高一数学北师大版选修23创新演练阶段第1部分第二章§6正态分布应用创新演练

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北师大版高中数学选修创新演练阶段质量检测第二章§应用创新演练

1．椭圆x 225＋y 2169＝1的焦点坐标是( ) A ．(±5,0) B ．(0，±5)C ．(0，±12)D ．(±12,0)解析：c 2＝a 2－b 2＝169－25＝122，∴c ＝12.又焦点在y 轴上，故焦点坐标为(0，±12)．答案：C2．设定点F 1(0，－2)、F 2(0,2)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝m ＋4m (m >0)，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段解析：m ＋4m ≥2m ·4m＝4. 当m ＋4m ＝4即m ＝2时，点P 轨迹为线段F 1F 2；当m ＋4m>4时，点P 轨迹为以F 1、F 2为焦点的椭圆．答案：D 3．已知椭圆x 2m ＋y 216＝1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点距离为7，则m 等于( )A ．10B ．5C ．15D ．25解析：由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，∴a ＝5，∴a 2＝25，即m ＝25.答案：D4．两个焦点的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，并且经过点P ⎝⎛⎭⎫52，－32的椭圆的标准方程是 ( )A.x 210＋y 26＝1 B.y 210＋x 26＝1 C.x 294＋y 2254＝1 D.y 294＋x 2254＝1 解析：由椭圆定义知：2a ＝⎝⎛⎭⎫52＋22＋⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52－22＋⎝⎛⎭⎫322＝3102＋102＝210.∴a ＝10.∴b ＝a 2－c 2＝ 6.答案：A5．椭圆5x 2－ky 2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k ＝________.解析：椭圆方程可化为：x 2＋y 2－5k ＝1，则a 2＝－5k，b 2＝1，又c ＝2， ∴－5k－1＝4，∴k ＝－1. 答案：－16．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．解析：由题意，a ＝3，则|PF 2|＝2a －|PF 1|，∴|PF 2|＝2.在△F 1PF 2中，|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，|F 1F 2|＝27，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝42＋22－(27)22×4×2＝－12， ∴∠F 1PF 2＝120°.答案：2 120°7．点P 为椭圆x 24＋y 2＝1上一点，且∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解：由题意，a ＝2，b ＝1，c ＝3，|PF 1|＋|PF 2|＝4.①在△F 1PF 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°，即12＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|.②①2得：|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝16.③由②③得： |PF 1||PF 2|＝43. ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝12×43×32＝33. 8．求以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过点M (2，6)的椭圆的标准方程．解：法一：方程9x 2＋5y 2＝45可化为x 25＋y 29＝1. 则焦点是F 1(0,2)，F 2(0，－2)．设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)， ∵M 在椭圆上，∴2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝(2－0)2＋(6－2)2＋(2－0)2＋(6＋2)2 ＝(23－2)＋(23＋2)＝43，∴a ＝23，即a 2＝12.∴b 2＝a 2－c 2＝12－4＝8.∴椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1. 法二：由题知，焦点F 1(0,2)，F 2(0，－2)，则设所求椭圆方程为y 2λ＋4＋x 2λ＝1(λ＞0)，将x ＝2，y ＝6代入，得6λ＋4＋4λ＝1，解得λ＝8，λ＝－2(舍去)．所求椭圆方程为y 212＋x 28＝1.。

高一数学北师大版选修21第二章§33.3应用创新演练

1．下列各组向量中不平行的是( )A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－ 4,4)B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0)C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16，－24,40)解析：对D 中向量g ，h ，16－2＝－243≠405，故g ，h 不平行．答案：D2．已知a ＝(2，－ 1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x, 2)，若(a ＋b )⊥c ，则x 等于( ) A ．4B ．－4C. 12 D ．－6解析：∵a ＋b ＝(－2,1,3＋x )且(a ＋b )⊥c ，∴－2－x ＋6＋2x ＝0，∴x ＝－4.答案：B3．若a ＝(1，λ，－1)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 的夹角的余弦为19，则|a |等于( ) A.94B.102C.32D.6解析：因为a·b ＝1×2＋λ×(－1)＋(－1)×2＝－λ，又因为a·b ＝|a||b |·cos 〈a ，b 〉＝2＋λ2·9·19＝132＋λ2，所以13 2＋λ2＝－λ.解得λ2＝14，所以|a |＝1＋14＋1＝32. 答案：C4.如图，在空间直角坐标系中有四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝2，E 为PD 的中点，则|BE |等于( )A ． 2B. 5C. 6 D ．22 解析：由题意可得B (2,0,0)，E (0,1,1)，则BE ＝(－2,1,1)，|BE |＝ 6.答案：C5．已知向量a ＝(－1,0,1)，b ＝(1,2,3)，k ∈R ，若ka －b 与b 垂直，则k ＝________ 解析：因为(ka －b )⊥b ，所以(ka －b )·b ＝0，所以ka·b －|b |2＝0，所以k (－1×1＋0×2＋1×3)－(12＋22＋32)2＝0，解得k ＝7.答案：76．若空间三点A (1,5，－2)，B (2, 4,1)，C (p,3，q ＋2)共线，则p ＝________，q ＝________. 解析：由A ，B ，C 三点共线，则有AB 与AC 共线，即＝λAC .又AB ＝(1，－1,3)，AC ＝(p －1，－2，q ＋4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝λ(p －1)，－1＝－2λ，3＝λ(q ＋4).所以⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝12，p ＝3，q ＝2.答案：3 2 7．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，建立适当的空间直角坐标系，求cos 〈1AC ，1AC 〉．解：建立如图所示的空间直角坐标系．则A (0,0,0)，C (1,1,0)，A 1 (0,0,1)，C 1(1,1,1)，可知1AC ＝(1,1,1)，1A C ＝(1,1，－1)．所以cos 〈1AC ，1AC 〉＝1AC ·1A C| 1AC ||1A C |＝13×3＝8．已知空间三点A (0,2,3)、B (－2,1,6)、C (1，－1,5)．(1)求以AB 、为邻边的平行四边形面积；(2)若|a |＝3，且a 分别与AB 、AC 垂直，求向量a 的坐标．解：(1)由题中条件可知AB ＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，|AB |＝(－2)2＋(－1)2＋32＝14，|AC |＝12＋(－3)2＋22＝14，∴cos 〈AB ，AC 〉＝AB ·AC | AB ||AC | ＝－2＋3＋614×14＝12. ∴sin 〈AB ，AC 〉＝32. ∴以AB 、AC 为邻边的平行四边形面积 S ＝|AB ||AC |sin 〈AB ，AC 〉＝14×32＝7 3. (2)设a ＝(x ，y ， z )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋z 2＝3，－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，z ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1.∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．。

北师大版高中数学选修第二章§应用创新演练(3)

