一元一次函数和一元二次函数零点存在的初等证明

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高中数学讲义：零点存在的判定与证明

零点存在的判定与证明一、基础知识：1、函数的零点：一般的，对于函数()y f x =，我们把方程()0f x =的实数根0x 叫作函数()y f x =的零点。

2、零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ×<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内必有零点，即()0,x a b $Î，使得()00f x =注：零点存在性定理使用的前提是()f x 在区间[],a b 连续，如果()f x 是分段的，那么零点不一定存在3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。

因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调4、几个“不一定”与“一定”（假设()f x 在区间(),a b 连续）（1）若()()0f a f b ×<，则()f x “一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。

要分析()f x 的性质与图像，如果()f x 单调，则“一定”只有一个零点（2）若()()0f a f b ×>，则()f x “不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。

如果()f x 单调，那么“一定”没有零点（3）如果()f x 在区间(),a b 中存在零点，则()()f a f b ×的符号是“不确定”的，受函数性质与图像影响。

如果()f x 单调，则()()f a f b ×一定小于05、零点与单调性配合可确定函数的符号：()f x 是一个在(),a b 单增连续函数，0x x =是()f x 的零点，且()0,x a b Î，则()0,x a x Î时，()0f x <；()0,x x b Î时，()0f x >6、判断函数单调性的方法：（1）可直接判断的几个结论：① 若()(),f x g x 为增（减）函数，则()()f x g x +也为增（减）函数② 若()f x 为增函数，则()f x -为减函数；同样，若()f x 为减函数，则()f x -为增函数③ 若()(),f x g x 为增函数，且()(),0f x g x >，则()()f x g x ×为增函数（2）复合函数单调性：判断()()y f g x =的单调性可分别判断()t g x =与()y f t =的单调性（注意要利用x 的范围求出t 的范围），若()t g x =，()y f t =均为增函数或均为减函数，则()()y f g x =单调递增；若()t g x =，()y f t =一增一减，则()()y f g x =单调递减（此规律可简记为“同增异减”）（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图像7、证明零点存在的步骤：（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数()f x （3）分析函数()f x 的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间（4）利用零点存在性定理证明零点存在例1：函数()23x f x e x =+-的零点所在的一个区间是（）A.1,02æö-ç÷èø B.10,2æöç÷èø C.1,12æöç÷èø D.31,2æöç÷èø思路：函数()f x 为增函数，所以只需代入每个选项区间的端点，判断函数值是否异号即可解：1211234022f e -æöæö-=+×--=-<ç÷ç÷èøèø，()020f =-<11232022f æö=+×-=-<ç÷èø()12310f e e =+-=->()1102f f æö\×<ç÷èø01,12x æö\Îç÷èø，使得()00f x =答案：C例2：函数()()ln 1f x x x =-+的零点所在的大致区间是（）A.31,2æöç÷èø B.3,22æöç÷èøC.()2,eD.(),e +¥思路：先能判断出()f x 为增函数，然后利用零点存在性判定定理，只需验证选项中区间端点函数值的符号即可。

一次函数与二次函数的基本性质总结

一次函数与二次函数的基本性质总结一次函数与二次函数在数学中是非常重要的函数类型，它们在各个领域的应用非常广泛。

以下是一次函数和二次函数的基本性质总结。

一、一次函数的基本性质1. 定义：一次函数又称为线性函数，其表达式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，a称为斜率，b称为截距。

2. 斜率：一次函数的斜率表示了函数图像的倾斜程度，斜率为正表示函数上升，斜率为负表示函数下降，斜率为零表示函数水平。

3. 截距：一次函数的截距表示了函数图像与y轴的交点位置，当x 为0时，函数的值为截距b。

4. 图像：一次函数的图像为一条直线，且直线方向与斜率相关。

5. 平行和垂直：一次函数的图像平行于x轴时，斜率为0；平行于y轴时，没有斜率；斜率相等的一次函数平行。

二、二次函数的基本性质1. 定义：二次函数的标准形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b和c 为常数，其中a≠0。

