立体几何空间向量(含历年真题、提升性试题无答案).含向量doc

A．α∥β，mα，nβ⇒m∥nB．l⊥β，α⊥β⇒l∥α
C．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．α∥β，l⊥α⇒l⊥β
10．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是()
A.B.C .D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
二、用空间向量解决立体几何的“三步曲”
(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）
A．若a∥α，bα，则a∥b
B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
C．若aα，bβ，a∥b，则α∥β
D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b
6．右图9πB．10πC．11πD．12π
7．如图是底面面积为，体积为的 正三棱锥的主视图(等腰三角形)和俯视图(等边三角形)，此正三棱锥的左视图的面积为()
A．48B．64C．96D．192
2．棱长都是 1的三棱锥的表面积为( )
A.B．2C．3D．4
3．(2012·郑州第二次质检)已知正方体的外接球的体积是，则这个正方体的棱长是()
A.B.C.D.
4．(2011·吉林期中)如图所示的直观图，其平面图形的面积为 ()
A．3B．6C．3D.
5．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是()
空间向量与立体几何
一、平面的法向量
1、定义：如果 ，那么向量 叫做平面 的法向量。平面 的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
2、平面法向量的求法
(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面 的法向量 ，在平面 内任找两个不共线的向量 。由 ，得 且 ，由此得到关于 ，z的方程组，解此方程组即可得到 。
例2．棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别
为C1D1、B1C1的中点，
(1)求证：E、F、B、D共面；
(2)求点A1D与平面EFBD所成的角。
3．二面角的求法
二面角 ，平面 的法向量 ，平面 的法向量 。 ，则二面
角 的平面角为 或π 。
所以， ，若将法向量的起点放在两个半平面上(不要选择起点在棱上)，当两个法向量的方向都向二面角内或外时，则 为二面角的平面角的补角；当
（Ⅰ）证明：面 面 ；
（Ⅱ）求 与 所成的角；
（Ⅲ）求面 与面 所成二面角的大小。
2．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧面 是正三角形,
平面 底面 ．
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）求面 与面 所成的二面角的大小．
证明： 以 为坐标原点，建立如图所示的坐标图系.
3．如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，
（4）证明面面平行：在图2-11中, 向是平面 的法向量， 是平面 的法向量，证明两平面的法向量共线（ ）。
3、求空间角
（1）两条异面直线所成角：cosθ=
向量法求空间两条异面直线a, b所成角θ，只要在两条异面直线a, b上各任取一个向量 ，则角< >=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cosθ= ,不需要用法向量。
14．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为________．
15．由 和 所围成的封闭图形，绕 轴旋转一周，则所得旋转体的表面积为________
三、解答题
16．如图，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC求证：AB⊥BC
(1)求证：AE⊥平面B1CD；
(2)求三棱锥E－ACD的体积．
19．如图， 为正三角形， 平面 ， 是 的 中点，求证：
（1） ；
（2）平面 平面 ；
（3）平面 平面 。
20（13分）如图，在棱长为2的正方体 中， 、 分别为 、 的中点．
(1)求直线BC1与平面AB1D之间的距离；
(2)求二面角B1-AD-B的大小；
(3)求三棱锥C1-ABB1的体积。
4．平面与平面间的距离
平面 与平面 平行时，其中一个平面 上任意一点到平面
的距离就是平面 与平面 间的距离。其求法与点到面的
距离求法相同。
空间向量习题
1．已知四棱锥 的底面为直角梯形， ， 底面 ，且 ， ， 是 的中点。
（2）直线与平面所成角：sinθ= cos( -θ) = |cos< , >| =
如图2-1，设 是平面 的法向量，AB是平面 的一条斜线， ，
则AB与平面 所成的角为：
图2-1-1:
图2-1-2:
(2)求面面角:设向量 ， 分别是平面 、 的法向量，则二面角 的平面角为 （图2-2）;
(图2-3)
11．夹在两个平面间的两条线段，它们互相平行且相等，则两个平面的位置关系为________．
12．在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分 别是边AB、BC、CD、DA的中点，对角线AC＝BD＝2，且AC⊥BD，则四边形EFGH的面积为________．
13．(2012·常熟模拟)若圆锥的母线长为2 cm，底面圆的周长为2π cm，则圆锥的表面积为________．
在α内任取一点B，则A点到平面α的距离为d = ， 的坐标由 与平面α内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述,若方程组无解，则法向量与XOY平面平行，此时可改设 ，下同）。
（3）直线与平面间的距离:求直线到与直线平行平面距离（非重点）
求直线a到平面α的距离，设平面α的法向量法为 ，
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）
三、平面法向量的应用
1、 求空间距离
（1）异面直线之间距离: ,其中
方法指导：如图2-4,①作直线a、b的方向向量 、 ，
求a、b的法向量 ，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；
②在直线a、b上各取一点A、B，作向量 ；
③求向量 在 上的射影d，则异面直线a、b间的距离为
（2）当 为 的中点时，求点 到面 的距离；
（3） 等于何值时，二面角 的大小为 .
