上海重点中学2011-2012学年高一下学期期末考试 数学试题
2011—2012学年度下学期期末考试高一数学试卷
2011-2012学年度下学期期末考试高一年级数学科答案命题学校：大连市第八中学 命题人：王中华 校对人:蒋喜莲 张恒一、选择题:BACDB CCDDA BC二、填空题:13．21；14． 13；15． ⎥⎦⎤ ⎝⎛8324ππ， ；16． (]⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞--∞-214-,217, ； 三、解答题：17. 解：x x x x x x x f cos )2sin()sin(cos 3)23cos(sin 2)(+++++=πππ =x x x x 22cos cos sin 3sin 2+-………………2分 =x x 2sin 2322cos 11--+=)62sin(23π+-x ………………4分 （1）)(x f 的最小正周期为ππ==22T ；………………6分 （2）当1)62sin(-=+πx 时)(x f 的最大值为25………………8分 此时)(3,2262Z k k x k x ∈-=-=+πππππ，故x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,3ππ………10分 （此处不写集合减1分，如果集合和Z k ∈均没写减2分）18．解：(1)证明：因为0)31()sin (cos 4)()(22=+-+=-=-⋅+θθb a b a ，故向量b a +与b a -垂直……………4分(2)-=+，两边平方得b b +-=+所以0)2=+-b 2==，所以0=⋅b a ，……………8分 则0sin 32cos 2=+-θθ即33tan =θ又)2,0(πθ∈， 则6πθ=或πθ67=；……………12分 19.解:在BCD ∆中000604575=∠=∠=∠BDC BCD CBD ，，,m BC =……………2分由正弦定理得： 0045sin 60sin BD m = 故m BD 36=……………6分 又0135=∠+∠=∠CBD ABC ABD 在△ABD 中，由余弦定理得：2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠ABD BD AB BD AB AD ∠⋅-+=cos 2222=2233235m m +……………10分 ∴m AD 3325+= 综上炮击目标的距离AD 为m 3325+;……………12分 20．解: 将一枚骰子随机地向上抛掷两次,记朝上的点数分别为y x ,,则点()y x ,一共有36个 ……………2分(1)设事件A :“点()y x ,恰好在直线072=-+y x 上”，则y x -=72，当1=y 时3=x ，当3=y 时2=x ，当5=y 时1=x ，满足条件的点有：()()()5,1,3,2,1,3三个， ……………4分所以点()y x ,恰好在直线072=-+y x 上的概率为121363==）（A P ； ……………6分（2）设事件B :“点()y x ,恰好落在由三条直线072,0,0=-+==y x y x 围成的三角形内部”，则由(1)可知直线1=x 上在点)5,1(的下方有四个点)4,1(),3,1(),2,1(),1,1(在三条直线072,0,0=-+==y x y x 围成的三角形内部;直线2=x 上在点)3,2(的下方有两个点)2,2(),1,2(在三条直线072,0,0=-+==y x y x 围成的三角形内部;满足条件的点有6个………10分所以点()y x ,落在在三条直线072,0,0=-+==y x y x 围成的三角形内部的概率为61366==）（B P ；……………12分 A B D C 第19题21-=+0=⋅⇒⊥n m n m ……2分而)12sin ),24(cos 2(2-+=B B m π )1,cos 2(B n = 故01-cos 22sin 12sin cos 2==+--=⋅B B B B n m ，3,21cos π==B B …4分 ⑵C A 22cos sin 1-+=22222221sin sin sin ()sin )32A C sin A A sin A A A π+=+-=++2225331cos cos sin cos 442422sin A A A A A A A =++=++311cos 2sin 2112cos 242224A A A A -=+⋅=- ）（A A 2cos 212sin 23211-+==)62sin(211π-+A …………8分 因为3B π∠=，所以2(0,)3A π∈，即72(,)666A πππ-∈-， 即1sin(2)(,1]62A π-∈-所以1331sin(2)(,]2642A π+-∈， 即22sin sin A C +的取值范围是33(,]42…………12分 22．解:（1）方程(sin )sin f x a x =-在[)0,2π上有两解 即22sin 3sin 1sin x x a x -+=-,22sin 2sin 1x x a -+=在[0,2]π上有两解 令sin t x = 则01222=-+-a t t 在[1,1]-上解的情况如下：① 当1t =-时，x 有惟一解32x π=② 当1t =时，x 有惟一解2x π= ③当0∆=时，21=a ，21=t ，6π=x 或=x π65……………3分 ④令a t t x f -+-=122)(2,当0)1()1(<-⋅f f 即(5)(1)0a a --<,即(1,5)∈a 时有两解……5分 综上:a 取值范围是(1,5)a ∈或21=a ；……………6分 （2）当)1,21(1∈x ∴1()f x 值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-0,81 对于1cos sin cos sin )(-+=x x x x m x g ，令)4sin(2cos sin π+=+=x x x u ， 则 )1,22(2)1()()(≠≤≤-+==u u t m t m x g ……………7分当0=m 时显然不满足题意当0>m 时)(x g 的值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-2)21(,,2)21(m m m m 当0<m 时)(x g 的值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+2)21(,,2)21(m m m m ……………9分 而依据题意有1()f x 的值域是)(x g 值域的子集 所以当0>m 时只需812)21(-≤-m ，则412+≥m ……………10分 当0<m 时只需81-<m ……………11分 综上 实数m 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,41281, ；……………12分。
上海市松江二中2011-2012学年高一下学期期末考试数学
松江二中2011学年度第二学期期终考试卷高一数学一、填空题（每题5分，共70分）1．在等比数列{}n a 中，14358a a a a ，，则7a = . 2．若αππ2，cos()απ2=45-，则α . (用反三角函数表示) 3．已知2sin()410πα-=-，0<2απ，则cos α的值为 ． 4．函数()sin(2)(,)f x A x A R ϕϕ=+∈的部分图象如图所示，那么(0)f . 5．函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 ．6.已知函数2()3sin f x x =的对称轴方程为 .7.设()cos()(,)f x x x R R ϕϕ=+∈∈为偶函数，则ϕ= .8.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知85,2b c C B ==，则cos C = .9.已知数列{}n a 满足12n n a a +=+，11a =,11{}n n a a +的前n 项和为1837，则n = . 10.已知ABC ∆ 的一个内角为120︒，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_____ _____.11.用数学归纳法证明等式1+2+3++(21)(1)(21)()n n n n N *+=++∈“”时，从n k =到1n k =+时，等式左边需要增加的项是 ．12.设两个等差数列数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，如果5()24n n S n N T n *=∈+，则23a b = ． 13.等差数列{}n a 的公差为1，若8n S S ≥ 对一切*n N ∈恒成立，则首项a 1的取值范围是 ．14.数列{}n a 的通项公式cos 12n n a n π=+，前n 项和为n S ，则2012S =___________。
二、选择题（每题5分，共20分）15.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．则“10a >”是“32S S >”的 （ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件16.要得到函数sin cos y x x =-的图象，只需将函数cos sin y x x =-的图象 （ ）A ．向左平移4π个单位长度B ．向右平移2π个单位长度C ．向右平移π个单位长度D ．向左平移34π个单位长度 17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且=21,(*)n n S a n N -∈，则5a = ( )A.-16B.16C.31D.3218.已知函数2()cos sin f x x x =+，那么下列命题中假命题．．．是 ( ) A ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数 B ．()f x 在[,0]π-上恰有一个零点C ．()f x 是周期函数D ．()f x 在5(,)26ππ上是增函数 三、解答题19.（本小题满分10分）已知函数2()3sin sin cos f x x x x =+，π[,π]2x ∈.（1）求()f x 的零点；（2）求()f x 的最大值和最小值.20．（本小题满分10分）如图，在边长为l 的正三角形ABC 中，圆1O 为ABC ∆的内切圆，圆2O 与圆1O 外切，且与AB 、BC 相切，…，圆1n O +与圆nO 外切，且与AB 、BC 相切.如此无限继续下去，记圆n O 的面积为*()n a n N ∈（1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）求12lim()n n a a a →∞+++的值.21.（本小题共12分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3sin cos 1B B -=，1=b ．（1）若125π=A ，求c ； （2）若c a 2=，求A ．22.（本小题14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n n a S n =++()n *∈N . （1）求1a ，2a ，3a ；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）求数列{}n n a ⋅的前n 项和n T .23．（本小题14分）已知数列{}n a 的各项均为正数，记12()n A n a a a =+++，231()n B n a a a +=+++，342()n C n a a a +=+++，1,2,n = (1)若121,5a a ==，且对任意*n N ∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列，求数列{}n a 的通项公式。