2. 平移和翻折：二次函数可以通过平移和翻折来改变其图像的位置和形状。

平移可以由a、b和c的值来控制；翻折可以通过改变a的正负来实现。

3. 顶点坐标：二次函数的图像是一个抛物线，其顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

4. 对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点和x轴垂直的线，其方程为x = -b/2a。

5. 开口方向：二次函数的开口方向由a的正负决定。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

6. 最值：二次函数的最值即抛物线的最高点或最低点，当a>0时存在最小值，当a<0时存在最大值。

综上所述，一次函数和二次函数有着不同的性质和表现形式。

一次函数是一条直线，其关键在于斜率和截距的确定；二次函数是一个抛物线，其关键在于顶点、对称轴、开口方向和最值的确定。

这些性质和特点是我们研究和应用一次函数和二次函数的基础，对于理解和解决具体问题非常有帮助。

在实际应用中，我们可以利用这些性质来分析和解决与一次函数和二次函数相关的问题，如物理运动、经济模型等等。

一元一次函数和一元二次函数零点存在的初等证明

２．３
式）
÷，故口一（７２＋１）２．
（ＩＩ）当ｂ一２时，由（Ｉ）知口一（＋１）２．
当ｂ ≠ ２时，２不是特征方程的根，则可设ｂ一Ａ・２，代
＋＝ｐａ＋＿厂（ ” ）型数列（声为常数，＿厂（ｎ）为的形
（ａｘｌ＋ｂ）（ａｘ２＋ｂ）＜０即：
由
ｚ＋得（去）＜．
口Ｚａ
所以二ｚ二＜＜＿－ｂ＋，／￣－－４ａｃ
又由＿厂（Ｔ０）一０，即ａ．ＴＣ５＋ｂｘｏ＋ｃ一０，解得－ｒ。一— －— ｂ￣
证明：函数ｆ（）一ｄ－丁＋ｂｘ＋ｃ（口 ≠０）的零点即方程
口ｚ。＋ｂｘ＋ｃ一０（ｎ ≠ ０）的根．由题意知 △一ｂ一４ａｃ＞０（否则不满足（ｚ、） ’ （）＜０），所以方程口。＋ｂｘ＋ｆ一
ｃ一
２ — ２６
，将ａｌ一２代入，解得
ｂ（盘十】一口）一２＝（６—１），＋１．即ｎｎ＋ｌ＝ｂａ＋２ ” ． ③
— — — ～
（）２吨（一ｂ）＋ｘｌｘ２＜。，解得一鲁＜
２，
．
ａ
＞－ｂ＋
所以３０＝一 ∈（１，２），使ｆ（ｘ０）一Ｏ．命题２函数＿，（）＝ “ ＋６ｚ＋ｆ（ Ⅱ≠ ０）满足：

高中数学：函数零点的概念及求法，用二分法求方程的近似解

高中数学：函数零点的概念及求法，用二分法求方程的近似解一、知识点1、函数的零点对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点。

2、方程的根与函数的零点的关系：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。

3、函数零点的存在性对函数零点的存在性应从以下几方面进一步理解：（1）函数的图象是连续的，当它通过零点（不是二重零点）时，函数值变号；（2）相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；（3）在函数的某一单调区间内，至多有一个零点；（4）如果函数在一个区间上的图象不间断，并且它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间至少有一个零点。

4、二分法对于在区间[a，b]上连续不断、且f（a）· f（b）＜0的函数y＝f （x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。

5、用二分法求方程的近似解步骤：（1）确定区间[a，b]，验证f（a）·f（b）＜0，给定精确度ε；（2）求区间（a，b）的中点x1；（3）计算f（x1）；1）若f（x1）＝0，则x1就是函数的零点；2）若f（a）·f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，x1））；3）若f（b）·f（x1）＜0，则令a＝x1（此时零点x0∈（x1，b））。

（4）判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点的近似值a（或b）；否则重复2～4。

说明：1）二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是：函数零点的存在性。

2）二分法中运用了“逐步逼近”的数学思想，它是通过不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值（即方程近似解）。

“逐步逼近”思想在许多数学知识中都有很好的运用，希望同学们在学习中要多加领会。

3）二分法求函数零点的不足：二分法的思路虽然简单，但一方面，若函数在上有几个零点时，则只能算出一个零点；另一方面，即使函数在上有零点，也未必有，这就限制了二分法的使用范围。

二次函数的零点问题

二次函数在给定区间上的零点分布一学习目标：学会如何通过研究函数的图象确定二次函数在给定区间上的零点分布.二知识点精讲一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。

这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。

函数与方程思想：若y =()f x 与x 轴有交点0x ⇔f (0x )=0若y =f (x )与y =g (x )有交点(0x ，0y )⇔()f x =()g x 有解0x 。

下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。

1．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。

比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧．设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤．1方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个正根：01>x ，02>x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧∆=-≥⎪⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩推论：01>x ，02>x⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=<≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 上述推论结合二次函数图象不难得到．2方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个负根：01<x ，02<x ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆000421212a c x x a b x x ac b 推论：01<x ，02<x⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>=>≥-=∆0)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 由二次函数图象易知它的正确性．3方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个异号根：210x x <<⇔0<ac ．4 ○1方程02=++c bx ax （0≠a ）有一个零根，一个正根：01=x ，02>x ⇔0=c 且0<ab ；（2）方程02=++c bx ax （0≠a ）有一个零根，一个负根：01<x ，02=x ⇔0=c 且0>a b ．2．一元二次方程的非零分布——k 分布设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤。

