2014人教A版高中数学必修三2.2.2《用样本的数字特征估计总体的数字特征》(2课时)教案
人教A版高中数学必修三2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(二)
跟踪训练3 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下 (单位：t/hm2)，试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.
品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2
乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 解 甲品种的样本平均数为10，样本方差为
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►If I had not been born Napoleon, I would have liked to have been born Alexander. 如果今天我不是拿破仑的话，我想成为亚历山大。
►Never underestimate your power to change yourself! 永远不要低估你改变自我的能力！
解析答案
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1 234
1.下列说法正确的是( B ) A.在两组数据中，平均数较大的一组方差较大 B.平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均数的波动大小 C.方差的求法是求出各个数据与平均数的差的平方后再求和 D.在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高 解析 A中平均数和方差是数据的两个特征，不存在这种关系； C中求和后还需取平均数； D中方差越大，射击越不平稳，水平越低.
第二章 § 2.2 用样本估计总体
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字 特征(二)
学习目标
1.理解样本数据方差、标准差的意义，会计算方差、标准差； 2.会用样本的基本数字特征(平均数、标准差)估计总体的基本数字特征； 3.体会用样本估计总体的思想.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
人教A版高中数学必修3第二章2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征第1课时众数、中位数、平均数学情分析：本节课的学习者是高一学生，他们在初中已经学习过统计的初步知识，他们的观察、猜想能力较强。
但演绎推理、归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、紧密性、灵活性比较欠缺，自主探究和合作学习能力需要在课堂教学中进一步加强和引导。
一、三维目标：1、知识与技能（1）能利用频率分布直方图估计总体的众数、中位数、平均数；（2）能用样本的众数、中位数、平均数估计总体的众数、中位数、平均数,并结合实际,对问题作出合理判断,制定解决问题的有效方法；。
（3）形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
2、过程与方法初步体会、领悟“用数据说话”的统计思想方法；通过对有关数据的搜集、整理、分析、判断，培养学生“实事求是”的科学态度和严谨的工作作风.3、情感态度与价值观在解决统计问题的过程中,进一步体会用样本估计总体的思想,理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法；会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题,认识统计的作用,能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系.二、重点与难点重点：根据实际问题对样本数据中提取基本的数据特征并作出合理解释,估计总体的基本数字特征；体会样本数字特征具有随机性.难点：能应用相关知识解决简单的实际问题。
三、教学过程导入新课在日常生活中,我们往往并不需要了解总体的分布形态,而是更关心总体的某一数字特征,例如：买灯泡时,我们希望知道灯泡的平均使用寿命,我们怎样了解灯泡的使用寿命呢？当然不能把所有灯泡一一测试,因为测试后灯泡则报废了.于是,需要通过随机抽样,把这批灯泡的寿命看作总体,从中随机取出若干个个体作为样本,算出样本的数字特征,用样本的数字特征来估计总体的数字特征. (板书课题)新知探究提出问题(1)什么是众数、中位数、平均数？(1)如何绘制频率分布直方图？(3)如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数？活动:那么学生回忆初中所学的一些统计知识,思考后展开讨论,教师提示引导.讨论结果：(1)初中我们曾经学过众数（在一组数据中,出现次数最多的数称为众数）、中位数（在按大小顺序排列的一组数据中,居于中间的数称为中位数）、平均数（一般是一组数据和的算术平均数）等各种数字特征,应当说,这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息.(2)画频率分布直方图的一般步骤为：计算一组数据中最大值与最小值的差,即求极差；决定组距与组数；将数据分组；列频率分布表；画频率分布直方图.(3)教材前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中,从这些样本数据的频率分布直方图可以看出,月均用水量的众数是2.25 t（最高的矩形的中点）,它告诉我们,该市的月均用水量为2.25 t的居民数比月均用水量为其他值的居民数多,但它并没有告诉我们到底多多少.请大家翻回到课本看看原来抽样的数据,有没有 2.25 这个数值呢？根据众数的定义,2.25怎么会是众数呢？为什么？（请大家思考作答）分析：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了,而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的,所以存在一些偏差.提问：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？