关于全等三角形中的基本模型练习
三角形全等基本模型
常见三角形全等模型
公共线段模型
例1如图，点A，E，F，B在直线l上，AE=BF，AC∥BD且AC=BD，求证：CF=DE.
练习1已知：如图，点B、D在线段AE上，AF=DC，AB∥ED，∠B=∠E.求证：BC=DF.
公共角（对顶角）模型
例2如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED
的延长线于点F.求证：△BDE≌△CDF.
练习2如图，AB=AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD=∠ACE.求证：BD=CE.
角平分线模型
例3如图，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°.求证：BD=CD.
练习3如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，∠EAF=∠BAE.
求证：AF=BC+FC.
三垂直模型
例4如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB上的一点，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F.若CE=BF，AE=EF+BF，试判断AC与BC的位置关系，并说明理由.
手拉手模型
例5如图，已知△ABC，以AB、AC为边分别向△ABC外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由.。
全等三角形模型总结及经典练习题
全等三角形模型及习题练习第一部分全等模型图一、平移模型特征：可看成是三角形在一边所在直线上移动构成的，故在同一直线上的对应边的相等关系一般可由加（减）公共边证得，对应角的相等关系可由平行线的性质证得。
二、平行模型(X型)特征：平行线所形成的同位角、内错角相等三、折叠轴对称模型（翻转型，部分X型）特征：图形关于某一条直线对称，则这条直线两边的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应点。
图①中有公共角∠A；图②中对顶角相等（∠AOC=∠BOD)；图③④中分别有公共边AB,BD四、旋转模型特征：可看成是以三角形某一个顶点为中心旋转构成的，故一般有一对相等的角隐含在对顶角、某些角的和或差中五、角平分线模型旋转有重叠特征：角平分线形成的两个角相等,若把角平分线看成一条公共边,在角的两边再截取相等的线段,就可根据SAS得到全等三角形（如图①,ΔA1BD1≌ΔC1BD1),或者利用角平分线上的点到角两边的距离相等找到一组相等的边,就可根据HL得到全等三角形（如图②,ΔA2BD2≌ΔC2BD2)六、双直角三角形模型特征：证明多数可以用到同（等）角的余角相等这个定理,相等的角就是对应角七、一线三等角模型（K型）特征：如图①,,三个等角指的是α(图②中,α=90°),利用外角定理可证得∠1=∠2或∠3=∠4第二部分精选例题例1．如图，已知AB∥CD，AD∥BC，F在DC的延长线上，AM=CF，FM 交DA的延长线上于E.交BC于N,求证:AE=CN.思路分析:欲证AE=CN.看它们在哪两个三角形中,设法证这两个三角形全等即可.结合图形可发现△AME≌△FCN可证.题设告知AM=CF,AD∥BC,AB∥CD.由两平行条件,可找两对角相等.∵∠1=∠2(对顶角相等)∴∠2=∠E(等量代换)∴AE=CN (全等三角形的对应边相等)例2.△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过C的一条直线CE⊥AE于E，BD⊥CE的延长线于D，求证：AE=BD+DE.思路分析：从本例的结论知是求线段和的问题，由此入手，很难找到突破口.此时可迅速调整思维角度,可仔细观察图形,正确的图形是证题的“向导”,由此可发现△ACE与△CBD好像(猜测)全等.那么AE=CD=CE+DE.又BD=CE.那么,此时已水落石出.AC=BC（已知）∠1=∠3 （已证）∠AEC=∠CDB（已证）∴△ACE≌△CBD（AAS）∴BD=CE，AE=CD（全等三角形的对应边相等）∵AE=CE=CE+DE∴AE=BD+DE（等量代换）例3．如图，AD是△ABC的中线，DE，DF分别平分∠ADB和∠ADC，连接EF，求证：EF<BE+CF. 定对象：△ABC定角度：三角形全等分析:由结论EF<BE+CF很容易与定理“三角形两边之和大于第三边”联系在一块，观察图形，BE，CF，EF 条件分散，不在一个三角形中，必须设法（平移，旋转，翻转等）把三者集中在一个三角形中，是打开本例思路的关键.由角的平分线这一线索,可将△BDE沿角平分线翻转180°,即B点落在AD的点B'上(如图)(也就是在DA上截取DB＇=BD),连结EB＇,B＇F,此时△BDE与△B＇DE完全重合,所以△BDE≌△B＇DE(两个三角形能够完全重合就是全等三角形,所以BE=B＇E(全等三角形的对应边相等).在△EFB＇中,EF<B＇E+B＇F(三角形的两边之和大于第三边).∴EF<BE+CF(等量代换).例4 如图，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，△ABE≌△ACD，∠C= 20°，AB=10，AD= 4， G为AB延长线上一点．求∠EBG的度数和CE的长．定对象：如图定角度：三角形全等分析：(1)图中可分解出四组基本图形：有公共角的Rt△ACD 和Rt△ABE；△ABE≌△ACD，△ABE的外角∠EBG或∠ABE的邻补角∠EBG．例5已知：如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于F，交 DE于G，∠ACB=105°，∠CAD＝10°，∠D=25°．求∠EAC，∠DFB，∠DGB的度数．例6.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝20 cm，则△DBE的周长等于多少？分析：对象：△DBE的周长角度：（1）BD，DE，BE的长解：因为DE⊥AB，所以AED ACD∠=∠因为AD是∠BAC的平分线，所以EAD CAD≅则AE=AC ∠=∠又因为AD为公共边所以AED ACD DE=DC所以△DBE的周长=BE+DE+BD=AB-AE+BC=20例7如图13—3—8所示，已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：EF⊥AD．分析：对象：△ABC 角度：（1）AD是∠BAC的平分线，（2）DE⊥AB于E，DF⊥AC于F证明：因为DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，所以0∠=∠=又因AED AFD90为AD是∠BAC的平分线，所以EAD FAD∠=∠由于AD是公共边所以AED AFD≅则AE=AF 因为AD是∠BAC的平分线所以EF⊥AD。
微专题 全等三角形的六种基本模型-2024年中考数学复习
21
全等三角形的六种基本模型
模型应用
8.如图17， △ 是边长为1的等边三角形， = ，
∠ = 120∘ ，点 ， 分别在 ， 上，且
∠ = 60∘ .求 △ 的周长.
提示：如图16，延长 至点 ，使 = ，连接 .
图6
= ,
在 △ 和 △ 中， ቐ∠ = ∠, ∴ △≌△ SAS .
= ,
∠ = ∠ = 50∘ ．
7
全等三角形的六种基本模型
模型三 旋转型
模型剖析
如图7，将三角形绕着公共顶
点旋转一定角度后，两个三角形能
够完全重合，这两个三角形称为旋
图3
在 △ 和△ 中， ∵ ∠ = ∠ ， ∠ = ∠ ， = ，
∴ △ ≌ △ AAS .
∴ = .
4
全等三角形的六种基本模型
模型二 对称型
模型剖析
如图4、图5，将所给图形沿某一条直线折叠后，直线两旁的部分能
够完全重合，这两个三角形称为对称型全等三角形，其中重合的顶点就
= ， ∴ △ ≌ △ SAS . ∴ = ，
图17
图16
22
全等三角形的六种基本模型
∠ = ∠. ∵ ∠ = 120∘ ， ∠ = 60∘ ， ∴ ∠ +
∠ = 60∘ . ∴ ∠ + ∠ = 60∘ . ∴ ∠ = ∠ =
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 110∘ .
∴ ∠ = ∠ ．
= ,
图9
在 △ 和 △ 中， ቐ∠ = ∠ ， ∴ △ ≌ △ ．
= ,
∴ = ．
11
全等三角形的六种基本模型
(专题)全等三角形常用模型(含答案解析)
∴AC⊥BD，
∴△AOB为直角三角形，且 ．
∴ ；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
由（1）得：AB=AC=BC=2，
∴△ABC为等边三角形，
∠BAC=60°；
（3）△AEF是等边三角形，
∵由（1）知，菱形ABCD的边长是2，AC=2，
∴△ABC和△ACD是等边三角形，
证明：∵ 和 是等边三角形，
∴
∴
在 和 中
∵
∴ ,
∴ ；
②∵ ,
∴
设BC交AF于点O，如图，
∵
∴
∴
故答案为： ；
（3）结论：
理由如下：
在Rt 中，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴ ．
【点睛】本题考查几何变换旋转综合题，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，特殊角的三角函数值，解题关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．
（2）过点B作BE⊥BD，交MN于点E．AD交BC于O，
证明 ，得到 ， ，
根据 为等腰直角三角形，得到 ，
再根据 ，即可解出答案.
（3）根据A、B、C、D四点共圆，得到当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的右侧时，△ABD的面积最大．
在DA上截取一点H，使得CD=DH=1，则易证 ，
由 即可得出答案.
（3）将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，同（1）可证△AED≌AED'，求出∠ECD'＝90°，再根据勾股定理计算即可．
【详解】解：（1）将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，
初中数学《全等三角形》基本模型训练含解析
全等三角形基本模型专项训练一、单选题1如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E分别在边BC及其延长线上，BD2+CE2=DE2，F为△ABC外一点，且FB⊥BC，FA⊥AE，则结论：①FA=AE；②∠DAE=45°；③S△ADE=14AD⋅EF；④CE2+BE2=2AE2，其中正确的是()A.①②③④B.①②④C.①③④D.①②【答案】A【分析】根据全等三角形的性质，证明△ABF和△ACE全等，即可得到FA=AE；连接DF如图见解析，证明△ADE和△ADF全等，即可得到∠DAE=45°；延长AD交EF于H如图见解析，利用等腰直角△AFE三线合一的性质，∠FAE=90°，∠DAE=45°∠DAE=45°，可知AH⊥EF，S△ADE=12AD⋅EH，HE=HF=12EF，即可判断③；在Rt△EBF和Rt△EAF中，利用勾股定理以及等式的性质，即可判断④．【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=90°∴∠ABC=∠ACB=45°∴∠ACE=180°-∠ACB=135°∵FB⊥BC∴∠FBE=90°∴∠ABF=∠ABC+∠FBE=135°∴∠ABF=∠ACE∵FA⊥AE∴∠FAE=90°=∠BAC∴∠FAE-∠FAC=∠BAC-∠FAC即∠CAE=∠BAF在△ABF和△ACE中，∠ACE=∠ABF AC=AB∠CAE=∠BAF∴△ACE≌△ABF ASA∴FA=EA，故①正确；连接DF，如图：∵△ACE≌△ABF∴BF=CE在Rt△BDF中，BD2+BF2=DF2∴BD2+CE2=DF2∵BD2+CE2=DE2∴DE=DF∵AE=AF，AD=AD∴△ADE≌△ADF SSS∴∠DAE=∠DAF∴∠DAE=12∠EAF=45°，故②正确；延长AD交EF于H，如图：∵AE=AF，∠EAD=∠FAD∴AH⊥EF，HE=HF=12EF∴S△ADE=12AD⋅EH=12AD⋅12EF=14AD⋅EF，故③正确；在Rt△EBF中，BE2+BF2=EF2∵CE=BF∴BE2+CE2=EF2∵AE=AF，∠FAE=90°∴EF2=AE2+AF2=2AE2∴BE2+CE2=2AE2，故④正确，综上所述，正确的有①②③④，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识．2如图所示，△ABC中，AC=BC，M、N分别为BC、AC上动点，且BM=CN，连AM、CN，当AM +BN最小时，CMCN=( )．A.2B.32C.54D.1【答案】D 【分析】过B 点在BC 下方作BH ∥AC ，且BH =AC ，链接BH ，AH ，先证明△BCN ≌△HBM ，即有BN =HM ，则AM +BN =AM +MH ，当A 、M 、H 三点共线时，AM +MH 值最小，再证明△ACM ≌△HBM ，问题随之得解．【详解】如图，过B 点在BC 下方作BH ∥AC ，且BH =AC ，链接BH ，AH ，∵BH ∥AC ，∴∠C =∠CBH ，∵BH =AC ，BM =CN ，∴△BCN ≌△HBM ，∴BN =HM ，∴AM +BN =AM +MH ，当A 、M 、H 三点共线时，AM +MH 值最小，如图，此时∵BH ∥AC ，∴∠C =∠CBH ，∠CAM =∠BHM ，∵AC =BC ，∴△ACM ≌△HBM ，∴CM =BM ，∵BM =CN ，∴CM CN=CM BM =1，故选：D ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出辅助线，构造全等三角形是解答本题的关键．3如图，正五边形ABCDE 中，点F 是边CD 的中点，AF ,BC 的延长线交于点N ，点P 是AN 上一个动点，点M 是BN 上一个动点，当PB +PM 的值最小时，∠BPN =()A.72°B.90°C.108°D.120°【答案】C【分析】本题考查了正多边形的定义，全等三角形的判定与性质等知识．连接BF ，EF ，PE ，EM ，根据全等三角形的判定与性质可得EP =BP ，则当E 、P 、M 三点共线，且EM ⊥BC 时，PB +PM 的值最小，过点E 作EH ⊥BC 于H ，交AF 于P ，分别求出∠BAP 和∠ABP 的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可．