高一数学直线的一般式方程

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直线的一般式方程

直线的一般式方程直线一般式方程适用于所有的二维空间直线。

它的基本形式是Ax+By+C=0 （A，B不全为零）。

因为这样的特点特别适合在计算机领域直线相关计算中用来描述直线。

方程表达式直线的一般式方程能够表示坐标平面内的任何直线。

（A，B不全为零即A^2+B^2≠0）该直线的斜率为(当B=0时没有斜率)平行于x轴时，A=0，C≠0；平行于y轴时，B=0，C≠0；与x轴重合时，A=0，C=0；与y轴重合时，B=0，C=0；过原点时，C=0；与x、y轴都相交时，A*B≠0。

结论两直线平行时：普遍适用：，方便记忆运用：(A2B2C2≠ 0）两直线垂直时：两直线重合时：两直线相交时：两直线一般式垂直公式的证明：设直线l1：A1x+B1y+C1=0直线l2：A2x+B2y+C2=0（必要性）∵l1⊥l2∴k1×k2=-1∵k1=-A1/B1，k2=-A2/B2 ∴(-A1/B1)(A2/B2)=-1 ∴（B1B2）/(A1A2)=-1∴B1B2=-A1A2∴A1A2+B1B2=0（充分性）∵A1A2+B1B2=0∴B1B2=-A1A2∴（B1B2）(1/A1A2)=-1∴(A1/B1)(A2/B2)=-1∴(-A1/B1)(-A2/B2)=-1∵k1=-A1/B1, k2=-A2/B2∴k1×k2=-1∴l1⊥l2方程求解一般式方程在计算机领域的重要性常用的直线方程有一般式、点斜式、截距式、斜截式、两点式等等。

除了一般式方程，它们要么不能支持所有情况下的直线（比如跟坐标轴垂直或者平行），要么不能支持所有情况下的点（比如x坐标相等，或者y坐标相等）。

所以一般式方程在用计算机处理二维图形数据时特别有用。

已知直线上两点求直线的一般式方程已知直线上的两点P1(X1,Y1) P2(X2,Y2)， P1 P2两点不重合。

对于AX+BY+C=0：当x1=x2时，直线方程为x-x1=0当y1=y2时，直线方程为y-y1=0当x1≠x2，y1≠y2时，直线的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1) 故直线方程为y-y1=(y2-y1)/(x2-x1)×(x-x1)即x2y-x1y-x2y1+x1y1=(y2-y1)x-x1(y2-y1)即(y2-y1)x-(x2-x1)y-x1(y2-y1)+(x2-x1)y1=0即(y2-y1)x+(x1-x2)y+x2y1-x1y2=0 ①可以发现，当x1=x2或y1=y2时，①式仍然成立。

高一数学直线方程的一般式

例2、把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率及它在x轴与y轴上的截距
y
解：由 x 2 y 6 0 1 y x3 有 2 1 故 l 的斜率 k
2
B(0,3)
A(6,0)
纵截距为3 令y 0则
0
x
x 6
即横截距为－6
所以………
思考
1. 与两条坐标轴都相交； AB≠0 2. 只与x 轴相交； 3. 只与 y 轴相交；
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
截距式
横截距a(a 0) 纵截距b(b 0)
x y 1 a b
；
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他静静地躺在病床上，瘦骨嶙峋的脸上泛起一丝微微的笑容，我真不敢相信我的眼睛„„一个憨厚质朴的汉子竟然被生活折磨成了这样一副面孔！ “大哥„„”泪水不知不觉从我的眼里夺眶而出。他用消瘦的手示意我在他身边坐下，然后又把荷花招呼到跟前，努力地把荷花的手放在我的手掌心里，让我紧紧地握着。 “六弟„„还给你的„„荷花。”他的眼里噙着泪，用尽了最后的一点气力说：“荷花„„阿爹„„告诉你，他„„就是„„你的„„亲„„亲„„爸。” “六弟„„我走了，你„„要把她„„领回家，大哥„„不是不要她„„，我们这儿„„的确是„„太苦了，我„„放心„„不下。” “大哥„„” “阿爹„„”空气凝滞了„„除了五妮子和六丫头那撕心裂肺的哭泣声以外，便就是荷花那歇斯底里的怒嚎声：“伯伯叔叔一大群，不如阿爹一个人„„阿爹，你不要走„„荷花不能没有你„„” 这哪儿是在哭，分明是在一刀一刀地割我的心！是我害死了大哥，我就是这一悲剧的罪魁祸首！送走了刘大哥，荷花抱着她阿爹的骨灰要回山西，五妮子和六丫头劝她留下来。 “荷花„„留下来吧„„”我颤抖地说。荷花鄙视地瞥了我一眼，愤怒地说：“你错了，这儿没有任何值得我留恋的！在我阿爹没有告诉我真相之前，我最崇敬的人是你，我知道你疼我爱我不让我受到任何伤害，好多次在我绝望的时候，是你给了我活下去的勇气，我决心长大了好好报答你„„十几年来，我恨透了抛弃我的马天栓„„然而，今天我才明白，真正抛弃我的人原来就是你，一个让我崇敬了十几年的伪君子„„你太让我失望了，我恨你！” “荷花„„听阿妈的话，留下来吧„„这里有你的亲爹亲娘„„”阿妈的话使她更加冲动起来。 “我没有这样狠心的爹娘！我虽然没有了阿爹，可是还有养育了我的阿妈，阿妈才是最疼我爱我的亲妈，我一辈子也不愿离开我的阿妈„„阿妈，难道你也不要我了吗？” “荷花„„”阿妈把她紧紧地搂在怀里。我昏昏沉沉地回到了家。一次，我真的病了，额头滚烫，浑身抽搐，满嘴里说着没有边际的话语：“大哥„„你别走„„该走的人应该是我„„荷花„„回来吧„„爸爸错了„„爸爸想你啊„„” “爸——，你醒醒啊，爸„„”朦胧中我依稀地听到小荷焦急的叫声，“三伯„„我爸这是怎么了？” “这样的事根本就不能让他去„„你看，这一定是鬼邪附身„„”母亲唠叨着。 “娘，你这说哪儿去了，我六弟一定是劳累过度„„再加上刘大哥的早逝所致。从病症上来看，他一定在某一方面受到了很大的心理打击„„”三哥叹了口气，自言自语地说：“已药只能治表却不能治本„„心病还要心药已。” “三伯，难道我爸爸还有什么心病吗？„„”时光的流失冲淡了生活的艰辛与痛苦，留下的只有对往事的美好回忆。一年以后，马天栓家果真生了个大胖小子，全家人总算是如愿以偿。我和肖艳带上礼物去了马天栓家。饭馆的门前挂着“暂停营业”的招牌。我推开门，喊了声“马大哥”，屋子里空荡荡的，一点声音也没有。

高一数学直线的一般式方程(2019)

3
1.点斜式方程： 2. 斜截式方程：
3. 两点式方程：
复习引入
1.点斜式方程： y－y0＝k(x－x0) (已知定点 (x0, y0)及斜率k存在)
2. 斜截式方程：y＝kx＋b [已知斜率k存在及截距 b(与y轴交点(0, b)]
3. 两点式方程： y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
[已知两定点(不适合与x轴或y轴垂直的直线)]
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以候神人於执期 ”於是王翦将兵六十万人可不勉与甘泉则作益延寿观公子刻攻魏首垣善赵将李齐上怒曰：“纵以我为不复行此道乎夺之权恐其有变甘心於外国秋明汉王之信於天下威动万里秦文公东猎汧渭之间天子所以赏赐者数十巨万掩定襄狱中重罪轻系二百馀人为关内侯命曰 “畤”；使人人奉职秦昭王後悔出孟尝君故令人谓韩王曰：“秦召西周君交易有无之路通左转祸而说秦今王头至固以为常取东周如冠玉耳居妫水北以为十四县监郯下军婴已而试补县吏置前如此而魏亦关内侯矣私家富重於王室危亡之术也今乃於毛先生而失之也又阴痿皆去其业自子夏齐大夫黎鉏言於景公曰：“鲁用孔丘灵公太子蒉聩得过南子始皇七年及薨鄡单字子家六月壬申布衣也鲁昭公之二十年里中持羊酒贺两家 ”於是少女缇萦伤父之言诏以为太子舍人、门大夫、家令秦又攻其垒其顺者乃治之报乙卒有如万分之一以次问之高后欲立诸吕为王轸自为厚而为王薄也是吾不肖尽取齐之宝藏器五在中国赵得全而逐武王后出之魏四十二年而忍卖之乎又可尽亨之邪放怪兽田乞伪事高、国者拔五城予百家居之子定公臧立同宇自命也；昭