考研数学重要定理性质及公式证明总结

考研数学重要定理、性质及公式证明总结1. 证明一元函数可微、可导及连续的关系 :（1）函数y = f ( x )在点x 0处可微的充分必要条件是函数y = f ( x )在点x 0处可导,且当函数y = f (x )在点x 0处可微时,有dy = f '( x 0 ) ∆x = f '( x 0 ) d x ；（2）如果函数y = f ( x )在点x 0处可导,则函数函数y = f ( x )在点x 0处必连续,反之不一定.证明:（1）参看同济教材七版上册111页；（2）参看同济教材七版上册82页.2. 证明费马定理 :设函数f ( x )在x = x 0处可导且取极值,则f '( x 0 ) =0. 证明:参看同济教材七版上册125页.3. 证明罗尔定理 :设f ( x )在[a , b ]上连续,在(a , b )内可导,且f (a ) = 证明:参看同济教材七版上册126页.4. 证明柯西中值定理 :f (b ),则至少存在一点ξ ∈(a ,b ), 使得f '(ξ ) =0. 设f ( x )、g ( x )在[a , b ]上连续, (a , b )内可导, 且g '( x ) ≠ 0,则∃ξ ∈(a , b ),使得f (b ) - f (a ) = f '(ξ ).证明:参看同济教材七版上册130页.5. 证明洛必达法则:设f ( x ), g ( x )在点x 0的某去心邻域内可导,且g '( x ) ≠ 0, 又满足:f '( x )f ( x )g (b ) - g (a )f '( x )g '(ξ )（1）lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0（, 2）极限lim 存在或为∞;则lim = lim .x →x 0 x → x 0 x →x 0 g '( x ) x →x 0 g ( x ) x → x 0 g '( x ) 证明:参看同济教材七版上册133页.6. 证明函数单调性的充分判别法 :设f ( x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导,且f '( x ) > 0 (< 0), 则f ( x )在[a , b ]上单调增加（单调减少）. 证明:参看同济教材七版上册144页.7. 证明曲线凹凸性的充分判别法 :设f ( x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内二阶可导,且f ''( x ) > 0 (< 0), 则f ( x )在[a , b ]上的图形是凹的（凸的）. 证明:参看同济教材七版上册148页.8. 证明极值点的充分条件 :设f (x )在x = x 0处二阶可导, f '( x 0 ) = 0, 若f '( x 0 ) > （0 证明:参看同济教材七版上册155页.< 0）,则x = x 0是极小（大）值点.a∆ → a 9. 证明拐点的必要条件及充分条件 :（1）设f ( x )在x = x 0处二阶可导,且点( x 0 , f ( x 0 ))是曲线f (x )的拐点,则f ''( x 0 ) = 0；（2）设f (x )在x = x 0处三阶可导, f ''( x 0 ) = 0, 若f ''( x 0 ) ≠ 0, 则点(x 0 , f ( x 0 ))是曲线f (x )的拐点. 证明:（1）设f ''( x 0 )∃ ⇒ f ( x )在x = x 0的某邻域可导,因( x 0 , f ( x 0 ))是曲线的拐点 ⇒ f ( x )在x = x 0的两侧凹凸性相反⇒ f '( x )在x = x 0的两侧单调性相反,又f '( x )在x = x 0连续 ⇒ x = x 0是f '( x )的极值点,对f '( x )使用费马定理, 得f ''( x 0 ) = 0.（2）f ''( x ) = lim f '( x ) - f '( x 0 ) = lim f '( x ) > 0或< 0 ⇒ f '( x )在x = x 两侧异号 0x → x 0 x - x x →x 0 x - x0 0 0⇒ ( x 0 , f ( x 0 ))是曲线f (x )的拐点.10. 证明积分中值定理 :设f ( x )在[a , b ]上连续,则至少存在一点ξ ∈(a , b ), 使得⎰b f ( x )dx =f (ξ )(b - a ). 证明:参看同济教材七版上册242页例6.11. 证明变限积分函数的连续性 :设f ( x )在[a , b ]上可积,则对∀x 0 ∈[a , b ], 有F ( x ) = xf (t )dt 在[a ,b ]上连续.证明:因f ( x )在[a , b ]上可积, 故f ( x )在[a , b ]上有界,则可设 f ( x ) ≤ M （x ∈[a , b ]）.x +∆xx +∆x 又∀x , x + ∆x ∈[a , b ], 有 ∆F = F ( x + ∆x ) - F ( x ) = ⎰xf (t ) d t - ⎰x f (t )dt = ⎰xf (t )dtx +∆x x +∆x≤ ⎰xf (t ) d t ≤ ⎰xMdt = M ∆x ,因此,当x , x + ∆x ∈[a ,b ]时,lim ∆F = 0,即F ( x )在[a , b ]上连续.x 012. 证明牛顿 — 莱布尼茨公式:设F ( x )是连续函数f ( x )在区间[a , b ]上的一个原函数,则⎰bf ( x )dx = F (b ) - F (a ). 证明:参看同济教材七版上册240页.13. 证明二元函数可微的必要条件 :设z = f ( x , y )在点( x , y )处可微,则z = f ( x , y )在点( x , y )处可导,且z = f ( x , y )在点( x , y )处的全微分dz = ∂z dx + ∂zdy .∂x ∂y证明: 参看同济教材七版下册73页.14. 证明二元函数可微的充分条件 :设z = f (x , y )的两个偏导数∂z , ∂z在点( x , y )处都连续,则z = f ( x , y )在点( x , y )处可微. ∂x ∂y证明: 参看同济教材七版下册74页.⎰x⎰L Pdx + Qdy = ⎪ ∑ ∞15. 证明比值判别法（数一数三）:⎧⎪⎪ρ < 1 ⇒ ∑ n =1u n 收敛 ∞ u n +1 ⎪ ∞设∑u n 为正项级数, 设ρ = lim ,则⎨ ρ > 1 ⇒ ∑u n 发散n =1 n →∞ u n⎪⎪ρ = 1 ⇒ ∞ n =1u n 可能收敛也可能发散 ⎩证明: 参看同济教材七版下册262页.16.证明阿贝尔定理（数一数三）:∞n =1 如果级数∑ a x n 当x = x ( x ≠ 0)时收敛,那么满足 x < x 的一切x 都使该幂级数绝对收敛;nn =0 ∞反之,如果级数∑ a x n 当x = x 时发散,那么满足 x > x 的一切x 都使该幂级数发散.nn =0证明: 参看同济教材七版下册274页.17. 证明格林公式（数一）:设区域D 由分段光滑的闭曲线L 围成,函数P ( x , y )及Q ( x , y )在D 上具有一阶连续偏导数,则 ⎛ ∂Q - ∂P ⎫⎰⎰ ∂x ∂y ⎪dxdy . D ⎝ ⎭证明: 参看同济教材七版下册205页.18. 证明曲线积分与路径无关问题（数一）:我们已知:设P ( x , y ), Q ( x , y )在区域D 上连续,则曲线积分⎰LPdx + Qdy 在D 内与路径无关⇔ 对区域D 内∀ 分段光滑闭曲线C , 有⎰CPdx + Qdy = 0.证明: 设区域D 是一个单连通区域,函数P ( x , y ), Q ( x , y )在D 上具有一阶连续偏导数,则曲线积分⎰ Pdx + Qdy 在D 内与路径无关 ⇔ ∂Q = ∂P(( x , y )∈ D ).L证明: 参看同济教材七版下册209页.∂x ∂y 证明: 设区域D 是一个单连通区域,函数P ( x , y ), Q ( x , y )在D 上具有一阶连续偏导数,则Pdx + Qdy 在D 内是某一函数u ( x , y )的全微分⇔ ∂Q = ∂P(( x , y )∈ D ).∂x ∂y （这里的u ( x , y )也称为Pdx + Q dy 的一个原函数）证明: 参看同济教材七版下册211页.。

