在△ABC中，AB=1，BC=2，∠B=，=，=求（2﹣3）（4+）；（Ⅱ）已知向量=（2，1），=（﹣1，3），且向量t+与向量﹣平行，求t 的值．【分析】（I）根据平面向量的坐标表示与运算性质，计算即可；（II）根据平面向量共线定理，列出方程求出t的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，AB=1，BC=2，∠B=，=，=，∴、的夹角为，∴=1×2×cos=﹣1；∴（2﹣3）（4+）=8﹣10﹣3=8×12﹣10×（﹣1）﹣3×22=6；…（5分）（Ⅱ）向量=（2，1），=（﹣1，3），∴t+=（2t﹣1，t+3），﹣=（3，﹣2）；又向量t+与向量﹣平行，∴﹣2（2t﹣1）﹣3（t+3）=0，解得t=﹣1…（10分）【点评】本题考查了平面向量的运算与向量共线定理的应用问题，是基础题．18．（12分）（2013秋平邑县校级期中）已知数列{an}是一个等差数列，且a2=1，a5=﹣5．（Ⅰ）求{an }的通项an；（Ⅱ）求{an }前n项和Sn的最大值及相应的n的值．【分析】（Ⅰ）设{an }的公差为d，由已知可得关于a1，d的方程组，解出a1，d利用等差数列的通项公式可求得an；（Ⅱ）利用等差数列的求和公式表示出Sn ，借助二次函数的性质可求得Sn的最大值及相应的n的值．【解答】解：（I）设{an}的公差为d，由已知条件，得，解得a1=3，d=﹣2．∴an =a1+（n﹣1）d=﹣2n+5．（II）Sn =na1+d=﹣n2+4n=4﹣（n﹣2）2．∴n=2时，Sn取得最大值为4．【点评】本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式，考查方程思想，考查学生的运算能力．19．（12分）（2014揭阳学业考试）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＜b＜c，=．（1）求角B的大小；（2）若a=2，c=3，求b边的长和△ABC的面积．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，求出sinB的值，即可确定出B的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，将a，c，cosB的值代入求出b的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．【解答】解：（1）∵=，=，∴=，即sinB=，∵B为三角形内角，且a＜b＜c，∴B＜C，则B=；（2）∵a=2，c=3，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=4+9﹣6=7，即b=；则S△ABC=acsinB=×2×3×=．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20．（12分）（2017春西陵区校级月考）已知数列{an }和{bn}满足a1=2，b1=1，an+1=2an（n∈N*），b1+b2+b3+…+=bn+1﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求a n 与b n ；（Ⅱ）记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n ．【分析】（Ⅰ）利用公式直接计算可知数列{a n }的通项公式，通过作差可知，进而可得b n =n ；（Ⅱ）通过（1）可知a n b n =n2n ，即可利用错位相加法计算数列的和． 【解答】解：（Ⅰ）由a 1=2，a n+1=2a n ，得：；由b 1=1，b 1+b 2+b 3+…+=b n+1﹣1知，当n=1时，b 1=b 2﹣1，故b 2=2．当n ≥2时，，整理得：，∴，，…，（n ≥2）．累积可得：b n =n ， 验证b 1=1成立， ∴b n =n ；（Ⅱ）由（1）知，，∴数列{a n b n }的前n 项和为T n =2+2×22+3×23+…+n ×2n ，，作差可得：==2n+1﹣2﹣n×2n+1，∴．【点评】本题考查数列的递推关系式，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．21．（12分）（2017春西陵区校级月考）已知数列{an }中，a1=2，an+1=2﹣，数列{bn }中，bn=，其中n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{bn}是等差数列；（Ⅱ）设Sn 是数列{bn}的前n项和，求++…+．【分析】（Ⅰ）由bn =，则bn+1=，则bn+1﹣bn=1，则数列{bn}是等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知bn =n，bn=n，利用等差数列的前n项和公式可知Sn=，则==6（﹣），利用“裂项法”即可求得答案．【解答】解：（Ⅰ）证明：由bn =，则bn+1===，∴bn+1﹣bn=﹣=1．n∈N *∴{bn }是首项为b1==1，公差为1的等差数列．（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知bn =n，bn=n，则S=（1+2+3+…+n）=，n于是==6（﹣），∴++…+=6[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=6（1﹣）=，∴++…+=．【点评】本题考查数列通项公式的求法，考查等差数列前n项和，“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．22．（12分）（2017春西陵区校级月考）已知函数（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性并证明；（Ⅱ）若对于x∈[2，4]，恒有成立，求m的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据函数奇偶性的定义进行判断即可；（Ⅱ）根据对数函数的单调性，将不等式恒成立进行转化，利用参数分离法进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵解得x＞1或x＜﹣1，∴函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），函数f（x）为奇函数，证明如下：由（I）知函数f（x）的定义域关于原点对称，又∵f（﹣x）=loga =loga=loga（）﹣1==﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数；（Ⅱ）若对于x∈[2，4]，f（x）＞loga恒成立，即loga＞对x∈[2，4]恒成立，当a＞1时，即对x∈[2，4]成立．则x+1＞，即（x+1）（7﹣x）＞m成立，设g（x）=（x+1）（7﹣x）=﹣（x﹣3）2+16，∵x∈[2，4]∴g（x）∈[15，16]，则0＜m＜15，同理当0＜a＜1时，即对x∈[2，4]成立．则x+1＜，即（x+1）（7﹣x）＜m成立，设g（x）=（x+1）（7﹣x）=﹣（x﹣3）2+16，∵x∈[2，4]∴g（x）∈[15，16]，则m＞16，综上所述：a＞1时，0＜m＜15，0＜a＜1时，m＞16．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断以及不等式恒成立问题，利用对数函数的单调性，利用参数分离法进行求解即可，属于难题．。
2016-2017年湖北省宜昌市金东方高中高二(下)第一次月考数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年湖北省宜昌市金东方高中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）当＜m＜1时，复数m（3+i）﹣（2+i）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM ＝2MA，N为BC的中点，则等于（）A．﹣+B．﹣++C．D．3．（5分）执行如图所示的程序框图．若n＝5，则输出s的值是（）A．﹣21B．11C．43D．864．（5分）双曲线x2﹣my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于（）A．B．C．2D．45．（5分）已知命题p：“∀x∈R时，都有”；命题q：“∃x°∈R，使sin x°+cos x°＝2时”，则下列判断正确的是（）A．p∨q为假命题B．p∧q为真命题C．￢p∧q为真命题D．￢p∨￢q为假命题6．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α7．（5分）若实数a，b满足a2+b2≤1，则关于x的方程x2﹣2x+a+b＝0有实数根的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）设n＝4sin xdx，则（x+）（x﹣）n的展开式中各项系数和为（）A．1B．2C．3D．49．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，P A⊥平面ABC，且P A＝AB，则二面角A﹣PB﹣C的平面角的正切值为（）A．B．C．D．10．（5分）若函数f（x）＝x2+ax+在（，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，+∞）C．[0，3]D．[3，+∞）11．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．412．（5分）已知F1、F2为双曲线的左、右焦点，P为右支上任意一点，若的最小值为8a，则该双曲线的离心率e的取值范围为（）A．（1，2]B．（1，3]C．[2，3]D．[3，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）.13．（5分）（x3+）7的展开式中的x5的系数是（用数字填写答案）14．（5分）若命题“∀x∈R，ax2+2x+1＞0”为真命题，则a的取值范围为．15．（5分）过点（﹣4，0）作直线L与圆x2+y2+2x﹣4y﹣20＝0交于A、B两点，如果|AB|＝8，则L的方程为．16．（5分）如图，把椭圆的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F是椭圆的一个焦点则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|＝．三、解答题（本大题共6小题，满分70分）17．（10分）已知p：2x2﹣3x﹣2≥0，q：x2﹣（2a﹣2）x+a（a﹣2）≥0，若p是q的充分不必要条件．求实数a的取值范围．18．（12分）某同学在篮球场上进行投篮训练，先投“2分的篮”2次，每次投中的概率为，每投中一次得2分，不中得0分；再投“3分的篮”1次，每次投中的概率为，投中得3分，不中得0分，该同学每次投篮的结果相互独立，假设该同学要完成以上三次投篮．（1）求该同学恰好有2次投中的概率；（2）求该同学所得分X的分布列．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等边三角形，D是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）若AB＝BB1，求A1D与平面ADC1所成角的正弦值．20．（12分）某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米（四舍五入，精确到0.1米）以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小组的频数是7．（1）求进入决赛的人数；（2）经过多次测试后发现，甲成绩均匀分布在8～10米之间，乙成绩均匀分布在9.5～10.5米之间，现甲，乙各跳一次，求甲比乙远的概率．21．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|F A|＝|FD|．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（1）求C的方程；（2）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，证明直线AE过定点，并求出定点坐标．22．（12分）设函数f（x）＝﹣k（+lnx）（k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．2016-2017学年湖北省宜昌市金东方高中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）当＜m＜1时，复数m（3+i）﹣（2+i）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：化简得（3m﹣2）+i（m﹣1），又∵∴3m﹣2＞0，m﹣1＜0∴所对应的点在第四象限故选：D．2．（5分）在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM ＝2MA，N为BC的中点，则等于（）A．﹣+B．﹣++C．D．【解答】解：因为空间四边形OABC如图，，，，点M在线段OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，所以＝．所以＝．故选：B．3．（5分）执行如图所示的程序框图．若n＝5，则输出s的值是（）A．﹣21B．11C．43D．86【解答】解：框图首先输入n＝5，给s赋值1，给i赋值1．判断1≤5成立，执行s＝1+（﹣2）1＝﹣1，i＝1+1＝2；判断2≤5成立，执行s＝﹣1+（﹣2）2＝3，i＝2+1＝3；判断3≤5成立，执行s＝3+（﹣2）3＝﹣5，i＝3+1＝4；判断4≤5成立，执行s＝﹣5+（﹣2）4＝11，i＝4+1＝5；判断5≤5成立，执行s＝11+（﹣2）5＝﹣21，i＝5+1＝6；判断6≤5不成立，跳出循环，输出s的值为﹣21．故选：A．4．（5分）双曲线x2﹣my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于（）A．B．C．2D．4【解答】解：双曲线x2﹣my2＝1化为，∴a2＝1，，∵实轴长是虚轴长的2倍，∴2a＝2×2b，化为a2＝4b2，，解得m＝4．故选：D．5．（5分）已知命题p：“∀x∈R时，都有”；命题q：“∃x°∈R，使sin x°+cos x°＝2时”，则下列判断正确的是（）A．p∨q为假命题B．p∧q为真命题C．￢p∧q为真命题D．￢p∨￢q为假命题【解答】解：命题p：取x＝时，x2﹣x+＝0，因此p是假命题：命题q：∵sin x+cos x＝≤，因此q是假命题．∴p∨q是假命题．故选：A．6．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选：B．7．（5分）若实数a，b满足a2+b2≤1，则关于x的方程x2﹣2x+a+b＝0有实数根的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵实数a，b满足a2+b2≤1，∴以a为横坐标、b为纵坐标建立直角坐标系，可得所有的点（a，b）在以O为圆心，半径为1的圆及其内部，即单位圆及其内部，如图所示若关于x的方程x2﹣2x+a+b＝0有实数根，则满足△＝4﹣4（a+b）≥0，解之得a+b≤1符合上式的点（a，b）在圆内且在直线a+b＝1的下方，其面积为S1＝π×12+×1×1＝，又∵单位圆的面积为S＝π×12＝π∴关于x的方程x2﹣2x+a+b＝0无实数根的概率为P＝＝＝故选：C．8．（5分）设n＝4sin xdx，则（x+）（x﹣）n的展开式中各项系数和为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：n＝4sin xdx＝＝4，令x＝1，可得（x+）的展开式中各项系数和＝3×（﹣1）4＝3．故选：C．9．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，P A⊥平面ABC，且P A＝AB，则二面角A﹣PB﹣C的平面角的正切值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知，取AB的中点为D，连结CD，过D作DE⊥PB，交PB于E，连CE，△ABC为等边三角形，故CD⊥AB，又P A⊥面ABC，所以CD⊥P A，CD⊥平面P AB，而DE⊥PB，由三垂线定理，得CE⊥PB，所以∠CED为二面角A﹣PB﹣C的平面角，设AB＝2，则CD＝，∵△P AB是等腰直角三角形，且DE是斜边上中线的一半，∴DE＝，∴tan∠CED＝＝＝．故选：A．10．（5分）若函数f（x）＝x2+ax+在（，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，+∞）C．[0，3]D．[3，+∞）【解答】解：由f（x）＝x2+ax+，得f′（x）＝2x+a﹣＝，令g（x）＝2x3+ax2﹣1，要使函数f（x）＝x2+ax+在（，+∞）是增函数，则g（x）＝2x3+ax2﹣1在x∈（，+∞）大于等于0恒成立，g′（x）＝6x2+2ax＝2x（3x+a），当a＝0时，g′（x）≥0，g（x）在R上为增函数，则有g（）≥0，解得+﹣1≥0，a≥3（舍）；当a＞0时，g（x）在（0，+∞）上为增函数，则g（）≥0，解得+﹣1≥0，a≥3；当a＜0时，同理分析可知，满足函数f（x）＝x2+ax+在（，+∞）是增函数的a的取值范围是a≥3（舍）．故选：D．11．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4【解答】解：几何体的直观图如图：AB＝4，BD＝4，C到BD的中点的距离为：4，∴．AC＝＝6，AD＝4，显然AC最长．长为6．故选：B．12．（5分）已知F1、F2为双曲线的左、右焦点，P为右支上任意一点，若的最小值为8a，则该双曲线的离心率e的取值范围为（）A．（1，2]B．（1，3]C．[2，3]D．[3，+∞）【解答】解：由定义知：|PF1|﹣|PF2|＝2a，|PF1|＝2a+|PF2|＝＝，当且仅当，即|PF2|＝2a时取得等号设P（x0，y0）（x0≤﹣a）由焦半径公式得：|PF2|＝﹣ex0﹣a＝2aex0＝﹣3ae＝﹣≤3又双曲线的离心率e＞1∴e∈（1，3]故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）.13．（5分）（x3+）7的展开式中的x5的系数是35（用数字填写答案）【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，T r+1＝＝；要求展开式中含x5的项的系数，∴21﹣4r＝5，∴r＝4，可得：＝35．故答案为：35．14．（5分）若命题“∀x∈R，ax2+2x+1＞0”为真命题，则a的取值范围为（1，+∞）．【解答】解：∵p（x）：ax2+2x+1＞0，若对∀x∈R，p（x）是真命题，①当a＝0时，2x+1＞0不恒成立．②当a≠0时，解得a＞1，故实数a的取值范围为（1，+∞），故答案为：（1，+∞）15．（5分）过点（﹣4，0）作直线L与圆x2+y2+2x﹣4y﹣20＝0交于A、B两点，如果|AB|＝8，则L的方程为x＝﹣4或5x+12y+20＝0．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y﹣20＝0 即（x+1）2+（y﹣2）2＝25，∴圆心（﹣1，2），半径等于5，设圆心到直线的距离为d，由弦长公式得8＝2∴d＝3．当直线L的斜率不存在时，方程为x＝﹣4，满足条件．当直线L的斜率存在时，设斜率等于k，直线L的方程为y﹣0＝k（x+4），即kx﹣y+4k＝0，由圆心到直线的距离等于3得＝3，∴k＝﹣，直线L的方程为5x+12y+20＝0．综上，满足条件的直线L的方程为x＝﹣4或5x+12y+20＝0，故答案为：x＝﹣4或5x+12y+20＝0．16．（5分）如图，把椭圆的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F是椭圆的一个焦点则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|＝35．【解答】解：∵椭圆的方程为+＝1，∴a＝5，b＝4，c＝3．∵F是椭圆的一个焦点，设F′为椭圆的另一焦点，依题意|P1F|＝|P7F′|，|P2F|＝|P6F′|，|P3F|＝|P4F′|，∴|P1F|+|P7F|＝|P2F|+|P6F|＝|P3F|+|P4F|＝2a＝10，∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|＝×2a＝7a＝35．故答案为：35．三、解答题（本大题共6小题，满分70分）17．（10分）已知p：2x2﹣3x﹣2≥0，q：x2﹣（2a﹣2）x+a（a﹣2）≥0，若p是q的充分不必要条件．求实数a的取值范围．【解答】解：∵p：2x2﹣3x﹣2≥0，∴p：x≤﹣或x≥2，q：x2﹣（2a﹣2）x+a（a﹣2）≥0，即（x﹣a）（x﹣（a﹣2））≥0，解得x≤a﹣2或x≥a，p是q的充分不必要条件，∴p⇒q，且q推不出p，∴解得≤a≤2所以实数a的取值范围是：[，1]．18．（12分）某同学在篮球场上进行投篮训练，先投“2分的篮”2次，每次投中的概率为，每投中一次得2分，不中得0分；再投“3分的篮”1次，每次投中的概率为，投中得3分，不中得0分，该同学每次投篮的结果相互独立，假设该同学要完成以上三次投篮．（1）求该同学恰好有2次投中的概率；（2）求该同学所得分X的分布列．【解答】解：（1）总共有3次投篮，每次投不中记0，共23＝8，中情形，其中只有2次中的情形，（1，1，0），（1，0，1）（0，1，1）3种，其发生的概率为P＝×（1﹣）+×（1﹣）×+（1﹣）××＝；（2）得分共有6种情形，X＝0，2，3，4，5，7，得分X＝0，的情形（0，0，0），P＝××＝，得分X＝2，的情形（1，0，0），（0，1，0），P＝2×××＝，得分X＝3，的情形（0，0，1），P＝××＝，得分X＝4，的情形（1，1，0），P＝××＝，得分X＝5，的情形（1，0，1），（0，1，1），P＝2×××＝，得分X＝7，的情形（1，1，1），P＝××＝，∴X的分布列为：19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等边三角形，D是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）若AB＝BB1，求A1D与平面ADC1所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴四边形A1ACC1是矩形．连接A1C交AC1于E，则E是A1C的中点，又D是BC的中点，在△A1BC中，ED∥A1B．∵A1B⊄平面ADC1，ED⊂平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1．（2）解：∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC．以D为原点，建立如图所示空间坐标系D﹣xyz．令AB＝BB1＝2，得：D（0，0，0），A（，0，0），A1（，0，2），C1（0，﹣1，2）．则＝（，0，0），＝（0，﹣1，2），设平面ADC1的法向量为＝（x，y，z），得到，令z＝1，则x＝0，y＝2，∴＝（0，2，1）又＝（，0，2），∴cos＜，＞＝＝，所以A1D与平面ADC1所成角的正弦值为．20．（12分）某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米（四舍五入，精确到0.1米）以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小组的频数是7．（1）求进入决赛的人数；（2）经过多次测试后发现，甲成绩均匀分布在8～10米之间，乙成绩均匀分布在9.5～10.5米之间，现甲，乙各跳一次，求甲比乙远的概率．【解答】解：（1）第6小组的频率为1﹣（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）＝0.14，∴总人数为＝50（人）．…（2分）∴第4、5、6组成绩均进入决赛，人数为（0.28+0.30+0.14）×50＝36（人）即进入决赛的人数为36．…（6分）（2）设甲、乙各跳一次的成绩分别为x、y米，则基本事件满足的区域为，事件A“甲比乙远的概率”满足的区域为x＞y，如图所示．…（10分）∴由几何概型P（A）＝＝．即甲比乙远的概率为．…（12分）21．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|F A|＝|FD|．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（1）求C的方程；（2）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，证明直线AE过定点，并求出定点坐标．【解答】解：（1）由题意知F（，0），设D（t，0）（t＞0），则FD的中点为（，0），因为|F A|＝|FD|，由抛物线的定义知：3+＝|t﹣|，解得t＝3+p或t＝﹣3（舍去）．由＝3，解得p＝2．所以抛物线C的方程为C的方程为y2＝4x．（2）由（1）知F（1，0），设A（x1，y1），|FD|＝|AF|＝x1+1，∴D（x1+2，0），故直线AB的斜率为﹣，因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为y＝﹣x+b，代入抛物线方程得y2+y﹣＝0，由题意△＝0，得b＝﹣．设E（x2，y2），则x2＝，y2＝﹣．当y12≠4时，k AE＝，可得直线AE的方程为y﹣y1＝（x﹣x1），由y12＝4x1，整理可得y＝（x﹣1），直线AE恒过点F（1，0），当y12＝4时，直线AE的方程为x＝1，过点F（1，0），所以直线AE过定点F（1，0）．22．（12分）设函数f（x）＝﹣k（+lnx）（k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）＝﹣k（﹣）＝（x＞0），当k≤0时，kx≤0，∴e x﹣kx＞0，令f′（x）＝0，则x＝2，∴当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，k≤0时，函数f（x）在（0，2）内单调递减，故f（x）在（0，2）内不存在极值点；当k＞0时，设函数g（x）＝e x﹣kx，x∈（0，+∞）．∵g′（x）＝e x﹣k＝e x﹣e lnk，当0＜k≤1时，当x∈（0，2）时，g′（x）＝e x﹣k＞0，y＝g（x）单调递增，故f（x）在（0，2）内不存在两个极值点；当k＞1时，得x∈（0，lnk）时，g′（x）＜0，函数y＝g（x）单调递减，x∈（lnk，+∞）时，g′（x）＞0，函数y＝g（x）单调递增，∴函数y＝g（x）的最小值为g（lnk）＝k（1﹣lnk）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点当且仅当解得：e综上所述，函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点时，k的取值范围为（e，）。
