专题4.1.2 圆的一般方程-学易试题君之K三关2017-2018学年高一数学人教版(必修2)

4.1.2圆的一般方程一、圆的一般方程 1．圆的一般方程的定义当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F +++=+表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，其中圆心为________________，半径r =_________________. 2．圆的一般方程的推导把以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程222()()x a y b r -+-=展开，并整理得22222220x y ax by a b r +--++-=.取2222,2,D a E b F a b r =-=-=+-，得： 220x y Dx Ey F +++=+ ①.把①的左边配方，并把常数项移到右边，得22224()()224D E D E Fx y +-+++=.当且仅当_______________时，方程表示圆，且圆心为__________，半径长为___________；当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D Ex y =-=-，所以它表示一个点____________； 当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．3．点与圆的位置关系点00)(,P x y 与圆22220(40)x y Dx Ey F D E F ++=+->++的位置关系是：P 在圆内⇔_______________________， P 在圆上⇔_______________________， P 在圆外⇔_______________________.二、待定系数法求圆的一般方程求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： ①根据题意，选择____________________；②根据条件列出关于a b r 、、或D E F 、、的________； ③解出a b r 、、或D E F 、、，代入标准方程或一般方程． 三、轨迹和轨迹方程 1．轨迹和轨迹方程的定义平面上一动点M ，按照一定规则运动，形成的曲线叫做动点M 的轨迹.在坐标系中，这个轨迹可用一个方程表示，这个方程就是轨迹方程.2．求轨迹方程的五个步骤①________：建立适当的坐标系，用(,)x y 表示曲线上任意一点M 的坐标； ②________：写出适合条件P 的点M 的集合){}(|P M p M =； ③________：用坐标(,)x y 表示条件()p M ，列出方程(,)0F x y =； ④________：化方程(,)0F x y =为最简形式；⑤査漏、剔假：证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．K 知识参考答案：一、1．(,)22D E -- 22142D E F +- 2．2240D E F +-> (,)22D E -- 22142D E F +-(,)22D E -- 3．2200000x y Dx Ey F ++++< 2200000x y Dx Ey F ++++= 2200000x y Dx Ey F ++++>二、①标准方程或一般方程 ②方程组 三、2．①建系 ②设点 ③列式 ④化简K —重点 圆的一般方程、用待定系数法求圆的一般方程K —难点 与圆有关的轨迹问题K —易错忽视圆的一般方程应满足的条件致错1．圆的方程的判断判断二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=是否表示圆的方法: （1）利用圆的一般方程的定义,求出224D E F +-利用其符号判断. （2）将方程配方化为()()22x a y b m -+-=的形式,根据m 的符号判断. 【例1】判断下列方程是否表示圆,若是,化成标准方程. (1)x 2+y 2+2x+1=0; (2)x 2+y 2+2ay-1=0; (3)x 2+y 2+20x+121=0;(4)x 2+y 2+2ax =0.【例2】 方程x 2+y 2+4mx-2y+5m =0表示圆的条件是A ．14<m <1 B ．m <14或m >1 C ．m <14D ．m >1【答案】B【解析】由于二元二次方程x 2+y 2+4mx-2y+5m =0表示一个圆，则D 2+E 2-4F =16m 2+4-20m >0，解得m >1或m <14. 2．用待定系数法求圆的一般方程应用待定系数法求圆的一般方程的步骤如下：【例3】已知圆经过点(4,2)和(-2,-6),且该圆与两坐标轴的四个截距之和为-2,求圆的方程. 【解析】设圆的一般方程为22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->.由圆经过点(4,2)和(-2,-6),得4220026400　①　②D E F D E F +++=⎧⎨+--=⎩，设圆在x 轴上的截距为x 1,x 2,则x 1,x 2是方程x 2+Dx+F =0的两个根,得x 1+x 2=-D .设圆在y 轴上的截距为y 1,y 2,则y 1,y 2是方程y 2+Ey+F =0的两个根,得y 1+y 2=-E .由已知,得-D+(-E )=-2,即D+E-2=0. ③ 联立①②③,解得D =-2,E =4,F =-20,故所求圆的方程为x 2+y 2-2x+4y-20=0.【例4】试判断(1,2)A ，(0,1)B ，(76)C -，，(4,3)D 四点是否在同一个圆上.