分析：在样本数据中,有50%的个体小于或等于中位数,也有50%的个体大于或等于中位数.因此,在频率分布直方图中,矩形的面积大小正好表示频率的大小,即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.由此可以估计出中位数的值为2.02.思考：2.02这个中位数的估计值,与样本的中位数值2.0不一样,你能解释其中的原因吗？（原因同上：样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了）课本显示,大部分居民的月均用水量在中部（2.02 t左右）,但是也有少数居民的月均用水量特别高,显然,对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的.思考：中位数不受少数几个极端值的影响,这在某些情况下是一个优点,但是它对极端值的不敏感有时也会成为缺点,你能举例说明吗？（让学生讨论,并举例）对极端值不敏感有利的例子：考察课本中表21中的数据,如果把最后一个数据错写成22,并不会对样本中位数产生影响.也就是说对极端数据不敏感的方法能够有效地预防错误数据的影响,而在实际应用中,人为操作的失误经常造成错误数据.对极端值不敏感有弊的例子:某人具有初级计算机专业技术水平,想找一份收入好的工作,这时如果采用各个公司计算机专业技术人员收入的中位数作为选择工作的参考指标就会冒这样的风险:很可能所选择公司的初级计算机专业技术水平人员的收入很低,其原因是中位数对极小的数据不敏感.这里更好的方法是同时用平均工资和中位数来作为参考指标,选择平均工资较高且中位数较大的公司就业.对极端值不敏感的方法,不能反映数据中的极端情况.同样的,可以从频率分布直方图中估计平均数,上图就显示了居民用水的平均数,它等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.由估计可知,居民的月均用水量的平均值为2.02 t.显示了居民月均用水量的平均数,它是频率分布直方图的“重心”.由于平均数与每一个样本数据有关,所以,任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变.这是中位数、众数都不具有的性质.也正因为这个原因,与众数、中位数比较起来,平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息.从图上可以看出,用水量最多的几个居民对平均数影响较大,这是因为他们的月均用水量与平均数相差太多了.利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字.（最高矩形的中点）估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等.估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.总之,众数、中位数、平均数都是对数据中心位置的描述,可以作为总体相应特征的估计.样本众数易计算,但只能表达样本数据中的很少一部分信息,不一定唯一；中位数仅利用了数据中排在中间数据的信息,与数据的排列位置有关；平均数受样本中的每一个数据的影响,绝对值越大的数据,对平均数的影响也越大．三者相比,平均数代表了数据更多的信息,描述了数据的平均水平,是一组数据的“重心”.应用示例例1 下面是某校学生日睡眠时间抽样频率分布表(单位：h),试估计该校学生的日平均睡眠时间．分析：要确定这100名学生的平均睡眠时间,就必须计算其总睡眠时间,由于每组中的个体睡眠时间只是一个范围,可以用各组区间的组中值近似地表示．解法一：总睡眠时间约为6.25×5+6.75×17+7.25×33+7.75×37+8.25×6+8.75×2=739（h）,故平均睡眠时间约为7.39 h．解法二：求组中值与对应频率之积的和6.25×0.05+6.75×0.17+7.25×0.33+7.75×0.37+8.25×0.06+8.75×0.02=7.39（h）. 答：估计该校学生的日平均睡眠时间约为7.39 h．例2 某单位年收入在10 000到15 000、15 000到20 000、20 000到25 000、25 000到30 000、30 000到35 000、35 000到40 000及40 000到50 000元之间的职工所占的比分别为10%,15%,20%,25%,15%,10%和5%,试估计该单位职工的平均年收入．分析：上述百分比就是各组的频率．解：估计该单位职工的平均年收入为12 500×10%+17500×15%+22 500×20%+27 500×25%+32 500×15%+37 500×10%+45 000×5%=26 125(元).答：估计该单位人均年收入约为26 125元．知能训练从甲、乙两个公司各随机抽取50名员工月工资：甲公司：800 800 800 800 800 1 000 1 000 1 000 1 0001 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 0001 2001 2001 2001 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 2001 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 5001 500 1 500 1 500 1 500 1 500 1 5002 000 2 000 2 0002 000 2 000 2 500 2 500 2 500乙公司：700 700 700 700 700 700 700 700 700700 700 700 700 700 700 1 000 1 000 1 0001 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 0001 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 0001 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 0001 000 1 000 6 000 8 000 10 000试计算这两个公司50名员工月工资平均数、众数、中位数,并估计这两个企业员工平均工资. 答案：甲公司：员工月工资平均数1 240,众数1 200,中位数1 200；乙公司：员工月工资平均数1 330,众数1 000,中位数1 000；从总体上看乙公司员工月工资比甲公司少,原因是乙公司有几个收入特高的员工影响了工资平均数.拓展提升“用数据说话”, 这是我们经常可以听到的一句话.但是,数据有时也会被利用,从而产生误导.