2017届湖南省衡阳市第八中学高三第六次月考试题 数学理
2020届湖南省衡阳市第八中学高三上学期第六次月考数学(理)试题(解析版)
2020届湖南省衡阳市第八中学高三上学期第六次月考数学（理）试题一、单选题1．设集合()2{|log 2}A x y x ==-， 2{|320}B x x x =-+<，则A C B =（ ） A ．(),1-∞ B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞【答案】B【解析】A={x|y=log 2（2﹣x ）}={x|x ＜2}，B={x|x 2﹣3x+2＜0}={x|1＜x ＜2}， 则∁A B={x|x≤1}， 故选B ．2．设i 为虚数单位，若()2a iz a R i -=∈+是纯虚数，则a =（ ） A ．12B ．12-C ．1D ．1-【答案】A【解析】按照复数的代数形式的乘除运算，计算复数z ，再根据复数z 是纯虚数即实部为零，得到方程解得. 【详解】 解：()()()()()()2212212222555a i i a a i a i a a z i i i i ---+------====+++-Q 又因为复数z 是纯虚数2105a -∴= 解得12a =故选：A 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算以及复数的相关概念，属于基础题. 3．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是（）A．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高B．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低C．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益D．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元【答案】D【解析】用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项.【详解】用收入减去支出，求得每月收益（万元），如下表所示：月1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 份收20 30 20 10 30 30 60 40 30 30 50 30 益-月总收益所以7月收益最高，A选项说法正确；4月收益最低，B选项说法正确；16-月总收益240万元，所以前6个月收益低于后六个月收益，C选项说140万元，712-=万元，所以D选项说法错法正确，后6个月收益比前6个月收益增长240140100误.故选D.【点睛】本小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题.4．已知sin()322πα-=-，则2020cos()3πα+=（ ）A ．B ．C ．12D ．12-【答案】D【解析】利用诱导公式及二倍角公式将2020cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭变形为212sin 32πα⎛⎫-- ⎪⎝⎭，再代入求值即可. 【详解】 解：2020cos cos 673cos cos 233332ππππααπααπ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦Qcos 232πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭212sin 32πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭sin()322πα-=-Q 22112sin 12322πα⎛⎛⎫∴--=-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 20201cos 32πα⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭故选：D5．已知12121ln ,2x x e -==，3x 满足33ln xe x -=，则（ ）A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<【答案】A【解析】根据对数的化简公式得到11ln202x ln ==-<,由指数的运算公式得到122x e-=()0,1，由对数的性质得到33ln x e x -=>0,31x ∴>，进而得到结果.【详解】 已知11ln202x ln ==-<,122 x e -==()0,1e ∈,33ln x e x -=>0,31x ∴> 进而得到123x x x <<. 故答案为A. 【点睛】本题考查了指对函数的运算公式和对数函数的性质；比较大小常用的方法有：两式做差和0比较，分式注意同分，进行因式分解为两式相乘的形式；或者利用不等式求得最值，判断最值和0的关系. 6．函数2()1sin 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】化简函数，确定函数奇偶性，讨论函数在(0,)2π内正负情况，即可排除所有错误选项. 【详解】21()(1)sin sin 11xx xe f x x x e e-=-=++ 则111()sin()(sin )sin ()111x x xx x xe e ef x x x x f x e e e------=-=⋅-==+++，是偶函数，排除B 、D. 当(0,)2x π∈时，1,sin 0x e x >>即()0f x <，排除A.故选:C. 【点睛】解复杂函数的图像问题，一般采取排除法.利用单调性，奇偶性，极值，以及函数值的正负进行判断.7．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A ．410190-B ．5101900-C ．510990-D ．4109900- 【答案】B【解析】根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为110当阿基里斯和乌龟的速度恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为552110011********* (101900110)-⎛⎫- ⎪-⎝⎭+++==- 故选B8．函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，且()f x 在()0,π上单调，则下列说法正确的是( ) A ．12ω=B．8f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()y f x =的图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C【解析】由题意得函数()f x 的最小正周期为2T πω=，∵()f x 在()0,π上单调， ∴2T ππω=≥，解得01ω<≤．∵8f π⎛⎫=⎪⎝⎭02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴3842ωππϕωπϕπ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2323ωπϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴22()2sin 33f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． 对于选项A ，显然不正确． 对于选项B，227()2sin 2sin 838312f ππππ⎛⎫-=-⨯+== ⎪⎝⎭，故B 不正确． 对于选项C ，当2x ππ-≤≤-时，220333x ππ≤+≤，所以函数()f x 单调递增，故C 正确．对于选项D ，32327()2sin 2sin 043436f ππππ⎛⎫=⨯+=≠ ⎪⎝⎭，所以点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭不是函数()f x 图象的对称中心，故D 不正确．综上选C ．点睛：解决函数()()sin f x A x ωϕ=+综合性问题的注意点 （1）结合条件确定参数,,A ωϕ的值，进而得到函数的解析式．（2）解题时要将x ωϕ+看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解．（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．9．AOB V 中，OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，，满足||2a b a b ⋅=-=r r r r，则AOB ∆的面积的最大值为（ ） AB ．2C．D．【答案】A【解析】利用数量积公式以及平方关系计算得到sin AOB ∠，利用模长公式以及基本不等式得到||||4a b ≤rr ，结合三角形面积公式化简即可求解.【详解】||||cos 2a b a b AOB ⋅=∠=r rr r ,即2cos ||||AOB a b ∠=r r22(||||)4sin 1|||2|||||a b AOB a b a b -⎛⎫∴∠=-= ⎪⎝⎭r r r r r r 22||||2||2a b a a b b -=-⋅+=r r r r r r ，即228||||2||||a b a b =+≥r r r r 所以||||4a b ≤rr所以22(||||)41111||||sin ||||=(||||)4164=32222||||AOBa b S a b AOB a b a b a b ∆-=∠=-≤-r r r r r r r r r r故选：A 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题.10．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >），1F ，2F 分别为其左、右焦点，O为坐标原点，若点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率是（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．3【答案】C【解析】由题意，1(,0)F c -，2(,0)F c ，设一条渐近线方程为by x a=，则2F 到渐近线的距离为b ，设2F 关于渐近线的对称点为M ，2F M 与渐近线交于A ，则1MF c =，22MF b =，A 为2MF 的中点，又O 是12F F 的中点，1//OA F M ，12F MF ∴∠为直角，12MF F ∴V 为直角三角形，∴由勾股定理得22244c c b =+，()22234c c a∴=-，224ca ∴=，2c a ∴=，则2e =.故选：C点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 11．在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为1AD ，1B C 上的动点，且满足1AP B Q =，则下列4个命题中，所有正确命题的序号是（ ）．①存在P ，Q 的某一位置，使AB PQ ∥ ②BPQ V 的面积为定值③当0PA >时，直线1PB 与直线AQ 一定异面 ④无论P ，Q 运动到何位置，均有BC PQ ⊥ A ．①②④ B ．①③C ．②④D ．①③④【答案】D【解析】依次判断，每个选项：①当P ，Q 分别为棱1AD ，1B C 的中点时满足，正确；取特殊位置BPQ V 的面积为变化，故错误；③假设不成立推出矛盾，正确；④BC ⊥平面PFGQ ，正确.得到答案. 【详解】①当P ，Q 分别为棱1AD ，1B C 的中点时满足，正确；②当P 与A 重合时：212BPQ S a =V ；当P 与1D 重合时：2BPQ S a =V （a为正方体边长），错误；③当0PA >时，假设直线1PB 与直线AQ 是共面直线，则AP 与1B Q 共面，矛盾，正确；④如图所示：,F G 分别为,P Q 在平面内的投影，易证BC ⊥平面PFGQ ，正确. 故选：D【点睛】本题考查了空间几何中直线的平行，垂直，异面，意在考查学生的空间想象能力. 12．若函数12()2log (0)x x f x ex a a -=+->在区间(0,2)内有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．22,2)e B ．(0,2]C ．22(2,2)e + D ．3424(2,2)e +【答案】D【解析】分离常数，构造函数，利用导数求出函数的最值，即可求出实数a 的取值. 【详解】 解：()122log 0x x f x ex a -=+-=Q12log 12x e a x -∴=+在()0,2内有两解，令()112x e f x x -=+则()()1212x e x f x x--'= ()f x ∴在()0,1为减函数，在()1,2上为增函数，∴当1x =时，取得最小值()()11min311212e f x f -==+=⨯且当0x →时，()f x →+∞，()21421224e e f -+=+=⨯ 234log 24e a +∴<<342422e a +∴<<故选：D 【点睛】本题考查函数的零点问题，参变分离是解答的关键，属于中档题.二、填空题 13．若ax 2+的展开式中x 5的系数是—80，则实数a=_______.【答案】-2【解析】试题分析：因为，所以由，因此【考点】二项式定理【名师点睛】本题是二项式定理问题中的常见题型，二项展开式的通项往往是考查的重点.本题难度不大，易于得分.能较好地考查考生的基本运算能力等.14．在菱形ABCD 中，060DAB ∠=，将这个菱形沿对角线BD 折起，使得平面DAB ⊥平面BDC ，若此时三棱锥A BCD -的外接球的表面积为5π，则AB 的长为_________． 3【解析】建立空间直角坐标系，列出等式求解即可． 【详解】解：取BD 中点O ，如图，以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -，设2AB m =，等边三角形ABD 中心为1I ，等边三角形BCD 中心为2I ，外接球球心为I ， 则3)A m ，(.0,0)B m ，(,0,0)D m -，3,0)C m ，13)I ，23,0)I ，33)I ， 则半径为53R IA m ==u u r ， 因为外接球表面积为245S R ππ==， 553=，所以3m =，所以23AB m =， 故选：B ． 【点睛】本题考查三棱锥外接球的体积计算方法，属于中档题．15．已知数列{}n a 满足11a =，135n n a a n ++=+，*n N ∈，则(1)21n a -=________， (2)2111(1)i i ni i a a +=+-=∑_____________.【答案】32n -. 293322n n--. 【解析】（1）将已知等式中的n 换为1n -，作差即求得；（2）将所求式子，整理后，运用等差数列的定义和求和公式，计算可得所求和． 【详解】解：（1）11a =，135n n a a n ++=+①， 当1n =时，27a =可得132n n a a n -+=+，2n …②， ①-②得113n n a a +--=，2n …； {}21n a -∴为以11a =为首项，3d =的等差数列，2132n a n -=-∴（2）12233445212221n n n n a a a a a a a a a a a a -+-+-+⋯-21343522121242()()()(3)()n n n n a a a a a a a a a a a a -+=-+-+⋯+-=-++⋯+由（1）得2{}n a 为公差为3的等差数列，又由128a a +=可得27a =，则212233445212221(1)933(3)(73)22n n n n n n n na a a a a a a a a a a a n -+-+-+-+⋯+-=-+=-g ． 故答案为：32n -；29332n n+-【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．16．如图，哈尔滨市有相交于点O 的一条东西走向的公路l 与一条南北走向的公路m ，有一商城A 的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1(单位:千米). 根据市民建议，欲新建一条公路PQ ，点,P Q 分别在公路,l m 上，且要求PQ 与椭圆形商城A 相切，当公路PQ 长最短时，OQ 的长为________千米.3【解析】设PQ 为y kx b =+,联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()22212104k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭,利用0∆=可得()22114k b =-,则()2222222114b b PQ b b kb =+=+-,利用均值不等式求最值,再由取等条件求得OQ 即可 【详解】由题,设PQ 为y kx b =+,由图易得1,2b b k >->,联立2214y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()22212104k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭,则()()222124104kb k b ⎛⎫∆=-+-= ⎪⎝⎭, 即()22114k b =-, 因为P 为,0b k ⎛⎫-⎪⎝⎭,Q 为()0,b , 则()22222222222244411114b b b PQ b b b b k b b b =+=+=+=++--- ()22451591b b =++-≥+=-,当且仅当22411b b -=-,即b =时取等,即OQ =【点睛】本题考查圆锥曲线的实际应用,考查利用均值不等式求最值,考查运算能力三、解答题17．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan(sin 2cos )cos 2222A C A C a b a +=． （1）求角B 的值； （2）若△ABC 的面积为D 为边AC 的中点，求线段BD 长的最小值．【答案】（1）23B π=；（2【解析】（1）根据tan(sin 2cos )cos 2222A C A Ca b a +=，化简可得cossin 2A C a b A +=，进一步得到1cos 22B =，然后求出B 的值； （2）由（1）的角B 及三角形面积公式可得ac 的值，因为D 为边AC 的中点，所以1()2BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r，利用向量的模和基本不等式可求BD u u u r 的取值范围，即可得到BD的最小值. 【详解】 解：（1）由tan(sin 2cos )cos 2222A C A Ca b a +=，得sin (sin 2cos )cos cos 22222A C A A Ca b a +=， 即(coscos sin sin )2sin cos 222222A C A C A A a b -=，即cos sin 2A Ca b A +=. 由正弦定理得sin cos sin sin 2A C AB A +=，因0,sin 0,sin 02BA A π<<≠≠，所以cossin 2A C A +=，则sin sin 2sin cos 222B B BB ==，所以1cos(0)2222B B π=<<， 所以23B π=，即23B π=.（2）由△ABC 的面积为1sin 2ac B =12ac =.因为D 为边AC 的中点，所以1()2BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r，所以2221(2)4BD BA BC BA BC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g =++，即222111(2cos )(2)3444BD c a ac B ac ac ac u u u r =++≥-==，当且仅当a c ==“=”，所以BD u u u r≥BD .【点睛】本题考查了三角恒等变换，面积公式和基本不等式，考查了转化思想和方程思想，属于中档题．18．已知正方形ABCD ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，将△ADE 沿DE 折起，使△ACD 为等边三角形，如图所示，记二面角A-DE-C 的大小为()0θθπ<<.（1）证明：点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上； （2）求角θ的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）15sin 4θ=. 【解析】（1）过点A 作AG ⊥平面BCDE ，垂足为G ，连接GC ，GD ．证明G 在CD 的垂直平分线上，则点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上，（2）以G 点为坐标原点，以GA 所在直线为z 轴，GF 所在直线为y 轴，过G 点作平行于DC 的向量为x 轴建立空间直角坐标系．设正方形ABCD 的边长为2a ，分别求出平面DEC 与平面ADE 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得角θ的正弦值． 【详解】（1）证明：过点A 作AG ⊥平面BCDE ，垂足为G ，连接GC ，GD. 因为△ACD 为等边三角形，所以AC=AD ，所以点G 在CD 的垂直平分线上. 又因为EF 是CD 的垂直平线，所以点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上. 另证：过点A 作AG ⊥EF ，再证AG ⊥CD ，从而证得AG ⊥平面BCDE ， 即点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上（2）解：以G 为坐标原点，GA 所在直线为z 轴，GF 所在直线为y 轴，过点G 作平行于DC 的直线为x 轴建立空间直角坐标系.设正方形ABCD 的边长为2a ，连接AF ， 则3AF a =，AE a =，2EF a =所以333(0,0,0),(0,0,),(,,0),(,,0),(0,,0)2222aG A a C a a D a a E --设平面ADE 的一个法向量为(),,m x y z =u r ，则3302·20m AD ax ay az m DE ax ay ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪=+=⎩u uu v v u u u v v ， 令1y =，得32,1,3m u r 骣÷ç÷=--ç÷ç÷ç桫，又平面CDE 的一个法向量()0,0,1n =r 所以1cos 4m n m n u r r g u r r q==，15sin 4θ∴=. 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了二面角的平面角的求法，属于中档题． 19．如图，已知椭圆的长轴，长为4，过椭圆的右焦点作斜率为（）的直线交椭圆于、两点，直线，的斜率之积为.（1）求椭圆的方程； （2）已知直线，直线，分别与相交于、两点，设为线段的中点，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由长轴长为4可得a ，设出点B ，C 的坐标，利用斜率之积为，可得，即可得到b 2，可得椭圆方程；（2）设直线BC 的方程为：y ＝k （x ﹣1）与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，直线的方程为：y（x +2）与x=4联立，可得点M ，N 的坐标，可得线段MN 的中点E ．利用根与系数的关系及其斜率计算公式可得，只要证明1即可．【详解】 （1）设，，因点在椭圆上，所以，故.又，， 所以，即，又，所以故椭圆的方程为.（2）设直线的方程为：，，，联立方程组，消去并整理得，，则，.直线的方程为，令得，同理，；所以，代入化简得，即点，又，所以，所以.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．已知函数()()e sin 2R 2x f x ax x a π⎛⎫=+--∈⎪⎝⎭. （1）当1a =时，求函数()f x 在区间[],ππ-上的值域. （2）对于任意120x x π<<<，都有()()21212e e2x x f x f x a π->---，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()()4e 34e ,22ππππ-⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦(2) 1a π≥ 【解析】试题分析：（1）先求导数，再求()sin cos 12g x x x x π=++--导数，得()02g x g π⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，从而确定()0f x '≤，再根据()f x 单调性得值域（2）先整理不等式得()()21212e 2e 22x x f x a f x a ππ⎛⎫⎛⎫--->--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，转化为函数()()2e 2x G x f x a π⎛⎫=--- ⎪⎝⎭在区间()0,π为增函数，再转化为对应函数导数恒非负，分离变量得sin cos x x a x +-≤最小值，最后利用导数求函数()sin cos x xh x x+=单调性，得最值，即得实数a 的取值范围.试题解析：（1）当1a =时，()e sin 22xf x x x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭， ()e sin cos 12x f x x x x π⎛⎫=++-- ⎝'⎪⎭，令()sin cos 12g x x x x π=++--，有()1cos sin 14g x x x x π⎛⎫=+-=-' ⎪⎝⎭，当x ππ-≤≤时，53444x πππ-≤-≤，当()0g x '<时sin 4x π⎛⎫-> ⎪⎝⎭， 得3444x πππ≤-≤，解得：2x ππ≤≤， 故当2x ππ≤≤时，函数()g x 单调递减，当2x ππ-≤≤时，函数()g x 单调递增，所以当x ππ-≤≤时，()02g x g π⎛⎫≤=⎪⎝⎭，可得()0f x '≤， 函数()f x 在区间[],ππ-上单调递减， ()()()min 4ee 222f x f πππππ-⎛⎫==-=⎪⎝⎭， ()()()max34e 3e 222f x f πππππ--+⎛⎫=-=--=-⎪⎝⎭，故函数()f x 在区间[],ππ-上的值域为()()4e 34e ,22ππππ-⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦. （2）由120x x π<<<，有21e e 0x x ->，故()()21212e e 2x x f x f x a π->---可化为()()()21212e e 2x x f x f x a π⎛⎫->--- ⎪⎝⎭，整理为：()()21212e 2e 22x x f x a f x a ππ⎛⎫⎛⎫--->--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即函数()()2e 2x G x f x a π⎛⎫=--- ⎪⎝⎭在区间()0,π为增函数，()e sin 22x G x ax x π⎛⎫=+--- ⎪⎝⎭()2e e sin 2x xa ax x a π⎛⎫--=+- ⎪⎝⎭，()()e sin cos x G x ax x x ='++，故当[]0,x π∈时，()0G x '≥，即sin cos 0ax x x ++≥， ①当0x =时，R a ∈；②当0x π<≤时，整理为：sin cos x x a x+-≤， 令()sin cos x xh x x +=，有()()()2cos sin sin cos x x x x x h x x --+=' ()()21cos 1sin x x x x x --+=，当01x <<，()1cos 0x x -<，()1sin 0x x +>，有()0h x '<， 当1x π≤≤时，由cos sin x x ≤，有()()1cos 1sin x x x x --+≤()()1sin 1sin 2sin 0x x x x x --+=-<，可得()0h x '<，由上知0x π<≤时，函数()h x 单调递减， 故()()min sin cos 1h x h πππππ+===-，故有：1a π-≤-，可得1a π≥.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.21．随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x =1”表示2015年，“x =2”表示2016年，依次类推；y 表示人数)：（1）试根据表中的数据，求出y 关于x 的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人；（2）该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。
