经济数学基础教案-参考模板

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举例说明：x →1时，函数无限接近于多少？ 观察：当：x →1时，f(x)=x+1，无限接近2
当：x →1时，g(x)=1
1
2--x x ，无限接近2
f(x)在x=1有定义，g(x)在x=1处无定义
定义 1 如果当x → x 0时,函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A , 则称A 为函数
)(x f 当 x → x 0时的极限,记作0
lim x x →f(x)=A 或 A x f →)((当 x →x 0时).此时也称
)(lim 0
x f x x →存在。

如果当x → x 0时, 函数)(x f 不趋近于任何一个确定的常数,则称)(lim 0
x f x x →不存在。

如 ： 2)1(lim 1=+→x x ，又如1lim →x 1
1
2--x x = 2
注意 ： f(x)=1
1
2--x x 在
处无定义, 但当
时,函数f(x)=1
1
2--x x 无限趋近于一
个确定的常数2,所以1lim →x 1
1
2--x x =2。

结论：函数)(x f 当 x → x 0时的极限是否存在，与)(x f 在点0x 处是否有定义无关.
如上举例f(x)=1
1
2--x x 在
处无定义, 但 1lim →x 1
1
2--x x = 2.
定义2 右极限 当x →x 0+
，有A x f x x =+→)(lim 0
定义3 左极限 当x →x 0-
，有A x f x x =-→)(lim 0
函数的左极限和右极限统称为函数的单侧极限。

定理1 [极限存在的充分必要条件]
函数 )(x f 当0x x →时的极限存在的充分必要条件是，)(x f 当0x x →时的左右极限都存在并且相等.即 ⇔=→A x f x x )(lim 0
=-→)(lim 0
x f x x A x f x x =+→)(lim 0
注：求分段函数的极限的方法就是计算它在指定点的左极限和右极限是否存在并且是否相等。

例如：判断下列函数在指定点的是否存在极限
，逆命题也成立。

为无穷小量其中。

则若0)(lim :)()()(,)(lim 0
=+==→→x x x A x f A x f x x x x ααα
无穷小量的性质
定理5 有限个无穷小量的代数和是无穷小量。

例如，当x →0时，x+sinx 也是无穷小量
定理6 无穷小量与有界量之积是无穷小量。

例如，当x →0时，xsinx 也是无穷小量。

推论1：任一常数与无穷小量之积是无穷小量。

例如，当x →0时，3sinx 也是无穷小量。

推论2：有限个无穷小量之积是无穷小量。

（注：两个无穷小之商未必是无穷小）
2、无穷大量
当x →0x （或±∞）时，如果函数f(x)的绝对值无限增大，则称当x →0x （或±∞）时，f(x)是无穷大量。

记作0
lim x x → f(x)=∞,或f(x)→∞。

定义6 若∞=→)(lim 0
x f x x （或∞=∞
→)(lim x f x ）,则称)(x f 为当0x x →（或
）时
的无穷大量,简称无穷大。

如o
x →lim
x
1
=∞，表示当 时,
x
1
为无穷大.
关于无穷大量几点说明:
1.无穷大量不是一个很大的数,它是极限的概念;
2.无穷大量的实质是极限不存在,为了表示记作
或
.
3.若数列{n x }当n →+∞时，它项的绝对值无限增大，则{n x }是无穷大量。

4.如果当x →0x （或±∞）时，函数f(x)是无穷大量，那么
)
(1
x f 就是当x →0x （或±∞）时的无穷小量，反过来，如果当x →0x （或±∞）时，函数f(x)是非零无穷小量，那么
)
(1x f 就是当x →0x （或±∞）时的无穷大量。

即⑴无穷大量的倒数是无穷小量。

⑵无穷小量(非零)的倒数是无穷大量。

(3)无穷大必无界，但反之不真。

因此，证明一个变量是无穷小量的方法就是证明它的极限为0， 证明一个变量是无穷大量的方法就是证明它倒数是无穷小量。

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第六周星期三
2. 切线问题
切线的一般定义：设有曲线C :)(x f y =及C 上的一点M （图3－１）,在点
M 外另取C 上一点N ,作割线MN ,当点N 沿曲线C 逐渐趋于点M 时,割线MN 绕
点M 旋转,而逐渐趋于极限位置MT ,直线MT 就称为曲线C 在点M 处的切线．这 里极限位置的含义：只要弦长
MN
趋于零,NMT ∠也趋于零．
设),(00y x M 是曲线C 上的一点（图3－２）,则)(00x f y =．在点M 外另取C 上 一点),(y x N ,割线MN 的斜率为: 0
000)
()(tan x x x f x f x x y y --=--=
ϕ 其中ϕ为割线MN 的倾
角，当点N 沿曲线C 趋于点M 时，0x x →，如果0lim x x →0
0)()(x x x f x f --存在,则此极限就是切线
MT 的斜率αtan =k
,其中α是切线MT 的倾角．
上面两个实际问题,虽然其实际意义不同,但解决问题的方法相同.都归结为求函数增量
与自变量增量之比的极限:
0)
()(lim
x x x f x f x x --→
或 x x f x x f x ∆-∆+→∆)
()(lim
000,
其中
0x x x -=∆,称为自变量增量,
)()()()(000x f x x f x f x f y -∆+=-=∆,称为相应于自变量增量x ∆的函数增量.
在物理学、化学、生物学、经济学等科学领域中,还有许多实际问题,如线密度、 电流、反应速度等,都可归结为函数对于自变量的变化率即函数的导数.
三、讲授新课
1、导数的概念
（1）函数()x f y = 在点0x 处的导数
图3-1
图3-2
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第六周星期五。