自动控制原理第一章第四节

Td (t)
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理想微分环节实际上难以实现，
因此常采用带有惯性的微分环节， G(s) KTd s
其传递函数：
Td s 1
t
单位阶跃响应为： c(t ) Ke Td
带有惯性的微分环节的阶跃响
应是按指数规律下降，若K值很 大而Td 值很小时，实际微分环
节就愈接近于理想微分环节。
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5. 二阶环节
G(s) C(s) es R( s )
时滞环节作的近似处理: 当延迟时间τ较小时，时滞环节可近似为惯性环节
当延迟时间τ较小时
G(s) =
1 e τs
=
1+ τS +
1
τ2
2!
S2 +
···
1 1+τs
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§2.4 控制系统的动态结构图（方框图、方块图） 在控制工程中，为了便于对系统进行分析和设
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无源RC网络 无源RC网络的方框图
27
电枢控制直流电动机 电枢控制直流电动机的方框图
28
例1 确定无源RC网络的方框图.
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选取变量如图所示，根据电路 定律，写出其微分方程组为
i1(t )
u1(t ) u0 (t ) R1
i2 i3
(t (t
) )
u0 (t ) u2 (t R2
传递函数为： G(s) U0(s) 1 1
Ui (s) RCs Ti s
（Ti = RC）
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4. 微分环节 微分环节的输出量正比于输入量的微分。
动态方程：
dr (t ) c(t) Td dt
其传递函数：
G(s)
C(s) R( s )
Td
s
（Td称微分时间常数）
单位阶跃响应：
dU (t ) c(t) Td dt
MD(s) cM Ia(s)
(s) MD - ML(s)
Js
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将输入Ua(s)放在左端，输出Ω(s)放在图形右端，
将同一变量的信号线连接起来，得系统方框图如图 所示。
直流电动机方框图模型
35
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在后面时域分析中将详细讨论。
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例：RLC实现的二阶系统
动态特性方程：
LC
d
2u0 (t dt 2
)
RC
du0 (t dt
)
u0
(t
)
ui
(t
)
传递函数：
G(s)
U0(t) Ui (t)
LCs2
1 RCs 1
s2
2 n
2ns n2
式中
n
1 LC
R C
2L
单位阶跃响应曲线 19
6. 延迟环节(时滞环节) 延迟环节的输出是输入
传递函数应用举例
例2－9 求机械位移系统的传递函数
弹性力 摩擦力
1
机械位移系统的微分方程： 求零初始状态下的拉氏变换： 机械位移系统的传递函数：
传递函数看出此系统为二阶线性系统
例 确定串联液位系统（双容液位系统）的传递函数
3
4
液阻关系：
R1
h1 h2 q2
；
R2
h2 q3
注意：h1,h2,q1,q2 ,q3 都是关于时间t的变量，因此可对以上四 个时域方程取拉氏变换，得到一组S域方程：
T dc(t ) c(t ) Kr(t ) dt
其传递函数为：
G(s) C(s) K R(s) Ts 1
式中 T—— 惯性环节的时间常数 K—— 惯性环节的增益或放大系数
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当输入为单位阶跃函数时，其单位阶跃响应为
c(t )
L1C(s)
L1
K Ts
1
1 s
K
(1
1
eT
)
惯性环节的单位阶跃响应曲线 ：
计，需要将各部件的功能及各部分之间的联系用图 形来表示，即动态结构图。动态结构图也称方框图 （或方块图、结构图），具有形象和直观的优点, 同 时也便于求复杂系统的传递函数。
动态结构图是一种基于S域的图形化模型。
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一. 动态结构图的定义及构成
系统方框图是系统中各部件功能及其作用的图形描述，它 直观地表明了系统中各个环节间的因果关系。方框图的基本符 号有四种: 信号线、比较点、方框单元 和 引出点。
信号的延迟。（延迟时间 为τ ），动态方程为：
c(t) r(t )
传递函数：
G(s) C(s) es R( s )
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在实际生产中，有很多场合是存在迟延的，比如 皮带或管道输送过程、管道反应和管道混合过程，多 个设备串联等。
迟延过大往往会使控制效果恶化，甚至使系统失 去稳定。
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时滞环节的传递函数是超越函数：
