2017-2018学年高中数学选修1-1习题：第一章1-2充分条件与必要条件含答案精品

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2017-2018学年高中数学选修1-1教材用书：第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件含答案

1。

2充分条件与必要条件充分条件与必要条件［提出问题]在物理中，我们经常遇到这样的电路图：问题1:图中A开关闭合时B灯一定亮吗？提示：一定亮．问题2:B灯亮时A开关一定闭合吗？提示：不一定，还可能是C开关闭合．［导入新知］充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒q p q条件p是q的充分p不是q的充关系条件q是p的必要条件分条件q不是p的必要条件［化解疑难］1．p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立，但是如果没有p，q也可能成立”．2．q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立",或者说“若q不成立,则p一定不成立”；但即使有q成立,p未必会成立。

充要条件［提出问题］如图是一物理电路图．问题1：图中开关A闭合,灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合吗？提示：一定闭合．问题2：开关A闭合作为命题的条件p,灯泡B亮作为命题的结论q，你能判断p，q之间的推出关系吗？提示：p⇔q.[导入新知]充要条件如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q。

则p是q的充分必要条件,简称充要条件．[化解疑难］p是q的充要条件时，q也是p的充要条件，即充要条件是相互的，我们也称条件p和条件q是等价的，如果p和q是两个命题，则这两个命题是等价命题．充分条件、必要条件、充要条件的判断［例1](1)在△ABC中，p：cos2A＝cos2B，q：A＝B;（2）p:x＞1，q:x2＞1；（3）p：（a－2）（a－3）＝0，q：a＝3;（4)p：a＜b，q：错误!＜1.[解] (1）在△ABC中，A∈（0,π），B∈(0，π），且A＋B＋C＝π.若cos2A＝cos2B，则A＝B；反之,若A＝B，则cos2A＝cos2B。

因此,p 是q的充要条件．（2）由x＞1可以推出x2＞1；由x2＞1，得x＜－1，或x＞1，不一定有x＞1。

因此,p是q的充分不必要条件．（3）由(a－2）(a－3）＝0可以推出a＝2,或a＝3，不一定有a ＝3；由a＝3可以得出(a－2)（a－3）＝0。

人教a版数学【选修1-1】作业：1.2充分条件与必要条件(含答案)

§1.2充分条件与必要条件课时目标 1.结合实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会判断(证明)某些命题的条件关系．1．如果已知“若p，则q”为真，即p⇒q，那么我们说p是q的____________，q是p 的____________．2．如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作________．这时p是q的______________条件，简称________条件，实际上p与q互为________条件．如果p⇒q且q⇒p，则p是q的________________________条件．一、选择题1．“x>0”是“x≠0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．设p：x<－1或x>1；q：x<－2或x>1，则綈p是綈q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件题号12345 6 答案7．用符号“⇒”或“⇒”填空.(1)a>b________ac2>bc2；(2)ab≠0________a≠0.8．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是________．9．函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________．三、解答题10．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y.(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p ：四边形的对角线互相平分，q ：四边形是矩形．11.已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，若x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，求实数a 的取值范围．能力提升12．记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max {}x 1，x 2，…，x n ，最小数为min {}x 1，x 2，…，x n .已知△ABC 的三边边长为a ，b ，c (a ≤b ≤c )，定义它的倾斜度为l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ，则“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的( )A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝(n ＋1)2＋c ，探究{a n }是等差数列的充要条件．1．判断p 是q 的什么条件，常用的方法是验证由p 能否推出q ，由q 能否推出p ，对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．2．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立．“A 的充要条件为B ”的命题的证明：A ⇒B 证明了必要性；B ⇒A 证明了充分性．“A 是B 的充要条件”的命题的证明：A ⇒B 证明了充分性；B ⇒A 证明了必要性．§1.2 充分条件与必要条件答案知识梳理1．充分条件必要条件2．p ⇔q 充分必要充要充要既不充分又不必要作业设计1．A [对于“x >0”⇒“x ≠0”，反之不一定成立．因此“x >0”是“x ≠0”的充分而不必要条件．]2．A [∵q ⇒p ，∴綈p ⇒綈q ，反之不一定成立，因此綈p 是綈q 的充分不必要条件．]3．B [因为N M .所以“a ∈M ”是“a ∈N ”的必要而不充分条件．]4．A [把k ＝1代入x －y ＋k ＝0，推得“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”；但“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”不一定推得“k ＝1”．故“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的充分而不必要条件．]5．A [l ⊥α⇒l ⊥m 且l ⊥n ，而m ，n 是平面α内两条直线，并不一定相交，所以l ⊥m 且l ⊥n 不能得到l ⊥α.]6．B [当a <0时，由韦达定理知x 1x 2＝1a<0，故此一元二次方程有一正根和一负根，符合题意；当ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根时，a 可以为0，因为当a ＝0时，该方程仅有一根为－12，所以a 不一定小于0.由上述推理可知，“a <0”是“方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根”的充分不必要条件．]7．(1) ⇒ (2)⇒8．a >2解析不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0，因当－2<x <－1时不等式成立，所以不等式的解为－a <x <－1.由题意有(－2，－1)(－a ，－1)，∴－2>－a ，即a >2.9．b ≥－2a解析由二次函数的图象可知当－b 2a≤1，即b ≥－2a 时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在 [1，＋∞)上单调递增．10．解 (1)∵|x |＝|y |⇒x ＝y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |，∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．(2)△ABC 是直角三角形⇒△ABC 是等腰三角形．△ABC 是等腰三角形⇒△ABC 是直角三角形．∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件．(3)四边形的对角线互相平分⇒四边形是矩形．四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分．∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．11．解由题意知，Q ＝{x |1<x <3}，Q ⇒P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1a ＋4≥3，解得－1≤a ≤5. ∴实数a 的取值范围是[－1,5]．12．A [当△ABC 是等边三角形时，a ＝b ＝c ，∴l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝1×1＝1. ∴“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的必要条件．∵a ≤b ≤c ，∴max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝c a. 又∵l ＝1，∴min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝a c，即a b ＝a c 或b c ＝a c，得b ＝c 或b ＝a ，可知△ABC 为等腰三角形，而不能推出△ABC 为等边三角形．∴“l ＝1”不是“△ABC 为等边三角形”的充分条件．]13．解当{a n }是等差数列时，∵S n ＝(n ＋1)2＋c ，∴当n ≥2时，S n －1＝n 2＋c ，∴a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝2为常数．又a 1＝S 1＝4＋c ，∴a2－a1＝5－(4＋c)＝1－c，∵{a n}是等差数列，∴a2－a1＝2，∴1－c＝2. ∴c＝－1，反之，当c＝－1时，S n＝n2＋2n，可得an＝2n＋1 (n≥1)为等差数列，∴{an}为等差数列的充要条件是c＝－1.。

