江苏十年高考试题汇编09第九部分+集合复数算法统计概率
江苏省苏州市第十中学2017届高三数学一轮复习-防错纠错9 算法、概率与统计 含答案
防错纠错9 算法、概率与统计一、填空题1．如果执行下面的流程图，那么输出的S等于____________．【解析】本流程图含有循环结构．第1次循环为1≤50；S＝0＋2×1；k＝1＋1＝2；第2次循环为2≤50；S＝2＋2×2；k＝2＋1＝3；……第50次循环为50≤50；S＝2＋4＋…＋100＝2 550．k＝51〉50,退出循环，输出S．答案：2 550【易错、易失分点点拨】对于含有循环结构的算法问题，一定要注意循环变量、计数变量以及终止条件之间的关系，通常可以采取列出前几次操作，然后找到规律,再注意终止条件的判定．2．阅读下列程序:输出的结果是．Read S 1For I from 1to 5 step 2【解析】第一次循环时，I被赋予1，S被赋予2，并输出2；第二次循环时，I被赋予3，S被赋予2+3=5，并输出5；第三次循环时,I 被赋予5，S被赋予5+5=10，并输出5；由于此时5=I，故循环终止，程序结束．所以输出的结果是2，5，10．【易错、易失分点点拨】本题最容易出现的问题是没有弄清Print S 是在循环体内，即每循环一次，都将执行一次Print S，因为循环进行了3次，所以Print S也执行了3次．所以本题最常见的错解为:第一次循环时，I被赋予1，S被赋予2；第二次循环时，I被赋予3，S被赋予2+3=5；第三次循环时，I被赋予5，S被赋予5+5=10；由于此时5=I,故循环终止，最后输出S为10．3．下面的程序运行时输出的结果是．【解析】当4=I时，16=S．+440=⨯【易错、易失分点点拨】没有注意到由于0←S在循环内,每经过一次循环后S都被赋值0，习惯性认为0←S在While 5<I之前，因此，只要求满足条件的最后一次循环S的值．本题较容易出现的错解为：第一次循环时，I被赋予2，S被赋予4；第二次循环时，I被赋予3，S被赋予4+23=13;第三次循环时，I被赋予4，S被赋予13+24=29;第四次循环时,I被赋予5，S被赋予54292=5+．由于此时5=I，故循环终止，输出S为54．4．在区间内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间内的概率是．【解析】将取出的两个数分别用x，y表示，则x，y∈，要求这两个数的平方和也在区间内,即要求0≤x2＋y2≤10，故此题可以转化为求0≤x2＋y2≤10在区域{}≤≤≤≤内的面积比的问题,即由几何概型x y010,010知识可得到概率为错误!＝错误!．【易错、易失分点点拨】本题容易习惯性地把条件“在区间内随机取出两个数”误认为“在区间内随机取出两个整数数”,从而将本题当做古典概型进行求解．5．盒中有3张分别标有1,2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为__________．【解析】两次有放回抽取卡片所有可能的结果为：（1,1)，(1,2），（1,3)，(2，1），(2,2）,（2,3)，（3,1），(3,2)，（3,3）,共有9种可能，其中至少有一个为偶数的结果为(2,2)，(2,1），(1，2），（2，3),（3,2),共5种，所以所求概率P＝错误!．【易错、易失分点点拨】本题容易发生的错误在于对本题基本事件总数的计算,易混淆“有放回”和“无放回”，将(1，2）,（2，1)之情形，认为是同一种基本事件．6．在等腰Rt△ABC中,过直角顶点C在∠ACB内作一条射线CD与线段AB交于点D,则AD<AC的概率为__________．【解析】射线CD在∠ACB内是均匀分布的，故∠ACB＝90°可看成试验的所有结果构成的区域，在线段AB上取一点E，使AE＝AC，则∠ACE＝67．5°可看成事件构成的区域，所以满足条件的概率为错误!＝错误!．【易错、易失分点点拨】本题是很典型的一道题目，最容易产生的错解为：在线段AB上取一点E，使AE＝AC,在线段AE上取一点D，此时AP〈AC，求得概率为AEAB＝错误!＝错误!．原因是不能准确找出事件的几何度量．7．如果数据x1，x2，…，x n的平均数为错误!,方差为s2，则2x1＋3，2x2＋3，…，2x n＋3的平均数和方差分别为____________．【解析】由x1＋x2＋…＋x n＝n错误!，所以错误!＝错误!＝错误!＋3＝2错误!＋3. 又（x1－错误!）2＋(x2－错误!）2＋…＋（x n－错误!)2＝ns2,所以2＋2＋…＋2＝4＝4 ns2．所以方差为4s2．答案：2错误!＋3,4s2【易错、易失分点点拨】本题考查平均数以及方差的相关运算性质，容易发生的错误是学生不通过计算，只是根据直觉认为方差与平均数的变化随数据进行相同规律的变化，对变化间的本质理解不到位．8．如图是甲、乙两名运动员2014年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和为________．【解析】甲运动员的比赛得分是：17,22，28,34,35，36，其中位数是错误!＝31；乙运动员的比赛得分是：12，16，21，23，29，32，33，其中位数是23，所以甲、乙两人比赛得分的中位数之和为31＋23＝54．【易错、易失分点点拨】本题容易出现的错误在于不会计算中位数，将中位数与平均数混淆．二、解答题9．向面积为S的正方形ABCD内投一点P，试求△PBC的面积小于错误!的概率．【解析】如图，M ，N 分别为AB ，CD中点，当点P 位于阴影部分时，△PBC 的面积小于错误!，根据几何概型，其概率为P ＝错误!＝错误!．【易错、易失分点点拨】本题容易产生如下错解：如图所示，设△PBC 的边BC 上的高为PF ，线段PF 所在的直线交AD 于点E ,则当点P 到底边BC 的距离小于EF的一半时,有0〈错误!BC ·PF 〈错误!BC ·EF ，即0〈S △PBC <错误!． 记事件A 为“△PBC 的面积小于S4”，由几何概型可得P （A ）＝错误!＝错误!．错误原因在于错解构造的图形有误, 所以对于几何概型对应的几何图形应认真思考，正确确定几何图形的形状．10．已知某山区小学有100名四年级学生，将全体四年级学生随机按00～99编号，并且按编号顺序平均分成10组，现要从中抽取10名学生，各组内抽取的编号按依次增加10进行系统抽样．（1)若抽出的一个号码为22，则此号码所在的组数是多少？据此写出所有被抽出学生的号码；（2）分别统计这10名学生的数学成绩，获得成绩数据的茎叶图如图所示,求该样本的方差；（3)在(2)的条件下，从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，求被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率．