2015南昌航空大学硕士研究生数理统计(复习)

合集下载

数理统计复习资料

数理统计复习资料数理统计复习资料数理统计是一门应用数学的学科，主要研究数据的收集、整理、分析和解释。

它在各个领域都有广泛的应用，包括经济学、医学、社会科学等。

在学习数理统计时，我们需要掌握一些基本的概念和方法，以及一些常用的统计分布和假设检验。

下面是一些数理统计复习资料的内容。

1. 概率论基础概率论是数理统计的基础，它研究随机事件的发生概率。

在学习概率论时，我们需要了解一些基本的概念，如样本空间、事件、概率等。

同时，还需要掌握概率的计算方法，包括加法法则、乘法法则、条件概率等。

此外，还需要了解一些常用的概率分布，如二项分布、泊松分布、正态分布等。

2. 统计推断统计推断是数理统计的核心内容，它研究如何通过样本对总体进行推断。

在学习统计推断时，我们需要了解抽样分布和估计量的性质。

同时，还需要学习点估计和区间估计的方法，包括最大似然估计、矩估计、置信区间等。

此外，还需要掌握假设检验的基本原理和方法，包括单样本均值检验、两样本均值检验、方差分析等。

3. 回归分析回归分析是数理统计的重要应用，它研究自变量与因变量之间的关系。

在学习回归分析时，我们需要了解线性回归模型和非线性回归模型的基本原理。

同时，还需要学习回归系数的估计方法，包括最小二乘估计、岭回归、lasso回归等。

此外，还需要掌握回归模型的诊断方法，包括残差分析、模型选择等。

4. 方差分析方差分析是数理统计的一种重要方法，它研究不同因素对观测值的影响。

在学习方差分析时，我们需要了解单因素方差分析和多因素方差分析的基本原理。

同时，还需要学习方差分析的假设检验方法，包括F检验、多重比较等。

此外，还需要掌握方差分析的扩展方法，如混合设计、重复测量设计等。

5. 非参数统计非参数统计是数理统计的一种重要分支，它不依赖于总体分布的假设。

在学习非参数统计时，我们需要了解秩和检验、符号检验、Wilcoxon秩和检验等基本方法。

同时，还需要学习非参数回归、非参数方差分析等扩展方法。

数理统计考研复试题库及答案

数理统计考研复试题库及答案一、选择题1、设随机变量 X 的概率密度为 f(x) ＝ 2x, 0 ＜ x ＜ 1，则 P{02 ＜X ＜ 08} ＝（）A 06B 04C 032D 016答案：C解析：P{02 ＜ X ＜ 08} ＝∫02,08 2x dx ＝ x^2|02,08 ＝ 064 004 ＝062、设 X₁, X₂,， Xₙ 是来自正态总体 N(μ, σ²) 的样本，样本均值为X，样本方差为 S²，则（）A Xμ ～ N(0, 1)B n(Xμ) ／σ ～ N(0, 1)C （Xμ) ／（S ／√n) ～ t(n 1)D （n 1)S²／σ² ～χ²(n 1)答案：D解析：根据抽样分布的性质，（n 1)S²／σ² ～χ²(n 1)3、设总体 X 服从参数为λ 的泊松分布，X₁, X₂,， Xₙ 是来自总体 X 的样本，则λ 的矩估计量为（）A XB S²C 2XD 1 ／X答案：A解析：由 E(X) ＝λ ，且样本矩等于总体矩，可得λ 的矩估计量为X。

4、对于假设检验问题 H₀: μ ＝μ₀，H₁: μ ≠ μ₀，给定显著水平α ，若检验拒绝域为｜Z| ＞zα/2 ，其中 Z 为检验统计量，当 H₀成立时，犯第一类错误的概率为（）A αB 1 αC α/2D 1 α/2答案：A解析：第一类错误是指 H₀为真时拒绝 H₀，犯第一类错误的概率即为显著水平α 。

5、设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都服从标准正态分布 N(0, 1) ，则 Z ＝ X²＋ Y²服从（）A 正态分布B 自由度为 2 的χ² 分布C 自由度为 1 的χ² 分布D 均匀分布答案：B解析：因为 X 和 Y 相互独立且都服从标准正态分布，所以 Z ＝ X²＋ Y²服从自由度为 2 的χ² 分布。

概率论与数理统计综合复习资料

?概率论与数理统计?综合复习资料一、填空题1、一个盒子中有10个球，其中有3个红球，2个黑球，5个白球，从中取球两次，每次取一个〔无放回〕，那么：第二次取到黑球的概率为；取到的两只球至少有一个黑球的概率为。

2、X 的概率密度为f x e xx ()=-+-1221π(-∞<<+∞x )，那么=DX 。

3、随机变量X N Y N ~()~()-1131，，，且X 与Y 相互独立，设随机变量52+-=Y X Z ，那么=EX ；4、随机变量X 的分布列为X -1 0 2 P k 0.4 0.2 p 那么： EX = ；5、设X 与Y 独立同分布，且)2,2(~2N X ，那么D (32X Y -)= 。

6、设对于事件A 、B C 、有P A ()=P B P C ()()==14，121)(=ABC P ，81)()()(===AC P BC P AB P ，那么A 、B C 、都不发生的概率为。

7、批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，那么取到的是二等品的概率为。

8、相互独立，且概率分布分别为那么：)(Y X E += ； )32(2Y X E -= 。

9、工厂A B 、生产产品的次品率分别为2%与1%，现从由A B 、工厂分别占30%与70%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，那么该产品是B 工厂的概率为。

10、设Y X 、的概率分布分别为那么：)2(Y X E += ；)4(2Y X E -= 。

二、选择题1、设X 与Y 相互独立，且分别服从)2,1(2N 与)1,1(N ，那么。

2、4.0)(=A P ，6.0)(=B P ，5.0)|(=A B P ，那么=)(B A P 。

A ． 1B ． 0.73、设某人进展射击，每次击中的概率为1/3，今独立重复射击10次，那么恰好击中3次的概率为。

4、甲、乙两人独立的对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6 与，现目标被命中，那么它是甲射中的概率是。

《概率论与数理统计》综合复习资料

《概率论与数理统计》综合复习资料《概率论与数理统计》综合复习资料⼀、填空题1．由长期统计资料得知，某⼀地区在4⽉份下⾬（记作事件A ）的概率为4/15，刮风（记作事件B ）的概率为7/15，刮风⼜下⾬（记作事件C ）的概率为1/10。

则：=)|(B A P ；=)(B A P 。

2．⼀批产品共有8个正品2个次品，从中任取两次，每次取⼀个（不放回）。

则：（1）第⼀次取到正品，第⼆次取到次品的概率为；（2）恰有⼀次取到次品的概率为。

3．设随机变量)2,1(~2N X 、)3(~P Y （泊松分布），且相互独⽴，则：)2(Y X E += ； )2(Y X D + 。

4．设随机变量X 的概率分布为X －1 0 1 2 p k 0.1 0.2 0.3 p 则： =EX ；DX = ；Y X =-21的概率分布为。

5．设⼀批产品中⼀、⼆、三等品各占60%、30%、10%，从中任取⼀件，结果不是三等品，则取到的是⼆等品的概率为。

6．设Y X 、相互独⽴，且概率分布分别为 2)1(1)(--=x ex f π(-∞<<+∞x ) ； ?≤≤=其它，，0312/1)(y y ?则：)(Y X E += ； )32(2Y X E -= 。