D_2011-2012-高一下期末-交大附中
B
） A、充分非必要条件 C、充要条件 B、必要非充分条件 D、既非充分也非必要条件。
16、若函数 f ( x) sin(x ) ( 0, | | 如图所 示，则有（ A、 1 C、
1 2
2
y
)的部分图象
5
4
3
2
1
1
C
）
-2
3
B、 1 D、
解：（ 1） a1 2 ，
b1 a1
21（本大题 10 分）已知函数 f ( x) 3 sin( 2 x ) 2 sin 2 ( x ) 6 12 （1）求函数 f ( x) 的最小正周期； （2）求使函数 f ( x) 取得最大值的 x 集合。 解: (1) f ( x) 3 sin( 2 x ) 2 sin 2 ( x ) 6 12
1 1 5 2 ， 2 2 2 1 又 an 1 3an 1 ， bn an ， 2 1 1 1 bn 1 an 1 3an 1 3(an ) 3bn ， 2 2 2 5 所以，数列 {bn } 是一个以 为首项，3 为公比的等比数列。 2 --------- 6 分 5 1 1 5 （ 2）由（ 1）得 bn 3n 1 ， 由 bn an ，得 an 3n 1 ， 2 2 2 2 5 n 1 1 an 3 （ n N* ） 。 2 2 --------- 10 分
三．解答题： （ 10 分 +10 分 +10 分 +12 分） 19、 （本大题 10 分）在△ABC 中，a，b，c 分别是三个内角 A，B，C 的对边， 若 a=2， C ， cos 20、 （本大题 10 分）
上海市高一(下)期末数学试卷十
静安区2012学年第二学期期末测试十高一年级 数学试卷（完成时间90分钟，满分100分）2013.6一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，每题4分，只要求直接填写结果．1．已知角x 的终边与单位圆的交点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-53,54 则x tan 的值为 . 2．已知扇形的圆心角为2，面积为4，则扇形的周长为 ． 3．计算：lg4+=___________.4．函数224)(1+-=+x xx f 的值域是______.5．函数x x f 2log )(=与)(x g y =的图像关于直线x y =对称，则=)2(g .6．设集合}sin 3{α，=A ，}cos 2{α，=B ，若}22{-=B A ，则=α . 7．设集合{}23,log P a =，{},Q a b =，若{}0P Q = ，则P Q = . 8．在△ABC 中，已知41tan =A ，53tan =B ，且△ABC 最大边的长为17，则△ABC 最小边的长为____________．9．函数)1cos(+=x y ，]2,0[π∈x 的图象与直线31=y 的交点的横坐标之和为 . 10．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于 .11．已知钝角三角形ABC 的边长分别为２、3、x ，则第三边x 的取值范围是 .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.12．既是偶函数又在区间),0(π上单调递减的函数是……………………（ ） （A ）x y sin =； （B ）x y cos =；（C ）x y 2sin =；（D ）x y 2cos =.13．已知△ABC 两内角A 、B 的对边边长分别为a 、b ，则“B A =”是“B b A a cos cos =的…（ ）（A ）充分非必要条件；（B ）必要非充分条件；（C ）充要条件；（D ）非充分非必要条件． 14．下列命题中正确的是…………………………（ ）（A ）函数x y sin =与x y arcsin =互为反函数；（B ）函数x y sin =与x y arcsin =都是增函数； （C ）函数x y sin =与x y arcsin =都是奇函数；（D ）函数x y sin =与x y arcsin =都是周期函数． 15．设定义在R 上的函数)(x f 是最小正周期为π2的偶函数，当],0[π∈x 时，1)(0<<x f ，且在]2,0[π上单调递减，在],2[ππ上单调递增，则函数x x f y sin )(-=在]10,10[ππ-上的零点个数为…………（ ）（A ）0； （B ）10； （C ）20； （D ）40.三、解答题（本大题满分40分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 16.(本题满分6分)已知函数22()log (23)f x x x =-++，求该函数的定义域和值域，并指出其单调区间.17.(本题满分8分)，已知函数x x a x f cos sin )(+=，a 为是常数，R ∈x ． （1）请指出函数)(x f 的奇偶性，并给予证明；（2）当3=a ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求)(x f 的取值范围．18.(本题满分8分．请给出两种解法，每种正确解法各得4分)已知5cos 4sin 3=+x x ，求x tan 的值.19.(本题满分8分)一铁棒AB 欲水平通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题：（1）用θ表示铁棒的长度)(θL ；（2）若铁棒能通过该直角走廊，求铁棒长度的最大值．20.(本题满分10分)已知函数14cos 4sin 2)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+=x x x f ππ （1）求函数)(x f 的周期；（2）若函数x x f x g 2cos 32)()(-=，试求函数)(x g 的单调递增区间； （3）若72cos )(22--≥-m m x x f 恒成立，试求实数m 的取值范围.【参考答案】 1.43-；2.8；3.2；4.),1[+∞；5.4；6.Z k k ∈+,245ππ；7.}1,0,3{；8.2；9.22-π；10.257；11. )5,13()5,1( 12.B ；13.Ａ；14.D ；15.C16.(本题满分6分)已知函数22()log (23)f x x x =-++，求该函数的定义域和值域，并指出其单调区间.解：由2230x x -++>，解得13x -<<，所以函数()f x 的定义域为(1,3)-. 2分 令2223(1)4t x x x =-++=--+，则04t <≤，所以22()log log 42f x t =≤=， 因此函数()f x 的值域为(,2]-∞ ………………………………………… 2分 单调递增区间]1,1(-，递减区间为)3,1[ ………………………………… 2分17.(本题满分8分)，已知函数x x a x f cos sin )(+=，a 为是常数，R ∈x ． （1）请指出函数)(x f 的奇偶性，并给予证明；（2）当3=a ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求)(x f 的取值范围．解：（1）x x a x f cos sin )(+-=-，⇔=-)()(x f x f x x a x x a cos sin cos sin +=+-00sin 2=⇔=⇔a x a ,所以，当0=a 时，)(x f 是偶函数． ……………………2分⇔-=-)()(x f x f x x a x x a cos sin cos sin --=+- 0cos 2=⇔x ,Z k k x ∈+=⇔.2ππ仅对成立，所以，)(x f 是不是奇函数．……2分综上：当0=a 时，)(x f 是偶函数；当0≠a 时，)(x f 是非奇非偶函数．注：当0≠a 时，证明)(x f 是非奇或非偶函数可举例说明．（2）当3=a 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=6sin 2cos sin 3)(πx x x x f ……………2分由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，得3266πππ≤+≤x ，16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤πx ．所以．[]2,1)(∈x f ．………………………………………………………（2分）18.(本题满分8分．请给出两种解法，每种正确解法各得4分)已知5cos 4sin 3=+x x ，求x tan 的值. 解法1：由5cos 4sin 3=+x x 得：5114123222=+-++⋅t t t t （其中2tan x t =），整理得01692=+-t t ，即0)13(2=-t ，从而31=t ， 所以：4331131212tan 22=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=-=t t x 解法2：由5cos 4sin 3=+x x 得：5cos 54sin 535=⎪⎭⎫⎝⎛+x x ， 从而1)sin(=+ϕx ，其中)20(34tan πϕϕ<<=。
上海市高一第二学期期末数学试卷(共3套,含参考答案)
上海高一第二学期期末数学试卷一、填空题（44分）1、 计算4lg 0.01=2、 函数1y =（0x ≥）的反函数是3、 若1log 12a<，则实数a 的取值范围是 4、 方程49280xx-⨯+=的解是5、 已知扇形的圆心角为23π，半径为5，则扇形的弧长l 等于 6、 已知1sin 3θ=-，并且θ是第三象限角，则tan θ= 7、 化简：sin()tan(2)cos(2)tan()cos()sin()παπαπαπαπαπα---⋅⋅=+-+8、 化简：0cos 20cos(20)cos 70sin(20)αα---= 9、 函数12log (sin cos )y x x =的单调递减区间是10、函数cos 2sin xy x=-的值域是11、计算3arcsin(sin )4π=二、 选择题（16分）12、若函数1sin()2y x ϕ=+是偶函数，则ϕ的一个值为（ ） （A ）ϕπ=- （B ）2πϕ=-（C ）4πϕ=-（D ）8πϕ=-13、“1a =”是“函数22cos sin y ax ax =-的最小正周期为π”的（ ）条件 （A ）充分非必要 （B ）必要非充分 （C ）充要 （D ）非充分非必要 14、函数cos 23sin y x x =+的值域是（ ） （A ）174,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（B ）17(,4)(,)8-∞-+∞ （C ）[4,4]- （D ）(,4)(4,)-∞-+∞ 15、函数()4log (1)a f x x =+-（0,1a a >≠）的图像恒经过定点P ，则点P 的坐标是（ ） （A ）（1，4） （B ）（4，1） （C ）（2，4） （D ）（4，2）三、 解答题（6+8+8+8+10）16、解方程：111122log (95)log (32)2x x ---=--17、已知1tan 7α=，sin 10β=，,(0,)2παβ∈，求2αβ+18、在地面某处测得塔顶的仰角为θ，由此向塔底沿直线走3千米，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔底沿同千米，测得塔顶仰角为4θ（三个测量点都在塔的同一侧），试求θ与塔高。