湖北省宜昌市金东方高级中学2016-2017学年高一下学期
2016-2017学年湖北省宜昌市金东方高级中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a1=4，则公差d等于（）A．1 B．C．﹣2 D．32．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于（）A．a2B．2a2C．a2D．a23．已知△ABC中，a=4，b=4，∠A=30°，则∠B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°4．函数是（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数5．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知bcosC+ccosB=2b，则=（）A．2 B．C．D．16．已知数列{a n}满足a1=33，a n﹣a n=2n，则的最小值为（）+1A．2﹣1 B．C．D．7．数列{a n}的通项公式a n=，它的前n项和为S n=9．则n=（）A．9 B．10 C．99 D．1008．已知x，y∈R+且x+y=4，则使不等式≥m恒成立的实数m的取值范围为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，]C．（3，+∞）D．（﹣∞，]9．已知甲、乙两地距丙的距离均为100km，且甲地在丙地的北偏东20°处，乙地在丙地的南偏东40°处，则甲乙两地的距离为（）A．100km B．200km C．100km D．100km10．等差数列{a n}共有2n+1项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则n的值是（）A．3 B．5 C．7 D．911．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且a、b、c成等比数列，a+c=3，tanB=，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．12．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z 的最大值为（）A．1 B．C．2 D．二．填空题（每小题4分，每小题4分，共20分）13．如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是．=a n+3，那么|a1|+|a2|+…+|a30|的值为．14．已知数列a n中，a1=﹣60，a n+115．关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n．其中真命题的序号是．16．若数列{a n}，{b n}的通项公式分别是a n=（﹣1）2017•a，b n=2+对任意n∈N*恒成立，则常数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知O为坐标原点，=（2cos2x，1），=（1，sin2x+a）（x∈R，a∈R，a是常数），若y=•．（Ⅰ）求y关于x的函数解析式f（x）；（Ⅱ）若x∈[0，]时，f（x）的最大值为2，求a的值并指出f（x）的单调区间．18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=．（1）求的值（2）若cosB=，b=2，求△ABC的面积S．19．如图（1）是一个水平放置的正三棱柱ABC﹣A1B1C1，D是棱BC的中点．正三棱柱的正（主）视图如图（2）（Ⅰ）求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（Ⅱ）证明：A1B∥面ADC1；（Ⅲ）（文科做）图（1）中垂直于平面BCC1B1的平面有哪几个？（直接写出符合要求的平面即可，不必说明或证明）（Ⅲ）（理科做）求二面角A1﹣DC1﹣A的正弦值．20．建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的猪圈，底面为长方形的猪圈正面的造价为120元/m2，侧面的造价为80元/m2，屋顶造价为1120元．如果墙高3m，且不计猪圈背面的费用，问怎样设计能使猪圈的总造价最低，最低总造价是多少元？21．在等差数列{a n}中，a1=1，前n项和S n满足条件，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=a n p an（p＞0），求数列{b n}的前n项和T n．22．已知函数f（x）=a﹣（x≠0）．（1）若函数f（x）是（0，+∞）上的增函数，求实数b的取值范围；（2）当b=2时，若不等式f（x）＜x在区间（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（3）对于函数g（x）若存在区间[m，n]（m＜n），使x∈[m，n]时，函数g（x）的值域也是[m，n]，则称g（x）是[m，n]上的闭函数．若函数f（x）是某区间上的闭函数，试探求a，b应满足的条件．2016-2017学年湖北省宜昌市金东方高级中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a1=4，则公差d等于（）A．1 B．C．﹣2 D．3【考点】8F：等差数列的性质．【分析】由题意可得S3=6=（a1+a3），且a3=a1+2d，a1=4，解方程求得公差d 的值．【解答】解：∵S3=6=（a1+a3），且a3=a1+2d，a1=4，∴d=﹣2，故选C．2．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于（）A．a2B．2a2C．a2D．a2【考点】LB：平面图形的直观图．【分析】根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′=S，先求出直观图即正方形的面积，根据比值求出原平行四边形的面积即可．【解答】解：根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′=S，本题中直观图的面积为a2，所以原平面四边形的面积等于=2a2．故选B．3．已知△ABC中，a=4，b=4，∠A=30°，则∠B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【考点】HP：正弦定理．【分析】解法一：由A的度数求出sinA的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sinB的值，由B不可能为钝角或直角，得到B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；解法二：由a=b，利用等边对等角，得到A=B，由A的度数求出B的度数即可．【解答】解：法一：∵a=4，b=4，∠A=30°，∴根据正弦定理=得：sinB==，又B为锐角，则∠B=30°；法二：∵a=b=4，∠A=30°，∴∠A=∠B=30°．故选A4．函数是（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角恒等变换化简f（x），再根据函数奇偶性的定义判断．【解答】解：f（x）= [1+cos（2x﹣）]+ [1﹣cos（2x+）]﹣1= [cos（2x﹣）﹣cos（2x+）]=（2sin2xsin）]=sin2x，∴f（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin（2x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数．故选A．5．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知bcosC+ccosB=2b，则=（）A．2 B．C．D．1【考点】HP：正弦定理．【分析】利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，进而利用两角和公式对等号左边进行化简求得sinA和sinB的关系，进而利用正弦定理求得a和b的关系．【解答】解：∵bcosC+ccosB=2b，∴sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA=2sinB，∴=2，由正弦定理知=，∴==2，故选：A．6．已知数列{a n}满足a1=33，a n﹣a n=2n，则的最小值为（）+1A．2﹣1 B．C．D．【考点】85：等差数列的前n项和；8E：数列的求和．【分析】由迭代法可得a n，进而可得，结合函数的单调性可得．【解答】解：由题意可得a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（n﹣1）+2（n﹣2）+…+2+33=+33=n2﹣n+33，故==﹣1由于函数y=在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增，故当=﹣1在n=5，或n=6时取最小值，当n=5时﹣1=，当n=6时，﹣1==＜故的最小值为故选C7．数列{a n}的通项公式a n=，它的前n项和为S n=9．则n=（）A．9 B．10 C．99 D．100【考点】8E：数列的求和．【分析】由题意知a n=﹣，通过S n=9，求解即可．【解答】解：数列{a n}的通项公式a n=a n==﹣，S n=（﹣1）+（﹣）+…+（﹣）=﹣1=9．解得n=99．故答案为：C．8．已知x，y∈R+且x+y=4，则使不等式≥m恒成立的实数m的取值范围为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，]C．（3，+∞）D．（﹣∞，]【考点】7F：基本不等式．【分析】由题意将x+y=4代入（+）进行恒等变形和拆项后，再利用基本不等式求出它的最小值，根据不等式恒成立求出m的范围【解答】解：由题意知两个正数x，y满足x+y=4，则=（x+y）（+）=（1+4++）≥（5+2）=，当且仅当x=，y=时取等号，∴m≤，故选：D9．已知甲、乙两地距丙的距离均为100km，且甲地在丙地的北偏东20°处，乙地在丙地的南偏东40°处，则甲乙两地的距离为（ ）A ．100kmB ．200kmC ．100kmD ．100km【考点】HU ：解三角形的实际应用．【分析】根据甲、乙两地距丙的距离均为100km ，且甲地在丙地的北偏东20°处，乙地在丙地的南偏东40°处，利用余弦定理即可求出甲乙两地的距离． 【解答】解：由题意，如图所示OA=OB=100km ，∠AOB=120°，∴甲乙两地的距离为AB==100km ，故选：D ．10．等差数列{a n }共有2n +1项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则n 的值是（ ） A ．3B ．5C ．7D ．9【考点】85：等差数列的前n 项和．【分析】利用等差数列的求和公式和性质得出，代入已知的值即可．【解答】解：设数列公差为d ，首项为a 1，奇数项共n +1项，其和为S 奇===（n +1）a n +1=4，①偶数项共n 项，其和为S 偶===na n +1=3，②得，，解得n=3故选A11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 成等比数列，a+c=3，tanB=，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．【考点】HS：余弦定理的应用；HT：三角形中的几何计算．【分析】利用同角三角函数的基本关系求出sinB 和cosB 的值，根据a，b，c成等比数列，可得b2=ac，再由余弦定理求出ac的值，由△ABC的面积为ac•sinB，运算求得结果．【解答】解：在△ABC中，∵tanB=，可得，又sin2B+cos2B=1，∴B为锐角，且sinB=，cosB=．∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，再由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，即ac=（a+c）2﹣2ac﹣=9﹣，∴ac=2．则△ABC的面积为ac•sinB=，故选：D．12．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z 的最大值为（）A．1 B．C．2 D．【考点】7F：基本不等式．【分析】正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，可得z=x2﹣3xy+4y2，==+﹣3，再利用基本不等式的性质与二次函数的单调性即可得出．【解答】解：∵正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，∴==+﹣3≥2﹣3=1，当且仅当x=2y＞0，z=2y2＞0时取等号．∴x+2y﹣z=4y﹣2y2=﹣2（y﹣1）2+2≤2，y=1，x=2，z=2时取等号．∴x+2y﹣z的最大值为2．故选：C．二．填空题（每小题4分，每小题4分，共20分）13．如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是π+24．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】该器皿的表面积可分为两部分：去掉一个圆的正方体的表面积s1和半球的表面积s2，即可求出该器皿的表面积．【解答】解：该器皿的表面积可分为两部分：去掉一个圆的正方体的表面积s1和半球的表面积s2，，故s=s1+s2=π+24故答案为：π+24．14．已知数列a n中，a1=﹣60，a n=a n+3，那么|a1|+|a2|+…+|a30|的值为765．+1【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】根据已知条件得到此数列是首项为﹣60，公差d为3的等差数列，写出等差数列的通项公式，令通项公式大于等于0列出关于n的不等式，求出不等式的解集即可得到n的范围为n大于等于21，即可得到前30项中，前20项的值都为负数，21项以后的项都为正数，根据负数的绝对值等于其相反数，正数的绝对值等于其本身把所求的式子进行化简，然后前20项提取﹣1，得到关于前30项的和与前20项和的式子，分别利用等差数列的前n项和的公式求出前20项的和和前30项的和，代入化简得到的式子中即可求出值．【解答】解：{a n}是等差数列，a n=﹣60+3（n﹣1）=3n﹣63，a n≥0，解得n≥21．∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|=﹣（a1+a2+…+a20）+（a21+…+a30）=S30﹣2S20=﹣（﹣60+60﹣63）•20=765．故答案为：76515．关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n．其中真命题的序号是②③．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LP：空间中直线与平面之间的位置关系；LQ：平面与平面之间的位置关系．【分析】对于立体几何中的线线、线面、面面关系的判定可列举反例从而说明不正确即可．【解答】解：①m，n也可能异面，故不正确；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n，故正确；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n，故正确；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n，相交，异面，故不正确．故选②③．16．若数列{a n}，{b n}的通项公式分别是a n=（﹣1）2017•a，b n=2+对任意n∈N*恒成立，则常数a的取值范围是[﹣2，1）．【考点】8K：数列与不等式的综合．【分析】讨论n取奇数和偶数时，利用不等式恒成立，即可确定a的取值范围．【解答】解：∵a n=（﹣1）2017•a，b n=2+对任意n∈N*恒成立，∴（﹣1）n+2017•a＜2+，若n为偶数，则不等式等价为﹣a＜2+，即﹣a≤2，即a≥﹣2．若n为奇数，则不等式等价为a＜2﹣，即a＜1，综上：﹣2≤a＜1，即常数a的取值范围是[﹣2，1），故答案为：[﹣2，1），三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知O为坐标原点，=（2cos2x，1），=（1，sin2x+a）（x∈R，a∈R，a是常数），若y=•．（Ⅰ）求y关于x的函数解析式f（x）；（Ⅱ）若x∈[0，]时，f（x）的最大值为2，求a的值并指出f（x）的单调区间．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；9R：平面向量数量积的运算；GT：二倍角的余弦；H5：正弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）通过向量的数量积，把，的坐标，代入函数解析式，利用向量积的运算求得函数解析式．（Ⅱ）通过x∈[0，]，求出相位的范围，然后求出函数的最大值，利用最大值为2，直接求得a．然后求出函数的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）∵=（2cos2x，1），=（1，sin2x+a），∴y=•=2cos2x+sin2x+a，=1+cos2x+sin2x+a，=cos2x+sin2x+a+1，=2（cos2x+sin2x）+a+1，=2（sin cos2x+cos sin2x）+a+1，=2sin（2x+）+a+1．（Ⅱ）因为x∈[0，），所以2x+∈[，），当2x+=时，sin（2x+）=1，y max=2+a+1=3+a，又∵y max=2，∴3+a=2，∴a=﹣1，y═2sin（2x+），又2k，k∈Z，解得：x∈，k∈Z，是函数的单调增区间，函数的单调减区间是，k∈Z．18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=．（1）求的值（2）若cosB=，b=2，求△ABC的面积S．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC=2sinA，即可得解=2．（2）由正弦定理可求c=2a，由余弦定理解得a=1，从而c=2．利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由正弦定理，则=，所以=，即（cosA﹣2cosC）sinB=（2sinC﹣sinA）cosB，化简可得sin（A+B）=2sin（B+C）．因为A+B+C=π，所以sinC=2sinA．因此=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由=2，得c=2a，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，及cosB=，b=2，得4=a2+4a2﹣4a2×．解得a=1，从而c=2．因为cosB=，且sinB==，因此S=acsinB=×1×2×=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．如图（1）是一个水平放置的正三棱柱ABC﹣A1B1C1，D是棱BC的中点．正三棱柱的正（主）视图如图（2）（Ⅰ）求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（Ⅱ）证明：A1B∥面ADC1；（Ⅲ）（文科做）图（1）中垂直于平面BCC1B1的平面有哪几个？（直接写出符合要求的平面即可，不必说明或证明）（Ⅲ）（理科做）求二面角A1﹣DC1﹣A的正弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（I）直接求出正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC的面积，求出高AA1，即可求出体积；（II）连接A1C，证明A1B平行平面ADC1内的直线DE，即可证明A1B∥平面ADC1．（Ⅲ）（文科做）通过直线与平面垂直，说明平面与平面垂直，直接列举出图（1）中垂直于平面BCC1B1的平面即可；（Ⅲ）（理科做）利用二面角A1﹣DC1﹣A的余弦值为，即可求得二面角A1﹣DC1﹣A的正弦值．【解答】（I）解：依题意，在正三棱柱中，AD=，AA1=3，从而AB=2，AA1⊥平面ABC，所以正三棱柱的体积V=Sh=×AB×AD×AA1=×2××3=3．（II）证明：连接A1C，设A1C∩AC1=E，连接DE，因为AA1C1C是正三棱柱的侧面，所以AA1C1C是矩形，E是A1C的中点，所以DE是△A1BC的中位线，DE∥A1B，因为DE⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1；（Ⅲ）（文科做）解：AD垂直平面BCC1B1，AD⊂平面ABC、平面ABC∥平面A1B1C1、AD⊂平面AC1D所以垂直于平面BCC1B1的平面有：平面ABC、平面A1B1C1、平面AC1D；（Ⅲ）（理科做）解：△ADC1中，AD=，DC1=，AC1=，∴==△A1DC1中，DC1=，A1C1=2，A1D=2，∴cos∠A1DC1==∴sin∠A1DC1==∴==∴二面角A1﹣DC1﹣A的余弦值为==∴二面角A1﹣DC1﹣A的正弦值为．