#113函数的单调性与导数#

1．1．3函数的单调性与导数
一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的
方法.
二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.
教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性.
三、教学过程
（一）复习引入
1．增函数、减函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．
2．函数的单调性
如果函数y＝f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y＝f(x)的单调区间．
在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．
例1讨论函数y＝x2－4x＋3的单调性．
解：取x1＜x2，x1、x2∈R，取值
f(x1)－f(x2)＝(x12－4x1+3)－(x22－4x2+3)作差
＝(x1－x2)(x1＋x2－4)变形
当x1＜x2＜2时，x1＋x2－4＜0，f(x1)＞f(x2)，定号
∴y＝f(x)在(－∞,2)单调递减．判断
当2＜x1＜x2时，x1＋x2－4＞0，f(x1)＜f(x2)，
∴y＝f(x)在(2,＋∞)单调递增．综上所述y＝f(x)在(－∞,2)单调递减，y＝f(x)在(2,＋∞)单调递增。

能否利用导数的符号来判断函数单调性？
一般地，设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f(x)'＞0，则f(x)为增函数；如果f(x)'＜0，则f(x)为减函数．
例2．教材P24面的例1。

例3．确定函数f(x)＝x2－2x＋4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．
解：f(x)'＝2x－2．令2x－2＞0，解得x＞1．
因此，当x∈(1,+∞)时，f(x)是增函数．
令2x－2＜0，解得x＜1．
因此，当x∈(－∞,1)时，f(x)是减函数．
例4．确定函数f(x)＝2x3－6x2＋7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．解：f(x)'＝6x2－12x．
令6x2－12x＞0，解得x＜0或x＞2．
因此，当x∈(－∞,0)时，函数f(x)是增函数，
当x∈(2,＋∞)时，f(x)也是增函数．
令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2．
因此，当x∈(0,2)时，f(x)是减函数．
利用导数确定函数的单调性的步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求出函数的导数；
(3)解不等式f'(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f'(x)＜0，得函数的单调递减区间．
练习1：教材P24面的例2
利用导数的符号来判断函数单调性:
设函数y＝f(x)在某个区间内可导
(1)如果f'(x)＞0，则f(x)为严格增函数；(2)如果f'(x)＜0，则f(x)为严格减函数．
思考：（1）若f'(x)＞0是f(x)在此区间上为增函数的什么条件？
若f'(x)＞0是f(x)在此区间上为增函数的充分而非必要条件．例如f(x)＝x3，当x=0，f'(x)=0，x≠0时，f'(x)>0，函数f(x)＝x3在(－∞,＋∞)上是
增函数．
（2）若f'(x )＝0在某个区间内恒成立，f (x )是什么函数？
若某个区间内恒有f'(x )＝0，则f (x )为常数函数．
练习2.教科书P.26练习(1) 练习3.教科书P25例3 （三）课堂小结
1．判断函数的单调性的方法；2．导数与单调性的关系；3．证明单调性的方法. （四）作业习题1.3第1，2题
1．3．2函数的极值
一、教学目标：理解函数的极大值、极小值、极值点的意义.掌握函数极值的判别方法.
进一步体验导数的作用.
二、教学重点：求函数的极值.
教学难点：严格套用求极值的步骤.
三、教学过程： （一）函数的极值与导数的关系 1、观察下图中的曲线 可以看出： a 点的函数值f (a )
f (b )
2、观察函数f (x )＝2x 3－6x 2
＋7的图象
思考：函数y ＝f (x )在点x ＝0，x ＝2处的函数值，与它们附近所有各点 处的函数值，比较有什么特点?
（1）函数在x ＝0的函数值比它附近所有各点的函数值都大， 我们说f (0)是函数的一个极大值；
（2）函数在x
＝2的函数值比它附近所有各点的函数值都小， 则f (2)是函数的一个极小值．
函数y ＝2x 3－6x 2＋7的一个极大值:f (0)；一个极小值:f (2)．
函数y ＝2x 3－6x 2＋7
的一个极大值点:(0，f (0))；一个极小值点:(2，f (2))． 3、极值的概念：
一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0) 我们就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值＝f (x 0)；
如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)
我们就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值＝f (x 0)． 极大值与极小值统称为极值． 4、观察下图中的曲线
考察上图中，曲线在极值点处附近切线的斜率情况．
上图中，曲线在极值点处切线的斜率为0，
极大值点左侧导数为正，右侧为负；极小值点左侧导数为负，右侧为正． 函数的极值点x i 是区间[a ,b ]内部的点，区间的端点不能成为极值点．
函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值．
函数在[a ,b ]上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个极小值点．
5、利用导数判别函数的极大（小）值：
一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，判别f (x 0)是极大（小）值的方法是： ⑴如果在x 0附近的左侧f'(x )＞0，右侧f'(x )＜0，那么，f (x 0)是极大值； ⑵如果在x 0附近的左侧f'(x )＜0，右侧f'(x )＞0，那么，f (x 0)是极小值； 思考：导数为0的点是否一定是极值点？
导数为0的点不一定是极值点．
如函数f (x )＝x 3，x ＝0点处的导数是0，但它不是极值点．
.
)()()()()()('个内存在极小值点，在开区间图像如图，则函数内的函数
，在，导函数，的定义域为开区间函数b a x f b a x f b a x f
例1求函数31
44.3
y x x =-+的极值
解：y '＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)．令y '＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2． 当x 变化时，y '，y 的变化情况如下表．
因此，当x ＝－2时，y 极大值＝28
3
，当x ＝2时，y 求可导函数f (x )的极值的步骤：
⑴求导函数f '(x )； ⑵求方程f '(x )＝0的根；
⑶检查f '(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值．
例2．求函数x e x y -=2的极值
230可得x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1当x 变化时，y '，y ． 例4．2
3)1(22
--=x x y 的极值 例5．3
2
)1(x x y -=的极值
f
思考：导数值为0的点一定为极值点吗？极值点一定导数值为0吗？ 练习：求函数x e x y -=3的极值
（三）课堂小结
1．考察函数的单调性的方法；2．导数与单调性的关系；3．用导数求单调区间的步骤.
（四）课后作业
作业习题1.3第4，5题 1．3．3函数的最大值与最小值
一、教学目标：理解并掌握函数最大值与最小值的意义及其求法.弄请函数极值与最值的
区别与联系.养成“整体思维”的习惯，提高应用知识解决实际问题的能力.
二、教学重点：求函数的最值及求实际问题的最值.
教学难点：求实际问题的最值.掌握求最值的方法关键是严格套用求最值的步骤，突
破难点要把实际问题“数学化”，即建立数学模型.
三、教学过程： （一）复习引入
1、问题1：观察函数f (x )在区间[a ，b ]
的极大值、极小值和最大值、最小值． 2、问题2：观察函数f (x )在区间[a ，b ]的极大值、极小值和最大值、最小值．
（见教材P30面图1．3－14与１．３－15） 3、思考：⑴极值与最值有何关系？
⑵最大值与最小值可能在何处取得？⑶怎样求最大值与最小值？
4、求函数y ＝443
1
3+-x x 在区间[0,3]上的最大值与最小值．
（二）讲授新课
1、函数的最大值与最小值
一般地，设y ＝f (x )是定义在[a ，b ]上的函数，在[a ，b ]上y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值。