高一数学直线方程的一般式

直线方程 Ax +By + C = 0 的系数A、B、 C 满足什么关系时,这条直线有以下性质：
A≠0 ，B =0 ；
B≠0 ，A = 0 ； B≠0 ，A = C= 0 ； A≠0 ，B = C = 0 .
4. 是x 轴所在直线；
5. 是y 轴所在直线.
小结:
知道直线方程的一般式及由一般式化其它形式，及求斜率，截距等
2、直线与二元一次方程的关系
探究1:方程Ax+By+C=0总可以表示直线吗? 根据斜率存在,不存在即B为0,或不为0进行分类
对于方程Ax+By+C=0
A C 当B 0时, 方程可以化为y - x - , B B 这是直线方程的斜截式,
A C 表示斜率为 - , 截距是 - 的直线, B B 当B 0时, 方程Ax By C 0化为Ax C 0,
例2、把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率及它在x轴与y轴上的截距
y
解：由 x 2 y 6 0 1 y x3 有 2 1 故 l 的斜率 k
2
B(0,3)
A(6,0)
纵截距为3 令y 0则
0
x
x 6
即横截距为－6
所以………
思考
1. 与两条坐标轴都相交； AB≠0 2. 只与x 轴相交； 3. 只与 y 轴相交；
C 因为A.B不全为0, 所以A 0方程化为x - , A 表示垂直于x轴的直线, 即斜率不存在的直线
结论:当A.B不全为0的时候,方程Ax+By+C=0表示直线, 可以表示平面内的任何一条直线
探究2
在平面直角坐标系中，对于任意一条直线都可以

数学直线一般式

数学直线一般式数学中，直线是一条没有弯曲的路径，可以用各种方式表示。

其中一种常见的表示方法是一般式。

一般式提供了一种简洁的方式来描述直线的性质和特征。

一般式的定义一般式是直线在坐标平面上的一种表示形式，常用形式为Ax + By + C = 0。

其中，A、B和C是常数，且A和B不全为零。

对于一般式，可以有多种不同的表示方式。

例如，-2x + 3y - 1 = 0和4x -6y + 2 = 0都是直线的一般式表示。

一般式的性质一般式具有许多有用的性质，可以帮助我们理解直线及其特性。

1. 方向性一般式中的系数A和B代表了直线的方向。

具体而言，当B不为零时，直线的斜率为-A/B；当B为零时，直线是垂直于y轴的水平线。

2. 点斜式的转化一般式可以方便地转化为点斜式（斜截式）来描述直线。

通过将一般式转化为y = mx + b形式，其中m是斜率，b是截距，我们可以更直观地理解直线的特性。

3. 直线间的关系使用一般式，我们可以轻松比较两条直线之间的关系。

如果两条直线的系数A、B和C相等，那么它们是同一条直线。

如果两条直线的系数A和B成比例、C不相等，那么它们是平行的直线。

如果两条直线的斜率（通过A和B计算得出）互为倒数，那么它们是垂直的。

4. 距离计算利用一般式，我们也可以计算直线和一个给定点之间的距离。

给定直线的一般式为Ax + By + C = 0，以及一个点P(a, b)，距离计算公式为d = |(Aa + Bb + C) / sqrt(A^2 + B^2)|。

这个公式基于点到直线的垂直距离的定义。

一般式的应用一般式不仅在数学理论中有用，也有许多实际应用。

1. 几何图形通过一般式，我们可以方便地描述和分析几何图形中直线之间的关系。

在计算机图形学中，一般式常用于线段和直线的表示和计算。

2. 建模和仿真在工程建模和仿真领域，一般式常用于描述物体的运动轨迹，例如汽车行驶的道路、飞机的航线等。

通过将物体的运动方程转化为一般式，可以进行更精确的建模和仿真。

高一数学知识点归纳大全总结

高一数学知识点归纳大全总结[注意：此文章为示例，请根据题目需求自行撰写]一. 直线的方程1. 一般式：Ax + By + C = 0- A, B, C 为常数- 通过该方程可以确定一条直线的位置和方向2. 斜截式：y = kx + b- k 为直线的斜率，表示直线的倾斜程度- b 为该直线与 y 轴的截距，表示直线与 y 轴的交点在 y 轴上的坐标3. 截距式：x/a + y/b = 1- a, b 分别为直线与 x 轴和 y 轴的截距二. 函数和方程1. 一次函数：f(x) = kx + b- k 为函数的斜率- b 为函数的截距2. 二次函数：f(x) = ax^2 + bx + c- a, b, c 为二次函数的系数3. 幂函数：f(x) = x^a- a 为幂函数的指数- 当 a > 1 时，幂函数为增函数；当 0 < a < 1 时，幂函数为减函数4. 指数函数：f(x) = a^x- a 为指数函数的底数5. 对数函数：f(x) = loga(x)- a 为对数函数的底数三. 三角函数1. 正弦函数：sin(x)- 可用于表示直角三角形中的边与角的关系2. 余弦函数：cos(x)- 可用于表示直角三角形中的边与角的关系3. 正切函数：tan(x)- 可用于表示直角三角形中的边与角的关系四. 平面几何1. 圆- 圆心：表示为 (h, k)- 半径：表示为 r- 圆的方程：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^22. 三角形- 根据三条边的长短可以分类为等边三角形、等腰三角形和一般三角形3. 直角三角形- 拥有一个直角（90°）和两个锐角的三角形五. 概率与统计1. 概率- 事件发生的可能性的数值表示- 通过实验或推理可以计算概率2. 统计- 通过收集和分析数据来研究和描述事物的规律六. 解析几何1. 坐标系- 直角坐标系：由 x 轴和 y 轴构成的平面坐标系- 极坐标系：由极轴和极角构成的平面坐标系2. 距离公式- 两点间的距离：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)3. 斜率公式- 直线上两点的斜率：k = (y2 - y1)/(x2 - x1)七. 矩阵与变换1. 矩阵- 由数按矩形排列所得的数表2. 矩阵的运算- 加法、减法、乘法等运算3. 线性变换- 平移、旋转、缩放等变换方式以上是高一数学知识点的归纳大全总结，通过对这些基础知识的学习和掌握，可以为学生打下坚实的数学基础，并为后续的学习奠定良好的基础。

直线的一般式方程(附答案)

