第一章随机变量的信息度量资料

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在第一章中, 我们用样本空间的子集, 即样本点的集合来表示随机试验的各种结果, 这种表示方式对全面讨论随机试验的统计规律性及数学工具的运用都有较大的局限性。
在本章中, 我们将用实数来表示随机试验的各种结果, 即引入随机变量的概念。这样, 不仅可以更全面揭示随机试验的客观存在的统计规律性, 而且可使我们用微积分的方法来讨论随机试验。
昆虫的产卵数。
离散的
七月份南昌的最高温度；
连续的
4
例
袋中有3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球，观察
取出的3只球中的黑球的个数．我们将3只黑球分别记
作1，2，3号，2只白球分别记作4，5号，则该试验的
样本空间为
1， 2， 3 1， 2， 4 1， 2， 5
1， 2，
3， 3，
4 4
1， 3， 5 2， 3， 5
一个实数 a , w X w a ,w 是随机事件，称为
随机变量, 简记为X。
此处用{w}表示样本空间，并非样本空间中只有一个元素w，而是用w表示所有的元素。
说明
⑴ 随机变量常用大写的英文字母X、Y、Z、或
希腊字母、、、等பைடு நூலகம்表示．
2 随机变量X不是实数的函数而是样本点的函数
( 3)对于随机变量，我们常常关心的是它的取值，一般采用小写字母x, y, z等表示.
1
2.1 随机变量
一、随机变量概念的产生二、随机变量的定义
SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN
一、随机变量概念的产生
在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念。
3
1、有些试验结果本身与数值有关(本身就是一个数)。

信息论第一章

Tianjin Polytechnic University
自信息量 ①自信息量
单符号离散信源的数学模型
信源的描述方法单符号离散信源单符号离散信源的数学模型

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Tianjin Polytechnic University
单符号离散信源的数学模型
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例题
例题:写出相应的数学模型 (1)某二元信源只含有0和1两个消息,发送1的概率是 0.99,而发送0的概率是0.01 解:
X 1 P ( X ) 0.99 0 0.01
(2)某二元信源只含有0和1两个消息,发送1和0的概率均是0.5
自信息的定义
若噪声太大, 信宿收到受干扰的信息后,对某信息产生的不确定性依然存在或一点也未消除,则信宿获得较少的信息或者说一点也没有获得信息.
自信息 I ( xi ) 的定义: 信源中某个符号 x i 的出现所带来的信息量
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自信息的定义
1 2 9 X 0 P ( X ) 0.1 0.1 0.1 0.1
(4)信源只发送一种消息,即永远发送1或者永远发送0
X 0 P ( X ) 1 X 1 或 P ( X ) 1

其不确定性 I ( xi )
Tianjin Polytechnic University
自信息的定义
自信息 I ( xi ) 满足以下几条公理:
(4)可加性:若
p( xi y j ) p( xi ) p( y j )
I ( xi y j ) I ( xi ) I ( y j )

信息的度量

信息的度量
How to measure Information?
信息论基础
本章内容
• 信息及其度量
• 平均信息量-熵
• 通过信道的平均信息量-互信息量 • 信息不增原理 • 各种信息量之间的关系 • 连续随机变量的信息度量
参考书：沈振元等，“通信系统原理”，第11章（PP412-437)
戴善荣, “信息论与编码基础”, 第2章
p ( xi , yj ) p ( xi / yj ) = p ( yj ) p ( xi , yj ) p ( yj / xi ) = p ( xi )
3 联合自信息量和条件自信息量设输入和输出都可以用离散概率空间来表示：
X = {A， P}，其中A={ai}; Y = {B, Q}, 其中B={bj}
Y y1 , y 2 , , y j , P(Y ) = p( y ), p( y ), , p( y ), 2 j 1
这里p(yj)（j=1,2,3等）是集合Y中各个消息 y1，y2 ，y3 …出现的概率。
收信者获得的信息量
当信宿接到集合Y中的一个消息符号后，接收者重新估计关于信源的各个消息发生的概率就变成条件概率，这种条件概率又称为后验概率。收信者收到一个消息后，所获得的信息量等于收到消息前后不确定程度的减少量。
i n n 1 1 pi) ln 2 = 0, ( n = 1, pi = 1) i =1 i =1
n 1 1 p( 1) = ( i i =1 p n ln 2 i=1 n
1
i
故有H ( x ) H 0 0,即等概时有最大熵
例
一个二进制信元X，两个符号出现的概率分别为p和1-p,