【解析】(1）由题意,得抽出号码为22的组数为3．因为2＋10×（3－1)＝22,所以第1组抽出的号码应该为02，抽出的10名学生的号码依次分别为：02，12，22,32，42，52，62，72，82,92．(2）这10名学生的平均成绩为：x＝错误!×(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59）＝71，故样本方差为：s2＝错误!×(102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122）＝52．(3）从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生,共有如下10种不同的取法：（73，76）,(73，78)，（73，79)，（73，81），（76,78),（76,79），（76,81），（78,79）,(78,81）,(79,81）．其中成绩之和不小于154分的有如下7种：（73,81），（76，78)，（76，79）,（76,81），(78,79），(78,81),（79，81）．故被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率为：P＝错误!．【易错、易失分点点拨】本题易错点在于对于系统抽样的相关知识掌握不牢固,对其抽样方法不熟悉,同时在用列举法求解古典概率问题时，容易产生遗漏．11．某市教育主管部门为了弘扬民族文化，在全市各中学开展汉字听写大赛,某学校经过七轮选拔,最后选出甲、乙两名选手代表本校参加市里决赛,甲、乙两名选手七轮比赛得分情况如下表所示:（1（2）从甲选手的7次成绩中随机抽取两次成绩，求抽出的两次成绩的分数差距至少是3分的概率．【解析】（1)由题意得错误!甲＝错误!＝90，＝错误!＝90，错误!乙s错误!＝错误!＝6；s2，乙＝错误!＝4；因为6＞4,所以乙选手成绩更稳定．（2）从甲选手的七次成绩中随机抽取2次的所有基本事件为：（86，94）（86，89)，(86，88），（86，91),（86,90）,（86,92),（94,89),（94,88),(94，91),（94，90），（94，92)，(89，88）,（89，91），（89，90)，(89,92),（88,91)，(88，90)，（88,92)，（91，90），（91，92），(90,92)共21种情况，则抽取的两次分数差距至少3分的事件包含：（86,94）(86,89），(86，91），（86,90），（86，92），（94，89)，(94,88），(94，91），（94，90），(89,92），（88，91),(88,92）共12种情况．则抽取的两次成绩差距至少3分的概率P＝错误!＝错误!．【易错、易失分点点拨】本题易错点在于,方差是衡量稳定程度的重要指标，对方差的计算方法不熟悉，或者计算能力不过关极易导致出错,平时要注重此方面的训练，同时要知道方差越小稳定程度越高．12．某个团购网站为了更好地满足消费者,对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分,最高分是10分．上个月该网站共卖出了100份团购产品,所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组:第一组，得到的频率分布直方图如图所示．（1）分别求第三、四、五组的频率；（2)该网站在得分较高的第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取6个产品作为下个月团购的特惠产品，某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，求他抽到的2个产品均来自第三组的概率．【解析】（1)第三组的频率是0．150×2＝0．3；第四组的频率是0．100×2＝0．2；第五组的频率是0．050×2＝0．1．（2）设“抽到的2个产品均来自第三组”为事件A，由题意可知，分别抽取3个、2个、1个．不妨设第三组抽到的是A1、A2、A3；第四组抽到的是B1、B2；第五组抽到的是C1，所含基本事件为：｛A1，A2｝，{A1，A3｝,｛A2，A3}，｛A1，B1｝，｛A1，B2｝，｛A1，C1}，｛A2，B1},｛A2，B2}，｛A2，C1}，｛A3，B1｝，{A3，B2｝，｛A3，C1｝，｛B1，B2｝，｛B1,C1｝，{B2，C1｝，共15个,事件A包含的基本事件有3个,所以P(A）＝错误!＝错误!．【易错、易失分点点拨】本题易错点在于，由频率分布直方图计算频率时，直接读取高度作为频率，没有真正理解频率是对应相应小长方形的面积．。
2009年江苏省高考数学试卷及详解
2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,n x x x L 的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．若复数i z i z 96,29421+=+=其中i 是虚数单位，则复数i z z )(21-的实部为 ．2．已知向量a 和向量b 的夹角为30o，3||,2||==b a ，则向量a 和向量b 的数量积b a ⋅= ．3．函数63315)(23+--=x x x x f 的单调减区间为 ．4．函数)sin(ϕω+=x A y （ϕω,,A 为常数，0,0>>ωA ）在闭区间[]0,π-上的图象如图所示，则ω= ．5．现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2．5，2．6，2．7，2．8，2．9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0．3m 的概率为 ．6．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生1号 2号 3号 4号 5号 甲班6 7 7 8 7 乙班 6 76 7 9 则以上两组数据的方差中较小的一个为2s = ．7．右图是一个算法的流程图，最后输出的=W ．8．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ．9．在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线310:3+-=x x y C 上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ．10．已知215-=a ，函数x a x f =)(，若实数m 、n 满足)()(n f m f <，则m 、n 的大小关系为 ．11．已知集合{}),(,2log |2a B x x A -∞=≤=，若B A ⊆则实数a 的取值范围是),(+∞c ，其中c =12．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；（4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）13．如图，在平面直角坐标系xoy 中，2121,,,B B A A 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的四个顶点，F 为其右焦点，直线21B A 与直线F B 1相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ ．14．设{}n a 是公比为q 的等比数列，1>q ，令),2,(1⋅⋅⋅=+=n a b n n ，若数列{}n b 有连续四项在集合{}82,37,19,23,53--中，则q 6= ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15．（本小题满分14分）设向量)sin 4,(cos ),cos 4,(sin ),sin ,cos 4(β-β=ββ=αα=c b a （1）若a 与c b 2-垂直，求)tan(β+α的值；（2）求c b +的最大值;（3）若16tan tan =βα，求证：a ∥b16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，E 、F 分别是B A 1、C A 1的中点，点D 在11C B 上，C B D A 11⊥．求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面FD A 1⊥平面C C BB 11．．17．（本小题满分14分）设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足7,725242322=+=+S a a a a ．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）试求所有的正整数m ，使得21++m m m a a a 为数列{}n a 中的项．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆4)1()3(:221=-++y x C 和圆4)5()4(:222=-+-y x C ．（1）若直线l 过点)0,4(A ，且被圆1C 截得的弦长为32，求直线l 的方程； （2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．19．(本小题满分16分)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为am m +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为a n n +．如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h ，则他对这两种交易的综合满意度为21h h ．现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为甲h ，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为乙h(1)求甲h 和乙h 关于A m 、B m 的表达式；当B A m m 53=时，求证：甲h =乙h ； (2)设B A m m 53=，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ (3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．20．(本小题满分16分)设a 为实数，函数a x a x x x f --+=)(2)(2．(1)若1)0(≥f ，求a 的取值范围；(2)求)(x f 的最小值；(3)设函数),(),()(+∞∈=a x x f x h ，直接写出(不需给出演算步骤)不等式1)(≥x h 的解集．数学Ⅱ 参考公式：2222(1)(21)123.6n n n n ++++++=L 21．[选做题]在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4 - 1：几何证明选讲如图，在四边形ABCD 中，△ABC ≌△BAD ．求证：AB ∥CD ．B ． 选修4 - 2：矩阵与变换，求矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵． C ． 选修4 - 4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的参数方程为,13()x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，0t >）．求曲线C 的普通方程． D ． 选修4 - 5：不等式选讲 ：设a ≥b ＞0,求证：3332a b +≥2232a b ab +．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本题满分10分）在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A （2，2），其焦点F 在x 轴上．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；（3）设过点(,0)(0)M m m >的直线交抛物线C 于D 、E 两点，ME=2DM ，记D 和E 两点间的距离为()f m ，求()f m 关于m 的表达式．23．（本题满分10分）对于正整数n ≥2，用n T 表示关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的有序数组(,)a b 的组数，其中{},1,2,,a b n ∈L （a 和b 可以相等）；对于随机选取的{},1,2,,a b n ∈L （a 和b 可以相等），记n P 为关于x 的一元二次方程022=++b ax x有实数根的概率．（1）求2n T 和2n P ；（2）求证：对任意正整数n ≥2，有n P n 11->．