2函数三要素-讲义版
二次函数(基础思想)讲义
二 次 函 数1、二次函数的常见解析式及其三要素①a 的符号决定抛物线的的开口大小、形状相同；如果a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同。
②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .③二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=， ④当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点⇔a b ac y 最小442-=；当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点⇔ab ac y 最大442-=。
2、二次函数的性质：⑴增减性：以对称轴h x =为界，具有双向性。
⑵对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线的对称轴垂直平分对称点的连线. 即：若A 、B 两点是抛物线上关于对称轴h x =对称的两点，则有：①B A y y =；②h x x B A =+2(即abx x -=+21)。
基础练习题：1、抛物线y = - 2 ( x – 3 )2– 7 对称轴 x = , 顶点坐标为 ； 2、抛物线 y = 2x 2+ 12x – 25的对称轴为 x = , 顶点坐标为 . 3、若将二次函数y =x 2－2x + 3配方为y =（x －h ）2+ k 的形式，则y =4、抛物线y = - 4（x +2）2+5的对称轴是 。
5、抛物线 y = - 3x 2+ 5x - 4开口 , y = 4x 2– 6x + 5 开口 .6、已知P 1（11y ,x ）、P 2（22y ,x ）、P 3（33y ,x ）是抛物线3x 2x y 2--=上的三个点，若321x x x 1<<<，则321y y y 、、的大小关系是____________。
7、已知函数y =x 2-2x -2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是( )A ．-1≤x ≤3B ．-3≤x ≤1C ．x ≥-3D ．x ≤-1或x ≥38、如图中有相同对称轴的两条抛物线,下列关系不正确的是( ) A h=m B k=n C k ＞n D h ＞0,k ＞0 9、抛物线4)2(22-+-+=m x m x y 的顶点在原点，则m= 10、如图抛物线对称轴是x=1,与x 轴交于A 、B 两点,若B 点的坐标是(3,0),则A 点的坐标是 11、请选择一组你喜欢的的值，使二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象同时满足下列条件：（1）开口向下，（2）当时，y 随x 的增大而增大；当时，y 随x的增大而减小。
高考数学一轮复习讲义—函数的三要素
高考数学一轮复习讲义—函数的三要素一、定义域(1) 常规函数的定义域（知识点总结）⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩经典例题：1. （2013安徽11）函数的定义域为_______．2. （2011江西3）若()f x =，则的定义域为A ．(,0)B ．(,0]C ．(,)D ．(0,)3. （2008湖北8）函数1()f x x=的定义域为（ ） A ．(,4][2,)-∞-+∞ B ．(4,0)(0,1)-C ．[4,0)(0,1]- D ．[4,0)(0,1)-1ln(1)y x=++)(x f 21-21-21-∞+∞+作业布置：1. （2020北京11）函数1()ln 1f x x x =++的定义域是_______．2. （2012山东3）函数A ．B ．C ．D ．3. （2014山东3）函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为A ．)210(，B ．)2(∞+，C ．),2()210(+∞ ， D ．)2[]210(∞+，，4. （2008安徽13）函数2()f x =的定义域为_____．(2) 抽象函数的定义域：（知识点总结）⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩经典例题：1. （2013大纲4）已知函数()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为A ．(1,1)-B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)21()ln(1)f x x =++[2,0)(0,2]-(1,0)(0,2]-[2,2]-(1,2]-2. （2006湖北4）设2()lg2x f x x +=-，则2()()2x f f x+的定义域为（ ） A ．(4,0)(0,4)- B ．(4,1)(1,4)-- C ．(2,1)(1,2)--D ．(4,2)(2,4)--3. 已知函数(21)f x +的定义域是(1,3)，则函数(3)f x -的定义域是（ ）A ．(1,3)B ．(4,0)-C ．(2,3)D ．以上都不对二、函数的值域（常见方法总结）⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩经典例题：1. （2007全国8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ） AB ．2 C． D ．42. （2012山东15）若函数在[]1,2-上的最大值为4，最小值为m ，且函数上是增函数，则a =＿＿＿＿．()(0,1)xf x a a a =>≠()(14g x m =-[0,)+∞3. （2015浙江）已知函数23,1()lg(1),1x x f x xx x +-⎪=⎨⎪+<⎩≥，则((3))f f -=_______，()f x 的最小值是______．4. （2015福建14）若函数()6,2,3log ,2,a x x f x x x -+⎧=⎨+>⎩≤(0a > 且1a ≠ )的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是 ．5. （2007重庆16）函数()f x =______．6. （2010重庆12）已知0,t >则函数241t t y t-+=的最小值为 ．7. （2004湖北8）已知52x ≥，则()24524x x f x x -+=-有（ ）A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值18. （2021新高考一15）函数()|21|2ln f x x x =--的最小值为______．9. （2008重庆12）函数()2)f x x π=≤≤的值域是（ ）A ．11[,]44-B ．11[,]33-C ．11[,]22-D ．22[,]33-作业布置：1. （2010山东3）函数()()2log 31xf x =+的值域为A ．()0,+∞B ．)0,+∞⎡⎣C ．()1,+∞D ．)1,+∞⎡⎣2. （2015山东14）已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[1,0]-，则a b += ．3. （2013北京13）函数的值域为 ．4. （2014重庆12）函数())2log 2f x x =的最小值为______．5. （2021全国乙8）下列函数最小值为4的是（ ）A ．224y x x =++ B ．4|sin ||sin |y x x =+C ．222xxy -=+ D ．4ln ln y x x=+6.12log ,1()2,1x x x f x x ≥⎧⎪=⎨⎪ <⎩。
函数三要素的确定(2)-课件
（2）当1t 3时，路程 S 所对应的集合为
S 260 S 760.
例 3：求函数 f x x2 2x 3在下列条件下的
值域.
例 3：求函数 f x x2 2x 3在下列条件下的
值域. (1) x R;
例 3：求函数 f x x2 2x 3在下列条件下的
例 4：求函数 f x x2 2x 1 的值域.
解：
f
x
x2
2x
1
x2
x2
2x 2x
1,x 1, x
1 2 1 2
, .
当
x
1 2
时，
y
0；
例 4：求函数 f x x2 2x 1 的值域.
解：
f
x
x2
2x
1
x
2
x2
2x 2x
1,x 1, x
1 2 1 2
, .
例 3：求函数 f x x2 2x 3在下列条件下的
值域.
(1) x R; (2) x 2,4; (3) x 1,4.
解：画出二次函数 f x x2 2x 3的图象，在
不同条件下求出值域
（1） y 2,; （2） y 3,11;
例 3：求函数 f x x2 2x 3在下列条件下的
为S 260,385,760.
解：高铁所行驶的路程S 与时间t的对应关系为
S 250t 10，
（1） 当t 1,t 1.5,t 3时，路程S 所对应的集合
为S 260,385,760.
