高考数学二轮复习 专题整合 23 平面向量的线性运算及

第3讲 平面向量的线性运算及综合应用一、填空题1．(2014·重庆卷改编)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝________.解析 因为2a －3b ＝(2k －3，－6)，且(2a －3b )⊥c ，所以(2a －3b )·c ＝2(2k －3)－6＝0，解得k ＝3. 答案 32．(2014·河南十所名校联考)在△ABC 中，M 是AB 边所在直线上任意一点，若CM →＝－2CA →＋λCB →，则λ＝________.解析 由点A ，B ，M 三点共线知：－2＋λ＝1，所以λ＝3. 答案 33．(2014·龙岩期末考试)在平面直角坐标系中，菱形OABC 的两个顶点为O (0,0)，A (1,1)，且OA →·OC →＝1，则AB →·AC →＝________.解析 依题意，|OA →|＝|OC →|＝|AB →|＝2，OA →·OC →＝|OA →||OC →|cos ∠AOC ＝1，cos ∠AOC ＝12，∠AOC ＝π3，则|AC →|＝|OA →|＝|OC →|＝2，∠BAC ＝π3，AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝1. 答案 14．(2013·天一、淮阴、海门中学联考)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝4，AB →·BC →＝－12，则|AB →|＝________.解析 将AB →·AC →＝4，AB →·BC →＝－12两式相减得AB →·(AC →－BC →)＝AB →2＝16，则|AB →|＝4. 答案 45．(2014·山东卷)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．解析 由A ＝π6，AB →·AC →＝tan A ，得|AB →|·|AC →|·cos A ＝tan A ，即|AB →|·|AC →|×32＝33，∴|AB →|·|AC →|＝23，∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin A ＝12×23×12＝16.答案 166．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a 与b 的夹角为60°，且|a |＝|b |＝1，则向量a 与c 的夹角为________．解析 因为a ＋b ＋c ＝0，所以c ＝－(a ＋b )．所以|c |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝2＋2cos 60°＝3.所以|c |＝ 3.又c ·a ＝－(a ＋b )·a ＝－a 2－a ·b ＝－1－cos 60°＝ －32，设向量c 与a 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a ||c |＝－321×3＝－32.又0°≤θ≤180°，所以θ＝150°.答案 150°7. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，且AC ＝BC ＝3，点M 满足BM →＝2 MA →，则CM →·CB →＝________.解析 法一 如图建立平面直角坐标系． 由题意知：A (3,0)，B (0,3)， 设M (x ，y )，由BM →＝2MA →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23－x ，y －3＝－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，即M 点坐标为(2,1)，所以CM →·CB →＝(2,1)·(0,3)＝3.法二 CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝CB →2＋CB →×⎝ ⎛⎭⎪⎫23 BA →＝CB →2＋23CB →·(CA →－CB →)＝13CB →2＝3.答案 38．(2014·杭州质量检测)在△AOB 中，G 为△AOB 的重心，且∠AOB ＝60°，若OA →·OB →＝6，则|OG →|的最小值是________．解析 如图，在△AOB 中，OG →＝23OE →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(OA →＋OB →)，又OA →·OB →＝|OA →||OB →|·cos 60°＝6，∴|OA →||OB →|＝12，∴|OG →|2＝19(OA →＋OB →)2＝19(|OA →|2＋|OB →|2＋2OA →·OB →)＝19(|OA →|2＋|OB →|2＋12)≥19×⎝⎛⎭⎫2|OA →||OB →|＋12＝19×36＝4(当且仅当|OA →|＝|OB →|时取等号)．∴|OG →|≥2，故|OG →|的最小值是2. 答案 2 二、解答题9．(2013·江苏卷)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．(1)证明 由|a －b |＝2，即(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2，整理得cos αcos β＋sin αsin β＝0，即a ·b ＝0，因此a ⊥b .(2)解 由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，cos β＝－cos α＝cos(π－α)，由0<α<π，得0<π－α<π， 又0<β<π，故β＝π－α.则sin α＋sin (π－α)＝1， 即sin α＝12，故α＝π6或α＝5π6.当α＝π6时，β＝5π6(舍去)，当α＝5π6时，β＝π6.所以，α，β的值分别为5π6，π6.10．已知向量m ＝(sin x ，－1)，n ＝(cos x,3)． (1)当m ∥n 时，求sin x ＋cos x3sin x －2cos x的值；(2)已知在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，3c ＝2a sin(A ＋B )，函数f (x )＝(m ＋n )·m ，求 f ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π8的取值范围．解 (1)由m ∥n ，可得3sin x ＝－cos x ，于是tan x ＝－13，∴sin x ＋cos x 3sin x －2cos x ＝tan x ＋13tan x －2＝－13＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－2＝－29.(2)在△ABC 中A ＋B ＝π－C ，于是 sin(A ＋B )＝sin C ， 由正弦定理，得3sin C ＝2sin A sin C ， ∵sin C ≠0，∴sin A ＝32.又△ABC 为锐角三角形， ∴A ＝π3，于是π6<B <π2.∵f (x )＝(m ＋n )·m ＝(sin x ＋cos x,2)·(sin x ，－1)＝sin 2x ＋sin x cos x －2＝1－cos 2x 2＋12sin 2x －2＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－32，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π8＝22sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π8－π4－32＝22sin 2B －32.由π6<B <π2，得π3<2B <π， ∴0<sin 2B ≤1，－32<22sin 2B －32≤22－32，即f (B ＋π8)∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，22－32.11．(2014·南京、盐城模拟)如图所示，A ，B 分别是单位圆与x 轴、y 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，∠AOP ＝θ(0<θ<π)，C 点坐标为(－2,0)，平行四边形OAQP 的面积为S .(1)求OA →·OQ →＋S 的最大值；(2)若CB ∥OP ，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π6的值． 解 (1)由已知，得A (1,0)，B (0,1)，P (cos θ，sin θ)， 因为四边形OAQP 是平行四边形，所以OQ →＝OA →＋OP →＝(1,0)＋(cos θ，sin θ) ＝(1＋cos θ，sin θ)． 所以OA →·OQ →＝1＋cos θ. 又平行四边形OAQP 的面积为 S ＝|OA →|·|OP →|sin θ＝sin θ，所以OA →·OQ →＋S ＝1＋cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋1.又0<θ<π，所以当θ＝π4时，OA →·OQ →＋S 的最大值为2＋1.(2)由题意，知CB →＝(2,1)， OP →＝(cos θ，sin θ)，因为CB ∥OP ，所以cos θ＝2sin θ. 又0<θ<π，cos 2θ＋sin 2θ＝1， 解得sin θ＝55，cos θ＝255， 所以sin2 θ＝2sin θcos θ＝45，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝35.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝sin 2θcos π6－cos 2θsin π6＝45×32－35×12＝43－310.。