九年级数学下册高频考点小专题五几何动态问题中的相似

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九年级数学知识点归纳：相似图形

九年级数学知识点归纳：相似图形常见考法（1）判断某两个图形是不是相似；（2）判断一组数据是不是成比例线段；（3）已知图上距离和比例尺大小求实际距离；（4）利用比例的性质求值。

误区提醒（1）在判断四条线段是否成比例问题时忽略单位统一；（2）在用图上距离求实际距离时忽略了单位换算问题。

【典型例题】（XX江苏淮安）在比例尺为1：200的地图上，测得A，B两地间的图上距离为4，则A，B两地间的实际距离为．【解析】4×200=9000=9相似三角形一、平行线分线段成比例定理及其推论：定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

2推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例。

3推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条线段平行于三角形的第三边。

二、相似预备定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

三、相似三角形：定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

2性质：（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应线段成比例；（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

说明：①等高三角形的面积比等于底之比，等底三角形的面积比等于高之比；②要注意两个图形元素的对应。

3判定定理：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

四、三角形相似的证题思路：五、利用相似三角形证明线段成比例的一般步骤：一“定”：先确定四条线段在哪两个可能相似的三角形中；二“找”：再找出两个三角形相似所需的条；三“证”：根据分析，写出证明过程。

如果这两个三角形不相似，只能采用其他方法，如找中间比或引平行线等。

六、相似与全等：全等三角形是相似比为1的相似三角形，即全等三角形是相似三角形的特例，它们之间的区别与联系：共同点它们的对应角相等，不同点是边长的大小，全等三角形的对应边相等，而相似三角形的对应的边成比例。

九年级下册数学第27章相似图形知识点归纳

九年级下册数学第27章相似图形知识点归纳
九年级下册数学第27章相似图形知识点归纳
知识点1.概念
把形状相同的图形叫做相似图形。

(即对应角相等、对应边的比也相等的图形)
解读：(1)两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到.
(2)全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同.
(3)判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关.
知识点2.比例线段
对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即(或a:b=c:d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.
知识点3.相似多边形的性质
相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.
解读：(1)正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系.
(2)明确相似多边形的'“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性.
知识点4.相似三角形的概念
对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形.
解读：(1)相似三角形是相似多边形中的一种;
(2)应结合相似多边形的性质来理解相似三角形;
(3)相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同;
(4)相似用“∽”表示，读作“相似于”;
(5)相似三角形的对应边之比叫做相似比.。

九年级数学《相似形》知识点归纳

九年级数学《相似形》知识点归纳九年级数学《相似形》知识点归纳1平行出比例定理及逆定理：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例;(1)(3)(2)几何表达式举例：(1) ∵DE∥BC(2) ∵DE∥BC(3) ∵DE∥BC2.比例的基本性质：a:b=c:dad=bc3.定理：平行出相似平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.几何表达式举例：∵DE∥BCADE∽ABC4.定理：AA出相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.几何表达式举例：∵A又∵AED=ACBADE∽ABC5.定理：SAS出相似如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.几何表达式举例：∵又∵AADE∽ABC6.双垂出相似及射影定理：(1)直角三角形被斜边上的`高分成的两个直角三角形和原三角形相似;(2)双垂图形中，两条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项，斜边上的高是它分斜边所成两条线段的比例中项.几何表达式举例：(1) ∵ACCB又∵CDABACD∽CBD∽ABC(2) ∵ACCBCDABAC2=ADABBC2=BDBADC2=DADB7.相似三角形性质：(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例;(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线、周长的比都等于相似比;(3)相似三角形面积的比，等于相似比的平方.(1) ∵ABC∽EFGBAC=FEG(2) ∵ABC∽EFG又∵AD、EH是对应中线(3) ∵ABC∽EFG三常识：1.三角形中，作平行线构造相似形和已知中点构造中位线是常用辅助线.2.相似形有传递性;即：∵1∽22∽31∽3四、位似1、位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，且每组对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.2、掌握位似图形概念，需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形;②两个位似图形的位似中心只有一个;③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同一侧;④位似比就是相似比.利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似.3、位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质.位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比(相似比).4、利用位似，可以将一个图形放大或缩小.作图时要注意:①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择;②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点;③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小;④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形.。

九年级下册数学第27章知识点归纳：相似图形

九年级下册数学第27章知识点归纳：相似图形查字典数学网初中频道为您整理了九年级下册数学第27章知识点归纳：相似图形，期望关心您提供多方法。

和小编一起期待学期的学习吧，加油哦!知识点1.概念把形状相同的图形叫做相似图形。

(即对应角相等、对应边的比也相等的图形)解读：(1)两个图形相似，其中一个图形能够看做由另一个图形放大或缩小得到.(2)全等形能够看成是一种专门的相似，即不仅形状相同，大小也相同.(3)判定两个图形是否相似，确实是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关.知识点2.比例线段关于四条线段a,b,c,d ，假如其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即(或a:b=c:d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.知识点3.相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.解读：(1)正确明白得相似多边形的定义，明确“对应”关系.(2)明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性.知识点4.相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形.解读：(1)相似三角形是相似多边形中的一种;(2)应结合相似多边形的性质来明白得相似三角形;(3)相似三角形应满足形状一样，但大小能够不同;(4)相似用“∽”表示，读作“相似于”;我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一样在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。

什么缘故在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在19 78年就尖锐地提出:“中小学语文教学成效差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时刻,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数只是关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其要紧缘故确实是腹中无物。

