光的衍射

光栅的明条纹细窄而明亮，明亮是因为多光束（几千条缝）干涉的结果，细窄是因为两明纹之间是一片暗区（大约有几千个暗纹），光栅的衍射图样为什么具有这种特点呢？下面我们就来分析一下。
2、光栅衍射条纹的性质
对光栅的每一狭缝来说，前面讨论的单缝衍射的结果完全适用，相应于每一狭缝，衍射角 若满足 ，沿衍射角方向应得到明纹；若满足 ，则应得到暗纹，这时单缝波阵面上所有点发出的光线全部抵消。但是光栅中含有大量等面积的平行狭缝，各缝所发出的光波之间还要发生干涉。可以设想，如沿某一衍射角 方向上，按单缝衍射将得到明纹（满足 式），但光栅中缝与缝之间光波的相互干涉恰好满足干涉相消，尽管对每一单缝而言会聚点应该是明纹，但最后还可能是暗条纹。因此，我们第一次体会到：光栅的衍射条纹应看作是单缝衍射与多光束干涉的总效果。这种情况下明条纹的消失是多光束干涉对单缝衍射的影响。后面的讨论我们将会再一次地体会到光栅的衍射条纹的这一特点。
解： 。
由光栅公式： 。可见光谱的波长范围： 。当 时， 属于红外线；当 时，
五、伦琴射线（X射线）的衍射布喇格方程
在教材180页图13.17是一种产生X射线的真空管。K是发射电子的热阴极，A是金属制成的阳极，也叫对阴极。两极间加有数万伏以上的高电压，使电子流加速向对阴极A撞击而产生X射线。
由于X射线不受电场或磁场的影响，所以认为在本质上和可见光一样，是一种波长极短的电磁波。既然是电磁波，X射线也应该有波动特征——能产生干涉、衍射现象。光栅虽可用来测定
光的衍射（二）
四、衍射光栅
引言：用单缝衍射可测量入射光波长，由明纹（或暗纹）公式 ，在缝宽a及透镜焦距一定时，只要测出某级明纹距离中央明纹的距离 ，就可求出入射光波长。但存在一个问题，要想测得准确，就应使衍射角 尽量大些，即缝宽 要小些，但 小则通过缝的光能量就少，使得各级衍射光强度太小，以至于微弱得看不清。若缝宽 大，虽使衍射图样有足够亮度，但各级衍射条纹又挤得太密而不易分辨。下面介绍的光栅也可以用来测波长，由于光栅的衍射条纹比单缝衍射条纹要亮得多，所以用光栅可以准确地测量波长。
（ ）(4)
式时，各层晶面的反射线都将相互加强，形成亮点。(4)式就是布喇格公式。它表明：从各层晶面上散射的X射线，只有在满足上式的条件下，才能相互加强。
与X射线的衍射相类似，在显示实物粒子（如电子、质子、中子等）射线束的波动性的实验中，也采用布喇格方法来论证有关现象。
这部分重点是光栅衍射规律，难点是缺级现象。现我们结合有关例题，帮助同学们进一步掌握这部分内容。
思考题1、一衍射光栅对某一波长在宽度有限的屏幕上只出现中央明纹和第一级亮纹，欲使屏幕上出现高一级的亮条纹，应换一个 较大的还是较小的光栅？
白光照射光栅的情况
由（3）式知，在 给定时，衍射角 的大小与入射光的波长有关。因此，白光通过光栅后，各种单色光将产生各自分开的条纹而形成光栅的衍射光谱。中央明纹或零级明纹因各色光总汇合，仍为白色，其他各级明纹都形成由紫（靠近中央明纹）到红（远离中央明纹）的彩色光谱带。也就是说，光栅起着分光色散的作用。
例5、用波长为 的单色平行光垂直入射在一块多缝光栅上，其光栅常数为 ，缝宽 ，则在单缝衍射的中央明条纹中共有几条谱线（主极大）？
