21.1 一元二次方程(第2课时)作业.1 一元二次方程(第2课时)作业

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《21.1 一元二次方程》作业设计方案-初中数学人教版12九年级上册

《一元二次方程》作业设计方案（第一课时）一、作业目标：1. 学生对一元二次方程的概念有清晰的理解和掌握；2. 能够解决简单的一元二次方程问题；3. 培养学生的数学思维能力和问题解决能力。

二、作业内容：1. 书面作业：* 完成一份关于一元二次方程概念的练习题，包括方程的识别、化简、解法等；* 针对一元二次方程的解法，设计一份简单的应用题，尝试解答。

2. 实践作业：* 寻找生活中的一元二次方程，并尝试用所学知识解决；* 尝试用一元二次方程解决一些简单的数学问题，如面积、体积计算等。

三、作业要求：1. 认真阅读教材或相关资料，确保对一元二次方程的概念有清晰的理解；2. 完成书面作业时，注意解题过程的规范性和准确性；3. 实践作业需与生活实际相结合，注重解决实际问题的能力；4. 遇到问题时，及时与同学或老师交流，寻求帮助。

四、作业评价：1. 批改学生的书面作业，检查学生对一元二次方程概念的理解和掌握情况；2. 根据学生实践作业的表现，评估学生解决实际问题的能力；3. 根据学生的作业情况和课堂表现，给予适当的评价和反馈，鼓励学生进一步提高。

五、作业反馈：1. 收集学生的作业问题，分析问题产生的原因，针对不同学生给予个性化的反馈和建议；2. 对于普遍存在的问题，在课堂上进行讲解和强调，确保全体学生理解和掌握；3. 鼓励学生提出疑问和困惑，给予指导和帮助，加强师生之间的互动和交流。

在这次作业中，我希望大家能够进一步理解和掌握一元二次方程的概念，并能够运用所学知识解决一些简单的问题。

同时，希望大家能够将数学与生活实际相联系，培养自己的问题解决能力和实践能力。

在完成作业的过程中，请注意规范解题和交流合作，遇到问题及时寻求帮助。

最后，希望大家能够对自己的作业进行反思和总结，不断提高自己的数学水平。

作业设计方案（第二课时）一、作业目标：1. 巩固一元二次方程的基本概念和公式；2. 提高学生解决实际问题的能力；3. 培养学生的数学思维和逻辑推理能力。

21.1 一元二次方程(教案)

课题：21.1一元二次方程一、教学目标1.经历一元二次方程概念的形成过程，知道什么是一元二次方程.2.会把一元二次方程化成一般形式，并知道各项及系数的名称.二、教学重点和难点1.重点：一元二次方程的概念.2.难点：把一元二次方程化成一般形式.三、教学过程（一）创设情境，导入新课师：（板书：3x-5=0）这是一个什么方程？（稍停）3x-5=0是一个一元一次方程（板书：一元一次方程）.师：哪位同学知道什么样的方程是一元一次方程？生：……（让几名同学回答）师：（指准3x-5=0）只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程，叫做一元一次方程.（指准“一元一次方程”）一元指的是含有一个未知数，一次指的是未知数的次数是1.师：一元一次方程是我们在初一已经学过的，从今天开始，我们要学习一种新的方程，叫做一元二次方程（板书：一元二次方程）.（二）尝试指导，讲授新课师：什么样的方程是一元二次方程？（板书：x2-x=56）x2-x=56是一个一元二次方程，（板书：4x2-9=0）4x2-9=0也是一元二次方程，（板书：x2+3x=0）x2+3x=0也是一元二次方程，（板书：3y2-5y=7）3y2-5y=7也是一元二次方程.师：从这些一元二次方程，哪位同学能概括什么样的方程是一元二次方程？（等到有一部分同学举手再叫学生）生：……（多让几名同学回答）师：（指准x2-x=56）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.（师出示下面的板书）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程.师：请大家把一元二次方程的定义读两遍.（生读）师：根据一元二次方程的定义，（指准方程）我们很容易判断x2-x=56，4x2-9=0，x2+3x=0，3y2-5y=7这些方程都是一元二次方程.（板书：3x(x-1)=5(x+2)）现在请大家判断，这个方程是不是一元二次方程？为什么？（让生思考一会儿）生：……（让几名学生发表看法）师：把这个方程两边去括号，得到3x2-3x=5x+10（边讲边板书：3x2-3x=5x+10），去括号后容易看出，这个方程是一元二次方程.师：（指3x2-3x=5x+10）这个方程还可以继续整理，怎么继续整理？（指准方程）先把右边的5x和10都移到左边去，再合并，得到3x2-8x-10=0（边讲边板书：3x2-8x-10=0）.师：（指原方程和3x2-8x-10=0）大家可以比较这两个方程，这个方程是这个方程经过整理得到的，这个方程的形式又简单又整齐，我们把这种形式叫做一元二次方程的一般形式（板书：一元二次方程的一般形式）.师：从这个例子大家可以看到，任何一个一元二次方程，经过整理，都可以化成一般形式，一般形式就是ax2+bx+c=0这样的形式（边讲边板书：ax2+bx+c=0）.师：（指准ax2+bx+c=0）在一元二次方程的一般形式中，我们把ax2叫做二次项，a 是二次项系数（板书：其中a是二次项系数）；bx叫做一次项，b是一次项系数（板书：b 是一次项系数）；c叫做常数项（板书：c是常数项）.师：（指准3x2-8x-10=0）譬如，在这个方程中，二次项是3x2，二次项系数是3；一次项是-8x，一次项系数是-8；常数项是-10.师：（指x2+3x=0）大家看这个方程，它的二次项、二次项系数是什么？生：二次项是x2，二次项系数是1.（多让几名同学回答）师：（指x2+3x=0）它的一次项、一次项系数是什么？生：一次项是3x，一次项系数是3.（多让几名同学回答）师：（指x2+3x=0）它的常数项是什么？生：常数项是0.（多让几名同学回答，如有必要师作解释）师：（指4x2-9=0）大家再看这个方程，它的二次项、二次项系数是什么？生：二次项是4x2，二次项系数是4.师：（指4x2-9=0）它的一次项、一次项系数是什么？生：……（多让几名同学回答）师：这个方程的一次项可以写成0x（边讲边板书：0x），所以这个方程的一次项是0x，一次项系数是0.师：（指4x2-9=0）它的常数项是什么？生：常数项是-9.师：前面我们学习了一元二次方程的概念和一般形式，下面请大家利用这些知识来做几个练习.（三）试探练习，回授调节1.填空：(1)把5x2-1=4x化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(2)把4x2=81化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(3)把x(x+2)=15化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(4)把(3x-2)(x+1)=8x-3化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .2.填空：(1)一个一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为-5，这个一元二次方程是；(2)一个一元二次方程，它的二次项系数为1，一次项系数为-3，常数项为3，这个一元二次方程是；(3)一个一元二次方程，它的二次项系数为5，一次项系数为-1，常数项为0，这个一元二次方程是；(4)一个一元二次方程，它的二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为-6，这个一元二次方程是 .（四）归纳小结，布置作业师：这节课我们学习了什么？哪位同学能帮老师小结一下？生：……（让一两名学生小结）（作业：P28习题1）四、板书设计一元一次方程：3x-5=03x(x-1)=5(x+2)一元二次方程：x2-x=56 3x2-3x=5x+104x2-9=0 3x2-8x-10=0x2+3x=0 一元二次方程的一般形式：3y2-5y=7 ax2+bx+c=0，其中a是二次项系数，b是一次项系只含有一个未知数……叫做数，c是常数项一元二次方程.课题：22.1一元二次方程（第2课时）一、教学目标1.知道什么是一元二次方程的解（根）.2.会用直接开平方法解一元二次方程，渗透转化思想.二、教学重点和难点1.重点：一元二次方程解（根）的概念，直接开平方法.2.难点：直接开平方法.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空：(1)只含有个未知数，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程；(2)ax2+bx+c=0(a≠0)这种形式叫做一元二次方程的形式，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项.2.填空：(1)把(x+3)(x-4)=0化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(2)把(2x+1)2=4x化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .（二）尝试指导，讲授新课师：（板书：2x-6=0）这是一个一元一次方程，这个方程的解是什么？生：（齐答）解是x=3.（师板书：解是x=3）师：（指准方程）2x-6=0的解是x=3，这话是什么意思？（稍停）把x=3代入方程，左边=2×3-6=0，右边=0，左边和右边恰好相等.2x-6=0的解x=3，意思是，x=3能使方程左右两边恰好相等.师：（板书：x2-x=0）这是一个一元二次方程，这个方程的解是什么？（让生思考一会儿再叫学生）生：解是x=0.（师板书：x=0）师：（指准方程）把x=0代入方程，左边和右边相等，所以x=0是这个一元二次方程的一个解.师：除了x=0，这个方程还有没有别的的解？生：x=1.（师板书：x=1）师：（指准方程）把x=1代入方程，左边和右边相等，所以x=1也是这个一元二次方程的一个解.师：可见x2-x=0有两个解，一个解x1=0（边讲边标下标），另一个解x2=1（边讲边标下标）.师：一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根（板书：（根）），所以也可以这样说，（指准板书）x2-x=0有两个根，一个根x1是0，另一个根x2是1.师：下面请同学们做一个练习.（三）试探练习，回授调节3.填空：在-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4这些数中，是一元二次方程x2-x-6=0的根的是 .4.填空：方程x2-36=0的根是x1= ，x2= .（四）尝试指导，讲授新课师：（板书：x2-36=0）刚才我们求了x2-36=0这个一元二次方程的两个根，x1=6，x2=-6.我们是怎么求的？我们是通过凑数字求的.大家可以想到，凑数字求根是有局限性的，什么局限性？（稍停）通过凑数字只能求那些很简单的一元二次方程的根，如果方程稍微复杂一点，数字就不好凑了.譬如，我们把右边的0改为2x（边讲边把x2-36=0中的0改为2x），x2-36=2x这个方程就很难用凑数字来求根.所以，求一元二次方程的根不能光靠凑数字，还需要有专门的方法.师：解一元二次方程的方法有好几种，下面我们先来介绍第一种方法，叫直接开平方法（板书：直接开平方法）.师：怎么用直接开平方法解一元二次方程？（稍停）让我们来看一个例子.（师出示例题）例解下列一元二次方程：(1)4x2-9=0； (2)3(2x-1)2=15.（师边讲解边板书，解题过程如下所示）解：(1)原方程化成29x=4.开平方，得3x=2±，x1=32，x2=-32.(2)原方程化成2(2x-1)=5.开平方，得2x-1=5±x1=5+12，x2=-5+12.师：（指准例题）从这两个题目，哪位同学会概括用直接开平方法解一元二次方程的步骤？生：……（让一两名好生概括）师：（指准例题）用直接开平方法解一元二次方程，有三步，第一步把原方程化成x2=常数，或者含x的式子的平方=常数的形式（板书：第一步：化成什么2＝常数）；第二步开平方，把一元二次方程化成一元一次方程（板书：第二步：开平方）；第三步解一元一次方程，得到两个根（板书：第三步：解一元一次方程）.师：下面请同学们按这三步来做两个题目.（五）试探练习，回授调节5.完成下面的解题过程：(1)解方程：2x2-6=0；解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .(2)解方程：9(x-2)2=1.解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .（六）归纳小结，布置作业师：（指准板书）本节课我们学习了一元二次方程根的概念，还学习了用直接开平方法解一元二次方程.用直接开平方法解一元二次方程有这么三步，第一步把原方程化成什么2=常数这种形式；第二步开平方，把一元二次方程化成一元一次方程，也就是把二次降为一次（板书：降次）；第三步解一元一次方程，得到两个根.（作业：P28习题3，P42习题1）四、板书设计2x-6=0解是x=3 直接开平方法例x2-x=0解是x1=0,x2=1 第一步：化成什么2＝常数；x2-36=2x 第二步：开平方，降次；第三步：解一元一次方程.。

人教版九年级上册数学课后基础练习：21.1一元二次方程(包含答案)

21.1一元二次方程一、填空题1．（2019·资阳）a 是方程224x x =+的一个根，则代数式242a a -的值是_______．2．关于x 的方程（m-1）x 2+（m+1）x+3m-1=0，当m_________时,是一元一次方程;当m_________时,是一元二次方程.3．（2018·南充）若2n （n≠0）是关于x 的方程x 2﹣2mx+2n=0的根，则m ﹣n 的值为______． 4．一元二次方程290x -=的解是__ ．5．（2019·湖南中考模拟）在等腰ABC ∆中，A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、，已知3,a b =和c 是关于x 的方程21202x mx m ++-=的两个实数根，则ABC ∆的周长是__________． 6．方程3x 2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．7．若关于x 的一元二次方程()221534m x x m m +++-=的常数项为0，则m 的值是__________．8．已知x =2是关于x 的一元二次方程20x bx c +-=的一个根，则b 与c 的关系是__________．(请用含b 的代数式表示c )9．当m __________时，关于x 的方程()2220m x x -+-=是一元二次方程.二、单选题10．下列方程中，是一元二次方程的是（）A ．213x +=B ．22x y +=C ．2324x x +=D ．211x x+= 11．已知关于x 的方程（a 2-1）x 2+（1-a ）x+a-2=0，下列结论正确的是（）A ．当a≠±1时，原方程是一元二次方程。

