安徽省示范高中培优联盟2020年春季联赛(高一)理科数学试卷

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2019-2020学年安徽省示范高中培优联盟高二下学期春季联赛数学(理)试题(解析版)

15．已知△ABC中，AB＝9，∠BAC＝60°，D为边BC上一点，且CD＝2BD，AD＝2 ，则△ABC的面积为______________.
【答案】 .
【解析】设，，则 .在和中分别由余弦定理，进而可得，在中由余弦定理，即可求得值，根据三角形面积公式，即可求得答案.
【详解】
设，，则 .
【答案】A
【解析】设为图象上任意一点，说明点在函数的图象上，根据点关于直线对称得解.
【详解】
设为图象上任意一点，
则，
所以点在函数的图象上，
而与关于直线对称，
所以函数与的图象关于直线对称.
故选：A
【点睛】
本题主要考查函数图象的对称问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
等号成立条件为，
∴ 对一切x>0成立，
只需，即，
∴ 的最大值为2.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，主要利用，对进行放缩，熟记并掌握导数中常用的不等式放缩技巧是解题的关键.
二、填空题
13．过点与曲线相切的直线方程为______________.
【答案】 .
【解析】设切点坐标，写出切线方程，根据切线过点，再求出切点坐标，从而得切线方程.
故选：C.
【点睛】
本题考查了利用面积比求几何概型的概率，属于基础题.
4．命题“ a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2至少有一个成立”的否定为（）
A． a，b>0，a＋ <2和b＋ <2至少有一个成立
B． a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2都不成立
C． a，b>0，a＋ <2和b＋ <2至少有一个成立

2019-2020学年安徽省示范高中培优联盟高一下学期春季联赛数学(理)试题Word版含答案

2019-2020学年安徽省示范高中培优联盟高一下学期春季联赛数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，全集{},,,,U a b c d e =，{}{},,,,,M a b c N b d e ==，则图中阴影部分所表示的集合是（）A ． {},,a b dB ．{},a eC ．{},d eD ．{},,c d e 2.函数()f x =的定义域为（）A ．()0,+∞B ．[)0,+∞C ．(),0-∞D ．[)1,+∞3.已知向量()sin ,cos ,1,033a b ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭r r，则,a b r r 的夹角为（）A ． 6π-B ．6π C ． 3πD ． 23π4.已知{}n a 是等比数列，201220244,16a a ==，则2018a =（） A ．．± C ．8 D ．8±5.已知ABC ∆的面积为4，090A ∠=，则2AB AC +的最小值为（） A ． 8 B ．4C.．6.若实数a b >，则下列不等式中一定成立的是（）A ． 22a b > B ．a b a b +<+ C. a b +> D ．()20a b c -≥7.已知函数12log y x =的定义域为[],a b ，值域为[]0,1，则b a -的取值范围为（）A ．(]0,3B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 80,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．28,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.函数()2sinsin cos 1222x x x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最小正周期为（） A ．2πB ．π C. 2π D ．4π 9.已知ABC ∆中，02,3,120AB AC BAC ==∠=，0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则AP =u u u r（）A ．1B ．33 D ．310.已知实数,x y 满足111x x y x ≤⎧⎨-≤≤+⎩，()1,1a ∈-，则z ax y =+的最大值与最小值之差为（）A ．1B ．2 C. 4 D ．与a 的取值有关 11.函数()1ln1xf x x+=-的大致图像是（）A ．B ． C. D ．12.已知数列{}n a 中，5n n a a ++恒为定值，若16n ≤≤时，2n a n =，则2018a =（）A ．1B ．9 C. 28 D ．2018第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.幂函数的图像经过点4⎭，则它的单调递减区间是． 14.已知非零向量(),a m n =r ，(),b p q =r ，若32a b =r r 且0a b a b ⋅+⋅=r r r r ，则m np q+=+ ． 15.若()cos 35cos 60αα=-+，则()0tan 30α+= ． 16. 已知()()32,,,f x ax bx cx d b c d Z b c =+++∈≠，若()3f b b a =，()3f c c a=，则d = ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且4151,75a S ==．（1）求6a 的值；（2）求n S 取得最小值时，求n 的值．18. 设函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><图像中相邻的最高点和最低点分别为17,2,,21212⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若函数()f x 的图像向左平移()0θθ>个单位长度后关于点()1,0-对称，求θ的最小值． 19. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且cos c C ⋅是cos a B ⋅与cos b A ⋅的等差中项．（Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）设2c =，求ABC ∆周长的最大值．20. 如图，等腰直角ABC ∆中，2BC =，,M N 分别在直角边,AB AC 上，过点,M N 作边BC 的垂线，垂足分别为,Q P ，设2MN x =，矩形MNPQ 的面积与周长之比为()f x ．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式及其定义域；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值．21. 已知数列n a 的前n 项和2nn S q q =-（其中q 为常数），且24a =（1）求n a ；（2）若{}n a 是递增数列，求数列n n q qa ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 22.已知()()()()222212f x ax x a x a R ⎡⎤=++--∈⎣⎦中．（Ⅰ）当2a =时，解不等式()0f x >；（Ⅱ）已知0x >时，恒有()0f x ≤，求实数a 的取值集合．2019-2020学年安徽省示范高中培优联盟高一下学期春季联赛数学（理）试题参考答案一、选择题1-5:CABCA 6-10:DDBCB 11、12：DC二、填空题13. (,0)-∞和(0,)+∞ 14. 23-15. -16 三、解答题17.解：（1）法一：设{}n a 的公差为d ，由题，41151311510575a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得{121a d =-=，∴6153a a d =+=．法二：由题，1581575S a ==，∴85a =，于是48632a a a +==．（2）法一：21(1)522n n n n nS na d --=+=，当2n =或3时，n S 取得最小值．法二：1(1)3n a a n d n =+-=-，∴12340a a a a <<=<<L ，故当2n =或3时，n S 取得最小值．18.解：（1）由题，2A =，周期712()11212T =-=，∴22Tπωπ==，再由11()2sin(2)21212f πϕ=⋅+=，即sin()16πϕ+=，得：2()62k k ππϕπ+=+∈Z ，又||ϕπ<，∴3πϕ=，()2sin(2)3f x x ππ=+，由3222232k x k ππππππ+≤+≤+，得()f x 的单减区间为17[,]()1212k k k ++∈Z ．（注：亦可结合周期及最高点、最低点的坐标获得函数的单调递减区间．）（2）函数()f x 的图象向左平移(0)θθ>个单位长度后，得()2sin[2()]3g x x ππθ=++，由题，(1)2sin[2(1)]03g ππθ-=-+=，∴2(1)()3k k ππθπ-+=∈Z ，5()26k k θ=+∈Z ，当1k =-时，θ的最小值为13． 19. 解：（1）法一：由题，cos cos 2cos a B b A c C +=，由正弦定理，sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即sin()2sin cos A B C C +=，解得1cos 2C =，所以60C =o．法二：由题，由余弦定理得：222222cos cos 22a c b b c a a B b A c c+-+-+=+2cos c c C ==，解得1cos 2C =，所以3C π=．（2）法一：由余弦定理及基本不等式，22224()3c a b ab a b ab ==+-=+-222()()3()24a b a b a b ++≥+-=，得4a b +≤，当且仅当2a b ==时等号成立，故ABC △周长a b c ++的最大值为6．法二：由正弦定理，sin sin sin 3a b c A B C ===，故周长(sin sin )23a b c A B ++=++sin(60)]23A A =+++o3(sin )22A A =+4sin(30)2A =++o ∵(0,120)A ∈o，∴当60A =o时，周长a b c ++的最大值为6．法三：如图，延长BC 至D 使得CD AC =，则030=∠=∠ADC CAD ，于是，在ABD △中，由正弦定理：sin sin BD ABBAD ADB=∠∠，即24sin(30)sin 30a b A +==+o o，故周长4sin(30)2a b c A ++==++o，∵(0,120)A ∈o，∴当60A =o时，周长a b c ++的最大值为6．20.解：（1）由题，2MN x =，则1MQ x =-，∴2(1)(1)()42(1)1x x x x f x x x x --==+-+，又MN BC <，∴()f x 的定义域为(0,1)．（6分）（2）22(1)3(1)2()11x x x x f x x x -+-++=-=-++2[(1)3]1x x =-++-+， ∵1(1,2)x +∈，∴2(1)3331x x ++-≥=+，于是()3f x ≤-1x =时，()f x的最大值为3-21.解：（1）由2221224a S S q q =-=-=得：1q =-或2q =，1q =-时，2(1)1nn S =-+，111,1,1,24(1),2n nn n n S n a S S n n --==⎧⎧==⎨⎨-≥⋅-≥⎩⎩， 2q =时，122n n S +=-，112,1,1,22,2n nn n n S n a S S n n -==⎧⎧==⎨⎨-≥≥⎩⎩*2()n n =∈N ．（2）法一：由题，2q =，122n n n q n qa +++=， 231342222n n n T ++=+++L ，34121341222222n n n n n T ++++=++++L ，相减得：2341212213111231124()()122222244222n n n n n n n n n T ++++++++=++++-=+--=-L ，∴1422n n n T ++=-．法二：由题，2q =，122n n n q n qa +++=13422n n n n +++=-，所以122311455634422222222n n n n n n n T +++++=-+-++-=-L ． 22. 解：（1）当2a =时，不等式()0f x ≥即为2(22)(232)0x x x ++->，等价于(1)(2)(21)0x x x ++->，由数轴标根法知不等式的解集为1(2,1)(,)2x ∈--+∞U ．（2）法一：由题，(2)(22)(44)0f a a =++≤，于是只能1a =-，而1a =-时，22()(2)(232)(2)(21)f x x x x x x =-+--=--+，当0x >时，2(2)0x -≥，210x +>，恒有()0f x ≤，故实数{1}a ∈-．法二：当0x >时，()0f x ≤恒成立，即211()()02a a x x x +-+-≤恒成立，不妨设2()(0)g x x x =->，11()(0)2h x x x x =-+>，则问题转化为0x >时，[()][()]0a g x a h x --≤恒成立，即当0x >时，恒有()()h x a g x ≤≤或()()g x a h x ≤≤，不难知，()g x 在(0,)+∞上单调递减，()h x 在(0,)+∞上单调递增，且函数()g x 与()h x 的图象相交于点(2,1)-，结合图象可知，当且仅当1a =-时，()()h x a g x ≤≤或()()g x a h x ≤≤恒成立，故实数{1}a ∈-．。

安徽省示范高中培优联盟2017-2018学年高一下学期春季联赛数学(理)试题(专家解析)

