17华东师大版初中数学七年级上册 整式的加减(一)——合并同类项(提高)知识讲解

华东师大版初中数学七年级上册 整式的加减（一）——合并同类项（提高）知识讲解
【学习目标】
1．掌握同类项及合并同类项的概念，并能熟练进行合并；
2. 掌握同类项的有关应用；
3. 体会整体思想即换元的思想的应用．
【要点梳理】
要点一、同类项
定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．
要点诠释：
(1)判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可．
(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．
(3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项．
要点二、合并同类项
1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变． 要点诠释：合并同类项的根据是乘法的分配律逆用，运用时应注意：
(1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄；
(2)系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)．
【典型例题】
类型一、同类项的概念
1.判别下列各题中的两个项是不是同类项：
(1)-4a 2b 3与5b 3a 2
；(2)2213x y z -与2213xy z -；(3)-8和0；(4)-6a 2b 3c 与8ca 2． 【答案与解析】 (1)-4a 2b 3与5b 3a 2是同类项；(2)不是同类项；(3)-8和0都是常数，是同类项；(4)-6a 2c 与8ca 2是同类项．
【总结升华】辨别同类项要把准“两相同，两无关”，“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；“两无关”是指：①与系数及系数的指数无关；②与字母的排列顺序无关．此外注意常数项都是同类项.
2．（2016•邯山区一模）如果单项式5mx a y 与﹣5nx
2a ﹣3y 是关于x 、y 的单项式，且它们是同类项．求
（1）（7a ﹣22）2013的值；
（2）若5mx a y ﹣5nx 2a ﹣3y=0，且xy ≠0，求（5m ﹣5n ）2014的值．
【思路点拨】（1）根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得关于a 的方程，解方程，可得答案；
（2）根据合并同类项，系数相加字母部分不变，可得m 、n 的关系，根据0的任何整数次幂都得零，可得答案．
【答案与解析】解：（1）由单项式5mx a y 与﹣5nx
2a ﹣3y 是关于x 、y 的单项式，且它们是同类
项，得a=2a ﹣3，解得a=3；
∴（7a ﹣22）2013=（7×3﹣22）2013=（﹣1）
2013=﹣1； （2）由5mx a y ﹣5nx 2a ﹣3y=0，且xy ≠0，得
5m ﹣5n=0，
解得m=n ；
∴（5m ﹣5n ）2014=02014=0．
【总结升华】本题考查了同类项，利用了同类项的定义，负数的奇数次幂是负数，零的任何正数次幂都得零．
举一反三：
【变式】（2015•石城县模拟）如果单项式﹣x a+1y 3与x 2y b
是同类项，那么a 、b 的值分别为（ ）
A. a=2，b=3
B. a=1，b=2
C. a=1，b=3
D. a=2，b=2
【答案】C
解：根据题意得：a+1=2，b=3，
则a=1．
类型二、合并同类项
3．合并同类项： ()221324325x x x x -++--；()2222265256a b ab b a -++-；
()2223542625yx xy xy x y xy -+-+++;
()()()()()2323
431215141x x x x -----+- （注：将“1x -”或“1x -”看作整体）
【思路点拨】同类项中，所含“字母”，可以表示字母，也可以表示多项式，如（4）．
【答案与解析】
（1）()()()22232234511x x x x x x =-+-++-=+-=+-原式
（2） ()()2222665522a a b b ab ab -+-++=原式=
（3）原式=()
()222562245x y x y xy xy xy -++-+++22
45x y xy =++ （4）()()()()()()223323315121412161x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=---+----=----⎣⎦⎣⎦原式 【总结升华】无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄.
举一反三：
【变式1】
化简：（1） 32313125433
xy x y xy x ---+ （2） (a-2b)2+(2b-a)-2(2b-a)2+4(a-2b) 【答案】原式33232
11231123()()53345334
xy xy x x y xy x y =-+--=-+--
3221.1512
xy x y =---
（2） (a-2b)2+(2b-a)-2(2b-a)2+4(a-2b)
=(a-2b)2-2(a-2b)2+4(a-2b)-(a-2b)
=(1-2)(a-2b)2+(4-1)(a-2b)
=-(a-2b)2
+3(a-2b).