B ．当a≠1时，原方程是一元二次方程。

C ．当a≠-1时，原方程是一元二次方程。

D ．原方程是一元二次方程。

12．（2019·遂宁）已知关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =，则a 的值为（）A ．0B ．±1C ．1D ．1-13．（2019·兰州）1x =是关于x 的一元一次方程220x ax b ++=的解，则24a+b=（） A ．2- B ．3- C ．4 D ．6-14．若关于x 的方程()2230m x mx -+-=是一元二次方程，则m 的取值范围是（）A ．2m ≠B ．2m =C ．2m >D ．0m ≠15．已知n 是方程2210x x --=的一个根，则2367n n --=（）A．10-B．7-C．6-D．4-三、解答题16．如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．17．（2019·湖北中考模拟）已知关于x的方程x2﹣2kx+k2﹣k﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1﹣3x2＝2，求k的值．18．关于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？19．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）.（1）若a+b+c=0，则此方程必有一根为；（2）若a-b+c=0，则此方程必有一根为；（3）若4a-2b+c=0，则此方程必有一根为．参考答案1．82．=1 ≠13．124．x 1＝3，x 2＝﹣3．5．375或76．3 −2 -47．48．42c b =+9．2≠10．C 11．A 12．D 13．A 14．A 15．D 16．917．解（1）△＝（﹣2k ）2﹣4（k 2﹣k ﹣1）＝4k+4＞0， ∴k ＞﹣1；（2）∵1212322x x x x k -=⎧⎨+=⎩， ∴1231212k x k x +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，∵x 1•x 2＝k 2﹣k ﹣1， ∴14（3k+1）（k ﹣1）＝k 2﹣k ﹣1，∴k 1＝3，k 2＝﹣1，∵k ＞﹣1，∴k ＝3．18．解关于x 的方程（2m 2+m ）x m+1+3x=6是一元二次方程，理由如下：21220m m m +=+≠⎧⎨⎩ ，解得m=1，m=1时,关于x 的方程（2m 2+m ）x m+1+3x=6是一元二次方程 19．解：对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0），（1）当a+b+c=0时，x=1；（2）当a-b-c=0时，x=-1；（3）当4a-2b+c=0时，x=-2.。

人教版九年级数学上册第二十一章 21.1一元二次方程解法及其配套练习

一元二次方程解法及其配套练习定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．解法一——直接开方法适用范围：可解部分一元二次方程直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。

用直接开平方法解形如(x-m)^2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±√n我们已经讲了x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=9，我们也可以用直接开方法来解方程。

例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．解：(2)由已知，得：（x+3）2=2直接开平方，得：x+3=即，所以，方程的两根x1，x2例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2 解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10（1+x）2=14.4（1+x）2=1.44直接开平方，得1+x=±1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%．例3．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s•的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，•P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？解：设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2 则PB=x ，BQ=2x 依题意，得：x ·2x=8 x 2=8 根据平方根的意义，得x=±即x 1，x 2可以验证，和都是方程x ·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．所以秒后△PBQ 的面积等于8cm 2．例4．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ，•那么二月份的营业额就应该是（1+x ），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x ）2．解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ．那么1+（1+x ）+（1+x ）2=3.31 把（1+x ）当成一个数，配方得：（1+x+）2=2.56，即（x+）2=2．56 x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6方程的根为x 1=10%，x 2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．归纳小结：共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”．由应用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0），那么x=转化为应用直接开平方法解形如（mx+n ）2=p （p ≥0），那么mx+n=，达到降次转化之目的．若p ＜0则方程无解配套练习题BCAQP 12121232323232一、选择题1．若x 2-4x+p=（x+q ）2，那么p 、q 的值分别是（）．A ．p=4，q=2B ．p=4，q=-2C ．p=-4，q=2D ．p=-4，q=-2 2．方程3x 2+9=0的根为（）．A ．3B ．-3C ．±3D ．无实数根 3．用配方法解方程x 2-x+1=0正确的解法是（）． A ．（x-）2=，x=± B ．（x-）2=-，原方程无解C ．（x-）2=，x 1=x 2=D ．（x-）2=1，x 1=，x 2=-二、填空题1．若8x 2-16=0，则x 的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________． 3．如果a 、b +b 2-12b+36=0，那么ab 的值是_______．三、综合提高题1．解关于x 的方程（x+m ）2=n ．2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m ），•另三边用木栏围成，木栏长40m ．（1）鸡场的面积能达到180m 2吗？能达到200m 吗？（2）鸡场的面积能达到210m 2吗？3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，•并说明你制作的理由吗？解法二——配方法适用范围：可解全部一元二次方程引例：要使一块矩形场地的长比宽多6m ，并且面积为16m 2,场地的长和宽各是多少？列出方程化简后得：x 2+6x-16=0 x 2+6x-16=0移项→x 2+6x=16两边加（6/2）2使左边配成x 2+2bx+b 2的形式 → x 2+6x+32=16+9左边写成平方形式 → （x+3）2=25 降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5 解一次方程→x 1=2，x 2= -8可以验证：x 1=2，x 2= -8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m ，常为8m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；2313891331389235923235313（5）变形为(x+p)2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根．用配方法解一元二次方程小口诀二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当例1．用配方法解下列关于x 的方程（1）x 2-8x+1=0 （2）x 2-2x-=0 分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．解：略例2．如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=8m ，CB=6m ，点P 、Q 同时由A ，B•两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，•几秒后△PCQ•的面积为Rt △ACB 面积的一半．分析：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．•根据已知列出等式．解：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半．根据题意，得：（8-x ）（6-x ）=××8×6 整理，得：x 2-14x+24=0（x-7）2=25即x 1=12，x 2=2x 1=12，x 2=2都是原方程的根，但x 1=12不合题意，舍去．所以2秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半．例3．解下列方程（1）2x 2+1=3x （2）3x 2-6x+4=0 （3）（1+x ）2+2（1+x ）-4=0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x 的完全平方．解：略例4．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y ，那么（6x+7）2=y 2，其它的3x+4=（6x+7）+，x+1=（6x+7）-，因此，方程就转化为y•的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．解：设6x+7=y 则3x+4=y+，x+1=y- 12C A QP1212121212161612121616依题意，得：y 2（y+）（y-）=6 去分母，得：y 2（y+1）（y-1）=72y 2（y 2-1）=72， y 4-y 2=72（y 2-）2= y 2-=±y 2=9或y 2=-8（舍）∴y=±3当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=- 当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=-所以，原方程的根为x 1=-，x 2=-例5. 求证:无论y 取何值时,代数式-3 y 2+8y-6恒小于0.解：略配套练习题一、选择题1．配方法解方程2x 2-x-2=0应把它先变形为（）． A ．（x-）2= B ．（x-）2=0C ．（x-）2=D ．（x-）2=2．下列方程中，一定有实数解的是（）．A ．x 2+1=0B ．（2x+1）2=0C ．（2x+1）2+3=0D ．（x-a ）2=a 3．已知x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z 的值是（）． A ．1 B ．2 C ．-1 D ．-24．将二次三项式x 2-4x+1配方后得（）． A ．（x-2）2+3 B ．（x-2）2-3 C ．（x+2）2+3 D ．（x+2）2-3 5．已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（）． A ．x 2-8x+（-4）2=31 B ．x 2-8x+（-4）2=1 C ．x 2+8x+42=1 D ．x 2-4x+4=-116．如果mx 2+2（3-2m ）x+3m-2=0（m ≠0）的左边是一个关于x 的完全平方式，则m 等于（）．A ．1B ．-1C ．1或9D ．-1或9二、填空题1．方程x 2+4x-5=0的解是________．2．代数式的值为0，则x 的值为________．12121616122894121722353235343138923138913109122221x x x ---3．已知（x+y ）（x+y+2）-8=0，求x+y 的值，若设x+y=z ，则原方程可变为_______，所以求出z 的值即为x+y 的值，所以x+y 的值为______． 4．如果x 2+4x-5=0，则x=_______．5．无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y 2-2x-4y+16的值总是_______数． 6．如果16（x-y ）2+40（x-y ）+25=0，那么x 与y 的关系是________．三、综合提高题1．用配方法解方程．（1）9y 2-18y-4=0 （2）x 22．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长． 3．如果x2-4x+y 2+13=0，求（xy ）z 的值．4．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500•元，•市场调研表明：•当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？ 5．已知：x 2+4x+y 2-6y+13=0，求的值．6．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，•为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，•如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．解法三——公式法适用范围：可解全部一元二次方程首先，要通过Δ=b^2-4ac 的根的判别式来判断一元二次方程有几个根 1.当Δ=b^2-4ac<0时 x 无实数根（初中）2.当Δ=b^2-4ac=0时 x 有两个相同的实数根即x1=x23.当Δ=b^2-4ac>0时 x 有两个不相同的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac ）}/2a 来求得方程的根求根公式的推导用配方法解方程（1） ax 2－7x+3 =0 (2)a x 2+bx+3=0(3)如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0），试推导它的两个根x 1=，x 2=222x yx y -+2b a-(这个方程一定有解吗?什么情况下有解？)分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+x=- 配方，得：x 2+x+（）2=-+（）2即（x+）2= ∵4a 2>0，4a2＞0, 当b 2-4ac ≥0时≥0∴（x+）2=()2直接开平方，得：x+=± 即x=∴x 1=，x 2=由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子x=就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。