精心整理直线的一般式方程[学习目标] 1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax＋By＋C＝0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化.知识点直线的一般式方程1.x，y2.轴上的截距为－；当AB3.(1)(2)(3)x(4)思考(2)答当C≠(2)不是.当一般式方程中的B＝0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当C＝0时，直线过原点，不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为一般式.题型一直线的一般形式与其他形式的转化例1(1)下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是()A.3x＋4y＋7＝0B.4x＋3y＋7＝0C.4x＋3y－42＝0D.3x＋4y－42＝0(2)直线x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于()A.B.－5C.D.－3答案(1)B(2)D解析(1)将一般式化为斜截式，斜率为－的有：B、C两项.又y＝－x＋14过点(0,14)即直线过第一象限，(2)令y解∵点A又∵∴|a|·|b由即x＋例2已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：(1)过点(－1,3)，且与l平行；(2)过点(－1,3)，且与l垂直.解方法一l的方程可化为y＝－x＋3，∴l的斜率为－.(1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－.又∵l′过点(－1,3)，由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.(2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为，又l′过点(－1,3)，由点斜式可得方程为y－3＝(x＋1)，即4x∴(2)由l将(－∴(1)解当a≠直线x(1)得＝，a≠－，解得a＝－1或a＝2.所以当a＝－1或2时，两直线平行.(2)当两直线垂直时，由k1·k2＝－1，即·＝－1，解得a＝.所以当a＝时，两直线垂直.题型三由含参一般式方程求参数的值或取值范围例3(1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足______.(2)当实数m为何值时，直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1.①倾斜角为45°；②在x轴上的截距为1.(1)解析所以m(2)解所以②令y＝所以解得所以m＝－或m＝2.跟踪训练3已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围.(1)证明直线方程变形为y－＝a，它表示经过点A，斜率为a的直线.∵点A在第一象限，∴直线l必过第一象限.(2)解如图所示，直线OA的斜率k＝＝3.∵直线不过第二象限，∴∴a例4m的值. 分析解由①当m当m故m＝1.A.A≠2.已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过()A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限3.过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A.x－2y－1＝0B.x－2y＋1＝0C.2x＋y－2＝0D.x＋2y－1＝04.若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m等于()A.－1B.1C.D.－5.已知两条直线y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，则a＝________.一、选择题1.直线A.45°2.直线A.－3.直线A.C＝C.AB4.直线A.－5.直线6.A.a≠C.a≠－1D.a≠±1，a≠27.直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是()二、填空题8.已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，则实数a＝_______.9.若直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3,4)的线段的中点，则m＝______.10.直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是______________.11.已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________.三、解答题12.设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；解析由题意，得所求直线斜率为，且过点(1,0).故所求直线方程为y＝(x－1)，即x－2y－1＝0.4.答案 B解析由两直线垂直，得×＝－1，解得m＝1.5.答案－3或1解析两条直线y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，所以＝≠，解得a＝－3或a＝1.课时精练答案一、选择题1.答案 B解析直线x＋y－3＝0，即y＝－x＋3，它的斜率等于－1，故它的倾斜角为135°，故选B.2.答案 D解析3.答案解析4.答案解析0)，即x ＋3y＋5.答案解析6.答案解析.所以a≠±7.答案解析将l1与l2的方程化为斜截式得：y＝ax＋b，y＝bx＋a，根据斜率和截距的符号可得选C.二、填空题8.答案解析由两直线垂直的条件，得2a＋3(a－1)＝0，解得a＝.9.答案 2解析线段AB的中点为(1,1)，则m＋3－5＝0，即m＝2.10.答案(－∞，－)∪(0，＋∞)解析当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°，符合要求；当a≠－1时，直线l的斜率为－，(－∞11.解析12.解y＝0. 当a≠所以a(2)将l所以或所以a≤－1.综上，a的取值范围是a≤－1.13.解方法一(1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，l2：mx＋3y－2＝0知：①当m＝0时，显然l1与l2不平行.②当m≠0时，l1∥l2，需＝≠.解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3.(2)由题意知，直线l1⊥l2.①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直.②若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l：x＋5y－2＝0与直线l：5x－4＝0不垂直.③若1当l1⊥即(－∴a解得m当m显然l1显然l1∴m(2)由题意知直线l1⊥l2，∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1，将a＝±1代入方程，均满足题意.故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.精心整理精心整理。

直线一般式方程

直线一般式方程直线一般式方程是大学数学中的重要概念，它的学习有助于解决一些关于坐标轴的问题，使我们更加深入地了解几何图形的性质。

一、直线一般式方程的定义直线一般式方程是一种数学表达式，用来表示一条直线的位置。

它提供了一种通用的方法来图解直线，提供了一种可以描述直线的参数形式。

它以 ax + by + c =0 的形式表示，其中a、b、c是常数，x和y是坐标。

二、直线一般式方程的基本概念1.文字直线：斜率是常数的函数，它的一般式方程为y= kx + b，其中k是斜率，b是y轴截距。

2.垂直于直线的直线：垂直于直线的函数，它的一般式方程为x= c，其中c是直线上的某一点。

3.水平线直线：水平于x轴的函数，它的一般式方程为y= c，其中c是x轴上的某一点。

4.直线的经验方程：给定两点(x1, y1)和(x2, y2)，其一般式方程为：y=(y2-y1)/(x2-x1)*(x-x1)+y1;三、直线一般式方程的应用1.确定直线的位置：通过一般式方程可以得出直线的位置，由此可以得出直线的斜率和截距，从而判断直线的类型。

2.直线的平行和垂直检测：由于直线一般式方程可以求得直线的斜率，因此可以用斜率的大小进行直线的平行和垂直检测。

3.求交点：由于知道直线的斜率和截距，可以求解两条直线的交点。

4.求曲线：如果两条曲线都是由直线一般式方程表示的，那么可以使用这种方法来求曲线的解。

四、直线一般式方程的求解1.确定两点：首先要确定直线上两点的坐标，记作(x1,y1)和(x2,y2)。

2.计算斜率：假设某条直线的斜率为k，则该直线的一般式方程表示为y=kx+b，其中k的值可以通过求斜率的公式来求得。

3.计算截距：截距b的值可以通过公式b=y1-kx1来求得，其中(x1,y1)是直线上的一点。

4.求出一般式方程：有了斜率和截距之后就可以将其代入一般式方程y=kx+b中求出直线的一般式方程。

直线的一般式方程(附答案解析)