20．建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的猪圈，底面为长方形的猪圈正面的造价为120元/m2，侧面的造价为80元/m2，屋顶造价为1120元．如果墙高3m，且不计猪圈背面的费用，问怎样设计能使猪圈的总造价最低，最低总造价是多少元？【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】设猪圈底面正面的边长为xm，利用x表示出猪圈的总造价，再根据函数的特点利用基本不等式进行求最值即可．【解答】解：设猪圈底面正面的边长为xm，则其侧面边长为﹣﹣﹣那么猪圈的总造价y=3x•120+3××80×2+1120=360x++1120，﹣﹣﹣因为，﹣﹣﹣当且仅当，即x=4时取“=”，﹣﹣﹣所以当猪圈正面底边为4米侧面底边为3米时，总造价最低为4000元．﹣﹣﹣21．在等差数列{a n}中，a1=1，前n项和S n满足条件，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=a n p an（p＞0），求数列{b n}的前n项和T n．【考点】85：等差数列的前n项和；8E：数列的求和；8F：等差数列的性质；8H：数列递推式．【分析】（1）将n=1代入已知递推式，易得a2，从而求出d，故a n可求；（2）求出b n，分p=1和p≠1两种情况讨论，然后利用错位相减法求和．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由得：=3，所以a2=2，即d=a2﹣a1=1，所以a n=n．（Ⅱ）由b n=a n p an，得b n=np n．所以T n=p+2p2+3p3+…+（n﹣1）p n﹣1+np n，①当p=1时，T n=；当p≠1时，pT n=p2+2p3+3p4+…+（n﹣1）p n+np n+1，②①﹣②得（1﹣p）T n=p+p2+p3+…+p n﹣1+p n﹣np n+1=，即T n=．22．已知函数f（x）=a﹣（x≠0）．（1）若函数f（x）是（0，+∞）上的增函数，求实数b的取值范围；（2）当b=2时，若不等式f（x）＜x在区间（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（3）对于函数g（x）若存在区间[m，n]（m＜n），使x∈[m，n]时，函数g（x）的值域也是[m，n]，则称g（x）是[m，n]上的闭函数．若函数f（x）是某区间上的闭函数，试探求a，b应满足的条件．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先去绝对值，然后设x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，根据函数f（x）是（0，+∞）上的增函数，则f（x1）＜f（x2），建立关系式，化简整理可求出b 的取值范围；（2）若不等式f（x）＜x在区间（1，+∞）上恒成立，可转化成a＜x+在（1，+∞）上恒成立，求出不等式右边的最小值即，使得a小于此最小值即可；（3）设f（x）是区间[m，n]上的闭函数，则mn＞0且b≠0，讨论m与n同正与同负两种情形，以及讨论b的正负，根据函数的单调性建立关系式，即可求出a与b满足的条件．【解答】解：（1）当x∈（0，+∞）时，f（x）=a﹣，设x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，由f（x）是（0，+∞）上的增函数，则f（x1）＜f（x2）f（x1）﹣f（x2）=＜0，由x1＜x2，x1，x2∈（0，+∞）知x1﹣x2＜0，x1x2＞0，所以b＞0，即b∈（0，+∞）；（2）当b=2时，f（x）=a﹣＜x在x∈（1，+∞）上恒成立，即a＜x+，因为x+≥2，当x=即x=时取等号，∈（1，+∞），所以x+在x∈（1，+∞）上的最小值为2，则a＜2；（3）因为f（x）=a﹣的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），设f（x）是区间[m，n]上的闭函数，则mn＞0且b≠0①若0＜m＜n，当b＞0时，f（x）=a﹣是（0，+∞）上的增函数，则，所以方程a﹣=x在（0，+∞）上有两不等实根，即x2﹣ax+b=0在（0，+∞）上有两不等实根，所以，即a＞0，b＞0且a2﹣4b＞0，当b＜0时，f（x）=a﹣=a+在（0，+∞）上递减，则，即⇒，所以a=0，b＜0，②若m＜n＜0当b＞0时，f（x）=a﹣=a+是（﹣∞，0）上的减函数，所以，即⇒，所以a=0，b＞0，当b＜0，f（x）=a﹣=a+是（﹣∞，0）上的增函数，所以，所以方程a+=x在（﹣∞，0）上有两不等实根，即x2+ax﹣b=0在（﹣∞，0）上有两不等实根，所以，即a＜0，b＜0且a2+4b＞0，综上知：a=0，b≠0或a＜0，b＜0且a2+4b＞0或a＞0，b＞0且a2﹣4b＞0．即：a=0，b≠0或ab＞0且a2﹣4|b|＞02017年6月17日。
2016-2017学年湖北省宜昌金东方高级中学、三峡高中高二11月月考化学试题
宜昌金东方高级中学2016年秋季学期11月月考高二化学试题本试题卷共6页，两大题20小题。
全卷满分100分，考试用时90分钟。
★祝考试顺利★第I卷（选择题）可能用到的相对原子质量 Fe：56一、选择题（本题共16小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题3分，共48分）1.下列关于能源开发和利用的说法中，你认为说法不正确．．．的是（）A．充分利用太阳能B．因地制宜开发利用风能、水能、地热能、潮汐能C．合理、安全开发利用氢能、核能D．能源都是通过化学反应获得的2.已知OH-(aq)+H+(aq)=H2O(l) △H=﹣57.3 kJ•mol﹣1，下列选项正确的是（）A．NaOH(aq)+CH3COOH(aq)=CH3COONa(aq)+H2O(l) △H>﹣57.3 kJ•mol﹣1B．已知2H2(g)+O2(g)=2H2O(g) △H=﹣483.6 kJ•mol﹣1，则氢气的燃烧热为241.8kJ•mol﹣1C．已知2C(s)+2O2(g)=2CO2(g) △H=a；2C(s)+O2(g)=2CO(g) △H=b，则a＞bD．已知P (白磷，s)=P(红磷，s) △H＜0，则白磷比红磷稳定3.已知H 2(g)+I2(g)2HI(g) △H=﹣a kJ/mol，部分变化过程的能量变化如图所示，其中a、b、c均大于零，下列说法正确的是（）、I2和HI分子中的化学键都是非极性共价键A．HB．断开2 mol HI分子中的化学键所需能量约为(c+b+a) kJC．相同条件下，1mol H2(g)和1mol I2(g)总能量小于2mol HI (g)的总能量D．向密闭容器中加入2 mol H2(g)和2 mol I2(g)，充分反应后放出的热量为2a kJ4．如图是质子交换膜氢氧燃料电池，下列有关该电池的原理的描述正确的是（）A．溶液中H+透过质子交换膜从右向左迁移B．b极发生氧化反应C．电子从a极流出经溶液流到b极D．该电池在使用过程中，H+的物质的量保持不变5.可逆反应H 2(g) +I2(g)2HI(g)达到平衡时的标志是（）A.混合气体的密度恒定不变B.混合气体的颜色不再改变C.H2、I2、HI的浓度相等D.v正（I2）=2v逆（HI）6.下列两种溶液参与某些反应时，有关其反应速率的叙述正确是（）①10mL 1mol/L H2SO4溶液②20mL 0.6mol/L H2SO4溶液A.足量的铁粉与溶液①反应时，若要减小反应速率但不影响产生氢气的体积，可加入KNO3溶液B.0.56g Fe粉与溶液②反应时，若要加快反应速率但不影响产生氢气的体积，可撒入适量胆矾C.相同量的铁粉分别与上述两种溶液反应，反应速率②>①D.将上述溶液分别与10mL 1mol/L的Na2S2O3混合并立即稀释至50mL,②先出现浑浊7.对可逆反应2A(s)＋3B(g)C(g)＋2D(g) ΔH<0，在一定条件下达到平衡，下列有关叙述正确的是（）A.增加A的量，平衡向正反应方向移动B.升高温度，平衡向逆反应方向移动，v正减小C.压强增大一倍，平衡不移动，v正、v逆不变D.增大B的浓度，再次平衡前v正>v逆8.T℃时气体A与气体B在某容器中反应生成气体C，反应过程中A、B、C浓度变化如图①所示．若保持其他条件不变，温度分别为T1和T2时，B的体积分数与时间的关系如图②所示．则下列结论正确的是（）A．该反应的化学方程式是A+3B2CB．该反应的正反应为放热反应C．定容条件下，混合气体的密度不再变化，则证明该反应达到平衡D．恒容充入惰性气体，压强增大，平衡正向移动9.下列装置或操作能达到实验目的的是（）图1 图2 图3 图4A．图1装置用于中和热的测定B．图2装置用于高锰酸钾溶液滴定草酸C．图3装置用于测定氢气的反应速率（单位mL/s）D．图4装置用于研究不同催化剂对反应速率的影响10.下列说法中正确的是（）A．将纯水加热的过程中，K w变大，pH变小B．保存FeSO4溶液时，加入稀HNO3抑制Fe2+水解C．FeCl3溶液蒸干、灼烧至恒重，最终得到Fe(OH)3固体D．向0.1mol•L-1氨水中加入少量水，pH减小，c(OH－)/c(NH3·H2O)减小11.向三份1mol/L CH3COONa溶液中分别加入少量Na2CO3、NH4Cl、Fe2(SO4)3固体（忽略溶液体积变化），则CH3COO﹣浓度的变化依次为（）A．减小、增大、减小 B．增大、减小、减小C．减小、增大、增大 D．增大、减小、增大2+(aq) +2OH﹣(aq)，已知25℃时12.25℃时在氢氧化镁悬浊液中存在沉淀溶解平衡：Mg(OH)K sp[Mg(OH)2]=1.8×10﹣11，K sp[Cu(OH)2]=2.2×10﹣20．下列说法错误．．的是（）A．若向Mg(OH)2浊液中加入少量NH4Cl(s)，c(Mg2+)会增大B．若向Mg(OH)2浊液中滴加CuSO4溶液，沉淀将由白色逐渐变为蓝色C．若向Mg(OH)2浊液中加入少量蒸馏水，平衡正向移动，c(Mg2+)减小D．若向Mg(OH)2浊液中加入少量Na2O(s)，固体质量将增大13.下列说法正确的是（）A．0.1 mol·L－1 Na2CO3溶液中：c(OH－)＝c(H2CO3)＋c(H＋)+c(HCO3－)B．物质的量浓度相等的Na2SO3和NaHSO3溶液中：2c(Na+)=3c(SO32-)+3c(HSO3-)+3c(H2SO3)C．同浓度的下列溶液中，① NH4HSO4② NH4Cl ③ NH3·H2O，c(NH4＋)由大到小的顺序是：②＞①＞③D．常温下，pH=3的HA溶液与pH=11的NaOH溶液等体积混合后，溶液的pH≥714.常温下，有下列四种溶液：①pH＝2的HCl溶液；②pH＝2的CH3COOH溶液；③pH＝12的NaOH溶液；④pH＝12的氨水。
2016-2017年湖北省宜昌市金东方高中高一(下)第一次月考数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年湖北省宜昌市金东方高中高一（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．（5分）在△ABC中，a＝3，b＝，A＝120°，则B等于（）A．120°B．60°C．45°D．30°2．（5分）已知非零向量满足||＝4||，且⊥（）则的夹角为（）A．B．C．D．3．（5分）下列各式中，值为的是（）A．sin15°cos15°B．C．D．4．（5分）将函数f（x）＝cos（π+x）（cos x﹣2sin x）+sin2x的图象向左平移后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A．最大值为，图象关于直线对称B．周期为π，图象关于对称C．在上单调递增，为偶函数D．在上单调递增，为奇函数5．（5分）已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），若，则的值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知等差数列{a n}与等差数列{b n}的前n项和分别为S n和T n，若，则＝（）A．B．C．D．7．（5分）函数f（x）＝A cos（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（1）+f（2）+…+f（2011）+f（2012）的值为（）A．2+B．C．D．08．（5分）已知数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝2a n+1（n∈N*），S n为其前n项和，则S5的值为（）A．57B．61C．62D．639．（5分）等比数列{a n}各项为正，a3，a5，﹣a4成等差数列．S n为{a n}的前n项和，则＝（）A．2B．C．D．10．（5分）已知数列{a n}满足：a1＝2，a n+1＝（+1）2+1，则a12＝（）A．101B．122C．145D．17011．（5分）已知首项为正数的等差数列{a n}满足：a2005+a2006＞0，a2005•a2006＜0，则使前项S n＞0成立的最大自然数n是（）A．4009B．4010C．4011D．401212．（5分）已知数列{a n}中，且{a n}单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，3）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，3]二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）等差数列{a n}中，a2＝5，a5＝33，则a3+a4＝．14．（5分）已知△ABC中，，，且＜0，则＝．15．（5分）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4＝9，a2a3＝8，则数列{a n}的前n项和等于．16．（5分）△ABC中，a、b、c成等差数列，∠B＝30°，S△ABC＝，那么b＝．三、解答题（本题共6道小题，第17题10分，第18题至第22题每题12分．共计70分）17．（10分）（Ⅰ）已知在△ABC中，AB＝1，BC＝2，∠B＝，＝，＝求（2﹣3）•（4+）；（Ⅱ）已知向量＝（2，1），＝（﹣1，3），且向量t+与向量﹣平行，求t的值．18．（12分）已知数列{a n}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝﹣5．（Ⅰ）求{a n}的通项a n；（Ⅱ）求{a n}前n项和S n的最大值及相应的n的值．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＜b＜c，＝．（1）求角B的大小；（2）若a＝2，c＝3，求b边的长和△ABC的面积．20．（12分）已知数列{a n}和{b n}满足a1＝2，b1＝1，a n+1＝2a n（n∈N*），b1+b2+b3+…+＝b n+1﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）记数列{a n b n}的前n项和为T n，求T n．21．（12分）已知数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝2﹣，数列{b n}中，b n＝，其中n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{b n}是等差数列；（Ⅱ）设S n是数列{b n}的前n项和，求++…+．22．（12分）已知函数（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性并证明；（Ⅱ）若对于x∈[2，4]，恒有成立，求m的取值范围．2016-2017学年湖北省宜昌市金东方高中高一（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．（5分）在△ABC中，a＝3，b＝，A＝120°，则B等于（）A．120°B．60°C．45°D．30°【解答】解：∵在△ABC中，a＝3，b＝，A＝120°，∴由，可得：sin B＝＝＝，∵b＜a，B为锐角，∴B＝30°．故选：D．2．（5分）已知非零向量满足||＝4||，且⊥（）则的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知非零向量满足||＝4||，且⊥（），设两个非零向量的夹角为θ，所以•（）＝0，即2＝0，所以cosθ＝，θ∈[0，π]，所以；故选：C．3．（5分）下列各式中，值为的是（）A．sin15°cos15°B．C．D．【解答】解：由于sin15°cos15°＝sin30°＝，故排除A．由于﹣＝cos＝，故排除B．由于＝tan60°＝，满足条件．由于＝cos15°＝cos（45°﹣30°）＝cos45°cos30°+sin45°sin30°＝，故排除D，故选：C．4．（5分）将函数f（x）＝cos（π+x）（cos x﹣2sin x）+sin2x的图象向左平移后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A．最大值为，图象关于直线对称B．周期为π，图象关于对称C．在上单调递增，为偶函数D．在上单调递增，为奇函数【解答】解：函数f（x）＝cos（π+x）（cos x﹣2sin x）+sin2x＝﹣cos x（cos x﹣2sin x）+sin2x ＝﹣cos2x+sin2x＝sin（2x﹣），把函数f（x）的图象向左平移后得到函数g（x）＝sin[2（x+）﹣]＝sin2x的图象，故函数g（x）在上单调递增，为奇函数，故选：D．5．（5分）已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），若，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵＝（cosα﹣3，sinα），＝（cosα，sinα﹣3）∴＝（cosα﹣3）•cosα+sinα（sinα﹣3）＝﹣1得cos2α+sin2α﹣3（cosα+sinα）＝﹣1∴，故sin（α+）＝（sinα+cosα）＝×＝故选：B．6．（5分）已知等差数列{a n}与等差数列{b n}的前n项和分别为S n和T n，若，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：由等差数列的求和公式和性质可得＝＝＝．故选：C．7．（5分）函数f（x）＝A cos（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（1）+f（2）+…+f（2011）+f（2012）的值为（）A．2+B．C．D．0【解答】解：由图象知A＝2，T＝可得ω＝，由五点对应法得，可求得，∴，又f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）＝0，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）＝f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2sin+2sin+2sin+2sinπ＝2×+2+2×＝2+2，故选：C．8．（5分）已知数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝2a n+1（n∈N*），S n为其前n项和，则S5的值为（）A．57B．61C．62D．63【解答】解：由a n+1＝2a n+1∴a n+1+1＝2（a n+1），∵a1＝1，∴所以{a n+1}是以2为公比，2为首项的等比数列，所以a n+1＝2•2n﹣1＝2n，∴a n＝2n﹣1，∴S n＝（2﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n﹣1）＝（2+22+23+…+2n）﹣n，＝﹣n，S n＝2n+1﹣n﹣2．＝2n+1﹣n﹣2．∴当n＝5时，S5＝64﹣5﹣2＝57，故选：A．9．（5分）等比数列{a n}各项为正，a3，a5，﹣a4成等差数列．S n为{a n}的前n项和，则＝（）A．2B．C．D．【解答】解：设{a n}的公比为q（q＞0，q≠1）∵a3，a5，﹣a4成等差数列，∴2a1q4＝a1q2﹣a1q3，∵a1≠0，q≠0，∴2q2+q﹣1＝0，解得q＝或q＝﹣1（舍去）∴＝＝＝故选：C．10．（5分）已知数列{a n}满足：a1＝2，a n+1＝（+1）2+1，则a12＝（）A．101B．122C．145D．170【解答】解：∵a n+1＝（+1）2+1＞0，则＝（+1）2，∴﹣＝1，∴数列是等差数列，公差为1．∴＝1＝（n﹣1）＝n，可得a n＝n2+1，∴a12＝122+1＝145．故选：C．11．（5分）已知首项为正数的等差数列{a n}满足：a2005+a2006＞0，a2005•a2006＜0，则使前项S n＞0成立的最大自然数n是（）A．4009B．4010C．4011D．4012【解答】解：由题意知：等差数列中，从第1项到第2005项是正数，且从第2006项开始为负数，则S4010＝2005（a1+a4010）＝2005（a2005+a2006）＞0，S4011＝＝4011a2006＜0，故n的最大值为4010．故选：B．12．（5分）已知数列{a n}中，且{a n}单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，3）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，3]【解答】解：∵数列{a n}中，且{a n}单调递增∴a n+1﹣a n＞0对于n∈N*恒成立即（n+1）2﹣k（n+1）﹣（n2﹣kn）＝2n+1﹣k＞0对于n∈N*恒成立∴k＜2n+1对于n∈N*恒成立，即k＜3故选：B．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）等差数列{a n}中，a2＝5，a5＝33，则a3+a4＝38．【解答】解：等差数列{a n}中，a2＝5，a5＝33，则a2+a5 ＝a3+a4＝5+33＝38，故答案为38．14．（5分）已知△ABC中，，，且＜0，则＝7．【解答】解：由题意可得S△ABC＝sin∠BAC＝，代入值解得sin∠BAC＝，由＜0可知∠BAC为钝角，故cos∠BAC＝，所以＝＝＝＝7故答案为：715．（5分）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4＝9，a2a3＝8，则数列{a n}的前n项和等于2n﹣1．【解答】解：数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4＝9，a2a3＝8，可得a1a4＝8，解得a1＝1，a4＝8，∴8＝1×q3，q＝2，数列{a n}的前n项和为：＝2n﹣1．故答案为：2n﹣1．16．（5分）△ABC中，a、b、c成等差数列，∠B＝30°，S△ABC＝，那么b＝．【解答】解：∵a、b、c成等差数列，∴2b＝a+c，∴4b2＝a2+c2+2ac，①∵S△ABC＝，∴ac＝6②∵b2＝a2+c2﹣2ac cos B③由①②③得，∴．故答案为：．三、解答题（本题共6道小题，第17题10分，第18题至第22题每题12分．共计70分）17．（10分）（Ⅰ）已知在△ABC中，AB＝1，BC＝2，∠B＝，＝，＝求（2﹣3）•（4+）；（Ⅱ）已知向量＝（2，1），＝（﹣1，3），且向量t+与向量﹣平行，求t的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，AB＝1，BC＝2，∠B＝，＝，＝，∴、的夹角为，∴•＝1×2×cos＝﹣1；∴（2﹣3）•（4+）＝8﹣10•﹣3＝8×12﹣10×（﹣1）﹣3×22＝6；…（5分）（Ⅱ）向量＝（2，1），＝（﹣1，3），∴t+＝（2t﹣1，t+3），﹣＝（3，﹣2）；又向量t+与向量﹣平行，∴﹣2（2t﹣1）﹣3（t+3）＝0，解得t＝﹣1…（10分）18．（12分）已知数列{a n}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝﹣5．（Ⅰ）求{a n}的通项a n；（Ⅱ）求{a n}前n项和S n的最大值及相应的n的值．【解答】解：（I）设{a n}的公差为d，由已知条件，得，解得a1＝3，d＝﹣2．∴a n＝a1+（n﹣1）d＝﹣2n+5．（II）S n＝na1+d＝﹣n2+4n＝4﹣（n﹣2）2．