解法二： 因为211611007AB BC k k -+⋅=⨯=---，所以AB BC ⊥， 所以AC 是过,,A B C 三点的圆的直径，22||(17)(26)10,AC =-++=线段AC 的中点M 即圆心2(4,)M -．因为221||(44)(32)5||2DM AC -++===， 所以点D 在圆M 上，所以,,,A B C D 四点在同一个圆上．【名师点睛】判断四点是否在同一个圆上，一般可先求过其中三点的圆的方程，然后把第四个点的坐标代入，若满足方程，则四点在同一个圆上，若不满足方程，则四点不在同一个圆上. 3．与圆有关的轨迹问题求与圆有关的轨迹方程的常用方法：（1）直接法: 能直接根据题目提供的条件列出方程．步骤如下：（2）定义法:当动点的轨迹符合圆的定义时,可直接写出动点的轨迹方程.（3）相关点法:若动点,()P x y 随着圆上的另一动点11(),Q x y 运动而运动,且11,x y 可用,x y 表示,则可将Q 点的坐标代入已知圆的方程,即得动点P 的轨迹方程.【例5】已知点P (x ,y ),A (1,0),B (-1,1),且|PA|=|PB|.(1)求点P 的轨迹方程;(2)判断点P 的轨迹是否为圆,若是,求出圆心坐标及半径;若不是,请说明理由. 【解析】(1)由题意得·,两边同时平方,化简得x 2+y 2+6x-4y+3=0, 即点P 的轨迹方程为x 2+y 2+6x-4y+3=0.(2)解法一：由(1)得(x+3)2+(y-2)2=10, 故点P 的轨迹是圆, 其圆心坐标为(-3,2),半径为.解法二：由(1)得D =6,E =-4,F =3,所以D 2+E 2-4F =36+16-12=40>0,故点P 的轨迹是圆. 又32D -=-,22E-=, 所以圆心坐标为(-3,2),半径r =.【例6】已知直角ABC △的斜边为AB ,且1,0,()(,0)3A B -,求: （1）直角顶点C 的轨迹方程; （2）直角边BC 中点M 的轨迹方程.解法二：同解法一得3x ≠且1x ≠-.由勾股定理得222||||||AC BC AB +=，即2222131))6((x y x y +++-+=， 化简得22230x y x +--=.因此,直角顶点C 的轨迹方程为22230(31)x y x x x +--=≠≠-且.解法三：设AB 中点为D ,由中点坐标公式得()1,0D ,由直角三角形的性质知, 122||||CD AB ==, 由圆的定义知,动点C 的轨迹是以()1,0D 为圆心,以2为半径的圆（由于,,A B C 三点不共线,所以应除去与x 轴的交点）.设,()C x y ,则直角顶点C 的轨迹方程为2214))1((3x y x x -+=≠≠-且. （2）设点00,,(),()M x y C x y 点,因为,(3,0)B M 是线段BC 的中点,由中点坐标公式得032x x += (3x ≠且1x ≠), 02yy =, 于是有0023,2x x y y =-=.由（1）知,点C 在圆2214))1((3x y x x -+=≠≠-且上运动,将00,x y 代入该方程得22()(244)2x y -+=,即2221()x y -+=.因此动点M 的轨迹方程为2221))1((3x y x x -+=≠≠且. 4．忽视圆的一般方程应满足的条件致错【例7】已知点()0,0O 在圆2222210x y kx ky k k +++-+=+外，求k 的取值范围.【错解】∵点()0,0O 在圆外，∴2210k k ->+，解得11.2k k ><-或 ∴k 的取值范围是(),1-∞- 1(,)2+∞．【错因分析】本题忽视了圆的一般方程220x y Dx Ey F +++=+表示圆的条件为2240D E F +->，而导致错误．【正解】∵方程表示圆，∴222()(2420)1k k k k +-+>-，即23440k k -<+，解得22.3k -<< 又∵点()0,0O 在圆外，∴2210k k ->+，解得12k >或1k <-. 综上所述，k 的取值范围是1()(22,3)12-- ，．【易错点睛】一个二元二次方程是否满足表示圆的条件，这是将二元二次方程按圆的方程处理时应首先考虑的问题．1．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的圆心和半径分别为 A ．（4，－6），16 B ．（2，－3），4 C ．（－2，3），4D ．（2，－3），162．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围是 A ．1(,)2-∞ B ．(,0)-∞ C ．1(,)2+∞D ．1(,]2-∞3．设圆的方程是22222(10)x y ax y a +++-=+，若01a <<，则原点与圆的位置关系是A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．不确定4．与圆224630x y x y +-++=同圆心，且过()1,1-的圆的方程是 A ．224680x y x y +-+-= B ．224680x y x y +-++= C ．224680x y x y ++--=D ．224680x y x y ++-+=5．若Rt △ACB 的斜边的两端点A ,B 的坐标分别为(-3,0)和(7,0),则直角顶点C 的轨迹方程为 A ．x 2+y 2=25(y ≠0) B ．x 2+y 2=25 C ．(x-2)2+y 2=25(y ≠0)D ．(x-2)2+y 2=256．圆心是（－3，4），经过点M （5，1）的圆的一般方程为 ．7．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0，AB 为圆C 的一条直径，点A （0,1），则点B 的坐标为 ．8．