学一轮复习第九章第50课线面平行与面面平行要点导学(pdf)

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线面平行和面面平行的性质定理PPT资料(正式版)

答:有两种方法,一是用定义法,须判断两个平面没有公共点;二是用平面和平面平行的判定定理,须判断一个平面内有两条相交直线都和另一个平面平行.
思考:
1、如果直线与平面平行，会有那些结果呢？ 2、如果两个平面平行，会有哪些结论呢?
新课讲解
问题1：命题“若直线a平行于平面α，则直线a平行于平面α内的一切直线．”对吗？
∵α∥β 面α和β分别相交于AC和BD.
() ＥＦ// ，并分别交棱，于点Ｅ，Ｆ．连接
∴a，b没有公共点， (5)平行四边形对边平行
所以ＥＦ//ＢＣ，因此
又因为a，b同在平面γ内，结论:当第三个平面和两个平行平面都相交时，两条交线平行
1、如果直线与平面平行，会有那些结果呢？
所以，a∥b
这个结论可做定理用
证明：过 a 作面交于 c
a //
c
a
a //c
c
a//b
注意：
b //c
c
b
线//面
线立体几何的一种重要的思想方法。
探究新知
探究1. 如果两个平面平行，那么一个平
面内的直线与另一个平面有什么位置关
系？
a
答:如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行.
证明： a//
a 与没有公共点
∵ ∩ =b，∴ b在内。
a
b
又 a与b都在平面内
且没有公共点 a 与 b 没有公共点
a // b
结论：直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行,则经过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
a , a , b
注意：
a // b
解：（１）如图，在平面AC 内，过点Ｐ作直线ＥＦ，使