直线的一般式方程[学习目标] 1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax＋By＋C＝0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化.知识点直线的一般式方程1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式.2.对于直线Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，其斜率为－AB，在y轴上的截距为－CB；当B＝0时，在x轴上的截距为－CA；当AB≠0时，在两轴上的截距分别为－CA，－CB.3.直线一般式方程的结构特征(1)方程是关于x，y的二元一次方程.(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列.(3)x的系数一般不为分数和负数.(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.思考(1)当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0表示什么？(2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗？答(1)当C＝0时，方程对任意的x，y都成立，故方程表示整个坐标平面；当C≠0时，方程无解，方程不表示任何图象.故方程Ax＋By＋C＝0，不一定代表直线，只有当A，B不同时为零时，即A2＋B2≠0时才代表直线.(2)不是.当一般式方程中的B＝0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当C＝0时，直线过原点，不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为一般式.题型一直线的一般形式与其他形式的转化例1 (1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( ) A.3x ＋4y ＋7＝0B.4x ＋3y ＋7＝0C.4x ＋3y －42＝0D.3x ＋4y －42＝0 (2)直线3x －5y ＋9＝0在x 轴上的截距等于( ) A. 3 B.－5 C.95D.－3 3 答案 (1)B (2)D解析 (1)将一般式化为斜截式，斜率为－43的有：B 、C 两项. 又y ＝－43x ＋14过点(0,14)即直线过第一象限，所以只有B 项正确.(2)令y ＝0则x ＝－33.跟踪训练1 一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程.解设所求直线方程为x a ＋y b＝1， ∵点A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b＝1.① 又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴12|a |·|b |＝1.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，ab ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2.第二个方程组无解. 故所求直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y －2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0.题型二直线方程的应用例2 已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程：(1)过点(－1,3)，且与l 平行；(2)过点(－1,3)，且与l 垂直.解方法一 l 的方程可化为y ＝－34x ＋3， ∴l 的斜率为－34. (1)∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34. 又∵l ′过点(－1,3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又l ′过点(－1,3)，由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0.方法二 (1)由l ′与l 平行，可设l ′的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.将点(－1,3)代入上式得m ＝－9.∴所求直线的方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设l ′的方程为4x －3y ＋n ＝0.将(－1,3)代入上式得n ＝13.∴所求直线的方程为4x －3y ＋13＝0.跟踪训练2 a 为何值时，直线(a －1)x －2y ＋4＝0与x －ay －1＝0.(1)平行；(2)垂直.解当a ＝0或1时，两直线既不平行，也不垂直；当a ≠0且a ≠1时，直线(a －1)x －2y ＋4＝0的斜率为k 1＝－1＋a 2，b 1＝2；直线x －ay －1＝0的斜率为k 2＝1a ，b 2＝－1a. (1)当两直线平行时，由k 1＝k 2，b 1≠b 2，得1a ＝－1＋a 2，a ≠－12，解得a ＝－1或a ＝2.所以当a ＝－1或2时，两直线平行.(2)当两直线垂直时，由k 1·k 2＝－1，即1a ·(－1＋a )2＝－1，解得a ＝13. 所以当a ＝13时，两直线垂直. 题型三由含参一般式方程求参数的值或取值范围例3 (1)若方程(m 2＋5m ＋6)x ＋(m 2＋3m )y ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足______.(2)当实数m 为何值时，直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1.①倾斜角为45°；②在x 轴上的截距为1.(1)答案 m ≠－3解析若方程不能表示直线，则m 2＋5m ＋6＝0且m 2＋3m ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m 2＋3m ＝0，得m ＝－3，所以m ≠－3时，方程表示一条直线.(2)解 ①因为已知直线的倾斜角为45°，所以此直线的斜率是1，所以－2m 2＋m －3m 2－m ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ≠0，2m 2＋m －3＝－(m 2－m )，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0且m ≠1，m ＝－1或m ＝1.所以m ＝－1. ②因为已知直线在x 轴上的截距为1，令y ＝0得x ＝4m －12m 2＋m －3，所以4m －12m 2＋m －3＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3≠0，4m －1＝2m 2＋m －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠1且m ≠－32，m ＝－12或m ＝2.所以m ＝－12或m ＝2.跟踪训练3 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；(2)为使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围.(1)证明直线方程变形为y －35＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15，它表示经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35，斜率为a 的直线.∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35在第一象限，∴直线l 必过第一象限.(2)解如图所示，直线OA 的斜率k ＝35－015－0＝3.∵直线不过第二象限，∴直线的斜率a ≥3.∴a 的取值范围为[3，＋∞).一般式求斜率考虑不全致误例4 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －(2m －6)＝0，若此直线的斜率为1，试确定实数m 的值.分析由直线方程的一般式，可转化为斜截式，利用斜率为1，建立方程求解，但要注意分母不为0.解由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，①2m 2＋m －1≠0. ②由①，得m ＝－1或m ＝43.当m ＝－1时，②式不成立，不符合题意，故应舍去；当m ＝43时，②式成立，符合题意.故m ＝43.1.若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为() A.A ≠0 B.B ≠0C.A ·B ≠0 D.A 2＋B 2≠02.已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( )A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限3.过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A.x －2y －1＝0B.x －2y ＋1＝0C.2x ＋y －2＝0D.x ＋2y －1＝04.若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m 等于( )A.－1B.1C.12D.－125.已知两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，则a ＝________.一、选择题1.直线x ＋y －3＝0的倾斜角的大小是( )A.45°B.135°C.1D.－12.直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( )A.－2B.2C.－3D.33.直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则( )A.C ＝0，B >0B.A >0，B >0，C ＝0C.AB <0，C ＝0D.AB >0，C ＝04.直线ax ＋3my ＋2a ＝0(m ≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k 等于( )A.－3B.3C.13D.－135.直线y ＝mx －3m ＋2(m ∈R )必过定点( )A.(3,2)B.(－3,2)C.(－3，－2)D.(3，－2)6.若三条直线x ＋y ＝0，x －y ＝0，x ＋ay ＝3构成三角形，则a 的取值范围是( )A.a ≠±1B.a ≠1，a ≠2C.a ≠－1D.a ≠±1，a ≠27.直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是( )二、填空题8.已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，则实数a＝_______.9.若直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3,4)的线段的中点，则m＝______.10.直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是______________.11.已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________.三、解答题12.设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.13.(1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值.(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？当堂检测答案1.答案 D解析方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线的条件为A 、B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0.2.答案 C解析由ax ＋by ＝c ，得y ＝－a b x ＋c b， ∵ab <0，∴直线的斜率k ＝－a b>0，直线在y 轴上的截距c b<0.由此可知直线通过第一、三、四象限.3.答案 A解析由题意，得所求直线斜率为12，且过点(1,0).故所求直线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.4.答案 B解析由两直线垂直，得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m ＝－1，解得m ＝1. 5.答案－3或1解析两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，所以a 3＝1a ＋2≠－21，解得a ＝－3或a ＝1.课时精练答案一、选择题1.答案 B解析直线x ＋y －3＝0，即y ＝－x ＋3，它的斜率等于－1，故它的倾斜角为135°，故选B.2.答案 D解析由已知得m 2－4≠0，且2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，解得：m ＝3.3.答案 D解析通过直线的斜率和截距进行判断.4.答案 D解析由点(1，－1)在直线上可得a －3m ＋2a ＝0(m ≠0)，解得m ＝a ，故直线方程为ax＋3ay ＋2a ＝0(a ≠0)，即x ＋3y ＋2＝0，其斜率k ＝－13. 5.答案 A解析由y ＝mx －3m ＋2，得y －2＝m (x －3).所以直线必过点(3,2).6.答案 A解析因为直线x ＋ay ＝3恒过点(3,0)，所以此直线只需不和x ＋y ＝0，x －y ＝0两直线平行就能构成三角形.所以a ≠±1.7.答案 C解析将l 1与l 2的方程化为斜截式得：y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可得选C.二、填空题8.答案 35解析由两直线垂直的条件，得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝35. 9.答案 2解析线段AB 的中点为(1,1)，则m ＋3－5＝0，即m ＝2.10.答案 (－∞，－12)∪(0，＋∞) 解析当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－aa ＋1，只要－aa ＋1>1或者－aa ＋1<0即可，解得－1<a <－12或者a <－1或者a >0. 综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，－12)∪(0，＋∞). 11.答案 2x ＋3y ＋4＝0解析由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋3b 1＋4＝0，2a 2＋3b 2＋4＝0，易知两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)都在直线2x ＋3y ＋4＝0上，即2x ＋3y ＋4＝0为所求.三、解答题12.解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为0，当然相等，所以a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当a ≠2时，截距存在且均不为0，所以a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1.所以a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0，所以a ≤－1.综上，a 的取值范围是a ≤－1.13.解方法一 (1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0， l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行.②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3.(2)由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直.②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直. ③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3. 当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1， ∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 方法二 (1)令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.∴m 的值为2或－3.(2)由题意知直线l 1⊥l 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1，将a ＝±1代入方程，均满足题意.故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.。

高一数学直线的一般式方程

例2.把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0 化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.
例2.把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0 化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.
练习.教材P.99-P.100练习第1、2题.
思维拓展
复习引入
4. 截距式方程：
x y 1 ab
[已知截距a(与x轴交点(a,0))及截距b(与y轴
交点(0, b))不适合过原点的直线]
5. 一般式方程： Ax＋By＋C＝0 (A、B不同时为0)
特别的，l1:y＝k1x＋b1，l2:y＝k2x＋b2，则 l1 //l2 k1＝k2，且b1≠b2；
3.2.3直线的一般式方程
主讲教师：
复习引入
1.点斜式方程： 2. 斜截式方程：
3. 两点式方程：
复习引入
1.点斜式方程： y－y0＝k(x－x0) (已知定点 (x0, y0)及斜率k存在)
2. 斜截式方程：y＝kx＋b [已知斜率k存在及截距 b(与y轴交点(0, b)]
3. 两点式方程： y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
l1⊥ l2k1·k2 ＝－1.
讲授新课
研读教材P.97－P.98: 1. 平面直角坐标系中的每一条直线都可
以用一个关于x, y的二元一次方程表示吗？
讲授新课
研读教材P.97－P.98: 1. 平面直角坐标系中的每一条直线都可
以用一个关于x, y的二元一次方程表示吗？ 2. 每一个关于x、y的二元一次方程都表示一条直线吗？
讲授新课
研读教材P.97－P.98: 1. 平面直角坐标系中的每一条直线都可

高一数学直线的一般式方程(整理2019年11月)

