经典编排-高中数学竞赛预赛训练试题5份合集

湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（一）姓名： 班级 ： 分数 ：一、 填空题（本题满分56分，每小题7分。

） 1. 已知复数m 满足11=+m m ，则=+200920081mm . 2. 设2cos sin 23cos 21)(2++=x x x x f ，]4,6[ππ-∈x ，则)(x f 的值域为 .3. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0,01615<>S S ，则15152211,,,a S a S a S 中最大的是 .4. 已知O 是锐角△ABC 的外心，10,6==AC AB ，若y x +=，且5102=+y x ，则=∠BAC cos .5. 已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，O 为底面ABCD 的中心，M ，N 分别是棱A 1D 1和CC 1的中点. 则四面体1MNB O -的体积为 .6. 设}6,5,4,3,2,1{=C B A ，且}2,1{=B A ，C B ⊆}4,3,2,1{，则符合条件的),,(C B A 共有 组. （注：C B A ,,顺序不同视为不同组. ）7.设x x x x x x y csc sec cot tan cos sin +++++=，则||y 的最小值为 .8. 设p 是给定的正偶数，集合},3,22|{1N ∈=<<=+m m x x x A p pp 的所有元素的和是 .二、 解答题（本题满分64分，第9题14分，第10题15分，第11题15分，第12题20分。

）9. 设数列)0}({≥n a n 满足21=a ，)(2122n m n m n m a a n m a a +=+-+-+，其中n m n m ≥∈,,N .（1）证明：对一切N ∈n ，有2212+-=++n n n a a a ； （2）证明：1111200921<+++a a a .10. 求不定方程21533654321=+++++x x x x x x 的正整数解的组数.11. 已知抛物线C ：221x y =与直线l ：1-=kx y 没有公共点，设点P 为直线l 上的动点，过P 作抛物线C 的两条切线，A ，B 为切点.(1)证明：直线AB 恒过定点Q ；12. 设d c b a ,,,为正实数，且4=+++d c b a . 证明：22222)(4b a ad d c c b b a -+≥+++.湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（一）参考答案一、 填空题（本题满分56分，每小题7分。

） 1. 已知复数m 满足11=+m m ，则=+200920081mm 0 . 2. 设2cos sin 23cos 21)(2++=x x x x f ，]4,6[ππ-∈x ，则)(x f 的值域为3[2,2]4.3. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0,01615<>S S ，则15152211,,,a S a S a S 中最大的是88S a . 4. 已知O 是锐角△ABC 的外心，10,6==AC AB ，若y x +=，且5102=+y x ，则=∠BAC cos 13. 5. 已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，O 为底面ABCD 的中心，M ，N 分别是棱A 1D 1和CC 1的中点. 则四面体1MNB O -的体积为748. 6. 设}6,5,4,3,2,1{=C B A ，且}2,1{=B A ，C B ⊆}4,3,2,1{，则符合条件的),,(C B A 共有 1600 组. （注：C B A ,,顺序不同视为不同组. ）7. 设x x x x x x y csc sec cot tan cos sin +++++=，则||y 的最小值为8. 设p 是给定的正偶数，集合},3,22|{1N ∈=<<=+m m x x x A p pp 的所有元素的和是21122p p ---. 二、 解答题（本题满分64分，第9题14分，第10题15分，第11题15分，第12题20分。

）9. 设数列)0}({≥n a n 满足21=a ，)(2122n m n m n m a a n m a a +=+-+-+，其中n m n m ≥∈,,N .（1）证明：对一切N ∈n ，有2212+-=++n n n a a a ； （2）证明：1111200921<+++a a a . 证明 （1）在已知关系式)(2122n m n m n m a a n m a a +=+-+-+中，令n m =，可得00=a ；令0=n ，可得m a a m m 242-= ①令2+=n m ，可得)(212242222n n n a a a a +=-+++ ② 由①得)1(24122+-=++n a a n n ，62412=-=a a ，)2(24242+-=++n a a n n ，n a a n n 242-=，代入②，化简得2212+-=++n n n a a a . ------------------------------------------7分 （2）由2212+-=++n n n a a a ，得2)()(112+-=-+++n n n n a a a a ，故数列}{1n n a a -+是首项为201=-a a ，公差为2的等差数列，因此221+=-+n a a n n .于是∑∑==-+=+=+-=nk nk k kn n n k a a aa 1101)1(0)2()(.因为)1(111)1(11≥+-=+=n n n n n a n ，所以 1201011)2010120091()3121()211(111200921<-=-++-+-=+++ a a a . ------------------------------14分 10. 求不定方程21533654321=+++++x x x x x x 的正整数解的组数. 解 令x x x x =++321，y x x =+54，z x =6，则1,2,3≥≥≥z y x . 