人教版高中数学选修1-1第一章1.2.1充分条件与必要条件

导入新课在日常生活中，我们常常用到这个句型：“如果…那么…”这是我们在语文学习中最基础的句型，也是是日常交际中必不可少的，例如：如果今天太阳很大，那么晒在外面的衣服一定能干.由此可见…•太阳大是衣服干的其中一个因素，在数学中称之为：充分条件；•而衣服晒干是太阳大的必然结果，在数学中称之为：必要条件.通过这个小小的例子，同学们是否对充分条件和必要条件有了大概的理解呢？接下来，让我们深入学习“充分条件”和“必要条件”这两个概念.教学目标知识与能力•使同学们掌握充分条件与必要条件的概念及其运用.•指出命题中的必要条件和充要条件.过程与方法•通过列举数学命题的例子来理解充分条件.•借助日常生活中“充分条件”“必要条件”的例子，帮助学生理解充分条件和必要条件.情感与价值观•培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.教学重难点重点•充分条件概念的理解;•必要条件概念的理解.难点•必要条件概念的理解.前面我们讨论了：“若p则q”形式的命题，其中有的命题为真命题有的命题为假命题，例如，下列两个命题中：( 1 )若x＞a²+b²，则x＞2ab.( 2 )若ab=0，则a=0.命题(1)为真命题，命题(2)为假命题.一般的说，“若p 则q ”为真命题，是指由p 可以推出q ，这时，我们就说由p 可推出q ，记作：p q.并且说p 是q 的充分条件（sufficient condition ）.概念！因此：上面的命题（1）是真命题，即x>a²+b²，x>2ab.所以，•“x>a²+b²”是“x>2ab”的充分条件；•“x>2ab”是“x>a²+b²”的必要条件.1例1下列“若p，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？（1）若几何体是球，则几何体的主视图是圆；（2）若x为无理数，则x²为无理数.命题（1）是真命题，命题（2）是假命题.所以，命题（1）中的p是q的充分条件.因此，“若p 则q ”为真命题，是指由p 可以推出q ，这时，我们就说由p 可推出q ，记作：p q.q 是p 的必要条件.概念！必要条件是同学们理解的一个难点，通常可以借助原命题与逆否命题的等价性,帮助理解必要条件.若原命题是“p推出q”则它的逆否命题是“非p推出非q”，这意味着q成立对于p成立是必要的，例如：命题“如果x >a2+b2，那么x>2ab ”是真命题.（因为a2+b2≥2ab，利用不等式的传递性可以得到以上结论）它的逆否命题：“如果x >2ab不成立，那么x>a2+b2不成立”也是真命题，换言之，要使“x > a2+ b2 ”成立，必须使x>2ab成立.所以我们说x>2ab是x>a2+b2的必要条件.如果，“若p ，则q ”为假命题，那么由p 推不出q ，记作p q ,此时，我们就说p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件. 注意！例如例1中的命题（3）是假命题，那么，x为无理数x²为无理数，所以“x为无理数”不是“x²为无理数”的充分条件；“x²为无理数”不是“x为无理数”的必要条件.下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？（1）若某同学踢足球，则某同学参加了球类活动；（2）若a>b ，则ac>bc.例22命题（1）是真命题，命题（2）是假命题.所以，命题（1）中的q 是p的必要条件.3例 36πα=1cos 22α=“”是“”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件A当时，，反之，当时，有，或，故应选A.6πα=1cos 2cos 32πα==1cos 22α=()2236k k k Z ππαπαπ=+⇒=+∈()2236k k k Z ππαπαπ=-⇒=-∈课堂小结“若p 则q ”为真命题，即由p 可推出q ，记作：p q.并且说p 是q 的充分条件.充分条件的概念：必要条件的概念：“若p则q”为真命题，即由p可推出q，记作：p q.并且说q是p的必要条件.“若p ，则q ”为假命题，由p 推不出q ，记作:p q ,我们就可以说p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件.p≠>q :（09.四川卷理）已知a ，b ，c ，d 为实数，且c>d ，“a > b ”是“a –c > b –d ”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件高考链接B•解析1：a >b 推不出a -c > b -d ；但，故选择B .•解析2：令，则由可得，因为，则，所以.故“”是“”的必要而不充分条件.b dc b ad b c a >-+>⇒->-2,1,3,5a b c d ====-13(5)8a c b d -=-<-=--=a c b d ->-()a b c d >+-c d >0c d ->a b >a b >a c b d ->-（09安徽卷理）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（）A（A）p：a+c>b+d,q：a>b且c>d（B）p：a>1，b>1q：f(x)=a x-b(a>0,且a≠1)的图像不经过第二象限（C）p：x=1，q：x2=x（D）p：a>1，q：f(x)=logxa(a>0,且a≠1)在（0，+∞）为增函数.解析：由“a>b且c>d ”推出“a+c>b+d ”,而由“a+c>b+d”不能推出“a>b且c>d”课堂练习1．已知命题甲为：x>0；命题乙为x2 > 0，那么( )BA．甲是乙的充要条件B．甲是乙的充分非必要条件C．甲是乙的必要不充分条件D．甲是乙的既不充分也不必要条件2．已知条件p：x＋y≠－2，结论q：x、y不都为－1，则p 是q 的( )B A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分非必要条件D．必要非充分条件1、设A 、B 是非空集合，则A∩B ＝A 是A ＝B的____________________条件．2、“p 或q 为真命题”是“p 且q 为真命题”的____________________条件．必要不充分条件必要不充分填空题：解答题：•已知p：x(2x＋3)＝x3，q：2x＋3＝x2，试判断p是q的什么条件，并说明理由．解：∵p：x＝－1或x＝0或x＝3；q：x＝－1或x＝3．∴p推出q而q推不出p．则p是q的必要而不充分条件．1. 用符号“”与“”填空（1）x²=y²_____x =y ；（2）内错角相等_____两直线平行（3）整数a 能被6整除_____a 的个位数字为偶数；（4）ac =bc _____a =b .⇒⇒⇒⇒⇒⇒教材习题答案2. 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？（1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；（2）若x>5，则x>10（1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；解：p：两直线的斜率相等q：这两条直线平行p能推出q，所以p是q的充分条件（2）若x>5，则x>10解：p：x>5q：x>10p 能推出q，所以p是q 的充分条件3. 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的必要条件？（1）若a+5是无理数，则a是无理数；（2）若(x-a)(x-b)= 0，则x=a.解：p：a+5是无理数q：a是无理数q 能推出p，所以p是q的必要条件（1）若a+5是无理数，则a是无理数；（2）若(x-a)(x-b)= 0，则x=a.解：p：(x-a)(x-b)= 0q：x=a.q 能推出p，所以p是q的必要条件.4.判断下列命题的真假：（1）x=2是x²-4x+4=0的必要条件（2）圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件真真（3）sin α=sin β是α=β的充分条件；（4）ab≠0是a≠0的充分条件假假。

2018高中数学选修1-1课件：1-2-1 充分条件与必要条件

引申探究
例1 (1)中p是q的必要条件是 ________. ①② 答案
①x2－2x＋1＝0⇒x＝1，即q⇒p；
α∥β， ②a⊂α， ⇒a 与 b 无公共点，即 q⇒p； b⊂β
解析
③q⇏p.故选①②.
反思与感悟
充分条件、必要条件的两种判断方法
(1)定义法 ①确定谁是条件，谁是结论； ②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件，否则就不是充分条件；
条
知识点三充分条件、必要条件与集合的关系
思考
充分必要 “x<2”是“x<3”的 _____ 条件，“x<3”是“x<2 ” 的____条件.
答案
梳理
A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}
p是q的充分条 A⊆B
p是q的不充分 A B
件
q是p的必要条
条件
q是p的不必要
件
q是p的充分条 B⊆A
4 解得 m≥3.
4 ∴正实数 m 的取值范围为 m≥3.
反思与感悟
(1)设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p⇒q可得A⊆B； q⇒p可得B⊆A； p⇔q可得A＝ B，若 p是 q 的充分不必要条件，则AB.
(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是
找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值.
当堂训练
1.设x∈R，则x>2的一个必要条件是答案
解析
√
A.x>1
C.x>3
B.x<1
D.x<3
∵x>2⇒x>1， ∴x>1是x>2的必要条件.
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人教新课标版数学高二选修1-1练习 1.2充分条件与必要条件