2017届湖南省衡阳市第八中学高三上学期第二次月考数学(理)试题
衡阳市八中2017届高三第二次月考数学试题答案 （考试内容：集合与逻辑用语、函数、导数、三角函数） 共150分，考试用时120分钟。
一选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 答案：B2.已知a 函数3()12f x x x =-的极小值点，则a =( ) (A)-16 (B) -2 (C)16 (D)2 【答案】D3.设232555322555a b c ===（）,（（），则a ， b ，c 的大小关系是（A ）A 、a ＞c ＞bB 、a ＞b ＞cC 、c ＞a ＞bD 、b ＞c ＞a4．函数y=sin(2x+π6 )的图象可看成是把函数y=sin2x 的图象作以下平移得到（ D ） A. 向右平移π6 B. 向左平移π6 C. 向右平移 π12 D. 向左平移 π125．已知函数31(),3(),(2log 2)3(1),3xx f x f f x x ⎧≥⎪=+⎨⎪+<⎩则的值为（ B ）A ．227-B ．154C ．227D ．54-6. 已知函数sin cos 1212y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断正确的是（B ）A ．此函数的最小正周期为2π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．此函数的最小正周期为π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭ C ．此函数的最小正周期为2π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭D ．此函数的最小正周期为π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭7．若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos = （ A ） A ．97-B ．31- C ．31 D ． 978.已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（ A )【解析】：由题意得，x a =，x b =为()f x 的零点，由图可知，01a <<，1b <-，∴()g x 的图象可由xy a =向下平移b -个单位得到，∵01a <<，由于1-<b ，1->∴b 故可知A 符合题意，故选A ．9．设12322()log (1)2x ex f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则不等式()2f x >的解集为 （ C ） A ．(1,2)(3,)⋃+∞ B．)+∞C．(1,2))⋃+∞D ．（1，2）10. 已知函数1()()2ln ()f x a x x a R x =--∈，()ag x x=-，若至少存在一个0[1,e]x ∈，使00()()f x g x >成立，则实数a 的范围为( B ) A ．[2e ，+∞) B ．(0，+∞) C ．[0，+∞) D ．(2e，+∞) 【答案】B11．已知函数()224|log |02151222x x f x x x x <<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，若存在实数,,,a b c d 满足()()()()f a f b f c f d ===其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围是（ B ）. A ． ()16,21 B ．()16,24 C ．()17,21 D ．()18,24 【答案】B.1,0log 2=∴=∴ab ab 从而的两根是方程则记,12521,,log 422t x x d c t b =+-=2416,2416,40),12(2<<∴<<∴<<-=abcd cd t t cd 而12．已知定义在R 上的奇函数f (x )的导函数为)(x f '，当x <0时，f （x ）满足()()2 ') (f x xf x xf x +<，则f (x )在R 上的零点个数为( A )A .1B .3C . 5D .1或3 【答案】A仅一个零点又时时)(,0)0(.0)()(0.0)(,0x f f x f x f x x f x ∴=>--=>∴<< 二 填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B = 【答案】{1,4}14.以曲线x y 2cos =为曲边的曲边形(如下图阴影部分)面积为45|2sin 21|2sin 212cos 2cos :434412434412=-=-=⎰⎰ππππππππx x xdxxdx S 解15．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)则(0)f 的值是 .解：353(,,241234T T ππππω=--=∴=∴=把5(,2)12π代入，得552sin()22662ππϕπϕ+=⇒+=+2,,3223k k Z ππππϕπϕϕ∴=-+∈-<<∴=-()2sin(2)(0)2sin()33f x x f ππ∴=-∴=-= 16. 已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在(1,2)处的切线方程式为_____________________________. 【答案】2y x = 【解析】试题分析：当0x >时，0x -<，则1()x f x e x --=+．又因为()f x 为偶函数，所以1()()x f x f x e x -=-=+，所以1()1x f x e -'=+，则切线斜率为(1)2f '=，所以切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =．三 解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. （本小题满分10分）设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x 。
2017届湖南省衡阳八中高三(上)第一次月考数学试卷(实验班)解析版
2016-2017学年湖南省衡阳八中高三（上）第一次月考数学试卷（实验班）一、选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的．[文理科]1．（5分）（2013•衡水校级模拟）设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，则A∩B=（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4}2．（5分）（2015秋•荆门期末）下列命题中正确的个数为（）①若“一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除”的逆命题；②若“一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等”的否命题；③“奇函数的图象关于原点对称”的逆否命题；④“每个正方形都是平行四边形”的否定；⑤设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充分不必要条件．A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）（2014•惠州模拟）函数f（x）=log2（3x﹣1）的定义域为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）4．（5分）（2014秋•包河区校级期末）已知命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，命题q：q：不等式＜1+ax对一切正实数x均成立．如果，命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围为（）A．a＞1 B．1≤a≤2 C．a＞2 D．无解5．（5分）（2009秋•银川校级期末）若100a=5，10b=2，则2a+b=（）A．0 B．1 C．2 D．36．（5分）（2015秋•景洪市校级期末）设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，则f（﹣2），f（1），f（﹣3）的大小关系是（）A．f（1）＞f（﹣3）＞f（﹣2）B．f（1）＞f（﹣2）＞f（﹣3）C．f（1）＜f（﹣3）＜f（﹣2）D．f（1）＜f（﹣2）＜f（﹣3）7．（5分）（2011•江西校级模拟）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）（2014•泰安二模）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=1，对任意x∈R，f′（x）＞3，则f（x）＞3x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）9．（5分）（2015秋•株洲校级期末）已知函数f（x）=，则f（f（5））的值为（）A．1 B．2 C．3 D．410．（5分）（2014•云南模拟）已知函数f（x）=2x+1，x∈N*，若∃x0，n∈N*，使f（x0）+f（x0+1）+…+f （x0+n）=63成立，则称（x0，n）为函数f（x）的一个“生成点”，函数f（x）的“生成点”共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个11．（5分）（2015•广西校级学业考试）若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A．若f（a）f（b）＞0，不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0B．若f（a）f（b）＜0，存在且只存在一个实数c∈（a，b）使得f（c）=0C．若f（a）f（b）＞0，有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0D．若f（a）f（b）＜0，有可能不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=012．（5分）（2015秋•朝阳区期末）设函数f（x）的定义域D，如果存在正实数m，使得对任意x∈D，都有f（x+m）＞f（x），则称f（x）为D上的“m型增函数”．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R）．若f（x）为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜5 C．a＜10 D．a＜20二.填空题（每题5分，共20分）[文理科]13．（5分）（2015秋•房山区期末）若函数f（x）的定义域是[0，4]，则函数f（2x﹣3）的定义域是______．14．（5分）（2015秋•福建期末）已知奇函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，且在定义域上单调递减，则满足不等式f（1﹣m）+f（1﹣2m）＜0的实数m的取值范围是______．15．（5分）（2016•衡阳三模）若函数f（x）=x2+ln（x+a）与g（x）=x2+e x﹣（x＜0）的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是______．16．（5分）（2015•蚌埠三模）已知函数y=f（x），x∈I，若存在x0∈I，使得f（x0）=x0，则称x0为函数y=f（x）的不动点；若存在x0∈I，使得f（f（x0））=x0，则称x0为函数y=f（x）的稳定点．则下列结论中正确的是______．（填上所有正确结论的序号）①﹣，1是函数g（x）=2x2﹣1有两个不动点；②若x0为函数y=f（x）的不动点，则x0必为函数y=f（x）的稳定点；③若x0为函数y=f（x）的稳定点，则x0必为函数y=f（x）的不动点；④函数g（x）=2x2﹣1共有三个稳定点；⑤若函数y=f（x）在定义域I上单调递增，则它的不动点与稳定点是完全相同．三.解答题（共6题，共70分）17．（10分）（2014秋•朝阳区期末）已知集合A={x2﹣3x﹣10≤0}，B={x|m﹣1＜x＜2m+1}（Ⅰ）当m=3时，求A∩B．（Ⅱ）若B⊆A，求实数m的取值范围．18．（2015秋•安徽校级期末）已知命题：“∀x∈{x|﹣1≤x≤1}，都有不等式x2﹣x﹣m＜0成立”是真命题．（1）求实数m的取值集合B；（2）设不等式（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＜0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（12分）（2015•肇庆二模）已知函数f（x）=﹣+3（﹣1≤x≤2）．（1）若λ=时，求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）的最小值是1，求实数λ的值．20．（12分）（2015秋•房山区期末）已知函数f（x）=log a（1+x），g（x）=log a（1﹣x），（a＞0，且a≠1）．（1）设a=2，函数f（x）的定义域为[3，63]，求函数f（x）的最值．（2）求使f（x）﹣g（x）＞0的x的取值范围．21．（2015秋•阜阳校级期末）对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为不等函数．①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．已知函数g（x）=x3与h（x）=2x﹣a是定义在[0，1]上的函数．（1）试问函数g（x）是否为不等函数？并说明理由；（2）若函数h（x）是不等函数，求实数a组成的集合．22．（12分）（2015秋•宜春校级期末）已知函数f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R．（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若存在实数a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有3个不相等的实数根，求实数t的取值范围．23．（2015秋•朝阳区期末）定义在（0，+∞）上的函数f（x），如果对任意x∈（0，+∞），都有f（kx）=kf（x）（k≥2，k∈N*）成立，则称f（x）为k阶伸缩函数．（Ⅰ）若函数f（x）为二阶伸缩函数，且当x∈（1，2]时，，求的值；（Ⅱ）若函数f（x）为三阶伸缩函数，且当x∈（1，3]时，，求证：函数在（1，+∞）上无零点；（Ⅲ）若函数f（x）为k阶伸缩函数，且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1），求f（x）在（0，k n+1]（n∈N*）上的取值范围．24．（12分）（2015•赣州模拟）已知函数f（x）=ax2+lnx﹣（a+1）x+a（a为常数）．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）的最小值为﹣1，求实数a的取值范围．25．（2015•铜川三模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2﹣2x．（1）设h（x）=f（x+1）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求h（x）的最大值；（2）证明：当0＜b＜a时，求证：f（a+b）﹣f（2a）＜；（3）设k∈Z，当x＞1时，不等式k（x﹣1）＜xf（x）+3g′（x）+4恒成立，求k的最大值．26．（12分）（2014秋•蚌埠校级期中）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点；（2）在（1）的条件下，是否存在m∈R，使得f（m）=﹣a成立时，f（m+3）为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由；（3）若对x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]有两个不等实根，证明必有一个根属于（x1，x2）．2016-2017学年湖南省衡阳八中高三（上）第一次月考数学试卷（实验班）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的．[文理科]1．（5分）（2013•衡水校级模拟）设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，则A∩B=（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4}【分析】找出A和B解集中的公共部分，即可确定出两集合的交集．【解答】解：∵A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，∴A∩B={x|0≤x≤2}．故选A【点评】此题考查了交集及其运算，比较简单，是一道基本题型．2．（5分）（2015秋•荆门期末）下列命题中正确的个数为（）①若“一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除”的逆命题；②若“一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等”的否命题；③“奇函数的图象关于原点对称”的逆否命题；④“每个正方形都是平行四边形”的否定；⑤设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充分不必要条件．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据四种命题之间的关系分别求出对应的命题，然后进行判断即可．【解答】解：①若“一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除”的逆命题为：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0，错误，当末位数字是5也满足条件．，故①错误，②若“一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等”的逆命题为：若“一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等”，正确此时三角形为等腰三角形，根据逆否命题的等价性知原命题的否命题正确，故②正确；③“奇函数的图象关于原点对称”正确，则根据逆否命题的等价性知命题的逆否命题正确；故③正确，④“每个正方形都是平行四边形”，正确，则“每个正方形都是平行四边形”的否定错误；故④错误，⑤设f（x）=x|x|=，则函数f（x）为增函数，则当a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充分必要条件．故⑤错误，故正确的个数是2，故选：B【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题的关系以及命题真假的判断，考查学生的运算和推理能力．3．（5分）（2014•惠州模拟）函数f（x）=log2（3x﹣1）的定义域为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则3x﹣1＞0，即3x＞1，∴x＞0．即函数的定义域为（0，+∞），故选：D．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．4．（5分）（2014秋•包河区校级期末）已知命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，命题q：q：不等式＜1+ax对一切正实数x均成立．如果，命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围为（）A．a＞1 B．1≤a≤2 C．a＞2 D．无解【分析】由于命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，可得命题p与q必然一真一假，【解答】解：命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，当a=0时，函数f（x）的定义域不为R；当a≠0时，由题意可得：，解得a＞2．命题q：q：不等式＜1+ax对一切正实数x均成立，当a＞0时，可得x（a2x+2a﹣2）＞0，当a≥1时，上述不等式对一切正实数x均成立；当0＜a＜1时上述不等式不满足对一切正实数x均成立，舍去；同理当a≤0时，上述不等式不满足对一切正实数x均成立．可得：实数a的范围是a≥1．∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，∴命题p与q必然一真一假，∴或，解得1≤a≤2．则实数a的取值范围为1≤a≤2．故选：B．【点评】本题考查了简易逻辑的判定、对数函数的定义域、一元二次不等式的解法、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）（2009秋•银川校级期末）若100a=5，10b=2，则2a+b=（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】由题设条件知，lg2=b，故2a+b=．【解答】解：∵100a=5，10b=2，∴，lg2=b，∴2a+b=．故选B．【点评】本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用．6．（5分）（2015秋•景洪市校级期末）设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，则f（﹣2），f（1），f（﹣3）的大小关系是（）A．f（1）＞f（﹣3）＞f（﹣2）B．f（1）＞f（﹣2）＞f（﹣3）C．f（1）＜f（﹣3）＜f（﹣2）D．f（1）＜f（﹣2）＜f（﹣3）【分析】先利用偶函数的性质，将函数值转化到同一单调区间[0，+∞）上，然后比较大小．【解答】解：因为f（x）是偶函数，所以f（﹣3）=f（3），f（﹣2）=f（2）．又因为函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，故f（3）＞f（2）＞f（1）．即f（﹣3）＞f（﹣2）＞f（1）．故选D【点评】本题考查了函数的单调性在比较函数值大小中的应用，要注意结合其它性质考查时，一般先将不同区间上的函数值转化到同一单调区间上再比较大小．7．（5分）（2011•江西校级模拟）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】由函数的解析式可以看出，函数的零点呈周期性出现，且法自变量趋向于正无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越小，而当自变量趋向于负无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越大，由此特征对四个选项进行判断，即可得出正确选项．【解答】解：∵函数∴函数的零点呈周期性出现，且法自变量趋向于正无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越小，而当自变量趋向于负无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越大，A选项符合题意；B选项振幅变化规律与函数的性质相悖，不正确；C选项是一个偶函数的图象，而已知的函数不是一个偶函数故不正确；D选项最高点离开原点的距离的变化趋势不符合题意，故不对．综上，A选项符合题意故选A【点评】本题考查余弦函数的图象，解题的关键是根据余弦函数的周期性得出其零点周期性出现，再就是根据分母随着自变量的变化推测出函数图象震荡幅度的变化，由这些规律对照四个选项选出正确答案．8．