高三数学下学期全国统一联合考试(3月)试题理(无答案)

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2020届河北省高三下学期3月联合考试数学(理)试题(解析版)

2020届河北省高三下学期3月联合考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{|{|19}A x y B x x ===<≤，则()A B =R I ð（）A ．(1,3)B ．(3,9)C ．[3,9]D ．∅【答案】A【解析】求函数定义域求得集合A ，由此求得()R A B ⋂ð. 【详解】因为{|3}A x x =≥，所以()(1,3)R A B ⋂=ð. 故选：A 【点睛】本小题主要考查集合交集、补集的概念和运算，属于基础题. 2．已知复数552iz i i=+-，则||z =（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用复数除法、加法运算，化简求得z ，再求得z 【详解】55(2)551725i i i z i i i i +=+=+=-+-，故||z ==故选：B 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.3．已知向量a =r（0，2），b =r（x ），且a r与b r的夹角为3π，则x ＝（） A ．﹣2 B ．2C ．1D ．﹣1【答案】B【解析】根据平面向量数量积的定义和平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】∵向量a =r（0，2），b =r（x ），且a r与b r的夹角为3π，故选：B 【点睛】本题考查了平面向量的数量积的定义和坐标表示公式的应用，考查了数学运算能力.4．若双曲线C ：221x y m-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（）A ．49B ．94C ．23D ．32【答案】A【解析】根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得m 的值. 【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为()0y x m m =±>，320x y +=可化为32y x =-，则32m =，解得49m =. 故选：A 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.5．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P -ABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（）A ．PA ，PB ，PC 两两垂直 B ．三棱锥P -ABC 的体积为83C ．||||||6PA PB PC ===D ．三棱锥P -ABC 的侧面积为35【答案】C【解析】根据三视图，可得三棱锥P -ABC 的直观图，然后再计算可得. 【详解】解：根据三视图，可得三棱锥P -ABC 的直观图如图所示，其中D 为AB 的中点，PD ⊥底面ABC . 所以三棱锥P -ABC 的体积为114222323⨯⨯⨯⨯=， 2AC BC PD ∴===，2222AB AC BC ∴=+=，||||||2DA DB DC ∴===()22||||||226,PA PB PC ∴===+=222PA PB AB +≠Q ，PA ∴、PB 不可能垂直，即,PA ,PB PC 不可能两两垂直，1222222PBAS ∆=⨯=Q ()22161252PBC PAC S S ∆∆==-=Q ∴三棱锥P -ABC 的侧面积为2522故正确的为C. 故选：C. 【点睛】本题考查三视图还原直观图，以及三棱锥的表面积、体积的计算问题，属于中档题. 6．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm ）服从正态分布()280,5N ，则直径在(]75,90内的概率为（）附：若()2~,X Nμσ，则()0.6826P X μσμσ-<+=…，()220.9544P X μσμσ-<+=….A ．0.6826B ．0.8413C ．0.8185D ．0.9544【答案】C【解析】根据服从的正态分布可得80μ=，5σ=，将所求概率转化为()2P X μσμσ-<≤+，结合正态分布曲线的性质可求得结果.【详解】所以()()185900.95440.68260.13592P X <=⨯-=…，()75900.68260.13590.8185P X <=+=….故果实直径在(]75,90内的概率为0.8185. 故选：C 【点睛】本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题.7．将函数f （x ）＝3sin （﹣3x 6π+）﹣2的图象向右平移6π个单位长度得到函数g （x ）的图象，若g （x ）在区间[18π-，θ]上的最大值为1，则θ的最小值为（）A ．3πB ．12π C ．18π D ．6π 【答案】C【解析】根据正弦型函数的平移解析式的变化规律求出函数g （x ）的解析式，再根据正弦型函数的单调性进行求解即可. 【详解】将函数f （x ）＝3sin （﹣3x 6π+）﹣2的图象向右平移6π个单位长度得到函数g （x ）的图象，则g （x ）＝3sin [﹣3（x 6π-）6π+]﹣2＝3sin （﹣3x 26ππ++）﹣2＝3cos （﹣3x 6π+）﹣2＝3cos （3x 6π-）﹣2， ∵x ∈[18π-，θ]，∴3x ∈[6π-，3θ]，∴3x 6π-∈[3π-，3θ6π-]， ∵g （x ）在区间[18π-，θ]上的最大值为1，∴角3θ6π-大于等于0，即3θ6π-≥0，即θ18π≥，即θ的最小值为18π，故选：C 【点睛】本题考查了正弦型函数平移变换规律，考查了正弦型函数的单调性的应用，考查了数学8．函数()2ln xf x x x=-的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数()f x 的奇偶性和单调性，排除错误选项，从而得出正确选项. 【详解】因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，排除C 和D.当0x >时，()2ln x x f x x =-，()332ln 1'x x f x x=+-，令()'0f x <，得01x <<，即()f x 在()0,1上递减；令()'0f x >，得1x >，即()f x 在()1,+∞上递增.所以()f x 在1x =处取得极小值，排除B. 故选：A 【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，属于中档题.9．设不等式组030x y x y +≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，若从圆C ：224x y +=的内部随机选取一点P ，则P 取自Ω的概率为（） A ．524B ．724C ．1124D ．1724【答案】B【解析】画出不等式组表示的可行域，求得阴影部分扇形对应的圆心角，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率.作出Ω中在圆C 内部的区域，如图所示，因为直线0x y +=，30x -=的倾斜角分别为34π，6π，所以由图可得P 取自Ω的概率为3746224πππ-=.故选：B 【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，考查线性可行域的画法，属于基础题.10．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是 A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,1【答案】A【解析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(),0-∞上是减函数，由此可将不等式化为121ax -≤+≤；利用分离变量法可得31a x x -≤≤-，求得3x-的最大值和1x-的最小值即可得到结果. 【详解】()()f x f x =-Q ()f x ∴为定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称又()f x 在()0,∞+上是增函数 ()f x ∴在(),0-∞上是减函数()()21f ax f +≤-Q 21ax ∴+≤，即121ax -≤+≤121ax -≤+≤Q 对于[]1,2x ∈恒成立 31a xx∴-≤≤-在[]1,2上恒成立312a ∴-≤≤-，即a 的取值范围为：3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.11．已知直线y ＝k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，直线y ＝2k （x ﹣2）与抛物线D ：y 2＝8x 交于M ，N 两点，设λ＝|AB |﹣2|MN |，则（） A ．λ＜﹣16 B ．λ＝﹣16C ．﹣12＜λ＜0D ．λ＝﹣12【答案】D【解析】分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得244AB k =+，244AB k=+，然后计算，可得结果. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，联立()2222212404y k x k x k x k y x=-⎧⇒-++=⎨=⎩（）则212222442k x x k k++==+，因为直线()1y k x =-经过C 的焦点，所以12244x x kA pB =++=+. 同理可得228MN k=+，所以41612λ=-=- 故选：D. 【点睛】本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。

浙江省部分重点中学高三下学期3月联考数学(理)试题.pdf

第6　物态变化考纲要求备考指津1.能说出生活环境中的常见温度值。

了解体温计的工作原理。

会测量温度。

2．能区别六种物态变化，能描述六种物态变化的基本特征和条件，并能用这些知识解释生活中的相关现象。

3．能设计实验探究物态变化过程，能从实验数据和现象归纳科学结论。

由于中考注重对实验操作能力和应用知识能力的考查，因而液体温度计的使用、物态变化的实验及现象、对各种物态变化现象的解释等是中考的热点。

预计在今后的中考中涉及的内容会更加注意联系与人们生产和生活关系密切的自然现象。

题目形式活泼、新颖，数理结合，会逐渐从物态变化知识解释自然现象过渡到利用物态变化知识解决实际问题，考查学以致用的能力。

考点1　温度计 (1)温度 ①定义：温度表示物体的冷热程度。

②摄氏温度：用符号t表示，单位是摄氏度，单位符号为℃。

摄氏温度是这样规定的：在标准大气压下，把冰水混合物的温度规定为0 ℃，把沸水的温度规定为100 ℃，在0 ℃和100 ℃之间分成100等份，每一等份是摄氏温度的一个单位，叫做1摄氏度。

(2)温度计 ①原理：常用温度计是利用液体的热胀冷缩的性质制成的。

②构造：常用温度计的基本构造有：玻璃管、玻璃泡、测温液体、刻度、温标等。

③使用：估：测量前，先估计被测物体的温度；选：根据估计选择合适量程的温度计；认清温度计的量程和分度值，被测温度不能超过温度计的量程；放：测量时要将温度计的玻璃泡浸没入被测液体，不要碰到容器壁和容器底；读：待温度计的示数稳定后读数，读数时，玻璃泡要停留在被测液体中，视线必须与温度计液柱的上表面相平；记：记录测量结果后，取出温度计，测量结果包括数值和单位。

④体温计的测量范围是35～42_℃，分度值是0.1_℃；可以离开人体读数，使用前要甩几下。

⑤实验室温度计、体温计、寒暑表的异同：实验室温度计体温计寒暑表原理液体的热胀冷缩测温液体煤油、水银、酒精等水银煤油、酒精量程－20～110℃35～42 ℃－30～50 ℃分度值1_℃0.1_℃1_℃构造玻璃泡上部是均匀细管金属泡与毛细管间有一段细而弯的“缩口”玻璃泡上部是均匀细管使用方法不能离开被测物体读数，不能甩使用前要甩几下，可离开人体读数放在被测环境中直接读数，不能甩考点2　熔化和凝固 (1)熔化和凝固是两个互逆的物态变化过程：物质从固态变成液态的过程叫熔化，物质从液态变成固态的过程叫凝固。

华大新高考联盟2023届高三下学期3月教学质量测评理科数学试题

华大新高考联盟2023届高三下学期3月教学质量测评理科数学试题一、单选题 1．若集合{}210Axx a x a =-+-<，集合{}11B xx =-<，满足{}12A B x x ⋂=<<的实数a 的取值范围是（） A ．3a < B ．3a ≤ C ．3a>D ．3a≥2．已知复数z 满足()()342i i 1z z +=+-，其中z表示z 的共轭复数，则复数z 的虚部是（） A ．1B ．iC ．3-D ．3i -3．党的二十大于2022年10月16日在北京召开，二十大报告中提出：积极稳妥推进碳达峰碳中和，立足我国能源资源禀赋，坚持先立后破，有计划分步骤实施碳达峰行动，深入推进能源革命，加强煤炭清洁高效利用，加快规划建设新能源体系，积极参与应对气候变化全球治理．在碳达峰碳中和背景下，光伏发电作为我国能源转型的中坚力量发展迅速．某村计划安装总装机容量为200千瓦的光伏发电机，经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电800度，若该村有村民300户，从中随机抽取50户，得到其年用电量情况如直方图所示，根据直方图可得下列说法正确的是（）A ．全村年用电量的众数一定是500度B ．抽取50户用电量的中位数小于其平均数C ．根据50户用电量的平均值可以估计计划安装的光伏发电机组够全村用电D ．全村用电量为[)400,600度的概率约为0.0015 4．如图，在已知直四棱柱1111A B C DA B C D -中，四边形A B C D 为平行四边形，,,,E MN P分别是111,,,B C B B A D A A 的中点，以下说法错误的是（）A ．若1B C=，1A A =1D PBC ^B ．//M NCD C ．//M N 平面1C DE D ．若A BB C=，则平面11A A C C⊥平面1A B D5．将函数()2s in 21f x x =-图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，并沿x 轴向左平移π06ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度，再向下平移1个单位长度得到()g x 的图象．若对于任意的π,04x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()g x 的最大值可能是（）A ．3-B ．2-C ．1D ．26．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列{}n a 本身不是等差数列，但从{}n a 数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列{}n b （则称数列{}n a 为一阶等差数列），或者{}n b 仍旧不是等差数列，但从{}n b 数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列{}n c （则称数列{}n a 为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1,1,2,8,64,⋅⋅⋅是一阶等比数列，则该数列的第8项是（） A ．52B ．2C ．212D ．2827．已知定义域为()0,∞+的函数()f x 满足()1()1f x xf x x'+=+，()10f '=，()1122gx a a x x=+--，若01a <<，则()()f x gx -的极值情况是（）A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值，又有极小值D ．既无极小值，也无极大值8．过抛物线()220xp yp =->的焦点F 且倾斜角为5π6的直线l 与抛物线在第三象限交于点P ，过点P 的切线与y 轴交于点M ，则下列说法正确的是（） A．直线MP B ．△M P F为等边三角形C ．点P 的横坐标为定值12-D ．点M 与点F 关于x 轴对称9．在三棱锥D A B C-中，A B C是以AC 为底边的等腰直角三角形，D A C △是等边三角形，A C=BD 与平面ADC2，则三棱锥DA B C-外接球的表面积是（） A ．8πB ．12πC ．14πD ．16π10．已知函数()41,0141,02xx x f x x ⎧+-≤⎪=⎨⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎩，关于x 的方程()()()22110fx t fx t+-+-=有6个不等实数根，则实数t 的取值范围是（） A．7,52⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．73,,52⎡⎫⎛⎫-∞--+∞⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎣⎭C．7,52⎛--⎝⎦D ．73,,1522⎛⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭11．在正三棱柱111A B CA B C -中，若A 点处有一只蚂蚁，随机的沿三棱柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同，设蚂蚁移动n 次后还在底面A B C 的概率为n P ，有如下说法：①112P =；②21325P =；③12nP ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列；④11111052n n P -⎛⎫=-⨯-+⎪⎝⎭，其中说法正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．412．已知,P Q 是双曲线()222210,0x y a b ab-=>>上关于原点对称的两点，过点P 作P Mx⊥轴于点M ，M Q 交双曲线于点N ．设直线P Q 的斜率为k ．则下列说法错误的是（） A ．k 的取值范围是b b k a a-<<且0k≠B ．直线M N 的斜率为2kC ．直线P N 的斜率为222b k aD ．直线P N 与直线Q N 的斜率之和的最小值为ba二、填空题13．若,x y 满足约束条件2030630x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则23z x y =+-的最大值为______．14．已知实数a ，b 满足423a a +=，22lo g 3b =，则32ab +=__________． 15．在A B C中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c．若c =，2b=，π3C=，A D 是B C边上的高线，点D 为垂足．点E 为线段B D 上一点，点B 关于直线A E 的对称点为点M．从四边形B A C M 中任取一点，该点来自A B C的概率记为()P A ，则()P A 的最小值为______． 16．已知,A B 是圆22:4Ox y+=上的两点，π3A O B∠=，记O Aa=，O Bb=，向量()c a b ⊥+，若实数x 满足()()6a x c x c b +⋅-≤，则a x cxc b++-的最大值为______．三、解答题 17．已知A B C中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若5c=，22co s ac B b=+．(1)求角C ；(2)若点D 在AB 边上，且满足:3:2A DB D =，当A B C的面积最大时，求CD 的长．18．某地区区域发展指数评价指标体系基于五大发展理念构建，包括创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个一级指标．该地区区域发展指数测算方法以2015年作为基期并设指数值为100，通过时序变化，观察创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分领域指数值的变动趋势．分别计算创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分指数，然后合成为该地区区域发展总指数，如下图所示．若年份x （2015年记为1x =，2016年记为2x=，以此类推）与发展总指数y 存在线性关系．(1)求年份x 与发展总指数y 的回归方程；(2)若规定发展总指数大于115的年份为和谐发展年，和谐发展年中发展总指数低于130的视为良好，记1分，发展总指数大于130的视为优秀，记2分，从和谐发展年中任取三年，用X 表示赋分之和，求X 的分布列和数学期望．参考公式：回归方程yb x a=+$$$，其中a y b x =-$$，()()()121niii nii xxyybxx==--=-∑∑，()()81228.9iii xxyy =--=∑，119.05y=． 19．已知平行六面体1111A B C DA B C D -中，1A B=，12B C B C ==，π3A B C∠=，侧面11B B A A是菱形，1π3B B A∠=．(1)求1B C 与底面A B C D 所成角的正切值； (2)点,E F 分别在1BA和1B C 上，11E FA C ∥，过点,,B E F 的平面与1B D 交于G 点，确定G 点位置，使得平面B E F ⊥平面11B C D A ．20．已知A ，B 为椭圆22221x y ab+=左右两个顶点，动点D 是椭圆上异于A ，B 的一点，点F 是右焦点．当点D的坐标为()1-时，3D F=．(1)求椭圆的方程．(2)已知点C 的坐标为()4,0，直线CD 与椭圆交于另一点E ，判断直线AD 与直线BE 的交点P 是否在一定直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由． 21．已知函数()()()22e21ln 21xf x a x x =-++．(1)当2a=时，研究函数()f x 的单调性；(2)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()22c o s 22f x x a x≥--恒成立，求a 的取值范围．22．已知曲线C 的参数方程为c o s s in x a y αα=+⎧⎨=⎩（a 为正数，α为参数），直线l的极坐标方程为πc o s 42ρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭l 与曲线C 交于,A B 两点，A B=(1)求a 的值；(2)若点M 的坐标为(，N是曲线C 上的一点，求M O N △面积的最大值．23．已知函数()123f x x x =-+-.(1)求()f x 的单调递增区间及()f x 的最小值m ； (2)若,,a b c 均为非负数，且12a b c m++=，求141213a b c +++++的最小值及取得最小值时,,a b c 的取值．参考答案：1．D【分析】解不等式可求得集合B ，根据交集结果可确定集合A ，由此可构造不等式求得结果. 【详解】由11x -<得：111x -<-<，解得：02x <<，即()0,2B =；由210x a x a -+-<得：()()110x a x -+-<，{}12A B x x ⋂=<<，{}11A x x a ∴=<<-，12a ∴-≥，解得：3a ≥.故选：D. 2．A 【分析】设()i ,za b a b =+∈R，根据共轭复数定义、复数乘法运算和复数相等可构造方程组求得,a b ，根据虚部定义得到结果. 【详解】设()i ,za b a b =+∈R，则iza b =-，4i 44i 53i z z a b a b a b ∴+=++-=-，又()()()()32i i 12i 1i 13i +-=+--=--， 53i 13i a b ∴-=--，则5133a b =-⎧⎨-=-⎩，解得：151a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，1i5z ∴=-+，z ∴的虚部为1.故选：A. 3．C【分析】由频率分布直方图求样本数据的众数，中位数，平均数，样本数据在区间[)400,600内的频率，由此判断各选项.【详解】因为抽取50户的年用电众数为500，所以全村年用电众数的估计值为500，所以全村年用电众数不一定等于500，所以A 错误．由图可知从左至右各组用电频率分别为0.14，0.16，0.30，0.26，0.14，则中位数为2160040020033+⨯=，而平均数1000.143000.165000.37000.269000.14520x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，因为16005203>，所以抽取50户用电量的中位数大于其平均数，所以B 错误．全村估计年用电量为300520156000⨯=度，年发电量约为200800160000⨯=度156000>度，所以C 正确．由频率分布直方图可得，抽取的50户中，用电量为[)400,600度的户数的频率为0.30，所以全村用电量为[)400,600度的户数的概率约为0.30，D 错误．故选：C. 4．B【分析】利用正切值相等可说明11A D A A P D∠=∠，由此可得1A D D P⊥，结合平行关系可知A 正确；由//C D M P ，M P M N M⋂=可知B 错误；通过证明四边形D E M N 为平行四边形可得//M N D E，由线面平行判定可知C 正确；根据B D A C⊥，1B DA A ⊥，由线面垂直和面面垂直的判定可知D 正确. 【详解】对于A ，连接1A D ，111111ta n A A A A A D A A D B C∠===，1ta n 12A D B C A P D A PA A ∠===11A D A A P D ∴∠=∠，又1111π2A D A D A A ∠+∠=，11π2A P DD A A ∴∠+∠=，即1A D D P⊥；11////C D C D A B ，11C D A C D B==，∴四边形11A B C D 为平行四边形，11//B C A D ∴，1D P B C ∴⊥，A正确；对于B ，连接,M P C M ，,M P分别为11,B B A A 中点，M P //A B ∴，又//A B C D ，//M P C D ∴，M N M P M⋂=，M N ∴与C D 不平行，B 错误；对于C ，连接1,E M B C，,M E分别为1,B B B C 中点，1//E M B C∴，112E MB C=；11//A B C D，11AB C D=，∴四边形11A B C D 为平行四边形，11//A D B C∴，11A DB C=，NQ 为1A D 中点，112N D A D∴=，//N D E M∴，N D E M=，∴四边形D E M N 为平行四边形，//D E M N∴，又D E⊂平面1C D E ，M N ⊄平面1C D E ，//M N ∴平面1C D E ，C 正确；对于D ，连接1A B ，A B B C =，四边形A B C D 为平行四边形，∴四边形A B C D 为菱形，B D A C∴⊥；1A A ⊥平面A B C D ，B D⊂平面A B C D ，1A A B D∴⊥，又1A A A C A=，1,A A A C⊂平面11A A C C ，B D ∴⊥平面11A A C C ，B D ⊂Q 平面1A B D ，∴平面11A A C C ⊥平面1A B D ，D 正确.故选：B.5．B【分析】根据三角函数伸缩和平移变换可得()g x ，根据正弦型函数单调性判断方法可确定()g x 在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，由此可得()m a x g x ，结合ϕ的范围可确定()m a x g x 的范围，由此可得结果.【详解】由三角函数伸缩和平移变换得：()()()214s in 223g x fx x ϕϕ=+-=+-，当π,04x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π222,22x ϕϕϕ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦，又π06ϕ<<，π20,3ϕ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，πππ2,226ϕ⎛⎫-+∈-- ⎪⎝⎭，()gx ∴在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()m a x04s in 23gx g ϕ∴==-，又s in 20,2ϕ⎛∈ ⎪⎝⎭，()4sin 233,3ϕ∴-∈-，则()g x 的最大值可能为2-.故选：B. 6．C【分析】根据数列特征可知数列{}n b 为等比数列，进而得到n b ，利用累乘法可求得n a ，代入8n=即可.【详解】记数列1,1,2,8,64,⋅⋅⋅为{}n a ，设1n n na b a +=，则11b =，22b =，34b =，48b =，⋅⋅⋅，∴数列{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n nb -∴=，()()()12123221231122n n n n n n n a b b b b a --+++⋅⋅⋅+----∴=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==，76212822a ⨯∴==.故选：C. 7．C【分析】结合导数运算公式由条件求()f x ，由此可得()()f x gx -，再根据极值与导数的关系，利用导数求函数()()f x gx -的极值即可.【详解】∵()()()11x f x fx x f x x''=+=+⎡⎤⎣⎦，∴()ln x fx x x c=++．取1x =可得，()11f c =+，由()1()1f x x f x x'+=+，令1x =，得()(1)12f f '+=，因为()10f '=，可得()12f =，∴1c=，则()ln 11x fx x x=++， ∴()()()ln 2112x f x gx a x a x x-=++-+．令()()ln 2112x h x a x a xx=++-+，则()()221ln 1201x a x h x a x-+-'=<<；令()21ln 12m x x a x =-+-，()21a x m x x-'=，易知0x <<()0m x '<，()mx在0⎛⎝上单调递减；x >()m x '>，()m x在⎛⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，所以当x=()mx取最小值()1ln 12m a ⎛=-⎝，又()1ln 102a-<，当0x→时，()mx →+∞，x →+∞时，()m x →+∞，∴存在1x ，2x ，使得()()12m x m x ==．不妨设12x x <，则当10x x <<时，()0m x >，当12xx x <<时，()0m x <，当2xx >时，()0m x >．∴()h x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增． ∴()h x 既有极大值，又有极小值．故选：C. 8．B【分析】联立抛物线和直线l 求P 的坐标，利用导数几何意义求切线方程，进而逐项判断正误即可.【详解】如图，抛物线22x p y=-的焦点0,2p F⎛⎫- ⎪⎝⎭，过焦点倾斜角5π6的直线l为32p y =--，联立2232x p y py x ⎧=-⎪⎨=--⎪⎩，化简得223x p x p-=且0Px <，可得36P P x p p y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.∵212y xp=-，则1y xp'=-，故|3x y ='=，∴3M Pk =，故A 、C 错误．∴切线方程为36p y x =+，则0|6x p y==，点0,6p M⎛⎫ ⎪⎝⎭不与焦点F 关于x 轴对称，故D 错误．而23M PM F p==，直线l 倾斜角为5π6，故π3MFP∠=，△M P F为等边三角形，故B 正确．故选：B 9．B【分析】根据线面角算出点B 到平面ADC 的距离，从而找到球心的位置，利用几何关系算出球的半径即可.【详解】取AC 的中点E ，连接BE ，DE ，则B E A C ⊥，D E A C⊥，可得A C⊥平面DEB ．又A C ⊂平面ADC ，故平面A D C ⊥平面DEB ，且平面A D C 平面B D E D E=．在平面DEB 中，过点B 作B HD E⊥于点H ，则B H⊥平面ADC ，∴B D H ∠是直线BD 与平面ADC 所成角的平面角．设B Hx=，则D H=，易求D E=，B E=，则E H=．由勾股定理可得222B E B H E H=+，即)222x =+，解得3x=，于是3E H=点H 恰好是正D A C △的中心（外心），故球心O 必在BH 上，R t B A C的外心为E ，连接OE ,则O E ⊥平面ABC ，O EB E⊥,设三棱锥DA B C-外接球的半径B OR=，在R t B E O △中，由射影定理可得2B E B H B O =⨯，即23=，解得R=∴三棱锥D A B C-外接球的表面积24π12πSR==．故选：B. 10．D【分析】采用数形结合的方式可将问题转化为()22110xt x t +-+-=在()1,3-上有两个不同的实数根，根据一元二次方程根的分布可构造不等式组求得结果. 【详解】作出函数()f x 的图象如图所示，∴函数()f x 的图象与函数()yc c =∈R 的图象最多三个交点，且()f x c=有3个实数根时，13c -<<，()()()22110fx t fx t∴+-+-=有6个不等实数根等价于一元二次方程()22110x t x t +-+-=在()1,3-上有两个不同的实数根，()()()()2Δ214102113212110932110t t t t t t t ⎧=--->⎪-⎪-<-<⎪∴⎨⎪--+->⎪+-+->⎪⎩，解得：752t -<<-12t <<，即实数t的取值范围为73,,1522⎛⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D. 11．C【分析】根据古典概型概率公式可确定①错误；记1n P -为第n1-次移动后在底面A B C 上的概率，可确定n P 与1n P -满足的递推关系式，得到②正确；根据递推关系式和等比数列定义可证得③正确；结合等比数列通项公式推导可得④正确.【详解】对于①，第一次移动后，可移动到111,,,,B C A B C 点，其中位于底面A B C 上的点有,B C ，∴当1n=时，125P =，①错误；对于②，当2n ≥时，记1n P -为第n 1-次移动后在底面A B C 上的概率，则11n P --表示第n 1-次移动后在平面111A B C 上的概率，在底面A B C 上移动的概率为25，由平面111A B C 移动到底面的概率为35，()111231315555n n n n P P P P ---∴=+-=-+，2113123135555525P P ∴=-+=-⨯+=，②正确；对于③，由11355nn P P -=-+得：1111252nn P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又111210P -=-，∴数列12nP ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以110-为首项，15-为公比的等比数列，③正确；对于④，由③知：11112105n n P -⎛⎫-=-⨯- ⎪⎝⎭，11111052n n P -⎛⎫∴=-⨯-+⎪⎝⎭，④正确.故选：C. 12．D【分析】根据直线与双曲线两支各有一个交点可确定k 的范围，知A 正确；利用两点连线斜率公式可知B 正确；根据22N P N Q b k k a⋅=可推导知C 正确；根据基本不等式取等条件不成立可知D 错误.【详解】对于A ，,P Q是双曲线上关于原点对称的两点，∴直线P Q 与双曲线两支各有一个交点，∴直线P Q 的斜率k 在两条渐近线斜率之间，即b b k a a -<<，由题意知：,P M 不重合，0k ∴≠，k ∴的取值范围为b b k aa-<<且0k≠，A 正确；对于B ，设()00,P x y ，则()00,Q x y --，()0,0M x ，00y k x =，0022M N M Q y k k k x ∴===，B 正确；对于C ，设(),N s t ，则22221s tb a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又2220021x y b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，222022*******22220000N P N Q x s b aa y t y t y tb k k x sx sx sx sa⎛⎫- ⎪----⎝⎭∴⋅=⋅===-----，由B 知：2N QM N k k k ==，222N Pb k k a∴=，C 正确；对于D，2222N PN Q b k b k k k aa+=+≥=，2222b k k a=，即2b ka=±不成立，N PN Q b k k a∴+>，D 错误.故选：D.【点睛】思路点睛：本题考查直线与双曲线的综合应用问题，解题的基本思路是灵活应用斜率公式及双曲线第三定义来构造两直线斜率之间的等量关系，从而利用变量k 表示出直线,P N Q N的斜率.13．52【分析】由约束条件作出可行域，将问题转化为直线1322z y x +=-+在y 轴截距最大问题的求解，采用数形结合的方式可求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示，当23z x y =+-取得最大值时，直线1322z y x +=-+在y 轴截距最大，平移直线12yx=-可知：当1322z yx +=-+过点A 时，在y 轴截距最大，由2030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得：1252x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即15,22A ⎛⎫⎪⎝⎭，m a x 155322z ∴=+-=.故答案为：52.14．1【分析】由22lo g 3b =可变形为()()lo g 3122lo g 313b b +++=，故考虑构造函数()2xfx x=+，判断函数的单调性，利用单调性化简等式，由此可求,a b .【详解】因为22lo g 3b =，化简得()()2lo g 31313b b +++=．所以()()lo g 3122lo g 313b b +++=，又242223aaa a +=+=，构造函数()2xf x x=+，因为函数2xy=，yx=在(),-∞+∞上都为增函数，所以函数()f x 在(),-∞+∞上为单调递增函数，由()13f =，∴()22lo g 311a b =+=，解得12a =，13b=，∴312ab +=．故答案为：1. 15．12##0.5【分析】利用余弦定理和勾股定理可知A B A C⊥，作MGBC⊥，可知当M G 最大时，()P A最小；设D E Aθ∠=，结合三角形相似和三角恒等变换可表示出πin 26M G θ⎛⎫=--⎪⎝⎭由此可得m in M G ，进而求得()P A 最小值. 【详解】由余弦定理知：2222c o s a b a b C c+-=，即24212a a +-=，解得：4a=，222b c a∴+=，A B C∴为直角三角形，A B A C⊥，设B MA E F=，作M G B C⊥于点G ，b c A D a==，1C D∴==，13B D a =-=，要使得()P A 最小，则B M C △面积最大，即点M 到B C 的距离M G 最大．设D E Aθ∠=，则F E Bθ∠=，3A D =，3B D =，ta n D E θ∴=，3ta n B Eθ=-，c o s 3c o s ta n E F B E θθθ⎛∴==-⎝⎭，M G B∽E F B △，M G M B E FB E∴=，22s in 23c o s s in 3s in 2o s ta n M G E F θθθθθθ⎛∴==-=- ⎝⎭π3s in 2o s 2in 26θθθ⎛⎫=--=--⎪⎝⎭则当ππ262θ-=，即π3θ=时，s in 26πθ⎛⎫-⎪⎝⎭取得最大值1，m a x M G ∴=M B C A B CS S =△△，()m in12A B CA B CM B CS PA SS∴==+.故答案为：12. 16．【分析】利用余弦定理可求得B C，设O Dxc=，根据向量线性运算和数量积运算的定义可求得2c o s 6C D BD C DC D B ⋅=∠≤，结合余弦定理可得C D ≤.【详解】π3A OB ∠=，2π3C OB∴∠=，由圆的方程知：圆O 的半径2r =，B C ∴==设O Dx c=，则()O Da b ⊥+，O D ∴为线段B C 的中垂线，C D B D∴=，()()6a O D O D b +⋅-≤，即()()6O D O C O D O B -⋅-≤，2c o s c o s 6C D B D C D B D C D B C DC D B ∴⋅=⋅∠=∠≤；22212c o s 2C DC D B C D-∠=，266C DB DCD ∴⋅=-≤，解得：23C D≤2a x c x cb C D B D C D ∴++-=+=≤故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量中的最值问题的求解，解题关键是能够根据几何关系，利用向量线性运算和数量积运算的定义，结合图形关系和已知不等关系将问题转化为求解线段C D 长度最值的问题. 17．(1)π3C =(2)C D =【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式可得1c o s 2C =，即可求出角C ；（2）由余弦定理结合均值不等式可得25a b ≤，可求出当A B C的面积最大值时3A D=，再由余弦定理即可求出CD 的长. 【详解】（1）依题意，22co s a c B b=+，由正弦定理可得2sin 2sin co s sin A C B B=+，∴()2s in 2s in c o s s in B CC B B+=+，所以2sinco s 2co s sin 2sin co s sin B C B C C B B+=+，则2s in c o s s in B C B=，因为()0,π,s inB B ∈≠，化简得1c o s 2C =．∵()0,πC∈，∴π3C =．（2）由余弦定理得2221c o s 22a b cC a b+-==，∴22222a ba b c a b c=+-≥-，∴25a b≤，当且仅当a b=时，等号成立．此时1s in 244A B CS a b C b ==≤．若A B C的面积取到最大，则5ab ==，A B C为等边三角形，∴3A D =，由余弦定理得222π2c o s193C DA C A D A C A D =+-⋅⋅=，∴C D=18．(1) 5.4594.525yx =+(2)分布列见解析，() 4.2E X =【分析】（1）利用已知数据求x ，()281ii xx=-∑，利用公式和参考数据求b ，a ，由此可得回归方程；（2）由条件确定随机变量X 的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列，再由均值公式求均值. 【详解】（1）由已知1234568847.5x+++++=+=+，所以()()()()()()()()()282222222213.5 2.5 1.50.50.5 1.5 2.5 3.542ii xx=-=-+-+-+-++++=∑又()()81228.9iii xxyy =--=∑所以()()()818215.45iii ii xxyybxx==--==-∑∑，因为119.05y =，所以94.525a yb x =-=，∴ 5.4594.525yx =+．（2）由题可知，和谐发展年有5个，其中计分为1分的年份有3个，计分为2分的年份有2个． ∴()35113C 10P X===，()213235C C 34C 5P X ⋅===，()123235C C 35C 10P X ⋅===．所以X 的分布列为数学期望为()133345 4.210510E X =⨯+⨯+⨯=．19．(1)13(2)点G 在线段1B D 靠近1B 的三等分点处【分析】（1）证明1M B ⊥平面ABCD ，从而找到1B C 与底面A B C D 所成角，解三角形，即可求得答案；（2）证明当,E F 分别为线段1BA和1B C 的中点时，平面B E F⊥平面11B C D A ，说明1B D 与平面BEF 的交点G 在线段BN 上，结合三角形相似即可确定G 点位置. 【详解】（1）取A B 的中点M ，连接1M B ，,M C A C ，1BA．∵侧面11B B A A 为菱形，1π3B B A ∠=， ∴1A B B 为等边三角形，11A B B B ==，11,2M B A B M B ⊥∴=∵1A B =，2B C =，π3A B C∠=，由余弦定理知A C ==，∴222B C A B A C=+，∴A CA B⊥．在1A B C V 中，11A B =，12B C =，有22211B CA B A C=+，∴1A C A B ⊥．又∵11,,A B A B A A B A B =⊂∩平面11B B A A ，∴A C⊥平面11B B A A ．又∵1M B ⊂平面11B B A A ，∴1A C MB ⊥．∵1M B A B ⊥，,,A CA B A A C A B ⋂=⊂平面ABCD ，∴1M B ⊥平面ABCD ，∴1B C M ∠为直线1B C 与底面A B C D 所成的角，由A CA B⊥，则2C M===，∴11ta n 132M B B C MC M∠===（2）当,E F 分别为线段1BA和1B C 的中点时，平面B E F⊥平面11B C D A ．证明如下：连接1A B ，1B C ，EF ，11A C ．侧面11B B A A 是菱形，则11A B A B⊥．又∵11A C A C E F∥∥，A C⊥平面11B B A A ， ∴E F⊥平面11B B A A ，1A B ⊂平面11B B A A ，故1E FA B ⊥，11,B A E F E B A E F =⊂，平面BEF ，∴1A B ⊥平面BEF ，1A B ⊂平面11B C D A ，∴平面11B C D A⊥平面BEF ．连接11BD 交11A C 于点N ，连接BN ，1B D ，BD ．∴平面11B D D B平面B E FB N=，∴1B D 与平面BEF 的交点G 在线段BN 上． ∵11B D B D∥，1B N G ∴△∽D B G △，∴1112B G B N D GD B==，即点G 在线段1B D 靠近1B 的三等分点处． 20．(1)22142xy+=(2)直线AD 与直线BE 的交点在定直线1x =上【分析】（1）由题意表示出D F ，1D F ，可得c ，再由椭圆的定义求出a ，即可求出椭圆的方程；（2）设()11,D x y ，()22,E x y ，D E 的直线方程为()4ykx =-，与椭圆联立，由韦达定理得12x x +，12x x ，化积为和得()1212542x x x x =+-，表示出直线AD 和直线BE 的方程的方程，计算可得1P x =，即可证明直线AD 与直线BE 的交点P 是否在一定直线上【详解】（1）设椭圆的右焦点为(),0F c ，左焦点为()1,0F c -，0c>，3D F ==，解得c=∴11D F ==，∴124D F D F a +==，2a=，b=，∴椭圆的方程为22142xy+=．（2）由题设，直线DE 斜率一定存在，设D E 的直线方程为()4y kx =-．联立椭圆方程，消去y 得()222221163240kx k x k+-+-=．设()11,D x y ，()22,Ex y ，则21221621k x x k+=+，212232421k x x k-=+．∴()1212542x x x x =+-，又()2,0A -，()2,0B ， ∴直线AD 的方程为()1122y y x x =++，直线BE 的方程为()2222y yx x =--．联立得()()12122222y y x x x x +=-+-，∴()()()()()()()()12211212211221242242262424238Px x x x x x x x x x x x x x x --+-+--==-+-----．又∵()1212542x x x x =+-，∴()121221212158623813838Px x x x x x x x x x x +-----===----．∴直线AD 与直线BE 的交点在定直线1x =上．21．(1)()f x 在定义域内单调递增 (2)3a ≤【分析】（1）求函数()f x 的导函数可得()()24eln 211xf x x '⎡⎤=-+-⎣⎦，根据导数结构考虑构造函数()e 1xF x x =--，利用导数证明e 1x x ≥+，取对数证明()ln 1x x ≥+，由此证明()0f x '≥，由此可得函数()f x 的单调性；（2）设2t x=，[]0,πt ∈，由已知可得()()()2e1ln 1c o s 210ta t t t a t -++-+--≥恒成立，构造函数()()()()2e 1ln 1c o s 21th t a t t t a t =-++-+--，讨论a ，利用导数求其最小值，可得a的取值范围．【详解】（1）因为2a=，所以()()()22e221ln 21xf x x x =-++，所以函数()f x 的定义域为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，且()()24eln 211xf x x '⎡⎤=-+-⎣⎦，构造函数()e 1xF x x =--，则()e 1xF x '=-，令()0F x '=，得0x=，∴当0x >时，()0F x '>，()F x 在()0,∞+上单调递增；当0x<时，()0F x '<，()F x 在(),0∞-上单调递减．∴()()00F x F ≥=，∴e 1x x ≥+，∴当1x>-时，()ln 1x x ≥+，所以当12x >-时，2e 21x x ≥+，当且仅当0x =时等号成立，所以当12x >-时，()2ln 21xx ≥+，当且仅当0x =时等号成立，∴()()2e ln 2112ln 210xx x x -+-≥-+≥，当且仅当0x =时等号成立，∴()0f x '≥，当且仅当0x=时等号成立，∴()f x 在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．（2）∵()()22c o s 22f x x a x≥--，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，等价于()()()()22e21ln 21c o s 22210xa x x x a x -++-+--≥，令2tx=，[]0,πt ∈，构造函数()()()()2e 1ln 1c o s 21th t a t t t a t =-++-+--，∴()00h =，()()2e ln 1s in 2th t a t t '=-++-，()00h '=．令()()2e ln 1s in 2xg x a x x =-++-，()2e c o s 1xag x xx '=-++，[]0,πx ∈，注意到()03g a'=-．当3a>时，()00g '<，∴0x ∃>，当[]00,x x ∈时，()0g x <，即当[]00,t x ∈时，()0h t '<，所以()h t 在[]00,x 上单调递减，所以()00h x <，不符合题意．当03a ≤≤时，令()2e c o s 1xa m x xx =-++，[]0,πx ∈，()()()222e s in 2s in 011xaam x x x x x '=+->+->++，∴()m x 单调递增，则()()030m x m a ≥=-≥，当0a<时，则()2e c o s 2c o s 011xaa m x x x x x =-+>+->++，()0g x '≥，()g x 单调递增，()()00g x g ≥=．∴()0h t '≥，()h t 单调递增，()()00h t h ≥=，符合题意．综上所述3a≤．【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 22．(1)2a =1【分析】（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程，直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，利用垂径定理可构造方程求得a 的值；（2）根据圆的几何性质可求得点N 到直线O M 的距离的最大值，利用三角形面积公式可求得结果.【详解】（1）由曲线C 的参数方程得：()221x a y-+=，则曲线C 是以(),0a 为圆心，1为半径的圆；由πc o s 42ρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭c o s s in 222θθ-=，∴直线l 的直角坐标方程为10x y --=；∴圆心(),0a 到直线l的距离d =A B ∴==212d=，()21122a-∴=，又0a>，2a∴=.（2）设点N 到直线O M 的距离为h ，则11222M O NS O M h h h=⋅=⨯=，又直线O M方程为：y=，曲线C 的圆心为()2,0，半径为1，m a x 11h ∴==，M O N ∴△1.23．(1)单调递增区间为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，12m=(2)m in 141164213123a b c ⎛⎫++== ⎪+++⎝⎭，此时1a =，5b =，0c=【分析】（1）分别在1x≤、312x <<和32x≥的情况下，去掉绝对值符号可得函数解析式，进而确定单调性；根据单调性可确定最小值；（2）根据()()()21312ab c +++++=，利用柯西不等式可求得结果.【详解】（1）当1x ≤时，()13234f x x x x =-+-=-+，此时()f x 单调递减；当312x <<时，()1322f x x x x=-+-=-，此时()f x 单调递减；当32x≥时，()12334f x x x x =-+-=-，此时()f x 单调递增；()fx \的单调递增区间为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；由单调性可知：3122m f ⎛⎫==⎪⎝⎭.（2）由（1）知：6a b c ++=，()()()21312a b c ∴+++++=，由柯西不等式得：()()()()214121312116213ab c a b c ⎛⎫⎡⎤+++++⋅++≥++= ⎪⎣⎦+++⎝⎭（当且仅当1a =，5b =，0c=时等号成立），m in 141164213123a b c ⎛⎫∴++== ⎪+++⎝⎭，此时1a=，5b =，0c=.。