课时跟踪检测（三）充分条件与必要条件层级一学业水平达标1．设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选D 当数列{a n }的首项a 1＜0时，若q ＞1，则数列{a n }是递减数列；当数列{a n }的首项a 1＜0时，要使数列{a n }为递增数列，则0＜q ＜1，所以“q ＞1”是“数列{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选D.2．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙是甲的充要条件D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件解析：选A 因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．3．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a|＝b|b|成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a|＝|b|解析：选C 对于A ，当a ＝－b 时，a |a |≠b |b |；对于B ，注意当a ∥b 时，a |a |与b|b |可能不相等；对于C ，当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b|b |；对于D ，当a ∥b ，且|a|＝|b|时，可能有a ＝－b ，此时a |a |≠b |b |.综上所述，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是a ＝2b .4．设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R)为偶函数”的( ) A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选Aφ＝0时，函数f(x)＝cos(x＋φ)＝cos x是偶函数，而f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数时，φ＝π＋kπ(k∈Z)．故“φ＝0”是“函数f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件．5．使|x|＝x成立的一个必要不充分条件是()A．x≥0 B．x2≥－xC．log2(x＋1)>0 D．2x<1解析：选B∵|x|＝x⇔x≥0，∴选项A是充要条件．选项C，D均不符合题意．对于选项B，∵由x2≥－x得x(x＋1)≥0，∴x≥0或x≤－1.故选项B是使|x|＝x成立的必要不充分条件．6．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B 的________________条件．解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A⇒/ B.又因否命题为真，所以逆命题为真，即B⇒A，所以A是B的必要不充分条件．答案：必要不充分7．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．解析：p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p⇒q，但q p，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a<1.答案：(－∞，1)8．下列命题：①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件；②b2－4ac<0是一元二次不等式ax2＋bx＋c<0解集为R的充要条件；③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；④“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．其中真命题的序号为______________．解析：①x>2且y>3时，x＋y>5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6.所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件；②不等式解集为R的充要条件是a<0且b2－4ac<0，故②为假命题；③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则a1＝21，∴a＝2.因此，“a＝2”是“两直线平行”的充要条件；④lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，∴xy＝1且x>0，y>0.所以“lg x＋lg y＝0”成立，xy＝1必成立，反之不然．因此“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．综上可知，真命题是④.答案：④9．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件．(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；(4)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2.解：(1)∵|x|＝|y|x＝y，但x＝y⇒|x|＝|y|，∴p是q的必要不充分条件．(2)∵△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形，△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形，∴p是q的既不充分也不必要条件．(3)∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形，四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，∴p是q的必要不充分条件．(4)若圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，则圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，即r＝|c|a2＋b2，所以c2＝(a2＋b2)r2；反过来，若c 2＝(a 2＋b 2)r 2，则|c |a 2＋b2＝r 成立，说明x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ，即圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，故p 是q 的充要条件．10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.证明：(1)充分性：当q ＝－1时，a 1＝p －1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．当n ＝1时，上式也成立．于是a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p ，即数列{a n }为等比数列．(2)必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)． ∵p ≠0且p ≠1， ∴a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p .因为{a n }为等比数列，所以a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ＝p (p －1)p ＋q ，∴q ＝－1.即数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.层级二应试能力达标1．“0<a ⎝⎛⎭⎫13b”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当0<a ⎝⎛⎭⎫13b 成立，所以是充分条件；当⎝⎛⎭⎫13a >⎝⎛⎭⎫13b 时，有a 0”是“x >1”的必要条件B ．已知向量m ，n ，则“m ∥n ”是“m ＝n ”的充分条件C ．“a 4>b 4”是“a >b ”的必要条件D ．在△ABC 中，“a >b ”不是“A >B ”的充分条件解析：选A A 中，当x >1时，有x >0，所以A 正确；B 中，当m ∥n 时，m ＝n 不一定成立，所以B 不正确；C 中，当a >b 时，a 4>b 4不一定成立，所以C 不正确；D 中，当a >b 时，有A >B ，所以“a >b ”是“A >B ”的充分条件，所以D 不正确．故选A.4．设p ：12≤x ≤1；q ：(x －a )(x －a －1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎣⎡⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎦⎤0，12 解析：选B ∵q ：a ≤x ≤a ＋1，p 是q 的充分不必要条件， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12.故选B.5．已知关于x 的方程(1－a )x 2＋(a ＋2)x －4＝0(a ∈R)，则该方程有两个正根的充要条件是________．解析：方程(1－a )x 2＋(a ＋2)x －4＝0有两个实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≠0，Δ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠1，(a ＋2)2＋16(1－a )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≠1，a ≤2或a ≥10.设此时方程的两根分别为x 1，x 2，则方程有两个正根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ≠1，a ≤2或a ≥10，x 1＋x 2>0，x 1x 2>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≠1，a ≤2或a ≥10，a ＋2a －1>0，4a －1>0⇔1<a ≤2或a ≥10.答案：(1,2]∪[10，＋∞)6．已知“－1<k <m ”是“方程x 2＋y 2＋kx ＋3y ＋k 2＝0表示圆”的充分条件，则实数m 的取值范围是________．解析：当方程x 2＋y 2＋kx ＋3y ＋k 2＝0表示圆时， k 2＋3－4k 2>0，解得－1<k <1，所以－1<m ≤1，即实数m 的取值范围是(－1,1]．答案：(－1,1]7．已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0.若p 是q 的充分条件，求正实数a 的取值范围．解：不等式x 2－8x －20>0的解集为 A ＝{x |x >10或x <－2}；不等式x 2－2x ＋1－a 2>0的解集为 B ＝{x |x >1＋a 或x <1－a ，a >0}．依题意p ⇒q ，所以A ⊆B . 于是有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1＋a ≤10，1－a ≥－2，解得0<a ≤3.所以正实数a 的取值范围是(0,3]．8．求二次函数y ＝－x 2＋mx －1的图象与两端点为A (0,3)，B (3,0)的线段AB 有两个不同的交点的充要条件．解：线段AB 的方程为x ＋y ＝3，由题意得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3(0≤x ≤3)， ①y ＝－x 2＋mx －1， ②在[0,3]上有两组实数解，将①代入②，得x 2－(m ＋1)x ＋4＝0(0≤x ≤3)，此方程有两个不同的实数根，令f (x )＝x 2－(m ＋1)x ＋4，则二次函数f (x )在x ∈[0,3]上有两个实根，故有：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m ＋1)2－16>0，0<m ＋12<3，f (0)＝4>0，f (3)＝9－3(m ＋1)＋4≥0，解得3<m ≤103，故m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤3，103.。

人教版高中数学选修1-1导学案第一章§1.2充分条件与必要条件

§1-2充分条件与必要条件【学习目标】1•理解充分条件、必要条件、充要条件的泄义∙2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3•能够利用命题之间的关系判左充要关系或进行充要条件的证明. 知识梳理梳理教材夯实圧础知识点一充分条件与必要条件知识点二充要条件如果既有P=q，又有q*就记作P仝q∙此时，我们说，"是§的充分必要条件，简称充要条件.特别提醒：命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类(1)充分必要条件(充要条件)，即Paq且曲:(2)充分不必要条件，即Paq且q≠>p;(3)必要不充分条件，即p≠>q且(4)既不充分也不必要条件，即］τ≠>q且c{Ψ>p.■思考辨析判断正误-- -----------------------------------------------------------1.若“是q的充分条件,则P是唯一的.(× )2.“若P ,则g”是真命题,而“若「则“”是假命题，则"是"的充分不必要条件.(√)3. 4不是"的必要条件时Jgq”成立.(J )4.若卩是q的充分不必要条件，则締P是締q的必要不充分条件.(√)题型探究探究重点索养提升------------------------ % -------一、充分、必要' 充要条件的判断例1指出下列各题中，"是g的什么条件(在''充分不必要条件”"必要不充分条件”“充要条件”''既不充分也不必要条件”中选出一个作答).(1)在AABC中，p： A>B, q： BC>AC;(2)对非空集合A, B, p：x≡AUB, q：Λ∈B;(3)在Z∖ABC 中，p：Sin Λ>sin B, q：tanΛ>tan Bi(4)已知x, y∈R, p：仗一I)?+©—2)2=0, q： (X — l)(y—2)=0.解(1)在Z∖ABC中,显然有A>B^BC>AC I所以P是g的充要条件.⑵显然x∈AU B≠>X≡B ,但X∈B=>A∈A UB ,所以"是g的必要不充分条件•⑶取A二120。