（2）当1 t 3时，
解：高铁所行驶的路程 S 与时间t 的对应关系为 S 250t 10， （1） 当t 1,t 1.5,t 3时，路程S 所对应的集合
1.2.2 函数的三要素
函数的三要素定义域A值域 { f(x)|x∈A}对应关系f函数的“三要素”（一）直接函数的定义域求法（1）f(x)为整式，函数的定义域为R 函数定义域25y x x =+-x R ∈（一）直接函数的定义域求法（1）f(x)为整式，函数的定义域为R函数定义域（2）f(x)为分式，函数定义域为使 分母≠0 的实数的集合25y x =-5x ≠（一）直接函数的定义域求法（1）f(x)为整式，函数的定义域为R函数定义域（2）f(x)为分式，函数定义域为使 分母≠0 的实数的集合（3）f(x)为偶次根式，函数定义域为使 根号内的式子≥0 的实数的集合5y x =-50x -≥（一）直接函数的定义域求法（1）f(x)为整式，函数的定义域为R函数定义域（2）f(x)为分式，函数定义域为使 分母≠0 的实数的集合（3）f(x)为偶次根式，函数定义域为使 根号内的式子＞0 的实数的集合（4）f(x)为对数式，函数的定义域为 真数＞0 的实数的集合2log (5)y x =-50x -＞（一）直接函数的定义域求法（1）f(x)为整式，函数的定义域为R函数定义域（2）f(x)为分式，函数定义域为使 分母≠0 的实数的集合（3）f(x)为偶次根式，函数定义域为使 根号内的式子≥0 的实数的集合（4）f(x)为对数式，函数的定义域为 真数＞0 的实数的集合（5）如果f(x) 由几个数学式子构成时，那么函数的定义域为使各部分式子都有意义的实数集合。
235y x x =+--53x x ≠≥且256()2x x f x x -+=-求函数的定义域解：依题有256020x x x -+≥-≠解得:23<≥x x 或:265)(2的定义域是-+-=∴x x x x f }23{<≥x x x 或例322()11f x x x =-+-求函数的定义域()[1,1]()(,1][1,)()[0,1](){1,1}A B C D --∞-+∞- 例4221010x x -≥-≥2111x x x ===-或函数定义域（二）复合函数的定义域求法（1）已知f(x) 的定义域，求f[g(x)]的定义域（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x) 的定义域方法：令z=g(x)，且 f(x)=f(z)（函数与自变量的字母无关）（二）复合函数的定义域求法（1）已知f(x) 的定义域，求f[g(x)]的定义域()[1,3],(21)f x f x-若的定义域是求的定义域例5解：令z=2x-1，且f(x)=f(z)因为f(z)的定义域是[1,3]，所以1≤z≤3因z=2x-1，所以1≤2x-1≤3，所以因此12x≤≤(21){12}f x x x-≤≤的定义域是（二）复合函数的定义域 求法（2）已知 f [g(x)] 的定义域，求 f(x) 的定义域(21)[1,5],()f x f x --若的定义域是求的定义域例6解：令 z=2x-1，且 f(x)=f(z)因为f(2x-1)的定义域是[-1,5]，所以-1≤x≤5，即 -3≤ 2x-1 ≤9因z=2x-1，所以-3≤ z ≤9因此，即(){39}f z z z -≤≤的定义域是(){39}f x x x -≤≤的定义域是()[3,5],(21)f x f x +若的定义域是求的定义域练习12()[1,3],()f x f x -若的定义域是求的定义域练习2答案：[1,2]答案：[0,9]（三）已知函数的定义域，求含参数的取值范围的定义域是一切实数函数为何值时当例347,:2+++=kx kx kx y k 430:,0:0)2(<<<∆≠k K 解得时当304k £< (1)当K =0时, 3≠0成立函数定义域综上所述：函数表达式例7 已知二次函数f(x+1)=4x2-6x+5 ,求f(x) .解：令z=x+1，f(z)=f(x)则x=z-1，代入二次函数f(x+1)=4x2-6x+5 得到f(z)=4(z-1)2-6(z-1)+5=4z2-14z+15所以 f(x)=4x2-14x+15练习3 已知，求函数f(x) 的解析式.函数值域例8 已知 ,求 f(x)的值域 . 解：230由右图可以看出f(x)的值域是(-∞,3)∪(3,+∞)数形结合函数值域函数值域：min ≤ f(x) ≤ max（x1 ≤ x ≤ x2 ）求函数的值域，即求函数在定义域的最大值和最小值.x1x2。
函数的三要素精讲
函数三要素一．函数的定义域 1．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零 (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. （7）复合函数定义域例1： 求下列函数的定义域（1） 8|3x |15x 2x y 2-+--=（2） 2|1|)43(432-+--=x x x y（3） )103(log 22327---=x x y（4） y=xx x -+||)1(0; (5) y=232531x x -+-;(6) y=1·1-+x x .2：复合函数定义域：已知函数()f x 的定义域为(,)a b ,函数()g x 的定义域为(,)m n ,则函数[()]f g x 的定义域为()(,)(,)g x a b x m n ∈⎧⎨∈⎩，解不等式得结果。
例2：1.函数()f x 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域： （1）y=f(3x); (2)y=f(x1); (3)y=f()31()31-++x f x2.函数(2)x f 的定义域为[1,2],求2(log )f x 的定义域3．已知()f x 的定义域为［－2，2］，求2(1)f x -的定义域。
4．已知(21)f x +的定义域为［1，2］，求()f x 的定义域。
5．已知()f x 的定义域为［0，1］，求函数)a x (f )a x (f )x (F -++=的定义域。
6．已知函数1()1xf x x+=-的定义域为A ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为B ，则 ()A A B B = ()B A B ≠⊂ ()C A B = ()D A B B =二．函数的值域1观察法：对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
2023年高考理数第二章《函数》复习知识PPT讲义
二、教材改编 1．若函数 y＝f(x)的定义域为 M＝{x|－2≤x≤2}，值域为 N＝ {y|0≤y≤2}，则函数 y＝f(x)的图象可能是( )
A
B
C
D
B [由函数定义可知，选项 B 正确．]
16
2．函数 y＝ 2x－3＋x－1 3的定义域为(
)
A.32，＋∞
B．(－∞，3)∪(3，＋∞)
[－1,2] [因为 y＝f(x2－1)的定义域为[－ 3， 3]，所以 x∈[－ 3， 3]，x2－1∈[－1,2]，所以 y＝f(x)的定义域为[－1,2]．]
30
函数 f(g(x))的定义域指的是自变量 x 的取值范围，而不 是 g(x)的取值范围．(如本例[逆向问题])
31
1.函数 f(x)＝ 31x－2 x＋lg(3x＋1)的定义域是(
A，B
映射 设 A，B 是非空的集合
8
如果按照某种确定的对应关 如果按某一个确定的对应关 对应关
系 f，使对于集合 A 中的任意 系 f，使对于集合 A 中的任意 系 f：
一个数 x，在集合 B 中都有 一个元素 x，在集合 B 中都有 A→B
唯一确定的数 f(x)和它对应 唯一确定的元素 y 与之对应
a＝1，
解得b＝－5， c＝9，
所以 f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
39
法二：(换元法) 令 2x＋1＝t(t∈R)，则 x＝t－2 1， 所以 f(t)＝4t－2 12－6·t－2 1＋5＝t2－5t＋9(t∈R)， 所以 f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
40
法三：(配凑法) 因为 f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x ＋1)＋9，所以 f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)． (2)(解方程组法) 由 f(－x)＋2f(x)＝2x，① 得 f(x)＋2f(－x)＝2－x，②
函数的概念,三要素的求法（整理版）
函数的概念：A.a叫做A中元素的象集是B的子集.f映射三要素：集合A、B以及对应法则，缺一不可；映射观点下的函数概念如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C（C B）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x).例以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？（1）集合A = {P | P是数轴上的点}，集合B = R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）集合A = {P | P是平面直角坐标系中的点，集合B = {(x | y) | x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）集合A = {x | x是三角形}，集合B = {x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）集合A = {x | x是新华中学的班级}，集合B = {x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生.（1）按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有惟一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（2）按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有惟一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（3）由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（4）新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B不是从集合A到B的一上映射.1.图1-2-2-21(1),(2),(3),(4)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则,是不是映射？图1-2-2-21“一对一”或“多对一”的对应,即集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一确定的元素与之对应.例1，已知下列集合A到B的对应，请判断哪些是A到B的映射？并说明理由：；）函数定义的理解.定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.表示；表示；表示；相等？；；.）y、已知的定义域，求的定义域，其解法是：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。
2.函数三要素与性质
第一讲 函数、方程、不等式函数是描述变量之间相互关系的重要模型，高中阶段把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应语言加以刻画。
函数思想与方法贯穿高中课程的始终。
无论是高考还是自主招生考试，均把函数部分列为重点内容，无论从数量还是质量上都占有较大比例。
在复习的过程中应系统的归纳高中数学阶段所学函数的基本性质，这样才会对我们加深函数概念的理解有所帮助。
与此同时，还应总结研究一般函数的方法，以便帮助我们提高研究函数性质的能力。
在自主招生中，有关函数的问题大约占到总分的20℅—30℅，其中的热点问题有： （1）函数的概念问题； （2）函数迭代；（3）简单的函数方程；（4）函数的极值、最值、值域问题； （5）函数图象与性质（有界性）； （6）方程根的问题； 一、函数的概念函数概念中最重要的是对变量与对应法则（具体函数表现为运算法则）的理解，自变量用哪一个字母来表示并不重要，同一字母在不同的表达式中意义也不一定相同；对应法则的运算对象并不一定是（如：对于函数(1)y f x =-①，当我们研究函数(1)y f x =-的性质时，应将①式中的x 视为自变量，而在研究函数()y f x =②的性质时，应将①式中的1x -整体视为自变量，①、②两式中同一字母x 的意义并不一致，实际上①式中1x -与②式中x 都作为同一对应法则f 的运算对象，取值自然都受f 的制约）。