信息论基础ppt课件

克劳德·香农（Claude Shannon）
于1948年发表的具有里程碑性质的论文 “通讯的数学理论”是世界上首次将通讯过程建立了数学模型的论文，这篇论文和 1949年发表的另一篇论文一起奠定了现代信息论的基础。
信息论简介
作为通讯系统的数学理论，香农在1948 年的奠基性文章中提出了通信系统的一般模型（如下图所示）
解：
(a )
(b )
H(X,Y|Z)H(X|Z)H(Y| X,Z) 因为H(Y| Z, X)0 所以H(X,Y|Z)H(X|Z) 等号成立H(Y| Z, X)=0即Y是X,Z的函数
I(X,Y:Z)I(X:Z)I(Y:Z|X)且 I(Y:Z|X)0 所以 I(X,Y:Z)I(X:Z) 等号成立 I(Y:Z|X)=0即给定 X条件下 Y与 Z独立
I (x) log 1 。 p(x)
1.2 熵、联合熵、条件熵
X 定义 1.2.1 离散随机变量的熵定义为
H(X)p(x)logp(x) x
e 我们也用 H ( p ) 表示这个熵，有时也称它为概率分布 p 的熵，其中对
数函数以2为底时，熵的单位为比特（bit），若对数以为底时，则熵的
这种树称满树。
定理（克莱夫特不等式）码字字母取值于进字母集的即时码，其码
字长分别为 l1,l2,lm 时必须满足 Dli 1。
反之，对给定的满足上述不等式i的一组们为码字长的一个即时码。
(l1,l2,lm)，必存在以他
成立。注 1 定理的结论对构成即时码的任何可列无穷码长集 l1,l2也
( b ) p ( x 0 ) 1 ,p ( x 1 ) 2 ,p ( Y 0 ) 1 ,p ( Y 1 ) 1

第1章信源模型及信息的度量

6
二元联合信源
有两个信源X，Y
, an a2 , X a1 , P ( x) P (a ), P (a ), , P (a ) n 1 2
, bm b2 , Y b1 , P ( y ) P (b ), P (b ), , P(b ) 1 m 2
, aq a2 , X a1, P ( x) P (a ), P (a ), , P (a ) q 1 2
例：
a2 a1 P ( ) 0.01 0.99
b1 b2 P ( ) 0 .4 0 .6

可பைடு நூலகம்性公理：
两个消息独立，则 I (ai , b j ) I (ai ) I (b j ) 对同一条消息，观察两次所得到的信息量等于两次分别收到的信息量之和
I (ai ; b j ck ) I (ai ; b j ) I (ai ; ck / b j )
例题
说明信息论在我们日常生活中的指导意义
P(X)： p
1. p=0.5时； H(X)=-0.5log0.5+(-0.5log0.5)=1 bit/符号 2. p=0.99，1-p=0.01时；
H(X)=-0.99log0.99+(-0.01 log0.01)=0 .08bit/符号
3. p=0，1-p=1（或p=1，1-p=0）时； H(X)=-0log0+(-1 log1)=0 bit/符号
XY——样本值共有 m n 个
p ( x i y j ) p ( y j ) p ( xi / y j ) p ( x i ) p ( y j / x i )

第1章随机变量(概率论与数理统计(东南大学课件)ppt)

