中考数学专题复习-函数中的面积问题

函数中的面积问题1.如图，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90B ∠︒＝，6AD cm ＝，8AB cm ＝，14BC cm ＝.动点P Q 、都从点C 出发，点P 沿C B →方向做匀速运动，点Q 沿C D A →→方向做匀速运动，当P Q 、其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．（1）求CD 的长；（2）若点P 以1/cm s 速度运动，点Q 以22/cm s 的速度运动，连接BQ PQ 、，设BQP 面积为2S cm （），点P Q 、运动的时间为t s （），求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）若点P 的速度仍是1/cm s ，点Q 的速度为/acm s ，要使在运动过程中出现PQ DC ∥，请你直接写出a 的取值范围．解析：（1）过D 点作DH BC ⊥，垂足为点H ，则有8DH AB cm ＝＝，6BH AD cm ＝＝∴1468CH BC BH cm ＝－＝－＝在Rt DCH中，CD ==．（2）当点P Q 、运动的时间为t s （），则PC t ＝. ①当Q 在CD 上时，过Q 点作QG BC ⊥，垂足为点G ，则由点Q的速度为/s，得QC ＝.又∵DH HC ＝，DHBC ⊥， ∴45C ∠︒＝.∴在Rt QCG中，·sin sin 452QG QC C t ∠︒＝＝＝.又∵14BP BC PC t =-=-， ∴211(14)21422BPQ S BP QG tt t t ==-=-当Q 运动到D 点时所需要的时间4t=== ∴21404S t t t =-≤（＜）．②当Q 在DA 上时，过Q 点作QG BC ⊥，垂足为点G ，则8QG AB cm ＝＝，14BP BC PC t ＝－＝－. ∴11(14)856422BPQ S BP QG t t ==-=-当Q 运动到A点时所需要的时间42t ===+∴564S t ＝－442t ≤+（＜ 综合上述，所求的函数关系式是：21404564442t t t S t t ⎧-≤⎪=⎨-≤+⎪⎩（＜）（＜）. （3）要使运动过程中出现PQ DC ∥，a的取值范围是1a ≥2.如图，90C ∠=︒，点A B 、在C ∠的两边上，30CA =，20CB =，连接AB ．点P 从点B 出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC 方向运动，到点C 停止．当点P 与B C 、两点不重合时，作PD BC ⊥交AB 于D ，作DE AC ⊥于E ．F 为射线CB 上一点，且CEF ABC ∠=∠．设点P 的运动时间为x （秒）． （1）用含有x 的代数式表示CE 的长．（2）求点F 与点B 重合时x 的值．（3）当点F 在线段CB 上时，设四边形DECP 与四边形DEFB 重叠部分图形的面积为y （平方单位）．求y 与x 之间的函数关系式． （4）当x 为某个值时，沿PD 将以D E F B 、、、为顶点的四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出所有符合上述条件的x 值．解析：（1）由题意知，DBP ABC ∽，四边形PDEC 为矩形. ∴PD PB CA CB=， ∴304620CA PB x PD x CB ⋅⋅===. ∵CE PD =∴CE 6x =（2）由题意知，CEF CBA ∽， ∴CF CE CA CB=． ∴306920CA CE x CFx CB ⋅⋅===． 当点F 与点B 重合时，CF CB =，920x =．解得209x =. （3）当点F 与点P 重合时，BP CF CB +=，4920x x =＋，得20=13x . 当20013x <<时，如图①，2()6(2013204)5112022PD PF DE x x x y x x +-+-===-+.当2020139x ≤<时，如图②， 12y DE DG =⋅12(204)(204)23x x =-⋅-216(5)3x =-∴y 与x 之间的函数关系式为()2220501200131620205 3139x x x y x x ⎧⎛⎫-+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-≤< ⎪⎪⎝⎭⎩（4）1232020519132x x x ===，， 【分析】（1）由DBP ABC ∽，即可得出比例式从而得出表示CE 的长.