两角和与差的正切函数

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(完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形

两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)公式

①cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β(C (α－β)) ②cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C (α＋β)) ③sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S (α－β)) ④sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S (α＋β)) ⑤tan(α－β)＝tan α－tan β

1＋tan αtan β(T (α－β))

⑥tan(α＋β)＝tan α＋tan β

1－tan αtan β(T (α＋β))

(2)公式变形

①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．二倍角公式 (1)公式

①sin 2α＝2sin_αcos_α，

②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α， ③tan 2α＝

2tan α

1－tan 2α

(2)公式变形

①cos 2

α＝1＋cos 2α2，sin 2

α＝1－cos 2α2

；

②1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin )4(π

α±.

3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．(×)

两角和与差的公式

两角和（差）公式包括两角和差的正弦公式、两角和差的余弦公式、两角和差的正切公式。两角和与差的公式是三角函数恒等变形的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的。

两角和的正弦公式：sin（α＋β）＝sinαcosβ＋sinαcosβ

两角差的正弦公式：sin（α－β）＝sinαcosβ－sinαcosβ

两角和的余弦公式：cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

两角差的余弦公式：cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

两角和的正切公式：tan（α＋β）＝（tanα＋tanβ）／（1-tan αtanβ）

两角差的正切公式：tan（α－β）＝（tanα－tanβ）／（1＋tanα·tanβ）

两角和与差的正、余弦公式、正切公式、二倍角公式

1.已知tan 2α=，则tan 2α的值为．【答案】43

【分析】22

2tan 224

tan 21tan 123

ααα⨯=

==---. 2．已知P （－3，4）为角α终边上的一点，则cos （π+α）= ．

【考点】任意角的三角函数的定义．【答案】

【分析】∵P （－3，4）为角α终边上的一点，∴x =－3，y =4，r =|OP |=5，

∴cos （π+α）=－cos α=x r -

=35--=35，故答案为35． 3．已知cos(α－β)=35，sin β=513

-且α∈（0，π2），β∈（π

2-，0），则sin α= ．

【考点】两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．

【答案】

3365

【分析】∵α∈（0，

π2），β∈（π2-，0），∴α－β∈（0，π），又cos （α－β）=35，sin β=513-，∴sin （α－β）=2

1cos ()αβ--=45，

cos β=2

1sin β-=1213

，则sin α=sin[（α－β）+β]= sin （α－β）cos β+cos （α－β）sin β

=45×1213+35×（513-）=3365．故答案为3365

. 4.若0≤x ≤π2，则函数y =cos （x -π2）sin （x +π

）的最大值是．

【考点】两角和与差的正余弦公式的应用．【答案】

234

+ 【分析】y =sin x （sin x 32⋅

+12cos x ）=

2sin x +

12sin x cos x =()31cos 24

x -+14sin2x =12sin （2x -π3）+3

两角和与差的正切公式。

两角和与差的正切公式如下：

1.两角和公式：

tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A * tan B)

2.两角差公式：

tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A * tan B)

这些公式可以用来计算两个角的和或差的正切值。它们在三角函数的计算中很有用，尤其是在解决三角函数方程或证明三角函数恒等式时。

拓展：

这些公式可以通过三角恒等式的推导得到，可以帮助我们更好地理解三角函数之间的关系。除了正切函数之外，正弦、余弦等三角函数也有类似的两角和与差的公式。掌握这些公式可以帮助我们更好地理解三角函数的性质和用途。

高中数学-两角和与差的正弦余弦和正切公式

§4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

考试要求　1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.

掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．

知识梳理

1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C (α－β)：

cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；(2)公式C (α＋β)：

cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；(3)公式S (α－β)：

sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；(4)公式S (α＋β)：

sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；

(5)公式T (α－β)：tan(α－β)＝；

tan α－tan β

1＋tan αtan β(6)公式T (α＋β)：tan(α＋β)＝.tan α＋tan β

1－tan αtan β2．辅助角公式

a sin α＋

b cos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.a 2＋b 2b

a 2＋

b 2a

a 2＋

b 2知识拓展

两角和与差的公式的常用变形：(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．

tan αtan β＝1－＝－1.tan α＋tan β

tan (α＋β)tan α－tan β

tan (α－β)思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

三角函数专题2：两角和与差的正弦、余弦和正切公式

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

考点要求

(1)和与差的三角函数公式

①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．

②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式． (2)二倍角的三角函数公式

①能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式．

②利用两角和的公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．一两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β. (2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β

1∓tan αtan β.

2．公式的变形公式T (α±β)的变形：

(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)． (2)tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)． 3.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin_αcos_α.