例如,一个企业中,绝大多数是一线工人,他们的年收入可能是一万元左右,另有一些经理层次的人,年收入可以达到几十万元.这时,年收入的平均数会比中位数大得多.尽管这时中位数比平均数更合理些,但是这个企业的老板到人力市场去招聘工人时,也许更可能用平均数来回答有关工资待遇方面的提问.你认为“我们单位的收入水平比别的单位高”这句话应当怎么解释?这句话的目的是谨防利用人们对统计术语的模糊认识进行误导(蒙骗).使学生能够正确理解在日常生活中像“我们单位的收入水平比别的单位高”这类话的模糊性,这里的“收入水平”是指员工收入数据的某个中心点,即可以是中位数、平均数或众数,不同的解释有不同的含义.在这里应该注意以下几点:1.样本众数通常用来表示分类变量的中心值,容易计算,但是它只能表达样本数据中的很少一部分信息,通常用于描述分类变量的中心位置.2.中位数不受少数几个极端数据(即排序靠前或排序靠后的数据)的影响,容易计算,它仅利用了数据中排在中间数据的信息.当样本数据质量比较差,即存在一些错误数据(如数据的录入错误、测量错误等)时,应该用抗极端数据强的中位数表示数据的中心值,可以利用计算机模拟样本,向学生展示错误数据对样本中位数的影响程度.3.平均数受样本中的每一个数据的影响,“越离群”的数据,对平均数的影响也越大.与众数和中位数相比,平均数代表了数据更多的信息.当样本数据质量比较差时,使用平均数描述数据的中心位置可能与实际情况产生较大的误差.可以利用计算机模拟样本,向学生展示错误数据对样本平均数的影响程度.在体育、文艺等各种比赛的评分中,使用的是平均数.计分过程中采用“去掉一个最高分,去掉一个最低分”的方法,就是为了防止个别裁判的人为因素而给出过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响,从而降低误差,尽量保证公平性4.如果样本平均数大于样本中位数,说明数据中存在许多较大的极端值;反之,说明数据中存在许多较小的极端值.在实际应用中,如果同时知道样本中位数和样本平均数,可以使我们了解样本数据中极端数据的信息,帮助我们作出决策.5.使用者常根据自己的利益去选取使用中位数或平均数来描述数据的中心位置,从而产生一些误导作用.课堂小结1．能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征（平均数）,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；2．平均数对数据有“取齐”的作用,代表一组数据的平均水平；3．形成对数据处理过程进行初步评价的意识．作业习题2.2A组3.设计感想本堂课在初中学习的众数、中位数、平均数的基础上,学习了利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数,这是一种近似估计,但都能说明总体的分布特征,各有优缺点,讲解时紧扣课本内容,讲清讲透,使学生活学活用,会画频率分布直方图,会利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数,对总体作出正确的估计.。
人教A版高中数学必修三课件2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(共37张PPT)
【解】 (1) x 甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
x 乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.
s2甲＝16 [(99－ 100)2＋ (100 －100)2＋(98 －100)2＋ (100－ 100)2
＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73， s2乙＝16 [(99－ 100)2＋ (100 －100)2＋(102－ 100)2＋ (99－ 100)2 ＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1. (2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同， 又 s2甲>s2乙， 所以乙机床加工零件的质量更稳定．
【名师点评】 用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数 (1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数． (2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分左 右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数． (3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率 分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标 之和．
跟踪训练 2．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位 工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图，则
(1) 这 20 名 工 人 中 一 天 生 产 该 产 品 数 量 在 [55,75) 的 人 数 是 ________； (2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为________； (3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为________．
(3)方差的简化计算公式 s2＝n1[(x21＋x22＋…＋x2n)－n x 2] ＝n1(x21＋x22＋…＋x2n)－ x 2
＝n1i＝n1x2i － x 2.
(4)平均数、方差计算公式的推论 若数据 x1，x2，…，xn 的平均数为 x ，方差为 s2，则： ①x1＋b，x2＋b，…，xn＋b 的平均数是 x ＋b，方差是_s_2_； ②ax1，ax2，…，axn 的平均数是 a x ，方差是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa_2_s_2__； ③ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b 的平均数是 a x ＋b，方差是 __a_2s_2__.