解：单缝衍射的中央明纹宽度是两边一级暗纹之间的距离，由 ，此衍射角对应于光栅的第K级主极大： 。将 代入有： 。因第三级缺级，故在在单缝衍射的中央明条纹中共有5条谱线（主极大）。
他们想象晶体是由一系列的平行的原子层（称为晶面）所组成，当X射线照射晶体时，晶体中每一个原子是一个子波中心，向各方向发出衍射射线，称为散射。不仅有表面散射，还有晶体内层的散射。考虑散射光的叠加效应时，可分为两个步骤来处理。
一是同一晶面上各子波源所发子波的叠加，二是各个不同晶面上所发子波的叠加。
设各原子层（或晶面）之间的距离为 ，称为晶格常数。当一束平行相干的X射线以 角掠射到晶体表面上时，一部分被表面层原子所散射，其余部分将被内部各晶面所散射，但在任一原子层所散射的射线中，只有按反射定律的反射线的强度为最大。即对X射线而言，晶面好像一个平面镜，在符合镜面反射定律的方向上，散射的X射线的光强度最大。而考虑各晶面上的散射所决定的叠加效应时，（见上图）相邻的上、下晶面所发出的反射线的光程差为： 。故符合：
3、光栅公式
光栅公式就是从多光束干涉相长的角度出发（不考虑单缝衍射的因素），衍射角 所必须满足的形成明条纹的条件。
在上图中任取两条相邻的透光缝来分析，两缝分别透出的沿 角方向前进的平行光有无穷多条，它们被聚焦于P点，相邻两狭缝对应点发出的任两条平行光线到达P点的光程差都为 ，若 其中 取整数，那么这两条光线聚焦于P点的干涉效果为彼此加强。可证明这时其他任意两狭缝透过的在 角方向上的平行光的光程差也都是波长的整数倍（如1、2两缝相应点在P点会聚时的光程差为 ；1、3两缝相应点在P点会聚时的光程差就为 ；1、4两缝相应点在P点会聚时的光程差为 ）。总之，所有狭缝相应点发出的沿 角方向的光线会聚于P点的干涉效果都是彼此加强，P点应出现明纹。于是仅从多光束干涉角度考虑，光栅衍射明条纹的条件是衍射角 必须满足：
由于光栅的衍射条纹是多光束干涉和单缝衍射的综合结果，因此，这些明条纹细窄而明亮，通常称为主极大条纹。
4、缺级现象
现考虑影响光栅明纹产生的另一原因。
并不是满足（4）式的 角都能出现明纹，当 角满足（4）式，只是合成光强为最大的必要条件，因为如果满足式（4）的 角还同时适合条件 时，也是得不到明条纹的。因为此时沿各个狭缝所射出的光波都已各自满足单缝暗条纹的条件，即每一单缝发出的光线到会聚点将全部抵消，会聚点无光强当然也就谈不上缝与缝之间的干涉加强作用了。所以，虽按（4）式来说，沿此 角衍射出去的光线会聚后应出现某级明条纹，实际上并不可能，这一现象称为缺级现象。
光栅是由大量等宽等间距的平行狭缝所组成的光学元件。一般情况下用来产生分光色散现象，也可用来测未知光的波长。它分为两类：透射光栅——用于透射光衍射；反射光栅—用于反射光衍射。本节讨论透射光栅
在光栅上刻有大量等宽等间距的平行刻痕，在每条刻痕处，入射光向各个方向散射而不易透过，两刻痕之间的光滑部分可以透光，与缝相当。缝宽 （单缝的透光部分）与缝间距（两相邻单缝之间不透光部分） 之和 称为grating constant.它是光栅的一个重要参数，可用来表示光栅的精致程度。 愈小，单位长度的单缝数愈多，光栅愈精致。好的光栅在一厘米内，可有一万条以上的刻痕。
思考题2、光栅衍射与单缝衍射有何区别？
光栅实际上可看成是许多等距离平行排列的单缝构成，所以光栅的衍射除了考虑每条单缝的衍射效果外，还要考虑各单缝之间的干涉。即光栅衍射可看成是多光束干涉和单缝衍射的总效果。
