4.1平行四边形的性质(2)
平行四边形的性质与计算方法
平行四边形的性质与计算方法1. 平行四边形的定义平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。
在平行四边形中，对边相等，对角线互相平分，并且对角线的交点是四边形的中点。
2. 平行四边形的性质2.1 对边性质- 平行四边形的对边相等。
即，AB = CD，AD = BC。
- 平行四边形的对边互相平行。
即，AB ∥ CD，AD ∥ BC。
2.2 对角线性质- 平行四边形的对角线互相平分。
即，AC平分BD，BD平分AC，交点为O（AC的中点，BD的中点）。
2.3 角性质- 平行四边形的内角和为180度。
即，∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 180度。
- 平行四边形的内角互补。
即，∠A + ∠C = 180度，∠B + ∠D = 180度。
2.4 边性质- 平行四边形的对边相等。
即，AB = CD，AD = BC。
- 平行四边形的同位角相等。
即，∠A = ∠C，∠B = ∠D。
3. 平行四边形的计算方法3.1 周长计算平行四边形的周长等于四边的长度之和。
即，周长 = AB + BC + CD + DA。
3.2 面积计算平行四边形的面积可通过以下两种方式计算：- 根据底边和高计算面积：面积 = 底边长度 ×垂直到底边的高。
- 根据邻边和夹角计算面积：面积 = 邻边1长度 ×邻边2长度 ×sin(夹角)。
4. 平行四边形的性质应用举例4.1 示例一：计算平行四边形ABCD的周长和面积。
已知AB = 3cm，BC = 4cm，∠B = 60度。
- 周长 = AB + BC + CD + DA = 3cm + 4cm + 3cm + 4cm = 14cm。
- 面积 = 邻边1 ×邻边2 × sin(夹角) = 3cm × 4cm × sin(60度) = 6√3 cm²。
4.2 示例二：已知平行四边形ABCD的面积为20cm²，AD = 5cm，求垂直到AD的高的长度。
平行四边形的性质及判定
平行四边形1.平行四边形的概念定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2.平行四边形的性质性质：（1）平行四边形的对边平行且相等；（2）平行四边形的对角相等；（3）平行四边形的对角线互相平分.注意：平行四边形是以对角线的交点为中心的对称图形，但不一定是轴对称图形.3.平行四边形的判定判定：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边；（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.注意：（1）平行四边形的定义既可以作为性质，又可以作为判定；（2）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形. 重点记忆：（1）夹在两平行线间的平行线段相等.（2）如图31-1，四边形ABCD是平行四边形，则有4.两平行线间的距离定义：两条平行线中一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做两条平行线间的距离.1.平行四边形的性质一.填空题.1.如图4.1-1, D,E,F 分别在△ABC 的三边BC,AC,AB 上,且DE ∥AB, DF ∥AC, EF ∥BC,则图中共有_______________个平行四边形,分别是_______________________________________.FED CBA图4.1-12.已知平行四边形的周长是100cm, AB:BC=4 : 1,则AB 的长是________________.3.已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长是______________.4.在平行四边形ABCD 中,∠A : ∠B=3:2,则∠C=_________ 度,∠D=_____________度.5.用20米长的一铁丝围成一个平行四边形,使长边与短边的比为3:2,则它的边长为________短边长为__________.6.如图4.1-2,在平行四边形ABCD 中, BC=2AB, CA ⊥AB,则∠B=______度,∠CAD=______度.DCB A图4.1-2二.选择题.7.平行四边形ABCD 的周长32, 5AB=3BC,则对角线AC 的取值范围为( )A. 6<AC<10B. 6<AC<16C. 10<AC<16D. 4<AC<16 8. 在平行四边形ABCD 中,∠A=65°,则∠D 的度数是 ( )A. 105°B. 115°C. 125°D. 65° 9. 在平行四边形ABCD 中,∠B -∠A=20°,则∠D 的度数是 ( ) A. 80° B. 90° C. 100° D. 110°10. 由等腰三角形底边上任一点(端点除外)作两腰的平行线,则所成的平行四边形的周长等于等腰三角形的 ( ) Ａ． 周长 B. 一腰的长 C. 周长的一半 D. 两腰的和 11. 在以下平行四边形的性质中,错误的是 ( )A. 对边平行B. 对角相等C. 对边相等D. 对角线互相垂直三. 解答题12. 平行四边形ABCD 的两条对角线AC,BD 相交于O.(1) 图4.1-3中有哪些三角形全等? 有哪些相等的线段?(2) 若平行四边形ABCD 的周长是20cm,△AOD 的周长比△ABO 的周长大6cm.求AB,AD 的长.ODCBA图4.1-313. 如图4.1-4,平行四边形ABCD 中,∠ADC 的邻补角的平分线交BC 的延长线于E,延长ED 交BA 的延长线于F,试判断△FBE 的形状.GFEDCBA图4.1-4四. 应用题14. (1) 如图4.1-5,平行四边形ABCD 中,AB=5cm, BC=3cm, ∠D 与∠C 的平分线分别交AB 于F,E, 求AE, EF, BF 的长?