2021年高考数学大一轮复习第九章第50课线面平行与面面平行要点导学

2021年高考数学大一轮复习第九章第50课线面平行与面面平行要点导学线面平行的判定与证明如图(1),在等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF 与DE交于点G,将△ABF沿AF折起,得到如图(2)所示的三棱锥A-BCF,求证:DE∥平面BCF.图(1) 图(2)(例1)[思维引导]将平面图形折成空间图形要弄清折前折后不变的关系,如=.[证明]在等边三角形ABC中,AD=AE,所以=,在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立,所以DE∥BC.因为DE⊄平面BCF,BC平面BCF,所以DE∥平面BCF.(xx·山东卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AD,PC 的中点,求证:AP∥平面BEF.(变式1)[证明]设AC∩BE=O,连接OF,CE.由于E为AD的中点,AB=BC=AD,AD∥BC.所以AE∥BC,AE=AB=BC,因此四边形ABCE为菱形,所以O为AC的中点.又F为PC的中点,因此在△PAC中,AP∥OF.又OF平面BEF,AP⊄平面BEF,所以AP∥平面BEF.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,AD⊥AB,CD∥AB,AB=2,CD=3,点M,N分别是PA,PB的中点.(变式2)(1) 求证:MN∥平面PCD;(2) 求证:四边形MNCD是直角梯形.[证明](1) 因为点M,N分别是PA,PB的中点,所以MN∥AB.因为CD∥AB,所以MN∥CD.又因为CD 平面PCD,MN ⊄平面PCD,所以MN∥平面PCD.(2) 因为MN=AB=1,ED=3,所以MN≠CD,又MN∥CD,所以四边形MNCD是梯形.因为AD⊥AB,CD∥AB,所以CD⊥AD,又因为PD⊥底面ABCD,CD平面ABCD,所以CD⊥PD,又AD∩PD=D,所以CD⊥平面PAD.因为MD平面PAD,所以CD⊥MD,所以四边形MNCD是直角梯形.线面平行的性质的应用(xx·泰州模拟改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E是PC的中点,F为线段AC上一点.若EF∥平面PBD,求的值.(例2)[思维引导]通过线面平行的性质,将空间的问题转化到一个平面PAC中,通过EF∥PO来确定点F的位置,求出的值.[解答]设AC∩BD=O,连接PO.因为EF∥平面PBD,底面ABCD是正方形,平面PBD∩平面PAC=PO,且EF平面PAC,所以EF∥PO,又E是PC的中点,所以OF=FC,AF=3FC,即=3.在空间四边形ABCD中,点E,F,G,H分别在AB,BC,CD,DA上,且四边形EFGH为平行四边形,求证:AC ∥平面EFGH.(变式)[证明]如图,因为四边形EFGH是平行四边形,所以EF∥HG.又HG平面ACD,EF⊄平面ACD,所以EF∥平面ACD.又EF平面ABC,平面ABC∩平面ADC=AC,所以EF∥AC.又EF平面EFGH,AC⊄平面EFGH,所以AC∥平面EFGH.面面平行的判定(xx·江苏模拟)如图,在四棱锥E-ABCD中,△ABD为正三角形,EB=ED,且AB⊥BC,M,N分别为线段AE,AB的中点,求证:平面DMN∥平面BEC.(例3)[思维引导]分别证MN∥平面BCE和BC∥平面BCE,再利用面面平行的性质定理进行证明.[证明]因为N是AB的中点,△ABD为正三角形,所以DN⊥AB.因为BC⊥AB,所以DN∥BC.因为BC平面BCE,DN⊄平面BCE,所以BC∥平面BCE.又因为M为AE的中点,所以MN∥BE.因为MN⊄平面BCE,BE平面BCE,所以MN∥平面BCE,因为MN∩DN=N,所以平面MND∥平面BCE.[精要点评]在利用面面平行的性质定理进行证明时,不能直接根据DN∥BC 和MN∥BE得出平面DMN∥平面BEC.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,Q分别是AA1,BB1,B1C1的中点,求证:平面ABC1∥平面MNQ.(变式)[证明]在△B1BC1中,因为N,Q分别为B1B,B1C1的中点,所以QN∥BC1,又因为QN⊄平面ABC1,BC1平面ABC1,所以QN∥平面ABC1.在矩形A1B1BA中,因为M,N分别为AA1,BB1的中点,所以MN∥AB,又MN⊄平面ABC1,AB平面ABC1,所以MN∥平面ABC1.又因为QN∩MN=N,QN,MN平面MNQ,所以平面MNQ∥平面ABC1.直线与平面平行的探索问题(xx·四川卷)在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE∥平面A1MC?请证明你的结论.(例4)[思维引导]对于求某个特殊位置上的点这类问题,一种办法是由猜想定下点的位置,后证明;另一种办法是可先假定存在这个点,然后再根据点的特点找到这个点所满足的条件.[解答]线段AB上存在点M,且M为AB的中点,使得直线DE∥平面A1MC.证明如下:取线段AB的中点M,连接A1M,MC,A1C,AC1,连接MD,OE,OM.设O为A1C,AC1的交点,则MD,OE分别为△ABC,△ACC1的中位线,所以MD∥AC,且MD=AC,OE∥AC,且OE=AC,所以MDOE.从而四边形MDEO为平行四边形,所以DE∥MO.因为直线DE⊄平面A1MC,MO平面A1MC,所以直线DE∥平面A1MC.即线段AB上存在点M,使得直线DE∥平面A1MC.[精要点评]“探索”在于由未知到已知,由变化到确定.找平行关系时多借助中点、中位线、平行四边形等图形,此题的本质仍是线与面的平行关系.(xx·蚌埠模拟)在如图所示的几何体中,平面CDEF为正方形,平面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AC=,AB=2BC=2,AC⊥FB.(变式)(1) 求证:AC⊥平面FBC.(2) 线段AC上是否存在点M,使EA∥平面FDM?并证明你的结论.[解答](1) 在△ABC中,AC=,AB=2,BC=1,所以AC⊥BC.又因为 AC⊥FB,BC∩FB=B,所以AC⊥平面FBC.(2) 线段AC上存在点M,且M为AC中点时,有EA∥平面FDM.证明如下:连接CE,与DF交于点N,连接MN.因为CDEF为正方形,所以N为CE中点,所以 EA∥MN.因为MN平面FDM,EA⊄平面FDM,所以EA∥平面FDM.所以线段AC上存在点M,使得EA∥平面FDM.在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ACB=90°,EA⊥平面ABC,EF∥AB,FG ∥BC,EG∥AC,AB=2EF.若M是线段AD的中点,求证:GM∥平面ABFE.(范题赏析)[思维引导]要证明直线GM与平面ABFE平行,就要在平面ABFE内找到一条直线与GM平行.本题可以考虑构造四边形AMGF,然后再证明其为平行四边形即可.[规范答题]连接AF,因为EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,所以△ABC∽△EFG.(4分)由AB=2EF,得BC=2FG.所以FG∥BC,则FG=BC. (6分)在平行四边形ABCD中,M是线段AD的中点,所以AM∥BC,且AM=BC. (8分)所以FG∥AM,且FG=AM,所以四边形AFGM为平行四边形,所以GM∥FA.(10分)又FA平面ABFE,GM⊄平面ABFE,所以GM∥平面ABFE.(14分)1. 平面α内的两条直线a,b都平行于平面β,则α和β的位置关系是.[答案]平行或相交2. 若直线a∥b,a∥平面α,则直线b与平面α的位置关系为.[答案]b∥α或bα[解析]很容易漏掉bα的情况,这一点很值得注意.3. (xx·泰州中学模拟)给出下列命题:①如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;②如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;③如果两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m垂直;④如果两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,真命题有.(填序号)[答案]①③④[解析]由面面垂直的判定定理可知①正确;如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行,但若是两条平行直线,得不到平面平行,故②错误;根据空间直线夹角的定义,可得两条平行直线与第三条直线的夹角相等,故若两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m垂直,即③正确;根据面面垂直的性质定理,若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直,则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直,故④正确.4. (xx·济南期末)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=1,AA1=AB=2,点E是线段AB上的动点,点M为D1C的中点.若点E是AB的中点,求证:直线ME∥平面ADD1A1.(第4题)[证明]取DD1的中点N,连接MN,AN,则MN∥CD,且MN=CD,AE∥CD,且AE=CD,所以MNAE,所以四边形MNAE为平行四边形,故ME∥AN.因为AN平面ADD1A1,ME⊄平面ADD1A1,所以ME∥平面AD1.[温馨提醒]趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习(第99-100页).33564 831C 茜22402 5782 垂36243 8D93 趓I•k34989 88AD 袭30970 78FA 磺 qJ27675 6C1B 氛30801 7851 硑。