函数的极值是从局部考察的，函数的最大值与最小值是从整体考察的。

2、求y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值，可分为两步进行： ⑴求y ＝f (x )在(a ，b )内的极值； ⑵将y ＝f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 例1．求函数y ＝x 4－2x 2＋5在区间[－2,2]上的最大值与最小值． 解：y'＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)令y'＝0，即4x (x ＋1)(x －1)＝0， 解得x ＝－1，0，1．当x 变化时，y'，y 的变化情况如下表：
故当x ＝±2时，函数有最大值13，当x ＝±1时，函数有最小值4． 练习1.教科书P.31练习
例2．求函数y ＝5363423+-+x x x 在区间[-2,∞+]上的最大值与最小值． 例3.求函数]4,0[,2)(∈+=x x x x f 的最大值和最小值. 例4.求函数]2,0[4
1)1ln()(2∈-
+=x x x f 的最大值和最小值.
（三）课堂小结
已知函数解析式，确定可导函数在区间[a ,b ]上最值的方法； （四）课后作业 作业习题1.3第4，5题
导数在函数中的应用习题课
一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的
方法.理解并掌握函数最大值与最小值的意义及其求法.弄请函数极值与最值的区别与联系.养成“整体思维”的习惯，提高应用知识解决实际问题的能力.
二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性. 求函数的极值求函数的最值及求实际问题的最值
教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性；严格套用求极值的步骤；求实际问题的最值 三、教学过程
题型一：函数的单调性
1．确定下列函数的单调区间：
⑴y ＝x 3－9x 2＋24x ；⑵y ＝x －x 3．（3）f (x )＝2x 3－9x 2＋12x －3 2．讨论二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的单调区间． 3．在区间(a ,b )内f'(x )＞0是f (x )在(a ,b )内单调递增的(A) A ．充分而不必要条件B ．必要但不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 题型二：求参数的取值范围： 例1．要使函数2)1(3)(2-++=x a x x f 在区间]3,(-∞上是减函数，求实数a 的取
值范围。