(2) 上题中改变BC 的长度,其他条件保持不变,能否使点E,F 重合,点E,F 重合时BC 长多少?求AE,BE 的长. (3) 由(1),(2)题,你想到了什么?请写下来与你同伴交流.F E DCBA图4.1-5五. 综合能力提高题15. 如图4.1-6,平行四边形ABCD 的四个外角的平分线分别两两交于E,F. (1) 试判断∠AED, ∠BFC 的大小.(2) 线段AE, ED, BF, FC, EC, HF 中哪些相等?H GFEDCBA图4.1-616. 如图4.1-7,BD 是平行四边形ABCD 的对角线,AE ⊥BD 于E,CF ⊥BD 于F. (1) 在图中,根据题意补全图形;(2) 试问: △ABE 与△CDF 能全等吗?请说明理由.DCB A图4.1-72. 平行四边形的判定一. 填空题1. 如图4.2-1,平行四边形ABCD 中,AE=CG, DH=BF,连结E,F,G,H,E,则四边形EFGH 是_________________.2. 如图4.2-2,平行四边形ABCD 中,E,F 是对角线AC 上的两点,且AE=CF,连结B,F,D,E,B 则四边形BEDF 是______________.HGFED CBA图4.2-1GFEDCB A图4.2-23. 一组对边平行且相等的四边形一定是_____________形.4. 有公共顶点的两个全等三角形,其中一个三角形绕公共顶点旋转180°后与另一个重合,那么不共点的四个顶点的连线构成____________形.5. 如图4.2-3,E,F 分别是平行四边形ABCD 的边AD 与BC 的三分之一点,则四边形AECF 是________________形.F EDCB A图4.2-3F E DCBA图4.2-4二. 选择题6. 如图4.2-4,平行四边形ABCD 中,E,F 分别为边AB,DC 的中点,则图中共有平行四边形的个数是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 67. 以长为5cm, 4cm, 7cm 的三条线段中的的两条为边,另一条为对角线画平行四边形,可以画出形状不同的平行四边形的个数是 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4 8. 能够判定一个四边形是平行四边形的条件是 ( )A. 一组对角相等B. 两条对角线互相平分C. 两条对角线互相垂直D. 一对邻角的和为180°9. 四边形ABCD 中,AD ∥BC,要判定ABCD 是平行四边形,那么还需满足 ( ) A. ∠A+∠C=180° B. ∠B+∠D=180° C. ∠A+∠B=180° D. ∠A+∠D=180° 10. 平行四边形的一组对角的平分线 ( )A. 一定相互平行B. 一点相交C. 可能平行也可能相交D. 平行或共线 三. 解答题11. 如图4.2-5,在平行四边形ABCD 中,M,N 分别是OA,OC 的中点,O 为对角线AC 与BD 的交点,试问四边形BMDN 是平行四边形吗?说说你的理由.OMNDCBA图4.2-512. 如图4.2-6,AC 是平行四边形ABCD 的一条对角线,BM ⊥AC, DN ⊥AC,垂直分别为M,N,四边形BMDN 是平行四边形吗?你有几种判别方法?NMDCBA图4.2-6 四. 应用题13. 如图4.2-7,在平行四边形ABCD 中,AC 的平行线MN 交DA 的延长线于M,交DC 的延长线于N,交AB,BC 于P,Q. (1) 请指出图中平行四边形的个数,并说明理由. (2) MP 与QN 能相等吗?NMQP DCBA图4.2-714. 已知如图4.2-8,在平行四边形ABCD 中,EF ∥DC,试说明图中平行四边形的个数.NMH G FE D CBA图4.2-8五. 综合能力提高题15. 如图4.2-9,为公园的一块草坪,其四角上各有一棵树,现园林工人想使这个草坪的面积扩大一倍,又要四棵树不动,并使扩大后的草坪为平行四边形,试问这个想法能否实现,若能请你设计出草图,否则说明理由.DCBA图4.2-916. 楠楠想出了一个测量池塘的两端A,B 引两条直线AC,BC 相交于点C,在BC 上取点E,G,使BE=CG,再分别过E,G 作EF ∥AB,交AC 于F,H.测出EF=8m, GH=3m,(如图4.2-10),她就得出了结论: 池塘的宽AB 为11m .你认为她说的对吗?图4.2-103.平行四边形性质和判定综合。
平行四边形的性质与定理
平行四边形的性质与定理平行四边形是指具有两组对边平行的四边形。
在数学中，平行四边形具有一些特殊的性质与定理，下面将逐一介绍。
1. 平行四边形定义平行四边形是一种特殊的四边形，其两组对边分别平行。
如果将平行四边形的对边延长，它们将永不相交。
2. 平行四边形的性质2.1 对边性质平行四边形的对边长度相等。
即，对边AB与CD长度相等，对边AD与BC长度相等。
2.2 对角线性质平行四边形的对角线互相平分。
即，对角线AC和BD相交于O点，且AO = OC，BO = OD。
2.3 到任意点的距离性质平行四边形上的任意一点到相邻两边的距离之差相等。
即，从点P到AB的距离减去从点P到CD的距离等于从点P到BC的距离减去从点P到AD的距离。
2.4 内角和性质平行四边形的内角和为360°。
即，∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°。
3. 平行四边形的定理3.1 对边定理如果一个四边形的对边分别平行且长度相等，那么这个四边形是平行四边形。
对边定理可以用于判断一个四边形是否为平行四边形。
3.2 邻补角定理在平行四边形中，相邻的内角互补，即相邻的内角之和为180°。
例如，∠A + ∠B = 180°，∠B + ∠C = 180°，以此类推。
3.3 余补角定理在平行四边形中，对角互补，即对角之和为180°。
例如，∠A +∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。
3.4 对顶角定理在平行四边形中，对顶角相等。