2.若2(),1x f x x=+且1()(())n n f x f f x -=，则99(1)f =3．（04交大）已知11(),1xf x x-=+记()11()()k k f x f f x +=，且366()()f x f x =，则28()f x = 4．设()23331x x x x f +-=,记()()()()()x f f x f x f x f n n 11,-==, 则()x f 10=101010333(1)x x x +-． 解法1：()33233133(1)x x f x x x x x ==-+-+，则()3333233333333(1)1(1)(1)x x x f x x xx x x x ⎛⎫ ⎪-+⎝⎭=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭ 999(1)xx x =-+，归纳可得()x f 10=101010333)1(--x x x 5.已知1()12tf t t+=-，对任意n N +∈，定义11()(),()(())n n f t f t f t f f t +==，若1331()()f t f t =，则16()f t = 解111()(()),()(())n n n n f t f f t f t f f t -++==由有，由1331()()f t f t =，111331(())(())f f t f f t --=，即1230()()f t f t =，依次可得111129161()(),,()(())1f t f t f t f f t t--===-6．1(),1xf x x +=-记()11()(),()()k k f x f x f x f f x +==，则2007()f x =（ ） A ．11x x +- B ．11x x -+ C ．x D ．1x-7．已知121(),1x f x x-=+记()11()()k k f x f f x +=，若355()()f x f x =，则28()f x =解：2212()11()(())()11()x f x x f x f f x f x f x x---====++， 同理3456211();();();()2112x x f x f x f x f x x x x x ----====---综上有6()()n n f x f x +=，故2841()()1f x f x x ==-法2。
专题05 函数 5.1函数的三要素 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(解析版)
则 M∪∁RN＝[﹣2，1）．
故选：A．
考点 2.抽象函数定义域
3．若函数 f（3﹣2x）的定义域为[﹣1，2]，则函数 f（x）的定义域是
【解答】解：∵函数 f（3﹣2x）的定义域为[﹣1，2]，
即﹣1≤x≤2，
∴﹣2≤2x≤4
∴﹣1≤3﹣2x≤5
[﹣1，5] ．
高中数学一轮复习讲义
，
�
�
1−�2
�
得到�(�) =
所以�(�) =
1
�
1−(1�)2
=
�
，
�2−1
�
（x≠0，x≠±1）．
�2−1
1
1
1
（2）f（x+ ）＝x2+ 2 = (� + )2 − 2，
�
�
�
所以 f（x）＝x2﹣2（x≥2 或 x≤﹣2）．
6．已知 f（3x）＝4xlog23+10，则 f（2）+f（4）+f（8）+…+f（210）的值等于
，解得﹣1≤x≤1．
−1 ≤ 1 − � ≤ 2
∴函数 y＝f（1+x）+f（1﹣x）的定义域为[﹣1，1]．
故选：C．
考点 3.已知定义域求参
5．已知函数 f（x）＝lg（ax2+3x+2）的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是
∞）
．
9
（ ，+
8
【解答】解：根据条件可知 ax2+3x+2＞0 恒成立，
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是
判断两函数相等的依据．
函数概念与其三要素讲解
2.1函数的概念及映射教学目标（考试要求）1、学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．2、了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．3、了解映射的概念．4、学习函数的表示方法，会作简单函数的图象．教学重点、难点重点：函数的概念及表示方法，求函数的定义域．难点：映射，函数值域．☆要点一：映射的概念设A，B是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．这时，称y是x在映射f作用下的象，记作)(xf，x称作y的f，于是y＝)(x原象．映射f也可记为B:)f→Ax→(xf其中A叫做映射f的定义域，由所有象)(xf构成的集合叫做映射f的值域．象、原象：给定一个集合A到集合B的映射，且B∈,，如果元素a和元素ba∈bA对应，则元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象说明：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。
判断某“对应法则”是否为A→B的映射，主要表现为“一对一”及“多对一”的两种特殊对应；应特别注意：①A中任一元素在B中应有象，且象唯一；②B 中可以有空闲元素，即B中可以有元素没有原象．概括为：“有原必有象，而且象唯一”可以多对一，但是不能一对多。
●看下面的例子：设A ，B 分别是两个集合，为简明起见，设A ，B 分别是两个有限集求平方B B说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A 中的任何一个元素，在右边集合B 中都有唯一的元素和它对应◎映射的性质：①任意性：映射中的两个集合A,B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等； ②有序性：映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射； ③存在性：映射中集合A 的每一个元素在集合B 中都有它的象； ④唯一性：映射中集合A 的任一元素在集合B 中的象是唯一的；⑤封闭性：映射中集合A 的任一元素的象都必须是B 中的元素，不要求B 中的每一个元素都有原象，即A 中元素的象集是B 的子集.映射三要素：集合A 、B 以及对应法则f ，缺一不可；☆要点二：函数和区间的概念 ◎变量和常量在一个变化过程中，数值发生变化的量，我们称之为变量，而数值始终保持不变的量，我们称之为常量。
第2讲 函数的三要素
1.2.1 函数的三个要素
• 函数的定义域、对应法则与值域统称为函数的三个基本要 素.在自主招生考试中，关于函数的三个要素的考查的试题 层出不穷，充分体现了高校自主招生考查的基础性与方法 性.主要的内容有以下两点： • （1）函数的求值与函数的解析式 • （2）函数的值域与最值
考点一 函数的求值与解析式
考点一 函数的求值与解析式
考点二 函数的值域与最值
【典例分析】
【典例分析】
【典例分析】
【典例分析】
精微酷KE 高效学考
第一部分 基础知识串讲
主讲老师： 贾广素
任职学主讲老师： 贾广素
任职学校：山东省济宁一中
1.2 函数
• 函数是数学中重要的概念之 一，它贯穿于整个高中数学教 学.自主招生考试当然也离不开函数的点缀. • 在高中阶段，函数问题主要集中研究函数的定义域、有界 性、单调性、奇偶性、周期性、最值和极值、函数的零点 与正负区间等性质，以及复合函数的单调性与奇偶性等. • 从历年的自主招生试题来看，函数一直是自主招生试题的 热点之一，各受命题者的青睐.
函数的概念及其三要素
函数的概念及其三要素
一、什么是函数
函数是指一种映射关系，它把一个或多个输入值映射成输出值，当用
相同的输入值时，可以产生相同的输出值，这种一一映射的关系就是函数。
数学上的函数可以分为普通函数和复合函数，普通函数主要用作表达其中
一种性质随变量而变化的定量关系，复合函数是通过一个函数定义另一个
函数，而满足其中一种定义域和值域的关系，是构成数学理论的基础。
二、函数的三要素
1、定义域
定义域也叫做函数的域，它表示函数的取值范围，即允许函数的输入
取值的范围，它可以是实数的整数、分数、有理数，也可以是复数。
一般
情况下，为了更好地研究函数的特性，会将定义域划分为有限多个区间，
即定义域可以表示为一个有限的集合。
2、值域
值域表示函数的输出取值可以取到的范围，也就是函数的输出值可以
取的范围。
值域可以是实数集、自然数集等，有时也会将值域分为有限多
个区间，以方便函数特性的研究。
3、解析式
解析式是一种表示函数关系的方式，它用数学符号把函数所表示的变
化关系表示出来，如一元函数的解析式一般可以写成y=f(x)，其中f(x)
就是函数的解析式，这里的x表示函数的自变量，y表示函数的因变量，
f(x)称为函数式。
二次函数复习讲义(完美)
二次函数最全面的复习讲义学习目标1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.知识网络要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.二、用待定系数法求二次函数解析式1.二次函数解析式常见有以下几种形式：(1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)；(2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)；(3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．三、2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，或，其中a≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．类型一：二次函数的概念1、下列函数中，是关于x的二次函数的是__________________(填序号)．(1)y＝-3x2；(2)；(3)y＝3x2-4-x3； (4)；(5)y＝ax2+3x+6；(6)．【变式1】下列函数中，是二次函数的是（ )A. B. C.D.【变式2】如果函数是二次函数，求m的值类型二、求二次函数的解析式1．已知二次函数的图象经过原点及点，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为______________．【答案】或．【变式】已知：抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=1，交x轴于点A、B(A在B的左侧)，且AB=4，交y轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M的坐标.【答案】∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)∴y=x2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4，∴M(1，-4).课堂练习1．已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式【答案与解析】本题已知三点求解析式，可用一般式.设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，由题意得：解得∴所求的二次函数的解析式为y=-x2+3x-5.2 在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点.（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标.【答案】（1）．（2）令，得，解方程，得，．∴二次函数图象与轴的两个交点坐标分别为和．∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为3．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．【答案与解析】解法一：设二次函数解析式为(a≠0)，由图象知函数图象经过点(3，0)，(0，3)．则有解得∴抛物线解析式为．解法二：设抛物线解析式为(a≠0)．由图象知，抛物线与x轴两交点为(-1，0)，(3，0)．则有，即．又，∴∴抛抛物物解析式为．课后巩固练习一、选择题1. 二次函数的图象经过点A(0，0)，B(-1，-11)，C(1，9)三点，则它的解析式为( )．A． B． C． D．2．二次函数有( )A．最小值-5 B．最大值-5 C．最小值-6 D．最大值-63．把抛物线y=3x2先向上平移2个单位再向右平移3个单位，所得的抛物线是（）A.y=3(x－3)2+2B.y=3(x+3)2+2C.y=3(x－3)2－2D.y=3(x+3)2－24．如图所示，已知抛物线y＝的对称轴为x＝2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为(0，3)，则点B的坐标为 ( )A.(2，3)B.(3，2)C.(3，3)D.(4，3)5．将函数的图象向右平移a(a＞0)个单位，得到函数的图象，则a的值为( )A．1 B．2 C．3 D．46．若二次函数的x与y的部分对应值如下表：x -7 -6 -5 -4 -3 -2Y -27 -13 -3 3 5 3则当x＝1时，y的值为 ( )A．5 B．-3 C．-13 D．-27二、填空题7．抛物线的图象如图所示，则此抛物线的解析式为______________．第7题第10题8．已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是(1，-2)，则这个二次函数的关系式为______．9．已知抛物线．