(2)cos 2α＝cos 2

α－sin 2

α＝2cos 2

α－1＝1－2sin 2

α. (3)tan 2α＝2tan α

1－tan 2

α. 4．公式C 2α的变形

(1)sin 2

α＝12(1－cos 2α)．

(2)cos 2

α＝12(1＋cos 2α)．

5.公式的逆用

(1)1±sin 2α＝(sin α±cos α)2

. (2)sin α±cos α＝2sin ⎝

⎛⎭⎪⎫α±π4. 二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cos 2

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α－β)：cos(α－β)＝ (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝ (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝ (4)S (α－β)：sin(α－β)＝ (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝； (6)T (α－β)：tan(α－β)＝ . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝

(2)C 2α：cos 2α＝＝＝； (3)T 2α：tan 2α＝ . 3．常用的公式变形

(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；

(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭

⎫α±π

4. [小题能否全取]

1．(2011·福建高考)若tan α＝3，则sin 2α

cos 2α的值等于( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．6

解析：选D

sin 2αcos 2α＝2sin αcos α

cos 2α

＝2tan α＝2×3＝6. 2．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( ) A ．－2

B.22

D ．1

解析：选B 原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝22

. 3．已知sin α＝2

，则cos(π－2α)等于( )

两角和与差的正弦、余弦与正切公式

3．5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式

[知识梳理]

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α∓β)：cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β. (2)S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.

(3)T (α±β)：tan(α±β)＝

tan α±tan β1∓tan αtan β⎝ ⎛

⎭⎪⎫α，β，α±β≠π2＋k π，k ∈Z .

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin2α＝2sin αcos α.

(2)C 2α：cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)T 2α：tan2α＝2tan α

1－tan 2α

⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠±π4＋k π，且α≠k π＋π2，k ∈Z .

3．公式的常用变形

(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (2)cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2

α＝1－cos2α2. (3)1±sin2α＝(sin α±cos α)2，

sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

α±π4. (4)a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝

a a 2＋

b 2，sin φ＝b

a 2＋b

2，tan φ

＝b

a(a≠0)．

特别提醒：(1)角：转化三角函数式中往往出现较多的差异角，注意观察角与

角之间的和、差、倍、互补、互余等关系，运用角的变换，化多角为单角或减少未知角的数目，连接条件角与待求角，使问题顺利获解．对角变换时：①可以通过诱导公式、两角和与差的三角公式等；②注意倍角的相对性；③注意拆角、拼角技巧，

两角和与差的正、余弦和正切公式

和与差的三角函数公式

(1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．

(2)能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．

(3)能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．

◆ 教材通关 ◆

1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β. cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α.

cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α

1－tan 2α.

[必记结论]

1．在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错． 2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝

所对应的角α＋β不是唯一的． 3．二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．

3．有关公式的逆用、变形等

(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)． (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2

(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π

三角恒等变换两角和与差的正弦余弦正切公式两角和与差的正切公式

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两角差的余弦公式
• cos(\theta_2 - \theta_1) = cos\theta_2cos\theta_1 + sin\theta_2sin\theta_1
两角差的余弦公式证明
• 证明：左边 = cos(\theta_2 - \theta_1) = cos\theta_2cos\theta_1 + sin\theta_2sin\theta_1 = 右边，得证
在三角函数求值中，当已知两个角的正弦、余弦或正切中的两个值时，可以利用两角和与差的正切公式求出另一个角的正切值
也可以利用两角和与差的正切公式化简三角函数式，从而解决一些三角函数的恒等变换问题
04
两角和的正弦、余弦、正切公式
两角和的正弦公式
两角和的正弦公式为：sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny。
又因为cos(π/2-x)=sinx，sin(π/2-x)=cosx，代入上式得sin(x+y)=sinxcosy+cosxsห้องสมุดไป่ตู้ny。
两角和的正弦应用举例
举例1
已知一个直角三角形的两个锐角分别为 30度和45度，求两锐角和的正弦值。
VS
解
首先计算出这两个锐角的正弦值分别为 1/2和1/√2，然后利用两角和的正弦公式计算两锐角和的正弦值为： sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin 45°=1/2×√2/2+√3/2×√2/2=(√2+√6)/ 4。