2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）答案及解读数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1． -20【解析】 本题考查了复数的基本运算,属基础概念题．由i z i z 96,29421+=+=, 可得i i i i z z 220)202()(21--=+-=-, 则复数i z z )(21-的实部为-20．2． 3【解析】 本题考查了复数的数量积公式及其简单应用．由向量a 和向量b 的夹角为ο30， 3||,2||==b a ，可得330cos 32=⨯⨯=⋅οb a ．3．)11,1(-【解析】 本题考查了导数法求函数的单调区间问题． 由63315)(23+--=x x x x f ,可得)1110(333303)(22--=--='x x x x x f , 令0)(<'x f 可解得111<<-x ,∴函数63315)(23+--=x x x x f 的单调减区间为)11,1(-．4． 3【解析】 本题考查了由三角函数图象求三角函数解析式问题．由图象可得该函数的周期为ωπ=π=232T , ∴3=ω． 5．51【解析】 本题考查了古典概型问题,从2．5，2．6，2．7，2．8，2．9，这五个数据中任意抽取2个有2．5 , 2．6; 2．5 , 2．7; 2．5 , 2．8; 2．5 , 2．9; 2．6 , 2．7; 2．6 , 2．8;2．6 , 2．9; 2．7 , 2．8; 2．7 , 2．9; 2．8 , 2．9，共10种抽取方法, 其中长度恰好相差0．3m 仅2．5 , 2．8; 2．6 , 2．9两组, 即得2,10==m n , ∴它们的长度恰好相差0．3m 的概率为51102===n m P ． 6．52【解析】 本题考查了统计初步中样本数据的方差的求解问题,属简单的公式应用问题．同时也考查了学生的估算能力．由图表可得7)78776(51=++++=甲x , 7)97676(51=++++=乙x , ∴52)01001(512=++++=甲S , 56)40101(512=++++=乙S ,22乙甲S S < , ∴两组数据的方差中较小的一个为522=S ．本题也可由表格估算出22乙甲S S <，因此，不必计算2乙S 7． 22【解析】 本题考查了算法的流程图,以循环结构为主要考查对象,是近几年高考中常见的命题方式．由流程图可得, 第一次循环时得到的S 与T 的值分别为1-0=1,1; 第二次循环时得到的S 与T 的值分别为9-1=8,3; 第三次循环时得到的S 与T 的值分别为25-8=17,5, 此时退出循环结构得22517=+=W ．8． 1:8【解析】 本题考查了推理与证明中合情推理之中类比推理的应用．由于相似的几何图形中面积比是边长的平方比, 类比的相似的几何体的体积比是棱长的立方比, 即若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为1:8．9． (-2, 15)【解析】 本题考查了导数的几何意义, 曲线方程对应的函数的导数的几何意义是曲线上某点的切线的斜率．由21032=-='x y 可解得2±=x , ∵切点P 在第二象限内，∴2-=x , 由此可得点P 的坐标为(-2, 15)．10． n m <【解析】 本题考查了指数函数及指数函数的单调性的应用．∵)1,0(215∈-=a , ∴函数x a x f =)(为R 上的减函数，又∵)()(n f m f >, ∴n m <．11． 4【解析】 本题考查了对数不等式及集合的子集运算,此题中要注意对数函数的定义域及集合边界值的验证．由已知条件可得{}(]4,02log |2=≤=x x A ,),(a B -∞=，若B A ⊆则4>a ,即得4=c ．12． (1)(2)【解析】 本题考查了平面与平面、直线与平面的平行与垂直的位置关系,是高考中常见的开放题型之一． 若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β,这是两个平面平行的判定定理,即(1)正确；若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行,这是直线与平面平行的判定定理,即(2)正确；设α和β相交于直线l ，α内有一条直线垂直于l ，但该直线不一定能够垂直β内两条相交直线,即直线l 不一定垂直于平面β,所以平面α和β不一定垂直,即(3)不正确; 直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条相交直线垂直,即(4)不正确, 综上可得真命题的序号为(1)(2)．13．572-【解析】 本题考查了直线方程，两直线的交点及椭圆的几何意义,离心率 的考查是高考客观题考查的热点．由已知条件可得直线21B A 的方程为1=-+-bx a x ①, 直线F B 1的方程为1=-+b y c x ②,联立①②可得两直线交点T 的坐标为(c a ac -2,c a c a b -+)(),则线段OT 的中点M 的坐标为(ca ac -,)(2)(c a c ab -+),代入椭圆12222=+b y a x 可得222)(4)(4c a c a c -=++,即得03102=-+e e ,解之得725±-=e ,∵)1,0(∈e , ∴572-=e ．【别解】设)sin ,cos (θθb a M ，则)sin 2,cos 2(θθb a T ，由T B A 21共线得a b a a b =+θθcos 2sin 2化简得1cos 2sin 2+θ=θ ① 由FT B 1共线得cb a b b =θ+θcos 2sin 2化简得θ=+θcos 2)1sin 2(e ② 由①②解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=θ-=θ)1(21sin 1cos e ee e 代入1sin cos 22=θ+θ得03102=-+e e ，解得725+-=e ．14． -9【解析】 本题考查了等比数列的通项与基本量的求解问题,此题利用等比数列构造另一个数列,利用所构造数列的性质去研究等比数列是高考的热点问题．由已知数列{}n b 有连续四项在集合{}82,37,19,23,53--中，则数列{}n a 必有连续四项在集合{}81,36,18,24,54--中, 若公比q 为正则该数列的四项必均为正或均为负值, 显然不合题意, 所以公比q 必为负值,又由1>q 知1-<q ,按此要求在集合{}81,36,18,24,54--中取四个数排成数列可得数列81,54,36,24--或54,36,24,18-- (此数列不成等比数列,故舍去), ∵数列81,54,36,24--的公比23-=q , ∴96-=q ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．