【人教A版】2017-2018学年数学选修1-1优化练习：1.2 充分条件与必要条件 Word版含解析

[课时作业] [A 组基础巩固]1．设a ，b ∈R ，那么“ab >1”是“a >b >0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a b >1得，a b －1＝a －b b >0，即b (a －b )>0，得⎩⎨⎧ b >0a >b 或⎩⎨⎧b <0a b >0或a 1”是“a >b >0”的必要不充分条件，选B. 答案：B2．“θ≠π3”是“cos θ≠12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为“θ≠π3”是“cos θ≠12”的逆否命题：“cos θ＝12”是“θ＝π3”的必要不充分条件，选B.答案：B3．命题p ：a －1a >0；命题q ：y ＝a x 是R 上的增函数，则p 是q 成立的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a －1a >0得a >1或a <0；由y ＝a x 是R 上的增函数得a >1.因此，p 是q 成立的必要不充分条件，选A.答案：A4．对于非零向量有a ＝(a 1，a 2)和b ＝(b 1，b 2)，“a ∥b ”是“a 1b 2－a 2b 1＝0”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分必要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由向量平行的坐标表示可得a ∥b ⇔a 1b 2－a 2b 1＝0，选B. 答案：B5．已知h ＞0，设命题甲为：两个实数a 、b 满足|a －b |＜2h ，命题乙为：两个实数a 、b 满足|a －1|＜h 且|b －1|＜h ，那么( )A ．甲是乙的充分但不必要条件B ．甲是乙的必要但不充分条件C ．甲是乙的充分必要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧ |a －1|＜h ，|b －1|＜h ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－h ＜a －1＜h ，－h ＜b －1＜h ，两式相减得－2h ＜a －b ＜2h ，故|a －b |＜2h .即由命题乙成立推出命题甲成立，所以甲是乙的必要条件．由于⎩⎪⎨⎪⎧|a －2|＜h ，|b －2|＜h ，同理也可得|a －b |＜2h .因此，命题甲成立不能确定命题乙一定成立，所以甲不是乙的充分条件，故应选B. 答案：B6．已知各个命题A 、B 、C 、D ，若A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充分必要条件，试问D 是A 的________条件(填：“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”)．解析：∵A ⇒B ⇒C ⇔D ， ∴D 是A 的必要不充分条件．答案：必要不充分7．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相垂直的充分必要条件是m ＝________.解析：x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与mx ＋2y ＝－8互相垂直⇔1·m ＋(m ＋1)·2＝0⇔m ＝－23.答案：－238．有四个命题：①“x 2≠1”是“x ≠1”的必要条件；②“x ＞5”是“x ＞4”的充分不必要条件；③“xyz ＝0”是“x ＝0，且y ＝0，且z ＝0”的充分必要条件；④“x 2＜4”是“x ＜2”的充分不必要条件．其中是假命题的有________．解析：“x 2≠1”是“x ≠1”的充分条件，①错误；“x ＞5”是“x ＞4”的充分不必要条件，②正确；“xyz ＝0”是“x ＝0，且y ＝0，且z ＝0”的必要不充分条件，③错误；“x 2＜4”是“x ＜2”的充分不必要条件，④正确．答案：①③9．在下列各题中，判断A 是B 的什么条件，并说明理由． (1)A ：|p |≥2，p ∈R ，B ：方程x 2＋px ＋p ＋3＝0有实根； (2)A ：圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，B ：c 2＝(a 2＋b 2)r 2.解析：(1)当|p |≥2时，例如p ＝3，则方程x 2＋3x ＋6＝0无实根，而方程x 2＋px ＋p ＋3＝0要有实根，必有p ≤－2或p ≥6，可推出|p |≥2，故A 是B 的必要不充分条件．(2)若圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，圆心到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ，即r ＝|c |a 2＋b2，所以c 2＝(a 2＋b 2)r 2；反过来，若c 2＝(a 2＋b 2)r 2，则|c |a 2＋b2＝r 成立，说明x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ，即圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，故A 是B 的充分必要条件．10．已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y 的充分必要条件是xy >0.证明：(1)必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －x xy <0.又由x >y ，得y －x <0，所以xy >0.(2)充分性：由xy >0，及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1y .综上所述，1x <1y的充分必要条件是xy >0.[B 组能力提升]1．(2016·高考北京卷)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：结合平面向量的几何意义进行判断．若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为菱形．a ＋b ，a －b 表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，从而不是必要条件．故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．答案：D2．不等式x －1>0成立的充分不必要条件是( ) A ．－1<x <0或x >1 B ．0<x <1 C ．x >1D ．x >2解析：由不等式知x >1为x －1>0的充分必要条件，结合选项知D 为充分不必要条件．答案：D3．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的________条件．解析：由1×1＋1×(－a )＝0，∴a ＝1，即为充分必要条件．答案：充分必要4．函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数的充分必要条件是________．解析：若b ≥0，函数y ＝x 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)上是单调增加的；若y ＝x 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)上是单调的，则只能是单调增加的，故b ≥0. 答案：b ≥05．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(x －3)<0，且q 是p 的充分条件，求a 的取值范围．解析：设q 、p 表示的范围为集合A 、B ，则A ＝(2,3)，B ＝(a －4，a ＋4)．因q 是p 的充分条件，则有A ⊆B ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3.所以－1≤a ≤6. 6．(1)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围； (2)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的必要条件？如果存在，求出p 的取值范围．解析：令集合M ＝{x |4x ＋p <0}＝{x |x <－p 4}，N ＝{x |x 2－x －2>0}＝{x |x <－1或x >2}． (1)若M ⊆N ，则－p4≤－1⇔p ≥4，所以p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件； (2)若“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的必要条件，则M ⊇N ，显然{x |x <－p4}⊇{x |x <－1或x >2}不成立．所以不存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的必要条件．。

2018学年高中数学选修1-1人教A版课件：第一章常用逻辑用语 1-2充分条件与必要条件精品

归纳升华充要条件的证明思路
1．由“条件⇒结论”是证明命题的充分性，由“结论⇒条件”是证明命题的必要性．所以证明要分两个环节，一是证明充分性，二是证明必要性．
2．要分清它的叙述格式，分清哪个是条件，哪个是结论．
[变式训练] 求证：一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有一正根和一负根的充要条件是 ac＜0.
性成立．由图形的对称性可知，当 k＝－1 时，S△AOB＝12，所
以必要性不成立．故“k＝1”是“△AOB 的面积为12”的
充分不必要条件．答案：A
类型 2 已知条件关系求参数的取值范围 (互动探究) [典例 2] 已知 p：x2－(a＋1)x＋a≤0；q：x2－3x＋ 2≤0.当 a 为何值时，p 是 q 的充分不必要条件？解：q：x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)≤0，则 q：1≤x≤2，
(3)当 a＜1 时，A＝[a，1]，B＝[1，2]，不符合 B A. 综上：a＞2.
[迁移探究 2] (改变问法)若将“p 为 q 的充分不必要条件”改为“p 为 q 的Байду номын сангаас要条件”呢？
解：若 p 为 q 的充要条件，即 A＝B＝[1，2]．所以 a＝2.
归纳升华 1．利用集合间的包含关系进行判断：如果条件 p 和结论 q 相应的集合分别为 A 和 B，那么若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件；若 A⊇B，则 p 是 q 的必要条件；若 A＝B，则 p 是 q 的充分必要条件．
(3)因为 a＋c＞b＋c⇔a＞b，所以 p 是 q 的充要条件． (4)由 sin α＞sin β 不能推出 α＞β，反过来由 α＞β 也不能推出 sin α＞sin β，所以 p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件，所以 p 为 q 的既不充分也不必要条件．

2018学年高中数学选修1-1课件：1.1.2 充分条件和必要条件精品

充分、必要条件的应用探究 1 (1)设集合 A＝[3，＋∞)，B＝[2，＋∞)，集合 A 与 B 是什么关系？ (2)已知命题 p：x≥3；命题 q：x≥2，p 是 q 的什么条件？【提示】 (1)集合 A 是 B 的真子集，即 A B； (2)因为 p⇒q，但 q p，所以 p 是 q 的充分不必要条件. 探究 2 (1)设集合 M＝[2,4]，N＝[1,3]，集合 M 是集合 N 的子集吗？集合 N 是 M 的子集吗？
(2)已知命题 r：2≤x≤4；命题 s：1≤x≤3，r 是 s 的什么条件？
【提示】 (1)不是；不是 (2)r 既不是 s 充分条件，也不是 s 的必要条件.
探究 3 由探究 1 和探究 2，你可得到什么结论？【提示】设 p 和 q 对应的集合分别为 A，B，如果命题 p 是 q 的充分不必要条件，那么集合 A 就是集合 B 的真子集.反之也成立.
[再练一题] 2.(1)使 x>1 成立的一个必要条件是________. ①x>0；②x>3；③x>2；④x<2；⑤x＞－1 (2)设 m，n 是平面 α 内的两条不同直线，l1，l2 是平面 β 内的两条相交直线，则 α∥β 的一个充分而不必要条件是________.
【导学号：24830005】 ①m∥β 且 l1∥α；②m∥l1 且 n∥l2；③m∥β 且 n∥β；④m∥β 且 n∥l2.
【解析】 (1)由 x>1⇒x>0, x>1⇒x＞－1 可知①⑤满足条件，其他选项均不可由 x>1 推出，故选①⑤.
(2)易知条件①③④推不出 α∥β，只有条件②可推出 α∥β，且 α∥β 不一定推出条件②，
所以条件②为 α∥β 的一个充分而不必要条件.

