垂直平分线(1)

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线段的垂直平分线(一)

∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC，PC=PC, ∴△PCA≌△PCB(SAS) ；
A
C
N
B
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．
用心想一想，马到功成
你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?
如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
用心想一想，马到功成
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?
A B
线段垂直平分线的性质：
定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC， P是MN上的点． M 求证：PA=PB．证明：∵MN⊥AB， P
A
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B D
当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
P
A
C
B
证法一：过点P作已知线段AB的垂线PC
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
P
证法二：取AB的中点C，过P,C作直线．
A
C
B
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
P
A
C
B
证法三：过P点作∠APB的角平分线交AB于点C．
线段垂直平分线的判定：
定理：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

2.4线段的垂直平分线(1)

E
12
O
A B
F
线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线除了具有“垂直、平分线段” 的性质外还有如下性质：
M P
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
A
o
N
B
线段垂直平分线的判定
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上吗？
已知：线段AB ，PA=PB，如图，点P在线段AB的垂直平分线上吗？为什么？
三、线段垂直平分线的画法
<一>操作：画线段垂直平分线方法一利用三角板过中点画垂线方法二尺规画法 ①分别以点A、B为圆心，大于 ½AB长为半径画弧交于点E、F ②过点E、F作直线. 则直线EF就是线段AB 的垂直平分线(如图) <二>想一想 1、作法中为什么要“大于½AB长为半径”呢？ 2、为什么这样作出的直线就是线段 AB的垂直平分线呢？
线段的垂直平分线
折法、画法、性质、判定、应用
黄岗中学孙道宏
如图,A,B表示两个仓库,要在A,B一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等,码头应建造在什么位置？
A● B●
驶向胜利的彼岸
二、线段垂直平分线的折法
• 做一做： • 在半透明纸上画一条线段AB，折纸使A与B重合，得到的折痕L就是线段AB的垂直平分线. • 想一想： • 这样折纸怎么就是垂直平分线呢？
B
A C L
线段垂直平分线的应用已知:△ABC 的边AB,AC的垂直平分线相交于点P.如图说明：点P在BC的垂直平分线上 A
P
B
C
交流与小结本节课你学到了什么呢？
• • • • • 线段垂直平分线的折法线段垂直平分线的画法线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的应用

初中数学北师大版八年级下册第一章三角形的证明3.线段的垂直平分线公开课比赛一等奖

北师大版8年级下册第1章第3节线段的垂直平分线（1）教案一、教学目标：1.能够运用公理和所学过的定理证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.2.能够利用尺规作已知线段的垂直平分线.3.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．二、教学过程：<一>创设情境，引入新课师：（课件演示）如图，A、B表示两个仓库，要在一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？生：作线段AB的垂直平分线，码头应建在线段AB的垂直平分线与河岸边的交点上.师：语言非常准确.这节课我们就来研究线段的垂直平分线.（板书课题——线段的垂直平分线)师：刚才这位同学说码头应建在线段AB的垂直平分线与河岸边的交点上,谁能说出这样做的道理吗？生：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.师：非常好，这是我们七年级时学过的一句话。