该抛物线的对称轴是________，顶点坐标________；10．如图所示已知二次函数的图象经过点（-1，0），（1，-2），当y 随x的增大而增大时，x的取值范围是______________．11．已知二次函数(a≠0)中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：…-1 0 1 ……-2 -2 0 …则该二次函数的解析式为______________．12．已知抛物线的顶点坐标为(3，-2)，且与x轴两交点间的距离为4，则抛物线的解析式为______________．三、解答题13．根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式．(1)已知抛物线的顶点是(1，2)，且过点(2，3)；(2)已知二次函数的图象经过(1，-1)，(0，1)，(-1，13)三点；(3)已知抛物线与x轴交于点(1，0)，(3，0)，且图象过点(0，-3)．14．如图，已知直线y＝-2x+2分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，求过A、B、C三点的抛物线的解析式．15．在矩形AOBC中，OB＝6，OA＝4，分别以OB，OA所在的直线为轴和轴建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合)，过F点的反比例函数(k ＞0)的图象与AC边交于点E．(1)求证：AE×AO＝BF×BO；(2)若点E的坐标为(2，4)，求经过点O，E，F三点的抛物线的解析式．一、选择题1.【答案】D；【解析】设抛物线的解析式为(a≠0)，将A、B、C三点代入解得，，c＝0．2.【答案】C；【解析】首先将一般式通过配方化成顶点式，即，∵a＝1＞0，∴x＝-1时，．3.【答案】A；4.【答案】D；【解析】∵点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，∴点A与点B关于对称轴x＝2对称，又∵A(0，3)，∴AB＝4，y B＝y A＝3，∴点B的坐标为(4，3)．5.【答案】B；【解析】抛物线的平移可看成顶点坐标的平移，的顶点坐标是，的顶点坐标是，∴移动的距离．6.【答案】D；【解析】此题如果先用待定系数法求出二次函数解析式，再将x＝1代入求函数值，显然太繁，而由二次函数的对称性可迅速地解决此问题．观察表格中的函数值，可发现，当x＝-4和x＝-2时，函数值均为3，由此可知对称轴为x＝-3，再由对称性可知x＝1的函数值必和x＝-7的函数值相等，而x＝-7时y＝-27．∴x＝1时，y＝-27．二、填空题7.【答案】；【解析】由图象知抛物线与x轴两交点为(3，0)，(-1，0)，则．8.【答案】；【解析】设顶点式，再把点（0,0）代入所设的顶点式里即可．9.【答案】(1)x＝1；(1，3)；【解析】代入对称轴公式和顶点公式即可.10.【答案】；【解析】将(-1，0)，(1，-2)代入中得b＝-1，∴对称轴为，在对称轴的右侧，即时，y随x的增大而增大.11.【答案】；【解析】此题以表格的形式给出x、y的一些对应值．要认真分析表格中的每一对x、y值，从中选出较简单的三对x、y的值即为(-1，-2)，(0，-2)，(1，0)，再设一般式，用待定系数法求解．设二次函数解析式为(a≠0)由表知解得∴二次函数解析式为．12.【答案】【解析】由题意知抛物线过点(1，0)和(5，0)．三、解答题13.【答案与解析】(1)∵顶点是(1，2)，∴设(a≠0)．又∵过点(2，3)，∴，∴a＝1．∴，即．(2)设二次函数解析式为(a≠0)．由函数图象过三点(1，-1)，(0，1)，(-1，13)得解得故所求的函数解析式为．(3)由抛物线与x轴交于点(1，0)，(3，0)，∴设y＝a(x-1)(x-3)(a≠0)，又∵过点(0，-3)，∴a(0-1)(0-3)＝-3，∴a＝-1，∴y＝-(x-1)(x-3)，即．14.【答案与解析】过C点作CD⊥x轴于D．在y＝-2x+2中，分别令y＝0，x＝0，得点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(0，2)．由AB＝AC，∠BAC＝90°，得△BAO≌△ACD，∴AD＝OB＝2，CD＝AO＝1，∴C点的坐标为(3，1)．设所求抛物线的解析式为，则有，解得，∴所求抛物线的解析式为．15.【答案与解析】(1)证明：由题意知，点E、F均在反比例函数图象上，且在第一象限，所以AE×AO＝k，BF×BO＝k，从而AE×AO＝BF×BO．(2)将点E的坐标为(2，4)代入反比例函数得k＝8，所以反比例函数的解析式为．∵OB＝6，∴当x＝6时，点F的坐标为．设过点O、E、F三点的二次函数表达式为(a≠0)，将点0(0，0)，E(2，4)，三点的坐标代入表达式得：解得∴经过O、E、F 三点的抛物线的解析式为：．要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴) (0，0)(轴) (0，)(，0)(，)() 2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线中，的作用：(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点；②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.类型一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质1．二次函数y＝x2的图象对称轴左侧上有两点A(a，15)，B(b，)，则a-b_______0(填“＞”、“＜”或“＝”号)．【解析】将A(a，15)，分别代入y＝x2中得：∴；，又A、B在抛物线对称轴左侧，∴a＜0，b＜0，即，∴【变式1】二次函数与的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则______．【答案】2.【变式2】不计算比较大小：函数的图象右侧上有两点A（a，15），B（b，0.5），则a______b．答案】＞.2．已知y=(m+1)x是二次函数且其图象开口向上,求m的值和函数解析式.【答案与解析】由题意，，解得m=1，∴二次函数的解析式为：y=.3．求下列抛物线的解析式：（1）与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线；（2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y轴对称的抛物线．【答案与解析】（1）由于待求抛物线形状相同，开口方向相反，可知二次项系数为，又顶点坐标是（0，-5），故常数项，所以所求抛物线为．（2）因为抛物线的顶点为（0，1），所以其解析式可设为，又∵该抛物线过点（3，-2），∴，解得．∴所求抛物线为．4．在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象回答下列问题．(1)抛物线向________平移________个单位得到抛物线；(2)抛物线开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；(3)抛物线，当x____时，随x的增大而减小；当x____时，函数y有最____值，其最____值是____．【答案与解析】函数与的图象如图所示：(1)下；l ；(2)向下；y轴；(0，1)；(3)＞0；＝0；大；大；1.课堂练习一、选择题1. 关于函数y=的图象,则下列判断中正确的是()A. 若a、b互为相反数,则x=a与x=b的函数值相等；B. 对于同一个自变量x,有两个函数值与它对应；C. 对任一个实数y,有两个x和它对应；D. 对任意实数x,都有y＞0.2. 下列函数中，开口向上的是（）A. B. C. D.3. 把抛物线向上平移1个单位，所得到抛物线的函数表达式为()．A．B．C．D．4. 下列函数中，当x＜0时，y值随x值的增大而增大的是（）A. B. C. D.5. 在同一坐标系中，作出，，的图象，它们的共同点是（）．A．关于y轴对称，抛物线的开口向上B．关于y轴对称，抛物线的开口向下C．关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点D．关于原点对称，抛物线的顶点都是原点6. 晴天时，汽车的刹车距离s (m)与开始刹车时的速度v(m/s)之间满足二次函数，若汽车某次的刹车距离为2.25m，则开始刹车时的速度为( )．A. 10m/sB. 15m/sC. 20m/sD. 25m/s二、填空题7. 已知抛物线的解析式为y＝-3x2，它的开口向______，对称轴为______，顶点坐标是________，当x＞0时，y随x的增大而________．8. 若函数y＝ax2过点(2，9)，则a＝________．9. 已知抛物线y＝x2上有一点A，A点的横坐标是-1，过点A作AB∥x轴，交抛物线于另一点B，则△AOB的面积为________．10. 写出一个过点（1，2）的函数解析式_________________．11. 函数，、的图象大致如图所示，则图中从里向外的三条抛物线对应的函数关系式是_____________________．12. 若对于任意实数x，二次函数的值总是非负数，则a的取值范围是____________．三、解答题13．已知是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大．（1）求m的值；（2）画出函数的图象．14. 已知抛物线经过A（-2，-8）.（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断B（-1，-4）是否在此抛物线上？（3）求此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.15．函数y=ax2 (a≠0)的图象与直线y=2x-3交于点(1，b)．（1）求a和b的值；（2）求抛物线y=ax2的解析式，并求顶点坐标和对称轴；（3）x取何值时，y随x的增大而增大?（4）求抛物线与直线y=-2的两个交点及其顶点所构成的三角形的面积．一、选择题1．【答案】A.2．【答案】D；【解析】开口方向由二次项系数a决定，a＞0，抛物线开口向上；a＜0，抛物线开口向下.3．【答案】A；【解析】由抛物线的图象知其顶点坐标为(0，0)，将它向上平移1个单位后，抛物线的顶点坐标为(0，1)，因此所得抛物线的解析式为．4．【答案】B；【解析】根据抛物线的图象的性质，当a＜0时，在对称轴（x=0）的左侧，y值随x值的增大而增大，所以答案为B.5. 【答案】C；【解析】y＝2x2，y＝-2x2，的图象都是关于y轴对称的，其顶点坐标都是(0，0)．6. 【答案】B；【解析】当s＝2.25时，，v＝15．二、填空题7．【答案】下；y轴；(0，0)；减小；8．【答案】；【解析】将点(2，9)代入解析式中求a.9．【答案】1 ；【解析】由抛物线的对称性可知A(-1，1)，B(1，1)，则.10．【答案】【解析】答案不唯一.11．【答案】，，．【解析】先比较，|1|，|3|的大小关系，由|a|越大开口越小，可确定从里向外的三条抛物线所对应的函数依次是y＝3x2，y＝x2，．12．【答案】a＞-1；【解析】二次函数的值总是非负数，则抛物线必然开口向上，所以a+1＞0.三、解答题13. 【解析】解：（1）∵为二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大，∴，∴，∴m=1.（2）由（1）得这个二次函数解析式为，自变量x的取值范围是全体实数，可以用描点法画出这个函数的图象．如图所示．14. 【解析】解：（1）∵抛物线经过A（-2，-8），∴-8=4a，∴a=-2，抛物线的解析式为：.（2）当x=-1时，y=-2=-2≠-4，∴点B（-1，-4）不在此抛物线上.（3）当y=-6时，即，得，∴此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标是（，-6）和（，-6）.15. 【解析】解：（1）将x=1，y=b代入y=2x-3，得b=-1，所以交点坐标是(1，-1)．将x=1，y=-1代入y=ax2，得a=-1，所以a=-1，b=-1．（2）抛物线的解析式为y=-x2，顶点坐标为(0，0)，对称轴为直线x=0(即y轴)．（3）当x＜0时，y随x的增大而增大．（4）设直线y=- 2与抛物线y=-x2相交于A、B两点，抛物线顶点为O(0，0)．由,，得∴A(，-2)，B(，-2)．∴AB=|-(-)|=2，高=|-2|=2．∴．类型二、二次函数y=a（x-h)^2+k(a≠0)的图象与性质1．将抛物线作下列移动，求得到的新抛物线的解析式．(1)向左平移2个单位，再向下平移3个单位；(2)顶点不动，将原抛物线开口方向反向；(3)以x轴为对称轴，将原抛物线开口方向反向．【答案与解析】抛物线的顶点为(1，3)．(1)将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，顶点为(-1，0)，而开口方向和形状不变，所以a＝2，得到抛物线解析式为．(2)顶点不动为(1，3)，开口方向反向，则，所得抛物线解析式为．(3)因为新顶点与原顶点(1，3)关于x轴对称，故新顶点应为(1，-3)．又∵抛物线开口反向，∴．故所得抛物线解析式为．2．把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，求b，c的值.