7．已知随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 P k 0.3 0.5 0.2 则：随机变量X 的期望EX = ；⽅差DX = 。

8．已知⼯⼚A B 、⽣产产品的次品率分别为2%和1%，现从由A B 、⼯⼚分别占30%和70%的⼀批产品中随机抽取⼀件，发现是次品，则该产品是B ⼯⼚的概率为。

9．设Y X 、的概率分布分别为≤≤=其它，，0514/1)(x x ?； ?()y e y y y =>≤-40004，，则：)2(Y X E += ；)4(2Y XE -= 。

10．设随机变量X 的概率密度为≤=其它，，02cos )(πx x A x f ，则：系数A = 。

中国民航大学《概率论与数理统计》期末复习题及解答

中国民航大学《概率论与数理统计》期末复习题一、填空题1．设A 与B 是相互独立的随机事件，满足P(A)=0.3, P(B A )=0.7 ,则P(B)= .2. 随机变量X )4,1(~N ,随机变量Y 服从参数2=θ的指数分布, 其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0 , 00, 21)(21y y e y f yY 而且X 与Y 的相关系数为21=XY ρ, 则),cov(Y X = .3．设离散型随机变量X 的分布函数为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤--<=x x x F 3 ,13x 2 , 522 , 0)(则随机变量X 的分布律为。

4. 设随机变量X )1,0(~N , 随机变量Y )(~2n χ, 且X 与Y 是相互独立,令nYX T =，则~2T 分布.5.设总体X 服从参数为λ的泊松分布, 0>λ为未知参数。

),,,(21n X X X 是总体X中抽取的一个样本，则参数λ的矩估计量λˆ= . 二、选择题1．在某大学任意选出一名学生。

令：A={选出的学生是男生}，B={选出的学生是三年级学生}，C={选出的学生是数学系的学生}，则当时，ABC=C 成立。

（A ）数学系的学生都是三年级的男生（B ）三年级的学生都是数学系的男生（C ）该学校的男生都是数学系三年级的学生（D ）三年级的男生都是数学系的学生2．设袋中有a 只黑球，b 只白球，每次从中取出一球，取后不放回，从中取两次，则第二次取出白球的概率为（）（A ）22)(b a b +（B ）)1)(()1(-++-b a b a b b （C ）11-+-b a b （D ）b a b+3．设离散型随机变量X 的分布律为),2,1(!}{ ===k k ck X P kλ其中0>λ为常数，则c=（）（A ）λe - （B ）λe （C ） 11--λe （D ）11-λe4．设随机变量921,,,X X X 相互独立的且同分布，而且),9,2,1(1,1 ===i DX EX i i 令∑==91i iX X ，则对任意给定的0>ε，由切比雪夫不等式直接可得（）（A ）211}1{εε-≥<-X P （B ）211}9{εε-≥<-X P（C ）291}9{εε-≥<-X P （D ）211}191{εε-≥<-X P5．设总体X),0(~2σN ,),,,(21n X X X 是从中抽取的一个简单随机样本，则2σ的无偏估计量为（）（A ）∑=-=n i iX n 12211ˆσ （B ）∑==ni i X n 1221ˆσ（C ）∑=+=n i iX n 12211ˆσ（D ）∑=+=ni iXn n 1222)1(ˆσ三、设有两箱同种类零件,第一箱装有50件,其中10件为一等品;第二箱装有30件,其中18件为一等品,今从两箱中随意取出一箱,然从该箱取零件2次,每次任取一只,作不放回抽样.求:(1) 第一次取出的零件为一等品的概率;(2) 在第一次取出的零件为一等品的条件下,第二次取出的也是一等品的概率.四、甲，乙两人进行比赛,规定若某人先赢得4局比赛的胜利得整场比赛的胜利. 设在每局比赛中,甲，乙两人获胜的概率都是21,令X 表示所需比赛的局数,求: (1) X 的可能取值; （2）X 的分布律; （3）E(X).五、向平面区域}0,40:),{(2≥-≤≤=x x y y x D 内随机地投掷一点,即二维随机变量(X,Y)服从平面区域D 上的均匀分布.(1) 试求二维随机变量(X,Y)的联合密度函数;(2) 点(X,Y)到y 轴距离的概率密度函数;(3) 设(X,Y)∈D,过点(X,Y)作y 轴的平行线,设S 为此平行线与x 轴、y 轴以及曲线24x y -=所围成的曲边梯形的面积,求E(S).六、设随机变量X 与Y 的分布律分别为X 0 1 Y 0 1 p 1-1p 1p p 1-2p 2p 其中,101<<p ,102<<p 证明:如果X 与Y 不相关,则X 与Y 相互独立.七、假设一条自动生产线生产的产品的合格率为0.8,试用中心极限定理计算,要使一批产品的合格率在76%与84%之间的概率不小于90%,问这批产品至少要生产多少件? (已知,9015.0)29.1(=Φ,95.0)65.1(Φ=其中)(x Φ是正态分布)1,0(N 的分布函数)八、设总体X 服从区间),0(θ上的均匀分布,其中0>θ为未知参数. ),,,(21n X X X 是从该总体中抽取的一个样本.(1)求未知参数θ的极大似然估计θˆ (2)求θˆ的概率密度函数; (3)判断θˆ是否为未知参数θ的无偏估计.九、某厂在所生产的汽车蓄电池的说明书上写明：使用寿命的标准差不超过0.9年,现随机地抽取了10只蓄电池, 测得样本的标准差为1.2年,假定使用寿命服从正态分布),(2σμN ,取显著性水平05.0=α,试检验 81.0::81.0:2120<≥σσH H概率论与数理统计期末复习题三(答案)一、填空题1) 742) 2 3)4) ),1(n F5) X =λˆ 二、选择题1) A 2) D 3) D 4) C 5) B三、解 : (1) 设 21}{，，次取到一等品第==i i A i {}2,1==i i B i ，箱被挑出的是第由全概率公式 )|()()|()()(2121111B A P B P B A P B P A P +=52301821501021=⨯+⨯=(2) 由条件概率定义及全概率公式得)()|()()|()()()()|(12212121112112A P B A A P B P B A A P B P A P A A P A A P +==48557.0522930171821495091021≈⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=四、解 : (1) 由题意知,X 的可能取值为 4,5,6,7 (2) 分布律为41221⎪⎭⎫ ⎝⎛C 5341221⎪⎭⎫ ⎝⎛C C 6351221⎪⎭⎫ ⎝⎛C C 7361221⎪⎭⎫ ⎝⎛C C即(3) ()169316571656415814=⨯+⨯+⨯+⨯=X E五、解 : (1) 平面区域D 的面积为⎰⎰-==2402316x dy dx A所以(X ,Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=D y x D y x y x f ),(,0),(,163),( (2) 点()Y X ,到y 轴的距离的概率密度函数，即是分量X 的边缘密度函数，当20≤≤x 时())4(163163),(2402⎰⎰∞+∞---===x X x dy dy y x f x f所以，分量X 的边缘密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它,020,)4(163)(2x x x f X(3) 曲边梯形的面积为⎰⎰--==Xx X X dy dx S 04032314而 ()⎰∞+∞--=⎪⎭⎫⎝⎛-=dxx f x x X X E S E X )()314(31433()dx x x x ⎰-⋅-=2234163)314(38=六、证明 : 令}1{==X A }1{==Y B 则}0{==X A }0{==Y B 由于X 与Y 是不相关的，所以()()()0=-Y E X E XY E 由题知 ()()1}1{p X P A P X E ==== ()()2}1{p Y P B P Y E ====所以 ()21p p XY E = 而XY 的取值只有0和1当1=XY 时 ())(}1,1{}1{AB P Y X P XY P XY E ======)()(21B P A P p p ==所以A 与B 是相互独立的.由此可知A 与B ,A 与B ,A 与B 也是相互独立的. 综上可知,X 与Y 是相互独立的.七、解 : 设这批产品至少要生产n 件令∑==ni iX X 1且 n X X X ,,,21 独立同服从)8.0,1(b .所求为 9.0}84.076.0{≥<<n XP所以}84.076.0{}84.076.0{n X n P n XP <<=<<})8.01(8.08.084.0)8.01(8.08.0)8.01(8.08.076.0{-⨯⨯-<-⨯⨯-<-⨯⨯-=n n n n n X n n n P 9.01)1.0(2)1.0()1.0(≥-Φ=-Φ-Φ=n n n即 95.0)1.0(≥Φn 则65.01.0≥n 解得 25.2725.162=≥n所以 273min =n则这批产品至少要生产273件.八解 : (1) 记()),,,min(211n x x x x =，),,,max(21)(n n x x x x =由题意知,总体X 的概率函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,00,1)(θθx x f由于θ≤≤n x x x ,,,021 ,等价于 )1(0x ≤ ,θ≤)(n x .则似然函数为()()θθθθ≤≤===∏∏==n n ni ni i x x x f L ,0,11)()(111于是对于满足条件θ≤)(n x 的任意θ有n n nx L )(11)(≤=θθ即)(θL 在)(n x =θ时取到最大值n n x )(1,故θ的最大似然估计值为())(max ˆ1ini n x x ≤≤==θθ最大似然估计量为)(max ˆ1)(ini n X X ≤≤==θ(2) X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,00,1)(θθx x f则分布函数为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<≤=θθθx x x x x F ,10,0,0)(因此)(max ˆ1)(in i n X X ≤≤==θ的概率密度函数为[]⎪⎩⎪⎨⎧<<==--其它,00,)()()(11ˆθθθx nx x f x F n x f n n(3) 由于θθθθθθ≠+===⎰⎰∞+∞-1)()ˆ(0ˆn ndx nxdx x xf E n故θˆ不是θ的无偏估计. 九、解 : 检验假设81.0:81.0:2120<≥σσH H则有题意知拒绝域为())1(1212022-≤-=-n S n αχσχ这里: 05.0=α 10=n 查表得 325.3)9(295.0=χ 且 222.1=s81.020=σ则 ()()325.31681.02.1110122022>=⨯-=-=σχs n 所以2χ不在拒绝域内，故接受0H注：若本题目中没有给出检验假设，通常我们给的假设是：.81.0:;81.0:2120>≤σσH H 然后再进行检验.。