九年级数学相似三角知识点

九年级数学相似三角知识点数学是一门重要且有趣的学科，其中相似三角形是数学中一个重要的概念。

相似三角形的研究帮助我们理解和解决各种实际问题。

在九年级数学中，相似三角形是一个重要的知识点。

本文将详细介绍九年级数学中与相似三角形相关联的几个知识点，以加深对这个概念的理解。

一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。

它们的对应角度相等，对应边的比例也相等。

相似三角形有很多有趣的性质。

例如，如果两个三角形相似，则它们的对应边长比相等。

根据这个性质，我们可以通过已知条件推导出未知条件。

此外，两个相似三角形的高度、中线、角平分线也是成比例的。

二、相似三角形的判定方法在确定两个三角形是否相似时，我们需要使用一些判定方法。

最常用的判定方法有AAA（角-角-角）相似判定法、SAS（边-角-边）相似判定法和SSS（边-边-边）相似判定法等。

这些方法非常重要，可以帮助我们准确地判定两个三角形是否相似，从而在解决问题时提供正确的切入点。

三、相似三角形的比例关系相似三角形具有重要的比例关系。

在相似三角形中，我们可以根据已知条件求解未知条件以及应用比例关系解决实际问题。

例如，我们可以利用两个相似三角形的对应边长比来计算未知长度。

在解决实际问题时，掌握比例关系是非常重要的一项技能。

四、相似三角形的应用相似三角形在实际问题中有广泛的应用。

例如，我们可以使用相似三角形的原理来计算高楼、高塔的高度。

此外，相似三角形还可以应用于已知影子长度和物体高度计算等问题。

掌握了相似三角形的知识，我们可以更好地理解和解决这些实际问题。

五、相似三角形的构造在九年级数学中，我们还需要学习相似三角形的构造。

构造相似三角形时，我们可以通过已知条件构造一个相似的三角形，从而解决问题。

构造相似三角形的方法有很多，如底角平分线、相似三角形的角平分线、相似三角形的中线等。

掌握这些构造方法可以为我们解题提供更多的思路和方法。

结语：相似三角形是九年级数学中一个重要的知识点，它有广泛的应用，并能够帮助我们解决各种实际问题。

九年级人教版相似图形知识点归纳

九年级人教版相似图形知识点归纳相似图形是初中数学中一个重要的概念，掌握相似图形的知识可以帮助我们解决许多几何问题。

在九年级数学课程中，我们学习了人教版教材中关于相似图形的知识点，下面对这些知识点进行归纳总结。

1. 相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但大小可以不同的三角形。

两个三角形相似的条件是它们对应的角相等，对应的边成比例。

即如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么三角形ABC与三角形DEF相似，且比例因子为AB/DE=AC/DF=BC/EF。

2. 相似三角形的角与边的性质a. 对应角相等：如果两个三角形相似，则它们对应的角相等。

b. 对应边成比例：如果两个三角形相似，则它们对应的边成比例。

3. 两种用来判断相似三角形的方法a. 三边成比例法：如果两个三角形的三条边长度分别成比例，即AB/DE=AC/DF=BC/EF，那么它们相似。

b. 两角对应相等法：如果两个三角形的两个角分别相等，且它们的第三个角也相等或者两个角分别相等，且它们的第三个角的对方边也成比例，那么它们相似。

4. 相似三角形的性质a. 相似三角形的对应边成比例，比例因子等于任意两边之比。

b. 相似三角形的高线成比例，比例因子等于任意两边之比。

5. 相似三角形与比例a. 两个相似三角形的面积之比等于相似三角形的边长之比的平方。

b. 相似三角形中，对应边的比例等于面积比。

即如果三角形ABC与三角形DEF相似，且比例因子为AB/DE=AC/DF=BC/EF，那么S(ABC)/S(DEF)=(AB/DE)^2=(AC/DF)^2=(BC/EF)^2。