（5分）（2014•泰安二模）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=1，对任意x∈R，f′（x）＞3，则f（x）＞3x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）【分析】构造函数F（x）=f（x）﹣（3x+4），由f（﹣1）=1得F（﹣1）的值，求F（x）的导函数，根据f′（x）＞3，得F（x）在R上为增函数，根据函数的单调性得F（x）大于0的解集，从而得所求不等式的解集．【解答】解：设F（x）=f（x）﹣（3x+4），则F（﹣1）=f（﹣1）﹣（﹣3+4）=1﹣1=0，又对任意x∈R，f′（x）＞3，∴F′（x）=f′（x）﹣3＞0，∴F（x）在R上是增函数，∴F（x）＞0的解集是（﹣1，+∞），即f（x）＞3x+4的解集为（﹣1，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了运用函数思想求解不等式的问题，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性，是易错题．9．（5分）（2015秋•株洲校级期末）已知函数f（x）=，则f（f（5））的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用分段函数直接代入求值即可．【解答】解：∵f（5）=log24=2，∴f（f（5））=f（2）=22=4．故选：D．【点评】本题主要考查分段函数的求值问题，注意分段函数中变量的取值范围．10．（5分）（2014•云南模拟）已知函数f（x）=2x+1，x∈N*，若∃x0，n∈N*，使f（x0）+f（x0+1）+…+f （x0+n）=63成立，则称（x0，n）为函数f（x）的一个“生成点”，函数f（x）的“生成点”共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】由f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63，得（2x0+1）+[2（x0+1）+1]+…+[2（x0+n）+1]=63，化简可得（n+1）（2x0+n+1）=63，由此能求出函数f（x）的“生成点”的个数．【解答】解：由f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63，得（2x0+1）+[2（x0+1）+1]+…+[2（x0+n）+1]=63所以2（n+1）x0+2（1+2+…n）+（n+1）=63，即（n+1）（2x0+n+1）=63，由x0，n∈N*，得或，解得或，所以函数f（x）的“生成点”为（1，6），（9，2）．故函数f（x）的“生成点”共有2个．故答案为：2．【点评】本题考查函数f（x）的“生成点”个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的性质的合理运用．11．（5分）（2015•广西校级学业考试）若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A．若f（a）f（b）＞0，不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0B．若f（a）f（b）＜0，存在且只存在一个实数c∈（a，b）使得f（c）=0C．若f（a）f（b）＞0，有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0D．若f（a）f（b）＜0，有可能不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0【分析】先由零点的存在性定理可判断D不正确；结合反例“f（x）=x（x﹣1）（x+1）在区间[﹣2，2]上满足f（﹣2）f（2）＜0，但其存在三个解{﹣1，0，1}”可判定B不正确；结合反例“f（x）=（x﹣1）（x+1）在区间[﹣2，2]上满足f（﹣2）f（2）＞0，但其存在两个解{﹣1，1}”可判定A不正确，进而可得到答案．【解答】解：由零点存在性定理可知选项D不正确；对于选项B，可通过反例“f（x）=x（x﹣1）（x+1）在区间[﹣2，2]上满足f（﹣2）f（2）＜0，但其存在三个解{﹣1，0，1}”推翻；同时选项A可通过反例“f（x）=（x﹣1）（x+1）在区间[﹣2，2]上满足f（﹣2）f（2）＞0，但其存在两个解{﹣1，1}”；故选C．【点评】本题主要考查零点存在定理的理解和认识．考查对知识理解的细腻程度和认识深度．12．（5分）（2015秋•朝阳区期末）设函数f（x）的定义域D，如果存在正实数m，使得对任意x∈D，都有f（x+m）＞f（x），则称f（x）为D上的“m型增函数”．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R）．若f（x）为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜5 C．a＜10 D．a＜20【分析】由已知得f（x）=，f（x+20）＞f（x），由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R），∴f（x）=，∵f（x）为R上的“20型增函数”，∴f（x+20）＞f（x），当x≥0时，|20+x﹣a|﹣a＞|x﹣a|﹣a，解得a＜10．当x=﹣10时，由f（﹣10+20）＞f（﹣10），即f（10）＞f（﹣10），得：|10﹣a|﹣a＞﹣|10﹣a|+a，∴|10﹣a|＞a，∴10﹣a＞a或10﹣a＜﹣a，解得a＜5，∴实数a的取值范围是a＜5．故选：B．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意新定义的正确理解．二.填空题（每题5分，共20分）[文理科]13．（5分）（2015秋•房山区期末）若函数f（x）的定义域是[0，4]，则函数f（2x﹣3）的定义域是．【分析】由已知函数的定义域，可得0≤2x﹣3≤4，解此不等式得答案．【解答】解：∵函数f（x）的定义域是[0，4]，则由0≤2x﹣3≤4，得，∴函数f（2x﹣3）的定义域是．故答案为：．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．14．（5分）（2015秋•福建期末）已知奇函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，且在定义域上单调递减，则满足不等式f（1﹣m）+f（1﹣2m）＜0的实数m的取值范围是[﹣，] ．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．【解答】解：∵函数奇函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，且在定义域上单调递减，∴不等式f（1﹣m）+f（1﹣2m）＜0等价为f（1﹣m）＜﹣f（1﹣2m）=f（2m﹣1），即，即，得﹣≤m≤，故答案为：[﹣，]【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性将不等式进行转化是解决本题的关键．注意定义域的限制．15．（5分）（2016•衡阳三模）若函数f（x）=x2+ln（x+a）与g（x）=x2+e x﹣（x＜0）的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（﹣∞，）．【分析】由题意可得，存在x＜0使f（﹣x）﹣g（x）=0，即e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，从而化为函数m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）在（﹣∞，0）上有零点，从而求解．【解答】解：若函数f（x）=x2+ln（x+a）与g（x）=x2+e x﹣（x＜0）图象上存在关于y轴对称的点，则等价为g（x）=f（﹣x），在x＜0时，方程有解，即x2+e x﹣=x2+ln（﹣x+a），即e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，令m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a），则m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）在其定义域上是增函数，且x→﹣∞时，m（x）＜0，若a≤0时，x→a时，m（x）＞0，故e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，若a＞0时，则e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解可化为：e0﹣﹣ln（a）＞0，即lna＜，故0＜a＜．综上所述，a∈（﹣∞，）．故答案为：（﹣∞，）．【点评】本题考查函数与方程的应用，根据函数的图象与方程的根及函数的零点之间的关系，进行转化是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．16．（5分）（2015•蚌埠三模）已知函数y=f（x），x∈I，若存在x0∈I，使得f（x0）=x0，则称x0为函数y=f（x）的不动点；若存在x0∈I，使得f（f（x0））=x0，则称x0为函数y=f（x）的稳定点．则下列结论中正确的是①②⑤．（填上所有正确结论的序号）①﹣，1是函数g（x）=2x2﹣1有两个不动点；②若x0为函数y=f（x）的不动点，则x0必为函数y=f（x）的稳定点；③若x0为函数y=f（x）的稳定点，则x0必为函数y=f（x）的不动点；④函数g（x）=2x2﹣1共有三个稳定点；⑤若函数y=f（x）在定义域I上单调递增，则它的不动点与稳定点是完全相同．【分析】利用新定义直接判断①②的正误；通过求解方程的解，判断③④不满足新定义；⑤通过分类讨论判断满足新定义．【解答】解：对于①，令g（x）=x，可得x=或x=1，故①正确；对于②，因为f（x0）=x0，所以f（f（x0））=f（x0）=x0，即f（f（x0））=x0，故x0也是函数y=f（x）的稳定点，故②正确；对于③④，g（x）=2x2﹣1，令2（2x2﹣1）2﹣1=x，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解x=﹣，1，由此因式分解，可得（x﹣1）（2x+1）（4x2+2x﹣1）=0还有另外两解，故函数g（x）的稳定点有﹣，1，，其中是稳定点，但不是不动点，故③④错误；对于⑤，若函数y=f（x）有不动点x0，显然它也有稳定点x0；若函数y=f（x）有稳定点x0，即f（f（x0））=x0，设f（x0）=y0，则f（y0）=x0即（x0，y0）和（y0，x0）都在函数y=f（x）的图象上，假设x0＞y0，因为y=f（x）是增函数，则f（x0）＞f（y0），即y0＞x0，与假设矛盾；假设x0＜y0，因为y=f（x）是增函数，则f（x0）＜f（y0），即y0＜x0，与假设矛盾；故x0=y0，即f（x0）=x0，y=f（x）有不动点x0，故⑤正确．故答案为：①②⑤．【点评】本题考查命题的真假的判断，新定义的应用，考查分析问题解决问题的能力．三.解答题（共6题，共70分）17．（10分）（2014秋•朝阳区期末）已知集合A={x2﹣3x﹣10≤0}，B={x|m﹣1＜x＜2m+1}（Ⅰ）当m=3时，求A∩B．（Ⅱ）若B⊆A，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）当m=3时，化简A={x2﹣3x﹣10≤0}=[﹣2，5]，B=（2，7）；从而求交集．（Ⅱ）讨论当B≠∅时，；当B=∅时，m﹣1≥2m+1，从而解得．【解答】解：（Ⅰ）当m=3时，A={x2﹣3x﹣10≤0}=[﹣2，5]，B=（2，7）；则A∩B=（2，5]．（Ⅱ）∵B⊆A，当B≠∅时，；解得，﹣1≤m≤2；当B=∅时，由m﹣1≥2m+1得，m≤﹣2；故实数m的取值范围为{m|m≤﹣2或﹣1≤m≤2}．【点评】本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．18．（2015秋•安徽校级期末）已知命题：“∀x∈{x|﹣1≤x≤1}，都有不等式x2﹣x﹣m＜0成立”是真命题．（1）求实数m的取值集合B；（2）设不等式（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＜0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）分离出m，将不等式恒成立转化为函数的最值，求出（x2﹣x）max，求出m的范围．（2）通过对二次不等式对应的两个根大小的讨论，写出集合A，“x∈A是x∈B的充分不必要条件”即A⊆B，求出a的范围．【解答】解：（1）命题：“∀x∈{x|﹣1≤x≤1}，都有不等式x2﹣x﹣m＜0成立”是真命题，得x2﹣x﹣m＜0在﹣1≤x≤1恒成立，∴m＞（x2﹣x）max得m＞2即B=（2，+∞）（2）不等式（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＜0①当3a＞2+a，即a＞1时解集A=（2+a，3a），若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A⊆B，∴2+a≥2此时a∈（1，+∞）．②当3a=2+a即a=1时解集A=φ，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A⊂B成立．③当3a＜2+a，即a＜1时解集A=（3a，2+a），若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A⊂B成立，∴3a≥2此时．综上①②③：．【点评】解决不等式恒成立求参数的范围问题，常采用分离参数求最值；解含参数的二次不等式时，长从二次项系数、判别式、两个根的大小进行讨论．19．（12分）（2015•肇庆二模）已知函数f（x）=﹣+3（﹣1≤x≤2）．（1）若λ=时，求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）的最小值是1，求实数λ的值．【分析】（1）化简（﹣1≤x≤2），再利用换元法得g（t）=t2﹣2λt+3（）；从而代入λ=求函数的值域；（2）g（t）=t2﹣2λt+3=（t﹣λ）2+3﹣λ2（），讨论λ以确定函数的最小值及最小值点，从而求λ．【解答】解：（1）（﹣1≤x≤2）设，得g（t）=t2﹣2λt+3（）．当时，（）．所以，．所以，，故函数f（x）的值域为[，]．（2）由（1）g（t）=t2﹣2λt+3=（t﹣λ）2+3﹣λ2（）①当时，，令，得，不符合舍去；②当时，，令﹣λ2+3=1，得，或，不符合舍去；③当λ＞2时，g（t）min=g（2）=﹣4λ+7，令﹣4λ+7=1，得，不符合舍去．综上所述，实数λ的值为．【点评】本题考查了函数的值域的求法及函数的最值的应用，属于基础题．20．（12分）（2015秋•房山区期末）已知函数f（x）=log a（1+x），g（x）=log a（1﹣x），（a＞0，且a≠1）．（1）设a=2，函数f（x）的定义域为[3，63]，求函数f（x）的最值．（2）求使f（x）﹣g（x）＞0的x的取值范围．【分析】（1）当a=2时，根据函数f（x）=log2（x+1）为[3，63]上的增函数，求得函数的最值．（2）f（x）﹣g（x）＞0，即log a（1+x）＞log a（1﹣x），分①当a＞1和②当0＜a＜1两种情况，分别利用函数的单调性解对数不等式求得x的范围．【解答】解：（1）当a=2时，函数f（x）=log2（x+1）为[3，63]上的增函数，故f（x）max=f（63）=log2（63+1）=6，f（x）min=f（3）=log2（3+1）=2．（2）f（x）﹣g（x）＞0，即log a（1+x）＞log a（1﹣x），①当a＞1时，由1+x＞1﹣x＞0，得0＜x＜1，故此时x的范围是（0，1）．②当0＜a＜1时，由0＜1+x＜1﹣x，得﹣1＜x＜0，故此时x的范围是（﹣1，0）．【点评】本题主要考查指数函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（2015秋•阜阳校级期末）对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为不等函数．①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．已知函数g（x）=x3与h（x）=2x﹣a是定义在[0，1]上的函数．（1）试问函数g（x）是否为不等函数？并说明理由；（2）若函数h（x）是不等函数，求实数a组成的集合．【分析】（1）根据不等函数的定义和条件进行判断即可；（2）根据h（x）是不等函数，验证两个条件即可．【解答】解：（1）当x∈[0，1]时，总有g（x）=x3≥0，满足①；当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，g（x1+x2）=（x1+x2）3=++3•x2+3x1•≥+=g（x1）+g（x2），满足②，所以函数g（x）是不等函数．（2）h（x）=2x﹣a（x∈[0，1]）为增函数，h（x）≥h（0）=1﹣a≥0，所以a≤1．由h（x1+x2）≥h（x1）+h（x2），得﹣a≥﹣a+﹣a，即a≥+﹣=1﹣（﹣1）（﹣1）．因为x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，所以0≤﹣1≤1，0≤﹣1≤1，x1与x2不同时等于1，所以0≤（﹣1）（﹣1）＜1，所以0＜1﹣（﹣1）（﹣1）≤1．当x1=x2=0时，[1﹣（﹣1）（﹣1）]max=1，所以a≥1．综合上述，a∈{1}．【点评】本题主要考查函数的应用，根据不等函数的定义，进行推理是解决本题的关键．考查学生的推理能力．22．（12分）（2015秋•宜春校级期末）已知函数f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R．（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若存在实数a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有3个不相等的实数根，求实数t的取值范围．【分析】（1）写出f（x）的分段函数，求出对称轴方程，由二次函数的单调性，可得a﹣1≤2a，2a≤a+1，解不等式即可得到所求范围；（2）方程f（x）﹣tf（2a）=0的解即为方程f（x）=tf（2a）的解．讨论①当﹣1≤a≤1时，②当a＞1时，③当a＜﹣1时，判断f（x）的单调性，结合函数和方程的转化思想，即可得到所求范围．【解答】解：（1）∵为增函数，由于x≥2a时，f（x）的对称轴为x=a﹣1；x＜2a时，f（x）的对称轴为x=a+1，∴解得﹣1≤a≤1；（2）方程f（x）﹣tf（2a）=0的解即为方程f（x）=tf（2a）的解．①当﹣1≤a≤1时，f（x）在R上是增函数，关于x的方程f（x）=tf（2a）不可能有3个不相等的实数根．②当a＞1时，2a＞a+1＞a﹣1，∴f（x）在（﹣∞，a+1）上单调递增，在（a+1，2a）上单调递减，在（2a，+∞）上单调递增，所以当f（2a）＜tf（2a）＜f（a+1）时，关于x的方程f（x）=tf（2a）有3个不相等的实数根，即4a＜t•4a＜（a+1）2．∵a＞1，∴．设，因为存在a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有3个不相等的实数根，∴1＜t＜h（a）max．又h（a）在（1，2]递增，所以，∴．③当a＜﹣1时，2a＜a﹣1＜a+1，所以f（x）在（﹣∞，2a）上单调递增，在（2a，a﹣1）上单调递减，在（a﹣1，+∞）上单调递增，所以当f（a﹣1）＜tf（2a）＜f（2a）时，关于x的方程f（x）=tf（2a）有3个不相等的实数根，即﹣（a﹣1）2＜t•4a＜4a．∵a＜﹣1，∴．设，因为存在a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有3个不相等的实数根，所以1＜t＜g（a）max．又可证在[﹣2，﹣1）上单调递减，所以，所以．综上，．【点评】本题考查分段函数的单调性的判断和运用，注意运用二次函数的对称轴和区间的关系，考查存在性问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，以及函数方程的转化思想的运用，考查运算化简能力，属于中档题．23．（2015秋•朝阳区期末）定义在（0，+∞）上的函数f（x），如果对任意x∈（0，+∞），都有f（kx）=kf（x）（k≥2，k∈N*）成立，则称f（x）为k阶伸缩函数．（Ⅰ）若函数f（x）为二阶伸缩函数，且当x∈（1，2]时，，求的值；（Ⅱ）若函数f（x）为三阶伸缩函数，且当x∈（1，3]时，，求证：函数在（1，+∞）上无零点；（Ⅲ）若函数f（x）为k阶伸缩函数，且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1），求f（x）在（0，k n+1]（n∈N*）上的取值范围．【分析】（Ⅰ）当x∈（1，2]时，，从而f（）=，由此能求出函数f（x）为二阶伸缩函数，由此能求出的值．（Ⅱ）当x∈（1，3]时，，由此推导出函数在（1，+∞）上无零点．（Ⅲ）当x∈（k n，k n+1]时，，由此得到，当x∈（k n，k n+1]时，f（x）∈[0，k n），由此能求出f（x）在（0，k n+1]（n∈N*）上的取值范围是[0，k n）．【解答】解：（Ⅰ）由题设，当x∈（1，2]时，，∴．∵函数f（x）为二阶伸缩函数，∴对任意x∈（0，+∞），都有f（2x）=2f（x）．∴．（4分）（Ⅱ）当x∈（3m，3m+1]（m∈N*）时，．由f（x）为三阶伸缩函数，有f（3x）=3f（x）．∵x∈（1，3]时，．∴．令，解得x=0或x=3m，它们均不在（3m，3m+1]内．（7分）∴函数在（1，+∞）上无零点．（8分）（Ⅲ）由题设，若函数f（x）为k阶伸缩函数，有f（kx）=kf（x），且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1）．∴当x∈（k n，k n+1]时，．∵，所以．∴当x∈（k n，k n+1]时，f（x）∈[0，k n）．当x∈（0，1]时，即0＜x≤1，则∃k（k≥2，k∈N*）使，∴1＜kx≤k，即kx∈（1，k]，∴f（kx）∈[0，1）．又，∴，即．∵k≥2，∴f（x）在（0，k n+1]（n∈N*）上的取值范围是[0，k n）．（12分）【点评】本题考查函数值的求法，考查函数值无零点的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．24．（12分）（2015•赣州模拟）已知函数f（x）=ax2+lnx﹣（a+1）x+a（a为常数）．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）的最小值为﹣1，求实数a的取值范围．【分析】（1）可确定函数f（x）的定义域为（0，+∞），求导f′（x）=2x+﹣3=，从而确定函数的单调区间；（2）求导f′（x）=，从而分类讨论以确定函数的单调性，从而求最值即可．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）=x2+lnx﹣3x+1，f′（x）=2x+﹣3=，当x＞1时，f′（x）＞0，当0＜x＜时，f′（x）＞0；当＜x＜1时，f′（x）＜0；故f（x）的单调减区间是（，1），单调增区间是（1，+∞）和（0，）；（2）f′（x）=，当a≥1时，f′（x）＞0，即f（x）在[1，+∞）上单调递增，所以f（x）≥f（1）=﹣1，当0＜a＜1时，f（x）在（1，）上单调递减，所以，当x∈（1，）时，f（x）≤f（1）=﹣1，不合题意，当a≤0时，f′（x）＜0，即f（x）在[1，+∞）上单调递减，所以f（x）≤f（1）=﹣1，不合题意，综上所述，实数a的取值范围是[1，+∞）．【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用．25．（2015•铜川三模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2﹣2x．（1）设h（x）=f（x+1）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求h（x）的最大值；（2）证明：当0＜b＜a时，求证：f（a+b）﹣f（2a）＜；（3）设k∈Z，当x＞1时，不等式k（x﹣1）＜xf（x）+3g′（x）+4恒成立，求k的最大值．【分析】（1）h（x）=f（x+1）﹣g′（x）=ln（x+1）﹣x+2，x＞﹣1，h′（x）=，利用导数研究函数的单调性，可求得当x=0时h（x）取得最大值h（0）=2；（2）当0＜b＜a时，﹣1＜＜0，由（1）知：当﹣1＜x＜0时，h（x）＜2，即ln（x+1）＜x，从而可证得结论；（3）不等式k（x﹣1）＜xf（x）+3g′（x）+4化为k＜+2即k＜+2对任意x＞1恒成立，令g（x）=+2，则g′（x）=，分析得到函数g（x）=+2在（1，x0），上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增（x0∈（3，4））．从而可求k的最大值．【解答】解：（1）h（x）=f（x+1）﹣g′（x）=ln（x+1）﹣x+2，x＞﹣1，所以h′（x）=﹣1=．当﹣1＜x＜0时，h′（x）＞0；当x＞0时，h′（x）＜0．因此，h（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．因此，当x=0时h（x）取得最大值h（0）=2；（2）证明：当0＜b＜a时，﹣1＜＜0，由（1）知：当﹣1＜x＜0时，h（x）＜2，即ln（x+1）＜x．因此，有f（a+b）﹣f（2a）=ln=ln（1+）＜．（3）不等式k（x﹣1）＜xf（x）+3g′（x）+4化为k＜+2所以k＜+2对任意x＞1恒成立．令g（x）=+2，则g′（x）=，令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则h′（x）=1﹣=＞0，所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．因为h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）．当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，所以函数g（x）=+2在（1，x0），上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．所以[g（x）]min=g（x0）=+2=+2=x0+2∈（5，6）．所以k＜[g（x）]min=x0+2∈（5，6）．故整数k的最大值是5．【点评】本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查函数的单调性与最值，考查综合分析与转化、运算的能力，考查构造函数研究函数性质的能力，属于难题．26．（12分）（2014秋•蚌埠校级期中）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点；（2）在（1）的条件下，是否存在m∈R，使得f（m）=﹣a成立时，f（m+3）为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由；（3）若对x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]有两个不等实根，证明必有一个根属于（x1，x2）．【分析】（1）由f（1）=0，得a+b+c=0，根据a＞b＞c，可知a＞0，且c＜0，再利用根的判别式可证；（2）由条件知方程的一根为1，另一根满足﹣2＜x2＜0．由于f（m）=﹣a＜0，可知m∈（﹣2，1），从而m+3＞1，根据函数y=f（x）在[1，+∞）上单调递增，可知（m+3）＞0成立．（3）构造函数g（x）=f（x）﹣[f（x1）+f（x2）]，进而证明g（x1）g（x2）＜0，所以方程g（x）=0在（x1，x2）内有一根，故方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]必有一根属于（x1，x2）．【解答】解：（1）因为f（1）=0，所以a+b+c=0，又因为a＞b＞c，所以a＞0，且c＜0，因此ac＜0，所以△=b2﹣4ac＞0，因此f（x）的图象与x轴有2个交点．（2）由（1）可知方程f（x）=0有两个不等的实数根，不妨设为x1和x2，因为f（1）=0，所以f（x）=0的一根为x1=1，因为x1+x2=﹣，x1x2=，所以x2=﹣﹣1=，因为a＞b＞c，a＞0，且c＜0，所以﹣2＜x2＜0．因为要求f（m）=﹣a＜0，所以m∈（x1，x2），因此m∈（﹣2，1），则m+3＞1，因为函数y=f（x）在[1，+∞）上单调递增；所以f（m+3）＞f（1）=0成立．（3）构造函数g（x）=f（x）﹣[f（x1）+f（x2）]，则g（x1）=f（x1）﹣[f（x1）+f（x2）]=[f（x1）﹣f（x2）]，g（x2）=f（x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=[f（x2）﹣f（x1）]，于是g（x1）g（x2）=[f（x1）﹣f（x2）][f（x2）﹣f（x1）]=﹣[f（x1）﹣f（x2）]2，因为f（x1）≠f（x2），所以g（x1）g（x2）=﹣[f（x1）﹣f（x2）]2＜0，所以方程g（x）=0在（x1，x2）内有一根，即方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]必有一根属于（x1，x2）．【点评】本题以二次函数为载体，考查方程根的探求，考查函数值的确定及函数的零点问题，有一定的综合性．。