【详解】解：连接BF ，EF ，PE ，EM ，∵正五边形ABCDE ，∴AE =AB =BC =ED ，∠BAE =∠AED =∠BCD =∠EDC =5-2 ×180°5=108°，∵点F 是边CD 的中点，∴CF =DF ，∴△BCF ≌△EDF SAS ，∴BF =EF ，又AE =AB ，AF =AF ，∴△AEF ≌△ABF SSS ，∴∠EAF =∠BAF =12∠BAE =54°，∴△AEP ≌△ABP SAS∴EP =BP ，∴PB +PM =EP +PM ≥EM ，∴当E 、P 、M 三点共线，且EM ⊥BC 时，PB +PM 的值最小，过点E 作EH ⊥BC 于H ，交AF 于P ，同理可求∠ABP =∠AEP =12∠AED =54°，∴∠BP N =∠BAP +∠ABP =108°，即当PB +PM 的值最小时，∠BPN =108°．故选：C ．4如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形ABEF ，正方形BCGH 和正方形ACMN ，给出下列结论：①AB =MG ；②S △ABC =S △AFN ；③过点B 作BI ⊥EH 于点I ，延长B 交AC 于点J ，则AJ =CJ ．④若AB =1，则EH 2+FN 2=5．其中正确的结论个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．首先根据题意证明出△ACB ≌△MCG SAS ，进而得到AB =MG ，即可判断①；过点F 作FO ⊥NA 交NA 延长线于点O ，证明出△AFO ≌△ABC AAS ，得到OF =BC ，然后利用三角形面积公式即可得到S △ABC =S △AFN ，即可判断②；过点A 作AP ⊥BJ 交BJ 的延长线于点P ，过点C 作CQ ⊥BJ ，证明出△ABP ≌△BEI AAS ，得到AP =BI ，同理得到CQ =BI ，得到CQ =AP ，然后证明出△AJP ≌△CJQ AAS ，得到AJ =CJ ，即可判断③；根据全等三角形的性质得到EH =2BJ ，然后利用勾股定理证明出EH 2=AC 2+4BC 2，同理得到NF 2=4AC 2+BC 2，然后得到EH 2+NF 2=5AB 2=5，即可判断④．【详解】∵在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形ABEF ，正方形BCGH 和正方形ACMN ，∴AC =MC ，BC =GC ，∠MCA =∠GCB =90°∵∠ACB =90°∴∠MCG =∠ACB =90°∴△ACB ≌△MCG SAS∴AB =MG ，故①正确；如图所示，过点F 作FO ⊥NA 交NA 延长线于点O ，∵∠FAO +∠BAO =∠CAB +∠BAO =90°∴∠FAO =∠CAB又∵∠O =∠ACB =90°，AF =AB∴△AFO ≌△ABC AAS∴OF =BC∵AN =AC∵S △ANB =12AN ⋅OF ，S △ACB =12AC ⋅BC ∴S △ABC =S △AFN ，故②正确；如图所示，过点A 作AP ⊥BJ 交BJ 的延长线于点P ，过点C 作CQ ⊥BJ∵∠ABP +∠BEI =90°，∠EBI +∠BEI =90°∴∠ABP =∠BEI又∵∠P =∠BIE =90°，AB =BE∴△ABP ≌△BEI AAS∴AP =BI同理可证，△BCQ ≌△HBI AAS ∴CQ =BI∴CQ =AP∵∠P=∠CQJ=90°，∠AJP=∠CJQ∴△AJP≌△CJQ AAS∴AJ=CJ，故③正确；∵△ABP≌△BEI AAS∴BP=EI∵△BCQ≌△HBI AAS∴BQ=HI∵△AJP≌△CJQ AAS∴PJ=QJ∵EH=EI+HI=PB+BQ=PJ+QJ+BQ+BQ=2BJ ∵AJ=CJ∴BJ2=CJ2+BC2=14AC2+BC2∴EH2=2BJ2=4BJ2=414AC2+BC2=AC2+4BC2同理可证，NF2=4AC2+BC2∴EH2+NF2=AC2+4BC2+4AC2+BC2=5AC2+BC2=5AB2=5×12=5，故④正确．综上所述，正确的结论个数是4．故选：D．5如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠E=∠F=90 °，∠EAC=∠FAB，AE=AF．给出下列结论：①∠B=∠C；②CD=DN；③BE= CF；④△ACN≅△ABM．其中正确的结论是()A.①③④B.①②③④C.①②③D.①②④【答案】A【分析】本题考查了两个全等三角形的判定及性质，根据已知条件判定两个三角形全等，可得到对应边及对应角相等，据此可判断①③，再结合条件证明两个三角形全等，可得到④，即可求得结果，灵活运用两个全等三角形的条件及性质是解题的关键．【详解】解：∵∠EAC=∠FAB，∴∠EAB=∠FAC，在△EAB 和△FAC 中，∠E =∠F =90 °AE =AF ∠EAB =∠FAC，∴△EAB ≌△FAC ASA ，∴∠B =∠C ,BE =CF ,AB =AC ，∴①③都正确，在△ACN 和△ABM 中，∠B =∠CAB =AC ∠CAN =∠BAM，∴△ACN ≌△ABM ASA ，故④正确，根据已知条件无法证明②是否正确，故①③④正确，故选：A ．二、填空题6如图，在△ABC 中，AH 是高，AE ⎳BC ，AB =AE ，在AB 边上取点D ，连接DE ，DE =AC ，若S △ABC =5S △ADE ，BH =1，则BC =．【答案】2.5【分析】过点E 作EF ⊥AB ，交BA 的延长线于点F ，先分别证明△ABH ≌△EAF ，Rt △ACH ≌Rt △EDF ，由此可得S △ABH =S △EAF ，S △ACH =S △EDF =S △EAF +S △ADE ，再结合S △ABC =S △ABH +S △ACH =5S △ADE 可得S △ACH S △ABH =32，由此可得CH BH=32，进而即可求得答案．【详解】解：如图，过点E 作EF ⊥AB ，交BA 的延长线于点F ，∵EF ⊥AB ，AH ⊥BC ，∴∠EFA =∠AHB =∠AHC =90°，∵AE⎳BC ，∴∠EAF =∠B ，在△ABH 与△EAF 中，∠AHB =∠EFA∠B =∠EAFAB =EA∴△ABH ≌△EAF (AAS )，∴AH =EF ，S △ABH =S △EAF ，在Rt△ACH与Rt△EDF中，AH=EF AC=DE∴Rt△ACH≌Rt△EDF(HL)，∴S△ACH=S△EDF=S△EAF+S△ADE，∵S△ABC=S△ABH+S△ACH=5S△ADE，∴S△ABH+S△EAF+S△ADE=5S△ADE，∴2S△ABH+S△ADE=5S△ADE，解得：S△ABH=2S△ADE，∴S△ACH=5S△ADE-S△ABH=3S△ADE，∴S△ACHS△ABH=3S△ADE2S△ADE=32，∴12CH⋅AH12BH⋅AH=32，即CHBH=32，又∵BH=1，∴CH=1.5，∴BC=BH+CH=2.5，故答案为：2.5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积公式，作出正确的辅助线并能灵活运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．7如图，在△ADE和△ABC中，∠E=∠C，DE=BC，EA=CA，过A作AF⊥DE，垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．四边形DGBA的面积为12，AF=4，则FG的长是．【答案】3【分析】过点A作AH⊥BC于H，证△ABC≌△AED，得AF=AH，再证Rt△AFG≌Rt△AHG，同理Rt△ADF≌Rt△ABH，得S四边形DGBA=6，进而得到FG的长．【详解】解：过点A作AH⊥BC于H，如图所示：在△ABC 和△ADE 中，BC =DE∠C =∠E CA =EA，∴△ABC ≌△AED SAS∴AD =AB ,S △ABC =S △AED ,又∵AF ⊥DE ，∴12×DE ×AF =12×BC ×AH ，∴AF =AH ，∵AF ⊥DE ,AH ⊥BC ，∴∠AFG =∠AHG =90°，在Rt △AFG 和Rt △AHG 中，AG =AG AF =AH ,∴Rt △AFG ≌Rt △AHG HL ，同理：Rt △ADF ≌Rt △ABH HL ，∴S 四边形DGBA =S 四边形AFGH =12，∵Rt △AFG ≌Rt △AHG ，∴S Rt △AFG =6,∵AF =4,∴12×FG ×4=6，解得：FG =3；故答案为：3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等．8如图，动点C 与线段AB 构成△ABC ，其边长满足AB =9，CA=2a +2，CB =2a -3．点D 在∠ACB 的平分线上，且∠ADC =90°，则a 的取值范围是，△ABD 的面积的最大值为．【答案】a >52454【分析】在△ABC 中，由三角形三边关系“在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”可知AC +BC >AB ，代入数值即可确定a 的取值范围；延长AD 、CB交于点E ，首先利用“ASA ”证明△ACD ≌△ECD ，由全等三角形的性质可得AC =EC =2a +2，AD =ED ，进而可求得BE =5，结合三角形中线的性质易知S △ABD :S △ABE =1:2，确定△ABE 面积的最大值，即可获得答案．【详解】解：∵在△ABC 中，AC +BC >AB ，∴2a +2+2a -3>9，解得a >52；如下图，延长AD 、CB 交于点E ，∵CD 为∠ACB 的平分线，∴∠ACD =∠ECD ，在△ACD 和△ECD 中，∠ACD =∠ECDCD =CD ∠ADC =∠EDC =90°，∴△ACD ≌△ECD (ASA )，∴AC =EC =2a +2，AD =ED ，∵CB =2a -3，∴BE =2a +2-(2a -3)=5，∵AD =ED ，∴S △ABD :S △ABE =1:2，当BE ⊥AB 时，△ABE 的面积取最大值，即S △ABE max =12×9×5=452，∴S △ABD max =454．故答案为：a >52，454．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系、解一元一次不等式、角平分线、全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键．9如图，AB =AC ，AD=AE ，∠BAC =∠DAE =40°，BD 与CE 交于点F ，连接AF ，则∠AFB 的度数为．【答案】70°/70度【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，构造全等三角形是解答本题的关键．过点A作AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N，根据手拉手模型证明△BAD≌△CAE，得到∠ADM=∠AEN，然后证明△AMD≌△ANE，得到∠DAM=∠EAN，AM=AN，进一步推得∠MAN=∠DAE= 40°，再证明△AMF≌△ANF，可得∠FAM=20°，最后根据三角形内角和定理即得答案．【详解】过点A作AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N，∵∠BAC=∠DAE=40°，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE SAS，∴∠ADM=∠AEN，∵∠AMD=∠ANE=90°，AD=AE，∴△AMD≌△ANE AAS，∴∠DAM=∠EAN，AM=AN，∴∠DAM+∠DAN=∠EAN+∠DAN，即∠MAN=∠DAE=40°，∵∠AMF=∠ANF=90°，AM=AN，AF=AF，∴△AMF≌△ANF HL，∴∠FAM=∠FAN=1∠MAN=20°，2∴∠AFB=180°-90°-∠FAM=70°．故答案为：70°．10如图所示，已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，点D和点E分别是AB和AC边上的动点，满足AD=CE，连接DE，点F是DE的中点，则CDAF的最大值为．【答案】5+1/1+5【分析】作EM⊥ED，且EM=ED，连DM，MC，取ME中点N，连ND、NC、NF，可根据“SAS”证明△ADE≌△CEM，可得∠ECM=90°，再设AF=1，并表示DE，EM，及CN，然后根据勾股定理求出DN，最后根据三角形的三边关系ND+NC≥DC，求出CD最大值，可得答案.【详解】解：过E作EM⊥ED，且EM=ED，连DM，MC．取ME中点N，连ND、NC、NF．∵∠ADE+∠AED=90°，∠AED+∠MEC=90°，∴∠ADE=∠MEC.∵AD=CE，DE=EM，∴△ADE≌△CEM，∴∠ECM=∠DAE=90°．设AF=1，∵F为DE中点，∴DE=2AF=2，∴EM=2.∵N为EM中点，∴CN=EN=1．∴DN=DE2+EN2= 5.∵ND+NC≥DC，∴CD最大值5+1，=5+1.∴CDAF故答案为：5+1.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，根据三角形的三边关系求最大值，作出辅助线是解题的关键．三、解答题11数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样，一个问题：如图1：在△ABC中，AB=3，AC=5，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．【问题初探】：第一小组经过合作交流，得到如下解决方法：如图2延长AD至E．使得DE=AD，连接BE．利用三角形全等将线段AC转移到线段BE，这样就把线段AB，AC，2AD集中到△ABE中．利用三角形三边的关系即可得到中线AD的取值范围，第二小组经过合作交流，得到另一种解决方法：如图3过点B作AC的平行线交AD的延长线于点F，利用三角形全等将线段AC转移到BF，同样就把线段AB，AC，2AD集中到△ABF中，利用三角形三边的关系即可得到中线AD的取值范围．(1)请你选择一个小组的解题思路．写出证明过程【方法感悟】当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可考虑将中线延长一倍或者作一条边的平行线．