2019届高三数学一轮复习目录(理科)

2019届高三第一轮复习《原创与经典》（苏教版）（理科）第一章集合常用逻辑用语推理与证明第1课时集合的概念、集合间的基本关系第2课时集合的基本运算第3课时命题及其关系、充分条件与必要条件第4课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词第5课时合情推理与演泽推理第6课时直接证明与间接证明第7课时数学归纳法第二章不等式第8课时不等关系与不等式第9课时一元二次不等式及其解法第10课时二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题第11课时基本不等式及其应用第12课时不等式的综合应用第三章函数的概念与基本初等函数第13课时函数的概念及其表示第14课时函数的定义域与值域第15课时函数的单调性与最值第16课时函数的奇偶性与周期性9第17课时二次函数与幂函数第18课时指数与指数函数第19课时对数与对数函数第20课时函数的图象第21课时函数与方程第22课时函数模型及其应用第四章导数第23课时导数的概念及其运算（含复合函数的导数）第24课时利用导数研究函数的单调性与极值第25课时函数的最值、导数在实际问题中的应用第五章三角函数第26课时任意角、弧度制及任意角的三角函数第27课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式第28课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式第29课时二倍角的三角函数第30课时三角函数的图象和性质第31课时函数sin()y A x ωϕ=+的图象及其应用第32课时正弦定理、余弦定理第33课时解三角形的综合应用第六章平面向量第34课时平面向量的概念及其线性运算第35课时平面向量的基本定理及坐标表示第36课时平面向量的数量积第37课时平面向量的综合应用第七章数列第38课时数列的概念及其简单表示法第39课时等差数列第40课时等比数列第41课时数列的求和第42课时等差数列与等比数列的综合应用第八章立体几何初步第43课时平面的基本性质及空间两条直线的位置关系第44课时直线、平面平行的判定与性质第45课时直线、平面垂直的判定与性质第46课时空间几何体的表面积与体积第47课时空间向量的应用——空间线面关系的判定第48课时空间向量的应用——空间的角的计算第九章平面解析几何第49课时直线的方程第50课时两直线的位置关系与点到直线的距离第51课时圆的方程第52课时直线与圆、圆与圆的位置关系第53课时椭圆第54课时双曲线、抛物线第55课时曲线与方程第56课时直线与圆锥曲线的位置关系第57课时圆锥曲线的综合应用第十章复数、算法、统计与概率第58课时抽样方法、用样本估计总体第59课时随机事件及其概率第60课时古典概型第61课时几何概型互斥事件第62课时算法的含义及流程图第63课时复数第十一章计数原理、随机变量及其分布第64课时分类计数原理与分步计数原理第65课时排列与组合第66课时二项式定理第67课时离散型随机变量及其概率分布第68课时事件的独立性及二项分布第69课时离散型随机变量的均值与方差第十二章选修4系列第70课时选修4－1 《几何证明选讲》相似三角形的进一步认识第71课时选修4－1 《几何证明选讲》圆的进一步认识第72课时选修4－2 《矩阵与变换》平面变换、变换的复合与矩阵的乘法第73课时选修4－2 《矩阵与变换》逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量第74课时选修4－4《参数方程与极坐标》极坐标系第75课时选修4－4《参数方程与极坐标》参数方程第76课时选修4－5《不等式选讲》绝对值的不等式第77课时选修4－5《不等式选讲》不等式的证明。

线面平行的性质

利用向量关系判定线面平行时，需要注意向量的运算
• 在判断方向向量与法向量是否垂直时，需要计算向量的点积 • 在判断方向向量与法向量所成的点积是否为零时，需要计算向量的点积
利用空间几何性质判定线面平行
利用空间几何性质判定线面平行的方法有以下几种
• 判断直线与平面内的任意一条直线是否不相交 • 判断直线与平面内的任意一条直线是否平行
• 判断一条直线是否与一个平面平行，需要考虑直线与平面内的其他直线的关系 • 判断一条直线是否与一个平面平行，需要考虑直线与平面内的其他直线的关系
线面平行的几何表示
线面平行的几何表示方法有多种
• 利用角度关系表示线面平行，即直线与平面内的任意一条直线所成的同位角相等 • 利用向量关系表示线面平行，即直线的方向向量与平面的法向量垂直 • 利用空间几何性质表示线面平行，即直线与平面内的任意一条直线都不相交
• 在工程制图中，往往需要判断线与平面是否平行 • 在工程制图中，往往需要利用线面平行的性质进行绘图和计算
线面平行在立体几何中有广泛应用
• 在求解立体几何问题时，往往需要判断直线与平面是否平行 • 在求解立体几何问题时，往往需要利用线面平行的性质进行推理和计算
线面平行在解析几何中也有广泛应用
• 在求解解析几何问题时，往往需要判断直线与平面是否平行 • 在求解解析几何问题时，往往需要利用线面平行的性质进行推理和计算
线面平行解题技巧主要包括：
• 熟练掌握线面平行的性质和判定方法 • 灵活运用线面平行的性质和判定方法解决问题 • 注意解题步骤，避免计算错误
线面平行相关习题精选与解答
线面平行相关习题精选包括：
• 判断直线与平面是否平行的题目 • 利用线面平行性质进行推理和计算的题目 • 求解线面平行问题的题目