湖南省衡阳市第八中学高三数学上学期第二次月考试题理
衡阳市八中2017届高三第二次月考数学试题（考试内容：集合与逻辑用语、函数、导数、三角函数） 共150分，考试用时120分钟。
一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 答案：B2.已知a 函数3()12f x x x =-的极小值点，则a =( ) (A)-16 (B) -2 (C)16 (D)2 【答案】D3.设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ， b ，c 的大小关系是（A ）A 、a ＞c ＞bB 、a ＞b ＞cC 、c ＞a ＞bD 、b ＞c ＞a4．函数y=sin(2x+π6 )的图象可看成是把函数y=sin2x 的图象作以下平移得到（ D ）A. 向右平移π6B. 向左平移π6C. 向右平移 π12D. 向左平移 π125．已知函数31(),3(),(2log 2)3(1),3xx f x f f x x ⎧≥⎪=+⎨⎪+<⎩则的值为（ B ）A ．227-B ．154C ．227D ．54-6. 已知函数sin cos 1212y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断正确的是（B ） A ．此函数的最小正周期为2π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．此函数的最小正周期为π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭ C ．此函数的最小正周期为2π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭D ．此函数的最小正周期为π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭7．若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos = （ A ） A ．97-B ．31- C ．31 D ．978.已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（ A )【解析】：由题意得，x a =，x b =为()f x 的零点，由图可知，01a <<，1b <-，∴()g x 的图象可由xy a =向下平移b -个单位得到，∵01a <<，由于1-<b ，1->∴b 故可知A 符合题意，故选A ．9．设12322()log (1)2x ex f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则不等式()2f x >的解集为 （ C ） A ．(1,2)(3,)⋃+∞ B．)+∞C．(1,2))⋃+∞D ．（1，2）10. 已知函数1()()2ln ()f x a x x a R x =--∈，()ag x x=-，若至少存在一个0[1,e]x ∈，使00()()f x g x >成立，则实数a 的范围为( B )A ．[2e ，+∞) B ．(0，+∞) C ．[0，+∞) D ．(2e，+∞)【答案】B11．已知函数()224|log |02151222x x f x x x x <<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，若存在实数,,,a b c d 满足()()()()f a f b f c f d ===其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围是（ B ）. A ．()16,21 B ．()16,24 C ．()17,21 D ．()18,24 【答案】B.1,0log 2=∴=∴ab ab 从而的两根是方程则记,12521,,log 422t x x d c t b =+-=2416,2416,40),12(2<<∴<<∴<<-=abcd cd t t cd 而12．已知定义在R 上的奇函数f (x )的导函数为)(x f '，当x <0时，f （x ）满足()()2 ') (f x xf x xf x +<，则f (x )在R 上的零点个数为( A )A .1B .3C . 5D .1或3【答案】A仅一个零点又时时)(,0)0(.0)()(0.0)(,0x f f x f x f x x f x ∴=>--=>∴<< 二 填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B =【答案】{1,4}14.以曲线x y 2cos =为曲边的曲边形(如下图阴影部分)面积为45|2sin 21|2sin 212cos 2cos :434412434412=-=-=⎰⎰ππππππππx x xdxxdx S 解15．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)则(0)f 的值是 .解：353(),,241234T T ππππω=--=∴=∴=把5(,2)12π代入，得552sin()22662ππϕπϕ+=⇒+=+2,,3223k k Zππππϕπϕϕ∴=-+∈-<<∴=-()2sin(2(0)2sin()33f x x f ππ∴=-∴=-=16. 已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x ex --=-，则曲线()y f x =在(1,2)处的切线方程式为_____________________________.【答案】2y x = 【解析】试题分析：当0x >时，0x -<，则1()x f x e x --=+．又因为()f x 为偶函数，所以1()()x f x f x e x -=-=+，所以1()1x f x e -'=+，则切线斜率为(1)2f '=，所以切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =．三 解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. （本小题满分10分）设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x 。
湖南省衡阳市八中2017届高三第四次月考试卷(数学理)(含答案)word版
衡阳市八中2017届高三第四次月考试卷数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、若1:1,:1p x q x><，则p 是q 的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2、如图是导函数()y f x '=的图像，则下列命题错误的是 （ ） A ．导函数()y f x '=在1x x =处有极小值 B ．导函数()y f x '=在2x x =处有极大值 C ．函数3()y f x x x ==在处有极小值 D ．函数4()y f x x x ==在处有极小值3、已知函数1,0()1,0x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是（ ）A ．（1，2）B ．(,2]-∞-C ．(,1)(2,)-∞⋃+∞D ．(,1][2,)-∞⋃+∞4、将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为 （ ）5、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 的一个焦点是圆22680x y x +-+=的圆心,且短轴长为8 ，则椭圆的左顶点为 （ ） A ．(3,0)- B ．(4,0)- C ．(10,0)- D ．(5,0)-6、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2OB a = 2008OA a OC +，且A 、B 、C 三点共线（O 为该直线外一点），则2009S = （ ） A ． 2009 B ．20092C ． 20092D ．20092-7、已知点R t t t P ∈),,(，点M 是圆41)1(22=-+y x 上的动点，点N 是圆 41)2(22=+-y x 上的动点，则||||PM PN -的最大值是 （ ） A ．15-B ．5C ．2D ．18、将面积为2的长方形ABCD 沿对角线AC 折起，使二面角D-AC-B 的大小为α)1800(00<<α，则三棱锥D -ABC 的外接球的体积的最小值是 （ ）A ．328πB ．332πC ．34π D ．与α的值有关的数二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答卷的横线上） 9、设复数z 的共轭复数为z ，若1z i =-（i 为虚数单位）则2zz z+的值为__________ 10、设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________11、垂直于直线0162=+-y x ，且与曲线5323-+=x x y 相切的直线的方程是________12、已知0,0,20,a b a b ab >>+-=则a b +的最小值为__________13、已知数列{}n a 中，11a =，且对于任意的正整数,m n 都有m n m n m n a a a a a +=++，则数 列{}n a 的通项公式为__________14、若实数,x y 满足222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数22y z x =+的最大值为__________15、对于任意正整数j ，k ，定义,3(1)j k a j k =--，如3,433(41)6a =--=-.对 于任意不小于2的正整数m 、n ，,1,2,3,(,)j j j j n b j n a a a a =++++ 设，(,)S m n =(1,)(2,)(3,)(,)b n b n b n b m n ++++ ，则(1,)b n = ； (2,5)S =__________第Ⅱ卷三、解答题（本大题共7小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16、（本题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知sin2C4．(Ⅰ) 求cos C 的值； (Ⅱ) 若△ABC的面积为4，且sin 2 A ＋sin 2B ＝1316sin 2C ，求c 的值．17、（本题满分12分）已知圆1)2(:22=-+y x M ,Q 是x 轴上的动点,QA 、QB 分别切圆M 于B A ,两点（1）求四边形QAMB 的面积的最小值（2）若点Q 的坐标为（1，0），求切线QA 、QB 及直线AB 的方程18、（本题满分12分）如图，圆柱的高为2，底面半径为3,AE 、DF 是圆柱的两条母线，B 、C 是下底面圆周上的两点,已知四边形ABCD 是正方形。
高三数学第六次月考试题理word版本
衡阳市八中2017届高三第六次月考试题（理科数学）一.选择题（每小题只有一个正确答案。
本大题共60分）1已知复数满足，则（）A 1BC 2 D2.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）3.已知命题对任意，总有；是的充分不必要条件则下列命题为真命题的是（）4.以下四个命题中：①在回归分析中，用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大,模拟的拟合效果越好；②设～，且，则；③若数据，，，…，的方差为，则，，，…，的方差为；④对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握程度越大．其中真命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 45.某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：由上表求得回归方程，当广告费用为3万元时销售额为（）A．39万元 B．38万元 C．38.5万元 D．37.3万元6．.执行如图所示的程序框图，则输出的i值为()A 3B 4 C5 D 67．设，则的值为（）A. B.C. D.8.在矩形中，，在上任取一点，的最大边是的概率是（）A BC D9设是△内一点，且，，定义，其中，，分别是△，△，△的面积，若，则的最小值是（）A．8 B．9 C．16 D．1810.已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=f(x-1)且当x∈[-1,1]时，f(x)=x2，则函数的零点个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 511.如图，在四面体ABCD中，DA＝DB＝DC＝1，且DA,DB,DC两两互相垂直，点O是△ABC 的中心，将△DAO绕直线DO旋转一周，则在旋转过程中，直线DA与BC所成角的余弦值的取值范围是（）A． B．C． D．12．已知定义在上的函数和分别满足，，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.二．填空题（每小题5分.共20分）13.若变量满足约束条件，则的最小值是__ __．14.在的展开式中含项的系数是___________（用数字作答）15.如图.小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半.如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，向量围绕着点旋转了角，其中为小正六边形的中心，则.16．对于三次函数（），给出定义：设是的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探索发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，请你根据这一发现，计算．三．解答题17（12分）在△ABC中.角A,B,C所对的边分别为a,b,c.函数f(x)=2sin(x-A)cosx+sin(B+C) .(x∈R)，f(x)的图象关于点对称．(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)若a=7且，求△ABC的面积．18.（12分）为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，进一步优化能源消费结构，某市决定在一地处山区的A县推进光伏发电项目．在该县山区居民中随机抽取50户，统计其年用电量得到以下统计表．以样本的频率作为概率．（1）在抽到的样本中，再从用电量分布在的20户中随机抽取2户作问卷调查。
2017届湖南省衡阳市八中高三第六次月考物理试卷及答案
湖南省衡阳市八中2017届高三第六次月考试题物理一、选择题（本题共12小题，每题4分，共48分。
其中1-8题为单选题，9-12题为多选题，全对得4分，选对但不全的得2分，选错不给分）1. 密绕在轴上的一卷地膜用轻绳一端拴在轴上，另一端悬挂在墙壁上A点，如图所示，当逆时针缓慢向下用力F抽出地膜时，整卷地膜受的各个力要发生变化，不计地膜离开整卷时对地膜卷的粘扯拉力和地膜卷绕轴转动时的摩擦力，但在D点地膜与墙壁间有摩擦力，随着地膜的不断抽出，下述分析正确的是( )A．悬挂地膜的轻绳上的拉力在增大B．地膜对墙的压力在增大C．地膜与墙壁间的摩擦力在减小D．地膜卷受墙的支持力与轻绳的拉力的合力不变。
2. 如图甲所示为一个质量为m、带电荷量为+q的圆环，可在水平放置的足够长的粗糙细杆上滑动，细杆处于磁感应强度为B的匀强磁场中。
现给圆环向右初速度v0，其中，0mgvqB在以后的运动过程中，圆环运动的速度图象可能是图乙中的（）3.如图所示，假设地球是个半径为R的标准的球体，其表面的重力加速度为g，有一辆汽车沿过两极的圆周轨道沿地面匀速率行驶，不计空气阻力，则下列说法中正确的是（）A．重力和地面的支持力是一对平衡力B．汽车的机械能保持不变C．汽车在北极处于超重状态，在南极处于失重状态D．若汽车速率为v4. 如图甲所示，轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端放置一小物体(物体与弹簧不连接)，初始时物体处于静止状态。
现用竖直向上的拉力F作用在物体上，使物体开始向上做匀加速直线运动，拉力F与物体位移x的关系如图乙所示(g=10m/s2)，则下列结论正确的是( )A.物体与弹簧分离时，弹簧处于压缩状态B.物体的质量为3 kgC.物体的加速度大小为5 m/s2D.弹簧的劲度系数为7. 5 N/cm5．如图所示，AB为半圆环ACB的水平直径，C为环上的最低点，环半径为R。
一个小球从A点以速度v水平抛出，不计空气阻力，则下列判断正确的是（）A.v越大，小球落在圆环时的时间越长B.即使v取值不同，小球掉到环上时的速度方向和水平方向之间的夹角也相同C.若v取值适当，可以使小球垂直撞击半圆环D.无论v取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环6. 如图，在水平面(纸面)内有三根相同的均匀金属棒ab、Ac和MN其中ab、ac在a点接触，构成“v”字型导轨。
湖南省衡阳八中2017届高三下学期第六次月考数学试卷(理科)Word版含解析
2016-2017学年湖南省衡阳八中高三（下）第六次月考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A∩∁U B={1，2}，∁U（A∪B）={4}，则集合B 为（）A．{3}B．{3，5}C．{2，3，5}D．{1，2，3，5}2．在复平面上，复数对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知数列{a n}是等差数列，若a9+3a11＜0，a10•a11＜0，且数列{a n}的前n项和S n有最大值，那么S n取得最大值时n等于（）A．20 B．17 C．19 D．214．设x、y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣35．若不等式3x2﹣log a x＜0对任意恒成立，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．6．某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有（）A．36种B．38种C．108种D．114种7．已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a=2，b=，则角A=（）A．B．C． D．或8．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A．B．27πC．27πD．9．执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（）A．4 B．8 C．12 D．1610．函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．11．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．1 C．D．212．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）内的单调函数，且对∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣lnx]=e+1，给出下面四个命题：①不等式f（x）＞0恒成立②函数f（x）存在唯一零点，且x0∈（0，1）③方程f（x）=x有两个根④方程f（x）﹣f′（x）=e+1（其中e为自然对数的底数）有唯一解x0，且x0∈（1，2）其中正确的命题个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二.填空题（每题5分，共20分）13．在等腰△ABC中，CA=CB=6，∠ACB=120°，点M满足=2，则•等于．14．已知展开式的常数项是160，则由曲线y=x2和y=x a围成的封闭图形的面积为．15．已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥P ﹣ABC的体积为．16．若点O和点分别是双曲线（a＞0）的对称中心和左焦点，点P 为双曲线右支上任意一点，则的取值范围为 ．三.解答题（共6题，共70分）17．已知数列{a n }（n ∈N *）的前n 项的S n =n 2． （Ⅰ）求数列{a n }，的通项公式； （Ⅱ）若，记数列{b n }，的前n 项和为T n ，求使成立的最小正整数n 的值．18．如图，已知ACDE 是直角梯形，且ED ∥AC ，平面ACDE ⊥平面ABC ，∠BAC=∠ACD=90°，AB=AC=AE=2，，P 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：DP ∥平面EAB ；（Ⅱ）求平面EBD 与平面ABC 所成锐二面角大小的余弦值．19．某校为调查高中生选修课的选修倾向与性别关系，随机抽取50名学生，得到如表的数据表：（Ⅰ）根据表中提供的数据，选择可直观判断“选课倾向与性别有关系”的两种，作为选课倾向的变量的取值，并分析哪两种选择倾向与性别有关系的把握大；（Ⅱ）在抽取的50名学生中，按照分层抽样的方法，从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取8人进行问卷．若从这8人中任选3人，记倾向“平面几何选讲”的人数减去与倾向“坐标系与参数方程”的人数的差为ξ，求ξ的分布列及数学期望．附：K2=．20．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率e=，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）设F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P、Q两点，求△PQF1的内切圆半径r的最大值．21．已知函数f（x）=﹣，（x∈R），其中m＞0（Ⅰ）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线的方程；（Ⅱ）若f（x）在（）上存在单调递增区间，求m的取值范围（Ⅲ）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2且x1＜x2，若对任意的x ∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立．求m的取值范围．选修4-4．坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），曲线C2：（φ为参数，实数b＞0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）与C1交于O、A两点，与C2交于O、B两点．当α=0时，|OA|=1；当α=时，|OB|=2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求2|OA|2+|OA|•|OB|的最大值．选修4-5．不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+1|+|mx﹣1|．（1）若m=1，求f（x）的最小值，并指出此时x的取值范围；（2）若f（x）≥2x，求m的取值范围．2016-2017学年湖南省衡阳八中高三（下）第六次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A∩∁U B={1，2}，∁U（A∪B）={4}，则集合B 为（）A．{3}B．{3，5}C．{2，3，5}D．{1，2，3，5}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】利用已知条件求出A∪B，通过A∩∁U B={1，2}，即可求出B．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，∁U（A∪B）={4}，可得A∪B={1，2，3，5}∵A∩∁U B={1，2}，∴A={1，2，3}，则B={3，5}．故选：B．2．