4.（2015•大丰市一模）若﹣2a m b 4与5a 2b n+7的和是单项式，则m+n= ． 【思路点拨】两个单项式的和仍是单项式，这说明﹣2a m b 4与5a 2b n+7是同类项．
【答案】-1
【解析】解：由﹣2a m b 4与5a 2b n+7是同类项，得
，
解得． m+n=﹣1，
故答案为：﹣1．
【总结升华】要善于利用题目中的隐含条件． 举一反三：
【变式】若35x a b 与30.2y a b -可以合并，则x = ，y = .
【答案】3,3±±
类型三、化简求值
5. 化简求值：
（1）当1,2a b ==-时，求多项式3232399111552424ab a b ab a b ab a b -
-+---的值． （2）若243(32)0a b b +++=，
求多项式222(23)3(23)8(23)7(23)a b a b a b a b +-+++-+的值．
【答案与解析】（1）先合并同类项，再代入求值：
原式=32391911()(5)52244
a b ab a b -++---- =32345a b a b ---
将1,2a b ==-代入，得：323323
4541(2)1(2)519a b a b ---=-⨯⨯--⨯--=-
（2）把(23)a b +当作一个整体，先化简再求值：
原式=22(28)(23)(37)(23)10(23)10(23)a b a b a b a b +++--+=+-+
由243(32)0a b b +++=可得：430,320a b b +=+=
两式相加可得：462a b +=-，所以有231a b +=-
代入可得：原式=210(1)10(1)20⨯--⨯-=
【总结升华】此类先化简后求值的题通常的步骤为：先合并同类项，再代入数值求出整式的值．
举一反三：
【变式】3422323323622已知与是同类项，求代数式的值a b x
y xy b a b b a b +----+.
【答案】 ()()()34223232233233
23231,2 4.2, 6.
362232624,
2,66426228.
a b x y xy a b a b b a b b a b b b a b a b b a b a b +--∴+=-=∴=-=--+=-+-+=-∴=-==-⨯-⨯=解：与是同类项，
当时，原式
类型四、综合应用
6. 若多项式-2+8x+(b-1)x 2+ax 3与多项式2x 3-7x 2-2(c+1)x+3d+7恒等，求ab-cd.
【答案与解析】
法一：由已知
ax 3+(b-1)x 2+8x-2≡2x 3-7x 2-2(c+1)x+(3d+7) ∴ 2,17,82(1),237.
a b c d =⎧⎪-=-⎪⎨=-+⎪⎪-=+⎩ 解得：2,6,5,3.a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=-⎩ ∴ab-cd=2×(-6)-(-5)×(-3)=-12-15=-27.
法二：说明：此题的另一个解法为：由已知
(a-2)x 3+(b+6)x 2
+[2(c+1)+8]x-(3d+9)≡0. 因为无论x 取何值时，此多项式的值恒为零.所以它的各项系数皆为零，即从而得
解得： 【总结升华】若等式两边恒等，则说明等号两边对应项系数相等；若某式恒为0，则说明各20,60,2(1)80,(39)0.
a b c d -=⎧⎪+=⎪⎨++=⎪⎪-+=⎩2,6,5,3.a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=-⎩
项系数均为0；若某式不含某项，则说明该项的系数为0．
举一反三：
【变式1】若关于x的多项式-2x2+mx+nx2+5x-1的值与x的值无关，求(x-m)2+n的最小值. 【答案】 -2x2+mx+nx2+5x-1=nx2-2x2+mx+5x-1=(n-2)x2+(m+5)x-1
∵此多项式的值与x的值无关，
∴
20,
50.
n
m
-=
⎧
⎨
+=
⎩
解得:
2
5
n
m
=
⎧
⎨
=-
⎩
当n=2且m=-5时， (x-m)2+n=[x-(-5)]2+2≥0+2=2.
∵(x-m)2≥0，
∴当且仅当x=m=-5时，(x-m)2=0，使(x-m)2+n有最小值为2.。