先考虑不定方程2153=++z y x 满足1,2,3≥≥≥z y x 的正整数解.1,2,3≥≥≥z y x ，123215≤--=∴y x z ，21≤≤∴z . -----------------------5分当1=z 时，有163=+y x ，此方程满足2,3≥≥y x 的正整数解为)4,4(),3,7(),2,10(),(=y x .当2=z 时，有113=+y x ，此方程满足2,3≥≥y x 的正整数解为)2,5(),(=y x . 所以不定方程2153=++z y x 满足1,2,3≥≥≥z y x 的正整数解为)2,2,5(),1,4,4(),1,3,7(),1,2,10(),,(=z y x . ---------------------------------------10分又方程)3,(321≥∈=++x N x x x x x 的正整数解的组数为21x C -，方程y x x =+54)2,(≥∈x N y 的正整数解的组数为11C -y ，故由分步计数原理知，原不定方程的正整数解的组数为81693036C C C C C C C C 1124132312261129=+++=+++. -------------------------------15分11. 已知抛物线C ：221x y =与直线l ：1-=kx y 没有公共点，设点P 为直线l 上的动点，过P 作抛物线C 的两条切线，A ，B 为切点.(1)证明：直线AB 恒过定点Q ；(2)若点P 与（1）中的定点Q 的连线交抛物线C 于M ，N 两点，证明：QNQM PNPM =.证明 (1)设11(,)A x y ，则21121x y =. 由221x y =得x y ='，所以11|x y x x ='=. 于是抛物线C 在A 点处的切线方程为)(111x x x y y -=-，即11y x x y -=. 设)1,(00-kx x P ，则有11001y x x kx -=-. 设22(,)B x y ，同理有22001y x x kx -=-.所以AB 的方程为y x x kx -=-001，即0)1()(0=---y k x x ， 所以直线AB 恒过定点)1,(k Q . ------------------------------------------7分 (2)PQ 的方程为002()1kx y x k x k-=-+-，与抛物线方程221x y =联立，消去y ，得02)22(42002002=---+---kx k x k x k x kx x .设),(33y x M ，),(44y x N ，则kx kx k x x k x kx x x ---=--=+0024300432)22(,42 ① 要证QNQM PNPM =，只需证明kx x k x x x x --=--430403，即 02))((2043043=+++-kx x x x k x x ②由①知，②式左边=0000002242)(4)22(2kx kx kx x k k x k x k +--+----0)(2)42)((4)22(20000002=--+-+---=kx k x kx kx x k k x k .故②式成立，从而结论成立. ------------------------------------------15分12. 设d c b a ,,,为正实数，且4=+++d c b a . 证明：22222)(4b a ad d c c b b a -+≥+++. 证明 因为4=+++d c b a ，要证原不等式成立，等价于证明dc b a b ad c b a a d d c c b b a +++-++++≥+++22222)(4 ① ---------------5分 事实上，)(2222d c b a ad d c c b b a +++-+++ )2()2()2()2(2222d a a d c d d c b c c b a b b a -++-++-++-+=2222)(1)(1)(1)(1a d ad c d c b c b a b -+-+-+-=②--------------10分由柯西不等式知2222()()()()[]()a b b c c d d a a b c d b c d a----++++++2|)||||||(|a d d c c b b a -+-+-+-≥ ③--------------15分又由||||||||a b a d d c c b -≥-+-+-知22)(4|)||||||(|b a a d d c c b b a -≥-+-+-+- ④由②，③，④，可知①式成立，从而原不等式成立. ------------------------------------20分湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）训练试题（二）姓名： 班级 ： 分数 ：一、 填空题（本题满分70分，每小题7分）1. 方程9135x x+-=的实数解为 .2. 函数sin cos y x x =+(x ∈R )的单调减区间是 .3. 在△ABC 中，已知4AB AC ⋅=，12AB BC ⋅=-，则AB ＝ .4. 函数()()()221f x x x =-+在区间[]0,2上的最大值是 ，最小值是 . 5. 在直角坐标系xOy 中，已知圆心在原点O 、 半径为R 的圆与△ABC 的边有公共点，其中()4,0A =、 ()6,8B =、 ()2,4C =，则R 的取值范围为 . 6. 设函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是关于x 的奇函数，则函数()y f x =在区间[]0,100上至少有 个零点.7. 从正方体的12条棱和12条面对角线中选出n 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则n 的最大值为 . 8. 圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、 银两色中的一种. 其中镀2金2银的概率是 .9. 在三棱锥A BCD -中，已知ACB CBD ∠=∠，ACD ADC BCD BDC ∠=∠=∠=∠θ=，且cos 10θ=. 