【答案与解析】根据题意得，y=(x-4)2-2=x2-8x+14, 所以【变式】二次函数的图象可以看作是二次函数的图象向平移4个单位，再向平移3个单位得到的．【答案】上；右.3．已知与的图象交于A、B两点，其中A(0，-1)，B(1，0)．(1)确定此二次函数和直线的解析式；(2)当时，写出自变量x的取值范围．【答案与解析】(1)∵，的图象交于A、B两点，∴且解得且∴二次函数的解析式为，直线方程为．(2)画出它们的图象如图所示，由图象知当x＜0或x＞1时，．4．如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）若点P（m，-m）（m≠0）为抛物线上一点，求与P关于抛物线对称轴对称的点Q 的坐标．（注：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-）.【答案与解析】解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x-2）2+1，将点O（0，0）的坐标代入得：4a+1=0，解得a=-．所以二次函数的解析式为y=-（x-2）2+1；（2）∵抛物线y=-（x-2）2+1的对称轴为直线x=2，且经过原点O（0，0），∴与x轴的另一个交点B的坐标为（4，0），∴S△AOB =×4×1=2；（3）∵点P（m，-m）（m≠0）为抛物线y=-（x-2）2+1上一点，∴-m=-（m-2）2+1，解得m1=0（舍去），m2=8，∴P点坐标为（8，-8），∵抛物线对称轴为直线x=2，∴P关于抛物线对称轴对称的点Q的坐标为（-4，-8）．如下图.课堂巩固一、选择题1．抛物线的顶点坐标是（）A．(2，-3)B．(-2，3)C．(2，3)D．(-2，-3)2．函数y=x2+2x+1写成y=a(x－h)2+k的形式是（）A．y=(x－1)2+2 B．y=(x－1)2+C．y=(x－1)2－3D．y=(x+2)2－13．抛物线y=x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是( )A．y=(x+3)2－2B．y=(x－3)2+2C．y=(x－3)2－2 D．y=(x+3)2+2 4．把二次函数配方成顶点式为（）A． B．C．D．5．由二次函数，可知（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线C．其最小值为1D．当时，y随x的增大而增大6．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（）二、填空题7. 抛物线y=-（•x+•3）2•-•5•的开口向_______，•对称轴是________，•顶点坐标是_______．8．已知抛物线y=－2(x+1)2－3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_ _____.9．抛物线y=－3(2x2－1)的开口方向是_____，对称轴是_____.10．顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为．11．将抛物线向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是__ _____．12．抛物线的顶点为C，已知的图象经过点C，则这个一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为________．三、解答题13．已知抛物线的顶点（-1，-2），且图象经过（1，10），求抛物线的解析式．14. 已知抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到抛物线；（1）求出a，h，k的值；（2）在同一直角坐标系中，画出与的图象；（3）观察的图象，当________时，y随x的增大而增大；当________时，函数y有最________值，最________值是________；（4）观察的图象，你能说出对于一切的值，函数y的取值范围吗？15．已知抛物线的顶点为A，原点为O，该抛物线交y轴正半轴于点B，且，求：(1)此抛物线所对应的函数关系式；(2)x为何值时，y随x增大而减小?一、选择题1.【答案】D；【解析】由顶点式可求顶点，由得，此时，．2.【答案】D；【解析】通过配方即可得到结论.3.【答案】A；【解析】抛物线y=x2向左平移3个单位得到y=(x+3)2，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是y=(x+3)2－2.4.【答案】B【解析】通过配方即可得到结论.5.【答案】C；【解析】可画草图进行判断.6.【答案】C；【解析】A中的符号不吻合，B中抛物线开口不正确．D中直线与y轴交点不正确.二、填空题7.【答案】下；直线x=-3 ；（-3，-5）；【解析】由二次函数的图象性质可得结论.8.【答案】x≥－1；【解析】由解析式可得抛物线的开口向下，对称轴是x=-1，对称轴的右边是y随x的增大而减小，故x≥－1.9.【答案】向下，y轴；10.【答案】；【解析】设过点（1，－14）得，所以.11.【答案】；【解析】先化一般式为顶点式，再根据平移规律求解.12.【答案】1；【解析】C(2，-6)，可求与x轴交于，与y轴交于(0，3)，∴.三、解答题13.【答案与解析】∵抛物线的顶点为（-1，-2）∴设其解析式为，又图象经过点（1，10），∴，∴，∴解析式为．14.【答案与解析】（1）由向上平移2个单位，再向右平移1个单位所得到的抛物线是．∴，，．（2）函数与的图象如图所示．（3）观察的图象，当时，随x的增大而增大；当时，函数有最大值，最大值是．（4）由图象知，对于一切的值，总有函数值．15.【答案与解析】（1）由题意知A(2，1)，令，则，所以．由得，所以，因此抛物线的解析式为．（2）当时，y随x增大而减小．类型三：二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质类型一、二次函数的图象与性质1．求抛物线的对称轴和顶点坐标．【变式】把一般式化为顶点式．（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D的坐标；（2）分别求出它与y轴的交点C，与x轴的交点A、B的坐标.2．如图所示，抛物线的对称轴是x＝1，与x轴交于A、B两点，点B的坐标为(，0)，则点A的坐标是_______．类型二、二次函数的最值3．求二次函数的最小值.类型三、二次函数性质的综合应用4．已知二次函数的图象过点P(2，1)．（1）求证：；（2）求bc的最大值．【答案与解析】（1）∵的图象过点P(2，1)，∴1=4+2b+c+1，∴c=-2b-4．（2）．∴当时，bc有最大值．最大值为2．课堂巩固一、选择题1. 将二次函数化为的形式，结果为（）．A．B．C．D．2．已知二次函数的图象，如图所示，则下列结论正确的是（）．A．B．C．D．3．若二次函数配方后为，则b、k的值分别为（）．A．0，5B．0，1 C．-4，5D．-4，14．抛物线的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为，则b、c的值为（）．A．b=2，c=2B．b=2，c=0C．b= -2，c= -1 D．b= -3，c=25．已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，则a+b+c的值()A. 等于0B.等于1C. 等于-1D. 不能确定6．二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是( )二、填空题7．二次函数的最小值是________．8．已知二次函数，当x＝-1时，函数y的值为4，那么当x＝3时，函数y的值为________．9．二次函数的图象经过A(-1，0)、B(3，0)两点，其顶点坐标是________．10．二次函数的图象与x轴的交点如图所示．根据图中信息可得到m 的值是________．第10题第11题11．如图二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点(-1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴第①问：给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0其中正确的结论的序号是___；第②问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1，其中正确的结论的序号是___ __.12．已知二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点A、B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，且△ABC的面积等于10，则C点的坐标为__ __.三、解答题13．（1）用配方法把二次函数变成的形式；（2）在直角坐标系中画出的图象；（3）若，是函数图象上的两点，且，请比较、的大小关系．14．如图所示，抛物线与x轴相交于点A、B，且过点C（5，4）．（1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标；（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．15．已知抛物线：(1)求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)画函数图象，并根据图象说出x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x 的增大而减小？函数y有最大值还是最小值？最值为多少？一、选择题1.【答案】D；【解析】根据配方法的方法及步骤，将化成含的完全平方式为，所以．【解析】由图象的开口方向向下知；图象与y轴交于正半轴，所以；2.【答案】D；又抛物线与x轴有两个交点，所以；当时，所对应的值大于零，所以．3.【答案】D；【解析】因为，所以，，．4.【答案】B；【解析】，把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得抛物线，∴，∴，．5.【答案】A；【解析】因为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，所以过点（1,0）代入解析式得a+b+c=0.6.【答案】A；【解析】分类讨论，当a＞0，a＜0时分别进行分析.二、填空题7.【答案】-3；【解析】∵，∴函数有最小值．当时，．8.【答案】4【解析】由对称轴，∴x＝3与x＝-1关于x＝1对称，∴x＝3时，y＝4.9.【答案】(1，-4) ；【解析】求出解析式.10.【答案】4；【解析】由图象发现抛物线经过点（1，0），把，代入，得，解得．11.【答案】①④，②③④；12.【答案】(-2，5)或(4，5)；【解析】先通过且△ABC的面积等于10，求出C点的纵坐标为5，点C在抛物线y=x2-2x-3上，所以x2-2x-3=5，解得x=-2或x=5，则C点的坐标为(-2，5)或(4，5).三、解答题13.【答案与解析】（1）．（2）略．（3）∵，∴当时，y随x增大而减小，又，∴．14.【答案与解析】（1）把点C(5，4)代入抛物线得，，解得．∴该二次函数的解析式为．∵，∴顶点坐标为．（2）（答案不唯一，合理即正确）如先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数解析式为，即．15.【答案与解析】(1)∵，b＝-3，∴，把x＝-3代入解析式得，．∴抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝-3，顶点坐标是(-3，2)．(2)由于抛物线的顶点坐标为A(-3，2)，对称轴为x＝-3．抛物线与x轴两交点为B(-5，0)和C(-1，0)，与y轴的交点为，取D关于对称轴的对称点，用平滑曲线顺次连结，便得到二次函数的图象，如图所示．从图象可以看出：在对称轴左侧，即当x＜-3时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，即当x ＞-3时，y 随x 的增大而减小．因为抛物线的开口向下，顶点A 是抛物线的最高点，所以函数有最大值，当x ＝-3时，．要点三、二次函数与一元二次方程的关系函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. (1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解方程没有实数解类型一、函数与方程4．已知抛物线与x 轴没有交点．①求c 的取值范围； ②试确定直线经过的象限，并说明理由．【变式1】无论x为何实数，二次函数的图象永远在x轴的下方的条件是( )A．B．C．D．【变式2】对于二次函数，我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数(m为实数)的零点的个数是( )A．1 B．2 C．0 D．不能确定要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值1．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数：m＝162-3x．(1)写出商场卖出这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系；(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为多少?【答案与解析】(1)∵每件商品利润为(x-30)元．∴销售m件商品利润为m(x-30)元，又∵m＝162-3x，∴每天利润y＝(162-3x)(x-30)．即y＝-3x2+252x-4860．(2)∵y＝-3x2+252x-4860＝-3(x-42)2+432，又∵a＝-3＜0，∴当x＝42时，＝432(元)．。