两角和与差的正切

正切是一个在数学中具有重要意义的函数。它的定义是，当一条直线

与另一条直线的两个斜率相乘时得到的结果。正切可以用来描述两角平分

线之间的关系，也可以用来计算两角和与两角差之间的正切。

两角和和差的正切分别为：

和：tan(α+β) = (tanα + tanβ)/ (1-tanα * tanβ)。

差：tan(α-β) = (tanα - tanβ)/ (1+tanα * tanβ)。

上述结果可以由三角恒等式和正反三角函数的定义来证明，首先是三

角恒等式，sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，

tan(α+β)=[sin(α+β)/cos(α+β)]=[sinαcosβ+cosαsinβ]/[cos

αcosβ-sinαsinβ]，同样的，tan(α-β)=[sin(α-β)/cos(α-

β)]=[sinαcosβ-cosαsinβ]/[cosαcosβ+sinαsinβ]，将第一两

项分开，可以得到tan(α+β)= (tanα + tanβ)/ (1-tanα * tanβ)，tan(α-β) = (tanα - tanβ)/ (1+tanα * tanβ)。

因此，两角和与两角差的正切可以表示为：tan(α+β) = (tanα + tanβ)/ (1-tanα * tanβ)，tan(α-β) = (tanα - tanβ)/

(1+tanα * tanβ)。

两角和与差的正弦、余弦与正切公式

.
1+cos
5.积化和差公式
sin αcos
1
β=
2
sin( + ) + sin(-) ,
cos αsin
1
β=2
sin( + )-sin(-) ,
cos αcos
1
β=2
cos( + ) + cos(-) ,
sin αsin
1
β=2
cos( + )-cos(-) .
cos
2
2
c=
=
=cos
39°-sin
39°=cos 78°=sin 12°.
2
2
1+tan 39°
sin 39°
1+
cos239°
因为函数 y=sin
π
x,在区间[0,2]上单调递增,
所以 sin 13°>sin 12°>sin 11°,所以 a>c>b.
(2)由
π
cos(α-6)+sin
3
即 sin
∴
4-2
=
cos54°
2sin18° 4-4sin2 18°
=
sin36°
4sin18°cos18°
=
sin36°
2sin36°
=

两角和与差的正弦余弦与正切公式_提高

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

【学习目标】

1．能以两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 2．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换. 【要点梳理】

要点一：两角和的余弦函数两角和的余弦公式：

cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- ()C αβ+

要点诠释：

(1)公式中的αβ、都是任意角；

(2)和差角的余弦公式不能按分配律展开，即()cos cos cos αβαβ±≠±；

(3)公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题.如：由cos50cos20sin50sin 20︒︒+︒︒能迅速地想到

()cos50cos 20sin 50sin 20cos 5020cos30︒︒+︒︒=︒-︒=︒=

； (4)第一章所学的部分诱导公式可通过本节公式验证；

(5)记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反.

要点二：两角和与差的正弦函数两角和正弦函数

sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ ()S αβ+ 在公式()S αβ+中用β-代替β，就得到：两角差的正弦函数

sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- ()S αβ-

要点诠释：

(1)公式中的αβ、都是任意角；

(2)与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即()sin sin sin αβαβ±≠±； (3)和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如

两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形(最新整理)

两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)公式

①cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β(C (α－β))②cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C (α＋β))③sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S (α－β))④sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S (α＋β))⑤tan(α－β)＝(T (α－β))

tan α－tan β

1＋tan αtan β⑥tan(α＋β)＝(T (α＋β))

tan α＋tan β

1－tan αtan β(2)公式变形

①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)．②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．2．二倍角公式(1)公式

①sin 2α＝2sin_αcos_α，

②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，③tan 2α＝.

2tan α

1－tan 2α(2)公式变形①cos 2α＝

，sin 2α＝；

1＋cos 2α21－cos 2α2

②1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝sin .

2)4(π

α±3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√)(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√)(3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．(×)(4)公式tan(α＋β)＝

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin__αsin_β；

tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝⎛

⎭⎫α±β，α，β均不为k π＋π2，k ∈Z . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin__αcos____α；

cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎫α，2α均不为k π＋π2，k ∈Z . [提醒] 三角函数公式的变形

(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α

；

(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π

4. 3．三角函数公式关系

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．( ) (2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．( )

(3)cos 80°cos 20°－sin 80°sin 20°＝cos(80°－20°)＝cos 60°＝1

2.( )

(4)公式tan(α＋β)＝

tan α＋tan β

1－tan αtan β

可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan

两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含解析)

归纳与技巧：两角和与差的正弦、余弦和正切公式

基础知识归纳

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β

1－tan αtan β；

(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β

1＋tan αtan β.

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；

(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α

1－tan 2α.

3．常用的公式变形

(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；

(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π

基础题必做

1．若tan α＝3，则sin 2α

cos 2α的值等于( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．6

解析：选D