2011-2012学年度第二学期期末考试试卷高一数学
2011—2012学年度第二学期期末考试试卷高一 数学考试时间：120分钟，试卷满分：150分一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知实数,a b 满足>a b ，则有（ ）A .22>a b B .11>a bC .||>a bD .lg (a-b)>02．已知数列{}n a 满足()1-1=1,=2+12n n a a a n ≥，则4=a （ ）A .30B .14C .31D .153．在ABC ∆中，=8,60,=75a B C =︒︒则=b （ ）A. B. C. D .3234．已知三角形的三边长分别为3,5,7，则该三角形中最大角的度数为（ ）A .60︒B .90︒C .120︒D .150︒5．等比数列{}n a 中1=3a ，且1234,2,a a a 成等差数列，则345++=a a a （ ）A .84B .72C .33D .1896．过点()2,3P ，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程为（ ）A .-+1=0x yB .-+1=03-2=0x y x y 或C .+-5=0x yD .+-5=03-2=0x y x y 或7．若实数,y x 满足-+10+00x y x y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，则=+2z x y 的最小值是（ ）A .0B .12C .1D .28．圆柱的轴截面是正方形，面积是S ，则圆柱的侧面积是（ ）A .1S πB .S πC .2S πD .4S π9．在空间直角坐标系中，点()-3,2,-1P 关于x 轴的对称点的坐标是（ ）A .(3,2,-1)B .(-3,-2,1)C .(-3,2,1)D .(3,-2,1)10．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形。
以上结论正确的是（ ）A .①B .①②C .③④D .①②③④11．如图是一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图，如果主视图、左视图、俯视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为（ ）AB.3 C.3D .不确定 12．在30︒的二面角--l αβ中，,P PQ αβ∈⊥垂足为Q ，2PQ =，则点Q 到平面α的距离QH 等于（ ）AB. C .1 D二、填空题（每小题5分，共20分）13．经过两点(-1,3),(4,-2)A B 的直线的倾斜角的度数等于 。
上海市高一第二学期期末数学试卷(共3套,含参考答案)
a2<1，则实数a的取值范围是3，并且θ是第三象限角，则tanθ=tan(π+α)cos(π-α)⋅sin(π+α)= 10、函数y=cos x2x+ϕ)是偶函数，则ϕ的一个值为（2（C）ϕ=-（A）⎢-4,17⎤(17⎣8,+∞)8⎥⎦（B）(-∞,-4)上海高一第二学期期末数学试卷一、填空题（44分）1、计算lg0.014=2、函数y=x+1（x≥0）的反函数是3、若log14、方程4x-9⨯2x+8=0的解是25、已知扇形的圆心角为π，半径为5，则扇形的弧长l等于36、已知sinθ=-17、化简：sin(π-α)⋅tan(2π-α)cos(2π-α)8、化简：cos200cos(α-200)-cos700sin(α-200)=9、函数y=log(sin x cos x)的单调递减区间是122-sin x的值域是311、计算arcsin(sinπ)=4二、选择题（16分）12、若函数y=sin(1）（A）ϕ=-π（B）ϕ=-ππ4（D）ϕ=-π813、“a=1”是“函数y=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”的（）条件（A）充分非必要（B）必要非充分（C）充要（D）非充分非必要14、函数y=cos2x+3sin x的值域是（）⎡（C）[-4,4]（D）(-∞,-4)(4,+∞)15、函数f(x)=4+log(x-1)（a>0,a≠1）的图像恒经过定点P，则点P的坐标是（a（A）（1，4）（B）（4，1）（C）（2，4）（D）（4，2））三、解答题（6+8+8+8+10）16、解方程：log(9x-1-5)=log(3x-1-2)-2112217、已知tanα=1710π，sinβ=，α,β∈(0,)，求α+2β10218、在地面某处测得塔顶的仰角为θ，由此向塔底沿直线走3千米，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔底沿同一直线走3千米，测得塔顶仰角为4θ（三个测量点都在塔的同一侧），试求θ与塔高。
上海市高一数学第二学期期末考试试卷含答案
上海市高一下学期末数学试卷一、填空题 1．220lim513n n n →∞+=+ ．2．2和8的等差中项是 ．3．方程组727345x y x y -=⎧⎨+=⎩的系数矩阵是 ．4．函数3cos 2,0,32y x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小值为 ．5．等差数列{}n a 中，32a =，71a =，设n S 为数列{}n a 的前n 项和，则9S = ． 6．设等比数列{}n a 的各项均为正数，123432,2a a a a ==，则{}n a 的通项公式为n a = ． 7．将无限循环小数0.145化为分数，则所得的最简分数为 ． 8．用数学归纳法证明“1111(,1)2321nn n n *++++<∈>-N ”时，由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项数共 项．9．数列{}n a 中，若31()n n a a n *+=∈N ，13a =，则{}n a 的通项公式为 ．10．在Rt A BC △内有一系列正方形，边长依次为123,,,,,n a a a a ，A B a =，2BC a =，所有正方形的面积的和为 ．11．已知等差数列{}n a 满足：40a >，50a <，数列的前n 项和为n S ，则54S S 的取值范围是 ． 12．已知数列{}n a 满足154a =，211n n n a a a +=-+，则12320201111m a a a a =++++的整数部分是 ．二、选择题13．设等比数列{}n a 中，10a >，公比为q ，则“1q >”是“{}n a 是递增数列”的（ ）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件14．已知数列{}n a 满足：12(2,)n n a a n n n *-=+∈N ≥，17a =-．则数列{}n a 中满足311n a ≤≤的项共有（ ）项．A ．0B ．1C ．2D ．315．若数列{}n a 对任意2()n n *∈N ≥满足11(4)(3)0n n n n a a a a -----=，下面给出关于数列{}n a 的四个命题：①{}n a 可以是等差数列；②{}n a 可以是等比数列；③{}n a 可以既是等差又是等比数列；④{}n a 可以既不是等差又不是等比数列．正确命题的个数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4 16．若数列{}n a 满足111n nd a a +-=（n *∈N ，d 为常数），则称数列{}n a 为调和数列．已知数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列，且1220200x x x +++=，则516x x +=（ ）． A ．10 B ．20 C ．30 D ．40三、解答题17．在A BC △中，7a =，8b =，1cos 7B =-．（1）求角A 的值； （2）求A C 边上的高．18．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，32216a a =+，且满足20200S <． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求无穷数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的各项和．19．已知数列{}n a 满足：14n n a a n ++=，且{}n a 为等差数列，数列{}n a 的前n 项和为n S ． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求lim nn nS na →∞．20．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足233n n S =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．21．已知数列{}n a ，记集合1{(,)|(,),1,,}i i j T S i j S i j a a a i j i j *+==+++<∈N ≤．（1）对于数列{}n a ：1，2，3，4，写出集合T ；（2）若2n a n =，是否存在,i j *∈N ，使得(,)1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的,i j ；若不存在，说明理由；（3）若22n a n =-，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为123:,,,,,m B b b b b ，若2020m b ≤，求m 的最大值．参考答案一、填空题1．25 2．5 3．7234-⎛⎫ ⎪⎝⎭4．3- 5．272 6．41()2n n -*⎛⎫∈ ⎪⎝⎭N7．855 8．2k 9．133()n n a n -*=∈N 10．245a 11．5,16⎛⎫⎪⎝⎭12．3 【第4题解析】由410,2,cos 21,233332x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈⇒+∈⇒+∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦，所以函数的最小值为3-．【第7题解析】0.04580.1450.10.0450.045450.110.0155=+++=+=-． 【第9题解析】由31313log 3log n n n n a a a a ++=⇒=，∴3{log }n a 是以31log 1a =为首项，公比为3等比数列，∴113log 133n n n a --=⋅=，从而133()n n a n -*=∈N ．【第10题解析】由平面几何知识可得123a a =，由此可知2{}n a 是首项为249a ，公比为49的等比数列，故所有正方形的面积的和为224494519aa =-． 【第11题解析】由题意0d <，则41151030(4,3)040a a d a a a d d >+>⎧⎧⇒⇒∈--⎨⎨<+<⎩⎩， ∴11511411545510510243464462a a d S a d d a S a d a d d⨯+⋅++===⨯++⋅+，令1a x d =，则(4,3)x ∈-- ∴545105515,14644236S x S x x +⎛⎫==+⋅∈ ⎪++⎝⎭． 