高考数学大一轮复习第九章第50课线面平行与面面平

第50课线面平行与面面平行(本课对应学生用书第109-112页)自主学习回归教材1. 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种:位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示aαa∩α=A a∥α图形表示2. 直线与平面平行的判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行直线与平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行.3. 两个平面的位置关系:位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有无数个公共点符号表示α∥βα∩β=a图形表示4. 两个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.1. (必修2P30例2改编)在长方体ABCD-A1B1C1D1的各面中,与直线AB平行的平面有个. [答案]22. (必修2P41练习2改编)在正六棱柱的表面中,互相平行的平面有对.[答案]4[解析]3对侧面,1对上下底面.3. (必修2P41练习2改编)若直线a∥b,且b平面α,则直线a与平面α的位置关系为. [答案]a∥α或aα[解析]考虑问题要全面.4. (必修2P41练习1改编)已知命题p:平行于同一条直线的两个平面平行;命题q:垂直于同一条直线的两个平面平行.则真命题为,假命题为.[答案]q p5. (必修2P32练习3改编)如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,A1B1与平面ABC的位置关系是;AA1与平面BCC1B1的位置关系是;AC与平面ACC1A1的位置关系是.(第5题)[答案]平行相交线在面内[解析]直线与平面的位置关系有三种:平行、相交、线在面内.。

线面平行与面面平行的相关用法

空间的平行关系[线面平行和面面平行]1．直线a 和平面α的位置关系有平行、相交、_在平面内_，其中平行与相交统称直线在平面外．例：(2011·烟台模拟)一条直线l 上有相异三个点A 、B 、C 到平面α的距离相等，那么直线l 与平面α的位置关系是( D )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l 与α相交但不垂直D ．l ∥α或l ⊂α2．直线和平面平行的判定：(1)定义：直线和平面没有交点，则称直线和平面平行．(2)判定定理：a ⊄α，b ⊂α，且a ∥b ⇒a ∥α；[面外直线平行于面内直线](3)其他判定方法：α∥β，a ⊂α⇒ a ∥β.[两个平面平行，则一个面内的任意一条直线都平行于另一个平面] 例：(2011·南京模拟)在四面体ABCD 中，M 、N 分别是△ACD 、△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是面ABC 和面ABD [结合几何体的性质]3．直线和平面平行的性质定理：a ∥α，a ⊂β，α∩β＝l ⇒a ∥l .注：（1）若直线平行于平面，直线与面内直线的位置关系为不相交，即平行或异面（2）或直线平行于平面，则直线上所有的点至平面的距离都相等。

例如图所示，在四面体ABCD 中，截面EFGH 平行于对棱AB 和CD ，试问截面在什么位置时其截面面积最大？思维启迪：利用线面平行的性质可以得到线线平行，可以先确定截面形状，再建立目标函数求最值．解 ∵AB ∥平面EFGH ，平面EFGH 与平面ABC 和平面ABD 分别交于FG 、EH . ∴AB ∥FG ，AB ∥EH ，∴FG ∥EH ，同理可证EF ∥GH ，∴截面EFGH 是平行四边形．设AB ＝a ，CD ＝b ，∠FGH ＝α (α即为异面直线AB 和CD 所成的角或其补角)．又设FG ＝x ，GH ＝y ，则由平面几何知识可得x a ＝CG BC ，y b ＝BGBC，两式相加得x a ＋y b ＝1，即y ＝ba(a －x )，∴S ▱EFGH ＝FG ·GH ·sin α＝x ·ba ·(a －x )·sin α＝b sin αax (a －x )．∵x >0，a －x >0且x ＋(a －x )＝a 为定值，∴当且仅当x ＝a －x 时，b sin αa x (a －x )＝ab sin α4，此时x ＝a 2，y ＝b2.即当截面EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 为棱AD 、AC 、BC 、BD 的中点时截面面积最大． 4．两个平面的位置关系有平行、相交. 5．两个平面平行的判定：(1)定义：两个平面没有交点，称这两个平面平行；(2)判定定理：a ⊂β，b ⊂β，a ∩b ＝P ，a ∥α，b ∥α⇒β∥α；[一个面内的两条相交直线平行于另一个平面，则线面平行](3)推论：一个面内的两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线。