已知棱AB的长为，则此棱锥的体积为 . 10. 设复数列{}n x 满足1n x a ≠-，0，且11nn n a x x x +=+. 若对任意n ∈N * 都有3n n x x +=， 则a 的值是 .（第7题）二、 解答题（本题满分80分，每小题20分）11. 直角坐标系xOy 中，设A 、 B 、 M 是椭圆22:14x C y +=上的三点. 若 3455OM OA OB =+，证明：线段AB 的中点在椭圆22212x y +=上.12. 已知整数列{}n a 满足31a =-，74a =，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列.(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 求出所有的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=.13. 如图，圆内接五边形ABCDE 中，AD 是外接圆的直径，BE AD ⊥，垂足H .过点H 作平行于CE 的直线，与直线AC 、 DC 分别交于点F 、 G . 证明： (1) 点A 、 B 、 F 、 H 共圆； (2) 四边形BFCG 是矩形.14. 求所有正整数x ，y ，使得23x y +与23y x +都是完全平方数.高中数学竞赛（预赛）训练试题（二）详细解答一、 填空题（本题满分70分，每小题7分）1. 方程9135x x+-=的实数解为 .提示与答案：x ＜0无解; 当0x ≥时，原方程变形为32x +3x －6=0，解得3x =2，x =log 32. 2. 函数sin cos y x x =+(x ∈R )的单调减区间是 .提示与答案：与f (x )=y 2=1+|sin2x |的单调减区间相同， [,],2422k k k ππππ++∈Z . 3. 在△ABC 中，已知4AB AC ⋅=，12AB BC ⋅=-，则AB ＝ .提示与答案：216AB AC AB BC AB ⋅-⋅==，得4AB =.4. 函数()()()221f x x x =-+在区间[]0,2上的最大值是 ，最小值是 .提示与答案：极小值－4，端点函数值f (2)=0，f (0)=－2，最小值－4，最大值0. 5. 在直角坐标系xOy 中，已知圆心在原点O 、 半径为R 的圆与△ABC 的边有公共点，其中()4,0A =、 ()6,8B =、 ()2,4C =，则R 的取值范围为 . 提示与答案：画图观察，R 最小时圆与直线段AC 相切，R 最大时圆过点B. [855，10]. 6. 设函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是关于x 的奇函数，则函数()y f x =在区间[]0,100上至少有 个零点.提示与答案：f (2k -1)=0，k ∈Z . 又可作一个函数()f x 满足问题中的条件，且()f x 的 一个零点恰为21x k =-，k ∈Z . 所以至少有50个零点. 7. 从正方体的12条棱和12条面对角线中选出n 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则n 的最大值为 . 提示与答案：不能有公共端点，最多4条，图上知4条可以.8. 圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、 银两色中的一种. 其中 镀2金2银的概率是 .提示与答案：穷举法，注意可翻转，有6种情况，2金2银有两种，概率为 13 .（第7题）9. 在三棱锥A BCD -中，已知ACB CBD ∠=∠，ACD ADC BCD BDC ∠=∠=∠=∠θ=，且cos θ=. 已知棱AB的长为，则此棱锥的体积为 . 提示与答案：4面为全等的等腰三角形，由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 . 10. 设复数列{}n x 满足1n x a ≠-，0，且11nn n a x x x +=+. 若对任意n ∈N * 都有3n n x x +=，则a 的值是 .提示与答案：由11n n n a x x x +=+，2321n n n a x x x +++==+()21111n n a x a x ++=++()3211n n n a x x a a x =+++ 恒成立，即()()2110n n a a x x a +++-=. 因为1n x a ≠-或0，故210a a ++=，所以122a i =-±.二、 解答题（本题满分80分，每小题20分）11. 直角坐标系xOy 中，设A 、 B 、 M 是椭圆22:14x C y +=上的三点. 若 3455OM OA OB =+，证明：线段AB 的中点在椭圆22212x y +=上.解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 124＋y 12＝1，x 224＋y 22＝1. 由3455OM OA OB =+，得 M (35x 1＋45x 2，35y 1＋45y 2). 因为M 是椭圆C 上一点，所以(35x 1＋45x 2)24＋(35y 1＋45y 2)2＝1， …………………6分 即 (x 124＋y 12)(35)2＋(x 224＋y 22)(45)2+2(35)(45)(x 1x 24＋y 1y 2)=1， 得 (35)2＋(45)2+2(35)(45)(x 1x 24＋y 1y 2)＝1，故x 1x 24＋y 1y 2＝0. …………………14分 又线段AB 的中点的坐标为 (x 1＋x 22，y 1＋y 22)，所以 (x 1＋x 22)22＋2(y 1＋y 22)2＝12(x 124＋y 12)+12(x 224＋y 22)+x 1x 24＋y 1y 2＝1，从而线段AB 的中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)在椭圆x 22＋2y 2＝1上. ………………20分 12. 已知整数列{}n a 满足31a =-，74a =，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列.