2014人教A版高中数学必修三 2.2.2 《用样本的数字特征估计总体的数字特征》导学案
§2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征◆ 课前导学 （一）学习目标1.知道样本的平均数、样本的方差，样本标准差的定义；2.会计算样本平均数和样本标准差；3.通过实例清楚样本数据表准差的作用. （二）重点难点重点：通过样本的方差，样本标准差估计总体； 难点：理解样本标准差的意义与作用. （三）预习指导◎学习目标一：知道样本的平均数、样本的方差，样本标准差的定义.1．一般地，如果有几个数1x ，2x ，…，n x ，那么x = ，叫做这n 个数的算术平均数，可简称平均数或均值.2．一般地，设样本的元素为1x ，2x ，…，n x ，样本的平均数为x ，定义S 2= ， S= ，其中S 2表示样本方差，S 表示样本标准差，它们描述了一组数形围绕平均数波动的大小. ◆ 课中导学◎学习目标二：会计算样本平均数和样本标准差. （一）小试身手1．从总体中抽取样本4，8，6，5，7，则样本平均数为（ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 2．在样本方差计算公式()()()[]21022212202020101-++-+-=x x x s 中，数字10和20分别表示样本的（ ）A ．容量，方差B ．平均数，容量C ．容量，平均数D ．校准差，平均数３．从养猪场中任意抽5头猪，重量（单位：千克）分别是315，317，308，310，295，则它的样本方差为（ ）A ．1545B ．309C ．8.63D ．59.6（一）巩固深化◎学习目标三：通过实例清楚样本数据表准差的作用.例1某工厂人员及工资构成如下表：（1）指出这个问题中的众数、中位数、平均数；（2）这个问题中，平均数能客观地反映该工厂的工资水平吗？为什么？例2某化肥厂甲，乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔３０分钟抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：甲：102，101，99，98，103，98，99乙：110，115，90，85，75，115，110（1）这种抽样方法是什么抽样？（2）估计甲、乙两车间的平均值与方差，并说明哪个车间产品稳定.（二）课堂练习1．已知某班一个学习小组数学成绩如下：92，90，85，93，95，86，88，91，则它的样本方差为（）A．5.5 B．6.5 C．10.5 D．9.52．若Ｍ个数的平均数是x，N个数的平均数是Ｙ，则Ｍ＋Ｎ个数的平均数是__________________.3．一组数据中的每一个数据都减去８０得一组新数据，若求得新数据的平均数是 1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是，.◆ 课后导学 一．选择题1、可以描述总体稳定性的统计量是（ ）A 样本平均数xB 样本中位数C 样本方差 2s D 样本最大值 2、已知容量为40的样本方差2s =4，那么s 等于（ ） A 4 B 2 C 2 D 1 3、与总体单位不一致的量是（ ） A s B x C 2s D 1x4、一个样本的方差是])15()15()15[(101S 21022212-+⋅⋅⋅+-+-=x x x ，则这个样本的平均数与样本容量分别是（ ）A 、10，10B 、6，15C 、15、10D 、由1021x x ,x ⋅⋅⋅确定，105、若样本1,,1,121+⋅⋅⋅++n x x x 的平均数为10，其方差为2，则对于样本2,,2,221+⋅⋅⋅++n x x x 的下列结论正确的是（ ）A 、平均数为10，方差为2B 、平均数为11，方差为3C 、平均数为11、方差为2D 、平均数为14，方差为46、如果数据n x x x ,,,21⋅⋅⋅的平均数是x ，方差是2S ，则32,,3,23221+⋅⋅⋅++n x x x 的平均数和方差分别是（ ）A 、x 和SB 、32+x 和42SC 、32+x 和2S D 、32+x 和9124S 2++S7、从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，测得它们的株高分别如下：（单位：cm ）根据以上数据估计（ ）A 、甲种玉米比乙种玉米不仅长得高而且长得整齐。
必修三2-2-2用样本的数字特征估计总体的数字特征
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
规律方法 1.中位数的求法 (1)当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排列 的中间那个数． (2)当数据个数为偶数时，中位数为排列的最中间的两个 数的平均数． 2．深刻理解和把握平均数、中位数、众数在反映样本数 据上的特点，并结合实际情况，灵活应用．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
自学导引
众数、中位数、平均数的概念 1． 次数 最多的数称为这组数据的 (1)众数：一组数据中出现_____ 众数．一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有．众 集中趋势 ．在频率分布直方图中， 数反映了该组数据的_________ 中点 就是数据的众数． 最高矩形的_____ (2)中位数：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于 _____ 中间 位置的数称为这组数据的中位数(或两个数据的平均 数)．一组数据中的中位数是唯一的，反映了该组数据的 集中趋势．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直 方图的面积_____ 相等 .
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练
1 解 (1) 利 用 平 均 数 计 算 公 式 得 x ＝ (82×27 ＋ 48 80×21)≈81.13(分)． (2)∵男同学的中位数是75， ∴至少有14人得分不超过75分．
又∵女同学的中位数是80， ∴至少有11人得分不超过80分． ∴全班至少有25人得分低于80分(含80分)． (3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学中 两极分化现象严重，得分高的和低的相差较大．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
(4)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描 述．极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据 中的极端值非常敏感，方差则反映了一组数据围绕平均数 波动的大小．为了得到以样本数据的单位表示的波动幅 度，通常用标准差——样本方差的算术平方根来描述． (5)标准差的大小不会越过极差． (6)方差、标准差、极差的取值范围：[0，＋∞)．当标准 差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动 幅度，数据没有离散性． (7)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大 了偏差的程度，所以虽然方差和标准差在刻画样本数据的 分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般采用标 准差．
人教A版高中数学必修三2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课件
１．标准差
s
1 n
[(x1
x)2
(
x2
x)2
(xn x)2 ]
标准差较大，数据的离散程度较大；标 准差较小，数据的离散程度较小。
２．方差
从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方 （即方差）来代替标准差，作为测量样本数据 分散程度的工具：
s2
1 n
[(
x1
x)2
( x2
x)2
(xn x)2 ]
2.平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数 据的平均水平.