高中数学第1部分第二章 §6 正态分布应用创新演练北师大版选修23

【三维设计】高中数学第1部分第二章§6 正态分布应用创新演练北师大版选修2-31．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体均值为( )A．1 B．－1C．0 D．不确定解析：均值即为其对称轴，∴μ＝0.答案：C2．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X≤4)＝0.84，则P(X<0)等于( ) A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84解析：P(X≤4)＝0.84，故P(X>4)＝0.16，P(X<0)＝P(X>4)＝0.16.答案：A3．在正常情况下，工厂生产的零件尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．在一次正常的试验中，取10 000个零件时，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件个数可能为( ) A．70个B．100个C．30个D．60个解析：正态总体N(μ，σ2)落在(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率为0.997，因此不属于(μ－3σ，μ＋3σ)的概率为0.003，所以在一次正常的试验中，取10 000个零件时．不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件个数可能为30个左右．答案：C4．如果随机变量X～N(μ，σ2)，且EX＝3，DX＝1，则P(0<X≤1)等于( )A．0.021 5 B．0.723C．0.215 D．0.64解析：由EX＝μ＝3，DX＝σ2＝1，∴X～N(3,1)．P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝P(0<X<6)＝0.997，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝P(1<X<5)＝0.954，P(0<X<6)－P(1<X<5)＝2P(0<X≤1)＝0.043.∴P(0<X≤1)＝0.021 5.答案：A5．从正态分布的密度函数f(x)＝132πexp⎩⎨⎧⎭⎬⎫－x－218，x∈R的图像可以看到曲线在________上方，关于________对称；当x＝________时，f(x)达到最大值，最大值是________答案：x 轴直线x ＝8 8 132π6．某人从某城市的A 地乘公交车到火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分钟)X ～N (50,102)，则他在时间段(30,70]内赶到火车站的概率为________．解析：∵X ～N (50,102)，∴μ＝50，σ＝10.∴P (30<X ≤70)＝P (50－20<X ≤50＋20)＝0.954.答案：0.9547．设X ～N (0,1)．(1)求P (－1<X ≤1)；(2)求P (0<X ≤2)．解：(1)X ～N (0,1)时，μ－σ＝－1，μ＋σ＝1，所以P (－1<X ≤1)＝0.683.(2)μ－2σ＝－2，μ＋2σ＝2，正态曲线f (x )关于直线x ＝0对称，所以 P (0<X ≤2)＝12P (－2<X ≤2)＝12×0.954＝0.477.8．某厂生产的T 型零件的外直径X ～N (10,0.22)，一天从该厂上午、下午生产的T 型零件中随机取出一个，测得其外直径分别为9.52和9.98.试分析该厂这一天的生产状况是否正常．解：∵X ～N (10,0.22)，∴μ＝10，σ＝0.2.∴μ－3σ＝10－3×0.2＝9.4，μ＋3σ＝10＋3×0.2＝10.6.∵9.52∈(9.4,10.6)，9.98∈(9.4,10.6)，∴该厂全天的生产状况是正常的．。

北师大版高中数学选修第二章§应用创新演练

1．函数y ＝f (x )＝1－3x 在x ＝2处的导数为( )A ．－3B ．－2C ．－5D ．－1解析：Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－3Δx ，Δy Δx ＝－3，Δx 趋于0时，Δy Δx 趋于－3. 答案：A2．曲线y ＝12x 2－2在点⎝⎛⎭⎫1，－32处的切线的倾斜角为( ) A ．1B.π4C.5π4 D ．－π4解析：Δy Δx ＝12(1＋Δx )2－2－12×12＋2Δx ＝12Δx ＋1，当Δx →0时，f ′(1)＝1，∴k ＝f ′(1)＝1.故倾斜角为π4. 答案：B3．已知曲线f (x )＝－2x 和点M (1，－2)，则曲线在点M 处的切线方程为( )A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝－2x －4C ．y ＝2x －4D ．y ＝2x ＋4解析：Δy Δx ＝－21＋Δx ＋21Δx ＝21＋Δx， ∴当Δx →0时，f ′(1)＝2，即k ＝2.∴直线方程为y ＋2＝2(x －1)．即y ＝2x －4.答案：C4．已知函数y ＝f (x )的图像如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB )B ．f ′ (x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：由图像易知，点A ，B 处的切线斜率k A ，k B 满足k A <k B <0.由导数的几何意义，得f ′(x A )<f ′(x B )．答案：B5．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处切线斜率为16，则点P 坐标为________．解析：设P (x 0,2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 2(Δx )2＋4x 0Δx ＋4Δx Δx＝4x 0＋4，又∵f ′(x 0)＝16，∴4x 0＋4＝16，∴x 0＝3，∴P (3,30)．答案：(3,30)6．函数y ＝1x 在x ＝12处的切线与两坐标轴所围成图形的面积是________．解析：Δy Δx ＝112＋Δx －112Δx ＝－112⎝⎛⎭⎫12＋Δx . 当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 无限趋近于－4. ∴f ′⎝⎛⎭⎫12＝－4，切线方程是y －2＝－4⎝⎛⎭⎫x －12，解得与坐标轴的交点是(0,4)和(1,0)，故所围成图形的面积为2.答案：27．已知点P (2，－1)在曲线f (x )＝1t －x 上．求： (1)曲线在点P 处的切线的斜率；(2)曲线在点P 处的切线方程．解：(1)将P (2，－1)的坐标代入f (x )＝1t －x，得t ＝1， ∴f (x )＝11－x . ∴f ′(2)＝lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx＝lim Δx →0 11－(2＋Δx )－11－2Δx＝limΔx→011＋Δx＝1，曲线在点P处的切线斜率为1；(2)由(1)知曲线在点P处的切线方程为y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0.8．求曲线y＝f(x)＝x2＋3的切线，使之与直线y＝6x－5平行．解：设切点为(x0，y0)．∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)2－x20＝2Δx·x0＋(Δx)2，∴ΔyΔx＝2Δx·x0＋(Δx)2Δx＝2x0＋Δx.∴limΔx→0ΔyΔx＝2x0，即f′(x0)＝2x0，令2x0＝6，得x0＝3，即在点(3,12)处的切线平行于y＝6x－5，此时切线方程为y－12＝6(x－3)，即6x－y－6＝0.。

高中数学第1部分第一章 §3 第二课时组合的应用应用创新演练北师大版选修23

【三维设计】高中数学第1部分第一章§3 第二课时组合的应用应用创新演练北师大版选修2-31．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有( )A．36种B．48种C．96种D．192种解析：完成这件事可用分步乘法计数原理，有C24C34C34＝96种．答案：C2．9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品，抽出产品中至少有2件一等品的抽法种数为( )A．81 B．60C．6 D．11解析：分三类：恰有2件一等品，有C24C25＝60种取法；恰有3件一等品，有C34C15＝20种取法；恰有4件一等品，有C44＝1种取法．∴抽法种数为60＋20＋1＝81答案：A3．以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体有( )A．6个B．12个C．18个D．30个解析：从6个顶点中任取4个有C46＝15种取法，其中四点共面的有3种．所以满足题意的四面体有15－3＝12个．答案：B4．从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A．85 B．56C．49 D．28解析：由条件可分为两类：一类是甲、乙两人只有一人入选，有C12·C27＝42种不同选法，另一类是甲、乙都入选，有C22·C17＝7种不同选法，所以共有42＋7＝49种不同选法．答案：C5．从1,2,3，…，9九个自然数中任取三个数组成有序数组a，b，c，且a<b<c，则不同的数组有________个．解析：C39＝84.答案：846．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门．学校规定，每位同学选修4门，共有________种不同选修方案．(用数字作答) 解析：分两类完成：第一类，A，B，C三门课程都不选，有C46种不同的选修方案；第二类，A，B，C三门课程恰好选修一门，有C13·C36种不同选修方案．故共有C46＋C13·C36＝75种不同的选修方案．答案：75[7．12件产品中，有10件正品，2件次品，从这12件产品中任意抽出3件．(1)共有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？解：(1)有C312＝220种抽法．(2)分两步：先从2件次品中抽出1件有C12种方法；再从10件正品中抽出2件有C210种方法所以共有C12C210＝90种抽法．(3)法一(直接法)：分两类：即包括恰有1件次品和恰有2件次品两种情况，与(2)小题类似共有C12C210＋C22C110＝100种抽法．法二(间接法)：从12件产品中任意抽出3件有C312种方法，其中抽出的3件全是正品的抽法有C310种方法，所以共有C312－C310＝100种抽法．8．(1)四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，从其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法？解：(1)(直接法)如图，在含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有3C35种取法；含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法．根据分类乘法计数原理，与顶点A共面三点的取法有3C35＋3＝33种．(2)(间接法)如图，从10个点中取4个点的取法有C410种，除去4点共面的取法种数可以得到结果．从四面体同一个面上的6个点取出的4点必定共面，有4C46＝60种，四面体的每一棱上3点与相对棱的中点共面，共有6种共面情况；从6条棱的中点中取4个点时有3种共面情形(对棱中点连线两两相交且互相平分)．故4点不共面的取法为C410－(60＋6＋3)＝141种．。