(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 求出所有的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=.解：(1) 设数列前6项的公差为d ，则a 5=－1+2d ，a 6=－1+3d ，d 为整数. 又a 5，a 6，a 7成等比数列，所以(3d －1)2=4(2d －1)，即 9d 2－14d +5=0，得d =1. …………………6分 当n ≤6时，a n =n －4，由此a 5=1，a 6=2，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2， 所以，当n ≥5时，a n =2n -5.故 a n =⎩⎪⎨⎪⎧n －4，n ≤4，2n -5， n ≥5．…………………10分(2) 由（1）知，数列{}n a 为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，… 当m =1时等式成立，即 －3－2－1=―6=(－3)(－2)(－1)； 当m =3时等式成立，即 －1+0+1=0；当m =2、 4时等式不成立； …………………15分 当m ≥5时，a m a m +1a m +2 =23m -12， a m +a m +1+a m +2=2m -5(23－1)=7×2m -5，7×2m -5≠23m -12，所以 a m +a m +1+a m +2≠a m a m +1a m +2 . 故所求 m = 1，或m =3. …………………20分 13. 如图，圆内接五边形ABCDE 中，AD 是外接圆的直径，BE AD ⊥，垂足H .过点H 作平行于CE 的直线，与直线AC 、 DC 分别交于点F 、 G .证明： (1) 点A 、 B 、 F 、 H 共圆； (2) 四边形BFCG 是矩形.ABC DEFH G证明：(1) 由HG ∥CE ，得∠BHF =∠BEC ， 又同弧的圆周角 ∠BAF =∠BEC ， ∴ ∠BAF =∠BHF ，∴ 点 A 、 B 、 F 、 H 共圆；…………………8分(2) 由(1)的结论，得 ∠BHA =∠BFA ， ∵ BE ⊥AD ， ∴ BF ⊥AC ，又AD 是圆的直径，∴ CG ⊥AC ， …………………14分 由A 、 B 、 C 、 D 共圆及A 、 B 、 F 、 H 共圆，∴∠BFG =∠DAB =∠BCG ， ∴ B 、 G 、 C 、 F 共圆. ∴ ∠BGC =∠AFB=900, ∴ BG ⊥GC ，∴ 所以四边形BFCG 是矩形. …………………20分 14. 求所有正整数x ，y ，使得23x y +与23y x +都是完全平方数.解：若x =y ，则x 2+3x 是完全平方数. ∵ x 2＜x 2+3x ＜x 2+4x +4= (x +2)2，∴ x 2+3x = (x +1)2，∴ x =y =1. ………………5分 若x ＞y ，则x 2＜x 2+3y ＜x 2+3x ＜x 2+4x +4= (x +2)2. ∵ x 2+3y 是完全平方数，∴ x 2+3y = (x +1)2，得3y = 2x +1，由此可知y 是奇数，设y = 2k +1，则x =3k +1，k 是正整数. 又 y 2+3x = 4k 2+4k +1+9k +3=4k 2+13k +4是完全平方数，且 (2k +2)2=4k 2+8k +4＜4k 2+13k +4＜4k 2+16k +16= (2k +4)2， ∴ y 2+3x =4k 2+13k +4=(2k +3)2，得 k =5，从而求得x =16，y =11. …………………15分 若x ＜y ，同x ＞y 情形可求得 x =11，y =16.综上所述，(x ，y )= (1，1), (11，16), (16，11). …………………20分湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）训练试题（三）姓名： 班级 ： 分数 ：一、 选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的. ）1. 定义集合运算: {}B y A x xy z z B A ∈∈==⊗,,|. 设{}0,2=A ，{}8,0=B ，则集合B A ⊗的所有元素之和为（ ）A. 16B. 18C. 20D. 22 2. 已知{}n a 是等比数列，41,252==a a ，则()*+∈+⋅⋅⋅++N n a a a a a a n n 13221的取值范围是（ ）A. [)16,12B. [)16,8C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡332,8 D. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡332,316 3. 5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆参加接待工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为（ ）A.53 B. 151 C. 85 D. 8150 ４. 已知、 为非零的不共线的向量，设条件:M ()b a b -⊥；条件:N 对一切R x ∈，≥-. 则M 是N 的（ ）Ａ. 必要而不充分条件 Ｂ. 充分而不必要条件 Ｃ. 充分而且必要条件 Ｄ. 既不充分又不必要条件 5. 设函数)(x f 定义在R 上，给出下述三个命题：①满足条件4)2()2(=-++x f x f 的函数图象关于点()2,2对称；②满足条件)2()2(x f x f -=+的函数图象关于直线2=x 对称；③函数)2(-x f 与)2(+-x f 在同一坐标系中，其图象关于直线2=x 对称. 其中，真命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 36. 