小试牛刀
甲乙两机床同时加工直径为100厘米的零件, 为检验质量从中抽取6件,测量的数据为: 甲: 99，100，98，100，100，103 乙：99，100，102，99，100，100
分别计算两组数据的平均数。
2.2.2 用样本的数字特征 估计总体的数字特征
众数：最高矩形的中点的横坐标 中位数：中位数左边和右边的直方图的
面积相等，由此估计中位数的值 平均数：等于频率分布直方图中每个小
矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐 标之和
例1为了了解某班学生每周做家务劳动的
时间，某综合实践小组对该班50名学生 进行了调查，有关数据如下：
每周做家 0 务的时间
第2课时
创设情境
在一次射击选拔比赛中，甲、乙两名运动员各 射击10次，命中环数如下﹕
甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4； 乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7. 观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的
更稳定些吗？如果你是教练，选哪位选手去参 加正式比赛？
探究新知
从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较 高？
课堂小结
人教A版高中数学必修3：2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(4)
中位数左边和右边的直方图的面积 应该相等
中位数 37.81
3. 同样，可以从频率分布直方图中估计 样本平均数
平均数的估计值=频率分布直方图中每个 小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐 标之和，由此估计工人日加工零件数的平 均数又是多少呢？
平均数的估计值=频率分布直方图中每个 小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横 坐标之和
3、平均数 x x1 x2 x3 ... xn n
随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加 工零件数(单位：件)，获得数据如下：25，29，30， 31，32，33，34，34，36，36，36，37，37，38， 39，40，41，42，42，43，43，44，45，46，49.
平均数：37.5
练习1 如图所示是一样本的频率分布直方图,则由
图形中的数据,可以估计众数、中位数与平均 数分别是多少？
众数：12.5 中位数：13 平均数：13
练习2
某中学举行电脑知识竞赛,现将高一参赛学生的成绩进 行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图,已知 图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是 0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.求: (1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数. 众数：65 中位数：65 (2)高一参赛置
大册子P35-P37相应的题目做完，要有过程 步骤。
样本频率分布直方图如下：
二 、 众数、中位数、平均数 与频率分布直方图的关系
1、众数在样本数据的频率分布直方图 中，就是最高矩形的中点的横坐标。
例如，从 刚才例子中频率分布直方图可 以看出，工人的日加工零件的众数是多少？
众数（最高矩形的中点的横坐标）
众数：37.5
2、在样本中，有50％的个体小于或等于 中位数，也有50％的个体大于或等于中位 数，因此，在频率分布直方图中，中位数 左边和右边的直方图的面积应该相等，由 此可以估计中位数的值。下图中虚线代表 工人日加工零件数的中位数的估计值，此 数据值为______.
2014人教A版高中数学必修三2.2.2《用样本的数字特征估计总体的数字特征》2导学案
§用样本的数字特色预计整体的数字特色2授课周礼拜第节课型主备课刘百波第新讲课时人间学1.正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差；习2. 能依据实质问题的需要合理地采用样本，从样本数据中提取基本的数字特色（如平目均数、标准差）并作合理的解说。
标重点能依据实质问题的需要合理地采用样本，从样本数据中提取基本的数字特色（如均匀数、难标准差）并作合理的解说。
点自主学习知识梳理1. 均匀数描述了数据的，定量地放映了数据的会合趋向所处的水平；2. 一般的，称为均匀数或均值；3. 数据的失散程度可以用来描述；4. 一般地，称为样本标准差。
阅读课本36-37页练习 1 ：一个水库养了某种鱼10 万条，从中捕捞了20 条，称得它们的质量以下：( 单位： KG)学习过计算样本均匀数，并依据计算结果预计水库里全部这类鱼的总质量约是多少？程与方法练习2：要从甲乙两名跳远运动员中选拔一名去参加运动会，选拔的标准是：先看他们的均匀成绩，假如两人的均匀成绩相差无几，就要再看他们成绩的稳固程度。
为此对两人进行了15 次竞赛，获得以下数据：（单位： cm）：甲75757574747272737776767776737 4 527439118813461乙727674757475747576747675747574 974053529305827如何经过对上述数据的办理，来作出选人的决定呢？精讲互动1.用样本均匀数预计整体均匀数2.用样本标准差预计整体标准差3.常用的变形公式达标训练1．若k1, k2,, k 8的方差为3，则 2(k 13),2( k 23), ,2(k 83) 的方差为________.2．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数以下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7 ，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的均匀值和方差分别为（）A．B．C．D．3.从甲乙两个总体中各抽取了一个样本：甲658496乙876582依据以上数据，说明哪个颠簸小？4. 甲乙两人在同样条件下个射击20 次，命中的环数以下：甲7868659107456678791096乙95787686779658696877问谁射击的状况比较稳固？作业习题 1-5 2，3布置学习小结/教学反思。