面面平行的性质定理ppt课件.pptx

证明：如图，取CD的中点E，连接NE、ME， ∵M、N分别是AB、PC的中点， ∴NE∥PD，ME∥AD ∴NE∥平面PAD，ME∥平面PAD 又NE∩ME＝E， ∴平面MNE∥平面PAD，又MN⊂平面MNE， ∴MN∥平面PAD.
小结空间线面间平行关系转化示意图
判定
线线平行
判定性质
线面平行
知识回顾——线面平行的判定及其性质
线面平行判定定理线面平行性质定理面面平行判定定理
新知探究——平面与平面平行的性质
探究一
如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面具有什么位置关系？
α
l
β
结论：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行.
新知探究——平面与平面平行的性质
AB / / DC 过AB，CD可作平面
AC
BD
/ /
BD∥AC
AB∥CD
ABCD为平行四边形 AB CD
A
β Bγ
C D
夹在两个平行平面间的所有平行线段相等.
例3. 如图，设平面α∥平面β，AB、CD是两异面直线，
M、N分别是AB、CD的中点，且A、C∈α，B、
D∈β. 求证：MN∥α.
判定性质
面面平行
性质
例题2（书P60例6）
求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.
讨论:解决这个问题的基本步骤是什么?
第一步:结合图形，将原题改写成数学符号语言;
已知：如图，α∥β，AB∥CD，A∈α，
C∈α,B∈β，D∈β，求证:AB=CD
A
C
第二步:分析,作出辅助线；
β Bγ
D
例题2
第三步:书写证明过程.

学一轮复习第九章第50课线面平行与面面平行检测与评估(pdf)

第50课线面平行与面面平行一、填空题1. 在长方体的所有表面中,互相平行的面共有对.2. 已知α∥β,a⊂α,b⊂β,那么a,b两直线的交点个数为 .3. 已知a,b为两条不同的直线,α为平面,若a∥α且b∥α,则a,b的位置关系为 .4. 下列命题中正确命题的个数为 .①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都平行;③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行;④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.5. 在下列条件中,可判定平面α与平面β平行的是 .(填序号)①α,β都垂直于平面γ;②α内不共线的三个点到β的距离相等;③l,m是α内两条直线,且l∥β,m∥β;④l,m是两异面直线,且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β.6. 设l,m,n表示三条不同的直线,α,β,γ表示三个不重合的平面,给出下列四个命题:①若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β;②若m∥l,且m∥α,则l∥α;③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,则l∥m∥n;④若α∩β=m,β∩γ=l,γ∩α=n,且n∥β,则l∥m.其中正确命题的个数是 .7. (2014·皖西七校联考)若α,β是两个不重合的平面,则下列条件中能推出α∥β的是 .(填序号)①存在一条直线a,a⊥α,a⊥β;②存在一个平面γ,γ⊥α,γ⊥β;③存在两条平行直线a,b,a ⊂α,b ⊂β,a∥β,b∥α;④存在两条异面直线a,b,a ⊂α,b ⊂β,a∥β,b∥α.8. (2014·宿州一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E∈PC,F∈PB,PE =3EC ,PF =λFB ,若AF∥平面BDE,则λ的值为 .(第8题)二、解答题9. 如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°.若M为PA的中点,求证:DM∥平面PBC.(第9题)10. (2014·皖西七校联考)如图(1),已知圆O的直径AB=4,点C,D为圆O上两点,且∠CAB=45°,∠DAB=60°,F为BC的中点.将圆O沿直径AB折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图(2)).(1) 求证:OF∥AC.(2) 在BD上是否存在点G,使得FG∥平面ACD?若存在,试指出点G的位置;若不存在,请说明理由.(第10题)11. 如图,在三棱锥P-ABC中,BC⊥平面PAB.已知PA=AB,点D,E分别为PB,BC的中点.(1) 求证:AD⊥平面PBC;(2) 若点F在线段AC上,满足AD∥平面PEF,求AFFC的值.(第11题)。

河北省石家庄市复兴中学高三数学一轮复习学案线面平行与面面平行的性质

2.2.3-2．2.4线面平行与面面平行的性质导学案【学习目标】1. 掌握直线与平面平行的性质定理2. 平面与平面平行的性质定理3. 熟练掌握两个性质定理的应用【自主探究】1.一条直线与平面平行，并不能保证这个平面内的所有直线都与这个直线平行2.直线a 与平面α平行，如何在平面α内找到与直线a 平行的直线？3. 直线与平面平行性质定理：简记为线面平行则线线平行4.若两个平面平行，那一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有怎样位置关系？5. 平面与平面平行性质定理：简记为面面平行则线线平行6.其它性质：①//,//l l αβαβ⊂⇒；即：面面平行则线面平行②//αβ，//βγ，则//αγ．③夹在平行平面间的平行线段相等.7.总结线线平行、线面平行、面面平行之间的条件和结论，能发现它们内在的联系吗？【课堂精讲】例1.判断下列命题是否正确（1）如果a ，b 是两条直线，且a//b ，那么a 平行于经过b 的任何平面。

（2）如果直线a 和平面α满足a//α，那么a 与α内的任何直线平行。

（3）如果直线a ，b 和平面α，满足a//α, b //α，那么a//b 。

（4）如果直线a ，b 和平面α，满足a//b, a//α,b ⊄α，则b//α 。

（5）过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行。

（6）如果直线l 和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l 平行的直线在α内。

例2．已知四边形ABCD 是空间四边形，E 、F 、G 、H 、分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点。