（4）根据三角形边长相等得出答案：′如图③，当PD PF =时，62013x x =-．解得2019x =．B PE ∆'为拼成的三角形； 如图④，当点F 与点P 重合时，4920x x +=．解得2013x =．BDC ∆为拼成的三角形； 如图⑤，当DE PB =时，2044x x -=．解得52x =．DPF ∆为拼成的三角形.3.如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥,90BAD ∠=︒，CE AD ⊥于点E ,8AD cm =，4BC cm =,5AB cm =.从初始时刻开始，动点,P Q 分别从点,A B 同时出发，运动速度均为1 /cm s ,动点P 沿A B C E ---的方向运动，到点E 停止；动点Q 沿B C E D ---的方向运动，到点D 停止，设运动时间为xs ，PAQ 的面积为2 y cm ，（这里规定：线段是面积为0的三角形)解答下列问题：(1)当2x s =时，y =_____2cm ;当92x s =时，y =_______2cm (2)当5 14x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式.(3)当动点P 在线段BC 上运动时，求出415y =ABCD S 梯形时x 的值. (4)直接写出在整个．．运动过程中，使PQ 与四边形ABCE 的对角线平行的所有x 的值．解析：（1）29，；（2）分三种情况：①当59x ≤≤时（如图）， ABP PCQ ABCQ y S SS =--梯形 ()()()()2111165545594722222x x x x x x =⋅+⋅-⋅⋅--⋅-⋅-=-+ ②当913x ≤＜时（如图），()()21119941435222APQ y S x x x x ∆==⋅-+⋅-=-+- ③当1314x ≤＜时（如图），()18144562APQ y S x x ∆==⋅⋅-=-+ （3）当动点P 在线段BC 上运动时，D P∵()441485815152ABCD y S ==⋅⋅+⋅=梯形， ∴21657822x x -+=，即214490x x -+=，解得127x x ==. ∴当7x =时，415ABCD y S =梯形 （4）2161101 999x = ，，4.如图，矩形ABCD 中，623AB BC ==，，点O 是AB 的中点，点P 在AB 的延长线上，且3BP =．一动点E 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA 匀速运动，到达A 点后，立即以原速度沿AO 返回；另一动点F 从P 点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA 匀速运动，点E F 、同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E F 、的运动过程中，以EF 为边作等边EFG ，使EFG 和矩形ABCD 在射线PA 的同侧．设运动的时间为t 秒（0t≥）． （1）当等边EFG 的边FG 恰好经过点C 时，求运动时间t 的值；（2）在整个运动过程中，设等边EFG 和矩形ABCD 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式和相应的自变量t 的取值范围；（3）设EG 与矩形ABCD 的对角线AC 的交点为H ，是否存在这样的t ，使AOH是等腰三角形？若存大，求出对应的t 的值；若不存在，请说明理由．解析：（1）当边FG 恰好经过点C 时，60CFB ∠=︒，3BF t =﹣，在Rt CBF 中，BC =tan BC CFB BF ∠=，即23tan 60BF ︒= 解得2BF=，即321t t ==﹣， ∴当边FG 恰好经过点C 时，1t =（2）当01t ≤＜时，S =+当13t ≤＜时，222S t =-++；当34t ≤＜时，S =-+当46t ≤＜时，2S =-+（3）存在；理由如下：在Rt ABC 中，tan 3BC CAB AB ∠==，∴30CAB ∠=︒. 