【第12题解析】一方面，由221111(1)n n n n n n n n a a a a a a a a ++=-+⇒-=-=-，∴111111(1)1n n n n n a a a a a +==----，即111111n n n a a a +=---，∴12320201111m a a a a =++++122334202020211111111111111111a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12021202120211111145111114a a a a =-=-=------． 另一方面，由22211121(1)0n nn n n n n n a a a a a a a a ++=-+⇒-=-+=-≥，∵1514a =>，∴10n n a a +->，即1n n a a +>，数列{}n a 单调递增． 计算可知，154a =，22116a =，3361256a =，410344165536a =，5 1.91a ≈，6 2.74a ≈， ∴20216111a a ->->，∴202114(3,4)1a -∈-，即m 的整数部分是3．二、选择题13．C 14．C 15．C 16．B【第16题解析】∵1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列，∴由题意可知{}n x 为等差数列，∵1220200x x x +++=，∴120202002x x +⋅=，即12020x x +=， 故51612020x x x x +=+=，答案选B ．三、解答题17．（1）由题意，B为钝角，sin B =再由正弦定理，可得sin sin a B A b ==，∴3A π=； （2）由余弦定理，22222cos 21503b a c ac B c c c =+-⇒+-=⇒=，从而11sin 22A BC b b S bc A b h h ==⋅⇒△18．（1）12(2)()n n a n -*=⋅-∈N ；（2）1121312S ==⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 19．（1）21()n a n n *=-∈N ；（2）12． 20．（1）13132,n n n a n n -*=⎧=⎨∈⎩N ≥； （2）111312,3n n n b n n n *-⎧=⎪⎪=⎨-⎪∈⎪⎩N ≥，分类讨论＋错位相减可得1113132112,1243n n n T n n n -*⎧=⎪⎪=⎨+⎛⎫⎪-⋅∈ ⎪⎪⎝⎭⎩N ≥． 21．（1）{3,5,6,7,9,10}；（2）假设存在,i j *∈N ，使得(,)1024S i j =，即11024i i j a a a ++++=，由2n a n =，∴22102422(1)2(1)()(1)2i ji i j j i i j j i +=++++=⋅-+=+-+， ∵i j +与j i -同奇同偶，∴i j +与1j i -+一奇一偶， 又∵1i j <≤，∴3i j +≥，12j i -+≥，而1010242=的正奇因数只有1，矛盾，故不存在,i j *∈N ，使得(,)1024S i j =； （3）由22n a n =-， ∴1(2222)(1)(2)(1)2i i j i j a a a j i i j j i +-+-+++=⋅-+=+--+，∵i j +与j i -同奇同偶，∴2i j +-与1j i -+一奇一偶，又∵1i j <≤，∴21i j +-≥，12j i -+≥，∴(2)(1)2i j j i +--+≥， ①当1i =且2j =时，(2)(1)2i j j i +--+=；②当1i ≠或2j ≠时，此时22i j +-≥，12j i -+≥，(2)(1)i j j i +--+为一个正奇数（大于等于3）与一个正偶数的乘积；由上可知，{2|,22,2,}k T n n n k k **=∈≠∈N N ≥， ∵{2,4,6,8,,2020}有1010个元素，{4,8,16,32,64,128,256,512,1024}有9个元素，∴集合T 中所有小于等于2020的元素个数为101091001-=， 故使得2020m b ≤成立的m 的最大值为1001．。
高一下学期期末考试数学试卷含答案(沪教版)
高一数学下学期期末考试试卷（沪教版）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．考试范围：必修二一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知()1sin 753α+=，则()cos 15α-的值为________． 2．已知(1,0),(5,5)a b ==，则向量b 在向量a 方向上的投影向量的坐标为_______．3．已知向量()1,1a =-，(),2b m =，若存在实数λ，使得a b λ=，则m =___________.4．设复数z 满足i 32i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则Im z =___________．5．已知角α的终边上的一点(4,3)(0)t t t ->，则sin α=________．6．已知单位向量a ，b 满足，则,a b =_________．7．将正弦函数sin y x =的图像向右平移m ()0m >个单位，可以得到余弦函数cos y x =的图象，则m 的最小值为________．8．赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方程”亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的个大正方形，如图是一张弦图已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，若直角三角形较小的锐角为α，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为________．9．已知函数22()2x x x a f x x x a ⎧--≤=⎨-+>⎩，若存在实数0x ，使得对于任意的实数x 都有()0()f x f x ≤成立，则实数a 的取值范围是___________.10．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2210x mx m ++-=的一个虚根，则z 的取值范围是____. 11．函数()212log 23y x x =+-的单调递减区间是_____ ． 12．已知函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈-（其中,a ω为常数，且0>ω）有且仅有三个零点，则ω的取值范围是______．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知a ，b ∈R ，若11:||,||;:||122a b a b αβ<<+<；则α是β的（ ） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件14．下列幂函数在区间(0,)+∞上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是（ ）A ．32y x =B ．23y x =C ．13y x =D ．13y x -= 15．我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角被剪而成，如图所示，该扇面的圆心角为23π，AB 长为403π，CD 长为10π，则扇面ABCD 的面积为（ ）A ．1753πB ．3503πC ．21759πD ．23509π16．函数1|1|1y x =--与|sin 2|,[4,8]y x x =∈-交点的个数是（ ） A ．9B ．10C ．11D ．12三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．已知向量a 、b 的夹角为2,||1,||23a b π==.（1）求a ·b 的值（2）若2a b -和ta b +垂直，求实数t 的值.18．求函数223cos 2sin cos 3222x x x y =+-的值域与单调增区间.19．如图所示，甲船在距离A 港口24海里，并在南偏西20°方向的C 处驻留等候进港，乙船在A 港口南偏东40°方向的B 处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里．（1）求ABC ∠的大小；（2）当乙船行驶20海里到达D 处，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，此时甲、乙两船之间的距离为多少？20．已知复数12cos sin z i θθ=+，21sin z i θ=-，其中i 为虚数单位，R θ∈.（1）当1z 、2z 是实系数一元二次方程20x mx n ++=的两个虚根时，求m 、n 的值.（2）求12z z ⋅的值域.21．随着生活水平的逐步提高，越来越多的人开始改善居住条件，搬家成了生活中经常谈及的话题，在搬运大型家具的过程中，经常需要考虑家具能否通过狭长的转角过道，如果我们能够根据过道的宽度和家具的尺寸，用数学的方法预先判断家具能否转弯，必将为搬运家具提供实用的依据，从而避免因家具尺寸过大而不能转弯的麻烦，有经验的搬运工的做法是∶将家具推进过道的转角，让家具的一侧抵住过道的拐角，然后转动并推进家具，若家具过长或过宽，家具都会卡在过道内，家具将不能转过转角.（1）请你提出一个数学问题，并将你的问题填入答题纸对应题号的方框内；（2）为了解决问题，我们需要作出一些合理的假设∶假设1∶家具呈长方体的形状∶假设2∶转角两侧的过道宽度相同∶假设3∶墙壁是光滑的平面，且地面是水平面；假设4∶家具转动时其侧面始终保持与水平面垂直∶假设5∶过道的转角为直角∶假设6∶忽略家具转动时家具与墙壁､地面的摩擦影响；等等.根据上述假设和你提出的数学问题，画出搬运家具时一个转角过道的示意图，设定相关参数或变量，构建相应的数学模型，并将示意图和建立的数学模型填写在答题纸对应题号的方框内.高一数学下学期期末参考答案（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：4． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．5． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．6． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 考试范围：必修二二、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知()1sin 753α+=，则()cos 15α-的值为________． 【答案】13【分析】由三角函数的诱导公式即可求解.【详解】()()()1cos 15cos 9075sin 753ααα⎡⎤-=-+=+=⎣⎦， 故答案为：13. 2．已知(1,0),(5,5)a b ==，则向量b 在向量a 方向上的投影向量的坐标为_______．【答案】（5，0）【分析】根据定义即可求出投影向量.【详解】b →在a →方向上投影向量为()()5··1,05,01a b a a a ⋅==，所以b →在a →方向上投影向量为（5,0）. 故答案为：（5,0）.3．已知向量()1,1a =-，(),2b m =，若存在实数λ，使得a b λ=，则m =___________.【答案】2- 【分析】由于a b λ=，所以//a b ，从而列方程可得m 的值.