九年级数学上册第二十一章21.1一元二次方程课时练(新

21.1 一元二次方程学校：姓名：班考号：,则()A. m=±2B. m=2C. m=-2 D. m≠±22. 若一元二次方程(m-3)x2+2x+m2-9=0的常数项为0,则m的值为()A. 3B. -3C.±3 D. ±93. 已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解,则m的值是()A. -3B. 3C.0 D. 0或34. 把方程2x(x+5)=10化为一般形式后,二次项系数、一次项系数、常数项分别是()A. 2,5,10B. 2,5,-10C.2,1,5 D. 2,10,-105. 若ax2-5x+3=0是一元二次方程,则不等式3a+6>0的解集是()A. a>-2B. a<-2C. a>-D. a>-2且a≠06. 已知实数a,b满足a2-3a+1=0,b2-3b+1=0,则关于一元二次方程x2-3x+1=0的根的说法中正确的是()A. x=a,x=b都不是该方程的解 B. x=a是该方程的解,x=b不是该方程的解C. x=a不是该方程的解,x=b是该方程的解D. x=a,x=b都是该方程的解7. 已知整式x2－x的值为6，则2x2－5x＋6的值为( )A. 9B. 12C.18 D. 24二、填空题12 2 8. 关于x 的一元二次方程(x -1)2+b (x -1)+c =0整理成一般形式后为x 2-3x -1=0,则b 的值为 .9. 把方程(2x -1)(3x -2)=x 2+4化为ax 2+bx +c =0形式后,其二次项系数、一次项系数、常数项分别为 .10. 若一元二次方程ax 2-bx-2015=0有一根为x=-1,则a+b= .11. 已知如下一元二次方程:第1个方程:3x 2+2x -1=0;第2个方程:5x 2+4x -1=0;第3个方程:7x 2+6x -1=0;…;按照上述方程的二次项系数、一次项系数、常数项的排列规律,则第8个方程为 .12. 已知x =2是关于x 的方程x 2-2a =0的一个解,则一次函数y =ax -1的图象不经过第___象限13. 若x ＝－1是关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m ＋1＝0的一个解,则m 的为__________.14. 已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：________.三、解答题15. (新定义题)我们规定:x ※y =x 2-y .如:2※1=22-1,※2=()2-2.试判断x =3是否是方程x ※x =2的一个解.16. 根据下列问题,列出关于x 的方程,并将其化成ax 2+bx +c =0(a ≠0)的形式:(1)一个长方形的宽比长少3,面积是75,求长方形的长x ;(2)两个连续偶数的积为168,求较小的偶数x ;(3)一个直角三角形的两条直角边的长的和是20,面积是25,求其中一条直角边的长x .17. 小刚在写作业时,一不小心,方程3x 2-□x -5=0的一次项系数被墨水盖住了,但从题目的答案中,他知道方程的一个解为x =5,请你帮助小刚求出被覆盖住的数.18. 一天,老师在黑板上布置了这样一道题目:如果2y a-b -3y 2a+b +8=0是关于y 的一元二次方程,你能试着求出a ,b 的值吗?下面是小明和小敏两位同学的解法:小明:根据题意得解方程组得小敏:根据题意得或解方程组得或你认为上述两位同学的解法是否正确?为什么?若都不正确,你能给出正确的解答吗?19. 根据题意列出方程,化为一般式,不解方程.(1)一个大正方形的边长比一个小正方形边长的3倍多1,若两正方形面积和为53,求这两正方形的边长.(2)2014年某超市销售一种品牌童装,平均每天可售出30件,每件盈利40元.面对下半年市场竞争激烈,超市采用降价措施,每件童装每降价2元,平均每天就多售出6件.要使平均每天销售童装利润为1 000元,那么每件童装应降价多少元?20. 已知:方程(a+9)x|a|-7+8x+1=0是一元二次方程,求a的值.参考答案1. 【答案】B【解析】由题意可得,由①得,m=±2,由②得,m≠-2,从而m=2,∴选择B.2. 【答案】B【解析】常数项为0,则有时,方程的二次项系数变为0,不和题意,所以本题属于易错题,容易忽视二次项系数不为零的条件.3. 【答案】A【解析】有题意知x=2适合方程x2+mx+2=0,则得到关于m的一元一次方程:4+2m+2=0,2m=-6,m=-3,所以选择A.4. 【答案】D【解析】原方程去括号、移项得2x2+10x-10=0,则二次项系数、一次项系数、常数项分别是2,10,-10.故选D.5. 【答案】D【解析】解不等式3a+6>0得a>-2,∵ax2-5x+3=0是一元二次方程,∴a≠0.故a 的取值范围是a>-2且a≠0.故选D.6. 【答案】D【解析】由方程根的定义知,a,b都适合方程x2-3x+1=0.选D.7. 【答案】C【解析】2x2－5x＋6＝2＋6＝2×6＋6＝12＋6＝18.故选C.8. 【答案】-19. 【答案】5,-7,-210. 【答案】201511. 【答案】17x2+16x-1=012. 【答案】二13. 【答案】114. 【答案】或(x＋1)x＋x×1＝24.答案不唯一15. 【答案】解法一:由题意知x※x=2可化为x2-x=2,当x=3时,x2-x=32-3=6≠2,所以x=3不是方程x※x=2的一个解.解法二：因为3※3=,所以x=3不是方程x※x=2的一个解.16. 【答案】根据题意列出方程x(20-x)=25,化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式为:x2-20x+50=0.17. 【答案】设被墨水盖住的数字为a,∵x=5是方程3x2-ax-5=0的一个解,所以3×52-5a-5=0,解得a=14,即被覆盖住的数是14.18. 【答案】两位同学的解法都不正确,因为都考虑不全面.正确解答:要使2y a-b-3y2a+b+8=0是关于y的一元二次方程,则有:或或或或解得或或或或19. 【答案】设每件童装降价x元,则每天多售出3x件.降价后每天销售件数为(30+3x),则每件利润为(40-x)元.根据题意可列方程为(30+3x)(40-x)=1 000,化简得3x2-90x-200=0.20. 【答案】∵方程(a+9)x|a|-7+8x+1=0是一元二次方程,∴解得故a=9.注意:二次项系数不为0是一元二次方程的前提条件,本题容易忽视a≠-9这一个条件,而导致错误.3。

九年级上《21.1一元二次方程定义、配方法》练习题含答案

九年级上《211. 一元二次方程的定义：方程两边差不多上整式，只含有一个未知数，同时未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程。

举例：2230x x +-=；20x x -=；22x =。

2. 一元二次方程的一样形式：()200ax bx c a ++=≠，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数，bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。

举例：2230x x +-=。

3. 一元二次方程的解：能使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也能够叫做一元二次方程的根。

例题1 （1）下列方程中，是一元二次方程的有。

（填序号）①25x =； ②30x y +-=； ③253302x x +-=；④2(5)2x x x x +=-； ⑤23580x x-+=；⑥204y y -=。

（2）若关于x 的方程(a －5)3a x -+2x －1=0是一元二次方程，则a 的值是_______。

思路分析：（1）按照一元二次方程的定义进行判定：①③⑥是一元二次方程；②是二元一次方程；④通过化简二次项系数为0，不是一元二次方程；⑤分母中含有未知数，方程左边是分式而不是整式；（2）由一元二次方程的定义可得32a -=，因此5a =±；然而当5a =时，原方程二次项系数为0，不是一元二次方程，故5a =应舍去；当5a =-时，原方程为210210x x -+-=，因此5a =-。

答案：（1）①③⑥；（2）5-点评：做概念辨析题要紧扣定义，关于一元二次方程要把握如此几个关键点：①方程两边差不多上整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2。

例题2 把方程x(2x －1)=5(x+3)化成一样形式是___________，其中二次项是_________，一次项系数是_________，常数项是_________。

思路分析：将方程左右展开，然后移项（把所有的项都移到等号的左边），合并同类项即可：由()()2153x x x -=+得22515x x x -=+，移项得225150x x x ---=，合并同类项得226150x x --=。