6. 相似图形的面积比如果两个相似图形的边长比为a:b，那么它们的面积比为a^2:b^2。

这一性质适用于各种相似图形，如相似三角形、相似矩形等。

以上是九年级人教版相似图形知识点的归纳总结。

相似图形是几何学中一个非常重要的概念，通过掌握相似图形的性质和判断方法，我们可以在解决几何问题时更加轻松和高效。

九年级相似图形的知识点

九年级相似图形的知识点相似图形是中学数学中的一个重要概念，它在几何学中占有重要地位。

掌握相似图形的知识点对于九年级的学生来说是至关重要的。

本文将介绍九年级相似图形的相关知识点，帮助学生更好地理解和掌握这一内容。

一、相似图形的定义相似图形指的是形状相似但尺寸不同的两个或多个图形。

在相似图形中，对应的角度相等，对应的边比例相同。

例如，两个三角形的对应角度相等且对应边的比例相同，那么它们就是相似的。

二、相似图形的判定条件判断两个图形是否相似，需要满足以下条件：1. 对应角度相等：两个图形的对应角度相等。

2. 对应边比例相同：两个图形的对应边的比例相同。

三、相似图形的性质相似图形具有以下重要性质：1. 相似图形的对应边比例相同。

2. 相似三角形的对应角度相等，且对应边比例相同。

3. 两个直角三角形若有一个角相等，则它们是相似的。

4. 相似图形的面积比等于边长比的平方。

四、相似图形的应用相似图形的概念在实际应用中有广泛的应用，例如：1. 使用相似三角形来计算高楼建筑物的高度。

2. 利用相似图形来测量远处物体的高度。

3. 在地图测量中利用相似图形来估计距离。

五、相似图形的解题方法在解题过程中，可以利用以下方法：1. 判断两个图形是否相似：根据对应角度相等和对应边比例相同的条件来判断。

2. 求取缺失边长：利用相似图形的对应边比例相同的性质，可以通过比例关系求取缺失的边长。

3. 计算面积比例：根据相似图形的面积比等于边长比的平方性质，可以计算两个相似图形的面积比。

六、相似图形的注意事项在处理相似图形时，需要注意以下几点：1. 在判断相似图形时，必须满足对应角度相等和对应边比例相同的条件。

2. 在计算面积比例时，需要注意保持一致的单位。

3. 求取缺失边长时，要注意比例关系的应用，避免计算错误。

4. 在实际应用中，要注意选择合适的比例尺。

通过对九年级相似图形的相关知识点的学习，我们可以更好地理解和应用相似图形的概念。

九年级下册数学《相似》常见的相似情况知识和点整理

BACDE 常见的相似情况有疑问的题目请发在“51加速度学习网”上，让我们来为你解答51加速度学习网整理一、本节学习指导初中我们学习的几何中三角形占据了很多的比率，其中三角形相似、全等是三角形中的重点，还好这两块知识基本都是单独命题，所以还算好把握做题思路，对于三角形全等我们要熟悉几种证明方法，三角形相似里最常用的就是三个角相等的三角形是相似三角形。

本节有配套学习视频。

二、知识要点1、定理：“平行”出相似平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.几何表达式举例： ∵DE ∥BC ∴ΔADE ∽ΔABC2、定理：“AA ”出相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 几何表达式举例： ∵∠A=∠A 又∵∠AED=∠ACB ∴ΔADE ∽ΔABC3、定理：“SAS ”出相似如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似. 几何表达式举例：ABCDE AC D EB∵ AC AB AE AD =又∵∠A=∠A ∴ΔADE ∽ΔABC4、“双垂” 出相似及射影定理：（1）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似；（2）双垂图形中，两条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项，斜边上的高是它分斜边所成两条线段的比例中项. 几何表达式举例： (1) ∵AC ⊥CB 又∵CD ⊥AB∴ΔACD ∽ΔCBD ∽ΔABC (2) ∵AC ⊥CB CD ⊥AB∴222AC AD ABBC BD BA DC DA DB=∙=∙=∙5、相似三角形性质：（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例；（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线、周长的比都等于相似比；（3）相似三角形面积的比，等于相似比的平方. (1) ∵ΔABC ∽ΔEFG ∴EGACFG BC EF AB == ∠BAC=∠FEG(2) ∵ΔABC ∽ΔEFG又∵AD 、EH 是对应中线 ∴EFABEH AD =(3) ∵ΔABC ∽ΔEFG∴ 2⎪⎭⎫⎝⎛=∆∆EF AB S S EFG ABC ACD EBACDBEABF C DGH三、经验之谈：在实际问题中很多情况我们得用图形的相似来处理，其中比例的性质很重要，我们要掌握。

初三下册数学第27章知识点归纳：相似图形

初三下册数学第27章知识点归纳：相似图形
初三下册数学第27章知识点归纳：相似图形知识点对朋友们的学习非常重要，大家一定要认真掌握，查字典数学网为大家整理了初三下册数学第27章知识点归纳：相似图形，让我们一起学习，一起进步吧!
知识点1.概念
把形状相同的图形叫做相似图形。

(即对应角相等、对应边的比也相等的图形)
解读：(1)两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到.
(2)全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同.
(3)判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关.
知识点2.比例线段
对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即(或a:b=c:d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.
知识点3.相似多边形的性质
相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.
解读：(1)正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系.
(2)明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似
(2)对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比;
(3)相似三角形周长之比等于相似比;面积之比等于相似比
的平方.
(4)射影定理
只要这样踏踏实实完成每天的计划和小目标，就可以自如地应对新学习，达到长远目标。

由查字典数学网为您提供的初三下册数学第27章知识点归纳：相似图形，祝您学习愉快!。

九年级相似的知识点归纳

九年级相似的知识点归纳九年级是初中的最后一年，也是学生们接受普通教育的最后阶段。

在这个阶段，学生们需要掌握并应用各种各样的知识点。

其中有一些知识点在不同的学科中有相似之处，通过将这些相似的知识点进行归纳，对学生们的学习和理解都大有裨益。

本文将就九年级不同学科中相似的知识点进行归纳，帮助学生们更好地理解和应用这些知识。

一、数学与物理1. 比例和比例问题在数学中，学生们学习了比例及其运算规律，例如相似性质、比例的倒数性质等。

而在物理中，比例常常出现在力、速度、加速度等物理量之间的关系中，比如牛顿第二定律和速度与加速度的关系。

熟练掌握数学中的比例知识，可以帮助学生们更好地理解和应用物理中的比例问题。

2. 勾股定理与力的合成勾股定理在数学中常常被用来解决直角三角形的边长和角度问题。

而在物理中，力的合成问题也可以通过勾股定理来解决。

例如，在平面力的合成问题中，可以利用勾股定理求解合力的大小和方向。

掌握了勾股定理的数学知识，对于物理力的合成问题有着很大的帮助。

3. 抛物线与抛体运动在数学中，学生们学习了关于抛物线的性质和方程。

而在物理中，抛体运动也涉及到了抛物线的轨迹。

熟练掌握数学中抛物线的知识，有助于学生们理解和分析物理中的抛体运动。

二、语文与历史1. 阅读理解与历史文献解读在语文中，学生们需要进行各种阅读理解训练，包括理解文章的主旨、找出关键信息等。

而在历史学科中，学生们也需要进行历史文献的解读，理解其中的历史事实和背后的含义。

通过语文中的阅读理解训练，可以提高学生们分析和理解历史文献的能力。

2. 文言文阅读与古代历史在语文中，九年级学生们开始学习《红楼梦》等古代文言文作品。

与此同时，在历史学科中，学生们也学习了中国古代历史的各个时期。

通过对古代文言文的阅读，可以更好地理解和感受古代历史的风貌，加深对历史的理解与记忆。

三、英语与生物1. 语法与细胞结构在英语学科中，学生们需要学习和掌握各种语法规则。

而在生物学科中，学生们需要学习和理解细胞的结构与功能。

(2021年整理)【初三下册数学知识点归纳之相似图形】图形的相似知识点总结

(完整版)【初三下册数学知识点归纳之相似图形】图形的相似知识点总结编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整版)【初三下册数学知识点归纳之相似图形】图形的相似知识点总结）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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【初三下册数学知识点归纳之相似图形】图形的相似知识点总结知识点1.概念把形状相同的图形叫做相似图形.(即对应角相等、对应边的比也相等的图形)解读：(1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到。