即，∠A = ∠C，∠B = ∠D。
4. 平行四边形的应用平行四边形的性质与定理在几何应用中有广泛的应用。
4.1 建筑设计平行四边形的性质可用于建筑设计中的墙体、天花板、地板等结构的布置。
设计师可以利用平行四边形的特性来构建更美观、稳定的建筑。
4.2 求解几何问题在解题过程中，利用平行四边形的性质可以简化许多几何问题。
例如，通过对边性质可以判断两条线段是否平行，通过对角线性质可以判断四边形是否为平行四边形。
平行四边形的性质
讲义4.1平行四边形的性质及判定知识要点归纳1、平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形。
2、平行四边形的性质（1）定义性质：平行四边形的两组对边分别平行。
（2）性质:A、平行四边形的对角相等。
B、平行四边形的对边相等。
C、平行四边形的对角线互相平分。
（3）平行四边形是中心对称图形，平行四边形绕其对角线的交点旋转180后，与自身重合，我们说平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点。
注意：边：对边平行，对边相等；角：对角相等，邻角互补；对角线：对角线互相平分。
3、平行四边形的面积平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积，如图所示,平行四边形ABCD的面积=BC•AE=CD•BF,也就是平行四边形的面积=底边长×高=ah（其中a是平行四边形的任意一条边长，h必须是a边与其对边的距离。
）注意：同底(等底)同高（等高）的平行四边形面积相等，如图所示，平行四边形ABCD与平行四边EBCF有公共边BC，则平行四边形ABCD的面积=平行四边形EBCF的面积。
CFBEDA例1．ABCD 中，∠A 的平分线分BC 成4cm 和3cm 两条线段，则ABCD 的周长为 ．例2．在ABCD 中，∠C=60º,DE ⊥AB 于E,DF ⊥BC 于F ．（1）则∠EDF= ； （2）如图，若AE=4，CF=7，则ABCD 周长= ;例3.在平行四边形ABCD 中，已知∠A ＝40°，则∠B ＝ ，∠C ＝ ，∠D ＝ . 例4。
.中，周长为20cm ，对角线AC 交BD 于点O ，△OAB 比△OBC 的周长多4，则边AB ＝____________，BC ＝____________．变式训练.如图，在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，ΔAOB 的周长为15，AB ＝6，那么对角线AC 和BD 的和是多少？例5、如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，周长为80cm ，边的长。
4.1.2平行四边形的性质(2)
想一想
想一想
在笔直的铁轨上, 在笔直的铁轨上, 夹在两根铁 轨之间的枕木是否一样长 ?
7
由生活实际 由生活实际到数学抽象 实际到数学抽象
例2 已知直线a ∥b, 过直线 a 上任意 已知直线 两点A 作垂线, 两点A 、 B 分别向直线 b 作垂线, 于点C 交直线 b于点C、点 D . (1) 线段AC 、 BD所在的直线有 BD所在的直 所在的直线 的位置关 怎样的位置关系 ? (2) 比较线段AC 、 BD 的长短 . 较线段 A B
5
利用定义、性质解题 利用定义、
例1 如图 , 四边形 ABCD 是平行四边形 , DB ⊥ AD, 是平行四边 求 BC , CD 及 OB 的长.。 A 8 D 分析 （1）在□ ABCD 中， O 10 AD 的对边； BC是 对边； BC是 B C 对边； CD是 CD是 AB 的对边； 阅读 p86 解 AD、 因为 AD、AB 已知 ， 所以，利用平行四边形的性质 对边相等 可求出它们 所以，利用平行四边形的性质 “对边相等 ” 可求出它们； （2） 点 O 是 平行四边形两对角线的交点 ， 平行四边形两对 利用平行四边形的性质 平行四边形两对 利用平行四边形的性质 “ 平行四边形两对角线互相平分 ” 可知OB BD的一半 OB是 的一半。 可知OB是BD的一半。 （3） 求 BD 的长 应摆在 △ ADB 中用 勾股 定理来计算。 应摆在 定理来计
1、已知平行四边形的 一角，可求 另外三个角 ； 已知平行四 平行四边 一角， 另外两条边 2、已知平行四边形的 两邻边，可求 另外两条边 ； 已知平行四 平行四边 邻边，
3
练一练
1 、看图说话： 看图说话： A 32cm 56° 56° D 124° 124° 30cm
4.1平行四边形的性质
平行四边形的对边相等 平行四边形的对角相等
平行四边形的邻角互补
平行四边形的性质
文字叙述 边
对边平行 对边相等
A B C
D
几何语言
AB∥DC ，AD∥BC AB=DC ，AD=BC ∠A=∠C ，∠B=∠D
角
对角相等 邻角互补
∠A +∠ B =180°……
1、在 ABCD中，∠A=60°，BC=3cm, 120° 3cm 60° 则∠B=_____，∠C=_____，AD=_____.
在数学的天地里，重要的不是我 们知道什么，而是我们怎么知道 什么。
——毕达哥拉斯 大望学校 钟锋声
拼一拼
将一张纸对折,剪下
两张叠放的三角形 纸片.将它们相等的一组边重合,可以得 到一个四边形. 观察、讨论： (1)你拼出了怎样的四边形?
矩形、菱形、正方形、平行四边形 一般的四边形
A
D
做一做
1、画一个平行四边形ABCD； 2、用一张半透明的纸复制你画的平行四 边形ABCD； 3、剪下你所复制的那个平行四边形；
4、将复制后的四边形绕某个点旋转180°， 你能平移该纸片，使它与原来的四边形 ABCD重合吗？
做一做
由此你能得到什么结论？ 平行四边形的对边、对角之间分别 有什么关系？
1
B
222222 22222
C
（2）这个图形中有哪些相等的角？有没有互 相平行的线段？你是怎样得到的？ （3）请用简洁的语言刻画这个图形的特征， 并与同伴交流
平行四边形的定义 1、两组对边分别平行的 四边形叫做平行四边形.