6
(二) 随机事件
样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件。在一次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。基本事件: 由一个样本点组成的单点集.
必然事件：样本空间 Ω 是自身的子集，在每次试验中总是发生的，称为必然事件。不可能事件：空集φ不包含任何样本点，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。
P( Ai A jAk )
n 1
( 1)
P( A1A 2 An ).
25
例1. 设事件A发生的概率是0.6，A与B 都发生的概率是0.1，A 与B 都不发生的概率为 0.15 , 求: (1) A发生B不发生的概率；(2) P(A+B); (3) P(B-A).
解：由已知得，P（A）=0.6，P（AB）=0.1, P（A B）=0.15，则 P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0. 5 P（B-A）=P（B）-P（AB）
A B Ω
22
性质4. 对任一事件 , A
有 P ( A ) 1.
证因A ，由性质得 3 P ( A ) P ( ) 1. 性质5. 对任一事件 , A 有P ( A) 1 P ( A). 证因 A A , 且 AA , 由概率的有限可加性得 1 P ( ) P ( A A ) P ( A) P ( A ). 性质6. 对任意两事件 , B有 A P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB ).
17
（3）若A1，A 2， , Ak 两两互不相容 ,则 f n ( A1 A 2 A k ) fn ( A1 ) fn ( A 2 ) fn ( Ak ). (有限可加性）频率的特性：波动性稳定性和