安徽省示范高中培优联盟2017-2018学年高一下学期春季联赛数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，全集，，则图中阴影部分所表示的集合是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据题意，求得，即可图中阴影部分所表示的集合.详解：由题意得，所以图中阴影部分所表示的集合为，故选C.点睛：本题主要考查了集合表示与集合的补集与交集的运算，着重考查了推理与运算能力.2.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据函数的解析式，列出函数满足的条件，即可求解函数的定义域.详解：由函数，可得函数满足，解得,即函数的定义域为，故选A.点睛：本题主要考查了函数的定义域，其中根据函数的解析式列出函数有意义满足的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3.已知向量，则的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】分析：由向量的夹角公式，即可求解向量的夹角.详解：由题意，向量，所以且，所以，故选B.点睛：本题主要考查了平面向量的夹角公式的应用，其中熟记向量的夹角公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，试题属于基础题. 4.已知是等比数列，，则（）A.B.C. D.【答案】C 【解析】分析：由题意，在等比数列中，是的等比中项，且是同号的，即可求解结果.详解：由题意，数列为等比数列，且，则是的等比中项，且是同号的，所以，故选C.点睛：本题主要考查了等比数列的通项公式及其性质的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题属于基础题. 5.已知的面积为，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】分析：由题意知的面积为，且，得，再由均值不等式，即可求解的最小值.详解：由题意知的面积为，且，所以，即，所以，当且仅当时取得等号，所以的最小值为，故选A.点睛：本题主要考查了均值不等式求最小值和三角形的面积公式的应用，其中解答中熟记均值不等式的使用条件，以及等号成立的条件是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.6.若实数，则下列不等式中一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：通过不等式的性质的推理和举出反例，即可作出判断.详解：对于A中，当时不成立，所以是错误的；对于B中，取时，不成立，所以是错误的；对于C中，取时，不成立，所以是错误的，对于D中，由，所以是正确的，故选D.点睛：本题主要考查了不等式的基本性质，其中熟记不等式的基本性质的使用条件和推理方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.7.已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题函数的定义域为，值域为，求得当时，，当时，，即可求解得取值范围.详解：由题函数的定义域为，值域为，所以当时，；当时，或；所以当时，，当时，，所以，故选D.点睛：本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用问题，其中熟记对数函数的图象与性质是解得关键，着重考查了推理与运算能力，试题属于基础题.8.函数的最小正周期为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据三角恒等变换的公式，化简得，结合三角函数的图象，即可得到结论.详解：由题意，函数，结合函数的图象，即可得到函数的最小正周期为，故选B.点睛：本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角函数的恒等变换的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质及三家恒等变换的公式的合理运用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.9.已知中，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意，，可得点为的重心，所以，利用向量的运算，即可求解.详解：由题意，，可得点为的重心，所以，所以，所以，故选C.点睛：本题主要考查了向量的数量积的运算及向量的模的运算，其中根据平面向量的线性运算，得到点为的重心是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，试题属于基础题.10.已知实数满足，，则的最大值与最小值之差为（）A. B. C. D. 与的取值有关【答案】B【解析】分析：画出约束条件所表示的平面区域，因为，结合图象可知，目标函数取得最大值与最小值时的最优解分别为和两点，代入即可求解结果.详解：画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，因为，结合图象可知，目标函数取得最大值与最小值时的最优解分别为和两点，分别代入目标可得，，所以目标函数的最大值与最小值之差为，故选B.点睛：本题主要考查了线性规划的应用问题，其中正确画出约束条件所表示的平面区域，结合图象得到目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想和学生的推理、运算能力.11.函数的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，可排除；由,可排除，故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.12.已知数列中，恒为定值，若时，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意知恒为定值，且时，，得，又由，得，所以数列是周期为10的周期数列，即可求解的值.详解：由题意知恒为定值，且时，，所以当时，，所以，于是，数列是周期为10的周期数列，所以，故选C.点睛：本题主要考查了数列的递推关系式和数列的周期性的应用，其中解答中根据数列的递推关系式得，进而得到数列是周期为10的周期数列是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力，试题属于中档试题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.幂函数的图象经过点，则它的单调递减区间是__________．【答案】和【解析】分析：设幂函数，由，得，得到幂函数的解析式，利用幂函数的性质，即可得到其单调递减区间.详解：设幂函数，由，得，所以幂函数的解析式为且在定义域上为单调递减函数，其单调递减区间为和.点睛：本题主要考查了幂函数的解析式及其幂函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力.14.已知非零向量，，若且，则_______________．【答案】【解析】分析：由题意，即，所以向量反向，且，根据向量相等，即可求解的关系式，进而得到结论.详解：由题意，即，所以向量反向，又由，所以，即，所以，即，所以.点睛：本题主要考查了向量的基本运算，向量相等和向量的数量积的意义，其中解答中熟记向量的基本概念、基本运算和向量的数量积的意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.15.若，则________________．【答案】【解析】分析：由题意，化简求得，再由两角和的正切函数公式，代入即可求解.详解：由题意知，整理得，所以，则.点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中涉及到三角函数的基本关系式，两角和的三角函数等公式的应用，熟记三角函数化简的基本公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.16.已知，若，，则____________．【答案】【解析】分析：由题意得，设，则，又由，根据多项式对应相等，求解的值，即可得到结论.详解：由题意，即，设，则，又由，所以，得，又因为，且，所以，所以（舍去）或，所以.点睛：本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，解答中由题设得到，设出新函数，则，再根据二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设等差数列的前项和，且．（1）求的值；（2）求取得最小值时，求的值．【答案】(1)3；(2)2或3.【解析】分析：（1）法一：设的公差为，由题意列出方程组，求得，进而求解的值；法二：由题，求得，利用等差数列的等差中线公式，求解的值；（2）法一：由等差数列的求和公式，得到，根据二次函数的性质，即可得到当或时，取得最小值．法二：由数列的通项公式，得到数列满足，进而得到结论.详解：（1）法一：设的公差为，由题，，解得，∴．法二：由题，，∴，于是．（2）法一：，当或时，取得最小值．法二：，∴，故当或时，取得最小值．点睛：本题主要考查了等差数列的通项公式的求解和数列和的最值问题的判定，其中熟记等差数列的通项公式和等差数列的求和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.18.设函数图像中相邻的最高点和最低点分别为．（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）若函数的图像向左平移个单位长度后关于点对称，求的最小值．【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）由题意，得出函数的解析式，再由正弦型函数的图象与性质，即可求解函数的单调递减区间；（2）函数的图象向左平移个单位长度后，得，再根据图象关于点，列出方程，即可求解的最小值.详解：（1）由题，，周期，∴，再由，即，得：，又，∴，，由，得的单减区间为．（注：亦可结合周期及最高点、最低点的坐标获得函数的单调递减区间．）（2）函数的图象向左平移个单位长度后，得，由题，，∴，，当时，的最小值为．点睛：本题考查了三角函数的图象变换及三角函数的图象与性质的应用，求最小正周期时可先把所给三角函数式化为或的形式，即可研究三角函数的图象与性质，着重考查了转化与化归的思想方法，以及推理与运算能力.19.设的内角所对的边分别是，且是与的等差中项．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）设，求周长的最大值．【答案】(1)60°；(2)6.【解析】分析：（1）法一：由题意，利用正弦定理，化简得，即可求解角的大小；法二：由题意，利用余弦定理化简得到，即，即可求解角的大小；（2）法一：由余弦定理及基本不等式，得，进而得周长的最大值；法二：由正弦定理和三角恒等变换的公式化简整理得，进而求解周长的最大值.详解：（1）法一：由题，，由正弦定理，，即，解得，所以．法二：由题，由余弦定理得：，解得，所以．（2）法一：由余弦定理及基本不等式，，得，当且仅当时等号成立，故周长的最大值为．法二：由正弦定理，，故周长∵，∴当时，周长的最大值为．法三：如图，延长至使得，则，于是，在中，由正弦定理：，即，故周长，∵，∴当时，周长的最大值为．点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．20.如图，等腰直角中，，分别在直角边上，过点作边的垂线，垂足分别为，设，矩形的面积与周长之比为．（Ⅰ）求函数的解析式及其定义域；（Ⅱ）求函数的最大值．【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】分析：（1）由题意知，则，即可得到函数的解析式，以及解析式满足的条件（定义域）；（2）由（1）可得化简得，因为，利用均值不等式，即可求解函数的最大值.详解：（1）由题，，则，∴，又，∴的定义域为．（2），∵，∴，于是，即当时，的最大值为．点睛：考查了根据实际问题分析和解决问题的能力，以及转化与化归的能力，对于函数的应用问题：（1）函数模型的关键是找到一个影响求解目标函数的变量，以这个变量为自变量表达其他需要的量，综合各种条件建立数学模型；（2）在实际问题的函数模型中要特别注意函数的定义域，它是实际问题决定的，不是由建立的函数解析式决定的．（3）利用数学方法得出函数模型的数学结果，再将得到的数学结果转译到实际问题中作出答案.21.已知数列的前项和（其中为常数），且（1）求；（2）若是递增数列，求数列的前项和．【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）由题意，求得公比或，分类讨论，即可得到数列的通项公式；（2）法一：由（1）知，得，即可利用乘公比错位相减法求解数列的和；法二：由（1）知，得，利用并项法求解数列的和.详解：（1）由得：或，时，，，时，，．（2）法一：由题，，，，，相减得：，∴．法二：由题，，，所以．点睛：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”与“并项求和”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.22.已知中．（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）已知时，恒有，求实数的取值集合．【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）当时，代入化简的不等式等价于，即可求解不等式的解集；（2）法一：由题意得，于是只能，经验证满足题意，即可得到结论；法二：当时，恒成立，即恒成立，设，，则问题转化为时，恒成立，即当时，恒有或，利用函数的单调性及函数的图象，即可求解.详解：（1）当时，不等式即为，等价于，由数轴标根法知不等式的解集为．（2）法一：由题，，于是只能，而时，，当时，，，恒有，故实数．法二：当时，恒成立，即恒成立，不妨设，，则问题转化为时，恒成立，即当时，恒有或，不难知，在上单调递减，在上单调递增，且函数与的图象相交于点，结合图象可知，当且仅当时，或恒成立，故实数．点睛：本题主要考查了函数的解析式以及函数的基本性质的应用，不等关系式的求解等问题，试题综合性强，有一定难度，属于中档试题，解答中把函数的恒成立问题转化为函数的单调性与最值问题求解是解答的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及推理与运算能力.。

2019-2020学年安徽省示范高中培优联盟高一春季联赛数学(理) PDF版

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1 答案：B 解析：A＝{x|x2－1>0}＝{x|x<－1 或 x>1}＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)，B＝(0，＋∞)，则 A∩B＝
(1，＋∞)．
2
答案：B
解析：由题意可得
41 y＋x＝1，则
x＋y＝(x＋y)·
4 y
+
1 x
4x y ＝5＋ y ＋x≥5＋2
4x y y ×x＝9，当且仅
当 x＝3，y＝6 时等号成立，故 x＋y 的最小值为 9.选 B.
2 sin B＋ 3
2 sin
3
C＝1＋2sin
B
+
π 6
，∴当

安徽省示范高中培优联盟2020春季联赛高一理科数学

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安徽示范高中培优联盟2020春季联赛高一理科数学

在(0，＋∞)上单调递减，所以排除选项 B，D；又当 x＝1 时，y＝ <1，
3x
3
所以排除选项 A，故选 C. 10 答案：A 解析：∵(2n－3)an＋1＝(2n－1)an＋4n2－7n＋3，∴(2n－3)an＋1＝(2n－1)an＋(2n－3)(2n－1)，
∴
an1 2n 1
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g(x1) g(x2 ) 2.
13 答案：24解析：由三角函数定义知，cosα＝x，sinα＝y.∴cosα＋sinα＝7
25
5
∴(cosα＋sinα)2＝1＋sin2α＝49，∴sin2α＝49－1＝24，∴cos 2 3 ＝sin2α＝24.

2020年安徽省示范高中培优联盟高中二年级春季联赛数学(理)试题及答案解析

绝密★启用前安徽省示范高中培优联盟2020年高中二年级春季联赛数学(理)试题本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

2.答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答第II 卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效。

4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

)(1)已知集合M ＝{x|y ＝ln(x －1)},N ＝{x|x 2－2x ≥0},则M ∩U N ＝(A)(0,2) (B)(1,2) (C)(－2,0) (D)(0,1)(2)设复数z ＝(12-+)2020 (其中i 为虚数单位),则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限(3)在[0,1]内任取两个实数x,y,则事件0<x －y ≤12的概率等于(A)18 (B)14 (C)38 (D)12(4)命题“∀a,b>0,a ＋1b ≥2和b ＋1a≥2至少有一个成立”的否定为 (A)∀a,b>0,a ＋1b <2和b ＋1a<2至少有一个成立 (B)∀a,b>0,a ＋1b ≥2和b ＋1a≥2都不成立 (C)∃a,b>0,a ＋1b <2和b ＋1a<2至少有一个成立 (D)∃a,b>0,a ＋1b ≥2和b ＋1a≥2都不成立 (5)过圆C 1：x 2＋y 2＝1上的点P 作圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝4切线,切点为Q,则切线段PQ 长的最大值为(D)(6)关于函数f(x)＝cos 2x sinxcosx －12有下述三个结论： ①f(x)在区间[4π,2π]上是减函数； ②f(x)的图象关于直线x ＝－3π对称；③f(x)在区间[4π,π]上的值域为[－1,2] 其中正确结论的个数是(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(7)在△ABC 中,AB ＝2,AC ＝4,M 是△ABC 所在平面内一点,且()0MB MC BC +⋅=,则AM BC ⋅=(A)3 (B)6 (C)9 (D)12(8)已知函数y ＝f(x)是定义域为R 的函数,则函数y ＝f(x ＋2)与y ＝f(4－x)的图象(A)关于x ＝1对称 (B)关于x ＝3对称 (C)关于y ＝3对称 (D)关于(3,0)对称(9)函数()2191x f x x x x =+++(x>0)的最小值为(A)6 (B)18130(C)12 (D)132。