【人教版】九上数学：《一元二次方程》课文练习及答案

第二十一章一元二次方程21．1一元二次方程1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是()A．x2＋1x2＝1 B．ax2＋bx＋c＝0C．(x－1)(x＋2)＝1 D．3x2－2xy－5y2＝02．方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则()A．m＝±2 B．m＝2C．m＝－2 D．m≠±23．将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化为一元二次方程的一般式，正确的是()A．4x2－4x＋5＝0 B．3x2－8x－10＝0C．4x2＋4x－5＝0 D．3x2＋8x＋10＝04．若关于x的一元二次方程(m－3)x2＋2x＋m2－9＝0的常数项为0，则m的值为() A．3 B．－3 C．±3 D．±95．已知关于x的方程x2＋3mx＋m2＝0的一个根是x＝1，那么m2＋3m＝______.6．方程(k2－1)x2＋(k－1)x＋2k－1＝0，(1)当k______时，方程为一元二次方程；(2)当k______时，方程为一元一次方程．7．写出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.一元二次方程二次项系数一次项系数常数项x2－3x＋4＝04x2＋3x－2＝03x2－5＝06x2－x＝08．设未知数列出方程，将方程化成一般形式后，指出二次项系数，一次项系数和常数项：一个矩形的面积是50平方厘米，长比宽多5厘米，求这个矩形的长和宽．9．已知关于x的方程x2－mx＋1＝0的一个根为1，求m2－6m＋9＋1－2m＋m2的值．10．已知a 是方程x 2－2011x ＋1＝0的一个根，求a 2－2010a ＋2011a 2＋1的值．21．2 解一元二次方程第1课时配方法、公式法1．方程(x －2)2＝9的解是( )A ．x 1＝5，x 2＝－1B ．x 1＝－5，x 2＝1C ．x 1＝11，x 2＝－7D ．x 1＝－11，x 2＝72．把方程x 2－8x ＋3＝0化成(x ＋m )2＝n 的形式，则m ，n 的值是( ) A ．4,13 B ．－4,19 C ．－4,13 D ．4,193．方程x 2－x －2＝0的根的情况是( ) A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．无实数根 D ．不能确定4．方程x 2＋x －1＝0的根是( )A ．1－ 5 B.－1＋52C ．－1＋ 5 D.－1±525．(2012年广东广州)已知关于x 的一元二次方程x 2－2 3＋k ＝0有两个相等的实数根，则k 值为________．6．用配方法解下列方程： (1)x 2＋5x －1＝0； (2)2x 2－4x －1＝0； (3)2x 2＋1＝3x .7．用公式法解下列方程：(1)x2－6x－2＝0；(2)4y2＋4y－1＝－10－8y.8．阅读下面的材料并解答后面的问题：小力：能求出x2＋4x＋3的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小强：能．求解过程如下：因为x2＋4x＋3＝x2＋4x＋4－4＋3＝(x2＋4x＋4)＋(－4＋3)＝(x＋2)2－1，而(x＋2)2≥0，所以x2＋4x＋3的最小值是－1.问题：(1)小强的求解过程正确吗？(2)你能否求出x2－8x＋5的最小值？如果能，写出你的求解过程．9．已知关于x的一元二次方程x2－mx－2＝0.(1)若x＝－1是这个方程的一个根，求m的值和方程的另一根；(2)对于任意的实数m，判断方程的根的情况，并说明理由．10．已知关于x的方程x2－2x－2n＝0有两个不相等的实数根．(1)求n的取值范围；(2)若n＜5，且方程的两个实数根都是整数，求n的值．第2课时因式分解法1．方程x2＋2x＝0的根是()A．x＝0 B．x＝－2C．x1＝0，x2＝－2 C．x1＝x2＝－22．一元二次方程(x－3)(x－5)＝0的两根分别为()A．3，－5 B．－3，－5C．－3,5 D．3,53．用因式分解法把方程5y(y－3)＝3－y分解成两个一次方程，正确的是() A．y－3＝0,5y－1＝0B．5y＝0，y－3＝0C．5y＋1＝0，y－3＝0D．3－y＝0,5y＝04．解一元二次方程x2－x－12＝0，正确的是()A．x1＝－4，x2＝3B．x1＝4，x2＝－3C．x1＝－4，x2＝－3D．x1＝4，x2＝35．(2011年四川南充)方程(x＋1)(x－2)＝x＋1的解是()A．2 B．3C．－1,2 D．－1,36．用因式分解法解方程3x(x－1)＝2－2x时，可把方程分解成______________．7．已知[(m＋n)2－1][(m＋n)2＋3]＝0，则m＋n＝___________.8．(2012年广东珠海)已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0.(1)当m＝3时，判断方程的根的情况；(2)当m＝－3时，求方程的根．9．关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1＝1，x 2＝2，则x 2＋bx ＋c 分解因式的结果为________．10．用换元法解分式方程x －1x －3x x －1＋1＝0时，如果设x －1x ＝y ，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是( )A ．y 2＋y －3＝0B ．y 2－3y ＋1＝0C ．3y 2－y ＋1＝0D ．3y 2－y －1＝011．阅读题例，解答下题：例：解方程x 2－|x －1|－1＝0.解：(1)当x －1≥0，即x ≥1时，x 2－(x －1)－1＝x 2－x ＝0. 解得x 1＝0(不合题设，舍去)，x 2＝1.(2)当x －1＜0，即x ＜1时，x 2＋(x －1)－1＝x 2＋x －2＝0. 解得x 1＝1(不合题设，舍去)，x 2＝－2. 综上所述，原方程的解是x ＝1或x ＝－2. 依照上例解法，解方程x 2＋2|x ＋2|－4＝0. *第3课时一元二次方程的根与系数的关系1．若x 1，x 2是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是( ) A ．1 B ．5 C ．－5 D ．62．设方程x 2－4x －1＝0的两个根为x 1与x 2，则x 1x 2的值是( ) A ．－4 B ．－1 C ．1 D ．0 3．两个实数根的和为2的一元二次方程可能是( ) A ．x 2＋2x －3＝0 B ．2x 2－2x ＋3＝0 C ．x 2＋2x ＋3＝0 D ．x 2－2x －3＝04．孔明同学在解一元二次方程x 2－3x ＋c ＝0时，正确解得x 1＝1，x 2＝2，则c 的值为______．5．已知一元二次方程x 2－6x －5＝0的两根为a ，b ，则1a ＋1b的值是________．6．求下列方程两根的和与两根的积： (1)3x 2－x ＝3; (2)3x 2－2x ＝x ＋3.7．已知一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0. (1)若方程有两个实数根，求m 的范围；(2)若方程的两个实数根为x 1，x 2，且x 1＋3x 2＝3，求m 的值．8．点(α，β)在反比例函数y ＝kx的图象上，其中α，β是方程x 2－2x －8＝0的两根，则k＝__________9．已知x 1，x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根，则x 2x 1＋x 1x 2的值为________．10．已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2. (1)求k 的取值范围；(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．21．3 实际问题与一元二次方程1．制造一种产品，原来每件成本是100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是81元，则平均每次降低成本的( )A ．8.5%B ．9%C ．9.5%D ．10% 2．用13 m 的铁丝网围成一个长边靠墙面积为20 m 2的长方形，求这个长方形的长和宽，设平行于墙的一边为x m ，可得方程( )A ．x (13－x )＝20B ．x ·13－x2＝20C ．x (13－12x )＝20 D ．x ·13－2x 2＝203．(2012年广东湛江)湛江市2009年平均房价为每平方米4000元，连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米5500元，设这两年平均房价年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是( )A ．5500(1＋x )2＝4000B ．5500(1－x )2＝4000C ．4000(1－x )2＝5500D ．4000(1＋x )2＝55004．将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销量就要减少10个，为了赚8000元利润，则应进货( )A ．400个B ．200个C ．400个或200个D ．600个5．三个连续正偶数，其中两个较小的数的平方和等于第三个数的平方，则这三个数是( )A ．－2,0,2B ．6,8,10C ．2,4,6D ．3,4,56．读诗词解题(通过列方程，算出周瑜去世时的年龄)：大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英才两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．哪位学子算得快，多少年华属周瑜．周瑜去世时 ________岁．7．注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．青山村种的水稻2007年平均每公顷产8000 kg,2009年平均每公顷产9680 kg ，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率．解题方案：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x . (1)用含x 的代数式表示：①2008年种的水稻平均每公顷的产量为__________________； ②2009年种的水稻平均每公顷的产量为__________________； (2)根据题意，列出相应方程________________； (3)解这个方程，得________________；(4)检验：_________________________________________________________________； (5)答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为____________%.8．如图21-3-2，有一长方形的地，长为x米，宽为120米，建筑商将它分成三部分：甲、乙、丙．甲和乙为正方形．现计划甲建设住宅区，乙建设商场，丙开辟成公司．若已知丙地的面积为3200平方米，试求x的值．图21-3-29．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少4件．(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y 关于x的函数关系式；(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1080元，求该产品的质量档次．10．国家发改委公布的《商品房销售明码标价规定》，从2011年5月1日起商品房销售实行一套一标价．商品房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价必须重新申报．某市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于新政策的出台，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．(1)求平均每次下调的百分率；(2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？第二十一章一元二次方程 21．1 一元二次方程【课后巩固提升】 1．C 2.B 3.B4．B 解析：m 2－9＝0，且m －3≠0，解得m ＝－3. 5．－1 6．(1)≠±1 (2)＝－1 解析：当所给方程为一元二次方程时，k 2－1≠0，即k ≠±1；当所给方程为一元一次方程时，需满足k 2－1＝0且k －1≠0，即k ＝－1.7．解：8.所列方程为x (x －5)＝50.整理后，得一般形式：x 2－5x －50＝0.二次项系数为1，一次项系数为－5，常数项为－50. 解法二：设宽为x 厘米，则长为(x ＋5)厘米，所列方程为x (x ＋5)＝50.整理后，得一般形式：x 2＋5x －50＝0.二次项系数为1，一次项系数为5，常数项为－50.9．解：把x ＝1代入方程x 2－mx ＋1＝0中，得1－m ＋1＝0，所以m ＝2，故m 2－6m ＋9＋1－2m ＋m 2＝(m －3)2＋(1－m )2＝|2－3|＋|1－2|＝2.10．解：a 是方程x 2－2011x ＋1＝0的一个根，则a 2－2011a ＋1＝0，所以a 2＋1＝2011a ，a 2＝2011a －1.a 2－2010a ＋2011a 2＋1＝2011a －1－2010a ＋20112011a＝a －1＋1a ＝a 2－a ＋1a ＝2011a －aa ＝2010.21．2 解一元二次方程第1课时配方法、公式法【课后巩固提升】 1．A 2.C 3.B 4.D 5.D6．解：(1)移项，得x 2＋5x ＝1.配方，得x 2＋5x ＋254＝294，⎝⎛⎭⎫x ＋522＝294. ∴x ＋52＝±292.∴x 1＝29－52，x 2＝－29－52.(2)系数化为1，得x 2－2x －12＝0.移项，得x 2－2x ＝12.配方，得x 2－2x ＋1＝32，(x －1)2＝32.∴x －1＝±62.∴x 1＝6＋22，x 2＝－6＋22.(3)移项，得2x 2－3x ＝－1.系数化为1，得x 2－32x ＝－12.配方，得x 2－32x ＋⎝⎛⎭⎫342＝－12＋⎝⎛⎭⎫342，⎝⎛⎭⎫x －342＝116，x －34＝±14，∴x 1＝1，x 2＝12. 7．解：(1)∵a ＝1，b ＝－6，c ＝－2， ∴b 2－4ac ＝(－6)2－4×1×(－2)＝44>0.∴x ＝6±442＝6±2 112＝3±11.∴x 1＝3＋11，x 2＝3－11.(2)原方程可化为4y 2＋12y ＋9＝0. ∵a ＝4，b ＝12，c ＝9，∴b 2－4ac ＝122－4×4×9＝0.∴y ＝－12±02×4＝－32.∴y 1＝y 2＝－32.8．解：(1)正确．(2)能．过程如下：x 2－8x ＋5＝x 2－8x ＋16－16＋5＝(x －4)2－11， ∵(x －4)2≥0，∴x 2－8x ＋5的最小值是－11.9．解：(1)因为x ＝－1是方程的一个根，所以1＋m －2＝0，解得m ＝1.方程为x 2－x －2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2. 所以方程的另一根为x ＝2.(2)b 2－4ac ＝m 2＋8，因为对于任意实数m ，m 2≥0，所以m 2＋8>0，所以对于任意的实数m ，方程有两个不相等的实数根．10．解：(1)∵关于x 的方程x 2－2x －2n ＝0， a ＝1，b ＝－2，c ＝－2n ， ∴Δ＝b 2－4ac ＝4＋8n ＞0.解得n ＞－12.(2)由原方程，得(x －1)2＝2n ＋1. ∴x ＝1±2n ＋1.∵方程的两个实数根都是整数，且n ＜5， ∴0＜2n ＋1＜11，且2n ＋1是完全平方形式． ∴2n ＋1＝1,2n ＋1＝4或2n ＋1＝9. 解得，n ＝0，n ＝1.5或n ＝4. 第2课时因式分解法【课后巩固提升】 1．C 2.D 3.C 4.B 5.D 6．(x －1)(3x ＋2)＝07．±1 解析：∵[(m ＋n )2－1][(m ＋n )2＋3]＝0，∴(m ＋n )2＝1或(m ＋n )2＝－3.又∵(m ＋n )2≥0，∴(m ＋n )2＝1，即m ＋n ＝±1.8．解：(1)当m ＝3时，b 2－4ac ＝22－4×1×3＝－8<0，∴原方程没有实数根．(2)当m ＝－3时，x 2＋2x －3＝0，(x ＋3)(x －1)＝0.∴x 1＝－3，x 2＝1.9．(x －1)(x －2)10．A 解析：由题意可将方程化为y －3y＋1＝0，两边同乘以y ，得y 2＋y －3＝0. 11．解：①当x ＋2≥0，即x ≥－2时，x 2＋2(x ＋2)－4＝0，x 2＋2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2；②当x ＋2＜0，即x ＜－2时，x 2－2(x ＋2)－4＝0，x 2－2x －8＝0，解得x 1＝4(不合题设，舍去)，x 2＝－2(不合题设，舍去)．综上所述，原方程的解是x ＝0或x ＝－2.*第3课时一元二次方程的根与系数的关系【课后巩固提升】1．B 2.B 3.D 4.25．－65解析：∵a ，b 是一元二次方程的两根， ∴a ＋b ＝6，ab ＝－5.1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝－65. 6．解：(1)原方程化为一般形式为3x 2－x －3＝0.所以x 1＋x 2＝－－13＝13，x 1x 2＝－33＝－1. (2)原方程化为一般形式为3x 2－3x －3＝0，即x 2－x －1＝0.所以x 1＋x 2＝－－11＝1，x 1x 2＝－11＝－1. 7．解：(1)∵方程x 2－2x ＋m ＝0有两个实数根，∴Δ＝(－2)2－4m ≥0.解得m ≤1.(2)由两根关系可知，x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝m .解方程组121223 3.x x x x ⎧⎨⎩＋＝，＋＝解得123,21.2x x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝ ∴m ＝x 1·x 2＝34. 8．－89．10 解析：x 1＋x 2＝－6，x 1x 2＝3, x 2x 1＋x 1x 2＝x 22＋x 21x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝10. 10．解：(1)由方程有两个实数根，可得Δ＝b 2－4ac ＝4(k －1)2－4k 2＝4k 2－8k ＋4－4k 2＝－8k ＋4≥0.解得k ≤12. (2)依据题意，可得x 1＋x 2＝2(k －1)．由(1)可知k ≤12， ∴2(k －1)＜0，x 1＋x 2＜0.∴|x 1＋x 2|＝－x 1－x 2＝x 1·x 2－1.∴－2(k －1)＝k 2－1.解得k 1＝1(舍去)，k 2＝－3.∴k 的值是－3.21．3 实际问题与一元二次方程【课后巩固提升】1．D 解析：设每次降低x ，则100(1－x )2＝81，解得x ＝10%.2．B 3.D 4.C 5.B6．36 解析：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x ，则十位数字为x －3. 依题意，得x 2＝10(x －3)＋x ，即x 2－11x ＋30＝0.解得x 1＝5，x 2＝6.当x ＝5时，十位数字是2，即是25，与“而立之年督东吴”不符，故舍去；当x ＝6时，其年龄为36.即周瑜去世时36岁．7．解：(1)①8000(1＋x )②8000(1＋x )(1＋x )＝8000(1＋x )2(2)8000(1＋x )2＝9680(3)x 1＝0.1，x 2＝－2.1(4)x 1＝0.1，x 2＝－2.1都是原方程的根，但x 2＝－2.1不符合题意，所以只取x ＝0.1.(5)108．解：根据题意，得(x －120)[120－(x －120)]＝3200，即x 2－360x ＋32 000＝0.解得x 1＝200，x 2＝160.答：x 的值为200或160.9．解：(1)由题意，得y ＝[10＋2(x －1)][76－4(x －1)]．整理，得y ＝－8x 2＋128x ＋640.(2)由题意，得－8x 2＋128x ＋640＝1080.x 2－16x ＋55＝0，解得x 1＝5，x 2＝11(舍去)．即当一天的利润为1080元时，生产的是第5档次的产品．10．解：(1)设平均每次下调的百分率为x .5000×(1－x )2＝4050.(1－x )2＝0.81，解得1－x ＝0.9或1－x ＝－0.9(不合题意，舍去)．∵1－x ＝0.9，∴x ＝0.1＝10%.答：平均每次下调的百分率为10%.(2)方案一的总费用为：100×4050×9.810＝396 900(元)；方案二的总费用为：100×4050－2×12×1.5×100＝401 400(元)． ∴方案一优惠．。

阶段训练一一元二次方程及解法(21.1～21.2)

,其二次项的系数和一次项系
2 10.(2017 西宁)若 x1,x2 是一元二次方程 x +3x-5=0 的两个根,则 x12 x2+x1 x 2 的值是 15 .
2
11.(2017 启东一中模拟)已知 m,n 是关于 x 的一元二次方程 x2-2ax+a2+a-2=0 的两实根,那么 m+n 的最大值是 4 . 12.已知等腰三角形的周长为 20,腰是方程 x -12x+31=0 的一个根,则这个等腰三角形的腰长为 6 5 .
解得 x1=1+ 3 ,x2=1- 3 . 2 2 (3)x -2x=4,则 x -2x+1=5,
所以(x-1) =5, 解得 x1=1- 5 ,x2=1+ 5 .
2
数学
(4)5(y2-y)=3(y2-1).
解:(4)5y(y-1)-3(y+1)(y-1)=0. 因式分解得(y-1)(5y-3y-3)=0, 得(y-1)(2y-3)=0, 所以 y-1=0 或 2y-3=0, 解得 y1=1,y2=
x1 x2 6, x1 2, 联立①③得解得 3 x1 x2 2, x2 4.
所以 8=m+4,m=4;当 x2<0 时,有 3x1=-x2+2,④
x1 2, x x 6, 联立①④得 1 2 解得 3 x1 x2 2, x2 8 0(不合题意,舍去)
(1)求m的取值范围;
解:(1)因为关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1,x2, 所以Δ=(-6)2-4(m+4)=20-4m≥0, 解得m≤5, 所以m的取值范围为m≤5.