信息论知识点总结

信息论知识点总结信息论是一门研究信息传递和处理的科学，主要涉及信息量度、信息特性、信息传输速率、信道容量、干扰对信息传输的影响等方面的知识。

以下是信息论的一些重要知识点：1. 信息量度：信息量是对信息的度量，用于衡量信息的多少。

信息的大小与随机事件的概率有关，熵是衡量随机变量分布的混乱程度，即随机分布各事件发生的信息量的期望值。

2. 信道容量：信道容量是描述信道传输信息能力的指标，表示信道在每秒内所能传输的最大信息量。

对于有噪声的信道，需要通过编码技术来达到信道容量。

3. 条件熵：条件熵是在给定某个条件下的熵，用于衡量在已知某个条件的情况下，随机变量的不确定性。

4. 相对熵（KL散度）：相对熵是衡量两个概率分布之间的差异，也称为KL 散度。

如果两个分布相同，相对熵为0。

5. 信息传输速率：信息传输速率是指单位时间内传输的信息量，是评价通信系统性能的重要参数。

6. 干扰对信息传输的影响：在信息传输过程中，各种干扰因素会对信息传输产生影响，如噪声、失真、衰减等。

为了提高信息传输的可靠性和有效性，需要采取抗干扰措施。

7. 信息压缩：信息压缩是减少数据存储空间和提高数据传输效率的一种技术。

常见的压缩算法有Huffman编码、LZ77、LZ78等。

8. 纠错编码：纠错编码是一种用于检测和纠正错误的技术，广泛应用于通信和存储领域。

常见的纠错编码有奇偶校验、CRC等。

9. 加密编码：加密编码是一种保护信息安全的技术，通过对数据进行加密处理，防止未经授权的访问和泄露。

常见的加密编码有AES、RSA等。

以上是信息论的一些重要知识点，希望对您有所帮助。

信息论基础-随机过程的信息度量和渐近等分性

条件熵的应用
在决策树学习、隐马尔可夫模型等领域，条件熵被用于评估特征或状态之间的依赖关系以及模型的性能优劣。
03
渐近等分性原理
渐近等分性定义及意义
渐近等分性定义
对于随机变量序列，如果其概率分布函数在某种意义下“逐渐趋于均匀”，则称该序列具有渐近等分性。
渐近等分性意义
渐近等分性在信息论中具有重要意义，它揭示了信息源输出符号序列的一种内在规律性，为信息压缩和编码提供了理论基础。
随机过程的分类
根据随机过程的性质，可以将其分为平稳随机过程、马尔可夫过程、鞅过程等。
பைடு நூலகம்
概率空间与随机变量
概率空间
概率空间是一个包含所有可能事件及其概率的测度空间，用于描述随机试验的结果。
随机变量
随机变量是定义在概率空间上的实值函数，用于表示随机试验的结果。
随机过程样本路径性质
样本路径连续性
01
典型序列与典型集合
典型序列
在信息论中，典型序列是指那些概率较高、能够代表信息源统计特性的序列。典型序列在信息压缩和编码中起着重要作用。
VS
典型集合
典型集合是由典型序列构成的集合，它反映了信息源输出符号序列的统计规律。在信息压缩和编码中，典型集合是实现高效压缩的关键。
渐近等分性在编码定理中应用
互信息的应用
在特征选择、机器学习、自然语言处理等领域，互信息被用于评估特征与目标之间的相关性、文本相似度以及模型性能等。
条件熵与联合熵关系
条件熵的定义
条件熵是指在给定某个随机变量条件下，另一个随机变量的不确定性或信息量。对于离散随机变量X和Y，在给定Y的条件下，X的条件熵H(X|Y)定义为X和Y的联合熵与Y的熵之差。

《教育统计学》(王孝玲版)超详细知识点及重点笔记

华东师大心理统计学大纲教材：《教育统计学》（王孝玲编著，修订版）华东师范大学出版社1993年6月第一版第一章绪论第一节什么是统计学和心理统计学一、什么是统计学统计学是研究统计原理和方法的科学。

具体地说，它是研究如何搜集、整理、分析反映事物总体信息的数字资料，并以此为依据，对总体特征进行推断的原理和方法。

统计学分为两大类。

一类是数理统计学。

它主要是以概率论为基础，对统计数据数量关系的模式加以解释，对统计原理和方法给予数学的证明。

它是数学的一个分支。

另一类是应用统计学。

它是数理统计原理和方法在各个领域中的应用，如数理统计的原理和方法应用到工业领域，称为工业统计学；应用到医学领域，称为医学统计学；应用到心理学领域，称为心理统计学，等等。

应用统计学是与研究对象密切结合的各科专门统计学。

二、统计学和心理统计学的内容统计学和心理统计学的研究内容，从不同角度来分，可以分为不同的类型。

从具体应用的角度来分，可以分成描述统计，推断统计和实验设计三部分。

1．描述统计对已获得的数据进行整理、概括，显示其分布特征的统计方法，称为描述统计。

2．推断统计根据样本所提供的信息，运用概率的理论进行分析、论证，在一定可靠程度上，对总体分布特征进行估计、推测，这种统计方法称为推断统计。

推断统计的内容包括总体参数估计和假设检验两部分。

3．实验设计实验者为了揭示试验中自变量和因变量的关系，在实验之前所制定的实验计划，称为实验设计。

其中包括选择怎样的抽样方式；如何计算样本容量；确定怎样的实验对照形式；如何实现实验组和对照组的等组化；如何安排实验因素和如何控制无关因素；用什么统计方法处理及分析实验结果，等等。

以上三部分内容，不是截然分开，而是相互联系的。

第二节统计学中的几个基本概念一、随机变量具有以下三个特性的现象，成为随机变量。

第一，一次试验有多中可能结果，其所有可能结果是已知的；第二，试验之前不能预料哪一种结果会出现；第三，在相同的条件下可以重复试验。

信息的度量问题概述

信息的度量问题概述作者：许可来源：《硅谷》2008年第14期[摘要]信息是一个复杂的概念，我们讨论的信息是基于信息的不确定性。

即认为信息是事物的不确定性。

那么如何度量信息是对信息的定性描述的一个关键问题。

讨论信息的可度量性，度量的标准，度量的方法。

并给出信息的度量：香农熵。

[关键词]信息的度量不确定性香农熵中图分类号：O23 文献标识码：A 文章编号：1671－7597(2008)0720044－01一、信息的可度量性在日常生活中，许多直观经验告诉我们，信息是有度量的。