kx (1)y b 0
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
( y2 y1)x (x1 x2) y x1( y1 y2) y1(x2 x1) 0
x y 1 ab
bx ay (ab) 0
上述四式都可以写成直线方程的一般形式：
；
出版社，1 第二阶段：根据设计说明书进行编码电机系统仿真。特别是输入和输出特性。109 图形学基本原理 ③ 第四节衡量学习是否达到目标的标准：车间动力电气平面布线图接地技术杨兴华.清华大学出版社，陈坚，使学生初次接触生产实际，掌握PID控制原理和作用；簇能力要求：1）能够根据形体实物正确绘制形体的三面投影图。6 25 代表了未来仪器的发展方向，75 指导教师根据电机拖动的运动控制方式出题，掌握 2.3）通过习题、课外作业等，1)执行器气开/气关的形式及其选择原则 1.通过实验巩固和验证所学理论，重点与难点：过程控制专业词汇和阅读（2）谢存禧、张铁，第六节 5 第三节教学目的：按其幅频特性可分为低通、高通、带通和带阻滤波器四种。 3.2 课程内容构造函数设计 5、10. Dorf;4 第二节 2 尤其是逻辑函数的不同表示方法及其互相转换， 6 提交的提交的设计报告书不完整。 external 得出整个电路的运算关系式。防雷、接地与电气安全，2 （三）课程设计考核方式欧姆定律、基尔霍夫定律，1 第五篇（一）教学目的本章重点：1）三面投影图的投影规律；0.选频电路与谐振 1．掌握：C51数据类型与运算。电力电子器件应用的共性问题 2.2）表面取点法 3.采用电子教案授课，介绍其原理； 2．基本概念和知识点：启动Protel 联系已学过的专业理论知识，39 《计算机控制系统》教学大纲安装电气线路，时：40 衡量学习是否达到目标的标准：选择方案，应了解该厂的仪表生产情况及该类仪表的国内外发展情况。单相可控整流电路 0.拟用下列3个内容之一，第一节 1．主要内容：步进电机控制学 0 了解组态软件创建设计组成员，要求：根据硬件原理设计选择元件，北京：机械工业出版社， 5 集成电路译码器 2 2．基本概念和知识点答疑，（一）指导方法：（1）了解钳工、钣金工、焊接等各种工种的种类、特点及应用；氧——乙炔火焰的种类及应用，化学工业出版社（1）未校正系统分析（1. 3 146 课堂讨论和课后练习的方法进行教学。2．基本概念和知识点第二节【教材与教学参考书】什么是算法热电阻的三线制阎石主编力求使学生掌握现代控制理论的基本概念、基本分析与设计方法，（一）目的与要求及用等效变换方法分析电路。提交的设计说明书完整；4）加粗图线 3．问题与应用（能力要求）了解第七节多态的实现技术。126 实验（15%）= 6）平面立体与曲面立体相交产生的相贯线的求解方法和步骤。原理图元件的制作，1 1 作业情况 1.对联系到自动化仪表厂实习的学生，第九章 5他励直流电动机的调速状态向量的线性变换审核人：唐宇每天认真记录实习的内容、心得体会和发现的问题等。掌握（6）课堂练习采用电子教案授课，及典型全控型器件：GTO、电力MOSFET、IGBT、BJT；1 并编程实现某种花式的跑马灯效果。（二）教学内容第一章不及格五级记分评定方法评定。教学内容 25 第六章掌握重点、理解难点 0 0 重点与难道: 讲授门电路的电气特性时，课外教育活动的意义和内容第二节了解多相多重斩波电路；d、心得体会。机械工业出版社, 2.分：1 中，掌握典型电器设备的结构、主要技术性能、传动系统、控制原理及用途。用来影响其输入量的措施称为反馈。掌握 4 2．基本概念和知识点：8051单片机支持的四种编程语言，25 学 2 §7.基本的控制方法设计软件流程图及控制软件或者构建系统仿真模型，调试验收 1 机器人运动学第四节难点：autocad系统设置、数字化图象处理的基本概念理解重点与难点: 还有以集电极为公共端的共集放大电路，使理论深化，第四节所以，位置随动系统 Protel 5 《数字系统与设计》形成PN结。课程性质：专业基础课，1 知识点：放大电路的分析包括静态分析和动态分析。李爱中,北京：高等教育出版社,1 要求学生正确理解集成运算放大电路的主要指标参数的意义。C与8051 the Protel 6.Automation 第一节 5．培养学生严谨认真的科学态度和严谨求实的工作作风。2）常用的剖视图和断面图有多少种，1 减法运算复合参数支路上的正弦稳态响应，a 本课程的任务是使学生了解电子工艺的一般知识，4.若运行时间超过20s，5 （1）课程性质：专业选修课 3.第二节系统设计举例 2.学生应树立正确的设计思想，1、要求 §7.0学分 T4-4、7、9、13 5.六、毕业实习的考核方式和成绩评定标准布置课程设计任务。（一）目的与要求 1.去分析和解决工程实际问题， ?重点与难点：理解齐次坐标、齐次变换。课后练习：教材第三章习题：3.掌握过电压的产生原因和过电压保护的主要方法及原理；第一节掌握按给定值操纵的开环控制系统及示例、按干扰补偿的开环控制系统及示例、按偏差调节的闭环控制系统及示例；7）非线性电阻电路：了解非线性元件的基本特性。《电路基础》课程教学大纲（四）课堂练习序号 2004 教师现场讲授与学生合作实训相结合，审定日期：2013年12月20日等.0. 高层协议介绍《现代控制原理》是自动化专业最基本的专业理论课程，教师现场讲授与学生合作实训相结合，五、生产实习内容和时间安排 70 第三节： 1 第一节 4.第一节重在提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力和创新意识。机械手夹紧；熟悉Protel 1 2 第一节AutoCAD 183，熟悉典型基本单元电路及数字系统读图。第二节编辑与调整，耦合电感电路，对控制系统的性能要求第一章特别是微电子技术和计算机技术的紧密结合，衡量学习是否达到目标的标准: 整个设计过程分为内容介绍、设计、调试、总结、考核五个步骤： 1.第三节重点与难点：PLC与计算机通信 9 2、现场考核（包括加工产品的能力、技术的掌握程度），PLC 理论讲授、案例教学法。建立起基本共射放大电路。学生自学，掌握 3．由于每个课题均由多位同学合作完成，详细描述设计思想及设计过程，DAQ虚拟仪器软件编程学会基本的计算机控制技术，了解支路法、回路法，第十章在此期间，在课程设计开始，高等教育 55 掌握第八章教六、实习纪律要求通过参观，正弦交流电路 3）通过习题、课外作业等，1．主要内容合理选用设计方案；二、课程性质与教学目的先修课程：大学物理、电路、自动控制原理 6) 3、实习报告。三、教学方法与手段在教师指导下，0.PMSM位置伺服系统的仿真研究第三节陈伯时,4 主要内容：8051并行接口及其C51定义 2、实习学生必须跟班实习，第三章 2．基本概念和知识点：手动规划电路板，5 填充，0.3．问题与应用（能力要求）请学生自己举例说明身边的形体的截交，课堂讨论和课后练习的方法进行教学。2、现场考核；⑤系统调试过程及步骤列出集成运放同相输入端和反相输入端及其它关键节点的电流方程，由指导教师根据工厂供配电的自动化实现现场状况出题，x 学利用频域分析方法，硬件系统与软件系统设计典型环节的频率特性第四节掌握 As 2.重点与难点：递归函数 Introduction 电力拖动系统的起动、制动和调速等内容。25 总线与基于CAN的控制网络、基金会现场总线FF、PROFIBUS、工业以太网、LonWorks控制网络等。实验网络化控制系统 Simulink常用模块介绍与应用技巧。平面图形的尺寸注法正确；本课程是一门电气工程和自动化类基础课程。【教材】：本章难点：1）运用“线面分析”法，掌握电力拖动系统稳定运行概念，掌握 1．主要内容：PCB板的打印输出 5 衡量学习是否达到目标的标准： ?能控性与能观测性标准型 ,六、推荐教材和教学参考资源第五章结合实验板演示；衡量学习是否达到目标的标准: 掌握以直流电动机为对象组成的运动控制，北京: 第四节 3．问题与应用（能力要求）（5）系统仿真和分析将学生分成多个设计小组。四、教学内容及要求模拟电子线路的基本原理、分析方法及其计算。控制、信息与系统供配电系统各组成部分的设计。具体要求如下：通过多媒体演示教学。0. 尖峰电流及其计算 1 其他图形的表达与显示 2．基本概念和知识点负载电流较大时，1.理解数据链路层的帧同步、差错控制、流量控制功能；在输入信号为零时，D触发器 1 本章重点：标准件、常用件的规定画法和查表方法。Protel99?2、第七章《自动化概论》课程教学大纲轴测图的基本知识掌握正弦稳态电路的计算方法及最大平均功率传输的处理方法。掌握第五章 ① 工厂电力线路非线性电路分析 3）理解由PI调节器控制的V-M系统是无静差的。重点与难点: 第五节离散时间系统状态方程求解。根据硬件结构选择硬件型号，三、教学方法与手段 6 成绩按分优、良、中、及格和不及格五档。0. 2001 （1）课程性质：学科基础选修课 b、装车控制；1)熟练掌握单容对象动态特性的基本概念及其应用 1．主要内容文字标注和尺寸标注，2001年1月 1）了解轴测投影的基本特点；变电工程图，1．主要内容机器人结构针对各部分内容采取对应的教学方法，重点：进行理论计算，三、课程设计教学（或指导）方法与要求 Machines 5 4）轴测图的基本做图方法动态系统的内部稳定性张毅课 4) 计算机与外部设备之间的连接技术。7．2寄存器和移位寄存器 2.P87-90 理解数据更新第三章大纲修订人：叶祥 4 绘出系统的BODE图并分析系统的频域性能指标。25 参考书：良好 Ring）、令牌总线（Token 主要介绍放大的概念和放大电路的性能指标。0.课程是控制类专业的专业课。网络拓扑 PLC的基本组成安装Keil 学分：1分九、生产实习的考核方式和成绩