例2．若函数
1)1(2
131)(2
3+-+-=x a ax x x f 在区间（1，4）上是减函数，在区间
),6(+∞上是增函数，求实数a 的取值范围
题型三：证明不等式
例1.已知x ＞1，求证：x ＞ln(1＋x ). 例2．已知x ＞0，求证：1+2x ＞x
e 2.
题型三.求极值和已知极值求函数的解析式
小值点？
分别是极大值点还是极）判断（的值；
、、）求常数（时取得极值，且在已知例121.
1)1(1)0()(.12
3±=-=±=≠++=x c b a f x a cx bx ax x f 练习：已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且知当x ＝－1时取得极大值7，当x ＝3时取得极小值，试求函数f (x )的极小值，并求a 、b 、c 的值
.
21).
02
()(.20'023的值、、）的值；（）如图，求（，数处取得极大值，其导函在点已知例c b a x x f x cx bx ax x f ++= 题型四.求最值和已知最值求函数的解析式 例
1．求函数]2
,2[,2sin )(ππ-∈-=x x x x f 练习：求函数]2
,0[,sin )(π∈-=x x x x f 的最大值与最小值。

例2．设132<<a ，函数)11(2
3)(23≤≤-+-=x b ax x x f 的最大值为1，最小值为
26
-，求：a 、b 的值
练习：已知函数b ax ax x f +-=236)(。

若f （x ）在[-1，2]上的最大值为3，最小值为29，
求：a 、b 的值 小结：函数的导数的三个应用，求单调性，求极值和求最值，这三个方面是密切联系的，一定要掌握方法和步骤，多去做题，熟能生巧。

1．4生活中的优化问题（一）
教学目标：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题（一般指单峰
函数）的最大值和最小值.-------面积、容积最大（最小）问题
教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤
教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值 教学过程：
例1在边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？ 解：设箱底边长为x cm ，则箱高，2
60x
h -=
箱子容积h x x V 2
)(=2
603
2x x -=(0＜x ＜60)．
22360)('x x x V -
=,02
3
60)('2=-=x x x V 令 解得0=x (不合题意，舍去),40=x 并求得.00016)40(=V
由题意知，当x 过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16000是最大值． 答：当x ＝40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16000cm 3．
在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'(x )＝0的情形，若函数在
这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值． 这里所说的也适用于开区间或者无穷区间．
求最大（最小）值应用题的一般方法：
⑴分析问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式； ⑵确定函数的定义域，并求出极值点；
⑶比较各极值与定义域端点函数的大小，结合实际，确定最值或最值点． 练习
1．把长为60cm 的铁丝围成矩形，长、宽、高各为多少时，面积最大？ 2．把长为100cm 的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形面积之
和最小？ 变为：围成一个正方形与一个圆，怎样分法，能使面积之和最小？
练习2.用总长为14.8m 的钢条制作一个长方形容器的框架，如果所制作容器的底面的一
边比另一边长0.5m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．
例2．教材P34面的例1。

课后作业
1．阅读教科书P.34
教科书P37B 组第1题
1．4生活中的优化问题（二）
教学目标：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题（一般指单峰
函数）的最大值和最小值.---------用材最省的问题----
教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤 教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值 教学过程：
例1圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底半径应怎样选取，才能使所用材料最省？
解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S ＝2πRh ＋2π
2,2
h R V π=由,2
R
V
h π=得 则2222)(R R V R R S πππ+=.222R R V
π+= ,
042)(2
=+-='R R V R S π令,23πV R =解得 从而2R V h π=
2
32⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=ππV V 34πV =,223πV =即h ＝2R ． 因为S (R )只有一个极值，所以它是最小值．答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．
例2已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的
函数关系式为.8
1
25q p -=求产量q 为何值时，利润L 最大．
分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格.由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润．
解：28
1
25)8125(q q q q p q R -=-=⋅=收入
)4100()8125(2q q q C R L +-=-=利润)2000(100
2181
2<<-+-=q q q
，，即令02141
0'=+-=q L 求得唯一的极值点q ＝84．
因为L 只有一个极值，所以它是最大值． 答：产量为84时，利润L 最大．
练习1.某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，应如何定价才能使利润最大？ 例3．教材P34面的例2 课后作业
1. 阅读教科书P.34-----P35 2．教科书P37第6题。