安徽省级示范高中培优联盟2023-2024学年高一下学期春季联赛数学试题

安徽省级示范高中培优联盟2023-2024学年高一下学期春季联赛数学试题一、单选题1．若集合{}2232A x x x =-≤，(){}2log 31B y y =≥，则A B =I （）A ．{}02x x <≤B ．803x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭C ．223x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭D ．∅2．不等式211x ≤-的解集为（） A ．{|3x x ≥或1}x < B ．{}13x x <≤C ．{|3x x ≥或1}x ≤D ．{}13x x ≤≤3．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积”，如图所示，作“大斜”上的高，则2222222142ABC ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=⋅- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦V 大斜＋小斜－中斜的面积小斜大斜，现已知ABC V 中，“小斜”1，“中斜”=“大斜”1，则“高”=（）A B C D 4．设a r 与b r是两个向量，则()()a b a b +⊥-r r r r 是a b a b +=-r r r r 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知341.3a =，341.6b =，431.6c =，则（） A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b c a <<6．定义在[]1,6-上的()f x 满足对()()22log 2,26(1),12x x f x x x ⎧-<≤⎪=⎨--≤≤⎪⎩，关于x 的方程()()()210f x a f x a -++=⎡⎤⎣⎦有7个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．(]1,2B ．[]1,2C ．(]2,4D ．(]1,47．设向量π1cos ,sin 262x x m ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u r ，π1cos ,sin 226x x n ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r ，若16m n ⋅=u r r ，则πsin 26x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．79- B ．13-C ．13D ．798．已知函数()442x x f x --=的反函数为()1y f x -=，那么()()122g x f x -=-+在[]2,6-上的最大值与最小值之和为（） A ．4B ．2C ．1D ．0二、多选题9．以下运算中正确的有（） A ．lg5lg21+= B 520a -= C ．2log 30232-=D ．8278log 9log 169⋅=10．下面结论正确的有（）A ．若A ，B 为锐角三角形的两内角，则有sin cos A B > B ．1sin735cos45sin105sin1352︒︒+︒︒=C ．,αβ∀∈R ，()()22sin sin sin sin αβαβαβ-=+-D ．,a β∀∈R ，()()22cos cos cos sin αβαβαβ-=+-11．若函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将()f x 的图象向右平移π12个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的()10m m >倍，得到函数()g x 的图象，则下列四个命题正确的是（）A ．函数()y f x =-的单调递增区间是5π11ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈ B ．直线5π3x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴C ．若当17π,6x ι⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时，()f x ⎡∈-⎣，则29π,2π12ι⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦ D ．若()g x 在[]0,π上恰有3个零点，则17231212m ≤<三、填空题12．已知实数x x =.13．在边长为2的正ABC V 中，动点P 在以C 为圆心且与AB 边相切的圆上，满足AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r.则λμ+的取值范围是.14．在四面体ABCD 中，2AD BC BD ===，AD ⊥面BCD ，底面三角形BCD 为直角三角形，90CBD ∠=︒.若该四面体的四个顶点都在球O 的表面上，M ，N 分别是AB 和BC 的中点，过M 、N 两点作球O 的截面，则面积的最小值为.15．某超市举行有奖答题活动，参加活动的顾客依次回答三个问题.不管答对或者答错，三题答完活动结束.规定每位顾客只能参加一次活动.已知每位顾客第一题答对的概率为45，第二题答对的概率为12，第三题答对的概率为25，若答对两题，则可获得价值100元的奖品，若答对三题，则可获得价值200元的奖品，若答对的题数不够2题，则不能获奖.假设顾客是否通过每一关相互独立.现有甲，乙两名顾客参加该活动，则两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的概率为.四、解答题16．如图所示，在单位圆中，()1,0A ，已知角π02θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的终边与单位圆交于点(),P x y ，作PM OA ⊥，垂足为点M ，作AT OA ⊥交角θ的终边于点T .(1)请根据正弦和余弦的二倍角公式推导正弦的三倍角公式sin3θ（仅用含sin θ的式子表示）； (2)请根据三角形面积公式及扇形面积公式证明sin cos 1θθθ<<17．在锐角ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知：22cos a b C c -=，sin 2sin sin ab B A b A -=(1)求b 和角B ； (2)求22a b cb-+的取值范围. 18．如图，在矩形OACB 中，12DA AC =u u u r u u u r ，AE AO λ=u u u r u u u r ，BF BO λ=u u u r u u u r ，1,12λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，直线CF 与DE 垂直，垂足为点P .(1)求AOBOu u u ru u u r 的值； (2)若1OA =u u u r ，将OP u u u r用基底{},OA OB u u u r u u u r 线性表示，并求出OP u u u r 的最大值.19．如下左图，矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，90ABC ∠=︒.过顶点C 作对角线BD 的垂线，交对角线BD 于点O ，交边AD 于点Q ，现将ABD △沿BD 翻折，形成四面体PBCD ，如下右图.(1)求四面体PBCD 外接球的体积； (2)求证：平面PBD ⊥平面OCQ ；(3)若点G 为棱BC 的中点，请判断在将ABD △沿BD 翻折过程中，直线PG能否平行于面OCQ .若能请求出此时的二面角P BD C --的大小；若不能，请说明理由.20．手机在我们的生活中扮演着越来越重要的角色，但过度使用手机会对我们的身心健康造成诸多危害.一城市的某爱心机构建议市民应合理使用手机，可以尝试设定使用时间限制，多参加户外活动，与人面对面交流，让生活更加丰富多彩.为了更好地做好该项宣传工作，做到宣传的全面有效，该机构随机选择了100位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如下：(1)请估计这100位市民的平均年龄，结果请保留整数（同组数据用区间的中点值代替）； (2)请估计该市市民中的一位市民年龄位于区间[]40,60的概率；(3)现在要从[)20,30和[)70,80两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，若抽取的2人的年龄差大于10，则代表该机构宣传工作做得全面，获得好评.方案一：从6人中按照不放回抽样抽取2人，获得好评的概率为1P ；方案二：从6人中按照有放回抽样抽取2人，获得好评的概率为2P ；假设获得好评的概率大的方案较好，请比较上述两种方案哪种更好，请说明理由.21．已知函数()(),,0x x xf x a b c a b c =+->.(1)若1ab =，1c =，设函数()()12f xg x +=，请求出()2g x 的值域并求证：()()()2221g x g x =-；(2)若1x =，0c a >>，0c b >>，记()(),,h a b c f x =，且,,a b c 是一个三角形的三条边长，请写出方程()()(),,,,,,20h a b c h c a b h c b a ++=的所有正整数解的集合；(3)若,,a b c 是一个等腰钝角三角形的三条边长且c 为最长边，求证：()0f x <在[)2,x ∞∈+时恒成立.。

安徽省示范高中培优联盟2018-2019学年高一下学期春季联赛数学(理)试题Word版含解析

安徽省示范高中培优联盟2018-2019学年下学期春季联赛高一数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 如图，全集，，则图中阴影部分所表示的集合是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据题意，求得，即可图中阴影部分所表示的集合.详解：由题意得，所以图中阴影部分所表示的集合为，故选C.点睛：本题主要考查了集合表示与集合的补集与交集的运算，着重考查了推理与运算能力.2. 函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据函数的解析式，列出函数满足的条件，即可求解函数的定义域.详解：由函数，可得函数满足，解得,即函数的定义域为，故选A.点睛：本题主要考查了函数的定义域，其中根据函数的解析式列出函数有意义满足的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3. 已知向量，则的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由向量的夹角公式，即可求解向量的夹角.详解：由题意，向量，所以且，所以，故选B.点睛：本题主要考查了平面向量的夹角公式的应用，其中熟记向量的夹角公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，试题属于基础题.4. 已知是等比数列，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意，在等比数列中，是的等比中项，且是同号的，即可求解结果.详解：由题意，数列为等比数列，且，则是的等比中项，且是同号的，所以，故选C.点睛：本题主要考查了等比数列的通项公式及其性质的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题属于基础题.5. 已知的面积为，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意知的面积为，且，得，再由均值不等式，即可求解的最小值.详解：由题意知的面积为，且，所以，即，所以，当且仅当时取得等号，所以的最小值为，故选A.点睛：本题主要考查了均值不等式求最小值和三角形的面积公式的应用，其中解答中熟记均值不等式的使用条件，以及等号成立的条件是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.6. 若实数，则下列不等式中一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：通过不等式的性质的推理和举出反例，即可作出判断.详解：对于A中，当时不成立，所以是错误的；对于B中，取时，不成立，所以是错误的；对于C中，取时，不成立，所以是错误的，对于D中，由，所以是正确的，故选D.7. 已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题函数的定义域为，值域为，求得当时，，当时，，即可求解得取值范围.详解：由题函数的定义域为，值域为，所以当时，；当时，或；所以当时，，当时，，所以，故选D.点睛：本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用问题，其中熟记对数函数的图象与性质是解得关键，着重考查了推理与运算能力，试题属于基础题.8. 函数的最小正周期为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据三角恒等变换的公式，化简得，结合三角函数的图象，即可得到结论. 详解：由题意，函数，结合函数的图象，即可得到函数的最小正周期为，故选B.点睛：本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角函数的恒等变换的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质及三家恒等变换的公式的合理运用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.9. 已知中，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意，，可得点为的重心，所以，利用向量的运算，即可求解.详解：由题意，，可得点为的重心，所以，所以，所以，故选C.点睛：本题主要考查了向量的数量积的运算及向量的模的运算，其中根据平面向量的线性运算，得到点为的重心是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，试题属于基础题.10. 已知实数满足，，则的最大值与最小值之差为（）A. B. C. D. 与的取值有关【答案】B【解析】分析：画出约束条件所表示的平面区域，因为，结合图象可知，目标函数取得最大值与最小值时的最优解分别为和两点，代入即可求解结果.详解：画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，因为，结合图象可知，目标函数取得最大值与最小值时的最优解分别为和两点，分别代入目标可得，，所以目标函数的最大值与最小值之差为，故选B.点睛：本题主要考查了线性规划的应用问题，其中正确画出约束条件所表示的平面区域，结合图象得到目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想和学生的推理、运算能力.11. 函数的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，可排除；由,可排除，故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.12. 已知数列中，恒为定值，若时，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意知恒为定值，且时，，得，又由，得，所以数列是周期为10的周期数列，即可求解的值.详解：由题意知恒为定值，且时，，所以当时，，所以，于是，数列是周期为10的周期数列，所以，故选C.点睛：本题主要考查了数列的递推关系式和数列的周期性的应用，其中解答中根据数列的递推关系式得，进而得到数列是周期为10的周期数列是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力，试题属于中档试题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 幂函数的图像经过点，则它的单调递减区间是______________．【答案】和【解析】分析：设幂函数，由，得，得到幂函数的解析式，利用幂函数的性质，即可得到其单调递减区间.详解：设幂函数，由，得，所以幂函数的解析式为且在定义域上为单调递减函数，其单调递减区间为和.点睛：本题主要考查了幂函数的解析式及其幂函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力. 14. 已知非零向量，，若且，则_______________．【答案】【解析】分析：由题意，即，所以向量反向，且，根据向量相等，即可求解的关系式，进而得到结论.详解：由题意，即，所以向量反向，又由，所以，即，所以，即，所以.点睛：本题主要考查了向量的基本运算，向量相等和向量的数量积的意义，其中解答中熟记向量的基本概念、基本运算和向量的数量积的意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.15. 若，则________________．【答案】【解析】分析：由题意，化简求得，再由两角和的正切函数公式，代入即可求解.详解：由题意知，整理得，所以，则.点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中涉及到三角函数的基本关系式，两角和的三角函数等公式的应用，熟记三角函数化简的基本公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.16. 已知，若，，则____________．【答案】【解析】分析：由题意得，设，则，又由，根据多项式对应相等，求解的值，即可得到结论. 详解：由题意，即，设，则，又由，所以，得，又因为，且，所以，所以（舍去）或，所以.点睛：本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，解答中由题设得到，设出新函数，则，再根据二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设等差数列的前项和，且．（1）求的值；（2）求取得最小值时，求的值．【答案】(1)3；(2)2或3.【解析】分析：（1）法一：设的公差为，由题意列出方程组，求得，进而求解的值；法二：由题，求得，利用等差数列的等差中线公式，求解的值；（2）法一：由等差数列的求和公式，得到，根据二次函数的性质，即可得到当或时，取得最小值．法二：由数列的通项公式，得到数列满足，进而得到结论.详解：（1）法一：设的公差为，由题，，解得，∴．法二：由题，，∴，于是．（2）法一：，当或时，取得最小值．法二：，∴，故当或时，取得最小值．点睛：本题主要考查了等差数列的通项公式的求解和数列和的最值问题的判定，其中熟记等差数列的通项公式和等差数列的求和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.18. 设函数图像中相邻的最高点和最低点分别为．（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）若函数的图像向左平移个单位长度后关于点对称，求的最小值．【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）由题意，得出函数的解析式，再由正弦型函数的图象与性质，即可求解函数的单调递减区间；（2）函数的图象向左平移个单位长度后，得，再根据图象关于点，列出方程，即可求解的最小值.详解：（1）由题，，周期，∴，再由，即，得：，又，∴，，由，得的单减区间为．（注：亦可结合周期及最高点、最低点的坐标获得函数的单调递减区间．）（2）函数的图象向左平移个单位长度后，得，由题，，∴，，当时，的最小值为．点睛：本题考查了三角函数的图象变换及三角函数的图象与性质的应用，求最小正周期时可先把所给三角函数式化为或的形式，即可研究三角函数的图象与性质，着重考查了转化与化归的思想方法，以及推理与运算能力.19. 设的内角所对的边分别是，且是与的等差中项．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）设，求周长的最大值．【答案】(1)60°；(2)6.【解析】分析：（1）法一：由题意，利用正弦定理，化简得，即可求解角的大小；法二：由题意，利用余弦定理化简得到，即，即可求解角的大小；（2）法一：由余弦定理及基本不等式，得，进而得周长的最大值；法二：由正弦定理和三角恒等变换的公式化简整理得，进而求解周长的最大值.详解：（1）法一：由题，，由正弦定理，，即，解得，所以．法二：由题，由余弦定理得：，解得，所以．（2）法一：由余弦定理及基本不等式，，得，当且仅当时等号成立，故周长的最大值为．法二：由正弦定理，，故周长∵，∴当时，周长的最大值为．法三：如图，延长至使得，则，于是，在中，由正弦定理：，即，故周长，∵，∴当时，周长的最大值为．........................20. 如图，等腰直角中，，分别在直角边上，过点作边的垂线，垂足分别为，设，矩形的面积与周长之比为．（Ⅰ）求函数的解析式及其定义域；（Ⅱ）求函数的最大值．【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】分析：（1）由题意知，则，即可得到函数的解析式，以及解析式满足的条件（定义域）；（2）由（1）可得化简得，因为，利用均值不等式，即可求解函数的最大值.详解：（1）由题，，则，∴，又，∴的定义域为．（2），∵，∴，于是，即当时，的最大值为．点睛：考查了根据实际问题分析和解决问题的能力，以及转化与化归的能力，对于函数的应用问题：（1）函数模型的关键是找到一个影响求解目标函数的变量，以这个变量为自变量表达其他需要的量，综合各种条件建立数学模型；（2）在实际问题的函数模型中要特别注意函数的定义域，它是实际问题决定的，不是由建立的函数解析式决定的．（3）利用数学方法得出函数模型的数学结果，再将得到的数学结果转译到实际问题中作出答案.21. 已知数列的前项和（其中为常数），且（1）求；（2）若是递增数列，求数列的前项和．【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）由题意，求得公比或，分类讨论，即可得到数列的通项公式；（2）法一：由（1）知，得，即可利用乘公比错位相减法求解数列的和；法二：由（1）知，得，利用并项法求解数列的和.详解：（1）由得：或，时，，，时，，．（2）法一：由题，，，，，相减得：，∴．法二：由题，，，所以．点睛：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”与“并项求和”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.22. 已知中．（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）已知时，恒有，求实数的取值集合．【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）当时，代入化简的不等式等价于，即可求解不等式的解集；（2）法一：由题意得，于是只能，经验证满足题意，即可得到结论；法二：当时，恒成立，即恒成立，设，，则问题转化为时，恒成立，即当时，恒有或，利用函数的单调性及函数的图象，即可求解.详解：（1）当时，不等式即为，等价于，由数轴标根法知不等式的解集为．（2）法一：由题，，于是只能，而时，，当时，，，恒有，故实数．法二：当时，恒成立，即恒成立，不妨设，，则问题转化为时，恒成立，即当时，恒有或，不难知，在上单调递减，在上单调递增，且函数与的图象相交于点，结合图象可知，当且仅当时，或恒成立，故实数．点睛：本题主要考查了函数的解析式以及函数的基本性质的应用，不等关系式的求解等问题，试题综合性强，有一定难度，属于中档试题，解答中把函数的恒成立问题转化为函数的单调性与最值问题求解是解答的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及推理与运算能力.。