人教版九年级数学上册作业设计 21.1 一元二次方程

7．(2016·连云港)已知关于 x 的方程 x2＋x＋2a－1＝0 的一个根 1
是 x＝0，则 a＝__2__． 8．已知 a 是一元二次方程 x2－3x＋1＝0 的一个根，求 a＋1a－2 的值．解：把 x＝a 代入方程得 a2－3a＋1＝0，显然 a≠0，∴a－3＋1a＝ 0，∴a＋1a－2＝1
解：∵a是x2－x－1＝0的一个根，∴a2－a－1＝0，∴a2－a＝1， a2－1＝a.∴－a3＋2a＋2018＝－a3＋a＋a＋2018＝－a(a2－1)＋a＋ 2018＝－(a2－a)＋2018＝－1＋2018＝2017
17．根据下列问题，列出一元二次方程，并将其化成一般形式． (1)一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条信息，这样共有756条消息； (2)两个连续奇数的平方和为130，求这两个奇数； (3)把一块面积为54 cm2的长方形纸片的一边剪下5 cm，另一边剪下 2 cm，恰好变成一个正方形，求这个正方形的边长； (4)一个直角三角形的斜边长是17 cm，两直角边之差为7 cm，求较短直角边长．
九年级上册人教版数学
第二十一章一元二次方程
21．1 一元二次方程
1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为__2__的整式方程叫做一元二次方程．
练习 1：下列关于 x 的方程一定是一元二次方程的是( D ) A．ax2＋bx＋c＝0 B．x2＋1－x2＝0 C．x2＋1x＝2 D．x2－x－2＝0
Байду номын сангаас
2．一元二次方程的一般形式为_____ax_2_＋__b_x_＋__c_＝__0_(_a_≠_0_) _____．练习2：将一元二次方程x2－3x＝1化成一般形式是_x_2_－__3_x_－__1_＝__0_ ，其二次项系数是___1___． 3．使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的__解____，也叫做一元二次方程的____根___．练习3：已知x＝－1是一元二次方程x2－mx－2＝0的一个根，则m 的值是___1___．

【★★】2023-2024学年初中数学9年级数学人教版上册课时练第21章《21.1 一元二次方程》

课时练第21章一元二次方程21.1 一元二次方程一、选择题1.下列方程是一元二次方程的是( )A.1x2－1x=0 B.xy＋x2=9 C.7x＋6=x2 D.(x－3)(x－5)=x2－4x2.一元二次方程3x2－4x－5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )A.3，－4，－5B.3，－4，5C.3，4，5D.3，4，－53.方程2(x＋3)(x－4)=x2－10的一般形式为( )A.x2－2x－14=0B.x2＋2x＋14=0C.x2＋2x－14=0D.x2－2x＋14=04.下列方程中，常数项为零的是( )A.x2＋x=1B.2x2－x－12=12C.2(x2－1)=3(x－1)D.2(x2＋1)=x＋25.把方程2(x2+1)=5x化成一般形式ax2+bx+c=0后，a+b+c的值是( )A.8B.9C.﹣2D.﹣16.若关于x的一元二次方程x2+5x+m2﹣1=0的常数项为0，则m等于( )A.1B.2C.1或﹣1D.07.已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3，则实数k的值为( )A.1B.﹣1C.2D.﹣28.下表是某同学求代数式x2－x的值的情况，根据表格可知方程x2－x=2的根是( )A.x=－1B.x=0C.x=2D.x=－1或x=29.下列是方程3x2＋x－2=0的解的是( )A.x=－1B.x=1C.x=－2D.x=210.方程(x+4)(x-5)=1的根为( )A.x=-4B.x=5C.x1=-4，x2=5 D.以上结论都不对11.若关于x的一元二次方程的根分别为-5，7，则该方程可以为( )A.(x+5)(x-7)=0B.(x-5)(x+7)=0C.(x+5)(x+7)=0D.(x-5)(x-7)=012.若关于x的一元二次方程为ax2＋bx＋5=0(a≠0)的解是x=1,则2023-a-b值是( )A.2 028B.2 018C.2 024D.2 022二、填空题13.当m________时，关于x的方程(m－2)x2＋x－2=0是一元二次方程.14.方程3x2=5x+2的二次项系数为______，一次项系数为______.15.方程(3x﹣1)(x+1)=5的一次项系数是______.16.已知x=1是一元二次方程x2＋mx＋n=0的一个根，则m2＋2mn＋n2的值为________.17.若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程，则k的取值范围是______.18.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为1，一个根为﹣1，则a+b+c=______，a﹣b+c=______.三、解答题19.若(m+1)x|m|+1+6x﹣2=0是关于x的一元二次方程，求m的值.20.把方程(3x+2)(x-3)=2x-6化成一般形式,并写出它的二次项系数,一次项系数和常数项.21.将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)2x2=8； (2)2x2＋5=4x； (3)4y(y＋3)=0； (4)(x－2)(2x＋1)=x2＋2.22.一元二次方程a(x+1)2+b(x+1)+c=0化为一般式后为3x2+2x﹣1=0，试求a2+b2﹣c2的值的算术平方根.23.根据下面的问题列出关于x的方程，并将方程化成一般形式：在圣诞节到来之际，九(四)班所有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了870张，求九(四)班有多少名同学.24.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式.(1)正方体的表面积为36，求正方体的边长x；(2)x支球队参加篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，一共进行了15场比赛，求参赛的篮球队支数x.参考答案1.C.2.13.A4.D5.D.6.C7.A.8.D.9.A.10.D11.A12.A13.≠214.3，﹣5.15.2.16.1.17.k≠3.18.0，0.19.解：因为是关于x的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项，则(m+1)x|m|+1一定是此二次项.所以得到，解得m=1.20.解：(3x+2)(x-3)=2x-6,3x2-9x+2x-6=2x-6,3x2-9x=0,所以它的二次项系数是3,一次项系数是-9,常数项是0.21.解：(1)移项，得一元二次方程的一般形式：2x2－8=0.其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为－8.(2)移项，得一元二次方程的一般形式：2x2－4x＋5=0.其中二次项系数为2，一次项系数为－4，常数项为5.(3)去括号，得一元二次方程的一般形式：4y2＋12y=0.其中二次项系数为4，一次项系数为12，常数项为0.(4)去括号，得2x2＋x－4x－2=x2＋2.移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式：x2－3x－4=0.其中二次项系数为1，一次项系数为－3，常数项为－4.22.解：整理a(x+1)2+b(x+1)+c=0得ax2+(2a+b)x+(a+b+c)=0，则，解得，∴a2+b2﹣c2=9+16=25，∴a2+b2﹣c2的值的算术平方根是5.23.解：设九(四)班有x名同学，根据题意，得x(x－1)=870.将方程化成一般形式为x2－x－870=0.24.解：(1)6x2=36.一般形式为6x2－36=0.1 2x(x－1)=15.一般形式为12x2－12x－15=0或x2－x－30=0.(2)。

21.1一元二次方程(作业教学设计)2024-2025学年九年级数学上册同步备课(人教版)

4. 求根公式解一元二次方程：x²-6x+9=0，通过求根公式，得x=3或x=1。
5. 一元二次方程的实际应用：工厂的总利润=售价×销售数量-成本。销售数量为150件，成本为10元/件，超过100件后的增加成本为150-100=50件，每件增加成本1元，所以总成本为10×100+1×50=1500元。总利润=20×150-1500=1800元。
答案：
1. 解一元二次方程：x²-4x+3=0，通过求根公式，得x=1或x=3。
2. 因式分解解一元二次方程：2x²+5x-3=0，因式分解为(2x-1)(x+3)=0，得x=1/2或x=-3。
3. 配方法解一元二次方程：x²+4x+3=0，配方得(x+2)²=1，得x=-2±√1，即x=-1或x=-3。
互动探究：
设计小组讨论环节，让学生围绕一元二次方程问题展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。
鼓励学生提出自己的观点和疑问，引导学生深入思考，拓展思维。
技能训练：
设计实践活动或实验，让学生在实践中体验一元二次方程知识的应用，提高实践能力。
在一元二次方程新课呈现结束后，对一元二次方程知识点进行梳理和总结。
教师备课：
深入研究教材，明确一元二次方程教学目标和一元二次方程重难点。
准备教学用具和多媒体资源，确保一元二次方程教学过程的顺利进行。
设计课堂互动环节，提高学生学习一元二次方程的积极性。
（二）课堂导入（预计用时：3分钟）
激发兴趣：
提出问题或设置悬念，引发学生的好奇心和求知欲，引导学生进入一元二次方程学习状态。
（五）拓展延伸（预计用时：3分钟）
知识拓展：
介绍与一元二次方程内容相关的拓展知识，拓宽学生的知识视野。

【初中数学】人教版九年级上册课时作业（一）［21.1 一元二次方程］(练习题)

人教版九年级上册课时作业（一）［21.1 一元二次方程］(375)1.已知(m−1)x|m|+1−3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=．2.已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则a2+2ab+b2的值为．3.根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：(1)某校九年级(3)班x名学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言；(2)利用墙的一边，再用13m长的铁丝，围成一个面积为20m2的矩形，求这个矩形与墙平行的一边的长(设与墙平行的一边的长为xm)；(3)如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接成的．AB的长为8，阴影部分的面积是23，另外两个小矩形全等，求这两个小矩形的长(设小矩形的长为x)．4.已知实数m满足m2−3m+1=0，则代数式m2+19m2+2的值等于．5.关于x的方程(a−1)x2+3x−2=0是一元二次方程的条件是（）A.a≠0B.a=1C.a≠1D.a为任意实数6.如果2是方程x2−3x+k=0的一个根，那么常数k的值为（）A.1B.2C.−1D.−27.若关于x的一元二次方程(m−3)x2+2x+m2−9=0的常数项为0，则m的值为（）A.3B.−3C.±3D.±98.由方程根的定义可知，一元二次方程x2+2x−3=0的根是（）A.x=1B.x=−3C.x=3D.x=1或x=−39.已知关于x的一元二次方程x2+bx+a=0有一个非零根−a，则a−b的值为（）A.1B.−1C.0D.−210.有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A.12x(x−1)=45 B.12x(x+1)=45C.x(x−1)=45D.x(x+1)=4511.把方程x(x+2)=−2化成一元二次方程的一般形式为，其中二次项系数为，一次项系数为，常数项为．12.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）=0 B.ax2+bx+c=0A.x2+1x2C.(x−1)(x+2)=1D.3x2−2xy−5y2=0参考答案1.【答案】:−1【解析】:∵方程(m−1)x|m|+1−3x+1=0是关于x的一元二次方程，∴|m|=1，且m−1≠0，解得m=−1.2.【答案】:1【解析】:把x=1代入x2+ax+b=0得1+a+b=0，即a+b=−1,a2+2ab+b2=(a+b)2=13(1)【答案】解：由题意，得x(x−1)=930，整理，得x2−x−930=0.(2)【答案】由题意，得x·13−x2=20，整理，得x2−13x+40=0.(3)【答案】由题意，得x[x−(8−x)]=23，整理，得2x2−8x−23=0.4.【答案】:9【解析】:由m2−3m+1=0，可得：m2=3m−1，将m2=3m−1代入m2+19m2+2得，3m−1+193m−1+2=3m−1+193m+1=(3m−1)(3m+1)3m+1+193m+1=9m2+183m+1=9(m2+2)3m+1；由m2=3m−1可得m2+2=3m+1，所以9(m2+2)3m+1=9(3m+1)3m+1．很显然3m+1≠0，所以9(3m+1)3m+1=95.【答案】:C【解析】:当a−1≠0时,关于x的方程(a−1)x2+3x−2=0是一元二次方程,即a≠1.7.【答案】:B【解析】:这里常数项是m2−9.令m2−9=0，解得m=±3.因为原方程是一元二次方程,所以m−3≠0,即m≠3，所以m=−3.故选B．8.【答案】:D【解析】:将x=1和x=−3分别代入原方程的左边,其结果是0,与方程的右边相等,所以它们都是原方程的根．将x=3代入原方程的左边，其结果不为0,与方程的右边不相等，所以它不是原方程的根．故选D．9.【答案】:B【解析】:∵关于x的一元二次方程x2+bx+a=0有一个非零根−a，∴a2−ab+a=0. ∵−a≠0，∴a≠0，方程a2−ab+a=0两边同时除以a，得a−b+1=0，∴a−b=−1.10.【答案】:A11.【答案】:x2+2x+2=0；1；2；212.【答案】:C。