高一数学北师大版选修23创新演练阶段第1部分第一章§5第二课时应用创新演练

1．若(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n 中，a 3＝a 12，则自然数n 的值为( ) A ．13 B ．14 C ．15D ．16解析：在(1＋x )n 的展开式中，某一项二项式系数与这一项系数相同，由于a 3＝a 12，∴n ＝15.答案：C2．设(3－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若n ＝4，则a 0－a 1＋a 2＋…＋(－1)n a n 等于( )A ．256B ．136C ．120D ．16解析：在展开式中，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝44. 答案：A3．若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．120解析：由2n ＝64，得n ＝6，∴T k ＋1＝C k 6x 6－k ⎝⎛⎭⎫1x k＝C k 6x6－2k(0≤k ≤6，k ∈N)．由6－2k ＝0，得k ＝3.∴T 4＝C 36＝20. 答案：B4．在⎝⎛⎭⎫ax －1x 4的展开式中各项系数之和是16.则a 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．－1或3解析：由题意可得(a －1)4＝16，a －1＝±2，解得a ＝－1或a ＝3. 答案：D5．若(3x ＋1)n (n ∈N ＋)的展开式中各项系数之和是256，则展开式中x 2的系数是________．解析：令x ＝1，得4n ＝256，n ＝4, x 2 的系数为C 2432＝54.答案：546．若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为________．解析：(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a2＋a4＋a1＋a3)·(a0＋a2＋a4－a1－a3)＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)·(a0－a1＋a2－a3＋a4)，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(2＋3)4，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－2＋3)4＝(2－3)4，于是(2＋3)4·(2－3)4＝1.答案：17．已知(1＋x)n展开式的第五、六、七项的系数成等差数列，求展开式中系数最大的项．解：在(1＋x)n的展开式中，第五、六、七项的系数就是它们的二项式系数，即分别是C4n，C5n，C6n.∴有C6n＋C4n＝2C5n，即n2－21n＋98＝0，解得n＝14或n＝7.∴当n＝14时，(1＋x)n展开式的系数最大的项为第8项C714x7＝3 432x7；当n＝7时，(1＋x)n展开式中系数最大的项为第四项C37x3＝35x3和第五项C47x4＝35x4.8．对二项式(1－x)10，(1)展开式的中间项是第几项？写出这一项．(2)求展开式中各二项式系数之和．(3)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和．解：(1)展开式共11项，中间项为第6项，T6＝C510(－x)5＝－252x5.(2)C010＋C110＋C210＋…＋C1010＝210＝1 024.(3)设(1－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0.令x＝0，得a0＝1.∴a1＋a2＋…＋a10＝－1.。

高一数学北师大版选修23创新演练阶段第1部分第三章§2应用创新演练

1．(2011·湖南高考改编)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到下表：由χ2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )算得，χ2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：A ．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关” 解析：因为χ2＝7.8>6.635，所以有99%以上的把握认为有关．答案：C2．经过对χ2统计量分布的研究，已知得出了统计中的三个值：2.706,3.841与6.635，下列说法正确的是( )A ．当χ2<3.841时，有95%的把握说事件A 与B 有关 B ．当χ2<6.635时，有99%的把握说事件A 与B 有关C ．当χ2≥3.841时，认为事件A 与B 是无关的D ．当χ2≤2.706时，认为事件A 与B 是无关的解析：根据独立性判断的方法可知D 正确．答案：D3．考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如下表数据：A．没有充分证明种子经过处理跟是否生病有关B．种子经过处理跟是否生病无关C．种子是否经过处理决定是否生病D．以上都是错误的解析：由公式，得χ2＝407×(32×213－61×101)2133×274×93×314≈0.164<2.706.答案：A4．给出下列实际问题，①一种药物对某种病的治愈率；②两种药物治疗同一种病是否有区别；③吸烟者得肺病的概率；④吸烟与性别是否有关系；⑤人的智商与出生季节是否有关系．其中用独立性检验可以解决的问题有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：独立性检验是判断两个变量是否相关的一种方法，其中②④⑤的问题均可用独立性检验解决．答案：C5．下列是关于出生男婴与女婴调查的列联表那么A＝________，BD＝________，E＝________.解析：由45＋E＝98得E＝53，由98＋D＝180可知D＝82.由A＋35＝D知A＝47.所以B＝45＋47＝92.C ＝E ＋35＝88.答案：47 92 88 82 536．为探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠，在照射后14天内的结果如下表所示：________. 解析：χ2＝50(14×19－6×11)220×30×25×25≈5.333.答案：5.3337．为研究学生的数学成绩与对学习数学的兴趣是否有关，对某年级学生作调查，得到如下数据：解：由公式求得χ2＝189×(64×73－22×30)286×103×94×95≈38.459.∵38.459>6.635，∴有99%的把握认为数学成绩的好坏与对学习数学的兴趣有关．8．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外的27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外的33人主要的休闲方式是运动．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)能否有95%的把握认为性别与休闲方式有关系．解：(1)2×2列联表为：(2)计算χ2＝124×(43×33－27×21)270×54×64×60≈6.201.因为6.201>3.841，所以有95%的把握认为“性别与休闲方式有关”.。

北师大版高中数学选修第一章§~应用创新演练

1．(2011·湖南高考改编)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到下表：由χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)算得，χ2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：参照附表，得到的正确结论是()A．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关”解析：因为χ2＝7.8>6.635，所以有99%以上的把握认为有关．答案：C2．经过对χ2统计量分布的研究，已知得出了统计中的三个值：2.706,3.841与6.635，下列说法正确的是()A．当χ2<3.841时，有95%的把握说事件A与B有关B．当χ2<6.635时，有99%的把握说事件A与B有关C．当χ2≥3.841时，认为事件A与B是无关的D．当χ2≤2.706时，认为事件A与B是无关的解析：根据独立性判断的方法可知D正确．答案：D3．考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如下表数据：根据以上数据，则()A．没有充分的证据证明种子经过处理跟是否生病有关B．种子经过处理跟是否生病无关C．种子是否经过处理决定是否生病D．以上都是错误的解析：由公式，得χ2＝407×(32×213－61×101)2133×274×93×314≈0.164<2.706.答案：A4．给出下列实际问题：①一种药物对某种病的治愈率；②两种药物治疗同一种病是否有区别；③吸烟者得肺病的概率；④吸烟与性别是否有关系；⑤人的智商与出生季节是否有关系．其中用独立性检验可以解决的问题有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：独立性检验是判断两个变量是否相关的一种方法，其中②④⑤的问题均可用独立性检验解决．答案：C5．下列是关于出生男婴与女婴调查的列联表：那么A＝________，BD＝________，E＝________.解析：由45＋E＝98得E＝53，由98＋D＝180可知D＝82.由A＋35＝D知A＝47.所以B ＝45＋47＝92. C ＝E ＋35＝88.答案：47 92 88 82 536．为探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠，在照射后14天内的结果如下表所示：＝________. 解析：χ2＝50(14×19－6×11)220×30×25×25≈5.333.答案：5.3337．为研究学生的数学成绩与对学习数学的兴趣是否有关，对某年级学生作调查，得到如下数据：判断学生的数学成绩好坏与对学习数学的兴趣是否有关．解：由公式求得χ2＝189×(64×73－22×30)286×103×94×95≈38.459.∵38.459>6.635，∴有99%的把握认为数学成绩的好坏与对学习数学的兴趣有关．8．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外的27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外的33人主要的休闲方式是运动．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)能否有95%的把握认为性别与休闲方式有关系．解：(1)2×2列联表为：(2)计算χ2＝124×(43×33－27×21)270×54×64×60≈6.201.因为6.201>3.841，所以有95%的把握认为“性别与休闲方式有关”.。