6．如图，在三棱柱 中， 侧面 ， 为棱 上异于 的一点， ，已知 ，求：
（Ⅰ）异面直线 与 的距离；
（Ⅱ）二面角 的平面角的正切值.
7．如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ， 是 上
一点， .已知
求（Ⅰ）异面直线 与 的距离；
所对应的锐角或直角即为直线a(AB)与
b(CD)所成的角。
例1．如图，已知直棱柱ABC-A1B1C1，在 ABC中，
CA=CB=1， ，棱AA1=2，求异面直线
BA1，CB1所成的角。
2．线面所成的角
与 的角所对应的锐角的余角或直角即为直线AP与平面 所成的角 ，所以
与 的角的余弦值的绝对值为直线AP与平面 所成的角的正弦值。
两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定在图2-2中， 的方向对平面 而言向外， 的方向对平面 而言向内；在图2-3中， 的方向对平面 而言向内， 的方向对平面 而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角 的平面角。
二、 空间距离
1．点到面的距离
点P到面 的距离 可以看成 在平面 的法向量 的方向上的射影的长度。
2．异面直线间的距离
异面直线a,b之间的距离可以看成 在a,b的公垂向量 的方向上
的射影的长度。
例4．长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=2，AD=4，AA1=6，E是BC
的中点，F是CC1的中点，建立空间坐标系，求
(1)异面直线D1F与B1E所成角的大小；
(2)二面角D1-AE-D的大小；
(3)异面直线B1E与D1F的距离。
3．线面距离
直线a与平面 平行时，直线上任意一点A到平面 的距离就
是直线a与平面 之间的距离。其求法与点到面的距离求法相同。
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3，
例5．侧棱长为 ，D是CB延长线上一点，且BD=BC。
2、试证明：
（1）证明线面垂直：在图2-8中, 向是平面 的法向量， 是直线a的方向向量，证明平 面的法向量与直线所在向量共线（ ）。
（2）证明线面平行：在图2-9中, 向是平面 的法向量， 是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（ ）。
（3）证明面面垂直：在图2-10中， 是平面 的法向量， 是平面 的法向量，证明两平面的法向量垂直（ ）
两个法向量的方向一个向二面角内，另一个向外时，则 为二面角的平面角。
例2．如图，平面ABCD， ADE是等边三角形，ABCD是矩形，F是AB的中点，G是
AD的中点，EC与平面ABCD成300的角。
(1)求证：EG 平面ABCD；
(2)若AD=2，求二面角E-FG-G的度数；
(3)当AD的长是多少时，点D到平面EFG的距离为2，请说明理由。
,其中 （重点）
设异面直线a、b的公共法向量为 ，在a、b上任取一点A、B，则异面直线a、b的距离：d =AB·cos∠BAA＇=
证明：如图，EF为a、b的公垂线段，a＇为过F与a平行的直线，在a、b上任取一点A、B，过A作AA＇ EF，交a＇于A＇，
则 ，所以∠BAA＇=< >（或其补角）
∴异面直线a、b的距离d =AB·cos∠BAA＇= *
4、证明线面、面面的平行、垂直关系（理解、记住）
设平面外的直线a和平面α、β，两个面α、β的法向量为 ，则