构造出“平行八字型”全等三角形；这样就把分散的已知条件和所证的结论集中到一个三角形中，顺利解决问题【类比分析】(2)如图4：在△ABC中，∠B=90°，AB=6，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE=10且∠ADE=90°．求AE的长度．【思维拓展】(3)如图5：在△ABC中，AF⊥BC于点F在AB右侧作AD⊥AB，且AD=AB，在AC的左侧作AE⊥AC，且AE=AC，连接DE，延长AF交DE于点O，证明O为DE中点．【答案】(1)见解析(2)16(3)见解析【分析】(1)选择第一个小组的解题思路：延长AD到点E，使DE=AD，证明△ADC≌△EDB(SAS)，得到BE=AC=10，再根据在△ABE中，5-3<AE<5+3，即2<2AD<8，求解即可；选择第二个小组的解题思路：过点B作AC的平行线交AD的延长线于点F，先证明△BDF≌△CDA (AAS)，得到DF=AD，BF=AC=5，则2AD=AF，再根据在△ABF中，5-3<AF<5+3，即2<2AD<8，求解即可；(2)延长AD到点F，使DF=AD，连接CF，先证明△ABD≌△FCD SAS，得到∠FCD=∠ABD=90°，CF=AB=6，再证明E、C、F三点共线，得到EF=EC+CF=10+6=16，然后证明△ADE≌△FDE SAS，得到AE=EF=16解决问题；(3)过点E作EM∥AD交AD延长线于M，先证明△AEM≌△CAB AAS，得到EM=AB，再证明△AOD≌△MOE AAS，得到OD=OE，即可得出结论．【详解】解：(1)选择第一个小组的解题思路：如图2，延长AD到点E，使DE=AD，∵D是BC的中点，∴BD=CD，∵∠ADC=∠EDB，∴△ADC≌△EDB(SAS)，∴BE=AC=10，△ABE中，5-3<AE<5+3，∴2<2AD<8，∴1<AD<4；选择第二个小组的解题思路：如图3，过点B作AC的平行线交AD的延长线于点F，∵D是BC的中点，∴BD=CD，∵BF∥AC，∴∠FBD=∠C，∠F=∠CAD，∴△BDF≌△CDA(AAS)，∴DF=AD，BF=AC=5，∴2AD=AF，在△ABF中，5-3<AF<5+3，∴2<2AD<8，(2)延长AD到点F，使DF=AD，连接CF，如图4，∵D是BC的中点，∴BD=CD，∵∠ADB=∠FDC，DF=AD，∴△ABD≌△FCD SAS，∴∠FCD=∠ABD=90°，CF=AB=6，∵CE⊥BC，∴∠BCD=90°，∴∠FCD+∠ECD=180°，∴E、C、F三点共线，∴EF=EC+CF=10+6=16，∵∠ADE=90°，∴∠FDE=∠ADE=90°，∵DE=DE，AD=DF，∴△ADE≌△FDE SAS，∴AE=EF=16；(3)证明：过点E作EM∥AD交AD延长线于M，如图4，∵AD⊥AB，AE⊥AC，∴∠3+∠2+∠CAD=∠3+∠2+∠BAE=90°，∴∠CAD=∠BAE，又∵AF⊥BC，∴∠3+∠2+∠CAD=∠3+∠BAE+∠B=90°，∴∠2=∠B，∵EM∥AD，∴∠2=∠M，∴∠B=∠M，∵AE⊥AC，AF⊥BC，∴∠3+∠CAM=∠C+∠CAM=90°，∴∠3=∠C，∵AE=AC，∴△AEM≌△CAB AAS，∵AB =AD ，∴EM =AD ，∵∠2=∠M ，∠AOD =∠EOM ，∴△AOD ≌△MOE AAS ，∴OD =OE ，∴O 为DE 中点．【点睛】本题考查三角形三边的关系，全等三角形的判定与性质，余角的性质，平行线的性质，熟练掌握倍长中线，构造出“平行八字型”全等三角形是解题的关键．12已知，在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，∠ABC =∠ACB =45°，点D 是线段BC 上一点，点D 不与点B ，点C 重合，连接AD ，以AD 为一边作△ADE ，AD =AE ，∠DAE =90°，且点E 与点D 在直线AC 两侧，DE 与AC 交于点H ，连接CE ．(1)如图1，求证：△ABD ≌△ACE ．(2)如图2，在CE 的延长线上取一点F ，当∠AEF =∠AFE 时，求证：CD =CF ．(3)过点A 作直线CE 的垂线，垂足为G ，当CD =6EG 时，直接写出△CDH 与△CEH 的面积比．【答案】(1)见详解(2)见详解(3)32或34【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，涉及SAS 、AAS 以及HL 等判定方法，(1)利用“SAS ”证明△ABD ≌△ACE 即可作答；(2)结合(1)的结论，再利用“AAS ”证明△ACD ≌△ACF 即可作答；(3)分类讨论，第一种情况：点G 在点E 的下方，过点A 作AO ⊥BC 于点O ，点H 作HM ⊥BC 于点M ，点H 作HN ⊥CG 于点N ，先证明△AOC ≌△AGC ，即有AO =AG ，CO =CG ，同理可证明：MH =NH ，再证明Rt △AOD ≌Rt △AGE HL ，可得OD =GE ，问题即可作答；第二种情况：点G 在点E 的上方，过点A 作AO ⊥BC 于点O ，点H 作HM ⊥BC 于点M ，点H 作HN ⊥CG 于点N ，按照第一种情况作答即可．【详解】(1)∵∠DAE =90°，∠BAC =90°，∴∠DAE -∠DAH =∠BAC -∠DAH ，∴∠CAE =∠BAD ，又∵AB =AC ，AD =AE ，∴△ABD ≌△ACE SAS ；(2)∵△ABD ≌△ACE SAS ，∴∠ADB =∠AEC ，∠ABD =∠ACE =45°，∴180°-∠ADB =180°-∠AEC ，∠ACB =∠ACE =45°，∴∠ADC =∠AEF ，∵∠AEF =∠AFE ，∴∠ADC =∠AFE ，在△ACD 和△ACF 中，∴∠ACD =∠ACF∠ADC =∠AFC AC =AC，∴△ACD ≌△ACF AAS ，∴CD =CF ；(3)分类讨论：第一种情况：点G 在点E 的下方，过点A 作AO ⊥BC 于点O ，点H 作HM ⊥BC 于点M ，点H 作HN ⊥CG 于点N ，如图，∵AO ⊥BC ，AG ⊥CE∴∠AOC =∠AGC =90°，又∵∠ACB =∠ACE =45°，AC =AC ，∴△AOC ≌△AGC ，∴AO =AG ，CO =CG ，同理可证明：MH =NH ，又∵AD =AE ，∴Rt △AOD ≌Rt △AGE HL ，∴OD =GE ，∵CD =6EG ，∴CO =CD -OD =5EG ，∴CG =CO =5EG ，∴CE =CG -EG =4EG ，∵S △CHD =12×CD ×MH ，S△CHE =12×CE ×NH ，MH =NH ，∴S △CHD S △CHE =12×CD ×MH 12×CE ×NH =CD ×MH CE ×NH ，∵CD =6EG ，CE =4EG ，MH =NH ，∴S △CHD S △CHE =CD ×MH CE ×NH=32；第二种情况：点G 在点E 的上方，过点A 作AO ⊥BC 于点O ，点H 作HM ⊥BC 于点M ，点H 作HN ⊥CG 于点N ，如图，同理可得：OD =GE ，OC =CG ，MH =NH ，∵CD =6EG ，∴CO =CD +OD =7EG ，∴CG =CO =7EG ，∴CE =CG +EG =8EG ，∴S △CHD S △CHE =CD ×MH CE ×NH=34；综上：△CDH 与△CEH 的面积比为32或者34．13如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，△ABC 的边BC 在x 轴上，A 、C 两点的坐标分别为A (0,m ),C (n ,0)，B (-5,0)，且m ，n 满足方程组m +2n =103m -n =9 ，点P 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BO 匀速运动，设点P 运动时间为t 秒．(1)求A 、C 两点的坐标；(2)连接P A ，用含t 的代数式表示△AOP 的面积，并直接写出t 的取值范围；(3)当点P 在线段BO 上运动时，在y 轴上是否存在点Q ，使△POQ 与△AOC 全等？若存在，请求出t 的值并直接写出Q 点标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A (0,4)，C (3,0)；(2)0≤t <52，S △AOP =10-4t ；t >52，S △AOP =4t -10．(3)存在，Q (0,3)或(0,-3)或Q (0,4)或(0,-4)．【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，二元一次方程组的解法，坐标与图形性质等知识点的综合运用，关键是利用分类讨论求出符合条件的所有情况．(1)解二元一次方程组求出m ，n 的值即可；(2)分为两种情况：当0≤t <52时,P 在线段OB 上,②当t >52时,P 在射线OC 上,求出OP 和OA ,根据三角形的面积公式求出即可；(3)分为四种情况：①当BP =1,OQ =3时,②当BP =2,OQ =4时,③④利用图形的对称性直接写出其余的点的坐标即可.【详解】(1)解方程组m +2n =103m -n =9 得m =4n =3 ，∴ A 的坐标是0,4 ,C 的坐标是3,0 ；(2)由已知，BP =2t ，OB =5．①0≤t <52，P 在线段OB 上．OP =OB -BP =5-2tS △AOP =12×OP ×OA 2=12×(5-2t )×4=10-4t ．②t >52，P 在射线OC 上，OP =BP -OP =2t -5S △AOP =12×OA ×OP =12×4×(2t -5)=4t -10(3)在y 轴上存在点Q ，使△AOC 与△POQ 全等．①△POQ ≌△AOC 时，OQ =OC =3．OP =OA =4．t =5-42=12,Q (0,3)或Q (0,-3)②△POQ ≌△COA 时，OQ =OA =4,OP =OC =3．t =5-32=1 Q (0,4)或(0,-4)t =12，Q (0,3)或(0,-3)；t =1，Q (0,4)或(0,-4)；综上所述，t =12，Q (0,3)或(0,-3)；t =1，Q (0,4)或(0,-4)．14某校课后延时兴趣小组尝试用尺规来“作一条线段的三等分点”，请认真阅读下面的操作过程并完成相应的学习任务．如图1，①分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径在AB 两侧画弧，四段弧分别交于点C ，点D ；②连接AC ，BC ，AD ，作射线BD ；③以D 为圆心，BD 的长为半径画弧，交射线BD 于点E ；④连接CE ，交于AB 点F ．点F 即为AB 的一个三等分点(即AF =13AB )．学习任务：(1)填空：四边形ADBC的形状是，你的依据是；(2)证明：AF=13AB；(3)如图2，若CE交AD于点H，∠CAD=60°，AC=6，将CH绕着点C旋转，当点H的对应点H 落在直线FD上时，求DH 的长．【答案】(1)菱形；四条边相等的四边形为菱形(2)见解析(3)DH′的长为33+32或33-32【分析】本题考查了菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，善于利用特殊叫以及直角三角形中的关系是解题的关键．(1)根据菱形的性质判定即可．(2)证明△AFC∽△BFE，得出AFFB =ACBE，再根据线段关系即可求出．(3)利用菱形及已知条件推出相关信息，证明△ACD为等边三角形，再根据AAS证明△AHC≌△DHE，求得CH ;然后证明△AKF∽△BDF，根据相似三角形的性质得出AK、CK；最后用勾股定理解三角形即可．CH绕着点C旋转，点H的对应点H 需要分情况讨论．【详解】(1)解：由图的作法可知：AC=AD=BC=BD，∴四边形ADBC的形状是菱形，依据是：四条边相等的四边形为菱形．故答案为：菱形；四条边相等的四边形为菱形；(2)证明：∵四边形ADBC的形状是菱形，∴AC∥BE，∴△AFC∽△BFE，∴AF FB =ACBE．∵AC=BD，BD=DE，∴BE=2AC，∴AF FB =12，∴FB=2AF，∴AB=3AF．∴AF=13AB．(3)解：①当点H 在线段FD上时，连接CD，如图，∵AC=AD，∠CAD=60°，∴△ACD为等边三角形，∴CD=AD=6，∠ADC=60°．∵AC∥BE∴∠ACF =∠DEC ．在△AHC 和△DHE 中，∠AHC =∠DHE∠ACE =∠DEC AC =DE，∴△AHC ≌△DHE AAS ，∴AH =HD =3，∵△ACD 为等边三角形，∴CH ⊥AD ，∠ACH =∠DCH =30°，∴CH =33．∴CH =CH =33．设FD 与AC 交于点K ，∵AC ∥BE ，∴△AKF ∽△BDF ，∴AK BD =AF FB=12．同理：CK ED =AF FB=12，∴AK BD =CK ED．∵BD =ED ，∴AK =CK =3，∴HK ⊥AC ，∠CDK =12∠ADC =30°．∴H K =CH 2-CK 2=32，DK =33．∴DH =DK -H K =33-32．②当点H 在射线FD 上时，连接CD ，如图，由①知CH =CH =33，HK ⊥AC ，AK =KC =3，∴DK =AD 2-AK 2=33，∴H K =CH 2-CK 2=32．∴DH =H K +DK =33+32．综上，DH 的长为33+32或33-32．15(1)某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点D 、E ．证明：DE =BD +CE ．(2)组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线l 上，并且有∠BDA =∠AEC =∠BAC =α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE =BD +CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC 的边AB 、AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，AH 是BC 边上的高，延长HA 交EG 于点I ，求证：I 是EG 的中点．【答案】(1)见解析；(2)DE =BD +CE ，见解析；(3)见解析【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD =AE 、CE =AD 是解题的关键．(1)由条件可证明△ABD ≌△CAE ，可得DA =CE ，AE =BD ，可得DE =BD +CE ；(2)由条件可知∠BAD +∠CAE =180°-α，且∠DBA +∠BAD =180°-α，可得∠DBA =∠CAE ，结合条件可证明△ABD ≌△CAE ，可得出结论；(3)由条件可知EM =AH =GN ，可得EM =GN ，结合条件可证明△EMI ≌△GNI ，可得出结论I 是EG 的中点．