人教版九年级上册数学21章一元二次方程分课时练习题及答案

21.1一元二次方程基础导练1.把一元二次方程(x－3)2＝5化为一般形式为________________，二次项为________，一次项系数为__________，常数项为________.2.若(a－1)x2＋bx＋c＝0是关于x的一元二次方程，则( )A．a≠0 B．a≠1C．a＝1 D．a≠－13．一元二次方程2x2－(m＋1)x＋1＝x(x－1)化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m的值为( )A．－1 B．1 C．－2 D．2能力提升4．方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝_______________.5．若关于x的方程mx2＋(m－1)x＋5＝0有一个解为2，则m的值是______．6．已知关于x的一元二次方程(2m－1)x2＋3mx＋5＝0有一根是x＝－1，求m的值．参考答案1.x2－6x＋4＝0 x2－6 42.B3.B4.25.－1 26．解：把x＝－1代入原方程，得2m－1－3m＋5＝0，解得m＝4.21.2.1配方法基础导练1.下列方程中，一定有实数解的是（）A.210x +=B.2(21)0x +=C.2(21)30x ++=D.21()2x a a -= 2.若224()x x p x q -+=+，那么p 、q 的值分别是（）A.p =4，q =2B.p =4，q =-2C.p =-4，q =2D.p =-4，q =-23.若28160x -=，则x 的值是_________．能力提升4.无论x 、y 取任何实数，多项式222416x y x y +--+的值总是_______数（填“正”或“负”）．5.如果16（x -y ）2+40（x -y ）+25=0，那么x 与y 的关系是．6.解一元二次方程22(3)72x -=．7.如果a 、b b 2-12b +36=0，求ab 的值．参考答案1.B2.B3.正 5.x -y =-54 6.解：方程两边同除以2，得2(3)36x -=，∴36x -=±，∴129,3x x ==-．7.2(6)0b -=，∴34060a b +=⎧⎨-=⎩， ∴43a =-，6b =，∴8ab =-. 21.2.2公式法基础导练1.一元二次方程2210x x --=的根的情况为（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根2.若关于x 的一元二次方程220x x m -+=没有实数根，则实数m 的取值范围是（）A ．1m <B ．1m >-C ．1m >D ．1m <-3.若关于x 的一元二次方程230x x m -+=有实数根，则实数m 的取值范围是_____________. 能力提升4.如果关于x 的方程022=--k x x 没有实数根，则k 的取值范围为_____________.5.用公式法解下列方程.（1）1)4(2=+x x ；（2）(2)(35)1x x --=；（3）20.30.8y y +=.6.求证：关于x 的方程01)12(2=-+++k x k x 有两个不相等的实数根．参考答案 1.B 2.C 3.94m ≤4.1k <-5.解：（1）将方程化为一般形式22810x x +-=，∴2a =，8b =，1c =-,∴224842(1)720b ac -=-⨯⨯-=>,∴84222x -±-±==⨯，∴142x -+=，242x --=．（2）将方程化为一般形式231190x x -+=，∴3a =，11b =-，9c =,∴224(11)439130b ac -=--⨯⨯=>,∴x ==1x =2x =．（3）将方程化为一般形式20.30.80y y +-=，∴0.3a =，1b =，0.8c =-,∴224140.3(0.8) 1.960b ac -=-⨯⨯-=>,∴y =1101420.36--±=⨯，∴14y =-，223y =．6. 证明：∵∆＝2224(21)41(1)450b ac k k k -=+-⨯⨯-=+>恒成立，∴方程有两个不相等的实数根．21.2.3一元二次方程的根与系数的关系基础导练1．若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋4x ＋3＝0的两个根，则x 1x 2的值是( )A ．4B ．3C ．－4D ．－32．如果关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p ，q 的值分别是( )A ．－3,2B ．3，－2C ．2，－3D ．2,33．已知一元二次方程的两根之和为7，两根之积为12，则这个方程为____________________．能力提升4．已知方程x 2－3x ＋m ＝0的一个根是1，则它的另一个根是______，m 的值是______．5．已知x 1，x 2是方程x 2－3x －3＝0的两根，不解方程可求得x 21＋x 22＝________.6.已知1x 、2x 是方程2630x x ++=的两实数根，求2112x x x x +的值.参考答案1．B 2.A 3．x 2－7x ＋12＝0(答案不唯一) 4．2 2 5.156.解：由一元二次方程根与系数的关系可得：121263x x x x +=-⎧⎨=⎩，∴222221121212121212()2(6)23103x x x x x x x x x x x x x x ++---⨯+====. 21.3实际问题与一元二次方程基础导练1.一台电视机成本价为a 元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，•所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（）A ．（1+25%）（1+70%）a 元B ．70%（1+25%）a 元C ．（1+25%）（1-70%）a 元D ．（1+25%+70%）a 元2.某商品原价200元，连续两次降价a ％后售价为148元，下列所列方程正确的是（）A ．2002(1%)a +=148B ．2002(1%)a -=148C ．200(12%)a -=148D ．2002(1%)a -=1483.为了美化环境，某市加大对绿化的投资．2012年用于绿化投资20万元，2014年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为x ，根据题意所列方程为（）A ．22025x =B ．20(1)25x +=C ．220(1)25x +=D ．220(1)20(1)25x x +++=能力提升4.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有（）人.A ．12B ．10C ．9D ．85.某县化肥厂第一季度增产a 吨化肥，以后每季度比上一季度增产%x ，则第三季度化肥增产的吨数为（）A ．2)1(x a +B ．2%)1(x a +C ．2%)1(x +D ．2%)(x a a +6.某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐月上升，三月份生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x ，则可列出方程为________________________．7.某公司一月份营业额为10万元，第一季度总营业额为33.1万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？（分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ，•那么二月份的营业额就应该是10(1)x +，三月份的营业额应是102(1)x +．）参考答案1.B2.B3.C4.C5.B6.215(1)60x +=7.解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ．则依题意得：21010(1)10(1)x x ++++=33.1把（1+x ）看成一个整体，配方得：21(1)2x ++=2.56，即23()2x +=2.56, ∴x +32=±1.6，即x +32=1.6或x +32=-1.6. ∴1x =0.1=10%，2x =-3.1∵因为增长率为正数，∴取x =10%.答:该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．。

人教版九年级上册数学第21章一元二次方程一元二次方程及其相关概念的定义的五种应用

解：把x＝6代入x2－mx＋2m＝0，得36－6m＋2m＝0，解得m＝9. 9和6恰好是等腰三角形ABC的两边长，分为两种情况； (1)腰长为6，即三边长分别为6，6，9，则周长为21； (2)腰长为9，即三边长分别为9，9，6，则周长为24. ∴△ABC的周长为21或24.
解：由题意可得(x＋1)·2x－(x＋2)·(x－2)＝1，它是一元二次方程，化成一般形式为x2＋2x＋3＝0.
4．(2019·遂宁)已知关于x的一元二次方程(a－1)·x2－2x＋a2－1＝0有一个根为x
＝0，则a的值为( )
A．0B．±1C．1D．－1
D
5．已知 x＝m 是方程 x2－x－2＝0 的一个非零实数根，求代数式 (m2－m)m－m2 ＋1的值．
解：当mm2＋＋11≠＝0 2，时，它是一元二次方程，解得 m＝1. 当 m＝1 时，原方程可化为 2x2－x－1＝0.
(2)m取何值时，它是一元一次方程？
解：当mm－＋21≠＝00，或mm＋2＋11－1 或 m＝0. 故当 m＝－1 或 m＝0 时，它是一元一次方程．
【点拨】解此类求代数式的值的问题时，一般都会用到整体思想.求解时，将所求代数式的一部分看成一个整体，再用整体代入法求值．
解：∵x＝m是方程x2－x－2＝0的一个非零实数根， ∴m2－m－2＝0，即m2－m＝2，m2－2＝m. ∵m≠0， ∴m－＝1. ∴原式＝2×(1＋1)＝4.
2 m
6．关于x的方程x2－mx＋2m＝0的一个实数根是6，并且m和6恰好是等腰三角形 ABC的两边长，求△ABC的周长．
2．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－1＝0的常数项为0，求m的值．
解：由题意得mm2－－11≠＝0，0，解得 m＝－1.

九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程作业课件新版新人教版

5．(4分)(盐城中考)已知一元二次方程x2＋kx－3＝0有一个根为1，则k
的值为( B )
A．－2
B．2
C．－4
D．4
6．(4分)(兰州中考)x＝1是关于x的一元二次方程x2＋ax＋2b＝0的解，则
2a＋4b＝( A )
A．－2
B．－3
C．－1
D．－6
7．(4分)下列数值：①－1；②0；③1；④2中，是一元二次方程x2－x－ 2＝0的根的是___①__④___．(填序号)
当m＝－3时，2m2＋m－3＝12≠0，∴m＝－3
17．(9分)已知m是方程x2＋x－1＝0的一个根，求代数式(m＋1)2＋(m＋ 1)(m－1)的值．
解：把x＝m代入方程，得m2＋m－1＝0，即m2＋m＝1，则原式＝m2＋ 2m＋1＋m2－1＝2(m2＋m)＝2
18．(9分)(教材P4练习T2改)根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式：
10．将方程2(x＋3)(x－4)＝x2－10化为一般形式为( A )
A．x2－2x－14＝0 B．x2＋2x＋14＝0 C．x2＋2x－14＝0 D．x2－2x＋14＝0
11．下表是某同学求代数式x2－x的值的情况，根据表格可知方程x2－x
＝2的根是( D )
A.x＝－1 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝－1和x＝2
4．(8分)(教材P4习题T1变式)把下列关于x的一元二次方程化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项．
(1)2x2＝8；解：一元二次方程的一般形式：2x2－8＝0.其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为－8 (2)2x2＋5＝4x；解：一元二次方程的一般形式：2x2－4x＋5＝0.其中二次项系数为2，一次项系数为－4，常数项为5

九年级上册数学课时安排

九年级上册数学课时安排一、一元二次方程（约13课时）1. 21.1 一元二次方程（2课时）- 第1课时：- 通过实际问题（如面积问题、增长率问题等）引出一元二次方程的概念，让学生理解一元二次方程的一般形式ax^2+bx + c = 0(a≠0)。

- 举例让学生判别哪些是一元二次方程，加深对概念的理解。

- 第2课时：- 根据一元二次方程的一般形式，讲解方程的各项系数a、b、c的确定方法。

- 进行简单的一元二次方程概念的巩固练习，如已知方程求系数，根据系数写方程等。

2. 21.2 解一元二次方程（6课时）- 第1 - 2课时：配方法。

- 第1课时：- 通过简单的完全平方公式(x + m)^2=x^2+2mx + m^2的复习引入配方法的概念。

- 以x^2+6x + 5 = 0为例，讲解如何将方程左边配成完全平方式，即x^2+6x+9 - 9+5 = 0，转化为(x + 3)^2=4的形式，进而求解。

- 第2课时：- 进行配方法解一元二次方程的练习，包括二次项系数为1和不为1的情况。

- 总结配方法解一元二次方程的步骤：移项、配方、开方、求解。

- 第3 - 4课时：公式法。

- 第3课时：- 利用配方法推导一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)的求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。

- 强调求根公式使用的前提是b^2-4ac≥slant0。

- 第4课时：- 进行公式法解一元二次方程的练习，让学生熟练掌握公式的代入计算。

- 通过对比配方法和公式法，让学生理解两种方法的联系与区别。

- 第5 - 6课时：因式分解法。

- 第5课时：- 复习因式分解的知识，如提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）。

- 以(x + 1)(x - 2)=0为例，引出因式分解法解一元二次方程的原理：若ab = 0，则a = 0或b = 0。

- 讲解如何将一元二次方程通过因式分解转化为两个一次因式乘积为0的形式来求解，如x^2-3x + 2 = 0因式分解为(x - 1)(x - 2)=0。

人教版九年级数学上册作业课件(图片版)第二十一章一元二次方程(共180张PPT)

第二十一章一元二次方
程
21.1 一元二次方程 2 21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法第1课时用直接开平方法解一元二次方程 16 第2课时配方法 30
21.2.2 公式法第1课时一元二次方程根的判别式 45 第2课时公式法 60
21.2.3 因式分解法 73 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 89 21.3 实际问题与一元二次方程第1课时传播问题与一元二次方程 105 第2面积问题与一元二次方程 136 综合练习1 实际问题与一元二次方程 152 第二十一章复习与提升 167
You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/42021/9/42021/9/42021/9/49/4/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月4日星期六2021/9/42021/9/42021/9/4 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/42021/9/42021/9/49/4/2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/42021/9/4September 4, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/42021/9/42021/9/42021/9/4
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/42021/9/4Saturday, September 04, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/42021/9/42021/9/49/4/2021 4:05:24 PM 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/42021/9/42021/9/4Sep-214-Sep-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/42021/9/42021/9/4Saturday, September 04, 2021

21.1一元二次方程课后习题

2022.9.17数学作业一．选择题（共9小题）1．下列方程中是一元二次方程的是（）A．5x+1＝0B．x2﹣1＝0C．＝1D．y2+x＝12．在一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0中，常数项是（）A．1B．﹣2C．﹣1D．03．下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．x+y＝1B．x2+x＝1C．x+＝1D．x3+x2＝14．要使方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数）是关于x的一元二次方程，则（）A．a＝0B．a≠0C．b≠0D．c≠05．方程x2﹣5x﹣2＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A．1，﹣5，﹣2B．1，5，2C．1，5，﹣2D．0，﹣5，﹣2 6．已知m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则2021﹣m2+3m的值为（）A．2022B．2021C．2019D．﹣20207．关于x的方程（a2+1）x2+2ax﹣6＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a≠±1B．a≠0C．a为任何实数D．不存在8．把一元二次方程3x2+1＝6x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数和常数项依次是（）A．3、1、6B．3、1、﹣6C．1、6、3D．3、﹣6、19．若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根，则m的值是（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2二．多选题（共1小题）（多选）10．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x2＝﹣2B．2x2﹣3x+1＝0C．6x2+3x＝0D．x2﹣6x＝（x+3）（x﹣3）三．填空题（共4小题）11．若方程ax2+2x﹣1＝2x2是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是．12．将方程（3x﹣2）（x+1）＝8x﹣3化成一元二次方程的一般形式后，其二次项系数是，一次项系数是．13．方程x（x+2）＝8化成一般形式是．14．若x＝1是一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则m＝．四．解答题15．向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m﹣2）x﹣1＝0提出了下列问题：（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．。