山东省新高考联合质量测评2023届高三下学期3月联考数学试题

山东省新高考联合质量测评2023届高三下学期3月联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}21M x x =-<≤，{}21N x x M =+∈，则（） A ．M N ⊆ B ．N M ⊆ C ．M N ⋂=∅D ．(]3,3M N ⋃=-2．已知复数z 满足()()1i i 3i z --=+，则z =（） A ．13i +B ．13i -C ．1i --D ．1i -+3．为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：高三一班：36.1，36.2，m ，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃），高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，n ，37.1（单位：℃）若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则n m -为（） A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.34．函数()()πtan 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图像如图所示，图中阴影部分的面积为6π，则ϕ=（）A ．π3-B ．π4-C ．π6D ．5π125．第十四届“中华人民共和国全国人民代表大会”和“中国人民政治协商会议”分别于2023年3月5日和3月4日胜利召开，为实现新时代新征程的目标任务汇聚智慧和力量．某市计划开展“学两会，争当新时代先锋”知识竞赛活动．某单位初步推选出3名党员和5名民主党派人士，并从中随机选取4人组成代表队参赛．在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下，则党员甲被选中的概率为（）A ．12B ．1115C ．713D ．276．已知等腰直角三角形ABC 中，π2A =，M ，N 分别是边AB ，BC 的中点，若BC sAN tCM =+u u u r u u u r u u u u r，其中s ，t 为实数，则s t +=（）A ．1-B ．1C ．2D ．2-7．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，π2ACB ∠=，11AC AA ==，2BC =，点M 是BC 的中点，点P 是线段1A B 上一动点，点Q 在平面1AMC 上移动，则P ，Q 两点之间距离的最小值为（）A B ．12C ．23D ．18．已知0.03e 1a =-，ln1.03b =，tan 0.03c =，其中e 2.71828=L 为自然对数的底数，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．c a b >> B ．a c b >> C ．b c a >>D ．a b c >>二、多选题9．设随机变量ξ的分布列如下：则下列说法正确的是（）A ．当{}n a 为等差数列时，2202222023a a += B ．数列{}n a 的通项公式可能为()202220231n a n n =+C ．当数列{}n a 满足()11,2,,20222n na n ==L 时，2023202212a =D ．当数列{}n a 满足()()21,2,,2023k P k k a k ξ≤==L 时，202312023a =10．已知圆锥顶点为S ，高为1，底面圆O 的直径AB 长为C 为底面圆周上不同于,A B 的任意一点，则下列说法中正确的是（）A ．圆锥SO 的侧面积为B ．SAC V 面积的最大值为32C ．圆锥SO 的外接球的表面积为9πD ．若AC BC =，E 为线段AC 上的动点，则SE BE +11．已知AB ，CD 是经过抛物线22y x =焦点F 的互相垂直的两条弦，若AB 的倾斜角为锐角，C ，A 两点在x 轴上方，则下列结论中一定成立的是（） A ．22AB CD +最小值为32B ．设(),P x y 为抛物线上任意一点，则xC ．若直线CD 的斜率为4AF BF ⋅=D ．32OA OB OC OD ⋅+⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r12．已知函数()()()32e04610x x f x x x x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩，其中e 是自然对数的底数，记()()()2h x f x f x a =-+⎡⎤⎣⎦，()()()3g x f f x =-，则（）A ．()g x 有唯一零点B ．方程()f x x =有两个不相等的根C ．当()h x 有且只有3个零点时，[)2,0a ∈-D ．0a =时，()h x 有4个零点三、填空题13．已知()31,316nx n n x +⎛⎫-∈≤≤ ⎪⎝⎭N 的展开式中含有常数项，则n 的一个可能取值是______．14．已知点()1,1A -，设动直线0x ny +=和动直线()420nx y n n --+=∈R 交于点P ，则PA 的取值范围是______．四、双空题15．过双曲线221x y -=的左、右焦点作两条相互平行的弦AB ，CD ，其中,A B 在双曲线的左支上，,A C 在x 轴上方，则12AF CF ⋅的最小值为______，当AB 的倾斜角为π3时，四边形12AF F C 的面积为______．五、填空题16．已知函数()f x 的定义域D 为()(),00,∞-+∞U ，()f x 在(),0∞-上单调递减，且对任意的12,x x D ∈，都有()()()12121f x x f x f x =+-，若对任意的()1,x ∈+∞，不等式()()()ln 11f ax f x f ->-恒成立，则实数a 的取值范围是______．六、解答题17．已知多面体ABCDEF 中，四边形CDEF 是边长为4的正方形，四边形ABCD 是直角梯形，90ADC DAB ∠=∠=︒，36BE AB ==，4=AD ．(1)求证：平面ADF ⊥平面BCE ；(2)求直线AF 与平面BCF 所成角的正弦值．18．为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿，山东省人民政府规定自2023年1月21日起至3月31日在全省实施景区门票减免，全省国有A 级旅游景区免首道门票，鼓励非国有A 级旅游景区首道门票至少半价优惠．本次门票优惠几乎涵盖了全省所有知名的重点景区，据统计，活动开展以来游客至少去过两个及以上景区的人数占比约为90%．某市旅游局从游客中随机抽取100人（其中年龄在50周岁及以下的有60人）了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度，并按年龄（50周岁及以下和50周岁以上）分类统计得到如下不完整的22⨯列联表：(1)根据统计数据完成以上22⨯列联表，并根据小概率值0.001α=的独立性检验，能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联？(2)现从本市游客中随机抽取3人了解他们的出游情况，设其中至少去过两个及以上景区的人数为X ，若以本次活动中至少去过两个及以上景区的人数的频率为概率． ①求X 的分布列和数学期望； ②求()11P X -≤．参考公式及数据：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．19．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，a b =，且A B ≠．(1)求C ∠的大小；(2)若C ∠的平分线交AB 于点D ，且CD =2+a b 的取值范围．20．在如图所示的平面四边形ABCD 中，ABD △的面积是CBD △面积的两倍，又数列{}n a 满足12a =，当2n ≥时，()()1122n nn n BD a BA a BC --=++-u u u r u u u r u u u r ，记2n n n a b =．(1)求数列{}n b 的通项公式； (2)求证：2221211154n b b b +++<L ． 21．已知曲线22:163x y E +=，直线:l y x m =+与曲线E 交于y 轴右侧不同的两点,A B ．(1)求m 的取值范围；(2)已知点P 的坐标为()2,1，试问：APB △的内心是否恒在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由．22．已知函数()()()1ln f x x x ax a a =+-+∈R ． (1)若2a =，试判断()f x 的单调性，并证明你的结论；(2)设01a <≤，求证：()()()()e 1311ln ln 1axf x a x x x x ->+--+-+．。

2024届河北省唐山市玉田县高级中学高三3月联合检测试题(数学试题理)试题

2024届河北省唐山市玉田县高级中学高三3月联合检测试题（数学试题理）试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上，F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中错误的是（）A ．11//FM AC ，B ．存在点E ，使得平面//BEF 平面11CCD D C ．BM ⊥平面1CC FD ．三棱锥B CEF -的体积为定值2．若,x y 满足320020x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩，且目标函数2(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为2，则416a b +的最小值为( )A ．8B ．4C ．2D ．63．下列函数中既关于直线1x =对称，又在区间[1,0]-上为增函数的是( ) A ．sin y x =π. B ．|1|y x =- C ．cos y x π=D ．e e x x y -=+4．已知双曲线22221x y a b-=（0a ＞，0b >）的左、右焦点分别为E F ，，以OF （O 为坐标原点）为直径的圆C 交双曲线于A B 、两点，若直线AE 与圆C 相切，则该双曲线的离心率为（）A ．2362+ B ．2226+ C ．32262+D ．3262+ 5．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；④tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（） A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③6．数列{}n a 的通项公式为()n a n c n N *=-∈．则“2c <”是“{}na 为递增数列”的（）条件．A ．必要而不充分B ．充要C ．充分而不必要D ．即不充分也不必要7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A ．113 B ．4 C ．133D ．58．已知函数2sin ()1x f x x =+．下列命题：①函数()f x 的图象关于原点对称；②函数()f x 是周期函数；③当2x π=时，函数()f x 取最大值；④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（） A ．①④B ．②③C ．①③④D ．①②④9．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A ．18B ．17C ．16D ．1510．抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（） A ．B ．C ．D ．11．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别为棱1AA 、1CC 、11B C 、11A B 的中点，则下列各直线中，不与平面1ACD 平行的是（）A ．直线EFB ．直线GHC ．直线EHD ．直线1A B12．已知集合{}|26Mx x =-<<，{}2|3log 35N x x =-<<，则MN =（）A ．{}2|2log 35x x -<<B ．{}2|3log 35x x -<<C ．{}|36x x -<<D ．{}2|log 356x x <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019届山西省长治市高三下学期3月统一联合考试数学(理)试题(解析版)