又∵60HEO ∠=︒，∴30HAEAHE ∠=∠=︒. ∴3AE HE t ==﹣或3t ﹣.1）当3AHAO ==时，（如图②），过点E 作EM AH ⊥于M ，则1322AM AH ==，在Rt AME 中，cos AMMAE AE ∠=，即32cos30AE ︒=，∴AE =，即3t =﹣3t =﹣∴3t =或3t =+2）当HA HO =时，（如图③）则30HOA HAO ∠=∠=︒，又∵60HEO ∠=︒， ∴90EHO ∠=︒，22EO HE AE ==.又∵3AE EO +=，∴23AE AE +=，1AE =. 即31t =﹣或31t =﹣.∴2t =或4t =.3）当OH OA =时，（如图④），则30OHA OAH ∠=∠=︒，∴60HOB HEB ∠=︒=∠，∴点E 和点O 重合.∴3AE =，即33t=﹣或33t =﹣， ∴6t =（舍去）或0t =.综上所述，存在5个这样的t 值，使AOH 是等腰三角形，即33t =﹣，33t =+，2t =，4t =，0t =5.如图，在平行四边形ABCD 中，4AD cm ＝，60A ∠︒＝，BD AD ⊥，一动点P 从A 出发以每秒1cm 的速度沿ABC →→的路线匀速运动，过点P 作直线PM，使PM AD ⊥于点E ，（1）当点P 运动2s 时，设直线PM 与AD 相交于点E ，求APE 的面积.（2）当点P 运动2s 时，另一动点Q 也从A 出发沿A B C →→的路线运动，在BC 上以每秒2cm 的速度匀速运动，过Q 作直线QN ，使//QNPM ，设点Q 运动的时间为t 秒（010t ≤≤），直线PM 与QN 截平行四边形ABCD 所得图形的面积为2Scm ，求S 关于t 的函数关系式.解析：（1）当点P 运动2S 时，2AP cm ＝，由60A ∠︒＝∴1,AE PE ==∴2APE S ∆= （2）∵点P 速度为1/cm s ，点Q 在AB 上的速度为1/cm s 又4AD ＝，60A ∠︒＝∴8AB cm ＝∴点P 在AB 上运动8秒钟，而点Q 晚2秒钟开始运动∴点Q 在AB 上运动8秒钟①当06t ≤≤时，点P 与点Q 都在AB 上运动，设PM 与AD 交于点E ，QN 与AD 交于点F ，如图②则,,22t AQ t AF QF t === D CMEA P B2,1,22t AP t AE PE t =+=+=+，∴此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为：3222FQ PE S EF t +==+ ②当68t ≤≤时，点P 在BC 运动，点Q 仍在AB 上运动，如图③设PM 与DC 交于点E ，QN 与AD 交于点F ，则1,,22AQ t AF t QF t === 42t DF =- 6,10,(10)3BP t CP t PE t =-=-=-而BD =∴AQF CPE ABCD S S S S ∆∆=--平行四边形1131(10)(10)32222t t t t =----28t =-+-③当810t ≤≤，点P 和点Q 都在BC 上运动，如图④则202,(202CQ t QF t =-=-∴10,(10)3CP t PE t =-=-∴此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为：()2EP FQ S PQ +=⨯∴代入化简得：22S t =-+6.菱形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，AC=4BD =，动点P 在线段BD 上从点B 向点D 运动，PF AB ⊥于点F ，四边形PFBG 关于BD 对称，四边形QEDH 与四边形PEBG 关于AC 对称．设菱形ABCD 被这两个四边形盖住部分的面积为1S ，未被盖住部分的面积为2S ，BP x =． （1）用含x 的代数式分别表示12S S ，；（2）若12S S =，求x 的值．解析：（1）①当点P 在BO 上时，如图1所示．∵四边形ABCD 是菱形，AC =4BD =，∴AC BD ⊥，122BO BD ==，12AO AC ==且1•2ABCD S BD AC ==菱形∴tan AO ABO BO∠== ∴60ABO ∠=︒．在Rt BFP 中，∵90BFP ∠=︒，60FBP ∠=︒，BP x =，∴sin sin602FP FP FBP BP x ∠===︒=．∴2FP x =． ∴2x BF =． ∵四边形PFBG 关于BD 对称，四边形QEDH 与四边形PEBG 关于AC 对称， ∴BFP BGP DEQ DHQ S S S S ===．