[15题解析] 本小题主要考查向量的基本概念、数乘、数量积，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明等基本能力．满分14分．（Ⅰ）由a 与c b 2-垂直，02)2(=⋅-⋅=-⋅c a b a c b a ，即0)cos(8)sin(4=β+α-β+α，2)tan(=β+α．（Ⅱ）)sin 4cos 4,cos (sin β-ββ+β=+c b ，β+ββ-β+β+ββ+β=+22222sin 16sin cos 32cos 16cos cos sin 2sin c b β-=ββ-=2sin 1517cos sin 3017，最大值为32， 所以c b +的最大值为24．由16tan tan =βα得βα=βαcos cos 16sin sin ，即0sin sin cos 4cos 4=βα-β⋅α，所以a ∥b ． [16题解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力．满分14分．（Ⅰ）因为E ，F 分别是C A B A 11,的中点，所以EF ∥BC ，又ABC EF 面⊄，ABC BC 面⊂，所以EF ∥平面ABC ．（Ⅱ）因为直三棱柱111C B A ABC -，所以1111C B A BB 面⊥，D A BB 11⊥，又C B D A 11⊥，所以C C BB D A 111面⊥，又FD A D A 11面⊂，所以平面⊥FD A 1平面C C BB 11．[17题解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力．满分14分．（1）设公差为d ，则23242522a a a a -=-，由性质得)()(33434a a d a a d +=+-，因为0≠d ，所以034=+a a ，即0521=+d a ，又由77=S 得726771=⨯+d a ，解得51-=a ，2=d ,所以{}n a 的通项公式为72-=n a n ，前n 项和n n S n 62-=．(2)（方法一）32)52)(72(21---=++m m m a a a m m m ,设t m =-32， 则68)2)(4(21-+=--=++tt t t t a a a m m m , 所以t 为8的约数 因为t 是奇数，所以t 可取的值为1±当2,1-==m t 时，3752,368=-⨯=-+t t ，是数列{}n a 中的项； 当1,1=-=m t 时，,1568-=-+tt 数列{}n a 中的最小项是5-，不符合． 所以满足条件的正整数2=m （方法二）因为222222186)2)(4(++++++++-=--=m m m m m m m m a a a a a a a a 为数列{}n a 中的项， 故28+m a 为整数，又由（1）知：2+m a 为奇数，所以1322±=-=+m a m ，即2,1=m经检验，符合题意的正整数只有2=m这两种解法看似相同，但却有本质的区别，解法二是紧扣数列通项公式解题，而解法一是紧扣等差数列的概念解题，学生掌握的基本思路是解法二，本题是中极题．[18题解析] 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力．满分16分．(1)设直线l 的方程为：)4(-=x k y ，即04=--k y kx 由垂径定理，得：圆心1C 到直线l 的距离，1)232(422=-=d 结合点到直线距离公式，得：114132=+---k kk化简得：247,,0.07242-===+k or k k k 求直线l 的方程为：0=y 或)4(247--=x y ，即0=y 或028247=-+y x (2) 设点P 坐标为),(n m ，直线1l 、2l 的方程分别为：)(1),(m x k n y m x k n y --=--=-，即：011,0=++--=-+-m kn y x k km n y kx因为直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定理，得：：圆心1C 到直线1l 与2C 直线2l 的距离相等．故有：1115411322+++--=+-+--km kn k k kmn k ，化简得：5)8(,3)2(-+=+---=--n m k n m n m k n m 或 关于k 的方程有无穷多解，有：⎩⎨⎧=-+=+-⎩⎨⎧=--=--0508,0302n m n m n m m m 或 解之得：点P 坐标为)213,23(-或)21,25(-． [19题解析] 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力．满分16分． (1) [][])20,5,12,3(,203,512∈∈+⋅+=+⋅+=B A B B A A B B A A m m m m m m h m m m m h 乙甲当B A m m 53=时，)5)(20(51253532++=+⋅+=B B B B B B B m m m m m m m h 甲,)20)(5(20353532++=+⋅+=B B BB B B B m m m m m m m h 乙,h 甲=h 乙（2）当B A m m 53=时，h ==甲由[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∈51,201120,5B B m m 得，故当2011=B m 即12,20==A B m m 时， 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为510． （3）（方法一）由（2）知：5100=h 由5105120=≥+⋅+=h m m m m h B B A A 甲得：25512≤+⋅+B B A A m m m m ，令y m x m B A ==5,3则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41,y x ，即：25)1)(41(≤++y x ． 