还记得当时我们是怎样得到的吗？生：不记得了.师：那我来帮大家回忆一下。

（教师通过演示折纸过程，验证线段垂直平分线的性质）师：七年级时我们用折纸的方法得到了“线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”.同学们知道这是不够的，还必须利用公理及已学过的定理、推论证明它．这节课我们一起用所学的公理、定理来证明线段的垂直平分线的性质定理.教师板书：定理线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．<二>、自主探究，感受新知1.线段垂直平分线性质定理的证明师：现在就请同学们自己思考证明的思路和方法，并尝试写出证明过程.（学生画图，写出已知、求证. 证明方法和过程对于学生来说不是很困难的,可以找程度比较差的同学回答）生：口答已知、求证、证明.师：课件演示.已知：如图，直线MN ⊥AB ，垂足是C ，且AC ＝BC ，P 是MN 上的点．求证：PA ＝PB ．N A PB CM证明：∵MN ⊥AB ， ∴∠PCA ＝∠PCB ＝90°.∵AC ＝BC ，PC ＝PC ， ∴△PCA ≌PCB(SAS)．∴PA ＝PB (全等三角形的对应边相等)．师：若直线MN 上还有一点Q ，根据线段垂直平分线性质定理，能得出什么结论？生：QA ＝QB.（教师在图形中找出几个不同位置的点P ，学生分别说出结论，就是为了让学生熟悉图形，能熟练应用垂直平分线性质定理找出相等的线段）师：从图形中，你还能找出哪些相等的线段、相等的角呢？生：∠ A ＝∠B ，∠CPA ＝∠CPB .（挖掘基本图形中其它的等量关系，使学生认识到学习知识不要局限于定理，为以后应用线段垂直平分线的性质定理进行证明、计算打下基础.）2.线段垂直平分线判定定理的证明师：你能写出上面这个定理的逆命题吗?生: 思考.师：这个命题不是“如果……那么……”的形式，要写出它的逆命题，可以先将原命题写成“如果……那么……”的形式，逆命题就容易写出．谁来分析一下原命题的条件和结论?生：原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”．师：有了这位同学的精彩分析，逆命题就很容易写出来．生：如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．师：谁能把它描述得更简捷?生：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．师：当我们写出逆命题时，就应想到判断它的真假.如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明，这个命题是真还是假呢？生：真命题.师：要证明这一定理，先要写出已知、求证。

1.3 线段的垂直平分线 (1)

课题
§1.3线段的垂直平分线(1)
学习目标1、会源自学过的公理和定理证明线段的垂直平分线的性质、判定定理。
2、经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力,丰富对几何图形的认识.
学习
重难点
学习重点：线段的垂直平分线的性质、判定定理的证明。
学习难点：线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的内涵和证明。
∴△APC≌△BPC(SAS)．
∴AC=BC，∠PCA=∠PCB
又∵∠PCA+∠PCB=180°
∴∠PCA=∠PCB=90°
∴P点在线段AB的垂直平分线上．
巩固达标
随堂练习第1,2题
课堂小结
1、垂直平分线把握住两个要点：1、垂直；2、平分。
2、本节知识的学习仍与三角形全等密切相连。
作业
导学反思
学习过程
学案
导案
目标导学
1、什么是线段的垂直平分线？
2、如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?
自主学习
线段的垂直平分线的性质定理
定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC＝BC，P是MN上的点。
证法二：取AB的中点C，过P,C作直线．
∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，
∴△APC≌△BPC(SSS)．
∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)．
又∵∠PCA+∠PCB=180°，
∴∠PCA=∠PCB=∠90°，
证法三：过P点作∠APB的角平分线交AB于点C．
∵AP=BP，∠APC=∠BPC，PC=PC，
求证：PA＝PB。

垂直平分线的性质及做法(轴对称的性质)

02 垂直平分线的做法
已知线段和点，求作垂直平分线
第一步
第三步
通过给定点作线段的平行线，与线段交于两点，分别记为A和B。
连接CD，则CD为线段的垂直平分线。
第二步
分别以A、B为圆心，大于 $frac{AB}{2}$的距离为半径作圆弧，两圆弧交于两点，分别记为C和D。
已知三角形，求作高线、中线、角平分线
高线
从三角形的一个顶点向对边作垂线，即为高线。
中线
连接三角形的一边的中点与对角的顶点，即为中线。
角平分线
通过三角形的一个角的顶点，作对边的平行线，与对边交于一点，再从这一点作另一边的垂线，即为角平分线。
已知垂直平分线，求作线段的中点
01
02
03
第一步
在垂直平分线上任取一点，记为O。
第二步
轴对称图形是全等图形，即它们的大小和形状完全相同。
对称轴两侧的对应点连线与对称轴垂直并平分。
对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等。
轴对称的应用
在几何学中，轴对称是研究图形性质的重要工具。通过对称轴的性质，可以推导出许多图形的性质和定理。
在物理学中，许多物理现象也具有轴对称的性质，例如磁场、电场等。通过对称性分析，可以更好地理解和研究这些现象。
01
如果一条线上的任意一点到线段两端的距离相等，那么这条线就是所求的垂直平分线。
02
如果一条线是线段的中垂线，那么它也是这条线段的垂直平分线。
垂直平分线的性质定理
定理
如果一条线是线段的中垂线，那么这条线也是这条线段的垂直平分线。
应用
在几何问题中，常常需要找到一个线段的中点或者确定一个点是否在线段的中垂线上，这时就可以利用垂直平分线的性质定理来解决。