在复平面上，复数对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】求解得到对应点的坐标即可判断选项．【解答】解：复数=+．复数的对应点的坐标（，）在第一象限．故选：A．3．已知数列{a n}是等差数列，若a9+3a11＜0，a10•a11＜0，且数列{a n}的前n项和S n有最大值，那么S n取得最大值时n等于（）A．20 B．17 C．19 D．21【考点】8F：等差数列的性质．【分析】由等差数列的性质和求和公式可得a10＞0，a11＜0，又可得S19=19a10＞0，而S20=10（a10+a11）＜0，进而可得S n取得最小正值时n等于19【解答】解：∵a9+3a11＜0，∴由等差数列的性质可得a9+3a11=a9+a11+2a11=a9+a11+a10+a12=2（a11+a10）＜0，又a10•a11＜0，∴a10和a11异号，又∵数列{a n}的前n项和S n有最大值，∴数列{a n}是递减的等差数列，∴a10＞0，a11＜0，∴S19===19a10＞0∴S20==10（a1+a20）=10（a10+a11）＜0∴S n取得最小正值时n等于19故选：C4．设x、y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣3【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出最优解即可求最小值．【解答】解：由z=2x﹣3y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A时，直线y=截距最大，此时z最小，由得，即A（3，4），代入目标函数z=2x﹣3y，得z=2×3﹣3×4=6﹣12=﹣6．∴目标函数z=2x﹣3y的最小值是﹣6．故选：B．5．若不等式3x2﹣log a x＜0对任意恒成立，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】构造函数f（x）=3x2，g（x）=﹣log a x．h（x）=f（x）+g（x）（0＜x＜），根据不等式3x2﹣log a x＜0对任意恒成立，可得f（）≤g（），从而可得0＜a＜1且a≥，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：构造函数f（x）=3x2，g（x）=﹣log a x，（0＜x＜）∵不等式3x2﹣log a x＜0对任意恒成立，∴f（）≤g（）∴3•﹣log a≤0．∴0＜a＜1且a≥，∴实数a的取值范围为[，1）．故选：A．6．某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有（）A．36种B．38种C．108种D．114种【考点】D3：计数原理的应用．【分析】分类讨论：①甲部门要2个电脑特长学生和一个英语成绩优秀学生；②甲部门要1个电脑特长学生和1个英语成绩优秀学生．分别求得这2个方案的方法数，再利用分类计数原理，可得结论．【解答】解：由题意可得，有2种分配方案：①甲部门要2个电脑特长学生，则有3种情况；英语成绩优秀学生的分配有2种可能；再从剩下的3个人中选一人，有3种方法．根据分步计数原理，共有3×2×3=18种分配方案．②甲部门要1个电脑特长学生，则方法有3种；英语成绩优秀学生的分配方法有2种；再从剩下的3个人种选2个人，方法有33种，共3×2×3=18种分配方案．由分类计数原理，可得不同的分配方案共有18+18=36种，故选A．7．已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a=2，b=，则角A=（）A．B．C． D．或【考点】HP：正弦定理．【分析】由题意和正弦定理求出sinA，由条件、边角关系、特殊角的三角函数值求出角A即可．【解答】解：∵a=2，b=，，∴由正弦定理得，，则sinA===，∵0＜A＜π，a＞b，∴A=或，故选D．8．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A．B．27πC．27πD．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其外接球等同于棱长为3的正方体的外接球，从而求得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其底面是边长为3的正方形，且高为3，其外接球等同于棱长为3的正方体的外接球，所以外接球半径R满足：2R==，所以外接球的表面积为S=4πR2=27π．故选：B．9．执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=16，i=9时，不满足条件，退出循环，输出i的值为9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：16【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1S=0满足条件，S=1，i=3满足条件，S=4，i=5满足条件，S=9，i=7满足条件，S=16，i=9由题意，此时，不满足条件，退出循环，输出i的值为9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：16，故选：D．10．函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】根据函数的定义域，特殊点的函数值符号，以及函数的单调性和极值进行判断即可．【解答】解：由lnx≠0得，x＞0且x≠1，当0＜x＜1时，lnx＜0，此时y＜0，排除B，C，函数的导数f′（x）=，由f′（x）＞0得lnx＞1，即x＞e此时函数单调递增，由f′（x）＜0得lnx＜1且x≠1，即0＜x＜1或1＜x＜e，此时函数单调递减，故选：D．11．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．1 C．D．2【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab配方得，|AB|2=（a+b）2﹣ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．所以≤=，即的最大值为．故选：A12．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）内的单调函数，且对∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣lnx]=e+1，给出下面四个命题：①不等式f（x）＞0恒成立②函数f（x）存在唯一零点，且x0∈（0，1）③方程f（x）=x有两个根④方程f（x）﹣f′（x）=e+1（其中e为自然对数的底数）有唯一解x0，且x0∈（1，2）其中正确的命题个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】依题意，知f（x）﹣lnx为常数，设为m，即f（x）﹣lnx=m，可求得m=e，于是f（x）=lnx+e．对于①，f（x）=lnx+e的值域为R，可知不等式f（x）＞0恒成立错误；对于②，由f（x）=lnx+e=0解得：x=e﹣e∈（0，1），结合函数f（x）的单调性，可判断②正确；对于③，构造函数g（x）=f（x）﹣x=lnx﹣x+e，利用导数可判断方程f（x）=x 有两个根，③正确；对于④，可分析出方程f（x）﹣f′（x）=e+1（其中e为自然对数的底数）有唯一解x0，但x0∈（e，e2），可判断④错误．【解答】解：∵函数f（x）在（0，+∞）内为单调函数，且对∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣lnx]=e+1，∴f（x）﹣lnx为常数，设为m，即f（x）﹣lnx=m，则f（m）=e+1．又f（m）﹣lnm=m，即f（m）=lnm+m，∴m=e．∴f（x）=lnx+e．对于①，∵f（x）=lnx+e的值域为R，故不等式f（x）＞0不恒成立，即①错误；对于②，由f（x）=lnx+e=0解得：x=e﹣e∈（0，1），又x＞0，f′（x）=＞0，故f（x）=lnx+e在（0，+∞）上单调递增，∴函数f（x）存在唯一零点x0，且x0∈（0，1），故②正确；对于③，令g（x）=f（x）﹣x=lnx﹣x+e，则g′（x）=﹣1=，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）=lnx﹣x+e单调递增；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）=lnx﹣x+e单调递减；∴当x=1时，g（x）=lnx﹣x+e取得最大值e﹣1＞0，又当x→0+时，g（x）→﹣∞，当x→+∞时，g（x）→﹣∞，∴g（x）=lnx﹣x+e有两个零点，即方程f（x）=x有两个根，故③正确；对于④，方程f（x）﹣f′（x）=e+1可化为：lnx+e﹣=e+1，即lnx﹣﹣1=0，∵h（x）=lnx﹣﹣1在（0，+∞）上单调递增，且h（1）=﹣2＜0，h（2）=ln2﹣＜0，h（e）=﹣＜0，h（e2）=1﹣＞0，∴函数h（x）=lnx﹣﹣1有唯一零点，即方程f（x）﹣f′（x）=e+1有唯一解x0，且x0∈（e，e2），而不是（1，2），故④错误．综上所述，正确的命题个数为2个，故选：B．二.填空题（每题5分，共20分）13．在等腰△ABC中，CA=CB=6，∠ACB=120°，点M满足=2，则•等于0．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由向量加法的三角形法则得出=+，再利用向量数量积的运算性质求出结果．【解答】解：等腰△ABC中，CA=CB=6，∠ACB=120°，且=2，∴=+=+（﹣）=+，∴•=（+）•=•+=×6×6×cos120°+×62=0．故答案为：0．14．已知展开式的常数项是160，则由曲线y=x2和y=x a围成的封闭图形的面积为．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】首先通过二项展开式求出a，然后利用定积分表示封闭图形的面积．【解答】解：因为展开式的常数项是160，所以=160，解得a=，所以由曲线y=x2和y=x a围成的封闭图形的面积为S===，故答案为．15．已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥P﹣ABC的体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据展开图的形状计算棱锥的棱长，得出棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：设正三棱锥的棱长为a，则a+a•=，解得a=．∴棱锥的高为=，∴棱锥的体积V==．故答案为．16．若点O和点分别是双曲线（a＞0）的对称中心和左焦点，点P为双曲线右支上任意一点，则的取值范围为（1，（1，] ．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的焦点坐标，求出a的值，设P（x，y），利用距离公式进行转化求解即可．【解答】解：∵点O和点分别是双曲线（a＞0）的对称中心和左焦点，∴c=，则c2=a2+1=3，则a2=2，即双曲线方程为x2﹣y2=1，设P（x，y），则x≥，则==1+（+）=，∵x≥，∴=时，取得最大值为，故的取值范围为（1，]，故答案为（1，]．三.解答题（共6题，共70分）17．已知数列{a n}（n∈N*）的前n项的S n=n2．（Ⅰ）求数列{a n}，的通项公式；（Ⅱ）若，记数列{b n}，的前n项和为T n，求使成立的最小正整数n的值．【考点】84：等差数列的通项公式；8K：数列与不等式的综合．【分析】（Ⅰ）当n≥2时根据a n=S n﹣S n﹣1求通项公式，a1=S1=1符合上式，从而求出通项公式．，（II）由（I）求得的a n求出b n，利用裂项求和方法求出数列{b n}的前n项和为T n，解不等式求得最小的正整数n．【解答】解：（Ⅰ）∵S n=n2=（n﹣1）2当n≥2时，S n﹣1∴相减得：a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1又a1=S1=1符合上式∴数列{a n}，的通项公式a n=2n﹣1（II）由（I）知∴T n=b1+b2+b3++b n==又∵∴∴成立的最小正整数n的值为518．如图，已知ACDE是直角梯形，且ED∥AC，平面ACDE⊥平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，AB=AC=AE=2，，P是BC的中点．（Ⅰ）求证：DP∥平面EAB；（Ⅱ）求平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（I）取AB的中点F，连接PF，EF．利用三角形的中位线定理可得．再利用已知条件和平行四边形的判定定理可得四边形EFPD是平行四边形，可得PD∥EF．利用线面平行的判定定理即可得出；（II）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．【解答】（I）证明：取AB的中点F，连接PF，EF．又∵P是BC的中点，∴．∵，ED∥AC，∴，∴四边形EFPD是平行四边形，∴PD∥EF．而EF⊂平面EAB，PD⊄平面EAB，∴PD∥平面EAB．（II）∵∠BAC=90°，平面ACDE⊥平面ABC，∴BA⊥平面ACDE．以点A为坐标原点，直线AB为x轴，AC为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则z轴在平面EACD内．则A（0，0，），B（2，0，0），，．∴，．设平面EBD的法向量，由，得，取z=2，则，y=0．∴．可取作为平面ABC的一个法向量，∴===．即平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值为．19．某校为调查高中生选修课的选修倾向与性别关系，随机抽取50名学生，得到如表的数据表：（Ⅰ）根据表中提供的数据，选择可直观判断“选课倾向与性别有关系”的两种，作为选课倾向的变量的取值，并分析哪两种选择倾向与性别有关系的把握大； （Ⅱ）在抽取的50名学生中，按照分层抽样的方法，从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取8人进行问卷．若从这8人中任选3人，记倾向“平面几何选讲”的人数减去与倾向“坐标系与参数方程”的人数的差为ξ，求ξ的分布列及数学期望． 附：K 2=．【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）利用K2=，求出K2，与临界值比较，即可得出结论；（Ⅱ）倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生人数的比例为20：12=5：3，从中抽取8人进行问卷，人数分别为5，3，由题意，ξ=﹣3，﹣1，1，3，求出相应的概率，即可求ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）选倾向“坐标系与参数方程”与倾向“不等式选讲”，k=0，所以这两种选择与性别无关；选倾向“坐标系与参数方程”与倾向“平面几何选讲”，K2=≈6.969＞6.635，∴有99%的把握认为选倾向“坐标系与参数方程”与倾向“平面几何选讲”与性别有关；选倾向“平面几何选讲”与倾向“不等式选讲”，K2=≈8.464＞7.879，∴有99.5%的把握认为选倾向“平面几何选讲与倾向“不等式选讲”与性别有关，综上所述，选倾向“平面几何选讲与倾向“不等式选讲”与性别有关的把握最大；（Ⅱ）倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生人数的比例为20：12=5：3，从中抽取8人进行问卷，人数分别为5，3，由题意，ξ=﹣3，﹣1，1，3，则P（ξ=﹣3）==，P（ξ=﹣1）==，P（ξ=1）==，P（ξ=1）==，ξ的分布列数学期望Eξ=（﹣3）×+（﹣1）×+1×+3×=．20．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率e=，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）设F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P、Q两点，求△PQF1的内切圆半径r的最大值．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程．【分析】（1）设出直线的方程，利用直线的截距式写出直线的方程，利用点到直线的距离公式列出关于a，b，c的等式，再利用椭圆的离心率公式得到关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值即得到椭圆的方程．（2）设出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到关于交点坐标的关系，写出△PQF1的面积并求出最大值，再将面积用外接圆的半径表示，求出半径的最大值．【解答】解：（1）直线AB 的方程为，即bx﹣ay﹣ab=0由题意得=，①∵②a2=b2+c2③解得∴椭圆的方程为（2）设PQ：x=ty+代入并整理得设P（x1，y1），Q（x2，y2）则，∴==当即t2=1时，∴又∴∴21．已知函数f（x）=﹣，（x∈R），其中m＞0（Ⅰ）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线的方程；（Ⅱ）若f（x）在（）上存在单调递增区间，求m的取值范围（Ⅲ）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2且x1＜x2，若对任意的x ∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立．求m的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）当m=2时，f（x）=x3+x2+3x，通过求导得出斜率k的值，从而求出切线方程；（Ⅱ）只需f′（）＞0即可，解不等式求出即可；（Ⅲ）由题设可得，由判别式△＞0，求出m的范围，对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是，从而综合得出m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m=2时，f（x）=x3+x2+3x，∴f′（x）=﹣x2+2x+3，故k=f′（3）=0，又∵f（3）=9，∴曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为：y=9，（Ⅱ）若f（x）在（）上存在单调递增区间，即存在某个子区间（a，b）⊂（，+∞）使得f′（x）＞0，∴只需f′（）＞0即可，f′（x）=﹣x2+2x+m2﹣1，由f′（）＞0解得m＜﹣或m＞，由于m＞0，∴m＞．（Ⅲ）由题设可得，∴方程有两个相异的实根x1，x2，故x1+x2=3，且解得：（舍去）或，∵x1＜x2，所以2x2＞x1+x2=3，∴，若x1≤1＜x2，则，而f（x1）=0，不合题意．若1＜x1＜x2，对任意的x∈[x1，x2]，有x＞0，x﹣x1≥0，x﹣x2≤0，则，又f（x1）=0，所以f（x）在[x1，x2]上的最小值为0，于是对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是，解得；综上，m的取值范围是．选修4-4．坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），曲线C2：（φ为参数，实数b＞0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）与C1交于O、A两点，与C2交于O、B两点．当α=0时，|OA|=1；当α=时，|OB|=2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求2|OA|2+|OA|•|OB|的最大值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）由曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），利用cos2φ+sin2φ=1即可化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式即可得出极坐标方程，进而得出a的值．同理可得b的值．（II）由（I）可得C1，C2的方程分别为ρ=cosθ，ρ=2sinθ．可得2|OA|2+|OA|•|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=+1，利用三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），化为普通方程为（x﹣a）2+y2=a2，展开为：x2+y2﹣2ax=0，其极坐标方程为ρ2=2aρcosθ，即ρ=2acosθ，由题意可得当θ=0时，|OA|=ρ=1，∴a=．曲线C2：（φ为参数，实数b＞0），化为普通方程为x2+（y﹣b）2=b2，展开可得极坐标方程为ρ=2bsinθ，由题意可得当时，|OB|=ρ=2，∴b=1．（Ⅱ）由（I）可得C1，C2的方程分别为ρ=cosθ，ρ=2sinθ．∴2|OA|2+|OA|•|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1=+1，∵2θ+∈，∴+1的最大值为+1，当2θ+=时，θ=时取到最大值．选修4-5．不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+1|+|mx﹣1|．（1）若m=1，求f（x）的最小值，并指出此时x的取值范围；（2）若f（x）≥2x，求m的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（1）根据绝对值的意义求出x的范围即可；（2）问题转化为|mx﹣1|≥x﹣1，结合函数的性质得到关于m的不等式，解出即可．【解答】解：（1）f（x）=|x+1|+|x﹣1|≥|（x+1）﹣（x﹣1）|=2，当且仅当（x+1）（x﹣1）≤0时取等号．故f（x）的最小值为2，此时x的取值范围是[﹣1，1]．…（2）x≤0时，f（x）≥2x显然成立，所以此时m∈R；x＞0时，由f（x）=x+1+|mx﹣1|≥2x得|mx﹣1|≥x﹣1，由y=|mx﹣1|及y=x﹣1的性质可得|m|≥1且≤1，解得m≥1，或m≤﹣1．综上所述，m的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．…2017年5月29日。
湖南省衡阳市第八中学2016-2017学年高二上学期第一次
衡阳八中2016年下期高二年级第一次月考试卷数学（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高二年级理科实验班第一次月考试卷，分两卷。
其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。
考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★第I卷选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.当m∈N*，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0C．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m＞0D．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤02.已知命题,命题,若命题“”是真命题,则实数的取值范围是( )A. B.C. D.3.如图，若下列程序执行的结果是2，则输入的x值是（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．04.执行右面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（A）y=2x（B）y=3x（C）y=4x（D）y=5x5.已知Ω={（x，y）|}，直线y=mx+2m和曲线y=有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若P（M）∈[，1]，则实数m的取值范围（）A．[，1] B．[0，] C．[，1] D．[0，1]6.已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）A． B．C．D．7.抛物线y=2x2上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且x1•x2=﹣，则m 等于（）A．B．2 C．D．38.两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A．B．C． D.9.已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为（）A．24 B．20 C．16 D．1210.在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知=，且a2﹣c2=2b，则b=（）A．4 B．3 C．2 D．111.已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1f（x2）的取值范围为（）A．B．C．D．12.数列{a n}满足a1=1，且对任意的m，n∈N*都有a m+n=a m+a n+mn，则等于（）A．B．C．D．第II卷非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）13.若命题“∃x∈R，x2+2mx+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围是．14.双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F2且垂直于x轴的直线与双曲线相交于A、B两点，若，则双曲线的离心率为．15.平面内两定点M（0，一2）和N(0,2），动点P（x，y）满足，动点P的轨迹为曲线E，给出以下命题：①m，使曲线E过坐标原点；②对m，曲线E与x轴有三个交点；③曲线E只关于y轴对称，但不关于x轴对称；④若P、M、N三点不共线，则△ PMN周长的最小值为2＋4;⑤曲线E上与M,N不共线的任意一点G关于原点对称的另外一点为H，则四边形GMHN的面积不大于m。
湖南省衡阳市第八中学2017届高三数学上学期第三次(10月)月考试题 理(扫描版)
湖南省衡阳市第八中学2017届高三数学上学期第三次（10月）月考试题理（扫描版）一、选择题二、填空题 13.95 14. 11212nn --+ 15. 12- 16. 3n n g 17.解：（1）把A （0，1），B （3，8）的坐标代入()xf x k a -=g 得031{8k a k a -== 解得：11,2k a ==。