二次函数与一次函数

二次函数与一次函数二次函数和一次函数都是高中数学课程中的重要内容，它们在代数学中有着广泛的应用。

本文将详细介绍二次函数和一次函数的定义、特征以及它们之间的关系。

一、二次函数的定义和特征二次函数是一个非常常见的函数形式，其一般表达式为 f(x) = ax² + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。

二次函数的图像通常为一个开口朝上或朝下的抛物线。

1. 零点和解析式二次函数的零点是指使函数等于零的 x 值。

对于二次函数 f(x) = ax²+ bx + c，其零点可以通过求解二次方程 ax² + bx + c = 0 来获得。

一般情况下，二次函数有两个零点，除非该函数没有实数解。

2. 对称轴和顶点二次函数的对称轴是垂直于函数图像的一条直线，它通过抛物线的最高点或最低点，也称为顶点。

对称轴的方程可以通过将二次函数的 x 换成 -b/2a 来得到。

3. 开口和凹凸性二次函数的开口方向由 a 的正负决定。

当 a > 0 时，抛物线开口朝上；当 a < 0 时，抛物线开口朝下。

凹凸性是指在对应开口的一侧，抛物线的曲率是向上还是向下，与开口的方向相反。

4. 函数图像二次函数的图像形状是一个抛物线。

根据 a 的正负和顶点的位置，抛物线的形态可以有所不同。

当 a > 0 时，抛物线开口朝上，顶点位于图像的最低点；当 a < 0 时，抛物线开口朝下，顶点位于图像的最高点。

二、一次函数的定义和特征一次函数也被称为线性函数，其一般表达式为 f(x) = kx + b，其中 k 和 b 是常数，且k ≠ 0。

一次函数的图像通常是一条直线。

1. 斜率和截距一次函数的斜率 k 表示函数图像的倾斜程度。

斜率可以表示为两个不同点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。

截距 b 表示函数图像与 y轴的交点的纵坐标。

2. 与二次函数的关系一次函数与二次函数在数学中有着密切的联系。

一类二次函数零点存在性的简捷证法及其探究

ｋ：
分析
ｍ
‘ （）ｘ一ｘ１，直线Ａ的斜率．＝３２一 ‘ Ｍ
：ｍ２一一１
．
问题转化为判断关于６的
２ — ３
方程３２＝ｍ一６一ｂｍ在区间（，）０ｍ内是否有解的问
题．ｇｘ＝３ｘｍ＋，问题又转化为ｇｘ设（）ｘ一２ — ｍ则（）在区间（ｍ）０，内是否存在零点的问题．但是在探求和ｋ时，若设 “ （ｏ＝ｋ（），不能得到想要得到ｇＸ）ｇ０” 的和ｋ（程略）过，于是调整如下：
有零点．所以命题得证．
探究２在类似的问题中，区间（，）ｍ＞）０ｍ（０或
（０（０的三等分点是否都能奏效？ｍ，）ｍ＜）
内找到一个，ｆＸ）（或ｆｘ）（）＜）使（＝０ｏ）（＝（０ｏｋ
呢？
事实上，我们可以用待定系数法找到它们（以例
ｇ０ｇ＝Ｔｍ＋）＜．（（）一－２ｍ２０（
≠０时，（）在（，ｘ：００
）少至－
ｍ＋ｌ
ｍ＋２
＋一ａ２一下＋ｂ＝（３
）整理得：
，
３～ — ２＝
解
或
有一解．
综上所述，方程ｆｘ＝０（，）（）在０１内恒有解．
（＋一口（＋ｋ１＝。，得．）＋－）６
，
是／在（，）的一个零点；当３＋ｂ≠０，（）０２内ａ２时＿０（）（）（）厂）＜０，在０，内有一个零点，综上所（述，厂ｘ在（，）（）０２内至少有一个零点．