考研数理统计知识点总结

考研数理统计知识点总结一、概率论的基本概念1.1概率的定义概率是对随机事件发生的可能性的度量，用P(A)表示事件A发生的概率。

概率的定义有古典概率、几何概率和概率统计学三种。

1.2事件与样本空间对一个随机试验而言，其所有可能的结果组成的集合称为样本空间，而样本空间中的子集称为事件。

1.3事件的关系与运算事件之间存在包含、互斥、逆事件和并、交、差等关系与运算。

1.4条件概率事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，用P(A|B)表示。

1.5独立性如果事件A的发生不受事件B发生的影响，那么称事件A与事件B是相互独立的。

1.6全概率公式与贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式是概率论中的两个重要公式，可以用来求解复杂事件的概率。

二、随机变量与概率分布2.1随机变量的定义随机变量是随机试验结果的数字表示，包括离散型随机变量和连续型随机变量。

2.2离散型随机变量离散型随机变量的概率分布可以由概率函数或分布函数来描述，包括二项分布、泊松分布、超几何分布等。

2.3连续型随机变量连续型随机变量的概率分布可以由概率密度函数或分布函数来描述，包括正态分布、指数分布、均匀分布等。

2.4随机变量的数字特征随机变量的数字特征包括数学期望、方差、标准差等，这些特征可以用来描述随机变量的集中趋势和离散程度。

2.5常见概率分布的性质不同的概率分布具有不同的性质，包括分布形状、数学期望、方差等。

三、大数定律与中心极限定理3.1大数定律的概念大数定律是概率论中的一条重要定理，描述了大量独立同分布随机变量的均值在概率意义下趋于数学期望的现象。

3.2中心极限定理的概念中心极限定理是概率论中的一条重要定理，描述了大量独立同分布随机变量的均值的分布在适当标准化后趋于正态分布的现象。

3.3两个定理的适用条件大数定律和中心极限定理有各自的适用条件，考生需要了解并掌握其适用的情况。

四、参数估计与假设检验4.1参数估计的基本概念参数估计是通过样本数据来估计总体参数的值，包括点估计和区间估计两种方法。

数理统计考研复试题库及答案

2（1）未知函数u 的导数最高阶为2，u ``,u `,u 均为一次，所以它是二阶线性方程。

（2）为y 最高阶导数为1，而y 2为二次，故它是一阶非线性常微分方程。

（3）果y 是未知函数，它是一阶线性方程；如果将x 看着未知函数，它是一阶非线性方程。

3. 提示：所满足的方程为y ``－2 y `+y=0 4．直接代入方程，并计算Jacobi 行列式。

5.5.方程变形为方程变形为dy=2xdx=d(x 2),),故故y= x 2+C6. 微分方程求解时，都与一定的积分运算相联系。

因此，把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程。

微分方程的解又称为（一个）积分。

7．把微分方程的通解用初等函数或通过它们的积分来表达的方法。

注意如果通解能归结为初等函数的积分表达，但这个积分如果不能用初等函数表示出来，我们也认为求解了这个微分方程，因为这个式子里没有未知函数的导数或微分。

8．y `＝f(x,y)f(x,y)主要特征是主要特征是f(x,y)f(x,y)能分解为两个因式的乘积，能分解为两个因式的乘积，其中一个因式仅含有x,x,另一另一因式仅含y ，而方程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分离变量方程的主要特征，就像f(x,y)一样，一样，p,q p,q 分别都能分解成两个因式和乘积。

9（1）积分得x=-cosx+c（2）将方程变形为x 2y 2dy=(y-1)dx 或1-y y 2＝2xdx ，当xy ≠0,y ≠1时积分得22x ＋y+ln 1-y +x1=c(3)(3)方程变形为方程变形为y dy +1＝xxsin cos dx,dx,当当y ≠-1,sinx ≠0时积分得y=Csinx-1(4)(4)方程变形为方程变形为exp(y)dy=exp(2x)dx,exp(y)dy=exp(2x)dx,积分得积分得exp(y)exp(y)＝＝21exp(2x)exp(2x)＋＋C (5)(5)当当y ≠±1时，求得通积分ln11+-y y =x+c (6)(6)方程化为方程化为x 2ydx=(1- y 2)(1+x 2)dx 或221x x +dx=y y 21-dy,dy,积分得积分得x －arctgx arctgx－－ln y +21y 2=C(7)(7)当当x(y 2--1)≠0时，方程变形得x x 12+dx+12-y ydy =0 两边积分并化简得 y 2＝1＋2xCexp(-x 2)10.10.二元函数二元函数f(x,y)f(x,y)满足满足f(rx,ry)=r mf(x,y),r.>0,f(x,y),r.>0,则称则称f(x,y)f(x,y)为为m 次齐次函数。

《概率论与数理统计》期末复习材料(南师大)