(2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同,大小也相同.(3)判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关.知识点2.比例线段对于四条线段a,b，c,d ,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即(或a:b=c:d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.知识点3.相似多边形的性质相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.解读：（1)正确理解相似多边形的定义,明确“对应”关系。

新人教版九年级数学相似知识点

新人教版九年级数学相似知识点【篇一：新人教版九年级数学相似知识点】【人教版】初【编者按】相似以及相似三角解线段和角的问题是常见题物的能力和利用所学知识解一、目标与要求 1 ．掌握相似多边形的定义、2．能根据相似比进行计算．3．通过与相似多边形有关概4．能根据定义判断两个多边5．能根据相似比求长度和角6．通过与相似多边形有关概二、知识框架三、重点、难点1．理解并相似三角形的判定2．位似图形的有关概念、性3．利用位似将一个图形放大4．用图形的坐标的变化来表5．把一个图形按一定大小比四、知识点、概念总结 1. 相似：初中数学九年级知识点总结： 27角形是初中数学的基础内容，也是重要内容，运题型。

通过本章内容对相似三角形的学习，培养学解决实际问题的能力。

表示法，并能根据定义判断两个多边形是否相概念的类比，得出相似三角形的定义, 领会特殊与边形是否相似，训练学生的判断能力．角度，培养学生的运用能力．概念的类比，渗透类比的教学思想，并领会特殊定与性质性质与作图．大或缩小．表示图形的位似变换．比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律． 7相似运用相似三角形求学生认识和观察事相似．与一般的关系．殊与一般的关系．每组图形中的两个图形形状相同，大小不同，具有相同形状的图形叫相似图形。

相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。

相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例全等形． 2. 相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

互为相似形的三角形叫做相似三角形相似形的识别：对应边成比例，对应角相等。

成比例线段（简称比例线段）：对于四条线段 a、 b、 c、 d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcba=（或 a： b=c： d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

2019初三下册数学知识点归纳总结之相似形知识点

2019初三下册数学知识点归纳总结之相似形知识点1.相似形基础概念(1)形状相同的两个图形叫做相似形。

(2)相似的图形，他们的大小不一定相同。

大小相同的两个相似形是全等形。

(3)如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形对应角相等，对应边的长度成比例。

(4)图形的大小或放缩，称为图形的放缩运动。

通过放缩运动，两个相似的图形可以互相重合(即称为全等形)。

2.比例线段(1)两条线段长度的比叫做两条线段的比。

(2)在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

3.三角形一边的平行线(1)定理1 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例。

推论1 平行于三角形的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

(2)三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。

三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍。

(3)定理2 如果一条直线截三角形两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

推论2 如果一条直线截三角形两边的延长线(这两边的延长线在第三边的同侧)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

(4)两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例。

两条直线被被三条平行线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。

4.相似三角形(1)概念：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.(2)相似用符号“∽”表示，读作“相似于” .(3)相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数).(4)相似三角形对应角相等，对应边成比例.(5)相似形注意问题：①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边.②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的.③两个三角形形状一样，但大小不一定一样.④全等三角形是相似比为1的相似三角形.二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例.定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.5.相似三角形的判定(1)相似三角形：如果两个三角形的三个角对应相等，三条边对应成比例。

最新九年级下册数学知识点整理：相似三角形

最新九年级下册数学知识点整理：相似三角形
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一、平行线分线段成比例定理及其推论：
1.定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。

3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条线段平行于三角形的第三边。

二、相似预备定理：
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

三、相似三角形：
1.定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

2.性质：(1)相似三角形的对应角相等;
(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例;
(3)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

九年级相似三角形知识点总结

九年级相似三角形知识点总结在九年级的数学课堂上，我们学习了很多与几何形状有关的知识，其中一个重要的内容就是相似三角形。

相似三角形是指两个具有相同形状但可能不同大小的三角形。

在本文中，我们将对九年级相似三角形的知识点进行总结，希望能够帮助同学们更好地理解和应用这些知识。

1. 相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。

两个三角形相似的条件是它们的对应角度相等，并且对应边的比例相等。

如果两个三角形满足这两个条件，我们可以说它们是相似的。

2. 相似三角形的判定在判断两个三角形是否相似时，我们可以使用以下几种方法：（1）AA相似判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们是相似的。

（2）SAS相似判定法：如果两个三角形的一个角相等，并且有一个对应边的比例相等，则它们是相似的。

（3）SSS相似判定法：如果两个三角形的三条边的比例都相等，则它们是相似的。

通过掌握这些判定方法，我们可以准确地判断两个三角形是否相似。

3. 相似三角形的性质相似三角形具有一些特殊的性质，这些性质对于解决与相似三角形相关的问题非常有帮助。

（1）相似三角形的对应边比例相等性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应边之间的比例相等。

具体来说，如果两个三角形的对应边分别为a、b、c和d、e、f，那么有a/b=c/d=e/f。

（2）相似三角形的角度比例相等性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应角度之间的比例相等。

具体来说，如果两个三角形的对应角度分别为A、B、C和A'、B'、C'，那么有A/A'=B/B'=C/C'。

（3）相似三角形的高线比例相等性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应高线之间的比例相等。

具体来说，如果两个三角形的对应边分别为a、b、c和d、e、f，那么有h(a)/h(d)=h(b)/h(e)=h(c)/h(f)，其中h(x)表示与边x相对应的高线的长度。