线段垂直平分线的性质定理-(1)

M P
∴PA=PB 或者：
∵ MN⊥AB, AC=CB，点P在MN上
A
∴PA=PB
C
N
B
探索并证明线段垂直平分线的性质
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，
点P 在l 上．求证：PA =PB．
l
证明：∵ l⊥AB，
P
∴ ∠PCA =∠PCB．
又 AC =CB，PC =PC，
A
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）
动手操作：作线段AB的垂直平分线MN，
垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB；测量PA、PB的长，你能发现什么？
在MN上多取几个点，测量一下，你发现了什么? PA=PB
你还有哪些方法去比较它们的大小？
由此你能得到什么规律？
M P
线段垂直平分线上的点到这
条线段两个端点的距离相等。 A
C
B
3
D
∴ BD=DC
N
A
∴ △DCA的周长=DC+DA+CA
=BD+DA+CA
=BA+CA
=10+8
=18
3。如图所示，直线MN和DE分别是线段AB、BC的垂直平分线,它们交于点Ｏ,试判断线段ＯA和ＯC是否相等？请说明理由？
M D
解：相等，连接ＯB.
∵ MN是线段AB的垂直平分线
Ｏ
（已知）
∴ ＯA=ＯB（线段中垂线的性 C 质）
B DC
E
∵ 点C 在AE 的垂直平分线上
∴ AC =CE． ∴ AB =AC =CE
∵ AB =CE，BD =DC，∴ AB +BD =CD +CE．即 AB +BD =DE ．

垂直平分线知识点

垂直平分线知识点
垂直平分线是经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线。

以下是垂直平分线的一些知识点：
1.性质：垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等，即线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。

2.判定：如果直线过线段中点，并且垂直于这条线段，那么这条直线就是这条线段的垂直平分线。

3.三角形中的垂直平分线：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这一点叫做三角形的外心，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等。

4.与对称轴的关系：如果一个图形关于某一直线对称，那么这个直线就是对应点连线的垂直平分线。

总之，垂直平分线是数学中的一个重要概念，它具有一些独特的性质和判定方法，并且在三角形等图形问题中有着广泛的应用。

垂直平分线的定义和性质

经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）（英文：perpendicular bisector）。

垂直平分线，简称“中垂线”，是初中几何学科中占有绝大部分的非常重要的一部分。

垂直平分线的性质1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。

2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。

3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心（circumcenter），并且这一点到三个顶点的距离相等。

垂直平分线的逆定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

如图：直线MN即为线段AB的垂直平分线。

注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。

垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

巧计方法：点到线段两端距离相等。

可以通过全等三角形证明。

垂直平分线的尺规作法方法之一：（用圆规作图）1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。

2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。

得到一个交点(两交点交与线段的同侧)。

3、连接这两个交点。

原理：等腰三角形的高垂直等分底边。

方法之二：1、连接这两个交点。

原理：两点成一线。

等腰三角形的性质：1、三线合一( 等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角平分线相互重合。

)2、等角对等边3、等边对等角练习：（1）根据线段垂直平分线的性质解答即可；（2）依据角平分线的性质解答；（3）连接BD、CD，利用角平分线及线段垂直平分线的性质可求出BD=DH，DG=DC，依据HL 定理可判断出Rt△BDG≌Rt△CDH，根据全等三角形的性质即可得出结论．解答：解：（1）相等．∵D是线段BC垂直平分线上的一点，∴D点到B、C两点的距离相等；（2）相等．∵点D在∠BAC的角平分线上，∴D点到∠BAC两边的距离相等；（3）BG=CH．连接BD、CD，∵D是线段BC垂直平分线上的点，∴BD=DH，。