例如对于一句话，一件事，人们会产生诸如“这句话很有用，信息量很大”“这句话没有用”的评价。

说明不同的语言、不同的事件带有不同的信息量。

一般来说，越是意外的事情带来的信息量越大。

那么应该说，信息确是有度量的，而且它的度量与它所依附事件的复杂度与不确定性有关。

其实，获取信息的过程即是不确定性减少的过程。

二、随机变量及其不确定性我们知道随机变量的不确定性与其概率分布有关，信息论所关心的是这一随机变量的不确定性。

显然，随机变量的不确定程度越高，我们从实验中可能获取的信息也就越多。

直观看来，随机变量的不确定程度并不一样。

如随机变量X，Y，Z，T的概率分布分别为显然在这几个分布中，不确定性从小到大依次为：T，X，Y，Z，W。

特殊的，对随机变量T，变为常量型随机变量，不确定性为零，相应的概率分布称为确定性概率分布。

Z的不确定性最大，它服从等概率分布。

那么，若即随机变量X服从等概率分布时的不确定性最大，且当a增大时，不确定性也会增大。

那么，能否严格的给出不确定性的度量。

三、香农熵由上述可知，随机变量的不确定性应该是它的概率分布的一个函数，记之为。

上面这三种表示方法是等价的，其中P是X的概率分布。

香农指出，这样的函数是存在的，并且应该满足以下特性：1.连续性条件：即是的非负连续函数；2.等概率分布时为单调递增函数；3.可加性条件：当随机变量变量的取值不是通过一次试验而是通过若干次试验最后才得到的，随机变量在各次试验中的不确定性应该可加，且其和始终与通过一次试验取得的结果的不确定性相同。

第一章随机事件与随机变量

应用举例：随机正弦信号的相位， ADC 的量化误差
3、瑞利分布
⎧ x − x2 ⎪ e 2σ 1）定义： p ( x ) = ⎨ σ 2 ⎪0 ⎩
2
x≥0
其它
2
其实际意义为：两个均值为 0 方差为 σ 的高斯随机变量的平方和。 2） 3）特性： x =
π
π⎞ ⎛ σ ， σ x 2 = ⎜ 2 − ⎟σ 2 2⎠ 2 ⎝
10）条件概率公式
P( A | B) =
P( AB ) （定义为在 B 事件发生的前提下 A P( B)
事件发生的概率）从这个公式中还可以引出乘法公式： P ( AB) = P( A | B) P( B) = P( B | A) P( A) 贝叶斯公式： P ( A | B) =
P ( B | A) P( A) P( B)
$
1.2
随机事件，随机变量与随机过程
本节的内容是对概率论与数理统计中相关内容得复习一、随机事件 1、定义：在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。几种特殊的事件 ¾ 必然事件（ Ω ）与不可能事件（ Φ ） ¾ 基本事件与复合事件 2、随机事件的运算 ¾ 和运算（或运算）：＋或 U ¾ ¾ 差运算： \ 积运算（与运算）：⋅ 或 I
例题：假设在某数字通信系统中，由于传输通道中的干扰，发送‘1’信号而在接收端误接收到‘0’的概率等于 a，发送‘0’信号而在接收端误接收到‘1’的概率同样等于 a。发送系统发出‘1’ 和‘0’的概率个为 50％。现在在接收端接收到的信号为‘1’ ，问在发送端发出信号是‘1’的概率有多大？
解：以 X 表示发送的数据，Y 表示接收到的数据。根据题意，已知：
3、随机事件之间的关系 ¾ 包含： ⊂ ¾ 等价：＝ ¾ 互斥 ¾ 对立： A