2017-2018学年高中数学选修1-1 练习_1-2充分条件与必要条件第二课时-2 含答案精品

第一章 1.2 1.2.2A 级基础巩固一、选择题1．(2016·甘肃通渭县高二检测)设p ：1<x <2；q ：2x >1，则p 是q 成立的导学号 03624134( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] ∵1<x <2⇒2x >1，而 2x >1⇒/1<x <2，故选A ．2．一次函数y ＝－m nx ＋1n的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是导学号 03624135( B )A ．m >1，n <－1B ．mn <0C ．m >0，n <0D ．m <0，n <0[解析] 先找出原条件的等价条件，因为此一次函数过第一、三、四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m n >01n <0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n <0.从而A ，B ，C ，D 中只有B 满足题意．3．“x >1”是“log 12(x ＋2)<0”的导学号 03624136( B )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] log 12(x ＋2)<0＝log 121，∴x ＋2>1即x >－1，而x >1⇒x >－1，反之不然．故选B ．4．“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的导学号 03624137( C ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 若a ＝2，则ax ＋2y ＝0即为x ＋y ＝0与直线x ＋y ＝1平行，反之若ax ＋2y ＝0与x ＋y ＝1平行，则－a2＝－1，a ＝2，故选C ．5．已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则“m ＝1”是“(a－m b)⊥a”的导学号 03624138( C )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]∵|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝1×2×cos60°＝1，(a－m b)⊥a⇔(a－m b)·a＝0⇔|a|2－m a·b＝0⇔m＝1，故选C．6．下列四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是导学号 03624139( A ) A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2D．a3>b3[解析]∵a>b＋1⇒a－b>1⇒a－b>0⇒a>b，∴a>b＋1是a>b的充分条件．又∵a>b⇒a－b>0⇒/a>b＋1，∴a>b＋1不是a>b的必要条件，∴a>b＋1是a>b成立的充分而不必要条件．二、填空题7．若条件p：(x＋1)2>4，条件q：x2－5x＋6<0，则q是p的__充分不必要__条件.导学号 03624140[解析]因为(x＋1)2>4，所以x<－3或x>1.又x2－5x＋6<0，所以2<x<3，所以q⇒p，即q是p的充分不必要条件．8．已知数列{a n}，那么“对任意的n∈N＋，点P n(n，a n)，都在直线y＝2x＋1上”是“{a n}为等差数列”的__充分不必要__条件.导学号 03624141[解析]点P n(n，a n)都在直线y＝2x＋1上，即a n＝2n＋1，∴{a n}为等差数列，但是{a n}是等差数列却不一定就是a n＝2n＋1.三、解答题9．(2016·山东济南高二检测)指出下列各题中p是q的什么条件.导学号 03624142(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0；(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等；(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根；(4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．[解析](1)因为x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，而(x－2)(x－3)＝0⇒/x－2＝0，所以p是q的充分不必要条件．(2)因为两个三角形相似⇒/两个三角形全等，而两个三角形全等⇒两个三角形相似，所以p是q的必要不充分条件．(3)因为m<－2⇒方程x2－x－m＝0无实根，而方程x2－x－m＝0无实根⇒/m<－2，所以p是q的充分不必要条件．(4)因为矩形的对角线相等，所以p⇒q.而对角线相等的四边形不一定是矩形，所以q⇒/p.所以p是q的充分不必要条件．B级素养提升一、选择题1．设{a n}是等比数列，则“a1<a2<a3”是“数列{a n}是递增数列”的导学号 03624143 ( C )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]若a1<a2<a3，则a1<a1q<a1q2，若a1>0，则q>1，此时为递增数列，若a1<0，则0<q<1，同样为递增数列，故充分性成立，必要性显然成立．2．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要不充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的导学号 03624144( B )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[解析]由条件知，甲⇒乙⇒丙⇔丁，∴甲⇒丁且丁⇒/甲，故选B．3．“φ＝π”是“曲线y＝sin (2x＋φ)过坐标原点”的导学号 03624145( A ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]本题考查充要条件及三角函数的性质．当φ＝π时，y＝sin (2x＋π)＝－sin 2x，此时图象过原点；而当函数图象过原点时，可以取其他值．选A．4．设四边形ABCD的两条对角线为AC、BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的导学号 03624146( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 菱形的对角线互相垂直，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．故选A ．5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是导学号 03624147( A )A ．a <0B ．0<a <12C ．12<a <1 D ．a ≤0或a >1[解析] 因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x (x ≤0)与直线y ＝a 无交点．数形结合可得，a ≤0或a >1，即函数f (x )有且只有一个零点的充要条件是a ≤0或a >1，应排除D ；当0<a <12时，函数y ＝－2x＋a (x ≤0)有一个零点，即函数f (x )有两个零点，应排除B ；同理，排除C ．故选A ．二、填空题6．“a ＝b ”是“直线y ＝x ＋2与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切”的__充分不必要__条件.导学号 03624148[解析] 圆心为(a ，b )，半径r ＝ 2.若a ＝b ，有圆心(a ，b )到直线y ＝x ＋2的距离d ＝r ，所以直线与圆相切．若直线与圆相切，有|a －b ＋2|2＝2，则a ＝b 或a －b ＝－4，所以“a ＝b ”是“直线与圆相切”的充分不必要条件．7．已知全集S ，若p ：A B ，q ：∁S B ∁S A ，则p 是q 的__充要__条件.导学号 03624149 [解析] 利用集合的图示法，如下图，A B ⇒∁S B ∁S A ，∁S B ∁S A ⇒A B ⊆S .∴p 是q 的充分条件，也是必要条件，即p 是q 的充要条件．8．已知p ：2x ＋m >0，q ：x 2－4x >0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是__m ≤－8__.导学号 03624150[解析] p ：x >－m2，q ：x <0或x >4，由条件知p ⇒q ，∴－m2≥4，∴m ≤－8.C 级能力提高1．求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.导学号 03624151[解析] 充分性：(由ac <0推证方程有一正根和一负根) ∵ac <0，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac >0， ∴方程一定有两不等实根，设为x 1、x 2，则x 1x 2＝ca<0， ∴方程的两根异号．即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根. 必要性：(由方程有一正根和一负根，推证ac <0)， ∵方程有一正根和一负根，设为x 1、x 2，则由根与系数的关系得x 1x 2＝c a<0，即ac <0，综上可知：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 2．(2016·浙江杭州高二检测)设p ：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥03－x ≥0x ＋3y ≤12，q ：x 2＋y 2>r 2(x 、y ∈R ，r >0)，若p 是q 的充分不必要条件，求实数r 的取值范围.导学号 03624152[解析] 设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋3y －12≥03－x ≥0x ＋3y ≤12， B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2>r 2，x 、y ∈R ，r >0}．如图，集合A 表示的区域为图中阴影部分，集合B 表示以原点为圆心、r 为半径的圆的外部．设原点到直线4x ＋3y －12＝0的距离为d ，则d ＝|4×0＋3×0－12|5＝125.∵p 是q 的充分不必要条件，∴A B ，∴0<r <125，∴实数r 的取值范围是(0，125)．。

2017-2018学年高中数学选修1-1习题：第一章1.2充分条件与必要条件含答案

第一章常用逻辑用语1.2 充分条件与必要条件A级基础巩固一、选择题1．“α＝错误!”是“cos 2α＝错误!”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由cos 2α＝错误!，可得α＝kπ±错误!(k∈Z)，故选A。

答案：A2．(2016·天津卷）设x〉0,y∈R，则“x>y”是“x>｜y｜”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：当x＝1,y＝－2时,x>y，但x>|y|不成立；若x〉|y|，因为｜y｜≥y,所以x〉y。