∴2113442222BFP x S S x x ==⨯⨯=．∴222S x =-． ②当点P 在OD 上时，如图2所示．∵4AB =，2x BF =， ∴42x AF AB BF =-=-． 在Rt AFM 中，∵90AFM ∠=︒，30FAM ∠=︒，42x AF =-．∴tan tan303FM FAM AF ∠==︒=．∴)32x FM =-． ∴1•2AFMS AF FM = 13(4)(4)2232x x =-⨯-2)62x =-． ∵四边形PFBG 关于BD 对称，四边形QEDH 与四边形PEBG 关于AC 对称， ∴AFM AEM CHN CGN S S S S ===．∴22244(4)8)626AFM x S S x ==⨯-=-．∴212(8)6S S x =-=--． 综上所述：当点P 在BO 上时，212S x =，222S x =-；当点P 在OD 上时，21(8)6S x =--，22(8)6S x =-． （2）①当点P 在BO 上时，02x ≤＜．∵12S S =，12S S +=∴1S =∴212S x ==解得：1x =2x =-∵2，0﹣，∴当点P 在BO 上时，12S S =的情况不存在．②当点P 在OD 上时，24x ≤＜．∵12S S =，12S S +=∴2S =∴2286S x ==（﹣）解得：18x =+，28x =﹣．∵84+>，284＜﹣，∴8x =﹣综上所述：若12S S =，则x 的值为8﹣7.如图，已知矩形ABCD 的边长2AB =，3BC =，点P 是AD 边上的一动点（P 异于A D 、），Q 是BC 边上的任意一点.连AQ 、DQ ，过P 作PE DQ 交AQ 于E ，作PF AQ ∥交DQ 于F .（1）求证：APE ADQ ∽；（2）设AP 的长为x ，试求PEF 的面积PEF S 关于x 的函数关系式，并求当P 在何处时，PEF S 取得最大值？最大值为多少？（3）当Q 在何处时，ADQ 的周长最小？（须给出确定Q 在何处的过程或方法，不必给出证明）解析：（1）证明：∵PE DQ ∥，∴APE ADQ AEP AQD ∠=∠∠=∠， ∴APE ADQ ∽（2）作ADQ 中DQ 边点的高AH∵AH DQ ⊥，∴90AHD︒∠=. ∵四边形ABCD 是矩形，∴90DCQ ACD ︒∠=∠=∴90ADH QDC DQC ︒∠=∠=∠－ ∴ADH ADQ ∽ ∴AH AD DC DQ= ∵23DC AB AD BC ====，，∴32AH DQ=，即6DQ AH ⋅= ∴116322ADQS DQ AH ∆=⋅⋅=⋅= ∵APE ADQ ∽，AP x =，∴22223APE ADQ S AP x S AD ∆∆==，即22223393APEADQ x x x S S ∆∆=⋅=⋅= 又∵PF AQ ∥，PE DQ ∥， ∴PAE DPF ∠=∠，APE D ∠=∠ ∴APE PDF ∽∴22APE PDF S AP S PD∆∆= 又∵3PD x =－，∴()22223APE PDF S AP x S PD x ∆∆==-， 即()()2222223316333PDF APEx x x S S x x xx ∆∆--=⋅=⋅=-+. 又∵PF AQ ∥，PE DQ ∥，∴四边形PEQF 是平行四边形∴12PEFPEQHS S ∆=.∴()1122PEFPEQHADQ APE PDF S S S S S ∆∆∆∆==-- 22211136332333x x x x x ⎡⎤⎛⎫=---+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦又∵22133313324PEFx S x x ∆⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=-+=，∴当32x =，即P 是AD 的中点时，PEF S 取得最大值34. （3）作A 关于直线BC 的对称点A '，连DA '交BC 于Q ，则这个点Q 就是使ADQ周长最小的点，此时Q 是BC 的中点.8.已知：ABC ，DEF 都是等边三角形，M 是BC 与EF 的中点，连接AD BE ，.（1）如图1，当EF 与BC 在同一条直线上时，直接写出AD 与BE 的数量关系和位置关系； （2）ABC 固定不动，将图1中的DEF 绕点M 顺时针旋转α（090α≤≤︒︒）角，如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；（3）ABC 固定不动，将图1中的DEF 绕点M 旋转α（090α≤≤︒︒）角，作DH BC ⊥于点H ．