《概率论与数理统计》复习大纲
第一章随机事件与概率
事件与集合论的对应关系表
第二章随机变量与概率分布
1
2
p p ⎝其中每一个 p ≥0 且 ∑i=1
p i =1, 离散型随机变量的分布函数是非降的阶梯函数。

随机变量的函数的概率分布1．离散型的求法
设离散型随机变量X的分布律为：[]
X x1x2… x k…
P p1p2… p k…,则X的函数Y=g(X)的分布律为：
[]
Y g(x1) g(x2) …g(x k) …
P p1p2… p k…, 当g(x j)有相同情况时，概率为相应之和。

例2.4.1
2．连续型的公式法：例2.4.3
设X为连续型随机变量，其密度函数为f X(x)，设g(x)是一严格单调的可导函数，其值域[α,β]，且g'(x)≠0，记x=h(y)
为y=g(x)的反函数，则Y=g(X)的密度函数为f Y(y)=
⎩
⎨
⎧f X(h(y))|h'(y)| α<y<β
0 其它
3．连续型的直接变换法(分布函数法)：例2.4.2
F Y(y)=P{Y≤y}= P{g(x)≤y}= P{X∈S}，其中S={x|g(x)≤y}，然后再把F Y(y)对y求导，即得f Y(y)
f Y(y)=
⎩⎪
⎨
⎪⎧dF Y(y)/dy 当F Y(y)在y处可导时
0 当F Y(y)在y处不可导时
第三章随机向量及其概率分布
第四章随机变量的数字特征。

考研数理统计知识点详解

考研数理统计知识点详解一、概率与统计基础概率与统计是数理统计学的基础，它们是研究和运用概率以及统计理论和方法解决实际问题的数学学科。

概率用于描述随机现象的不确定性程度，统计则用于从观测数据中进行推断和决策。

在考研中，了解概率与统计基础非常重要。

1.1 概率基础概率是描述随机事件发生可能性的数值，常用的概率计算方法包括：频率概率、古典概型、条件概率、贝叶斯公式等。

考研数理统计中常见的概率分布包括：二项分布、正态分布、泊松分布等。

掌握这些概率的基本概念和计算方法是考研数理统计的基础。

1.2 统计基础统计是通过对实际观测数据的整理、分析和推断，得到总体特征的学科。

统计推断是数理统计的核心内容，它包括估计和假设检验两个方面。

统计学中最常见的估计方法有点估计和区间估计，常见的假设检验方法有参数假设检验和非参数假设检验。

二、随机变量与概率分布随机变量是概率论中的重要概念，它是一个可随机取得不同值的变量。

随机变量可以分为离散随机变量和连续随机变量两类。

2.1 离散随机变量离散随机变量的取值是有限或可数无穷个，其概率可以通过概率质量函数来描述。

常见的离散随机变量包括：二项分布、泊松分布、超几何分布等。

了解这些离散随机变量的特点和计算方法，对于考研数理统计非常重要。

2.2 连续随机变量连续随机变量的取值是一个或多个区间，其概率可以通过概率密度函数来描述。

在考研数理统计中，最常见的连续随机变量是正态分布。

正态分布在实际问题中有广泛的应用，掌握正态分布的特点和计算方法是考研数理统计必备的知识。

三、参数估计参数估计是指根据样本数据来估计总体参数的值，常见的参数估计方法有点估计和区间估计。

3.1 点估计点估计是根据样本数据得到总体参数的一个估计值。

常见的点估计方法有最大似然估计和矩估计。

最大似然估计是根据样本数据选择使得样本观测出现的概率最大的参数值作为估计值，矩估计则是根据样本矩与总体矩之间的关系得到估计值。

3.2 区间估计区间估计是根据样本数据给出总体参数的一个范围，该范围称为置信区间。

数理统计考研复试题库及答案

数理统计考研复试题库及答案一、选择题1、设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都服从正态分布 N(0,1)，则下列随机变量中服从标准正态分布的是（）A X ＋ YB X YC X²＋ Y²D （X ＋ Y)²答案：B解析：因为 X 和 Y 相互独立且都服从正态分布 N(0,1)，所以 X Y 也服从正态分布，且期望为 0，方差为 2，即 X Y 服从 N(0, 2)，标准化后服从标准正态分布。

2、设总体 X 服从正态分布N(μ, σ²)，其中μ 未知，σ² 已知，（X₁, X₂,， Xₙ) 为来自总体 X 的样本，则μ 的置信度为1 α 的置信区间为（）A （ˉ X zα/2 σ/√n, ˉ X ＋zα/2 σ/√n ）B （ˉ X tα/2 （n 1) S/√n, ˉ X ＋tα/2 （n 1) S/√n ）C （ˉ X zα/2 S/√n, ˉ X ＋zα/2 S/√n ）D （ˉ X tα/2 （n) S/√n, ˉ X ＋tα/2 （n) S/√n ）答案：A解析：当总体方差σ² 已知时，使用正态分布来构造置信区间，μ 的置信度为1 α 的置信区间为（ˉ X zα/2 σ/√n, ˉ X ＋zα/2 σ/√n ）。

3、设随机变量 X 的概率密度为 f(x) ＝｛ 2x, 0 ＜ x ＜ 1; 0, 其他｝，则 P{05 ＜ X ＜ 15} ＝（）A 075B 05C 025D 1答案：C解析：P{05 ＜ X ＜ 15} ＝∫₀₅¹ 2x dx ＝ x²₀₅¹＝ 1 025 ＝ 075 ，但 15 不在定义域内，所以 P{05 ＜ X ＜ 15} ＝ 075 05 ＝ 025 。

4、设 X₁, X₂,， Xₙ 是来自总体 X 的样本，且 E(X) ＝μ，D(X)＝σ²，则样本均值ˉ X 的方差为（）A σ²B σ² ／ nC nσ²D σ² ／√n答案：B解析：样本均值ˉ X 的方差为D(ˉ X) ＝ D( （1 ／n) ∑ Xi ）＝（1／n²) ∑ D(Xi) ＝σ² ／ n 。

09-10数理统计研究生试卷

南昌航空大学2009-2010学年第一学期期终考试卷课程名称：应用数理统计（研究生）A 卷2009/11/12一）（15分）设921,,,X X X 是来自)4,8(N 的样本，试求下列概率： 1）)10()9(>X P ；2）)5()1(>X P二）（15分）机床厂某日从两台机器加工的同一种零件中，分别抽取若干个样品，测得零件尺寸如下：第一台机器：6.2 5.7 6.5 6.0 6.3 5.8 5.7 6.0 6.0 5.8 6.0 第二台机器： 5.6 5.9 5.6 5.7 5.8 6.0 5.5 5.7 5.5假设两台机器加工的零件尺寸均服从正态分布,且方差相同,求两台机器加工的零件尺寸之差的置信度为0.95的置信区间。

三）(10分) 设i X 服从),(i βαΓ，n i 2.1=，且相互独立，证明∑=ni iX1服从∑=Γni i 1),(βα四）（20分）设实验所得两组数据如下：第一组：2.36 3.14 7.52 3.48 2.76 5.43 6.54 7.41 第二组:4.38 4.25 6.54 3.28 7.21 6.54试用两种方法说明这两组数所是否来自同一个总体(05.0=α)。

五）（20分）现收集了16组合金钢中碳含量x 及强度y 的数据，求得：0.125,45.7886,0.3024,25.5218,2432.4566xx xy yy x y l l l =====1）建立y 对x 的一元线性回归方程：01x y ββ+=；2）写出01,ββ的分布；3）列出对回归方程作显著性检验的方差分析表（0.05α=）；4）给出1β的0.95的置信区间；5）在0.15x =时求对应的y 的0.95的置信区间。