连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为4的球的两条弦AB 、 CD 的长度分别等于72和34，M 、 N 分别为AB 、 CD 的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：①弦AB 、 CD 可能相交于点M ②弦AB 、 CD 可能相交于点N ③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为1 其中真命题为（ ）A. ①③④B. ①②③C. ①②④D. ②③④7. 设)2008sin(sin 0=a ，)2008sin(cos 0=b ，)2008cos(sin 0=c ，)2008cos(cos 0=d ,则d c b a ,,,的大小关系是（ ）Ａ. d c b a <<< Ｂ. c d a b <<<Ｃ. a b d c <<< Ｄ. b a c d <<<8. 设函数1463)(23+++=x x x x f ，且1)(=a f ，19)(=b f ，则=+b a （ ）A. 2B. 1C. 0D. 2-二、 填空题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分. 请将正确的答案填在横线上. ） 9. 在平面直角坐标系中，定义点()11,y x P 、 ()22,y x Q 之间的“直角距离”为.),(2121y y x x Q P d -+-=若()y x C ,到点()3,1A 、 ()9,6B 的“直角距离”相等，其中实数x 、 y 满足100≤≤x 、 100≤≤y ，则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和为 . 10. 已知集合(){}2008|,22≤+=Ωy x y x ，若点),(y x P 、 点),(y x P '''满足x x '≤且y y '≥，则称点P 优于P '. 如果集合Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，则所有这样的点Q 构成的集合为 .11. 多项式()310021xx x +⋅⋅⋅+++的展开式在合并同类项后，150x的系数为 .（用数字作答）12. 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面. 已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为 . 13. 将一个44⨯棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、 每列都恰有两个黑色方格，则有 不同的染法. （用数字作答）14. 某学校数学课外活动小组，在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下：第k 棵树种植在点()k k k y x P ,处，其中1,111==y x ，当2≥k 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=--.5251;525515111k k y y k k x x k k k k 其中，[]a 表示实数a 的整数部分，例如[]26.2=，[].06.0= 按此方案，第2008棵树种植点的坐标为 .三、 解答题（本大题共4小题，共62分. 要求有必要的解答过程. ） 15. （本小题满分14分）设实数[]βα,,∈b a ，求证：βααβ+≤+b a a b 其中等号当且仅当βα==b a ,或αβ==b a ,成立，βα,为正实数.１6. （本小题满分14分）甲、 乙两人进行乒乓球单打比赛，采用五局三胜制（即先胜三局者获冠军）. 对于每局比赛，甲获胜的概率为32，乙获胜的概率为31. 如果将“乙获得冠军”的事件称为“爆出冷门”. 试求此项赛事爆出冷门的概率.17. （本小题满分16分）已知函数()x x x f -+=1ln )(在区间[]()*∈N n n ,0上的最小值为n b ，令()n n b n a -+=1ln ，()*-∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅=N k a a a a a a p kk k 2421231，求证：.11221-+<+⋅⋅⋅++n n a p p p18. （本小题满分18分）过直线07075:=--y x l 上的点P 作椭圆192522=+y x 的切线PM 、 PN ，切点分别为M 、 N ，联结.MN（1）当点P 在直线l 上运动时，证明：直线MN 恒过定点Q ； （2）当MN ∥l 时，定点Q 平分线段.MN湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）训练试题（三）详细解答1. 解：集合B A ⊗的元素：0021=⨯=z ，16822=⨯=z ，0003=⨯=z ，0804=⨯=z ，故集合B A ⊗的所有元素之和为16. 选A .2. 解: 设{}n a 的公比为q ，则81241253===a a q ，进而21=q .所以，数列{}1+n n a a 是以821=a a 为首项，以412=q 为公比的等比数列. ()n n n n a a a a a a -+-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋅⋅⋅++41332411411813221.显然，33281322121<+⋅⋅⋅++≤=+n n a a a a a a a a . 选C . 3. 解：5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆的方法数为24335=种. 每个场馆至少有一名志愿者的情形可分两类考虑：第1类 ，一个场馆去3人，剩下两场馆各去1人，此类的方法数为60223513=⋅⋅A C C 种；第2类，一场馆去1人，剩下两场馆各2人，此类的方法数为90241513=⋅⋅C C C 种. 故每个场馆至少有一名志愿者的概率为81502439060=+=P . 选D . ４. 解：设a OA =，b OB =，则b x 表示与-表示点A 到直线OB 上任一点C 的距离AC，而表示点A 到B的距离. 当()-⊥时，.OB AB ⊥由点与直线之间垂直距离最短知，AB AC ≥，即对一切R x ∈，不等式≥-. 反之，如果AB AC ≥恒成立，则()AB AC ≥min ，故AB 必为点A到OB 的垂直距离，AC OB ⊥，即()-⊥. 