设BH x =，线段AB ，BE ，ED ，DA 所围成的图形面积为S ．当62AB DE ==，时，求S 关于x 的函数关系式，并写出相应的x 的取值范围．解析：（1）ADBE=AD BE ⊥． （2）证明：连接DM AM ，．在等边三角形ABC 中，M 为BC 的中点，∴AMBC ⊥，1302BAM BAC ∠=∠=︒，AMBM= ∴90BME EMA ∠+∠=︒．同理，DMEM=90AMD EMA ∠+∠=︒． ∴AM DMBM EM=，AMD BME ∠=∠．∴ADM BEM ∽．∴AD DMBE EM==． 延长BE 交AM 于点G ，交AD 于点K ． ∴MAD MBE ∠=∠，BGM AGK ∠=∠．∴90GKA AMB ∠=∠=︒． ∴AD BE ⊥． （3）解：(ⅰ)当DEF 绕点M 顺时针旋转α（090α≤≤︒︒）角时，∵ADM BEM ∽， ∴2()3ADM BEM S AD S BE∆∆==．∴13BEMADM S S ∆∆= ∴ABM ADM BEM DEM SS S S S ∆∆∆∆=+--23ABM ADM DEM S S S ∆∆∆=+-121133)12322x =⨯⨯+⨯⨯--⨯⨯=+∴S=+（33x ≤≤+． (ⅱ)当DEF 绕点M 逆时针旋转α（090α≤≤︒︒）角时，可证ADM BEM ∽，∴12()3SBM BEM S AM ADM∆==∆． ∴13BEMADM S S ∆∆=． ∴ABM BEM ADM DEM SS S S S ∆∆∆∆=+--23ABM ADM DEM S S S ∆∆∆=--21)322x =-⨯⨯-+=+∴S=+（33x -≤≤)．综上，S =+（33x -≤≤+．9.如图，在ABC 中，10AB AC ==，3cos 5B =，点D 在射线AB 上，DE BC ∥交射线AC于点E，点F在AE的延长线上，且14EF AE=，以DE EF、为邻边作DEFG，连接BG．（1）当EF FC＝时，求ADE的面积；（2）设AD x＝，DEFG与ABC重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式；（3）当点F在线段AC上时，若DBG是等腰三角形，求AD的长．解析：（1）作AH BC⊥于H在Rt ABH中，3cos5BHBAB==，10AB=∴6 BH＝，∴8 AH＝∵AB AC＝，∴212BC BH ＝＝∴1128482ABCS=⨯⨯＝ ∵ 14EF AE ＝，EF FC ＝，∴4263AE AC == ∵DE BC ∥， ∴ADE ABC ∽，∴24()9ADE ABC S AE S AC ∆∆== ∴ 446448993ADEABCSS ⨯=＝＝ （2）设AH 交DE GF 、于点M N 、∵DE BC ∥，∴AE AM DE AC AH BC==∵AD x =，∴45AM x =，65DE x = ∵1145MN AM x == ①当点F 在线段AC 上时∴28616(0)5525DEFGy Sx x x x ===<≤ ②当点F 在AC 延长线上时，则485MHx =-∴2642448(8)(8)55255DECKy Sx x x x x ==-=-+> 综合得：2286(0)252448(8)255x x y x x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩≤（3）∵BC AC ＞， ∴A ABC ∠∠＞ ∵DG AC ∥，∴BDG A ABC DBG ∠∠∠∠＝＞＞ ∴BG DG ＞作FP BC ⊥于P ，GQ BC ⊥于Q在RtFPC 中，5104FC x =-，4sin sin 5C ABC ∠＝＝，3cos cos 5C ABC =∠=∴8FP x =-，364PCx =-，∴63912(6)65420BQ x x x =---=-∴BG =在DBG 中，10DB x =-，14DG x =①若DB DG =，则1104x x -=，解得8x = ②若DB BG =，则10x -=解得10x =（舍去），256081x =综上所述，若DBG 是等腰三角形，AD 的长为8或5608110.已知：如图①，在平行四边形ABCD 中，126AB BC ＝，＝，AD BD ⊥．以AD 为斜边在平行四边形ABCD 的内部作Rt AED ，30EAD ∠︒＝，90AED ∠︒＝．