六）（10分）设21,xx 是来自)8,0(N 的样本，求22121)(x x x x Y -+=的分布。

七）（5分）请你就数理统计谈谈其在实际生活中的运用，越详细越好，最好结合自身的学习工作情况。

统计学专业硕士研究生入学考试数理统计详解

统计学专业硕士研究生入学考试数理统计详解统计学作为一门应用广泛的学科，对于数据的分析和解释起着重要的作用。

在统计学专业硕士研究生入学考试中，数理统计是一个重要的科目。

本文将从概率论、数理统计两个方面对数理统计的考点进行详细解析。

一、概率论概率论是数理统计的基础，掌握好概率论的知识对于理解和应用数理统计非常重要。

在入学考试中，常见的概率论考点包括概率的基本性质、条件概率、独立性、随机变量及其分布、期望和方差等。

首先，概率的基本性质是概率论的基础。

概率的定义、加法定理、乘法定理等都是考试中常见的题型。

考生需要熟练掌握这些基本性质，并能够应用到具体问题中。

其次，条件概率和独立性是概率论中的重要概念。

条件概率是指在已知一些附加信息的情况下，某个事件发生的概率。

独立性是指两个事件之间的发生与否相互独立，互不影响。

考生需要理解条件概率和独立性的概念，并能够运用到实际问题中。

随机变量及其分布是概率论中的重要内容。

随机变量是指在随机试验中可能取到的不同值，而随机变量的分布描述了随机变量取不同值的概率。

常见的分布包括离散分布和连续分布，如二项分布、泊松分布、正态分布等。

考生需要熟悉各种分布的性质和特点，并能够根据具体问题选择合适的分布进行分析。

最后，期望和方差是描述随机变量分布特征的重要指标。

期望是随机变量取值的平均值，而方差是随机变量取值与期望之差的平方的平均值。

考生需要掌握期望和方差的计算方法，并能够应用到实际问题中。

二、数理统计数理统计是统计学的核心内容，主要包括参数估计和假设检验两个方面。

在入学考试中，常见的数理统计考点包括点估计、区间估计、假设检验等。

点估计是利用样本数据对总体参数进行估计。

最常见的点估计方法是最大似然估计，通过寻找使得样本观测值出现的概率最大的参数值来估计总体参数。

考生需要熟悉最大似然估计的原理和计算方法，并能够应用到实际问题中。

区间估计是对总体参数进行估计时给出一个范围，该范围称为置信区间。

南昌航空大学硕士研究生 20092010学年第一学期考试卷

南昌航空大学硕士研究生 2009/2010学年第一学期考试卷学生姓名：所在学院：学号：课程名称：应用数理统计成绩：任课教师姓名：李曦任课教师所在学院：数信学院一）（15分）设921,,,X X X 是来自)4,8(N 的样本，试求下列概率：1）)10()9(>X P ；2）)5()1(>X P二）（15分）机床厂某日从两台机器加工的同一种零件中，分别抽取若干个样品，测得零件尺寸如下：第一台机器：6.2 5.7 6.5 6.0 6.3 5.8 5.7 6.0 6.0 5.8 6.0第二台机器： 5.6 5.9 5.6 5.7 5.8 6.0 5.5 5.7 5.5假设两台机器加工的零件尺寸均服从正态分布,且方差相同,求两台机器加工的零件尺寸之差的置信度为0.95的置信区间。

三）(10分) 设i X 服从),(i βαΓ，n i 2.1=，且相互独立，证明∑=n i i X 1服从∑=Γn i i 1),(βα 四）（20分）设实验所得两组数据如下：第一组：2.36 3.14 7.52 3.48 2.76 5.43 6.54 7.41第二组:4.38 4.25 6.54 3.28 7.21 6.54试用两种方法说明这两组数所是否来自同一个总体(05.0=α)。

五）（20分）现收集了16组合金钢中碳含量x 及强度y 的数据，求得：0.125,45.7886,0.3024,25.5218,2432.4566xx xy yy x y l l l ===== 1）建立y 对x 的一元线性回归方程：01x y ββ+=；2）写出01,ββ的分布；3）列出对回归方程作显著性检验的方差分析表（0.05α=）；4）给出1β的0.95的置信区间；5）在0.15x =时求对应的y 的0.95的置信区间。

六）（10分）设21,x x 是来自)8,0(N 的样本，求22121)(x x x x Y -+=的分布。

南昌航空大学概率论与数理统计试卷

概率论与数理统计总复习手册南昌航空大学2008—2009学年第一学期期末考试课程名称：概率论与数理统计（工科）闭卷 A 卷 120 分钟一、填空题（每空2分，共18分）1）若随机变量X 在)6,1(上服从均匀分布，则方程012=++Xx x 有实根的概率是_____________；2）假设,4.0)(=A P 7.0)(=B A P ，若A 与B 互不相容，则)(B P =_______；若A 与B 相互独立，则)(B P =__________ ；3）设123,,X X X 是总体为)4,1(N 的样本，则1231()3X X X ++的分布为_____________； 4）设随机变量X 服从参数为)0(〉λλ的泊松分布，并且{}}{21===X P X P ，则X 的方差为____________________；5）设总体X 服从参数为λ的指数分布，其中λ未知，X 1，X 2，…，X n 为来自总体X 的样本，则λ的矩估计为_____________；6）设X服从正态分布)4,1(N ，写出X 的概率密度函数：________________________________；7）设)4,1(~-N X ，)2,1(~N Y ，且X 与Y 相互独立，则____)2(=-Y X E ，____)2(=-Y X D 。

一、有位朋友从远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4，如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别为1/4、1/3、1/12; 而乘飞机则不会迟到。

求：（1）他迟到的概率；（2）他迟到了，他乘火车来的概率是多少？ (12分)三）学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量（单位为小时），它的密度函数为21,0()2cx x x p x ⎧+≤≤⎪=⎨，1）求常数C ；2）写出X 的分布函数；3）试求在20分钟内完成班级------------------- 学号--------------姓名----------------- 重修标记一道作业的概率；4）E （X ）。