2018-2019学年安徽省示范高中培优联盟高一下学期春季联赛数学(理)试题(解析版)

2018-2019学年安徽省示范高中培优联盟高一下学期春季联赛数学（理）试题一、单选题1．设集合2{|280}A x x x =--<，集合1{|1}x B x e +=>，则A B =（）A ．{|12}x x -<<B ．{|21}x x -<<-C ．{|2}x x >-D ．{|14}x x -<<【答案】D【解析】分别解出集合A ，B 的元素，再由集合的交集运算得到结果. 【详解】2{|280}{|(2)(4)0}A x x x x x x =--<=+-<{|24}x x =-<<，{|1}B x x =>-，{|14}A B x x ⋂=-<<.故选：D. 【点睛】这个题目考查了集合的交集运算，属于基础题.2．实数x ，y 满足x y >，则下列不等式成立的是（） A ．1y x< B ．22x y --< C ．lg lg x y > D ．22x y >【答案】B【解析】对于ACD 选项，当x<0,y<0时，显然不成立；对于B 可根据指数函数的单调性得到结果. 【详解】由题意，当x<0,y<0可得到1yx>，而lg ,lg x y 没有意义，此时22x y < 故A 不正确CD 也不对；指数函数2x y =是定义域R 上的单调递增函数，又由x y >，则x y -<-，所以22x y --<.故B 正确；故选B. 【点睛】本题考查了比较大小的应用；比较大小常见的方法有：作差和0比，作商和1比，或者构造函数，利用函数的单调性得到大小关系. 3．已知关于x 的方程22cos cos 2cos 202Cx x A B --+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ∆一定是（） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形【答案】B【解析】根据题意利用韦达定理列出关系式，利用两角和与差的余弦函数公式化简得到A ＝B ，即可确定出三角形形状．【详解】设已知方程的两根分别为x 1，x 2，根据韦达定理得：12x x cosAcosB +＝，2212=1co 2cos 22s 22C x x s Ci C n -+==- ∵x 1+x 212=x 1x 2， ∴2cos A cos B ＝1﹣cos C ， ∵A +B +C ＝π，∴cos C ＝﹣cos （A +B ）＝﹣cos A cos B +sin A sin B ， ∴cos A cos B +sin A sin B ＝1，即cos （A ﹣B ）＝1， ∴A ﹣B ＝0，即A ＝B ， ∴△ABC 为等腰三角形．故选：B ．【点睛】此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有：韦达定理，两角和与差的余弦函数公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．4．已知(cos ,sin )a θθ=，3b =r ，且2()3a ab ⊥+，则向量a 与向量b 的夹角为（）A ．6πB ．56π C ．3π D ．23π【答案】B【解析】通过向量的垂直转化为向量的数量积的运算，利用向量夹角的余弦公式求出其余弦值，问题得解．【详解】23a a b ⎛⎫⊥+ ⎪⎝⎭∴203a a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即：2203a a b +⋅=又1a =，∴32a b ⋅=-∴向量a 与向量b的夹角的余弦为32cos ,13a b a b a b -⋅===⨯ ∴向量a 与向量b 的夹角为：56π故选：B 【点睛】本题考查向量夹角公式及向量运算，还考查了向量垂直的应用，考查计算能力． 5．函数()(f x x =-的零点个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】先得到函数的定义域为：2x ≥或2x -≤，解方程()02 2.f x x =⇒=-或【详解】要使函数有意义，则240x -≥，即2x ≥或2x -≤，由()02f x x =⇒=或2x =-函数的零点个数为2个. 故选：B. 【点睛】这个题目考查了函数的零点的求解，函数的零点即方程的根，两者可以直接转化. 6．2|2|()log cos x f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的部分图象大致为（） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】判断函数的奇偶性以及对称性，结合函数值的符号是否一致进行排除即可．【详解】f （﹣x ）＝f （x ），则函数f （x ）是偶函数，图象关于y 轴对称，排除A ，D ， f （π）＝ln π﹣cosπ＝ln π+1＞0，排除C ，故选：B ．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及特殊值的符号进行排除是解决本题的关键．7．函数()2lg 106y x x =++的零点是1tan x α=和2tan x β=，则tan()αβ+=（）A ．53B ．52C ．52-D ．53-【答案】B【解析】先由韦达定理得到tan tan 10tan tan 5αβαβ+=-⎧⎨=⎩，再由两角和的正切公式得到结果.【详解】因为2lg(106)y x x =++的零点是1tan x α=和2tan x β=，所以1x ，2x 是方程21050x x ++=的两个根，根据韦达定理得到tan tan 10tan tan 5αβαβ+=-⎧⎨=⎩,再由两角和的正切公式得到:tan tan 5tan()1tan tan 2αβαβαβ++==-.故选B. 【点睛】本题考查了二次方程的根，以及韦达定理的应用，涉及正切函数的两角和的公式的应用，属于基础题.8．ABC ∆中，5AB =，10AC =，25AB AC ⋅=，点P 是ABC ∆内（包括边界）的一动点，且32()55AP AB AC R λλ=-∈，则AP 的最小值是（） A．B ．39C ．3D【答案】C【解析】由题干条件和向量点积公式得到三角形的边长，再根据向量加法的平行四边形法则得到P 所在的轨迹，进而得到结果. 【详解】依题意1510cos 25cos 2AB AC A A ⋅=⨯=⇒=3A π⇒=.由余弦定理得BC =故ABC ∆为直角三角形.设35AD AB =，过D 作'//DP AC ，交BC 于P'，过P'作'//EP AB ，交AC 于E.由于32()55AP AB AC R λλ=-∈，根据向量加法运算的平行四边形法则可知，P 点位于线段'DP 上，由图可知AP 最短时为AD ，所以3AD =uuu r.故选C. 【点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法;(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.9．设变量x ，y 满足约束条件2302401x y x y y --≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最小值为1，则11a b+的最小值为（） A．7+B．7+C．3+D．3+【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．【详解】变量x ，y 满足约束条件2302401x y x y y --≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩的可行域如图，当直线z ＝ax +by （a ＞0，b ＞0）过直线y ＝1和2x ﹣y ﹣3＝0的交点（2，1）时，有最小值为1； ∴2a +b ＝1，11a b +=（2a +b ）（11a b +）＝32a b b a ++≥=．故选：D ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．10．若数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且满足：12019a a π+=，120192b b ⋅=，函数()sin f x x =，则10091011100910111a a f b b ⎛⎫+=⎪+⎝⎭（）A． B ．12CD ．12-【答案】C【解析】根据等差和等比数列的性质得到100910111009101113a a f f b b π⎛⎫+⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭进而得到结果.【详解】根据等差数列的性质得到1201910091011a a a a π+=+=，根据等比数列的性质有100910111201910091011100910112;1a a b b b b f b b ⎛⎫+⋅=⋅= ⎪+⎝⎭3f π⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故本题选C.本题考查等比数列和等差数列的性质的应用，是基础的计算题，对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.11．将函数()4sin 22f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭和直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为1A ，2A ，…，n A ，若P 点坐标为，则12...n PA PA PA +++=（）A ．0B ．2C ．6D ．10【答案】D【解析】画出函数图像，根据对称性得到1253...55(1,PA PA PA PA +++==，进而得到结果. 【详解】函数()4cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与()1g x x =-的所有交点从左往右依次记为1A 、2A 、3A 、4A 和5A ，且1A 和5A ，2A 和4A ，都关于点3A 对称，如图所示：则1253...55(1,PA PA PA PA +++==，所以12...10n PA PA PA +++=. 故选：D. 【点睛】这个题目考查了向量加法的平行四边形法则，涉及函数的图像的交点问题，属于综合题.向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 12．对于数列{}n a ，若任意*,()m n N m n ∈>，都有()m n a a t m n -≥-（t 为常数）成立，则称数列{}n a 满足t 级收敛，若数列{}n a 的通项公式为2log n a n =，且满足t 级收敛，则t 的最大值为（） A ．6 B ．3C ．2D ．0【答案】D【解析】根据题干中对收敛数列的定义得到2{log }n tn -是递增数列或常数列，相邻两项相减得到121log 0n n n b b t n++-=-≥，进而得到结果. 【详解】由题意：m n a a t m n-≤-对任意的*,()m n N m n ∈>恒成立，2log n a n =，且t 级收敛，则22log log m n t m n -≤-恒成立，即()()22log log 0m tm n tn m n---≥-恒成立，据此可知数列2{log }n tn -是递增数列或常数列，令2log n b n tn =-，根据数列是单调递增的得到()12121log (1)1,log 0n n n n b n t n b b t n+++=+-+-=-≥ 据此可得：221log log 10n t n+≤<=恒成立，故0t ≤，t 的最大值为0. 故选D. 【点睛】这题目考查了数列单调性的应用，数列作为特殊的函数，可通过函数的单调性研究数列的单调性，必须注意的是数列对应的是孤立的点，这与连续函数的单调性有所不同；也可以通过1n n a a +-差值的正负确定数列{}n a 的单调性．二、填空题13．已知函数1()(21)m f x m x +=-为幂函数，则(4)f =__________．【答案】16【解析】根据幂函数的定义求出m 的值，写出()f x 的解析式，即可计算()f 4的值．【详解】由题意，函数()()m 1f x 2m 1x+=-为幂函数，2m 11∴-=，解得m 1=，()2f x x ∴=，()2f 4416∴==，故答案为：16．【点睛】本题考查了幂函数的定义，及幂函数的求值问题，其中解答中熟记幂函数的定义，用定义求得幂函数的解析式是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 14．已知函数()2sin 3f x x π=，则(1)(2)(2019)f f f ++⋯+=__________．【答案】【解析】根据函数表达式得到函数的周期，得到(1)(2)...(6)0f f f +++=，进而得到结果. 【详解】依题意可得()2sin3f x x π=，其最小正周期6T =，且(1)(2)...(6)0f f f +++=，故(1)(2)...(2019)(1)(2)(3)f f f f f f +++=++=故答案为：【点睛】这给题目考查了正弦函数的周期的求法和应用，属于基础题.15．设非零向量a ，b 的夹角为θ，记(,)cos sin f a b a b θθ=-，若1e ，2e 均为单位向量，且123e e ⋅=，则向量12(,)f e e 与21(,)f e e -的夹角为__________．【答案】2π 【解析】根据题意得到1212(,)cos sin f e e e e θθ=-，21(,)f e e -12sin cos e e θθ=-，再根据向量点积的公式得到向量夹角即可. 【详解】由题设知，若向量1e ，2e 的夹角为θ，则2e ，1e -的夹角为πθ-.由题意可得1212(,)cos sin f e e e e θθ=-，2121(,)cos()sin()f e e e e πθπθ-=-+-12sin cos e e θθ=-， 12211212(,)(,)(cos sin )(sin cos )f e e f e e e e e e θθθθ⋅-=-⋅-2222112122cos sin cos sin cos sin e e e e e e θθθθθθ=-⋅-⋅+2sin cos θθ=.∵123e e ⋅=，cos θ=，1sin 2θ=，12sin cos 202θθ-=⨯=，向量12(,)f e e 与21(,)f e e -的夹角为2π. 故答案为：2π. 【点睛】这个题目考查了向量数量积的应用，以及向量夹角的求法，平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， ·cos ·a ba bθ=（此时·a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a bb⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.16．已知函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=，若关于x 的不等式()()f x g x >恰有两个非负整数．．．．解，则实数a 的取值范围是__________．【答案】310,23⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】由题意可得f （x ），g （x ）的图象均过（﹣1，1），分别讨论a ＞0，a ＜0时，f （x ）＞g （x ）的整数解情况，解不等式即可得到所求范围．【详解】由函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=可得()f x ，()g x 的图象均过(1,1)-，且()f x 的对称轴为2ax =，当0a >时，对称轴大于0.由题意可得()()f x g x >恰有0，1两个整数解，可得(1)(1)310(2)(2)23f g a f g >⎧⇒<≤⎨≤⎩；当0a <时，对称轴小于0.因为()()11f g -=-,由题意不等式恰有-3，-2两个整数解，不合题意，综上可得a 的范围是310,23⎛⎤⎥⎝⎦. 故答案为：310,23⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了二次函数的性质与图象，指数函数的图像的应用，属于中档题．三、解答题17．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，18a =，322(3)S a =+. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）已知12n n T a a a =，且2()m n T m Z ≤∈，求m 的最小值.【答案】（Ⅰ）42nn a -=；（Ⅱ）6.【解析】（I ）根据题干条件得到1326a a a +=+，进而求得公比，得到通项；（II ）结合第一问得到(7)22n n n T -=，根据指数函数的单调性和二次函数的性质得到最大值为64，进而得到结果. 【详解】（I ）设{}n a 的公比为q ，由题意322(3)S a =+得：1326a a a +=+，根据等比数列通项公式得到：12q =，所以42n n a -=. （II ）(7)212..2.n n n nT a a a -==，()72,2tn n y t -==，当3n =或4时，nT取得最大值64.所以2646m m ≥⇒≥，故m 的最小值为6. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.18．已知函数()4sinsin 1(06)223xx f x ωωπω⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴为6x π=.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）求()f x 在区间,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）,,2,63k k k Z πππππ⎡⎤++⎢⎥⎦∈⎣；（Ⅱ）0,2-.【解析】（I ）通过两角和差的正弦公式得到化简之后的式子，进而求得周期和单调区间；（II ）结合第一问得到函数的单调性，进而得到函数最值. 【详解】（I ）()4sinsin 12sin 2236xx f x x ωωππω⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 6x π=是对称轴，662k ωππππ+=+，k Z ∈，且06ω<<，0k =，2ω=，()2sin 26f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其最小正周期为π；单调递增区间为：2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（II ）由（I ）可知，()f x 在,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦递减，在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，0, 1.123ff ππ⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知当12x π=-时得最大值为0；当6x π=时得最小值-2.故()f x 在区间,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为0，最小值为-2.【点睛】已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y =A sin （ωx ＋φ）（其中ω>0）的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错；③若ω<0，利用诱导公式二把y ＝A sin(ωx ＋φ)中x 的系数化为大于0的数．19．如图，ABC ∆的三个内角A ，B ，C 对应的三条边长分别是a ，b ，c ，角B 为钝角，⊥BD AB ，7cos 225B =-，2c =，b =（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）求BCD ∆的面积.【答案】(1) sin A =(2)35【解析】（1）根据余弦的二倍角公式求出3cos 5B =-，利用余弦定理求出2a =，再根据三角形的形状和二倍角公式，求得sin A（2）由（1）可求出cos A =Rt ABD ∆中，求得AD =，CD =由1sin 2BCD S a CD C ∆=⨯，即可求出面积. 【详解】解：(1)由7cos225B =-得：272cos 125B -=-，且角B 为钝角，解得：3cos 5B =-由余弦定理2222cos c a c ac B =+-得：26434455a a ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭解得2a =可知ABC ∆为等腰三角形，即A C = 所以()23cos cos212sin 5B A A =-=--=-，解得sin A =(2)由sin A =cos A =在Rt ABD ∆中，cos c A AD =，得AD =，CD b AD =-==三角形面积113sin 2225BCD S a CD C ∆=⨯=⨯＝【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理和三角形面积计算问题，考查余弦的二倍角和三角形的内角和定理，三角形中的求值问题，需要结合已知条件选取正、余弦定理，灵活转化边和角之间的关系，达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：求结果，即根据已知条件计算并判定结果.20．2019年春节期间，由于人们燃放烟花爆竹，致使一城镇空气出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒1千克的去污剂，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x （单位：天）变化的函数关系式近似为1,0489,4102xx y x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪+⎩，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和.经测试，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.（Ⅰ）若一次喷洒4千克的去污剂，则去污时间可达几天？（Ⅱ）若第一次喷洒2千克的去污剂，6天后再喷洒(14)a a ≤≤千克的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a 的最小值.【答案】（1）7天；(2)169. 【解析】(1) 空气中释放的浓度为()41,04836,4102x x f x x x ⎧⎛⎫+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪<≤⎪+⎩, 04x <≤时，41+)48x ≥（, 410x <≤时，3642x ≥+,分别解不等式即可；（2）设从第一次喷洒起，经(610)x x <≤天，浓度()962128x g x a x -⎛⎫=⋅++ ⎪+⎝⎭=()21828a x x +++，由不等式得到最值. 【详解】（1）因为一次喷洒4个单位的去污剂，所以空气中释放的浓度为()41,04836,4102x x f x x x ⎧⎛⎫+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪<≤⎪+⎩ 当04x <≤时，41+)48x≥（，解得0x ≥，04x ∴<≤，当410x <≤时，3642x ≥+，解得7x ≤，47x ∴<≤，综上得07x <≤，即一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达7天. (2)设从第一次喷洒起，经(610)x x <≤天，浓度()962128x g x a x -⎛⎫=⋅++ ⎪+⎝⎭=()21828a x x +++≥==4≥，即169a ≥，[]1,4a ∈,1649a ∴≤≤当169a =时，()()2222182929x x x +=⇒+=+，29,=7x x +=∴满足题意，所以a 的最小值为169. 【点睛】本题考查了实际应用问题，涉及到不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 21．若对定义域内任意x ，都有()()f x a f x +>（a 为正常数．．．），则称函数()f x 为“a距”增函数.（Ⅰ）若31()44f x x x =-+，x ∈R 是“a 距”增函数，求a 的取值范围；（Ⅱ）若2()3x k xf x +=，(1,)x ∈-+∞，其中k ∈R ，且为“2距”增函数，求k 的取值范围.【答案】（Ⅰ）1a >；（Ⅱ）2k >-.【解析】（I ）根据题干条件得到22313304ax a x a a ++->恒成立，故只需要判别式小于0即可；（II ）原题等价于22(2)|2|||33x k x xk x ++++>恒成立，22(2)|2|||x k x x k x +++>+恒成立，分0x ≥和10x -<<两种情况得结果即可. 【详解】（I ）2231()()334f x a f x ax a x a a +-=++-. 因为()f x 是“a 距”增函数，所以22313304ax a x a a ++->恒成立，由0a >，所以2210912014a a a ⎛⎫∆<⇒--<⇒> ⎪⎝⎭.（II ）因为2()3xk xf x +=，(1,)x ∈-+∞，其中k ∈R ，且为“2距”增函数，即1x >-时，22(2)|2|||33x k x xk x ++++>恒成立，所以22(2)|2|||x k x x k x +++>+，当0x ≥时，即4420222x k k x k ++>⇒>--⇒>-，当10x -<<时，22(2)(2)x k x x kx +++>-，所以(1)(2)02x k k ++>⇒>-.综上所述，得2k >-. 【点睛】这个题目考查了恒成立求参的问题，恒成立有解求参常见的方法有：变量分离，转化为函数最值问题，或者直接将不等式化为一边为0的式子，使得函数最值大于或者小于0即可.22．已知数列{}n a 满足()*121111111n nn N a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=∈ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，n S 是数列{}n a 的前n 项和.（Ⅰ）求数列{}n a的通项公式；（Ⅱ）若p a ，30，q S 成等差数列，p a ，18，q S 成等比数列，求正整数p ，q 的值；（Ⅲ）是否存在*k N ∈{}n a 中的项？若存在，求出所有满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1n a n =+.（2）5p =，9q =.（3）3k =或14. 【解析】试题分析：（1）当1n =时，11111a a -=，12a =，当2n ≥时，由12111111111n n a a a a 已知得--⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇒ ()111112n n n n n a a a n a a ---=-=≥ ⇒列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列⇒1n a n =+. （2）建立方程组26061854p q p p q q a S a a S S +==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，或546p qa S =⎧⎨=⎩.当()166354542p q p a q q S +=⎧=⎧⎪⎨⎨+==⎩⎪⎩⇒59p q =⎧⎨=⎩，当546p q a S =⎧⎨=⎩⇒无正整数解，综上5p =，9q=. （3）假设存在正整数k，使得(*1m a m N m =∈=+，⇒()()22522163m k m k ++--=⇒15m =，14k =，或5m =，3k =，3m 或=，1k =-（舍去）⇒3k =或14.试题解析：（1）因为121111111n na a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，*n N ∈，所以当1n =时，11111a a -=，12a =，当2n ≥时，由121111a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭111nn a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭和12111111111n n a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相除可得，111n n na a a --=，即()112n n a a n --=≥ 所以，数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列. 于是，1n a n =+.（2）因为p a ，30，q S 成等差数列，p a ，18，q S 成等比数列，所以26018p q p q a S a S +=⎧⎨=⎩，于是654p q a S =⎧⎨=⎩，或546p q a S =⎧⎨=⎩. 当654p q a S =⎧⎨=⎩时，()163542p q q +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得59p q =⎧⎨=⎩，当546p q a S =⎧⎨=⎩时，()154362p q q +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，无正整数解，所以5p =，9q =.（3）假设存在满足条件的正整数k()*m a m N =∈，1m =+，平方并化简得，()()22222363m k +-+=，则()()22522163m k m k ++--=，所以225632211m k m k ++=⎧⎨--=⎩，或225212213m k m k ++=⎧⎨--=⎩，或22592217m k m k ++=⎧⎨--=⎩，解得：15m =，14k =，或5m =，3k =，或3m =，1k =-（舍去），综上所述，3k =或14.。