动态几何中的相似问题

动态几何中的相似问题40题一．解答题（共40小题）1．（2014•东莞模拟）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，DC＝5，BC＝10，梯形的高为4．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）．（1）当MN∥AB时，求t的值；（2）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．2．（2017秋•仁寿县期中）如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A 点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．（1）当x为何值时，PQ∥BC；（2）当＝时，求的值；（3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出时间x的值；若不能，说明理由．3．（2020秋•乐亭县期中）如图，已知直线l的函数表达式为y＝﹣x+8，且l与x轴，y 轴分别交于A，B两点，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时动点P从A点开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，设点P、Q移动的时间为t秒．（1）A点坐标为，B点坐标为．（2）当t为时，△APQ是直角三角形．当t为时，△APQ是以AP为底的等腰三角形．（3）当t为何值时，△APQ的面积是△ABO面积的？4．（2015•历城区一模）已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，点P在BC上，且∠MPN＝90°．（1）当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1）．过点P 作PE⊥AB于点E，请探索PN与PM之间的数量关系，并说明理由；（2）当PC＝P A，①点M、N分别在线段AB、BC上，如图2时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并给予证明．②当点M、K分别在线段AB、BC的延长线上，如图3时，请判断①中线段PN、PM之间的数量关系是否还存在．（直接写出答案，不用证明）5．（2008•恩施州）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠AGF＝90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE＝m，CD＝n．（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明；（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；（3）以△ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2）．在边BC上找一点D，使BD＝CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD2+CE2＝DE2；（4）在旋转过程中，（3）中的等量关系BD2+CE2＝DE2是否始终成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．6．（2020•徐州模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．7．（2005•河南）如图，Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上．令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动（如图2），直到C点与N点重合为止．设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为ycm2．求y与x之间的函数关系式．8．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝45°，AB＝10cm，CD＝4cm．等腰直角三角形PMN的斜边MN＝10cm，A点与N点重合，MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直角三角形PMN沿AB所在直线以1cm/s的速度向右移动，直到点N与点B重合为止．（1）等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由形变化为形；（2）设当等腰直角三角形PMN移动x（s）时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD 重叠部分的面积为y（cm2），求y与x之间的函数关系式；（3）当①x＝4（s），②x＝8（s）时，求等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积．9．（2014秋•滕州市校级期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，CD＝4cm，BC＝BD＝10cm，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t （s）（0＜t＜5）．解答下列问题：（1）过P作PM∥AD，交AB于M．当t为何值时，四边形AMPE是▱？（2）设y＝EQ•PQ（cm2），求y与t之间的函数关系式，并求t为何值时，y有最大值，最大值是多少；（3）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由．10．（2016•江西模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回，点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q 的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB﹣BC﹣CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t＝2时，AP＝，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值；若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值．11．（2020•新都区模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF，GH．（1）填空：∠AHC∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；（3）设AE＝m，①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．12．（2020•长安区一模）问题探究（1）如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，则线段BE、EF、FD之间的数量关系为；（2）如图②，在△ADC中，AD＝2，CD＝4，∠ADC是一个不固定的角，以AC为边向△ADC的另一侧作等边△ABC，连接BD，则BD的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由；问题解决（3）如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由．13．（2020•长沙模拟）定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．（1）①如图1，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，若AB＝2，BC＝3，则BD＝；②如图2，直角坐标系中，A（0，3），B（5，0），若整点P使得四边形AOBP是准矩形，则点P的坐标是；（整点指横坐标、纵坐标都为整数的点）（2）如图3，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF是准矩形；（3）已知，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，当△ADC为等腰三角形时，请直接写出这个准矩形的面积是．14．（2020•成都）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．（1）如图1，若BC＝2BA，求∠CBE的度数；（2）如图2，当AB＝5，且AF•FD＝10时，求BC的长；（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD 时，求的值．15．（2020•嘉兴）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF 拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动．