（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形。

（2）求证：直线BD//平面EFGH例3.如图四面体ABCD 被平面所截，截面与四条棱AD ，AB ，CB ，CD 相交与点E ，F ，G ，H 四点，且截面EFGH 是平行四边形，求证：AC//平面EFGH 。

例4.如图，空间四边形ABCD 的对棱AD 、BC 成600的角，且AD BC a ==，平行于AD 与BC的截面分别交AB 、AC 、CD 、BD 于E 、F 、G 、H ． (1)求证：四边形EGFH 为平行四边形；(2)E 在AB 的何处时截面EGFH1. 课堂小结：2.本节课学习内容中的问题和疑难D。

线面、面面平行的性质定理

必修2 第二章点、直线、平面之间的位置关系
• (4)相似三角形的周长比等于相似比. • (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方. 相似三角形的传递性，即如果： △ABC∽△A1B1C1,△A1B1C1∽△A2B2C2,那么 △ABC∽A2B2C2
必修2
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
3.平行四边形的判定定理
必修2
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
定理的应用
例3、如图：a∥α，A是α另一侧的点，B、C、D 是a 上的点，线段AB、AC、AD交于E、F、G点，若BD=4， CF=4，AF=5，求EG.
∵点A为直线a线外一点 ∴点A与直线a确定一个平面，平面ABD 又∵a∥α ，α ∩平面ABD=EG ∴BD∥EG ∴<AGE= <ADB 又∵<A=<A ∴△AGE∽△ADB ∴EG/BD=AF/AC即 EG/BD=AF/AF+CF ∴EG/4=5/9 ∴EG=20/9
必修2 第二章点、直线、平面之间的位置关系
D
3．夹在两个平面间的三条线段，它们平行且相等，则两平面的位置关系为________．解析：平行或相交，如图
答案：
平行或相交
第二章点、直线、平面之间的位置关系
必修2
定理的应用
例1、求证：夹在两个平行平面间的两条平行线段相等
D
α
A
C
β
B
必修2
第二章
必修2 第二章点、直线、平面之间的位置关系
巩固练习:
3、棱长为a的正方体AC1中,设M、N、E、F分别为棱A1B1、A1D1、 C1D1、 B1C1的中点. (1)求证：E、F、B、D四点共面； (2)求证：面AMN∥面EFBD.

线面面面平行的判定和性质

[例 3] 在三棱锥 P－ABC 中，E、F、G 分别在侧棱 PA、PB、PC 上，且PEEA＝PFFB＝GPGC＝12，求证平面 EFG∥平面 ABC.
[解析] 在△PAB中， ∴EF∥AB， ∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， ∴EF∥平面ABC，同理FG∥平面ABC， ∵EF∩FG＝F，且EF、FG⊂平面EFG， ∴平面EFG∥平面ABC.
证明：如图4，在△ABC 中，E、F 分别是 AB、BC 旳中点， ∴AC∥EF，AC ⊄平面 EFG，
EF⊂平面 EFG.
图4
于是 AC∥平面 EFG.
同理可证，BD∥平面 EFG.
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
练习3. 如图，M、N为棱旳中点，证明MN//面AC1．
第九章第四节
简朴几何体（视图、面积与体积）
空间点、线、面位置关系
空间里旳平行与垂直（鉴定与性质）
2.2 线面、面面平行的判定与性质
央美附中 kinaqiao 2023年10月19日星期四
新课导学
点与线点与面线与线
线与面
面与面
线面平行和面面平行旳鉴定（小推大）：
（图形语言
文字语言
符号语言）
平面外旳一条直线与此平面内旳一条直线平行，则该直线与此平面平行．
①平面外直线与平面内旳一条直线平行，则直线与平面平
行；②直线与平面内旳两条直线平行，则直线与平面平行；③
直线与平面内旳任意一条直线平行，则直线与平面平行；④直
线与平面内旳无数条直线平行，则直线与平面平行．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
第九章第四节
典例讲练
例 2：已知：空间四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AD