同理，由5100=≥h h 乙得：25)41)(1(≤++y x 另一方面，[]5,241,41,1,41,∈++⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈y x y x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈++2,251,1y x25)41)(1(,25)1)(41(≥++≥++y x y x 当且仅当41==y x ，即B A m m =时，取等号．所以不能否适当选取A m 、B m 的值，使得00h h h h ≥≥乙甲和同时成立，但等号不同时成立． 方法二：由⑵知320=h ，因为 9425100201536122020351212≤++⋅++=+⋅+⋅+⋅+=yy x x y x x y y x h h 乙甲所以，当32,32≥≥乙甲h h 时，有32==乙甲h h ，因此，不能取到B A m m ,的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立．[20题解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．满分16分（1）若1)0(≥f ，则1112-≤⇒⎩⎨⎧≥<⇒≥-a a a a a（2）当a x ≥时，⎪⎩⎪⎨⎧<≥=⎪⎩⎪⎨⎧<≥=+-=0,320,20),3(0),()(,23)(22min22a a a a a a f a a f x f a ax x x f 当a x ≤时，⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=⎩⎨⎧<≥-=-+=0,20,20),(0),()(,2)(22min22a a a a a a f a a f x f a ax x x f 综上⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=0,320,2)(22mina a a a x f （3）),(+∞∈a x 时，1)(≥x h 得012322≥-+-a ax x ，222812)1(124a a a -=--=∆当2626≥-≤a a 或时，),(,0+∞∈≤∆a x ； 当2626<<-a 时，△>0,得：⎪⎩⎪⎨⎧>≥-+----ax a a x a a x 0)323)(323(22 讨论得：当)26,22(∈a 时，解集为),(+∞a ; 当)22,26(--∈a 时，解集为⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞-+⋃--,323]323,(22a a a a a ; 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈22,22a 时，解集为⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞-+,3232a a ． 数学Ⅱ[A ．选修4 - 1几何证明选讲答案] ：本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识，考查推理论证能力．满分10分．证明：由△ABC ≌△BAD 得∠ACB=∠BDA ，故A 、B 、C 、D 四点共圆，从而∠CBA=∠CDB ．再由△ABC ≌△BAD 得∠CAB=∠DBA ．因此∠DBA=∠CDB ，所以AB ∥CD ．[B ．选修4 - 2：矩阵与变换答案] ：本小题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力．满分10分．解：设矩阵A 的逆矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡w y z x ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡10011223 ＝ w y z x 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤++⎢⎣⎡+100122322z 3 ＋w y w y z x x ，故⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=+=+,12,023,,02,123w y w y z x z x解得：3,2,2,1-===-=w y z x ，从而A 的逆矩阵为⎥⎦⎤-⎢⎣⎡-=-32211 A ． [C ． 选修4 - 4：坐标系与参数方程答案] ：本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力．满分10分．解：因为212-+=t t x ，所以3122y t t x =+=+，故曲线C 的普通方程为：2360x y -+= [ D ． 选修4 - 5：不等式选讲答案] ：本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力．满分10分．证明：3322222232(32)3()2()(32)().a b a b ab a a b b b a a b a b +-+=-+-=-- 因为a ≥b ＞0,所以a b -≥0，2232a b -＞0，从而22(32)()a b a b --≥0， 即3332a b +≥2232a b ab +．[必做题第22题答案] ：本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）由题意，可设抛物线C 的标准方程为px y 22=，因为点)2,2(A 在抛物线C 上，所以1=p ，因此，抛物线C 的标准方程为x y 22=．（2）由（1）可得焦点F 的坐标是)0,21(，又直线OA 的斜率为122=，故与直线OA 垂直的直线的斜率为1-，因此，所求直线的方程是021=-+y x ．（3）解法一：设点D 和E 的坐标分别为),(11y x 和),(22y x ，直线DE 的方程是)(m x k y -=，0≠k 将m kyx +=代入x y 22=，有0222=--km y ky ，解得kmk y 22,1211+±=．由DE ME 2=知)121(221122-+=++mk mk ，化简得m k 42=． 因此22122212212))(11()()(y y ky y x x DE -+=-+-=)4(49)21(4)11(2222m m k mk k +=++=．所以)0(423)(2>+=m m m m f ． 解法二：设),2(),,2(22t t E s s D ，由点)0,(m M 及DMME 2=得)0(20),2(22122s t s m m t -=--=-．