所以x〉y是x〉|y｜的必要而不充分条件．答案：C3．x2＜4的必要不充分条件是（）A．0＜x≤2 B．－2＜x＜0C．－2≤x≤2 D．1＜x＜3解析：x2＜4即－2＜x＜2,因为－2＜x＜2能推出－2≤x≤2，而－2≤x≤2不能推出－2＜x＜2，所以x2＜4的必要不充分条件是－2≤x≤2.答案：C4．(2016·山东卷）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由题意知a⊂α，b⊂β,若a，b相交,则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α,β相交；反之,若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.答案:A5．函数f（x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是（)A．m＝2 B．m＝－2C．m＝－1 D．m＝1解析：当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称,反之也成立，所以函数f（x）＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2。

答案：B二、填空题6．设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的_____________条件．解析：若a＋b＞0,取a＝3，b＝－2,则ab＞0不成立；反之，若a＝－2,b＝－3，则a＋b＞0也不成立，因此“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．答案:既不充分也不必要条件7．关于x的不等式｜2x－3|＞a的解集为R的充要条件是________．解析：由题意知｜2x－3|＞a恒成立．因为|2x－3｜≥0，所以a＜0。

高中数学选修1-1 1.2.1充分条件与必要条件

命题中的p是q的充分条件
(1)若x
1,则x2
4x
"若p则q "为真命题？即p
3 0;
q
?
(2)若f (x) x,则f (x)在-，+上为增函数
(3)若x为无理数，则x2为无理数
解：（1）（2）为真命题，即p q, 在（1）（2）中p是q的充分条件
(3)是个假命题，即p q, p不是q的充分条件
分析：________ x 1 1？
________ x 0 x 2？
➢ 练习巩固
判断下列各组问题中，p是不是q的充分条件，以及p是不是q的必要条件
(1) p : tan 1 q :
4
p不是q的充分条件 p是q的必要条件
(2)设a, b是空间中的两条直线，为空间中一平面
p :,b q : a , b a p是q的充分条件，p不是q的必要条件
q是p的必要条件
例如原命题：我们是合肥人，则我们是安徽人
————有之必成立 “是合肥人”为“是安徽人”的充分条件逆否命题：我们不是安徽人，则我们不是合肥人
————无之必不成立 “是安徽人”为“是合肥人”的必要条件
《墨经》
充分条件——有之则必然，无之则未必不然
必要条件——无之则必不然，有之则未必然
➢概念深入
当“若p，则q”的逆命题成立时， p是q的什么条件？
小结原命题“若p则q”为真命题， p q, p是q的充分条件
逆命题“若q则p”为真命题，q p, p是q的必要条件
➢ 知识巩固练习：用“充分”和“必要”填空
(1)x 10 是 x 5的__充__分__条件
(2)"两条直线斜率相等" 是 " 这两条直线平行的" ___必__要_____条件

2018版高中数学(人教A版)选修1-1同步教师用书：第一章 1.2.1 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件

1.2 充分条件与必要条件 1.2.1 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件1.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念.(重点)2.会用充分不必要条件，必要不充分条件、充要条件.既不充分也不必要条件表达命题间的关系.(重点)3.会求问题成立的充分条件、必要条件、充要条件，会证明充要条件.(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1 充分条件与必要条件阅读教材P 9～P 10部分，完成下列问题. 充分条件与必要条件命题真假“若p ，则q ”为真命题 “若p ，则q ”为假命题推出关系 p ⇒q p ⇒/ q条件关系p 是q 的充分条件 q 是p 的必要条件p 不是q 的充分条件 q 不是p 的必要条件判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若p 是q 的必要条件，则q 是p 的充分条件.( ) (2)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.( ) (3)x ＞a 2＋b 2(a ＞0，b ＞0)是x ＞2ab 的充分条件.( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√教材整理2 充要条件阅读教材P 11～P 12部分，完成下列问题. 充要条件1.推出关系：p ⇒q ，且q ⇒p ，记作p ⇔q .2.简称：p 是q 的充分必要条件，简称充要条件.3.意义：p ⇔q ，则p 是q 的充要条件或q 是p 的充要条件，即p 与q 互为充要条件.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件.( )(2)若p 是q 的充要条件，则命题p 和q 是两个相互等价的命题.( ) (3)q 不是p 的必要条件时，“p ⇒/q ”成立.( ) 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√[小组合作型]充分、必要、充要条件的判断判断下列各题中p 是q 的什么条件？(1)p ：α＝π3，q ：cos α＝12；(2)在△ABC 中，p ：a ＞b ，q ：sin A ＞sin B ；(3)p ：四边形的对角线相等，q ：四边形是平行四边形. 【精彩点拨】根据定义法，集合法，等价法作出判断. 【自主解答】 (1)∵α＝π3⇒cos α＝12，cos α＝12⇒/α＝π3，∴p 是q 的充分条件.(2)∵由正弦定理a sin A ＝bsin B ，知a ＞b ⇒sin A ＞sin B ，sin A ＞sin B ⇒a ＞b ， ∴p 是q 的充要条件.(3)∵⎩⎨⎧四边形的对角线相等D ⇒/四边形是平行四边形，四边形是平行四边形D ⇒/四边形的对角线相等，∴p 是q 的既不充分也不必要条件.充分、必要、充要条件的判断方法1.定义法若p ⇒q ，q ⇒/p ，则p 是q 的充分条件；若p ⇒/q ，q ⇒p ，则p 是q 的必要条件；若p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；若p ⇒/q ，q ⇒/p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 2.集合法对于集合A ＝{x |x 满足条件p }，B ＝{x |x 满足条件q }，具体情况如下：若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；若A B ，则p 是q 的充分条件；若AB ，则p 是q 的必要条件；即小范围可推出大范围，大范围不能推出小范围. 3.等价法等价转化法就是在判断含有“否”的有关条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断.[再练一题]1.设p ：1＜x ＜2，q ：2x ＞1，则p 是q 成立的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由2x ＞1＝20得x ＞0，所以p ⇒q 但q ⇒/ p ，所以p 是q 的充分条件.【答案】 A2.指出下列命题中，p 是q 的什么条件？ (1)p ：x 2＝2x ＋1，q ：x ＝2x ＋1； (2)p ：a 2＋b 2＝0，q ：a ＋b ＝0； (3)p ：x ＝1或x ＝2，q ：x －1＝x －1； (4)p ：sin α＞sin β，q ：α＞β.【导学号：97792004】【解】 (1)∵x 2＝2x ＋1⇒/x ＝2x ＋1， x ＝2x ＋1⇒x 2＝2x ＋1， ∴p 是q 的必要条件.(2)∵a 2＋b 2＝0⇒a ＝b ＝0⇒a ＋b ＝0， a ＋b ＝0⇒/a 2＋b 2＝0， ∴p 是q 的充分条件.(3)∵当x ＝1或x ＝2成立时，可得x －1＝x －1成立，反过来，当x －1＝x －1成立时，可以推出x ＝1或x ＝2， ∴p 既是q 的充分条件也是q 的必要条件.(4)由sin α＞sin β不能推出α＞β，反过来由α＞β也不能推出sin α＞sin β，∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件.充分条件、必要条件、充要条件的应用是否存在实数p ，使4x ＋p ＜0是x 2－x －2＞0的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；否则，说明理由.【精彩点拨】用集合的观点研究问题，先求出4x ＋p ＜0和x 2－x －2＞0所对应的集合，再由“4x ＋p ＜0”⇒“x 2－x －2＞0”求p 的范围.【自主解答】由x 2－x －2＞0，解得x ＞2或x ＜－1，令A ＝{x |x ＞2或x ＜－1}，由4x ＋p ＜0，得B ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜－p 4，当B ⊆A 时，即－p4≤－1，即p ≥4，此时x＜－p4≤－1⇒x2－x－2＞0，∴当p≥4时，4x＋p＜0是x2－x－2＞0的充分条件.1.解答本题的关键是分清4x＋p＜0⇒x2－x－2＞0.2.解答这类题主要根据充分条件、必要条件与集合的关系，转化为集合与集合间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.[再练一题]3.若p：x(x－3)<0是q：2x－3<m的充分条件，则实数m的取值范围是_______.【解析】p：x(x－3)<0，则0<x<3，q：2x－3<m，则x<m＋3 2，由题意知p⇒q，∴m＋32≥2，∴m≥3.【答案】m≥3[探究共研型]有关充要条件的证明或求解探究1 如何证明充要条件？【提示】充要条件的证明分充分性和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别：①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性.探究2如何求解充要条件？【提示】探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.【导学号：97792005】【精彩点拨】分清条件p与结论q→证充分性p⇒q→证必要性q⇒p →结论p⇔q【自主解答】充分性：(由ac＜0推证方程有一正根和一负根)∵ac＜0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＞0.∴方程一定有两个不等实根.设为x1，x2，则x1x2＝ca＜0，∴方程的两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根.必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac＜0)∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝ca＜0，即ac＜0，综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac ＜0.有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，谁是谁的什么条件，由“条件⇒结论”是证明命题的充分性，由“结论⇒条件”是证明命题的必要性.证明要分两个环节：一是证充分性；二是证必要性.已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件.【导学号：97792006】【精彩点拨】求解过程要保证每一步的变形转化过程都可逆，直接求出充要条件.【自主解答】令f(x)＝x2＋(2k－1)x＋k2，则方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的实数根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(2k －1)2－4k 2≥0，－2k －12＞1，f (1)＞0⇔k ＜－2.因此k ＜－2是使方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的实数根的充要条件.探求充要条件一般有两种方法1.先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明.2.将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证.[再练一题]4.已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y 的充要条件是xy >0. 【证明】 (1)必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －x xy <0，又由x >y ，得y －x <0，所以xy >0.(2)充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1y .综上所述，1x <1y 的充要条件是xy>0.1.“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的( )A.充要条件B.充分条件C.必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由x ＋2＞1得x ＞－1，故选B.(小范围可推大范围，大范围不能推小范围)【答案】 B2.设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A.充分条件B.必要条件C.必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD.当四边形ABCD中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD 互相平分.综上知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件.【答案】 A3.实数a，b中至少有一个不为零的充要条件是()A.ab＝0B.ab＞0C.a2＋b2＝0D.a2＋b2＞0【解析】a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0.故选D.【答案】 D4.若“x＜m”是“(x－1)(x－2)＞0”的充分条件，则m的取值范围是________.【解析】由(x－1)(x－2)＞0可得x＞2或x＜1，由已知条件，知{x|x＜m}{x|x＞2，或x＜1}，∴m≤1.【答案】(－∞，1]5.判断下列各题中p是q的什么条件.(1)p：x>1，q：x2>1；(2)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；(3)p：a<b，q：ab<1.【解】(1)由x>1可以推出x2>1；由x2>1，得x<－1或x>1，不一定有x>1.因此，p是q的充分条件.(2)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要条件.(3)由于a<b，当b<0时，ab>1；当b>0时，ab<1，故若a<b，不一定有ab<1；当a>0，b>0，ab<1时，可以推出a<b；当a<0，b<0，ab<1时，可以推出a>b.因此p是q的既不充分也不必要条件.。