9.2线面平行、面面平行Microsoft Word 文档

9．2 线面平行、面面平行一、明确复习目标1．掌握空间直线和平面、平面和平面的位置关系；2．掌握直线与平面、平面与平面平行的定义、判定和性质，并能运用这些知识进行论证或解题.3．能灵活进行“线线平行，线面平行，面面平行”之间的相互转化.二．建构知识网络1．直线和平面的位置关系有：（1）直线在平面内；（2）直线和平面相交；（3）直线和平面平行：定义——．2．线面平行的判定方法：①a∩α=ф⇒a∥α(定义法)②判定定理；③b⊥a, b⊥α, a⊄α⇒a∥α；④α∥β,a⊂α⇒a∥β⑤空间向量证线面平行.3线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．4．判定平面平行的方法：（1）根据定义——证明两平面没有公共点；（2）判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面；（3）证明两平面同垂直于一条直线.5．平行平面的主要性质：⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”.⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”.⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等.⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行.三、双基题目练练手（2006重庆）对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（）1．A．平行B.相交C.垂直D.互为异面直线2．一条直线同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（） A 异面 B 平行 C 相交 D 不能确定 3．(2005广东)给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题： ①若,,m l A A m αα⊂⋂=∉点,则l 与m 不共面；②若m 、l 是异面直线，//,//,l m αα且,n l ⊥且,,n l n m n α⊥⊥⊥则；③若m l m l //,//,//,//则βαβα；④若,,l m αα⊂⊂l ∩m =点A ,l //β,//,//m βαβ则其中为假命题的是（）A ．①B ．②C ．③D ．④4．如果//αβ,AB 和CD 是夹在平面α、β之间的两条线段，AB ⊥CD ，且AB ＝2，直线AB 与平面α成300角，那么线段CD 的取值范围是（）A .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛334,332B .[)+∞,1C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡332,1 D .⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,332 5．设D 是线段BC 上的点，BC ∥平面α，从平面α外一定点A （A 与BC 分居平面两侧）作AB 、AD 、AC 分别交平面α于E 、F 、G 三点，BC =a ，AD =b ，DF =c ，则EG =_____________.6．在四面体ABCD 中，M 、N 分别是面△ACD 、△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________.◆答案提示：1-4.CBCD ; 5.bac ab -; 6. 平面ABC 、平面ABD 四、经典例题做一做【例1】：如图，设a ,b 是异面直线,AB 是a ,b 的公垂线,过AB 的中点O 作平面α与a ,b 分别平行,M ,N 分别是a ,b 上的任意两点,MN 与α交于点P ,求证P 是MN 的中点.证明:连接AN ,交平面α与点Q ,连PQ ,∵b ∥α,b ⊂平面ABN ,平面ABN ∩α=OQ ,∴b ∥OQ ，又O 为AB 的中点，∴Q 为AN 的中点.∵a ∥α，a ⊂平面AMN 且平面AMN ∩α=PQ∴a ∥PQ . ∴P 为MN 的中点.【例2】如图，四面体A —BCD 被一平面所截，截面EFGH 是一个矩形.(1)求证：CD ∥平面EFGH .(2)求异面直线AB 、CD 所成的角.(3)若AB ＝a ，CD =b ，求截面EFGH 面积的最大值. （1）证明：∵截面EFGH 是一个矩形，∴EF ∥GH ，又GH ⊂平面BCD .∴EF ∥面BCD ，而EF ⊂面ACD ，面ACD ∩面BCD =CD .∴EF ∥CD ，∴CD ∥平面EFGH .（2）解：由（1）知CD ∥EF ，同理AB ∥FG ，由异面直线所成角的定义知∠EFG 即为所求的角.易得∠EFG =90︒. （3）答案：ab /4◆思悟提炼：灵活进行：“线线平行线面平行”.【例3】已知正四棱锥P —ABCD 的底面边长及侧棱长均为13，M 、N 分别是P A 、BD 上的点，且PM ∶MA =BN ∶ND =5∶8.（1）求证：直线MN ∥平面PBC ；（2）求直线MN 与平面ABCD 所成的角证明（1）：∵P —ABCD 是正四棱锥，∴ABCD 是正方形.连结AN 并延长交BC 于点E ，连结PE .∵AD ∥BC ，∴EN ∶AN =BN ∶ND .又∵BN ∶ND =PM ∶MA ，_ C _B ABEH F GD∴EN ∶AN =PM ∶MA .∴MN ∥PE .又∵PE 在平面PBC 内，∴MN ∥平面PBC .解（2）：由（1）知MN ∥PE ，∴求MN 与平面ABCD 所成的角即可.作PO ⊥面ABCD 于O ，连结OE ，则∠PEO 为PE 与平面ABCD 所成的角. 由正棱锥的性质知PO =22OB PB =2213. 由（1）知，BE ∶AD =BN ∶ND =5∶8，∴BE =865. 在△PEB 中，∠PBE =60°，PB =13，BE =865，根据余弦定理，得PE =891. 在Rt △POE 中，PO =2213，PE =891， ∴sin ∠PEO =PEPO =724. 故MN 与平面ABCD 所成的角为arcsin 724. ◆思悟提炼：证线面平行，一般是转化为证线线平行.求直线与平面所成的角一般是作出线与面所成的角—转化为一个平面内的线线角.【例4】如下图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB =a .