（1）求AED 的周长；（2）若AED 以每秒2个单位长度的速度沿DC 向右平行移动，得到000A E D ，当00A D 与BC 重合时停止移动．设移动时间为t 秒，000A E D 与BDC 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围； （3）如图②，在（2）中，当AED 停止移动后得到BEC ，将BEC 饶点C 按顺时针方向旋转0180αα︒︒（＜＜），在旋转过程中，B 的对应点为1B ，E 的对应点为1E ，设直线11B E 与直线BE 交于点P 、与直线CB 交于点Q ．是否存在这样的α，使BPQ为等腰三角形？若存在，求出α的度数；若不存在，请说明理由．解析：（1）在RtAED 中，63090AD EAD AED ∠︒∠︒＝，＝，＝∴3DE ＝，AE ＝∴AED的周长为9＋（2）222633(0)223333923()62221339203423()62t t S t t t t t t ⎧⎪⎪⎪=-+-<⎨⎪⎪-+-<⎪⎩≤≤≤≤（3）存在α，使BPQ 为等腰三角形理由如下：经探究，得1BQP B QC ∽故当BQP 为等腰三角形时，1B QC 也为等腰三角形①当QB QP ＝时（如答图①）则1QB QC ＝，∴1130B CQ B ∠∠︒＝＝ 即130BCB ∠︒＝，∴30α︒＝ ②当BQ BP ＝时，则11B Q B C ＝若点Q 在线段11B E 的延长线上时（如答图②）∵130B ∠︒＝，∴1175B CQ B QC ∠∠︒＝＝即17575BCB α∠︒︒＝，＝若点Q 在线段11E B 的延长线上时（如答图③）∵1130CBE CB E ∠∠︒＝＝，∴111515BPQ BQP B CQ B QC ∠∠︒∠∠︒＝＝，＝＝， ∴11165BCB BCQ B CQ ∠∠∠︒＝－＝∴165α︒＝③当PQ PB ＝时（如答图④），则1CQ CB ＝∵1CB CB ＝，∴1CQ CB CB ＝＝ 又∵点Q 在直线CB 上，0180α︒︒＜＜∴点Q 与点B 重合此时B P Q 、、三点不能构成三角形综上所述，α的度数为30︒或75︒或165︒时，BQP 为等腰三角形11.如图1，在梯形ABCD 中，ADBC ，90A ∠︒＝，8AB ＝，4AD ＝，2tan 3C ＝，边长为3的正方形EFMN 的边FM 在直线BC 上，且M 与B 重合，并沿直线BC 以每秒1个单位长度的速度向右运动，当M 与C 重合时停止运动，设运动时间为t 秒．（1）当正方形EFMN 的顶点N 分别落在线段BD 和DC 上时，求运动时间1t 和2t 的值； （2）在整个运动过程中，设正方形EFMN 与DBC 重合部分的面积为S ，直接写出S与t 之间的函数关系式和自变量t 的取值范围； （3）如图2，将ABD 沿BD 翻折，得到BDP ，取BD 的中点Q ，连接PQ 、PE 、QE ，是否存在某一时刻t ，使PQE 是直角三角形，若存在，求出相应的t 值；若不存在，请说明理由．解析：（1）当点N 落在线段BD 上时，设EN 交AB 于H ，则BGN BAD ∽∴GN BG AD BA =，即1348t = ∴132t ＝当点N 落在线段DC 上时过D 作DH BC ⊥于H ，则48BH AD DH AB ＝＝，＝＝∵2tan 3DH C HC =＝，∴ 3122HC DH ＝＝∴41216BC BH HC ＝＋＝＋＝∴2tan 3NM C MC ==，即232163t =- ∴2232t =（2）2223163(0)2933()424599(3)429239()221234212329()33122229235()2t t t t t t t S t t t t t t ⎧<⎪⎪⎪-<⎪⎪⎪-+-<⎪=⎨⎪<⎪⎪⎪-+-<⎪⎪-+<⎪⎩≤≤≤≤≤≤（3）连接AP ，过P 作PR AB ⊥于R由面积法可得AP =易证ARP DAB ∽，得165AR =，325PR =①若90PQE ∠︒＝过Q 作AB 的平行线GH ，作PG GH ⊥于G ，EH GH ⊥于H易证PQG QEH ∽，∴PG QHQG EH=∴322435163245t --=---，解得5711t = ②若90PEQ ∠︒＝作PG EN ⊥于G ，QH EN ⊥于H易证PQG QEH ∽，∴EG QHPG EH=∴32(3)435163255t t ---=---，解得365t ±=③若90QPE ∠︒＝过P 作BC 的平行线GH ，作EG GH ⊥于G ，QH GH ⊥于H易证PEG QPH ∽，∴PG QHEG PH=3216345516325255t ---=--，解得10711t = 综上所述，存在时刻t ，使PQE 是直角三角形5711t =或365-或365+或1071112.