高中数学第一章立体几何初步1.6.2垂直关系的性质第二课时平面与平面垂直的性质课件
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数学 必修2
第一章 立体几何初步
自主学习·新知突破
合作探究·课堂互动
高效测评·知能提升
第二课时 平面与平面垂直的性质
数学 必修2
第一章 立体几何初步
自主学习·新知突破
合作探究·课堂互动
高效测评·知能提升
自主学习·新知突破
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第一章 立体几何初步
自主学习·新知突破
合作探究·课堂互动
高效测评·知能提升
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第一章 立体几何初步
自主学习·新知突破
合作探究·课堂互动
高效测评·知能提升
又 BC⊂平面 CPB， 所以 AD⊥BC. 因为 PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC， 所以 PA⊥BC， 又 PA∩AD＝A，因此 BC⊥平面 PAB， 又 AB 平面 PAB， 所以 AB⊥BC.
数学 必修2
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第一章 立体几何初步
自主学习·新知突破
合作探究·课堂互动
高效测评·知能提升
4．已知 PA⊥平面 ABC，二面角 A－PB－C 是直二面角． 求证：AB⊥BC.
证明： 二面角 A－PB－C 为直二面角， 即平面 PAB⊥平面 CPB，且 PB 为交线． 在平面 PAB 内，过 A 点作 AD⊥PB，D 为垂足， 则 AD⊥平面 CPB，
数学 必修2
第一章 立体几何初步
自主学习·新知突破
合作探究·课堂互动
高效测评·知能提升
图形语言
数学 必修2
第一章 立体几何初步
[强化拓展]
自主学习·新知突破
合作探究·课堂互动
高效测评·知能提升
(1)应用面面垂直的性质定理时要注意的问题
①四个条件缺一不可“α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l”．
②一般要作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点，作交线的垂线，把
面面垂直转化为线面垂直．
(2)面面垂直的另外两个性质：
①若两个平面垂直，则经过第一个平面内的点作第二个平面的垂线必在第一
个平面内．
②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．
数学 必修2
第一章 立体几何初步
自主学习·新知突破
合作探究·课堂互动
高效测评·知能提升
[自主练习]
1．若平面 α⊥β，直线 a∥α，则( )
第一章 立体几何初步
自主学习·新知突破
合作探究·课堂互动
高效测评·知能提升
[边听边记] 证明：设 AF＝EF＝a，则 BE＝2a. 过 A 作 AM⊥BE 于 M， ∵AF∥BE，∴AM⊥AF. 又∵AF⊥EF，∴AM∥EF， ∴四边形 AMEF 是正方形． ∴AM＝a，EM＝MB＝a， ∴AE＝AB＝ 2a， ∴AE2＋AB2＝EB2，∴AE⊥AB.
A．α⊥β
B．a∥β 或 a β
C．a 与 β 相交
D．a β 或 a∥β 或 a 与 β 相交
解析： a与β三种位置关系都有可能． 答案： D
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合作探究·课堂互动
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2．已知 α⊥β，α∩β＝l，P∈l，则给出下列四个结论：
①过 P 和 l 垂直的直线在 α 内；
答案： A
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第一章 立体几何初步
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合作探究·课堂互动
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3．若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个语句： ①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β 其中正确的有________．(填序号) 解析： 以正方体或教室为模型可以判断出①不正确，②③均正确． 答案： ②③
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第一章 立体几何初步
自主学习·新知突破
合作探究·课堂互动
高效测评·知能提升
[思路探究] 解答本题的关键是证明 EA⊥AB，为此应该在平面四边形 ABEF 1
中，利用 AF∥BE，AF⊥EF，AF＝EF＝2BE 等条件计算 AB、AE、BE 的长度， 利用勾股定理逆定理证明．
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1.如图，已知平面 α⊥平面 β，α∩β＝l，α 内的两条直线 a、b，则 a 与 β 垂 直吗？b 与 β 垂直吗？a 与 b 相对交线 l 的位置有什么不同？
[提示] a⊥β，b与β不垂直，它们的不同点在于a与l垂直而b与l不垂直．
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第一章 立体几何初步
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②过 P 和 β 垂直的直线在 α 内；
③过 P 和 l 垂直的直线必与 β 垂直；
④过 P 与 β 垂直的平面必与 l 垂直．
其中正确的是( )
A．②
B．③
C．①④
D．②③
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解析： 对于①，只要直线在过 P 与 l 垂直的平面内便与 l 垂直，不一定在 α 内，故①不对；②对；对于③，只有当这样的直线在 α 内时才能保证与 β 垂直， 故③不对；对于④，这样的平面与 l 可能斜交，故④也不对．
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又∵平面 ABCD⊥平面 ABEF， 平面 ABCD∩平面 ABEF＝AB， AE 平面 ABEF， ∴EA⊥平面 ABCD.