垂直平分线(一)

九年级数学上册导学案编号 06911006九年级数学学科导学案执笔人：李青学校：红柳沟镇中学审核人 ________集体备课批注栏一、课题3．线段的垂直平分钱（一）二、学习目标经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理．能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．三、学习重点和难点1.重点：能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理.2. 难点：能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理.课堂导学过程设计预习案一、温故知新提问： 1、什么是线段的垂直平分线？你会画线段的垂直平分线吗？探究案二、导学释疑探究一：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”你能证明这一结论吗？已知：如图，直线 MN ⊥ AB ，垂足是 C，且 AC=BC ， P 是 MN 上的任意一点 .求证： PA=PB.（分析：要想证明边相等，考虑证它们所在的三角形全等）MPABCN九年级数学上册导学案编号 06911006定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等探究二：你能写出“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”这一命题的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请证明 .逆命题：已知：求证：定理：到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 .探究三：用尺规作出已知线段 AB 的垂直平分线 CD （不要求写作法）A BCD 为什么是线段AB 的垂直平分线？思考：用尺规作图能确定已知线段的中点吗？例题解析：,AD 的垂直平分线分别交AB 、如图在△ ABC中，AD是∠ BAC平分线BC 延长线于F、 E求证：（ 1）∠ EAD=∠EDA;（ 2）DF∥ AC（ 3）∠ EAC=∠B九年级数学上册导学案编号 06911006训练案三、巩固提升1.已知：线段 AB 及一点 P ， PA=PB ，则点 P 在上 .2.已知：如图，∠ 0BC 于D BAC=120, AB=AC,AC 的垂直平分线交则∠ ADC= .第 2 题第 4 题AC 于 D 则∠DBC 3.△ ABC 中，∠ A=50 ，AB=AC,AB 的垂直平分线交的度数. 4.△ ABC 中，DE 、FG 分别是边 AB 、AC 垂直平分线，则∠ B ∠ BAE ，∠ C ∠ GAF ，若∠ BAC=126，则∠ EAG=.5.如图，△ ABC 中， AB=AC=17,BC=16,DE 垂直平分 AB ，则△ BCD 的周长是.6. 有特大城市 A 及两个小城市 B 、C ，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B 、C 两城市的距离相等，且使A 市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置.四、课堂小结通过这节课的学习你有什么收获?五、走进中考已知：如图， DE 是△ ABC 的 AB 边的垂直平分线，分别交AB 、BC 于 D 、E ， AE 平分∠ BAC ，若∠ B=30 ，求∠ C 的度数 .九年级数学上册导学案编号 06911006六、布置作业1.必做：习题 1.6 第 3、 4.2.选做：二选一.（ 1）如图，已知 AB是线段 CD的垂直平分线， E 是 AB上的一点，如果 EC=7cm,那么 ED=cm0；如果∠ ECD=60，那么∠ EDC=∠ B=300CA BED（2）如图，在△ ABC中，已知 AC=27，AB的垂直平分线交 AB于点E，交 AC于点 D，△ BCD的周长等于 50，求 BC的长 .反思。

1.3_.1线段的垂直平分线(1)