概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理

概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点1离散型随机变量设X是一个随机变量如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个则称X为一个离散随机变量2常用离散型分布1两点分布0-1分布若一个随机变量X只有两个可能取值且其分布为则称X服从处参数为p的两点分布两点分布的概率分布两点分布的期望两点分布的方差2二项分布若一个随机变量X的概率分布由式给出则称X服从参数为np的二项分布记为Xb np 或B np 两点分布的概率分布二项分布的期望二项分布的方差3泊松分布若一个随机变量X的概率分布为则称X服从参数为的泊松分布记为XP泊松分布的概率分布泊松分布的期望泊松分布的方差4连续型随机变量如果对随机变量X的分布函数F x 存在非负可积函数使得对于任意实数有则称X为连续型随机变量称为X的概率密度函数简称为概率密度函数5常用的连续型分布1均匀分布若连续型随机变量X的概率密度为则称X在区间ab上服从均匀分布记为XU ab均匀分布的概率密度均匀分布的期望均匀分布的方差2指数分布若连续型随机变量X的概率密度为则称X服从参数为的指数分布记为Xe指数分布的概率密度指数分布的期望指数分布的方差3正态分布若连续型随机变量X的概率密度为则称X服从参数为和的正态分布记为XN正态分布的概率密度正态分布的期望正态分布的方差4标准正态分布标准正态分布表的使用123故定理1 设XN 则6随机变量的分布函数设X是一个随机变量称为X的分布函数分布函数的重要性质7求离散型的随机变量函数连续型随机变量函数的分布1由X的概率分布导出Y的概率分布步骤①根据X写出Y的所有可能取值②对Y的每一个可能取值确定相应的概率取值③常用表格的形式把Y的概率分布写出2由X的概率密度函数分布函数求Y的概率密度函数分布函数的步骤①由X的概率密度函数随机变量函数Y g X 的分布函数②由求导可得Y的概率密度函数3对单调函数计算Y g X 的概率密度简单方法定理1 设随机变量X具有概率密度又设y g x 处处可导且恒有或恒有则Y g X 是一个连续型随机变量其概率密度为其中是y g x 的反函数且练习题24 第71314总习题第36910111314171819第三章重要知识点1离散型二维随机变量X与Y的联合概率分布表 YX1 1要会由X与Y的联合概率分布求出X与Y各自概率分布或反过来类似 P63 例22要会在X与Y独立的情况下根据联合概率分布表的部分数据求解其余数据类似 P71 例33要会根据联合概率分布表求形如的概率4要会根据联合概率分布律之类求出相应的期望方差协方差相关系数等2 二维连续型随机变量X与Y的联合概率密度设XY为二维随机变量F xy 为其分布函数若存在一个非负可积的二元函数f xy 使对任意实数xy有则称XY为二维连续型随机变量要会画出积分区域使得能正确确定二重积分的上下限要会根据联合概率密度求出相应的分布函数F xy 以及形如等联合概率值P64 例3要会根据联合概率密度求出的边缘密度类似 P64 例4要会根据联合概率密度求出相应的期望方差协方差相关系数等3联合概率分布以及联合密度函数的一些性质12要会根据这些性质解类似P68 第56题4常用的连续型二维随机变量分布二维均匀分布设G是平面上的有界区域其面积为A若二维随机变量XY具有概率密度函数则称XY在G上服从均匀分布5独立性的判断定义设随机变量XY的联合分布函数为F xy 边缘分布函数为若对任意实数xy有1离散型随机变量的独立性①由独立性的定义进行判断②所有可能取值有则X与Y相互独立2连续型随机变量的独立性①由独立性的定义进行判断②联合概率密度边缘密度有几乎处处成立则X 与Y相互独立3 注意与第四章知识的结合X与Y相互独立因此 X与Y不独立6．相互独立的两个重要定理定理1 随机变量X与Y相互独立的充要条件是X所生成的任何事件与Y生成的任何事件独立即对任意实数集AB有定理2 如果随机变量X与Y独立则对任意函数相互独立1要求会使用这两个定理解决计算问题练习题习题2-3 第34题习题2-4 第2题习题32 第578题总习题三第491-4 1213第四五章知识点设总体密度函数如下是样本试求未知参数的矩估计值最大似然估计值1由此可推出从而参数的矩估计值为2似然函数为其对数似然函数为由上式可以看出是的单调增函数要使其最大的取值应该尽可能的大由于限制这给出的最大似然估计值为将关于求导并令其为0得到关于的似然方程解得第四章重要知识点1随机变量X数学期望的求法1离散型 2连续型2随机变量函数g X 数学期望的求法1离散型 2连续型3二维随机向量期望的求法1离散型2连续型4随机变量X方差的求法1简明公式2离散型3连续型5 随机变量X协方差与相关系数的求法1简明公式2离散型3连续型46数学期望方差协方差重要的性质12 设X与Y相互独立则3若X与Y相互独立则456若X与Y相互独立则7 若XY服从二维正态分布则X与Y相互独立当且仅当7 n维正态分布的几个重要性质1n维正态变量的每个分量都是正态变量反之若都是正态变量且相互独立则是n维正态变量2n维随机向量服从n维正态分布的充分必要条件是的任意线性组合均服从一维正态分布均服从一维正态分布其中不全为零3若服从n维正态分布设是的线性函数则服从k维正态分布4设服从n维正态分布则相互独立等价于两两不相关练习题设XY的联合密度函数为求及解同理又因从而习题43第10题8中心极限定理1定理4棣莫佛拉普拉斯定理设随机变量相互独立并且都服从参数为的两点分布则对任意实数有2定理3独立同分布的中心极限定理设随机变量相互独立服从同一分布且则练习题习题4-4 11题 12题总习题四 242526题第五章重要知识点确定或求证统计量所服从的分布1三大分布1分布设是取自总体N 01 的样本称统计量服从自由度为n的分布2t分布设XN 01 且X与Y相互独立则称服从自由度为n的t分布3F分布设且X与Y相互独立则称服从自由度为mn的F分布2三大抽样分布1设总体是取自X的一个样本为该样本的样本均值则有2定理2设总体是取自X的一个样本与为该样本的样本均值与样本方差则有与相互独立3定理3 设总体是取自X的一个样本与为该样本的样本均值与样本方差则有练习题1设是来自正态总体的样本求统计量的分布解因为故由样本的独立性及分布的定义有再由样本的独立性以及t分布的定义有总习题五 14题3求样本函数相关的概率问题练习题习题5-3 2 总习题五 1617第六章重要知识点1矩估计的求法设总体X的分布函数中含有k个未知参数的函数则1求总体X的k阶矩它们一般都是是这k个未知参数的函数记为2从1中解得3再用的估计量分别代替上式中的即可得的估计量注求类似于上述步骤最后用代替求出矩估计2最大似然估计的求法求最大似然估计的一般方法写出似然函数令或求出驻点3判断并求出最大值点在最大值点的表达式中用样本值代入就得参数的最大似然估计值比如P154 例463 估计量的优良性准则1无偏性定义1 设是未知参数的估计量若则称为的无偏估计量2有效性定义2 设和都是参数的无偏估计量若则称较有效4 置信区间1双侧置信区间设为总体分布的未知参数是取自总体X的一个样本对给定的数若存在统计量使得则称随机区间为的双侧置信区间称为置信度又分别称与为的双侧置信下限与双侧置信上限2单侧置信区间设为总体分布的未知参数是取自总体X的一个样本对给定的数若存在统计量满足则称为的置信度为的单侧置信区间称为的单侧置信下限若存在统计量满足则称为的置信度为的单侧置信区间称为的单侧置信上限5寻求置信区间的方法一般步骤选取未知参数的某个较优估计量2围绕构造一个依赖于样本与参数的函数3对给定的置信水平确定与使通常可选取满足与的与在常用分布情况下这可由分位数表查得4对不等式作恒等变形后化为则就是的置信度为的双侧置信区间6置信区间的公式1 0-1分布参数的置信区间2 设总体其中已知而为未知参数是取自总体X的一个样本均值的置信区间为3 设总体其中未知是取自总体X的一个样本均值的置信区间为4 设总体其中未知是取自总体X的一个样本方差的置信区间为的置信区间为练习题习题6-2 第1256题习题6-3 第3456题习题6-4 第4题总习题六第789101617182021题第1章随机事件及其概率1排列组合公式从m个人中挑出n个人进行排列的可能数从m个人中挑出n个人进行组合的可能数2加法和乘法原理加法原理两种方法均能完成此事mn某件事由两种方法来完成第一种方法可由m种方法完成第二种方法可由n种方法来完成则这件事可由mn 种方法来完成乘法原理两个步骤分别不能完成这件事m×n某件事由两个步骤来完成第一个步骤可由m种方法完成第二个步骤可由n 种方法来完成则这件事可由m×n 种方法来完成3一些常见排列重复排列和非重复排列有序对立事件至少有一个顺序问题4随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行而每次试验的可能结果不止一个但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果则称这种试验为随机试验试验的可能结果称为随机事件5基本事件样本空间和事件在一个试验下不管事件有多少个总可以从其中找出这样一组事件它具有如下性质①每进行一次试验必须发生且只能发生这一组中的一个事件②任何事件都是由这一组中的部分事件组成的这样一组事件中的每一个事件称为基本事件用来表示基本事件的全体称为试验的样本空间用表示一个事件就是由中的部分点基本事件组成的集合通常用大写字母ABC表示事件它们是的子集为必然事件为不可能事件不可能事件的概率为零而概率为零的事件不一定是不可能事件同理必然事件Ω的概率为1而概率为1的事件也不一定是必然事件如果同时有则称事件A与事件B等价或称A等于BA BAB中至少有一个发生的事件AB或者AB属于A而不属于B的部分所构成的事件称为A与B的差记为A-B 也可表示为A-AB或者它表示A发生而B不发生的事件AB同时发生AB或者ABAB 则表示A与B不可能同时发生称事件A与事件B互不相容或者互斥基本事件是互不相容的-A称为事件A的逆事件或称A的对立事件记为它表示A不发生的事件互斥未必对立②运算结合率A BC AB C A∪ B∪C A∪B ∪C分配率 AB ∪C A∪C ∩ B∪C A∪B ∩C AC ∪ BC德摩根率7概率的公理化定义设为样本空间为事件对每一个事件都有一个实数P A 若满足下列三个条件1° 0≤P A ≤12° P 13°对于两两互不相容的事件有常称为可列完全可加性P A 为事件的概率8古典概型1°2°设任一事件它是由组成的则有P A9几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述则称此随机试验为几何概型对任一事件A其中L为几何度量长度面积体积10加法公式P AB P A P B -P AB当P AB ＝0时P AB P A P B 11减法公式P A-B P A -P AB当BA时P A-B P A -P B当A Ω时P 1- P B 12条件概率定义设AB是两个事件且P A 0则称为事件AB发生的条件概率记为条件概率是概率的一种所有概率的性质都适合于条件概率例如P ΩB 1P A 1-P BA 13乘法公式乘法公式更一般地对事件A1A2An若P A1A2An-1 0则有14独立性①两个事件的独立性设事件满足则称事件是相互独立的若事件相互独立且则有若事件相互独立则可得到与与与也都相互独立必然事件和不可能事件与任何事件都相互独立与任何事件都互斥②多个事件的独立性设ABC是三个事件如果满足两两独立的条件P AB P