信息量的度量如何计算公式

信息量的度量如何计算公式信息量的度量是指在一定的信息传输过程中，信息的多少和质量的度量。

在信息论中，我们通常使用熵来度量信息的多少，熵越大表示信息量越大。

下面我们将介绍信息量的度量以及相关的计算公式。

在信息论中，熵是度量信息量的一个重要概念。

熵的计算公式为：\[H(X) = -\sum_{i=1}^{n} p(x_i) \log_2 p(x_i)\]其中，$H(X)$表示随机变量$X$的熵，$p(x_i)$表示随机变量$X$取值为$x_i$的概率。

通过计算熵，我们可以得到随机变量$X$的信息量。

在实际应用中，我们经常使用二进制编码来表示信息。

在这种情况下，我们可以使用香农编码来计算信息量。

香农编码是一种使用变长编码来表示信息的编码方式，通过根据信息的概率分布来确定每个信息的编码长度，从而实现信息的高效表示。

香农编码的计算公式为：\[L = -\sum_{i=1}^{n} p(x_i) \log_2 p(x_i)\]其中，$L$表示信息的平均编码长度。

通过计算香农编码，我们可以得到信息的平均编码长度，从而可以评估信息的压缩效果和传输效率。

除了熵和香农编码，我们还可以使用信息熵来度量信息的多少。

信息熵是一种用于度量信息量的概念，它是对信息量的期望值。

信息熵的计算公式为：\[H(X) = -\sum_{i=1}^{n} p(x_i) \log_2 p(x_i)\]其中，$H(X)$表示随机变量$X$的信息熵，$p(x_i)$表示随机变量$X$取值为$x_i$的概率。

通过计算信息熵，我们可以得到随机变量$X$的平均信息量。

在实际应用中，我们可以使用信息熵来评估信息系统的复杂度和传输效率。

通过计算信息熵，我们可以得到系统中信息的平均复杂度，从而可以评估系统的性能和稳定性。

综上所述，信息量的度量是信息论中的重要概念，我们可以使用熵、香农编码和信息熵来度量信息的多少。

信息论基础第二版习题答案

信息论基础第二版习题答案
《信息论基础第二版习题答案》
信息论是一门研究信息传输、存储和处理的学科，它的理论基础是由克劳德·香农于1948年提出的。

信息论的发展对于现代通信、计算机科学和统计学等领域都有着重要的影响。

《信息论基础第二版》是信息论领域的经典教材，它系统地介绍了信息论的基本概念和原理，并提供了大量的习题来帮助读者加深对知识的理解。

在这本书中，作者对信息论的基本概念进行了详细的介绍，包括信息的度量、信道容量、编码理论等内容。

习题部分则是为了帮助读者巩固所学知识，提供了大量的练习题目，涵盖了各个方面的知识点。

下面我们就来看一下《信息论基础第二版》中的一些习题答案。

第一章习题1.1：什么是信息熵？请用公式表示。

答：信息熵是表示一个随机变量不确定性的度量，它的公式为H(X) = -
Σp(x)log2p(x)，其中p(x)表示随机变量X取值为x的概率。

第二章习题2.3：什么是信道容量？如何计算信道容量？
答：信道容量是表示信道的传输能力，它的计算公式为C = Wlog2(1 + S/N)，其中W表示信道带宽，S表示信号功率，N表示噪声功率。