如图四边形ABCD是平行四边形， 记作： ABCD
2、平行四边形不相邻的两个顶点连成的线 段叫它的对角线 3、平行四边形相对的边称为 对边 相对的角称为 对角
平行四边形和长方形的面积和周长的关系_概述说明
平行四边形和长方形的面积和周长的关系概述说明1. 引言1.1 概述本篇文章将讨论平行四边形和长方形的面积和周长之间的关系。
平行四边形和长方形是基础的几何图形，在我们日常生活和数学领域都有广泛的应用。
通过研究它们的性质和计算方法，我们可以深入理解它们之间相互影响的规律。
1.2 文章结构本文将分为五个部分来探讨平行四边形和长方形面积和周长之间的关系。
首先，介绍平行四边形和长方形的定义与特性，包括它们各自的定义以及一些重要性质。
然后，阐述面积和周长的概念与计算方法，包括如何计算平行四边形和长方形的面积以及周长。
接下来，详细探讨平行四边形面积与周长之间以及长方形面积与周长之间存在的关联。
最后，在总结了这些关系要点后，我们将通过实际应用场景下的案例分析来说明这些概念在实践中的运用。
1.3 目的本文旨在帮助读者更好地理解并应用平行四边形和长方形面积和周长之间的关系。
通过深入研究这些几何图形的性质和计算方法，读者可以在实际问题中更好地运用这些知识，并增进对平行四边形和长方形的认识。
无论是在日常生活中还是在学术研究中，这些基础概念都具有重要的应用价值。
通过本文提供的理论知识和实际案例，读者将能够更加灵活地处理与平行四边形和长方形相关的问题。
2. 平行四边形和长方形的定义与特性:2.1 平行四边形的定义与性质平行四边形是一种具有两对平行边的四边形。
以下是平行四边形的一些基本特性：- 平行边：平行四边形具有两对相互平行的边，即两对边之间的距离始终相等。
- 对角线：平行四边形的对角线相交于中点，并且每条对角线将平行四边形分成两个全等三角形。
- 性质1：相邻角补角为180度。
也就是说，如果一个内角是x度，则与其相邻的内角为(180 - x)度。
2.2 长方形的定义与性质长方形是一种特殊类型的平行四边形，它有以下独特特性：- 等边矩形：长方形的所有内角都为90度，因此也被称为直角矩形。
- 边长关系：长度和宽度不相等，但相互垂直。
平行四边形知识点
A BC DO 平行四边形的性质和判断知识点：一、平行四边形的性质基本概念1、定义:有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形2、图形语言:3、符号语言平行四边形：平行四边形性质（从边、角、对角线、对称性四个方面学习记忆） 性质:1.（边）两组对边分别平行且相等.2. (角) 两组对角分别相等.邻角互补3.（线）对角线互相平分.4.（对称性）中心对称－－对称中心为对角线交点.二、【例题讲解】小明用一根36米长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB 长8米，其他三条边各长多少？∠A=60°，求其它各角？∠B 的外角为60°，求这个四边形的各内角的度数。
【轻松试一试】1.如图，AB ∥DE,BC ∥EF,CA ∥FD.图中有几个平行四边形?将它们表示出来,并说明理由.AFD2. 已知如图4.2-8,中,EF ∥DC,试说明图中平行四边形的个数.NMH G F E D CBA图4.2-8角的计算：1、中, BC=2AB, CA ⊥AB,则∠B=______度,∠CAD=______度.DCB A2中,∠A : ∠B=3:2,则∠C=___ 度,∠D=______度.边及周长的计算1、如图，平行四边形的对角线相交于点O ，BC=7㎝，BD=10㎝，AC=6㎝。
求△AOD 的周长。
2平行四边形的周长是100cm, AB:BC=4：1,则AB 的长是_______。
3.已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长是______________.4.用20米长的一铁丝围成一个平行四边形,使长边与短边的比为3:2,则它的边长为________短边长为__________.平行四边形的判断平行四边形的四个(或五个)判定方法，这些判定的方法是： 从边看： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．从对角线看：对角线互相平分的四边形是平行四边形．（从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．）【例题讲解】已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：BE=DF ．分析：证明BE=DF ，可以证明两个三角形全等，也可以证明四边形BEDF 是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单． 证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥CB ，AD=CD ． ∵ E 、F 分别是AD 、BC 的中点， ∴ DE ∥BF ，且DE=21AD ，BF=21BC ．∴ DE=BF ．∴ 四边形BEDF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）． ∴ BE=DF ．例2、已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AC 上两点，且BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ．求证：四边形BEDF 是平行四边形．分析：因为BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ，所以BE ∥DF ．需再证明BE=DF ，这需要证明△ABE 与△CDF 全等，由角角边即可．证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AB=CD ，且AB ∥CD ． ∴ ∠BAE=∠DCF ．∵ BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ，∴ BE ∥DF ，且∠BEA=∠DFC=90°． ∴ △ABE ≌△CDF （AAS ）． ∴ BE=DF ．∴ 四边形BEDF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）例3、 已知：如图3，E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，且AE ＝CF 。