【详解】解：(1)如图1，∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，∴∠BDA =∠CEA =90°，∵∠BAC =90°，∴∠BAD +∠CAE =90°，∵∠BAD +∠ABD =90°，∴∠CAE =∠ABD ，在△ABD 和△CAE 中，∠ABD =∠CAE∠BDA =∠CEA AB =AC，∴△ABD ≌△CAE AAS ，∴AE =BD ，AD =CE ，∴DE =AE +AD =BD +CE ；(2)成立，理由如下：如图，证明如下：∵∠BDA =∠BAC =α，∴∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE =180°-α，∴∠DBA =∠CAE ，在△ABD 和△CAE 中．∠BDA =∠AEC∠DBA =∠CAE AB =AC．∴△ABD ≌△CAE AAS∴AE =BD ，AD =CE ，∴DE =AE +AD =BD +CE ；(3)如图3，过E 作EM ⊥HI 于M ，GN ⊥HI 的延长线于N ．∴∠EMI =∠EMA =∠GNA =90°，∠BAE =90°，∴∠EAM +BAH =90°，∵AH 是BC 边上的高，∴∠AHB =90°，∴∠BAH +∠ABH =90°，∴∠ABH =EAM ，∵AE =AB ，∴△ABH ≌△EAM ，∴EM =AH ，同理△ACH ≌△GAN ，∴AH =GN ，∴EM =GN ，在△EMI 和△GNI 中，∠EIM =∠GIN∠EMI =∠GNI EM =GN，∴△EMI ≌△GNI AAS ，∴EI =GI ，∴I 是EG 的中点．16如图，在△ABC 中，BC =5，高AD 、BE 相交于点O ，BD =2，且AE =BE．(1)请说明△AOE ≌△BCE 的理由；(2)动点P 从点O 出发，沿线段OA 以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，动点Q 从点B 出发沿射线BC 以每秒4个单位长度的速度运动，P 、Q 两点同时出发，当点P 到达A 点时，P 、Q 两点同时停止运动．设点P 的运动时间为t 秒，求当t 为何值时，△AOQ 的面积为3．(3)在(2)的条件下，点F 是直线AC 上的一点且CF =BO ．当t 为何值时，以点B 、O 、P 为顶点的三角形与以点F 、C 、Q 为顶点的三角形全等？(请直接写出符合条件的t 值)．【答案】(1)见解析(2)当t 为15或45时，△AOQ 的面积为3(3)t =1或53s 时，△BOP 与△FCQ 全等【分析】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，(1)首先推导出∠EAO =∠EBC ，通过ASA 即可证明△AOE ≌△BCE ；(2)分两种情形讨论求解即可①当点Q 在线段BD 上时，QD =2-4t ,②当点Q 在射线DC 上时，DQ =4t -2时；依据三角形面积计算公式解答即可；(3)分两种情形求解即可①如图2中，当OP =CQ 时，BOP ≌△FCQ ．②如图3中，当OP =CQ 时，△BOP ≌△FCQ ．【详解】(1)如图1中，∵AD 是高，∴∠ADC =90°，∵BE 是高，∴∠AEB =∠BEC =90°，∴∠EAO +∠ACD =90°，∠EBC +∠ECB =90°，∴∠EAO =∠EBC ，在△AOE 和△BCE 中，∠EAO =∠EBCAE =BE ∠AEO=∠BEC，∴△AOE ≌△BCE ASA ，(2)解：由(1)知△AOE ≌△BCE ，∴OA =BC =5，∵BD =2，∴CD =3，由题意OP =t ,BQ =4t ,①当点Q 在线段BD 上时，QD =2-4t ,∴S △AOQ =12OA ⋅QD =12×5×2-4t =3，解得：t =15；②当点Q 在BD 延长线上时，DQ =4t -2，∴S △AOQ =12OA ⋅DQ =12×5×4t -2 =3，解得：t =45，综上，当t 为15或45时，△AOQ 的面积为3；(3)存在．①如图2中，当OP =CQ 时，∵OB =CF ，∠POB =∠FCQ ，∴△BOP ≌△FCQ ．∴CQ =OP ，∴5-4t =t ，解得t =1，②如图3中，当OP =CQ 时，∵OB =CF ，∠POB =∠FCQ ，∴△BOP ≌△FCQ ．∴CQ =OP ，∴4t -5=t ，解得t =53．综上所述，t =1或53s 时，△BOP 与△FCQ 全等．17如图1，在△ABC 中，BD 为AC 边上的高，BF 是∠ABD 的角平分线，点E 为AF 上一点，连接AE ，∠AEF =45°．(1)求证：AE平分∠BAF(2)如图2，连接CE交BD于点G，若△BAE与△CAE的面积相等，求证：BG=CF【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键．(1)根据BF是∠ABD的角平分线和，BD为AC边上的高，可得12∠BAD=45°-12∠ABD，由∠AEF=45°得∠BAE=45°-∠ABE=45°-12∠ABD，即可证明∠BAE=12∠BAD；(2)过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥AC于点N，由角平分线性质可以得EM=EN，由△BAE与△CAE的面积相等可得AB=AC，证明△ABE≌△ACE(SAS)，得出∠AEB=∠CEB=135°，BE=EC，即可得出∠BEG=∠CEF=360°-∠AEB-∠AEC=90°，再根据垂直模型证明△BEG≌△CEF(ASA)，即可得出结论．【详解】(1)证明：∵BD为AC边上的高，即∠ADB=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∴12(∠ABD+∠BAD)=45°，∴1 2∠BAD=45°-12∠ABD∵∠AEF=∠ABF+∠BAE=45°，∴∠BAE=45°-∠ABF，∵∠ABF=12∠ABD，∴∠BAE=45°-12∠ABD，∴∠BAE=12∠BAF，即：AE平分∠BAF．(2)过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥AC于点N，∵AE平分∠BAC，且EM⊥AB，EN⊥AC，∴EM=EN．∵S△ABE=S△ACE，∴AB=AC，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，在△ABE和△ACE中，AB=BC∠BAE=∠CAE AE=AE∴△ABE≌△ACE(SAS)，∴∠AEB=∠CEB，BE=EC，∵∠AEF=45°，∴∠AEB=∠AEC=135°，∴∠BEG=∠CEF=360°-∠AEB-∠AEC=90°，∵BD为AC边上的高，∴∠ADB=90°，∴∠FBD+∠BFC=∠BFC+∠FCE，∴∠EBG=∠ECF．在△BEG和△CEF中，∠BEG=∠CEF BE=CE∠EBG=∠ECF∴△BEG≌△CEF(ASA)．∴BG=CF .18如图，已知A a，0,B0,b，AB=AC且AB⊥AC，AC交y轴于E点．(1)如图1，若a2+b2-4a-8b+20=0，求C点坐标；(2)如图2，A，B两点分别在x轴，y轴正半轴上，E为AC的中点，BC交x轴于G点，连EG，若a=3，求G点的坐标；(3)如图3，A在x轴的负半轴上，以BC为边在BC的右侧作等边△BCD，连OD，当∠BOD=60°时，请探究线段OA、OB、OD之间的数量关系，并证明．【答案】(1)(-2,-2)(2)(-2,0)(3)OD=OB+2OA【分析】(1)利用完全平方公式将等式变形为两个数平方和的形式，即可求出a=2，b=4，如图1中，过点C作CH ⊥x轴于点H，证明△AHC≌△BOA，可得CH=OA=2，AH=OB=4，即可得到点C坐标．(2)根据(1)可得CH=OA=a，AH=OB=b，再由a=3，E为AC的中点，可得点C(-3,-3)，AH=OB=6，再利用面积法求出AG =5，即可解题；(3)过点C 作CH ⊥x 轴于点H ，在OD 上取一点M ，使得OM =OB ，证明△OBM 是等边三角形，进而证明△MBD ≌△OBC ，得∠BMD =∠BOC =120°，MD =OC ，再证明∠COH =30°，得OC =2CH =2OA ，即可得出OD =OB +2OA ．【详解】(1)解：∵a 2+b 2-4a -8b +20=0，∴(a 2-4a +4)+(b 2-8b +16)=0，即(a -2)2+(b -4)2=0，∴a =2，b =4，∴A 2,0 ，B 0,4如图1中，过点C 作CH ⊥x 轴于点H ，∵∠AHC =∠BOA =∠BAC =90°，∴∠CAH +∠BAO =90°，∠BAO +∠ABO =90°，∴∠CAH =∠ABO ，在△AHC 和△BOA 中，∠AHC =∠BOA∠CAH =∠ABO AC =BA，∴△AHC ≌△BOA (AAS )，∴CH =OA =2，AH =OB =4，∴OH =AH -OA =4-2=2∴点C 坐标为(-2,-2)；(2)如图2，同理(1)可证明：CH =OA =a ，AH =OB =b ，∵a =3，E 为AC 的中点，OE 平行于CH ，∴OA =OH =3，CH =3，∴点C (-3,-3)，AH =OB =6，AB =AC =OA 2+OB 2=62+32=35，∵S △ABC =S △AGC +S △AGB ，即12×35×35=12×3⋅AG +12×6⋅AG ，∴AG =5，∴GO =AG -OA =5-3=2，∴点G 坐标为(-2,0)；(3)结论：OD =OB +2OA ，如图3，过点C 作CH⊥x轴于点H ，同理可得：CH =OA ，AH =OB ，在OD 上取一点M ，使得OM =OB ，∵OM =OB ，∠BOD =60°，∴△OBM 是等边三角形，∴BO =BM ，∠OMB =60°，∴∠BMD =120°，∵△BCD 是等边三角形，∴BC =BD ，∠CBD =∠OBM =60°，∴∠DBM =∠CBO ，在△MBD 和△OBC 中，BM =OB∠DBM =∠CBO BD =BC，∴△MBD ≌△OBC (SAS )，∴∠BMD =∠BOC =120°，MD =OC ，∴∠COH =120°-90°=30°，∵CH ⊥x 轴，∴OC =2CH =2OA ，∵OD =OM +MD ，∴OD =OB +OC =OB +2OA【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．19已知△ABC 为等边三角形，D 是边AC 上的一点，连接BD ，E 为BD 上的一点，连接CE．(1)如图1，延长CE 交AB 于点G ．若∠DCG =15°，BG =2，求BC 的长；(2)如图2，将△BEC 绕点B 逆时针旋转60°至△BFA ，延长CB 至点M ，使得BM =DC ，连接AM 交BF 于点N ，探究线段FN ，DE ，BE 之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在(2)问的条件下，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，过点B 作BK ∥AH 且BK =AH ，连接HK ，NK ，NH ，NC ．若BC =4，当12BD +NK 的值最小时，请直接写出CD NH的值．【答案】(1)1+3(2)2FN +DE =BE ．理由见解析(3)277【分析】(1)作CF⊥BC，解直角三角形BFG求得BF和FG，进而解直角三角形CFG求得CF，从而得出结果；(2)延长BF至G，使FG=DE，连接AG，作BH∥AF，交BF于H，证明△ABG≌△CBD，进而证明△ANG≌ΔMNB，△AFN≌△MHN，△BMH≌△DCE，进一步得出结论；BD+NK最小，此时BG⊥AG，即BD⊥AC，进一步得出(3)可得出当K、N、G共线且与AG垂直时，12结果．【详解】(1)解：如图1，作CF⊥BC于F，∴∠CFG=∠BFG=90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，在Rt△BFG中，BG=2，∠ABC=60°，=1，∴BF=2cos60°=2×12=3，FG=2⋅sin60°=2×32在Rt△CFG中，FG=3，∠FCG=∠ACB-∠ACG=60°-15°=45°，∴CF=FG=3，tan∠FCG∴BC=BF+FC=1+3；(2)证明：如图2，延长BF至G，使FG=DE，连接AG，作BH∥AF，交BF于H，∴∠MHN=∠AFN，∠NMH=∠FAN，∴∠MHB=∠AFG∵△BEC绕点B逆时针旋转60°至△BFA，∴BF=BE，∠ABF=∠CBE，AB=BC，∴BG=BD，∴△ABG≌△CBD，∴AG=CD=BM，∠G=∠BDC=180°-∠CBE-∠ACB=120°-∠CBE，∵∠MBN=180°-∠ABC-∠ABF=120°-∠CBE，∴∠G=∠MBN，∴△ANG≌△MNB，∴AN=MN，∴△AFN≌△MHN，∴FN=NH，∵△ANG ≌△MNB ，∴NG =BN ，∵FN =NH ，∴BH =FG ，∵FG =DE∴BH =DE ，∵旋转，∴CE =AF ，∵△AFN ≌△MHN ，∴AF =MH ，∴MH =CE ，∵CD =BM ，∴△BMH ≌△DCE ，∴BH =DE ，∵FN +NH +BH =BF ，∴2FN +DE =BE ；(3)解：如图3，由(2)知：BD =BG =2BN ，∴12BD +NK =GN +NK ，∴当K 、N 、G 共线且与AG 垂直时，12BD +NK 最小，此时BG ⊥AG ，即BD ⊥AC ，如图4，连接NH ，∵AC =BC =4，∴CD =BH =2，BD =32BC =23，BN =GN =12BG =12BD =3，∵NH =BH 2+BN 2=2+(3)2=7，∴CD NH=277．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．。
全等三角形八大模型强化训练
全等三角形八大模型强化训练全等三角形八大模型强化训练？哇，听起来就像是个大招啊！我们平常说的全等三角形，简单来说，就是形状和大小都一样的三角形。
就像你跟朋友去吃火锅，点了两份一样的菜，放在桌上，乍一看，哇，简直一模一样！全等三角形有八种方法可以来证明它们的相等，今天咱们就轻松聊聊这些模型，让你在数学上也能一鸣惊人。
咱们得提到“边边边”，这个模型就像拼图一样，三条边都一样长，拼出来的图形自然一样。
这就好比你跟小伙伴一起在公园里比赛，看谁的风筝飞得高。
两个人的风筝线一样长，风筝飞得又稳，结果肯定飞得一样高嘛！接着是“边角边”，这就更有趣了，两个三角形有一条边和夹角相等，简直像是两个好朋友，一起在风中舞动，连角度都同步。
然后我们聊聊“角边角”，这个可别小看。