思考题3、光栅干涉与杨氏双缝干涉有何区别？
它们都是分波阵面法获得相干光。杨氏双缝是一分为二；光栅是一分为N。（N是光栅总缝数）
例3、试指出当衍射光栅常数为下述三种情况时，哪些级数的主极大衍射条纹消失？
（1）光栅常数为缝宽度的两倍。即 ；
（2） ；
（3） ；
解：缺级现象是由于单缝衍射对多光束干涉的影响。从多光束干涉角度考虑 角应满足： ，才能得到主极大，但从单缝衍射角度考虑若衍射角 也同时满足： （ ），则从每一单缝发出的光线到达屏幕某点P的光强接近零，根本谈不上缝与缝之间的干涉加强作用，故联立这两式得： 。对于（1），应有： ，即当 时，光栅衍射主极大 缺级。同理，对于（2）有： ，光栅衍射主极大 缺级。对于（3）有 ，光栅衍射主极大 缺级。
（ ）（4）
当 时， ，对应于中央明纹，它位于透镜的主焦点上。 分别为第一、二级明纹，正负号表示各级明纹在中央明纹两侧对称分布。
对（4）式的几点说明：
1）、（4）式仅仅是从多光束干涉的角度考虑形成明条纹的条件，没考虑单缝衍射的因素。
2）、光栅衍射明条纹的位置也是用衍射角 定位的。
3）、与前面讨论的光的干涉及单缝衍射不同的是，光栅只给出明条纹的位置。这是因为光栅的衍射条纹是多光束干涉和单缝衍射的合效果，所以形成明纹的机会很小。前面我们已经体会了多光束干涉对衍射的影响，下面还会体会衍射对多光束干涉的影响。可证明，在除了满足（4）式的 角以外的衍射角，形成暗纹的机会远比明纹多（教材173页有证明）。在光栅的两条明纹之间实际上是一片连续的暗区，分布着 条暗纹。实际上在 条暗纹之间还有其他的 个强度很小的明条纹，这些明条纹几乎是观察不到的。
例4、利用一个每厘米有4000条缝的光栅，可以产生多少完整的可见光谱？（可见光的波长 ）
解：设 。对第K级光谱，衍射角是从 。
对于紫光： ；对于红光： ；要产生完整的光谱（光谱不发生重叠），即要求： 。于是有： ，故有： 。即紫光的第（K+1）级衍射角要大于红光第K级的衍射角。取 ，代入上式： ，符合不重叠条件；取 ，代入上式： ，不符合条件，故上式只有K=1才满足，所以只能产生一个完整的可见光谱。而第二级和第三级光谱既有重叠现象出现。
例1、（为了测定一个给定光栅的光栅常数，）用红光（ ）垂直照射光栅做Fraunhofer diffraction实验。已知第一级明纹出现在 的方向，问这光栅的光栅常数是多少？一厘米内有多少条缝？第二级明纹出现在什么角度？
解：
第二级明纹对应的角度：
因此不会出现第二级衍射条纹。
例2、白光垂直照射到每厘米有5000条刻痕的光栅上，若在衍射角 处能看到某一波长的光谱线，则该光谱线的波长是多少？该谱线的级数K为多少？
光的波长，但因x射线的波长极短， ，普通光栅由于受光栅常数的限制，对波长极短的电磁波却无法测定。德国物理学家劳厄利用天然晶体本身作为光栅，他根据前人的工作知道：晶体是由原子、分子等微观粒子在空间规则排列组成，相邻粒子间距离为 ，与x射线的波长在同一数量级，故利用晶体这一天然的“衍射光栅”，圆满地获得了X射线的衍射图样。从而证实X射线的波动性。劳厄斑点的分布的定量研究涉及空间光栅的衍射理论，比较复杂，我们不作讨论，现讨论布喇格父子提出的对X射线通过晶体产生的衍射现象的一种研究方法。