你能写出上面这个定理的逆命题吗？性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等。
如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在
这条线段的垂直平分线上．即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明。
性质定理的逆命题：到线段两个端点的距离相等的点在这
M
B D C
检测：
已知：如图AB=AC，BD=CD， P是AD上一点，求证：PB=PC
A P
本题综合运用了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，认真写出过程哦！
B D
C
• 例2：如图所示，△ABC中，AB=AC， ∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC 于点E，交BC于点F．求证：BF=2CF．
2. 作直线CD。则直线CD就是线段AB的垂直平分线。请你说明CD为什么是AB的垂直平分线, 并与同伴进行交流。
A
B
D
2.已知直线和直线上一点P,利用尺规作的垂线,使它经过点P. 已知：直线l和l上一点P．求作：PC⊥ l ．作法：1、以点P为圆心，以任意长为半径作弧，与直线l 相交于点A 和B． 2．作线段AB的垂直平分线PC．直线PC就是所求的垂线．
C
P A B
l
尺规作图
(P62) 如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线的垂线？（1）为什么任意取一点K ，使点K与点C 在直线两旁？ 1 （2）为什么要以大于 DE 的长为半径作弧？ 2 （3）为什么直线CF 就是所求作的垂线？ C D A K E B
F
3．如图，求作一点P，使PA=PB，PC=PD C A P B P点即所求作的点 D

垂直平分线性质(1)

l
自学指导二证明线段垂直平分线的性质
请在图中的直线l 上任取一点，那么这一点与线段 AB 两个端点的距离相等吗？ P3 线段垂直平分线上的点与这条 P2 线段两个端点的距离相等． P1 A B
l
合作讨论证明线段垂直平分线的性质
证明：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．” 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点 P 在l 上． l 求证：PA =PB． P
课堂练习
练习1 如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等 8 于______． A
B
D
E
C
课堂练习
练习2 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？ AB+BD与DE 有什么关系？
解：∵ AD⊥BC，BD =DC， A ∴ AD 是BC 的垂直平分线， ∴ AB =AC． ∵ 点C 在AE 的垂直平分线上， B D ∴ AC =CE．
C
E
达标检测
练习2 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？ AB+BD与DE 有什么关系？解： ∴ AB =AC =CE． ∵ AB =CE，BD =DC， ∴ AB +BD =CD +CE．即 AB +BD =DE ．
A
B
D
C
E
探索并证明线段垂直平分线的判定
反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢？ P 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
已知：如图，PA =PB．求证：点P 在线段AB 的垂直平 A 分线上．

1.3 线段的垂直平分线(1)

课题：§1.3线段的垂直平分线（1）主备：孙金妮审批：班级：学习小组：姓名：【学习目标】：1、经历探索、猜想、证明”的过程，进一步发展推理证明意识和能力。

2、能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理。

3、能够用尺规作已知线段的垂直平分线。

【学习重难点】：重点：运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题。

难点：垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用。

一、前置准备：1、什么是线段的垂直平分线？2、你会画线段的垂直平分线？二、自主学习：“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”你能证明这一结论吗？【合作交流】探究活动一：（1）把一张长方形白纸的一边看作一条线段，请你用折叠的方法找出它垂直平分线。

（2）线段的垂直平分线有什么性质？想一想，量一量。

用语言归纳你的结论。

（3）“线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等”，你能用推理的方法说明它的正确性吗？定理：线段垂直平分线。

课题：§1.3 线段的垂直平分线（1）第 1 页共 4 页课题：§1.3 线段的垂直平分线（1）第 2 页共 4 页探究活动二：1、上面的定理的逆命题是什么？它是真命题吗？写出你的理由。

2、如何用尺规作线段的垂直平分线？反思：如何用尺规作图确定已知线段的中点？例1 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC ，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段BC 。

．变式练习：1.如图在△ABC 中，AD 是∠BAC 平分线,AD 的垂直平分线分别交AB 、BC 延长线于F 、E 求证：（1）∠EAD=∠EDA ;（2）DF ∥AC（3）∠EAC=∠B2、如图，A 、B 表示两个仓库，要在一侧的河岸边建造一个码头，使它到A 、B 两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？（保留尺规作图痕迹，不写作法）课题：§1.3 线段的垂直平分线（1）第 3 页共 4 页【达标测评】：1、已知：线段AB 及一点P ，PA=PB ，则点P 在上。