想象一下，你和你的好基友一起跳舞，都是同样的节奏、角度，肯定是默契十足！再来就是“边角角”，这里的边和角的配合就像做一道好菜，主料加配料，调和得当，最后出品自然完美。
而“角角角”这个模型就像是一场比赛，三个角都一样，谁都不想落后，拼得可凶了！还有“边边角”，这个就像是运动会，两个选手，大家拼命争夺那个金牌，最终的结果也不会有太大差别。
说到这里，咱们不得不提“全等三角形的标准”，这个就像是考试标准，规定了要符合哪些条件，才能让大家都信服。
就像是你去参加选秀，得过关斩将，才有可能走上舞台，最终大放异彩。
说到这些，心里总有点小紧张，毕竟数学是个很有趣但又让人感到头疼的东西。
感觉脑袋被绞成了麻花，不过只要掌握了这些全等三角形的模型，解题的时候就像拿到了一把金钥匙，打开一道道难关，真的是妙不可言。
正如那句老话：“不怕慢，就怕站”，只要努力，就一定能走得更远。
在这个过程中，别忘了多练习，真的是“多做多错”，错了才是进步的捷径。
咱们的数学老师常常说：“失败是成功之母”，这句话真是经典。
每次搞错，反而能更深刻地记住那个知识点，想想都觉得有点乐呵。
到了考试的时候，心里有底了，考得好不好，那简直就像中了彩票，心里乐开了花。
第12章 全等三角形 人教版八年级上册常见模型作业课件
(3)解:(1)中的结论成立,(2)中的结论不成立.理由如下:
∵∠BAE=∠CAF=m°,
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC,即∠EAC=∠BAF.
= ,
在△CAE和△FAB中,ቐ∠ = ∠,
= ,
∴△CAE≌△FAB(SAS),∴CE=BF.
∴(1)中的结论成立.
∴△ABD≌△ACE(ASA),∴BD=CE.
类型3
手拉手模型
6. 如图,∠BAE=∠CAF=90°,EC,BF相交于点M,AE=AB,AC=AF.
(1)求证:EC=BF.
(2)求证:EC⊥BF.
(3)若∠BAE=∠CAF=m°(m≠90),则(1)(2)中的结论还成立吗?请说明理由.
答案
6.(1)证明:∵∠BAE=∠CAF=90°,
= ,
所以△ABC≌△DEF(SAS),所以BC=EF.
类型1
平移模型
2. 如图,点B,C,E,F在同一条直线上,BC=EF,AC⊥BC于点C,DF⊥EF于点F,AC=DF.
求证:(1)△ABC≌△DEF;
(2)AB∥DE.
答案
2.证明:(1)∵AC⊥BC,DF⊥EF,
∴∠ACB=∠DFE=90°.
∠ = ∠,
在△BDP和△BCP中,ቐ = ,
∠3 = ∠4,
∴△BDP≌△BCP(ASA).
(2)由(1)知,△BDP≌△BCP,∴DP=CP.
= ,
在△ADP和△ACP中,ቐ ∠1 = ∠2,
= ,
∴△ADP≌△ACP(SAS),∴AD=AC.
类型3
手拉手模型
= ,
在△ABC和△DEF中,ቐ∠ = ∠,
专题06 全等三角形常见模型专题探究(原卷版)
专题06 全等三角形常见模型专题探究模型一 K型图【知识点睛】❖K型图模型总结K型全等模型变形——三垂定理：如图，亦有△ADC≌△CEB(AAS)总结：当一个直角放在一条直线上时，常通过构造K型全等来证明边相等，或者边之间的数量关系【类题训练】1．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点B在直线l上，过A作AD⊥l于D，过C作CE⊥l于E．下列给出四个结论：①BD＝CE；②∠BAD与∠BCE互余；③AD+CE＝DE．其中正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③2．如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若BC＝12，则AB的长为．3．（2021秋•惠民县月考）如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S＝．图形条件与结论辅助线注意事项条件：AC=BC,AC⊥BC结论：△ADC≌△CEB(AAS)分别过点A、B作AD⊥l,BE⊥lK型图可以和等腰直角三角板结合，也可以和正方形结合3．如图1，∠ABC＝90°，F A⊥AB于点A，D是线段AB上的点，AD＝BC，AF＝BD．（1）判断DF与DC的数量关系为，位置关系为．（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，过点A在AB的另一侧作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC，DF，CF，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．4．（2020秋•永年区月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝∠C＝50°，点D在边BC上运动（点D不与BC点重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交边AC于点E．（1）当∠BDA＝100°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由．5．（2022春•锦江区校级期中）已知Rt△ABC和Rt△ADE，AB＝AC，AD＝AE．连接BD、CE，过点A 作AH⊥CE于点H，反向延长线段AH交BD于点F．（1）如图1，当AB＝AD时①请直接写出BF与DF的数量关系：BF DF（填“＞”、“＜”、“＝”）②求证：CE＝2AF（2）如图2，当AB≠AD时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．6．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图（1）的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE ＝AD +BE ；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图（2）的位置时，求证：DE ＝AD ﹣BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图（3）的位置时，请直接写出DE ，AD ，BE 之间的等量关系．模型二 手拉手模型【知识点睛】❖ 手拉手模型总结手拉手模型在第一章只是表面应用，后续深层次应用需要在等腰三角形学完之后探究图形 条件与结论 辅助线条件： AD=AE 、AB=AC ∠BAC=∠DAE 结论： △ABD ≌△ACE(SAS) BD=CE分别连接BD 、CE【类题训练】1．如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，则∠BOC的度数是（）A．135°B．125°C．120°D．110°2．（2021秋•诸暨市月考）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD ＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．（1）求证：△BAD≌△CAE；（2）线段BD与线段CE的关系为，请说明理由．3．如图，在△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝90°，在△ACE中，AC＝AE，∠EAC＝90°，CD，BE相交于点F，有下列四个结论：①DC＝BE；②∠BDC＝∠BEC；③DC⊥BE；④F A平分∠DFE．其中，正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．（2021秋•长沙期末）如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，直线CD与直线BE交于点F．（1）求证：CD＝BE；（2）求∠CFB的度数．5．（2021秋•大连期末）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一动点（不与B、C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转∠BAC的度数，得到线段AE，连接CE，设∠BAC＝α，∠BCE＝β．（1）如图1，当点D在线段BC上时，用等式表示α与β之间的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D在线段CB延长线上时，补全图形，用等式表示α与β之间的数量关系，并证明．6．已知，∠MON＝90°，点A在边OM上，点P是边ON上一动点，∠OAP＝α．以线段AP为边在AP上方作等边△ABP，连接OB、BP，再以线段OB为边作等边△OBC（点C、P在OB的同侧），作CH⊥ON于点H．（1）如图1，α＝60°．①依题意补全图形；②求∠BPH的度数；（2）如图2，当点P在射线ON上运动时，用等式表示线段OA与CH之间的数量关系，并证明．模型三对称全等模型【知识点睛】❖对称全等模型总结常见基本图形：模型提取：1.对称变换基本特征：必有对称轴2.对称型全等模型常隐含的条件：具有公共边、公共角、有时全等三角形不止一对、对称轴会平分公共角3.全等证明常用解决手段：多想角度间的等量代换方法—角平分线的定义、内角和公式、外角定理等4.其特殊应用环境：角平分线的常见辅助线❖角平分线基本性质：角平分线上的点到角两边的距离相等（对称类全等经常和角平分线结合，可以考察角平分线的定义，也可以考察角平分线的性质定理）【类题训练】1．（2022•梧州模拟）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，CD ＝4，△CDE周长为12，则AC的长是（）A．14B．8C．16D．62．如图：D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（）A．5B．4C．3D．23．（2020秋•江岸区校级月考）如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折形成的，若∠1：∠2：∠3＝13：3：2，CD与BE交于O点，则∠EOC的度数为（）A．80°B．85°C．90°D．100°4．如图，已知点D、E是△ABC内两点，且∠BAE＝∠CAD，AB＝AC，AD＝AE．（1）求证：△ABD≌△ACE．（2）延长BD、CE交于点F，若∠BAC＝86°，∠ABD＝20°，求∠BFC的度数．5．（2022•嘉兴一模）在①OA＝OD，②∠ABC＝∠DCB，③∠ABO＝∠DCO这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．问题：如图，AC与BD相交于点O，∠1＝∠2．若，求证：AB＝DC．6．（2021秋•台安县月考）如图，四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，∠BCD＝150°，CB＝CD，M，N为AB、AD上的两个动点，且∠MCN＝75°．求证：MN＝BM+DN．7．（2021春•西安期末）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）△ABC≌△ADE吗？为什么？（2）求∠F AE的度数；（3）延长BF到G，使得FG＝FB，试说明CD＝2BF+DE．。
人教版 八年级数学上册 第12章 全等三角形之常见基本模型巩固练习(含答案)
人教版八年级数学上册第12章 全等三角形之常见基本模型巩固练习（含答案）例1 已知：如图，，，． 求证：．AB DE ∥AC DF ∥BE CF =AB DE =【答案】∵，∴AB DE ∥B DEF∠=∠∵，∴AC DF ∥F ACB∠=∠∵，∴ 即BE CF =BE EC CF EC +=+BC EF=∴，∴．()ABC DEF AAS ∆∆≌AB DE =例2如图1，A ，B ，C ，D 在同一直线上，AB =CD ，DE ∥AF ，且DE =AF ，求证：．如果将BD 沿着AD 边的方向平行移动，如图2，3时，其余条件AFC DEB ∆∆≌不变，结论是否成立?如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．【答案】成立，SAS例3如图，A 、E 、F 、B 四点在一条直线上，，，，AC CE ⊥BD DF ⊥AE BF =.AC BD = 求证：.CF DE =ABFEDCBA【答案】先证，()Rt ACE Rt BDF HL ∆∆≅ 再证即可得：()CEF DFE SAS ∆≅∆CF DE=例4 如图，AB=AC ，BE ⊥AC 于点E ，CD ⊥AB 于点D ，BE 、CD求证：△BDO ≌△CEO【答案】先证△ACD ≌△ABE （AAS ），得：AE=AD ，∴BD=CE ，∴△BDO ≌△CEO （AAS ）例5 如图所示， 已知，，，证明：．AB DC =AE DF =CE BF =AF DE =F DC BA【答案】∵， ∴， 即．CE FB =CE EF FB EF +=+CF BE =在和中，，∴≌()AEB ∆DFC ∆CF BE DC AB DF AE =⎧⎪=⎨⎪=⎩AEB ∆DFC ∆SSS ∴，在和中，AEF DFE ∠=∠AEF ∆DFE ∆AE DF AEF DFE EF FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴≌()，∴．AEF ∆DFE ∆SAS AF DE =例6 如图所示，是的中点，，，求证．C AB CD CE =DCA ECB ∠=∠DAE EBD ∠=∠EDC BA 【答案】因为，所以，DCA ECB ∠=∠DCA DCE ECB DCE ∠+∠=∠+∠即．ACE BCD ∠=∠在和中，由于，，，ACE ∆BCD ∆AC BC =ACE BCD ∠=∠CD CE =则，ACE BCD ∆∆≌从而，．EAC DBC ∠=∠AE BD =又在和中，注意到公用，则，ABD ∆BAE ∆AB ABD BAE ∆∆≌从而，DAB EBA ∠=∠所以，DAB EAC EBA DBC ∠-∠=∠-∠故．DAE EBD ∠=∠例7 旋转型全等的简单模型（1）（1）如图，已知，，，求证：.BC EC =BCE ACD ∠=∠AC CD =ABC DEC△≌△【答案】∵BCE ACE ACD ACE∠+∠=∠+∠∴ACB DCE ∠=∠又∵， ∴BC EC =AC CD =ABC DEC∆∆≅（2）如图，且，，求证：，．AB CD =AB CD ∥AF CE =BE DF =BE DF ∥【答案】证明，∴， ∴ABE CDF △≌△BE DF =BEA DFC ∠=∠BE DF∥E FDCB A（3）已知：是的高，点在的延长线上，，点在上，BD CE 、ABC ∆P BD BP AC =Q CE ，CQ AB =求证：⑴；⑵．