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径． （1）2210x y x +++=；（2）222200()x y ax a a +=≠++； （3）222222)0(0x y ax ay a -=≠++．9．已知方程(m ∈R )表示一个圆.(1)求m 的取值范围.(2)若m ≥0，求该圆半径r 的取值范围.10．已知三点坐标分别是A (0,5),B (1,-2),C (-3,-4),求过A ,B ,C 的圆的一般方程,并判断点M (1,4),N (6,4),P (0,1)与所求圆的位置关系.学科#网11．若圆22230x y ax by +-=+的圆心位于第三象限，那么直线0x ay b ++=一定不经过A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．已知两定点A (-2,0),B (1,0),如果动点P 满足|PA |=2|PB |,则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于A ．πB ．4πC ．8πD ．9π13．当a 为任意实数时,直线(a-1)x-y +a +2=0恒过定点C ,则以C 为圆心,为半径的圆的方程为A ．x 2+y 2-2x +6y =0B ．x 2+y 2+2x +6y =0C ．x 2+y 2+2x-6y =0D ．x 2+y 2-2x-6y =014．如图，设定点，动点在圆上运动，以为邻边作平行四边形，求点的轨迹．15．（2016新课标II ）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=A ．43-B ．34- C ．3D ．216．（2016新课标I ）设直线2y x a =+与圆22220C x y ay +--=：相交于,A B 两点,若||23AB =,则圆C 的面积为 .1 2 3 4 5 11 12 13 15 CABBCDBCA1．【答案】C【解析】由圆的一般方程可知圆心坐标为（－2，3），半径2214(6)12 4.2r =+-+=故选C. 2．【答案】A【解析】由方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，可得1140m +->，解得12m <.故选A. 3．【答案】B【解析】将原点坐标(0,0)代入圆的方程得2()1a -，∵01a <<，∴2(10)a ->，∴原点在圆外． 4．【答案】B【解析】把圆224630x y x y +-++=化成标准方程为22(2)(3)10x y -++=，由于两圆共圆心，可设另一个圆的方程为：222(2)(3)x y r -++=，把1,1x y ==-代入所设方程，得：222(12)(13),r -+-+=∴25r =，所以所求的圆的方程为22(2)(3)5x y -++=，化简为：224680x y x y +-++=，故选B.5．【答案】C【解析】线段AB 的中点坐标为(2,0)，因为△ABC 为直角三角形，C 为直角顶点，所以点C 到点(2,0)的距离为|AB|=5,所以点C (x ,y )满足=5(y ≠0),即(x-2)2+y 2=25(y ≠0).8．【解析】（1）∵1,0,1D E F ===，∴2241430D E F =-=--<+.∴方程（1）不表示任何图形．（2）∵220D a E F a ===，，，∴22224440D E F a a +--==.∴方程（2）表示点(),0a -．（3）方程两边同除以2，得220x y ax ay +-=+，∴0D a E a F ==-=,,，∴222420D E F a =->+. ∴方程（3）表示圆，它的圆心为(,)22a a -， 半径22124||22r D E F a =+-=. 9．【解析】(1)依题意，得4(m ＋3)2＋4(2m －1)2－4(5m 2＋2)＞0，即8m ＋32＞0，解得m ＞－4， 所以m 的取值范围是(－4，＋∞). (2)，因为m ∈[0，＋∞)，所以， 所以r 的取值范围是.11．【答案】D【解析】圆22230x y ax by +-=+的圆心为（a ，32b -），则a <0，b >0.直线y ＝1x a -－b a ，其斜率k ＝1a ->0，在y 轴上的截距为－b a>0，所以直线不经过第四象限，故选D ． 12．【答案】B【解析】设点P 的坐标为(x ,y ),则(x +2)2+y 2=4[(x -1)2+y 2],即(x -2)2+y 2=4,所以点P 的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径长的圆,所以点P 的轨迹所包围的图形的面积等于4π.13．【答案】C【解析】直线方程可化为(x +1)a-(x +y-2)=0，直线过定点,即对任意的实数a ，方程恒成立，故有,解得，即直线过定点C (-1,3)，故所求圆的方程为(x +1)2+(y-3)2=10，即x 2+y 2+2x-6y =0.15．【答案】A【解析】圆的方程可化为22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得24111a d a +-==+，解得43a =-，故选A . 16．【答案】4π【解析】圆22:220C x y ay +--=，即222:()2C x y a a +-=+，圆心为(0,)C a ， 由||23,AB =且圆心C 到直线2y x a =+的距离为|02|2a a -+，得22223|02|()()222a a a -++=+，则22,a = 所以圆的面积为2π(2)4πa +=.【名师点睛】注意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质,如圆的半径r 、弦长l 、圆心到弦的距离d 之间的关系：222()2lr d =+在求圆的方程时常常用到.。