做一元二次函数的方法总结

做一元二次函数的方法总结一元二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的二次函数，其中a、b和c表示实数常数。

它是数学中重要的一个分支，广泛应用于各个领域，如物理学、工程学和经济学等。

本文将总结一元二次函数的相关内容，包括定义、图像特征、求根公式、顶点和轴对称性、图像的平移和缩放以及实际问题的应用等方面。

首先，一元二次函数的定义是f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c都是实数常数，且a不等于零。

其中，x为自变量，属于实数集合，而f(x)为因变量，代表函数值。

一元二次函数的图像呈现为抛物线状，开口的方向由a的符号决定。

若a大于零，则抛物线开口向上；若a小于零，则抛物线开口向下。

其次，一元二次函数的图像特征主要有顶点、轴对称性和判别式的性质等。

顶点是抛物线的最低点（开口向上）或最高点（开口向下），其坐标可以通过计算顶点坐标公式得出。

对于一元二次函数y = ax^2 + bx + c，其顶点坐标为（-b/2a, f(-b/2a)）。

轴对称性指抛物线以顶点为中心对称，即函数值f(x) = f(-b/2a - x)。

判别式是求解一元二次方程的根时的关键，可以通过计算b^2 - 4ac来获得。

判别式的值决定了一元二次方程的根的性质。

当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根；当判别式等于零时，方程有两个相等的实数根；当判别式小于零时，方程没有实数根。

接下来，一元二次函数的根可以通过求根公式得出。

对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其根的求解公式为x = (-b±√(b^2 - 4ac))/2a。

根据判别式的值的不同，可以得到不同的根的情况。

当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根；当判别式等于零时，方程有两个相等的实数根，即它们都等于(-b/2a)；当判别式小于零时，方程没有实数根，但可以求得虚数根。

此外，一元二次函数还具有顶点和轴对称性的特征。

基本初等函数导数公式推导过程

基本初等函数导数公式推导过程初等函数导数公式是微积分的基础，被广泛应用于物理、数学、化学等学科的研究和实践中。

对于不同的函数，其导数公式也各不相同，如一元函数、二元函数、多元函数等。

本文将从定义、基本准则以及特殊函数等方面来探讨基本初等函数导数公式的推导过程。

首先，我们来看一下函数的导数的定义。

函数的导数指的是函数的变化率，也就是函数在给定点处的斜率。

考虑函数f(x)在某一点x0处的导数，它可以由f(x)的定义域内的x与x0的变化量Δx的比值定义。

也就是，当Δx的取值趋近于0时，就可以将函数f(x)的导数表示为：f(x0)=limΔx→0[f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx我们还需要熟悉基本初等函数导数公式的推导准则，其中有三条基本原则：1、连加性原则：若f（x）=u（x）+v（x），则f（x）=u（x）+v （x）；2、连乘性原则：若f（x）=u（x）* v（x），则f（x）=u（x）* v（x）+ u（x）* v（x）；3、链式法则：若y=f（x），则y＝f（x）* x，其中x=1。

这三条基本准则可以帮助我们有效地推导各种复杂的基本初等函数的导数公式。

下面我们将重点讨论一元函数的导数公式推导过程。

首先，我们需要了解一些基本的一元函数，如常数函数、线性函数、二次函数、幂函数、指数函数和对数函数等等。

对于常数函数f(x)=c，其导数f(x)=0。

这一特性可以根据定义以及连加性原则很容易证明。

而线性函数f(x)=ax+b的导数，则可以由定义以及连乘性原则得出f(x)=a。

这一公式无论何时都适用。

而关于二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数，也可以通过连乘性原则来推导。

利用定义重新表示二次函数，可以写成f(x)=u(x)v(x)，其中u(x)=ax，v(x)=x+b/a。

根据连乘性原则，则可以得到f(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)=ax+b。

对于幂函数f(x)=xn，其导数f(x)=nxn-1。

初等中学数学公式,定理总结

初等中学数学公式,定理总结中学阶段的数学，那公式和定理就像一把把神奇的钥匙，能帮咱们打开数学世界的大门。

今天咱们就来好好捋一捋这些宝贝。

先从代数部分说起，一元二次方程的求根公式绝对是个重量级选手。

形如$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$）的方程，其求根公式为$x = \frac{-b ±\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。

我还记得当年教我这公式的老师，那叫一个激情澎湃，在黑板上写了满满一黑板的推导过程，边写边说：“同学们，这可是解决一元二次方程的利器，一定要记住咯！”当时的我听得那叫一个认真，眼睛都不敢眨一下。

勾股定理也是不得不提的经典。

直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，即$a^2 + b^2 = c^2$。

这个定理在解决几何问题时，那可是经常派上大用场。

有一次我去朋友家帮忙装修，需要测量一个直角三角形的斜边长度，我脑子里瞬间就蹦出了勾股定理，轻松算出了结果，朋友都对我刮目相看。

还有完全平方公式，$(a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2$，这在化简式子和计算时都特别好用。