【详解】因为a b λ=，则//a b ，所以120m -⨯-=，得2m =-.故答案为：2-.4．设复数z 满足i 32i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则Im z =___________．【答案】－3【分析】利用复数的除法运算化简复数z ，即可求解.【详解】由i 32i z ⋅=+可得：()()()32i i 32i 23i i i i z +⋅-+===-⋅-， 所以Im 3z =-， 故答案为：3-. 5．已知角α的终边上的一点(4,3)(0)t t t ->，则sin α=________． 【答案】35【分析】由三角函数定义即可得到答案. 【详解】因为，t >0，所以()()223333sin 5||5543t t t t t t t α---====-+-. 故答案为：35. 6．已知单位向量a ，b 满足，则,a b =_________． 【答案】π3 【分析】将已知条件两边同时平方，由向量数量积的定义结合1a b ==可得cos ,a b 的值，结合向量夹角的范围即可求解.【详解】因为向量a ，b 是单位向量，所以1a b ==， 由3a b +=可得()23a b+=，即2223a b a b ++⋅=， 所以222cos ,3a b a b a b ++⋅=，所以112cos ,3a b ++=，所以1cos ,2a b =， 因为0,πa b <<，所以,a b =π3， 故答案为：π3. 7．将正弦函数sin y x =的图像向右平移m ()0m >个单位，可以得到余弦函数cos y x =的图象，则m 的最小值为________．【答案】3π2【分析】利用三角函数的诱导公式以及图象的平移变换即可求解.【详解】因为3πcos sin 2y x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 所以正弦函数sin y x =的图像向右平移3π2个单位可得3πsin cos 2y x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 并且此时是将正弦函数sin y x =的图像向右平移最少的单位，所以m 的最小值为3π2， 故答案为：3π2. 8．赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方程”亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的个大正方形，如图是一张弦图已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，若直角三角形较小的锐角为α，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为________．【答案】17- 【分析】结合已知条件设直角三角形两直角边分别为x 、1x +，由勾股定理求出x 的值，进而可得tan α的值，由两角差的正切公式即可求解.【详解】设直角三角形的较小的直角边为x ，则较长的直角边为1x +，因为大正方形的面积为25，所以有正方形的边长为5，每一个直角三角形中由勾股定理可得：()22125x x ++=，即2120x x +-=，解得3x =或4x =-（舍），直角三角形较小的锐角为α，可得3tan 14x x α==+， 所以π3tan tan1π144tan π3471tan tan 1144ααα--⎛⎫-===- ⎪⎝⎭++⨯， 故答案为：17-.9．已知函数22()2x x x a f x x x a ⎧--≤=⎨-+>⎩，若存在实数0x ，使得对于任意的实数x 都有()0()f x f x ≤成立，则实数a 的取值范围是___________.【答案】1a ≥【分析】作出分段函数的图象，再结合图形就可以得到a 的取值范围.【详解】分别作出22y x x =--、2y x =-+的图象中下图所示，由图可以看出当1a ≥时，()f x 有确定的最大值()11f -=，所以这时存在0x ，使得对于任意x 都有0()()f x f x ≤.故答案为：1a ≥.10．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2210x mx m ++-=的一个虚根，则z 的取值范围是____. 【答案】3⎫∞⎪⎪⎝⎭【分析】设z =a +bi ，(a ,b ∈R )，则z a bi =-也是此方程的一个虚根，由方程有虚根可知，判别式为负数，据此可求出m 的范围，再利用根与系数的关系可得2||1z m =-.【详解】设z =a +bi ，(a ,b ∈R )，则z a bi =-也是此方程的一个虚根，z 是关于x 的方程x 2+mx +m 2−1=0的一个虚根，可得()22410m m ∆=--<，即243m >， 则由根与系数的关系，2221z z a b m ⋅=+=-，则23||1z m =-， 所以z 的取值范围是：3⎫∞⎪⎪⎝⎭.故答案为33⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭,+. 【点睛】本题考查实系数多项式虚根成对定理，以及复数的模的求解，属中档题.11．函数()212log 23y x x =+-的单调递减区间是_____ ．【答案】(1,)+∞【分析】先计算定义域，再根据复合函数的单调性求减区间.【详解】()2212log 232301y x x x x x =+-⇒+->⇒>或3x <-12log y x=为减函数，要求()212log 23y x x =+-的单调递减区间 即2()23f x x x =+-的增区间：1x ≥-综上所诉：1x >故答案为(1,)+∞【点睛】本题考查了复合函数的单调性，同增异减.忽略定义域是常犯的错误.12．已知函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈-（其中,a ω为常数，且0>ω）有且仅有三个零点，则ω的取值范围是______．【答案】[2,4)【分析】根据函数在[],ππ-上为偶函数的性质可知x =0为函数的一个零点，求得a =-1，再根据三角函数的图像和性质求得ω的取值范围.【详解】因为函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈-（其中,a ω为常数，且0>ω）有且仅有三个零点，故必有一个零点为x =0，所以101a a +=⇒=-.所以问题等价于函数cos y x ω=与直线y =1的图像在[,]-ππ上有3个交点，如图所示：所以02424ωωπππωω>⎧⎪⇒≤<⎨≤<⎪⎩. 故答案为：[2,4).二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知a ，b ∈R ，若11:||,||;:||122a b a b αβ<<+<；则α是β的（ ） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【分析】根据绝对值不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：①若1||2a <，1||2b <时， 11||||||122a b a b ++<+=，∴充分性成立， ②当2a =-， 2.5b =时，满足||1a b +<，但1||2a <，1||2b <不成立，∴必要性不成立， α是β的充分不必要条件，故选：C ．14．下列幂函数在区间(0,)+∞上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是（ ）A ．32y x =B ．23y x =C ．13y x =D ．13y x -= 【答案】C【分析】利用函数的奇偶性、单调性逐个判断即可得出答案．【详解】解：A ．32y x =的定义域[0，)+∞，为非奇非偶函数，不符合题意；B ．23y x =，定义域为R ，且为偶函数，不符合题意；C ．13y x =，定义域为R ，且为奇函数，且在R 递增，符合题意；D ．13y x -=，在区间(0,)+∞上是严格减函数，不符合题意．故选：C.15．我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角被剪而成，如图所示，该扇面的圆心角为23π，AB 长为403π，CD 长为10π，则扇面ABCD 的面积为（ ）A．1753πB．3503πC．21759πD．23509π【答案】A【分析】依题意分别求得AO，CO，进而由扇形OAB的面积减去扇形OCD的面积可得结果.【详解】根据题意40233AOππ=⋅，则20AO，2103OCπ=⋅，则15OC=，所以扇面ABCD的面积14011752015102323 OAB OCDS S Sπππ=-=⨯⨯-⨯⨯=扇形扇形.故选：A.16．函数1|1|1yx=--与|sin2|,[4,8]y x x=∈-交点的个数是（）A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B【分析】分别作出111yx=--和sin2y x=图象，由数形结合可得结果.【详解】用图形计算器分别作出111yx=--和sin2y x=在[]4,8-上的图象，由图可知两函数图象有10个交点.故选：B.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．已知向量a、b的夹角为2,||1,||23a bπ==.（1）求a ·b 的值（2）若2a b -和ta b +垂直，求实数t 的值.【答案】（1）1-；（2）2.【解析】（1）利用数量积的定义直接计算即可．（2）利用()()20t b a b a +=-可求实数t 的值．【详解】（1）21cos 12132a b a b π⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭． （2）因为2a b -和ta b +垂直，故()()20t b a b a +=-，整理得到：()22220ta t a b b +--=即()12212402t t ⎛⎫+-⨯⨯⨯--= ⎪⎝⎭， 解得2t =．【点睛】本题考查数量积的计算以及向量的垂直，注意两个非零向量,a b 垂直的等价条件是0a b ⋅=，本题属于基础题．18．求函数22sin cos 222x x x y =+的值域与单调增区间. 【答案】值域[-2，2]，增区间52,266k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . 【分析】先利用二倍角公式及辅助角公式将函数的解析式化简，然后由正弦函数的有界性以及单调性求解即可.【详解】函数22sin cos 222x x x y =+cos )sin sin 2sin()3x x x x x π++=+=+ 因为sin()[1,1]3x π+∈-，所以[2,2]y ∈-， 令22232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈， 解得52266k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈， 故函数的增区间为5[2,2]66k k ππππ-++，k Z ∈. 19．如图所示，甲船在距离A 港口24海里，并在南偏西20°方向的C 处驻留等候进港，乙船在A 港口南偏东40°方向的B 处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里．（1）求ABC ∠的大小；（2）当乙船行驶20海里到达D 处，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，此时甲、乙两船之间的距离为多少？