ABP QCA ∆∆≌AP AQ ⊥【答案】如图，设交于．CE BD F ⑴ 由，，知BD CA ⊥CE AB ⊥．90BEF CDF ∠=︒=∠而，BFE CFD ∠=∠故．ABD QCA ∠=∠由已知，有，，从而．AB QC =BP CA =ABP QCA ∆∆≌⑵ 由⑴可得，而AQC PAB ∠=∠．90AQC QEA QAE QAE ∠=∠+∠=︒+∠．PAB PAQ QAE ∠=∠+∠从而可得，即．90PAQ ∠=︒AP AQ ⊥例8 等边三角形手拉手模型如图，点为线段上一点，、是等边三角形．请你证明：C AB ACM ∆CBN ∆（1）；AN BM =PDQCBEA（2）.DE AB ∥【答案】（1）∵、是等边三角形，ACM ∆CBN ∆∴，，MC AC =CN CB =ACN MCB ∠=∠∴，∴ACN MCB ∆∆≌AN BM=（2）由易推得，ACN MCB ∆∆≌NDC BEC ∆∆≌所以，又，CD CE =60MCN ∠=进而可得为等边三角形．易得．DEC ∆DE AB ∥练1 如图，，，．求证：．AC DE ∥BC EF ∥AC DE =AF BD =FEDCBA【答案】∵，∴AC DE ∥A D∠=∠∵，∴BC EF ∥EFD CBA ∠=∠又∵AC DE=∴ ∴ABC DFE ∆∆≌AB DF =∴ 即AB FB DF BF -=-AF BD=练2在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是BA 延长线上的一点，.12AF AB =求证：ABE ADF △≌△．EF ABCD 【答案】AF AE =，FAD EAB ∠=∠，AD AB =，由SAS 可证得两直角三角形全等练3 （1）如图所示，已知，．求证：．AD AE =DF EF =AB AC =A BC DEF【答案】连接，根据易得≌，进而得AF SSS ADF ∆AEF ∆C B∠=∠根据易得≌，进而得．AAS ABE ∆ACD ∆AB AC =（2）如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证：ED EB =．E DC B A4321【答案】∵12∠=∠，34∠=∠，AC AC=∴ACD ACB ∆∆≌∴AB AD=∴12∠=∠，AE AE =∴AED AEB ∆∆≌∴ED EB=练4如图，，，三点共线，且与是等边三角形，连结，分别B C E ABC ∆DCE ∆BD AE 交，于，点．求证：．AC DC M N CM CN =NMEDCBA【答案】∵与都是等边三角形ABC ∆DCE ∆∴，及BC AC =CD CE =60ACB DCE ∠=∠=︒∵，，三点共线B C E ∴，180BCD DCE ∠+∠=︒180BCA ACE ∠+∠=︒∴120BCD ACE ∠=∠=︒在与中BCD ∆ACE ∆∴，BC AC BCD ACE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩BCD ACE ∆∆≌∴CAN CBM∠=∠∵，120BCD ACE ∠=∠=︒60BCM NCE ∠=∠=︒∴60ACD ∠=︒在与中BCM ∆ACN ∆ ∴，∴．60BC AC BCM ACN CBM CAN =⎧⎪∠==︒⎨⎪∠=∠⎩BCM ACN ∆∆≌CM CN =。
八年级数学 专题1_全等三角形的常见模型练习测试
必刷题专题1 全等三角形的常见模型刷难关知识点一“X”型1. 如图所示，AC=BD，AO=BO，CO=DO，∠D=30°，∠A=95°，则∠AOB等于（）A.120°B.125°C.130°D.135°2. 如图，F是△ABC的边AC的中点，过C点作CE∥AB，连接EF并延长，交AB于点D. 求证：△ADF≌△CEF.知识点二共顶点的三角形旋转(手拉手模型)3. [2020辽宁抚顺期末，中]在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB= ∠COD=α，AC分别交BD，OB于点E，F.则∠AEB= .4. [难]已知，如图，在四边形ABCD 中，∠B+∠D=180°，AB=AD ，E ，F 分别是线段BC ，CD 上的点，且BE+FD=EF. 求证：∠EAF=12∠BAD.知识点三 一线三垂直型5. [2020辽宁沈阳铁西区校级月考，中]如图，已知三条平行直线1l ，2l ，3l ，1l ，2l 两条平行线间的距离为2，2l ，3l 两条平行线间的距离为4，将一等腰直角三角形如图放置，过A ，B 分别向直线3l 作垂线，垂足分别为D ，E ，则DE= .6. [2020四川攀枝花校级月考，较难]已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CA=CB ，直线l 经过点C ，过A 点作AD ⊥l 于点D ，过B 点作BE ⊥l 于点E（1）如图（1），求证：①△ACD ≌△CBE ；②AD+BE=DE ；（2）如图（2），AD+BE=DE 还成立吗？若不成立，请直接写出新的结论.（不用证明）知识点四中点型7. [中]如图，已知：CD=AB，∠BAD=∠BDA，AE是△ABD的中线，求证：AC=2AE.8. [2020湖北黄石下陆区期中，难]【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题如图，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围.经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD.请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是.A.SSSB.SASC.AASD.HL（2）求得AD的取值范围是.A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF. 求证：AC=BF.参考答案1. 答案：B解析：在△AOC 和△BOD 中，CO=DO AC=BD AO=BO ⎧⎪⎨⎪⎩，，，△AOC ≌AO=BO △BOD （SSS ），∴∠D=∠C=30°.∵∠AOB=∠A+∠C ，∠A=95°，∴∠AOB=95°+30°=125°，故选B.2. 答案：证明：∵CE ∥AB ，∴∠A=∠ACE ，∴F 是△ABC 的边AC 的中点，∴AF=CF.在△ADF 和△CEF 中，A=FCE AF=CF AFD=CFE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩，，，∴△ADF ≌△CEF （ASA ）.3. 答案：α解析：∵∠AOB=∠COD ，∴∠AOB+∠COB=∠COD+∠COB ，即∠AOC=∠BOD.∵在△AOC 和△BOD 中，OA=OB AOC=BOD OC=OD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△AOC ≌△BOD （SAS ），∴∠OAC=∠OBD.∵∠AFO=∠BFE ，∴∠AEB=∠AOB=α.4. 答案：证明：把△ADF 绕点A 顺时针旋转∠DAB 的度数得到△ABG ，AD 旋转到AB ，AF 旋转到AG ，如图，∴AG=AF ，BG=DF ，∠ABG=∠D ，∠BAG=∠DAF. ∵∠ABC+∠D=180°，∴∠ABC+∠ABG=180°，∴点G ，B ，C 共线.∵BE+FD=EF ，∴BE+BG=GE=EF.在△AEG 和△AEF 中，AG=AF AE=AE EG=EF ⎧⎪⎨⎪⎩，，，∴△AEG ≌△AEF ，∴∠EAG=∠EAF ，而∠BAG=∠DAF ，∴∠EAB+∠DAF=∠EAF ，∴∠EAF=12∠BAD. 5. 答案：10解析：∵AD ⊥3l 于点D ，BE ⊥3l 于点E ，∴∠ADC=∠CEB=90°.∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°.∵∠ACD+∠DAC=90°，∴∠CAD=∠BCE.在△ACD和△CBE中，ADC=CEBCAD=BCEAC=CB∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD=CE=2+4=6，CD=BE=4.∵DE=CE+CD，∴DE=6+4=10.6. 答案：（1）【证明】①∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°. ∵∠ACB=90°∴∠ACD+∠BCE=90°.∵∠ACD+∠DAC=90°∴∠CAD=∠BCE.在△ACD和△CBE中，ADC=CEBCAD=BCEAC=CB∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△ACD≌△CBE（AAS）.②由①得△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE. ∵·DE=CE+CD，∴AD+BE=DE.（2）不成立.AD-BE=DE.解析：7.答案：证明：延长AE至F，使AE=EF，连接BF，在△ADE与△FBE中，AE=FEAED=FEBDE=BE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△ADE≌△FBE，∴BF= DA，∠FBE=∠ADE.∵∠ABF=∠ABD+∠FBE，∠BAD=∠BDA，∴∠ABF=∠ABD+∠ADB=∠ABD+∠BAD=∠ADC.在△ABF与△CDA中，AB=CDABF=CDABF=DA⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△ABF≌△CDA，∴AF=AC.∵AF=2AE，∴AC=2AE..8.答案：【阅读理解】（1）【解】∵在△ADC和△EDB中，DC=DBADC=EDB DA=DE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△ADC≌△EDB（SAS），故选B.（2）【解】由（1）知△ADC≌△EDB，∴BE=AC=6，AE=2AD.∵在△ABE中，AB=8，BE=6，由三角形三边关系定理，得8-6<2AD<8+6，∴1<AD<7，故选C.【问题解决】【证明】延长AD到M，使DM=AD，连接BM，如图.∵AD是△ABC的中线，∴CD=BD.∴在△ADC和△MDB中，DC=DBADC=MDB DA=DM⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△ADC≌△MDB，∴BM=AC，∠CAD=∠M.∵AE=EF，∴△AEF为等腰三角形，∴∠CAD=∠AFE.∵∠AFE=∠BFD，∴∠BFD=∠CAD=∠M.过点B作BN⊥FM于点N，则∠BNM=∠BNF=90°.又∵∠M=∠BFN，BN=BN，∴△BNM≌△BNF（AAS），∴BM=BF. ∵BM=AC，∴.AC=BF.。
专题 全等三角形常见的基本模型(6大题型提分练)(原卷版)_1
八年级上册数学《第1章三角形的初步认识》专题全等三角形常见的基本模型平移模型展示沿同一直线 (BC) 平移可得两三角形重合 (BE=CF)1．（2024•荔湾区一模）如图，点E，C在线段BF上，BE＝FC，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DEF．求证：△ABC≌△DFE．2．已知：如图，点E是AC的中点，BA⊥AC于A，DE⊥AC于E，⊥B＝⊥D，求证：BE＝DC．3．（2023秋•枣阳市期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．求证：AC＝DF．4．（2023春•埇桥区期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．试说明：（1）△ABC≌△DEF；（2）∠A＝∠EGC．5．已知：如图，点B，E，C，F有同一直线l，AB⊥DE，且AB＝DE，BE＝CF，试判断线段AC与DF的数量关系以及位置关系．并证明．6．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．（1）求证：AC∥DF；（2）若∠B＝65°，∠F＝35°，求∠EOC的度数．7．如图，A、D、B、E四点在同一条直线上，AD＝BE，BC∥EF，BC＝EF．（1）求证：AC＝DF；（2）若CD为∠ACB的平分线，∠A＝25°，∠E＝71°，求∠CDF的度数．对称模型展示有公共边：有公共顶点：所给图形沿公共边所在直线或者经过公共顶点的某条直线折叠，两个三角形完全重合. 1．（2024春•秦都区校级月考）如图，在△ABC和△AED中，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，求证：2．（2023•越秀区校级二模）已知：如图，DB⊥AB，DC⊥AC，∠1＝∠2．求证：AD平分∠BAC．3．（2023春•桑植县期末）如图，∠A＝∠D＝90°，点B，E，F，C在同一直线上，AB＝CD，BE＝CF，求证：∠B＝∠C．4．（2024•碑林区校级模拟）如图．已知△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AB、AC上的中点，连接求证：BE＝CD．5．（2024春•碑林区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作DE∥BC，且AD＝AE，连接BD，CE．试说明：BD＝CE．6．（2024春•碑林区校级月考）如图，已知∠C＝∠E，AC＝AE，∠CAD＝∠EAB．求证：∠ABD＝∠ADB．7．（2024•凉州区校级三模）如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且OB＝OC．求证：AO平分∠BAC．8．（2023春•明水县期中）如图，在△ABE和△ACF中，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，BE＝CF．求证：（1）∠1＝∠2．（2）CM＝BN．旋转模型展示绕公共顶点旋转可得两个三角形重合.1．（2024•海珠区校级二模）如图，AD＝AB，∠D＝∠B，∠EAC＝∠DAB，求证：AE＝AC．2．（2023•大连）如图，在△ABC和△ADE中，延长BC交DE于F．BC＝DE，AC＝AE，∠ACF+∠AED ＝180°．求证：AB＝AD．3．如图，在⊥ABC和⊥ADE中，AB＝AC，AD＝AE，⊥BAD＝⊥CAE．求证：⊥ABD＝⊥ACE．4．