活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C 重合时停止平移．【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长．活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，OE（如图4）．【探究】当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由．16．（2020•宿州模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将对角线AC绕对角线交点O旋转，分别交边AD、BC于点E、F，点P是边DC上的一个动点，且保持DP＝AE，连接PE、PF，设AE＝x（0＜x＜3）．（1）填空：PC＝，FC＝；（用含x的代数式表示）（2）求△PEF面积的最小值；（3）在运动过程中，PE⊥PF是否成立？若成立，求出x的值；若不成立，请说明理由．17．（2020春•市中区期末）如图1，E为正方形ABCD的边BC上一点，F为边BA延长线上一点，且CE＝AF．（1）求证：DE⊥DF；（2）如图2，若点G为边AB上一点，且∠BGE＝2∠BFE，△BGE的周长为16，求四边形DEBF的面积；（3）如图3，在（2）的条件下，DG与EF交于点H，连接CH且CH＝5，求AG的长．18．（2020•河南模拟）（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝DF+BE．小明发现，当把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合时能够证明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD中，如果点E，F分别是CB，DC延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程．②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则EF，BE，DF之间的数量关系是（不要求证明）（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE＝3，求AF的长．19．（2020•阜新）如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD＞2CE），BG的延长线与直线DE交于点H．（1）如图1，当点G在CD上时，求证：BG＝DE，BG⊥DE；（2）将正方形CEFG绕点C旋转一周．①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：BH﹣DH＝CH；②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长．20．（2020•兴文县模拟）如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示．①线段DG与BE之间的数量关系是；②直线DG与直线BE之间的位置关系是；（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG ＝2AE时，上述结论是否成立，并说明理由．（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）．21．（2020•郴州）如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．点E是AD 的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．（1）如图2，在旋转过程中，①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；②当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．①求证：AG⊥CP；②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．22．（2020•嘉兴模拟）已知：正方形ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；（2）在（1）的条件下，若DE＝1，AE＝，CE＝3，求∠AED的度数；（3）若BC＝4，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点O，当三角板的一边DF与边DM重合时（如图2），若OF＝，求CN的长．23．（2020•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点F是射线AD上的动点，连接CF，以CF为对角线作正方形CGFE（C，G，F，E按逆时针排列），连接BE，DG．（1）当点F在线段AD上时．①求证：BE＝DG；②求证：CD﹣FD＝BE；（2）设正方形ABCD的面积为S1，正方形CGFE的面积为S2，以C，G，D，F为顶点的四边形的面积为S3，当时，请直接写出的值．24．（2019秋•丰城市期末）如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P．【观察猜想】①AE与BD的数量关系是；②∠APD的度数为．【数学思考】如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；【拓展应用】如图3，点E为四边形ABCD内一点，且满足∠AED＝∠BEC＝90°，AE＝DE，BE＝CE，对角线AC、BD交于点P，AC＝10，则四边形ABCD的面积为．25．（2020春•历下区期末）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），不用说明理由．26．（2020•新泰市二模）在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明：CE＝CF；（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），求出∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．27．（2020•武汉模拟）已知△ACB和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，以CE、BC为边作平行四边形CEFB，连CD、CF．（1）如图1，当E、D分别在AC和AB上时，求证：CD＝CF；（2）如图2，△ADE绕点A旋转一定角度，判断（1）中CD与CF的数量关系是否依然成立，并加以证明；（3）如图3，AE＝，AB＝，将△ADE绕A点旋转一周，当四边形CEFB为菱形时，直接写出CF的长．28．（2020•浚县模拟）问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．【类比引申】如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足关系时，仍有EF＝BE+FD．【探究应用】如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF＝40（﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：＝1.41，＝1.73）29．（2020•开封二模）（1）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为（2）【拓展研究】在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF 的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）【问题发现】当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线的时候，直接写出线段AF的长．30．（2020•西城区校级模拟）如图1，在正方形ABCD中，点F在边BC上，过点F作EF ⊥BC，且FE＝FC（CE＜CB），连接CE、AE，点G是AE的中点，连接FG．（1）用等式表示线段BF与FG的数量关系是；（2）将图1中的△CEF绕点C按逆时针旋转，使△CEF的顶点F恰好在正方形ABCD 的对角线AC上，点G仍是AE的中点，连接FG、DF．①在图2中，依据题意补全图形；②求证：DF＝FG．31．（2020•内江）如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连结BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连结QP交BC于点E，QP延长线与边AD交于点F．（1）连结CQ，求证：AP＝CQ；（2）若AP＝AC，求CE：BC的值；（3）求证：PF＝EQ．32．（2020•锦江区模拟）如图1，在矩形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP交对角线BD于点E，BP＝BE．作线段AP的中垂线MN分别交线段DC，DB，AP，AB于点M，G，F，N．