【答案】（1）123arcsin 31ABC =∠；（2）21海里． 【分析】（1）由正弦定理可得结果；（2）由余弦定理可得结果.【详解】（1）根据题意知，24AC =，31BC =，204060CAD ∠=︒+︒=︒，在中，由正弦定理得，2431sin sin 60ABC =∠︒，解得123sin ABC ∠= 由AC BC <，知ABC ∠为锐角，所以123ABC =∠ （2）由（1）得2231sin cos 31ABC ABC ∠∠=-=， 在BCD △中，由余弦定理得，22233120231202131CD =+-⨯⨯⨯=（海里）， 所以，此时甲、乙两船之闻的距离为21海里． 20．已知复数12cos sin z i θθ=+，21sin z i θ=-，其中i 为虚数单位，R θ∈.（1）当1z 、2z 是实系数一元二次方程20x mx n ++=的两个虚根时，求m 、n 的值.（2）求12z z ⋅的值域.【答案】（1）2m =-，74n =；（2）732,⎡⎢⎦. 【分析】（1）由于1z 、2z 是方程20x mx n ++=的两个虚根，得出12z z =，求出cos θ的值，再根据根与系数的关系可求出m 、n ；（2）直接求出12z z ⋅的表达式，利用三角函数以及二次函数的性质，求出值域即可.【详解】（1）已知复数12cos sin z i θθ=+，21sin z i θ=-，1z 、2z 是方程20x mx n ++=的两个虚根，所以12z z =，即2cos sin 1sin i i θθθ+=+，所以2cos 1sin sin θθθ=⎧⎨=⎩，所以，1cos 2θ=， 由韦达定理可得()122cos 12m z z θ=-+=--=-，212171sin 1144n z z θ⎛⎫==+=+-= ⎪⎝⎭； （2）()()()()2122cos sin 1sin 2cos sin sin 2sin cos z z i i θθθθθθθθ⋅=+⋅+=-++=====⎦【点睛】方法点睛：三角函数最值的不同求法：①利用sin x 和cos x 的最值直接求；②把形如sin cos y a x b x =+的三角函数化为()sin y A ωx φ=+的形式求最值；③利用sin cos x x ±和sin cos x x 的关系转换成二次函数求最值；④形如2sin sin y a x b x c =++或2cos cos y a x b x c =++转换成二次函数求最值.21．随着生活水平的逐步提高，越来越多的人开始改善居住条件，搬家成了生活中经常谈及的话题，在搬运大型家具的过程中，经常需要考虑家具能否通过狭长的转角过道，如果我们能够根据过道的宽度和家具的尺寸，用数学的方法预先判断家具能否转弯，必将为搬运家具提供实用的依据，从而避免因家具尺寸过大而不能转弯的麻烦，有经验的搬运工的做法是∶将家具推进过道的转角，让家具的一侧抵住过道的拐角，然后转动并推进家具，若家具过长或过宽，家具都会卡在过道内，家具将不能转过转角.（1）请你提出一个数学问题，并将你的问题填入答题纸对应题号的方框内；（2）为了解决问题，我们需要作出一些合理的假设∶假设1∶家具呈长方体的形状∶假设2∶转角两侧的过道宽度相同∶假设3∶墙壁是光滑的平面，且地面是水平面；假设4∶家具转动时其侧面始终保持与水平面垂直∶假设5∶过道的转角为直角∶假设6∶忽略家具转动时家具与墙壁､地面的摩擦影响；等等.根据上述假设和你提出的数学问题，画出搬运家具时一个转角过道的示意图，设定相关参数或变量，构建相应的数学模型，并将示意图和建立的数学模型填写在答题纸对应题号的方框内.【答案】问题见解析，答案见解析（答案不唯一）【分析】（1）作出图形，提出问题：家具长为l ，宽为h ，过道宽为d ，图中DON θ∠=，求出l 的最小值，求矩形的长l 与角度θ的函数关系式()l f θ=，对2d =，1h =时，求这个函数()l f θ=的最小值，（2）利用三角函数知识根据图中的等量关系可求矩形的长l 与角度θ的函数关系式()l f θ=，利用导数求最值解即可.【详解】（1）提出的问题为：如下图，在不同的角度θ()DON ∠下，求l 的最小值，这就是能通过的家具长的最大值，请你求矩形的长l 与角度θ的函数关系式()l f θ=，并对2d =，1h =时，求这个函数()l f θ=的最小值.（2）画出搬运家具时一个转角过道的示意图，如图所示：由图可知：cos cos sin tan d h l h d θθθθ-+=+02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ 所以sin cos cos sin d h d h l θθθθ--=+02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭， 所以矩形的长l 与角度θ的函数关系式为sin cos cos sin d h d h l θθθθ--=+02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭， 当2d =，1h =时，2sin 2cos cos sin l θθθθ--=+02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ ()()()222cos cos sin 2sin sin cos 2cos cos sin l θθθθθθθθθ-⋅-----'=+ ()()2222222sin 1sin 12cos cos 2sin 112cos cos sin cos sin θθθθθθθθθθ-+---=+= ()()3322222sin cos sin cos cos sin θθθθθθ---=()()()()22222sin cos sin sin cos cos sin cos sin cos cos sin θθθθθθθθθθθθ-++--+=()()2222sin cos 2sin 2sin cos 2cos sin cos cos sin θθθθθθθθθθ-++--=()()22sin cos 22sin cos sin cos cos sin θθθθθθθθ-+--=， 因为02πθ<<，所以0sin 1θ<<，0cos 1θ<<，所以2sin cos 0θθ-->，sin cos 0>θθ，可得2222sin cos sin cos 0cos sin θθθθθθ+-->， 由0l '>即sin θcos θ0，解得：42ππθ<<，由0l '<即sin cos 0θθ-<，解得：04πθ<<， 所以2sin 2cos cos sin l θθθθ--=+在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以当4πθ=时，min 2sin2cos 44222cos sin 44l ππππ--⎛⎛=+== ⎝⎭⎝⎭， 所以2d =，1h =时，函数()l f θ=的最小值为2.。
上海重点中学2011-2012学年下学期高二年级期末考试数学试卷(理科)
上海重点中学2011-2012学年下学期高二年级期末考试数学试卷（理科）本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 抛物线2x y =的准线方程是 ．2. 方程222424x xC C =的解为 ． 3. 在5(31)x -的展开式中，设各项的系数和为a ，各项的二项式系数和为b ，则ab= ． 4. 若圆锥的侧面展开图是半径为2、圆心角为90︒的扇形，则这个圆锥的全面积是 ．5. 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 种．6. 将4个不同的球任意放入3个不同的盒子中，则每个盒子中至少有1个球的概率为 ．（结果用最简分数表示）7. 已知123F i j k =+- ，223F i j k =-+- ，3345F i j k =-+ ，若1F 、2F 、3F共同作用于一个物体上，使物体从点1M （1，-2，1）移到点2M （3，1，-2），则合力所做的功为 .8. 抛物线24y x =的准线与x 轴的交点为K ，抛物线的焦点为F ，M 是抛物线上的一点，且||2||FM FK =，则△MFK 的面积为 ．9. 在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是 ．10. 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第14与第15个数的比为3:2．11. 边长分别为a 、b 的矩形，按图中所示虚线剪裁后，可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面，其余恰好拼接成该正四棱锥的4个侧面，则ba的取值范围是 ．12. 已知平面α截一球O 得圆M ，圆M 的半径为r ，圆M 上两点A 、B 间的弧长为2rπ，又球心O 到平面α的距离为r ，则A 、B 两点间的球面距离为 ．13. 若对于任意实数x ，都有()()()()2344012342222x a a x a x a x a x =++++++++，则3a 的值为 ．14. 给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色． 当4n ≤时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如图所示：由此推断，当6n =时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种． （直接用数字作答）二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.15. 经过原点且与抛物线23(1)4y x =+-只有一个公共点的直线有多少条？ ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 316. 正四面体ABCD 的表面积为S ，其中四个面的中心分别是E 、F 、G 、H .设四面体EFGH 的表面积为T ，则TS等于 ( ) A.49 B. 19 C. 14 D. 1317. 甲乙两人一起去游园，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 ( ) A.136 B. 19 C. 536D. 1618. 给出下列四个命题：（1） 若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ； （2） 两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线；（3） 两条异面直线中的一条平行于平面α，则另一条必定不平行于平面α； （4） a 、b 为异面直线，则过a 且与b 平行的平面有且仅有一个．其中正确命题的个数是 （ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须写出必要的步骤 . 19．（本题满分12分）已知矩形ABCD 内接于圆柱下底面的圆O ，PA 是圆柱的母线，若6AB =，8AD =，异面直线PB 与CD 所成的角为arctan 2，求此圆柱的体积．20．（本题满分14分）本题共有4个小题，第1小题满分3分，第2小题满分3分，第3小题满分4分，第4小题满分4分．m 个元素环绕在一条封闭曲线上的排列，称为环状排列．已知m 个不同元素的环状排列的所有种数为(1)!m -．请利用此结论来解决下列问题，要求列式并给出计算结果．（1）从10个不同的元素中选出8个元素的环状排列的所有种数为多少？