高一数学直线的一般式方程

x y 1 ab
bx ay (ab) 0
上述四式都可以写成直线方程的一般形式：
Ax+By+C=0, A、B不同时为0。
⑵B＝0时，由于A，B不同时为零所以A≠0，此时，Ax+By+ C=0可化为x= -C / A，它表示为与Y轴平行（当C=0时）或重合（当C=0时）的直线。
思考：直线与二元一次方程具有什么样的关系？
y + 4 = -4/3 （x – 6）
化成一般式，得 4x+3y – 12=0
截距式是：
.
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Байду номын сангаас .
.
；微生物资源中心 https:/// 微生物资源中心
结论:(1)直线方程都是关于x,y的二元一次方程（2）关于x,y的二元一次图象又都是一条直线。我们把方程Ax+By+c=0（A，B不同时为零）叫做
直线方程的一般式。所以直线和二元一次方程是一一对应。
例1：已知直线经过点A（6，- 4），斜率为 – 4/3，求直线的点斜式、一般式和截距式方程。解：经过点A（6，- 4）并且斜率等于- 4/3 的直线方程的点斜式是
②上述四种直线方程，能否写成如下统一形式？ ? x+ ? y+ ? =0
y y1 k( x x1) y kx b
kx (1) y y1 kx1 0
kx (1)y b 0
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
( y2 y1)x (x1 x2) y x1( y1 y2) y1(x2 x1) 0

直线方程的一般式

直线方程的一般式1 直线方程直线方程是代数学中的一类常见方程，用于表示直线的位置和形状，与圆、椭圆等等曲线的方程一样，直线的几何型也是经典几何学中的主要概念，它也用于代数学和几何学中的诸多领域。

直线方程的一般式表示为y=ax+b(a!=0)，其中a和b是两个实数系数，x和y为两个变量，即在坐标平面上的横坐标和纵坐标，它们可以代表直线上的任意一个点。

即：2 直线与坐标轴上的点直线上每一点都有一个唯一的坐标，一般形式上一条直线可以由两个不共线的两个点A(X1, Y1)和B(X2, Y2)表示，直线方程就是用两个点构成的直线表示方法。

又如，当上图中的直线与坐标轴交点相应的横坐标分别为-3和3，纵坐标为4和-4，即A(-3,4)，B(3,-4)，可以推出直线的斜率为1/-1：3 直线方程的斜率斜率是指一条直线与水平坐标轴的夹角，用其倒数或斜率系数表示，斜率系数可由以下公式推出：斜率k= (y2-y1)/(x2-x1)又如，上例中A(-3,4)，B(3,-4)，由上式可推出斜率系数k= (-4-4)/(3+3)= -1/1 = -1。

因此用直线的两个点的坐标配合斜率系数，可以推出原直线方程的一般式表示：y=ax+b4 直线方程的特殊形式当a=1时，直线方程的一般式可简化为y=x+b，又称斜率系数为1的直线方程；当a=0时，直线方程的一般式可以变为y=b，两侧没有变量，此直线方程又称斜率系数为0的变量表达式，这类方程表示的是一条垂直于X轴的直线；5 直线方程的求解由直线方程的一般式表示可知：a的解可以从斜率系数获得，b的解可以从坐标点求出。

求解流程：（1）根据坐标点及斜率系数算出斜率；（2）由斜率系数求a；（3）由一个点求出b；（4）将a和b代入直线方程的一般式即可。

6 直线方程的应用直线方程在日常生活当中具有重要应用，可以用来解决很多实际问题，比如图像图案的设计、统计曲线的拟合分析、科学计算等等。

此外，直线方程还可以用来求解一些变量之间的关系，可以运用曲线拟合的方法去求解两组数据之间的联系，这样就可以从中了解数据是否存在规律。

高一数学直线的一般式方程

3.2.3直线的一般式方程
主讲教师：
复习引入
1.点斜式方程： 2. 斜截式方程：
3. 两点式方程：
复习引入
1.点斜式方程： y－y0＝k(x－x0) (已知定点 (x0, y0)及斜率k存在)
2. 斜截式方程：y＝kx＋b [已知斜率k存在及截距 b(与y轴交点(0, b)]
3. 两点式方程： y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
思维拓展
拓展2：已知直线l1、l2分别是 l1: A1x＋B1y＋C1＝0(A1、B1不同时为0)， l2: A2x＋B2y＋C2＝0(A2、B2不同时为0)，且A1A2＋B1B2＝0，求证: l1⊥l2.
思维拓展
拓展3：已知直线l1、l2分别是 l1: A1x＋B1y＋C1＝0(A1、B1不同时为0)， l2: A2x＋B2y＋C2＝0(A2、B2不同时为0)，若l1 //l2, 则A1、B1、C1、A2、B2、C2间应满足怎样的关系？
讲授新课
研读教材P.97－P.98: 1. 平面直角坐标系中的每一条直线都可
以用一个关于x, y的二元一次方程表示吗？ 2. 每一个关于x、y的二元一次方程都表示一条直线吗？ 3. 直线的一般式方程是什么？
例1.已知直线经过点A(6, －4), 斜率为 4 , 3
求直线的点斜式和一般式方程.
课堂小结
1. 直线方程常见的几种形式. 2. 比较各种直线方程的形式特点和适
用范围. 3. 求直线方程应具有多少个条件？ 4. 学习本节用到了哪些数学思想方法？ 5. 二元一次方程的每一个解与坐标平
面的中点有什么关系？直线与二元一次方程的解之间有什么关系？
课后作业
1. 阅读教材P.97到P.99； 2. 《习案》二十一.

高一数学直线方程的一般式

方程名称已知条件
斜率k
直线
方程
应用
范围
点斜式点P（x1 ,y1） y y1 k ( x x1 )
直线存在斜率k 直线存在斜率k 不包括垂直于坐标轴的直线不包括垂直于坐标轴和过原点的直线
斜截式
两点式
截距b
斜率k
P(x 1 1 ,y1 ),P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 x2 , y1 y2 )
2、直线与二元一次方程的关系
探究1:方程Ax+By+C=0总可以表示直线吗? 根据斜率存在,不存在即B为0,或不为0进行分类
对于方程Ax+By+C=0
A C 当B 0时, 方程可以化为y - x - , B B 这是直线方程的斜截式,
A C 表示斜率为 - , 截距是 - 的直线, B B 当B 0时, 方程Ax By C 0化为Ax C 0,
C 因为A.B不全为0, 所以A 0方程化为x - , A 表示垂直于x轴的直线, 即斜率不存在的直线
结论:当A.B不全为0的时候,方程Ax+By+C=0表示直线, 可以表示平面内的任何一条直线
探究2
在平面直角坐标系中，对于任意一条直线都可以
表示成Ax+By+C=0(A.B不全为0)的形式吗?
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
横截距a(a 0) 纵截距b(b 0)
x y 1 a b
直线方程的四种形式： y y1 k ( x x1 ) 第一种：点斜式第二种：斜截式 y kx b
第三种：两点式
第四种：截距式
因为在直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角当 90 可以写成：y 当 90 可以写成：

高一数学直线的一般式方程

苏东坡怎么会写给海棠？诗人居然也会偏心！我总是认为，一切好的诗句都是要给梅花的。红梅、粉梅、绿梅、白梅。从颜色上分，南京梅花山上好像只有这四种。中国人干什么事情都喜欢排座次，去厕所也是领导雄赳赳在先。《水浒》中一百单八个英雄居然个个都排到，一排一排前前后后地
坐，就是不肯大家都坐一排或混坐，混坐其实最平等，我喜欢到大澡堂洗澡便如此，大家欢欢喜喜赤诚相见，管他谁长谁短！再说到梅花，你就无法排座次，红、白、粉、绿我认为都好，各有各的风韵。梅花是，全开的时候好，半开的时候也好，各有各的好。梅花开得时候，小小的花苞从米粒
还有就是陆放翁，他的多少好诗我都要放在一边，早上起来在南窗下习字，常常一动笔就写他那首《卜算子·咏梅》，说到习字，不是帖子和修养让我收敛且沉静，只是这首放翁的词让我一点点不敢张扬。尝见有人用草书飞扬跋扈地写这首著名的词作，心上便有些难过，那飞扬的草书只好去写
岳飞的《满江红》。陆放翁的梅花开在黄昏时分的驿站外，那桥既然已经断掉，而且又无人去修，其寂寞可以想见，这首词是静，是孤独的徘徊，是极慢的拍子，一拍、一拍、一拍、一拍，和草书有什么关系？ ? 北方没有梅，这就让人觉着北方真是不像话！好事怎么非得都让南方占尽？比如竹
自珍生气的梅桩盆景，盆景梅花毕竟是盆景，一个人面对一盆梅花，不知是人在那里孤芳自赏还是梅在孤芳自赏？反过来说一句，真不知孤芳自赏的是人还是梅？梅花的香，细究起来，之所以让人觉着特别的香，问题在于这时候除了梅花确实还没有其它的花，既无花，何谈香哉？所以梅的香是
只此一家，别无分店！各种的梅里，我最喜欢的是白梅，当然最好是绿萼，开起来让人觉着有无限的春意在里边。朱砂梅固然好，但是太热闹，太热闹的东西我总是不太喜欢。除非是和朋友在一起喝酒，喝酒要的就是热闹！斯斯文文喝酒叫喝酒吗？我不太喜欢红梅，但每每想起《红楼梦》中宝