A P B P BC P B P C P CA P C P A并且同时满足P ABC P A P B P C那么ABC相互独立对于n个事件类似15全概公式设事件满足1°两两互不相容2°16贝叶斯公式设事件及满足1°两两互不相容 0122°i 12n此公式即为贝叶斯公式通常叫先验概率通常称为后验概率贝叶斯公式反映了因果的概率规律并作出了由果朔因的推断17伯努利概型我们作了次试验且满足每次试验只有两种可能结果发生或不发生次试验是重复进行的即发生的概率每次均一样每次试验是独立的即每次试验发生与否是互不影响的这种试验称为伯努利概型或称为重伯努利试验用表示每次试验发生的概率则发生的概率为用表示重伯努利试验中出现次的概率第二章随机变量及其分布1离散型随机变量的分布律设离散型随机变量的可能取值为Xk k 12 且取各个值的概率即事件 X Xk 的概率为P X xk pkk 12则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律有时也用分布列的形式给出显然分布律应满足下列条件1 2 2连续型随机变量的分布密度设是随机变量的分布函数若存在非负函数对任意实数有则称为连续型随机变量称为的概率密度函数或密度函数简称概率密度密度函数具有下面4个性质1°2°3离散与连续型随机变量的关系积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量理论中所起的作用相类似4分布函数设为随机变量是任意实数则函数称为随机变量X的分布函数本质上是一个累积函数可以得到X落入区间的概率分布函数表示随机变量落入区间–∞x]内的概率分布函数具有如下性质1°2°是单调不减的函数即时有3°4°即是右连续的5°对于离散型随机变量对于连续型随机变量5八大分布0-1分布P X 1 p P X 0 q二项分布在重贝努里试验中设事件发生的概率为事件发生的次数是随机变量设为则可能取值为其中则称随机变量服从参数为的二项分布记为当时这就是0-1分布所以0-1分布是二项分布的特例泊松分布设随机变量的分布律为则称随机变量服从参数为的泊松分布记为或者P泊松分布为二项分布的极限分布np λn→∞超几何分布随机变量X服从参数为nNM的超几何分布记为H nNM 几何分布其中p≥0q 1-p随机变量X服从参数为p的几何分布记为G p 均匀分布设随机变量的值只落在[ab]内其密度函数在[ab]上为常数即其他则称随机变量在[ab]上服从均匀分布记为XU ab分布函数为当a≤x1 x2≤b时X落在区间内的概率为指数分布其中则称随机变量X服从参数为的指数分布X的分布函数为记住积分公式正态分布设随机变量的密度函数为其中为常数则称随机变量服从参数为的正态分布或高斯Gauss 分布记为具有如下性质1°的图形是关于对称的2°当时为最大值若则的分布函数为参数时的正态分布称为标准正态分布记为其密度函数记为分布函数为是不可求积函数其函数值已编制成表可供查用Φ -x ＝1-Φ x 且Φ 0 ＝如果则6分位数下分位表上分位表7函数分布离散型已知的分布列为的分布列互不相等如下若有某些相等则应将对应的相加作为的概率连续型先利用X的概率密度fX x 写出Y的分布函数FY y ＝P g X ≤y 再利用变上下限积分的求导公式求出fY y 第三章二维随机变量及其分布1联合分布离散型如果二维随机向量XY的所有可能取值为至多可列个有序对xy则称为离散型随机量设 XY的所有可能取值为且事件的概率为pij称为 XY的分布律或称为X和Y的联合分布律联合分布有时也用下面的概率分布表来表示YXy1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1这里pij具有下面两个性质1pij≥0ij 122 连续型对于二维随机向量如果存在非负函数使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D即D XY a x bc y d 有则称为连续型随机向量并称f xy 为 XY的分布密度或称为X和Y的联合分布密度分布密度f xy 具有下面两个性质f xy ≥02 2二维随机变量的本质3联合分布函数设XY 为二维随机变量对于任意实数xy二元函数称为二维随机向量XY的分布函数或称为随机变量X和Y的联合分布函数分布函数是一个以全平面为其定义域以事件的概率为函数值的一个实值函数分布函数F xy 具有以下的基本性质12Fxyx和y是非减的即当x2 x1时有Fx2yF x1y 当y2 y1时有F xy2 ≥F xy13Fxyx和y是右连续的即45对于4离散型与连续型的关系5边缘分布离散型X的边缘分布为Y的边缘分布为连续型X的边缘分布密度为Y的边缘分布密度为6条件分布离散型在已知X xi的条件下Y取值的条件分布为在已知Y yj的条件下X取值的条件分布为连续型在已知Y y的条件下X的条件分布密度为在已知X x的条件下Y的条件分布密度为7独立性一般型 F XY FX x FY y 离散型有零不独立连续型 f xy fX x fY y直接判断充要条件①可分离变量②正概率密度区间为矩形二维正态分布＝0 随机变量的函数若X1X2XmXm1Xn相互独立 hg为连续函数则hX1X2Xm和gXm1Xn相互独立特例若X与Y独立则hX和gY独立例如若X与Y独立则3X1和5Y-2独立8二维均匀分布设随机向量XY的分布密度函数为其中SD为区域D的面积则称XY服从D上的均匀分布记为XY～UD例如图31comy1D1O 1 x图31y1O 2 x图32ydcO a b x图339二维正态分布设随机向量XY的分布密度函数为其中是5个参数则称XY服从二维正态分布记为XY～N由边缘密度的计算公式可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布即X～N但是若X～N XY 未必是二维正态分布10函数分布Z XY 根据定义计算对于连续型fZ z ＝两个独立的正态分布的和仍为正态分布n个相互独立的正态分布的线性组合仍服从正态分布Z min X1X2Xn 若相互独立其分布函数分别为则Z min X1X2Xn 的分布函数为分布设n个随机变量相互独立且服从标准正态分布可以证明它们的平方和的分布密度为我们称随机变量W服从自由度为n的分布记为W～其中所谓自由度是指独立正态随机变量的个数它是随机变量分布中的一个重要参数分布满足可加性设则t分布设XY是两个相互独立的随机变量且可以证明函数的概率密度为我们称随机变量T服从自由度为n的t分布记为T～t nF分布设且X与Y独立可以证明的概率密度函数为我们称随机变量F服从第一个自由度为n1第二个自由度为n2的F分布记为F～f n1 n2第四章随机变量的数字特征1一维随机变量的数字特征离散型连续型期望期望就是平均值设X是离散型随机变量其分布律为P ＝pkk12n要求绝对收敛设X是连续型随机变量其概率密度为f x要求绝对收敛函数的期望Y g XY g X方差D X E[X-E X ]2标准差矩①对于正整数k称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩记为vk即νk E Xk k 12②对于正整数k称随机变量X与EX差的k次幂的数学期望为X 的k阶中心矩记为即k 12 ①对于正整数k称随机变量X的k次幂的数学期望为X 的k阶原点矩记为vk即νk E Xkk 12②对于正整数k称随机变量X与EX差的k次幂的数学期望为X 的k阶中心矩记为即k 12 切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望EX μ方差DX σ2则对于任意正数ε有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下对概率的一种估计它在理论上有重要意义2期望的性质E C CE CX CE XE XY E X E YE XY E X E Y 充分条件X和Y独立充要条件X和Y不相关3方差的性质 D C 0E C CD aX a2D XE aX aE XD aXb a2D XE aXb aE X bD XE X2 -E2 XD X±Y D X D Y 充分条件X和Y独立充要条件X和Y不相关D X±Y D X D Y ±2E[ X-E X Y-E Y ]无条件成立而E XY E X E Y 无条件成立4常见分布的期望和方差期望方差0-1分布p 二项分布 np 泊松分布几何分布超几何分布均匀分布指数分布正态分布n 2n t分布0 n 2 5二维随机变量的数字特征期望函数的期望＝＝方差协方差对于随机变量X与Y称它们的二阶混合中心矩为X与Y的协方差或相关矩记为即与记号相对应X与Y的方差DX与DY也可分别记为与相关系数对于随机变量X与Y如果DX 0 D Y 0则称为X与Y的相关系数记作有时可简记为≤1当 1时称X与Y完全相关完全相关而当时称X与Y不相关以下五个命题是等价的①②cov XY 0③E XY E X E Y④D XY D X D Y⑤D X-Y D X D Y 协方差矩阵混合矩对于随机变量X与Y如果有存在则称之为X与Y的kl阶混合原点矩记为kl阶混合中心矩记为6协方差的性质cov X Y cov Y Xcov aXbY ab cov XYcov X1X2 Y cov X1Y cov X2Ycov XY E XY -E X E Y 7独立和不相关若随机变量X与Y相互独立则反之不真若XY～N则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关第五章大数定律和中心极限定理1大数定律切比雪夫大数定律设随机变量X1X2相互独立均具有有限方差且被同一常数C所界DXi C i 12 则特殊情形若X1X2具有相同的数学期望EXI μ则上式成为伯努利大数定律设μ是n次独立试验中事件A发生的次数p是事件A在每次试验中发生的概率则对于任意的正数ε有伯努利大数定律说明当试验次数n很大时事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小即这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性辛钦大数定律设X1X2Xn是相互独立同分布的随机变量序列且EXn μ则对于任意的正数ε有2中心极限定理列维－林德伯格定理设随机变量X1X2相互独立服从同一分布且具有相同的数学期望和方差则随机变量的分布函数Fn x 对任意的实数x有此定理也称为独立同分布的中心极限定理棣莫弗－拉普拉斯定理设随机变量为具有参数n p 0 p 1 的二项分布则对于任意实数x有3二项定理若当则超几何分布的极限分布为二项分布4泊松定理若当则其中k 012n二项分布的极限分布为泊松分布第六章样本及抽样分布1数理统计的基本概念总体在数理统计中常把被考察对象的某一个或多个指标的全体称为总体或母体我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量或随机向量个体总体中的每一个单元称为样品或个体样本我们把从总体中抽取的部分样品称为样本样本中所含的样品数称为样本容量一般用n表示在一般情况下总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量这样的样本称为简单随机样本在泛指任一次抽取的结果时表示n 个随机变量样本在具体的一次抽取之后表示n个具体的数值样本值我们称之为样本的两重性样本函数和统计量设为总体的一个样本称为样本函数其中为一个连续函数如果中不包含任何未知参数则称为一个统计量常见统计量及其性质样本均值样本方差样本标准差样本k阶原点矩样本k阶中心矩。