函数的三要素(定义域、值域、对应法则)
函数的三要素函数的三要素是指定义域、值域、对应法则，每个要素里掌握的方向不一样。
定义域从具体函数和抽象函数两个方向去把握，值域掌握求值域的方法有哪些，对应法则也掌握的是方法有哪些。
下面一一介绍。
一、定义域1、具体函数定义域：主要从以下几个方面去掌握：(1)整式函数的定义域是全体实数。
(2)分式函数的定义域是使得分母不为0的自变量的取值。
(3)含有偶次根式是被开放数大于等于0(4)对数函数是真数大于0(5)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；2、抽象函数的定义域：此部分只需记住2句话即可：（1）、凡是出现定义域三个字，统统是指的取值范围。
（2）、相同准则条件下，相同位置取值范围一样。
通俗一句话就是括号里的取值范围一样。
3、实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．命题点1 求具体函数的定义域例1 求下列函数的定义域.(1)y ＝3－12x ； (2)y ＝2x －1－7x ；(3)y ＝(x ＋1)0x ＋2； (4)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x. 考点 函数的定义域题点 求具体函数的定义域解 (1)函数y ＝3－12x 的定义域为R . (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－7x ≥0，得0≤x ≤17， 所以函数y ＝2x －1－7x 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，17. (3)由于0的零次幂无意义，故x ＋1≠0，即x ≠－1.又x ＋2>0，即x >－2，所以x >－2且x ≠－1.所以函数y ＝(x ＋1)0x ＋2的定义域为{}x | x >－2且x ≠－1.(4)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0， 解得－32≤x ＜2，且x ≠0， 所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －32≤x ＜2，且x ≠0.例2 (1)、(2018·江苏)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________．答案 {x |x ≥2}解析 由log 2x －1≥0，即log 2x ≥log 22，解得x ≥2，满足x >0，所以函数f (x )＝log 2x －1的定义域为{x |x ≥2}．(2)、函数f (x )＝1xln x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4的定义域为________________． 答案 [－4,0)∪(0,1)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠0，x 2－3x ＋2>0，－x 2－3x ＋4≥0，解得－4≤x <0或0<x <1，故函数f (x )的定义域为[－4,0)∪(0,1)． （3）、函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 答案 (0,1]解析 函数的定义域满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠0，1＋1x >0，1－x 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >0或x <－1，－1≤x ≤1，∴0<x ≤1.命题点2 求抽象函数的定义域1、设f (x )的定义域为[0,1]，要使函数f (x －a )＋f (x ＋a )有定义，则a 的取值范围为____________．答案 ⎣⎡⎦⎤－12，12 解析 函数f (x －a )＋f (x ＋a )的定义域为[a,1＋a ]∩[－a,1－a ]，当a ≥0时，应有a ≤1－a ，即0≤a ≤12；当a <0时，应有－a ≤1＋a ，即－12≤a <0.所以a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12.思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域； ②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域．(3)已知函数定义域求参数的值或范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解．2、若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( ) A ．[0,1)B ．[0,1]C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1) 答案 A解析 函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，要使函数g (x )有意义，可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1，故选A.命题点3 已知定义域求参数的值或范围例2 (1)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．答案 －92解析 函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，1＋2＝－b ，1×2＝b a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3， 所以a ＋b ＝－32－3＝－92. (2)设f (x )的定义域为[0,1]，要使函数f (x －a )＋f (x ＋a )有定义，则a 的取值范围为____________．答案 ⎣⎡⎦⎤－12，12 解析 函数f (x －a )＋f (x ＋a )的定义域为[a,1＋a ]∩[－a,1－a ]，当a ≥0时，应有a ≤1－a ，即0≤a ≤12；当a <0时，应有－a ≤1＋a ，即－12≤a <0.所以a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12. (4)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0,4]解析 由题意知，mx 2＋mx ＋1≥0对x ∈R 恒成立．当m ＝0时，f (x )的定义域为一切实数；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m 2－4m ≤0，得0<m ≤4， 综上，m 的取值范围是[0,4]．二、对应法则函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法（例如一次函数、二次函数）；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法（构造方程组法）：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．命题角度1 待定系数法求函数解析式例1 已知f (x )为一次函数，且f (f (x ))＝2x －1，求f (x )的解析式.解 由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b＝a 2x ＋ab ＋b ＝2x －1，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，ab ＋b ＝－1， ∴⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝1－2或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1＋ 2.∴所求函数解析式为f (x )＝2x ＋1－2或f (x )＝－2x ＋1＋ 2.反思感悟 适合用待定系数法求解析式的函数类型，通常为已知的函数类型，如一次函数，二次函数等.跟踪训练 f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，求f (x )的解析式.考点 求函数的解析式题点 待定系数法求函数解析式解 由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9，即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，3a ＋2b ＝9， ∴a ＝1，b ＝3.∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3.命题角度2 换元法(或配凑法)求函数解析式例2 (1)设函数f ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，则f (x )的表达式为( ) A.1＋x 1－x(x ≠1) B.1＋x x －1(x ≠1) C.1－x 1＋x(x ≠－1) D.2x x ＋1(x ≠－1) 答案 C解析 令t ＝1－x 1＋x ，则x ＝1－t 1＋t(t ≠－1)， ∴f (t )＝1－t 1＋t (t ≠－1)， 即f (x )＝1－x 1＋x(x ≠－1). (2)若f (2x ＋1)＝6x ＋5，求f (x )的表达式.考点 求函数的解析式题点 换元法求函数解析式解 方法一 设2x ＋1＝t ，则x ＝t －12， ∴f (t )＝6·t －12＋5＝3t ＋2. ∴f (x )＝3x ＋2.方法二 f (2x ＋1)＝6x ＋5＝3(2x ＋1)＋2，∴f (x )＝3x ＋2.反思感悟 对于形如y ＝f (g (x ))的函数，求y ＝f (x )的解析式，通常用换元法，令t ＝g (x )，从中求出(x ＝φ(t ))，然后代入表达式，求出f (t )即得f (x )的表达式.特别注意：换元法要注意新元的范围.跟踪训练 (1)若g (x )＝1－2x ，f (g (x ))＝1－x 2x 2，则f (x )等于( ) A.4(1－x )2＋1(x ≠1) B.4(1－x )2－1(x ≠1) C.4(1－x )2(x ≠1) D.2(1－x )2－1(x ≠1)答案 B解析 令g (x )＝1－2x ＝t ，则x ＝1－t 2(t ≠1)，代入得f (t )＝4(1－t )2－1(t ≠1)， ∴f (x )＝4(1－x )2－1(x ≠1). (2)若f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的表达式.考点 求函数的解析式题点 换元法求函数解析式解 方法一 设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1，即f (t )＝t 2＋2t －2.∴所求函数解析式为f (x )＝x 2＋2x －2.方法二 f (x ＋1)＝(x ＋1－1)2＋4(x ＋1－1)＋1＝(x ＋1)2＋2(x ＋1)－2，∴f (x )＝x 2＋2x －2.命题角度3 构造方程组求函数解析式例3 若f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )的表达式.考点 求函数的解析式题点 方程组法求函数解析式解 ∵f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，将x 换成－x ，得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x ，∴联立以上两式消去f (－x )，得3f (x )＝x 2－6x ，∴f (x )＝13x 2－2x . 反思感悟 已知关于f (x )与f (－x )的表达式或f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x ).跟踪训练 已知2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝x (x ≠0)，求f (x )的表达式.考点 求函数的解析式题点 方程组法求函数解析式解 ∵f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，将原式中的x 与1x互换， 得f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x.于是得关于f (x )的方程组⎩⎨⎧f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x，解得f (x )＝23x －x 3(x ≠0). 三、求值域：求值域的方法：（1）分离常数法：适合分子分母都是一次函数（2）反解法（3）配方法（4）不等式法（5）单调性法（6）换元法（7）数形结合法（8）导数法例 求下列函数的值域：(1)y ＝3x 2－x ＋2，x ∈[1,3]；(2)y ＝3x ＋1x －2；(3)y ＝x ＋41－x ；(4)y ＝2x 2－x ＋12x －1⎝⎛⎭⎫x >12.解 (1)(配方法)因为y ＝3x 2－x ＋2＝3⎝⎛⎭⎫x －162＋2312，所以函数y ＝3x 2－x ＋2在[1,3]上单调递增．当x ＝1时，原函数取得最小值4；当x ＝3时，原函数取得最大值26.所以函数y ＝3x 2－x ＋2(x ∈[1,3])的值域为[4,26]．(2)(分离常数法)y ＝3x ＋1x －2＝3(x －2)＋7x －2＝3＋7x －2，因为7x －2≠0，所以3＋7x －2≠3，所以函数y ＝3x ＋1x －2的值域为{y |y ≠3}．(3)(换元法)设t ＝1－x ，t ≥0，则x ＝1－t 2，所以原函数可化为y ＝1－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋5(t ≥0)，所以y ≤5，所以原函数的值域为(－∞，5]．(4)(均值不等式法)y ＝2x 2－x ＋12x －1＝x (2x －1)＋12x －1＝x ＋12x －1＝x －12＋12x －12＋12， 因为x >12，所以x －12>0， 所以x －12＋12x －12≥2⎝⎛⎭⎫x －12·12⎝⎛⎭⎫x －12＝2， 当且仅当x －12＝12x －12，即x ＝1＋22时取等号． 所以y ≥2＋12，即原函数的值域为⎣⎡⎭⎫2＋12，＋∞.思维升华 配方法、分离常数法和换元法是求函数值域的有效方法，但要注意各种方法所适用的函数形式，还要注意函数定义域的限制．换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归，把无理式转化为有理式来解．二次分式型函数求值域，多采用分离出整式再利用基本不等式求解．。