槐荫区初中数学
槐荫区初中数学年级集体备课记录表例1图例2图［例2］如图所示，在ABCD1方法三：将一张长方形纸对折，再在折痕上取任意长为底边，剪一个等腰三角形，然后打开即是菱你能说一说按这三种方法做的理由吗？大家讨论一下回答.按方法二得到的四边形是菱形的理由是：这个四边形的两组对边分别在纸条的边缘上，它们彼此平行，它是平行四边形；分别以一组邻边为底写出这个平行四边形的面积EC于G，AG交（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如图4－52。
（2）正方形的性质：①正方形对边平行。
②正方形四边相等。
板书设计：教学反思：正方形是特殊平行四边形的综合。
是一个回顾与总结与发现的一节课。
组织好这节课对让学生会归纳总结发现是比较重要的。
°，则：是等腰梯形，则需找到同一底上的两个内角相等，或∠A=∠D.从而可以得证(学生分组讨论，教师适当作指导条边就叫做n边形.三角形、四边形都属于多边形，其中三角多边形的表示方法与三角形、四边形类似如可顺时针方向表示，也可逆时针方向表示，如图(3)，可表示为五边形)先把五边形转化成三角形.进而求出内角和，1．在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做正多边形，如上图中的多边形分别为：正三解：这种正多边形是正六边形，理由是：设：这个正多边形的一个内角为再根据多边形的内角和公式得：还能找到能密铺的其他正多边形吗？第三题所得的“鱼”形图案能否密铺？根据上面的思路，自己独立设计一个可以密铺的探讨研究中心对称图形的的性质：在轴对称中，如等腰梯形ABCD中,OP为对称轴，是一对对应点，那么A、D两点连线与对称轴的关系为：被对称轴垂直且平分AB CDOPOCABDE DEBA C60。
初中数学知识归纳平行四边形的性质与判定
初中数学知识归纳平行四边形的性质与判定初中数学知识归纳：平行四边形的性质与判定平行四边形是初中数学中常见的基础几何形状之一。
它具有一些独特的性质和判定方法。
本文将对平行四边形的性质进行归纳，并介绍相关的判定方法。
1. 平行四边形的定义平行四边形是指具有两对相对平行的边的四边形。
其中，相对平行的边两两平行且长度相等。
平行四边形具有四个内角和四个外角。
2. 平行四边形的性质2.1 对角线性质平行四边形的对角线互相平分，并且两条对角线的交点是对角线的中点。
这意味着平行四边形具有对称性质，对称轴为对角线。
2.2 内角性质平行四边形的内角对应相等。
即，如果两条平行边中的一对内角相等，则另外一对内角也相等。
可以通过证明对顶角相等来推导内角对应相等的性质。
2.3 外角性质平行四边形的外角对应相等。
即，如果两条平行边中的一对外角相等，则另外一对外角也相等。
外角的度数等于其对应的内角的补角。
3. 平行四边形的判定方法3.1 对边判定若一条边与另外一条边平行，则这两条边所在的四边形就是平行四边形。
这种判定方法是最简单和直观的。
3.2 对角线判定若一条对角线平分另外一条对角线，并且这条平分线同时也是平行四边形的一条边，则可以判断这个四边形为平行四边形。
3.3 紧凑型判定若一组相邻边的对角线互相平分，并且这条对角线同时也是平行四边形的一条边，则可以判断这个四边形为平行四边形。
4. 平行四边形的应用平行四边形在解决实际问题时有广泛的应用。
以下列举其中几个常见的应用场景：4.1 面积计算由于平行四边形的性质，可以利用其高度和底边长来计算面积。
通过将平行四边形分割成三角形或矩形，再进行相应的计算，得到平行四边形的面积。
4.2 相似性判断在解决相似性的问题时，平行四边形也经常被用到。
通过观察两个或多个图形的边长比例，结合平行四边形的性质，可以判断它们的相似性。
4.3 平行线问题平行四边形的平行性质可用于解决平行线问题。
通过观察平行四边形的边之间的关系，并结合对应角等于内角对应的性质，可以推导出平行线之间的关系。
苏教版二年级数学上册第二单元《平行四边形的初步认识》
苏教版二年级数学上册第二单元《平行四边形的初步认识》一. 教材分析《平行四边形的初步认识》是苏教版二年级数学上册第二单元的一课。
本节课主要让学生认识平行四边形，理解平行四边形的特征，能够区分平行四边形和其他四边形。
教材通过生活实例引入平行四边形，让学生在观察、操作、交流中体会平行四边形的特征，培养学生的空间观念和几何思维。
二. 学情分析二年级的学生已经学习了四边形的基本概念，对四边形的特征有一定的了解。
但学生对平行四边形的认识还较为模糊，需要通过实例和操作来进一步感知和理解。
此外，学生的空间观念和几何思维能力正处在发展阶段，需要通过大量的实践活动来培养。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生会识别平行四边形，了解平行四边形的特征，能够用语言描述平行四边形的特征。
2.过程与方法：学生通过观察、操作、交流等实践活动，培养空间观念和几何思维能力。
3.情感态度与价值观：学生体验数学与生活的联系，培养学习数学的兴趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生认识平行四边形，理解平行四边形的特征。
2.教学难点：学生能够用语言描述平行四边形的特征，培养空间观念和几何思维能力。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用情境教学法、启发式教学法、小组合作学习法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、操作卡片等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入：通过生活实例引入平行四边形，让学生观察并描述实例中的平行四边形。
2.探究：学生分组讨论，观察、操作平行四边形模型，发现平行四边形的特征。
3.交流：学生汇报探究成果，教师引导总结平行四边形的特征。
4.实践：学生进行操作实践活动，如剪贴平行四边形、拼组平行四边形等。
5.总结：教师引导学生总结本节课所学内容，巩固对平行四边形的认识。
6.拓展：布置课后练习，让学生运用所学知识解决实际问题。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出平行四边形的特征。
可以设计如下：平行四边形 //八. 说教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思维活跃度等。