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合作探究·课堂互动
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第一章 立体几何初步
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面面垂直的性质定理的应用
如图，正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相 1
垂直，AF∥BE，AF⊥EF，AF＝EF＝2BE. 求证：EA⊥平面 ABCD.
高效测评·知能提升
Hale Waihona Puke Baidu
2．拿一个直尺紧贴在墙上转动，要使其与地板垂直，应让直尺与墙和地板的 交线成什么关系？
[提示] 垂直．
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1．了解并掌握平面与平面垂直的性质定理． 2．能够灵活应用平面与平面垂直的性质定理证明相关问题．
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平面和平面垂直的性质定理
如果两个平面互相垂直，那么_在___一__个__平__面__内____垂直于它___们__交__线__的直
文字语言 线垂直于另一个平面．
符号语言
α⊥β α∩β＝l a α ⇒a⊥β a⊥l
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第二课时 平面与平面垂直的性质
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又 BC⊂平面 CPB， 所以 AD⊥BC. 因为 PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC， 所以 PA⊥BC， 又 PA∩AD＝A，因此 BC⊥平面 PAB， 又 AB 平面 PAB， 所以 AB⊥BC.
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4．已知 PA⊥平面 ABC，二面角 A－PB－C 是直二面角． 求证：AB⊥BC.
证明： 二面角 A－PB－C 为直二面角， 即平面 PAB⊥平面 CPB，且 PB 为交线． 在平面 PAB 内，过 A 点作 AD⊥PB，D 为垂足， 则 AD⊥平面 CPB，
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图形语言
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[强化拓展]
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(1)应用面面垂直的性质定理时要注意的问题
①四个条件缺一不可“α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l”．
②一般要作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点，作交线的垂线，把
面面垂直转化为线面垂直．
(2)面面垂直的另外两个性质：
①若两个平面垂直，则经过第一个平面内的点作第二个平面的垂线必在第一
个平面内．
②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．
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1．若平面 α⊥β，直线 a∥α，则( )
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[边听边记] 证明：设 AF＝EF＝a，则 BE＝2a. 过 A 作 AM⊥BE 于 M， ∵AF∥BE，∴AM⊥AF. 又∵AF⊥EF，∴AM∥EF， ∴四边形 AMEF 是正方形． ∴AM＝a，EM＝MB＝a， ∴AE＝AB＝ 2a， ∴AE2＋AB2＝EB2，∴AE⊥AB.
A．α⊥β
B．a∥β 或 a β
C．a 与 β 相交
D．a β 或 a∥β 或 a 与 β 相交
解析： a与β三种位置关系都有可能． 答案： D
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2．已知 α⊥β，α∩β＝l，P∈l，则给出下列四个结论：
①过 P 和 l 垂直的直线在 α 内；
答案： A
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3．若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个语句： ①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β 其中正确的有________．(填序号) 解析： 以正方体或教室为模型可以判断出①不正确，②③均正确． 答案： ②③
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[思路探究] 解答本题的关键是证明 EA⊥AB，为此应该在平面四边形 ABEF 1
中，利用 AF∥BE，AF⊥EF，AF＝EF＝2BE 等条件计算 AB、AE、BE 的长度， 利用勾股定理逆定理证明．
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1.如图，已知平面 α⊥平面 β，α∩β＝l，α 内的两条直线 a、b，则 a 与 β 垂 直吗？b 与 β 垂直吗？a 与 b 相对交线 l 的位置有什么不同？
[提示] a⊥β，b与β不垂直，它们的不同点在于a与l垂直而b与l不垂直．
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②过 P 和 β 垂直的直线在 α 内；
③过 P 和 l 垂直的直线必与 β 垂直；
④过 P 与 β 垂直的平面必与 l 垂直．
其中正确的是( )
A．②
B．③
C．①④
D．②③
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解析： 对于①，只要直线在过 P 与 l 垂直的平面内便与 l 垂直，不一定在 α 内，故①不对；②对；对于③，只有当这样的直线在 α 内时才能保证与 β 垂直， 故③不对；对于④，这样的平面与 l 可能斜交，故④也不对．
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又∵平面 ABCD⊥平面 ABEF， 平面 ABCD∩平面 ABEF＝AB， AE 平面 ABEF， ∴EA⊥平面 ABCD.
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面面垂直的性质定理的应用
如图，正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相 1
垂直，AF∥BE，AF⊥EF，AF＝EF＝2BE. 求证：EA⊥平面 ABCD.
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2．拿一个直尺紧贴在墙上转动，要使其与地板垂直，应让直尺与墙和地板的 交线成什么关系？
[提示] 垂直．
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1．了解并掌握平面与平面垂直的性质定理． 2．能够灵活应用平面与平面垂直的性质定理证明相关问题．
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平面和平面垂直的性质定理
如果两个平面互相垂直，那么_在___一__个__平__面__内____垂直于它___们__交__线__的直
文字语言 线垂直于另一个平面．
符号语言
α⊥β α∩β＝l a α ⇒a⊥β a⊥l