安徽省示范高中培优联盟2020学年高一数学下学期春季联赛试题理(含解析)

安徽省示范高中培优联盟2020学年高一数学下学期春季联赛试题理（含解析）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合2{|280}A x x x =--<，集合1{|1}x B x e+=>，则A B =I （） A. {|12}x x -<<B. {|21}x x -<<-C. {|2}x x >-D. {|14}x x -<< 【答案】D【解析】【分析】分别解出集合A ，B 的元素，再由集合的交集运算得到结果.【详解】2{|280}{|(2)(4)0}A x x x x x x =--<=+-<{|24}x x =-<<，{|1}B x x =>-，{|14}A B x x ⋂=-<<.故选：D.【点睛】这个题目考查了集合的交集运算，属于基础题.2.实数x ，y 满足x y >，则下列不等式成立的是（） A. 1y x < B. 22x y --<C. lg lg x y >D. 22x y > 【答案】B【解析】【分析】对于ACD 选项，当x<0,y<0时，显然不成立；对于B 可根据指数函数的单调性得到结果.【详解】由题意，当x<0,y<0可得到1y x>，而lg ,lg x y 没有意义，此时22x y < 故A 不正确CD 也不对；指数函数2x y =是定义域R 上的单调递增函数，又由x y >，则x y -<-，所以22x y --<.故B 正确；故选B.【点睛】本题考查了比较大小的应用；比较大小常见的方法有：作差和0比，作商和1比，或者构造函数，利用函数的单调性得到大小关系.3.已知关于x 的方程22cos cos 2cos202C x x A B --+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ∆一定是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形【答案】B【解析】【分析】根据题意利用韦达定理列出关系式，利用两角和与差的余弦函数公式化简得到A ＝B ，即可确定出三角形形状．【详解】设已知方程的两根分别为x 1，x 2，根据韦达定理得：12x x cosAcosB +＝，2212=1co 2cos 22s 22C x x s C i C n -+==- ∵x 1+x 212=x 1x 2， ∴2cos A cos B ＝1﹣cos C ，∵A +B +C ＝π，∴cos C ＝﹣cos （A +B ）＝﹣cos A cos B +sin A sin B ，∴cos A cos B +sin A sin B ＝1，即cos （A ﹣B ）＝1，∴A ﹣B ＝0，即A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．故选：B ．【点睛】此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有：韦达定理，两角和与差的余弦函数公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．4.已知(cos ,sin )a θθ=v ，3b =r ，且2()3a ab ⊥+r r r ，则向量a r 与向量b r 的夹角为（）A. 6πB. 56πC. 3πD. 23π 【答案】B【解析】【分析】通过向量的垂直转化为向量的数量积的运算，利用向量夹角的余弦公式求出其余弦值，问题得解．【详解】Q 23a a b ⎛⎫⊥+ ⎪⎝⎭v v v ∴203a a b n v v v ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即：2203a a b +⋅=r r r 又1a =v ，∴32a b ⋅=-v v ∴向量a v 与向量b v的夹角的余弦为3cos ,2a b a b a b -⋅===-r r r r r r ， ∴向量a v 与向量b v 的夹角为：56π 故选：B【点睛】本题考查向量夹角公式及向量运算，还考查了向量垂直的应用，考查计算能力．5.函数()(f x x =- ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】【分析】先得到函数的定义域为：2x ≥或2x -≤，解方程()02 2.f x x =⇒=-或【详解】要使函数有意义，则240x -≥，即2x ≥或2x -≤，由()02f x x =⇒=或2x =-函数的零点个数为2个.故选：B.【点睛】这个题目考查了函数的零点的求解，函数的零点即方程的根，两者可以直接转化.6.2|2|()log cos x f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的部分图象大致为（） A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】判断函数的奇偶性以及对称性，结合函数值的符号是否一致进行排除即可．【详解】f （﹣x ）＝f （x ），则函数f （x ）是偶函数，图象关于y 轴对称，排除A ，D ， f （π）＝ln π﹣cosπ＝ln π+1＞0，排除C ，故选：B ．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及特殊值的符号进行排除是解决本题的关键．7.函数()2lg 106y x x =++的零点是1tan x α=和2tan x β=，则tan()αβ+=（） A. 53 B. 52 C. 52- D. 53- 【答案】B【解析】【分析】先由韦达定理得到tan tan 10tan tan 5αβαβ+=-⎧⎨=⎩，再由两角和的正切公式得到结果. 【详解】因为2lg(106)y x x =++的零点是1tan x α=和2tan x β=，所以1x ，2x 是方程21050x x ++=的两个根，根据韦达定理得到tan tan 10tan tan 5αβαβ+=-⎧⎨=⎩,再由两角和的正切公式得到:tan tan 5tan()1tan tan 2αβαβαβ++==-. 故选B. 【点睛】本题考查了二次方程的根，以及韦达定理的应用，涉及正切函数的两角和的公式的应用，属于基础题.8.ABC ∆中，5AB =，10AC =，25AB AC ⋅=u u u r u u u r ，点P 是ABC ∆内（包括边界）的一动点，且32()55AP AB AC R λλ=-∈u u u v u u u v u u u v ，则AP u u u r 的最小值是（） A. 41B. 39C. 3D. 332【答案】C【解析】【分析】由题干条件和向量点积公式得到三角形的边长，再根据向量加法的平行四边形法则得到P 所在的轨迹，进而得到结果. 【详解】依题意1510cos 25cos 2AB AC A A ⋅=⨯=⇒=u u u r u u u r 3A π⇒=.由余弦定理得53BC =ABC ∆为直角三角形.设35AD AB =，过D 作'//DP AC ，交BC 于P'，过P'作'//EP AB ，交AC 于E .由于32()55AP AB AC R λλ=-∈u u u v u u u v u u u v ，根据向量加法运算的平行四边形法则可知，P 点位于线段'DP 上，由图可知AP u u u r 最短时为AD u u u r ，所以3AD =uuu r .故选C.【点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法;(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.9.设变量x ，y 满足约束条件2302401x y x y y --≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最小值为1，则11a b+的最小值为（）A. 7+B. 7+C. 3+D. 3+【答案】D【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．【详解】变量x ，y 满足约束条件2302401x y x y y --≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩的可行域如图，当直线z ＝ax +by （a ＞0，b ＞0）过直线y ＝1和2x ﹣y ﹣3＝0的交点（2，1）时，有最小值为1；∴2a +b ＝1，11a b +=（2a +b ）（11a b +）＝32a b b a ++≥=故选：D ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．10.若数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且满足：12019a a π+=，120192b b ⋅=，函数()sin f x x =，则10091011100910111a a f b b ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭（） A. 3 B. 12 3 D. 12- 【答案】C【解析】【分析】根据等差和等比数列的性质得到100910111009101113a a f f b b π⎛⎫+⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭进而得到结果. 【详解】根据等差数列的性质得到1201910091011a a a a π+=+=，根据等比数列的性质有100910111201910091011100910112;1a a b b b b f b b ⎛⎫+⋅=⋅= ⎪+⎝⎭332f π⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故本题选C.【点睛】本题考查等比数列和等差数列的性质的应用，是基础的计算题，对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.11.将函数()4sin 22f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭和直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为1A ，2A ，…，n A ，若P 点坐标为(0,3)，则12...n PA PA PA +++=u u u r u u u u r u u u u r （）A. 0B. 2C. 6D. 10【答案】D【解析】【分析】画出函数图像，根据对称性得到1253...55(1,3)PA PA PA PA +++==-u u u r u u u u r u u u r u u u r ，进而得到结果. 【详解】函数()4cos 2f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭与()1g x x =-的所有交点从左往右依次记为1A 、2A 、3A 、4A 和5A ，且1A 和5A ，2A 和4A ，都关于点3A 对称，如图所示：则1253...55(1,3)PA PA PA PA +++==-u u u r u u u u r u u u r u u u r ，所以12...10n PA PA PA +++=u u u r u u u u r u u u u r . 故选：D.【点睛】这个题目考查了向量加法的平行四边形法则，涉及函数的图像的交点问题，属于综合题.向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.12.对于数列{}n a ，若任意*,()m n N m n ∈>，都有()m n a a t m n -≥-（t 为常数）成立，则称数列{}n a 满足t 级收敛，若数列{}n a 的通项公式为2log n a n =，且满足t 级收敛，则t 的最大值为（）A. 6B. 3C. 2D. 0【答案】D【解析】【分析】根据题干中对收敛数列的定义得到2{log }n tn -是递增数列或常数列，相邻两项相减得到121log 0n n n b b t n++-=-≥，进而得到结果. 【详解】由题意：m n a a t m n -≤-对任意的*,()m n N m n ∈>恒成立，2log n a n =，且t 级收敛，则22log log m n t m n -≤-恒成立，即()()22log log 0m tm n tn m n---≥-恒成立，据此可知数列2{log }n tn -是递增数列或常数列，令2log n b n tn =-，根据数列是单调递增的得到()12121log (1)1,log 0n n n n b n t n b b t n +++=+-+-=-≥ 据此可得：221log log 10n t n+≤<=恒成立，故0t ≤，t 的最大值为0. 故选D. 【点睛】这题目考查了数列单调性的应用，数列作为特殊的函数，可通过函数的单调性研究数列的单调性，必须注意的是数列对应的是孤立的点，这与连续函数的单调性有所不同；也可以通过1n n a a +-差值的正负确定数列{}n a 的单调性．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置）13.已知函数1()(21)m f x m x+=-为幂函数，则(4)f =__________．【答案】16【解析】【分析】根据幂函数定义求出m 的值，写出()f x 的解析式，即可计算()f 4的值．【详解】由题意，函数()()m 1f x 2m 1x +=-为幂函数，2m 11∴-=，解得m 1=， ()2f x x ∴=，()2f 4416∴==，故答案为：16．【点睛】本题考查了幂函数的定义，及幂函数的求值问题，其中解答中熟记幂函数的定义，用定义求得幂函数的解析式是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．14.已知函数()2sin 3f x x π=，则(1)(2)(2019)f f f ++⋯+=__________．【答案】【解析】【分析】根据函数表达式得到函数的周期，得到(1)(2)...(6)0f f f +++=，进而得到结果.【详解】依题意可得()2sin 3f x x π=，其最小正周期6T =，且(1)(2)...(6)0f f f +++=，故(1)(2)...(2019)(1)(2)(3)f f f f f f +++=++=故答案为：【点睛】这给题目考查了正弦函数的周期的求法和应用，属于基础题.15.设非零向量a r ，b r 的夹角为θ，记(,)cos sin f a b a b θθ=-r r r r ，若1e u r ，2e u u r 均为单位向量，且122e e ⋅=u r u u r ，则向量12(,)f e e u r u u r 与21(,)f e e -u u r u r 的夹角为__________．【答案】2π 【解析】【分析】根据题意得到1212(,)cos sin f e e e e θθ=-u r u ur u r u u r，21(,)f e e -u u r u r 12sin cos e e θθ=-u r u u r ，再根据向量点积的公式得到向量夹角即可. 【详解】由题设知，若向量1e u r ，2e u u r 的夹角为θ，则2e u u r ，1e -u r 的夹角为πθ-.由题意可得1212(,)cos sin f e e e e θθ=-u r u u r u r u u r ，2121(,)cos()sin()f e e e e πθπθ-=-+-u u r u r u u r u r 12sin cos e e θθ=-u r u u r ，12211212(,)(,)(cos sin )(sin cos )f e e f e e e e e e θθθθ⋅-=-⋅-u r u u r u u r u r u r u u r u r u u r 2222112122cos sin cos sin cos sin e e e e e e θθθθθθ=-⋅-⋅+u u r u u r u r u u r u r u u r 2sin cos 2θθ=-. ∵12e e ⋅=u r u u r ，cos θ=，1sin 2θ=，12sin cos 202θθ=⨯=，向量12(,)f e e u r u u r 与21(,)f e e -u u r u r 的夹角为2π. 故答案为：2π. 