平行四边形性质
平行四边形性质平行四边形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质。
本文将介绍平行四边形的性质，包括其定义、内角和外角性质、对角线性质以及平行四边形的相关定理。
1. 定义平行四边形是指具有两对对边平行的四边形。
这意味着平行四边形的对边是平行的，而且相邻边之间的内角相等。
2. 内角和外角性质平行四边形的内角性质是其中一个重要的特点。
根据平行线之间的性质，平行四边形的内角是180度的补角。
也就是说，平行四边形的相邻内角之和始终等于180度。
另外，平行四边形的外角性质也很有意思。
外角是指一个角位于平行四边形的边的外部，并且与相邻的内角形成补角关系。
因此，平行四边形的相邻外角之和也等于180度。
3. 对角线性质平行四边形的对角线有一些特殊的性质。
首先，平行四边形的对角线相交于一点，并且将平行四边形分割成两个全等的三角形。
其次，平行四边形的对角线相互平分。
也就是说，平行四边形的对角线把它们所在的角等分成两个相等的角。
最后，平行四边形的对角线长度都相等。
这一性质可以通过运用平行线的性质和三角形的相似性来证明。
4. 相关定理除了上述基本性质外，还存在一些与平行四边形相关的定理，如下所述：4.1. 任意一条线段平行于一对平行边，就将平行四边形分割成两个全等的平行四边形。
4.2. 直角的两个边分别平行于另外两个边，即为矩形。
4.3. 对角线相等的平行四边形是矩形。
4.4. 连接平行四边形相对顶点的线段，所形成的四边形也是平行四边形。
这些定理为解决与平行四边形相关的问题提供了有力的工具。
总结：平行四边形是一种特殊的四边形，具有很多有趣的性质。
通过了解平行四边形的内角和外角性质，对角线的性质以及相关定理，我们可以更好地理解和解决与平行四边形有关的问题。
熟练掌握这些性质和定理，有助于我们在几何学的学习和实际问题的解决中取得更好的成绩。
注：以上内容对于平行四边形的性质做了简要的介绍，如需深入了解和运用平行四边形的性质，请参考相关的数学教材或资料。
4.1平行四边形的性质
A E B
∴AD=BC且∠A= ∠ C（平行四边形的对边相等， 对角相等） 又∵AE=CF（已知） ∴ △ADE≌△CBF（SAS） ∴DE=BF（全等三角形的 对应边相等）
我们发现了平行四边形、矩形、菱形、正方形…
• 它们在生活中的广泛性和重要性： • 我们周围的世界充满着大自然的杰作和人类的创造物，各 式各样的图案装点着我们的生活。无论是蜜蜂营造的蜂房、 建筑师创造的建筑物，还是平整、无缝隙地铺满地面的地 砖……从中都能看到四边形的“身影”。了解他们，你不 仅能学到更多的数学，欣赏中外艺术家的杰作，而且能独 立设计许多漂亮的图案…… • 在本章我们将学习四边形的性质，探索平行四边形、菱形、 矩形、正方形、梯形等特殊多边形的性质，发现平面图形 密铺的奥秘……
2、平行四边形的表示：用符号 来表示。记 作： ABCD ， 读作：平行四边形ABCD 3、与平行四边形有关的概念：对角线 对边 对角
（1）平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线
（2）平行四边形相对的边称为对边 （3）平行四边形相对的角称为对角
平行四边形定义的几何语言
注意：定义既可以作性质用也可以作判定用 判定：∵AB∥CD, AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 性质：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD, AD∥BC.
做一做：
1、在你拼接得到的平行四边形中，有哪些相等的线段、 相等的角？与同伴交流？ 2、任意一个平行四边形，是否都可以由两个全等三角形 拼接而成？如果能，你能将其中一个通过恰当的变化得到 两一个三角形吗？ 3、剪两个全等的平行四边形，将其中的一个平行四边形 绕某个点旋转180°，你能平移该纸片，使它与另一个的 平行四边形重合吗？
4.1 平行四边形 课件(人教版八年级下)
3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，△AOD的 周长与△AOB的周长小3cm，若AD＝5cm，则平行四边形ABCD的周长 为 ．
这是一道典型的对角线互相平分的问题． 显然△AOD的周长是AD＋DO＋OA， 而△AOB的周长为AB＋OB＋OA． 由平行四边形的对角线互相平行， 有OA＝OC，OD＝OB， 所以△AOD的周长比△AOB的周长小3cm就是四边形的边AD的长比AB的 长少3cm， 即AB－AD＝3（cm）． 又AD＝5（cm），所以AB＝8（cm）． 所以平行四边形ABCD的周长为2（AB＋AD）＝26（cm）．
A． 2 B． 2 C． 1 D．
本题把平行四边形的性质和三角形 的中位线结合起来考查，有一定的 综合性．由平行四边形的性质知， 点O是AC的中点，E是BC的中点， 所以OE是△ABC的中位线，据三角 形中位线的性质知，OE是AB的一 半．故选A．
1 2
如图， 过点A作AH⊥BC， 垂足为H， 在Rt△ABH中， ∠B＝30°，AB＝8cm， 1 ∴ AH＝ AB＝4（cm）． 2 ∴ S□ABCD＝BC·AH＝10×4＝40 （cm2）．
人教数学 · 八下 对点助学PPT
【知识目标】
1．掌握平行四边形的概念，探索并 掌握平行四边形的有关性质和常用 判别方法，并能灵活运用这些知识 进行有关的证明和计算． 2．了解三角形中位线定义，并熟练 运用中位线定理进行证明和计算． 3．在平行四边形性质的探索过程中， 培养的合情推理能力，体会数学的 转化思想． 4．平行四边形是特殊的四边形，平 行四边形的性质和识别方法通过证 明三角形全等来探索提出，学习时 要注意平行四边形与三角形的关 系． 5．学习平行四边形时，应把平行四 边形的性质与识别方法相互对照， 便于理解和记忆． 6．学习中位线定理时，应注意中位 线与中线的区别．
4.1 课件 平行四边形的性质(北师大版八年级上册)9
Ｂ O
Ｄ
Ｃ
1.如图，在菱形ABCD中, AB=5,OA=4,OB=3. 求这个菱形的周长和 两条对角线的长。
Ａ
解：∵菱形ABCD ∴AB=BC=DC=AD ∴菱形的周长 5×4=20
∵ 菱形ABCD
Ｂ O Ｄ
∴ DB=2OB=6 AC=2OA=8
Ｃ
2.如图， ABCD中,AB=3,BC=4,AC=5.四边形ABCD是 矩形吗?