选C .5. 解：用2-x 代替4)2()2(=-++x f x f 中的x ，得4)4()(=-+x f x f . 如果点()y x ,在)(x f y =的图象上，则)4(4x f y -=-，即点()y x ,关于点()2,2的对称点()y x --4,4也在)(x f y =的图象上. 反之亦然，故①是真命题. 用2-x 代替)2()2(x f x f -=+中的x ，得)4()(x f x f -=. 如果点()y x ,在)(x f y =的图象上，则)4(x f y -=，即点()y x ,关于点2=x 的对称点()y x ,4-也在)(x f y =的图象上，故②是真命题. 由②是真命题，不难推知③也是真命题. 故三个命题都是真命题. 选D.6. 解：假设AB 、 CD 相交于点N ，则AB 、 CD 共面，所以A 、 B 、 C 、 D 四点共圆，而过圆的弦CD 的中点N 的弦AB 的长度显然有CD AB ≥，所以②是错的. 容易证明，当以AB 为直径的圆面与以CD 为直径的圆面平行且在球心两侧时，MN 最大为５，故③对. 当以AB 为直径的圆面与以CD 为直径的圆面平行且在球心同侧时，MN 最小为1，故④对. 显然是对的. ①显然是对的. 故选Ａ.7. 解：因为02818036052008++⨯=，所以，0)28sin(sin )28sin sin(00<-=-=a ；0)28sin(cos )28cos sin(00<-=-=b ； 0)28cos(sin )28sin cos(00>=-=c ；0)28cos(cos )28cos cos(00>=-=d .又0028cos 28sin <，故.c d a b <<<故选B.8. 解：由()()101311463)(323++++=+++=x x x x x x f ，令y y y g 3)(3+=，则)(y g 为奇函数且单调递增.而()()110131)(3=++++=a a a f ,()()1910131)(3=++++=b b b f ,所以9)1(-=+a g ,9)1(=+b g ,9)1(-=--b g ,从而)1()1(--=+b g a g , 即11--=+b a ,故2-=+b a . 选D.9. 解：由条件得 9631-+-=-+-y x y x ①当9≥y 时，①化为661-=+-x x ，无解； 当3≤y 时，①化为661-+=-x x ，无解；当93≤≤y 时，①化为 16122---=-x x y ②若1≤x ，则5.8=y ，线段长度为１；若61≤≤x ，则5.9=+y x ，线段长度为25；若6≥x ，则5.3=y ，线段长度为４. 综上可知，点C 的轨迹的构成的线段长度之和为()1254251+=++. 填()125+.10. 解:P 优于P '，即P 位于P '的左上方，“不存在Ω中的其它点优于Q ”，即“点Q 的左上方不存在Ω中的点”. 故满足条件的点的集合为(){}00,2008|,22≥≤=+y x y xy x 且. 填(){}00,2008|,22≥≤=+y x y x y x 且.11. 解：由多项式乘法法则可知，可将问题转化为求方程150=++r t s ①的不超过去100的自然数解的组数. 显然，方程①的自然数解的组数为.2152C下面求方程①的超过100自然数解的组数. 因其和为150，故只能有一个数超过100，不妨设100>s . 将方程①化为49)101(=++-r t s记101-='s s ，则方程49=++'r t s 的自然数解的组数为.251C因此，150x的系数为7651251132152=-C C C . 填7651.12. 解：因为底面周长为3，所以底面边长为21，底面面积为833=S . 又因为体积为89，所以高为3. 该球的直径为()23122=+，球的体积ππ34343==R V . 填π34.13. 解：第一行染2个黑格有24C 种染法. 第一行染好后，有如下三种情况：（1）第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法；（2）第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有24C 种染法，第四行的染法随之确定；（3）第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4种，而在第一、 第二这两行染好后，第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法有2种，第四行的染法随之确定.因此，共有染法为()9024616=⨯++⨯种. 填90. 14. 解：令⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=5251)(k k k f ，则 )(5251521511525515)5(k f k k k k k k k f =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+ 故)(k f 是周期为5的函数.计算可知：0)2(=f ；0)3(=f ；0)4(=f ；0)5(=f ；1)6(=f . 所以，)2008(5120072008f x x -+=；)2007(5120062007f x x -+=；…；)2(5112f x x -+=.以上各式叠加，得[])2008()3()2(5200712008f f f x x +⋅⋅⋅++-+=[]{})3()2()6()3()2(401520071f f f f f x +++⋅⋅⋅++-+= 3401520071=⨯-+=x ；同理可得4022008=y .所以，第2008棵树的种植点为()402,3. 填()402,3.15. 证明：由对称性，不妨设b a ≤，令t ba=，则因βα≤≤≤b a ，可得 .