记得有一次数学考试，有一道题就是要用完全平方公式化简，我因为考前认真复习了，很快就做出来了，心里那叫一个美。

函数部分，一次函数的表达式$y = kx + b$（$k≠0$），其中$k$表示斜率，$b$表示截距。

通过这个公式，我们能清晰地了解函数的图像特征。

二次函数的顶点式$y = a(x - h)^2 + k$，能让我们直接看出抛物线的顶点坐标$(h,k)$。

我曾经在做数学作业的时候，被一道求二次函数顶点坐标的题目难住了，后来通过这个公式，反复琢磨，终于做出来了，那种成就感至今难忘。

几何方面，相似三角形的对应边成比例，对应角相等。

这个定理在证明和计算中都很常用。

有一回参加数学竞赛，有道题就是通过相似三角形来求解的，我凭借对这个定理的熟练掌握，成功拿下了那道题。

一元一次函数的性质

一元一次函数的性质一元一次函数是数学中常见的一种函数形式，也被称为线性函数。

它的基本形式为y = ax + b，其中a和b是常数，且a ≠ 0。

本文将探讨一元一次函数的性质，包括定义、图像特征、斜率和截距等内容。

一、定义一元一次函数是指具有形如y = ax + b的函数，其中x和y分别代表自变量和因变量，a和b是实数常数，且a ≠ 0。

其中，a称为斜率（slope）或比率（rate），b称为截距（intercept）。

斜率决定了函数图像的倾斜程度，截距则决定了函数图像与纵轴的交点。

二、图像特征1. 斜率的影响：当斜率a大于0时，函数图像向上倾斜，表示随着自变量x的增大，因变量y也增大；当斜率a小于0时，函数图像向下倾斜，表示随着自变量x的增大，因变量y减小；斜率的绝对值越大，图像越陡峭。

2. 截距的影响：截距b决定了函数图像与纵轴的交点，当b大于0时，函数图像在y轴上方与纵轴相交，当b小于0时，函数图像在y轴下方与纵轴相交；截距的绝对值越大，图像与纵轴的距离越远。

三、斜率的计算斜率表示了函数图像在x轴上的变化情况，即每当自变量变化1个单位时，因变量的变化量。

一元一次函数的斜率可通过两点坐标来计算。

设函数上两点为(x1, y1)和(x2, y2)，则斜率a的计算公式为：a = (y2 - y1) / (x2 - x1)。

如果给定一组点坐标，可根据公式计算出斜率，从而描绘函数图像的倾斜程度。

四、截距的计算截距表示了函数图像与纵轴的交点，即当自变量为0时，因变量的值。

由于一元一次函数的形式为y = ax + b，当x为0时，有y = b，即函数与纵轴的交点的纵坐标为截距b。

五、函数图像的平移一元一次函数的图像可以通过平移来改变其位置。

当在x轴上加上常数c时，函数图像将向左平移c个单位；当在x轴上减去常数c时，函数图像将向右平移c个单位；当在y轴上加上常数d时，函数图像将向上平移d个单位；当在y轴上减去常数d时，函数图像将向下平移d 个单位。

高三数学一次函数、二次函数、函数的零点人教知识精讲

一次函数、二次函数、函数的零点高考要求1. 理解一次函数与二次函数的概念，掌握它的图象和性质，能灵活运用二次函数的最值以及二次函数的图象和一元二次方程的实根分布范围等知识解决有关问题.了解二次函数、一元二次不等式、一元二次方程三者的关系. 学会把一元二次方程根的条件转化为图象条件，然后再转化为代数条件，会求含参数的二次函数的最值问题2. 理解函数的零点的定义，判断函数的零点个数或所在的大致区间，理解变号零点的意义及二分法的思想方法基本知识回顾及应用举例1. 一次函数()()0x b kx x f y ≠+==.当0=b 时，kx y =叫做正比例函数，其图象是直线.当0>k 时，直线上升，函数为增函数；当0<k 时，直线下降，函数为减函数2. 二次函数的解析式的三种形式（1）一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠；（2）顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠；（3）零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠3. 二次函数()()0a c bx ax x f y 2≠++==的图象是抛物线.当0>a 时，抛物线开口向上；当0<a 时，抛物线开口向下.抛物线的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a 4b ac 4,a 2b 2，对称轴方程为a 2bx -=.抛物线与x 轴的交点的横坐标是方程()0=x f 的根，它在x 轴上截得的线段的长为|x x |21-=|a |∆. 4. 二次方程实根的分布情况，常常根据二次函数的图象与x 轴的交点的位置来确定.当二次方程()()0>=t t x f 在区间()n m ,内只有一个实根时，有()()0<⋅n f m f ，或⎪⎩⎪⎨⎧<-<=∆n a 2b m 0；有两个不等实根时，有()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><-<>∆>0n f 0m f n a 2b m 00a ；在两个区间各有一个实根即q x p n x m 21<<<<<时，()()0n f m f <⋅，()()0q f p f <⋅. 5. 二次函数与一元二次不等式有紧密的联系.图1 图2 图36. 函数零点的概念：对于函数y ＝f （x ）（x ∈D ），把使f （x ）＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f （x ）（x ∈D ）的零点。