九年级数学线段的垂直平分线1

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[单选]下列子宫肌瘤病理特点和声像图的表现，哪一项是错误的A.肌瘤由平滑肌与纤维结缔组织交叉组成B.肌瘤周围有被压缩的肌纤维所组成的假包膜C.假包膜与肌瘤有疏松的结缔组织D.肌瘤变性时，声像图可为圆形无回声区E.肌瘤结节多呈圆形无回声区 [单选]以下关于外键和相应的主键之间的关系，不正确的是（）A.外键一定要与主键同名B.外键不一定要与主键同名C.主键值不允许是空值，但外键值可以是空值D.外键所在的关系与主键所在的关系可以是同一个关系 [填空题]交流电动机可分为（）步电动机和（）电动机。 [单选]冰区航行，遇到冰山时应及早在（）保持适当距离避离，如在大风浪天气发现有碎冰集结时，应在（）航行。A．上风；上风B．下风；下风C．上风；下风D．下风；上风 [单选]某企业面临甲、乙两个投资项目。经衡量，它们的预期报酬率相等，甲项目报酬率的标准差小于乙项目报酬率的标准差。有关甲、乙项目的说法中正确的是（）。A.甲项目取得更高报酬和出现更大亏损的可能性均大于乙项目B.甲项目取得更高报酬和出现更大亏损的可能性均小于乙项目C.甲 [填空题]填料塔与板式塔相比，其有结构（）（）低等优点。 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列情况属于中性粒细胞毒性变化的是（）Alder-Reilly畸形B.May-Hegglin畸形C.Pelger-Huet畸形Dohle小体E.Auer小体 [单选]信息工作程序不包括()。A.收集、整理B.辨类、归类C.整理、传递D.反馈、利用 [填空题]违反《中华人民共和国道路运输条例》的规定，未经许可擅自从事道路运输站（场）经营、机动车维修经营、机动车驾驶员培训的，由县级以上道路运输管理机构责令停止经营；有违法所得的，没收违法所得，处违法所得2倍以上（）倍以下的罚款；没有违法所得或者违法所得不足1万元 [单选,A1型题]动脉导管未闭脉压增大的主要原因是（）A.心脏存在着异常的通道B.主动脉的血分流至肺动脉C.肺循环血流量的明显增多D.体循环血流量的明显减少E.收缩压的明显升高 [单选]火灾调查询问时必须由火灾调查人员进行且不得少于（）人。A、1B、2C、3D、4 [单选,A2型题,A1/A2型题]注意缺陷多动障碍的协调和共济运动检查不包括（）A.指鼻B.指指C.系鞋带D.投篮球E.莱尔米特征（Lhermitte征） [单选,A2型题,A1/A2型题]结核菌进入血液循环可引起（）A.喉、肠结核B.脓气胸C.肺心病D.脑膜结核E.支气管扩张症 [单选]英版海图图式中，缩写“SD”是指（）。A．礁石、浅滩等的存在有疑问B．深度可能小于已注明的水深注记C．对危险物的位置有怀疑D．危险物的位置未经精确测量 [单选]储集层的非均质性将（）影响到储层中油、气、水的分布规律和油田开发效果的好坏。A、间接B、直接C、严重D、可能 [单选,A2型题,A1/A2型题]诊断颅内血管疾病最有价值的检查是（）。A.CTB.MRIC.脑血管造影D.头X-rayE.MRA [单选]水力清淤时，应该注意（）。A、在用水季节施行B、按先下游后上游，分阶段进行C、引入含沙量较少的清水D、关闭一切闸门 [单选]以下属于健康保险的特征的是（）A.精算技术比较简单B.一般具有储蓄性C.保险金一般为给付性D.保险期限通常为一年期 [单选]下列式子中，不正确的是（）A.R-S＝R-（R∩S）B.R＝（R-S）∪（R∩S）C.R∩S＝S-（S-R）D.R∩S＝S-（R-S） [单选,A2型题,A1/A2型题]关于急性胰腺炎时腹痛发生的机制，下列说法错误的是（）A.