函数三要素综合知识点
函数三要素综合知识点函数作为编程中的重要概念，在程序设计中起着重要的作用。
理解函数的三要素对于编写高效、可读性强的代码至关重要。
本文将详细介绍函数的三个要素：函数名、参数和返回值，并提供一些实用的示例来帮助读者更好地理解这些概念。
1. 函数名函数名是函数的标识符，用于在代码中唯一标识一个特定的函数。
函数名应该能够清晰地表达函数的功能，以方便其他开发者理解和使用。
在选择函数名时，应遵循一些命名规范，如以下几点：•函数名应该使用有意义的单词或短语，能够准确地描述函数的功能。
•函数名应该使用小写字母，并使用下划线来分割单词，以增加可读性。
例如，calculate_average。
•避免使用过长或过于复杂的函数名，以免影响代码的可读性。
•函数名应该遵循所使用的编程语言的命名规范。
2. 参数参数是函数中的变量，用于接收外部传入的数据。
函数可以有零个或多个参数，通过参数可以将数据传递给函数，并在函数内部进行处理。
在定义函数时，需要指定参数的类型和名称。
以下是一些常见的参数类型：•整数（int）：用于接收整数类型的数据。
•浮点数（float）：用于接收浮点数类型的数据。
•字符串（string）：用于接收字符串类型的数据。
•列表（list）：用于接收一组数据的集合。
参数可以在函数内部被使用，进行一系列的操作和计算。
函数可以根据参数的不同值，返回不同的结果。
3. 返回值返回值是函数执行完毕后，将结果返回给调用者的方式。
调用函数时可以使用返回值进行后续的操作和处理。
在函数中，可以使用关键字return来指定要返回的值。
以下是一些关于返回值的注意事项：•函数可以返回单个值，也可以返回多个值。
多个返回值可以使用元组或列表来实现。
•返回值的类型应该与函数的功能和预期结果相匹配。
•函数可以返回任何类型的值，包括整数、浮点数、字符串、列表等等。
示例下面是一个简单的示例，展示了函数名、参数和返回值的应用：def calculate_sum(a, b):"""计算两个数的和"""return a + bresult = calculate_sum(3, 5)print(result) # 输出结果为 8在上述示例中，calculate_sum是函数的名字，它接收两个参数a和b，并返回它们的和。
函数的三要素详细讲义
一 函数定义域1：直接求定义域： ①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f ③xy 111+=④()02112++-=x x y ⑤ ()()()lg 12f x x x =--⎡⎤⎣⎦ ⑥29)1ln(1x x y -+-=答案: 1.[3,3-] 2. { x|4133≥-≤<-->x x x 或或} 3. {()()()+∞⋃-⋃-∞-,00,11,.} 4. { x|122,22-≠≥-≤x x x 且} 5.{ x|21<<x } 6.{]3,2()2,1(⋃} 2：间接求定义域：1、已知)(x f 的定义域为[0，1]，求)(2x f 的定义域。
2、已知)1(+x f 的定义域为[-2，3），求)21(+xf 的定义域 3、已知)(x f 的定义域为[a ，b]，且0>->a b ，求函数)()()(x f x f xg --=的定义域。
4、已知()f x 的定义域是[]0,1，则()22f x x --的定义域为5 、若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 6．若函数()21f x mx mx =++定义域为R ，则m 的取值范围是7. 若)(μf y =的定义域为[]2,0，则)(ln x f 的定义域是8、函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域9、已知)(x f 的定义域为[0，1]，求)()(a x f a x f -++的定义域。
二 值 域（1）分离常数法 1、求函数125x y x -=+的值域 2、求函数21+-=x x y 的值域 3、函数x xy +=1的值域（2）判别式法：（约束条件的---分离常数法）（注意讨论x 平方前的系数）1、求函数22122+-+=x x x y 的定义域 2、求函数2211x y x -=+的值域3、函数11++=x x y 的值域 4、求函数132222++++=x x x x y 的值域（3）图象法-----数形结合1、求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域2、求函数[]5,0,522∈+-=x x x y 的值域（4）换元法1、求函数x x y 21--=的值域2、求函数212y x x =+-的值域3、求函数x x y -+=12的值域4、求函数[])1,0(239∈+-=x y xx的值域 （5）几何意义法 (系数是1的绝对值函数：系数不是1的绝对值函数—零点分段法)1、求函数11-++=x x y 的值域2、求函数13+--=x x y 的值域。
2、函数三要素(串讲)
函数三要素一、求定义域1.函数()()12log 12---=x x x f 的定义域 2.已知函数()2x f 的定义域为()21，，求()12-x f 的定义域3.已知函数()x f 2的定义域为[]2,1，求()x f 2log 的定义域4.函数()x x x f -+=22lg ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为 5.若函数()()1lg 2+-=ax ax x f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围 二、求解析式1.若()x f 为一次函数，且满足()()14-=x x f f ，则()=x f2.已知221111x x x x f +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-，则()=x f 3.已知3311xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求()x f 的解析式 4.已知()x f 满足()x x f x f 312=⎪⎭⎫⎝⎛+，求()x f 的解析式5.已知()()123+=-+x x f x f ，求()x f 的解析式6.已知()()88222++--=x x x f x f ，求()x f 的解析式 三、求值域 1.函数232-+=x x y ，[]8,3∈x 的值域为 2.函数11-+=x x e e y 的值域是 3.函数2cos 2cos -+=x x y 的值域是 4.函数2cos 2sin -+=x x y 的值域是 5.求()x x x f 82+-=在区间[]1,+t t 上的值域 6.求函数x x y -++=112的值域7.求函数x x y cos sin 2+=的值域8.求函数x x y 2cos sin +=的值域9.求函数x x x x y cos sin cos sin ⋅++=的值域10.求函数()()1cos 1sin ++=x x y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1212-π，πx 的值域 11.求函数124++=x x y 的值域12.已知()x x f 3log =，[]9,1∈x ，则函数()()x f x f y 22+=的值域是13.求函数()56231+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x f 的值域函数三要素参考答案13.(]81,0。
第二讲函数的定义与三要素
第二讲 函数的定义与三要素【知识梳理】1、对映射定义的理解：（1）非空集合A 和B 不加约束，可以是数集，可以是点集，也可以是其它元素形成的集合；（2）对应法则f 具有方向性；（3）“任一(元素)对应唯一(元素)”,即A 中任一元素在B 中都有唯一的象.在这里,A 中元素不可剩,允许B 中有剩余；不可“一对多”,允许“多对一”.因此,根据B 中元素有无剩余的情况,映射又可分为“满射”和“非满射”两类.2、函数概念中强调：（1）非空数集之间的对应；（2）函数三要素中有一个不同，则两个函数不同。
题型一 映射与函数例1： 已知映射f:A ,其中B={1，2，3，4}，集合B 是A 中元素在映射f 的作用下象B →组成的集合，且对于任意的a ,在B 中和它对应的元素是|a|，则这样的A 的个数为A ∈16 个。
练习：1、已知A={1，2，3，4}，B={5，6}，取适当的对应法则，问：（1）从A 到B 可以建立起多少个不同的映射？16（2）以A 为定义域，B 为值域的函数有多少个？在（2）的条件下，满足f(1)的函数有多少个？3(2)(3)(4)f f f ≤≤≤2、已知：A= B=映射f ：A →B 满足f(a)+f(b)=f(c)，求满足的映射的个{}c b a ,,{}2,0,2-数。
7题型二：函数定义域知识点：求函数定义域一般有三类问题：（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；（3）已知的定义域求的定义域或已知的定义域求的定义域：()f x [()]f g x [()]f g x ()f x ①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；②若已知的定义域，其复合函数的定义域应由解出。
()f x [],a b []()f g x ()a g x b ≤≤例1：求下述函数的定义域：（1）；02)23()12lg(2)(x x x x x f -+--=（2）).lg()lg()(22a x ka x x f -+-=解：（1），解得函数定义域为.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-≠->-≥-023112012022x x x x x ]2,23()23,1()1,21( （2） ，（先对a 进行分类讨论，然后对k 进行分类讨论），⎩⎨⎧>>22ax kax ①当a =0时，函数定义域为；)(R k ∈),0(+∞②当时，得，0>a ⎩⎨⎧>-<>ax a x kax 或1）当时，函数定义域为，⎩⎨⎧≥>10k a ),(+∞ka 2）当时，函数定义域为，⎩⎨⎧<≤->110k a ),(+∞a 3）当时，函数定义域为；⎩⎨⎧-<>10k a ),(),(+∞-a a ka ③当时，得，0<a ⎩⎨⎧-><>a x a x kax 或1）当时，函数定义域为，⎩⎨⎧-≤<10k a ),(+∞ka 2）当时，函数定义域为，⎩⎨⎧≤<-<110k a ),(+∞-a 3）当时，函数定义域为。
函数的三要素 PPT
思考：如果构成一个函数，需要具备几个条件？
定义域 函数的三要素 值域
对应关系
练习:
1.判断下列对应是否为数集A到数集B的一个函
数A ： B
A
B
A
B
A
B
1
1
1
11
1
2 3
2 1
3
2
1
3Hale Waihona Puke 222 332 3
4
4
4
3
44
4
(1) 不是
(2) 不是
(3) 是
(4) 是
记C= {f(x)|x∈A}，则C____B
2. 下列图象能表示函数图象的是（D ）
y
0
x
(A) y
0
x
(C)
y
0
x
(B) y
00
x
(D)
都有
任意一个数x
称
唯一确定的数f(x)和它对应
，在 ，那么就
f: A→B 为 从 集 合 A 到 集 合 B 的 一 个 函 数 ， 记 作
y=f(x),x∈A.