正方形
一组邻边相等的矩形
动脑动手又动口 选择题
1.正方形具有但菱形不一定具有的性质是（ A ）
A.对角线相等；
B.对角线互相平分；
C.对角线平分一组对角； D.对角线互相垂直； 2.对角线互相垂直平分但不相等的四边形是（ B ） A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 3.下列说法中不正确的是（ C ） A.平行四边形对角线互相平分；
菱形
正方形
知识三…判定方法
边
平行四 边形 ⑴两组对边分别平行 ⑵两组对边分别相等 ⑶一组对边平行且相等 ⑴一组邻边相等的平行四 边形 ⑵四条边都相等的四边形 一个角是 直角的平 行四边形 一个角是 直角的菱 形
角
对角线
⑷两条对角线互相 平分 ⑶对角线互相垂 直的平行四边形
菱形
矩形
对角线相等的平 行四边形
D C
E
F
A
B
2.如图，折叠矩形纸片ABCD的一边AB，使点B落在CD边 上的E点处，若AB=10，BC=8，求CEF的周长。
解：由折纸知AB=AE=10，BF=EF， ∠AEF=∠B=90°
A
B
F
∴EF＋FC=BC=8
在Rt ADE中 设DE=X，则EC=10－X
《平行四边形及其性质》案例分析
《平行四边形及其性质》案例分析1．教学目标：知识技能：理解并掌握平行四边形的相关概念和性质，培养学生初步应用这些知识解决问题的能力．的演绎推理能力和发散思维能力．解决问题：学生亲自经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，体会解决问题策略的多样性．情感态度：培养学生独立思考的习惯与合作交流的意识，激发学生探索数学的兴趣，体验探索成功后的快乐．2．教学重点、难点：重点：理解并掌握平行四边形的概念及其性质．难点：运用平移、旋转的图形变换思想探究平行四边形的性质3.教学方法：探索归纳法4、过程开放训练体现应用1．解决课前提出的实际问题某时刻小刚用量角器量出地面上平行四边形影子的一个内角是60°，就说知道了其余三个内角的度数；又用直尺量出一组邻边的长分别是40cm和55cm，便胸有成竹的说能够计算出这个平行四边形的周长．你知道小刚是如何计算的吗？这样计算的根据是什么?2．试一试用图钉把一根平放在ABCD上的细纸板条固定在对角线AC、BD的交点O处．拨动纸板条，使它随意停留在任意的位置．观察几次拨动的结果，你有什么新发现？记录下来，再与同伴交流．教师深入小组参与活动，倾听学生的交流，鼓励学生尽可能多的给出不同的答案．学生非常容易得出答案，很有成就感。
回扣课始导言，体现了教学的连贯性，也体现出数学知识的实用性．学以致用的体验，使学生感受到数学学习是有趣的、丰富的、有价值的.学生发现了一些线段、角相等，一些三角形面积相等、一些四边形面积相等……本题构造了一个图动→手动→脑动的动态思维场景，学生在此场景中观察、分析、归纳、推理．培养了学生自己发现问题、分析问题和解决问题的能力，使学生真正成为知识的主动建构者．作业布置已知任意三点A、B、C是否存在点D，使ABCD围成一个平行四边形，如存在，请画出平行四边形；如不存在，请说明理由。
记录本题学生可以经历二次开放、二次分类，会充分感受到问题蕴涵的巨大乐趣．板书设计4.1 平行四边形及其性质1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．A DB C记作：ABCD2、性质：（1）平行四边形的对边相等（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分让思维在拼拼试试中展开──“平行四边形及其性质”课堂实录分析无论是引进的“数学教学就是数学活动的教学”的理念，还是我们传承千年的“授人以鱼，不如授人以渔”的教育思想，都揭示了教育的真谛在于为受教育者创造催人奋进的学习环境，提供自主学习的时间空间和自然及时的方法指导。
平行四边形的周长和面积计算
平行四边形的周长和面积计算一、周长计算1.1 平行四边形的定义：两组对边平行且相等的四边形。
1.2 平行四边形的周长公式：周长=2×(边1+边2)。
1.3 应用：已知平行四边形的四条边长，可求其周长。
二、面积计算2.1 平行四边形的面积公式：面积=底×高。
2.2 底：平行四边形任意一条边。
2.3 高：垂直于底的边的长度。
2.4 应用：已知平行四边形的底和高，可求其面积。
2.5 特殊情况：直角平行四边形（矩形、正方形），面积=长×宽。
三、平行四边形的性质3.1 对边平行且相等。
3.2 对角相等。
3.3 对边上的高相等。
四、平行四边形的判定4.1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
4.2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
4.3 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
五、实际应用5.1 计算实际问题中的平行四边形周长和面积，如：矩形、正方形、菱形等。
5.2 运用平行四边形的性质解决实际问题，如：测量物体的高度、宽度等。
六、拓展知识6.1 平行四边形的对角线：连接平行四边形相对顶点的线段。
6.2 平行四边形的对角线性质：对角线互相平分。
6.3 平行四边形的对角线长度：可用勾股定理计算。
7.1 平行四边形的周长和面积计算方法，以及应用。
7.2 平行四边形的性质和判定方法。
7.3 平行四边形在实际问题中的应用。
7.4 平行四边形的拓展知识，如对角线性质、长度等。
习题及方法：1.习题：一个平行四边形的周长是24厘米，其中一条边长为6厘米，求这个平行四边形的面积。
答案：首先，用周长减去已知的边长，得到另一条边的长度为12厘米。
由于平行四边形的对边相等，所以另一条边也是6厘米。
因此，这个平行四边形的底为6厘米，高为4厘米（因为6厘米和4厘米是两条垂直的边）。