∴n＝2时，S n取得最大值为4．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＜b＜c，＝．（1）求角B的大小；（2）若a＝2，c＝3，求b边的长和△ABC的面积．【解答】解：（1）∵＝，＝，∴＝，即sin B＝，∵B为三角形内角，且a＜b＜c，∴B＜C，则B＝；（2）∵a＝2，c＝3，cos B＝，∴由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝4+9﹣6＝7，即b＝；则S△ABC＝ac sin B＝×2×3×＝．20．（12分）已知数列{a n}和{b n}满足a1＝2，b1＝1，a n+1＝2a n（n∈N*），b1+b2+b3+…+＝b n+1﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）记数列{a n b n}的前n项和为T n，求T n．【解答】解：（Ⅰ）由a1＝2，a n+1＝2a n，得：；由b1＝1，b1+b2+b3+…+＝b n+1﹣1知，当n＝1时，b1＝b2﹣1，故b2＝2．当n≥2时，，整理得：，∴，，…，（n≥2）．累积可得：b n＝n，验证b1＝1成立，∴b n＝n；（Ⅱ）由（1）知，，∴数列{a n b n}的前n项和为T n＝2+2×22+3×23+…+n×2n，，作差可得：＝＝2n+1﹣2﹣n×2n+1，∴．21．（12分）已知数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝2﹣，数列{b n}中，b n＝，其中n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{b n}是等差数列；（Ⅱ）设S n是数列{b n}的前n项和，求++…+．【解答】解：（Ⅰ）证明：由b n＝，则b n+1＝＝＝，∴b n+1﹣b n＝﹣＝1．n∈N*∴{b n}是首项为b1＝＝1，公差为1的等差数列．（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b n＝n，b n＝n，则S n＝（1+2+3+…+n）＝，于是＝＝6（﹣），∴++…+＝6[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝6（1﹣）＝，∴++…+＝．22．（12分）已知函数（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性并证明；（Ⅱ）若对于x∈[2，4]，恒有成立，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵解得x＞1或x＜﹣1，∴函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），函数f（x）为奇函数，证明如下：由（I）知函数f（x）的定义域关于原点对称，又∵f（﹣x）＝log a＝log a＝log a（）﹣1＝＝﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数；（Ⅱ）若对于x∈[2，4]，f（x）＞log a恒成立，即log a＞对x∈[2，4]恒成立，当a＞1时，即对x∈[2，4]成立．则x+1＞，即（x+1）（7﹣x）＞m成立，设g（x）＝（x+1）（7﹣x）＝﹣（x﹣3）2+16，∵x∈[2，4]∴g（x）∈[15，16]，则0＜m＜15，同理当0＜a＜1时，即对x∈[2，4]成立．则x+1＜，即（x+1）（7﹣x）＜m成立，设g（x）＝（x+1）（7﹣x）＝﹣（x﹣3）2+16，∵x∈[2，4]∴g（x）∈[15，16]，则m＞16，综上所述：a＞1时，0＜m＜15，0＜a＜1时，m＞16．。
湖北省宜昌市金东方高级中学高一数学下学期第一次月考
宜昌金东方高级中学2016年春季学期3月月考高一数学试题（理）本试题卷共4页，三大题22小题。
全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1. 在△ABC 中，已知sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形2.数列K ,161,81,41,21--的一个通项公式可能是( ) A ．n n 21)1(- B ．n n 21)1(- C ．n n 21)1(1-- D ．n n 21)1(1--3.要想得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象，只须将y ＝sinx 的图象 ( )A ．向右平移π3个单位 B ．向左平移π3个单位C ．向右平移5π6个单位 D ．向左平移5π6个单位4.在△ABC 中，若B A sin sin >，则A 与B 的大小关系为 （ ）A. B A >B. B A <C. A ≥BD. A 、B 的大小关系不能确定 5.在等差数列{}n a 中，若210、a a 是方程21280x x +-=的两个根，那么6a 的值为 （ ） A ．－12 B ．－6 C ．12 D ．66.符合下列条件的三角形ABC ∆有且只有一个的是（ ）A ．1,2,30a b A ===︒ B ．1,2,3a b c ===C ．1,45b c B ===︒D ．1,2,100a b A ===︒ 7.在三角形ABC 中，如果()()3a b c b c a bc +++-=，那么A 等于（ ）A ．030B ．060C ．0120D ．0150 8. 计算下列几个式子，①tan 25tan 35325tan 35︒+︒+︒︒，②1tan151tan15+︒-︒，③2(sin35cos 25sin55cos65)︒︒+︒︒. 3 ( )A ．①②③B ．①③C ．①②D ．②③9. 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得75BCD ︒∠=，60BDC ︒∠=，60CD =米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60︒，则塔高AB =（ ）A ．3B ．902米C ．90米D ．45210.等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ，若231n n S n T n =+，则n na b = （ ）A23 B 2131n n ++ C 2134n n -+ D 2131n n -- 11.定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)f x f x =+，且在[]3,2--上递增. 若αβ、为锐角三角形的两个锐角，则( )A ．(sin )(cos )f f αβ>B ．(sin )(cos )f f αβ<C ．(sin )(sin )f f αβ>D ．(cos )(cos )f f αβ> 12. 定义12nn p p p +++L 为n 个正数n p p p ,,,21Λ的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121+n ，又41+=n n a b ，则Λ++322111b b b b =+11101b b （ ） A.111 B.109 C. 1211 D. 1110二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省宜昌市金东方高级中学高一数学上学期第三次月考试题
宜昌金东方高级中学2015年秋季学期12月月考高一数学试题本试题卷共4页，三大题22小题。
全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1．2015sin()3π的值等于（ ）A ．12 B ．12-C D ．2．已知全集U={0，1，2，4，6，8，10}，集合A={2，4，6}，B={1}，则∁U A∪B 等于（ ）A ． {0，1，8，10}B ． {1，2，4，6}C ． {0，8，10}D ． Φ 3.若角α的终边经过点(1,2)P -，则tan α的值为（ ） A. 2- B. 2 C. 12- D. 124.下列四个函数中,在()上是增函数的为( )A. 2()4f x x =+B. 2()log f x x =C.()2x f x =D. 2()3f x x=+ 5.已知A ＝)(cos )cos(sin )sin(Z k k k ∈+++ααπααπ则A 构成的集合是（ ）A ．{－1, 1, －2, 2}B ．{1, －1}C ．{2, －2}D ．{－2, －1, 0,1,2}6.三个数20.90.9,ln 0.9,2a b c ===之间的大小关系是（ ）A.b c a <<.B.c b a <<C.c a b << D ．a c b <<7. 函数f (x ) = x 2+ ln x -4的零点所在的区间是（ ）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)8.设(x)338x f x =+-，用二分法求方程3380,(1,2)x x x +-=∈在内近似解的过程中得，则方程的根落在区间（ ）A.B.C.D. 不能确定9.设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a 的值为( ) A ．－3 B ．±3 C ．－1 D ．±110. ）A ．关于轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y =x 对称11.在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y =f (x )(实线表示)，另一种是平均价价格曲线y =g(x )(虚线表示)(如f (2)=3是指开始买卖后两个小时的即时价格为3元g(2)=3表示2个小时内的平均价格为3元)，下图给出四个图象：其中可能正确的图象序号是（ ） A ．①②③④ B ．③C ．①③D ． ①③④12.定义域为R 的函数1,33()2,3x x f x x ⎧-≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程2()()0f x af x b -+=有3个不同实数解123,,x x x ，且123x x x <<，则下列说法错误．．的是（ ） A ．521b a +-= B ．0b < C ．1233x x x -+= D ．2221239x x x ++=二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省宜昌市金东方高中、三峡高中2016-2017学年高二(上)11月联考数学试卷(解析版)(文科)
2016-2017学年湖北省宜昌市金东方高中、三峡高中高二（上）11月联考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜02．如表是某厂1﹣4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+，则=（）A．10.5 B．5.15 C．5.25 D．5.23．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）A．7 B．15 C．25 D．354．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的序号是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④5．有下列四个命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题为（）A．①②B．①③C．②③D．③④6．若P是以F1，F2为焦点的椭圆=1（a＞b＞0）上的一点，且=0，tan∠PF1F2=，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．7．变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（）A．B．C．D．58．若直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+4x﹣4y﹣1=0所截得的弦长为6，则的最小值为（）A．10 B．C．D．9．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．10．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．11．程序框图如图所示，当A=时，输出的k的值为（）A．23 B．24 C．25 D．2612．设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A．5 B． +C．2+D．6二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．如图，程序在执行时如果输入6，那么输出的结果为．14．实数x，y满足条件，若目标函数z=2x+y的最大值与最小值的差为2，则m的值为．15．已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是．16．若在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线ax﹣by=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交的概率为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知p：|3x﹣4|＞2，＞0，r：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0，（1）¬p是¬q的什么条件？（2）若¬r是¬p的必要非充分条件，试求实数a的取值范围．18．（12分）设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且与直线x﹣y+1=0相交的弦长为2，求圆的方程．19．（12分）某校从高三年级期末考试的学生中抽出20名学生，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示：（1）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（2）从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，求他们在不同分数段的概率．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，BC=AD，PA=PD，Q为AD的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBQ；（Ⅱ）若点M在棱PC上，设PM=tMC，试确定t的值，使得PA∥平面BMQ．21．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．22．（12分）已知点E、F的坐标分别是（﹣2，0）、（2，0），直线EP、FP相交于点P，且它们的斜率之积为．（1）求证：点P的轨迹在一个椭圆C上，并写出椭圆C的方程；（2）设过原点O的直线AB交（1）中的椭圆C于点A、B，定点M的坐标为，试求△MAB面积的最大值，并求此时直线AB的斜率k AB．2016-2017学年湖北省宜昌市金东方高中、三峡高中高二（上）11月联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0【考点】命题的否定；全称命题．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．故选D．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．2．如表是某厂1﹣4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+，则=（）A．10.5 B．5.15 C．5.25 D．5.2【考点】线性回归方程．【分析】计算样本中心，代入回归方程得出．【解答】解：=，=3.5．∴3.5=﹣0.7×2.5+，解得=5.25．故选C．【点评】本题考查了线性回归方程经过样本中心的性质，属于基础题．3．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）A．7 B．15 C．25 D．35【考点】分层抽样方法．【分析】先计算青年职工所占的比例，再根据青年职工抽取的人数计算样本容量即可．【解答】解：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7：5：3，所以样本容量为．故选B【点评】本题考查基本的分层抽样，属基本题．4．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的序号是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得①是真命题；根据面面平行的性质结合线面垂直的性质，可得②是真命题；在正方体中举出反例，可得平行于同一个平面的两条直线不一定平行，垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行，可得③④不正确．由此可得本题的答案．【解答】解：对于①，因为n∥α，所以经过n作平面β，使β∩α=l，可得n∥l，又因为m⊥α，l⊂α，所以m⊥l，结合n∥l得m⊥n．由此可得①是真命题；对于②，因为α∥β且β∥γ，所以α∥γ，结合m⊥α，可得m⊥γ，故②是真命题；对于③，设直线m、n是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面α是正方体下底面所在的平面，则有m∥α且n∥α成立，但不能推出m∥n，故③不正确；对于④，设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有α⊥γ且β⊥γ，但是α⊥β，推不出α∥β，故④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①和②故选：A【点评】本题给出关于空间线面位置关系的命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了线面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．5．有下列四个命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题为（）A．①②B．①③C．②③D．③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】写出“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题判断真假；写出“全等三角形的面积相等”的否命题判断真假；通过若q≤1，则方程x2+2x+q=0有实根，根据二次方程根的存在性，即可得到其真假，然后利用互为逆否命题的两个命题即可判定该命题的正误．利用原命题与逆否命题同真同假判断即可．【解答】解：对于①，“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题是：若x，y互为相反数，则x+y=0．它是真命题．对于②，“全等三角形的面积相等”的否命题是：若两个三角形不是全等三角形，则这两个三角形的面积不相等．它是假命题．对于③，若q≤1，则△=4﹣4q≥0，故命题若q≤1，则方程x2+2x+q=0有实根是真命题；它的逆否命题的真假与该命题的真假相同，故（3）是真命题．对于④，原命题为假，故逆否命题也为假．故选：B．【点评】本题考查四种命题的真假判断以及命题的否定，解题时要注意四种命题的相互转化，和真假等价关系，属基础题．6．若P是以F1，F2为焦点的椭圆=1（a＞b＞0）上的一点，且=0，tan∠PF1F2=，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据向量、的数量积为零，可得△PF1F2是P为直角顶点的直角三角形．Rt△PF1F2中，根据正切的定义及，可设PF2=t，PF1=2t，由勾股定理，得出．利用椭圆的定义得到2a=PF1+PF2=3t，最后由椭圆离心率的定义可得此椭圆的离心率．【解答】解：∵∴，即△PF1F2是P为直角顶点的直角三角形．∵Rt△PF1F2中，，∴=，设PF2=t，则PF1=2t∴=2c，又∵根据椭圆的定义，得2a=PF1+PF2=3t∴此椭圆的离心率为e====故选A【点评】本题给出椭圆的一个焦点三角形为直角三角形，根据一个内角的正切值，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题．7．变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（）A．B．C．D．5【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=（x﹣2）2+y2，利用距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设z=（x﹣2）2+y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D（2，0）的距离的平方，由图象知CD的距离最小，此时z最小．由得，即C（0，1），此时z=（x﹣2）2+y2=4+1=5，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及两点间的距离公式，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．8．若直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+4x﹣4y﹣1=0所截得的弦长为6，则的最小值为（）A．10 B．C．D．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由已知中圆的方程x2+y2+4x﹣4y﹣1=0我们可以求出圆心坐标，及圆的半径，结合直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+4x﹣4y﹣1=0所截得的弦长为6，我们易得到a，b的关系式，再根据基本不等式中1的活用，即可得到答案．【解答】解：圆x2+y2+4x﹣4y﹣1=（x+2）2+（y﹣2）2=9是以（﹣2，2）为圆心，以3为半径的圆，又∵直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+4x﹣4y﹣1=0所截得的弦长为6，∴直线过圆心，∴a+b=1，∴=（）（a+b）=5++≥5+2=5+2，当且仅当a=﹣2，b=3﹣时取等号，∴的最小值的最小值为5+2，故选：C．【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，基本不等式，其中根据已知条件，分析出圆心在已知直线上，进而得到a，b的关系式，是解答本题的关键．9．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量．三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．10．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的标准方程．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选D．【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．11．程序框图如图所示，当A=时，输出的k的值为（）A．23 B．24 C．25 D．26【考点】循环结构．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算S=+++…+=的值，∵A=，退出循环的条件为S≥A，当k=24时，=满足条件，故输出k=24，故选：B【点评】本题考查的知识点是程序框图，分析出程序的功能是解答的关键．12．设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A．