北师大版高中数学选修1-1同步练测：第一章§2充分条件与必要条件(含答案详解).docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作§2 充分条件与必要条件（北京师大版选修1-1）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.“|x|=|y|”是“x=y”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知p:|x+1|≤4，q:＜5x－6,则p是q成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，，是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )A.m∥且n∥B.m∥β且n∥C.m∥β且n∥βD.m∥β且∥α4.设集合A={x∈R|x-2＞0},B={x∈R|x＜0}，C={x∈R|x(x-2)＞0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.下列各小题中，p是q的充要条件的是( ) （1）p:m＜－2或m＞6，q:y=+mx+m+3有两个不同的零点；（2）p:－=1，q:y=f(x)是偶函数；（3）p:cos α=cos β，q:tan α=tan β；（4）p:A∩B=A，q:A.A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)6.已知：，那么的一个必要不充分条件是（）A.B.C.D.7.已知集合,.若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.8.“函数在区间（）上是减函数”是“函数（且）在区间（）上是减函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）9.对于函数，，的图像关于轴对称”是“是奇函数”的 _条件.10.下列四个式子：①；②；③；④.其中能使成立的充分条件有 .（只填序号）11.设p，r都是q的充分条件,s是q的充分必要条件,t是s的必要条件,t是r的充分条件,那么p是t 的条件,r是t的条件.三、解答题（本题共5小题，共45分）12.（本小题满分8分）已知是实数，求证：成立的充分条件是.该条件是不是必要条件？试证明你的结论．13.（本小题满分8分）证明：是函数在区间（- ，4上为减函数的充分不必要条件. 14.（本小题满分9分）求证：关于的方程有一根为1的充要条件是.15.（本小题满分9分）已知全集，非空集合，. （1）当时，求（）；（2）命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围．16. （本小题满分11分）已知p:|1－－|≤2,q:－2x+1－≤0(m＞0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.§2 充分条件与必要条件（北京师大版选修1-1）答题纸得分：______ 一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8答案二、填空题9.__________10.＿＿＿＿＿＿11._____________三、解答题12.解：13.解：14.解：15.解：16.解：§2 充分条件与必要条件（北京师大版选修1-1）参考答案一、选择题1.B解析：若x=y，显然有|x|=|y|成立；反之，若|x|=|y|，则x=y或x=－y.2.B解析：由|x+1|≤4－4≤x+1≤4，得－5≤x≤3，即p对应的集合为[－5,3];由＜5x－6－5x+6＜0，解一元二次不等式可得2＜x＜3，即q对应的集合为(2,3).因为(2,3)[－5,3]，所以p是q成立的必要不充分条件.3.A解析：当m∥且n∥时，由面面平行的判定定理，知α∥β.但当α∥β时，未必有m∥且n∥.4.C解析：A={x|x-2＞0}={x|x＞2}=(2,+∞)，B={x|x＜0}=(-∞,0),∴A∪B=(-∞,0)∪(2,+∞).∵C={x|x(x-2)＞0}={x|x＜0或x＞2}=∞,0)∪(2,+∞),∴A∪B=C.∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.5.D解析：（2）由－=1可得f(－x)=f(x)，但y=f(x)的定义域不一定关于原点对称；（3）cos α=cos β是tan α=tan β的既不充分也不必要条件.6.B解析：由得.设的一个必要不充分条件为，则,但,故选B.7.C解析：,因为成立的一个充分不必要条件是，所以Ü，所以，即.8.B解析：函数在区间（）上是减函数的充要条件是，函数（且）在区间（）上是减函数的充要条件是，从而易知选B.二、填空题9.必要不充分解析：若是奇函数，则的图像关于轴对称.但当是偶函数时，的图像也关于轴对称.所以“的图像关于轴对称”是“是奇函数”的必要不充分条件.10. ①②④解析：当时，；当，；当时，；当时，.所以使成立的充分条件有①②④.11.充分充要解析：由题意可画出图形，如图所示.由图形可以看出p是t的充分条件,r是t的充要条件.三、解答题12.解：是必要条件.证明如下：因为，所以.即成立的充分条件是.另一方面，若，即为，,.又,所以，即.因此是成立的充要条件．从而结论成立.13.解：当时，函数为一次函数，是减函数，因此不是必要条件.当时，二次函数的图像开口向下，而已知函数在区间（- ，4上为减函数，这是不可能的.当时，二次函数的图像开口向上，数形结合可知，只需满足对称轴解得所以综上所述，是函数在区间（- ，4上为减函数的充分不必要条件. 14.证明：充分性：因为，所以.所以成立，故是方程的一个根．必要性：关于的方程有一个根为1，所以，所以成立．15.解：（1）当时，，.所以或，所以．（2）若是的必要条件，即，可知.由，得.当，即时，，所以，，解得；当，即时，，符合题意；当，即时，，所以，，解得.综上，．16. .解：由p:|1－－|≤2－2≤x≤10,由q可得－≤(m＞0),所以1－m≤x≤1+m.所以p:x＞10或x＜－2，q:x＞1+m或x＜1－m.因为p是q的必要不充分条件,所以p，q,故只需满足－＜－或＞所以m≥9.。