【点睛】这个题目考查了向量数量积的应用，以及向量夹角的求法，平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=v v v v ，二是1212a b x x y y ⋅=+vv ，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， ·cos ·a b a b θ=v v v v （此时·a b v v 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a v 在b v 上的投影是a b bvv v ⋅；（3）,a b v v 向量垂直则0a b ⋅=v v ;(4)求向量ma nb +v v 的模（平方后需求a b ⋅v v ）.16.已知函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=，若关于x 的不等式()()f x g x >恰有两个非负整数．．．．解，则实数a 的取值范围是__________．【答案】310,23⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】由题意可得f （x ），g （x ）的图象均过（﹣1，1），分别讨论a ＞0，a ＜0时，f （x ）＞g （x ）的整数解情况，解不等式即可得到所求范围．【详解】由函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=可得()f x ，()g x 的图象均过(1,1)-，且()f x 的对称轴为2ax =，当0a >时，对称轴大于0.由题意可得()()f x g x >恰有0，1两个整数解，可得(1)(1)310(2)(2)23f g a f g >⎧⇒<≤⎨≤⎩；当0a <时，对称轴小于0.因为()()11f g -=-,由题意不等式恰有-3，-2两个整数解，不合题意，综上可得a 的范围是310,23⎛⎤ ⎥⎝⎦.故答案为：310,23⎛⎤⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了二次函数的性质与图象，指数函数的图像的应用，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，18a =，322(3)S a =+. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）已知12n n T a a a =L ，且2()mn T m Z ≤∈，求m 的最小值.【答案】（Ⅰ）42nn a -=；（Ⅱ）6.【解析】【分析】（I ）根据题干条件得到1326a a a +=+，进而求得公比，得到通项；（II ）结合第一问得到(7)22n nn T -=，根据指数函数的单调性和二次函数的性质得到最大值为64，进而得到结果.【详解】（I ）设{}n a 的公比为q ，由题意322(3)S a =+得：1326a a a +=+，根据等比数列通项公式得到：12q =，所以42nn a -=. （II ）(7)212..2.n n n nT a a a -==，()72,2t n n y t -==Z ，当3n =或4时，nT取得最大值64.所以2646m m ≥⇒≥，故m 的最小值为6.【点睛】本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.18.已知函数()4sinsin 1(06)223xx f x ωωπω⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴为6x π=. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）求()f x 在区间,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）,,2,63k k k Z πππππ⎡⎤++⎢⎥⎦∈⎣；（Ⅱ）0,2-. 【解析】【分析】（I ）通过两角和差的正弦公式得到化简之后的式子，进而求得周期和单调区间；（II ）结合第一问得到函数的单调性，进而得到函数最值. 【详解】（I ）()4sinsin 12sin 2236xx f x x ωωππω⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 6x π=是对称轴，662k ωππππ+=+，k Z ∈，且06ω<<，0k =，2ω=，()2sin 26f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其最小正周期为π；单调递增区间为：2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （II ）由（I ）可知，()f x 在,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦递减，在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，0, 1.123f f ππ⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知当12x π=-时得最大值为0；当6x π=时得最小值-2.故()f x 在区间,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为0，最小值为-2.【点睛】已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y =A sin （ωx ＋φ）（其中ω>0）的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错；③若ω<0，利用诱导公式二把y ＝A sin(ωx ＋φ)中x 的系数化为大于0的数．19.如图，ABC ∆的三个内角A ，B ，C 对应的三条边长分别是a ，b ，c ，角B 为钝角，⊥BD AB ，7cos 225B =-，2c =，85b =.（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）求BCD ∆的面积. 【答案】(1) 5sin A = (2)35【解析】【分析】（1）根据余弦的二倍角公式求出3cos 5B =-，利用余弦定理求出2a =，再根据三角形的形状和二倍角公式，求得sin A（2）由（1）可求出cos A =Rt ABD ∆中，求得AD =，CD =1sin 2BCD S a CD C ∆=⨯，即可求出面积. 【详解】解：(1)由7cos225B =-得：272cos 125B -=-，且角B 为钝角，解得：3cos 5B =-由余弦定理2222cos c a c ac B =+-得：26434455a a ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭解得2a =可知ABC ∆为等腰三角形，即A C = 所以()23cos cos212sin 5B A A =-=--=-，解得sin A =(2)由sin A =cos A =在Rt ABD ∆中，cos c A AD =，得AD =，CD b AD =-==三角形面积113sin 222555BCD S a CD C ∆=⨯=⨯⨯＝【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理和三角形面积计算问题，考查余弦的二倍角和三角形的内角和定理，三角形中的求值问题，需要结合已知条件选取正、余弦定理，灵活转化边和角之间的关系，达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：求结果，即根据已知条件计算并判定结果.20.2020年春节期间，由于人们燃放烟花爆竹，致使一城镇空气出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒1千克的去污剂，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x （单位：天）变化的函数关系式近似为1,0489,4102xx y x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪+⎩，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和.经测试，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用. （Ⅰ）若一次喷洒4千克的去污剂，则去污时间可达几天？（Ⅱ）若第一次喷洒2千克的去污剂，6天后再喷洒(14)a a ≤≤千克的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a 的最小值. 【答案】（1）7天；(2) 169. 【解析】【分析】(1) 空气中释放的浓度为()41,04836,4102x x f x x x ⎧⎛⎫+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪<≤⎪+⎩, 04x <≤时，41+)48x ≥（, 410x <≤时，3642x ≥+,分别解不等式即可；（2）设从第一次喷洒起，经(610)x x <≤天，浓度()962128x g x a x -⎛⎫=⋅++ ⎪+⎝⎭=()21828a x x +++，由不等式得到最值.【详解】（1）因为一次喷洒4个单位的去污剂，所以空气中释放的浓度为()41,04836,4102x x f x x x ⎧⎛⎫+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪<≤⎪+⎩当04x <≤时，41+)48x≥（，解得0x ≥，04x ∴<≤，当410x <≤时，3642x ≥+，解得7x ≤，47x ∴<≤，综上得07x <≤，即一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达7天. (2)设从第一次喷洒起，经(610)x x <≤天，浓度()962128x g x a x -⎛⎫=⋅++ ⎪+⎝⎭=()21828a x x +++ ≥==4，即169a ≥，[]1,4a ∈,1649a ∴≤≤当169a =时，()()2222182929x x x +=⇒+=+，29,=7x x +=∴满足题意，所以a 的最小值为169. 【点睛】本题考查了实际应用问题，涉及到不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.21.若对定义域内任意x ，都有()()f x a f x +>（a 为正常数．．．），则称函数()f x 为“a 距”增函数.（Ⅰ）若31()44f x x x =-+，x ∈R 是“a 距”增函数，求a 的取值范围；（Ⅱ）若2()3xk xf x +=，(1,)x ∈-+∞，其中k ∈R ，且为“2距”增函数，求k 的取值范围.【答案】（Ⅰ）1a >；（Ⅱ）2k >-. 【解析】【分析】（I ）根据题干条件得到22313304ax a x a a ++->恒成立，故只需要判别式小于0即可；（II ）原题等价于22(2)|2|||33x k x xk x ++++>恒成立，22(2)|2|||x k x x k x +++>+恒成立，分0x ≥和10x -<<两种情况得结果即可.【详解】（I ）2231()()334f x a f x ax a x a a +-=++-. 因为()f x 是“a 距”增函数，所以22313304ax a x a a ++->恒成立，由0a >，所以2210912014a a a ⎛⎫∆<⇒--<⇒> ⎪⎝⎭. （II ）因为2()3xk xf x +=，(1,)x ∈-+∞，其中k ∈R ，且为“2距”增函数，即1x >-时，22(2)|2|||33x k x x k x ++++>恒成立，所以22(2)|2|||x k x x k x +++>+，当0x ≥时，即4420222x k k x k ++>⇒>--⇒>-，当10x -<<时，22(2)(2)x k x x kx +++>-，所以(1)(2)02x k k ++>⇒>-.综上所述，得2k >-.【点睛】这个题目考查了恒成立求参的问题，恒成立有解求参常见的方法有：变量分离，转化为函数最值问题，或者直接将不等式化为一边为0的式子，使得函数最值大于或者小于0即可.22.已知数列{}n a 满足()*121111111n nn N a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=∈ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L，n S 是数列{}n a 的前n 项和.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若p a ，30，q S 成等差数列，p a ，18，q S 成等比数列，求正整数p ，q 的值；（Ⅲ）是否存在*k N ∈{}n a 中的项？若存在，求出所有满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1n a n =+.（2）5p =，9q =.（3）3k =或14. 【解析】试题分析：（1）当1n =时，11111a a -=，12a =，当2n ≥时，由12111111111n n a a a a L已知得--⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇒ ()111112n n n n na a a n a a ---=-=≥ ⇒列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列⇒1n a n =+.（2）建立方程组26061854p q p p q q a S a a S S +==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，或546p qa S =⎧⎨=⎩.当()166354542p q p a q qS +=⎧=⎧⎪⎨⎨+==⎩⎪⎩⇒59p q =⎧⎨=⎩，当546p q a S =⎧⎨=⎩⇒无正整数解，综上5p =，9q =.（3）假设存在正整数k(*1m a m Nm =∈=+，⇒()()22522163m k m k ++--=⇒15m =，14k =，或5m =，3k =，3m 或=，1k =-（舍去）⇒3k =或14. 试题解析：（1）因为121111111n n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，*n N ∈，所以当1n =时，11111a a -=，12a =，当2n ≥时，由121111a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭L 111nn a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭和12111111111n n a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，两式相除可得，111n n na a a --=，即()112n n a a n --=≥ 所以，数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列. 于是，1n a n =+.（2）因为p a ，30，q S 成等差数列，p a ，18，q S 成等比数列，所以26018p q p q a S a S +=⎧⎨=⎩，于是654p q a S =⎧⎨=⎩，或546p q a S =⎧⎨=⎩. 当654p q a S =⎧⎨=⎩时，()163542p q q +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得59p q =⎧⎨=⎩，当546p q a S =⎧⎨=⎩时，()154362p q q +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，无正整数解，所以5p =，9q =.（3）假设存在满足条件的正整数k ()*m a m N =∈，1m =+，平方并化简得，()()22222363m k +-+=，则()()22522163m k m k ++--=，所以225632211m k m k ++=⎧⎨--=⎩，或225212213m k m k ++=⎧⎨--=⎩，或22592217m k m k ++=⎧⎨--=⎩，解得：15m =，14k =，或5m =，3k =，或3m =，1k =-（舍去），综上所述，3k =或14.。