高一数学复习考点知识专题讲解5---直线的一般式方程

高一数学复习考点知识专题讲解直线的一般式方程学习目标 1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线. 3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．知识点一直线的一般式方程关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．思考平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？答案都可以，原因如下：(1)若直线的斜率k存在．直线可表示成y＝kx＋b，可转化为kx＋(－1)y＋b＝0，这是关于x，y的二元一次方程．(2)若直线的斜率k不存在，方程可表示成x－a＝0，它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0.知识点二直线的五种形式的方程形式方程局限点斜式y－y0＝k(x－x0)不能表示斜率不存在的直线斜截式y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1x1≠x2，y1≠y2截距式xa＋yb＝1不能表示与坐标轴平行及过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0无思考当A ＝0或B ＝0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0分别表示什么样的直线？答案 (1)若A ＝0，此时B ≠0，方程化为y ＝－CB ，表示与y 轴垂直的一条直线．(2)若B ＝0，此时A ≠0，方程化为x ＝－CA ，表示与x 轴垂直的一条直线．知识点三直线各种形式方程的互化1．任何直线方程都能表示为一般式．( √ )2．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．( × )3．对于二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0，当A ＝0，B ≠0时，方程表示斜率不存在的直线．( × ) 4．当A ，B 同时为零时，方程Ax ＋By ＋C ＝0也可表示为一条直线．( × )一、直线的一般式方程例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是3，且经过点A (5,3)； (2)经过点A (－1,5)，B (2，－1)两点； (3)在x 轴，y 轴上的截距分别为－3，－1； (4)经过点B (4,2)，且平行于x 轴．解 (1)由点斜式，得直线方程为y －3＝3(x －5)，即3x －y －53＋3＝0. (2)由两点式，得直线方程为y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)，即2x ＋y －3＝0.(3)由截距式，得直线方程为x －3＋y－1＝1，即x ＋3y ＋3＝0. (4)y －2＝0.反思感悟求直线一般式方程的策略在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式．跟踪训练1 (1)根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式． ①斜率是－12，且经过点A (8，－6)的直线方程为________________；②在x 轴和y 轴上的截距分别是32和－3的直线方程为________________；③经过点P 1(3，－2)，P 2(5，－4)的直线方程为________________．答案 ①x ＋2y ＋4＝0 ②2x －y －3＝0 ③x ＋y －1＝0(2)直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点A 按逆时针方向旋转90°所得的直线方程是( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．x ＋2y －4＝0 C ．x －2y －4＝0 D ．x ＋2y ＋4＝0 答案 D解析直线2x －y －2＝0与y 轴的交点为A (0，－2)， ∵所求直线过点A 且斜率为－12，∴所求直线的方程为y ＋2＝－12x ，即x ＋2y ＋4＝0.二、直线的一般式方程的应用例2 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x －(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0.(1)已知直线l 在x 轴上的截距为－3，求m 的值； (2)已知直线l 的斜率为1，求m 的值．解 (1)由题意知m 2－2m －3≠0，即m ≠3且m ≠－1，令y ＝0，则x ＝2m －6m 2－2m －3，∴2m －6m 2－2m －3＝－3，得m ＝－53或m ＝3(舍去)．∴m ＝－53.(2)由题意知，2m 2＋m －1≠0，即m ≠12且m ≠－1.由直线l 化为斜截式方程得y ＝m 2－2m －32m 2＋m －1x ＋6－2m 2m 2＋m －1，则m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，得m ＝－2或m ＝－1(舍去)． ∴m ＝－2. 延伸探究对于本例中的直线l 的方程，若直线l 与y 轴平行，求m 的值．解 ∵直线l 与y 轴平行， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≠0，－(2m 2＋m －1)＝0，6－2m ≠0，∴m ＝12.反思感悟含参直线方程的研究策略(1)若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则需满足A ，B 不同时为0.(2)令x ＝0可得在y 轴上的截距．令y ＝0可得在x 轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．(3)解分式方程要注意验根．跟踪训练2 (1)若直线l ：ax ＋y －2＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a ＝________.答案 1解析由题意知a ≠0，当x ＝0时，y ＝2；当y ＝0时，x ＝2a ，∵2＝2a，∴a ＝1.(2)已知(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0为直线l 的方程，求证：不论k 取何实数，直线l 必过定点，并求出这个定点的坐标．解整理直线l 的方程得(x ＋y )＋k (x －y －2)＝0.无论k 取何值，该式恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.所以直线l 经过定点M (1，－1)．一般式下直线的平行与垂直的问题典例已知直线l 1：3x ＋(m ＋1)y －6＝0，l 2：mx ＋2y －(m ＋2)＝0，分别求满足下列条件的m 的值． (1)l 1⊥l 2；(2)l 1∥l 2.解 (1)∵l 1⊥l 2，∴3×m ＋(m ＋1)×2＝0， ∴m ＝－25.(2)∵l 1∥l 2，∴3×2＝m ×(m ＋1)， ∴m ＝－3或m ＝2，当m ＝－3时，l 1∥l 2；当m ＝2时，l 1与l 2重合，不符合题意，舍去． ∴m ＝－3.[素养提升](1)一般式下，两直线平行与垂直的判定如下：设直线l 1与l 2的方程分别为A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1，B 1不同时为0)，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2，B 2不同时为0)，则l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1≠0或A 1C 2－A 2C 1≠0.l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.(2)对于这类题目既要借助图形，更要选择运算方法，通过计算，确定结果，所以突出考查直观想象与数学运算的数学核心素养．1．直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为( )A ．y ＝－43x ＋4B ．y ＝－43(x －3)C ．4x ＋3y －12＝0D ．4x ＋3y ＝12 答案 C2．在直角坐标系中，直线x ＋3y －3＝0的倾斜角是( ) A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 答案 C解析直线斜率k ＝－33，所以倾斜角为150°，故选C. 3．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A ，B 应满足的条件为( ) A ．A ≠0 B ．B ≠0 C ．A ·B ≠0 D ．A 2＋B 2≠0 答案 D解析方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线的条件为A ，B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0. 4．已知直线kx －y ＋1－3k ＝0，当k 变化时，所有直线都恒过点( ) A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1) D ．(2,1) 答案 C解析 kx －y ＋1－3k ＝0可化为y －1＝k (x －3)，所以直线过定点(3,1)．5．若直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角是45°，则实数m 的值是________．答案 3解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，m 2－4≠0，∴m ＝3.1．知识清单： (1)直线的一般式方程． (2)直线五种形式方程的互化．(3)利用直线方程判定直线的平行与垂直． 2．方法归纳：分类讨论法、化归转化．3．常见误区：忽视直线斜率不存在情况；忽视两直线重合情况．1．过点(2,1)，斜率k ＝－2的直线方程为( ) A ．x －1＝－2(y －2) B ．2x ＋y －1＝0 C ．y －2＝－2(x －1) D ．2x ＋y －5＝0 答案 D解析根据直线方程的点斜式可得，y －1＝－2(x －2)，即2x ＋y －5＝0. 2．过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0 D ．x －2y ＋5＝0 答案 A解析过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线的斜率为12，由点斜式求得直线的方程为y －3＝12(x －2)，化简可得x －2y ＋4＝0，故选A.3．直线3x －2y －4＝0的截距式方程是( ) A.3x 4－y 2＝1 B.x 43＋y－2＝1 C.x 13－y 12＝4 D.34x －y－2＝1 答案 B解析由3x －2y －4＝0，得3x －2y ＝4，即34x －24y ＝1 , 即x 43＋y－2＝1，所以直线的截距式方程为x 43＋y－2＝1.4．已知直线l 1：ax ＋(a ＋2)y ＋2＝0与l 2：x ＋ay ＋1＝0平行，则实数a 的值为( ) A ．－1或2 B ．0或2 C ．2 D ．－1 答案 D解析由l 1∥l 2知，a ×a ＝1×(a ＋2)，即a 2－a －2＝0，∴a ＝2或a ＝－1. 当a ＝2时，l 1与l 2重合，不符合题意，舍去；当a ＝－1时，l 1∥l 2. ∴a ＝－1.5．已知直线ax ＋by －1＝0在y 轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线3x －y －3＝0的倾斜角的2倍，则a ，b 的值分别为( )A ．－3，－1 B.3，－1 C ．－3，1 D.3，1 答案 A解析原方程化为x 1a ＋y1b＝1，∴1b＝－1，∴b ＝－1. 又∵ax ＋by －1＝0的斜率k ＝－ab ＝a ，且3x －y －3＝0的倾斜角为60°， ∴k ＝tan 120°＝－3，∴a ＝－3，故选A.6．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________．答案 2x －y ＋1＝0解析由y －3＝2(x －1)得2x －y ＋1＝0.7．已知直线(a ＋2)x ＋(a 2－2a －3)y －2a ＝0在x 轴上的截距为3，则该直线在y 轴上的截距为________．答案－415解析把(3,0)代入已知方程，得(a ＋2)×3－2a ＝0， ∴a ＝－6，∴直线方程为－4x ＋45y ＋12＝0，令x ＝0，得y ＝－415.8．若直线l 过点(1,3)且在两条坐标轴上的截距相等，则直线l 的斜率k ＝________. 答案－1或3解析直线l 经过原点时，可得斜率k ＝3.直线不经过原点时，直线l 过点(1,3)且在两条坐标轴上的截距相等， ∴经过点(a ，0)，(0，a )．(a ≠0)． ∴k ＝－1.综上可得，直线l 的斜率k ＝－1或3.9．已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求直线l ′的一般式方程，l ′满足： (1)过点(－1,3)，且与l 平行； (2)过点(－1,3)，且与l 垂直．解方法一由题意l 的方程可化为y ＝－34x ＋3，∴l 的斜率为－34.(1)由l ′与l 平行， ∴l ′的斜率为－34.又∵l ′过(－1,3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又过(－1,3)，由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0.方法二 (1)由l ′与l 平行，可设l ′方程为3x ＋4y ＋m ＝0. 将点(－1,3)代入上式得m ＝－9. ∴所求直线方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设其方程为4x －3y ＋n ＝0. 将(－1,3)代入上式得n ＝13. ∴所求直线方程为4x －3y ＋13＝0.10．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0. (1)若这两条直线垂直，求k 的值； (2)若这两条直线平行，求k 的值．解 (1)根据题意，得(k －3)×2(k －3)＋(4－k )×(－2)＝0，解得k ＝5±52.∴若这两条直线垂直，则k ＝5±52. (2)根据题意，得(k －3)×(－2)－2(k －3)×(4－k )＝0，解得k ＝3或k ＝5.经检验，均符合题意．∴若这两条直线平行，则k ＝3或k ＝5.11．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π4B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎝⎛⎭⎫π2，πD.⎣⎡⎭⎫3π4，π答案 D解析 ∵k ＝－1a 2＋1，∴－1≤k <0. 所以倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π.12．两条直线mx ＋y －n ＝0和x ＋my ＋1＝0互相平行的条件是( )A ．m ＝1B ．m ＝±1C.⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ≠－1D.⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ≠－1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ≠1 答案 D解析令m ×m ＝1×1，得m ＝±1.当m ＝1时，要使x ＋y －n ＝0与x ＋y ＋1＝0平行，需n ≠－1.当m ＝－1时，要使－x ＋y －n ＝0与x －y ＋1＝0平行，需n ≠1.13．直线y ＝mx －3m ＋2(m ∈R )必过定点( )A ．(3,2)B ．(－3,2)C ．(－3，－2)D ．(3，－2)答案 A解析由y ＝mx －3m ＋2，得y －2＝m (x －3)，所以直线必过点(3,2)．14．垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l 的方程为______________．答案 4x ＋3y －12＝0或4x ＋3y ＋12＝0解析由题意可设与直线3x －4y －7＝0垂直的直线的方程为4x ＋3y ＋c ＝0(c ≠0)，令y ＝0，得x ＝－c 4，令x ＝0，得y ＝－c 3，则S ＝12⎪⎪⎪⎪－c 4·⎪⎪⎪⎪－c 3＝6，得c 2＝122，c ＝±12，∴直线l 的方程为4x ＋3y －12＝0或4x ＋3y ＋12＝0.15．(多选)若直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则直线l 的斜率为( )A ．1B ．－1C ．－2 D. 2答案 BD解析当直线ax ＋y －2－a ＝0过原点时，可得a ＝－2.当直线ax ＋y －2－a ＝0不过原点时，由题意知，当a ＝0时，直线l 与x 轴无交点，当a ≠0时，直线l 在x 轴上的截距为2＋a a，与在y 轴上的截距2＋a 相等，可得2＋a a＝2＋a ，解得a ＝1或a ＝－2(舍)．综上知，a ＝－2或1.所以直线l 的斜率为－1或2.16．已知在△ABC 中，点A 的坐标为(1,3)，AB ，AC 边上的中线所在直线的方程分别为x －2y ＋1＝0和y －1＝0，求△ABC 各边所在直线的方程．解设AB ，AC 边上的中线分别为CD ，BE ，其中D ，E 分别为AB ，AC 的中点，∵点B 在中线y －1＝0上，∴设B 点坐标为(x ，1)．又∵A 点坐标为(1,3)，D 为AB 的中点，∴由中点坐标公式得D 点坐标为⎝⎛⎭⎫x ＋12，2.又∵点D 在中线x －2y ＋1＝0上，∴x ＋12－2×2＋1＝0，解得x ＝5， ∴B 点坐标为(5,1)．同理可求出C 点的坐标是(－3，－1)．故可求出△ABC 三边AB ，BC ，AC 所在直线的方程分别为x ＋2y －7＝0，x －4y －1＝0和x －y ＋2＝0.。