2019届山西省长治市高三下学期3月统一联合考试数学（理）试题一、单选题 1．若z 2ii =+，则复数z 在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】由复数除法运算法则，求出z ，即可求解. 【详解】(2)1212,(2)(2)555i i i z z i i i -+===-+-，z 在复平面内对应的点在第四象限.故选:D. 【点睛】本题考查复数的代数运算及几何意义，属于基础题. 2．已知集合4|02x A x Z x -⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，1|244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭ ，则A B =I （） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{0,1,2} C ．{1,0,1,2}-D ．{}2,1,0,1,2--【答案】C【解析】分别求解出A 集合和B 集合，然后根据交集定义求解. 【详解】402x x -≤+ 24x ⇒-<≤，又x ∈Z {}1,0,1,2,3,4A ⇒=- 1244x ≤≤ 22x ⇒-≤≤ {}22B x x ⇒=-≤≤ {}1,0,1,2A B ∴⋂=-本题正确选项：C 【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.3．已知点A （﹣1，2）在抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（）A ．43-B ．﹣1C ．34-D ．12-【答案】B【解析】由已知求出p ，进而求出焦点F 坐标，即可求解. 【详解】点A （﹣1，2）在抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的准线上，2p =，焦点(1,0)F ，直线AF 斜率为20111-=---. 故选:B. 【点睛】本题考查抛物线的准线方程和焦点坐标，属于基础题.4．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若32a =，12b =，则输出的n =（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】分析：根据流程图中的2aa a =+可知，每次循环a 的值应是一个等比数列，公比为32；根据流程图中的2b b =可知，每次循环b 的值应是一个等比数列，公比为2，根据每次循环得到的,a b 的值的大小决定循环的次数即可.详解：记执行第n 次循环时，a 的值记为有n a ，则有3322nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；记执行第n 次循环时，b 的值记为有n b ，则有122nn b =⨯.令3321222n n ⎛⎫≤⨯ ⎪⎝⎭，则有3348n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，故 4n ≥，故选B.点睛：本题为算法中的循环结构和数列通项的综合，属于中档题，解题时注意流程图中蕴含的数列关系（比如相邻项满足等比数列、等差数列的定义，是否是求数列的前n 和、前n 项积等）. 5．设()250,22log 4,log 3,log 3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．a c b >> D ．b a c >>【答案】D【解析】本题考查对数和指数运算.5220?log 41,?log 32log 32<=, 0,21551log 3log 3log 30-<==-<,又()25550log 3log 3log 4<<<，所以b ac >>，故选D.6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，最大三角形的面积为（）A ．3B ．46C ．83D ．6【答案】B【解析】将三视图还原为直观图，求出各个面的面积，即可得出结论. 【详解】三视图还原为直观图，如下图所示，04,2,43,120AB AD BC BAC ===∠=，AD ⊥平面,,ABC AD AB AD AC ∴⊥⊥，由余弦定理2222482cos 416BC AC AB AC AB BAC AC AC ==+-⋅⋅∠=++，24320,4AC AC AC +-==或8AC =-（舍去）， 25CD BD ∴==，取BC 中点,E DE BC ⊥，22()2012222BC DE BD =-=-=， 2113sin 443222ABC S AB AC BAC ∆∴=⋅⋅∠=⨯⨯=， 14242ACD ABD S S ∆∆==⨯⨯=，14322462BCD S ∆=⨯⨯=，四个面中面积最大46. 故选:B.【点睛】本题考查三视图求直观图面积，还原三视图为直观图是解题的关键，属于中档题.7．若在不等式组3412000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩表示的区域内任取一点P ，则点P 落在圆224x y +=内概率为（） A ．23π B ．3π C ．6π D ．12π【答案】C【解析】画出满足条件的区域，分别计算区域面积以及满足条件的面积，利用几何概型的计算公式求解即可. 【详解】作出约束条件3412000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩表示的区域及圆224x y +=如图，14362OAB S ∆=⨯⨯=，图中阴影部分的面积为2124S ππ=⨯=阴影.∴点P 落在圆224x y +=内的概率为6OAB S P S π∆==阴影. 故选：C. 【点睛】本题考查由不等式组确定平面区域，以及几何概型的概率计算，属综合基础题. 8．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝2，其面积为23222a b csinA sinB sinC++++等于（）A ．4B ．3C 83D 43【答案】C【解析】由已知和面积公式求出c ，再由余弦定理求出a ，进而求出sin ,sin B C ，即可求出结论. 【详解】13sin 23,422ABC S bc A c c ∆===∴=，由余弦定理得2222cos6020812a b c bc =+-=-=o ，123,4,sin ,sin 1sin 424a b ca B C A ======， 22234(3832331321(32)222a b c sinA sinB sinC ++∴===++⨯+++. 故选:C. 【点睛】本题考查面积公式、余弦定理、正弦定理解三角形，意在考查逻辑推理和数学计算能力，9．将函数g （x ）2216cos x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数f （x ），则函数f （x ）在区间3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围是（）A ．102⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．2⎡-⎣C ．12⎡-⎢⎣⎦，D ．⎡⎤⎣⎦【答案】B【解析】由二倍角余弦，结合函数图像平移、伸缩变换求出()f x ，利用整体代换和正弦函数图像，即可求解结论. 【详解】2()21cos(2)63g x cos x x ππ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭，将()g x 图象向右平移4π个单位长度得到 cos(2)sin(2)233y x x πππ=-+=+，再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数f （x ），()2sin(2),[,]33f x x x πππ∴=+∈，2[],sin(2)[3373x x ππππ+∈+∈-，，()[f x ∈-.故选:B. 【点睛】本题考查二倍角公式、三角函数图象变换以及三角函数性质，属于中档题.10．已知⊙O 是等边△ABC 的外接圆，其半径为4，M 是△ABC 所在平面内的动点，且|OM |＝1，则|3|MA MB MC ++u u u r u u u r u u u u r|的最大值为（）A ．13B ．10C ．8D ．3【答案】A【解析】3MA MB MC ++u u u r u u u r u u u u r 转化为以O 为起点的向量表示，利用0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，将所求向量用,OC OM u u u r u u u u r表示，运用向量运算律，即可求解.⊙O 是等边△ABC 的外接圆，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，53253OM OM MA MB MC OA OB OC OC =+=+--++u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r，设,OC OM u u u r u u u u r夹角为θ，2222||(25)425203MA MB MC OC OM OM OC OC OM =-=⨯+⨯-⨯⋅++u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r 24425204cos 8980cos θθ=⨯+-⨯=-，当cos 1θ=-时，2|3|MA MB MC ++u u u r u u u r u u u u r 取得最大值169，|MA MB ++u u u r u u u r3MC u u u u r |的最大值为13.故选:A. 【点睛】本题考查向量的线性运算、正三角形外心向量性质、向量的模长以及向量的运算律，考查逻辑推理、数学运算能力，属于中档题.11．过双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的右焦点F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于B ，点Q 是圆x 2+y 2＝a 2上的动点．若FB u u u r =2FA u u u r，|BQ |的最大值为9，则此双曲线的方程为（）A ．221412x y -=B ．221416x y -=C ．221927x y -=D ．221936x y -=【答案】C【解析】由已知可得A 为FB 中点，||||OA OF =，求出|BQ |的最大值且等于9，再借助图象分析出其中一条渐近线的倾斜角，找到,a b 的一个等量关系，再结合,,a b c 关系，即可求解. 【详解】FB =u u u r Q 2A FA∴u u u r ，是FB 中点，OA FB ⊥，如图所示，BOF ∆是等腰三角形，||||,12OF OB c ==∠=∠，渐近线0,1=3=21=603,32,bOA OB b a c a a∴∠∠∠∴∠==∴=，，，，， ||,OB c B =到圆222x y a +＝上任一点Q 的距离||BQ 的最大值为a c +，39,3,33a c a a b +====，所以双曲线方程为221927x y -=.故选:C.【点睛】本题考查双曲线的标准方程，渐近线的性质的综合应用，考查定点与圆上的点距离最大值，考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.12．若方程x ﹣2lnx +a ＝0存在两个不相等的实数根x 1和x 2，则（） A ．12111x x +＜ B ．12111x x +＞ C ．12111x x +≤ D ．12111x x +≥ 【答案】B【解析】x 1和x 2是方程x ﹣2lnx +a ＝0两个不相等的实数根，不妨设12x x >，代入方程消去a 得到21,x x 关系，令121x t x =>，21,x x 用t 表示，进而将1211+x x 用t 表示，构造函数判断1211+x x 与1的大小关系，即可求出结论. 【详解】x 1和x 2是方程x ﹣2lnx +a ＝0两个不相等的实数根，不妨设120x x >>，112220,20x lnx ax lnx a ++﹣＝﹣＝, 两式相减得112220x x x lnx --＝，令11221,xt x tx x =>∴=， 22122ln 2ln (1)2ln ,,11t t tx t t x x tx t t ∴-=∴===--， 2121111(1)(1)12ln 2ln 2ln 2ln t t t t t x x t t t t t t t---+-+=+==∴，令2()12ln ,1,()22ln 2g t t t t t g t t t '=-->=--，令2()22ln 2,()2,1,()0t t t t t t tϕϕϕ''=--=->>恒成立， ()t ϕ在(1,)+∞是单调递增，()(1)0,()0t g t ϕϕ'∴>=∴>恒成立， ()g t ∴在(1,)+∞是单调递增，()(1)0,1g t g t ∴>=>恒成立，222112ln 0,12ln 0,12ln t t t t t t t t t-∴-->->>>，12111x x +∴>. 故选:B. 【点睛】本题考查导数综合应用，涉及到函数零点、单调性，构造函数是解题的关键，属于较难题.二、填空题13．已知()1nax +的展开式中，二项式系数和为32，各项系数和为243，则a =________．【答案】2【解析】先根据二项式系数的和为n 2，列出方程求出n 的值，再对二项式中的x 赋值1列出关于a 的方程，即可求出a 的值．【详解】由题意，根据二项式系数和为n 232=，得n 5=，又令x 1=，得各项系数和为()51243a +=，a 13∴+=，a 2∴=．故答案为2．【点睛】本题是一个典型的二项式问题，主要考查二项式的性质，注意二项式系数和项的系数之间的关系，这是容易出错的地方，本题考查通过给变量赋值求二项展开式的各项系数和，这是解题的关键． 14．若直线1x ya b+=（a ＞0，b ＞0）过点（1，2），则a +b 的最小值为_____．【答案】3+22．【解析】直线过(1,2)得到,a b 的等量关系，利用基本不等式，即可求解. 【详解】直线1x y a b +=（a ＞0，b ＞0）过点12(1,2),1a b∴+=， 1220,0,()332()2b aa b a a b a a b b b>>+=++≥++=+，当且仅当21,22a b =+=+时，等号成立.故答案为:322+. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，利用“1”的代换是解题的关键，属于基础题.15．如图是各棱长均相等的某三棱锥表面展开图，Q 是DF 的中点．则在原三棱锥中BQ 与EF 所成角的余弦值为_____．【答案】36．【解析】展开图还原为直观图，取DE 中点，连,MQ AM ，即可确定BQ 与EF 所成的角，通过解三角形，即可求出结论. 【详解】展开图还原为直观图，如下图所示，取DE 中点M ，连,MQ AM ，设三棱锥的各棱长为a ，Q 是DF 的中点，所以//MQ EF ，AQM ∴∠（或补角）为BQ 与EF 所成的角，在AQM ∆中，31,22a AQ AM MQa ===， 11324cos 3MQAQM AQ ∴∠===,原三棱锥中BQ 与EF 所成角的余弦值为3. 故答案为:3.【点睛】本题考查几何法求异面直线所成的角，展开图还原直观图是解题的关键，属于基础题.16．设函数f （x ）2220102x x x x x x ⎧+≥⎪=⎨+⎪⎩，，＜，已知对任意的a ∈[1，3]，若12234k k k k x a a x a a a a a a ⎡⎤⎡⎤∈--∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，（k ∈R 且k ＞0），恒有f （x 1）≥f （x 2），则k 的最小值是_____．【答案】24．【解析】由已知可得()f x 是偶函数，且在[0,)+∞为增函数，要使12f x f x ≥（）（）恒成立，只需12||x x ≥，22120x x ≥﹣，而12x x <，只需12+0x x ≤，结合12,x x 范围，即可求解. 【详解】当x ＞0，可得﹣x ＜0，f （﹣x ）＝2x +x 2＝f （x ），同样可得x ＜0时，f （﹣x ）＝f （x ），且f （0）＝1，可得f （x ）为偶函数，画出f （x ）的图象，可得f （x ）在[0，+∞）递增，由f （x 1）≥f （x 2），可得f （|x 1|）≥f （|x 2|），即有|x 1|≥|x 2|，即x 12﹣x 22≥0，即（x 1﹣x 2）（x 1+x 2）≥0，由12234k k k kx a a x a a a a a a ⎡⎤⎡⎤∈--∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，（k ∈R 且k ＞0，a ＞0），可得x 1＜x 2，即x 1﹣x 2＜0，可得x 1+x 2≤0恒成立，可得a 2k a -+a 4k a -≤0，即有k 283a ≥，由任意的a ∈[1，3]，可得k 893⨯≥=24，则k 的最小值为24．故答案为:24.【点睛】本题考查函数的性质、不等式恒成立问题，解题的关键要将函数值的大小关系等价转化为自变量的关系，属于较难题. 17．设函数f （x ）＝|x ﹣2|+|x +1|．（1）解不等式f （x ）≥4．（2）若f （x ）+f （y ）≤6，求x +y 的取值范围．【答案】（1）][3522⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，；（2）[﹣2，4]．【解析】（1）分类讨论去绝对值，转化解一元一次不等式组；（2）根据绝对值不等式的性质，求出f （x ）+f （y ）的最小值，结合已知可求出f （x ）+f （y ）的值，进而求出结论. 【详解】（1）f （x ）＝|x ﹣2|+|x +1|121312212x x x x x --⎧⎪=-≤≤⎨⎪-⎩，＜，，＞．∵f （x ）≥4，∴1241x x -≥⎧⎨-⎩＜或2142x x -≥⎧⎨⎩＞，∴32x ≤-或52x ≥， ∴不等式的解集为][3522⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，；（2）f （x ）+f （y ）＝|x ﹣2|+|x +1|+|y ﹣2|+|y +1| ≥|x +y ﹣4|+|x +y +2|≥|（x +y ﹣4）﹣（x +y +2）|＝6，当且仅当（x +y ﹣4）（x +y +2）≤0，即﹣2≤x +y ≤4时取等号， ∵f （x ）+f （y ）≤6，∴|x +y ﹣4|+|x +y +2|≤6， ∴|x +y ﹣4|+|x +y +2|＝6，∴﹣2≤x +y ≤4， ∴x +y 的取值范围为[﹣2，4]．【点睛】本题考查解绝对值不等式，熟练掌握分类讨论去绝对值方法，应用绝对值不等式性质求最小值，不等式取等号的条件是解题的关键，属于中档题.三、解答题18．已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，且关于x 的不等式dx 2﹣a 1x ﹣3＜0的解集为{x |﹣1＜x ＜3}．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若22n an n b a =+，求数列{b n }前n 项和S n ．【答案】（1）a n ＝n +1；（2）2222 4.2n n n nS n ++=++-【解析】（1）由不等式的解集，结合韦达定理，求出1,a d ；（2）根据数列{b n }的通项公式，用等比数列和等差数列的前n 项和公式，即可求解. 【详解】（1）等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，且关于x 的不等式dx 2﹣a 1x ﹣3＜0的解集为{x |﹣1＜x ＜3}．则：﹣1和3是方程dx 2﹣a 1x ﹣3＝0的两根，故()113313a d d ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⋅=-⎪⎩，解得121a d =⎧⎨=⎩，所以a n ＝2+（n ﹣1）＝n +1．（2）由（1）得：22n an n b a =+=2n +1+2n +2＝2•2n +2n +2．所以()()222211222242122n n n n n n nS n n +-++=+⋅+=++--．【点睛】本题考查一元二次不等式解集求系数、等差数列通项、等差数列和等比数列的前n 项和，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.19．如图,已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面,平面ABCD ⋂平面ABPE AB =,且2,1,AB BP AD AE AE AB ====⊥,且AE BP P .（1）设点M 为棱PD 中点,在面ABCD 内是否存在点N ,使得MN ⊥平面ABCD ？若存在,请证明,若不存在,说明理由；（2）求二面角D PE A --的余弦值. 【答案】（1）存在点N ，为BD 中点；（2）23【解析】试题分析：（1）由题意可知PB ⊥平面ABCD ,所以只要构造直线//MN PB 即可，连接BD ，取BD 中点N ，构造三角形PBD 的中位线即可；（2）以A 为原点，AE ，AB ，AD 所在直线分别为轴，轴，轴建立坐标系,求出平面DPE 与平面APE 的法向量，利用空间向量相关知识求解即可. 试题解析：（1）连接，交于点N ，连接，则平面证明：为中点，N 为中点为的中位线，又平面平面平面ABCD平面=AB ,平面ABCD ,平面，又，平面所以平面（2）以A为原点，AE，AB，AD所在直线分别为轴，轴，轴建立坐标系，平面PEA平面PEA的法向量另外，，，,设平面DPE的法向量，则，令，得又为锐二面角,所以二面角的余弦值为【考点】1.线面垂直的判定与性质；2.空间向量的应用.20．2018年双11当天，某购物平台的销售业绩高达2135亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.9，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为140次．（1）请完成下表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.5％的前提下，认为商品好评与服务好评有关？对服务好评对服务不满意合计对商品好评140对商品不满意10合计200（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为X．①求随机变量X的分布列；②求X的数学期望和方差．附：，其中n＝a＋b＋c＋d．P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【答案】（1）详见解析（2）①详见解析②，【解析】(1)补充列联表，根据公式计算卡方值，进行判断；（2）（ⅰ）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3，x符合二项分布，按照二项分布的公式进行计算即可得到相应的概率值；（ⅱ）按照二项分布的期望和方差公式计算即可.【详解】（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表：对服务好评对服务不满意合计对商品好评140 40 180对商品不满意10 10 20合计150 50 200则．由于7.407＜7.879，则不可以在犯错误概率不超过0.5％的前提下，认为商品好评与服务好评有关．（2）（ⅰ）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3，则，，，．故X的分布列为X 0 1 2 3P（ⅱ）由于X ～B （3，），则，．【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确.21．椭圆()222210x y a b a b +=＞＞的离心率为22，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切．（1）求椭圆的方程；（2）M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，P 是椭圆上不同于M ，N 的一点，直线PM ，PN 交x 轴于D （x D ，0）E （x E ，0），证明：x D •x E 为定值．【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）由已知条件圆与直线20x y -+=相切，求出b ，再由离心率结合,,a b c 关系，即可求解；（2）设M （x 0，y 0），N （x 0，﹣y 0），P （x P ，y P ），求出直线PM ，PN 方程，进而求出,D E 坐标，结合点,M P 在椭圆上，即可证明结论. 【详解】（1）由题意e 22212c b a a ==-=b 2200211-+==+1，所以a 2=因此求椭圆的方程2212x y +=；（2）证明：设M （x 0，y 0），N （x 0，﹣y 0），P （x P ，y P ），则直线PM ：y ﹣y 000PPy y x x -=-（x ﹣x 0），令y ＝0，得x D ()000P Py x x y y --=+-x 0，同理直线PN ：y +y 000PPy y x x --=-（x ﹣x 0），得x E ()000P Py x x y y -=+--x 0，所以x D •x E ＝（()000P Py x x y y --+-x 0）•（()000P Py x x y y -+--x 0）222200220p Ppy x x y y y-=-，①又220012x y +=，2212P Px y +=，则x 02＝2（1﹣y 02），x P 2＝2（1﹣y P 2），代入① 整理得x D •x E ＝2 所以x D •x E 为定值2．【点睛】本题考查椭圆方程以及椭圆性质等基础知识，意在考查直观想象、逻辑分析、数学计算能力，属于中档题.22．已知函数f （x ）＝x 2﹣2a cos k π•lnx （k ∈N ，a ∈R 且a ＞0）．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若k ＝2018，关于x 的方程f （x ）＝2ax 有唯一解，求a 的值；（3）当k ＝2019时，证明：对一切x ∈（0，+∞），都有()2122xf x x a eex ⎛⎫--⎪⎝⎭＞成立．【答案】（1）见解析；（2）a 12=；（3）证明见解析. 【解析】（1）求导求出()f x '，对cos k π分类讨论，求出()0,()0f x f x ''><的解，即可求出结论；（2）问题转化为()()2g x f x ax -＝只有一个零点，求出函数的极值，根据图像可得极值点即为零点，建立方程关系，即可求出a ；（3）根据已知即证xlnx 2x x e e-＞，x ＞0恒成立，先考虑证明不等式成立的充分条件，即证明m min ax 2(ln x x x x e e ⎛⎫-⎪⎝⎭)＞，若不成立，则构造函数2()ln ,(0,)x F x x x x ee x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝-+∞⎭，证明min ()0F x >，即可证明结论.【详解】（1）由已知得x ＞0且f ′（x ）＝2x 2a x -cos k π＝2x ﹣2(1)k a x-⋅．当k 是奇数时，f ′（x ）＞0，则f （x ）在（0，+∞）上是增函数；当k 是偶数时，则f ′（x ）＝2x ()2222x a a x x--=．所以当x ∈（0）时，f ′（x ）＜0，当x ∈，+∞）时，f ′（x ）＞0．故当k 是偶数时，f （x ）在（0+∞）上是增函数．（2）若k ＝2018，则f （x ）＝x 2﹣2alnx ．记g （x ）＝f （x ）﹣2ax ＝x 2﹣2alnx ﹣2ax ， ∴g ′（x ）2x=（x 2﹣ax ﹣a ），若方程f （x ）＝2ax 有唯一解，即g （x ）＝0有唯一解；令g ′（x ）＝0，得x 2﹣ax ﹣a ＝0．因为a ＞0，x ＞0，所以x12a =0（舍去），x22a +=．当x ∈（0，x 2）时，g ′（x ）＜0，g （x ）在（0，x 2）是单调递减函数；当x ∈（x 2，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）在（x 2，+∞）上是单调递增函数．当x ＝x 2时，g ′（x 2）＝0，g （x ）min ＝g （x 2）．因为g （x ）＝0有唯一解，所以g （x 2）＝0．则 22222222200x alnx ax x ax a ⎧--=⎨--=⎩，两式相减得2alnx 2+ax 2﹣a ＝0，又∵a ＞0，∴2lnx 2+x 2﹣1＝0（）；设函数h （x ）＝2lnx +x ﹣1，因为在x ＞0时，h （x ）是增函数，所以h （x ）＝0至多有一解．因为h （1）＝0，所以方程（）的解为x 2＝1，从而解得a 12=．（3）证明：当k ＝2019时，问题等价于证明xlnx 2x x e e-＞，x ＞0，由导数可求φ（x ）＝xlnx （x ∈（0，+∞））的最小值是1e-，当且仅当x 1e =时取到，设m （x ）2x x e e =-，则m ′（x ）1x xe-=，当0＜x ＜1时，m ′（x ）＞0，函数m （x ）单调递增，当x ＞1时，m ′（x ）＜0，函数m （x ）单调递减， ∴m （x ）max ＝m （1）1e=-从而对一切x ∈（0，+∞），都有xlnx 2x x e e-＞，成立．故命题成立．【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值、零点、不等式证明，以及分类讨论思想，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.23．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，直线l的方程为y kx =，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)曲线C 与直线l 交于,A B两点，若OA OB +=k 的值．【答案】（1）24cos 10ρρθ-+=；（2）3±【解析】（1）先将曲线C 的参数方程化为普通方程()2223x y -+=，然后再化为极坐标方程24cos 10ρρθ-+=；（2）由题意，写出直线的参数方程，然后带入曲线的普通方程，利用韦达定理表示出A B OA OB t t +=+==.【详解】（1）由题，曲线C的参数方程为2x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），化为普通方程为：()2223x y -+=所以曲线C 的极坐标方程：24cos 10ρρθ-+=第 21 页共 21 页（2）直线l 的方程为y kx =，的参数方程为(x t t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)，然后将直线l 得参数方程代入曲线C 的普通方程，化简可得：210t t +=，1A B A B t t t t +=⋅=所以0,0A B t t >>故A B OA OB t t +=+==k =± 【点睛】本题主要考查了极坐标和参数方程的综合，极坐标方程，普通方程，参数方程的互化为解题的关键，属于基础题.。

2023届山东省新高考联合质量测评高三下学期3月联考物理试题

2023届山东省新高考联合质量测评高三下学期3月联考物理试题一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题如图所示，线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的固定轴转动，穿过线圈的磁通量随时间按正弦规律变化的图像如图所示，线圈转动周期为，线圈产生的电动势的最大值为。

则（）A ．在时，线圈中产生的瞬时电流最大B ．在时，线圈中的磁通量变化率最小C．线圈中电动势的瞬时值D．将线圈转速增大2倍，线圈中感应电动势的有效值增大2倍第(2)题固定的足够长斜面顶端有一个质量为m、电荷量为q的带正电荷的小球，以速度v0平抛。

整个装置处在竖直向下的匀强电场之中，场强大小E＝，小球从抛出到落到斜面的时间为t1，重力做功为W G1，电势能减少量为E p1，落到斜面上时的动能为E k1；若将电场方向改为竖直向上，其他条件不变，小球从抛出到落到斜面的时间为t2，重力做功为W G2，电势能增加量为E p2，落到斜面上时的动能为E k2，则下列关系式不正确的是（）A．t1：t2=1：3B．E k1：E k2=1：1C．W G1：W G2=1：1D．E p1：E p2=1：3第(3)题如图所示，在水平地面上的A点以速度v1跟地面成θ角射出一弹丸，恰好以v2的速度垂直穿入竖直壁上的小孔B，下列说法中正确的是（）A．若在B点以与v2大小相等、方向相反的速度射出弹丸，它必定落在地面上的A点B．若在B点以与v1大小相等、方向与v2相反的速度射出弹丸，它必定落在地面上的A点C．若在B点以与v2大小相等、方向相反的速度射出弹丸，它必定落在地面上A点的左侧D．若在B点以与v1大小相等、方向与v2相反的速度射出弹丸，它必定落在地面上A点的右侧第(4)题安培对物质具有磁性的解释可以用如图所示的情景来表示，那么（）A．甲图代表了被磁化的铁棒的内部情况B．乙图代表了被磁化的铁棒的内部情况C．磁体在高温环境下磁性不会改变D．磁体在高温环境下磁性会加强第(5)题如图所示，倾角为30°的斜面上用铰链连接一轻杆a，轻杆a顶端固定一质量为m的小球（体积可不计），轻绳b跨过斜面顶端的光滑小定滑轮，一端固定在球上，一端用手拉着，保持小球静让，初始时轻绳b在滑轮左侧的部分水平，杆与斜面垂直，缓慢放绳至轻杆水平的过程中，斜面始终静止，滑轮右侧的绳与竖直方向夹角始终不变，重力加速度为g，下列说法正确的是（）A．初始时轻绳上的拉力大小为B．地面对斜面的摩擦力始终向左且增大C．铰链对轻杆的支持力一直减小D．轻绳上的拉力一直减小第(6)题家庭装修使用的大理石中常含有放射性元素氡（），其衰变方程为：，半衰期为3.8天，则下列说法正确的是（）A．衰变中释放出的射线比射线的穿透能力强B．10个氡核经过3.8天的衰变剩余5个氡核C．钋（）的比结合能大于氡（）的比结合能D．若采用增大压强的方法，可以改变氡（）的半衰期第(7)题现代科学研究中常用到高速电子，电子感应加速器就是利用感应电场使电子加速的设备，它的基本原理如图所示，上、下为电磁铁的两个磁极，磁极之间有一个环形真空室。