因此2,2s m s t =-= 所以)0(423)2()22()(222222>+=--+-==m m m s s s s DE m f ．[必做题第23题答案] ：本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力．满分10分．（1）解：因为方程022=++b ax x 有实数根，所以0442≥-=∆b a ，即2a b ≤（i ）当2n a n ≤≤时，有22a n ≤，又2,,2,1n b ⋅⋅⋅∈，故总有b ，有12+-n n 种取法，b有2n 种取法，所以共有22)1(n n n +-组有序数组),(b a 满足条件；（ii ）当11-≤≤n a 时，满足21ab ≤≤的b有2a个，故共有6)12)(1()1(3212222--=-+⋅⋅⋅+++n n n n 组有序数组),(b a 满足条件．由（i ）（ii ）可得6)1346(6)12)(1()1(23222++-=--=+-=n n n n n n n n n n T n ，从而32346134622n n n n n T P n n ++-==．⑵证明：我们只需证明：对于随机选取的n b a ,,2,1,⋅⋅⋅∈，方程022=++b ax x 无实数根的概率nP n 11<-．若方程022=++b ax x 无实数根，则0442<-=∆b a ，即b a <2的有序数组),(b a 的组数小于n n ，从而，方程022=++b ax x 无实数根的概率nn n n P n 112=<-，所以n P n 11->．试卷综合解读与评析2009年高考江苏卷保持了2008年高考江苏卷的特点，以稳为主，稳中有变，更加体现新课程理念，所有试题的建构，不偏不怪，难易得当，紧扣考纲，贴近课本．注重考查基础知识，基本技能，基本数学思想和方法，对当前高中数学教学和高三数学复习备考有着鲜明的导向作用．下面从数学I、II试题的答案，别解、知识点、苏教版教材的出处，考纲要求，课本要求，用到的数学思想方法，容易导致失误的地方等方面进行综合解读．（要说明的是：江苏高考试题分文、理科，除选修的科目不同外，语、数、外三门必修科目的设置也有同有异：英语科目文理科试题相同，分值为120分；数学、语文两门必修科目，文理试题的设置分I、II两部分，对于文科和理科的考生数学和语文的I卷试题相同、分值均为160分，对理科生要加考数学II试题，文科考生要加考语文II试题分值均为40分．这样语数外三门必修科目文、理试题的总分值一样——200分+160分+120分=480分．）1．数学I试题（文理同卷）填空题部分填空题没有难度，从1至12题都平铺直叙，送分送到位，13、14题属于中档题，也容易拿分，没有难题．对照考纲和教材将14条填空题进行分析和解读如下：（附：表中的“等级”是指：江苏《考试说明》将考点要求分成A、B、C三个等级，其中C级要求最高，B 级次之、Ａ级要求最低；表中的“层次”是指：江苏教材上的习题分为三个层次即：感受·理解、思考·运用和探究·拓展）2 数学I试题（文理同卷）解答题部分对于15题，此题主要考查平面向量数量积的坐标运算，两角和与差的三角函数，二倍角的正弦，考纲要求分别为C、C、B，坚持了重点知识重点考查的原则，数学思想方法主要考查了转化思想题型常规，思路清晰可循，三基好的考生容易得满分．对于16题，此题是立体几何题，仍然是考察平行与垂直的证明，题目简单明了，但要注重过程，判定定理的条件必须写全，线面平行是三个条件，面面垂直是两个条件，但之前需证明线面垂直，那是五个条件．对于17、18题第一小问，比较简单，但第二小问难度加大．17题数列题的第一小问是基本量的运算，大多考生不会有问题，第二小问有一丝数论的味道，题目简洁而又精彩！18题是解析几何题，考查直线与圆的位置关系，第二小问思路其实比较清晰，因为圆1C 与圆2C 的半径相等，及直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线 2l 被圆2C 截得的弦长相等，所以圆1C 的圆心到直线1l 的距离和圆2C 的圆心到直线2l 的距离相等，列出等式，题目中要求“存在无数对直线”转化为“等式有无数解”即可，但是字母运算较复杂，考察考生的耐心与细心． 对于19题，此题主要考查函数与基本不等式等基础知识，比较好地考查了考生对信息的接收、加工和输出等数据处理能力，数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力达到有效考查综合素质的目的．考查与以往不同的是，大题的顺序有了明显的颠倒，数列难度下降了很多，放在了大题第三题的位置，而以往应用题是不会放在这个位置的，虽然难度适中，以生活中的满意度为背景，但题干中的字比较多，问题的表述较长，变量均以字母形式出现，提高了应用题的难度，这就要求考生多读几遍题目，多读几遍还是可以理解的，第⑴、⑵小题能够做出，第⑶小题有点难度；有些考生就承受不了了，所以对最后一题也有心理干扰，这也是广大考生不太适应的又一方面，从中可以看到今年的高考试卷在知识与能力考查的同时，体现了对课改新理念的创新与发展．对于20题，此题主要考查函数的概念、性质、图像及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数型结合、分类讨论的思想方法．这样的的分类讨论其实高中训练得很多了，但在考场上想得满分也并不容易．第（3）小问不要考生写过程，只要结果，需要一定的数学直觉思维，如果结合图形问题可以得到很好地解决，命题很有新意，不落浴套，具有较强的选拔功能．3． 数学Ⅱ附加题（理科做）今年是执行必做、选做分卷考试新模式的第二年，附加题部分难度控制的比较适中，在全省考生慢慢接受并熟悉了这种模式后，相比去年，今年的选作题方面考点上没有任何的变动，但圆锥曲线、函数中不等关系的证明出现在该部分作为压轴考题，难度明显比去年有了很大的提升． 4 全卷综合点评 4．1 全卷综合解读2009年高考数学试题，对考试说明中的8个C 级要求的知识点和B 级要求中传统的问题都进行了有效的考查，在保持题型稳定的基础上，进行适度的改革和创新，试卷贴近教学实际，坚持能力立意，全面检测考生的数学素养，充分体现新课程的基本理念．试卷主要有以下几个方面的特点：4．1．1 多题把关，有效发挥选拔功能第17，18题第二小问，第19题、第20题的第三问有一定的难度，改变了过去一题或两题把关的习惯，在凸显文理公平基础上，命题者这样处理对不同层次考生群体更有区分度，有利于高校选拔人才．基于同样的原因，数学Ⅱ附加题（理科做）部分，两道必做题对数学语言的转化以及数学思想方法有一定的要求，相对较难，其他试题很简单．4．1．2 能力立意，旨在考察数学素养全卷在考查知识的同时，注重考查学生的数学思维能力和应用意识．