高中一年级数学函数零点

高中一年级数学函数零点1、一次函数的零点一次函数的零点即为函数的根，也可以称之为x的零点，可以直接由函数的一次单调性性质判断。

函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增时，可以推断出其在[a,b]上无根；函数f(x)在区间[a,b]上单调递减时，可以推断出其在[a,b]上无根；此时若f(a)、f(b)有符号相反，表示在[a,b]区间有一个零点，即根。

2、二次函数的零点二次函数y=f(x)，其零点可以直接由函数的二次单调性性质解决。

函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增时，可推断出其在该区间内有两个零点。

若f(a)、f(b)均为正数即表示区间[a,b]内无根；若f(a)和f(b)均为负数即表示区间[a,b]内有两个零点；若f(a)和f(b)有符号相反，表示区间[a,b]内有一个零点。

3、多项式的零点多项式的零点可以用牛顿法和求根公式求解，如牛顿法：牛顿法是基于牛顿迭代公式的一种求根法，只要给定初值和函数值连续可导，能利用牛顿法求解方程的根，多项式的零点就是多项式的根的求解。

如果一个多项式的次数未知，则可采用数值求根方法，如牛顿法，。

4、一元二次不等式的零点一元二次不等式的零点可由不等式的根的求解来求得。

一元二次不等式的零点可以分为以下三种情况：1）当不等式转化为一元二次函数后，没有实数根；2）当不等式转化为一元二次函数后，只有一个实数根；3）当不等式转化为一元二次函数后，有两个实数根。

5、三次函数的零点三次函数y=f(x)的零点可以由三次单调性来求得。

函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增或者递减时，可以判断出函数在[a,b]上无根；函数y=f(x)在区间[a,b]上单调性改变一次时，可以判断出函数在[a,b]上有一个根；函数y=f(x)在区间[a,b]上单调性改变两次时，可以判断出函数在[a,b]上有两个根。

6、可导函数的零点可导函数的零点可由可导性的性质求得。

可导函数的零点可以这样想：在一个函数上，它的任一点，当其处于可导区域，即点斜率存在且连续时，可知此点应该是函数的驻点，即此点处函数图像的斜率均为0，便可以确定此点为函数的零点。

九年级一元二次函数知识点

九年级一元二次函数知识点一元二次函数是九年级数学学习的重要内容之一。

它在解决实际问题中具有广泛的应用。

本文将从基本概念、图像与性质、解析式与判别式以及实际问题等方面，深入探讨九年级一元二次函数的相关知识点。

首先，我们来了解一元二次函数的基本概念。

一元二次函数是指形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a≠0。

其中，a决定抛物线的开口方向，正值使抛物线开口向上，负值则开口向下；b决定抛物线的位置，正值使抛物线向左平移，负值则向右平移；c为常数项，决定抛物线与y轴的交点。

接下来，我们来探讨一元二次函数的图像与性质。

一元二次函数的图像是一条抛物线。

当a>0时，抛物线开口向上，最低点称为顶点；当a<0时，抛物线开口向下，最高点称为顶点。

顶点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。

抛物线在顶点对称，对称轴为x = -b/2a。

解析式与判别式是解一元二次方程的关键。

给定一元二次方程ax² + bx + c = 0，其中a、b、c是已知实数且a≠0。

一元二次函数的解析式为x = (-b±√(b²-4ac))/2a。

判别式Δ = b²-4ac，它可以判断一元二次方程的解的性质。

当Δ>0时，方程有两个不相等实数解；当Δ=0时，方程有两个相等实数解；当Δ<0时，方程没有实数解，但有两个共轭复数解。

最后，我们来看一元二次函数在实际问题中的应用。

一元二次函数的应用非常广泛，例如在物理学、经济学和几何学等领域。

以抛物线的运动轨迹为例，当一个物体被抛出时，其轨迹可以用一元二次函数来描述。

在经济学中，一元二次函数可以用来分析企业的成本、收益和利润等情况。

在几何学中，一元二次函数可以用来求解问题，如确定两个点之间的最短距离。

总结起来，九年级一元二次函数是一个非常重要的数学知识点。

它不仅在解决实际问题中具有广泛的应用，而且通过学习一元二次函数的基本概念、图像与性质、解析式与判别式以及实际问题等内容，可以帮助学生加深对数学的理解，并提高解决问题的能力。