5 B． +C．2+D．6【考点】椭圆的简单性质．【分析】由圆的方程求出圆心坐标和半径，设出Q的坐标，由两点间的距离公式列式，化为关于Q的纵坐标的函数，配方求得Q到圆心的距离的最大值，即可求P，Q两点间的距离的最大值．【解答】解：如图，由圆x2+（y﹣6）2=2，得圆心坐标为C（0，6），半径为．设Q（x，y）是椭圆+=1上的点，∴|QC|==，∵﹣≤y≤，∴y=﹣时，Q与圆心C的距离的最大值为．∴P，Q两点间的距离的最大值为2+．故选：C．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查两点间距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．如图，程序在执行时如果输入6，那么输出的结果为720．【考点】伪代码．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累乘并输出S=1×2×3×4×5×6的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=1×2×3×4×5×6的值．∵S=1×2×3×4×5×6=720，故输出的值为720故答案为：720【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．14．实数x，y满足条件，若目标函数z=2x+y的最大值与最小值的差为2，则m的值为2．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组，对应的平面区域，利用z的几何意义，结合目标函数z=2x+y的最大值是最小值的差为2，建立方程关系，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组，对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得即A（4﹣m，m），此时z=2×（4﹣m）+m=8﹣m，当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（m﹣1，m），此时z=2×（m﹣1）+m=3m﹣2，∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的差为2，∴8﹣m﹣3m+2=2，即m=2．故答案为：2【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．15．已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】据三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC，可得S在面ABC上的射影为AB中点H，SH⊥平面ABC，在面SHC内作SC的垂直平分线MO与SH交于O，则O为SABC的外接球球心，OH为O与平面ABC 的距离，由此可得结论．【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC，∴S在面ABC上的射影为AB中点H，∴SH⊥平面ABC．∴SH上任意一点到A、B、C的距离相等．∵SH=，CH=1，在面SHC内作SC的垂直平分线MO与SH交于O，则O为SABC的外接球球心．∵SC=2，∴SM=1，∠OSM=30°，∴SO=，∴OH=，即为O与平面ABC的距离．故答案为．【点评】本题考查点到面的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定OH是O与平面ABC的距离是关键．16．若在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线ax﹣by=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交的概率为．【考点】等可能事件的概率；直线与圆的位置关系．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，对应的面积是2×1，满足条件的事件是圆心（1，2）到直线的距离小于或等于半径，整理出结果，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，对应的面积是2×1=2，满足条件的事件是圆心（1，2）到直线的距离小于或等于半径，即，∴4a≥3b，在所有事件组成的集合中，满足3b≥4a有x轴左边，b＜1的部分，∴要求的概率是=，故答案为：【点评】本题考查等可能事件的概率，要求得概率等于符合条件的面积之比，注意满足条件的事件所满足的条．件在整理时，应用点到直线的距离公式，注意变形整理．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）（2014秋•新乡期末）已知p：|3x﹣4|＞2，＞0，r：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0，（1）¬p是¬q的什么条件？（2）若¬r是¬p的必要非充分条件，试求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（1）求出命题p，q的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．（2）根据￢r是￢p的必要非充分条件，进行转化，建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：（1）由|3x﹣4|＞2得3x﹣4＞2或3x﹣4＜﹣2，即x＞2或x＜，即p：x＞2或x＜，￢p：≤x≤2由＞0得x2﹣x﹣2＞0得x＞2或x＜﹣1，即：￢q：﹣1≤x≤2，则￢p是￢q的充分不必要条件．（2）由（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0得a＜x＜a+1，即r：a＜x＜a+1，若￢r是￢p的必要非充分条件，则p是r的必要非充分条件，即a ≥2或a +1≤，即a ≥2或a ≤﹣，即实数a 的取值范围是a ≥2或a ≤﹣．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断和应用，根据充分条件和必要条件的定义进行转化是解决本题的关键．18．（12分）（2015秋•宜昌校级期末）设圆上的点A （2，3）关于直线x +2y=0的对称点仍在圆上，且与直线x ﹣y +1=0相交的弦长为2，求圆的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设出圆的方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=r 2，由圆上的点关于直线的对称点还在圆上得到圆心在这条直线上，设出圆心坐标，代入到x +2y=0中得到①；把A 的坐标代入圆的方程得到②；由圆与直线x ﹣y +1=0相交的弦长为2，利用垂径定理得到弦的一半，圆的半径，弦心距成直角三角形，利用勾股定理得到③，三者联立即可求出a 、b 和r 的值，得到满足题意的圆方程． 【解答】解：设所求圆的圆心为（a ，b ），半径为r ， ∵点A （2，3）关于直线x +2y=0的对称点A′仍在这个圆上， ∴圆心（a ，b ）在直线x +2y=0上， ∴a +2b=0，①（2﹣a ）2+（3﹣b ）2=r 2．②又直线x ﹣y +1=0截圆所得的弦长为2，圆心（a ，b ）到直线x ﹣y +1=0的距离为d==，则根据垂径定理得：r 2﹣（）2=（）2③解由方程①、②、③组成的方程组得：或∴所求圆的方程为（x ﹣6）2+（y +3）2=52或（x ﹣14）2+（y +7）2=244． 【点评】此题要求学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用垂径定理及对称知识化简求值，是一道中档题．学生做题时注意满足题意的圆方程有两个．19．（12分）（2016秋•三峡区月考）某校从高三年级期末考试的学生中抽出20名学生，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示：（1）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（2）从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，求他们在不同分数段的概率．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）求出60分及以上的频率为及格率，再利用组中值计算平均分；（2）求出80到90分以及90到100分的人数，利用列举法求出对应的基本事件数，计算概率值即可．【解答】解：（1）60分及以上的频率为1﹣（0.005+0.015）×10=0.8，所以及格率为0.8；平均分为：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.30+85×0.25+95×0.05=72；（2）80到90分的人数为：0.025×10×20=5（人），90到100分人数为：0.005×10×20=1（人）；设90到100分的人为a，80到90分的5个人分别为：1、2、3、4、5，则有（a，1）、（a，2）、（a，3）、（a，4）、（a，5）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（3，4）、（3，5）、（4，5）共15个基本事件，且他们是等可能的，设事件A为选中的两人在不同分数段，则事件A有（a，1）、（a，2）、（a，3）、（a，4），（a，5）共5个基本事件，∴P（A）==．即成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，在不同分数段的概率为．【点评】本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题．20．（12分）（2014•淮南一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，BC=AD，PA=PD，Q为AD的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBQ；（Ⅱ）若点M在棱PC上，设PM=tMC，试确定t的值，使得PA∥平面BMQ．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）证明四边形BCDQ为平行四边形，可得CD∥BQ，证得QB⊥AD，由等腰三角形的性质可得PQ⊥AD，从而证得AD⊥平面PBQ．（Ⅱ）当t=1时，PA∥平面BMQ，可证四边形BCQA为平行四边形，故N为AC中点，由三角形的中位线的性质可得MN∥PA，故有PA∥平面BMQ．【解答】证明：（Ⅰ）AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．（Ⅱ）当t=1时，PA∥平面BMQ．连接AC，交BQ于N，连接MN．∵BC∥DQ，且BC=DQ，∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，∵点M是线段PC的中点，∴MN∥PA．∵MN⊂平面BMQ，PA不在平面BMQ内，∴PA∥平面BMQ．【点评】本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，直线与平面垂直的判定、性质的应用．21．（12分）（2010•湖北）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．【考点】函数模型的选择与应用；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（I）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C（0）=8，得k=40，进而得到．建造费用为C1（x）=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．（II）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为．再由C（0）=8，得k=40，因此．而建造费用为C1（x）=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（Ⅱ），令f'（x）=0，即．解得x=5，（舍去）．当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为．当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．【点评】函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．22．（12分）（2016秋•三峡区月考）已知点E、F的坐标分别是（﹣2，0）、（2，0），直线EP、FP相交于点P，且它们的斜率之积为．（1）求证：点P的轨迹在一个椭圆C上，并写出椭圆C的方程；（2）设过原点O的直线AB交（1）中的椭圆C于点A、B，定点M的坐标为，试求△MAB面积的最大值，并求此时直线AB的斜率k AB．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设点M的坐标为（x，y），求出斜率，列出方程化简求解即可；（2）设直线AB的方程为y=kx，A（x1，kx1），则B（﹣x1，﹣kx1），联立直线和椭圆的方程，求得，利用弦定公式，求出AB的长，利用点到直线公式，求出M点直线AB的距离，得到△MAB面积的表达式，进而求出△MAB面积m的取值范围，得到△MAB面积m的最大值，代入可求出对应的k值．【解答】（1）证明：设点M的坐标为（x，y），则，化简得P的轨迹方程为（x≠±2），∴点P的轨迹在一个椭圆上；（2）解：设直线AB的方程为y=kx，A（x1，kx1），则B（﹣x1，﹣kx1），联立y=kx与，得，AB=2OA=2=4，∵M（1，）到直线AB的距离d=，∴AB•d=×4×=m，得4（1﹣m2）k2﹣4k+1﹣m2=0，则42﹣4•4（1﹣m2）•（1﹣m2）≥0．即（1﹣m2）2≤1，又由m≥0，可得0≤m≤，即三角形MAB的最大值为，代入4（1﹣m2）k2﹣4k+1﹣m2=0，得k=﹣．【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题，考查数学转化思想方法，训练了函数最值的求法，是中档题．。
湖北省宜昌市西陵区金东方高中2016-2017学年高一下学期第一次月考数学试卷理科 含解析 精品
2016-2017学年湖北省宜昌市西陵区金东方高中高一（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．在△ABC中，a=3，b=，A=120°，则B等于（）A．120°B．60°C．45°D．30°2．已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（）A．B．C． D．3．下列各式中，值为的是（）A．sin15°cos15° B．C．D．4．将函数f（x）=cos（π+x）（cosx﹣2sinx）+sin2x的图象向左平移后得到函数g （x），则g（x）具有性质（）A．最大值为，图象关于直线对称B．周期为π，图象关于对称C．在上单调递增，为偶函数D．在上单调递增，为奇函数5．已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），若，则的值为（）A．B．C．D．6．已知等差数列{a n}与等差数列{b n}的前n项和分别为S n和T n，若，则=（）A．B．C．D．7．函数f（x）=Acos（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（1）+f （2）+…+f的值为（）A．2+B．C．D．0=2a n+1（n∈N*），S n为其前n项和，则S5的值为（）8．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1A．57 B．61 C．62 D．639．等比数列{a n}各项为正，a3，a5，﹣a4成等差数列．S n为{a n}的前n项和，则=（）A．2 B．C．D．=（+1）2+1，则a12=（）10．已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1A．101 B．122 C．145 D．17011．已知首项为正数的等差数列{a n}满足：a2005+a2006＞0，a2005•a2006＜0，则使前项S n＞0成立的最大自然数n是（）A．4009 B．4010 C．4011 D．401212．已知数列{a n}中，且{a n}单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，3）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，3]二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．等差数列{a n}中，a2=5，a5=33，则a3+a4=．14．已知△ABC中，，，且＜0，则=．15．已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和等于．16．△ABC 中，a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，S △ABC =，那么b= ．三、解答题（本题共6道小题，第17题10分，第18题至第22题每题12分．共计70分）17．（Ⅰ）已知在△ABC 中，AB=1，BC=2，∠B=， =， =求（2﹣3）•（4+）；（Ⅱ）已知向量=（2，1），=（﹣1，3），且向量t +与向量﹣平行，求t 的值．18．已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2=1，a 5=﹣5． （Ⅰ）求{a n }的通项a n ；（Ⅱ）求{a n }前n 项和S n 的最大值及相应的n 的值．19．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＜b ＜c ， =．（1）求角B 的大小；（2）若a=2，c=3，求b 边的长和△ABC 的面积．20．已知数列{a n }和{b n }满足a 1=2，b 1=1，a n +1=2a n （n ∈N *），b 1+b 2+b 3+…+=b n +1﹣1（n ∈N *）． （Ⅰ）求a n 与b n ；（Ⅱ）记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n ．21．已知数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2﹣，数列{b n }中，b n =，其中n ∈N *．（Ⅰ）求证：数列{b n }是等差数列；（Ⅱ）设S n 是数列{b n }的前n 项和，求++…+．22．已知函数（Ⅰ）判断f （x ）的奇偶性并证明；（Ⅱ）若对于x ∈[2，4]，恒有成立，求m 的取值范围．2016-2017学年湖北省宜昌市西陵区金东方高中高一（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．在△ABC中，a=3，b=，A=120°，则B等于（）A．120°B．60°C．45°D．30°【考点】正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理可求sinB的值，利用大边对大角可得B为锐角，从而得解．【解答】解：∵在△ABC中，a=3，b=，A=120°，∴由，可得：sinB===，∵b＜a，B为锐角，∴B=30°．故选：D．2．已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（）A．B．C． D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由已知向量垂直得到数量积为0，于是得到非零向量的模与夹角的关系，求出夹角的余弦值．【解答】解：由已知非零向量满足||=4||，且⊥（），设两个非零向量的夹角为θ，所以•（）=0，即2=0，所以cosθ=，θ∈[0，π]，所以；故选C ．3．下列各式中，值为的是（ ）A ．sin15°cos15°B ．C ．D ．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由条件利用二倍角公式、两角和的差三角公式，求出各个选项中式子的值，从而得出结论．【解答】解：由于sin15°cos15°=sin30°=，故排除A ．由于﹣=cos=，故排除B ．由于=tan60°=，满足条件．由于=cos15°=cos （45°﹣30°）=cos45°cos30°+sin45°sin30°=，故排除D ， 故选：C ．4．将函数f （x ）=cos （π+x ）（cosx ﹣2sinx ）+sin 2x 的图象向左平移后得到函数g（x ），则g （x ）具有性质（ ）A ．最大值为，图象关于直线对称B ．周期为π，图象关于对称C ．在上单调递增，为偶函数D ．在上单调递增，为奇函数【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换；诱导公式的作用；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的奇偶性；正弦函数的单调性．【分析】利用三角函数的恒等变换求得f （x ）=sin （2x ﹣），根据函数y=Asin（ωx +∅）的图象变换规律求得g （x ）=sin2x ，从而得出结论．【解答】解：函数f （x ）=cos （π+x ）（cosx ﹣2sinx ）+sin 2x=﹣cosx （cosx ﹣2sinx ）+sin 2x=﹣cos2x +sin2x=sin （2x ﹣），把函数f （x ）的图象向左平移后得到函数g （x ）=sin [2（x +）﹣]=sin2x的图象，故函数g （x ）在上单调递增，为奇函数，故选D ．5．已知A （3，0），B （0，3），C （cosα，sinα），若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算．【分析】由A ，B ，C 的坐标求出和，根据平面向量数量积的运算法则及同角三角函数间的基本关系化简得到sinα+cosα的和，然后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求出sin （α+）的值．【解答】解：∵=（cosα﹣3，sinα），=（cosα，sinα﹣3）∴=（cosα﹣3）•cosα+sinα（sinα﹣3）=﹣1得cos 2α+sin 2α﹣3（cosα+sinα）=﹣1∴，故sin （α+）=（sinα+cosα）=×=故选B6．已知等差数列{a n }与等差数列{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若，则=（ ）A．B．C．D．【考点】等差数列的性质．【分析】由等差数列的求和公式和性质可得==，代值计算可得．【解答】解：由等差数列的求和公式和性质可得===．故选C．7．函数f（x）=Acos（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（1）+f （2）+…+f的值为（）A．2+B．C．D．0【考点】正弦函数的图象．【分析】根函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）及其图象，可以求得A=2，ω=，利用函数的周期性可以求得答案．【解答】解：由图象知A=2，T=可得ω=，由五点对应法得，可求得，∴，又f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f+f（2）+f（3）+f（4）=2sin+2sin+2sin+2sinπ=2×+2+2×=2+2，故选：C．8．已知数列{a n}中，a1=1，a n=2a n+1（n∈N*），S n为其前n项和，则S5的值为（）+1A．57 B．61 C．62 D．63【考点】数列递推式．