高一数学北师大版选修23创新演练阶段第1部分第二章§5第一课时应用创新演练

1．甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X 与Y ，且X ，Y 的分布列为甲乙则甲、乙两人技术状况怎样( ) A ．甲好于乙 B ．乙好于甲 C ．一样好D ．不能确定解析：EX ＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3， EY ＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2.0， ∴EX >EY ， ∴甲的技术好于乙．答案：A2．一名射手每次射击中靶的概率均为0.8，则他独立射击3次中靶次数X 的均值为( ) A ．0.8 B ．0.83 C ．3D ．2.4解析：射手独立射击3次中靶次数X 服从二项分布，即X ～B (3,0.8)，∴EX ＝3×0.8＝2.4. 答案：D3．已知离散型随机变量X 的概率分布如下：随机变量Y ＝2X ＋1，则Y A ．1.1 B ．3.2 C ．11kD ．33k ＋1解析：由题意知，0.3＋3k ＋4k ＝1，∴k ＝0.1.EX ＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.4＝1.1， ∴EY ＝E (2X ＋1)＝2EX ＋1＝2.2＋1＝3.2. 答案：B4．口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，以X 表示取出的球的最大号码，则EX ＝( )A ．4B ．5C ．4.5D ．4.75解析：X 的取值为5,4,3. P (X ＝5)＝C 24C 35＝35，P (X ＝4)＝C 23C 35＝310，P (X ＝3)＝1C 35＝110. ∴EX ＝5×35＋4×310＋3×110＝4.5.答案：C5．设10件产品有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的均值为________．解析：设查得次品数为X ，由题意知X 服从超几何分布且N ＝10，M ＝3，n ＝2. ∴EX ＝n ·M N ＝2×310＝35.答案：356．某射手射击所得环数X 的分布列如下已知EX ＝8.9，则y 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，7x ＋8×0.1＋9×0.3＋10y ＝8.9，解得y ＝0.4. 答案：0.47．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一道和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A ，B 两个等级．对每种产品，两道工序的加工结果都为A 级时，产品为一等品，其余均为二等品．表一表二(1)的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；(2)已知一件产品的利润如表二所示，用X，Y分别表示一件甲、乙产品的利润，在(1)的条件下，分别求甲、乙两种产品利润的分布列及均值．解：(1)P甲＝0.8×0.85＝0.68，P乙＝0.75×0.8＝0.6.(2)随机变量X，Y的分布列是EX＝5×0.68＋2.5×0.32＝4.2，EY＝2.5×0.6＋1.5×0.4＝2.1.所以甲、乙两种产品利润的均值分别为4.2万元、2.1万元．8．(2012·安徽高考)某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题，若调用的是A 类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类型试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现共有n＋m道试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题．以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类型试题的数量．(1)求X＝n＋2的概率；(2)设m＝n，求X的分布列和均值(数学期望)．解：以A i表示第i次调题调用到A类型试题，i＝1,2.(1)P(X＝n＋2)＝P(A1A2)＝nm＋n·n＋1m＋n＋2＝n(n＋1)(m＋n)(m＋n＋2).(2)X的可能取值为n，n＋1，n＋2.P(X＝n)＝P(A1A2)＝nn＋n·nn＋n＝14，P(X＝n＋1)＝P(A1A2)＋P(A1A2)＝nn＋n·n＋1n＋n＋2＋nn＋n·nn＋n＝12，P (X ＝n ＋2)＝P (A 1A 2)＝n n ＋n ·n ＋1n ＋n ＋2＝14. 从而X 的分布列是EX ＝n ×14＋(n ＋1)×12＋(n ＋2)×14＝n ＋1.。

北师大版高中数学选修第二章§第二课时应用创新演练(1)

1．已知直线l 的一个方向向量为a ＝(1,1,0)，平面α的一个法向量为μ＝(1,2，－2)，则直线l 与平面α夹角的余弦值为( )A.22 B ．－22C ．±22D.12解析：cos 〈a ，μ〉＝a·μ|a||μ|＝32·3＝22，则直线l 与平面α的夹角θ的正弦值sin θ＝|cos 〈a ，μ〉|＝22，cos θ＝22. 答案：A2．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为4的正方形，长方体的高为AA 1＝3，则BC 1与对角面BB 1D 1D 夹角的正弦值等于( )A.45B.35C.225D.325解析：建立如图所示的空间直角坐标系，∵底面是边长为4的正方形，AA 1＝3，∴A 1(4,0, 0)，B (4,4,3)，C 1(0,4,0)．而面BB 1D 1D 的法向量为AC ＝11A C ＝(－4,4,0)，∴BC 1与对角面BB 1D 1D 所成角的正弦值即为|cos 〈1BC ，11A C 〉|＝|(－4，0，－3)·(－4，4，0)|42＋32×42＋42＝165×42＝225.答案：C3.如图所示，点P 是△ABC 所在平面外的一点，若PA 、PB 、PC 与平面α的夹角均相等，则点P 在平面α上的投影P ′是△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心解析：由于PA ，PB ，PC 与平面α的夹角均相等，所以这三条由点P 出发的平面ABC 的斜线段相等，故它们在平面ABC 内的投影P ′A ，P ′B ，P ′C 也都相等，故点P ′是△ABC 的外心．答案：B4．如果一个正方体的十二条棱所在的直线与一个平面的夹角都相等，记作θ，那么sin θ的值为( )A.22 B.33C.55D ．1解析：由于两条平行直线和同一平面的夹角相等，则在正方体ABCD－A 1B 1C 1D 1中，平面A 1BC 1满足和十二条棱所在的直线夹角相等，如图．建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可得11C A ＝(1,1,0)，1C B ＝(0,1,1)．平面BA 1C 1的一个法向量n ＝(1，－1,1)又1B B ＝(0,0,1)则sin θ＝|cos 〈1B B ，n 〉|＝13＝33. 答案：B5．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值是________．解析：如图，以DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，易证1AC 是平面A 1BD 的一个法向量．1AC ＝(－1,1,1)，1BC ＝(－1,0,1)．cos 〈1AC ，1BC 〉＝1＋13×2＝63. 所以BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值为63. 答案：636.如图所示，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 夹角的正弦值为________．解析：不妨设正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (3，－1,0)，B 1(3，1,2)，D ⎝⎛⎭⎫32，－12，2，则CD ＝(32，－12，2)，1CB ＝(3，1,2)，设平面B 1DC 的法向量为n ＝(x ，y,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD ＝0，n ·1CB ＝0，解得n ＝(－3，1,1)．又∵DA ＝⎝⎛⎭⎫32，－12，－2，∴sin θ＝|cos 〈DA ，n 〉|＝45.答案：457．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2AA 1，点D 是A 1B 1的中点．求直线AD 和平面ABC 1夹角的正弦值．解：如图所示，设O 是AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系．不妨设AA 1＝2，则AB ＝2，相关各点的坐标分别是A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C 1(0,1，2)， D⎝⎛⎭⎫32，－12，2.易知AB ＝(3，1,0)，1AC ＝(0,2，2)，AD ＝⎝⎛⎭⎫32，12，2.设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB ＝3x ＋y ＝0，n ·1AC ＝2y ＋2z ＝0，解得x ＝－33y ，z ＝－2y . 故可取n ＝(1，－3，6)．所以cos 〈n ，AD 〉＝n ·AD |n |·|AD |＝2310×3＝105.即直线AD 和平面ABC 1夹角的正弦值为105.8.如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D 在棱PB 上．(1)求证：BC ⊥平面PAC ；(2)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 夹角的余弦值．解：如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，设PA ＝a ，由已知可得A (0,0,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12a ，32a ，0，C ⎝⎛⎭⎫0，32a ，0，P (0,0，a )．(1) 证明：∵AP ＝(0,0，a )，BC ＝(12a,0,0)，(2) ∴BC ·AP ＝0，∴BC ⊥AP .又∵∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面PAC . (2)∵D 为PB 的中点，∴D ⎝⎛⎭⎫－14a ，34a ，12a ，AD ＝⎝⎛⎭⎫－14a ，34a ，12a ，又由(1)知，BC ⊥平面PAC ，∴BC ＝(12a,0,0)是平面PAC 的一个法向量．∴cos 〈AD ，CB 〉＝AD ·CB |AD |·|CB |＝18a 212a 2·12a ＝24，设AD 与平面PAC 的夹角为θ，则sin θ＝24，cos θ＝144. ∴AD 与平面PAC 夹角的余弦值为144.。