安徽省示范高中培优联盟2022-2023学年高一下学期春季联赛数学试题

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11．如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E, F 分别为 BC,CC1 的中点，则（）
A．直线 A1B 与 EF 所成的角的大小为 60 B．直线 A1C 平面 DEF
C．平面 DEF 平面 BCC1B1
D．平面 DEF 将正方体截成的两部分的体
积之比为 23:1 12．一位植物学家想要研究某类植物生长 1 年之后的高度，他随机抽取了 n 株此类作物，
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(1)若关于 x 的不等式 2cosh x mex 1 m 0 在ln 2, 上恒成立，求实数 m 的取值范
围；
(2)函数 f (x) 2mcosh(2x) 2sinh(x) 3 在 x 0,ln 2有 2 个零点，求实数 m 的取值范围.
试卷第 6 页，共 6 页
A．1
B．1
C．1,1
D． 1, 0,1
2．“ x 2k k Z ”是“ tan x 3 ”的（）
3
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．欧拉公式 eix cos x isin x（ i 为虚数单位，x R ）是由瑞土著名数学家欧拉发现的，
3
试卷第 5 页，共 6 页
(1)证明： AE EB AF FC 2r2 ； 3
(2)求 SVABC 的最小值. SVAEF
25．双曲函数是一类与三角函数类似的函数，在物理及生活中有着重要应用.称
cosh x ex ex 为双曲余弦函数，称 sinh x ex ex 为双曲正弦函数.
80
65
85
92
乙的成绩（分） 75
86
70
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安徽省示范高中培优联盟2020年春季联赛高一理科数学试卷含答案