【分析】由a n=2a n﹣1+1，得a n+1=2（a n﹣1+1）（n≥2），可判断{a n+1}是以2为公比，2为首项的等比数列，由此可求得a n，然后利用分组求和法可得S n，当n=5时，代入即可求得S5=64﹣5﹣2=57，即可得到答案．=2a n+1【解答】解：由a n+1+1=2（a n+1），∴a n+1∵a1=1，∴所以{a n+1}是以2为公比，2为首项的等比数列，所以a n+1=2•2n﹣1=2n，∴a n=2n﹣1，∴S n=（2﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n﹣1）=（2+22+23+…+2n）﹣n，=﹣n，S n=2n+1﹣n﹣2．=2n+1﹣n﹣2．∴当n=5时，S5=64﹣5﹣2=57，故答案选：A．9．等比数列{a n}各项为正，a3，a5，﹣a4成等差数列．S n为{a n}的前n项和，则=（）A．2 B．C．D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】设{a n}的公比为q（q≠0，q≠1），利用a3，a5，﹣a4成等差数列结合通项公式，可得2a1q4=a1q2﹣a1q3，由此即可求得数列{a n}的公比，进而求出数列的前n项和公式，可得答案．【解答】解：设{a n}的公比为q（q＞0，q≠1）∵a3，a5，﹣a4成等差数列，∴2a1q4=a1q2﹣a1q3，∵a1≠0，q≠0，∴2q2+q﹣1=0，解得q=或q=﹣1（舍去）∴===故选C10．已知数列{a n}满足：a1=2，a n=（+1）2+1，则a12=（）+1A．101 B．122 C．145 D．170【考点】数列递推式．=（+1）2+1＞0，可得=（+1）2，﹣【分析】a n+1=1，利用等差数列的通项公式即可得出．=（+1）2+1＞0，【解答】解：∵a n+1则=（+1）2，∴﹣=1，∴数列是等差数列，公差为1．∴=1=（n﹣1）=n，可得a n=n2+1，∴a12=122+1=145．故选：C．11．已知首项为正数的等差数列{a n}满足：a2005+a2006＞0，a2005•a2006＜0，则使前项S n＞0成立的最大自然数n是（）A．4009 B．4010 C．4011 D．4012【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式．【分析】根据题意可知：此等差数列的1到2005项每一项都大于0，从第2006项开始每一项都小于0，然后利用等差数列的前n项和公式表示出前4010项的和与前4011项的和，分别利用等差数列的性质变形后，根据a2005+a2006＞0与a2006＜0，判断出前4010项的和为正与前4011项的和为负，即可求出满足题意的最大自然数n的值．【解答】解：由题意知：等差数列中，从第1项到第2005项是正数，且从第2006项开始为负数，则S4010=2005（a1+a4010）=2005（a2005+a2006）＞0，S4011==4011a2006＜0，故n的最大值为4010．故选B12．已知数列{a n}中，且{a n}单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，3）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，3]【考点】判断两个函数是否为同一函数．﹣a n＞0对于n 【分析】该题需注意变量n的特殊性，根据函数的单调性可得a n+1∈N*恒成立，建立关系式，解之即可求出k的取值范围．【解答】解：∵数列{a n}中，且{a n}单调递增∴a n﹣a n＞0对于n∈N*恒成立即（n+1）2﹣k（n+1）﹣（n2﹣kn）=2n+1﹣k＞0 +1对于n∈N*恒成立∴k＜2n+1对于n∈N*恒成立，即k＜3故选B．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．等差数列{a n}中，a2=5，a5=33，则a3+a4=38．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的定义和性质可得a2+a5 =a3+a4，把条件代入运算求得结果．【解答】解：等差数列{a n}中，a2=5，a5=33，则a2+a5 =a3+a4=5+33=38，故答案为38．14．已知△ABC中，，，且＜0，则=7．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由三角形的面积公式可得sin∠BAC=，进而可得cos∠BAC=，而==，代入值化简即得答案．=sin∠BAC=，【解答】解：由题意可得S△ABC代入值解得sin∠BAC=，由＜0可知∠BAC为钝角，故cos∠BAC=，所以====7故答案为：715．已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和等于2n﹣1．【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的性质，求出数列的首项以及公比，即可求解数列{a n}的前n项和．【解答】解：数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，可得a1a4=8，解得a1=1，a4=8，∴8=1×q3，q=2，数列{a n}的前n项和为：=2n﹣1．故答案为：2n﹣1．16．△ABC中，a、b、c成等差数列，∠B=30°，S△ABC=，那么b=．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由三边成等差数列得2b=a+c，两边平方待用，由三角形面积用正弦定理得到ac=6，用余弦定理写出b2的表示式，代入前面得到的两个等式，题目变化为关于b2方程，解出变量开方即得．【解答】解：∵a、b、c成等差数列，∴2b=a+c，∴4b2=a2+c2+2ac，①=，∵S△ABC∴ac=6②∵b2=a2+c2﹣2accosB③由①②③得，∴．故答案为：．三、解答题（本题共6道小题，第17题10分，第18题至第22题每题12分．共计70分）17．（Ⅰ）已知在△ABC中，AB=1，BC=2，∠B=，=，=求（2﹣3）•（4+）；（Ⅱ）已知向量=（2，1），=（﹣1，3），且向量t+与向量﹣平行，求t的值．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（I）根据平面向量的坐标表示与运算性质，计算即可；（II）根据平面向量共线定理，列出方程求出t的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，AB=1，BC=2，∠B=，=，=，∴、的夹角为，∴•=1×2×cos=﹣1；∴（2﹣3）•（4+）=8﹣10•﹣3=8×12﹣10×（﹣1）﹣3×22=6；…（Ⅱ）向量=（2，1），=（﹣1，3），∴t+=（2t﹣1，t+3），﹣=（3，﹣2）；又向量t+与向量﹣平行，∴﹣2（2t﹣1）﹣3（t+3）=0，解得t=﹣1…18．已知数列{a n}是一个等差数列，且a2=1，a5=﹣5．（Ⅰ）求{a n}的通项a n；（Ⅱ）求{a n}前n项和S n的最大值及相应的n的值．【考点】等差数列的前n项和．【分析】（Ⅰ）设{a n}的公差为d，由已知可得关于a1，d的方程组，解出a1，d利用等差数列的通项公式可求得a n；（Ⅱ）利用等差数列的求和公式表示出S n，借助二次函数的性质可求得S n的最大值及相应的n的值．【解答】解：（I）设{a n}的公差为d，由已知条件，得，解得a1=3，d=﹣2．∴a n=a1+（n﹣1）d=﹣2n+5．（II）S n=na1+d=﹣n2+4n=4﹣（n﹣2）2．∴n=2时，S n取得最大值为4．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＜b＜c，=．（1）求角B的大小；（2）若a=2，c=3，求b边的长和△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，求出sinB的值，即可确定出B的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，将a，c，cosB的值代入求出b的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 面积．【解答】解：（1）∵=，=，∴=，即sinB=，∵B 为三角形内角，且a ＜b ＜c ， ∴B ＜C ，则B=；（2）∵a=2，c=3，cosB=，∴由余弦定理得：b 2=a 2+c 2﹣2accosB=4+9﹣6=7，即b=；则S △ABC =acsinB=×2×3×=．20．已知数列{a n }和{b n }满足a 1=2，b 1=1，a n +1=2a n （n ∈N *），b 1+b 2+b 3+…+=b n +1﹣1（n ∈N *）． （Ⅰ）求a n 与b n ；（Ⅱ）记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n ． 【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（Ⅰ）利用公式直接计算可知数列{a n }的通项公式，通过作差可知，进而可得b n =n ；（Ⅱ）通过（1）可知a n b n =n•2n ，即可利用错位相加法计算数列的和．【解答】解：（Ⅰ）由a 1=2，a n +1=2a n ，得：；由b 1=1，b 1+b 2+b 3+…+=b n +1﹣1知，当n=1时，b 1=b 2﹣1，故b 2=2．当n ≥2时，，整理得：，∴，，…，（n ≥2）．累积可得：b n =n ，验证b 1=1成立， ∴b n =n ；（Ⅱ）由（1）知，，∴数列{a n b n }的前n 项和为T n =2+2×22+3×23+…+n ×2n ，，作差可得： ==2n +1﹣2﹣n ×2n +1，∴．21．已知数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2﹣，数列{b n }中，b n =，其中n ∈N *．（Ⅰ）求证：数列{b n }是等差数列；（Ⅱ）设S n 是数列{b n }的前n 项和，求++…+．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）由b n =，则b n +1=，则b n +1﹣b n =1，则数列{b n }是等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b n =n ， b n =n ，利用等差数列的前n 项和公式可知S n =，则==6（﹣），利用“裂项法”即可求得答案．【解答】解：（Ⅰ）证明：由b n =，则b n +1===，∴b n +1﹣b n =﹣=1．n ∈N *∴{b n }是首项为b 1==1，公差为1的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b n =n ， b n =n ，则S n =（1+2+3+…+n ）=，于是==6（﹣），∴++…+=6[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=6（1﹣）=，∴++…+=．22．已知函数（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性并证明；（Ⅱ）若对于x∈[2，4]，恒有成立，求m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的判断．【分析】（Ⅰ）根据函数奇偶性的定义进行判断即可；（Ⅱ）根据对数函数的单调性，将不等式恒成立进行转化，利用参数分离法进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵解得x＞1或x＜﹣1，∴函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），函数f（x）为奇函数，证明如下：由（I）知函数f（x）的定义域关于原点对称，又∵f（﹣x）=log a=log a=log a（）﹣1==﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数；（Ⅱ）若对于x∈[2，4]，f（x）＞log a恒成立，即log a＞对x∈[2，4]恒成立，当a＞1时，即对x∈[2，4]成立．则x+1＞，即（x+1）（7﹣x）＞m成立，设g（x）=（x+1）（7﹣x）=﹣（x﹣3）2+16，∵x∈[2，4]∴g（x）∈[15，16]，则0＜m＜15，同理当0＜a＜1时，即对x∈[2，4]成立．则x+1＜，即（x+1）（7﹣x）＜m成立，设g（x）=（x+1）（7﹣x）=﹣（x﹣3）2+16，∵x∈[2，4]∴g（x）∈[15，16]，则m＞16，综上所述：a＞1时，0＜m＜15，0＜a＜1时，m＞16．2017年4月25日。
湖北省宜昌金东方高级中学三峡高中2016-2017学年高一数学11月月考试题
宜昌金东方高级中学2016年秋季学期11月月考高一数学试题本试题卷共4页，三大题22小题。
全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.将正确答案的序号填在答题卡的相应位置.)1．如果集合A={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是（ ） A ．0 B ．0 或1 C ．1 D ．0 或1或1-2．已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：则方程g [f (x )]＝x 的解集为( )A ．{1}B ．{2}C ．{3}D ．Φ3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x ≤－，x 2－1<x，2x x，若f (x )＝3，则x 的值是 ( )A ． 3B ．1或32C ．1，32或± 3 D ．14．某工厂第三年的产量比第一年的产量增加20%，若每年的平均增长率相同（设为x ），则以下结论正确的是（ ）A ．%10=xB ．%10<xC ．%10>xD ． x 的大小由第一年的产量决定5．函数y ＝x ＋－x 2－3x ＋4的定义域为 ( )A ．(－4，－1)B ．(－4,1)C ．(－1,1]D ．(－1,1)6．已知全集U 及它的子集M 、N 、P ，如图所示，则图中 阴影部分所表示的集合是（ ） A ．M ∩(N ∪P) B ．M ∩∁U (N ∩P) C ．M ∪∁U (N ∩P) D ．M ∩∁U (N ∪P)7．若函数ax x f x-+=)110lg()(是偶函数，xx bx g 24)(+=是奇函数，则b a +的值为（ ）A ．21 B ．1 C ．21- D ．1-8．满足{1,2}A ⊆{1,2,3,4,5,6}的集合A 的个数有（ ）个 A ．13 B ．14 C ．15 D ．169．设},90|{Z k k M ∈⋅== αα},45180|{Z k k ∈+⋅= αα，},45|{Z k k N ∈⋅== αα，则（ ） A ．N M ⊆ B ．N M ⊇ C ．N M = D ．Φ=N M10．已知0x 是函数x x x f 26ln )(+-=的零点，则下列四个数中最小的是（ ） A ．0ln x B ．0ln x C ．)ln(ln 0x D ．20)(ln x11．方程0241-=+-a x x有负根，则a 的取值范围是（ ）A ．81≥a B ．1610≤<a C ．081<≤-a D ． 16121≤<-a12．已知函数()()()⎩⎨⎧<+≥+=0)3(012x e a x ax x f ax，，为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)0,1[- B ．),0(+∞ C ．)0,2[- D ．)2,(--∞二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡的相应位置.)13．一个扇形的中心角为2弧度，半径为1，则其面积为 ．14．设集合A=}023|{2=++x x x ，B=}04|{2=++ax x x ，若A B B ⊆Φ≠,，则实数a 的取值集合是 ．15．若函数y ＝(12)|1－x |＋m 有两个零点，则实数m 的取值范围是 ．16．若函数)1,0)(4(log )(2≠>++=a a ax x x f a 没有最小值，则a 的取值集合是 ．三、解答题：(本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 将各 题解答写在答题卡的相应位置.) 17．(10分)计算：（Ⅰ）23278-⎛⎫- ⎪⎝⎭＋12(0.002)-－10(5－2)－1＋(2－3)0；（Ⅱ）12lg 3249－43lg 8＋lg 245；18. (12分) 将不超过30的正整数分成A 、B 、C 三个集合，分别表示可被3整除的数、被3除余1的数、被3除余2的数.请分别用两种方法表示集合A 、B 、C .19． (12分) 已知函数y ＝b ＋22x xa+(a ，b 是常数且a ＞0，a ≠1)在区间]0,23[-上的最大值为3，最小值为52，试求a ，b 的值．20．(12分) 已知函数f (x )＝log a (x ＋2)－log a (2－x )，a ＞0且a ≠1.（Ⅰ）判断f(x)的奇偶性，并予以证明；（Ⅱ）求关于x的不等式f(x)＞0的解集．21. (12分) 某宾馆有相同标准的床位100张，根据经验，当该宾馆的床价(即每张床每天的租金)不超过10元时，床位可以全部租出，当床位高于10元时，每提高1元，将有3张床位空闲．为了获得较好的效益，该宾馆要给床位一个合适的价格，条件是：①要方便结账，床价应为1元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得越多越好．若用x表示床价，用y表示该宾馆一天出租床位的净收入(即除去每日的费用支出后的收入)．（Ⅰ）把y表示成x的函数，并求出其定义域；（Ⅱ）试确定该宾馆将床位定价为多少时，既符合上面的两个条件，又能使净收入最多？22．(12分)已知函数)0(|,12|)(>-=x xx f ． （Ⅰ）是否存在实数)0(,b a b a <<，使得函数)(x f y =的定义域、值域都是],[b a ？若存在，则求出b a ,的值，若不存在，请说明理由；（Ⅱ）若存在实数)0(,b a b a <<，使得函数)(x f y =的定义域是],[b a ，值域是],[mb ma )0(>m ，求m 的取值范围．2016-2017学年度一年级上学期11月月考数学参考答案1、B2、C3、A4、B5、D6、D7、C8、C9、A 10、C 11、D 12、C13．答案：1 14．答案：｝｛4 15．答案 －1<m <016．答案：)4[10∞+ ），（三、解答题：(本大题共6小题，满分70分． 17．(10分)（Ⅰ） 答案： －1679（Ⅱ）答案： 2118. (12分)答案：}101,,3|{30,27,24,21,18,15,12,9,6,3≤≤∈===k N k k x x A ｝｛}101,,23|{28,25,22,19,16,13,10,7,4,1≤≤∈-===k N k k x x B ｝｛ }101,,13|{29,26,23,20,17,14,11,8,5,2≤≤∈-===k N k k x x C ｝｛（用任何两种即可）19． (12分)答案：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，∴t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，值域为[－1,0]，即t ∈[－1,0]． ３分(1)若a ＞1，函数y ＝a t在[－1,0]上为增函数，∴a t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，1，则b ＋22x xa +∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋1a，b ＋1，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2. 7分(2)若0＜a ＜1，函数y ＝a t在[－1,0]上为减函数， ∴a t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a ，则b ＋22x xa +∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋1，b ＋1a ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，b ＝32.综上，所求a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.12分20．(12分)答案：(1)f (x )为奇函数．证明如下： f (x )的定义域为{x |－2＜x ＜2}，且f (－x )＝log a (－x ＋2)－log a (2＋x )＝－[log a (x ＋2)－log a (2－x )]＝－f (x )．故f (x )为奇函数． 6分 (2)当a ＞1时，f (x )在定义域{x |－2＜x ＜2}上是增函数， 所以f (x )＞0⇔122x >-+x.解得0＜x ＜2. 所以使f (x )＞0的x 的取值集合是{x |0＜x ＜2}． 当a <1时，f (x )在定义域{x |－2＜x ＜2}上是减函数， 所以f (x )＞0⇔122x 0<-+<x.解得-2＜x ＜0. 所以使f (x )＞0的x 的取值集合是{x |-2＜x ＜0}． １２分21. (12分) 解 (1)依题意有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧100x －575 (x ≤10)，[100－(x －10)×3]x －575 (x >10)，由于y >0且x ∈N *，由⎩⎪⎨⎪⎧100x －575>0，x ≤10. 得6≤x ≤10，x ∈N *.由⎩⎪⎨⎪⎧x >10，[100－(x －10)×3]x －575>0得10<x ≤38，x ∈N *， 所以函数为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧100x －575 (x ∈N *，且6≤x ≤10)，－3x 2＋130x －575 (x ∈N *，且10<x ≤38)，定义域为{x |6≤x ≤38，x ∈N *}． …………8分 (2)当x ＝10时，y ＝100x －575 (6≤x ≤10，x ∈N *)取得最大值425元，当x >10时，y ＝－3x 2＋130x －575，当且仅当x ＝－1302×(－3)＝653时，y 取最大值，但x ∈N *，所以当x ＝22时，y ＝－3x 2＋130x －575 (10<x ≤38，x ∈N *)取得最大值833元．(12分)比较两种情况，可知当床位定价为22元时净收入最多． …………12分22．(12分)（1）不存在；5分 （2）)10(， 12分。
湖北省宜昌市三峡高级中学、宜昌金东方高级中学高一数