2017版高中数学选修1-1(课件)：1.2 充分条件与必要条件 1.2.2 充要条件

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复习提问:
1.如何理解: (1) p是q的充分条件
(2) p是q的必要条件由条件p 结论q, 则条件p是结论q成立的充分条件; 由结论q 条件p, 则条件p是结论q成立的必要条件
第二页，编辑于星期六：三点二十三分。
2.指出下列各命题中,p是q的什么条件?
第七页，编辑于星期六：三点二十三分。
例3.下列命题中,哪些p是q的充要条件?
(1)p:b=0, q:函数f(x)=ax2+bx+c是偶函
数
充要条件
(2)p: x>0,y>0, q:xy>0
充分不必要
(3)p:a>b, q:a+c>b+c 故选(1)(3)
充要条件
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第四页，编辑于星期六：三点二十三分。
一.定义:
若p q, 则条件p是结论q成立的充分必要条件(简称充要条件) 说明（: 1）若p q，则p与q互为充要条件
（2）符号“ ”称为等价符号， “p q”表示:“p q且p q” （或p等价于q）
二.如何判断命题中的条件是结论的充要条件
第五页，编辑于星期六：三点二十三分。
2a ,
∴b２－４ac≥０.
故方程有两个实根的充要条件是b２－４ac≥０. 第十二页，编辑于星期六：三点二十三分。
条件p
结论q
小结条件p是结论q成立的充分不必要条件
条件p
结论q
条件p是结论q成立的必要不充分条件
条件p
结论q
条件p是结论q成立的充要条件
说明：首先分清命题中的条件p与结论q,然后根据定
既不充分又不必要第六页，编辑于星期六：三点二十三分。

2017版高中数学选修1-1(课件)：1.2 充分条件与必要条件 1.2.1 充分条件与必要条件

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X<8
X<10
试举一必要条件的例子
提示：若X>5，则X>3. X>3是X>5的一个必要条件.
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【提升总结】从集合的角度来理解充分条件、必要条件
p q，相当于p q，
pq
p
•p足以导致q,也就是说条件p充分了；
第三页，编辑于星期六：三点二十三分。
1.正确理解充分条件、必要条件及充要条件的概念. （重点）
2.理解充分条件和必要条件的概念.（难点） 3.理解必要条件的概念.(重点）
第四页，编辑于星期六：三点二十三分。
探究点充分条件与必要条件
我们约定：若p，则q为真，记作： p 或q
q p
例如：
若p，则q为假，记作： p q
中的q是p的必要条件? (1)若x=y,则x2=y2; (2)若x<3,则x<5;
(3)若a>b,则ac>bc.
解析:
命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题.
所以,命题(1)(2)中的q是p的必要条件.
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请思考
X>1
X>2
X>0
X>3
X>4
试举一充分条件的例子提示：若X>2，则X>0. X>2是X>0的一个充分条件.
（4）若x a2 b，2 则 x 2ab ；真
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1.设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么 “a∈M ”是“a∈N ”的___必__要___条件.

2018版高中数学人教版A版选修1-1学案：1.2.1 充分条件与必要条件

1.2.1充分条件与必要条件[学习目标] 1.理解充分条件、必要条件的意义.2.会求(判定)某些简单命题的条件关系.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力.知识点充分条件与必要条件一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同.p是q的充分条件只反映了p⇒q，与q能否推出p没有任何关系.(2)注意以下等价的表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p 的必要条件；⑤p的必要条件是q.(3)“若p，则q”为假命题时，记作“p⇏q”，则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件. 思考(1)数学中的判定定理给出了结论成立的什么条件？(2)性质定理给出了结论成立的什么条件？答案(1)充分条件(2)必要条件题型一充分条件、必要条件例1给出下列四组命题：(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；(3)p：A⊆B，q：A∩B＝A；(4)p：a>b，q：ac>bc.试分别指出p是q的什么条件.解(1)∵两个三角形相似⇏两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，∴p是q的必要不充分条件.(2)∵矩形的对角线相等，∴p⇒q，而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q⇏p.∴p是q的充分不必要条件.(3)∵p⇒q，且q⇒p，∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件.(4)∵p⇏q，且q⇏p，∴p是q的既不充分也不必要条件.反思与感悟本例分别体现了定义法、集合法、等价法.一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题.要判断p是不是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是不是q的必要条件，就要看q能否推出p.跟踪训练1指出下列哪些命题中p是q的充分条件？(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC.(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.(3)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B.(4)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)·(x－2)＝0.解(1)在△ABC中，由大角对大边知，∠A>∠B⇒BC>AC，所以p是q的充分条件.(2)对于实数x，y，因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，所以由x＋y≠8⇒x≠2或x≠6，故p是q的充分条件.(3)在△ABC中，取∠A＝120°，∠B＝30°，则sin A>sin B，但tan A<tan B，故p⇏q，故p不是q的充分条件.(4)由x ＝1⇒(x －1)(x －2)＝0，故p 是q 的充分条件.故命题(1)(2)(4)中p 是q 的充分条件.题型二充分条件、必要条件与集合的关系例2 是否存在实数p ，使4x ＋p <0是x 2－x －2>0的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；否则，说明理由.解由x 2－x －2>0解得x >2或x <－1，令A ＝{x |x >2或x <－1}，由4x ＋p <0，得B ＝{x |x <－p 4}，当B ⊆A 时，即－p 4≤－1，即p ≥4，此时x <－p 4≤－1⇒x 2－x －2>0， ∴当p ≥4时，4x ＋p <0是x 2－x －2>0的充分条件.反思与感悟 (1)设集合A ＝{x |x 满足p }，B ＝{x |x 满足q }，则p ⇒q 可得A ⊆B ；q ⇒p 可得B ⊆A ；若p 是q 的充分不必要条件，则A B .(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值.跟踪训练2 已知M ＝{x |(x －a )2<1}，N ＝{x |x 2－5x －24<0}，若M 是N 的充分条件，求a 的取值范围.解由(x －a )2<1得x 2－2ax ＋(a －1)(a ＋1)<0，∴a －1<x <a ＋1.又由x 2－5x －24<0得－3<x <8.∵M 是N 的充分条件，∴M ⊆N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥－3，a ＋1≤8，解得－2≤a ≤7. 故a 的取值范围是－2≤a ≤7.根据必要条件(充分条件)求参数的范围例3 已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，则实数a 的取值范围是________.错解因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P .所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4<1，a ＋4>3，即⎩⎪⎨⎪⎧a <5，a >－1，所以－1<a <5.错解分析错误的根本原因是忽视了集合中的不等式的等号，实际上本题中的不等式中的等号能取到，即⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1，a ＋4≥3.正解因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤1，a ＋4≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥－1，所以－1≤a ≤5.答案 [－1,5]1.“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的( )A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.既不是充分条件，也不是必要条件D.既是充分条件，也是必要条件答案 C解析 ∵－2<x <1⇏x >1或x <－1，且x >1或x <－1⇏－2<x <1，∴“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的既不充分也不必要条件.2.“a >b ”是“a >|b |”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既是充分条件，也是必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析由a >|b |⇒a >b ，而a >b 推不出a >|b |.3.若a ∈R ，则“a ＝1”是“|a |＝1”的( )A.充分条件B.必要条件C.既不是充分条件也不是必要条件D.无法判断答案 A解析当a ＝1时，|a |＝1成立，但|a |＝1时，a ＝±1，所以a ＝1不一定成立.∴“a ＝1”是“|a |＝1”的充分条件.4.“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既充分也必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析 f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增等价于f (x )＝0在区间(0，＋∞)内无实根，即a ＝0或1a<0，也就是a ≤0，“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的既是充分也是必要条件.故选C.5.若“x <m ”是“(x －1)(x －2)>0”的充分不必要条件，求m 的取值范围.解由(x －1)(x －2)>0可得x >2或x <1，由已知条件，知{x |x <m }{x |x >2或x <1}.∴m ≤1.1.充分条件、必要条件的判断方法：(1)定义法：直接利用定义进行判断.(2)等价法：利用逆否命题的等价性判断，即要证p⇒q，只需证它的逆否命题綈q⇒綈p即可；同理要证q⇒p，只需证綈p⇒綈q即可.(3)利用集合间的包含关系进行判断.2.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.。