华大联盟2024届高三下学期3月联考试题(全国乙卷) 数学(理)含答案

绝密★启用前（全国卷）理科数学试卷（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}3,1,2,3,1A B xa x a =--=+∣ ，若A B ⋂的子集有4个，则a 的值为（）A.-3B.-1C.2D.32.已知复数99100i i i z =+，则1iz-在复平面内对应点的坐标为（）A.1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B.10,2⎛⎫-⎪⎝⎭C.1,02⎛⎫⎪⎝⎭D.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3.已知点,,,A B C D 为平面内不同的四点，若23BD DA DC =- ，且()2,1AC =- ，则AB =（）A.()4,2- B.()4,2- C.()6,3- D.()6,3-4.近几年随着AI 技术的发展，虚拟人的智能化水平得到极大的提升，虚拟主播逐步走向商用，如图为2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数（较上一年增加的数量）条形图，根据该图，下列说法错误的是（）A.2014~2022年中国虚拟主播企业注册数量逐年增加B.2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的中位数为410C.2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的极差为915D.从图中9年企业注册增加数字中任取2个数字，这两个数字的平均数大于110的概率为13185.如图，网格纸中小正方形的边长为10cm ，粗线画出的是某体育比赛领奖台三视图，则该领奖台除去下底面的所有面的面积之和为（）A.216400cmB.218400cmC.220800cmD.223200cm 6.已知实数,x y 满足约束条件20,280,2100x y x y x y ++⎧⎪++⎨⎪--⎩，则3x y +的取值范围是（）A.3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.[]2,6 C.3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.9,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7.ABC 中2π16,,237A AB AC BC =+==，则ABC 的面积为（）A.1549B.349C.2049D.3498.若存在过原点的直线与函数()()22e xf x x ax =-的图象切于y 轴右侧，则a 的取值范围是（）A.1,2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.(),1∞- C.()1,∞+ D.1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭9.知名数学教育家单墫曾为中学生写了一个小册子《十个有趣的数学问题》，其中提到了开普勒的最密的将球装箱的方法：考虑一个棱长为2的正方体，分别以该正方体的8个顶点及6个面的中心为球心作半径为22的球，则这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为（）A.2π3B.2π3C.2π3D.2π610.已知点O 为坐标原点，点A 为直线()0y kx k =≠与椭圆222:1(1)x C y a a +=>的一个交点，点B 在C 上，OA OB ⊥，若22114||||3OA OB +=，则C 的长轴长为（）3B.3C.23D.611.已知()6116,ln ,log 71ln510115a b c =+==-，则（）A.a b c >>B.b c a >>C.a c b>> D.c a b>>12.已知第一象限内的点P 在双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上，点P 关于原点的对称点为12,,Q F F 是C的左､右焦点，点M 是12PF F 的内心（内切圆圆心），M 在x 轴上的射影为M '，记直线,PM QM ''的斜率分别为12,k k ，且11229F M k k F M ⋅⋅'='，则C 的离心率为（）A.2B.8C. D.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.()612112x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为__________.14.函数()()2312(2)log 22x f x x a +=+-+是偶函数，则a =__________.15.平面几何中有一个著名的塞尔瓦定理：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍.若点,,A B C 都在圆E 上，直线BC 方程为20x y +-=，且BC ABC = 的垂心()2,2G 在ABC 内，点E 在线段AG 上，则圆E 的标准方程为__________.16.已知()sin cos sin2f x x x x =+，给出下列命题：①()f x 的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称；②()f x 的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；③()f x 在区间()0,50上有33个零点；④若方程()34f x =在区间()0,(0)t t >有4个不同的解()1,2,3,4i x i =，其中()11,2,3i i x x i +<=，则1234x x x x t ++++的收值范围是89π109π,1212⎛⎤⎥⎝⎦.其中所有正确命题的序号为__________.（少选､错选都不给分）三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差350,1235S S d >+=，且1422a a 成等比数列.（1）求n a ；（2）若2πsin2n n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求100T .18.（12分）如图，在三棱锥A BCD -中，9AB =，其余各棱的长均为6，点E 在棱AC 上，2AE EC =，过点E 的平面与直线CD 垂直，且与,BC CD 分别交于点,F G.（1）确定,F G 的位置，并证明你的结论；（2）求直线DA 与平面DEF 所成角的正弦值.19.（12分）某高中数学兴趣小组，在学习了统计案例后，准备利用所学知识研究成年男性的臂长()cm y 与身高()cm x 之间的关系，为此他们随机统计了5名成年男性的身高与臂长，得到如下数据：x159165170176180y6771737678（1）根据上表数据，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01）；（3）从5名样本成年男性中任取2人，记这2人臂长差的绝对值为X ，求()E X .参考数据：518.6,16.8i i i x y ===≈∑参考公式：相关系数518.6,16.8i i i x y ===≈∑，回归方程ˆˆˆya bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆˆˆ,n iii ni i x x y y bay bx x x ==--==--∑∑.20.（12分）已知倾斜角为π04αα⎛⎫<<⎪⎝⎭的直线l 与抛物线2:2(0)C y px p =>只有1个公共点,A C 的焦点为F ，直线AF 的倾斜角为β.（1）求证：2βα=；（2）若1p =，直线l 与直线12x =-交于点P ，直线AF 与C 的另一个交点为B ，求证：PA PB ⊥.21.（12分）已知函数()()3223(0),ln 2f x x x a x g x x x ax x =-++>=+-.（1）若()(),f x g x 的导数分别为()(),f x g x ''，且(){}(){}00xf x xg x <⊆'<'∣∣，求a 的取值范围；（2）用{}min ,a b 表示,a b 中的最小值，设()()(){}min ,h x f x g x =，若1a >，判断()h x 的零点个数.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为122x ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()24cos 2sin 1ρρθθ=+-.（1）求直线l 的极坐标方程；（2）若直线l 与C 交于点,A B ，求OAB 的周长.23.选修4-5：不等式选讲已知(),,0,a b c ∞∈+.（1）若2221a bc ab c abc ++=，求()()a b b c ++的最小值；（2）若1a b c ++=，证明：()()()()()()34ab bc ca c a c b a b a c b c b a ++++++++ .绝密★启用前（全国卷）理科数学参考答案1.【答案】C【解析】因为11a a +-=，且A B ⋂的子集有4个，则A B ⋂中有2个元素，且这两个元素为2，3，所以2a =，故选C.2.【答案】A 【解析】因为99100i i i i 1i z ==+-，所以2i i 11i (1i)2i 2z ===----，所以1iz-在复平面内对应的点的坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选A.3.【答案】D【解析】由23BD DA DC =- 得33BD DA DA DC +=- ，即3BA CA =，又()2,1AC =- ，所以()36,3AB AC ==-，故选D.4.【答案】B【解析】由每年增加数均为正数，可得A 正确；20142022年中国虚拟主播企业注册年增加数的中位数为121，B 错误；20142022年中国虚拟主播企业注册年增加数的极差为948-33=915，C 正确；当且仅当从33，48，76，84，121中任取两个数字，其平均数不大于110，所以所求概率为2529C 131,D C 18-=正确，故选B.5.【答案】B【解析】解法一：该领奖台可看作由3个长方体构成的组合体，每个长方体的底面都是边长为40cm 的正方形，冠军台高50cm ，亚军台高40cm ，季军台高30cm ，该领奖台除去下底面的所有面的面积之和为3个长方体的表面积之和减去3个边长为40cm 的正方形面积，减去2个底边长为40cm 高为40cm 的矩形面积，减去2个底边长为40cm 高为30cm 的矩形面积，即()()222640160504030340240402403018400cm ⨯+⨯++-⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故选B.解法二：该领奖台可看作由3个长方体构成的组合体，每个长方体的底面都是边长为40cm 的正方形，冠军台高50cm ，亚军台高40cm ，季军台高30cm ，前后两个面的面积之和为()()22404050309600cm ⨯⨯++=，上面3个面的面积之和为()223404800cm⨯=，左右4个侧面的面积之和为()2240504000cm ⨯⨯=，所以该组合体除去下底面的所有面的面积之和为()296004800400018400cm ++=，故选B.6.【答案】C【解析】如图所示，不等式组表示的可行域是以()()92,4,1,,4,62A B C ⎛⎫--- ⎪⎝⎭为顶点的三角形区域，设3z x y =+，则3y x z =-+，作直线3y x =-，把该直线平移到点C 处z 取得最大值，max 3466z =⨯-=，平移到点B 处z 取得最小值，min 933122z =⨯-=-，所以3x y +的取值范围是3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选C.7.【答案】B 【解析】因为2π16,,237A AB AC BC =+==，由余弦定理得22222π42cos 3AB AC AB AC AB AC AB AC=+-⋅=++⋅2216()7AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+-⋅=-⋅ ⎪⎝⎭，所以6049AB AC ⋅=，所以ABC 的面积为1sin 2AB AC A ⋅=49，故选B.8.【答案】D【解析】因为()()22e x f x x ax =-，则()()2222e xf x x a x a '⎡⎤=+--⎣⎦，设切点为()(),(0)t f t t >，则()()f t f t t'=，即()22222t a t a t a +--=-，整理得()2120t a t +-=，所以1210,2t a a =->>，故选D.9.【答案】D【解析】以8个顶点为球心的球各有18在正方体内，以6个面的中心为球心的球各有12在正方体内，所以这些球在正方体的体积之和为4个半径为22的球的体积之和，所以这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为344π32π86⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭=，故选D.10.【答案】C【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，由2221y kx x y a=⎧⎪⎨+=⎪⎩得221221a x a k =+，由OA OB ⊥可得2222222221a a k x a a k k ==++，所以()2222222222212222221||1,||11a a k a a k OA kx OB x a k k a k ++⎛⎫=+==+= ⎪++⎝⎭，所以()()()2222222111111||||1a k OA OB a a k +++==++，所以22141,3,3a C a +==的长轴长为2a =，故选C.11.【答案】A【解析】设()()ln 1(0)f x x x x =+->，则()()110,1f x f x x =-<+'在()0,∞+上单调递减，所以()()00f x f <=，所以()()511111266ln 1,ln ln ln ,ln log 61ln51011101155x x >++>+==-，2222256lg5lg711(lg6)lg36lg35lg6lg7(lg6)lg5lg7222log 6log 70lg5lg6lg5lg6lg5lg6lg5lg6+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭-=-=>=>，所以a b c >>，故选A.12.【答案】A【解析】设圆M 与12,PF PF 分别切于点,A B ，则11F A F M ='，且111122121222F A F M F P AP F F M F F P F P F F a c +=-+-=-+'+'=，所以1F M a c '=+，点(),0M a '，设()()1111,,,P x y Q x y --，则2211221x ya b-=，所以222212111112222222111121,1,1F M y y y y b b c a e k k e x a a x a x a x a a F M c a e -++==⋅===-==------'-'，所以12122(1)9F M k k e F M '⋅=+='，2e =，故选A.13.【答案】-1【解析】()612112x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为615612(1)C (1)12⨯-+⨯⨯-=-.14.【答案】38【解析】因为()f x 是偶函数，所以()()()31231228log 83022x x f x f x ax a x +-++--=-=-=+，所以38a =.15.【答案】22(3)(3)18x y -+-=【解析】由ABC 的垂心()2,2G 到直线BC 距离d =，设圆E 半径为r ，由塞尔瓦定理可得r EG+(2EG =+，由圆的几何性质可得222(EG r ++=，联立解得EG r ==，因为直线BC 方程为20x y +-=，所以直线EG 方程为y x =，设(),E a a ，则E 到直线BC 距离d =='，解得1a =-（舍去）或3a =，所以圆E 的标准方程为22(3)(3)18x y -+-=.16.【答案】①④（少选､错选都不给分）【解析】由()()πf x f x -=-，可得①正确；由11sin cos ,1sin 122x x x --得()3322f x - ，当π33π3,4242f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，②正确；()()cos sin 2sin f x x x x =+，令()0f x =得sin 0x =或cos 0x =，()131π32ππ,50,50222x k k =∈<>Z ，所以()f x 在()0,50上有31个零点，③错误；()f x 是以2π为周期的周期函数，当(]0,πx ∈时()()33sin2,24f x x f x ==在(]0,π上有2个实根12,x x ，且12π2x x +=；当(]π,2πx ∈时()()13sin2,24f x x f x ==在(]π,2π上没有实根，()34f x =在(]2π,3π上有2个实根34,x x ，且349π2x x +=，34π5π2π,2π1212x x =+=+，所以123429π49π,5π1212t x x x x <+++= ，所以1234x x x x t ++++的取值范围是89π109π,1212⎛⎤⎥⎝⎦，④正确，所以正确命题的序号为①②④.17.【解析】（1）由351235S S +=得11212a d a d +++=，所以12312a d +=，因为1422a a 成等比数列，所以()142349a a a a =+，即()()11143923a a d a d +=+，把12312a d +=代入上式得()11412912a a -=⨯，解得19a =或13a =，当19a =时，1122203a d -==-<，不符合题意，当13a =时，112223a d -==，所以()1121n a a n d n =+-=+（2）因为2πsin2n n n b a =，当n 为偶数时，πsin02n =，所以22222210013579799T a a a a a a =-+-++- ()135797992d a a a a a a =-++++++ 3199450202002+=-⨯⨯=-.18.【解析】（1）取CD 中点O ，连接,AO BO ，由已知可得AC AD BC BD ===，所以,AO CD BO CD ⊥⊥，因为AO BO O ⋂=，所以CD ⊥平面AOB ，因为CD ⊥平面EFG ，所以平面EFG ∥平面AOB ，过E 作AB 的平行线与BC 的交点即为F ，过E 作AO 的平行线与CD 的交点即为G ，因为2AE EC =，所以112,36BF FC CG CO CD ===，所以当12,6BF FC CG CD ==时，平面EFG 与直线CD 垂直.（2）由题意可得OA OB ==，因为9AB =，所以120AOB ∠= ，以O 为原点，直线,OB OC 分别为x 轴，y 轴，过点O 与平面BCD 垂直的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则())930,3,0,,0,,,2,,2222D A E F ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以)93,3,,,,5,2222DA DF DE ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面DEF 的一个法向量为(),,n x y z = ，则有00n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得3502250x y z y ⎧-++=⎪⎨+=，取5x =，得(5,n =，设直线DA 与平面DEF 所成角为θ，则2309sin 103n DA n DA θ⋅==，所以直线DA 与平面DEF 所成角的正弦值为103.19.【解析】（1）由表中的数据和附注中的参考数据得5511850,170,365,73i i i i xx y y ======∑∑，()522222211150610282i i x x =-=++++=∑，()()5551118.6,62194170735144i i i i i i i i x x y y x y xy ====--=-=-⨯⨯=∑∑，()()5144240.99716.88.647i ix x y y r --∴==≈⨯∑.因为y 与x 的相关系数近似为0.997，说明y 与x 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系.（2）由73y =及（1）得()()()51521144ˆ0.51282i i i i i x x y y b x x ==--==≈-∑∑，24ˆˆ7317013.8147a y bx =-=-⨯≈-，所以y 关于x 的回归方程为ˆ13.810.51yx =-+（说明：根据ˆˆ730.5117013.70a y bx=-=-⨯≈-，得出ˆ13.700.51y x =-+.正确，）（3）X 的取值依次为2,3,4,5,6,7,9,11，()()()2225552111112,3,4C 5C 10C 10P X P X P X =========，()()()2225552111115,6,7C 5C 10C 10P X P X P X =========，()()225511119,,11C 10C 10P X P X ======所以()1111111127234567911510105101010105E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=20.【解析】（1）方法1：设2,2t A t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则l 的方程为2tan 2t y t x p α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，与22y px =联立得22220tan tan p pt y y t αα-+-=，因为直线l 与抛物线C 只有1个公共点，所以2224240tan tan p pt t αα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，整理得tan p t α=，所以2,2tan tan p p A αα⎛⎫ ⎪⎝⎭，又,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以222tan tan tan tan21tan 2tan 2p p p ααβααα===--，因为ππ0,0242αα<<<<，所以πtan tan20,02βαβ=><<，所以2βα=方法2：易知点()00,A x y 在第一象限，且直线l 与C 相切于点A，由y =y '=，所以l的方程为)0y x x =-+，设l 与x 交于点D ，则()0,0D x -，所以由抛物线的几何性质可知02p AF x DF =+=，故,2ADF DAF AFx ADF DAF ∠∠αβ∠∠∠α====+=（2）1p =时，C 的方程为22y x =，把11,tan p t α==代入2tan 2t y t x p α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭得l 的方程为2x t y t =+，把12x =-代入得122t y t=-，所以11,222t P t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由（1）知，2,2t A t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设200,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线AB 方程为12x my =+，与22y x =联立得2210y my --=，0,t y 是该方程的两个根，所以01y t =-，所以01y t=-，所以21112211122PA PBt t t k k t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭⋅=⋅=-+，所以PA PB⊥21.【解析】（1）因为()323(0)f x x x a x =-++>，所以()236f x x x =-+'，由()0f x '<得2x >，因为()2ln 2g x x x ax x =+-，所以()ln 21g x x ax =+-'，所以问题转化为2x >时ln 210x ax +-<恒成立，即2x >时1ln 2x a x -<恒成立，设()1ln (2)2x F x x x -=>，则()()22ln 2,2,e 2x F x x x '-=∈时()()0,F x F x '<单调递减，()2e ,x ∞∈+时()()0,F x F x '>单调递增，所以()2min 21()e 2e F x F ==-，所以212e a <-，即a 的取值范围是21,2e ∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（2）因为()()ln 2g x x x ax =+-，设()ln 2m x x ax =+-，则()1m x a x'=+，（i ）若1a <-，10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时()()0,m x m x '>单调递增，1,x a ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时()()0,m x m x '<单调递减，所以()11ln 30m x m a a ⎛⎫⎛⎫-=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1a <-时()()()()0,0,0m x g x h x g x <<< ，()h x 没有零点，（ii ）若1a >，由（1）知()()236,f x x x f x =-+'在()0,2上单调递增，且()00f a =>，所以()0f x >，当()0,2x ∈时，()m x 单调递增，且()1ln 10,2ln2220m a m a a ⎛⎫=--<=+-> ⎪⎝⎭，存在唯一()10,2x ∈使得()10m x =，()()110,0g x h x ==，当[)2,x ∞∈+时，()()ln 2ln2220,0m x x ax a g x =+->+->>，()f x 在[)2,∞+上单调递减，且()()323333240,464486448150f a f a a a a a a a a =+>=-++<-++=-<，所以存在唯一()22,x ∞∈+使得()()220,0f x h x ==，综上，1a <-时()h x 没有零点，1a >时()h x 有2个零点.22.【解析】（1）将122x t y t =+⎧⎨=-⎩中的参数t 消去，得24x y +=，把cos ,sin x y ρθρθ==代入24,x y +=得直线l 的极坐标方程为()2cos sin 4ρθθ+=.（2）解法一：设()()()()1122,0,,0A B ραρρβρ>>，由方程组()()22cos sin 4,4cos 2sin 1ρθθρρθθ⎧+=⎪⎨=+-⎪⎩得27ρ=，所以12ρρ==OA OB ==.因为点O 到直线l的距离5d ==，所以5AB =，所以OAB的周长为2955解法二：由222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，得C 的直角坐标方程为224210x y x y +--+=，即22(2)(1)4x y -+-=，曲线C 是以()2,1C 为圆心，半径为2的圆，点C 到直线l的距离155d ==，所以5AB ==，直线OC 与直线l 垂直，点O 到直线l的距离25d ==，所以OA OB ==所以OAB的周长为523.【解析】（1）因为()2221a bc ab c abc abc a b c ++=++=，所以()()()2a b b c b a b c ac ++=+++= ，当()1b a b c ac ++==时等号成立，所以()()a b b c ++的最小值为2.（2）因为(),,0,a b c ∞∈+且1a b c ++=，要证()()()()()()34ab bc ca c a c b a b a c b c b a ++++++++ ，即证()()()()()()31111114ab bc ca b a c b a c ++------ ，即证()()()()()()4141413111ab c bc a ca b a b c -+-+---- ，整理得9ab bc ca abc ++ ，所以即证1119a b c ++ ，而1113a b c a b c a b c b a c b a c a b c a b c a b b c c a ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭39+ ，等号在13a b c ===时成立.所以()()()()()()34ab bc ca c a c b a b a c b c b a ++++++++ 成立.。

河北省衡水中学2019届高三下学期全国统一联合考试(3月)数学(理)试题

全国高三统一联合考试理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}3,4,5A =，{}1,3,6B =，则集合{}2,7,8是( ) A.A B UB.A B IC.()U C A B ID.()U C A B U2.已知复数z 的实部不为0，且1z =，设1z z ω=+，则ω在复平面上对应的点在( )A.实轴上B.虚轴上C.第三象限D.第四象限3.将()2nx -的展开式按x 的升幂排列，若倒数第三项的系数是40-，则n 的值是( ) A.4B.5C.6D.74.如图所示是三棱柱与球的组合体的三视图，则三棱柱的体积与球的体积之比是( )33B.6πC.9π435.设1F ，2F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，以1F 为圆心、12F F 为半径的圆与双曲线左支的其中一个交点为A ，若12120AF F =∠°，则该双曲线的离心率是( ) 233131+6.若函数()()()2sin 20f x a x θθπ=+<<，a 是不为零的常数)在R 上的值域为[]2,2-，且在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调减函数，则a 和θ的值是( )A.1a =，3πθ=B.1a =-，3πθ=C .1a =，6πθ=D.1a =-，6πθ=7.已知函数()32f x x ax bx c =+++(a ，b ，c 均为常数)的图象关于点()1,0-对称，则b c -的值是( ) A.4-B.4C.2-D.28.已知“x a x b ≥⇒>”，且“x a x c <⇒≤”，则“x c ≤”是“x b ≤”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.“三个臭皮匠，楔个诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大，假设李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =；同时，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究项目M ，设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，若21P P ≥，则n 的最小值是( ) A.3B.4C.5D.610.已知向量()cos ,sin AB αα=u u u r ，()cos ,sin BC ββ=u u u r ，()cos ,sin CA γγ=u u u r，其中02αβγπ<<<<，则AB BC ⋅u u u r u u u r的值是( )A.12B.12-C.32-D.3 11.设函数()f x 定义如下表： x1 2 3 4 5 ()f x14253执行如图所示的程序框图，则输出的x 的值是( )A.4B.5C.2D.312.已知异面直线a ，b 所成的角为90°，直线AB 与a ，b 均垂直，且垂足分别为A ，B ，若动点P 在直线a 上运动，动点Q 在直线b 上运动，4PA QB +=，则线段PQ 的中点M 的轨迹所围成的平面区域的面积是( ) A.2B.4C.8D.12二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.抛物线24y x =-的焦点到它的准线的距离是____________.14.若实数x ，y 满足100x y x y +≥-⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =+取得最大值时对应的最优解是____________.15.已知在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，5cos A =，10cos B =，2c =，则a =____________.16.已知函数()xxf x e =，关于x 的方程()()220f x f x c -+=⎡⎤⎣⎦有以下四个结论： ①当0c =时，方程有3个实根；②当221c c e -=时，方程有3个实根；③当2211e c e -<<时，方程有2个实根；④当221e c e -<时，方程有4个实根. 以上结论中正确的有____________(填序号).三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知正项等比数列{}n a 满足()*14n n n a a n N +=∈. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设2211log log n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC AB AA ===，过1AA 的平面分别交BC ，11B C 于点D ，1D .(1)求证：四边形11ADD A 为平行四边形；(2)若1AA ⊥平面ABC ，D 为BC 中点，E 为1DD 中点，求二面角1A C E C --的余弦值. 19.最近，在“我是演说家”第四季这档节目中，英国华威大学留学生游斯彬的“数学之美”的演讲视频在微信朋友圈不断被转发，点赞的人数更是不断增加，对一周(7天)内演讲视频被转发的天数x 与点赞的人数y 进行了统计，数据见下表：根据所给数据(),x y ，画出了散点图以后，发现演讲视频被转发的天数x 与点赞的人数y 的关系可以近似地表示为x y a b =⋅(,a b 均为正常数). (题中所有数据的最后计算结果都精确到0.01) (1) 建立y 关于x 的回归方程；(2) 试预测，至少经过多少天，点赞的人数超过12000？附：①对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线$y x aβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为µβ=µy x β-. ②参考数据：20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆E 上一点A 在x 轴上的射影恰好为1F ，且直线2AF 的斜率为(1)求椭圆E 的离心率；(2)当2a =时，过点()0,2Q -的射线与椭圆E 交于不同的两点M ，N ，若点P 在射线QM 上，且满足2QM QN QP ⋅=u u u u r u u u r u u u r ，求点P 的横坐标0x 的取值范围.21.已知函数()ln f x x =.(1)设()()()()'F x f k x k f k =-+(其中0k >)，求证：()()f x F x ≤.(2)若曲线()y f x =与抛物线()22y ax a x =+-有两个公共点，求实数a 的取值范围.22.已知圆C 的极坐标方程为2sin 104πρθ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，直角坐标系xOy 的坐标原点O 与极点重合，x 轴的正半轴与极轴重合. (1)求圆C 的标准方程和它的一个参数方程； (2)设(),P x y 是圆C 上的任意一点，求xy 的最大值. 23.已知函数()1f x x x =+-. (1)解不等式()3f x ≥；(2)若()()2f x f y +≤，求x y +的取值范围.。

湖北省七市州2024届高三下学期3月联合统一调研测试数学试题含答案

2024年湖北省七市州高三年级3月联合统一调研测试数学试卷命题单位：荆州市教育科学研究院2024.3本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}2230,log 1A xx x B x x =-<=>∣∣，则()R A B ⋂=ð（）A.()0,2 B.(]0,2 C.(]1,2 D.()2,32.已知复平面内坐标原点为O ，复数z 对应点,Z z 满足()43i 34i z -=+，则OZ =（）A.45B.34C.1D.23.已知正方形ABCD 的边长为2，若BP PC = ，则AP BD ⋅=（）A.2B.-2C.4D.-44.已知椭圆22:1x C y m +=，则“2m =”是“椭圆C 的离心率为22”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.过点()1,1P -的直线l 与圆22:410C x y x ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A. D.26.已知公差为负数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若347,,a a a 是等比数列，则当n S 取最大值时，n =（）A.2或3B.2C.3D.47.若ππcos ,,tan 223sin αααα⎛⎫∈-= ⎪-⎝⎭，则πsin 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.718-B.718C.18+-D.18-8.能被3个半径为1的圆形纸片完全覆盖的最大的圆的半径是（）A.263B.62C.233D.3132+二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知,A B 为随机事件，()()0.5,0.4P A P B ==，则下列结论正确的有（）A.若,A B 为互斥事件，则()0.9P A B +=B.若,A B 为互斥事件，则()0.1P A B +=C.若,A B 相互独立，则()0.7P A B +=D.若()0.3P BA =∣，则()0.5P B A =∣10.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1DD 的中点，F 为正方形11C CDD 内一个动点（包括边界），且1B F ∥平面1A BE ，则下列说法正确的有（）A.动点FB.三棱锥11B D EF -体积的最小值为13C.1B F 与1A B 不可能垂直D.当三棱锥11B D DF -的体积最大时，其外接球的表面积为25π211.我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数.已知函数()422xf x =+，则下列结论正确的有（）A.函数()f x 的值域为(]0,2B.函数()f x 的图象关于点()1,1成中心对称图形C.函数()f x 的导函数()f x '的图象关于直线1x =对称D.若函数()g x 满足()11y g x =+-为奇函数，且其图象与函数()f x 的图象有2024个交点，记为()(),1,2,,2024i i i A x y i =，则()202414048i i i x y =+=∑三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭满足()2π3f x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 恒成立，且在区间π,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上无最小值，则ω=__________.13.已知双曲线22:13y C x -=的左右顶点分别为,A B ，点P 是双曲线C 上在第一象限内的点，直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ，则tan tan αβ⋅=__________；当2tan tan αβ+取最小值时，PAB 的面积为__________.14.已知函数()1ln 3f x ax b ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭22a b +取最小值时，b a 的值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，2,AB BC PBC == 是等边三角形，平面PBC ⊥平面,,ABCD O F 分别是,BC PC 的中点，AC 与BD 交于点E .（1）求证：BD ⊥平面PAO ；（2）平面OEF 与直线PD 交于点Q ，求直线OQ 与平面PCD 所成角θ的大小.某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：一周参加体育锻炼次数01234567合计男生人数1245654330女生人数4556432130合计579111086460（1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”.请完成以下22⨯列联表，并依据小概率值0.1α=的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；性别锻炼合计不经常经常男生女生合计（2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题.以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为X ，求()E X 和()D X ；（3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y ，求Y 的分布列和数学期望.附：()()()()22(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++α0.10.050.01x α2.7063.8416.63517.（本小题15分）已知各项均不为0的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1111,4n n n a a a S ++==.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若对于任意*,2nn n S λ∈⋅N成立，求实数λ的取值范围.如图，O 为坐标原点，F 为抛物线22y x =的焦点，过F 的直线交抛物线于,A B 两点，直线AO 交抛物线的准线于点D ，设抛物线在B 点处的切线为l.（1）若直线l 与y 轴的交点为E ，求证：DE EF =；（2）过点B 作l 的垂线与直线AO 交于点G ，求证：2||AD AO AG =⋅.19.（本小题17分）微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数()()1(0),f x x f x x=>在区间[],a b 上的图像连续不断，从几何上看，定积分1b a dx x ⎰便是由直线,,0x a x b y ===和曲线1y x=所围成的区域（称为曲边梯形ABQP ）的面积，根据微积分基本定理可得1ln ln b a dx b a x=-⎰，因为曲边梯形ABQP 的面积小于梯形ABQP 的面积，即ABQP ABQP S S <曲边梯形梯形，代入数据，进一步可以推导出不等式：211ln ln a b a b a b->-+.（1）请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：ln ln 2a b a ba b -+<-；（2）已知函数()2ln f x ax bx x x =++，其中,a b R ∈.（i ）证明：对任意两个不相等的正数12,x x ，曲线()y f x =在()()11,x f x 和()()22,x f x 处的切线均不重合；（ii ）当1b =-时，若不等式()()2sin 1f x x -恒成立，求实数a 的取值范围.数学参考答案及评分标准2024.31-8BCBA ABDC9.ACD10.ABD11.BCD12.1413.3；（填对一空得3分）14.24±15.解析：要求出被完全覆盖的最大的圆的半径，由圆的对称性知只需考虑三个圆的圆心构成等边三角形的情况，设三个半径为1的圆的圆心分别为123,,O O O ，设被覆盖的圆的圆心为O ，如图所示，设圆1O 与2O 交于12,,A B O O 交AB 于,H AB 交圆3O 于C ，方法1：设12313,,22x OO OO OO x O H OH ===∴==，:22x x OA OH HA =+=+=，又331OC OO O C x OA =+=+>，所以圆O 的最大半径为OA ，下求OA 的最大值，设()()2x f x f x =+'=，所以()f x 在30,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭为增函数，在323,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为减函数，max 323()33f x f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，即被完全覆盖的最大的圆的半径为233.此时1223311O O O O O O ===，即圆1O ､圆2O ､圆3O 中的任一圆均经过另外两圆的圆心.方法2：同上，设11,1AO H O A ∠θ== ，113cos ,sin ,O H AH OH OO OO θθ∴==∴===331,sinOC OO O C OA OH HA OCθ∴=+==+=<πsin sin,363OA OH HAθθ⎛⎫=+==+≤⎪⎝⎭即当π3θ=时，OA的最大值为3，即被完全覆盖的最大的圆的半径为3.此时1223311O O O O O O===，即圆1O､圆2O､圆3O中的任一圆均经过另外两圆的圆心.14.解析：设()f x的零点为t，则1ln03at b⎛⎫+-⎪⎝⎭，即()10*3at b+-=，设(),P a b为直线1:03l tx y+-=上任意一点，坐标原点O到直线l的距离为h=，因为(),P a bh≥，下求h13m m⎛⎫=≥⎪⎝⎭，则()()()21,mm e meg m g mm m'-==()g m∴在1,13⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，在()1,∞+为增函数，即()min()1g m g e==，此时22l3t=⇒=±，所以l的斜率为k=±，124ba k∴=-=±（此时22,33ea b=±=）.15.（1）证明：因为PBC为正三角形，O是BC中点，所以PO BC⊥，又因为平面PBC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面,.ABCD PO BD⊥()2211440,22BD AO BC BA BC BA BC BA BD AO⎛⎫⋅=+⋅-=-=-=⊥⎪⎝⎭，.AO BD∴⊥又,PO AO在平面POA内且相交，故BD⊥平面PAO（2）解：,E O分别为,BD BC的中点，EO∴∥DC，又平面PDC过DC且不过EO，EO∴∥平面,PDC.又平面OEF交平面PDC于QF，故EO∥QF，进而QF∥DC，因为F 是PC 中点，所以Q 是PD 的中点.方法1：以O 为原点，,,OE OC OP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()260,0,6,0,2,0,2,2,0,1,,22P C D Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()()2,0,0,0,2,6CD PC ==-设平面PCD 法向量为(),,n x y z = ，由00CD n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，20260x y z =⎧⎪⎨-=⎪⎩取()0,3,1n = ，26621,,sin cos ,22223OQ n OQ θ⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭所以π4θ=方法2：过点O 作PC 的垂线，垂足为H ，连接QH .因为DC BC ⊥且PO ⊥平面,ABCD PO DC ⊥，故有DC ⊥平面BPC ，平面PCB 与平面PCD 垂直且交线为PC ，故OH ⊥平面DPC ，故直线OQ 与平面PCD 所成角O OQH ∠=在直角三角形OHC 巾，60,2OCH OC ∠== 所以62OH =因为DC ⊥半面PBC ，故DC PC ⊥，又QF ∥DC ，所以QF PC ⊥.任直角三角形QFH 中，21,2QF FH ==，所以62QH =在直角三角形OQH 中62OH QH ==，所以45θ= 16.解：（1）列联表性别锻炼合计不经常经常男生72330女生141630合计213960零假设为0H ：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；根据列联表的数据计算2220.160(7162314)60(730)140 3.590 2.706213930302139303039x χ⨯-⨯⨯⨯===≈>=⨯⨯⨯⨯⨯⨯根据小概率值0.1α=的独立性检验，推断0H 不成立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1（2）因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X 近似服从二项分布，随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率51.6012p ==.120,12X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭故()1520123E X =⨯=()1115520121236D X =⨯⨯=.（3）10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，Y 服从超几何分布：()()0312737333101012170,112012040C C C C P Y P Y C C =======()()2130737333101021321357231204012024C C C C P Y P Y C C ⨯========故所求分布列为Y0123P11207402140724()37 2.110E Y ⨯==17.解析：（1）当2n ≥时，11141,41n n n n n n S a a S a a +--=+=+两式相减得()114n n n n a a a a +-=-⋅因为0n a ≠，故114n n a a +--=.所以1321,,,,n a a a -及242,,,,n a a a 均为公差为4的等差数列：当1n =时，由11a =及12114a a S +=，得23a =.()()211412211n a n n -∴=+-=--()()2341221n a n n =+-=-所以21n a n =-（2）由已知，2n S n =即22n n λ≥恒成立，设22n n n b =，则222111(1)21.222n n n n n n n n n b b ++++-++-=-=当11n -<<+1,2n =时110,n n n n b b b b ++-><当1n >*3,n n N ≥∈时110,n n n n b b b b ++<>-所以12345b b b b b <<>>> ，故()3max 98n b b ==，所以9,8λ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭18.解：设直线AB 的方程为()()11221,,,,,2x my A x y B x y =+联立2122x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2210y my --=.1212Δ021y y m y y >⎧⎪+=⎨⎪⋅=-⎩（1）不妨设A 在第一象限，B在第四象限，对于y y =='l ∴的斜率为21y =l ∴的方程为()2221y y x x y -=-，即为221.2y y x y =+.令0x =得20,2y E ⎛⎫ ⎪⎝⎭直线OA 的方程为：121122y y x x y x x y ===-，令12x =-得21,2D y ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以DE EF = 即DE EF =得证.（2）方法1：过点B 的l 得垂线的方程为：()222y y y x x -=--，即222212y y y x y ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭则22222122y y y x y y y x ⎧⎛⎫=-++⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=-⎩，解得G 的纵坐标为()2222G y y y =+要证明2||AD AO AG =⋅，因为,,,A O D G 三点共线，只需证明：22111G y y y y y -=⋅-（*）..()2222221222211y y y y y y +-=+= ()()222211221222112G y y y y y y y y y +⋅-=-+-=.所以（*）成立，2||AD AO AG =⋅得证方法2：由()2221,,,2D y B x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭知DB 与x 轴平行AFAOAB AD∴=①又DF 的斜率为2,y BG -的斜率也为2y -，所以DF 与BG 平行AFADAB AG ∴=②由①②得AOADAD AG ∴=，即2||AD AO AG =⋅得证19.解：（1）在曲线1y x =取一点2,2a b M a b +⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭.过点2,2a b M a b +⎛⎫ ⎪+⎝⎭作()f x 的切线分别交,AP BQ 于12,M M 囚为21ABQP ABM M S S >曲边梯形梯形()()12112ln ln 222b a AM BM AB b a a b ∴->⋅+⋅=⋅⋅⋅-+即ln ln 2a b a b a b -+<-.（2）方法1：由题意得：()2ln 1f x ax x b =+++'不妨设120x x <<，曲线()y f x =在()()11,x f x 处的切线方程为：()()()1111:l y f x f x x x '-=-，即()()()1111y f x x f x x f x '=+'-同理曲线()y f x =在()()22,x f x 处的切线方程为：()()()22222:7l y f x x f x x f x +'-'=分假设1l 与2l 重合，则()()()()()()12111222f x f x f x x f x f x x f x ⎧=⎪⎨-=-⎪'''⎩'，代入化简可得：()()212121ln ln 201(0)x x a x x a x x a ⎧-+-=⎪⎨+=-<⎪⎩两式消去a 可得：212121ln ln 20x x x x x x ---=+，得到212121ln ln 2x x x x x x -+=-由（1）的结论知212121ln ln 2x x x x x x -+<-，与上式矛盾即：对任意实数,a b 及任意不相等的正数121,,x x l 与2l 均不重合.方法2：同方法1得到2212111ln 201x x x x x x --=+设21(1)x t t x =>，即()()222114(1)ln 20,01(1)(1)t t g t t g t t t t t t --=-==-+++'=>()g t 在()1,∞+为增函数，()()10g t g ∴>=，矛盾.即：对任意实数,a b 及任意不相等的正数121,,x x l 与2l 均不重合（3）即：当1b =-时，不等式()()2sin 1f x x ≥-恒成立，()()2ln 2sin 10h x ax x x x x ∴=-+--≥在()0,∞+恒成立，()101h a ∴≥⇒≥⋯下证：当1a ≥时，()0h x ≥恒成立.因为1a ≥，所以()()2ln 2sin 1h x x x x x x ≥-+--设()()()()2ln 2sin 1,2ln 2cos 1H x x x x x x H x x x x =-+--='+--①当[)1,x ∞∈+时，由()22,,ln 0,2cos 12x x x ≥≥--≥-知()0H x '≥恒成立，即()H x 在[)1,∞+为增函数，()()10H x H ∴≥=成立；②当()0,1x ∈时，设()()2ln 2cos 1G x x x x =+--，()()122sin 1G x x x =++-'由()12sin 12,0x x -≥->知()0G x '≥恒成立，即()()G x H x ='在()0,1为增函数.()()10H x H ''∴<=，即()H x 在()0,1为减函数，()()10H x H ∴>=成立.综上所述：实数a 的取值范围是[)1,.∞+。