胰腺炎症累及肠道，导致肠胀气和肠麻痹B.胰管阻塞或胆囊炎引起疼痛C.胰腺炎性渗出液刺激腹膜D.胆汁刺激肠道E.炎症刺激和牵拉胰腺包膜上的神经末梢 [单选]三相异步电动机空载试验的时间应（），可测量铁心是否过热或发热不均匀，并检查轴承的温升是否正常。A、不超过1minB、不超过30minC、不少于30minD、不少于1h [单选,A1型题]下列各项，属于火淫证临床表现的是（）。A.皮肤干燥B.干咳少痰C.口渴喜饮D.大便干燥E.小便短黄 [单选,A2型题,A1/A2型题]女性，60岁，颈后局限性肿痛6天，伴有畏寒、发热38．5℃，来急诊时已用抗生素治疗3天。体格检查见颈后发际下方肿胀，皮肤红肿，质地坚韧，界限不清，中央多个小脓头伴坏死组织，白细胞数16×10/L，中性粒细胞0．90(90％)。此时最恰当的治疗是选择（）A.继 [单选]当AM的调制度m<1时，m越大，则（）。A.信号功率越小B.信号功率越大C.信号功率不变 [单选]皮肤附属器不包括（）A.毛发B.汗腺C.立毛肌D.甲E.皮脂腺 [单选]大面积烧伤不能判断是Ⅲ度或深Ⅱ度创面时，创面的手术处理方法应是（）A.蚕食脱痂B.分期切痂C.早期切痂D.削痂E.以上都不是 [单选,A2型题]1岁小儿滚落床下，恰巧碰翻地上热水壶，小儿全身皮肤与衣服粘连一起，这时对烫烧伤的小儿，错误的措施（）A.是B.迅速将小儿抢离火场或脱离烫伤源C.迅速将烫烧伤部位衣服撕掉D.用清洁被单包裹E.较小灼伤可清洗创面F.及时送往医院 [填空题]划线分（）划线和（）划线两种。 [判断题]铂钴标准比色法测定水的色度时，如果水样浑浊，可用离心机去除悬浮物，也可以用滤纸过滤除去。A.正确B.错误 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列哪项用当归四逆汤主治？（）A.手足厥，脉微细B.手足厥，脉洪大C.手足厥，脉细欲绝D.手足厥，脉沉紧E.手足厥，脉弦细 [多选]由予搅拌操作的多种多样，也使搅拌器存在着许多形式，典型的搅拌器形式有（）、推进式、锚式、螺杆式等。A.分离式B.桨式C.涡轮式D.框式 [单选]口岸检查、检验单位的人员需要登船执行公务的，应当：（）A、出示证件表明身份B、穿着制服C、穿着制服并出示证件D、出示单位介绍信 [填空题]一个完整的广告活动，应该包括（）、（）、（）、（）、（）五个要素。 [判断题]Fe（s）和Cl2（l）的ΔfHθm都为零。A.正确B.错误 [填空题]《学校卫生工作条例》所称的学校，是指普通中小学、农业中学、职业中学、中等专业学校、技工学校、（）。 [单选]在实际打球过程中，球员要根据实际情况合理选择（）才能打出好的球。A.球B.球杆C.手套D.球鞋 [单选,A2型题,A1/A2型题]肿瘤是人体组织细胞的异常过度增生所形成的肿物，可分为良性和恶性两大类。属于良性肿瘤特征的为（）A.呈浸润性生长B.手术切除后易复发或转移C.多有包膜形成，界线清楚D.无包膜形成，界线不清楚E.生长迅速，无休止地增殖长大 [单选]下列对骨质疏松描述错误的是（）A.骨质疏松症可分为原发性、继发性两类B.雌激素可抑制骨吸收，雌激素水平不足是病因之一C.多数患者为原发性骨质疏松症D.女性绝经期后发病率升高E.骨折是本病最为严重的后果 [单选,A1型题]下列有关体表感染的描述，错误的是（）。A.疖是毛囊与邻近皮脂腺的化脓性感染B.痈是多数散在的、不相关联的疖病C.丹毒是皮内网状淋巴管的炎性病变D.急性蜂窝织炎是皮下结缔组织的感染E.脓肿是急性感染后的局限性脓液积聚 [单选]美国心理学家吉尔福特认为，智力结构应从内容、操作和产品三个维度去考虑，他设想，每一个内容都可以运用不同的操作而产生不同的产品，因此可得到（）种单独的智力因素。A.100B.90C.60D.120