（2）某班8个班干部中有1个班长，2个副班长，现在8个干部围坐一张圆桌讨论班级事务，则分别满足下列条件的此8人的坐法有多少种？ （i ）班长坐在两个副班长中间； （ii ）两个副班长不能相邻而坐； （iii ）班长有自己的固定座位．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 ．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AP AB ==，4AD =，E F 、依次是PB PC 、的中点．（1）求直线EC 与平面PAD 所成的角(结果用反三角函数值表示)； （2）求三棱锥P AFD -的体积.22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ，1BB PN ⊥交1CC 于点N ．（1）求证：MN CC ⊥1；（2）在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明． （3）在（2）中，我们看到了平面图形中的性质类比到空间图形的例子，这样的例子还有不少．下面请观察平面勾股定理的条件和结论特征，试着将勾股定理推广到空间去．勾股定理的类比三角形ABC四面体O -ABC条件 AB ⊥AC OA 、OB 、OC 两两垂直 结论AB 2+AC 2=B？C 2请完成上表中的类比结论，并给出证明．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点． 已知曲线C 上任意一点(,)P x y （其中0x ≥）到定点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离大1． （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）若过点(1,0)F 的直线l 与曲线C 相交于A 、B 不同的两点，求OA OB ⋅的值；（3）若曲线C 上不同的两点M 、N 满足0OM MN ⋅=，求ON 的取值范围．上海重点中学2011-2012学年下学期高二年级期末考试数学试卷（理科）参考答案一、填空题（本大题满分56分）1.14 y=-2. 0，2，43. 14.5 4π5. 106.234344 39 C P=7. 48.9. 1 310. 3411.1 (,) 2+∞12.13. -814. 21；43二、选择题（本大题满分20分）15. D16. B17. D18. C三、解答题（本大题满分74分）19．（本题满分12分）解：设圆柱下底面圆O的半径为r，连AC，由矩形ABCD 内接于圆O ，可知AC 是圆O 的直径，……2分于是210r AC ==，得5r =，……………4分 由AB ∥CD ，可知PBA ∠就是异面直线PB 与CD 所成的角， 即arctan 2PBA ∠=，故tan 2PBA ∠=.………………7分 在直角三角形PAB 中，tan 12PA AB PBA =∠=，…………9分 故圆柱的体积22512300V r PA =π⋅=π⨯⨯=π.……………12分 20．（本题满分14分）解：（1） 8107!226800C ⋅=----------------------3分（2-i ） 225!240P ⋅= ----------------------6分（2-ii ） 间接法：227!6!3600P -⋅=；插空法：265!3600P ⋅=----------------------10分 (2-iii ) 7!5040= ----------------------14分 21．（本题满分14分）(1)解法一：分别以AB AD AP 、、为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，各点坐标分别是(0 0 0)A ，，，(2 0 0)B ，，，(2 4 0)C ，，，(0 4 0)D ，，，(0 0 2)P ，，，∴(1 0 1)E ，，，(1 2 1)F ，，，(1 4 1)EC =-，，， （2分）又∵AB ⊥平面PAD ，∴平面PAD 的法向量为(2,0,0)n AB ==， （4分）设直线EC 与平面PAD 所成的角为α，则sin||||EC nEC nα⋅===⋅（6分）∴直线EC与平面PAD所成的角为. （7分）解法二：∵PA⊥平面ABCD，∴CD PA⊥，又CD A D⊥，∴CD⊥平面PAD，取PA中点G，CD中点H，联结EG GH GD、、，则EG AB CD////且1=12EG AB=，EGHC∴是平行四边形，∴HGD∠即为直线EC与平面PAD所成的角. （3分）在Rt GAD∆中，GD=在Rt GHD∆中，tanHDHGDGD∠==，（6分）∴直线EC与平面PAD所成的角为. （7分）(2)解法一：由（1）解法一的建系得，(1 2 1)AF=，，，(0 4 0)AD=，，，设平面AFD的法向量为(,,)n x y z=，点P到平面AFD的距离为d，由0AF n⋅=，0AD n⋅=得20x y z++=且40y=，取1x=得(1,0,1)n=-，（9分）∴AP ndn⋅===（11分）又AF FD==2AFDS==△（13分）∴1433P AFDV-=⨯=. （14分）解法二：易证PE即为三棱锥P AFD-底面上的高，且PE=（11分）底面AFD△边AD上的高等于AE，且AE=AFDS=△（13分）1144323P AFDV-=⨯⨯=. （14分）解法三：依题意，//EF平面PAD，∴P AFD F PAD E PAD D PAEV V V V----===（11分）11114224322123D PAEV PA AB AD-=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=. （14分）22．（本题满分16分）(1)证：MN CC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ；（4分）(2)解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=，其中α为平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角. （7分）∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MN P ∠，在PMN ∆中，2222cos PM PN MN PN MN MNP =+-⋅∠⇒MNP CC MN CC PN CC MN CC PN CC PM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222，由于111111111,,BB PM S CC MN S CC PN S A ABB A ACC B BCC ⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=. （10分） （3）空间勾股定理的猜想：已知四面体O -ABC 的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，则有2222OAB OAC OBC ABC S S S S ∆∆∆∆++=.（13分） 证法一：作OD ⊥AB ，垂足为D ，连结CD22222222221111()4444ABC S AB CD AB OC OD AB OC AB OD ∆=⋅⋅=⋅⋅+=⋅⋅+⋅⋅ 222222222222111()444AOB AOB AOC COB AOB OA OB OC S OA OC OB OC S S S S ∆∆∆∆∆=⋅+⋅+=⋅⋅+⋅⋅+=++ （16分） 证法二：作OH ⊥平面ABC ，垂足为H ，易得H 为△ABC 的垂心。
2011-2012学年度第二学期高一期末试题
2011-2012学年度第二学期高一数学期末测试题一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求，把正确选项写在表格中。
1.对于0,1a a >≠，下列说法中，正确的是（ ）①若M N =则log log a a M N =；②若log log a a M N =则M N =；③若22log log a a M N =则M N =④若M N =则22log log a a M N =A 、①②③④B 、①③C 、②④D 、② 2.与角︒-22终边相同的角的集合是( );A },9022|{Z k k x x ∈︒⋅+︒-= B.},18022|{Z k k x x ∈︒⋅+︒-= C },27022|{Z k k x x ∈︒⋅+︒-= D.},36022|{Z k k x x ∈︒⋅+︒-= 3.设角α的终边经过点)1,3(-，则ααtan cos +等于( );A.231+-B.231--C.63D.63-4.已知角α的终边经过点),2(a ，且54s i n -=α，则a 的值为( ); A.38 B.38- C.83± D.83-5.函数y =）A )43,21(- B ]43,21[- C ),43[]21,(+∞⋃-∞ D ),0()0,21(+∞⋃- 6.如果θsin 与θcos 同号，则角θ所在的象限为( );A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D.第二、四象限 7.0.540.5log 4,log 5,log 3的大小关系 （ ）A ．0.50.54log 3log 4log 5<< B.0.50.54log 4log 3log 5<< C ．40.50.5log 5log 4log 3<< D.0.540.5log 4log 5log 3<<8.当a>1,在同一坐标系中，函数y=a -x 和y=log a x 的图象是（ ）9.若角α是钝角三角形中的最大角，则化简ααααcos sin 1sin cos 122-+-的结果为( );A.0B.1C.2D.2-10.已知21tan =α，则ααααsin 4cos 3sin 4cos -+等于( );A.3B.12-C.3-D.2111.函数x x x f cos ||)(+=是( );A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数12.下列命题中正确的是( ). A.x y cos =在第一象限是增函数 B.x y cos =在]0,[π-上是增函数C.x y sin =是增函数D.x y sin =和x y cos =在第二象限都是减函数二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上。
上海重点中学2011-2012学年度第二学期期末考试高一数学试题缺答案