设A，B是非__空__的__数__集___，如果按照某种确定的对应关 系f，使对于集合A中的任__意__一__个__数__x__，在集合B中都 有_唯__一__确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为 从_集__合__A_到__集_合__B__的一个函数，记作y=f(x)，x∈A. 其中，x叫做自__变__量___，x的取值范围A叫做函数的 _定__义__域__；与x的值相对应的y值叫做函__数__值___，函数 值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值__域___.
1 初中函数的概念
2 自变量和因变量 目
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函数的三要素【知识点】 一、函数的定义域（1）研究一个函数一定在其定义域内研究，所以求定义域是研究任何函数的前提，要树立定义域优先的原则． （2）函数的定义域常由其实际背景决定，若只给解析式时,定义域就是使此式子有意义的实数x 的集合（区间表示）． 常见定义域的求法：常见定义域求法：对于()x f y =而言： ①整式：实数集R ；②分式：使分母不等于0的实数的集合； [1(0)x x≠] ③0指数幂：底数不等于零； [0(0)x x ≠]④偶次根式：使根号内的式子大于或等于0的实数的集合； [2(0)n x x ≥] ⑤对数：真数大于零； [log (0)a x x >]⑥由几个部分的式子构成：使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集)； 实际问题：使实际问题有意义的实数的集合．二、函数的值域对于)(x f y =，x A ∈，与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数)(x f y =的值域．三、解析式（1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解；（2）当已知表达式为()[]x g f 时，可考虑配凑法或换元法．若易将含x 的式子配成()x g ，用配凑法；若易换元后求出x ，用换元法；（3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法； （4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求．课程类型： 1对1课程 ☐ Mini 课程 ☐ MVP 课程【课堂演练】 题型一 函数定义域 例1 求下列函数的定义域： （1）1()2f x x =- （2）0()32(2)f x x x =+-（3）1()12f x x x=+-练1 求下列函数的定义域： （1）83y x x =+- （2）22111x x y x --=-（3）()3||f x x =-练2 函数0()(12)13g x x x x =--的定义域为 ．例2 函数3()1log (63)f x x x =+-的定义域为（ ）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．[1,2)-D ．[1,2]-练3 函数()3lg(1)f x x x =-+的定义域为（ ）A ．[1,3)-B ．(1,3)-C ．(1,3]-D ．[1,3]-练4 函数1()ln(31)=+f x x 的定义域是（ ）A ．1(,)3-+∞ B ．1(,0)(0,)3-+∞UC ．1[,)3-+∞D ．[0,)+∞题型二 函数值域 ➢ 一次分式值域 例3 求432+-=x y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈1,32x 上的值域．练5 求123+=x y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,31x 上的值域．例4 画出函数532-+=x y 的图象，并说出y 的取值范围．练6 画出函数3225y x =++的图象，并说出在42<<x 时y 的取值范围．➢ 分离常数:当分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法 例5 求1+=x xy 的值域．例6 求121-+=x x y 在]4,2[上的最小值．练7 求213x y x +=-的值域．练8 求121+-+=x x y 在]4,2[的值域．练9 求函数312x y x +=-，(3,1]x ∈--的值域．➢ 打勾函数例7 若0>x ，则xx x f 4)(+=的取值域为 ．例8 若0x <，则xx x f 4)(+=的取值域为 ．练10 求函数xx x f 4)(+=的取值范围为 ．练11 求函数xx x f 4)(2+=的取值范围为 ．题型三 函数解析式 ➢ 代入法例9 已知2()31f x x =+，()21g x x =-，求[()]f g x 和[()]g f x ．练12 设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（ ）A ．21x +B ．21x -C ．23x -D ．27x +练13 已知函数()34+=x x f ，()2x x g =，求()[]()[]()[]()[]x g g x f g x g f x f f ,,,．例10 已知2211()-=+f x x xx，求函数)(x f 的解析式．练14 已知3311()f x x x x+=+，求()f x ．➢ 换元法例11 已知2(1)3f x x+=，求)(x f 的解析式．例12 若x x x f 21(+=+），求)(x f 的解析式．练15 已知2(1)2f x x x +=-，求()f x ．练16 已知2)31f x x =+，求)(x f ．练17 已知21()1xf x x-=+，求)(x f ．练18 已知函数x x x f 4)1(2-=-，求函数)12(),(+x f x f 的解析式．已知函数)(x f 与函数)1(xf 或函数)(x f -之间的方程式，求函数)(x f 的解析式． 例13 已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x ．例14 已知13)()(2-=+-x x f x f ，求)(x f ．练19 已知()x f 满足()()+225f x f x x -=-，求()f x = ．练20 已知()x f 满足22113()+f x f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求()f x = ．练21 已知()x f 满足1()+432f x f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x = ．➢ 待定系数法知函数类型，求函数的解析式：待定系数法．例15 已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ．例16 已知)(x f 为二次函数，且x x x f x f 42)1()1(2-=-++，求)(x f 的解析式．练22 已知12))((-=x x f f ，求一次函数)(x f ．练23 已知二次函数)(x f 满足1)1(=f ，5)1(=-f ，图象过原点，求)(x f ．练24 已知)(x f 为二次函数，且103)1(2)1(2++-=--+x x x f x f ，求)(x f 的解析式．【课后练习1】1．函数2()log(1)4=++-f x x x ）A ．[2,2]-B ．(1,2]-C ．(1,2)-D ．[2,1]-2．若4()=+f x x x，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的最小值为4 B ．()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增 C ．()f x 的最大值为4D ．()f x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减3．当函数2(),(1)1=+>-f x x x x 取得最小值时，相应的自变量x 等于（ ） A ．2B ．3C ．4D ．54．已知2(1)6-=+f x x x ，则()f x 的表达式是（ ）A ．245+-xx B ．287++xx C ．223+-xx D ．2610+-xx5．（2016年高考江苏卷）函数232y x x =--的定义域是 ．6．已知函数()21-232xf x x x =--的定义域为______________．7．函数12-=x y 的定义域是()[)5,21,Y ∞-，则其值域是 ．8．已知()x f 满足2()3()54f x f x x +-=+，求()f x = ．9．已知()x f 是一次函数，且()[]14-=x x f f ，求()x f 的解析式．10．画出532++=x y 的图像，并说出y 的取值范围．【课后习题2】1．已知0x >，函数的最16y x x=+的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．82．函数2()131=--+f x x x 的定义域是（ ） A ．1[,1]3-B ．11(,)33-C ．1(,1)3-D ．1(,)3-∞-3．（2017深圳一模）函数22ln x x y x--+=的定义域为（ ）A ．(2,1)-B ．[2,1]-C ．(0,1)D ．(0,1]4．若4()1f x x x =+-，则下列结论正确的是（ ） A ．当1x >时，()f x 的最小值为4B ．()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增C ．当1x <时，()f x 的最大值为4D ．()f x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减5．已知()f x 是一次函数，且[()]2=+f f x x ，则()=f x （ ）A ．1+xB ．21-xC ．1-+xD ．1+x 或1--x6．如果1()1=-xf xx，则当0≠x 且1≠x 时，()=f x （ ） A ．1x （0≠x 且1≠x ） B ．11-x （0≠x 且1≠x ）C ．11-x （0≠x 且1≠x ）D ．11-x（x ≠0且x ≠1）7．求函数341x y x +=-，(1,4]x ∈的值域．8．已知()f x 满足3()()21f x f x x --=-，求()f x 的解析式．9．已知()f x 是一次函数，且3(1)2(2)5-=-f f ，2(0)(1)1--=f f ，求()f x 的解析式．10．已知函数21)1f x x +=+，求()f x 的解析式．【课后习题3】 1．函数21()92=--f x x x） A ．{2}≠xx B ．{3<-xx 或3}>x C ．{33}-≤≤x x D ．{33-≤≤xx 且2}≠2．已知0x <，函数9=+y x x的最大值是（ ） A ．－3B ．3C ．－6D ．63．函数()ln f x x=） A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．[0,)+∞D ．[1,)+∞4．已知函数(1)32+=+f x x ，则()f x 的解析式是（ ）A ．31-xB ．31+xC ．32+xD ．34+x5．（2016年高考北京卷文）函数()(2)1xf x x x =≥-的最大值为 ．6．函数21()3log (6)f x x x =++-的定义域是 ．7．已知2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，求=)4(f ．8．已知()x f 满足213()()2f x f x x+=+，求)(x f ．9．已知()f x 是一次函数，且满足2(1)(1)25f x f x x +--=+，求()f x ．10．已知()()222f x f x x x +-=+，求()f x ．。