_线段的垂直平分线(1)性质定理与判定定理

P B C
随堂练习 1
挑战自我
1.如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是
AB上的一点,如果EC=7cm,那么ED= 7 cm; 如果∠ECD=600,那么∠EDC= 60 o.
C A E B
D
独立作业
2
2.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长. A
N
Hale Waihona Puke CB定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.
M
如图, ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上的点 ∴PA=PB
P
A
N
C
B
提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等
的根据之一.
你能写出“定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等”的逆命题吗?
逆命题到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. P 它是真命题吗? 如果是.请你证明它.
A
回味无穷
M
P
C
N P
B
B
′
已知:如图,PA=PB. 求证:点P在AB的垂直平分线上. A
B
想一想:若作出∠P的角平分线,结论是否也可以得证?
逆定理
逆定理到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
如图, ∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上
A
P
B
提示:这个结论是经常用来证明点在直线上
线段的垂直平分线性质定理与判定定理
线段的垂直平分线
什么叫垂直平分线？它具有什么样的特点？线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等 . 你能证明这一结论吗? 已知:如图,AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意 M P 一点.求证:PA=PB. 分析:(1)要证明PA=PB, 就需要证明PA,PB所在的 △APC≌△BPC， A

1.3线段的垂直平分线(1)

第一章证明（二）3．线段的垂直平分线(一)一、教学目标1．知识目标：①经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理．②能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．．教学重点、难点重点是写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题。

难点是两者的应用上的区别及各自的作用。

二、教学过程创设情景，引入新课如图，A 、B庄距离相等？探究新知定理线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．已知：如图，直线MN ⊥AB ，垂足是C ，且AC=BC ，P 是MN 上的点．求证：PA=PB ．证明：（要证明一个图形上每一点都具有某种性质，只需要在图形上任取一点作代表。

这一思想方法应让学生理解。

）1）符号语言∵ P 在线段AB 的垂直平分线CD 上NA PBC M CP_ A∴ PA = PB2）定理解释：P 为CD 上的任意一点，只要P 在CD 上，总有PA = PB 。

3）此定理应用于证明两条线段相等4)巩固练习a.如图，已知直线AD 是线段AB 的垂直平分线，则AB = 。

b.如图，AD 是线段BC 的垂直平分线，AB = 5，BD = 4，则AC = ，CD = ，AD = 。

c.如图，在△ABC 中，AB = AC ，DE 是AB 的垂直平分线，∠AED = 50°，则∠C 的度数为。

想一想原命题的条件是：____________________．结论是____________________．它的逆命题是____________________．它是____(添真或假)命题。

写出逆命题后时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．学生可能有如下的几种证法。

证法一：证法二：证法三：从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称做线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上1）符号语言 ∵ PA = PB∴ P 在线段AB的垂直平分线上2）定理解释CBPA A PBC 21AB C D E D AB C B A D PA B C只要有PA = PB，则P为AB中垂线上的任意一点，若同时有QA=QB，则由两点确定一条直线可得PQ即为AB的中垂线。