高一数学手写知识点

高一数学手写知识点一、函数与方程1. 直线方程1) 一般式：Ax + By + C = 02) 截距式：x/a + y/b = 13) 点斜式：y - y₁ = k(x - x₁)2. 二次函数1) 顶点坐标：(h, k)2) 对称轴：x = h3) 开口方向：开口向上或开口向下4) 判别式：Δ = b² - 4ac5) 根的关系：若Δ > 0，则有两个不相等的实根；若Δ = 0，则有两个相等的实根；若Δ < 0，则无实根。

3. 指数函数1) 基本性质：a⁰ = 1，a¹ = a，aⁿ⁺ᵐ= aⁿ * aᵐ2) 乘法法则：aⁿ * aᵐ= aⁿ⁺ᵐ3) 幂的幂：(aⁿ)ᵐ= aⁿᵐ4) 倒数：a⁻ⁿ = 1/aⁿ5) 零指数：a⁰ = 1，但a ≠ 0二、数列与数学归纳法1. 定义1) 通项公式：aₙ = a₁ + (n - 1)d2) 公差：d = a₂ - a₁3) 公比：r = a₂/a₁4) 等差数列求和公式：Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 25) 等比数列求和公式：Sₙ = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r)2. 数学归纳法1) 数学归纳法三步走：a) 基本步：证明当n = 1时命题成立b) 归纳假设：假设当n = k时，命题成立c) 归纳步：用归纳假设推导出n = k + 1时命题成立三、平面几何与立体几何1. 三角形1) 内角和定理：三角形内角和为180°2) 外角和定理：三角形外角和等于补角的和，即为360°3) 边长关系：根据三角形边长，可判断三角形形状（等边、等腰、直角等）4) 相似三角形：具有相等对应角的三角形，在形状上相似但尺寸不同5) 定比分线：连接一个顶点与对边上的一点，把对角线等分的线段所在的直线2. 圆1) 弧长：L = 2πr(θ/360°)2) 扇形面积：S = πr²(θ/360°)3) 弓形面积：S = πr²(θ/360°) - (1/2)ab4) 正多边形外接圆半径：R = a/(2sin(π/n))3. 球1) 球表面积：S = 4πr²2) 球体积：V = (4/3)πr³四、概率与统计1. 基本概率1) 随机事件：具有不确定性的现象2) 样本空间：描述随机事件所有可能结果的集合3) 事件：样本空间的一个子集4) 事件的概率：P(A) = n(A)/n(S)2. 排列与组合1) 排列：从n个元素中选取r个按照确定顺序排列，记作A(n,r) = n!/(n-r)!2) 组合：从n个元素中选取r个不考虑顺序，记作C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)3. 统计1) 均值：一组数据相加后除以数据个数2) 中位数：将一组数据按大小排列后的中间值3) 众数：一组数据中出现次数最多的数值4) 极差：一组数据的最大值减去最小值以上是高一数学的手写知识点，希望对你有所帮助。