人教版九年级数学上册一课一练专项训练含答案

人教版九年级数学上册一课一练第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程1.复习回顾(1)下列方程是一元一次方程的是()A.x－1x＝0B．2x＋7＝3C．x2－1＝0D．7x－5y＝0(2)计算：①12x·(x－1); ②40(1＋x)2; ③(40－x)(20＋2x).2.问题提出第31届世界大学生夏季运动会于7月28日在成都开幕，于8月8日闭幕．适逢暑假，家在成都本地，热爱体育及数学的王梓同学收集到不少信息，他编成以下问题：(1)某球类赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，设有x支球队参加比赛，则共安排________场，若共安排了45场，可列方程为________________.(2)由于游客人数的增加，某些产品销售非常火爆；如熊猫头饰，一家店铺第1周销售了40件，设每周增长率为x，则第2周的销售量为________，第3周的销售量为________，若经过统计后，发现第3周的销售量为160件，则可列出方程：____________________.3.思考：(1)请结合第1题(2)的方法及等式的性质，将第2题中的方程化为等号右边为0的形式；(2)结合一元一次方程、二元一次方程(组)的定义，试从次数、未知数个数等角度，分析上述方程的特点.第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程第1课时直接开平方法1.复习回顾(1)平方根：如果x2＝a，则x叫做a的________.一个正数有________个平方根，这两个平方根互为________数，零的平方根是零，负数没有平方根.(2)开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“a”，负的平方根表示为“－a”. 零的算术平方根仍旧是________.(3)方程x2＝9的解为________；方程12x2＝2的解为________.2.问题提出王梓同学发现上一课时中的第2题(2)所列方程40(1＋x)2＝160，与上面复习回顾中的方程有些类似，又有不同，那么能否用开平方的方法来解这样的方程？怎样转化呢？下面是王梓同学的思路：(1)若解(x＋3)2＝9，可利用整体思想，若把括号中的式子x＋3看成一个整体y，则原方程可转化为________，用开平方的方法得y＝________，得原方程的解为________.(2)若解40(1＋x)2＝160，可参照解一元一次方程时先系数化为1，可得方程________；方程12(x－1)2－2＝0，可先移项得____________，再把系数12化为1，可得方程______________.3.解方程：(1)(x＋3)2＝2.(2)(2x＋1)2－5＝0. (3)4(x－1)2＝9.第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程第2课时配方法1.复习回顾(1)解方程：①(x－4)2－9＝0.②x2＋4x＋4＝2.(2)填空：①x2＋4x＋________＝(x＋________)2；②x2－3x＋________＝(x－________)2；③x2＋________x＋16＝(x＋________)2;④x2－________x＋________＝(x－3)2.2.问题提出不是所有的方程都可通过移项或系数化为1后直接利用开平方的方法求解，如x2－6x＋1＝0，怎样解？王梓同学是这样思考的：(1)解方程x2＋4x＋4＝2时，可整理成(x＋2)2＝2，就可直接开平方求解. 则根据完全平方公式将方程变形为x2＝a的形式即可；解方程x2－6x＋1＝0时，利用移项转化为x2－6x＝－1，根据等式的基本性质将方程变为______________，整理为(x－______)2＝______，然后利用直接开平方的方法求解.(2)解方程2x2－6x＋1＝0，王梓认为本题只需用等式的基本性质，将二次项系数化为1，再利用(1)中思路求解，请你完成该方程的求解过程.3.解方程：(1)x2－4x＋1＝0；(2)x2＋8x＝9.第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法1.复习回顾(1)一元二次方程的一般式为____________________；(2)方程x 2－3x －3＝2x ＋3化为一般式为__________，二次项系数a ＝______，b ＝______，c ＝________.2.问题提出(1)试利用配方法解方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0).解：系数化为1，得x 2＋b a x ＋c a ＝0；移项，得x 2＋b a x ＝________，两边同加一次项系数一半的平方，得x 2＋b a x ＋________＝________，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2，当b 2－4ac ＜0时，原方程无实数解；当b 2－4ac ≥0时，原方程的解为x ＝－b ±b 2－4ac 2a. (2)请直接利用上述结论解一元二次方程2x 2＋1＝3x .先要把方程化为一般形式：______________，再确定a ＝________，b ＝________，c ＝________，再求出b 2－4ac ＝________，代入公式x ＝－b ±b 2－4ac 2a，求出方程的解为________.3.解方程：(1)3x 2－5x ＋1＝0. (2)2x 2＋3x －5＝0.第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.3 因式分解法1.复习回顾(1)因式分解：x2－2 2x＝________；x(x－3)－2(x－3)＝____________；(x－3)2－4＝________；(2x＋1)2－(x＋3)2＝______________.(2)若a·b＝0则a＝0或b＝0. 由此可得若(x－2)(x＋2)＝0，则______＝0或______＝0，解得________________；(x－2)2＝0的解为________.2.问题提出王梓同学发现用公式法解方程x(x＋2)－(x＋2)＝0时，需先去括号，化为一般形式后，再用公式法求解，过程较繁琐．经观察发现，该方程的左边可因式分解，右边为0，则利用若a·b＝0则a＝0或b＝0，可达到降次并求解的目的.在方程x(x＋2)－(x＋2)＝0中，用提公因式法因式分解得____________＝0，于是得________＝0或________＝0，解得________________.3.解方程：(1)(x－1)2－16＝0.(2)(x－5)(x－6)＝x－5.第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系1.复习回顾(1)填空：把方程的解填写在横线上：(2)若x1，x2是方程x2－3x－5＝0的两根，则x1＝______，x2＝______；x12＋x22＝______.2.问题提出王梓在计算第1题(2)中x12＋x22时发现计算过程较繁琐，但结果是有理数．于是他计算了x1＋x2，x1 ·x2的结果，并又解了几个方程：(1)若x1，x2是方程x2－3x＋2＝0的两根，则x1＝______，x2＝______；x1＋x2＝______，x1 ·x2＝______；(2)若x1，x2是方程x2＋3x－4＝0的两根，则x1＝______，x2＝______；x1＋x2＝______，x1 ·x2＝______；(3)若x1，x2是方程2x2－3x＋1＝0的两根，则x1＝______，x2＝______；x1＋x2＝______，x1 ·x2＝______.王梓发现x1＋x2，x1 ·x2的结果与二次项系数、一次项系数和常数项有关系，于是，他联想一元二次方程的求根公式，经过计算得到以下结论：设x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，得x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a，则x1＋x2＝______，x1 ·x2＝______.王梓由此利用上述规律计算出1中的第(2)题，x1＋x2＝________，x1 ·x2＝________，结合配方法得出x12＋x22＝(________)2－2 x1·x2＝________. 3.已知x1，x2是方程3x2－x－1＝0的两个实数根：(1)填空：x1＋x2＝________；x1·x2＝________.(2)求代数式x12＋x22的值.第二十一章一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程第1课时传播问题、循环问题与数字问题1.复习回顾(1)列方程解应用题的一般步骤：设________；列________；解________；检验并得出正确结果.(2)流行疾病一直是困扰人类的重要问题，往往传染性强，所以要加强预防．开始有2人患某种流行疾病，每轮一人传播x人，则第二轮传播后比第一轮增加了________人，第二轮后共有______________人患此病.(3)一次有n个人参加的聚会上，规定：相遇的两个人握手并交换名片．那么，每个人发出的名片数量和握手的次数分别是________张、________次，n个人一共发出的名片数量是________张，握手的总次数是________次.2.问题提出(1)王梓妈妈是社区服务志愿者，他们组三个人负责反诈骗宣传，知晓的人再宣传给其他未被知晓过的人，经社区统计得知，两天共有300人通过宣传知晓了反诈骗知识(包括王梓妈妈等3人)．假设每人每天宣传的人数相同，那么每人每天宣传的人数是多少呢？请你帮助王梓同学完成以下求解的过程.解：设每人每天宣传的人数是x人，等量关系为：3＋第一天被宣传的人数＋第二天被宣传的人数＝300，可列方程为________________＝300，解得________________.答：每人每天宣传的人数是________人.(2)王梓发现某天妈妈他们宣传了224人，妈妈说224是两个连续偶数的积．让王梓求出这两个偶数．请帮助王梓同学完成以下求解的过程.解：设较小的偶数是x，则较大的偶数为x＋2，可列方程为______________＝224，解得____________.答：这两个连续偶数是__________________.第二十一章一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程第2课时平均变化率问题与销售问题1.复习回顾某酒店每个房间每天房价为300元，30间房可以全部租出，每个房间每涨10元，则平均每天少租出1间，据此规律，请回答：若每个房间每天房价为320元，则酒店可以租出________间客房，酒店总收入为________元；若每个房间定价为x元，则酒店可以租出________间客房.2.问题提出网络直播带货助力乡村振兴，作为一种新颖的销售“土特产”的方式，受到社会各界的追捧，王梓表姐作为回乡大学生，在某平台直播间销售某种“土特产”，每袋获利40元，每天可卖出20袋，通过调查发现：每袋“土特产”的售价每降低1元，每天的销售量就增加2袋．为尽快减少库存，表姐决定降价销售，表姐若要使得直播间每天获利1 200元，则每袋“土特产”的售价降低多少元？(1)王梓是这样想的：设每袋“土特产”的售价降低x元，则每袋“土特产”的销售利润为(40－x)元，每天可售出(20＋2x)袋．请你帮他继续完成.(2)表姐发现随着这种“土特产”的大量上市，批发价由原来的每袋200元，两天后降至每袋128元，试帮她求出这两天每天平均降低的百分率.第二十一章一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程第3课时几何图形面积问题1.复习回顾底为a，底上的高为h的平行四边形面积为________；上底为a，下底为b，高为h的梯形面积为________；对角形长分别为m，n的菱形面积为________；长为a，宽为b的长方形面积为________；边长为a的正方形面积为________. 2.问题提出(1)如图，王梓暑假回农村的爷爷家，爷爷想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门．(建在EF处，另用其他材料)当CD长为20 m时，则BC长为________m，能围成一个面积为________m2的羊圈．若设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC为________m时，能围成一个面积为________m2的羊圈.(2)研学是学生将所学知识与生活实践相结合的重要手段．王梓研学时遇到下列问题：如图①，农场有面积为650 m2的矩形空地，计划在矩形空地上一边增加4 m，另一边增加5 m构成一个正方形区域，作为学生栽种鲜花的劳动教育基地．请王梓与同学们一起计算正方形区域的边长；王梓解题过程如下，请你补全解题过程：解：设正方形区域的边长为x m，则矩形空地长为(x－4) m，宽为(x－5) m，由题意，得(x－4)(x－5)＝650，整理，得____________________，解得______________.答：正方形区域的边长为________m.(3)在实际建造时，从美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形区域一侧建成1 m宽的走廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为812 m2，求小道的宽度.第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数1.复习回顾(1)一元二次方程的一般形式为________________，其中二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________.(2)一般地，形如____________________的函数叫做一次函数，其中比例系数是________，常数项是________.(3)下列函数中，是一次函数的是()A.y＝(x－3)2－1B．y＝1－2x2C．y＝13(x＋2)(x－2)D．y＝(x－1)2－x22.问题提出(1)上题(3)的四个函数除了一次函数外，其余三个函数的共同点是____________________，模仿一元二次方程的一般形式对关系式进行整理. (2)要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都要赛一场)，那么比赛总场数y与参加的球队数x之间的关系为______________．(列出函数关系式)(3)为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25 m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另外三边用总长为40 m的栅栏围住(如图)．若设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2.则y与x之间的函数关系式是______________，自变量x的取值范围是________.思考：根据一次函数和一元二次方程的结构和定义，总结这类函数的结构特点，写出这类函数的一般形式.第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质1.复习回顾(1)用描点法画函数图象的步骤依次是：________、________、________；(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过________的一条________，k>0时，y随x的增大而________；k<0时，y随x的增大而________.2.问题提出根据函数图象与性质的探究方法，某兴趣小组计划对一次项系数和常数项为0的二次函数y＝12x2和y＝－12x2进行探究.(1)请完成画函数图象的过程.①列表：x…－2 －1 0 1 2 …y＝12x2…1212…y＝－12x2…－120 －12…②描点、连线：在如图所示的坐标系中描点并画出图象.(2)根据图象回答：两个函数图象有哪些共同点(至少写两条)？图象有哪些不同点(至少写两条)？第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.3 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质第1课时二次函数y ＝ax 2＋k 的图象和性质1.复习回顾(1)一次函数y ＝－3x ＋3的图象是由y ＝－3x 向________平移________个单位长度得到的.(2)一般地，抛物线y ＝ax 2的对称轴是________轴，顶点是________.①当a >0时，抛物线的开口________，顶点是抛物线的最________点．当x >0时，y 随x 的增大而________.②当a <0时，抛物线的开口________，顶点是抛物线的最________点，当x >0时，y 随x 的增大而________．当|a |越________时，抛物线的开口越大. 2.问题提出类比一次函数y ＝ax 与y ＝ax ＋b 的图象关系，王梓同学猜想可同样利用平移由y ＝12x 2的图象得到y ＝12x 2＋1的图象．请利用列表、描点、连线的方法画出函数y ＝12x 2＋1的图象并验证王梓同学的猜想．请你完成以下过程. (1)①列表：x … －2 －1 0 1 2 … y…321…②描点、连线：在如图所示的坐标系中描点并画出图象.