所以面积为6厘米 × 4厘米 = 24平方厘米。
2.习题：一个平行四边形的底是8厘米，高是5厘米，求这个平行四边形的周长。
平行四边形对角线平方的4个三角形的面积
平行四边形对角线平方的4个三角形的面积1. 概述平行四边形是初中数学中常见的几何形状，而其对角线的关系更是初中几何的重要知识点之一。
在平行四边形中，对角线可以将平行四边形分割成两个全等的三角形，而这两个全等的三角形又可以继续分割成两对面积相等的三角形。
本文将重点讨论平行四边形对角线所形成的4个三角形的面积，通过推导和计算，深入探讨这一几何问题。
2. 平行四边形的性质在平行四边形中，对角线互相平分，即对角线互相垂直且互相平分。
这一性质可由平行四边形的定义和对角线的交叉性质推导得出。
3. 平行四边形对角线所形成的4个三角形的特点平行四边形的对角线所形成的4个三角形包括两个全等的三角形。
而在平行四边形中，对角线将平行四边形分割成两个全等的三角形，即两个三角形的对应边相等，两个三角形的对应角相等。
换言之，通过平行四边形的对角线将平行四边形分为两个全等的三角形。
4. 计算平行四边形对角线所形成的4个三角形的面积在平行四边形中，对角线所形成的4个三角形的面积可以通过以下步骤计算：4.1计算平行四边形的面积。
平行四边形的面积可以通过底和高的乘积计算得出，即面积=底×高。
4.2计算全等三角形的面积。
全等三角形的面积可以通过底和高的乘积的一半得出，即面积=（底×高）/2。
4.3将两个全等三角形的面积相加，即可得到平行四边形对角线所形成的4个三角形的总面积。
5. 结论通过上述计算可以得出，平行四边形对角线所形成的4个三角形的面积是相等的，并且这4个三角形的总面积等于平行四边形的面积。
这一计算结果符合几何的基本原理，也验证了平行四边形对角线所形成的4个三角形的的特点。
6. 总结平行四边形对角线所形成的4个三角形的面积是几何中的重要知识点，其计算可以通过对平行四边形和全等三角形的面积计算相结合得出。
通过深入理解平行四边形和对角线的关系，我们可以更好地理解和应用几何知识。
平行四边形对角线所形成的4个三角形的面积的计算也是对学生数学思维的锻炼和提高。
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4.1 平行四边形的性质（2）
班级：_______ 姓名： 家长签名：____ __
一、温故知新
1、等腰直角三角形的腰长为6，其斜边长为 。
2、如图，已知四边形ABCD 是平行四边形。
∵
∴AD BC ，AB CD （平行四边形 边 ） ∠A ∠C ，∠B ∠D （平行四边形 角 ）
∠A+∠B= ， ∠C+∠D= 。
（平行四边形 角 ） 3、如右图，在□ABCD 中，下列关系不一定正确的是（ ）
A. AB=CD
B. ∠A+∠D=180°
C. ∠A=∠C
D. AB=BC 4、四边形ABCD 是平行四边形。
(1)若AB=5cm ，则CD= ；若BC=3cm ，则AD= ； (2)若∠A=71°，则∠C= ；若∠B=60°，则∠D= ； （3）若∠A+∠C=128°，则∠C= 。
(4)若∠A=65°，则∠D= 。
二、平行四边形的对角线
1、如图1，在□ABCD 中，分别连接AC ，BD ，则线段AC 、BD 叫做□ABCD 的 .
2、如图1，□ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O 。
（1）AD 与BC 有何关系？ ；
（2）∠OBC ∠ODA ，∠OCB ∠OAD ；
（3）△AOD 与△COB 有何关系？ ；
（4）AO 与CO 有何关系？ ，BO 与DO 呢？ 。
（5）由上面的分析你能得出什么结论？ 。
3、如图2，□ ABCD 的两条对角线AC ，BD 相交于点O 。
（1）若AC=8，则OA= ，OC= ；
（2）若BD=12，则OB= ，OD= ； （3）若OA=5，则AC= ，OC= ； （4）若OD=3，则BD= ，OB= 。
三、基础练习
1. 如图1，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，图中全等三角形共有 对。
A B
C
D
平行四边形相对．．的两个顶点的连线叫做它的对角线．．．。
A
B C
D
O 图4-3
图1
2.如图2，在□ABCD 中，已知∠ODA=90°，AC=10cm ，BD=6cm ，则AD 的长为( ) A ．4cm
B ．5cm
C ．6cm
D ．8cm
3.已知平行四边形ABCD 的面积为16，对角线AC , BD 相交于点O ，则COD ∆的 面积为 ；若M 为CD 边上任意一点，则MAB ∆的面积为 。
4.
中，周长为20cm ，对角线AC 交BD 于点O ，△OAB 比△OBC 的周长多4，则边AB
＝________，BC ＝________．
5.如图，四边形ABCD 是平行四边形，BD ⊥AD ，求BC ，CD 及OB 的长。
四、拓展练习
1.平行四边形的两条对角线长分别为8和10，则其中每一边长x 的取值 范围是( )
A.182<<x
B.91<<x
C. 100<<x
D.80<<x
2.如图，在周长为20cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，AC 、BD 相交于点O ， OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为（ ）
A.4cm
B.6cm
C.8cm
D.10cm
3.如图，□ABCD 中，AC.BD 为对角线，BC =6，BC 边上的高为4， 则阴影部分的面积为（ ）
A ．3
B ．6
C ．12
D ．24 4.如图， 四边形 ABCD 是平行四边形，DB ⊥ AD ，求 BC ， AC 的长。
解：
A
D B
C
O 8
10
图1
A
B
C
O
E
第2题
第
3题。