上海高一数学常用三角函数复习大全

上海高一数学常用三角函数公式大全
一、基本概念
1.角度弧度
a.正角（顺时针转），负角（逆时针转），零角
b.360o=2π
c.弧度计算：|α|=l
r
；想想通过扇形面积求弧度怎么求？
2.任意角的三角比
a.r=√x2+y2≥0
b. sinα=y
r cosα=x
r
tanα=y
x
c.secα=r
y cscα=r
x
cotα=x
y
与上面定义互为倒数
二、诱导公式（不用背，记住规律，想想就知道答案）
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα（k∈Z）cos（2kπ＋α）＝cosα（k∈Z）
tan（2kπ＋α）＝tanα（k∈Z）cot（2kπ＋α）＝cotα（k∈Z）公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα
(以上k∈Z)
注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。

诱导公式记忆口诀※规律总结※
上面这些诱导公式可以概括为：
对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值，
①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；
②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.
（奇变偶不变）
然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

（符号看象限）
例如：
sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。

当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。

所以sin(2π－α)＝－sinα
上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。

（理解，并练习）
各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦(余割)；三两切；四余弦(正割)”．（要求理解并能说明为什么）这十二字口诀的意思就是说：
第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；
第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；
第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；
第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．
上述记忆口诀,一全正,二正弦,三内切,四余弦
还有一种按照函数类型分象限定正负：
函数类型第一象限第二象限第三象限第四象限
正弦 .........＋..........＋..........—..........—........
余弦 .........＋..........—..........—..........＋........
正切 .........＋..........—..........＋..........—........
余切 .........＋..........—..........＋..........—........
三、同角三角函数基本关系
同角三角函数的基本关系式 （理解记忆，不能死记硬背） 倒数关系:
tan α ·cot α＝1 sin α ·csc α＝1 cos α ·sec α＝1 商的关系：
sin α/cos α＝tan α＝sec α/csc α cos α/sin α＝cot α＝csc α/sec α 平方关系：（知道如何证明自然就记住了）
sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α)
1＋cot^2(α)＝csc^2(α)
四、两角和公式
（后面公式的基础很重要，正反两个方向都要记住，并能灵活应用）
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB
（可通过上面的公式推导下面的公式，试试看）
tan(A+B) =tanAtanB -1tanB
tanA +
tan(A-B) =tanAtanB 1tanB
tanA +-
cot(A+B) =cotA cotB 1
-cotAcotB +
cot(A-B) =cotA
cotB 1
cotAcotB -+
四、倍角／半角公式
倍角公式 （利用两角和公式证明）
tan2A =A
tan 12tanA
2
- Sin2A=2SinA •CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A
三倍角公式
sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA
tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3
π
-a)
半角公式 (怎么证明？一定要知道，条件要知道，根据A 的大小可正可负)
sin(
2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(
2A )=A A sin cos 1-=A
A cos 1sin +
万能公式 （要求能证明）
sina=
2)2(tan 12tan 2a a + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2
)2
(tan 12tan
2a
a -
四、和差化积／积化和差
和差化积 （要求能证明）
sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b
a -
cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2
b
a -
tana+tanb=b
a b a cos cos )
sin(+
积化和差 （要求能证明）
sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b) cosacosb = 21
[cos(a+b)+cos(a-b)]
sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2
1
[sin(a+b)-sin(a-b)]
五、其它变换
（灵活应用上述公式，重要，要求能够证明，不要求死记）
a •sina+
b •cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=
a
b ] a •sin(a)-b •cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=
b
a ] 1+sin(a) =(sin
2a +cos 2a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2
a
)2
六、正余弦定理和解斜三角形
1. 面积公式: S ∆ABC = 1
2ac sin B = 1
2bc sin A = 1
2ab sin C 2. 正弦定理：
sin A a
=
sin B b
=
sin C c
or a sin A = b sin B = c
sin C =2R
3. 余弦定理：
a. a 2=b 2+ c 2−2bc cos A cos A = b 2+c 2−a 2
2bc
b. b 2=a 2+ c 2−2ac cos B cos B = a 2+c 2−b 2
2ac
c. c 2=a 2+ b 2−2ab cos C
cos C =
a 2+
b 2−
c 2
2ab
七、三角函数
侧重理解，掌握，不要死记硬背
1. 正弦函数 y =sin x ； 余弦函数 y =cos x
a. 定义域：（－∞，＋∞）
b. 值域：［－1， 1］；最大最小值
i. 取最大（小）值时x 的集合 ii. 取0值时x 的集合 c. 性质：
i. 周期性，周期：2kπ (k ∈Z,k ≠0); 最小正周期：2π ii. 奇偶性：正弦函数为奇函数；余弦函数为偶函数 iii. 单调区间（长度为π的区间）
iv. 图像，根据区间[−π，π]的图像做平移即可。

2. 正切函数(余切函数) 下面以正切为例
a. 定义域，注意有些点没有 x ∈R,x ≠kπ+π
2,k ∈Z b. 值域：（－∞，＋∞）
c. 周期性：π为周期，也是最小正周期
d. 奇偶性：奇函数
e.正切函数在(kπ−π
2,kπ+π
2
) (k∈Z)上是增函数；余切函数反之
3.求函数y=A sin(ωx+ϕ)（ω≠0）的：
•定义域：（－∞，＋∞）
•值域：［－A, A］
•是周期函数.周期T＝2kπ
ω (k∈Z,k≠0); 最小正周期：2π
｜ω｜
•伸缩和平移：y=A sin(ωx+ϕ)＝ A sin(ω(x+ϕ
ω
))（ω≠0）•正弦波的一些概念
o A 为振幅（表示强度）
o f=1
T =ω
2π
是频率（周期的倒数，表示每单位时间（秒）内
循环往复震动多少次）
o相位：ωx+ϕ（在一个循环周期中的位置）o初相：ϕ（零时间点时的相位）。