北师大版高中数学选修第一章§应用创新演练(2)

1．给出下列命题：①存在实数x>1，使x2>1；②全等三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数，其中，特称命题的个数为() A．1B．2C．3 D．4解析：①③④中均含存在量词，为特称命题．②为全称命题．答案：C2．(2012·安徽高考)命题“存在实数x，使x>1”的否定是()A．对任意实数x，都有x>1 B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1解析：利用特称命题的否定为全称命题可知，原命题的否定为：对于任意的实数x，都有x≤1.答案：C3．下列命题中的假命题是()A．存在x∈R，使lg x＝0B．存在x∈R，使tan x＝1C．对任意x∈R，都有x3>0D．对任意x∈R，都有2x>0解析：对C，当x＝－1时，(－1)3<0，故C为假命题，A、B、D均为真命题．答案：C4．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，使x＞0；④对于任意实数x,2x＋1都是奇数．下列说法正确的是() A．四个命题都是真命题B．①②是全称命题C．②③是特称命题D．四个命题中有两个假命题解析：①④为全称命题；②③为特称命题；①②③为真命题；④为假命题．答案：C5．下列命题中全称命题是__________；特称命题是________．①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①③是全称命题，②④是特称命题．答案：①③ ②④6．命题p “存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋5＝0”的否定为________________________，并且命题p 的否定为________命题(填“真”“假”)．解析：命题的否定为：对任意x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠0.即指方程x 2＋2x ＋5＝0无实根，为真命题．答案：对任意x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠0 真7．写出下列命题的否定并判断其真假．(1)有的四边形没有外接圆．(2)某些梯形的对角线互相平分．(3)被8整除的数能被4整除．解：(1)命题的否定：所有的四边形都有外接圆，是假命题．(2)命题的否定：任一个梯形的对角线不互相平分，是真命题．(3)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．8．(1)若命题“对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 恒成立”是真命题，求实数m 的取值范围．(2)若命题“存在实数x ，使不等式sin x ＋cos x >m 有解”是真命题，求实数m 的取值范围．解：(1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥－2，又∵任意x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立，∴只要m <－2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)．(2)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2，2]．又∵存在x ∈R ，使sin x ＋cos x >m 有解，∴只要m <2即可，∴所求m 的取值范围是 (－∞，2)．。

北师大版高中数学选修创新演练阶段质量检测第一章§应用创新演练(3)

1．(2011·北京高考)若p是真命题，q是假命题，则()A．p且q是真命题B．p或q是假命题C．綈p是真命题D．綈q是真命题解析：只有綈q是真命题正确．答案：D2．由下列各组命题构成的新命题“p且q”为真命题的是()A．p：4＋4＝9，q：7>4B．p：a∈{a，b，c}，q：{a}{a，b，c}C．p：15是质数，q：8是12的约数D．p：2是偶数，q：2不是质数解析：“p且q”为真，则p，q必同时为真，故应选B.答案：B3．命题“若a∉A，则b∈B”的否定是()A．若a∉A，则b∉B B．若a∉A，则b∈BC．若a∈A，则b∉B D．若b∉A，则a∈B解析：命题的否定只否定其结论，为：若a∉A，则b∉B.故应选A.答案：A4．已知命题p：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零；命题q：若m>－2，则x2＋2x－m＝0有实根，则()A．p或q为真B．綈p为真C．p且q为真D．綈q为假解析：p的逆否命题为：若x，y全为零，则x2＋y2＝0.为真命题，故p为真．命题q中，Δ＝4(1＋m)，当m>－2时，Δ可能小于零，故q为假．故p或q为真．答案：A5．分别用“p或q”“p且q”“非p”填空．(1)命题“3的值不超过2”是“________”的形式；(2)命题“x＝2或x＝3是方程(x－2)(x－3)＝0的解”是“________”的形式；(3)命题“函数y＝cos x既是偶函数，又是周期函数”是“________”的形式．解析：(1)是命题“3的值超过2”的否定，(2)是两个命题用“或”连接，(3)是两个命题用“且”连接．答案：非p p或q p且q6．若命题p ：“若x ＝2不是不等式ax 2＋x －1>0的解”为假命题，则a 的取值范围为________．解析：由题意：綈p 为真，即x ＝2是不等式ax 2＋x －1>0的解，∴4a ＋1>0，解得a >－14. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 7．若p ：函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，写出綈p ，若綈p 是假命题，则a 的取值范围是什么？解：綈p ：函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上不是减函数．∵綈p 为假，则p 为真，即函数在(－∞，4]上为减函数，∴－(a －1)≥4，即a ≤－3，∴a 的取值范围是(－∞，－3]．8．已知p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围．解：由“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题可知p ，q 一真一假．p 为真命题时，Δ＝a 2－16≥0，∴a ≥4或a ≤－4；q 为真命题时，对称轴x ＝－a 4≤3， ∴a ≥－12.当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥4或a ≤－4，a <－12，得a <－12；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧－4<a <4，a ≥－12，得－4<a <4. 综上，得a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．。