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安徽省示范高中培优联盟2020春季联赛高一理科数学答案

安徽省示范高中培优联盟2020年春季联赛（高一）数学（理科）参考答案及评分标准选择题答案：1-5 BBCAC 6-10 CCACA 11-12 DA1答案：B 解析：A ＝{x |x 2－1>0}＝{x |x <－1或x >1}＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)，B ＝(0，＋∞)，则A ∩B ＝(1，＋∞)．2答案：B 解析：由题意可得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )·⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x y 14＝5＋4x y ＋y x ≥5＋24x y ×yx＝9，当且仅当x ＝3，y ＝6时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.选B. 3答案：C 解析：画出函数y ＝f (x )的图象，如下图所示．又由题意可得，若函数y ＝log a x 的图象与函数y ＝f (x )的图象有交点，则需满足a >1.结合图象可得，要使两函数的图象有三个交点，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧log a 2<1log a 3≥1，解得2<a ≤3，所以实数a 最大值为3，故选C.4答案：A 解析：因为当λ＝0时，a 与b 的夹角为钝角，排除B ，D ；当λ＝4时，夹角为π，排除C ，选A.5答案：C 解析：设{a n }的公比为q ，由a 5＝3a 3＋4a 1得q 4＝3q 2＋4，得q 2＝4，由数列{a n }的各项均为正数，所以q ＝2，又a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝a 1(1＋2＋4)＝7，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4.6答案：C 解析：cos ⎪⎭⎫⎝⎛+απ2311＝2cos 2⎪⎭⎫⎝⎛-απ6－1＝2×49－1＝－19. 7答案：C 解析：∵2a sin C ＝3c ，∴2sin A sin C ＝3sin C ，∴sin A ＝32.∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＝π3. 由正弦定理，得b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝23，∴b ＝23sin B ，c ＝23sin C ，∴△ABC 的周长为1＋23sin B ＋23sin C ＝1＋2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+6πB ，∴当B ＝π3，即△ABC 为等边三角形时，周长取得最大值，此时面积为43，选C.8答案：A 解析：由于题中直线PQ 的条件是过点E ，所以该直线是一条“动”直线，所以最后的结果必然是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．如图1，PQ ∥BC ，则AP →＝21AB →，AQ →＝21AC →，此时m ＝n ＝21，故1m ＋1n ＝4，故选A.9答案：C 解析：因为函数y ＝x x 312+为奇函数，所以其图象关于原点对称，当x >0时，y ＝31x 2＋1x 2＝311＋1x2，所以函数y ＝x x 312+在(0，＋∞)上单调递减，所以排除选项B ，D ；又当x ＝1时，y ＝32<1，所以排除选项A ，故选C.10答案：A 解析：∵(2n －3)a n ＋1＝(2n －1)a n ＋4n 2－7n ＋3，∴(2n －3)a n ＋1＝(2n －1)a n ＋(2n －3)(2n －1)，∴132121=---+n a n a n n .∵a 1＝21，∴21121=-a ，∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-32n a n 是首项为21，公差为1的等差数列， ∴201)1(2132+=⨯-+=-n n n a n，∴a n ＝(n +20)(2n －3)，n ∈N *. 198024=a ，选A. 11答案：D 解析：取BC 的中点D ，连接PD ，则PD =4,2θ=∠BPD ,在PBD Rt ∆中，由432tan =θ，得BD =3.所以B (-2,-2),C(4,-2)，BP ,CP 的中点都是)(x f 的对称中心，且周期T=6，故选D12答案：A 解析：方法一：因为(31)y f x =-为奇函数，故(31)y f x =-的图像关于原点（0,0）对称，故)(x f y =的图像关于)0,1(-对称，从而)(x g y =的图像关于（0,1）对称，因为021=+x x ，所以12()()g x g x +=2.方法二：特例法,设(31)f x x -=,令t 31x =-，∴()1t +13x =，∴()1(t)t +13f =∴()1()+13f x x = ∵()y g x =与()y f x =关于()y x =-对称，∴()1+13x y -=-，()g x =31x +，∵021=+x x ，所以12()()g x g x +=2.13答案：2425解析：由三角函数定义知，cos α＝x ，sin α＝y .∴cos α＋sin α＝75∴(cos α＋sin α)2＝1＋sin2α＝4925，∴sin2α＝4925－1＝2425，∴cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+232πα＝sin2α＝2425. 14答案：41-解析：如图，∵AB →·AD →＝－1，AB ＝2，AD ＝1，∴|AB →|·|AD →|cos ∠BAD ＝－1， ∴2cos ∠BAD ＝－1，cos ∠BAD ＝－12，∴∠BAD ＝120°.建立如图所示的平面直角坐标系，则MA →·MB →＝x (x －2)＋34＝(x －1)2－14. 令f (x )＝(x －1)2－14，x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,21，则f (x )在⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,21上单调递减，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,1上单调递增，所以f (x )min ＝41-.15答案：1010解析：∵a ，b ，c 成等比数列，∴b2＝ac ，由正弦定理得sin2B ＝sinAsinC ， ∴B C A C A sin tan tan tan tan =+，∵tan B ＝t +13，∴sin B ＝101，∴1010tan tan tan tan =+C A C A16.答案：⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛+-∈311,611∪6371,0a 解析：设)(x f y =与)31(+=x f y 的图像交于点A ，B ，且横坐标分别为)(,2121x x x x <，由图像可得满足⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥31)(a f a f 的实数a 的取值范围为(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡311,∪021x x .对于1x ，由637131log log 11212+-=⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-x x x （负值舍去）对于2x ，由611314log log 22222=⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x ，综上可得，⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛+-∈311,611∪6371,0a 17．【解析】（1）由10x ->得，函数()f x 的定义域{/1}A x x =>,又220x x --≥，得{}/21B x x x =≥≤-或， {}/2A B x x ∴⋂=≥.……………………………………………………4分（2）{/12}C x x ⊆-<<,①当C =∅时，满足要求，此时1m m -≥，得12m ≤；……………………………………………6分 ②当C ≠∅ 时，要{/12}C x x ⊆-<<，则1{1 1 m 2m mm -<-≥-<，解得122m <<，…………………………8分由①② 得， 2m <，∴实数m 的取值范围(),2-∞.…………………………………………………10分18解：(1)由2b sin C ＝a cos C ＋c cos A ，结合b ＝a cos C ＋c cos A ，可得2b sin C ＝b .因为b >0，所以sin C ＝12. 又0<C <π3，所以C ＝π6.…………………………………………………5分(2)由正弦定理易知b sin B ＝csin C ＝23，解得b ＝3.…………………………………………………7分又DC AD 2=，所以AD ＝23AC ＝23b ，即AD ＝2.在△ABC 中，因为∠ABC ＝23π，C ＝π6，所以A ＝π6，所以在△ABD 中，A ＝π6，AB ＝3，AD ＝2，由余弦定理得BD ＝1……………………………10分由R ABD22sin ==可知ABE ∆的外接圆半径为1.………………………………………………12分 19解：(1)设数列{a n }的首项为a 1，依题意，⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋10d ＝22(a 1＋7d )2＝(a 1＋4d )(a 1＋12d )，解得a 1＝1，d ＝2，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.……………………………………………………………………5分 (2)b n ＝(a n ＋1)2a n a n ＋1－1＝4n 2(2n －1)(2n ＋1)－1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎪⎭⎫ ⎝⎛+--121121n n ， …………………8分∴S n ＝12×⎪⎭⎫ ⎝⎛-311＋…＋12⎪⎭⎫ ⎝⎛+--121121n n ＝12⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1211n ＝3112≥+n n .…………………………12分20解：∵△ABC 三个内角A 、B 、C 依次成等差数列，∴B ＝60°.………………………………………2分设A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，由△ABC 的面积S ＝33＝12ac sin B 可得ac ＝12.(1)∵sin C ＝3sin A ，由正弦定理知c ＝3a ，∴a ＝2，c ＝6.……………………………………………4分在△ABC 中，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝28，∴b ＝27，即AC 的长为27. ……6分 (2)∵BD 是AC 边上的中线，∴BD →＝12(BC →＋BA →)，∴BD →2＝14(BC →2＋BA →2＋2BC →·BA →)＝14(a 2＋c 2＋2ac cos B )＝14(a 2＋c 2＋ac )≥14(2ac ＋ac )＝9，当且仅当a ＝c=32时取“＝”，∴|BD →|≥3，即BD 长的最小值为3，此时△ABC 为等边三角形………………………………………………………………………………12分（其他解法请酌情赋分） 21.【解析】（1）)(41)(404sin 2020)(Z k k x Z k k x x x f ∈+=⇒∈=-⇒=⎪⎭⎫⎝⎛-=πππππ，这就是函数)(x f 的全部零点.已知函数)(x f 的全部正数的零点构成等差数列{a n }，则其首项等于41，公差等于1，{a n }的通项公式就是*)(43N n n a n ∈-=…………………………………………………5分（2）nn nn n a b 2432⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=……………………………………………………………………………7分利用错位相减法得22)1(1+-=+n n n T ………………………………………………………………12分22解:（1）若()2020f x =,则x 表示不超过20201的最大整数,所以120202020+<≤x ,故x 的取值范围为20202021x ≤<；…………………………………………3分（2）若0x >,可得21110<+<xe ，()2()7f x f x +=, 则72()8x f x ≤+<,72()82x f x x -≤<-,…………………………………………………………5分当1x =时,()5f x =,不符合. 当2x =时,()3f x =,不符合. 则3x =时,()1f x =,不符合. 当23x <<时()2f x =,所以72282x x -≤<-,解得532x ≤<. 所以实数x 的取值范围为532x ≤<；……………………………………………………………………8分方法二：画出两直线与函数y=f(x)的图像，由图象观察得：实数x 的取值范围为532x ≤<.（3） ⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=-98),7(log 87,21)(27x x x x h x )(x h ∴在[)8,7单调递减,在[)9,8单调递增. 可得()()max 71h x h ==,()()min 80h x h ==,则()()()()23781h x h x h h -=-=, 所以()11g x >在[)7,9恒成立,即()1f x x k x+⋅>,整理得()2k f x x x ⋅>-在[)7,9恒成立,………10分当[)8,7∈x 时, 27x x k ->在[)8,7恒成立,即6->k , 当[)9,8∈x 时, 28x x k ->在[)9,8恒成立,即7->k ,综上可得: 实数k 的取值范围为6k >-.…………………………………………………………………12分。

安徽省示范高中培优联盟2020-2021学年高一下学期联赛数学试题(含解析

个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.【答案】D
【解析】化简集合，A {x N* | 2 x 8} {3, 4, 5, 6, 7}
，B
{3 2
,
2,
5 2
,
3,
7} 2
，
则共A有
9B个元{32素, 2．, 52
,
3,
7 2
,
4,
5,
6,
7}
2.【答案】B
【解析】设
z0
1 2
3i
，则
z02
命题：苏州太仓高级中学范世祥审题：广德中学乐欢制卷：等高教育（ｗｗｗ．ｈｆｄｇｊｙ．ｃｏｍ）第２页（共４页）
（在此卷上答题无效）
绝密★启用前
安徽省示范高中培优联盟２０２１年春季联赛（高一）
数学
第Ⅱ卷（非选择题共９０分）
考生注意事项：请用０．５毫米黑色墨水签字笔在獉答獉题獉卡獉上獉作答，在獉试獉题獉卷獉上獉答獉题獉无獉效獉。
1 4
2
，错误；
对于 D 选项， a b ≤ a b 1 a b ≤ 2 ，正确．
2
2
2
6.【答案】D
【解析】根据题意，画出函数示意图：
当 x 2 时，2 ≤ x 1≤ 0 ，即 3≤ x ≤ 1；当 x 2 时，0 ≤ x 1≤ 2 ，即 1≤ x [3, 2] [1,1] ．
C 项， sinh(2x) =e2x－e2x＝ex－ex·ex+ex·2 2sinh(x) cosh(x) ，正确；
2
22
D 项， [sinh(x)]2 [cosh(x)]2 (ex－ex)2－(ex＋ex)2＝－1，错误．故选 D.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．