2021年高三数学第二学期3月月考试卷理(含解析)

2021年高三数学第二学期3月月考试卷理（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．设集合A={x丨丨x﹣1丨＜2}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（） A． [0，2] B．（1，3） C． [1，3） D．（1，4）2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5 B． 5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p ∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④4．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（） A． y= B． y=e﹣x C． y=﹣x2+1 D． y=lg|x|5．已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（）A． 2 B． C． 0 D．﹣6．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α与β相交，且交线平行于l B．α与β相交，且交线垂直于lC．α∥β，且l∥α D．α⊥β，且l⊥β7．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D． 38．已知在平面直角坐标系中有一个点列：P1（0，1），P2（x2，y2），…P n（x n，y n）（n∈N*）．若点P n（x n，y n）到点P n+1（x n+1，y n+1）的变化关系为：（n∈N*），则|P xx P xx|等于（）A． 21004 B． 21005 C． 21006 D． 21007二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.9．不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为．10．若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是．11．若2、a、b、c、9成等差数列，则c﹣a= ．12．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是．13．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω：，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为．14．（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsin θ=1．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为．15．如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF•DB= ．三、解答题16．已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．17．某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x（单位：月）与这种鱼类的平均体重y（单位：千克）得到一组观测值，如下表：x i（月） 1 2 3 4 5y i（千克） 0.5 0.9 1.7 2.1 2.8（1）在给出的坐标系中，画出关于x，y两个相关变量的散点图．（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归直线方程．（3）预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重（单位：千克）（参考公式：=，=﹣）18．已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C的中点（如图2）．（1）求证：BF∥面A1DE；（2）求证：面A1DE⊥面DEBC；（3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n•a n+1，n∈N*，其中a1=1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．20．已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y﹣4）2=1．（1）在抛物线C1上取点M，C2的圆周取一点N，求|MN|的最小值；（2）设P（x0，y0）（2≤x0≤4）为抛物线C1上的动点，过P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点．求AB的中点D的横坐标的取值范围．21．已知函数f（x）=alnx+x2﹣（1+a）x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：m、n∈N+时，m（m+n）[+++…+]＞n．xx学年广东省阳江市阳东县广雅学校高三（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．设集合A={x丨丨x﹣1丨＜2}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A． [0，2] B．（1，3） C． [1，3） D．（1，4）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．解答：解：A={x丨丨x﹣1丨＜2}={x丨﹣1＜x＜3}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}={y丨1≤y≤4}，则A∩B={x丨1≤y＜3}，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，利用条件求出集合A，B是解决本题的关键．2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5 B． 5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．解答：解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2=﹣2+i，则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，故选：A点评：本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．3．已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p∧q；②p ∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．解答：解：根据不等式的性质可知，若若x＞y，则﹣x＜﹣y成立，即p为真命题，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立，即命题q为假命题，则①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧（￢q）为真命题；④（￢p）∨q为假命题，故选：C．点评：本题主要考查复合命题之间的关系，根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假是解决本题的关键，比较基础．4．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A． y= B． y=e﹣x C． y=﹣x2+1 D． y=lg|x|考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D 在区间（0，+∞）上单调递增，可得结论．解答：解：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D在区间（0，+∞）上单调递增，故选：C．点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．5．已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（）A． 2 B． C． 0 D．﹣考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式，求得m的值．解答：解：由题意可得cos===，解得 m=，故选：B．点评：本题主要考查两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．6．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α与β相交，且交线平行于l B．α与β相交，且交线垂直于lC．α∥β，且l∥α D．α⊥β，且l⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．解答：解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选：A．点评：本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．7．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D． 3考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，结合条件可得a=b，从而c==b，即可求出双曲线的离心率．解答：解：不妨设右支上P点的横坐标为x由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，∴2ex=3b，（ex）2﹣a2=ab∴b2﹣a2=ab，即9b2﹣4a2﹣9ab=0，∴（3b﹣4a）（3b+a）=0∴a=b，∴c==b，∴e==．故选：B．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题．8．已知在平面直角坐标系中有一个点列：P1（0，1），P2（x2，y2），…P n（x n，y n）（n∈N*）．若点P n（x n，y n）到点P n+1（x n+1，y n+1）的变化关系为：（n∈N*），则|P xx P xx|等于（）A． 21004 B． 21005 C． 21006 D． 21007考点：数列递推式．专题：推理和证明．分析：由题设知P1（0，1），P2（1，1），P3（0，2），P4（2，2），P5（0，4），…，寻找其规律，即可求出|P xx P xx|．解答：解：由题设知P1（0，1），P2（1，1），P3（0，2），P4（2，2），P5（0，4），…∴|P1P2|=1，|P2P3|=，|P3P4|=2，|P4P5|=，…，∴|P xx P xx|=21006．故答案为：21006．点评：本题考查合情推理，考查学生对新定义的理解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.9．不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为{x|x＞} ．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：由不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0⇔不等式|2x+1|＞2|x﹣1|⇔（2x+1）2＞4（x﹣1）2即可求得答案．解答：解：∵|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0，∴|2x+1|＞2|x﹣1|≥0，∴（2x+1）2＞4（x﹣1）2，∴x＞．∴不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为{x|x＞}．故答案为：{x|x＞}．点评：本题考查绝对值不等式的解法，将不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0转化为（2x+1）2＞4（x﹣1）2是关键，着重考查转化思想与运算能力，属于中档题．10．若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是（﹣ln2，2）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先设P（x，y），对函数求导，由在在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，求出x，最后求出y．解答：解：设P（x，y），则y=e﹣x，∵y′=﹣e﹣x，在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，∴﹣e﹣x=﹣2，解得x=﹣ln2，∴y=e﹣x=2，故P（﹣ln2，2）．故答案为：（﹣ln2，2）．点评：本题考查了导数的几何意义，即点P处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用．11．若2、a、b、c、9成等差数列，则c﹣a= ．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可得2b=2+9，解之可得b值，再由等差中项可得a，c的值，作差即可得答案．解答：解：由等差数列的性质可得2b=2+9，解得b=，又可得2a=2+b=2+=，解之可得a=，同理可得2c=9+=，解得c=，故c﹣a=﹣==故答案为：点评：本题考查等差数列的性质和通项公式，属基础题．12．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是96 ．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可．解答：解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×=96种．故答案为：96．点评：本题考查排列组合以及简单的计数原理的应用，正确分组是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．13．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω：，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为37 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：根据圆与x轴相切，得到b=1，作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合进行判断即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：∵圆与x轴相切，∴由图象知b=1，即圆心在直线y=1上，若a2+b2最大，则只需要|a|最大即可，由图象知当C位于直线y=1与x+y﹣7=0的交点时，|a|最大，此时两直线的交点坐标为（6，1），此时a=6，故a2+b2的最大值为62+12=37，故答案为：37点评：本题主要考查线性规划的应用，利用圆和x轴相切，求出b，以及数形结合是解决本题的关键．14．（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsin θ=1．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为（1，1）．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，将极坐标方程化为普通方程，然后组成方程组，解之求交点坐标．解答：解：曲线C1：ρsin2θ=cosθ，即为ρ2sin2θ=ρcosθ，化为普通方程为：y2=x，曲线ρsinθ=1，化为普通方程为：y=1，联立，即交点的直角坐标为（1，1）．故答案为：（1，1）．点评：本题考查极坐标方程和普通方程的互化，考查解方程的运算能力，属于基础题15．如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF•DB= 5 ．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：利用相交弦定理得出DE=，再利用△DFE∽△DEB，得出DF•DB=DE2=5．解答：解：∵AB=6，AE=1，∴EB=5，OE=2．连接AD，则△AED∽△DEB，∴=，∴DE=．又△DFE∽△DEB，∴=，即DF•DB=DE2=5．故答案为：5点评：此题考查了垂径定理、直角三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意掌握垂径定理与直角三角形中的射影定理．三、解答题16．已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数奇偶性的性质．专题：三角函数的求值．分析：（1）把x=代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得．（2）利用f（）=﹣和函数的解析式可求得sin，进而求得cos，进而利用二倍角公式分别求得sinα，cosα，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．解答：解：（1）f（）=﹣（a+1）sinθ=0，∵θ∈（0，π）．∴sinθ≠0，∴a+1=0，即a=﹣1∵f（x）为奇函数，∴f（0）=（a+2）cosθ=0，∴cosθ=0，θ=．（2）由（1）知f（x）=（﹣1+2cos2x）cos（2x+）=cos2x•（﹣sin2x）=﹣，∴f（）=﹣sinα=﹣，∴sinα=，∵α∈（，π），∴cosα==﹣，∴sin（α+）=sinαcos+cosαsin=．点评：本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力．17．某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x（单位：月）与这种鱼类的平均体重y（单位：千克）得到一组观测值，如下表：x i（月） 1 2 3 4 5y i（千克） 0.5 0.9 1.7 2.1 2.8（1）在给出的坐标系中，画出关于x，y两个相关变量的散点图．（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归直线方程．（3）预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重（单位：千克）（参考公式：=，=﹣）考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）利用所给数据，可得散点图；（2）利用公式，计算回归系数，即可得到回归方程；（3）x=12代入回归方程，即可得到结论．解答：解：（1）散点图如图所示…（3分）（2）由题设=3，=1.6，…（4分）∴===0.58，a=﹣=﹣0.14…（9分）故回归直线方程为y=0.58x﹣0.14…（10分）（3）当x=12时，y=0.58×12﹣0.14=6.82…（11分）饲养满12个月时，这种鱼的平均体重约为6.82千克．…（12分）点评：本题考查回归分析的初步运用，考查学生的计算能力，属于中档题．18．已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C的中点（如图2）．（1）求证：BF∥面A1DE；（2）求证：面A1DE⊥面DEBC；（3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取A1D中点G，并连接FG，EG，能够说明四边形BFGE为平行四边形，从而根据线面平行的判定定理即可得出BF∥面A1DE；（2）先根据已知的边、角值说明△A1DE为等边三角形，然后取DE中点H，连接CH，从而得到A1H⊥DE，根据已知的边角值求出A1H，CH，得出，从而得到A1H⊥CH，从而根据线面垂直及面面垂直的判定定理即可证出面A1DE⊥面DEBC；（3）过H作HO⊥DC，垂足为O，并连接A1O，容易说明DC⊥面A1HO，从而得出∠A1OH为二面角A1﹣DC﹣E的平面角，能够求出HO，从而求出tan∠A1OH，即求出了二面角A1﹣DC﹣E 的正切值．解答：解：（1）证明：如图，取DA1的中点G，连FG，GE；F为A1C中点；∴GF∥DC，且；∴四边形BFGE是平行四边形；∴BF∥EG，EG⊂平面A1DE，BF⊄平面A1DE；∴BF∥平面A1DE；（2）证明：如图，取DE的中点H，连接A1H，CH；AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点；∴△DAE为等边三角形，即折叠后△DA1E也为等边三角形；∴A1H⊥DE，且；在△DHC中，DH=1，DC=4，∠HDC=60°；根据余弦定理，可得：HC2=1+16﹣4=13，在△A1HC中，，，A1C=4；∴，即A1H⊥HC，DE∩HC=H；∴A1H⊥面DEBC；又A1H⊂面A1DE；∴面A1DE⊥面DEBC；（3）如上图，过H作HO⊥DC于O，连接A1O；A1H⊥面DEBC；∴A1H⊥DC，A1H∩HO=H；∴DC⊥面A1HO；∴DC⊥A1O，DC⊥HO；∴∠A1OH是二面角A1﹣DC﹣E的平面角；在Rt△A1HO中，，；故tan；所以二面角A1﹣DC﹣E的正切值为2．点评：考查中位线的性质，平行四边形的概念，线面平行的判定定理，能根据折叠前图形的边角值得到折叠后对应的边角值，直角三角形边的关系，线面垂直、面面垂直的判定定理，二面角的平面角的定义及求法．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n•a n+1，n∈N*，其中a1=1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．考点：数列的求和；数列递推式；数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）令n=1，得，由a1=1，得a2=2．当n≥2时，推导出，由此利用累乘法能求出a n=n．（2）由b n====＜，利用放缩法和不等式的性质能证明T n＜．解答：（1）解：∵S n=n•a n+1，n∈N*，∴令n=1，得，由已知a1=1，得a2=2．…（1分）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=，即，即得：，n≥2，…（4分）∴，n≥3，即，n≥3，…（6分）又∵a2=2，∴a n=n，又∵a1=1，∴a n=n，n∈N*．…（7分）（2）证明：∵a n=n，∴b n====＜，…（11分）∴T n=b1+b2+…+b n＜=（）==，∴T n＜．…（14分）点评：本题考查数列的通项公式和不等式的证明，解题时要认真审题，注意累乘法和放缩法的合理运用．20．已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y﹣4）2=1．（1）在抛物线C1上取点M，C2的圆周取一点N，求|MN|的最小值；（2）设P（x0，y0）（2≤x0≤4）为抛物线C1上的动点，过P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点．求AB的中点D的横坐标的取值范围．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设出M的坐标，由圆C2：x2+（y﹣4）2=1可知圆心C2（0，4），写出|MC2|，利用配方法求其最小值，则|MN|的最小值为|MC2|的最小值减去圆的半径；（2）设出P，A，B的坐标，再设过点P的圆C2的切线方程为y﹣x02=k（x﹣x0），由点到直线的距离公式得到方程，则其两根为PA，PB的斜率，利用根与系数关系得到其两根和，再把y﹣x02=k（x﹣x0）代入y=x2得，，结合x0是此方程的根得到x1=k1﹣x0，x2=k2﹣x0，然后把AB的中点D的横坐标x用含有x0的代数式表示，再利用单调性结合x0的范围求得AB的中点D的横坐标的取值范围．解答：解：（1）设M（x，y），由圆C2：x2+（y﹣4）2=1可知圆心C2（0，4），则|MC2|===．当且仅当M（）时取“=”，∴|MN|的最小值为；（2）设P（x0，），，再设过点P的圆C2的切线方程为y﹣x02=k（x﹣x0），①则，即，设PA，PB的斜率为k1，k2（k1≠k2），则k1，k2是上述方程的两根，∴，，将①代入y=x2得，，由于x0是此方程的根，故x1=k1﹣x0，x2=k2﹣x0，∴AB的中点D的横坐标x===．∵y=是[2，4]上的减函数，且2≤x0≤4，∴y∈，则x．点评：本题主要考查圆与圆锥曲线的综合问题，其中涉及到直线与圆相切的问题，考查了学生的逻辑思维能力和运算能力，是压轴题．21．已知函数f（x）=alnx+x2﹣（1+a）x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：m、n∈N+时，m（m+n）[+++…+]＞n．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）由题意先求函数的定义域，再求导f′（x）=+x﹣（1+a）=，从而讨论导数的正负以确定函数的单调性；（2）由（2）知，当a=﹣时，f（x）=﹣lnx+x2﹣x≥0；当且仅当x=1时，等号成立；从而可化出当＞1时，＞﹣；从而证明．解答：解：（1）f（x）=alnx+x2﹣（1+a）x的定义域为{x|x＞0}，f′（x）=+x﹣（1+a）=；①当a=1时，f′（x）≥0，f（x）在定义域上是增函数；②当a＞1时，1＜x＜a时，f′（x）＜0，0＜x＜1或x＞a时，f′（x）＞0；故f（x）的单调减区间为（1，a）；单调增区间为（0，1），（a，+∞）；③当0＜a＜1时，a＜x＜1，f′（x）＜0，0＜x＜a或x＞1时，f′（x）＞0；故f（x）的单调减区间为（a，1）；单调增区间为（0，a），（1，+∞）；④当a＜0时，0＜x＜1，f′（x）＜0，x＞1时，f′（x）＞0；故f（x）的单调减区间为（0，1）；单调增区间为（1，+∞）；（2）证明：由（1）知，当a=﹣时，f（x）=﹣lnx+x2﹣x≥0；当且仅当x=1时，等号成立；即lnx≤x2﹣x，当＞1时，＞﹣；故+++…+＞﹣+﹣+…+﹣=﹣=；故m（m+n）[+++…+]＞n．点评：本题考查了导数的综合应用及构造函数证明不等式的方法应用，属于中档题．37577 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高三数学下学期3月质量检查试题理(含解析)

——————————教育资源共享步入知识大海————————2019 一般中学高中毕业班质量检查理科数学第Ⅰ卷（共60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每题 5 分 , 共 60 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的.1.已知会合，，则（）A. B. C. D.【答案】 B【分析】变形可得：，即则应选2.已知向量，, 则以下结论正确的选项是（）A. B. C. D.【答案】 B【分析】，则，即应选3.已知函数是偶函数，且，，则（）A. B. C. D.【答案】 C【分析】是偶函数应选4.若，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】 A【分析】由得由可得又，应选5.已知实数，知足，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】 B【分析】如图的几何意义为可行域内点与直线的斜率当时，应选6.设函数（，）的最小正周期为，且，则以下说法不正确的选项是（）A.的一个零点为B.的一条对称轴为C.在区间上单一递加D.是偶函数【答案】 C【分析】最小正周期为，即，又则，其单一增区间为即应选7.履行以下图的程序框图，则输出（）A. B. C. D.【答案】 B【分析】，，，，，，，，，应选8.惠安石雕是中国传统雕琢技艺之一，历经一千多年的繁衍发展，仍旧保存着特别纯粹的中国艺术传统，左以下图粗实虚线画出的是某石雕构件的三视图，该石雕构件镂空部分最中间的一块正是魏晋时期伟大数学家刘徽创建的一个独到的几何体——牟合方盖（以下右图），牟合方盖的体积（此中为最大截面圆的直径）.若三视图中网格纸上小正方形的边长为，则该石雕构件的体积为（）A. B. C. D.【答案】 C【分析】由三视图可知，该几何体是由正方体中去除两个圆柱体，此中，正方体的棱长为，圆柱体的直径为，高为两个圆柱体中间重合部分为牟合方盖该石雕构件的体积为应选9.以下图，正六边形中，为线段的中点，在线段上随机取点，入射光芒经反射，则反射光芒与线段订交的概率为（）A. B. C. D.【答案】 C【分析】如图， jianl平面直角坐标系，过对于的对称点可得过对于的对称点则：时，交点坐标为：时，交点坐标为概率为应选10.已知点是双曲线：（，）与圆的一个交点，若到轴的距离为，则的离心率等于（）A. B. C. D.【答案】 D【分析】到轴的距离为故点纵坐标为，代入椭圆代入圆，即即，应选11.现为一球状巧克力设计圆锥体的包装盒，若该巧克力球的半径为，则其包装盒的体积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】 B【分析】如图，设，则，当时，应选点睛：此题考察了球内接于圆锥体，求圆锥的体积最值，在解答过程中，运用三角函数表示有关量，依据体积的计算公式表示体积，而后利用函数性质求出最值，选用何种方式成立函数表达式是此题重点12.不等式有且只有一个整数解，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】 D【分析】即令，当时，，令，当时，即时，，即，当时，即时，，解得综上，应选点睛：此题考察了运用导数解答不等式问题，在剖析题目时，需要察看题目形式，将其变形为不等号右侧为二次函数的问题，联合图象议论函数的交点问题，还需要分类议论参量的范围，需要周密思虑，有必定难度。