（2）()g x 是奇函数。
理由如下：由（1）知：()2xf x =，所以()121().()121x x f x g x f x --==++ 函数()g x 的定义域为R ，又()12121()().()12121x x x x f x g x g x f x -------===-=--+++ 所以函数()g x 是奇函数。
18. ∵(cos 3,sin )AC αα=-，(cos ,sin 3)BC αα=-，∴||(cos AC ，||10BC =． 由||||AC BC =得sin cos αα=．…………………………………4分 又3(,)22ππα∈，∴54απ=．…………………………………6分（2）由1AC BC =-，得(cos 3)cos sin (sin 3)1αααα-+-=-，∴2sin cos 3αα+=，∴sin()04πα+=>．……………………………9分又由322ππα<<，∴344ππαπ<+<，∴cos()4πα+=．故tan()4πα+=…12分19.解答：解答：（1）证明：111,n n n n n n b a a b a a +--=+=-11233n n n n n nb a a a a a b a a a a +-+++===++所以{}n b 是等比数列（2）由（1）得11115,53n n n b b b q --===⨯所以1153n n n a a -++=⨯则211103(2)n n n a a n -+--=⨯≥所以{}n a 奇数项差是首项为10的等比数列，偶数项差是首相为30的等比数列；21253344n n a -=⨯-，222153344n n a --=⨯+因此n a =11533(1)44n n --??20. 解：(1)在Rt ∆POA 中，，在Rt ∆POB 中，OB ＝h ，在Rt ∆AOB 中，d 2h)2+h 2-2⋅⋅hcos30︒，其中：d ＝40，得：h=40，故建筑物的高度为40.(2) ∵tan α=4h dh d +，tan β=4d ∴tan(β-α)=244(4)161(4)h d d h h d h -+++=216(4)16d d h h ++=1616(4)h d h d++≤当且仅当d(h+4)=16hd即d=5时“=”成立故当d=5时，tan(β-α)最大， ∵0<α<β<2π，∴0<β-α<2π， 当时，β-α最大21.{}1n b Q （）为等差数列，设公差为15,1,15,d b S ==551015,1S d d =+==1(1)1n b n n \=+-?。
湖南省衡阳市八中2017届高三第二次月考(数学理)(含答案)word版
衡阳市八中2017届高三第二次月考试卷数 学（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设复数21211,2,z z i z bi z =+=+若为实数，则实数b 等于 （ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．22、对于函数()cos f x x x =+，下列命题中正确的是 （ ）A ．,()2x R f x ∀∈=B ．,()2x R f x ∃∈=C ．,()2x R f x ∀∈>D ．,()2x R f x ∃∈>3、下列命题正确的是 （ ）A ．函数sin y x =在区间()0,π内单调递增B ．函数tan y x =的图像是关于直线2x π=成轴对称的图形C ．函数44cos sin y x x =-的最小正周期为2πD ．函数cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像是关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称的图形4、已知0a >函数3()f x x ax =-在[1，)+∞是单调增函数，则a 的最大值是 ( )A. 0B. 1C. 2D. 35、设x x x f sin cos )(-=把)(x f y =的图象向左平移ϕ个单位后，恰好得到函数y =f '(x )的图象，则ϕ的值可以为 （ ）A. 2πB. 43πC.πD. 23π6、已知向量,m n 的夹角为6π，且|||2m n == ，在△ABC 中，22m B n A =+ ，26m C n A =- ，D 为BC 边的中点，则||AD =（ ）A ．2B ．4C ．6D ．87、设函数32sin ()tan 32f x x x θθθ=++，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数f′(1)的取值范围是A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]8、已知,,A B C 是平面上不共线的三点，O 为平面ABC 内任一点，动点P 满足等式1[(1)(1)3OP OA OB λλ=-+-(12)](OC λλ++∈R且0)λ≠，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．内心B ．垂心C ．重心D ．AB 边的中点二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共35分，把答案填在答卷的横线上） 9、已知集合，则集合A 的子集的个数为_____ ______.10、函数)2ln()(2x x x f -=的单调递增区间是________ _______ 11、由曲线12,1,x x y x=-=-=以及x 轴所围成的封闭图形面积为________ _______ 12、已知定义在实数集R 上的函数)(x f 满足)1(f =2，且)(x f 的导数)(x f '在R 上恒有)(x f '<1 )(R x ∈，则不等式1)(33+>x x f 的解集为______ __ _______13、不等式||(1)x a x ≥+对任意的实数 x 都成立，则实数a 的最值范围是 _____ __14、对于任意实数x ，[]x 表示x 的整数部分，即[]x 是不超过x 的最大整数。
湖南省衡阳八中高三下学期第六次月考数学试卷(文科)
2016-2017学年湖南省衡阳八中高三（下）第六次月考数学试卷（文科）一、选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的．1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，3]C．[﹣1，2）D．（﹣1，2）2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知＜α＜π，3sin2α=2cosα，则cos（α﹣π）等于（）A．B．C．D．4．已知菱形ABCD边长为2，∠B=，点P满足=λ，λ∈R，若•=﹣3，则λ的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣5．已知f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=log x．设a=f（），b=f（），c=f（）则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b6．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=2a n，则当n＞1时，S n=（）+1A．（）n﹣1 B．2n﹣1 C．（）n﹣1 D．（﹣1）7．一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为（）A．B．C．D．8．若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．509．下列四个图象，只有一个符合y=|k1x+b1|+|k2x+b2|﹣|k3x+b3|（k1，k2k3∈R+，b1b2b3≠0）的图象，则根据你所判断的图象，k1、k2、k3之间一定满足的关系是（）A．k1+k2=k3 B．k1=k2=k3 C．k1+k2＞k3D．k1+k2＜k310．如图，一个几何体的三视图是三个直角三角形，则该几何体的最长的棱长等于（）A．2 B．3 C．3 D．911．已知的定义域为（0，π），且对定义域的任意x恒有f′（x）sinx＞f（x）cosx 成立，则下列关系成立的是（）A．f（）＞f（）B．f（）=f（）C．f（）＜f（）D．f（）与f（）的大小关系不确定12．已知椭圆C的方程为为其左、右焦点，e为离心率，P为椭圆上一动点，则有如下说法：①当0＜e＜时，使△PF1F2为直角三角形的点P有且只有4个；②当e=时，使△PF1F2为直角三角形的点P有且只有6个；③当＜e＜1时，使△PF1F2为直角三角形的点P有且只有8个；以上说法中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二.填空题（每题5分，共20分）13．设a＞0，b＞0，若3是9a与27b的等比中项，则的最小值等于．14．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=4，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是．15．已知f（x）的定义域为实数集R，∀x∈R，f（3+2x）=f（7﹣2x），若f（x）=0恰有n个不同实数根，且这n个不同实数根之和等于75，则n=．16．已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，∠AEB=60°，则多面体E﹣ABCD的外接球的表面积为．三.解答题（共6题，共70分）17．已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且满足a1=1，=2．a n+1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n=，设数列{b n}的前n项和为T n，若∀n∈N*，不等式T n﹣na＜0恒成立，求实数a的取值范围．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB ⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，E是PB上的点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若E是PB的中点，若AE与平面ABCD所成角为45°，求三棱锥P﹣ACE 的体积．19．学校对同时从高一，高二，高三三个不同年级的某些学生进行抽样调查，从各年级抽出人数如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些学生中共抽取6人进行调查（1）求这6位学生来自高一，高二，高三各年级的数量；（2）若从这6位学生中随机抽取2人再做进一步的调查，求这2人来自同一年级的概率．20．已知椭圆的离心率为，且过点．若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试判断△AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．21．设函数f（x）=x2﹣mlnx，h（x）=x2﹣x+a．（1）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）﹣h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；（3）是否存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．【选做题】请考生从22、23题中任选一题作答，共10分[选修4-4.坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4=0，曲线C的参数方程为．（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．[选修4-5.不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣a|+5x．（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）≤5x+3的解集；（2）若x≥﹣1时有f（x）≥0，求a的取值范围．2016-2017学年湖南省衡阳八中高三（下）第六次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的．1．已知集合A={x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，B={x |y=ln （2﹣x ）}，则A ∩B=（ ） A ．（1，3） B ．（1，3] C ．[﹣1，2） D ．（﹣1，2） 【考点】1E ：交集及其运算．【分析】化简集合A 、B ，求出A ∩B 即可．【解答】解：∵集合A={x |x 2﹣2x ﹣3≤0}={x |﹣1≤x ≤3}=[﹣1，3]， B={x |y=ln （2﹣x ）}={x |2﹣x ＞0}={x |x ＜2}=（﹣∞，2）； ∴A ∩B=[﹣1，2）． 故选：C ．2．在复平面内，复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义． 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数==﹣i ﹣1对应的点（﹣1，﹣1）位于第三象限，故选：C ．3．已知＜α＜π，3sin2α=2cosα，则cos （α﹣π）等于（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】GS ：二倍角的正弦．【分析】由条件求得sinα 和cosα 的值，再根据cos （α﹣π）=﹣cosα求得结果．【解答】解：∵＜α＜π，3sin2α=2cosα，∴sinα=，cosα=﹣．∴cos（α﹣π）=﹣cosα=﹣（﹣）=，故选：C．4．已知菱形ABCD边长为2，∠B=，点P满足=λ，λ∈R，若•=﹣3，则λ的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．【解答】解：由题意可得=2×2×cos60°=2，•=（+）•（﹣）=（+）•[（﹣）﹣]=（+）•[（λ﹣1）•﹣]=（1﹣λ）﹣+（1﹣λ）•﹣=（1﹣λ）•4﹣2+2（1﹣λ）﹣4=﹣6λ=﹣3，∴λ=，故选：A．5．已知f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=log x．设a=f（），b=f（），c=f（）则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【考点】4N：对数函数的图象与性质．【分析】根据已知中f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=log x．分别判断a，b，c的值，或范围，可得答案．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=log x．∴a=f（）=f（﹣）=﹣f（）∈（﹣1，0），b=f（）=f（﹣）=﹣f（）=﹣1，c=f（）=f（）=1；∴b＜a＜c，故选：B．6．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=2a n，则当n＞1时，S n=（）+1A．（）n﹣1 B．2n﹣1 C．（）n﹣1 D．（﹣1）【考点】8H：数列递推式．【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵S n=2a n+1，得S n=2（S n+1﹣S n），即3S n=2S n+1，由a1=1，所以S n≠0．则=．∴数列{S n}为以1为首项，公比为的等比数列∴S n=．故选：A．7．一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=6时不满足条件i≤5，输出S的值，利用裂项法即可计算得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0满足条件i≤5，执行循环体，S=，i=2满足条件i≤5，执行循环体，S=+，i=3满足条件i≤5，执行循环体，S=++，i=4满足条件i≤5，执行循环体，S=+++，i=5满足条件i≤5，执行循环体，S=++++，i=6不满足条件i≤5，退出循环，输出S的值．由于S=++++=（1﹣）+（）+…+（﹣）=1﹣=．故选：B．8．若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．50【考点】CF：几何概型；7C：简单线性规划．【分析】作出两平面区域，计算两区域的公共面积，得出芝麻落在区域Γ内的概率．==【解答】解：作出平面区域Ω如图：则区域Ω的面积为S△ABC区域Γ表示以D（）为圆心，以为半径的圆，则区域Ω和Γ的公共面积为S′=+=．∴芝麻落入区域Γ的概率为=．∴落在区域Γ中芝麻数约为360×=30π+20≈114．故选A．9．下列四个图象，只有一个符合y=|k1x+b1|+|k2x+b2|﹣|k3x+b3|（k1，k2k3∈R+，b1b2b3≠0）的图象，则根据你所判断的图象，k1、k2、k3之间一定满足的关系是（）A．k1+k2=k3 B．k1=k2=k3 C．k1+k2＞k3D．k1+k2＜k3【考点】3O：函数的图象．【分析】由于k1，k2，k3为正实数，考虑当x足够小时和当x足够大时的情形去掉绝对值符号，转化为关于x的一次函数，通过观察直线的斜率特征即可进行判断．【解答】解：y=|k1x+b1|﹣|k2x+b2|+|k3x+b3|（其中k1＞0，k2＞0，k3＜0，b1，b2，b3为非零实数），当x足够小时，y=﹣（k1+k2﹣k3）x﹣（b1+b2﹣b3），当x足够大时，y=（k1+k2﹣k3）x+（b1+b2﹣b3），可见，折线的两端的斜率必定为相反数，此时只有第2个图象符合条件．此时k1+k2﹣k3=0，即k1+k2=k3 ，故选：A．10．如图，一个几何体的三视图是三个直角三角形，则该几何体的最长的棱长等于（）A．2 B．3 C．3 D．9【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度、判断出线面的位置关系，由图判断出几何体的最长棱，由勾股定理求出即可．【解答】解：由三视图知几何体是一个三棱锥P﹣ABC，直观图如图所示：PC⊥平面ABC，PC=1，且AB=BC=2，AB⊥BC，∴AC=，∴该几何体的最长的棱是PA，且PA==3，故选：B．11．已知的定义域为（0，π），且对定义域的任意x恒有f′（x）sinx＞f（x）cosx 成立，则下列关系成立的是（）A．f（）＞f（）B．f（）=f（）C．f（）＜f（）D．f（）与f（）的大小关系不确定【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=f（x）sinx，求出导函数，根据题意可判断g（x）为增函数，可得f（）sin＞f（）sin，根据诱导公式可得出结论．【解答】解：令g（x）=，∴g'（x）＞0恒成立，∴g（x）定义域内递增，∴f（）÷sin＞f（）÷sin，∴f（）sin＞f（）sin，∴f（）＞f（），故选A．12．已知椭圆C的方程为为其左、右焦点，e为离心率，P为椭圆上一动点，则有如下说法：①当0＜e＜时，使△PF1F2为直角三角形的点P有且只有4个；②当e=时，使△PF1F2为直角三角形的点P有且只有6个；③当＜e＜1时，使△PF1F2为直角三角形的点P有且只有8个；以上说法中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的离心率的取值范围，得出椭圆的短轴的顶点构成的角∠F1BF2的取值范围，分别判断，使△PF1F2为直角三角形的点P个数．【解答】解：如图所示，丨BF1丨=a，丨OF1丨=c，设∠BF1O=θ，则tanθ==e，①中，当椭圆的离心率0＜e＜时，即0＜tanθ＜，∴θ∈（0，），则∠F1BF2＞，若△PF1F2为直角三角形时，只能是∠PF1F2和∠PF2F1为直角时成立，所以这样的直角三角形，只有四个；②中，当椭圆的离心率e=时，即tanθ=，∴θ=，此时∠F1BF2=，此时对应的直角三角形共有六个；③中，当椭圆的离心率＜e＜1时，即tanθ＞，则θ∈（，），∴0＜∠F1BF2＜，此时对应的直角三角形共有八个，故选D．二.填空题（每题5分，共20分）13．设a＞0，b＞0，若3是9a与27b的等比中项，则的最小值等于12．【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由3是9a与27b的等比中项得到a+b=1，代入=（）（a+b）后展开，利用基本不等式求得最值．【解答】解：∵3是9a与27b的等比中项，∴9a•27b=9，即32a+3b=32，也就是2a+3b=2，∴a+b=1，∴=（）（a+b）=6++≥6+2=12．当且仅当=，即a=，b=时取得最小值．故答案为：12．14．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=4，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是12．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|，由双曲线的性质能够推出|PF2|+|QF2|=8，从而推导出△PF2Q的周长．【解答】解：由题意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=4∴|PF2|+|QF2|﹣4=4，∴|PF2|+|QF2|=8，∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=8+4=12，故答案为12．15．已知f（x）的定义域为实数集R，∀x∈R，f（3+2x）=f（7﹣2x），若f（x）=0恰有n个不同实数根，且这n个不同实数根之和等于75，则n=15．【考点】3P：抽象函数及其应用；54：根的存在性及根的个数判断．【分析】由条件可得f（x）=f（10﹣x），即图象关于x=5对称，可得f（x）=0n 个不同实数根每两个根的和为10，只需求出共有几组10即可．【解答】解：∀x∈R，f（3+2x）=f（7﹣2x），∴令t=3+2x，2x=t﹣3．∴f（t）=f（10﹣t）\∴f（x）=f（10﹣x）∵f（5）=0，∵（75﹣5）÷10=7，∴n=2×7+1=15．故答案为15．16．已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，∠AEB=60°，则多面体E﹣ABCD的外接球的表面积为16π．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】设球心到平面ABCD的距离为d，利用△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，∠AEB=60°，可得E到平面ABCD的距离为，从而R2=（）2+d2=12+（﹣d）2，求出R2=4，即可求出多面体E﹣ABCD 的外接球的表面积．【解答】解：设球心到平面ABCD的距离为d，则∵△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，∠AEB=60°，∴E到平面ABCD的距离为，∴R2=（）2+d2=12+（﹣d）2，∴d=，R2=4，∴多面体E﹣ABCD的外接球的表面积为4πR2=16π．故答案为：16π．三.解答题（共6题，共70分）17．已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且满足a1=1，=2．a n+1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n=，设数列{b n}的前n项和为T n，若∀n∈N*，不等式T n﹣na＜0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（Ⅰ）由得，故，可得=+1，利用等差数列的通项公式与数列递推关系即可得出．（II）利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由得，故，∵a n＞0，∴S n＞0，∴=+1，∴数列是首项为，公差为1的等差数列．∴，∴，…当n≥2时，，a1=1，…又a1=1适合上式，∴a n=2n﹣1．…（Ⅱ）将a n=2n﹣1代入，…∴…∵T n﹣na＜0，∴，∵n∈N+，∴…∴，∵2n+1≥3，，，∴．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB ⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，E是PB上的点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若E是PB的中点，若AE与平面ABCD所成角为45°，求三棱锥P﹣ACE 的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（I）利用勾股定理的逆定理得出AC⊥BC，由PC⊥平面ABCD得出AC⊥PC，故而AC⊥平面PBC，从而得出PMACE⊥平面PBC；（II）取BC的中点F，连接EF，AF，则可证EF⊥平面ABCD，即∠EAF为AE与平面∠平面ABCD所成的角，利用勾股定理求出AF，则EF=AF．由E为PB的中点可知V P ﹣ACE =V E ﹣ABC =．【解答】证明：（Ⅰ）∵PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥PC ，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=．∴AC 2+BC 2=AB 2， ∴AC ⊥BC ．又BC ⊂平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，BC ∩PC=C ， ∴AC ⊥平面PBC ， 又∵AC ⊂平面EAC ， ∴平面EAC ⊥平面PBC ．解：（Ⅱ）取BC 的中点F ，连接EF ，AF ， ∵E ，F 是PB ，BC 的中点， ∴EF ∥PC ，由PC ⊥平面ABCD ， ∴EF ⊥平面ABCD ．∴∠EAF 为AE 与平面ABCD 所成角．即∠EAF=45°．∵AF==，∴EF=AF=． ∵E 是PB 的中点，∴V P ﹣ACE =V E ﹣ABC ===．19．学校对同时从高一，高二，高三三个不同年级的某些学生进行抽样调查，从各年级抽出人数如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些学生中共抽取6人进行调查（1）求这6位学生来自高一，高二，高三各年级的数量；（2）若从这6位学生中随机抽取2人再做进一步的调查，求这2人来自同一年级的概率．