αββα≤=≤b a t …………………………（3分） 设t t t f 1)(+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤≤αββαt ，则对t 求导，得211)(t t f -='. …………（6分） 易知，当⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,βαt 时，0)(<'t f ，)(t f 单调递减；当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈αβ,1t 时，0)(>'t f ，)(t f 单调递增. …………………………………………………………………（9分） 故)(t f 在βα=t 或αβ=t 处有最大值且αββαβα+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛f 及βααβαβ+=⎪⎭⎫ ⎝⎛f 两者相等. 故)(t f 的最大值为βααβ+，即βααβ+≤+=t t t f 1)(. ………………（12分） 由t b a =，得βααβ+≤+b a a b ，其中等号仅当βα==b a ,或αβ==b a ,成立. …………………………………………………………………………（14分）１6. 解：如果某方以1:3或0:3获胜，则将未比的一局补上，并不影响比赛结果. 于是，问题转化为：求“乙在五局中至少赢三局的概率”. …………（3分）乙胜五局的概率为531⎪⎭⎫⎝⎛；………………………………………………（6分）乙胜四局负一局的概率为3231415⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛C ；………………………………（9分）乙胜三局负二局的概率为.32312325⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛C ……………………………（12分）以上结果相加，得乙在五局中至少赢三局的概率为.8117……………（14分）17. 解：（1）因为()x x x f -+=1ln )(，所以函数的定义域为()+∞-,1，…（2分）又xxx x f +-=-+='1111)(. ……………………………………………（5分） 当[]n x ,0∈时， 0)(<'x f ，即)(x f 在[]()*∈N n n ,0上是减函数，故().1ln )(n n n f b n -+==()()().1ln 1ln 1ln n n n n b n a n n =++-+=-+=…………………………（8分）因为()()()141421212222<-=+-k k k k k ,所以 ()()()()()121121212126754532312421253122222+<+⋅+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅k k k k k k k . …………………………………………………………………………（12分） 又容易证明1212121--+<+k k k ，所以 ()()()*-∈--+<+<⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=N k k k k k k a a a a a a p k k k 1212121242125312421231，………………………………………………………………（14分）n p p p +⋅⋅⋅++21()()()12123513--++⋅⋅⋅+-+-<n n112-+=n 112-+=n a .即 .11221-+<+⋅⋅⋅++n n a p p p ……………………（16分）18. 证明：（1）设()00,y x P 、 ()11,y x M 、 ()22,y x N . 则椭圆过点M 、 N 的切线方程分别为192511=+y y x x ，192522=+y y x x . …………………………………………（3分） 因为两切线都过点P ，则有19250101=+y y x x ，19250202=+yy x x . 这表明M 、 N 均在直线192500=+yy x x ①上. 由两点决定一条直线知，式①就是直线MN 的方程，其中()00,y x 满足直线l 的方程. …………………（6分）（1）当点P 在直线l 上运动时，可理解为0x 取遍一切实数，相应的0y 为.107500-=x y 代入①消去0y 得01637052500=--+y x x x ② 对一切R x ∈0恒成立. …………………………………………………………（9分）变形可得 01910635250=⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛+y y x x 对一切R x ∈0恒成立. 故有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.01910,063525y y x由此解得直线MN 恒过定点⎪⎭⎫⎝⎛-109,1425Q . ……………………………（12分） （2）当MN ∥l 时，由式②知.70176370552500--≠---x x 解得.53343750=x 代入②，得此时MN 的方程为03553375=--y x ③ 将此方程与椭圆方程联立，消去y 得.012251280687533255332=--x x …………………………………………（15分） 由此可得，此时MN 截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点⎪⎭⎫⎝⎛-109,1425Q 的横坐标，即 .14252553327533221=⨯--=+=x x x代入③式可得弦中点纵坐标恰好为点⎪⎭⎫⎝⎛-109,1425Q 的纵坐标，即 .10925332125491357533142575-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯-⨯=y 这就是说，点⎪⎭⎫⎝⎛-109,1425Q 平分线段MN . ……………………………（18分）湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）训练试题（四）姓名： 班级 ： 分数 ：一、 选择题（每小题4分，共40分）1. 已知,a b R +∈，集合{||1|,}A x x a x R =+<∈，{||2|,}B x x b x R =->∈，且A B ⊆，则a b +的最大值为（ )(A) 3 . (B)2. (C)3. (D)4.2. 