宜昌金东方高级中学2015年秋季学期期中考试高一数学试题考试时间：120分钟 满分：150分★祝考试顺利★一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1、︒2015是（ ）A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角 2、已知幂函数)(x f y =的图象过点)22,21(，则)2(f 的值为（ ） A 、2 B 、2- C 、2 D 、2-3、已知全集U 及它的子集P N M 、、,如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A 、)(P N M ⋃⋂B 、)(P NC M U ⋂⋂C 、)(P N C M U ⋂⋃D 、)(P N C M U ⋃⋂ 4、直径为4cm 的圆中，︒36圆心角所对的弧长是（ ） A 、54π cm B 、52πcm C 、3π cm D 、2πcm5、已知312-=a ，31log 2=b ，31log 21=c ，则（ ）A 、c a b >>B 、a c b >>C 、a b c >>D 、c b a >>6、已知函数log ()(,0,1)a y x c a c a a =+>≠为常数，其中的图象如图，下列结论成立的（ ） A 、0,1a c >>B 、1,01a c ><<C 、01,1a c <<>D 、01,01a c <<<<7、函数24)1ln(1)(x x x f -++=的定义域为（ ）A 、]2,0()0,2[⋃-B 、]2,0()0,1(⋃-C 、]2,2[-D 、]2,1(-8、设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )A 、3B 、6C 、9D 、129、)(x f 为定义域R ，图像关于原点对称，当x ≥0时，b x x f x++=22)( (b 为常数)，则0<x 时，)(x f 解析式为（ ）A 、122)(--=x x f xB 、122)(++-=-x x f xC 、122)(--=-x x f xD 、122)(+--=-x x f x10、设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集是（ ） A 、{}|303x x x -<<>或 B 、{}|303x x x <-<<或 C 、{}|33x x x <->或 D 、{}|3003x x x -<<<<或11、定义在R 上的函数)(x f 满足)()6(x f x f =+，当13-≤<-x 时,2)2()(+-=x x f ,当31≤≤-x 时,x x f =)(.则)2015()2()1(f f f +++Λ的值为（ ）A 、335B 、340C 、1680D 、201512、已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A 、) , 47(∞+B 、)47 , (-∞C 、)47 , 0(D 、)2 , 47( 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省宜昌市金东方高中2016-2017学年高二(上)11月联考数学(理)试卷
2016-2017学年湖北省宜昌市金东方高中、三峡高中高二（上）11月联考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R|＜2x＜8}，B={x∈R|﹣1＜x＜m+1}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是（）A．m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．﹣2＜m＜22．已知等比数列{a n}的公比q＞1，a1+a4=18，a2•a3=32，则数列{a n}的前8项和为（）A．514 B．513 C．512 D．5103．函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的大致区间是（）A．（﹣，0）B．（0，）C．（，）D．（，）4．已知函数f（x）=2x，若从区间上任取一个实数x，则使不等式f（x）＞2成立的概率为（）A．B．C．D．5．执行如图所示程序框图，则输出a=（）A．20 B．14 C．10 D．76．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（）A．B． C．D．7．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣8．已知，则=（）A．﹣2008 B．2008 C．2010 D．﹣20109．直线2ax+2y﹣a﹣1=0与不等式组表示的区域没有公共点，则a的取值范围是（）A．（﹣1，﹣）B．（，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣，+∞） D．（﹣∞，﹣5）∪（﹣1，+∞）10．已知数列{a n}，a1=1，前n项和为S n，且点P（a n，a n）（n∈N*）在直线x﹣y+1=0+1上，则=（）A． B． C．D．11．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B．C．D．5πa212．若以曲线y=f（x）上任意一点M1（x1，y1）为切点作切线l1，曲线上总存在异于M的点N（x2，y2），以点N为切点做切线l2，且l1∥l2，则称曲线y=f（x）具有“可平行性”，现有下列命题：①偶函数的图象都具有“可平行性”；②函数y=sinx的图象具有“可平行性”；③三次函数f（x）=x3﹣x2+ax+b具有“可平行性”，且对应的两切点M（x1，y1），N（x2，y2）的横坐标满足；④要使得分段函数的图象具有“可平行性”，当且仅当实数m=1．以上四个命题真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上）13．某单位为了了解用电量y度与气温x°C之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温（°C）181310﹣1用电量（度）24343864由表中数据得线性回归方程中b=﹣2，预测当气温为﹣4°C时，用电量的度数约为．14．在△ABC中，A、B、C是三角形的三内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知，b2+c2﹣a2=bc，sin2A+sin2B=sin2C．则角B为．15．若∃x0∈，使不等式成立，则m的取值范围是．16．已知圆C：x2+y2=1，点P（x0，y0）在直线x﹣y﹣2=0上，O为坐标原点，若圆C 上存在一点Q，使∠OPQ=30°，则x0的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知A、B、C为△ABC的三个内角，他们的对边分别为a、b、c，且．（1）求A；（2）若，求bc的值，并求△ABC的面积．18．已知p：|3x﹣4|＞2，＞0，r：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0，（1）¬p是¬q的什么条件？（2）若¬r是¬p的必要非充分条件，试求实数a的取值范围．19．某校高一（2）班共有60名同学参加期末考试，现将其数学学科成绩（均为整数）分成六个分数段50，60），…，，画出如如图所示的部分频率分布直方图，请观察图形信息，回答下列问题：（1）求70～80分数段的学生人数；（2）估计这次考试中该学科的优分率（80分及以上为优分）、中位数、平均值；（3）现根据本次考试分数分成下列六段（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第六组）为提高本班数学整体成绩，决定组与组之间进行帮扶学习．若选出的两组分数之差大于30分（以分数段为依据，不以具体学生分数为依据），则称这两组为“最佳组合”，试求选出的两组为“最佳组合”的概率．20．如图所示，正四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为．（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．21．记事件A为“直线ax﹣by=0与圆（x﹣2）2+y2=6相交”．（1）若将一颗骰子先后掷两次得到的点数分别记为a，b，求事件A发生的概率．（2）若实数a、b满足（a﹣）2+（b﹣1）2≤4，求事件A发生的概率．22．已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g（x）=g（1﹣x），g（x）的最小值为﹣且g（1）=﹣1．令f（x）=g（x+）+mlnx+（m∈R，x＞0）．（1）求g（x）的表达式；（2）若∃x＞0使f（x）≤0成立，求实数m的取值范围；（3）设1＜m≤e，H（x）=f（x）﹣（m+1）x，证明：对∀x1、x2∈，恒有|H（x1）﹣H（x2）|＜1．2016-2017学年湖北省宜昌市金东方高中、三峡高中高二（上）11月联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R|＜2x＜8}，B={x∈R|﹣1＜x＜m+1}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是（）A．m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．﹣2＜m＜2【考点】子集与真子集．【分析】先化简集合，再由x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，A是B的一个子集求解．【解答】解：A={x∈R|＜2x＜8}={x|﹣1＜x＜3}，∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，∴A⊊B，∴m+1＞3，即m＞2．故选C2．已知等比数列{a n}的公比q＞1，a1+a4=18，a2•a3=32，则数列{a n}的前8项和为（）A．514 B．513 C．512 D．510【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意可得，解方程组可得a1和q的值，代入等比数列的求和公式计算可得答案．【解答】解：由题意可得，解得或．∵公比q＞1∴a1和q的值分别为2和2．∴{a n}的前8项和S8=．故选：D．3．函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的大致区间是（）A．（﹣，0）B．（0，）C．（，）D．（，）【考点】函数零点的判定定理．【分析】确定f（0）=1﹣3=﹣2＜0，f（）=﹣1＞0，f（）=＜0，f（1）=e+4﹣3=e+1＞0，根据零点存在定理，可得结论．【解答】解：∵函数f（x）=e x+4x﹣3在R上是增函数，求解：f（0）=1﹣3=﹣2＜0，f（）=﹣1＞0，f（）=＜0，f（1）=e+4﹣3=e+1＞0，∴根据零点存在定理，可得函数f（x）=2x+3x﹣4的零点所在的大致区间是（，）故选：C．4．已知函数f（x）=2x，若从区间上任取一个实数x，则使不等式f（x）＞2成立的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意，本题符合几何概型的特点，只要求出区间长度，由公式解答．【解答】解：已知区间长度为4，满足f（x）＞2，f（x）=2x＞2，解得1＜x≤2，对应区间长度为1，由几何概型公式可得，使不等式f（x）＞2成立的概率P=．故选：A．5．执行如图所示程序框图，则输出a=（）A．20 B．14 C．10 D．7【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，i的值，当i=2016时，不满足条件i≤2015，退出循环，输出a的值为10．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=10，i=1满足条件i≤2015，不满足条件a是奇数，a=5，i=2满足条件i≤2015，满足条件a是奇数，a=14，i=3满足条件i≤2015，不满足条件a是奇数，a=7，i=4满足条件i≤2015，满足条件a是奇数，a=20，i=5满足条件i≤2015，不满足条件a是奇数，a=10，i=6满足条件i≤2015，不满足条件a是奇数，a=5，i=7满足条件i≤2015，满足条件a是奇数，a=14，i=8…观察规律可知，a的取值以5为周期，由2015=403×5可得满足条件i≤2015，不满足条件a是奇数，a=10，i=2016不满足条件i≤2015，退出循环，输出a的值为10．故选：C．6．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（）A．B． C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】先由三视图还原成原来的几何体，再根据三视图中的长度关系，找到几何体中的长度关系，进而可以求几何体的体积．【解答】解：由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得：V=××=，故选C．7．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣【考点】圆的切线方程；直线的斜率．【分析】点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出．【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d==1，化为24k2+50k+24=0，∴k=或﹣．故选：D．8．已知，则=（）A．﹣2008 B．2008 C．2010 D．﹣2010【考点】数列的求和．【分析】由，可得所要求和的各项=﹣8，=a251，可知数列有251项，转化为求数列﹣8，﹣8…﹣8的前251项的和【解答】解：令a n=∵∴数列共有251项，=﹣8×251=﹣2008故选A．9．直线2ax+2y﹣a﹣1=0与不等式组表示的区域没有公共点，则a的取值范围是（）A．（﹣1，﹣）B．（，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣，+∞） D．（﹣∞，﹣5）∪（﹣1，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】求出直线过定点D，作出不等式组对应的平面区域，利用直线和平面区域公共点的个数问题建立直线斜率关系进行求解即可．【解答】解：直线2ax+2y﹣a﹣1=0等价为a（2x﹣1）+2y﹣1=0，由得，即直线过定点（，），直线2ax+2y﹣a﹣1=0的斜率k=﹣a，作出不等式组对应的平面区域如图：由得，则B（﹣2，0），由得，则C（2，2），当直线经过点C时直线CD的斜率k==1，当直线经过点B时直线BD的斜率k==，要使直线与平面区域没有交点，则＜k＜1，即＜﹣a＜1，则﹣1＜a＜﹣，即实数a的取值范围是（﹣1，﹣），故选：A．10．已知数列{a n}，a1=1，前n项和为S n，且点P（a n，a n）（n∈N*）在直线x﹣y+1=0+1上，则=（）A． B． C．D．【考点】数列的求和．【分析】由“P（a n，a n）（n∈N*）在直线x﹣y+1=0上”可得到数列的类型，再求其通+1项，求其前n项和，进而得到新数列的规律，选择合适的方法求新数列的和．）（n∈N*）在直线x﹣y+1=0上【解答】解：∵点P（a n，a n+1∴a n﹣a n+1=0+1∴数列{a n}是以1为首项，以1为公差的等差数列．∴a n=n∴∴==故选C11．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B．C．D．5πa2【考点】球内接多面体．【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，球的表面积为，故选B．12．若以曲线y=f（x）上任意一点M1（x1，y1）为切点作切线l1，曲线上总存在异于M 的点N（x2，y2），以点N为切点做切线l2，且l1∥l2，则称曲线y=f（x）具有“可平行性”，现有下列命题：①偶函数的图象都具有“可平行性”；②函数y=sinx的图象具有“可平行性”；③三次函数f（x）=x3﹣x2+ax+b具有“可平行性”，且对应的两切点M（x1，y1），N（x2，y2）的横坐标满足；④要使得分段函数的图象具有“可平行性”，当且仅当实数m=1．以上四个命题真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】分别求出函数导数，根据导数的几何意义求出对应的切线斜率，结合曲线y=f （x）具有“可平行性”，即可得到结论．【解答】解：①函数y=1满足是偶函数，函数的导数y′=0恒成立，此时，任意两点的切线都是重合的，故①不符号题意．②由y′=cosx和三角函数的周期性知，cosx=a（﹣1≤a≤1）的解有无穷多个，符合题意．③三次函数f（x）=x3﹣x2+ax+b，则f′（x）=3x2﹣2x+a，方程3x2﹣2x+a﹣m=0在判别式△=（﹣2）2﹣12（a﹣m）≤0时不满足方程y′=a（a是导数值）至少有两个根．命题③错误；④函数y=e x﹣1（x＜0），y′=e x∈（0，1），函数y=x+，y′=1﹣，则由1﹣∈（0，1），得∈（0，1），∴x＞1，则m=1．故要使得分段函数f（x）的图象具有“可平行性”，当且仅当实数m=1，④正确．∴正确的命题是②④．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上）13．某单位为了了解用电量y度与气温x°C之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温（°C）181310﹣1用电量（度）24343864由表中数据得线性回归方程中b=﹣2，预测当气温为﹣4°C时，用电量的度数约为68．【考点】回归分析的初步应用．【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，现在方程是一个确定的方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．【解答】解：由表格得，为：（10，40），又在回归方程上且b=﹣2∴40=10×（﹣2）+a，解得：a=60，∴y=﹣2x+60．当x=﹣4时，y=﹣2×（﹣4）+60=68．故答案为：68．14．在△ABC中，A、B、C是三角形的三内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知，b2+c2﹣a2=bc，sin2A+sin2B=sin2C．则角B为．【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用．【分析】根据b2+c2﹣a2=bc，利用余弦定理求A，根据sin2A+sin2B=sin2C，利用正弦定理，判断C为直角，从而可求B的值．【解答】解：∵b2+c2﹣a2=bc∴2bccosA=bc∴∵A是三角形的三内角∴∵sin2A+sin2B=sin2C∴a2+b2=c2．∴∴=故答案为：15．若∃x0∈，使不等式成立，则m的取值范围是（﹣∞，5）．【考点】命题的真假判断与应用；特称命题．【分析】分离变量可得所以m＜，则∃x∈，使得m＜成立，只需m小于f （x）的最大值，然后构造函数，由导数求其单调性，可得取值范围【解答】解：不等式x2﹣mx+4＞0可化为mx＜x2+4，故∃x∈，使得m＜，记函数f（x）=，x∈，只需m小于f（x）的最大值，由f′（x）=1﹣=0，可得x=2，而且当x∈时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，故最大值为f（1），又f（1）=5．m的取值范围是：（﹣∞，5）．故答案为：（﹣∞，5）．16．已知圆C：x2+y2=1，点P（x0，y0）在直线x﹣y﹣2=0上，O为坐标原点，若圆C 上存在一点Q，使∠OPQ=30°，则x0的取值范围是．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】圆O外有一点P，圆上有一动点Q，∠OPQ在PQ与圆相切时取得最大值．如果OP变长，那么∠OPQ可以获得的最大值将变小．因为sin∠OPQ=，QO为定值，即半径，PO变大，则sin∠OPQ变小，由于∠OPQ∈（0，），所以∠OPQ也随之变小．可以得知，当∠OPQ=30°，且PQ与圆相切时，PO=2，而当PO＞2时，Q在圆上任意移动，∠OPQ＜30°恒成立．因此满足PO≤2，就能保证一定存在点Q，使得∠OPQ=30°，否则，这样的点Q是不存在的；接下来进行计算：根据两点间的距离公式表示出OP的长，再把P的坐标代入已知的直线方程中，用y0表示出x0，代入到表示出OP的长中，根据PO2≤4列出关于y0的不等式，求出不等式的解集即可得到y0的范围，进而求出x0的范围．【解答】解：由分析可得：PO2=x02+y02，又因为P在直线x﹣y﹣2=0上，所以x0=y0+2，由分析可知PO≤2，所以PO2≤4，即2y02+4y0+4≤4，变形得：y0（y0+2）≤0，解得：﹣2≤y0≤0，所以0≤y0+2≤2，即0≤x0≤2，则x0的取值范围是．故答案为：三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知A、B、C为△ABC的三个内角，他们的对边分别为a、b、c，且．（1）求A；（2）若，求bc的值，并求△ABC的面积．【考点】余弦定理；两角和与差的余弦函数．【分析】（1）已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出B+C的度数，即可确定出A的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c以及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：（1）∵A、B、C为△ABC的三个内角，且cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）=，∴B+C=，则A=；（2）∵a=2，b+c=4，cosA=﹣，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc=（b+c）2﹣bc，即12=16﹣bc，解得：bc=4，=bcsinA=×4×=．则S△ABC18．已知p：|3x﹣4|＞2，＞0，r：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0，（1）¬p是¬q的什么条件？（2）若¬r是¬p的必要非充分条件，试求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（1）求出命题p，q的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．（2）根据￢r是￢p的必要非充分条件，进行转化，建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：（1）由|3x﹣4|＞2得3x﹣4＞2或3x﹣4＜﹣2，即x＞2或x＜，即p：x＞2或x＜，￢p：≤x≤2由＞0得x2﹣x﹣2＞0得x＞2或x＜﹣1，即：￢q：﹣1≤x≤2，则￢p是￢q的充分不必要条件．（2）由（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0得a＜x＜a+1，即r：a＜x＜a+1，若￢r是￢p的必要非充分条件，则p是r的必要非充分条件，即a≥2或a+1≤，即a≥2或a≤﹣，即实数a的取值范围是a≥2或a≤﹣．19．某校高一（2）班共有60名同学参加期末考试，现将其数学学科成绩（均为整数）分成六个分数段50，60），…，，画出如如图所示的部分频率分布直方图，请观察图形信息，回答下列问题：（1）求70～80分数段的学生人数；（2）估计这次考试中该学科的优分率（80分及以上为优分）、中位数、平均值；（3）现根据本次考试分数分成下列六段（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第六组）为提高本班数学整体成绩，决定组与组之间进行帮扶学习．若选出的两组分数之差大于30分（以分数段为依据，不以具体学生分数为依据），则称这两组为“最佳组合”，试求选出的两组为“最佳组合”的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据条形统计图1求出70～80分数段的学生人数频率，乘以60即可确定出人数；（2）求出80分及以上学生人数，确定出优生率，找出中位数，平均值即可；（3）根据题意得出所有等可能的情况数，找出“最佳组合”数，即可确定出选出的两组为“最佳组合”的概率．【解答】解：（1）根据题意得：60×=18（人）；（2）成绩在80分及以上的学生有60×（0.005+0.025）×10=18（人），∴估计这次考试中该学科的优分率为×100%=30%；该学科40～50分数段人数为60×0.01×10=6（人）；50～60分数段人数为60×0.015×10=9（人）；60～70分数段人数为60×0.015×10=9（人）；70～80分数段人数为18人；80～90分数段人数为60×0.025×10=15（人）；90～100分数段人数为60×0.005×10=3（人）；∴估计这次考试中位数为70～80分数段，即75分；平均值为（45×6+55×9+65×9+75×18+85×15+95×3）=71（分）；（3）所有的组合数：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），即n=5+4+3+2+1=15，符合“最佳组合”条件的有：（1，4），（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，6），即m=6，则P===．