人教A版高中数学必修三2.2.2《用样本的数字特征估计总体的数字特征》(2)教案
湖南省蓝山二中高一数学《2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征（2）》教案 新人教A 版必修3教学目标：知识与技能（1）正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差;（2）能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释;（3）会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征;（4）形成对数据处理过程进行初步评价的意识.过程与方法在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法.重点与难点:重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差.难点：能应用相关知识解决简单的实际问题.教学过程:一.知识回顾问题1:.如何根据样本频率分布直方图，分别估计总体的众数、中位数和平均数？(1)众数：最高矩形下端中点的横坐标.(2)中位数：直方图面积平分线与横轴交点的横坐标.(3)平均数：每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和.二.知识讲解１．标准差平均数为我们提供了样本数据的重要信息，可是，有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断。
某地区的统计显示，该地区的中学生的平均身高为１７６㎝，给我们的印象是该地区的中学生生长发育好，身高较高。
但是，假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话，那么，这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质。
因此，只有平均数难以概括样本数据的实际状态。
问题2:在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？ 我们知道，77x x ==乙甲， 。
问题3:两个人射击的平均成绩是一样的。
那么，是否两个人就没有水平差距呢？直观上看，还是有差异的。
2014人教A版高中数学必修三 2.2.2《用样本的数字特征估计总体的数字特征》导学案
2.2.2 《用样本的数字特征估计总体的数字特征》【学习目标】1. 正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差2. 能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释；3. 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
【重点难点】教学重点用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。
教学难点能应用相关知识解决简单的实际问题。
【知识链接】一、复习回顾作频率分布直方图分几个步骤？各步骤需要注意哪些问题？二、创设情境在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？上节课我们学习了用图表的方法来研究，为了从整体上更好地把握总体的规律，我们这节课要通过样本的数据对总体的数字特。
【学习过程】众数、中位数、平均数众数—一组数中出现次数最多的数；在频率分布直方图中，我们取最高的那个小长方形横坐标的中点。
中位数——当一组数有奇数个时等于中间的数，当有偶数个时等于中间两数的平均数；在频率分布直方图中，是使图形左右两边面积相等的线所在的横坐标。
平均数——将所有数相加再除以这组数的个数；在频率分布直方图中，等于每个小长方形的面积乘以其底边中点的横坐标的和。
思考探究：分别利用原始数据和频率分布直方图求出众数、中位数、平均数，观察所得的数据，你发现了什么问题？为什么会这样呢？你能说说这几个数据在描述样本信息时有什么特点吗？由此你有什么样的体会？答：（1）从频率分布直方图得到的众数和中位数与从数据中得到的不一样，因为频率分布直方图损失了一部分样本信息，所以不如原始数据准确。
（2）众数和中位数不受极端值的影响，平均数反应样本总体的信息，容易受极端值的影响。
人教版高中数学 A版 必修三 第二章 《2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征》
知识点三 平均数 定义 如果有 n 个数
x1，x2，x3，…，xn，那么
x
＝
1n(x1＋x2＋…＋xn)
叫做
这 n 个数的平均数.
特点 (1)一组数据有且仅有一个平均数.(2)平均数是频率分布直方图的
“重心”，是直方图的平衡点，因此，每个小矩形的面积与小矩形底边中
点的横坐标的乘积之和为平均数.(3)由于平均数与每一个样本的数据有关，
度.
3.现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，虽然总体的平均数与标准
差客观存在，但是我们无从知道.所以通常的做法随是机用样本的平均数和标准
差去估计总体的平均数与标准差.虽然样本具有
性，不代同表的性样本测
得的数据不一样，与总体的数字特征也可能不同，但只要样本的
答案
返回
题型探究
重点难点 个个击破
类型一 感受数据的离散程度
3.利用直方图求数字特征：①众数是最高的矩形的底边的中点.②中位数 左右两边直方图的面积应相等.③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩 形底边中点的横坐标之和.
返回
第二章 § 2.2 用样本估计总体
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字 特征(二)
学习目标
1.理解样本数据方差、标准差的意义，会计算方差、标准差； 2.会用样本的基本数字特征(平均数、标准差)估计总体的基本数字特征； 3.体会用样本估计总体的思想.
知识点二 用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征
1.样本的基本数字特征包括众数 、中位数 平、均数 标、准差
.