高一数学北师大版选修23创新演练阶段第1部分第二章§4应用创新演练

1．小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( )A.19 B.29 C.13D.49解析：由题意P ＝C 13⎝⎛⎭⎫131⎝⎛⎭⎫232＝49. 答案：D2．若X ～B ⎝⎛⎭⎫6，13，则P (X ＝2)＝( ) A.316 B.4243 C.13243D.80243解析：∵X ～B ⎝⎛⎭⎫6，13， ∴P (X ＝2)＝C 26⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫234＝80243. 答案：D3．某一试验中事件A 发生的概率为p ，则在n 次独立重复试验中A 发生k 次的概率为( )A ．C k n p k (1－p )n －k B ．(1－p )k p n －kC ．(1－p )kD ．C k n (1－p )k pn －k解析：由于P (A )＝p ，则P (A )＝1－p .所以在n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率为C k n (1－p )k pn －k. 答案：D4．某人射击一次击中目标的概率为0. 6，经过3次射击，此人至少有2次击中目标的概率为( )A.81125 B.54125 C.36125D.27125解析：至少有2次击中目标包含以下情况：只有2次击中目标，此时概率为C 23×0.62×(1－0.6)＝54125， 3次都击中目标，此时的概率为C 33×0.63＝27125， ∴至少有2次击中目标的概率为54125＋27125＝81125.答案：A5．设X ～B (2，p )，若P (X ≥1)＝59，则p ＝________.解析：∵X ～B (2，p )，∴P (X ＝k )＝C k 2p k(1－p )2－k ，k ＝0,1,2.∴P (X ≥1)＝1－P (X <1) ＝1－P (X ＝0)＝1－C 02p 0(1－p )2＝1－(1－p )2.由P (X ≥1)＝59，得1－(1－p )2＝59，结合0<p ≤1，得p ＝13.答案：136．下列说法正确的是________．①某同学投篮命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B (10,0.6)；②某福彩的中奖概率为p ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B (8，p )；③从装有5红5白的袋中，有放回的摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且X ～B ⎝⎛⎭⎫n ，12. 解析：①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回的摸球，但随机变量X 的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．答案：①②7．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为35，且各次射击的结果互不影响．该射手射击了5次，求：(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率； (2)其中恰有3次击中目标的概率．解：(1)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也即在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又各次射击的结果互不影响，故所求其概率为P 1＝35×⎝⎛⎭⎫1－35×35×⎝⎛⎭⎫1－35×35＝1083 125； (2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标，击中次数X ～B (5，35)，故所求其概率为P (X ＝3)＝C 35×⎝⎛⎭⎫353×⎝⎛⎭⎫1－352＝216625.8．(2012·四川高考)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；(2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X ，求X 的概率分布列及数学期望EX .解：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么1－P (C )＝1－110p ＝4950，解得p ＝15.(2)由题意，P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫1103＝11 000， P (X ＝1)＝C 13×⎝⎛⎭⎫1102×⎝⎛⎭⎫1－110＝271 000， P (X ＝2)＝C 23×110×⎝⎛⎭⎫1－1102＝2431 000， P (X ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎫1－1103＝7291 000. 所以，随机变量X 的概率分布列为故随机变量X EX ＝0×11 000＋1×271 000＋2×2431 000＋3×7291 000＝2710.。

北师大版高中数学选修创新演练阶段第部分第一章§第二课时应用创新演练

1．6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有()A．720种B．360种C．240种D．120种解析：先把甲、乙两人“捆绑”在一起看成一个人，因而有A55种不同排法，再把两人“松绑”，两人之间有A22种排法，因此所求不同排法总数为A55A22＝240种．答案：C2．(2012·北京高考)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．24 B．18C．12 D．6解析：若选0，则0只能在十位，此时组成的奇数的个数是A23；若选2，则2只能在十位或百位，此时组成的奇数的个数是2×A23＝12，根据分类加法计数原理得总个数为6＋12＝18.答案：B3．用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有() A．48个B．36个C．24个D．18个解析：个位数字是2的有3A33＝18个，个位数字是4的有3A33＝18个，所以共有36个．答案：B4．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()A．A88A29B．A88·92C．A88A27D．A88·82解析：相间问题用插空法，8名学生先排有A88种，产生9个空，2位老师插空有A29种排法，所以最终有A88A29种排法．答案：A5．有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，若某女生必须担任语文科代表，则不同的选法共有________种．(用数字作答) 解析：从剩余7人中选出4人担任4个学科科代表，共有A47＝840种．答案：8406．有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次，A，B 两位学生去问成绩，老师对A说：“你的名次不知道，但肯定没得第一名”；又对B说：“你是第三名”．请你分析一下，这五位学生的名次排列共有________种不同的可能．解析：先安排B有1种方法，再安排A有3种方法，最后安排C，D，E共A33种方法．由分步乘法计数原理知共有3A33＝18种方法．答案：187．由A，B，C等7人担任班级的7个班委．(1)若正、副班长两职只能由这三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选三人中的1人担任，有多少种分工方案？解：(1)先安排正、副班长有A23种方法，再安排其余职务有A55种方法，依分步乘法计数原理，共有A23A55＝720种分工方案．(2)7人的任意分工方案有A77种，A，B，C三人中无一人任正、副班长的分工方案有A24A55种，因此A，B，C三人中至少有1人任正、副班长的方案有A77－A24A55＝3 600种．8．7名同学排队照相，(1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？解：(1)分两步，先排前排，有A37种排法，再排后排，有A44种排法，符合要求的排法共有A37A44＝5 040种．(2)第一步安排甲，有A13种排法；第二步安排乙，有A14种排法，第三步将余下的5人排在剩下的5个位置上，有A55种排法．由分步乘法计数原理得，符合要求的排法共有A13A14A55＝1 440种．(3)第一步，将甲、乙、丙视为一个元素，与其余4个元素排成一排，即看成5个元素的全排列问题，有A55种排法；第二步，甲、乙、丙三人内部全排列，有A33种排法．由分步乘法计数原理得，符合要求的排法共有A55A33＝720种.。

北师大版高中数学选修创新演练阶段质量检测第二章§应用创新演练(2)

1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴的端点坐标是( ) A ．(－1,0)、(1,0) B ．(0，－6)、(0,6) C ．(－6，0)、(6，0)D ．(0，－6)、(0，6)解析：椭圆的标准方程为x 2＋y 26＝1.故a 2＝6，且焦点在y 轴上，∴长轴的端点坐标为(0，±6)．答案：D2．若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值是( )A ．3B ．3或253C.15D.5或5153解析：若焦点在x 轴上，则a ＝5，由c a ＝105得c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝3，∴m ＝b 2＝3.若焦点在y 轴上，则b 2＝5，a 2＝m .∴m －5m ＝25，∴m ＝253.答案：B3．(2012·新课标全国卷)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45解析：由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，∴232⎛⎫- ⎪⎝⎭a c ＝2c . ∴3a ＝4c .∴e ＝34.答案：C4．若椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1D.x 281＋y 236＝1 解析：易知：2a ＝18，且2c ＝a －c ， ∴a ＝9，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝72，椭圆的方程为x 281＋y 272＝1.答案：A5．若一个椭圆的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，则椭圆的离心率为________．解析：由题意知：(2b )2＝2a ·2c ，即b 2＝ac ， ∴a 2－c 2－ac ＝0， ∴e 2＋e －1＝0，e >0，∴e ＝5－12. 答案：5－126．焦点在x 轴上的椭圆，焦距|F 1F 2|＝8，离心率为45，椭圆上的点M 到焦点F 1的距离2，N 为MF 1的中点，则|ON |(O 为坐标原点)的值为________．解析：∵|F 1F 2|＝2c ＝8，e ＝c a ＝45，∴a ＝5，∵|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，|MF 1|＝2，∴|MF 2|＝8. 又∵O 、N 分别为F 1F 2、MF 1的中点，∴ON 是△F 1F 2M 的中位线，∴|ON |＝12|MF 2|＝4.答案：47．已知椭圆过点(2，－6)，离心率e ＝32，求椭圆的标准方程．解：∵e ＝c a ＝32，∴e 2＝c 2a 2＝34＝a 2－b 2a2，∴a 2＝4b 2，即a ＝2b .设椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝b 2或y 24＋x 2＝b 2(b >0)，由椭圆过(2，－6)点，得1＋36＝b 2或9＋4＝b 2. ∴有b 2＝37或b 2＝13，故所求的椭圆的标准方程为x 3148＋y 237＝1或y 252＋x 213＝1.8．已知F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，若AF2·F 1F 2―→＝0，椭圆的离心率等于22，△AOF 2的面积为22，求椭圆的方程．解：如图，∵AF2·F 1F 2―→＝0，∴AF 2⊥F 1F 2，∵椭圆的离心率e ＝c a ＝22，∴b 2＝12a 2，设A (x ，y )(x >0，y >0)，由AF 2⊥F 1F 2知x ＝c ，∴A (x ，y )代入椭圆方程得c 2a 2＋y 2b 2＝1，∴y ＝b 2a .∵△AOF 2的面积为22，∴S △AOF 2＝12c ·b 2a ＝22，而c a ＝22，∴b 2＝8，a 2＝2b 2＝16，故椭圆的标准方程为：x 216＋y 28＝1.。