（1）求证：平面AD 1B 1∥平面C 1DB ；（2）求证：A 1C ⊥平面AD 1B 1；（3）求平面AB 1D 1与平面BC 1D 间的距离.（1）证明：∵D 1B 1∥DB ，∴D 1B 1∥平面C 1DB .同理，AB 1∥平面C 1DB .又D 1B 1∩AB 1=B 1，∴平面AD 1B 1∥平面C 1DB . A1（2）证明：∵A 1C 1⊥D 1B 1，而A 1C 1为A 1C 在平面A 1B 1C 1D 1上的射影，∴A 1C 1⊥D 1B 1. 同理，A 1C ⊥AB 1，D 1B 1∩AB 1=B 1.∴A 1C ⊥平面AD 1B 1.（3）解：设A 1C ∩平面AB 1D 1=M ，A 1C ∩平面BC 1D =N ，O 1、O 分别为上底面A 1B 1C 1D 1、下底面ABCD 的中心. 则M ∈AO 1，N ∈C 1O ，且AO 1∥C 1O ，MN 的长等于平面AD 1B 1与平面C 1DB 的距离，即MN =A 1M =NC =31A 1C =33a . 五．提炼总结以为师1.直线和平面平行的判定方法：2．证明两平面平行的常用方法：3．解题中，要注意灵活地实施下面的转化: 线线⇔线面⇔面面；立体几何⇔平面几何；从而使问题简同步练习 9.2线面平行、面面平行1.α、β是两个不重合平面，l ,m 是两条不重合直线，那么α∥β的一个充分条件是（）A .l ⊂α,m ⊂α,l ∥β,m ∥βB .l ⊂α,m ⊂β,l ∥mC .l ⊥α,m ⊥β,l ∥mD .l ∥α,m ∥β,l ∥m2．(2005年高考·湖北卷·文8)已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题： ①若c a c b b a //,,则⊥⊥；②若c a c b b a ⊥⊥则,,//；③若b a b a //,,//则ββ⊂；④若a 与b 异面，且ββ与则b a ,//相交；⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直.其中真命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．43．设线段AB 、CD 是夹在两平行平面α、β之间的异面线段，点A 、C ∈α，B 、D ∈β，若M 、N 分别是AB 、CD 的中点，则有（）A .MN =21(AC +BD B .MN >21(AC +BD ) C .MN <21(AC +BD ) D .MN 与21(AC +BD )大小关系不确定.【填空题】4．（2004全国Ⅰ）已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是①两条平行直线;②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点.在上面结论中，正确结论的编号是__________.（写出所有正确结论的编号）5.（2005湖南）．已知平面βα,和直线，给出条件：①α//m ；②α⊥m ；③α⊂m ；④βα⊥；⑤βα//.（i ）当满足条件时，有β//m ；（ii ）当满足条件时，有β⊥m .（填所选条件的序号）6.以下六个命题：（1）垂直于同一条直线的两个平面平行；（2）平行于同一条直线的两个平面平行；（3）平行于同一平面的两个平面平行；（4）与同一条直线成等角的两个平面平行；（5）一个平面上不共线三点到同一平面的距离相等，则这两个平面平行；(6）两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行，则这两个平面平行.其中正确命题的序号是____________.◆答案提示： 1-3．CAC ； 4.①②④5.③⑤,②⑤ ;6. 解：（1）、（3）【解答题】7.如下图，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，侧面PBC 内有BE ⊥PC 于E ，且BE =36 a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面P AD解：在面PCD 内作EG ⊥PD 于G ，连结AG ∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ， ∴CD ⊥PD ∴CD ∥EG .又AB ∥CD ，∴EG ∥AB .若有EF ∥平面P AD ，则EF ∥AG ，∴四边形AFEG 为平行四边形，得EG =AF .∵CE =22)36(a a -=33a ，△PBC 为直角三角形， ∴BC 2=CE ·CP ⇒CP =3a ，AB AF =CD EG =PC PE =a a a 3333-=32 故得AF ∶FB =2∶1时，EF ∥平面P AD .8．如图，A ，B ，C ，D 四点都在平面α，β外，它们在α内的射影A 1，B 1，C 1，D 1是平行四边形的四个顶点，在β内的射影A 2，B 2，C 2，D 2在一条直线上，求证：ABCD 是平行四边形．证明：∵ A ，B ，C ，D 四点在β内的射影A 2，B 2，C 2，D 2在一条直线上，∴A ，B ，C ，D 四点共面．又A ，B ，C ，D 四点在α内的射影A 1，B 1，C 1，D 1是平行四边形的四个顶点， ∴平面ABB 1A 1∥平面CDD 1C 1．∴AB ，CD 是平面ABCD 与平面ABB 1A 1，平面CDD 1C 1的交线．∴AB ∥CD ．同理AD ∥BC ．∴四边形ABCD 是平行四边形．9.P 是ABC ∆所在平面外一点，'A 、'B 、'C 分别是 PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的重心，（1）求证：平面ABC C B A 平面||''';(2)求ABC C B A S S ∆∆:'''证明:分别连P A ,,PB ,,PC ,并延长分别交BC ,AC ,AB 于D ,E ,F则D ,E ,F 分别是BC ,CA ,AB 的中点.,,23PA PC PD PF∴== ∴A ,C ,||FD ，同理A ,B ,||DE ,∴平面ABC C B A 平面||''' AB C D B 1 D 1 C 1 α A 1 B 2 A 2 C 2 D 2 β(2)//AB DE Q∴32,,==PD PA DE AB , 又DE =21AB ∴31,,=AB B A ，易证∆A ,B ,C ,∽ABC ∆∴ABC C B A S S ∆∆:'''=1:9 10．如下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PD 上的点，且MB AM =NPDN ，求证：直线MN ∥平面PBC 。