（2024•阎良区校级二模）如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，若∠1＝∠2，∠E＝∠C，AE＝AC，求证：AB＝AD．5．（2024•长沙）如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数．6．（2023•宜兴市二模）如图，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，点D在线段AB上（与A，B不重合），连接BE．（1）证明：△ACD≌△BCE．（2）若BD＝3，BE＝7，求AB的长．7．（2024•杭州三模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．（1）求证：△ABD≌△ECB；（2）如果∠BDC＝75°，求∠ADB的度数．8．（2032秋•大同月考）已知△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AE与BD交于点F．（1）如图1．当α＝90°时．求证：①△ACE≌△BCD；②AE⊥BD；（2）如图2．当α＝60°时，直接写出∠AFB的度数为；（3）如图3，直接写出∠AFD的度数为（用含α的式子表示）．题型四旋转不共顶点模型1．（2024•泸州校级二模）如图AE＝BD，AC＝DF，BC＝EF，求证：EF∥BC．2．（2024•江阳区校级三模）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．求证：△ADE≌△BCF．3．（2023秋•翠屏区期末）小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点B、F、C、E在直线l上（点F、C之间的距离为池塘的长度），点A、D在直线l的异侧，且AB∥DE，旋转模型展示∠A＝∠D，测得AB＝DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝120m，BF＝38m，求池塘FC的长度．4．（2023春•连平县期末）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB∥DE，AB＝DE，求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）BC∥EF．5．（2023秋•大化县月考）如图，A、E、F、C四点在同一直线上，AE＝CF，过E、F分别作BE⊥AC，DF ⊥AC，且AB＝CD．求证：（1）AB∥CD；（2）BD平分EF．6．（2023春•碑林区校级期末）如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AF＝CE，BE＝FD，∠AEB＝∠CFD．（1）求证：△AEB≌△CFD；（2）若DF＝CF，∠ABE＝20°，∠DAC＝30°，求∠ADC的度数．7．如图所示，点A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD．（1）如图⊥所示，若EF与BD相交于点G，则EG与FG相等吗？试说明理由．（2）如图⊥所示，若将⊥DEC的边EC沿AC方向移动至图中所示位置时，其余条件不变，（1）中结论是否还能成立？请说明理由．题型五三垂直模型已知 A , B , C 三点共线,且∠1=∠2=∠3=90°.1．（2023春•钢城区期末）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．求证：△ABE≌△CAF．2．（2023秋•江州区期末）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示．（1）求证：△ADC≌△CEB；三垂直模型展示（2）已知DE＝49cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小和墙AD的高（每块砖的厚度都为a cm）．3．（2023春•横山区期末）如图，⊥ABC＝90°，F A⊥AB于点A，点D在直线AB上，AD＝BC，AF＝BD．（1）如图1，若点D在线段AB上，判断DF与DC的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，其他条件不变，试判断（1）中结论是否成立，并说明理由．4．如图，AB＝BC，AD＝DE，且AB⊥BC，AD⊥DE，又CG⊥BD的延长线于点G，EF⊥BD交BD的延长线于点F．求证：CG+EF＝BD．5．如图，在⊥ABC中，⊥ACB＝90°，AC＝BC，直线MN过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，在MN绕点C旋转过程中，以上关系保持不变（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2位置时，DE、AD、BE三者之间有怎样的等量关系，证明你的结论；（3）当直线MN绕点C旋转到图3位置时，试问：DE、AD、BE三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论．6．（2023秋•邓州市期中）已知∠ABC＝90°，D是直线AB上的点，AD＝BC，作F A⊥AB于点A，且AF ＝BD，连结DC、DF．（1）自主探究：如图1，当点D在线段AB上，点F在点A右侧时，DF与DC的数量关系为，位置关系为；（2）思考拓展：如图2，当点D在线段AB的延长线上，点F在点A的左侧时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）能力提升：当点D在线段BA的延长线上，点F在点A的侧时，（1）中的两个结论依然成立，若此时BC＝2，AB＝1，则AF的长度为．7．（203秋•阳信县期中）在△ABO中，∠AOB＝90°，AO＝BO，直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D（1）当直线MN绕点O旋转到图①的位置时，求证：CD＝AC+BD；（2）当直线MN绕点O旋转到图②的位置时，求证：CD＝AC﹣BD；（3）当直线MN绕点O旋转到图③的位置时，试问：CD、AC、BD有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．一线三等角模型展示（1）点P在线段AB上:（2）点P 在线段AB 的延长线上:已知A , P , B 三点共线,且∠1=∠2=∠3 .1．（2023•碑林区一模）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝∠B，D、E分别为AB、BC上一点，∠CDE＝∠A．若BC＝BD，求证：CD＝DE．2．（1）课本习题回放：如图①，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm．求BE的长．（2）探索证明：如图②，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF．3．（2023春•宽甸县期中）已知：CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，点E、F分别是直线CD 上两点，且∠BEC＝∠CF A＝∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，如图1，若∠BCA＝90°，∠a＝90°，则BE与CF的数量关系是．（2）如图2，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想：.并说明理由．4．（1）如图1，直线m经过等腰直角△ABC的顶点A，过点B、C分别作BD⊥m，CE⊥m，垂足分别为D、E，求证：BD+CE＝DE；（2）如图2，直线m经过△ABC的顶点A，AB＝AC，在直线m上取两点D，E，使∠ADB＝∠AEC＝α，补充∠BAC＝（用α表示），线段BD，CE与DE之间满足BD+CE＝DE，补充条件后并证明；（3）在（2）的条件中，将直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB ＝∠AEC＝（用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明．5．问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD＝∠C（不需要证明）；（1）特例探究：如图2，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF；（2）归纳证明：如图3，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；（3）拓展应用：如图4，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为3，则△ACF与△BDE的面积之和为．6．（2023春•平阴县期末）已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，∠BDA＝∠AEC ＝∠BAC．（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为，BD，CE与DE的数量关系为．（2）如图②，当AB不垂直于AC时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，DE＝10cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t与x的值；若不存在，请说明理由．7．（2024春•温江区校级期末）【模型熟悉】（1）如图1，已知△ABC和△DCE，点B、C、E在一条直线上，且∠B＝∠ACD＝∠E，AC＝CD，求证：BC＝DE；【模型运用】（2）如图2，在等边△ABC中，M、N分别为BC，AB边上的点，且ND＝NM，∠DNM＝60°，连接AD．若∠DAN＝30°，求证：CM＝2BN；【能力提升】（3）如图3，等边△ABC的面积是25，AB＝6，点D、F分别为AC、BC边上的动点，AD＝2CF，连接DF，以DF为边在△ABC内作等边△DEF，连接BE，当点D从点A运动到点C，请在图3中作出点E 的运动轨迹，并求出点E的运动路程．。
人教版初中数学八上 小专题(七) 全等三角形的基本模型
（2）若∠ABC＝35°，求∠CAO的度数.
（2）解：在Rt△ACB中，∠ABC＝35°， ∴∠CAB＝90°－∠ABC＝55°. 由（1）知△ACB≌△BDA， ∴∠BAD＝∠ABC＝35°， ∴∠CAO＝∠CAB－∠BAD＝20°.
类型三 旋转模型 3.如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°.
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求证：CE⊥BD.
证明：（2）由（1）知△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE. ∵∠BAC＝90°，∴∠ABD＋∠AGB＝90°. ∵∠AGB＝∠CGF，∴∠ACE＋∠CGF＝90°， ∴∠BFC＝90°，∴CE⊥BD.
类型四 三垂直模型
4.已知∠ABC＝90°，D是线段AB所在直线上的一点，AD＝BC.
解：（3）过点A作直线h∥y轴，过点B作BN⊥h于点N，过点C作CM⊥h于点M.
同（2）可得△ABN≌△CAM（AAS），
∴BN＝AM，CM＝AN.
设点A（m，n）.
∵点B（2，2），C（4，－2），
∴2－n＝4－m，n＋2＝2－m，
图3
∴m＝1，n＝－1，
∴点A的坐标为（1，－1）.
类型五 一线三等角模型 6.如图，D，A，E三点在同一条直线上，且∠D＝∠E＝∠BAC，AB＝AC，试探究
（1）如图1，点D在线段AB上，过点A作AF⊥AB，且AF＝BD，连接DC，DF，
CF，试判断△CDF的形状，并说明理由； 解：（1）△CDF是等腰直角三角形.理由如下： ∵AF⊥AB， ∴∠A＝90°＝∠B. ∵AF＝BD，AD＝BC， ∴△FAD≌△DBC（SAS）， ∴∠ADF＝∠BCD，DF＝DC，
∵AF⊥AB，∠ABC＝90°，∴∠A＝90°＝∠DBC.
微专题 全等三角形的常见模型
全等三角形的常见模型
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全等三角形的常见模型
F B
DA
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C Em
全等三角形的常见模型
A E
B
D
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C
全等三角形的常见模型
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全等三角形的常见模型
-9-
模型四 半角模型
等边三角 形含半角 (∠BDC=120°)
等腰直角三 角形含半角
正方形 含半角
全等三角形的常见模型
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典例5 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D,E在边AB 上,且∠DCE=45°.试说明:AD2+BE2=DE2.
全等三角形的常见模型
全等三角形的常见模型
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模型六 手拉手模型（二）
两个等腰直角三角形：
全等三角形的常见模型
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模型六 手拉手模型（三）
两个等边三角形：
全等三角形的常见模型
模 型 归 纳
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动画
全等三角形的常见模型
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例题 7
全等三角形的常见模型
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例题8
全等三角形的常见模型
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例题 9
典例3 如图,点A,F,C,D在一条直线上,AB∥DE, AB=DE,AF=DC.求证:BC∥EF.