高一数学北师大版选修21第二章§6应用创新演练

1．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2,1)，点A (2，－1,0)在α内，则P (1,3，－2)到α的距离为( )A ．10B ．3 C.83D.103解析：PA ＝(1，－4,2)，又平面α的一个法向量为n ＝(－2，－2,1)，所以P 到α的距离为|PA ·n |n ＝|－2＋8＋2|3＝83. 答案：C2．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为2，E 是A 1C 1的中点，则E 到AB 的距离是( ) A ．2 B. 3 C.192D.102解析：建立空间直角坐标系如图，则A (0,0,0)，B (3，1,0)，E (0,1,2)，AB ＝(3，1,0)，AE ＝(0,1,2)，∴AE ·AB ＝1，|AE ·AB ||AB |＝12，则E 到AB 的距离d ＝ |AE |2－(12)2＝5－14＝192.答案：C3．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则点A 1到直线BC 1的距离是( ) A.62a B ．a C.2aD.a 2解析：如图所示，取BC 1中点O .则A 1O ⊥BC 1，连A 1C 1，A 1B . 在Rt △A 1OB 中，A 1B ＝2a ， BO ＝22a ， ∴A 1O ＝A 1B 2－BO 2＝ 2a 2－12a 2＝62a .答案：A4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( )A.83B.38C.43D.34解析：如图，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，A 1(2,0,4)，B 1(2,2,4)，D 1(0,0,4)．∴11D B ＝(2,2,0)，1D A ＝(2,0，－4)，1AA ＝(0,0,4)，设n ＝(x ，y ，z )是平面AB 1D 1的一个法向量，则n ⊥11D B ，n ⊥1D A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·11D B ＝0，n ·1D A ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，2x －4z ＝0.令z ＝1，则平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．∴由1AA 在n 上射影可得A 1到平面AB 1D 1的距离为d ＝|1AA ·n ||n |＝43.答案：C5．若三棱锥P －ABC 的三条侧棱两两垂直，且满足PA ＝PB ＝PC ＝2，则P 到平面ABC 的距离为________．解析：如图，以点P 为原点，建立空间直角坐标系，可求得平面ABC 的一个法向量为n ＝(1,1,1)，PA ＝(2,0,0)，则P 到平面ABC 的距离为|PA ·n ||n |＝233. 答案：2336.如图所示，在正三棱柱ABC －A1B 1C 1中，所有棱长均为1，则点B 1到平面ABC 1的距离为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A ⎝⎛⎭⎫32，12，0，B (0,1,0)，B 1(0,1,1)，C 1(0,0,1)，则1C A ＝⎝⎛⎭⎫32，12，－1，11C B ＝(0,1,0)，1C B ＝(0,1，－1)，设平面ABC 1的法向量为n ＝(x ，y,1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧1C A ·n ＝0 11C B ·n ＝0，解得n ＝(33，1,1)，则d ＝|11C B ·n|n ||＝113＋1＋1＝217.答案：2177.如图，P 为矩形ABCD 所在平面外一点，PA ⊥平面ABCD ，若已知AB ＝3，AD ＝4，PA ＝1，求点P 到BD 的距离．解：法一：作AH ⊥BD ，垂足为H ， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴AH 为PH 在平面ABCD 上的投影．由垂直关系得PH ⊥BD ， ∴PH 即为P 到BD 的距离，在Rt △ABD 中，可得AH ＝125，在Rt △PAH 中，由勾股定理可求得PH ＝PA 2＋AH 2＝135， ∴P 到BD 的距离为135.法二：如上图，分别以AB 、AD 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴建系，则P (0,0,1)，B (3,0,0)，D (0,4,0)，∴PB ＝(3,0，－1)，BD ＝(－3,4,0)， ∴PB ·BD|BD |＝－95，P 到BD 的距离d ＝|PB |2－|PB ·BD |BD ||2＝10－(－95)2＝135.∴P 到BD 的距离为135.8.如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截而得到的，其中AB ＝4，BC ＝2，CC 1＝3，BE ＝1.求点C 到平面AEC 1F 的距离．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (2,4,0)，A (2,0,0)，C (0,4,0)，E (2,4,1)，C 1(0,4,3)．设n 为平面AEC 1F 的法向量，显然n 不垂直于平面ADF ，故可设n ＝(x ，y,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE ＝0，n ·1EC ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧0·x ＋4·y ＋1＝0，－2·x ＋0·y ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y ＋1＝0，－2x ＋2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－14.n ＝(1，－14，1)．又1CC ＝(0,0,3)．∴C 到平面AEC 1F 的距离为 d ＝|1CC ·n ||n |＝31＋116＋1＝43311.。