【考点】B8：频率分布直方图；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）求出样本容量与总体中的个体数的比是=，即可求这6位学生来自高一，高二，高三各年级的数量；（2）利用枚举法列出从这6位学生中随机抽取2人的不同结果，求出2人来自同一年级的情况数，由古典概型概率计算公式得答案．【解答】解：（1）因为样本容量与总体中的个体数的比是=，所以样本中包含三个年级的个体数量分别是50×=1，150×=3，100×=2．所以高一，高二，高三三个年级的学生被选取的人数分别为1，3，2．（2）设6件来自高一，高二，高三三个地区的学生分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2．则抽取的这2人构成的所有基本事件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．每个人被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D：“抽取的这2人来自相同年级”，则事件D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．所以P（D）=，即这2人来自相同年级的概率为．20．已知椭圆的离心率为，且过点．若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试判断△AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（I）运用离心率公式和基本量a，b，c的关系，代入点，解方程可得a，b，即可得到椭圆方程；（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），可得，由于以PQ为直径的圆经过坐标原点，所以，运用数量积为0，联立直线方程和椭圆方程，运用判别式大于0，韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式，三角形的面积公式，化简整理，即可得到定值．【解答】解：（I）由题意知e==，a2﹣b2=c2，即又，可得a2=4，b2=3，即有椭圆的方程为+=1；（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由于以PQ为直径的圆经过坐标原点，所以，即，由得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，△=64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化为3+4k2﹣m2＞0．x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2•+km（﹣）+m2=，代入，即，得：，2m2﹣4k2=3，，O到直线l的距离为，△ABO的面积为，把2m2﹣4k2=3代入上式得．21．设函数f（x）=x2﹣mlnx，h（x）=x2﹣x+a．（1）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）﹣h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；（3）是否存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．【考点】3R：函数恒成立问题；3F：函数单调性的性质；53：函数的零点与方程根的关系．【分析】（1）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，即：x2﹣mlnx≥x2﹣x，转化为即：m≤在（1，+∞）上恒成立，从而得出实数m的取值范围．（2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）﹣h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，即：k（x）=x﹣2lnx﹣a，设y1=x﹣2lnx，y2=a，分别画出它们的图象，由图得实数a的取值范围．（3）先假设存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性，由图可知，只须函数f（x）=x2﹣mlnx在x=处取得极小值即可．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，即：x2﹣mlnx≥x2﹣x，mlnx≤x，即：m≤在（1，+∞）上恒成立，因为在（1，+∞）上的最小值为：e，∴m≤e．实数m的取值范围：m≤e（2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）﹣h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，即：k（x）=x﹣2lnx﹣a，设y1=x﹣2lnx，y2=a，分别画出它们的图象，由图得：实数a的取值范围（2﹣2ln2，3﹣2ln3]；（3）假设存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性，由图可知，只须函数f（x）=x2﹣mlnx在x=处取得极小值即可．∵f（x）=x2﹣mlnx∴f′（x）=2x﹣m×，将x=代入得：1﹣2m=0，∴m=故存在实数m=，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性．【选做题】请考生从22、23题中任选一题作答，共10分[选修4-4.坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x ﹣y +4=0，曲线C 的参数方程为．（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为，判断点P 与直线l 的位置关系；（2）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；KG ：直线与圆锥曲线的关系；QH ：参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C 的参数方程为，知曲线C 的普通方程是，由点P 的极坐标为，知点P 的普通坐标为（4cos，4sin ），即（0，4），由此能判断点P 与直线l 的位置关系．（2）由Q 在曲线C ：上，（0°≤α＜360°），知到直线l：x﹣y+4=0的距离=，（0°≤α＜360°），由此能求出Q到直线l的距离的最小值．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为，∴曲线C的普通方程是，∵点P的极坐标为，∴点P的普通坐标为（4cos，4sin），即（0，4），把（0，4）代入直线l：x﹣y+4=0，得0﹣4+4=0，成立，故点P在直线l上．（2）∵Q在曲线C：上，（0°≤α＜360°）∴到直线l：x﹣y+4=0的距离：=，（0°≤α＜360°）∴．[选修4-5.不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣a|+5x．（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）≤5x+3的解集；（2）若x≥﹣1时有f（x）≥0，求a的取值范围．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】（1）当a=﹣1时，|x+1|+5x≤5x+3，从而解得；（2）当x≥0时，f（x）=|x﹣a|+5x≥0恒成立，从而转化为故只需使当﹣1≤x ＜0时，f（x）=|x﹣a|+5x≥0，从而化简可得（4x+a）（6x﹣a）≤0，从而分类讨论解得．【解答】解：（1）当a=﹣1时，|x+1|+5x≤5x+3，故|x+1|≤3，故﹣4≤x≤2，故不等式f（x）≤5x+3的解集为[﹣4，2]；（2）当x≥0时，f（x）=|x﹣a|+5x≥0恒成立，故只需使当﹣1≤x＜0时，f（x）=|x﹣a|+5x≥0，即|x﹣a|≥﹣5x，即（x﹣a）2≥25x2，即（x﹣a﹣5x）（x﹣a+5x）≥0，即（4x+a）（6x﹣a）≤0，当a=0时，解4x×6x≤0得x=0，不成立；当a＞0时，解（4x+a）（6x﹣a）≤0得，﹣≤x≤，故只需使﹣≤﹣1，解得，a≥4；当a＜0时，解（4x+a）（6x﹣a）≤0得，≤x≤﹣，故只需使≤﹣1，解得，a≤﹣6；综上所述，a的取值范围为a≥4或a≤﹣6．2017年5月29日。
高三数学第六次月考试题文实验班
湖南省衡阳市2017届高三数学第六次月考试文(实验班)注意事项:1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第六次月考试卷，分两卷。
其中共23题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现彖，如有请立即向监考老师通报。
开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0. 5mm 签字笔书写。
考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★第I卷选择题(每题5分，共60分)本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.已知集合A={x x2-2x-3<0}, B={x y=ln (2-x) },贝ij AAB=( )A. (1, 3)B. (1, 3]C.上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；(3)是否存在实数m,使函数f(X)和函数h (x)在公共左义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由.【选做题】请考生从22、23题中任选一题作答，共10分22.选修4-4.坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线1的方程为x - y+4=0，曲线C的参数方程为.严 .[y=smO-(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点0为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为(4,—判断点P与直线1的位置关系；(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线1的距离的最小值.23.选修4-5.不等式选讲设函数 f (x)二x-a +5x.(1)当a二-1时，求不等式f (x) W5x+3的解集；(2)若x2 - 1时有f(X)20,求a的取值范围.衡阳八中2017届髙三实验班第六次月考文数参考答案 题号 1 2 3 1 5 6 7 8 9 TO11 12 答案 C C C A B A B B A BA D13. 1214. 1215. 1516. 16 n17.解：（I ）由齢1二2何+1，沪得％+i -片二隔+1,故陥1二（离+1）2, .°.Sn>0, :S 时］討S 讥+1, ・•・数列吋瓦｝是首项为瓯二1，公差为1的等差数列./.^=l + （n-l ）=n, .-.s n =n 2,・・・2 分当 nM2 时，a n =S n - S n _L = n 2- （n~ 1 ） 2=2n - 1, a ：二 1,…厶分又aFl 适合上式，•••3F2n - 1.…6分4/（1【）将 a n =2n - 1 代入 »二 ----- ，R a n a n+lh 二 4显 _ 拧i i _ i n-(2n-l)(2n+l) "4n 2- 1"(2旷1)(2说1)2 k 2n»l 2n+l T n =n4r (1气琲-寺+…1^7! ~2二)曲2身1…s 分VT n -na<0, A" na< 0, 2n+l 18.(I ) VPC 丄平而 ABCD, ACu 平而 ABCD,•••AC 丄 PC,TAB 二2, AD 二CD 二 1,•••AC 二 BC 二逅・•••AC'+BC ：二 ABS •••AC 丄 BC.Tn*•- 1+^T ■ 呂< 0・・・10分 V2n+1^3,0< 1 2n+l 1 2n+l /. aL>y.…丄分又BCu 平而PBC, PCu 平而PBC, BCnPC=C,•••AC丄平面PBC,又VACc平而EAC,•••平而EAC丄平而PBC. （6分）（II ）取BC的中点F,连接EF, AF,VE, F是PB, BC的中点，AEF/7PC,由PC丄平而ABCD,•••EF丄平而ABCD.A ZEAF为AE与平而ABCD所成角.即ZEAF=45°・2TE是PB的中点，'I -心令^AABC ■ EF吉 X 寺X V2 X A/~2X:'二^^（分）（1）因为样本容量与总体中的个体数的比是石匸需亦冷？50+150+100 50所以样本中包含三个年级的个体数量分别是50X-i-=l, 150X-i-=3, 100X-i-=2.bu b bu所以高一，高二，高三三个年级的学生被选取的人数分别为1, 3, 2. （6分）（2）设6件来自髙一，高二，高三三个地区的学生分别为：A： B：, B：, B5； C：, C c.则抽取的这2人构成的所有基本事件为：{A, B’}, {A% Bj, {A, B,}, {A, C：}, {A, C：}, {B” BJ, {B：, B,}, {B：, Cj, {B：, Cj, （B:,B s}, {B“ CJ, {B=, Cj, {B3,C I}, {B5, C3}, {G, C=},共15 个.每个人被抽到的机会均等，因此这些基本事件的岀现是等可能的.记事件D：“抽取的这2人来自相同年级”，则事件D包含的基本事件有{B” BJ, B,},他，B,}, {G，CJ,共4个.4 4所以P （D）二哇r,即这2人来自相同年级的概率为希.（12分）15 1520.（I）由题意知e-C-^s a2 - b==c:>a z即/岭护又寺仃刍■二1,3 a 4b可得十4, b2=3t2 2即有椭圆的方程为电-+—1；（4分）4 3（II）设A（Xit y：） , B （&, y2） >则p涪涉q（¥-浄馆分）由于以PQ为直径的圆经过坐标原点，所以丽♦在二0,即上丄乜+土2二0,4 3y=kx+rri今得（3+4k:） x:+8kmx+4 （m: - 3）=0,3x z Hy =12A=64mV - 16 （3+4k3）（m:-3） >0,化为3+4k3-m c>0.8km 4（ro2 - 3）,（7 分）Xi+x：=,, ? * X'X：二- 仃3+41/ 3+4 k 2yiy：= （kx：+m）（kx：+m） =k"XiX：+km （Xj+x：） +nf二Fxm+kin （Xi+x：） +m"二宀2罗）•畑（.伞）+上3卅-4宀3+4 k 23+4 k 23+4 k 2代入x: 2 +二!■■二o, EiPyjy2- -yx-j x2»（8分）得：.3宜二嚣）”二一壬」（亡屯,gm：-43+4 k 2辰3,4 3+4k /I AB | =Vl+k2^/（x1 + x2）2 - 4X1X2+F0到直线1的距离为d二,（10 分）△AB0的面积为把2m : - 4k-3代入上式得S A =V3. （12分） 21.（1） 当 a 二0 时，f （x ） Mh （x ）在（1, +8）上恒成立，&卩：x 「・ mlnx^x - - x,mlnxWx,即：mW —在（1, +°°）上恒成立，lnx 因为子—在（1，+8）上的最小值为：e,lnx •'•mSe ・实数m 的取值范围：mWe （4分）（2） 当呼2时，若函数k （X ）二f （X ）-h （x ）在上恰有两个不同零点，・ 即：k （x ） =x - 21nx - a,（3）假设存在实数m,使函数f （x ）和函数h （x ）任公共立义域上具有相同的单调性, 由图可知，只须函数f （X ）=x= - minx 在x 二寺 处取得极小值即可.Vf （x ） =x : - minx•：f （x ） =2x - mX — f 将 代入得：1 ~ 2m-0.x 2国鋁包/一 〃+3） 3+4k 2 |m| Vl+k 2 1屁（4以- 1^+3）血 2 3+4k 2故存在实数m 冷,使函数f （x ）和函数h （x ）在公共定义域上具有相同的单调性.（12分）22.曲线C 的普通方程是弓-+ /二1，兀•••点P 的极坐标为（乳—）,7T 7T•••点P 的普通坐标为（4cos —, 4sin —）,即（0, 4）,把（0, 4）代入直线1： x ・y+4=0,得0・4+4二0,成立，故点P 在直线1上.（5分）（x"/3cos a（2） TQ 在曲线 C ： i ■宀 上，（0°<360° ）y=smCt••• , sin□)到直线 1： x-y+4=0 的距离: ^~2~12sin(Q- + ® ) + 4 |» (0" WaV360。
湖南省衡阳市第八中学高三(实验班)上学期第三次月考数学(理)试题
衡阳八中2017年下期高三年级第三次月考试卷理数（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第三次月考试卷，分两卷。
其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。
考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★第I卷选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.在n元数集S={a1，a2，…a n}中，设X（S）=，若S的非空子集A满足X （A）=X（S），则称A是集合S的一个“平均子集”，并记数集S的k元“平均子集”的个数为f s（k），已知集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，T={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，则下列说法错误的是（）A．f s（4）=f s（5）B．f s（4）=f T（5）C．f s（1）+f s（4）=f T（5）+f T（8）D．f s（2）+f s（3）=f T（4）2.复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a4.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为（）A．B．C．D．5.已知{a n}为等比数列且满足a6﹣a2=30，a3﹣a1=3，则数列{a n}的前5项和S5=（）A．15 B．31 C．40 D．1216.函数的图象可由函数的图象至少向右平移（）个单位长度得到．A． B． C．D．7.设变量X，Y满足约束条件，且目标函数Z=+（1，b为正数）的最大值为1，则a+2b的最小值为（）A．3 B．6 C．4 D．3+28.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b 分别为5，2，则输出的n=（）A．2 B．3 C．4 D．59.某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A ．B ．C ．D ．10.已知函数f （x ）=（其中e 为自对数的底数），则y=f （x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11.椭圆x 2+=1（0＜b ＜1）的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若△FAB 的外接圆圆心P （m ，n ）在直线y=﹣x 的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）A ．（，1）B ．（，1）C ．（0，） D ．（0，）12.设函数f （x ）在R 上存在导函数f′（x ），对于任意的实数x ，都有f （x ）=4x 2﹣f （﹣x ），当x ∈（﹣∞，0）时，f′（x ）+＜4x ，若f （m+1）≤f （﹣m ）+4m+2，则实数m 的取值范围是（ ）A.[﹣，+∞）B.[﹣，+∞）C.[﹣1，+∞）D.[﹣2，+∞）第II 卷 非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分） 13.已知向量，的夹角为45°，||=，||=3，则|2﹣|= ．14.在二项式（1+）8的展开式中，x 3的系数为m ，则（mx+）dx= ．15.抛物线y2=8x的准线与x轴相交于点P，过点P作斜率为k（k＞0）的直线交抛物线于A、B两点，F为抛物线的焦点，若|FA|=2|FB|，则k= ．16.表面积为60π的球面上有四点S、A、B、C，且△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC体积的最大值为．三.解答题（共6题，共70分）17.（本题满分12分）设函数f（x）=sinx（cosx﹣sinx）．（1）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间；（2）设△ABC的三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且f（B）=0，a、b、c成公差大于零的等差数列，求的值．18.（本题满分12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=2，AA1=，AD⊥DC，AC⊥BD，垂足为E，（Ⅰ）求证：BD⊥A1C；（Ⅱ）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．19.（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆C ： =1（a＞b＞0）的离心率为，直线l 与x轴交于点E，与椭圆C交于A、B两点．当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在点E，使得为定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．20.（本题满分12分）某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表，规定：A，B，C三级为合格等级，D为不合格等级．为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图所示．（1）求n和频率分布直方图中的x，y的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高三学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从A，C两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示抽取的3名学生中为C等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望．21.（本题满分12分）已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=﹣ax+b．（I）讨论函数h（x）=f（x）﹣g（x）单调区间；（II）若直线g（x）=﹣ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求b﹣a的最小值．选做题请从22、23题中任选一题作答，共10分。
2017届湖南省衡阳市八中高三第六次月考文科数学试卷及答案 精品
湖南省衡阳市八中2017届高三第六次月考试题数学（文）注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
2. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
一、选择题：本大题共9小题。
每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +的模是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．己知集合{|||2,},{|2,}A x x x R B x x x Z =≤∈=≤∈，则A B I =( )A ． {0,1,2}B ．[0,2] [C ．{0,2}D ．（0,2）3．执行右面的框图，若输入的N 是6，则输出p 的值是 ( )A ．120B ．720C ．1440D ．50404．等比数列{a n }中，“公比q>1”是“数列{a n }单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5.已知角α的终边与单位圆122=+y x 交于),21(y P ，则=+)22sin(απ（ ）A.21-B.1C.21D.23-6．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．8B ．203 C ．173 D ．1437．总体编号为01，02，…19，20的20个个体组成。
利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )A.08B.07C.02D.018.已知椭圆1C 与双曲线2C 有共同的焦点)0,2(1-F ，)0,2(2F ，椭圆的一个短轴端点为B ，直线B F 1与双曲线的一条渐近线平行，椭圆1C 与双曲线2C 的离心率分别为21,e e ，则21e e +取值范围为（ ） A.),2[+∞ B. ),4[+∞ C.),4(+∞ D. ),2(+∞ 9.规定[x]表示不超过x 的最大整数，f （x ）=，若方程f （x ）=ax+1有且仅有四个实数根，则实数a 的取值范围是( ) w.w.w.kA ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--21,1 B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--31,21 C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--41,31 D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--51,41二、填空题：本大题共6小题。
湖南省衡阳八中高三数学第六次月考(文) 新人教版【会员独享】