第三章习题3.2：简要说明香农编码的原理。

答：香农编码是一种无损压缩编码方法，它利用信息的统计特性来减少信息的冗余，从而实现对信息的高效压缩。

以上是《信息论基础第二版》中的一些习题答案，通过学习这些习题，读者可以更好地理解信息论的基本概念和原理。

希望本书对广大读者在信息论领域的
学习和研究有所帮助。

信息论基础教程,李亦农李梅编著,北京邮电大学出版社

物理量称为信号。编码器可分为信源编码器、信道编码器。
信源编码的目的为了提高通信系统的有效性和提高信息传输的可靠性。在实际的通信系统中，可靠性和有效性常常相互矛盾。
（3）信道。信道是指通信系统把载荷消息的信号从发送端送到接收端的媒介或通道，是包括收发设备在内的物理设施。
（4）译码器。译码就是把信道输出的已迭加了干扰的编码信号进行反变换，变成信宿能够接受的消息。译码器也可分成信源译码器和信道译码器。
的概率，这样得到的新信xn 源的熵增加，熵增加了一项是由于划分
产生的不确定性。
7. 极值性： H ( p1, p2,
,
pn
)
H
1 n
,
1, n
,
1 n
log
n
式中n是随机变量X的可能取值的个数。
极值性表明离散信源中各消息等概率出现时熵最大，这就是最大离散熵定理。连续信源的最大熵则与约束条件有关。
, pq ) H (p)
1.对称性：H (p)
H( p1, p2, , pq ) H( p2, p1, , pq )= = H( pq, p1, , pq1) 性说明熵函数仅与信源的总体统计特性有关。
2021/5/20
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2. 确定性：
H(1, 0) H(1, 0, 0) H(1, 0, 0, 0) H(1, 0, ,0) 0
（2）一般信息论：也称工程信息论。主要也是研究信息传输和处理问题，除香农信息论的内容外，还包括噪声理论、信号滤波和预测、统计检测和估计、调制理论、信息处理理论以及保密理论等。
（3）广义信息论：不仅包括上述两方面内容，而且包括所有与信息有关的自然和社会领域，如模式识别、计算机翻译、心理学、遗传学、神经生理学、语言学、语义学甚至包括社会学中有关信息的问题。

信息论举例讲解信息量熵及互信息量

详细描述
对于离散型随机变量X，其取某个具体值 x时，所提供的信息量为-logP(x)，其中 P(x)为该值出现的概率。例如，随机变量X有两个等概率的取值0和1，则X取0 或1时所提供的信息量均为log2。
连续型随机变量的信息量
总结词
连续型随机变量的信息量是指该随机变量在某个区间内取值时所提供的信息量。
02
CHAPTER
熵的概念与性质
熵的定义
熵
熵是系统不确定性的度量，表示系统随机变量的不确定性和概率分布的不均匀性。在信息论中，熵用于量化信息的不确定性或随机变量的混乱程度。
数学公式
熵H(X) = - Σ P(x) log2 P(x)，其中P(x)是随机变量X取某个值的概率。
解释
熵表示随机变量X的平均不确定性，即当随机变量取某个值时，我们预期需要平均多少信息量来消除不确定性。
天气预报
假设明天下雨的概率是0.2，不下雨的概率是0.8，那么明天天气的熵就是- (0.2 * log2(0.2) + 0.8 * log2(0.8)) = 0.97比特。
03
CHAPTER
互信息量的概念与性质
互信息的定义
互信息量
描述两个随机变量之间相互关联程度的一种度量，其值等于一个随机变量的熵与两个随机变量的联合熵之差。
详细描述
对于连续型随机变量X，其取某个区间[a, b]内的值时，所提供的信息量为 ∫−log⁡P(x)dxF−log⁡P(x)dxF−log⁡P(x)dxF，其中P(x)为X在区间[a, b]内的概率密度函数。例如，若X服从均匀分布，则其在某个长度为Δx的区间[a, a+Δx]内取值时，所提供的信息量为logΔx。
信息论举例讲解信息量、熵及互信息量

信息论及编码理论基础(第一章)