高三数学下学期3月质量检测试题理含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学下学期3月质量检测试题理〔含解析〕本套试卷一共5页，23题〔含选考题〕，全卷总分值是150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★本卷须知：2．选择题的答题：每一小题在选出答案以后，请用黑色签字笔填写上在答题卡上对应的表格中． 3．非选择题的答题：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．4．选考题的答题：先把所选题目的题号用黑色签字笔填写上在答题卡上指定的位置，答案写在答题卡上对应的答题区域内．5．请学生自行打印答题卡．不能打印的，可在A4白纸上答题，选择题请标明题号，写清答案；非选择题请标明题号，自行画定答题区域，并在相应区域内答题，需要制图的请自行制图．6．答题完毕，请将答案用拍照并上传给，原那么上一张A4拍成一张照片，要注意照片的明晰，不要多拍、漏拍．一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．z ＝〔1+2i 〕〔1+ai 〕〔a ∈R 〕，假设z ∈R ，那么实数a ＝〔〕A.12B.12-C.2D.﹣2【答案】D 【解析】【分析】化简z ＝〔1+2i 〕〔1+ai 〕=()()122a a i -++，再根据z ∈R 求解.【详解】因为z ＝〔1+2i 〕〔1+ai 〕=()()122a a i -++，又因为z ∈R ，所以20a +=，解得a ＝-2. 应选：D【点睛】此题主要考察复数的运算及概念，还考察了运算求解的才能，属于根底题.M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，N ＝{x |x 〔x +3〕≤0}，那么M ∩N ＝〔〕A.[﹣3，2〕B.〔﹣3，2〕C.〔﹣1，0]D.〔﹣1，0〕【答案】C 【解析】【分析】先化简N ＝{x |x 〔x +3〕≤0}={x |-3≤x ≤0}，再根据M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，求两集合的交集. 【详解】因为N ＝{x |x 〔x +3〕≤0}={x |-3≤x ≤0}，又因为M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，所以M ∩N ＝{x |﹣1＜x ≤0}. 应选：C【点睛】此题主要考察集合的根本运算，还考察了运算求解的才能，属于根底题. 3.同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为〔〕 A.16B.518C.19D.512【答案】A 【解析】【分析】直接计算概率得到答案.【详解】一共有66=36⨯种情况，满足条件的有()()()()()()1,11,21,32,1,2,2,3,1，，，6种情况，故61366p ==. 应选：A .【点睛】此题考察了概率的计算，意在考察学生的计算才能. 4.在正项等比数列{a n }中，a 5-a 1=15，a 4-a 2=6，那么a 3=〔〕 A.2 B.4C.12D.8【答案】B 【解析】【分析】根据题意得到4511115a a a q a -=-=，342116a a a q a q -=-=，解得答案.【详解】4511115a a a q a -=-=，342116a a a q a q -=-=，解得112a q =⎧⎨=⎩或者11612a q =-⎧⎪⎨=⎪⎩〔舍去〕. 故2314a a q ==.应选：B .【点睛】此题考察了等比数列的计算，意在考察学生的计算才能. 5.执行如下列图的程序框图，输出的s 的值是〔〕 A.53B.85C.138D.2113【答案】C 【解析】【分析】根据循环构造依次进展，直至不符合4i ≤，终止循环，输出s .【详解】第一次循环，2,1s i ==，第二次循环，3,22si ==，第三次循环，5,33s i ==，第四次循环，8,45s i ==，第四次循环，13,58s i ==，此时不满足4i ≤，输出138s =.应选：C【点睛】此题主要考察程序框图中的循环构造，还考察了逻辑推理的才能，属于根底题. 6.等边△ABC 内接于圆τ：x 2+y 2=1，且P 是圆τ上一点，那么()PA PB PC ⋅+的最大值是〔〕B.1D.2【答案】D 【解析】【分析】如下列图建立直角坐标系，设()cos ,sin Pθθ，那么(1)cos PA PB PC θ⋅+=-，计算得到答案.【详解】如下列图建立直角坐标系，那么1,0A，1,22⎛- ⎝⎭B，1,22C ⎛-- ⎝⎭，设()cos ,sin P θθ，那么(1cos ,sin )(12cos ,2si (n ))PA PB PC θθθθ=--⋅--⋅+-222(1cos )(12cos )2sin 2cos cos 12sin 1cos 2θθθθθθθ=---+=--+=-≤.当θπ=-，即()1,0P -时等号成立.应选：D .【点睛】此题考察了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.f 〔x 〕＝sin 2x +sin 2〔x 3π+〕，那么f 〔x 〕的最小值为〔〕A.12B.14C.4D.2【答案】A 【解析】【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值.【详解】函数f 〔x 〕＝sin 2x +sin 2〔x 3π+〕，=21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭+，=1cos 2111cos 22223x x π⎛⎛⎫-=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以f 〔x 〕的最小值为12. 应选：A【点睛】此题主要考察倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考察了运算求解的才能，属于中档题. 8.数列{a n }满足a 1=1，(a n +a n+1-1)2=4a n a n +1，且a n +1>a n (n ∈N *)，那么数列{a n }的通项公式a n =〔〕A.2nB.n 2C.n +2D.3n -2【答案】B 【解析】【分析】1=，故为首项是1，公差为1的等差数列，得到答案.【详解】()21114n n n n a a a a +++-=，故11nn a a ++-=，即21=，1=，11a =，故为首项是1，公差为1的等差数列.n =，2n a n =.应选：B .1=是解题的关键.9.a ，b =0.40.8，c =log 84，那么〔〕 A.a<b<c B.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a【答案】D 【解析】【分析】计算得到555b c a <<，得到答案.【详解】5254582320.80.64,0.40.0256,log 4,0.13173243a b c c =======≈，故555b c a <<.即b c a <<. 应选：D .【点睛】此题考察了数值的大小比较，计算其五次方是解题的关键.10.青春因奉献而美丽，为了响应HY 的HY 关于“推动城乡义务教育一体化开展，高度重视农村义务教育〞精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的去支教，每个至少去1人，那么恰好有2名大学生分配去甲的概率为〔〕 A.25B.35C.15D.215【答案】A 【解析】【分析】计算所有情况一共有150种，满足条件的一共有60种，得到答案.【详解】所有情况一共有2133535322150C C C A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭种. 满足条件的一共有22253260C C A =种，故6021505p ==. 应选：A .【点睛】此题考察了概率的计算，意在考察学生的计算才能和应用才能.P 在椭圆τ：2222x y a b+=1(a>b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，假设PA ⊥PB ，那么椭圆τ的离心率e =〔〕A.12B.2C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】设()11,Px y ，那么()11,A x y --，()11,Q x y -，11,2yD x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ，根据PA PB ⊥化简得到2234a c =，得到答案.【详解】设()11,P x y ，那么()11,A x y --，()11,Q x y -，34PD PQ =，那么11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ，那么22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得到：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，2121221212PBy y x x b k x x a y y -+==-⋅-+，AD AB k k =，即1121124y y y x x x +=+，()1211124PA y y y k x x x +==+，PA PB ⊥，故1PA PBk k ⋅=-，即2241b a -=-，故2234a c =，故e =应选：C .【点睛】此题考察了椭圆的离心率，意在考察学生的计算才能和转化才能.x 的不等式3xe x -x -alnx ≥1对于任意x ∈(l，+∞)恒成立，那么实数a 的取值范围为〔〕A.〔-∞，1-e]B.〔-∞，-3]C.〔-∞，-2]D.〔-∞，2-e 2]【答案】B 【解析】【分析】化简得到3ln 1ln x x e x a x---≤，根据1x e x ≥+化简得到答案.【详解】根据题意：33ln 3ln 31111ln ln ln ln xx x x x x e x x e x e e x e x x a x x x x-----------≤===. 设()1x f x e x =--，那么()'1x f x e =-，那么函数在(),0-∞上单调递减，在[)0,+∞上单调递增，故()()min 00f x f ==，故1x e x ≥+.根据1xe x ≥+，3ln 13ln 113ln ln x x e x x x x x x----+--≥=-，故3a ≤-.应选：B .【点睛】此题考察了根据不等式恒成立求参数，利用不等式1x e x ≥+化简是解题的关键.二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分．x ±2y =0为渐近线的双曲线经过点(4,1)，那么该双曲线的HY 方程为________.【答案】221123y x -=【解析】【分析】设双曲线方程为224xy λ-=，代入点(4,1)，计算得到答案.【详解】双曲线渐近线为20x y ±=，那么设双曲线方程为：224x y λ-=，代入点(4,1)，那么12λ=.故双曲线方程为：221123y x -=. 故答案为：221123y x -=.【点睛】此题考察了根据渐近线求双曲线，设双曲线方程为224xy λ-=是解题的关键.f 〔x 〕cosx a sinx+=在〔0，2π〕上单调递减，那么实数a 的取值范围为___．【答案】a ≥﹣1．【解析】【分析】将函数f 〔x 〕cosx a sinx +=在〔0，2π〕上单调递减，转化()21cos 0sin a x f x x --'=≤在〔0，2π〕上恒成立即1cos a x ≥-在〔0，2π〕上恒成立再求1cos x -最大值即可.【详解】因为函数f 〔x 〕cosx asinx +=在〔0，2π〕上单调递减，所以()21cos 0sin a xf x x --'=≤在〔0，2π〕上恒成立，即1cos a x ≥-在〔0，2π〕上恒成立，因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 0,1x ∈，所以1(,1]cos x-∈-∞-，所以1a ≥-. 故答案为：1a ≥-【点睛】此题主要考察了导数与函数的单调性，还考察了转化化归的思想和运算求解的才能，属于中档题. 15.根据气象部门预报，在间隔某个码头A 南偏东45°方向的600km 处的热带风暴中心B 正以30km /h 的速度向正北方向挪动，间隔风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，从如今起经过___小时后该码头A 将受到热带风暴的影响〔准确到0.01〕．h.【解析】【分析】先建立坐标系，设风暴中心最初在B处，经th后到达C处．自B向x轴作垂线，垂足为D．假设在点C处受到热带风暴的影响，那么AC＝450，那么有=450，即=450；两边平方并化简、整理求解.【详解】建立如下列图直角坐标系：设风暴中心最初在B处，经th后到达C处．自B向x轴作垂线，垂足为D．假设在点C处受到热带风暴的影响，那么OC＝450，=450，=450；两边平方并化简、整理得t2﹣t+175＝0∴t5=或者5，所以9.14时后码头将受到热带风暴的影响．【点睛】此题主要考察了三角函数的实际应用，还考察了运算求解的才能，属于中档题.S-ABC中，底面△ABC是边长为3的等边三角形，SASB21π，那么二面角S-AB-C的余弦值为____．【答案】12-【解析】【分析】证明CD AB⊥，2O D AB⊥，得到2CDO∠为二面角S AB C--的平面角，计算故13ODOπ∠=，23ODOπ∠=，得到1223O DOπ∠=，得到答案.【详解】球的外表积为2421Rππ=，故R=，222SA SB AB+=，故2SABπ∠=.SAB∆的外接圆圆心为SB中点2O，2r=ABC∆的外接圆圆心为三角形中心1O，12r==.设球心为O，那么2OO⊥平面SAB，1OO⊥平面ABC，1CO与AB交于点D，易知D 为AB 中点，连接DO ，2DO ，易知CD AB ⊥，2O D AB ⊥，故2CDO ∠为二面角S AB C --的平面角.故132OO ==，232OO ==，1132DO CD ==，2122DO SA ==.1tan ODO ∠13ODO π∠=，2tan ODO ∠=23ODO π∠=.故1223O DO π∠=，121cos 2O DO ∠=-. 故答案为：12-. 【点睛】此题考察了三棱锥的外接球问题，二面角，意在考察学生的空间想象才能和计算才能.三、解答题：一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须答题．第22、23题为选考题，考生根据要求答题．〔一〕必考题：一共60分．17.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =4，tan tan tan tan A B c bA B c--=+.〔1〕求A 的余弦值；〔2〕求△ABC 面积的最大值．【答案】〔1〕12；〔2〕【解析】【分析】〔1〕根据正弦定理化简得到()()sin sin sin A B A B B -=+-，故sin 2sin cos B B A =，得到答案.〔2〕计算16bc ≤，再利用面积公式计算得到答案. 【详解】〔1〕tan tan tan tan A B c bA B c --=+，那么sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin A B A B C B A B A B C--=+，即()()sinsin sin A B A B B -=+-，故sin 2sin cos B B A =，sin 0B ≠，故1cos 2A =. 〔2〕2222cos a b c bc A =+-，故22162b c bc bc bc +-=≥-，故16bc ≤.当4b c ==时等号成立.1cos2A =，故sin A =，1sin 2Sbc A =≤ABC 面积的最大值为【点睛】此题考察了正弦定理，面积公式，均值不等式，意在考察学生的综合应用才能. 18.如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，L 分别为棱A 1D 1，C 1D 1，BC 的中点．〔1〕求证：AC ⊥QL ；〔2〕求点A 到平面PQL 的间隔．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕6a 【解析】【分析】〔1〕作QM CD ⊥于M ，证明AC ⊥平面QML 得到答案.〔2〕取AB 中点N ，连接,PN LN ，利用等体积法P ANL A PNL V V --=计算得到答案.【详解】〔1〕如下列图：作QMCD ⊥于M ，易知M 为CD 中点，L 为BC 中点，故AC ML ⊥.QM CD ⊥，故QM ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，故QM AC ⊥. QMML M=，故AC ⊥平面QML ，QL ⊂平面QML ，故AC QL ⊥.〔2〕取AB 中点N ，连接,PN LN ，易知//PQ LN ，AC QL ⊥，故PQLN 为矩形.故A 到平面PQL 的间隔等于A 到平面PNL 的间隔.故31113322224P ANLa a a V Sh a -==⨯⋅⋅⋅=.2112224PNLS NL NP a a ∆=⋅=⋅=，P ANLA PNL V V --=，即321324a d ⋅=，故d =. 【点睛】此题考察了线线垂直，点面间隔，意在考察学生的空间想象才能和计算才能.19.抛物线Γ：y 2＝2px 〔p ＞0〕的焦点为F ，P 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足FP =〔2，〕〔1〕求抛物线Γ的方程；〔2〕经过点A 〔3，﹣2〕的直线交抛物线Γ于M ，N 两点，经过定点B 〔3，﹣6〕和M 的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，假设过定点，求出该定点，否那么说明理由．【答案】〔1〕y 2＝4x ；；〔2〕直线NL 恒过定点〔﹣3，0〕，理由见解析.【解析】【分析】〔1〕根据抛物线的方程，求得焦点F 〔2p，0〕，利用FP =〔2，P 的坐标，再代入抛物线方程求解.〔2〕设M 〔x 0，y 0〕，N 〔x 1，y 1〕，L 〔x 2，y 2〕，表示出MN 的方程y 01014x y y y y +=+和ML 的方程y 02024x y y y y +=+，因为A 〔3，﹣2〕，B 〔3，﹣6〕在这两条直线上，分别代入两直线的方程可得y 1y 2＝12，然后表示直线NL 的方程为：y ﹣y 1124y y =+〔x 214y -〕，代入化简求解.【详解】〔1〕由抛物线的方程可得焦点F 〔2p，0〕，满足FP =〔2，的P 的坐标为〔22p +，，P 在抛物线上，所以〔22＝2p 〔22p+〕，即p 2+4p ﹣12＝0，p ＞0，解得p ＝2，所以抛物线的方程为：y 2＝4x ；〔2〕设M 〔x 0，y 0〕，N 〔x 1，y 1〕，L 〔x 2，y 2〕，那么y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，直线MN 的斜率k MN10102210101044y y y y y y x x y y --===--+，那么直线MN 的方程为：y ﹣y104y y =+〔x 204y -〕，即y 01014x y y y y +=+①，同理可得直线ML 的方程整理可得y 02024x y y y y +=+②，将A 〔3，﹣2〕，B 〔3，﹣6〕分别代入①，②的方程可得01010202122126y y y y y y y y +⎧-=⎪+⎪⎨+⎪-=⎪+⎩，消y 0可得y 1y 2＝12，易知直线k NL 124y y =+，那么直线NL 的方程为：y ﹣y 1124y y =+〔x 214y -〕，即y 124y y =+x 1212y y y y ++，故y 124y y =+x 1212y y ++，所以y 124y y =+〔x +3〕，因此直线NL 恒过定点〔﹣3，0〕．【点睛】此题主要考察了抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系，直线过定点问题，还考察了转化化归的思想和运算求解的才能，属于中档题.20.有人搜集了某10年中某城居民年收入〔即该城所有居民在一年内收入的总和〕与某种商品的销售额的相关数据：且101i i x =∑〔1〕求第10年的年收入x 10；〔2〕收入x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程y 363254x =+ˆa . 〔i 〕10年的销售额y 10；〔ii 〕居民收入到达40.0亿元，估计这种商品的销售额是多少？〔准确到0.01〕附加：〔1〕回归方程ˆˆˆy bx a =+中，11221ˆni i ni i x y nx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆa y bx=-. 〔2〕1022110254.0ii xx =-=∑，9112875.0i i i x y ==∑，921340.0i i y ==∑【答案】〔1〕46；〔2〕1051y =，41.96y =【解析】【分析】〔1〕直接根据101380ii x==∑计算得到答案.〔2〕利用公式计算1011022110363ˆ25410i ii ii x y x ybxx ==-⋅==-∑∑得到1051y =，得到中心点()38,39.1，代入计算得到答案.【详解】〔1〕10101323133363738394345380ii xx ==+++++++++=∑，故1046x =.〔2〕1011022110363ˆ25410i ii ii x y x ybxx ==-⋅==-∑∑，即10103401287546103836310254254y y ++-⋅⋅=，解得1051y =，故38x =，2530343739+41+42+44+485139.110y +++++==.将点()38,39.1代入回归方程363254y x a =+得到：15.21a ≈-.故36315.21254y x =-，当40x =时，41.96y =.【点睛】.此题考察了回归方程，意在考察学生的计算才能和应用才能. 21.〔1〕证明函数2sin 2cos x y e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增；〔2〕证明函数()2sin xe f x x x=-在(-π，0)上有且仅有一个极大值点0,x 且00() 2.f x <<【答案】〔1〕见解析〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕求出函数导数，根据导数正负性判断单调性即可证明.〔2〕根据〔1〕已有信息，对函数进展二次求导，判断单调性及函数的零点，综合分析，再利用定义域计算函数值的取值范围，即可得证. 【详解】〔1〕对函数求导，得，因为任意的x ∈R ,有0x e >，且在区间(,)2ππ--上，所以(,),2sin 0,4cos 0,2x x x x ππ-->->∀∈即'4cos 2sin 0x y e x x x =-+>，即函数2sin 2cos x y e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增.〔2〕对函数求导，得()()2212cos 'x x e x x f x x --=，令()()212cos x gx e x x x =--，那么()()'2sin 4cos x g x x e x x x =+-当,2x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，由〔1〕知，4cos 2sin 0xe x x x -+>，那么()'0g x < 故()gx 在,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减而()()2210,12022g e g e πππππππ--⎛⎫⎛⎫-=--<-=-++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由零点存在定理知：存在唯一的0,2x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭，使得()00g x =，即()()02000012cos x gx e x x x =--当()0,x x π∈-时，()00g x >，即()'0f x >，()f x 为增函数；当0,2x x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()00g x <，即()'0f x <，()f x 为减函数. 又当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()2212cos '0xx e x x f x x --=<所以()f x 在()0,0x 上恒为减函数，因此()f x 有唯一的极大值点0x由()f x 在0,2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故()20212sin 202222e f x f eππππππ-⎛⎫⎛⎫>-=--=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- 即()00f x >又()00002sin ,x e f x x x =-当0,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，故()02f x <综上，函数()2sin xe f x x x=-在(-π，0)上有且仅有一个极大值点0,x 且00() 2.f x <<【点睛】导数题是高考中的重难点，通常涉及根据导数分析函数单调性、极值点等，此类证明题多涉及二次求导步骤，根据定义域分析函数值范围等.〔二〕选考题：一共10分，请考生在第22、23题中任选一题答题，假设多做，那么按所做的第一题计分． [选修4-4:坐标系与参数方程]xOy 中，曲线C 1的参数方程为54x cos y sin αα=⎧⎨=⎩〔α为参数〕，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．〔1〕求曲线C 1的一般方程和曲线C 2的直角坐标方程；〔2〕假设点P 在曲线C 1上，点Q 曲线C 2上，求|PQ |的最小值．【答案】〔1〕2212516x y +=，〔x ﹣2〕2+y 2＝1；〔2〕2.【解析】【分析】〔1〕由C 1的参数方程为5(4x cos y sin ααα=⎧⎨=⎩为参数〕，消去参数即可转换为直角坐标方程，根据曲线C 2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．利用cos ,sin x y ρθρθ==转换为直角坐标方程.〔2〕设点P 〔5cosθ，4sinθ〕，根据点Q 在圆上，先求点P 到圆心的间隔，然后减去半径即为最小值.【详解】〔1〕曲线C 1的参数方程为5(4x cos y sin ααα=⎧⎨=⎩为参数〕，两式平方相加整理得2212516x y +=．将cos ,sin x y ρθρθ==代入ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．得x 2+y 2﹣4x +3＝0，整理得〔x ﹣2〕2+y 2＝1．〔2〕设点P 〔5cosθ，4sinθ〕在曲线C 1上，圆心O 〔2，0〕，所以：PO ===，当cosθ＝1时，|PO|min＝3，所以|PQ|的最小值3﹣1＝2．【点睛】此题主要考察了参数方程，普通方程，极坐标方程间的互化及点与圆的位置关系，还考察了转化化归的思想和运算求解的才能，属于中档题.[选修4-5:不等式选讲]f〔x〕＝|2x﹣a|+|x﹣a+1|．〔1〕当a＝4时，求解不等式f〔x〕≥8；〔2〕关于x的不等式f〔x〕22a≥在R上恒成立，求参数a的取值范围．【答案】〔1〕[5，+∞〕∪〔∞，13-]；〔2〕[﹣2，1].【解析】【分析】〔1〕根据a＝4时，有f〔x〕＝|2x﹣4|+|x﹣3|，然后利用绝对值的几何意义，去绝对值求解.〔2〕根据绝对值的零点有a﹣1和12a，分a﹣112a=，a﹣112a＞和a﹣112a＜时三种情况分类讨论求解.【详解】〔1〕当a＝4时，f〔x〕＝|2x﹣4|+|x﹣3|，〔i〕当x≥3时，原不等式可化为3x﹣7≥8，解可得x≥5，此时不等式的解集[5，+∞〕；〔ii〕当2＜x＜3时，原不等式可化为2x﹣4+3﹣x≥8，解可得x≥9此时不等式的解集∅；〔iii〕当x≤2时，原不等式可化为﹣3x+7≥8，解可得x13≤-，此时不等式的解集〔∞，13 -]，综上可得，不等式的解集[5，+∞〕∪〔∞，13 -]，〔2〕〔i〕当a﹣112a=即a＝2时，f〔x〕＝3|x﹣1|22a≥=2显然不恒成立，〔ii〕当a﹣112a＞即a＞2时，()1321211123211x a x af x x a x ax a x a⎧-+-≤⎪⎪⎪=--⎨⎪-+≥-⎪⎪⎩，，＜＜，，结合函数的单调性可知，当x12a=时，函数获得最小值f〔12a〕112a=-，假设f〔x〕22a≥在R上恒成立，那么211122a a-≥，此时a不存在，〔iii〕当a﹣112a＜即a＜2时，f〔x〕3211111213212x a x ax a x ax a x a⎧⎪-+-≤-⎪⎪=-+-⎨⎪⎪-+≥⎪⎩，，＜＜，假设f〔x〕22a≥在R上恒成立，那么121122a a-≥，解得﹣2≤a≤1，此时a的范围[﹣2，1]，综上可得，a的范围围[﹣2，1]．【点睛】此题主要考察了绝对值不等式的解法及含有绝对值的不等式恒成立问题，还考察了分类讨论的思想和运算求解的才能，属于中档题.。

山东省新高考联合质量测评2023届高三下学期3月联考数学试题

一、单选题1. 在某次电学物理实验中，经过电流计等相关仪器的测量近似得到：电流I （mA ）随时间t （m/s ）的变化关系为，其中，T 称为电路的时间常数．若在微型秒表的记录下该电路电流从减少到的时间间隔为6（m/s ），则该电路的时间常数约为（）参考数据：，结果精确到1m/sA ．10m/sB ．15m/sC ．20m/sD ．30m/s2. 已知向量，，则（）A ．2B ．3C ．4D ．53. 复数满足，则( )A．B．C．D．4. 设数列的前项和为，若，且，，则（）A．B．C．D．5.已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．6. 给出命题：（1）在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；（2）设是不同的直线，是一个平面，若，，则；（3）已知表示两个不同平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的充要条件；（4）是两条异面直线，为空间一点, 过总可以作一个平面与之一垂直，与另一个平行．其中正确命题个数是（）A．B．C．D．7. 已知函数，下列结论正确的是（）A．的图象是中心对称图形B．在区间上单调递增C．若方程有三个解，，则D．若方程有四个解，则8. 投掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件两次的点数均为质数两次的点数之差为偶数，则等于（）A．B．C．D．9. 下列关于点、直线、平面的说法，正确的是（）A ．若两平面有三个公共点，则它们一定重合B ．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内C．分别为不同的直线和平面，若，，若，则D．分别为不同的直线和平面，若，，若，则10.已知抛物线，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，以为直径的圆与抛物线的准线相切，切点的纵坐标是，则抛物线的准线方程为（）山东省新高考联合质量测评2023届高三下学期3月联考数学试题二、多选题A．B．C．D．11. 若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（）A．B．C．D．12. 如图，在棱长为的正方体中，点是平面内一个动点，且满足，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为（）A．B．C．D．13. 设、，则“且”是“”的条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．非充分非必要14. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，且为线段上的动点（不含端点），设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，直线与所成的角为，则（）A ．，B ．，C ．，D ．，15. 已知是纯虚数，是实数，那么（）A．B ．C．D．16. 已知双曲线经过抛物线的焦点，且双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，则双曲线的离心率是A ．2B．C．D．17. 在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线的焦点的直线l与该抛物线的两个交点为，，则（）A．B ．以AB 为直径的圆与直线相切C．的最小值D．经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点一定在定直线上18. 已知函数，则（）A．曲线的对称轴为B ．在区间上单调递增C．的最大值为D．在区间上的所有零点之和为19. 已知函数，.若存在，使得对任意，，则（）A．任意B．任意C．存在，使得在上有且仅有2个零点D ．存在，使得在上单调递减20. 已知函数，下列说法正确的是（）A．在上单调递增B．存在唯一的零点，且C．过原点可作曲线的两条切线D．若有两个不等实根，则21. 已知定义在上的偶函数对任意的满足，当时，，函数且，则下列结论正确的有（）A．是周期为的周期函数B．当时，C．若在上单调递减，则D．若方程在上有个不同的实数根，则实数的取值范围是22. 如图，在正方体中，E，F，G分别为AB，BC，的中点，则下列说法中正确的是（）A．B．平面C．直线与所成角的余弦值为D．若，棱台的表面积为23. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且.则下列结论正确的是（）三、填空题四、解答题A．三棱锥的体积为定值B．当向运动时，二面角逐渐变小C ．在平面内的射影长为D．当与重合时，异面直线与所成的角为24. 为调研某地空气质量，测得该地连续10天PM2.5（PM2.5是衡量空气质量的重要指标，单位：）的日均值，依次为，则（）A ．中位数为31或33B ．第60百分位数与众数相同C ．前4天的极差大于后4天的极差D ．前4天的方差小于后4天的方差25. 椭圆的焦距为4，则m 的值为___________.26. 若直线被直线：与：截得的线段长为，则直线的倾斜角的值为______．27. 已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是________．28. 若点在直线上，则的值等于______________ .29. 已知，是空间中两条不同的直线，，，是空间中三个不同的平面，下列命题正确的序号是___．①若，，则； ②若，，则；③若，，则； ④若，，则．30. 已知，，则______．31. 写出一个定义在R上且值域为的奇函数___________.32. 已知，则__________.33. 已知角的顶点与原点O 重合，它的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点.(1)求的值；(2)求值：.34.在数列中，，且.(1)求的通项公式；(2)若，数列的前项和为，求五、解答题35.如图，在多面体中，四边形为菱形，且∠ABC =60°，AE ⊥平面 ABCD ，AB =AE =2DF ，AE DF.(1)证明：平面AEC ⊥平面 CEF ；(2)求平面ABE 与平面CEF 夹角的余弦值.36.已知函数（Ⅰ）将函数化简成的形式，并指出的周期；（Ⅱ）求函数上的最大值和最小值37. 已知函数.（1）化简函数的表达式，并求函数的最小正周期；（2）若点是图象的对称中心，且，求点的坐标.38. （1）求曲线和曲线围成图形的面积；（2）化简求值：．39. 当m取哪些值时，直线与椭圆有一个交点？两个交点？没有交点？当它们有一个交点时，画出它的图象．40. 某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况,从产品中随机抽取了个进行测量,根据所测量的数据画出频率分布直方图如下:注:尺寸数据在内的零件为合格品,频率作为概率.(Ⅰ) 从产品中随机抽取件,合格品的个数为,求的分布列与期望； (Ⅱ) 从产品中随机抽取件,全是合格品的概率不小于,求的最大值；(Ⅲ) 为了提高产品合格率,现提出两种不同的改进方案进行试验.若按方案进行试验后,随机抽取件产品,不合格个数的期望是；若按方案试验后,抽取件产品,不合格个数的期望是,你会选择哪个改进方案?41. 为备战2016年奥运会，甲、乙两位射击选手进行了强化训练．现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：8.3，9.0，7.9，7.8，9.4，8.9，8.4，8.3乙：9.2，9.5，8.0，7.5，8.2，8.1，9.0，8.5(1)画出甲、乙两位选手成绩的茎叶图；(2)现要从中选派一人参加奥运会封闭集训，从统计学角度，你认为派哪位选手参加合理？简单说明理由；(3)若将频率视为概率，对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩中不低于8.5分的次数为，求的分布列及均值．42. 为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于 2021 年 1 月 15 日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了规定. 某中学研究型学习小组调查研究 “中学生每日使用手机的时间”. 从该校中随机调查了 100 名学生，得到如下统计表:时间tmin人数1036341064(1)估计该校学生每日使用手机的时间的平均数 (同一组数据用该组区间的中点值作代表);(2)以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选 3 人，记这 3 人每日使用手机的时间在的人数为随机变量，求的分布列和数学期望.43. 2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人.2019年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时，为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者，得到其平均每月的志愿服务时长（单位：小时）频数分布表如下：500名志愿者平均每月的志愿服务时长频数分布表：服务时长频数1050100190904020（1）在答题卡上作出这500名志愿者平均每月的志愿服务时长的频率分布直方图；（2）求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）.44. 某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制.各等制划分标准为：85分及以上，记为等；分数在内，记为等；分数在内，记为等；60分以下，记为等.同时认定为合格，为不合格.已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为的所有数据茎叶图如图2所示.六、解答题(1)求图1中的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；(2)在选取的样本中，从甲，乙两校等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量的分布列和数学期望．45. 已知四棱锥中，侧面为等边三角形，底面为直角梯形，，，，.(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.46.记是定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：①对任意的，都有；②存在常数，使得对任意的、，都有.（1）设函数，，判断函数是否属于？并说明理由；（2）已知函数，求证：方程的解至多一个；（3）设函数，，且，试求实数的取值范围.47.如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面所截后得到的，其中，，.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.48. 已知数列，是其前项和，且满足.(1)求证:数列是等比数列；(2)设，且为数列的前项和，求数列的前项和.49.如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，为线段上一点.七、解答题(1)求证：；(2)在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.50. 如图，在四棱锥中，平面，且，，，，，为的中点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．51. 现有甲乙两个项目，对甲、乙两个项目分别投资2万元，甲项目一年后利润是万元、万元、万元的概率分别是、、；乙项目的利润随乙项目的价格变化而变化，乙项目在一年内，价格最多可进行两次调整，每次调整的概率为，设乙项目一年内价格调整次数为，取、、时，一年后利润分别是万元、万元、万元.设、分别表示对甲、乙两个项目各投资万元一年后的利润.（1）写出、的概率分布列和数学期望；（2）当时，求的取值范围.52. 第五代移动通信技术（英语：或，简称或技术）是最新一代蜂窝移动通信技术，也是继、和系统之后的延伸.的性能目标是高数据速率减少延迟、节省能源、降低成本、提高系统容量和大规模设备连接.某大学为了解学生对“”相关知识的了解程度，随机抽取名学生参与测试，并将得分绘制成如下频数分布表：得分男性人数女性人数（1）将学生对“”的了解程度分为“比较了解”（得分不低于分）和“不太了解”（得分低于分）两类，完成列联表，并判断是否有的把握认为“学生对“”的了解程度”与“性别”有关？不太了解比较了解合计男性女性合计（2）以这名学生中“比较了解”的频率作为该校学生“比较了解”的概率.现从该校学生中，有放回的抽取次，每次抽取名学生，设抽到“比较了解”的学生的人数为，求的分布列和数学期望.附：（）.临界值表：八、解答题53. 学校体育节的投篮比赛中，10名学生的投中个数（每人投10个球）统计表如下：编号12345678910投中个数79898107769(1)求这10名学生投中球的个数的方差；(2)从投进9个球和10个球的学生中选2人接受采访，求这2人恰好是投进9个球和10个球各1人的概率.54. 甲､乙两人进行一次乒乓球比赛，比赛最多打5个回合，先胜3回合者胜出且比赛结束.在每回合比赛中，先发球者获胜的概率为0.6，胜者获得下一回合先发球的资格.已知第1回合中，甲先发球.(1)求比赛只进行了3回合的概率；(2)设比赛共进行了X 回合，求X 的数学期望.55. 王先生今年初向银行申请个人住房贷款100万元购买住房，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分10年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括本金和利息）.(1)若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还15000元，最后一个还贷月应还6500元，试计算王先生该笔贷款的总利息；(2)若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为，.银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入为23000元，试判断王先生该笔贷款能否获批.（不考虑其他因素）参考数据，，56. 某公司按销售额给销售员提成作奖金，每月的基本销售额为20万元，超额中的第一个5万元（含5万元以下），按超额部分的提成作奖金；超额中的第二个5万元，按超额部分的提成作奖金；……后每增加5万元，其提成比例也增加一个．如销售员某月销售额为27万元，则按照合约，他可得奖金为元．试求：(1)销售员某月获得奖金7200元，则他该月的销售额为多少？(2)若某销售员、月份的总销售额为60万元，且两月都完成基本销售额，那么他这两个月的总奖金的最大、最小值分别是多少？57. 如图，已知，点是以为圆心，5为半径的半圆上一动点.(1)当时，求线段的值；(2)若为正三角形，求四边形面积的最大值.58. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，,点为的中点.(1)证明：；(2)设点在线段上，且平面，若平面平面，求二面角的大小.59. 在锐角三角形中，内角A，，所对的边分别为，，，且．(1)求角的值．(2)求的取值范围．60.已知椭圆的离心率为，以椭圆中心为圆心，长半轴长为半径的圆被直线截得的弦长为（1）求椭圆的方程；（2）椭圆的左顶点为，右顶点为，右焦点，是椭圆位于轴上方部分的一个动点，以点为圆心，过点的圆与轴相交，交点在右边，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线，交直线于点，判断是否为定值，并给出证明.61. 如图，已知椭圆C：的离心率为，并且椭圆经过点P(1，)，直线的方程为x＝4．（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆内一点E(1，0)，过点E作一条斜率为k的直线与椭圆交于A，B两点，交直线于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数，使得k1＋k2＝k3？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．62. 三棱柱中，四边形是菱形，，平面平面，是等腰三角形，，，与交于点M，，的中点分别为N，O，如图所示.(1)在平面内找一点D，使平面，并加以证明；(2)求二面角的正弦值.。