已知，在矩形ABCD 中，E 为BC 边上一点，AE DE ⊥，12AB =，16BE=，F 为线段BE 上一点，7EF =，连接AF ．如图①，现有一张硬质纸片GMN ，90NGM ∠=︒，6NG =，8MG =，斜边MN 与边BC 在同一直线上，点N 与点E 重合，点G 在线段DE 上．如图②，GMN 从图①的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB 向点B 匀速移动，同时，点P 从A 点出发，以每秒1个单位的速度沿AD 向点D 匀速移动，点Q 为直线GN 与线段AE 的交点，连接PQ ．当点N 到达终点B 时，GMN和点P 同时停止运动．设运动时间为t 秒，解答下列问题： （1）在整个运动过程中，当点G 在线段AE 上时，求t 的值． （2）在整个运动过程中，是否存在点P ，使APQ 是等腰三角形．若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由． （3）在整个运动过程中，设GMN 与AEF 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式以及自变量t 的取值范围．解析：（1）在GMN 中，9068NGM NG MG ∠=︒==，，，由勾股定理，得10MN ==.∵123tan 164AB AEB BE ∠===，63tan 84NG GMN MG ∠===, ∴AEB GMN ∠=∠，∴当点G 运动到AE 上时，点M 与点E 重合，运动路程为10， 又∵GMN 运动速度为每秒一个单位长度，∴10t=.（2）存在满足条件的t ．理由如下： 在ABE 中，901216ABE AB BE ∠=︒==，，，由勾股定理，得：20AE ==.由（1）可知，AEB GMN ∠=∠， ∴AE GM ∥， ∴90NQENGM ∠=∠=︒， ∴90NQEB ∠=∠=︒， 又∵AEBNEQ ∠=∠，∴.ABE NQE ∽∴AE BE NE QE =，即2016t QE =， ∴45QEt =, ∴4205AQ AE QE t =-=-.①当AP PQ =时，如图①，过点P 作PH AE ⊥于点H ，得121025AH AQ t ==-.由APH EAB ∽，得AH AP BE AB =，即21051620t t -=，解得253t =. ②当APAQ =时，如图②，由4205t t =-，解得1009t =.③当AQ PQ =时，如图③，过点Q 作QK AD ⊥于K ，可得1122AK AP t ==.由AQK EAB ∽，得AQ AK AE BE =，即，解得80057t =. 1621205420t t =-综上所述，当或或时，△APQ 是等腰三角形． （3） 当07t ≤＜时，重合部分是一个直角三角形，其斜边长为t ，两直角边分别长为35t 和45t ，2625S t =； 当710t≤＜时，重合部分是一个四边形，如图①所示，设GN 与AF 交于点K ，则KNF 是一个等腰三角形，底边7FN t =-，作KR FN ⊥于点R ，则1(7)2FR t =-，由FKR FAB ∽，可得高2(7)3KR t =-， ∴KNF 的面积为12(7)(7)23t t --． ∴2714492533S t t =-+-； 当110145t ≤＜时，重合部分是一个四边形，此时点G 在AFE 内部，如图②所示，211423333S t t =-++； 当114165t ≤＜时，重合部分是一个三角形，此时点G 在ABF 内部， 325=t 9100=t 57800=t ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤<-≤<++-≤<-+-≤<=)16571()17(76)57110(32331431)107(349314757)70(2562222t t t t t t t t t S7FN EN EF t =-=-，10(7) 17FM MN FN t t =-=--=-， 此时KMF AEF ∽，而AEF 的面积为42， ∴217()427S t -=， ∴26(17)7St =-．。