已知()y f x =是定义在R 上的函数，且(2)y f x =+是偶函数，则(2)y f x =图象的一条对称轴是直线（ )(A) 1x =. (B ）4x =. (C ）1x =-. (D ）4x =-.3. 在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线()y f x =，一种是平均价格曲线()y g x =（如(2)3f =表示开始交易后第2小时的即时价格为3元；(2)4g =表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为1元）. 下面给出的四个图象中，实线表示()y f x =的图象，虚线表示()y g x =的图象，其中可能正确的是（)4. 设n S 是等比数列｛n a ｝的前n 项的和，若3620a a +=，则63S S 的值是（ ） (A) 12-. (B) 12. (C) -2. (D) 2. 5. 一个几何体的三视图如图1所示，则此几何体的全面积是（ ）（A）102+84+(C) 84+6. 已知,x y 满足条件1,23,2,1,x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎪⎨≤⎪⎪≥⎩则x y +的最小值是（ )(A)3. （B ）72. (C)2. (D) 73. 7. If (0,)a π∈, 1lg(1cos ),lg()1cos m n αα-==+, then lgsin α=()(A) m n -. (B ）1m n +. (C) 1()2m n -. (D ）11()2m n+. 8. 已知椭圆22143x y +=上的任意一点(,)P x y 可使20x y m ++≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ )(A) (,4]-∞-. (B ）[4,)-+∞. (C) (,4]-∞. (D ）[4,)+∞. 9. 如图2，已知三点A 、 B 、 E 在平面α内，点C 、 D 在α外，并且AC 、 DE 都⊥α, BD ⊥AB. 若AB=3, AC=BD=4, CD=5，则BD 与平面α所成的角等于（ )(A) 15. (B)30. (C)45. (D)60.10. 椭圆22194x y +=上到直线2310x y ++=的距离等于的点的个数是（ ）(A)1. (B)2. （C ）3. （D ）4.二、 A 组填空题（每小题4分，共40分）11. 当x 在区间［0,1］上时，函数()2xxf x e e -=+的值域是__________. 12. 不等式1|1|||x x -<的解集是__________. 13. 某商场在中秋节前30天内月饼的销售总量()f t （单位：盒）与时间(030)t t <≤（单位：天）的关系大致满足2()1016f t t t =++，则该商场前t 天平均售出（如前10天的平均售出为(10)10f 盒）的盒数最少为__________. 14. 已知△ABC 的三条边的长分别是221,2,21a x x b x x c x =-+=-=-，则△ABC 的内角的最大值是__________.15. 已知数列｛n a ｝对任意正整数n 都有12n n n a a a ++=+，若231,1a a =-=，则2011a =_________.16. 如图3，直线MN 过△ABC 的重心G ，且,AM mAB AN nAC ==（其中0,0m n >>),则mn 的最小值是 __________. 17.若tan ,tan αβ是方程图2237372(log 21log 21)log 21log 210x x ++-⋅=的两个根，则sin cos cos sin 2sin sin αβαβαβ+-的值等于__________.18. 已知四面体四该四面体的内切球半径等于______. 19. 从直线:184x yl +=上的任意一点P 作圆22:8O x y +=的两条切线，切点为A 和B ，则弦AB 长度的最小值为__________.20.定义一个对应法则'(,)0,0)P m n P m n →≥≥. 现有直角坐标平面内的点 A (2,6）与点B(6,2)，点M 是线段AB 上的动点，按定义的对应法则':f M M →. 当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 时，点M 的对应点'M 经过的路线的长度为__________.三、 B 组填空题（每小题8分，共40分）21. 已知曲线22440y y x +-+=是一条抛物线，则它的焦点坐标是_____，准线方程是_________.22. 函数32()331f x x x x =-++图象的对称中心的坐标是_____，现将()f x 的图象按向量a 平移后，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =是奇函数，则向量a =_________.23. 已知数列｛n a ｝满足22*,5,4(),5, 5.n n n n na a n a n N y n a a ⎧<+⎪=∈=⎨≥⎪⎩，则y 的最小值是_________，此时n =_________.24. 在半径为1的大球内放入6个半径相等的小球，当小球的体积最大时，小球的半径等于____，此时在 6 个小球之间的空隙里还可以放人一小球，该小球的最大半径等于______. 25. If the solution set of x for the inequality 21(,,21mx n m a n x ax +≥+-areconstants ) is 1[2,1)(,1]2-- then a = ______,m =_____.参考答案（11）2]e e + （12）115((0,)22+ （13）18 （14）120（15）-2 （16）49 （17）0 （18） 19） （20三、 B 组填空题（每小题8分，共40分，每小题两个空， 每空4分）（21）1715(,1),88x -= （22）（1,2）；（-1，-2）（23）16；2（241;3-25）11;3-姓名： 班级 ： 分数 ：一、 填空题（本题满分64分，每小题8分。