20．如图所示，正四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为．（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）取AD中点M，设PO⊥面ABCD，连MO、PM，则∠PMO为二面角的平面角，设AB=a，则可利用tan∠PAO表示出AO和PO，进而根据求得tan∠PMO的值，则∠PMO可知．（2）连OE，OE∥PD，∠OEA为异面直线PD与AE所成的角．根据AO⊥BO，AO⊥PO判断出AO⊥平面PBD，进而可推断AO⊥OE，进而可知进而可知∠AEO为直线PD与AE所成角，根据勾股定理求得PD，进而求得OE，则tan∠AEO可求得．（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连EG、MG．先证出平面PMN和平面PBC 垂直，再通过已知条件证出MG⊥平面PBC，取AM中点F，利用EG∥MF，推断出，可知EF∥MG．最后可推断出EF⊥平面PBC．即F为四等分点．【解答】解：（1）取AD中点M，设PO⊥面ABCD，连MO、PM，则∠PMO为二面角的平面角，∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角，，设，PO=AOtan∠PAO=，∴∠PMO=60°．（2）连OE，OE∥PD，∠OEA为异面直线PD与AE所成的角．．∵∴（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连EG、MG．．又取AM中点F，∵EG∥MF∴∴EF∥MG．∴EF⊥平面PBC．即F为四等分点21．记事件A为“直线ax﹣by=0与圆（x﹣2）2+y2=6相交”．（1）若将一颗骰子先后掷两次得到的点数分别记为a，b，求事件A发生的概率．（2）若实数a、b满足（a﹣）2+（b﹣1）2≤4，求事件A发生的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由题意可得a＜，由列举法求出事件A包含的基本事件个数m=6+5+4+3+2+1=21，而总的方法种数为n=6×6=36，由此能求出事件A发生的概率．（Ⅱ）依题意为几何概型，a＜b与（a﹣）2+（b﹣1）2≤4的公共面积为直线a=与圆（a﹣）2+（b﹣1）2=4相交的弓形的面积，由点到直线的距离公式可得圆心（，1）在直线a=上，由此能求出事件A发生的概率．【解答】解：（1）由题意可得：直线ax﹣by=0与圆（x﹣2）2+y2=6相交，所以圆心（2，0）到直线的距离d=＜，即a2＜3b2，又a、b均大于0，故a＜，当a=1时，b=1，2，3，4，5，6；当a=2时，b=2，3，4，5，6；当a=3时，b=3，4，5，6；当a=4时，b=4，5，6；当a=5时，b=5，6；当a=6时，b=6．∴事件A包含的基本事件个数m=6+5+4+3+2+1=21，而总的方法种数为n=6×6=36故事件A发生的概率为P（A）===．（Ⅱ）依题意为几何概型，a＜b与（a﹣）2+（b﹣1）2≤4的公共面积为：直线a=与圆（a﹣）2+（b﹣1）2=4相交的弓形的面积，由点到直线的距离公式可得：圆心（，1）到直线a=的距离d′=0，∴直线a=与圆（a﹣）2+（b﹣1）2=4相交的弓形的面积为圆的面积的一半，∴事件A发生的概率P（A）=．22．已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g（x）=g（1﹣x），g（x）的最小值为﹣且g（1）=﹣1．令f（x）=g（x+）+mlnx+（m∈R，x＞0）．（1）求g（x）的表达式；（2）若∃x＞0使f（x）≤0成立，求实数m的取值范围；（3）设1＜m≤e，H（x）=f（x）﹣（m+1）x，证明：对∀x1、x2∈，恒有|H（x1）﹣H（x2）|＜1．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）设g（x）=ax2+bx+c，根据g（x﹣1）+g（1﹣x）=x2﹣2x﹣1直接可得答案．（2）表示出函数f（x）的解析式，对m进行大于0、小于、和等于0进行分析可得答案．（3）先根据H（x）的导数小于等于0判断出H（x）单调递减的，只要证明|H（m）﹣H（1）|＜1即可．【解答】解：（1）设g（x）=ax2+bx+c，由g（x）=g（1﹣x），则对称轴是x=﹣=，由g（x）的最小值为﹣，得g（x）=a﹣，由g（1）=﹣1，得g（1）=a﹣=﹣1，解得：a=，故g（x）=﹣=x2﹣x﹣1；（2）f（x）=g（x+）+mlnx+=x2+mlnx（m∈R，x＞0）．当m＞0时，由对数函数性质，f（x）的值域为R；当m=0时，f（x）=x2＞0对∀x＞0，f（x）＞0恒成立；当m＜0时，由f′（x）=x+=0⇒x=，故f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，这时，min=f（）=﹣+mln，min＞0⇔⇒﹣e＜m＜0．所以若∀x＞0，f（x）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（﹣e，0）．故∃x＞0使f（x）≤0成立，实数m的取值范围（﹣∞，﹣e1，m1，m是单调增函数，所以h（m）≤h（e）=﹣1﹣=＜0，故命题成立．2017年4月6日。
湖北省宜昌市三峡高级中学、宜昌金东方高级中学高一数
宜昌金东方高级中学2016年春季学期期中考试高一数学试题（文）本试题卷共4页，三大题22小题。
全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知集合A={（x ，y ）|x+2y ﹣4=0}，集合B={（x ，y ）|x=0}，则A∩B=（ ） A ．{0，2} B ．{（0，2）} C ．（0，2） D ．∅2．已知向量(2,3),(cos ,sin )a b θθ==r r且a b ⊥r r ，则tan θ= （ ）A. B.﹣ C ． D ．﹣3. 已知a,b,c 满足c<b<a 且ac<0,下列选项中不一定成立的是( )A.ab>acB.c(b-a)>0C.cb 2>ab 2D.ac(a-c)<04．在△ABC 中，若A=30°，a=2，b=2，则此三角形解的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．不能确定5．设偶函数f （x ）满足f （x ）=2x﹣4（x≥0），则{x|f （x ﹣2）＜0}=（ ）A ．{x|x ＜﹣2或x ＞4}B ．{x|x ＜0或x ＞4}C ．{x|x ＜0或x ＞6}D ．{x|0＜x ＜4}6．已知数列{a n }的首项a 1=1，且a n =2a n ﹣1+1（n≥2），则a 5为（ ） A ．7 B ．15 C ．30 D ．317． 在ABC △中，A 、B 、C 为三角形的内角，60B =︒，2b ac =，则A 的值为（ ） A. 045 B.030 C.090 D.0608．已知数列{a n }是等差数列,a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,{a n }的前n 项和为S n ,则使得S n 达到最大的n 是( )A ．18B ．19C ．20D ．219. 函数22()sin log (1)(,f x a x b x x a b =+++为常数)，若()f x 在(0,)+∞上有最小值-4，则()f x 在(,0)-∞上有（ ）A. 最大值a+bB.最大值a b +C.最大值a b +D.最大值4 10.在ABC ∆中，若2sin sin cos 2AB C =，则ABC ∆是（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形11.如果一个数列{a n }满足a n+1+a n =h(h 为常数,n ∈N *),则称数列{a n }为等和数列,h 为公和,S n 是其前n 项和.已知等和数列{a n }中,a 1=1,h=-3,则S 2015等于( ) A.3020B.3021C.-3020D.-302112．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，公差为d ，且S 2015＞S 2016＞S 2014，下列命题中正确命题是（ ） A ．d ＞0 B ．S 4029＞0 C ．|a 2015|＜|a 2016| D ． S 4030＜0二、填空题（每小题5分，共20分）13. 已知OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )．若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．14．在如右数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列,那么,位于表中的第n 行、第(n+1)列的数是________． 15．△ABC 的三边分别为a,b,c,且a=1,B=45°,S △ABC =2,则△ABC 的外接圆的直径为16. 函数()cos 2(),(0,0,0)222A A f x x A πωϕωϕ=-+>><<的图象过点(1,2)，相邻两条对称轴间的距离为2，且()f x 的最大值为2.则(1)(2)(2016)f f f +++L =三、解答题17（10分）．在△ABC 中，已知2=b ，1=c ，B=045，求a .18（12分）．已知定义在R 的函数()e e xxf x -=-，其中e 是自然对数的底数．第1列 第2列 第3列 … 第1行 1 2 3 … 第2行 2 4 6 … 第3行 3 6 9 … ……………（1）判断()f x 奇偶性，并说明理由；（2）若关于x 的不等式2(2)(cos 4sin )0f m f x x -++<在R 上恒成立，求实数m 的取值范围．19（12分）.已知,,a b c 分别是锐角△ABC 的内角,,A B C 的对边，向量(22sin ,cos sin )P A A A =-+u r ，(sin cos ,1sin )q A A A =-+r ，且//p q u r r．已知7a =，△A BC面积为33，求,b c 的大小．20（12分）.已知数列{a n }的前n 项和为S n =. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n =,求数列{b n }的前n 项和T n .21（12分）.已知数列{a n }满足:a 1=1,a 2=a(a>0).数列{b n }满足b n =a n a n+1(n ∈N *). (1)若{a n }是等比数列,求{b n }的前n 项和S n .(2)当{b n }是公比为a-1的等比数列时,{a n }能否为等比数列?若能,求出a 的值;若不能,请说明理由.22（12分）.已知)2cos 2,cos 1(),2sin 2,cos 1(xx b x x a +=-=→→(Ⅰ)若,||41sin 2)(2→→--+=b a x x f 求)(x f 的表达式；（Ⅱ）若函数f (x )和函数g (x )的图象关于原点对称，求函数g (x )的解析式；（Ⅲ）若1)()()(+λ-=x f x g x h 在]2,2[ππ-上是增函数，求实数λ的取值范围.高一文科数学期中参考答案1．B 2． D 3. C 4． C 5．D 6、D 7、D 8、C 9、D 10、A 11、C 12、B 13. 答案：710m ≠-14．答案：n 2+n 15．答案：516. 答案：由()1sin 2f x x π=+，∴()f x 的周期为4，而2016=4×504 且(1)2,(2)1,(3)0,(4)1f f f f ==== ∴原式45042016=⨯=17．解：由Cc Bb sin sin =得sinC=21Θc<b ∴C<B ∴C=30ο，则A=105ο.a A bc cb cos 2222-+==2+1-22⨯(-426-)=2+3,∴a =226+．18．答案：（1）x ∀∈R ，()e -e ()x x f x f x --==-，∴()f x 是R 上的奇函数；（2）知()e e x xf x -=-是R 上的增函数，则222cos 4sin sin 4sin 1m x x x x <--=-+， 因为sin [1,1]x ∈-，则当sin 1x =时2()sin 4sin 1g x x x =-+取最小值2-， ∴2m <- 19.解：，，又∥；∴（2﹣2sinA ）（1+sinA ）﹣（cosA+sinA ）（sinA ﹣cosA ）=0，即：4sin 2A ﹣3=0； 又∠A 为锐角，则，所以∠A=60°； 因为△ABC 面积为，所以bcsinA=，即bc=6 ①；又a=；∴7=b 2+c 2﹣2bccosA ，b 2+c 2=13 ②；①②联立解得：或．20.解:(1)当n=1时,a 1=S 1=1; 当n ≥2时,a n =S n -S n-1 =-=, a 1=1适合上式,所以a n =. (2)因为b n ===-=2（-）.所以T n =2（1-+-+…+-）=2（1-）=.21.解：(1)因为数列{a n }是等比数列,a 1=1,a 2=a(a>0),所以a n =a n-1.所以b n =a n a n+1=a2n-1.因为=a 2,所以数列{b n }是首项为a,公比为a 2的等比数列.当a=1时,S n =n;当a ≠1时,S n =(2)数列{a n }不能为等比数列.因为b n =a n a n+1,所以则=a-1.所以a 3=a-1.假设数列{a n }能为等比数列.由a 1=1,a 2=a,得a 3=a 2.所以a 2=a-1,此方程无解,故数列{a n }一定不能为等比数列. 22.解：（1）])2cos 2(sin4cos 4[41sin 2)(22x x x x x f -+-+= =2+sin x -c os 2x -1+sin x =sin 2x +2sin x(1) 设函数y =f (x )的图象上任一点M(x 0,y 0)关于原点的对称点为N （x ,y ）则x 0= -x ,y 0= -y∵点M 在函数y =f (x )的图象上)sin(2)(sin 2x x y -+-=-∴,即y = -sin 2x +2sin x∴函数g (x )的解析式为g (x )= -sin 2x +2sin x(3),1sin )1(2sin )1()(2+λ-+λ+-=x x x h 设sin x =t ,(-1≤t ≤1) 则有)11( 1)1(2)1()(2≤≤-+λ-+λ+-=t t t t h① 当1-=λ时，h (t )=4t +1在[-1,1]上是增函数，∴λ= -1 ② 当1-≠λ时，对称轴方程为直线λ+λ-=11t .。
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宜昌金东方高级中学2016年秋季学期11月月考高一数学试题本试题卷共4页，三大题22小题。
全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.将正确答案的序号填在答题卡的相应位置.) 1．如果集合A={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是（ ） A ．0 B ．0 或1 C ．1 D ．0 或1或1-2．已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：则方程g ＝x 的解集为( )A ．{1}B ．{2}C ．{3}D ．Φ3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x ≤－，x 2－1<x，2x x，若f (x )＝3，则x 的值是 ( )A ． 3B ．1或32C ．1，32或±3 D ．14．某工厂第三年的产量比第一年的产量增加20%，若每年的平均增长率相同（设为x ），则以下结论正确的是（ ）A ．%10=xB ．%10<xC ．%10>xD ． x 的大小由第一年的产量决定5．函数y ＝x ＋－x 2－3x ＋4的定义域为 ( )A ．(－4，－1)B ．(－4,1)C ．(－1,1]D ．(－1,1)6．已知全集U 及它的子集M 、N 、P ，如图所示，则图中 阴影部分所表示的集合是（ ） A ．M ∩(N ∪P) B ．M ∩∁U (N ∩P) C ．M ∪∁U (N ∩P) D ．M ∩∁U (N ∪P)7．若函数ax x f x-+=)110lg()(是偶函数，xx bx g 24)(+=是奇函数，则b a +的值为（ ）A ．21 B ．1 C ．21- D ．1-8．满足{1,2}A ⊆{1,2,3,4,5,6}的集合A 的个数有（ ）个 A ．13 B ．14 C ．15 D ．169．设},90|{Z k k M ∈⋅== αα},45180|{Z k k ∈+⋅= αα，},45|{Z k k N ∈⋅== αα，则（ ）A ．N M ⊆B ．N M ⊇C ．N M =D ．Φ=N M10．已知0x 是函数x x x f 26ln )(+-=的零点，则下列四个数中最小的是（ ） A ．0ln x B ．0ln x C ．)ln(ln 0x D ．20)(ln x11．方程0241-=+-a x x有负根，则a 的取值范围是（ ）A ．81≥a B ．1610≤<a C ．081<≤-a D ． 16121≤<-a12．已知函数()()()⎩⎨⎧<+≥+=0)3(012x e a x ax x f ax，，为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)0,1[- B ．),0(+∞ C ．)0,2[- D ．)2,(--∞二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡的相应位置.)13．一个扇形的中心角为2弧度，半径为1，则其面积为 ．14．设集合A=}023|{2=++x x x ，B=}04|{2=++ax x x ，若A B B ⊆Φ≠,，则实数a 的取值集合是 ．15．若函数y ＝(12)|1－x |＋m 有两个零点，则实数m 的取值范围是 ．16．若函数)1,0)(4(log )(2≠>++=a a ax x x f a 没有最小值，则a 的取值集合是 ．三、解答题：(本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 将各 题解答写在答题卡的相应位置.) 17．(10分)计算：（Ⅰ）23278-⎛⎫- ⎪⎝⎭＋12(0.002)-－10(5－2)－1＋(2－3)0；（Ⅱ）12lg 3249－43lg 8＋lg 245；18. (12分) 将不超过30的正整数分成A 、B 、C 三个集合，分别表示可被3整除的数、被3除余1的数、被3除余2的数.请分别用两种方法表示集合A 、B 、C .19． (12分) 已知函数y ＝b ＋22x xa+(a ，b 是常数且a ＞0，a ≠1)在区间]0,23[-上的最大值为3，最小值为52，试求a ，b 的值．20．(12分) 已知函数f (x )＝log a (x ＋2)－log a (2－x )，a ＞0且a ≠1. （Ⅰ）判断f (x )的奇偶性，并予以证明； （Ⅱ）求关于x 的不等式f (x )＞0的解集．21. (12分) 某宾馆有相同标准的床位100张，根据经验，当该宾馆的床价(即每张床每天的租金)不超过10元时，床位可以全部租出，当床位高于10元时，每提高1元，将有3张床位空闲．为了获得较好的效益，该宾馆要给床位一个合适的价格，条件是：①要方便结账，床价应为1元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得越多越好．若用x表示床价，用y表示该宾馆一天出租床位的净收入(即除去每日的费用支出后的收入)．（Ⅰ）把y表示成x的函数，并求出其定义域；（Ⅱ）试确定该宾馆将床位定价为多少时，既符合上面的两个条件，又能使净收入最多？22．(12分)已知函数)0(|,12|)(>-=x xx f ． （Ⅰ）是否存在实数)0(,b a b a <<，使得函数)(x f y =的定义域、值域都是],[b a ？若存在，则求出b a ,的值，若不存在，请说明理由；（Ⅱ）若存在实数)0(,b a b a <<，使得函数)(x f y =的定义域是],[b a ，值域是],[mb ma )0(>m ，求m 的取值范围．2016-2017学年度一年级上学期11月月考数学参考答案1、B2、C3、A4、B5、D6、D7、C8、C9、A 10、C 11、D 12、C13．答案：1 14．答案：｝｛4 15．答案 －1<m <016．答案：)4[10∞+ ），（三、解答题：(本大题共6小题，满分70分． 17．(10分)（Ⅰ） 答案： －1679（Ⅱ）答案： 2118. (12分)答案：}101,,3|{30,27,24,21,18,15,12,9,6,3≤≤∈===k N k k x x A ｝｛ }101,,23|{28,25,22,19,16,13,10,7,4,1≤≤∈-===k N k k x x B ｝｛ }3|{29,26,23,20,17,14,11,8,5,2===k x x C ｝｛（用任何两种即可）19． (12分)答案：∵x ∈⎣⎡⎦⎤－32，0， ∴t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，值域为，即t ∈． ３分ABC(1)若a ＞1，函数y ＝a t 在上为增函数，∴a t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，1，则b ＋22x x a +∈⎣⎡⎦⎤b ＋1a ，b ＋1， 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2. 7分(2)若0＜a ＜1，函数y ＝a t 在上为减函数， ∴a t∈⎣⎡⎦⎤1，1a ，则b ＋22x x a +∈⎣⎡⎦⎤b ＋1，b ＋1a ， 依题意得⎩⎨⎧b ＋1a ＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎨⎧a ＝23，b ＝32.综上，所求a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎨⎧a ＝23，b ＝32.12分20．(12分) 答案：(1)f (x )为奇函数．证明如下： f (x )的定义域为{x |－2＜x ＜2}，且 f (－x )＝log a (－x ＋2)－log a (2＋x ) ＝－＝－f (x )．故f (x )为奇函数． 6分 (2)当a ＞1时，f (x )在定义域{x |－2＜x ＜2}上是增函数， 所以f (x )＞0⇔122x >-+x.解得0＜x ＜2. 所以使f (x )＞0的x 的取值集合是{x |0＜x ＜2}． 当a <1时，f (x )在定义域{x |－2＜x ＜2}上是减函数， 所以f (x )＞0⇔122x 0<-+<x.解得-2＜x ＜0. 所以使f (x )＞0的x 的取值集合是{x |-2＜x ＜0}． １２分21. (12分) 解 (1)依题意有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧100x －575 x ≤10[100x －103]x －575 x >10由于y >0且x ∈N *，由⎩⎪⎨⎪⎧100x －575>0，x ≤10. 得6≤x ≤10，x ∈N *. 由⎩⎪⎨⎪⎧x >10，[100x －103]x －575>0得10<x ≤38，x ∈N *， 所以函数为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧100x －575 x ∈N *，且6≤x ≤10－3x 2＋130x －575 x ∈N *，且10<x ≤38定义域为{x |6≤x ≤38，x ∈N *}． …………8分(2)当x ＝10时，y ＝100x －575 (6≤x ≤10，x ∈N *)取得最大值425元， 当x >10时，y ＝－3x 2＋130x －575，当且仅当x ＝－13023＝653时，y 取最大值，但x ∈N *，所以当x ＝22时，y ＝－3x 2＋130x －575 (10<x ≤38，x ∈N *)取得最大值833元．(12分) 比较两种情况，可知当床位定价为22元时净收入最多． …………12分22．(12分)（1）不存在；5分 （2）)10(，12分。