全等三角形的常见模型
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类型2 共顶点的旋转模型 典例4 如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AC=5, ∠DAB=∠DCB=-8-
无论哪种类型,图中两个全等三角形满足其中一个可以通过 另一个旋转得到.其常见图形有:
全等三角形的常见模型
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模型二 对称模型
典例2 (2020·湖南怀化)如图,在△ABC和△ADC中,AB=AD,
全国人教版数学八年级上册课课练：12章专题训练1 全等三角形的基本模型(word、含答案)
专题训练全等三角形的基本模型▶模型一从教材数学活动(P53)中的筝形,探究全等基本轴对称模型1.定义:两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.如图①,若AD=CD,AB=CB,则四边形ABCD是筝形.(1)在同一平面内,△ABC与△ADE按图②所示的方式放置,其中∠B=∠D=90°,AB=AD,BC与DE相交于点F,请你判断四边形ABFD是不是筝形,并说明理由;(2)请你结合图①,写出筝形的一个判定方法(定义除外):在四边形ABCD中,若,则四边形ABCD是筝形.2.我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.如图,四边形ABCD是筝形,其中AB=AD,CB=CD,P是对角线AC上除A,C外的任意一点.求证:∠ABP=∠ADP.常见的轴对称模型还有(如图):▶模型二全等基本旋转模型之一——中点加倍型基本模型:如图①,D是BC的中点,DE=AD.模型变形1:如图②,D是BC的中点,CF⊥AD,BE⊥AD.模型变形2:如图③,D是BC的中点,MD=DN.3.如图,在△ABC中,AB=8,AC=5,AD是△ABC的中线,则AD的取值范围是.4.如图,在△ABC中,AD是中线,CE⊥AD于点E,BF⊥AD交AD的延长线于点F.求证:BF=CE.5.如图所示,∠BAC=∠BCA,AD为△ABC中BC边上的中线,延长BC至点E,使CE=AB,连接AE.求证:∠CAD=∠CAE.6.如图,已知AD是△ABC的中线,AM⊥AB,AM=AB,AN⊥AC,AN=AC.求证:MN=2AD.常见的旋转模型还有(如图):▶模型三一线三等角模型常见的一线三等角模型:7.探究:如图①,点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上,点E,F在∠MAN内部的射线AD 上,∠1,∠2分别是△ABE,△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证:△ABE≌△CAF.拓展:如图②,在△ABC中,AB=AC,AB>BC,点D在边BC上,且CD=2BD,点E,F在线段AD 上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15,求△ABE与△CDF的面积之和.8.(1)如图①,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=CA,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为D,E.求证:DE=BD+CE.(2)如图②,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=CA,D,A,E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角,则结论DE=BD+CE是否成立?若成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.答案1.解:(1)四边形ABFD 是筝形. 理由:连接AF .在Rt △AFB 和Rt △AFD 中,{AF =AF ,AB =AD ,∴Rt △AFB ≌Rt △AFD (HL).∴BF=DF . 又∵AB=AD ,∴四边形ABFD 是筝形.(2)答案不唯一,如图AD=CD ,∠ADB=∠CDB 2.证明:在△ABC 和△ADC 中,{AB =AD ,AC =AC ,CB =CD ,∴△ABC ≌△ADC (SSS). ∴∠BAC=∠DAC.在△BAP 和△DAP 中,{AB =AD ,∠BAP =∠DAP ,AP =AP ,∴△BAP ≌△DAP (SAS). ∴∠ABP=∠ADP .3.1.5<AD<6.5 如图,延长AD 到点E ,使DE=AD ,连接BE.∵AD 是△ABC 的中线, ∴BD=CD.在△ADC 和△EDB 中,{CD =BD ,∠ADC =∠EDB ,AD =ED ,∴△ADC ≌△EDB (SAS).∴AC=EB. ∵AB-EB<AE<AB+EB , ∴AB-AC<2AD<AB+AC. ∵AB=8,AC=5,∴1.5<AD<6.5.4.证明:∵CE⊥AD,BF⊥AD,∴∠CED=∠BFD=90°.∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD.在△BFD和△CED中,{∠BFD=∠CED,∠BDF=∠CDE, BD=CD,∴△BFD≌△CED(AAS).∴BF=CE.5.证明:如图,延长AD到点F,使得DF=AD,连接CF.∵AD为△ABC中BC边上的中线,∴BD=CD.在△ADB和△FDC中,{AD=FD,∠ADB=∠FDC, BD=CD,∴△ADB≌△FDC(SAS).∴AB=CF,∠B=∠DCF.∵CE=AB,∴CE=CF.∵∠ACE=∠B+∠BAC,∠ACF=∠DCF+∠BCA,∠BAC=∠BCA,∴∠ACE=∠ACF.在△ACF和△ACE中,{AC=AC,∠ACF=∠ACE, CF=CE,∴△ACF≌△ACE(SAS).∴∠CAD=∠CAE.6.证明:如图,延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD.在△BDE 和△CDA 中,{BD =CD ,∠BDE =∠CDA ,DE =DA ,∴△BDE ≌△CDA (SAS). ∴BE=AC=AN ,∠DBE=∠DCA. ∴AC ∥BE.∴∠ABE+∠BAC=180°. ∵∠BAM=∠CAN=90°, ∴∠MAN+∠BAC=180°. ∴∠ABE=∠MAN.在△ABE 和△MAN 中,{AB =MA ,∠ABE =∠MAN ,BE =AN ,∴△ABE ≌△MAN (SAS).∴AE=MN. ∵AE=2AD ,∴MN=2AD. 7.解:探究:证明:∵∠1=∠2=∠BAC ,且∠1=∠BAE+∠ABE ,∠2=∠CAF+∠ACF ,∠BAC=∠BAE+∠CAF ,∴∠BAE=∠ACF ,∠ABE=∠CAF . 在△ABE 和△CAF 中,{∠BAE =∠ACF ,AB =CA ,∠ABE =∠CAF ,∴△ABE ≌△CAF (ASA). 拓展:∵∠1=∠2=∠BAC ,且∠1=∠BAE+∠ABE ,∠2=∠CAF+∠ACF ,∠BAC=∠BAE+∠CAF , ∴∠BAE=∠ACF ,∠ABE=∠CAF . 在△ABE 和△CAF 中,{∠BAE =∠ACF ,AB =CA ,∠ABE =∠CAF ,∴△ABE ≌△CAF (ASA).∴S △ABE =S △CAF . ∴S △ABE +S △CDF =S △CAF +S △CDF =S △ACD . ∵CD=2BD ,△ABC 的面积为15, ∴S △ACD =10. ∴S △ABE +S △CDF =10.8.解:(1)证明:∵BD ⊥直线m ,CE ⊥直线m ,∴∠BDA=∠AEC=90°.∴∠BAD+∠ABD=90°.∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°.∴∠CAE=∠ABD.在△ADB和△CEA中,{∠ABD=∠CAE,∠BDA=∠AEC, AB=CA,∴△ADB≌△CEA(AAS).∴BD=AE,AD=CE.∴DE=AE+AD=BD+CE.(2)成立.证明:∵∠BDA=∠BAC=α,∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠EAC=180°-α.∴∠DBA=∠EAC.在△ADB和△CEA中,{∠DBA=∠EAC,∠BDA=∠AEC, AB=CA,∴△ADB≌△CEA(AAS).∴BD=AE,AD=CE.∴DE=AE+AD=BD+CE.。
全等三角形模型训练题(含倍长中线截长补短手拉手一线三角模型)
全等三角形模型训练题（含倍长中线.截长补短.手拉手.一线三角模型）1．一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（）A．x＞5B．x＜7C．4＜x＜14D．2＜x＜72．已知AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，则中线AD的取值范围是（）A．2＜AD＜10B．4＜AD＜20C．1＜AD＜4D．以上都不对3．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，AD是△ABC的中线，则AD的取值范围是（）A．3＜AD＜13B．1.5＜AD＜6.5C．2.5＜AD＜7.5D．10＜AD＜164．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，且AB+BD＝AC，若∠B＝62°，则∠BAC的度数为（）A．87°B．86°C．85°D．84°5．如图，点B为线段AD上一点，分别以AB和BD为边在线段AD的同侧作两个等边三角形，得到△ABC和△BDE．连接AE，CD，交点为O，则∠AOD的度数为（）A．105°B．120°C．135°D．150°6．如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，则∠BOC的度数是（）A．135°B．125°C．120°D．110°7．如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于D，AB＝AC+CD，∠C＝80°，那么∠B的度数是．8．如图，∠A＝2∠C，BD平分∠ABC，BC＝8，AB＝5，则AD＝9．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论正确的是．①∠AOB＝60°；②AP＝BQ；③PQ∥AE；④DE＝DP；⑤△ACD≌△BCE10．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD．（1）求证：AB＝AC；（2）求∠ADC的度数．11．已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，求证：∠B＝∠C．12．正方形ABCD中，点F在DC延长线上，点E在CB延长线上，∠EAF＝45°，证明：BE＝EF+DF．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别在BC、AC边上，且∠1＝∠B，AD＝DE，求证：△ADB≌△DEC．14．在△ABC中，已知AB＝AC，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且BD＝CE，∠FDE＝∠B，（1）说明△BFD与△CDE全等的理由；（2）如果△ABC是等边三角形，那么△DEF是等边三角形吗？试说明理由．15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（不与点B，C 重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝°，当点D从点B向点C运动时，∠BDA 逐渐变（填“大”或“小”）．（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由．16．如图，已知∠A＝∠B＝∠DCE，CD＝CE．（1）说明△ACD与△BEC全等的理由；（2）请判断线段AB、AD、BE之间有怎样的数量，并说明理由．17．补充完成下列推理过程：．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是BC，AC上的点，且BD＝CE，连接AD，DE，若∠ADE＝∠B．求证：AD＝DE．证明：∵AB＝AC∴∠B＝∠C（）∵∠ADC＝∠B+∠（）且∠ADE＝∠B∴∠ADC＝∠ADE+∠又∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE∴∠BAD＝∠CDE在△BAD和△CDE中．∠B＝∠C∠BAD＝∠CDE＝∴△BAD≌△CDE（）∴AD＝DE（）18．阅读下列材料，完成相应任务．数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知△ABC中，AD是BC边上的中线．求证：AB+AC＞2AD．智慧小组的证法如下：证明：如图2，延长AD至E，使DE＝AD，∵AD是BC边上的中线∴BD＝CD在△BDE和△CDA中∴△BDE≌△CDA（依据一）∴BE＝CA在△ABE中，AB+BE＞AE（依据二）∴AB+AC＞2AD．任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：；依据2：．归纳总结：上述方法是通过延长中线AD，使DE＝AD，构造了一对全等三角形，将AB，AC，AD转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．任务二：如图3，AD是BC边上的中线，AB＝3，AC＝4，则AD的取值范围是；任务三：如图4，在图3的基础上，分别以AB和AC为边作等腰直角三角形，在Rt△ABE 中，∠BAE＝90°，AB＝AE；Rt△ACF中，∠CAF＝90°，AC＝AF．连接EF．试探究EF与AD的数量关系，并说明理由．19．“截长补短法”证明线段的和差问题：先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究．背景材料：（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．探究的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出的结论是．探索问题：（2）如图2，若四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD 上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程．20．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若AC＝5cm，求四边形ABCD的面积．解：延长线段CB到E，使得BE＝CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE＝AC＝5，∠EAB＝∠CAD，则∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC＝∠BAD＝90°，得S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝S△ABC+S△ABE＝S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为cm2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG＝FN＝HM＝GH+MN＝5cm，∠G＝∠N＝90°，求五边形FGHMN的面积．21．如图1，△ABC和△ECD都是等边三角形，且B、C、D三点共线，连接AD、BE，两线交于F点．（1）求证：∠EBC＝∠DAC；（2）求出∠AFB的大小；（3）若点B、C、D三点不共线，且点E在△ABC内，如图2，连接AD、BE，两线的延长线交于点F．①判断图中是否有全等的三角形？若有，直接写出结论：若没有，此问不用写；②求∠AFB的度数．22．【阅读材料】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC ＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则△ABD≌△ACE．【材料理解】（1）在图1中证明小明的发现．【深入探究】（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，求∠BOC的度数．【延伸应用】（3）如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系．23．阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若∠BAC ＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则BD＝CE．（1）在图1中证明小胖的发现；借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题：（2）如图2，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，求证：AD+CD＝BD；（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝m°，点E为△ABC外一点，点D为BC 中点，∠EBC＝∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度数（用含有m的式子表示）．24．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD ⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．猜测DE、BD、CE三条线段之间的数量关系（直接写出结果即可）．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问第（1）题中DE、BD、CE之间的关系是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E 三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断线段DF、EF的数量关系，并说明理由．。