（1）求证：∠BAP＝∠BGN；（2）若AB＝6，BC＝8，求；（3）如图2，在（2）的条件下，连接CF，求tan∠CFM的值．33．（2020•安庆模拟）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．（1）如图①，当＝时，求的值；（2）如图②当DE平分∠CDB时，求证：AF＝OA；（3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG＝BG．34．（2020•衢州）【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF＝2OG．【迁移应用】（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当＝时，求的值．【拓展延伸】（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．35．（2020•南通）【了解概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．【理解运用】（1）如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC．若AC＝AB，求sin∠CAD的值；（2）如图②，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论；【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC．设＝u，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式．36．（2019秋•路北区期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12，四边形EFPQ是矩形，点P与点C重合，点Q、E、F分别在BC、AB、AC上（点E与点A、点B均不重合）．（1）当AE＝8时，求EF的长；（2）设AE＝x，矩形EFPQ的面积为y．①求y与x的函数关系式；②当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？（3）当矩形EFPQ的面积最大时，将矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线CB匀速向右运动（当点P到达点B时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．37．（2020•武侯区校级模拟）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．（1）求线段CE的长；（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM，设DN＝x．①求证四边形AFGD为菱形；②是否存在这样的点N，使△DMN是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．38．（2020•太和县模拟）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AC＝BC＝10，cos∠ACB＝，点E在对角线AC上（不与点A、C重合），∠EDC＝∠ACB，DE的延长线与射线CB交于点F，设AD的长为x．（1）如图1，当DF⊥BC时，求AD的长；（2）设EC＝y，求y关于x的函数解析式，并直接写出定义域；（3）当△DFC是等腰三角形时，求AD的长．39．（2019秋•咸丰县期末）如图，在直角坐标系中，长方形ABCD（每个内角都是90°）的顶点的坐标分别是A（0，m），B（n，0），（m＞n＞0），点E在AD上，AE＝AB，点F 在y轴上，OF＝OB，BF的延长线与DA的延长线交于点M，EF与AB交于点N．（1）试求点E的坐标（用含m，n的式子表示）；（2）求证：AM＝AN；（3）若AB＝CD＝12cm，BC＝20cm，动点P从B出发，以2cm/s的速度沿BC向C运动的同时，动点Q从C出发，以vcm/s的速度沿CD向D运动，是否存在这样的v值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v值；若不存在，请说明理由．40．（2020•涪城区模拟）如图将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°）得到正方形AB′C′D′．（1）如图1，B′C′与AC交于点M，C′D′与AD所在直线交于点N，若MN∥B′D′，求α；（2）如图2，C′B′与CD交于点Q，延长C′B′与BC交于点P，当α＝30°时．①求∠DAQ的度数；②若AB＝6，求PQ的长度．动态几何中的相似问题参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．（2014•东莞模拟）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，DC＝5，BC＝10，梯形的高为4．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）．（1）当MN∥AB时，求t的值；（2）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．【分析】（1）平移梯形的一腰，根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解；（1）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程＝速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解．【解答】解：（1）如图1，过D作DG∥AB交BC于G点．则四边形ADGB是平行四边形．∵MN∥AB，∴MN∥DG，∴BG＝AD＝3．∴GC＝10﹣3＝7．由题意知，当M、N运动到t秒时，CN＝t，CM＝10﹣2t．∵DG∥MN，∴△MNC∽△GDC．∴＝，即＝．解得，t＝；（2）分三种情况讨论：①当NC＝MC时，如图2，即t＝10﹣2t，解得：t＝；②当MN＝NC时，如图3，过N作NE⊥MC于E．由等腰三角形三线合一性质得EC＝MC＝（10﹣2t）＝5﹣t．在Rt△CEN中，cos C＝＝，又在Rt△DHC中，cos C＝＝，∴＝．解得：t＝；③当MC＝MN时，如图4，过M作MF⊥CN于F点，FC＝NC＝t．∵∠C＝∠C，∠MFC＝∠DHC＝90°，∴△MFC∽△DHC，∴＝，即＝，解得：t＝．综上所述，当t＝、t＝或t＝时，△MNC为等腰三角形．【点评】此题主要考查了四边形综合应用以及相似三角形的判定与性质和锐角三角函数等知识，注意梯形中常见的辅助线：平移一腰、作两条高．构造等腰三角形的时候的题目，注意分情况讨论．此题的知识综合性较强，能够从中发现平行四边形、等腰三角形等，根据它们的性质求解．2．（2017秋•仁寿县期中）如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A 点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．（1）当x为何值时，PQ∥BC；（2）当＝时，求的值；（3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出时间x的值；若不能，说明理由．【分析】（1）当PQ∥BC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值．（2）我们先看当＝时能得出什么条件，由于这两个三角形在AC边上的高相等，那么他们的底边的比就应该是面积比，由此可得出CQ：AC＝1：3，那么CQ＝10cm，此时时间x正好是（1）的结果，那么此时PQ∥BC，由此可根据平行这个特殊条件，得出三角形APQ和ABC的面积比，然后再根据三角形PBQ的面积＝三角形ABC的面积﹣三角形APQ的面积﹣三角形BQC的面积来得出三角形BPQ和三角形ABC的面积比．（3）本题要分两种情况进行讨论．已知了∠A和∠C对应相等，那么就要分成AP和CQ 对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况来求x的值．【解答】解：（1）由题意得，PQ平行于BC，则AP：AB＝AQ：AC，AP＝4x，AQ＝30﹣3x＝解得x＝；（2）∵S△BCQ：S△ABC＝1：3∴CQ：AC＝1：3，CQ＝10cm∴时间用了秒，AP＝cm，∵由（1）知，此时PQ平行于BC∴△APQ∽△ABC，相似比为，∴S△APQ：S△ABC＝4：9∴四边形PQCB与三角形ABC面积比为5：9，即S四边形PQCB＝S△ABC，又∵S△BCQ：S△ABC＝1：3，即S△BCQ＝S△ABC，∴S△BPQ＝S四边形PQCB﹣S△BCQ═S△ABC﹣S△ABC＝S△ABC，∴S△BPQ：S△ABC＝2：9＝（3）假设两三角形可以相似．情况1：当△APQ∽△CQB时，CQ：AP＝BC：AQ，即有＝，解得x＝，经检验，x＝是原分式方程的解．情况2：当△APQ∽△CBQ时，CQ：AQ＝BC：AP，即有＝，解得x＝5，经检验，x＝5是原分式方程的解．综上所述，时间x的值是或5．