高一数学北师大版选修23创新演练阶段第1部分第一章§4应用创新演练

1．5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少1本，不同的分法种数为( ) A ． 480 B ．240 C ．120D ．96解析：先把5本书中两本捆起来，再分成4份即可， ∴分法种数为C 25·A 44＝240. 答案：B2．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是( )A ．C 28A 23B ．C 28A 66 C ．C 28A 26D ．C 28A 25解析：从后排8人中选2人安排到前排6个位置中的任意两个位置即可，所以选法种数是C 28A 26.答案：C3．(2012·大纲全国卷)将字母a ，a ，b ，b ，c ，c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种解析：由分步乘法计数原理，先排第一列，有A 33种方法，再排第二列，有2种方法，故共有A 33×2＝12种排列方法．答案：A4．某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级中，每班安排2名，则不同的安排方案种数为( )A ．A 26C 24 B.12A 26C 24 C ．A 26A 24D ．2A 26解析：先把4人分成2组，然后安排到六个班级中的两个，即有C 24C 22A 22·A 26＝C 24A 262.答案：B5．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有________种．解析：有两种满足题意的放法：(1)1号盒子里放2个球，2号盒子里放2个球，有C 24C 22种放法；(2)1号盒子里放1个球，2号盒子里放3个球，有C14C33种放法．综上可得，不同的放球方法共有C24C22＋C14C33＝10种．答案：106．安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有________种．(用数字作答)解析：可以3个人每人去一所学校，有A36种方法；可以有2个人到一所学校，另一个人去另外5所学校中的一所，有C23A26种方法，故共有A36＋C23A26＝210种分配方案．答案：2107．由字母A，E及数字1,2,3,4形成的排列．(1)由这些字母、数字任意排成一排共能形成多少不同的排列？(2)要求首位及末位只能排字母，排成一列有多少不同的排列？(3)要求末位不能排字母，有多少不同的排列？解：(1)6个元素的全排列：A66＝6×5×4×3×2×1＝720个．(2)分两步：第一步，排首位与末位，排法有A22种，第二步，排中间，排法为A44种．总排法有A22A44＝48种．(3)法一：分两步：第一步，排末位，排法有A14种，第二步，排其余位置，排法有A55种．总排法有A14A55＝480种．法二：A66－A12A55＝480种．8．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本．解：(1)分三步完成：第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C49种方法；第二步：从余下的5本书中，任取3本给乙，有C35种方法；第三步：把剩下的书给丙，有C22种方法．∴共有不同的分法为C49C35C22＝1 260种．(2)分两步完成：第一步：按4本、3本、2本分成三组有C49C35C22种方法；第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A33种方法．∴共有C49C35C22A33＝7 560种．。

高一数学北师大版选修23创新演练阶段第1部分第二章§2应用创新演练

1．设盒中有5个球，其中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，X 表示取到的白球数，则P (X ＝1)等于( )A.110 B.15 C.310D.35解析：P (X ＝1)＝C 12C 23C 35＝610＝35.答案：D2．30件产品中，有15件一等品，10件二等品，5件三等品，现随机地抽取5件，下列不服从超几何分布的是( )A ．抽取的5件产品中的一等品数B ．抽取的5件产品中的二等品数C ．抽取的5件产品中的三等品数D ．30件产品中的三等品数解析：A 、B 、C 中的产品数都是变量，又满足超几何分布的形式和特点；而D 中的产品数是常数，不是变量．答案：D3．盒中有10个螺丝钉，其中3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么310等于( )A ．恰有1个是坏的的概率B ．恰有2个是好的的概率C ．4个全是好的的概率D ．至多有2个是坏的的概率解析：恰有2个是好的的概率为P ＝C 23C 27C 410＝310.答案：B4．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张A 的概率为( )A.C 34C 248C 552B.C 348C 24C 552C ．1－C 148C 44C 552D.C 34C 248＋C 44C 148C 552解析：设X 为抽出的5张扑克牌中含A 的张数．则P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 34C 248C 552＋C 44C 148C 552.答案：D5．(2011·福建高考)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．解析：取到的2个球颜色不同的概率P ＝C 13C 12C 25＝35.答案：356．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为________．解析：至少有1名女生当选包括1男1女，2女两种情况，概率为C 13C 17＋C 23C 210＝815. 答案：8157．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，求X 的分布列．解：由题意知，旧球个数X 的所有可能取值为3,4,5,6.则P (X ＝3)＝C 33C 312＝1220，P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220，P (X ＝5)＝C 29C 13C 312＝108220＝2755，P (X ＝6)＝C 39C 312＝84220＝2155.所以X 的分布列为8．50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的分布列． (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张． ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y 元，求Y 的分布列．解：(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种情况． P (X ＝1)＝C 14C 110＝410＝25，则P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝1－25＝35.因此X的分布列为(2)1张中奖或2张都中奖．故所求概率P＝C14C16＋C24C06C210＝3045＝23.②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P(Y＝0)＝C04C26C210＝1545＝13，P(Y＝10)＝C13C16C210＝1845＝25，P(Y＝20)＝C23C06C210＝345＝115，P(Y＝50)＝C11C16C210＝645＝215，P(Y＝60)＝C11C13C210＝345＝115.因此随机变量Y的分布列为。

北师大版高中数学选修第二章§应用创新演练(1)

1．空间向量中，下列说法正确的是( )A ．如果两个向量的长度相等，那么这两个向量相等B ．如果两个向量平行，那么这两个向量的方向相同C ．如果两个向量平行，并且它们的模相等，那么这两个向量相等D ．同向且等长的有向线段表示同一向量解析：只有两个向量方向相同且长度相等，才能为相等向量．故D 正确．答案：D2．在等腰直角三角形ABC 中，角B 为直角，则〈BC u u u r ， CA u u u r 〉等于( )A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．不确定解析：易知∠BCA ＝45°，由向量夹角的定义知〈BC u u u r ，CA u u u r 〉＝135°.答案：B3．AB u u u r ＝CD u u u r 的一个必要不充分条件是( )A ．A 与C 重合B ．A 与C 重合， B 与D 重合C ．|AB u u u r |＝|CD u u u r |D ．A 、B 、C 、D 四点共线解析：若AB u u u r ＝CD u u u r ，则|AB u u u r |＝|CD u u u r |；若|AB u u u r |＝|CD u u u r |，不一定能得出AB u u u r ＝CD u u u r .故应选C.答案：C4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ACC 1A 1的法向量是( )A ．BD u u u rB ．1BC u u u u r C ．1BD u u u u r D ．1A B u u u u r解析：∵BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，∴BD ⊥面ACC 1A 1，故BD u u u r 为平面ACC 1A 1的法向量．答案：A5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以A 1为起点，以正方体的其余顶点为终点的向量中，与向量1BC u u u u r 垂直的向量有________．解析：A 1B 1⊥面BCC 1B 1，∴11A B u u u u r ⊥1BC u u u u r ；A 1D ⊥AD 1，而AD 1∥BC 1，∴1A D u u u u r ⊥1BC u u u u r .答案：11A B u u u u r 1A D u u u u r6．对空间向量a ，b ，有如下命题：①〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉②若a ⊥α，b ⊥α，且|a |＝|b |，则a ＝b③若a ≠b ，则|a|≠|b |④若a ，b 都是直线l 的方向向量，则a ∥b其中说法正确的是________解析：①由两向量夹角的定义知为真；只有a ，b 同向时才能得出a ＝b ，故②为假；若两向量不相等，但其模可能相等，故③为假；由方向向量定义知④为真．答案：①④7.在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1顶点为起点或终点的向量中：(1)写出与1BB u u u u r 相等的向量；(2)写出与BA u u u r 相反的向量；(3)写出与BA u u u r 平行的向量．解：(1) 1CC u u u u r ，1DD u u u u r ，1AA u u u u r .(2) DC u u u r ，11D C u u u u r ，11A B u u u u r .(3) AB u u u r ，CD u u u r ，DC u u u r ，11D C u u u u r ，11C D u u u u r ，11A B u u u u r ，11B A u u u u r .8.如图，在底面是菱形的四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝60°，P A ＝AC ＝a ，PB ＝PD ＝2a ，点E 是PD 的中点．(1)试指出以E 为起点的直线PB 的一个方向向量；(2)证明：PA u u u r 是平面ABCD 的法向量．解：(1)连接BD 交AC 于O ，连接OE .由菱形ABCD 知O 是BD 的中点．又E 是PD 的中点，∴OE 綊12BP . 则直线PB 的一个方向向量为EO u u u r .(2)证明：∵底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，∴AB ＝AD ＝AC ＝a .在△P AB 中，由P A 2＋AB 2＝2a 2＝PB 2知P A ⊥AB . 同理P A ⊥AD .∴P A ⊥平面ABCD .故PA u u u r 是平面ABCD 的法向量．。