初中数学知识归纳一元二次函数的基本概念与性质

初中数学知识归纳一元二次函数的基本概念与性质一、基本概念一元二次函数是指可以用一元二次方程y=ax²+bx+c表示的函数。

其中，a、b、c是常数且a≠0。

该函数通常以y=f(x)形式表示，其中x为自变量，y为因变量，f(x)表示函数关系。

二、函数图像1. 抛物线形态一元二次函数的图像是抛物线。

当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。

开口的方向由二次系数a的正负决定。

2. 对称轴对称轴是与抛物线关于y轴对称的一条直线。

它的方程可以通过求解x轴对称情况下的特殊点来得到。

3. 顶点顶点是抛物线的最高点或最低点。

当抛物线开口朝上时，顶点为最低点，坐标为(-b/2a, -Δ/4a)；当抛物线开口朝下时，顶点为最高点，坐标为(-b/2a, Δ/4a)。

其中，Δ为二次方程ax²+bx+c=0的判别式。

三、性质1. 零点一元二次方程的零点就是函数与x轴交点的横坐标。

由于一元二次方程为ax²+bx+c=0，可以通过求解方程来得到零点的值。

2. 特殊点特殊点包括顶点、最值点等。

可以通过求解一元二次方程求得函数中的特殊点。

3. 函数的增减性一元二次函数可根据系数a的正负判断其增减性。

当a>0时，在顶点两侧函数递增；当a<0时，在顶点两侧函数递减。

4. 函数的最值一元二次函数的最值可以通过求解特殊点得到。

当a>0时，函数有最小值；当a<0时，函数有最大值。

四、实例分析举例说明一元二次函数的基本概念与性质。

例1：考虑函数y=2x²-4x+3。

该函数的二次系数a为2，大于0，因此抛物线开口朝上。

根据顶点坐标公式，顶点的横坐标为-(-4)/(2*2)=1，纵坐标为2*(1)²-4*(1)+3=1。

因此，该函数的顶点为(1, 1)。

根据对称性质，对称轴的方程为x=1。

通过求解一元二次方程2x²-4x+3=0，可得到该函数的两个零点。

一元二次函数过原点

一元二次函数过原点一元二次函数是数学中常见的一种函数形式，它的一般形式可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实数且a不等于0。

与直线相比，一元二次函数具有更加复杂的形状，呈现出抛物线的特征。

本文将从不同角度探讨一元二次函数过原点的特性及其应用。

我们从一元二次函数的定义出发，解释为什么要求函数过原点。

一元二次函数过原点，意味着当自变量x取值为0时，函数值y也等于0。

这个条件可以用数学表达式表示为f(0)=0，其中f(x)表示一元二次函数。

通过这个条件，我们可以得到关于a、b、c的等式c=0，即一元二次函数的常数项为0。

因此，一元二次函数的一般形式可以简化为y=ax^2+bx。

接下来，我们将探讨一元二次函数过原点时的图像特征。

由于函数过原点，我们可以将一元二次函数的图像平移至原点，使得原点成为抛物线的顶点。

对于a的取值，当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。

同时，b的取值会影响抛物线的对称轴位置，当b大于0时，抛物线向右平移；当b小于0时，抛物线向左平移。

通过调整a和b的取值，我们可以得到不同形状的抛物线，并且它们都过原点。

一元二次函数过原点的特性还可以通过它的零点来解释。

由于函数过原点，当y=0时，必然有x=0。

因此，一元二次函数过原点时，其零点必然包含原点。

对于一元二次函数y=ax^2+bx，我们可以通过解方程ax^2+bx=0来求解零点。

根据零点的性质，我们可以得到两个解x1=0和x2=-b/a。

这意味着无论a和b的取值如何，一元二次函数过原点时，都会有两个零点。

除了理论性质之外，一元二次函数过原点还具有广泛的应用。

在物理学中，一元二次函数常用于描述自由落体运动的轨迹。

当物体从原点开始自由落体运动时，其运动轨迹可以用一元二次函数表示。

通过对一元二次函数的分析，我们可以研究物体的运动规律，如最高点的高度、运动时间等。

在经济学中，一元二次函数也常用于描述成本、收益等与产量相关的关系。

一元一次函数知识点

一元一次函数知识点在数学的世界里，一元一次函数是一个基础且重要的概念。

它不仅在数学学习中频繁出现，而且在实际生活中也有着广泛的应用。

接下来，让我们一起深入了解一元一次函数的相关知识。

一元一次函数的表达式通常为 y ＝ kx ＋ b （其中 k 不为 0）。

这里的 k 被称为斜率，它决定了函数图像的倾斜程度。

如果 k 是正数，函数图像是从左到右上升的；如果 k 是负数，函数图像则是从左到右下降的。

比如说，当 k ＝ 2 时，函数 y ＝ 2x ＋ b ，图像就是上升的；而当 k ＝－2 时，函数 y ＝－2x ＋ b ，图像就是下降的。

再来说说 b ，b 被称为截距，它是函数图像与 y 轴的交点。

当 x ＝0 时，y ＝ b 。

举个例子，如果函数是 y ＝ 3x ＋ 5 ，那么 b ＝ 5 ，图像与 y 轴的交点就是(0, 5)。

那么，如何根据已知条件求出一元一次函数的表达式呢？假如我们知道函数图像经过两个点，比如（1, 3) 和（2, 5) ，就可以利用这两个点来求出 k 和 b 。

首先，根据斜率的定义 k ＝（y₂ y₁）／（x₂ x₁），代入这两个点的坐标，得到 k ＝（5 3）／（2 1）＝ 2 。

然后，把其中一个点的坐标和求出的 k 代入函数表达式，比如把（1, 3) 代入 y ＝ 2x ＋ b ，得到 3 ＝ 2×1 ＋ b ，解得 b ＝ 1 。

所以，这个函数的表达式就是 y ＝ 2x ＋ 1 。

一元一次函数的图像是一条直线。

当 k 大于 0 时，直线经过一、三象限；当 k 小于 0 时，直线经过二、四象限。

而 b 的正负决定了直线与 y 轴交点的位置。

在实际生活中，一元一次函数也有很多应用。

比如，我们计算打车费用时，如果起步价是固定的，每公里的收费也是固定的，那么总费用和行驶公里数之间的关系就可以用一元一次函数来表示。

又比如，我们购买商品时，如果商品单价固定，购买数量和总价之间的关系也是一元一次函数。