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据三角形相似得出线段比或面积比是解题的关键．3．（2020秋•乐亭县期中）如图，已知直线l的函数表达式为y＝﹣x+8，且l与x轴，y 轴分别交于A，B两点，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时动点P从A点开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，设点P、Q移动的时间为t秒．（1）A点坐标为（6，0），B点坐标为（0，8）．（2）当t为或时，△APQ是直角三角形．当t为时，△APQ是以AP 为底的等腰三角形．（3）当t为何值时，△APQ的面积是△ABO面积的？【分析】（1）对于y＝﹣x+8，令y＝﹣x+8＝0，解得x＝6，令x＝0，则y＝8，即可求解；（2）利用△BQN∽△QMA∽△BOA，求出Q，P的坐标分别是（t，），（6﹣t，0）；①当P AQ为直角三角形时，分∠QP A为直角、∠PQA为直角了两种情况分别求解即可；②当△APQ是以AP为底的等腰三角形，则点Q在AP的中垂线上，进而求解；（3）△APQ的面积＝，△AOB的面积＝，则，即可求解．【解答】解：（1）对于y＝﹣x+8，令y＝﹣x+8＝0，解得x＝6，令x＝0，则y＝8，故点A、B的坐标分别为：（6，0）、（0，8），故答案为：（6，0）、（0，8）；（2）过Q点分别向x轴，y轴引垂线，垂足分别是M，N，∴NQ∥OA，QM∥OB，∴△BNQ∽△QMA∽△BOA，设Q（x，y）∴BQ＝2t，AP＝t而△BQN∽△QMA∽△BOA，∴，，∴，，即x＝，y＝（10﹣2t），Q，P的坐标分别是（t，），（6﹣t，0）；①当P AQ为直角三角形时，当∠QP A为直角时，则x P＝x Q，即t＝6﹣t，解得t＝；当∠PQA为直角时，在Rt△APQ中，cos∠QAP＝＝＝，解得t＝，故答案为或；②当△APQ是以AP为底的等腰三角形，则点Q在AP的中垂线上，即x Q＝（x P+x A），则＝（6﹣t+6），解得t＝，故答案为；（3）∵△APQ的面积＝，△AOB的面积＝，∴，解得t1＝2，t2＝3，当t1＝2秒或t2＝3秒时，△APQ的面积是△ABO面积的．【点评】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用平行线的性质、直线的解析式以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．4．（2015•历城区一模）已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，点P在BC上，且∠MPN＝90°．（1）当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1）．过点P 作PE⊥AB于点E，请探索PN与PM之间的数量关系，并说明理由；（2）当PC＝P A，①点M、N分别在线段AB、BC上，如图2时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并给予证明．②当点M、K分别在线段AB、BC的延长线上，如图3时，请判断①中线段PN、PM之间的数量关系是否还存在．（直接写出答案，不用证明）【分析】（1）过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F，则四边形BFPE是矩形，所以△PFN∽△PEM得出＝＝，然后根据余切函数即可求得．（2）同（1）证得△PFN∽△PEM得出＝，然后在Rt△AEP和Rt△PFC中通过三角函数求得PF＝PC，PE＝P A，即可求得．【解答】解：（1）PN＝PM，理由：如图1，作PF⊥BC，∵∠ABC＝90°，PE⊥AB，∴PE∥BC，PF∥AB，∴四边形PFBE是矩形，∴∠EPF＝90°∴P是AC的中点，∴PE＝BC，PF＝AB，∵∠MPN＝90°，∠EPF＝90°，∴∠MPE＝∠NPF，∴△MPE∽△NPF，∴＝＝，∵∠A＝30°，在RT△ABC中，cot30°＝＝，∴＝，即PN＝PM．（2）解；①PN＝PM，如图2 在Rt△ABC中，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F ∴四边形BFPE是矩形，∴△PFN∽△PEM∴＝，又∵Rt△AEP和Rt△PFC中，∠A＝30°，∠C＝60°∴PF＝PC，PE＝P A∴＝＝∵PC＝P A∴＝，即：PN＝PM②如图3，成立．【点评】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及三角函数的应用．5．（2008•恩施州）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠AGF＝90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE＝m，CD＝n．（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明；（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；（3）以△ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2）．在边BC上找一点D，使BD＝CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD2+CE2＝DE2；（4）在旋转过程中，（3）中的等量关系BD2+CE2＝DE2是否始终成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）根据已知及相似三角形的判定方法进行分析即可；（2）可根据（1）中的相似三角形BAE和CDA得出关于AB，BE，CD，AC的比例关系，AB，AC可通过等腰直角三角形求出，因此根据比例关系即可得出m，n的函数关系式．（3）根据（2）的函数关系式，即可求出BE，CD的长，从而也就能求出OD，OE，DE，BD，CE的长，那么可通过计算得出本题的结论．（4）根据旋转角，我们知道HB⊥BD，那么DH2＝BH2+BD2，而BH＝CE，于是关键是证明HD＝DE，连接AH，DH那么可通过证三角形AHD和ADE全等来求解．【解答】解：（1）可得△ABE∽△DAE，△ABE∽△DCA．∵∠BAE＝∠BAD+45°，∠CDA＝∠BAD+45°，∴∠BAE＝∠CDA．又∵∠ABC＝∠ACB＝45°，∴△ABE∽△DCA．（2）∵△ABE∽△DCA，∴．由依题意可知CA＝BA＝．∴．∴m＝．自变量n的取值范围为1＜n＜2．（3）由BD＝CE可得BE＝CD，即m＝n，∵m＝，∴m＝n＝．∵OB＝OC＝BC＝1，∴OE＝OD＝﹣1．∴D（1﹣，0）．∴BD＝OB﹣OD＝1﹣（﹣1）＝2﹣＝CE．DE＝BC﹣2BD＝2﹣2（2﹣）＝2﹣2．∵BD2+CE2＝2BD2＝2（2﹣）2＝12﹣8，DE2＝（2﹣2）2＝12﹣8，∴BD2+CE2＝DE2．（4）等量关系BD2+CE2＝DE2成立．理由如下：证明：如图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的位置，则CE＝HB，AE＝AH，∠ABH＝∠C＝45°，旋转角∠EAH＝90°．连接HD，在△EAD和△HAD中．∵，∴△EAD≌△HAD．∴DE＝DH．∵∠HBD＝∠ABH+∠ABD＝90°，∴BD2+HB2＝DH2．∴BD2+CE2＝DE2．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形和全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用．根据相似三角形或全等三角形得出线段成比例或相等是解题的关键．6．（2020•徐州模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．【分析】（1）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，BP：BA＝BQ：BC；当△BPQ∽△BCA时，BP：BC＝BQ：BA，再根据BP＝5t，QC＝4t，AB＝10cm，BC＝8cm，代入计算即可；（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入计算即可．【解答】解：根据勾股定理得：BA＝；（1）分两种情况讨论：①当△BPQ∽△BAC时，，∵BP＝5t，QC＝4t，AB＝10，BC＝8，∴，解得，t＝1，②当△BPQ∽△BCA时，，∴，解得，t＝；∴t＝1或时，△BPQ∽△BCA；（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示：则PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t，∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，∴∠NAC＝∠PCM，∵∠ACQ＝∠PMC，∴△ACQ∽△CMP，∴，∴，解得t＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质；由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．。