2.平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使我们
作出对总体的片面判断，因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些
2014人教A版高中数学必修三2.2.2《用样本的数字特征估计总体的数字特征》导学案3
40.1
40.2
39.9
40.0
40.2
39.8
40.2
39.8
乙
40.0
40.0
39
9
40.0
39.9
40.1
40.1
40.1
40.0
39.9
（1）你能选择适当的数分别表示这两组数据的离散程度吗？
提出问题：什么叫标准差？有什么意义？
（2）分别计算上面从甲、乙两台机床抽取的10件产品直径的标准差
1.什么叫平均数？有什么意义？
2.什么叫中位数？有什么意义？
3.什么叫众数？有什么意义？
练习1：某公司员工的月工资情况如表所示：
月工资/元
8000
5000
4000
2000
1000
800
700
600
500
员工/人
1
2
4
6
12
8
20
5
2
（1）分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数、和众数。
（2）公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工的月工资情况？税务官呢？工会领导呢？
【解】
4.什么叫极差？有什么意义？
5.什么叫方差？有什么意义？
练习2：在上一节中，从甲、乙两个城市随机抽取的16台自动售货机的销售额可以用茎叶图表示，如图
（1）甲乙两组数据的中位数、众数、极差分别是多少？
（2）你能从图中分别比较甲乙两组数据平均数和方差的大小吗？
精讲互动
例1甲、乙两台机床同时生产直径是40mm的零件。为了检验产品质量，从两台机床生产的产品中各抽取10件进行测量，结果如下表所示
§2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征1
人教A版高中数学必修3第二章2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
§2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征第1课时众数、中位数、平均数【学习目标】1、理解众数、中位数、平均数在样本数据中所代表的含义；2、会运用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数；3、理解在利用众数、中位数、平均数估计总体的数字特征时各自的优缺点；【学习重点】如何从样本频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数【学习难点】从样本频率分布直方图中估计中位数【学习过程】同学们好，通过前面的学习，我们知道从两方面用样本来估计总体，频率分布和数字特征。
但在日常生活中我们往往并不需要了解总体的分布形态，而是关心总体的某一数字特征，例如：居民月均用水量问题，我们关心的是数字，而不是总体的分布形态。
因此，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究。
这节课我们从三个的数字特征-- 众数、中位数、平均数来估计总体的情况。
一、复习回顾初中，我们学习了众数、中位数、平均数，现在回忆下他们的概念思考1：在初中我们学过众数、中位数和平均数的概念，这些数据都是反映样本信息的数字特征，对一组样本数据如何求众数、中位数和平均数？答：众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.平均数:一组数据的算术平均数,即x=思考2：众数、中位数和平均数的特点是什么? 答：众数：可以有一个或多个；121()n x x x n++⋯+中位数：(1)排序后找中位数；(2)中位数只有一个；(3)中位数不一定是这组数据中的数平均数：一组数据有且仅有一个平均数脱口而出：1.求下列各组数据的众数（1）1，2，3，3，3，5，5，8，8，8，9，9（2）1，2，3，3，3，5，5，8，8，9，9（3）1，2，3，4，52、求下列各组数据的中位数（1）1，2，3，3，3，4，6，8，8，8，9，9（2）1，2，3，3，3，4，8，8，8，9，93、求下列各组数据的平均数（1）1，9，3，7，6，4，2，8，（2）1，1，3，7，6，4，2，8，（3）101,102,98,105,99这是从样本数据中根据众数、中位数、平均数的定义求的，那么从频率分布直方图中如何估计众数、中位数和平均数呢？现在请同学们以小组为单位再规范下自己的答案。
人教A版高中数学必修三课件2.2.2《用样本的数字特征估计总体的数字特征》(2课时)
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2.2用样本估计总体
2.2.1用样本的数字特征估计总体的数字特征
第2课时标准差
本课主要学习用样本的数字特征估计总体的数字特征的 相关内容，具体包括标准差的意义与计算方法。 本课开始提出问题“只有平均数还难以概括样本数据的 实际状态”，引发学生思考，接着以一个射击案例作为 课前导入，引导学生用平均数以外的量来估计总体，从 而引出标准差的概念以及计算方法。然后通过两个例题 进行系统讲解，并通过一系列习题进行加深巩固。
x5 S=2.83
12 3 45678 (4)
四组数据的平均数都是5.0,标准差分别0.00,0.82,1.49,2.83. 虽然它们有相同的平均数,但是它们有不同的标准差,说明数据 的分散程度是不一样的.
从数学的角度考虑 ， 人们有时用标准差的平 方s2 方差
来代替标准作为测量样 本数据分散程度的工具 :
解:依题意计算可得
=90X01=900
X2
s1≈23.8s2≈42.6
甲乙两种水稻6年平均产量的平均数相同,但甲的标准差比乙的 小,所以甲的生产比较稳定.