绝密★启用前湖南省衡阳市八中2010届高三第六次月考文科数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．命题“0>∀x ，都有02≤-x x ”的否定是 （ ）A. 0>∃x ，使得02≤-x xB. 0>∃x ，使得02>-x xC. 0>∀x ，都有02>-x xD. 0≤∀x ，都有02>-x x2．右图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为 （ ） A ．6 B ．8 C ．16 D ．243．在区间[,]22ππ-上随机取一个数x ，cosx 的值不小于21的概率为 （ ）A ．31B ．41C ．2π D ． 234．若等差数列}{n a 的公差d ≠0，且1a ，3a ，7a 成等比数列，则=12a a （ ）A ．2B ．32 C ．23 D ．215．如图所示的程序框图，输出S 的值为7，则判断框内的条件是（ ）A ．3?n ≤B ．4?n ≤C ．5?n ≤D ．10?n ≤6．已知A 船在灯塔C 北偏东85且A 到C 的距离为2km ，B 船在灯塔C 西偏北25且B 到C ，则,A B 两船的距离为（ ）A. B. C. D.7．已知椭圆C 的方程为2214x y +=，双曲线D 与椭圆有相同的焦点12,,F F P 为它们的一个交点，若120PF PF =，则双曲线的离心率e 为（ ） A、8．已知函数)(x f 的定义域为),2[+∞-，且1)2()4(=-=f f ，)(x f 的导函数()y f x '= 的图象如图所示．则平面区域()0021x y f x y ⎧≥⎪≥⎨⎪+≤⎩围成的面积等于 （ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．12二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。
9．已知向量(3,1)a =，(1,3)b =，(,7)c k =，若()a c -∥b ，则k = 。
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衡阳市八中2017届高三第六次月考试题（理科数学）一.选择题（每小题只有一个正确答案。
本大题共60分） 1已知复数z 满足11zi z-=+，则||z =（ ）A 1 BC 2D 2.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（ ）3.已知命题:p 对任意x R ∈，总有20x >；:"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件则下列命题为真命题的是（ ）.A p q ∧.B p q ⌝∧⌝.C p q ⌝∧.D p q ∧⌝4.以下四个命题中：①在回归分析中，用相关指数2R 的值判断模型的拟合效果，2R 越大,模拟的拟合效果越好； ②设ξ～2(0,)N σ，且1(1)4P ξ<-=，则1(01)4P ξ<<=； ③若数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的方差为1，则12x ，22x ，32x ，…，2n x 的方差为2；④对分类变量x 与y 的随机变量2k 的观测值k 来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大．其中真命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 45.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：由上表求得回归方程9.49.1y x ∧=+，当广告费用为3万元时销售额为（ ） A ．39万元 B ．38万元 C ．38.5万元 D ．37.3万元6．.执行如图所示的程序框图，则输出的i 值为()A 3B 4C 5D 67．设()[)[]21,11,1,2x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则()21f x dx -⎰的值为（ ）A. 423π+ B. 32π+C. 443π+ D. 34π+8.在矩形ABCD 中，2AB AD =，在CD 上任取一点P ，ABP ∆的最大边是AB 的概率是（ ）A2B 2119设M 是△ABC 内一点，且23AB AC ⋅=30BAC ∠=︒，定义()(,,)f M m n p =，其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积，若1()(,,)2f M x y =，则14x y+的最小值是（ ） A ．8 B ．9 C ．16 D ．1810.已知函数y=f(x)(x ∈R )满足f(x+1)=f(x-1)且当x ∈[-1,1]时，f(x)=x 2，则函数5()log y f x x =-的零点个数为( ) A. 2B. 3C. 4D. 511.如图，在四面体ABCD 中，DA ＝DB ＝DC ＝1，且DA,DB,DC 两两互相垂直，点O 是△ABC 的中心，将△DAO 绕直线DO 旋转一周，则在旋转过程中，直线DA 与BC 所成角的余弦值的取值范围是（ ） A ．]36,0[ B ．]23,0[ C ．]22,0[ D ．]33,0[12．已知定义在R 上的函数)(x f 和)(x g 分别满足222'(1)()2(0)2x f f x e x f x -=⋅+-⋅，0)(2)('<+x g x g ，则下列不等式成立的是（ ）A.(2)(2015)(2017)f g g ⋅<B.(2)(2015)(2017)f g g ⋅>C.(2015)(2)(2017)g f g <⋅D.(2015)(2)(2017)g f g >⋅二．填空题（每小题5分.共20分）13.若变量,x y 满足约束条件4400y x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的最小值是__ __．14.在5(21)(1)x x +-的展开式中含3x 项的系数是___________（用数字作答）15.如图.小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半.如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，向量OA 围绕着点O 旋转了θ角，其中O 为小正六边形的中心，则=6+6θcos θsin .16．对于三次函数32()f x ax bx cx d =+++（0a ≠），给出定义：设'()f x 是()f x 的导数，''()f x 是'()f x 的导数，若方程''()0f x =有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探索发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数32115()33212f x x x x =-+-，请你根据这一发现，计算1220152016()()()()201720172017217f f f f ++++=…．三．解答题17（12分）在△ABC 中.角A,B,C 所对的边分别为a,b,c. 函数f(x)=2sin(x-A)cosx+sin(B+C) .(x ∈R )，f (x )的图象关于点(,0)6π对称．(Ⅰ)求角A 的大小； (Ⅱ)若a=7且sin sin 14B C +=，求△ABC 的面积． 18.（12分）为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，进一步优化能源消费结构，某市决定在一地处山区的A 县推进光伏发电项目．在该县山区居民中随机抽取50户，统计其年用电量得到以下统计表．以样本的频率作为概率．（1）在抽到的样本中，再从用电量分布在(]600,1000的20户中随机抽取2户作问卷调查。
记该2户用电量在(]800,1000内的户数为ξ，求ξ分布列。
（2）在该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X ，求X 的数学期望；（3）已知该县某山区自然村有居民300户．若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度进行收购．经测算以每千瓦装机容量年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？(注：以统计表中每个区间的中点值（如用电量在(]0,200内，取100度）作为该区间的平均值，进行估计)。
19（12分）．如图所示，四边形ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，ABE ∆为等边三角形，且平面ABCD ⊥平面ABE ，222AB CD BC ===，P 为CE 中点．（1）求证：AB ⊥DE ；（2）求平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值；20（12分）．已知数列{}n a 的前n 项和为n A ，对任意*n N ∈满足1112n n A A n n +-=+，且11a =，数列{}n b 满足()*21320,5n n n b b b n N b ++-+=∈=，其前9项和为63．（1）令n nn n nb ac a b =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T （2）将数列{}{},n n a b 的项按照“当n 为奇数时，n a 放在前面；当n 为偶数时，n b 放在前面”的要求进A BECD P·行“交叉排列”，得到一个新的数列：11223344556,,,,,,,,,,a b b a a b b a a b b ，，求这个新数列的前n 项和n S ．21（12分）．已知函数2()(0)f x x ax a =-≠，()ln g x x =，()f x 图象与x 轴交于点M （M 异于原点），()x f 在M 处的切线为1l ，()1-x g 图象与x 轴交于点N 且在该点处的切线为2l ，并且1l 与2l 平行.（Ⅰ）求(2)f 的值；（Ⅱ）已知实数R t ∈，求函数[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值；（Ⅲ）令()()'()F x g x g x =+，给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<，对于两个大于1的正数βα,，存在实数m 满足：21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，并且使得不等式12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立，求实数m 的取值范围.请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一个题记分． 22.（本小题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为3cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线1:cos tan x C y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数）相交于不同的两点A 、B ． （I ）若3πα=，求线段AB 的中点的直角坐标；（II ）若直线l 的斜率为2，且过已知点(3,0)P ，求||||PA PB ⋅的值．23（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）已知函数()|||3|f x x a x =-+-（3a <）． （I ）若不等式()4f x ≥的解集为1{|2x x ≤或9}2x ≥，求a 的值． （II ）若对x R ∀∈，()|3|1f x x +-≥，求实数a 的取值范围．衡阳市八中2017届高三第六次月考试题（理科数学）1A2.B【解析】因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.所以其正视图和侧视图是一个圆，因为俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，所以俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选B. 3.D 4.B ． 【解析】①：根据相关指数的意义可知①正确；②：根据正态分布的特征可知其是正确的；③：方差应为4，故③错误；④：2k 的观察值越小，x 与y 有关系的把握程度越小，故④错误，故正确的命题有2个，故选B ． 5.A【解析】由题意得，4235742x +++==，49265412944y yy ++++==，即数据的样本中心点为7129(,)24y +，代入回归直线方程，得12979.49.142y +=⨯+，解得39y =，故选A. 6．B 7A【解析】由已知得：212211()(1)f x dx x dx --=+-⎰⎰⎰ ，令y =()2210x y y +=≥，知：曲线y =1为半径的圆处在x 轴上方部分的半圆，由定积分的几何意义知：1211122ππ-=⨯=⎰， 又223233111114(1)()|(22)(11)3333x dx x x -=-=⨯--⨯-=⎰，2122114()(1)23f x dx x dx π--∴=+-=+⎰⎰⎰ 8.D ．分别以A 、B 为圆心，AB 为半径作弧，交CD 于1P 、2P ，则当P 在线段12PP 间运动时，能使得ABP ∆的最大边是AB，易得1．121PP CD=，即ABP ∆的最大边是AB 的概率是9.D【解析】：因23AB AC ⋅=,故32cos =A bc ,即4=bc ,故121421=⨯⨯=∆ABC S ,由题设可得121=++y x ,即21=+y x , 所以14x y+18)225(2)441(2)41)((2=⨯+≥+++=++=y xx y y x y x ,故应选D.10.C11.A试题分析：因为O 为三角形ABC的外心，2sin 60AC OA OA =∴=DA,DB,DC两两互相垂直得3AC OA =∴==由DA ＝DB ＝DC ，点O 是△ABC 的中心可得DO ⊥平面ABC ,所以DA 与平面ABC 所成的角为DAO ∠,cos AO DAO AD ∴∠==,将DAO ∆绕直线DO 旋转一周，则在旋转过程中，直线DA 与平面ABC 所成的角不变；当DA 旋转到'DA 时，过'A 作平行于BC 的直线'A E ,这样直线'DA 与BC 所成角转化为直线'DA 与'A E 所成角；设'A E 与'A O 所成的角为,0,2παα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，直线'DA 与'A E 所成角为θ，由三余弦定理'''cos cos cos DAO OA E DA E ∠⋅∠=∠'cos cos cos DAO αθ∴∠⋅=,因为[]0,cos 0,12παα⎡⎤∈∴∈⎢⎥⎣⎦cos DAO ∠=cos θ⎡∈⎢⎣⎦因此选A ．A BD PCP 1 P 212.D【解析】：()()()221220x f x f ex f -''=+-，所以()()()11220f f f ''=+-，()01f =，()222x f x e x x =+-，设()()2x F x e g x =，()()()()()22222x x x F x g x e g x e e g x g x '''=+=+⎡⎤⎣⎦，由于()()20,20x e g x g x '>+<，()0F x '<恒成立，所以()F x 单调递减，所以()()20152017F F >，()42f e =，故有()()220152201720152017e g e g ⨯⨯>，即()()420152017g e g >，因此(2015)(2)(2017)g f g >⋅,故选D.二．填空题（每小题5分.共20分）13. 6 14.223355(1)2(1)10C C -+-=-15.【答案】-116【解析】：由已知可得2'()3f x x x =-+， 令11''()210()122f x x x f =-=⇒=⇒=⇒()f x 的图象关于点1(,1)2，即当121x x +=时，12()()2f x f x +=⇒原式101322016=⨯=．三．解答题17（12分）【解析】(Ⅰ)f (x )＝2sin(x －A )cos x ＋sin(B ＋C ) ＝2(sin x cos A －cos x sin A )cos x ＋sin A ＝2sin x cos x cos A －2cos 2x sin A ＋sin A ＝sin 2x cos A －cos2x sin A ＝sin(2x －A )，由函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＝0，又0＜A ＜π，故A ＝π3，…………………………6分(Ⅱ)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝143，则sin B ＝314b ，sin C ＝314c ，所以sin B ＋sin C ＝314(b ＋c )＝13314，即b ＋c ＝13， 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得49＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，从而bc ＝40， 则△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝12×40×32＝10 3.………………………12分18.（12分）解：（1）ξ的可能值为:0,1,2P(ξ=0)=02515220105190C C C ⋅= P(ξ=1)=1151522075190C C C ⋅= P(ξ=2)=2051522010190C C C ⋅= 即………………………………………………………………………………………4分 （2）记在该县山区居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600度为事件A ．则3()5P A =． 由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X 服从二项分布，即3~(10,)5X B ，故3()1065E X =⨯=．………………………………8分 （3）设该县山区居民户年均用电量为()E Y ，由抽样可得51510155()1003005007009005005050505050E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（度） 则该自然村年均用电约150000度．又该村所装发电机组年预计发电量为300000度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约150000度，能为该村创造直接收益120000元．……………………………………………………………………12分19（12分）．（1）证明：取AB 中点O ，连结,OD OE ， 因为△ABE 是正三角形，所以AB OE ⊥.因为四边形ABCD 是直角梯形，12DC AB =，//AB CD ， 所以四边形OBCD 是平行四边形，//OD BC ，又AB BC ⊥，所以 AB OD ⊥.所以AB ⊥平面ODE ，所以AB DE ⊥.……………………………………………4分 （2）解：因为平面ABCD ⊥平面ABE ，AB OE ⊥，所以OE ⊥平面ABCD ，所以OE OD ⊥.如图所示，以O 为原点建立空间直角坐标系.………………6分 则(1,0,0)A ，(1,0,0)B -，(0,0,1)D ，(1,0,1)C -，E 所以 =(1,0,1)AD -,1)DE -， 设平面ADE 的法向量为1n 111=(,,)x y z ，则1100DE AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 111100z x z -=⇔-+=⎪⎩， 令11z =，则11x =,1y =.所以1n =.…………………………8分同理求得平面BCE 的法向量为2n =(,0)，…………………………10分 设平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角为θ，则cos θ1212⋅=n n n n =.…11分 所以平面ADE 与平面BCE ……………12分20（12分）．解：（1）∵1112n n A A n n +-=+，∴数列n A n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列， ∴()11111222n A A n n n =+-⨯=+，即()()*12n n n A n N +=∈， ∴()()()()*11121122n n n n n n n a A A n n N +++++=-=-=+∈，又11a =，∴()*n a n n N =∈．…………………………2分∵2120n n n b b b ++-+=，∴数列{}n b 是等差数列， 设{}n b 的前n 项和为n B ，∵()3799632b b B +==且35b =， ∴79b =，∴{}n b 的公差为()*73951,27373n b b b n n N --===+∈--…………4分 2112222n n n n n b a n n c a b n n n n +⎛⎫=+=+=+- ⎪++⎝⎭，∴12111112213242n n T c c c n n n ⎛⎫=+++=+-+-++- ⎪+⎝⎭1111122123221212n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--=+-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，…………………8分（2）数列{}n a 的前n 项和()12n n n A +=，数列{}n b 的前n 项和()52n n n B +=， ①当()*2n k k N =∈时，()()215322n k k k k k k S A B k k ++=+=+=+； ②当()*41n k k N =+∈时， ()()()2212212222548122n k k k k k k S A B k k ++++=+=+=++， 特别地，当1n =时，11S =也符合上式；③当()*41n k k N =-∈时，()()22122122254422n k k k k k k S A B k k --+=+=+=+． 综上：22*213,24263,43,465,414n n n n k n n S n k k N n n n k ⎧+=⎪⎪+-⎪==-∈⎨⎪⎪++=-⎪⎩…………………………12分 21（12分）【解析】（1）()y f x =图象与x 轴异于原点的交点(,0)M a ，'()2f x x a =- (1)ln(1)y g x x =-=-图象与x 轴的交点(2,0)N ，1'(1)1g x x -=- 由题意可得12l l k k =，即1a =，∴2(),f x x x =-，2(2)222f =-=………………2分（2）2[()+][ln +](ln +)y f xg x t x x t x x t ==-=22(ln )(21)(ln )x x t x x t t +-+- 令ln u x x =，在 []1,x e ∈时，'ln 10u x =+>，∴ln u x x =在[]1,e 单调递增，0,u e ≤≤ 22(21)y u t u t t =+-+-图象的对称轴122t u -=，抛物线开口向上①当1202t u -=≤即12t ≥时，2min 0|u y y t t ===- ②当122t u e -=≥即122e t -≤时，22min |(21)u e y y e t e t t ===+-+- ③当1202t e -<<即12122e t -<<时， 22min 12212121|()(21)224t u t t y y t t t -=--==+-+-=- 综上：当122e t -≤时，22min |(21)u e y y e t e t t ===+-+- ； 当12122e t -<<min 14y =-； 当12t ≥时，2min 0|u y y t t ===-…………7分 1(3)()()'()ln F x g x g x x x =+=+,22111'()0x F x x x x -=-=≥1x ≥得 所以()F x 在区间(1,)+∞上单调递增∴1x ≥当时，F F x ≥>（）（1）0 ①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=，得12(,)x x α∈，同理12(,)x x β∈，∴ 由)(x f 的单调性知0<1()()F x F α<、2()()F F x β<从而有12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-，符合题设.②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=，12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=，由)(x f 的单调性知 0<12()()()()F F x F x F βα≤<≤，∴12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符③当1m ≥时，同理可得12,x x αβ≤≥，得12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符.∴综合①、②、③得(0,1)m ∈………………………………12分22.（10分）解：（I ）由曲线1:cos tan x C y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数），可得C 的普通方程是221x y -=． ……2分 当3πα=时，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 代入曲线C 的普通方程，得26160t t --=，……3分得126t t +=，则线段AB 的中点对应的1232t t t +==， 故线段AB的中点的直角坐标为9(2．……5分 （II ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得222(cos sin )6cos 80t t ααα-++=，……7分 则21222288(1tan )||||||||||cos sin 1tan PA PB t t αααα+⋅===--，……9分 由已知得tan 2α=，故40||||3PA PB ⋅=．……10分 23（10分）解：（I ）由已知得23,()3,323,3x a x a f x a a x x a x -++<⎧⎪=-≤<⎨⎪-->⎩，……2分 当x a ≤，即34a x x -+-≥，得12a x -≤；……3分 当3x >，即72a x +≥，……4分 由已知()4f x ≥的解集为1{|2x x ≤或9}2x ≥，则显然2a =．……5分 （II ）不等式()|3|1f x x +-≥恒成立，即||2|3|1x a x -+-≥恒成立．……6分当x a ≤时，即350x a -++≥恒成立，得350a a -++≥，解得52a ≤；……7分 当3a x <≤，即50x a --+≥恒成立，得350a --+≥，解得2a ≤；……8分 当3x ≥，即370x a --≥恒成立，得970a --≥，解得2a ≤．……9分 综上得2a ≤．……10分。