南昌航空大学概率论期末考试-2004-—-2005

南昌航院2004 — 2005学年第一学期概率论与数理统计试卷一、（每题8分，共计56分） 1）已知4.0)(=B P ，5.0)(=⋃B A P ，求)|(B A P 。

2.0)()()()()()()()()|(=-⋃=-==B P B P B A P B P AB P A P B P B A P B A P2）三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为5/1，3/1，4/1，问三人中至少有一人能译出的概率是多少？用i A )3,2,1(=i 分别表示第i 个人能单独破译一份密码，则51)(1=A P ，31)(2=A P ，41)(A P 。

534332541)()()(1)(1)(321321321=⨯⨯-=-=-=⋃⋃A P A P A P A A A P A A A P3）盒子中有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求Y X ,的联合分布。

4）设k 在（0，5）上服从均匀分布，求方程02442=+++k kx x 有实根的概率。

)1)(2(16)2(16)2(161622+-=--=+-=∆k k k k k k当52<<k 时方程02442=+++k kx x 有实根，其概率是53。

5）在总体)3.6,52(2N 中随机地抽取一容量为36样本，求样本平均值X 落在8.50到8.53之间的概率。

)1429.1()7143.1()6/3.6528.536/3.6526/3.6528.50()8.538.50(-Φ-Φ=-<-<-=<<X P X P6）设总体)1,(~μN X ，为使μ的置信度为95.0的置信区间的长度小于1，问样本容量n 至少应取多大？取统计量是)1,0(~/1N nX U μ-=，由95.0}/1{025.0=≤-t nX P μ得置信区间的长度是nt L 025.02⨯=，2025.04t n =7）设总体X 在区间],[b a 上服从均匀分布，b a ,未知，n X X X ,,,21 是一个样本，试求b a ,的矩估计量。