上海重点中学2011学年度第二学期高一数学期终试卷（满分100分，90分钟完成，允许使用计算器，答案一律写在答题纸上）•填空题（共14小题，每小题3分）：1.已知sin 1122 .在. ABC 中，若tan A 2，则sin A 二33.函数y= —+arcsinx的反函数是2设3』为等差数列，若a1 a5 - a^ ■■:,则tan® - a8）的值为4.5.若{a n} 是等比数列，a1=8, a4=1，贝V a2+ a 4+ a 6+ a 8=6. 1 _a n42*用数学归纳法证明等式：1 ■ a ■ a^' :;i'a n 1( a = 1 ,n・N*),验证n=11 -a时，等式左边=7.若动直线x = a与函数f（x）二si nx和g（x）二cosx的图像分别交于M,N两点，则MN的最大值为& 8 .若S n为等比数列：a n?的前n项和，8a2 a^ = 0，则=S32 S29.设S n为数列｛a n｝的前n项和，若不等式a n2 - - ma2对任意等差数列｛a.｝及任意正n整数n都成立，则实数m的最大值为10.根据所示的程序框图（其中[x]表示不大于x的最大整数），输出r =(C )充分条件. (D )既不充分也不必要条件16.在等比数列:a n 中, =1，公比 q 式1.a =(A ) 9(B ) 10(C ) 11(D ) 12m <-(na]* [ /输単F /11 •已知等比数列｛a n ｝的首项a^1，公比为q (q>0 ), &为｛a .｝的前n 项和，则n泪1_x12•当0w x w 1时，不等式sin - > kx 成立，则实数k 的取值范围是^213・已知等差数列｛a .｝的首项及公差均为正数， 令b n =」a n • . a 2012』(n ・N *,n ：：：2012)，当b k 是数列｛b n ｝的最大项时，k= _________ .14.某同学对函数f (x)二xcosx 进行研究后，得出以下五个结论：(1)函数y 二f (x)的图像是中心对称图形；(2)对任意实数x ，| f (x) |_|x|均成立；(3)函数y = f(x)的图像与x 轴有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；(4)函数y 二f (x)的图像与直线 y = x有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；(5)当常数k 满足|k| 1时，函数y 二f (x) 的图像与直线y=kx 有且仅有一个公共点，其中所有正确结论的序号是二.选择题(共 4小题，每小题 3分)：CWI| a ” J^*b « 护仝11兀15.“x k Z4(A )充分不必要条件.”是“ tan x = 1 ”成立的 (B ) 必要不充分条件•17•已知 W R ,函数f (x) = 2sin wx ，在|_工-1上递增，则( )! 3,4J324(A ) 0 ::: W( B ) 0：：：W 二 2 (C ) 0 ::: W( D ) w - 218.已知存在正整数p 、q 、r (p<q<r ),使得非常数等差数列｛a n ｝中，第p 、q 、r 项成等比()(A)45 (B)63 (C)64(D)2012三、解答题(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间; (2)若f(x) _log 2t 恒成立，求t 的取值范围20. (本题 10 分)在厶 ABC 中，.A 二-,BC =1.3(1 )若• B = n，求AC 的长；4(2 )若厶ABC 的周长为、21，求.ABC 的值•21. (本题12分)设数列｛a n ｝的通项公式为a n 二pn q(N ,P 0).数列｛b n ｝定义如 下：对于正整数 m b m 是使得不等式a^m 成立的所有n 中的最小值.11(1)右 p ,q，求 th ;数列，第 2p 、2q 、2r 项也成等比数列，则使2012------ :：: 1成立的最小正整数a1 ■ a^'an19.(本题10分)已知函数f (x) sin2x2cos2x 1.2 3(2)若p =2,q = -1，求数列｛b m｝的前2m项和公式；(3)是否存在p和q,使得b m =3m - 2(m N ) ?如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由22.（本题14分）对于给定首项X o池a（a〉0 ），由递推式x n+= 1 f x^ —|（n€ N* ）2I Y人丿得到数列｛x n ｝，且对于任意的n壬N ,都有X n > 3a，用数列｛x j可以计算药的近似值.（1）取X。
上海重点中学2012学年高一第二学期数学期末考试(试卷含答案)
12012学年度第二学期高一年级数学期末考试试卷 2013.6命题： 审卷： 打印：1. 若sin cos 1α⋅β=，则cos sin α⋅β=_______________.2. 设12,x x 是方程233sincos 055x x -π+π=的两解，则12arctan arctan x x +=________. 3. 000sin 20sin 40sin80⋅⋅= .4. 公差为d ，各项均为正整数的等差数列{}n a 中，若11,73n a a ==，则n d +的最小值等于 ．5. 解方程x +log 2(2x-31)=5__________________。
6. 若tan θ＝－2，则θ+θ-θ2cos 12sin 2cos ＝______________ 7. 函数y=arcos(21－x 2)的值域是_______________． 8. 在ABC ∆中，若tan A tan B =tan A tan C +tanctan B ，则 222cb a += . 9. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-=x xπx πx x f ，则f (x )的最小值为_____ 10. 设()cos 22(1cos )f x x a x =-+的最小值为12-，则a =_____________．11. 已知a >0且a ¹1，试求使方程有解的k 的取值范围是___。
12. 设t s r ,,为整数，集合}0,222|{r s t a a tsr<<≤++=中的数由小到大组成数列}{n a ： ,14,13,11,7，则=36a 。
二、选择题13. 设f(x)=x 2－πx, α=arcsin31, β=arctan 45, γ=arcos(－31), δ=arccot(－45)，则（ ） A ．f(α)>f(β)>f(δ)>f(γ) B ．f(α)>f(δ)>f(β)>f(γ)C ．f(δ)>f(α)>f(β)>f(γ)D ．f(δ)>f(α)>f(γ)>f(β)14. 已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4(n ≥1)，且a 1=9，其前n 项之和为S n 。
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上海重点中学2011学年度第二学期
高一数学期终试卷
（满分100分，90分钟完成，允许使用计算器，答案一律写在答题纸上）
一．填空题（共14小题，每小题3分）： 1. 已知sin 2m πα⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
，则()cos πα-= . 2．在ABC ∆
中，若tan 3
A =，则sin A = . 3.函数y=
2
π
+arcsinx 的反函数是 . 4．设{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28tan()a a +的值为5．若{}n a 是等比数列，a 1=8，a 4=1，则a 2+ a 4+ a 6+ a 8= . 6．用数学归纳法证明等式：a
a a a a n n --=++++++11121
2
（1≠a ，*N n ∈），验证1=n 时，等式左边= .
7．若动直线x a =与函数x x f sin )(=和x x g cos )(=的图像分别交于N M ,两点，则MN 的最大值为 .
8．8．若n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则
6
3
S S = . 9.设n S 为数列}{n a 的前n 项和，若不等式21222
m a n
S a n
n
≥+对任意等差数列}{n a 及任意正整数n 都成立，则实数m 的最大值为 .
10.根据所示的程序框图（其中[]x 表示不大于x 的最大整数），输出r = .
11．已知等比数列}{n a 的首项11=a ，公比为q （0>q ），n S 为}{n a 的前n 项和，则
1
lim
+∞→n n
n S S = .
12．当0≤x ≤1时，不等式2
sin
x
π≥kx 成立，则实数k 的取值范围是 ．
13.已知等差数列}{n a 的首项及公差均为正数，令)2012,(*2012<∈+=-n N n a a b n n n ，当k b 是数列}{n b 的最大项时，k=__________.
14.某同学对函数x x x f cos )(=进行研究后，得出以下五个结论：(1)函数)(x f y =的图像是中心对称图形；(2)对任意实数x ，|||)(|x x f ≤均成立；(3)函数)(x f y =的图像与x 轴有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；(4)函数)(x f y =的图像与直线x y =有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；(5)当常数k 满足1||>k 时，函数)(x f y =的图像与直线kx y =有且仅有一个公共点，其中所有正确结论的序号是 . 二．选择题（共4小题，每小题3分）:
15．“()2
4
x k k Z
π
π=+∈”是“tan 1x =”成立的 （ ）
（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充分条件. （D ）既不充分也不必要条件.
16.在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m= （ ） （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12
17．已知W ∈R ＋
，函数wx x f sin 2)(=，在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-4,3ππ上递增，则 （ ） （A ）230≤
<W （B ）20≤<W （C ）7
240≤<W （D ）2≥w 18.已知存在正整数p 、q 、r （p<q<r ），使得非常数等差数列{}n a 中，第p 、q 、r 项成等比数列，第2p 、2q 、2r 项也成等比数列，则使
1212012
<+++n
a a a a 成立的最小正整数n 为 ( )
(A)45 (B)63 (C)64 (D)2012 三、解答题
19.（本题10分）已知函数1()sin 22122
f x x x =
-+. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （2）若2()log f x t ≥恒成立，求t 的取值范围.
20.（本题10分）在△ABC 中，3
π
=∠A ，1=BC . （1）若4
π
=
∠B ，求AC 的长； （2）若△ABC 的周长为12+，求ABC ∠的值.
21.（本题12分）设数列{}n a 的通项公式为(,0)n a pn q n N P *=+∈>. 数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值. （1）若11
,23
p q =
=-，求3b ； （2）若2,1p q ==-，求数列{}m b 的前2m 项和公式；
（3）是否存在p 和q ，使得32()m b m m N *
=+∈？如果存在，求p 和q 的取值范围；如果不存在，请说明理由.
22.（本题14
分）对于给定首项)00x a >>
，由递推式112n n x x +⎛=
⎝
()*n ∈N 得到数列{}n x ，且对于任意的*
n ∈N ,
都有n x >{}n x
(1) 取05x =，100a =，计算123,,x x x 的值（精确到0.01），归纳出n x ，1n x +的大小关系； (2) 当1n ≥时，证明()111
2
n n n n x x x x +--<
-； (3) 当[]05,10x ∈时，用数列{}n x
要求4110n n x x -+-<，请你估计n ，并说明理由．。