定信源到底发送什么样的消息。而通信的目的也就是要使接收者在接收到消息
后，尽可能多的解除接收者对信源所存在的疑义（不定度），因此这个被解除
的不定度实际上就是在通信中所要传送的信息量。
*
11
信息与信息量
由于客观信息的多样性，要想给出一个能够包罗万象的统一定义，在此基础上建立起一套信息理论几乎是不大可能的。
系统
*
34
信息论发展简史
1948年shannon信息论奠基
宋陈亮《梅花》诗： “欲传春信息，不怕雪埋藏。”
《水浒传》第四四回：宋江大喜，说道：“只有贤弟去得快，旬日便知信息。”
巴金《家》三一：“二表哥的事情怎样了？为什么连信息也不给我一个？”
*
22
二、Shannon信息论的中心问题
“信息论”，又称为“通信的数学理论”，是研究信息的传输、存储、处理的科学。
*
13
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14
第一章：引论（简介）
一、通信系统模型二、Shannon信息论的中心问题三、Shannon信息的概念四、概率复习内容
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一、通信系统模型
信源、信道、信宿信源是消息的来源，信道是消息传送媒介，信宿是消息的目的地。
信源
编码器
信道
译码器
干扰源
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信宿
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通信系统模型进一步细分
信息论及编码理论基础 (第一章)
教材
王育民、李晖，信息论与编码理论（第2版），高等教育出版社， 2013.
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参考书
Thomas M. Cover, Joy A. Thomas, Elements of Information Theory，2nd ed, WILEY Press, 2006. 阮吉寿张华译信息论基础，机械工业出版社，2007.

浅谈信息的度量

浅谈信息的度量就我个⼈⽽⾔觉得信息的度量是⼗分难量化的。

也的确是这样，平⽇⼀个⼈说的⼀句话有多少信息是很难度量得到的。

可是在⾃然语⾔处理中，信息度量的量化⼜⼗分重要。

《数学之美》⼀书中吴军先⽣举了⼀个⾮常好的例⼦。

他假设了⼀种情形，他向⼀个⼈猜测1-32号⾜球队伍中哪⽀队伍是世界杯的冠军，他如果采⽤五五分的⽅法逐步缩⼩范围那么需要五次就能知道哪⽀队伍是冠军，假设每向对⽅询问⼀次需要花费⼀元，那么谁是世界杯冠军这条信息则需要花费五元。

⽽⾹农在他的论⽂“通信的数学原理”中使⽤⽐特来度量信息量。

其实在上述例⼦中，是可以优化的。

每次的猜测不⼀定⼀定要五五分，可以将少数的夺冠热门分为⼀组，这样就可以⼤⼤降低猜测需要耗费的次数。

当每⽀队伍夺冠希望不等时，⾹农使⽤了⼀个公式来对这种情况的信息进⾏度量。

其中H为信息熵，单位是⽐特。

p1, p2....分别是这32⽀队伍夺冠的概率。

当概率相同时，信息的熵就是5⽐特。

⽽对于随机变量X，它的熵定义如下：变量的不确定性越⼤熵也越⼤事物往往是有许多不确定性的，这时需要引⼊信息I，当I>U时我们可以说不确定性被消除了，但是当I<U时，只能说这些信息消除了事物的⼀部分不确定性。

吴军先⽣举了⽹页搜索的例⼦，当⽤户只输⼊某些常⽤关键词，会出来许多的结果，这时需要挖掘隐藏的信息以确定⽤户真正想要查找的信息从⽽给⽤户提供正确的⽹页。

基于上述公式，如果我们知道⼀些情况Y，那么在Y条件下X的熵就是这时可以证明，H(X)>H(X|Y)，也就是⼆元模型的不确定性要⼩于⼀元模型。

现在来谈谈互信息的概念，互信息⽤于对两个信息之间的相关性进⾏度量，⽐如“天⽓很闷热”和“要下⾬了”这两条信息的互信息就很⾼。

假定有两个随机事件X和Y，他们的互信息定义如下：其实这个互信息也可以看作是X的不确定性H(X)以及在知道Y的情况下X的不确定性H(X|Y)之间的差异。

也就是⽽在机器翻译中往往需要解决的⼆义性问题则可以通过这样的问题解决，⽐如美国总统Bush是翻译为⼈名还是灌⽊丛，就可以通过该词的上下⽂提取相关信息减⼩不确定性。