两角和与差的正切函数

22
4
4
练习：
3、已知sin a 3 ,是第四象限的角，求sin( ),
5
4
cos( ), tan( )的值。
4
4
解：由sin
=-
3 5
,是第四象限的角，得
cos
1 sin2
1
(
3 5
)2
4, 5
所以tan sin 3
cos 4
于是有
sin( ) sin cos cos sin
两角和与差的正切函数
一、复习：
cos ( – ）=cos cos + sinsin cos（ + ）=cos cos – sin sin
sin sin cos cos sin
sin sin cos cos sin
两角和的正切公式：
tan(
)
sin(α+β) cos(α+β)
解： tan15= tan(4530)= tan 45o tan 30o 1 tan 45o tan 30o
1
3 3
3
3 12 6 3 2
3
1 3 3 3
6
tan75= tan(45+30)=
3
1
3 3 3
3 12 6
3
1 3 3 3
6
3
=2+ 3
2、求值：(1) tan71o - tan26o 1 + tan71otan26o
2
2
tan(α+β)= tanα+ tanβ 1- tanαtanβ
上式中以代得
tan[ ( )] tan tan( ) = tanα- tanβ 1 tan tan( ) 1+ tanαtanβ
∴tan(α-β)= tanα- tanβ 1+ tanαtanβ
记T (
-
)
两角和与差的正切公式
4
4
4
2 4 2 ( 3) 7 2 ; 2 5 2 5 10
cos( ) cos cos sin sin
4
4
4
2 4 2 ( 3) 7 2 ; 2 5 2 5 10
tan(
4
)
tan tan
4
1 tan tan
tan 1 1 tan
4
3 1
4 1 (
3)
7
sinαcosβ+ cosαsinβ cosαcosβ- sinαsinβ
当cos cos 0时，分子分母同时除以cos cos
tan(α+β)= tanα+ tanβ 1- tanαtanβ
记：T( + ) 其中
k k Z , k k Z , k k Z
2
tan(α+β)= tanα+ tanβ 1- tanαtanβ
记：T( + )
tan(α-β)= tanα- tanβ 1+ tanαtanβ
记:T( - )
注意：1必须在定义域范围内使用上述公式。
即：tan，tan，tan(±)只要有一个不存
在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱
导公式来解。如:已知tan =2,求 tan( ) 不
4
小结
两角和与差的正切公式
tan(α+β)= tanα+ tanβ 1- tanαtanβ
tan(α-β)= tanα- tanβ 1+ tanαtanβ
熟记公式，灵活运用
作业： P120 练习T2、T3
能用 T( )
2
2注意公式的结构，尤其是符号。
公式应用
一、给角求值
例1：利用和（差）角公式计算下列各式的值：
1 tan15。 1- tan15。.
解：原式=
tan 45。 tan15。 1- tan 45。tan15。
tan(45。15。)
tan 60。
3
练习
1: 求tan15和tan75的值：
公式应用
三、给值求角
例3：已知tan 2, tan 1 ,其中0 , << ,求 +的值。
3
22
解：因为tan
tan tan
1 tan tan
21 3
1 2
1
3
又因为0 , <<，所以 3
22
2
2
在 与 3 之间，只有 5 的正切值等于1，所以 + = 5
(2)1- 3tan75o 3 + tan75o
答案: (1) 1
(2) -1
公式应用
二、给值求值
例2：已知 tan
2 5
, tan
4
1 4
,求
tan
4
。
解：因为
+
4
=
+
-
-
4
，所以
tan
4
tan
+
-
-
4
tan
wk.baidu.com
tan
4
1 tan
21
tan
4
5 4 1 2 1
3 5 4
22