2021-2022年高三数学下学期3月联考试卷理

2021-2022年高三数学下学期3月联考试卷理一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.若集合{}()(){}|6,|290M x N x N x x x =∈<=--<，则（）A ．B ．C ．D ．2.若为纯虚数，其中R ，则（）A ．B ．C ．D ．3．在区间[－1，1]上随机取一个数k ，使直线y =k (x +3)与圆x 2+y 2=1相交的概率为（）A ．B ．C ．D ．4．执行如右图所示的程序框图，则输出的s 的值是（）A ．7B ．6C ．5D ．35．在△ABC 中，3,3AB AC AB AC AB AC +=-==，则的值为（）A ．3B ．C ．D ．6.已知M 是面积为1的△ABC 内的一点(不含边界)，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为x ，y ，z ，则1x ＋y ＋x ＋y z的最小值是( ) A.2 B.3 C.3.5 D.4 7.已知锐角的终边上一点（，），则等于（）A ．B ．C ．D ．8.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．4 B． C． D．89．已知满足线性约束条件35,y xx yyλ-≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若的最大值与最小值之差为5，则实数的值为（）A．3 B． C． D．110．将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象，则（）A． B．的图象关于对称C．D．的图象关于对称11．已知函数是定义在R上的偶函数，为奇函数，时，，则在区间(8，9)内满足方程的实数x 为（）A． B． C． D．12．已知函数与的图象上存在关于轴的对称点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13. 若的二项展开式的常数项是，则实数 .14．已知圆和两点，（），若圆上存在点，使得，则的取值范围是．15. 观察如图等式，照此规律，第个等式为．4567891049++++++=16. 椭圆的右顶点为，经过原点的直线交椭圆于两点，若，，则椭圆的离心率为 .三、解答题：(本大题共6小题，共70分)17.（本题满分12分）已知数列的前项和为，，且满足()22441,.n n a S n n N *+=++∈（1）求及通项公式；（2）若，求数列的前项和.18.（本题满分12分）如图，在三棱柱中，平面，11,2,1,3BCC AB BB BC D π∠====为的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.19.(本小题满分12分)某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛．规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛．现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成如下所示的频率分布直方图．（1）估算这200名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数；（2）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛．现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段．抢答规则：抢到的队每次需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错1条扣20分．根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为，乙队猜对前两条的概率均为，猜对第3条的概率为．若这两队抢到答题的机会均等，您做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪队？分数频率/组距2001801601401201000.0250.0190.0030.0015O20．（本题满分12分已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P ，M ，N 为椭圆C 上的三点，若四边形OPMN 为平行四边形，证明四边形OPMN 的面积S 为定值，并求该定值．21．（本题满分12分已知函数f （x ）=sinx+tanx ﹣2x ．（1）证明：函数f （x ）在（﹣，）上单调递增；（2）若x ∈（0，），f （x ）≥mx 2，求m 的取值范围．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答 (本题满分10分) 22．已知直线l ：（t 为参数），曲线C 1：（θ为参数）．（1）设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB|；（2）若把曲线C 1上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C 2，设点P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 的距离的最大值．23．已知函数f （x ）=|x ﹣2|+|3x+a|．（1）当a=1时，解不等式f （x ）≥5；（2）若存在x 0满足f （x 0）+2|x 0﹣2|＜3，求实数a 的取值范围．一、选择题 ACDB DBCB ABAD二、填空题13.1 14.[4,6] 15. ()()()213221n n n n +++⋅⋅⋅+-=- 16.19.试题解析：（1）设测试成绩的中位数为，由频率分布直方图得，(0.00150.019)20(140)0.0250.5x +⨯+-⨯=，解得：．……………………………2分∴测试成绩中位数为．进入第二阶段的学生人数为200×(0．003＋0．0015)×20＝18人．…………………4分（2）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为、，则，……………………………5分∴．……………………………6分∴最后抢答阶段甲队得分的期望为，………………………8分∵，2411119(1)25525250P η⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭ 24141112(2)25255225P η⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，， ∴9121621012350255010E η=+⨯+⨯+⨯=， …………………………………………10分 ∴最后抢答阶段乙队得分的期望为．……………………∴，∴支持票投给甲队．．……………………………12分20.【解答】解：（1）由椭圆的离心率为，得，∴=∴，∴a 2=2b 2；将Q 代入椭圆C 的方程，得+=1，解得b 2=4，∴a 2=8，∴椭圆C 的方程为；（2）当直线PN 的斜率k 不存在时，PN 方程为：或，从而有，所以四边形OPMN 的面积为；当直线PN 的斜率k 存在时，设直线PN 方程为：y=kx+m （m ≠0），P （x 1，y 1），N （x 2，y 2）；将PN的方程代入C整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，所以，，，由得：，将M点坐标代入椭圆C方程得：m2=1+2k2；点O到直线PN的距离为，，四边形OPMN的面积为．综上，平行四边形OPMN的面积S为定值．21.【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sinx+tanx﹣2x则，∵，∴cosx∈（0，1]，于是（等号当且仅当x=0时成立）．故函数f（x）在上单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）在上单调递增，又f（0）=0，∴f（x）＞0，（ⅰ）当m≤0时，f（x）＞0≥mx2成立．（ⅱ）当m＞0时，令p（x）=sinx﹣x，则p'（x）=cosx﹣1，当时，p'（x）＜0，p（x）单调递减，又p（0）=0，所以p（x）＜0，故时，sinx＜x．（*）由（*）式可得f（x）﹣mx2=sinx+tanx﹣2x﹣mx2＜tanx﹣x﹣mx2，令g（x）=tanx﹣x﹣mx2，则g'（x）=tan2x﹣2mx由（*）式可得，令h（x）=x﹣2mcos2x，得h（x）在上单调递增，又h（0）＜0，，∴存在使得h（t）=0，即x∈（0，t）时，h（x）＜0，∴x∈（0，t）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，又∵g（0）=0，∴g（x）＜0，即x∈（0，t）时，f（x）﹣mx2＜0，与f（x）＞mx2矛盾．综上，满足条件的m的取值范围是（﹣∞，0]．22.【解答】解：（1）由题意，消去参数t，得直线l的普通方程为，根据sin2θ+cos2θ=1消去参数，曲线C1的普通方程为x2+y2=1，联立得解得A（1，0），，∴|AB|=1．（2）由题意得曲线C2的参数方程为（θ是参数），设点∴点P到直线l的距离=，当时，．∴曲线C2上的一个动点它到直线l的距离的最大值为23.【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=|x﹣2|+|3x+1|，①当x≥2时，不等式等价于x﹣2+3x+1≥5，解得，即x≥2；②当时，不等式等价于2﹣x+3x+1≥5，解得x≥1，即1≤x＜2；③当时，不等式等价于2﹣x﹣3x﹣1≥5，解得x≤﹣1，即x≤﹣1．综上所述，原不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥1}．（2）由f（x0）+2|x0﹣2|＜3，即3|x0﹣2|+|3x0+a|＜3，得|3x0﹣6|+|3x0+a|＜3，又|3x0﹣6|+|3x0+a|≥|（3x0﹣6）﹣（3x0+a）|=|6+a|，∴（f（x0）+2|x0﹣2|）min＜3，即|a+6|＜3，解得﹣9＜a＜﹣3．20508 501C 倜0n29353 72A9 犩632032 7D20 素21401 5399 厙20423 4FC7 俇31224 79F8 秸30777 7839 砹B32394 7E8A 纊-yc。

高三数学下学期国统一联合考试3月试题理

中学2021届高三数学下学期全国统一结合考试〔3月〕试题理一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}3,4,5A =，{}1,3,6B =，那么集合{}2,7,8是( )A.A BB.A BC.()U C ABD.()U C A Bz 的实部不为0，且1z =，设1z zω=+，那么ω在复平面上对应的点在( )A.实三四象限()2nx -的展开式按x 的升幂排列，假设倒数第三项的系数是40-，那么n 的值是( )4.如下图是三棱柱与球的组合体的三视图，那么三棱柱的体积与球的体积之比是( )33πB.6π C.9π43π1F ，2F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点，以1F 为圆心、12F F 为半径的圆与双曲线左支的其中一个交点为A ，假设12120AF F =∠°，那么该双曲线的离心率是( ) 2331+312+6.假设函数()()()2sin 20f x a x θθπ=+<<，a 是不为零的常数)在R 上的值域为[]2,2-，且在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调减函数，那么a 和θ的值是( )A.1a =，3πθ=B.1a =-，3πθ=C.1a =，6πθ=D.1a =-，6πθ=7.函数()32f x x ax bx c =+++(a ，b ，c 均为常数)的图象关于点()1,0-对称，那么b c -的值是( ) A.4-B.4C.2-8.“x a x b ≥⇒>〞，且“x a x c <⇒≤〞，那么“x c ≤〞是“x b ≤〞的( )9.“三个臭皮匠，楔个诸葛亮〞，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大，假设李某智商较高，他单独一人解决工程M 的概率为10.3P =；同时，有n 个程度一样的人也在研究工程M ，他们各自HY 地解决工程M 的概率都是0.1.如今李某单独研究工程M ，且这n 个人组成的团队也同时研究工程M ，设这个n 人团队解决工程M 的概率为2P ，假设21P P ≥，那么n 的最小值是( )()cos ,sin AB αα=，()cos ,sin BC ββ=，()cos ,sin CA γγ=，其中02αβγπ<<<<，那么AB BC ⋅的值是( )A.12B.12-C.32-D.32()f x 定义如下表： x1 2 3 4 5 ()f x14253执行如下图的程序框图，那么输出的x 的值是( )a ，b 所成的角为90°，直线AB 与a ，b 均垂直，且垂足分别为A ，B ，假设动点P 在直线a 上运动，动点Q 在直线b 上运动，4PA QB +=，那么线段PQ 的中点M 的轨迹所围成的平面区域的面积是( )二、填空题〔每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕 13.抛物线24y x =-的焦点到它的准线的间隔是____________.x ，y 满足100x y x y +≥-⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，那么2z x y =+获得最大值时对应的最优解是____________. ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，5cos 5A =，10cos 10B =，2c =，那么a =____________.()xxf x e =，关于x 的方程()()220f x f x c -+=⎡⎤⎣⎦有以下四个结论： ①当0c =时，方程有3个实根；②当221c c e -=时，方程有3个实根；③当2211e c e -<<时，方程有2个实根；④当221e c e -<时，方程有4个实根. 以上结论中正确的有____________(填序号).三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕17.正项等比数列{}n a 满足()*14n n n a a n N +=∈. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设2211log log n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC AB AA ===，过1AA 的平面分别交BC ，11B C 于点D ，1D .(1)求证：四边形11ADD A 为平行四边形；(2)假设1AA ⊥平面ABC ，D 为BC 中点，E 为1DD 中点，求二面角1A C E C --的余弦值. 19.最近，在“我是演说家〞第四季这档节目中，英国华威大学留学生游斯彬的“数学之美〞的演讲视频在微信朋友圈不断被转发，点赞的人数更是不断增加，对一周(7天)内演讲视频被转发的天数x 与点赞的人数y 进展了统计，数据见下表：根据所给数据(),x y ，画出了散点图以后，发现演讲视频被转发的天数x 与点赞的人数y 的关系可以近似地表示为x y a b =⋅(,a b 均为正常数). (题中所有数据的最后计算结果都准确到0.01) (1) 建立y 关于x 的回归方程；(2) 试预测，至少经过多少天，点赞的人数超过12000？附：①对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线y x a β=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121nii i nii xx y yxxβ==--=-∑∑，a y x β=-.②参考数据：20.椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆E 上一点A 在x 轴上的射影恰好为1F ，且直线2AF 的斜率为. (1)求椭圆E 的离心率；(2)当2a =时，过点()0,2Q -的射线与椭圆E 交于不同的两点M ，N ，假设点P 在射线QM 上，且满足2QM QN QP ⋅=，求点P 的横坐标0x 的取值范围. ()ln f x x =.(1)设()()()()'F x f k x k f k =-+(其中0k >)，求证：()()f x F x ≤.(2)假设曲线()y f x =与抛物线()22y ax a x =+-有两个公一共点，务实数a 的取值范围.C 的极坐标方程为2sin 104πρθ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，直角坐标系xOy 的坐标原点O 与极点重合，x 轴的正半轴与极轴重合.(1)求圆C 的HY 方程和它的一个参数方程； (2)设(),P x y 是圆C 上的任意一点，求xy 的最大值. ()1f x x x =+-.(1)解不等式()3f x ≥；(2)假设()()2f x f y +≤，求x y +的取值范围.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

2020届河北省高三下学期3月联合考试数学(理)试题解析

绝密★启用前2020届河北省高三下学期3月联合考试数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设集合{|{|19}A x y B x x ===<≤，则()A B =R I ð（）A ．(1,3)B ．(3,9)C ．[3,9]D ．∅答案：A求函数定义域求得集合A ，由此求得()R A B ⋂ð. 解：因为{|3}A x x =≥，所以()(1,3)R A B ⋂=ð. 故选：A 点评：本小题主要考查集合交集、补集的概念和运算，属于基础题. 2．已知复数552iz i i=+-，则||z =（）A B ．C ．D ．答案：B利用复数除法、加法运算，化简求得z ，再求得z 解：55(2)551725i i i z i i i i +=+=+=-+-，故||z ==故选：B 点评：本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.3．已知向量a =r （0，2），b =r （x ），且a r 与b r 的夹角为3π，则x ＝（）A ．﹣2B ．2C ．1D ．﹣1答案：B根据平面向量数量积的定义和平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 解：∵向量a =r （0，2），b =r （23，x ），且a r 与b r的夹角为3π，∴⋅=rr a b 0+2x ＝2•212x +•cos 3π，即2x 212x =+，求得x ＝2，故选：B 点评：本题考查了平面向量的数量积的定义和坐标表示公式的应用，考查了数学运算能力.4．若双曲线C ：221x y m-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（）A ．49B ．94C ．23D ．32答案：A根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得m 的值. 解：由题意知双曲线的渐近线方程为()0y x m m =±>，320x y +=可化为32y x =-，则32m =，解得49m =. 故选：A 点评：本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.5．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P -ABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（）A ．PA ，PB ，PC 两两垂直 B ．三棱锥P -ABC 的体积为83C ．||||||6PA PB PC ===D ．三棱锥P -ABC 的侧面积为35答案：C根据三视图，可得三棱锥P -ABC 的直观图，然后再计算可得.解：根据三视图，可得三棱锥P -ABC 的直观图如图所示，其中D 为AB 的中点，PD ⊥底面ABC . 所以三棱锥P -ABC 的体积为114222323⨯⨯⨯⨯=， 2AC BC PD ∴===，2222AB AC BC ∴=+=，||||||2DA DB DC ∴===()22||||||226,PA PB PC ∴===+=222PA PB AB +≠Q ，PA ∴、PB 不可能垂直，即,PA ,PB PC 不可能两两垂直，1222222PBA S ∆=⨯=Q ()22161252PBC PAC S S ∆∆==-=Q ∴三棱锥P -ABC 的侧面积为2522故正确的为C. 故选：C. 点评：本题考查三视图还原直观图，以及三棱锥的表面积、体积的计算问题，属于中档题. 6．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm ）服从正态分布()280,5N ，则直径在(]75,90内的概率为（）附：若()2~,X Nμσ，则()0.6826P X μσμσ-<+=…，()220.9544P X μσμσ-<+=….A ．0.6826B ．0.8413C ．0.8185D ．0.9544答案：C根据服从的正态分布可得80μ=，5σ=，将所求概率转化为()2P X μσμσ-<≤+，结合正态分布曲线的性质可求得结果.由题意，80μ=，5σ=，则()75850.6826P X <=…，()70900.9544P X <=…，所以()()185900.95440.68260.13592P X <=⨯-=…，()75900.68260.13590.8185P X <=+=….故果实直径在(]75,90内的概率为0.8185. 故选：C 点评：本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题.7．将函数f （x ）＝3sin （﹣3x 6π+）﹣2的图象向右平移6π个单位长度得到函数g （x ）的图象，若g （x ）在区间[18π-，θ]上的最大值为1，则θ的最小值为（）A ．3πB ．12π C ．18π D ．6π 答案：C根据正弦型函数的平移解析式的变化规律求出函数g （x ）的解析式，再根据正弦型函数的单调性进行求解即可. 解：将函数f （x ）＝3sin （﹣3x 6π+）﹣2的图象向右平移6π个单位长度得到函数g （x ）的图象，则g （x ）＝3sin [﹣3（x 6π-）6π+]﹣2＝3sin （﹣3x 26ππ++）﹣2＝3cos （﹣3x 6π+）﹣2＝3cos （3x 6π-）﹣2， ∵x ∈[18π-，θ]，∴3x ∈[6π-，3θ]，∴3x 6π-∈[3π-，3θ6π-]， ∵g （x ）在区间[18π-，θ]上的最大值为1，∴角3θ6π-大于等于0，即3θ6π-≥0，即θ18π≥，即θ的最小值为18π，故选：C 点评：本题考查了正弦型函数平移变换规律，考查了正弦型函数的单调性的应用，考查了数学运算能力. 8．函数()2ln xf x x x=-的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．答案：A根据函数()f x 的奇偶性和单调性，排除错误选项，从而得出正确选项. 解：因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，排除C 和D.当0x >时，()2ln x x f x x =-，()332ln 1'x x f x x=+-，令()'0f x <，得01x <<，即()f x 在()0,1上递减；令()'0f x >，得1x >，即()f x 在()1,+∞上递增.所以()f x 在1x =处取得极小值，排除B. 故选：A 点评：本小题主要考查函数图像的识别，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，属于中档题.9．设不等式组030x y x +≥⎧⎪⎨≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，若从圆C ：224x y +=的内部随机选取一点P ，则P 取自Ω的概率为（） A ．524B ．724C ．1124D ．1724答案：B画出不等式组表示的可行域，求得阴影部分扇形对应的圆心角，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率.解：作出Ω中在圆C内部的区域，如图所示，因为直线0x y+=，30x-=的倾斜角分别为34π，6π，所以由图可得P取自Ω的概率为3746224πππ-=.故选：B点评：本小题主要考查几何概型的计算，考查线性可行域的画法，属于基础题.10．已知定义在R上的函数()f x满足()()f x f x=-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f+≤-对于[]1,2x∈恒成立，则a的取值范围是A．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D．[]0,1答案：A根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(),0-∞上是减函数，由此可将不等式化为121ax-≤+≤；利用分离变量法可得31ax x-≤≤-，求得3x-的最大值和1x-的最小值即可得到结果.解：()()f x f x=-Q()f x∴为定义在R上的偶函数，图象关于y轴对称又()f x在()0,∞+上是增函数()f x∴在(),0-∞上是减函数()()21f ax f+≤-Q21ax∴+≤，即121ax-≤+≤121ax-≤+≤Q对于[]1,2x∈恒成立31ax x∴-≤≤-在[]1,2上恒成立312a∴-≤≤-，即a的取值范围为：3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦。