c(t) 1
t
r(t)dt
Ti 0
1
Ti
t
0 [U (t) U (t T0 )]dt
1
t
[t
Ti
T0 U (t T0 )dt]
t t T0 : c(t) Ti
t
T0
:c(t)
T0 Ti
响应随时间线性增长，当输入突然消失，积分停止，输
出维持不变，故积分环节具有记忆功能。
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例：用集成运放构成的反相积分器（积分环节）
i1(t ) i2 (t )
)
1
u0 (t ) C1
i3 (t )dt
1
u2 (t ) C2
i2
(t
)dt
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零初始条件下，对等式两边取拉氏变换，得
I1(s)
U1(s) U0(s) R1
I2(s) I3(s)
U0(s) U2(s)
R2 I1(s) I2(s)
1 U0(s) C1s I3(s)
C1sH1(s) Q1(s) Q2 (s) C2sH 2 (s) Q2 (s) Q3(s) R1Q2 (s) H1(s) H2 (s) R1sQ2 (s) sH1(s) sH 2 (s) R2Q3 (s) H2 (s) R2sQ3(s) sH 2 (s)
(1) (2)
(3)
(4)
U2(s)
1 C2s
I2(s)
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各环节方框图 RC网络方框图
例2 确定给定的电 枢控制直流电动机 的方框图模型
描述其运动的方程为:
ua
(t
)
La
dia (t) dt
Raia (t )
ea M ia
(t (t
) )
d
M
D
J
dt
ML
(不考虑摩擦)
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5
结论： 系统为二阶系统。分母具有唯一性，分子有差异。
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2.3-2 典型环节的传递函数及暂态特性
控制系统由许多元、部件组合而成，这些元、 部件的物理结构和作用原理是多种多样的，但抛开 具体结构和物理特点，从传递函数数学模型来看， 控制系统是由一些典型环节组成的。
典型环节有比例环节、惯性环节、积分环节、 微分环节、振荡环节、延迟环节。
零初始条件下，对上式中两边取拉氏变换：
Ua (s) (Ra La s)Ia (s) Ea (s)
Ea (s) ceΩ(s) MD(s) cM Ia(s)
M D (s) Js(s) M L(s)
Ia
(s)
Ua( Ra
s) Ea(s) (s) La s
Ea (s) ceΩ(s)
TL R
K1 R
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3. 积分环节
输出量正比于输入量积分的环节称为积分环节。
动态特性方程：c(t) 1
t
r (t )dt
Ti 0
其传递函数：G(s) C(s) 1 R(s) Ti s
积分环节的单位阶跃响应为： 1
C(t) t Ti
Ti为积分时间常数
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积分环节具有记忆功能 （举例说明）
典型二阶环节的动态方程为：
T
2
d 2c(t) dt 2
2T
dc(t ) dt
c(t )
Kr(t )
其传递函数 ：
C(s)
K
K /T2
G(s) R(s) T 2s2 2Ts 1 s2 2s / T 1 / T 2
G(s)
s2
K
2 n
2 n s
2 n
式中 n
1为无阻尼自然振荡角频率，ζ为阻尼比， T
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二. 系统动态结构图的建立
画系统方框图的一般步骤：
（1）分别对控制系统各元(部)件建立微分方程,得到和系统对 应微分方程组.
（2）零初始条件下对各微分方程进行拉氏变换，得到各环节 的子传递函数, 并画出各环节的方框图。
（3）按系统中各变量的传递顺序，依次将各环节的方框图连 接起来，置系统的输入变量于左端，输出变量于右端， 便得到系统完整的方框图。
特点：
按指数规律单调 上升；
有惯性（延迟）
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惯性环节实例很多，简单 RC 电 路 、 RL 电 路 是 典 型 的 惯 性环节。 图示的R-L网络，
输入为电压u，输出为电感电 流i，其传递函数为：
G(s) I(s) 1 1/ R K U(s) Ls R L / Rs 1 Ts 1
式中：
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1. 比例环节 输出量与输入量成正比的环节称为比例环节，也
称无惯性环节。该环节不会产生失真也无时间滞后。 时域表达式为： c(t) = Kr(t) 比例环节的传递函数为： G(s) C(s) K R(s)
式中K为常数，称为比例环节的放大系数或增益。
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2. 惯性环节 惯性环节的动态方程是一阶微分方程：