2.一个小商店从一家食品有限公司购进21袋白糖，每袋的标准 重量是500g，为了了解这些白糖的重量情况，称出各袋白糖的 重量（单位：g）如下：
486 495 496 498 499 498 484 497 504 489 499 503 509 498 487
解:用计算器计算可得: x甲 25.4005, x乙 25,4008;
s甲 0.038, s乙 0.074
1.农场种植的甲乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续6年 的平均产量如下（单位是：500g）：
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福建省长乐第一中学高中数学必修三《2.2.2用样本的数字特征估计
总体的数字特征(2课时)》教案
一、三维目标：
1、知识与技能
（1）正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。
（2）能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释。
（3）会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。
（4）形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
2、过程与方法
在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。
3、情感态度与价值观
会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系。
二、重点与难点
重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。
难点：能应用相关知识解决简单的实际问题。
三、教学设想
【创设情境】
在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕
甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？为了从整体上更好地
把握总体的规律，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究。
——用样本
的数字特征估计总体的数字特征（板出课题）。
【探究新知】
<一>、众数、中位数、平均数
〖探究〗：P62
（1）怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心点”？
（2）能否用一个数值来描写样本数据的离散程度？（让学生回忆初中所学的一些统计知识，思考后展开讨论）
初中我们曾经学过众数，中位数，平均数等各种数字特征，应当说，这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息。
例如前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t（最高的矩形的中点）（图略见课本第62页）它告诉我们，该市的月均用水量为2. 25t的居民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告诉我们到底多多少。
〖提问〗：请大家翻回到课本第56页看看原来抽样的数据，有没有2.25 这个数值呢？根据众数的定义，2.25怎么会是众数呢？为什么？（请大家思考作答）
分析：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因，而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的，所以存在一些偏差。
〖提问〗：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？
分析：在样本数据中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数。
因此，在频率分布直方图中，矩形的面积大小正好表示频率的大小，即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等。
由此可以估计出中位数的值为2.02。
（图略见课本63页图
2.2-6）
〖思考〗：2.02这个中位数的估计值，与样本的中位数值2.0不一样，你能解释其中的原因吗？（原因同上：样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了）
课本63页图2.2-6）显示，大部分居民的月均用水量在中部（2.02t 左右），但是也有少数居民的月均用水量特别高，显然，对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的。
〖思考〗：中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是一个优点，但是它对极端值的不敏感有时也会成为缺点，你能举例说明吗？（让学生讨论，并举例）
<二>、标准差、方差
１．标准差
平均数为我们提供了样本数据的重要信息，可是，有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断。
某地区的统计显示，该地区的中学生的平均身高为１７６㎝，给我们的印象是该地区的中学生生长发育好，身高较高。
但是，假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话，那么，这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质。
因此，只有平均数难以概括样本数据的实际状态。
例如，在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕ 甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？ 我们知道，77x x ==乙甲， 。
两个人射击的平均成绩是一样的。
那么，是否两个人就没有水平差距呢？（观察Ｐ６６图２.２-８）直观上看，还是有差异的。
很明显，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，因此我们从另外的角度来考察这两组数据。
考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差。
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示。
样本数据1,2,,n x x x 的标准差的算法：
（1）、算出样本数据的平均数x 。
（2）、算出每个样本数据与样本数据平均数的差：(1,2,
)i x x i n -= （3）、算出（２）中(1,2,)i x x i n -=的平方。
（4）、算出（３）中n 个平方数的平均数，即为样本方差。
（5）、算出（４）中平均数的算术平方根，，即为样本标准差。
其计算公式为：
显然，
标准
差较
大，
数
s =
据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小。
〖提问〗：标准差的取值范围是什么？标准差为０的样本数据有什么特点？ 从标准差的定义和计算公式都可以得出：0s ≥。
当0s =时，意味着所有的样本数据都等于样本平均数。
（在课堂上，如果条件允许的话，可以给学生简单的介绍一下利用计算机来计算标准差的方法。
）
２．方差
从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方2s （即方差）来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具：
在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差。
【例题精析】
〖例1〗：画出下列四组样本数据的直方图，说明他们的异同点。
(1)５，５，５，５，５，５，５，５，５
(2)４，４，４，５，５，５，６，６，６
(3)３，３，４，４，５，６，６，７，７
(４)２，２，２，２，５，８，８，８，８
分析：先画出数据的直方图，根据样本数据算出样本数据的平均数，利用标准差的计算公式即可算出每一组数据的标准差。
解：（图略，可查阅课本Ｐ６８）
四组数据的平均数都是５.０，标准差分别为：０.００，０.８２，１.４９，２.８３。
他们有相同的平均数，但他们有不同的标准差，说明数据的分散程度是不一样的。
〖例2〗：（见课本Ｐ６９）
分析： 比较两个人的生产质量，只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的
平均数与标准差的大小即可，根据用样本估计总体的思想，我们可以通过抽样分别获得相应的样本数据，然后比较这两个样本数据的平均数、标准差，以此作为两个总体之间的差异的估计值。
【课堂精练】
P ７１ 练习 1. 2. 3 ４
【课堂小结】
1． 用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：
a) 用样本平均数估计总体平均数。
b) 用样本标准差估计总体标准差。
样本容量越大，估计就越精确。
2． 平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平。
3． 标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度。
【评价设计】
1．P ７２ 习题2.2 A 组 ３、 ４、１０ 2222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++-。