小结：该图象是一条抛物线，开口向______；对称轴为直线x ＝________，函数有最________值是________；x >0时，y 随x 的增大而________；x ＜0时，y 随x 的增大而________.(2)思考：函数y ＝12x 2＋1的图象可以看作是由函数y ＝12x 2的图象平移得来的吗？如果是，又是怎样平移得到的？第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质第2课时二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质1.复习回顾2.问题提出王梓与同桌李响打算共同画二次函数y＝(x－2)2的图象，列完表，描完图李响就说了自己的想法：“这个图象不对称，只有抛物线的一半”，并给王梓看列表和图象：列表：图象：(1)王梓看到李响的过程，说：“你选取的点不对，你可以左边少取两个点，右边多取两个点，就可以了”．请你按王梓的想法完成下表，并在方格纸中画出该函数的图象：x…0 1 2 3 4 …y…______ 1 0 1 ______ …(2)思考：根据图象，完成下列填空：①当x＞________时，y随x的增大而增大；②x＝________时，y有最________值，是________．③抛物线y＝(x－2)2与抛物线y＝x2有什么关系？第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质第3课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质1．复习回顾(1)抛物线y＝ax2－1的顶点坐标是________，若a＞0，当x＝________时，y有最________值，是________．(2)抛物线y＝m(x－2)2与y＝3x2＋1的形状相同，开口方向不同，则m＝________，对称轴为________，顶点坐标为________，在对称轴的右侧，y随x 的增大而________．(3)抛物线y＝－7(x－1)2的对称轴是________，顶点坐标是________，是由抛物线y＝－7x2向________平移________个单位长度得到的．2．问题提出(1)王梓打算模仿前面所学画抛物线y＝－(x－2)2＋3的图象并研究其性质．请你也来参与：①列表：x…0 4 …y…－1 －1 …②描点、连线：在如图所示的坐标系中描点并画出图象．(2)根据前面所学，对照图象写出几条性质．(3)抛物线y＝－(x－2)2＋3与抛物线y＝－x2有什么关系？第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质第1课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质1．复习回顾(1) 填空：①x2＋4x＋______＝(x＋______)2；②x2－6x＋______＝(x－______)2.(2)抛物线y＝－3(x－2)2＋4有如下特点：开口________；对称轴是直线________；顶点坐标是________；x＝________时，y有最________值，是________；在对称轴的右侧，y随x增大而________.(3)一般地，抛物线y＝12(x－2)2－3是由抛物线y＝12x2向________平移________个单位长度，再向________平移________个单位长度得到的．2．阅读材料：求函数y＝3x2－6x－2的开口方向、对称轴和顶点坐标．王梓发现用顶点式表示的函数很快能得出图象性质，但形式为一般式的二次函数则无从下手，联想解一元二次方程的配方法，下面是王梓的解答过程，请你认真阅读，并解析问题：∵y＝3x2－6x－2＝3(x2－2x＋1－1)－2＝3(x－1)2－5，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－5)．(1)模仿上述配方的过程，将二次函数y＝－12x2＋x＋4化为顶点式．(2)确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴．(3)当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质第2课时用待定系数法求二次函数解析式1．复习回顾已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A(－9，0)，B(0，6)两点，则一次函数的解析式是________．2．问题提出王梓通过用待定系数法求一次函数的解析式，运用知识迁移，进行了以下的探究：(1)尝试一、已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象过(－1，0)，(0，3)．求此抛物线的解析式．他发现跟一次函数一样，把点的坐标直接代入可以列出方程(组)，解出b，c即可，请你也来求一求．(2) 尝试二、抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝12x2－2x＋3相同，顶点的坐标为(－2，1)，求此抛物线的解析式．他是这样思考的：抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝12x2－2x＋3相同，∴a＝12.∵顶点的坐标为(－2，1)，∴抛物线的解析式为______________．(3)尝试三、如图是二次函数y＝a(x＋1)2＋4的图象的一部分，根据图象求解析式．(提示：由图象可求得A点的坐标，把A点坐标代入抛物线解析式可求得a的值；从而求出解析式)第二十二章二次函数22.2 二次函数与一元二次方程1．复习回顾(1)直线y＝2x－4与y轴交于点________，与x轴交于点________．(2)解方程：①x2－2x－3＝0的解为____________；②x2－6x＋9＝0解为______________；③x2－2x＋3＝0解为__________．(3)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，当Δ________0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ________0时，方程有两个相等的实数根；当Δ________0时，方程没有实数根．2．问题提出(1)观察下列二次函数的图象，请写出它们与x轴的交点坐标：与x轴的交点坐标：________________________(2)对比1中(2)的各方程的解，可以得出二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标是方程____________的解.(3)思考：二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的个数与一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0的根的情况有什么关系？第二十二章二次函数22.3 实际问题与二次函数第1课时几何图形面积问题1．复习回顾(1)为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m，池底的面积是600 m2，则长为()A．20 m B．25 m C．30 m D．50 m (2)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B时停止)，在运动过程中，设点P的运动时间为x s，四边形P ABQ的面积为y cm2，用含x的代数式表示y为__________．(1)小军和小英在研学活动中，遇到这样的问题：某生物实验基地计划新建一个矩形的实验园，该实验园一边靠旧墙(墙足够长)，另外三边用总长为69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使实验园的面积最大？下面是小军和小英的讨论：请根据上面的信息，解决问题：①设AB＝x米(x＞0)，试用含x的代数式表示BC的长为________米；②请你判断谁的说法正确，并说明理由．(2)你能由上题归纳用二次函数求几何图形面积的最值问题的一般步骤吗？第二十二章二次函数22.3 实际问题与二次函数第2课时最大利润问题1．复习回顾(1)某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件，要使利润为25元，每件的售价应为() A．24元B．25元C．28元D．30元(2)某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y(元)与降价金额x(元)之间满足函数关系式y＝－2x2＋60x＋800，则y的最大值为()A．1 250 B．400 C．800 D．15(1)王梓表姐利用直播销售一种农特产，每千克成本价为40元．已知每千克售价不低于成本价，不超过80元．经调查，当每千克售价为50元时，每天的销量为100千克，且每千克售价每上涨1元，每天的销量就减少2千克．现在王梓表姐为使每天的销售利润最大，每千克的售价应定为多少元？王梓是这样思考的：设每千克的售价应定为x元，每天的销售利润为y元，先根据题意建立y与x的函数关系式，再根据二次函数的性质即可得到结论．请帮他完成以下解题过程：解：设每千克的售价应定为x元，每天的销售利润为y元，根据题意得，y＝(x－40)[100－2________]＝____________________(化为顶点式)．∵－2<0，∴当x＝70时，y取最大值1 800.答：为使每天的销售利润最大，每千克的售价应定为________元．(2)王梓认为本题还可先设每千克上涨的金额为自变量，再利用二次函数的性质求解．请根据此思路，解答上述问题．第二十二章二次函数22.3 实际问题与二次函数第3课时实际问题中的“抛物线”问题1．复习回顾(1)已知实心球运动的高度y(m)与成绩x(m)(水平距离)之间的函数关系式为y＝－(x－1)2＋4，则该同学此次投掷实心球的成绩是()A．2 m B．3 m C．3.5 m D．4 m(2)如图，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线ACB)的薄壳屋顶，已知它的拱宽AB为4米，拱CO高为0.8米，为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系，再求解析式，以AB所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则图中的抛物线的解析式为________ .2．问题提出如图是一架抛物线型拱桥，平时拱顶离水面2 m时，水面宽为4 m．若水面上升1.5 m，王梓想知道水面上升后水面宽度是多少．请结合以下设问完成解答．由于是抛物线型拱桥，所以需求抛物线的解析式，他的思路如下：(1)在图中建立合适的平面直角坐标系；(2)在(1)中所建坐标系中求抛物线的解析式和水面上升后水面的宽度．第二十三章旋转23.1 图形的旋转第1课时图形的旋转及其性质1．复习回顾(1)平移的性质：如果一个图形是由另一个图形平移得到的，那么对称点的连线__________，这两个图形是________图形．(2)轴对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的________线，两个图形是________图形.2．问题提出(1)①王梓与同桌李响一起观看由得到的四个图形，如下A. B. C. D.李响：我知道原图能够通过平移得到的是图案C.王梓：通对轴对称变换可以得到图案A和图案B.李响：图案D好像也是通过某种变换得到的，我猜可能是________．②由原图案得到图案D的这种变换中，发生改变的是图形的________，没有改变的是图形的________和________．(2)如图，△A′OB′是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°得到的．①旋转中心是点________，旋转的方向是________，旋转的角度是________；②点B的对应点是点________；点A的对应点是点________；③线段OB的对应线段是线段________，所以OB＝________；线段AB的对应线段是线段________，所以AB＝________；④∠A的对应角是________，所以∠A＝________；∠B的对应角是________，所以∠B＝________.第二十三章旋转23.1 图形的旋转第2课时旋转作图1．复习回顾(1)如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB1C1，若点B1在线段BC的延长线上，则∠BB1C1的大小为()A．70°B．84°C．80°D．86°(2)轴对称作图，就是找出几个关键点的对称点．对称点的作法为：过点A作对称轴的垂线，垂足为O，在AO的延长线上截取OA′＝________．2．问题提出如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－1，5)，B(－3，1)和C(4，0)，请按下列要求画图并填空．(1)平移线段AB，使点A平移到点C，画出平移后所得的线段CD，并写出点D 的坐标为________；(2)过点A作AE⊥AB，使AE＝AB(点E在第一象限)；线段AE可以看作是线段AB绕点A______时针旋转______度得到的．第二十三章旋转23.2 中心对称23.2.1 中心对称1．复习回顾(1)如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，连接AA′交对称轴l于点M，若∠A＝50°，∠C′＝30°，则下列说法不正确的是()A．△ABC与△A′B′C′的周长相等B．AM＝A′M且AA′⊥lC．∠B＝100°D．连接BB′，CC′，则AA′，BB′，CC′三条线段不仅平行而且相等(2)旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离________；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于________；③旋转前、后的图形________．2．问题提出(1)如图，王梓打算将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，请你帮他画出这个图形．(2) O是线段________与________的中点；△AOB与△DOE是不是全等三角形？第二十三章旋转23.2 中心对称23.2.2中心对称图形1．复习回顾(1)下列四个图案中，可以看作是轴对称图形的是()(2)如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相________，这个图形叫做轴对称图形.(3)如果某一个图形围绕某一点旋转180°后能与另一个图形________，那么就说这两个图形中心对称．2．问题提出下列3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：(1)选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形；(2)选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成的图形绕自身某一点旋转180°后能够与自身重合．(请将两个小题依次作答在图①、图②中，均只需画出符合条件的一种情形)第二十三章旋转23.2 中心对称23.2.3关于原点对称的点的坐标1．复习回顾(1)点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(______，______)；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(______，______)．(2)如图，在平面直角坐标系中，将点P(2，3)绕原点顺时针旋转90°得到点P′，则点P′的坐标为________．2．问题提出(1)如图，王梓打算在平面直角坐标系中画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，请你也来画一画．(2)写出点A1，B1，C1的坐标．若△ABC上有点Q(x，y)，你能写出对称点Q1的坐标吗？第二十三章旋转23.3 课题学习图案设计1．复习回顾(1)如图，在每组图下写出对应的图形变换．(2)下列图形之间的变换分别属于什么变换？2．问题提出(1)王梓认为利用图形轴对称和平移变换可以设计出许多美丽的图案，他也利用旋转作图试了一下旋转变换，如图②中的图案是由图①中的基本图形以点O为旋转中心，顺时针旋转________次而生成的，每一次旋转的角度均为α，则α最小为________°.(2)下列是李响借助旋转、平移或轴对称设计的四个图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.1 圆1．复习回顾(1)如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做________对称图形.(2)下列图形：线段，角，矩形，平行四边形，圆，其中是中心对称图形的个数是()A．2个B．3个C．4个D．5个2．问题提出(1)如图，点B，E在半圆O上，四边形OABC，四边形ODEF均为矩形．若AB ＝3，BC＝4，求DF的长．请你按王梓的思路进行思考，并填空．思路分析：由四边形OABC是矩形，得∠CBA＝90°，根据勾股定理，在Rt△ABC 中，AB＝3，BC＝4，先求得AC＝________．根据矩形____________的性质，可。