高三数学3月联考试卷理含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校2021年师大附中、高中、高新一中、铁一、西工大附中等八校高考数学模拟试卷〔理科〕〔3月份〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕1.集合A＝{1，2，3，6，9}，B＝{3x|x∈A}，C＝{x∈N|3x∈A}，那么B∩C＝〔〕A.{1，2，3}B.{1，6，9}C.{1，6}D.{3}【答案】D【解析】【分析】先分别求出集合A，B，C，由此能求出．【详解】集合2，3，6，，6，9，18，，2，，．应选：D．【点睛】此题考察交集的求法，考察交集定义、不等式性质等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．2.如图是甲乙两位同学某次考试各科成绩〔转化为了HY分，总分值是900分〕的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为x甲，x乙，HY差分别为σ甲,σ乙，那么〔〕A.x甲>x乙,σ甲<σ乙B.x甲>x乙,σ甲>σ乙C.x甲<x乙,σ甲>σ乙D.x甲<x乙,σ甲<σ乙【答案】A【解析】【分析】甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为x −甲,x −乙，HY 差分别为σ甲，σ乙，从而得到x 甲−>x 乙−，σ甲<σ乙．【详解】由条形统计图得到：在这次考试各科成绩转化为了HY 分，总分值是900分中，甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为x −甲,x −乙， HY 差分别为σ甲，σ乙，那么x 甲−>x 乙−，σ甲<σ乙．应选：A ．【点睛】748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e ix＝cosx+isinx ，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥〞，根据此公式可知，e 2i 表示的复数所对应的点在复平面中位于〔〕 A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】由可得e 2i =cos2+isin2，再由三角函数的象限符号得答案．【详解】由题意可得，e 2i =cos2+isin2，∵π2<2<π，∴cos2<0，sin2>0，那么e 2i 表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限．应选：B ．【点睛】此题考察复数的代数表示法及其几何意义，是根底题．4.设D 为ΔABC 所在平面内一点，假设BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =3CD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，那么以下关系中正确的选项是〔〕 A.AD⃑⃑⃑⃑⃑ =−13AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +43AC ⃑⃑⃑⃑⃑ B.AD⃑⃑⃑⃑⃑ =13AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −43AC ⃑⃑⃑⃑⃑ C.AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =43AB⃑⃑⃑⃑⃑ +13AC ⃑⃑⃑⃑⃑ D.AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =43AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −13AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑【答案】A 【解析】∵BC⃑⃑⃑⃑⃑ =3CD ⃑⃑⃑⃑⃑ ∴AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −−AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =3(AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −−AC⃑⃑⃑⃑⃑ )； ∴AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =43AC⃑⃑⃑⃑⃑ −−13AB ⃑⃑⃑⃑⃑ . 应选：C.【此处有视频，请去附件查看】5.张丘建筑经卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织一样量的布．假设第一天织5尺布，现有一月〔按30天计〕，一共织390尺布〞，那么该女最后一天织布的尺数为〔〕 A.18 B.20 C.21 D.25【答案】C 【解析】由题意设从第二天开场，每一天比前一天多织d 尺布，那么30×5+30×292d =390，解得d =1629，所以a 30=5+(30−1)×1629=21，应选C.6.假设对定义在R 上的奇函数y ＝f 〔x 〕，对任意两个不相邻的实数x 1，x 2，所有x 1f 〔x 1〕+x 2f 〔x 2〕＞x 1f〔x 2〕+x 2f 〔x 1〕，那么称函数y ＝f 〔x 〕为“H 函数〞，以下函数为H 函数的是〔〕 A.f 〔x 〕＝sinx B.f 〔x 〕＝e xC.f 〔x 〕＝x 3﹣3xD.f 〔x 〕＝x|x| 【答案】D 【解析】【分析】根据题意，不等式x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 1f(x 2)+x 2f(x 1)等价为(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]>0，即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H 函数〞为奇函数且在R 上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案．【详解】根据题意，对于所有的不相等实数x 1，x 2，那么x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 1f(x 2)+x 2f(x 1)恒成立，那么有(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]>0恒成立，即函数f(x)是定义在R 上的增函数，那么“H 函数〞为奇函数且在R 上为增函数，据此依次分析选项：对于A ，f(x)=sinx ，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B ，f(x)=e x ，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C ，f(x)=x 3−3x ，为奇函数，但在R 上不是增函数，不符合题意；对于D ，f(x)=x|x|={−x 2,x <x 2,x≥0 ，为奇函数且在R 上为增函数，符合题意；应选：D ．【点睛】此题考察函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H 函数〞的含义，属于根底题． 7.正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的三视图如下列图，一只蚂蚁从顶点A 出发沿该正三棱柱的外表绕行两周到达顶点A 1，那么该蚂蚁走过的最短途径为〔〕A.√193B.25C.2√193D.31【答案】B 【解析】【分析】将三棱柱展开，得出最短间隔是6个矩形对角线的连线，相当于绕三棱柱转2次的最短途径，由勾股定理求出对应的最小值．【详解】将正三棱柱ABC −A 1B 1C 1沿侧棱展开，如下列图；在展开图中，最短间隔是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求间隔的最小值．由求得正三棱锥底面三角形的边长为√3√32=4，所以矩形的长等于4×6=24，宽等于7，由勾股定理求得d =√242+72=25．应选：B ．【点睛】此题考察了棱柱的构造特征与应用问题，也考察了几何体的展开与折叠，以及转化空间问题转化为平面问题，化曲为直的思想方法．8.将函数y =sin (2x +π6)的图象向右平移π3个单位，在向上平移一个单位，得到g 〔x 〕的图象．假设g〔x 1〕g 〔x 2〕＝4，且x 1，x 2∈[﹣2π，2π]，那么x 1﹣2x 2的最大值为〔〕 A.9π2B.7π2C.5π2D.3π2【答案】A 【解析】【分析】根据题意，不等式x 1f 〔x 1〕+x 2f 〔x 2〕＞x 1f 〔x 2〕+x 2f 〔x 1〕等价为〔x 1﹣x 2〕[f 〔x 1〕﹣f 〔x 2〕]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H 函数〞为奇函数且在R 上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案．【详解】将函数y =sin (2x +π6)的图象向右平移π3个单位，再向上平移一个单位，得到g 〔x 〕＝sin 〔2x ﹣2π3+π6〕+1＝﹣cos2x+1的图象，故g 〔x 〕的最大值为2，最小值为0，假设g 〔x 1〕g 〔x 2〕＝4，那么g 〔x 1〕＝g 〔x 2〕＝2，或者g 〔x 1〕＝g 〔x 2〕＝﹣2〔舍去〕．故有g 〔x 1〕＝g 〔x 2〕＝2，即cos2x 1＝cos2x 2＝﹣1，又x 1，x 2∈[﹣2π，2π]，∴2x 1，2x 2∈[﹣4π，4π]，要使x 1﹣2x 2获得最大值，那么应有2x 1＝3π，2x 2＝﹣3π，故x 1﹣2x 2获得最大值为3π2+3π＝9π2．应选：A ．【点睛】此题考察函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H 函数〞的含义，属于根底题． 9.圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y+3＝0，假设等边△PAB 的一边AB 为圆C 的一条弦，那么|PC|的最大值为〔〕 A.√5 B.√6C.2√2D.2√3【答案】C 【解析】试题分析：方法一：如图，连接AC ，BC ，设∠CAB =θ，连接PC 与AB 交于点D ，∵AC =BC ，△PAB 是等边三角形，∴D 是AB 的中点，∴PC ⊥AB ，∴在圆C ：(x −1)2+(y −2)2=2中，圆C 的半径为√2，|AB|=2√2cosθ，|CD|=√2sinθ，∴在等边△PAB 中，|PD|=√32|AB|=√6cosθ，∴|PC|=|CD|+|PD|=√2sinθ+√6cosθ=2√2sin(θ+π3)≤2√2，应选C ．方法二：设|AD|=x ， x ∈(0， √2]，那么|PC|=√3x +√2−x 2，记f(x)=√3x +√2−x 2，令f ′(x)=√3+2√2−x 2=0，得x =√62∈(0， √2]，∴f(x)max =f(√62)=2√2，应选C ．考点：圆的性质、三角函数最值、利用导数求函数最值．【思路点睛】法一、先由ΔACB 为等腰三角形，得出D 为中点，再由ΔPAB 为等边三角形，得出PD ⊥AB ，在ΔADC 中，将|AB|和|CD|用θ表示，从而求出|PD|的值，得到|PC|=|CD|+|PD|的表达式，用三角函数的有界性求最值；法二：设出边AD 的长x ，根据条件表示出|PC|，再利用导数求出函数的最值． 10.抛物线x 2＝12y 在第一象限内图象上的一点〔a i ，2a i 2〕处的切线与x 轴交点的横坐标记为a i+1，其中i∈N +，假设a 2＝32，那么a 2+a 4+a 6等于〔〕 A.64 B.42C.32D.21【答案】B 【解析】试题分析：∵y =2x 2∴y′=4x ，∴y′|x=a i =4a i ，∴过点(a i ,2a i 2)的切线方程为y =4a i (x −a i )+2a i 2，令y =0，得x =a i+1，可得a i+1a i=14，又a 2=32，所以a 2+a 4+a 6=32+324+84=42．考点：1．导数的几何性质；2．等比数列． 11.双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F 2，假设C 的左支上存在点M ，使得直线bx ﹣ay ＝0是线段MF 2的垂直平分线，那么C 的离心率为〔〕 A.√2 B.2C.√5D.5【答案】C 【解析】【分析】设P 为直线bx −ay =0与MF 2的交点，那么OP 为△MF 1F 2的中位线，求得F 2到渐近线的间隔为b ，运用中位线定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值．【详解】设P 为直线bx −ay =0与MF 2的交点，则OP 为△MF 1F 2的中位线，F 2(c,0)，直线bx −ay =0是线段MF 2的垂直平分线，可得F 2到渐近线的间隔为|F 2P|=√b 2+a 2=b ，且|OP|=√c 2−b 2=a ，|MF 1|=2|OP|=2a ，|MF 2|=2b ，可得|MF 2|−|MF 1|=2a ，即为2b −2a =2a ，即b =2a ，可得e =c a =√1+b 2a2=√1+4=√5．应选：C ．【点睛】此题考察双曲线的定义、方程和性质，考察三角形的中位线定理，考察方程思想和运算才能，属于中档题．12.函数f (x )={13f (x −2),x >21−|x −1|,x ≤2，那么函数g 〔x 〕＝xf 〔x 〕﹣1的零点的个数为〔〕A.2B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】由g 〔x 〕＝xf 〔x 〕﹣1＝0得f 〔x 〕=1x，根据条件作出函数f 〔x 〕与h 〔x 〕=1x的图象，研究两个函数的交点个数即可得到结论．【详解】由g 〔x 〕＝xf 〔x 〕﹣1＝0得xf 〔x 〕＝1，当x ＝0时，方程xf 〔x 〕＝1不成立，即x≠0，那么等价为f 〔x 〕＝1x ，当2＜x≤4时，0＜x ﹣2≤2，此时f 〔x 〕＝13f 〔x ﹣2〕＝13〔1﹣|x ﹣2﹣1|〕＝13﹣13|x ﹣3|，当4＜x≤6时，2＜x ﹣2≤4，此时f 〔x 〕＝13f 〔x ﹣2〕＝13[13﹣13|x ﹣2﹣3|]＝19﹣19|x ﹣5|，作出f 〔x 〕的图象如图，那么f 〔1〕＝1，f 〔3〕＝13f 〔1〕＝13，f 〔5〕＝13f 〔3〕＝19，设h 〔x 〕＝1x，那么h 〔1〕＝1，h 〔3〕＝13，h 〔5〕＝15＞f 〔5〕，作出h 〔x 〕的图象，由图象知两个函数图象有3个交点，即函数g 〔x 〕的零点个数为3个，应选：B ．【点睛】此题主要考察函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决此题的关键．二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，把答案填在题中横线上〕 13.F 是抛物线C ：y ＝2x 2的焦点，点P 〔x ，y 〕在抛物线C 上，且x ＝1，那么|PF|＝_____．【答案】178【解析】【分析】利用抛物线方程求出p ，利用抛物线的性质列出方程求解即可．【详解】由y =2x 2，得x 2=12y ，那么p =14；由x =1得y =2，由抛物线的性质可得|PF|=2+p2=2+18=178，故答案为：178．【点睛】此题考察抛物线的定义的应用，属于根底题．14.实数x ，y 满足约束条件{x +4y +2≥04x +y −7≤0x −y +2≥0，那么z ＝|﹣5x+y|的取值范围为_____．【答案】[0，11]【解析】【分析】作出约束条件表示的可行域，判断目的函数经过的点，然后求解目的函数的范围即可．【详解】作出实数x ，y 满足约束条件{x +4y +2≥04x +y −7≤0x −y +2≥0的可行域，如下列图：作直线l 0：﹣5x+y ＝0，再作一组平行于l 0的直线l ：﹣5x+y ＝z ，当直线l 经过点A 时，z ＝﹣5x+y 获得最大值，由{x +4y +2=0x −y +2=0，得点A 的坐标为〔﹣2，0〕，所以z max ＝﹣5×〔﹣2〕+0＝10．直线经过B 时，目的函数获得最小值，由{x +4y +2=04x +y −7=0，解得B 〔2，﹣1〕函数的最小值为：﹣10﹣1＝﹣11． z ＝|﹣5x+y|的取值范围为：[0，11]．故答案为：[0，11]．【点睛】此题考察线性规划的简单应用，考察转化思想以及数形结合的综合应用，考察计算才能． 15.在(x 2+1x 2+2)3(x −2)的展开式中，常数项为_____．【答案】-40 【解析】【分析】根据(x 2+1x 2+2)3=(x +1x )6，按照二项式定理展开，可得在(x 2+1x 2+2)3(x −2)的展开式中的常数项．【详解】解：∵(x 2+1x 2+2)3(x −2)=(x +1x )6〔x ﹣2〕＝〔x 6+6x 4+15x 2+20+15•1x 2+6•1x 4+1x 6〕〔x ﹣2〕，∴常数项是20•〔﹣2〕＝﹣40，故答案为：﹣40．【点睛】此题主要考察二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于根底题．16.如图，圆柱和半径为√3的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，那么该圆柱的体积的最大值为_____．【答案】2π【解析】【分析】设圆柱的底面圆半径为r，高为h，求出r与h的关系，再计算圆柱的体积V，从而求出体积V的最大值．【详解】解：设圆柱的底面圆半径为r，高为h；那么h2+r2＝R2＝3；所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π〔3﹣h2〕h＝π〔3h﹣h3〕；那么V′〔h〕＝π〔3﹣3h2〕，令V′〔h〕＝0，解得h＝1；所以h∈〔0，1〕时，V′〔h〕＞0，V〔h〕单调递增；h∈〔1，√3〕时，V′〔h〕＜0，V〔h〕单调递减；所以h＝1时，V〔h〕获得最大值为V〔1〕＝2π．故答案为：2π．【点睛】此题考察了半球与内接圆柱的构造特征与应用问题，也考察了圆柱的体积计算问题，是中档题．三、解答题〔本大题一一共5小题，一共70分，解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤〕〔一〕必考题：一共60分.17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,a=2√3，且(2√3+b)(sinA−sinB)=(c−b)sinC．〔1〕求角A的大小；〔2〕求△ABC的面积的最大值．【答案】〔1〕π3；〔2〕3√3.【解析】【分析】(1)直接利用三角函数关系式的恒等变变换和余弦定理和正弦定理的应用求出结果．(2)利用(1)的结论和余弦定理及根本不等式的应用求出结果．【详解】(1)在△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,a=2√3，且(2√3+b)(sinA−sinB)= (c−b)sinC．整理得：(a+b)(sinA−sinB)=(c−b)sinC，利用正弦定理得：a2−b2=c2−bc，即：cosA=b2+c2−a22bc =12，由于：0<A<π，解得：A=π3．(2)由于a=2√3,A=π3，所以：a2=b2+c2−2bccosA，整理得：12=b2+c2−bc≥2bc−bc=bc，所以：S△ABC =12bcsinA≤12⋅12⋅√32=3√3．当且仅当b=c时，△ABC的面积有最小值3√3.【点睛】此题考察的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，根本不等式的应用，主要考察学生的运算才能和转化才能，属于根底题型．18.如图1，等边△ABC中，AC＝4，D是边AC上的点〔不与A，C重合〕，过点D作DE∥BC交AB于点E，沿DE 将△ADE 向上折起，使得平面ADE⊥平面BCDE ，如图2所示．〔1〕假设异面直线BE 与AC 垂直，确定图1中点D 的位置；〔2〕证明：无论点D 的位置如何，二面角D ﹣AE ﹣B 的余弦值都为定值，并求出这个定值．【答案】〔1〕见解析；〔2〕√55【解析】【分析】〔1〕取DE 中点O ，BC 中点F ，连结OA ，OF ，以O 为原点，OE 、OF 、OA 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出图1中点D 在靠近点A 的三等分点处；〔2〕求出平面ADE 的法向量和平面ABE 的法向量，利用向量法能证明无论点D 的位置如何，二面角D ﹣AE ﹣B 的余弦值都为定值√55．【详解】解：〔1〕在图2中，取DE 中点O ，BC 中点F ，连结OA ，OF ，以O 为原点，OE 、OF 、OA 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设OA ＝x ，那么OF ＝2√3−x ，OE =√3，∴B 〔2，2√3−x ，0〕，E 〔√3，0，0〕，A 〔0，0，x 〕，C 〔﹣2，2√3−x ，0〕，AC →=〔﹣2，2√3−x ，﹣x 〕， BE →=〔√32，x ﹣2√3，0〕，∵异面直线BE 与AC 垂直， ∴AC →⋅BE →=x 2√3+8＝0，解得x =√3〔舍〕或者x =√3=2√33， ∴ADAC=AOAF =2√332√3=13，∴图1中点D 在靠近点A 的三等分点处．证明：〔2〕平面ADE 的法向量n →=〔0，1，0〕，AE →=〔√3，0，﹣x 〕，BE →=〔√32，x ﹣2√3，0〕，设平面ABE 的法向量m →=〔a ，b ，c 〕，那么{AE →⋅m →=√3−xc =0BE →⋅m →=(√32)a +(x −2√3)b =0 ，取a ＝1，得m →=〔1，√3，√3〕，设二面角D ﹣AE ﹣B 的平面角为θ，那么cosθ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=1√31×√1+13+13=√55，∴无论点D 的位置如何，二面角D ﹣AE ﹣B 的余弦值都为定值√55．【点睛】此题考察空间中点的位置确实定，考察二面角的余弦值为定值的证明，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算才能，考察数形结合思想，是中档题．19.从某企业消费的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图〔1〕补全上面的频率分布直方图〔用阴影表示〕；〔2〕统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值服从正态分布Z 〔μ，σ2〕，其中μ近似为样本平均值x ，σ2近似为样本方差s 2〔组数据取中间值〕；①利用该正态分布，求从该厂消费的产品中任取一件，该产品为合格品的概率；②该企业每年消费这种产品10万件，消费一件合格品利润10元，消费一件不合格品亏损20元，那么该企业的年利润是多少？参考数据：√26＝，假设Z ～N 〔μ，σ2〕，那么P 〔μ﹣σ，μ+σ〕＝0.6826，P 〔μ﹣2σ，μ+2σ〕＝0.9544．【答案】〔1〕见解析；〔2〕，②863200．【解析】〔1〕由频率分布图求出[95，105〕的频率，由此能作出补全频率分布直方图；〔2〕求出质量指标值的样本平均数、质量指标值的样本方差；〔3〕运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；①由〔2〕知Z～N〔100，104〕，从而求出P〔＜Z＜〕，注意运用所给数据；②设这种产品每件利润为随机变量E〔X〕，即可求得EX．【详解】〔1〕由频率分布直方图得：[95，105〕的频率为：1﹣〔〕×10＝，补全上面的频率分布直方图〔用阴影表示〕：质量指标值的样本平均数为：＝80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×＝100．质量指标值的样本方差为S2＝〔﹣20〕2×0.06+〔﹣10〕2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×＝104．〔2〕①由〔1〕知Z～N〔100，104〕，从而P〔＜Z＜〕＝P〔100﹣2×＜Z＜100+2×〕＝；②由①知一件产品的质量指标值位于区间〔，〕的概率为，该企业的年利润是EX＝×10﹣〔1﹣〕×20]＝863200．【点睛】此题考察频率分布直方图的作法，考察平均数、方差的求法，以及正态分布的特点及概率求解，考察运算才能，属于中档题．20.椭圆C过点A(2√6,2)，两个焦点(−2√6,0),(2√6,0)．〔1〕求椭圆C的HY方程；〔2〕设直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝6，求△AOB面积的最大值．【答案】〔1〕x236+y212=1；〔2〕9【解析】〔1〕由可设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1〔a ＞b ＞0〕，且c =2√6，再由椭圆定义求得a ，结合隐含条件求得b ，那么椭圆方程可求；〔2〕当直线AB 的斜率不存在时，设直线方程为x ＝m ，由弦长求得m ，可得三角形AOB 的面积；当直线AB 的斜率存在时，设直线方程为y ＝kx +m ，联立直线方程与椭圆方程，结合根与系数的关系及弦长可得m 与k 的关系，再由点到直线的间隔公式求出原点O 到AB 的间隔，代入三角形面积公式，化简后利用二次函数求最值，那么答案可求．【详解】解：〔1〕由题意，设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1〔a ＞b ＞0〕，且c =2√6，2a =√(2√6+2√6)2+22+√(2√6−2√6)2+22=12，那么a ＝6，∴b 2＝a 2﹣c 2＝12． ∴椭圆C 的HY 方程为x 236+y 212=1；〔2〕当直线AB 的斜率不存在时，设直线方程为x ＝m ，得|AB |=2√33√36−m 2，由|AB |=2√33√36−m 2=6，解得m ＝±3，此时S △AOB =12×6×3=9；当直线AB 的斜率存在时，设直线方程为y ＝kx +m ，联立{y =kx +mx 236+y 212=1，得〔3k 2+1〕x 2+6kmx +3m 2﹣36＝0．△＝36k 2m 2﹣4〔3k 2+1〕〔3m 2﹣36〕＝432k 2﹣12m 2+144．设A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕，那么x 1+x 2=−6km 3k 2+1，x 1x 2=3m 2−363k 2+1．由|AB |=√1+k 2⋅√(−6km 3k 2+1)2−12m 2−1443k 2+1=6，整理得：m 2=3(3k 2+1)(k 2+3)k 2+1，原点O 到AB 的间隔d =√k 2+1．∴S △AOB =12⋅6√k 2+1=3√m 2k 2+1=3√3⋅√3(k 2+1)2+4(k 2+1)−4(k 2+1)2=3√3⋅√−4⋅1(k 2+1)2+4⋅1k 2+1+3．当1k 2+1=12时，△AOB 面积有最大值为6√3＜9．综上，△AOB 面积的最大值为9．【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，假设题目的条件和结论能明显表达几何特征和意义，那么考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，假设题目的条件和结论能表达一种明确的函数关系，那么可首先建立目的函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或者的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用根本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21.函数f 〔x 〕＝e x﹣12ax 2(a ∈R )有两个极值点．〔1〕务实数a 的取值范围；〔2〕假设函数f 〔x 〕的两个极值点分别为x 1，x 2，求证：x 1+x 2＞2．【答案】〔1〕〔e ，+∞〕；〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕f ′〔x 〕＝e x﹣ax ．函数f 〔x 〕＝e x−12ax 2(a ∈R)有两个极值点⇔f ′〔x 〕＝e x﹣ax ＝0有两个实数根．x ＝0时不满足上述方程，方程化为：a =e x x，令g 〔x 〕=e x x，〔x ≠0〕．利用导数已经其单调性即可得出．〔2〕由〔1〕可知：a ＞e 时，函数f 〔x 〕有两个极值点分别为x 1，x 2，不妨设x 1＜x 2，x 1+x 2＞2⇔x 2＞2﹣x 1＞1⇔e x 2x 2＞e 2−x 12−x 1，由e x 1x 1=e x 2x 2，因此即证明：e x 1x 1＞e 2−x 12−x 1．构造函数h 〔x 〕=e x x −e 2−x2−x，0＜x ＜1，2﹣x ＞1．利用导数已经其单调性即可得出．【详解】〔1〕解：f ′〔x 〕＝e x﹣ax ．∵函数f 〔x 〕＝e x−12ax 2(a ∈R)有两个极值点．∴f ′〔x 〕＝e x﹣ax ＝0有两个实数根．x ＝0时不满足上述方程，方程化为：a =e x x，令g 〔x 〕=e x x ，〔x ≠0〕．g ′〔x 〕=e x (x−1)x 2，可得：x ＜0时，g ′〔x 〕＜0，函数g 〔x 〕单调递减；0＜x ＜1时，g ′〔x 〕＜0，函数g 〔x 〕单调递减；x ＞1时，g ′〔x 〕＞0，函数g 〔x 〕单调递增． a ＞e 时，方程f ′〔x 〕＝e x ﹣ax ＝0有两个实数根．∴实数a 的取值范围是〔e ，+∞〕．〔2〕证明：由〔1〕可知：a ＞e 时，函数f 〔x 〕有两个极值点分别为x 1，x 2，不妨设x 1＜x 2．证明：x 1+x 2＞2⇔x 2＞2﹣x 1＞1⇔e x 2x 2＞e 2−x 12−x 1，由e x 1x 1=e x 2x 2，因此即证明：e x 1x 1＞e 2−x 12−x 1．构造函数h 〔x 〕=e x x−e 2−x 2−x，0＜x ＜1，2﹣x ＞1．h ′〔x 〕=e x (x−1)x 2−−e 2−x (2−x)+e 2−x(2−x)2=〔x ﹣1〕(e x x2−e 2−x (2−x)2)，令函数u 〔x 〕=e x x 2，〔0＜x 〕． u ′〔x 〕=e x (x−2)x 3．可得函数u 〔x 〕在〔0，1〕内单调递减，于是函数v 〔x 〕=e x x2−e 2−x (2−x)2在〔0，1〕内单调递减．v 〔x 〕≥v 〔1〕＝0．∴x ＝1时，函数h 〔x 〕获得极小值即最小值，h 〔1〕＝0． ∴h 〔x 〕＞h 〔1〕＝0．∴e x 1x 1＞e 2−x 12−x 1．因此x 1+x 2＞2成立．【点睛】此题考察了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考察了推理才能与计算才能，属于难题．〔二〕选考题：一共10分.请考生在第22、23题中任选一题答题.假设多做，那么按所做的第一题计分. 22.曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cosθsin 2θ，直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα〔t 为参数，0≤α＜π〕．〔1〕把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C 的形状；〔2〕假设直线l 经过点〔1，0〕，求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长．【答案】〔1〕曲线C ：y 2＝4x ，顶点为O 〔0，0〕，焦点为F 〔1，0〕的抛物线；〔2〕8 【解析】【分析】〔1〕利用{x =ρcosθy =ρsinθ即可得出直角坐标方程；〔2〕直线l 的参数方程{x =tcosαy =1+tsinα〔t 为参数，0≤α＜π〕．可得l 经过点〔0，1〕；假设直线l经过点〔1，0〕，得到α=3π4，得到直线l 新的参数方程为{x =tcos3π4=−√22t y =1+tsin3π4=1+√22t〔t 为参数〕．代入抛物线方程可得t 2+6√2t +2＝0，设A 、B 对应的参数分别为t 1，t 2，利用|AB |=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2即可得出．【详解】〔1〕曲线C 的极坐标方程ρ＝化为ρ2sin 2θ＝4ρcosθ，得到曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，故曲线C 是顶点为O 〔0，0〕，焦点为F 〔1，0〕的抛物线；〔2〕直线l 的参数方程为〔t 为参数，0≤α＜π〕．故l 经过点〔0，1〕；假设直线l 经过点〔1，0〕，那么，∴直线l 的参数方程为〔t 为参数〕．代入y 2＝4x ，得t+2＝0设A 、B 对应的参数分别为t 1，t 2，那么t 1+t 2＝﹣6，t 1t 2＝2．|AB|＝|t 1﹣t 2|＝＝＝8．【点睛】此题考察了极坐标方程和直角坐标方程的转换、直线的参数方程及其应用，考察了计算才能，属于中档题．．23.函数f 〔x 〕＝√|x +1|+|x −3|−m 的定义域为R ．〔Ⅰ〕务实数m 的取值范围．〔Ⅱ〕假设m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足23a+b+1a+2b =n 时，求7a+4b 的最小值．【答案】(Ⅰ)m ≤4(Ⅱ)94【解析】试题分析：〔1〕由函数定义域为R ，可得|x+1|+|x ﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g 〔x 〕=|x+1|+|x ﹣3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；〔2〕由〔1〕知n=4，变形7a+4b=14(6a +2b +a +2b )(23a+b+1a+2b )，利用根本不等式的性质即可得出．试题解析： (Ⅰ)由题意可知：＋－m ≥0对任意实数恒成立．设函数g (x )＝＋，那么m 不大于函数g (x )的最小值．又＋≥＝4.即g (x )的最小值为4，所以m ≤4(Ⅱ)由(Ⅰ)知n ＝4，∴7a＋4b＝＝＝≥＝.当且仅当a＋2b＝3a＋b，即b＝2a＝时，等号成立．所以7a＋4b的最小值为.【此处有视频，请去附件查看】。

高三数学下学期国统一联合考试3月试题文

中学2021届高三数学下学期全国统一结合考试〔3月〕试题一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的. 1.集合{}1A x x =≤，且{}0,1A B =，那么集合B 可能是( )A.{}0x x ≥B.{}1x x >-C.{}1,0,1-D.{}0,1,2()1,2a =，()1,0b =-，那么2a b -=( )复数z 在复平面内对应的点的坐标是()1,2-，那么zi=( ) A.12i -B.12i +C.2i -D.2i --4.?九章算术?中的“两鼠穿墙题〞是我国数学的古典名题：“今有垣厚假设干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？〞题意是：“有两只老鼠从墙的两边同时相向打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.〞假如这两只老鼠恰好用了7天把墙打穿，那么墙厚为( ) A.825564尺 B.129尺 C.207932尺 D.65尺5.假设双曲线22:11x y C m m -=+m =( )A.1B.或者2-或者2p ：m R ∃∈，使()2f x x mx =+是偶函数；命题q ：假设21x =，那么1x =，现给出以下命题：①p ；②q 的逆否命题；③p q ∧；④()p q ∨⌝. 其中真命题的个数为( )7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体的体积为( )A.823B.83C.8D.82 8.函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象经过下面哪种平移变换后所得的图象关于y 轴对称( )56π个左平移12π个单位长度 C.向右平移56π个右平移12π个单位长度 9.执行如下图的程序框图，假设输出的S 的值是3-，那么判断框内可填入( )A.7?n <B.6?n <C.5?n <D.4?n <1的正方形，那么该圆柱的外接球的外表积为( )A.21ππ+B.212ππ+C.214ππ+D.()322216ππ+20x y --=与x 轴交于点M ，与抛物线()220y px p =>交于A ，B 两点，假设2AM MB =，那么p =( ) A.12存在0a >，b R ∈，使得()()2222ln 5z b a b a -=--成立，那么实数z 的取值范围是( ) A.()2,25B.)25,⎡+∞⎣C.4,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.[)4,+∞二、填空题〔每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕13.,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，那么2sin 2x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭1≥的概率为______________.()214133f x x x =-+的图象与坐标轴的交点均在圆M 上，那么圆M 的HY 方程是_________.,x y 满足不等式组101033x y x y x y +-≥⎧⎪-+≤⎨⎪-≤⎩，那么2z x y =-的最大值为______________.()1n f x x +=在点()()1,1f 处的切线在x 轴上的截距为()n ϕ，假设数列{}n a 满足12a =，()1n n a a n ϕ+=，那么2018a =______________.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且2sin tan a B b A =.(1)求角A 的大小；(2)假设2a =，求22b c +的最大值.18.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60DAB =∠°，点M 为AD 上一点，且190MBC =∠°.(1)证明：1A D BM ⊥.(2)假设四棱柱1111ABCD A B C D -的外表积为123，求三棱锥11B BMC -的体积.19.某县教育局为了检查本县甲、乙两所的学生对HY 的HY 精神的学习情况，在这两所进展了HY 的HY 知识考试，随机在这两所各抽取20名学生的考试成绩作为样本，成绩大于或者等于80分的为优秀，否那么为不优秀，统计结果如以下图：(1) 求甲校样本的中位数；(2) 从乙校成绩优秀的学生中任选两名，求这两名学生的成绩恰有一个落在[]90,100内的概率；(3) 由以上数据完成下面列联表，并答复有多大的把握认为学生的成绩与两所的选择有关. 甲校乙校总计优秀不优秀总计附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8415.0246.6357.87910.82820.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为223，左、右顶点分别为A ，B ，且以AB 为直径的圆的面积为9π. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点A 作斜率为1k 的直线1l 交椭圆C 于另一点M ，过点B 作斜率为2k 的直线2l 交椭圆C 于另一点N ，假设2120k k =≠，证明直线MN 过x 轴上一定点，并求出该定点的坐标. ()()()x x f x e x a e x -=--+.(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当a e ≤且0x ≥时，()2f x ≥-.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线:l y x =，圆C 的参数方程为2x y m αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求直线l 和圆C 的极坐标方程；(2)假设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且钝角ABC △，务实数m 的值. ()221f x x a x =-+-.(1)假设1a =，求不等式()8f x ≤的解集；(2)假设不存在[]1,x a ∈，使()2f x x <成立，务实数a 的取值范围.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

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