许多试题实际上并不难，对于知识点考生很熟悉，但需要考生自主综合所学知识，才能解决问题，如第17题第二问，其实是恒成立问题．许多试题若能先想清楚问题的关键或本质，确定了合适的解题思路和方向后再动手，解答会容易的多，否则会陷入繁琐的运算之中，比如第13题，第14题．部分题目在考查基础知识点上有所创新，题目设计灵活．如数学卷第17题第（2）问，第18题第（2）问，都是对一个问题进行纵向探究，考查学生创新意识，同时要求学生掌握通性通法，淡化特殊技巧，例如第18题第（2）问，如果用几何方法解决在考场上几乎不能成功，试题的设问已将几何法排除在外，命题者的意思很明确，考察解析几何的本质——用代数方法研究图形的几何性质，体现数形结合和等价转化的重要数学思想4．1．3 引领课改，全面体现课程标准试卷以朴素的数学知识为载体，综合考查最基本的数学思想和方法，体现了高考命题重实质、重内涵的指导思想，注重通性通法、淡化特殊技巧，对中学数学教学有较好的导向作用．不少试题注意在具体的情景中、在解决问题的过程中突出考查学生数学思想和数学方法．如第20题以二次函数为载体，重点考查分类谈论、数形结合思想，其中的第三问，只要直接写出解，不需要过程，打破了长期以来人们所固有的解答题不能以图代证的模式，给平时积极主动、勇于探索的考生有发挥的空间．这也是新课改的明确要求，新课程标准明确指出：“高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一，人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳推理、空间想象、抽象概括……等思维过程”．另外，试题加强了对应用意识和创新意识的考查，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出判断，例如第19题以生活中的满意度为背景，问题的表述较长，需要考生耐心读懂题目，但模式识别方便，同时还考查了学生将文字语言转化为数学语言的能力．4．1．4 保持稳定，凸显公平公正原则（1）整卷试题呈现：低起点、入手宽、由易到难，逐步深入、多题把关的格局，全卷结构、题型包括难度都基本稳定，依据考试说明，突出对教材基本内容的考查．填空题比较平和，不需太繁的计算，考生普遍感觉顺手．许多试题源于课本，略高于课本，如第1、2、3、4、5、7、11、15题等，都由课本例题、习题进行恰当变更、迁移、综合、创新整合而成，给人以似曾相识的感觉．最后6个解答题由易到难，涉及的知识内容基础、常规，入手容易，但深入有一定困难．附加题部分，选做题对知识点的考查单一，结论要求明确，学生入手较易．（2）通览全卷试题和答案：不见偏题怪题、人为陷阱，处处体现人文关怀、呈现关爱．如填空题14题，求6q ，正常应该求q ，有谬常理．细细想来，为命题者的良苦用心所折服，这是因为如果所编题目答案q 是整数，学生很易猜到，失去考察知识的意义，现在所编题目的23-=q ，凭借以前阅卷的经验，学生的答案很易将“—”和分数线“——”连在一起成为“23”，从而引起失分，试题中“求6q ”可以有效避免这种非智力因素的失分；再如，填空题11题按常理该设问为“求实数a 的范围”，而试题中设问为“实数a 的取值范围是),(+∞c ，其中c = ____”，从中大家不难发现命题者的用心，还有应用题的表述命题者不惜大量篇幅，也是为了学生只要认真读题就不会因为审题困难而失分．（3）试卷注重对重点知识的考察，但编制题目时目的很明确——只针对性地考察要考知识、方法，不人为设置其他难点，避免因为其他知识的不熟悉而解答错误．例如新增内容“导数”，试题中填空题部分两次用到，但难度都很低，这是因为新课标只要求“能利用导数研究函数单调性、会用导数求简单函数的极值和最值”， “导数”其实在中学教材中只是一种“工具”的地位，要重点考察但不会考很复杂的函数，以免考生因为求导数出错而失误．再如立体几何的考察，载体是直三棱柱，只考察了基本的平行与垂直的证明，这是因为理科学过空间向量，如果考角与距离或比较难的证明，那样对于文科生就极不公平．其他的题目基本都是如此．以上三点是试卷所呈现的实际情况，如果我们进一步地思考可以发现命题者这样做的真正原因——保持稳定、体现公平．江苏高考的现行模式才第二年，数学I 试题文科和理科同卷，而他们所用的教材必修部分相同，选修部分不同，文科教材要简单些，另外他们的数学基础也不同，而高校录取时是同等录取，这就要求数学命题时文理要公平，做到真正公平很困难，唯一的办法就“简单”——载体简单、知识点单一，只有这样才能相对公平．还有应用题的编拟也体现了另一公平——城乡考生之间的公平，试题中的应用题背景对所有学生是公平的．4．2 备考备战的几点启示4．2．1 平时教学要灵活、有变化，模式教学已不适应平时的教学活动要灵活、要开展一题多变、多题一解、一题多解的数学解题教学模式，要注重情境教学，揭示知识的生成、发展和应用的过程，不能因为教学时间的有限而给学生不同知识点以不同的模式化，学生的数学活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，应积极倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，发挥学生学习的主动性． 平时教学要严格按课程标准和考试说明进行，对教材内容不要人为地加深和无限地拓展，或是反复训练自认为重要的个别问题，这样浪费学生很多宝贵时间，在高考中将会处于劣势． 4．2．2 高考试题没有绝对，吃透课程标准是关键。
专题10 集合、复数、算法、统计概率及线性规划部分(解析版)-2020年江苏高考数学试卷名师分析与预测
专题十 集合、复数、算法、统计概率及线性规划部分一、近几年江苏高考1（1）、（2019年江苏高考）.已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B =I _____.【答案】{1,6}. 【解析】 【分析】由题意利用交集的定义求解交集即可. 由题知，{1,6}A B =I .(2)、（2018年江苏高考） 已知集合，，那么________．【答案】：.【解析】分析：根据交集定义求结果.：由题设和交集的定义可知：.(3)、（2017年江苏高考） 已知集合A ＝{1,2}，B ＝{a ，a 2＋3}．若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________． 【答案】： 1【解析】：因为a ∈R 时，a 2＋3≥3，所以只能a ＝1.(4)、（2016年江苏高考） 已知集合A ＝{－1,2,3,6}，B ＝{x|－2<x<3}，则A∩B ＝________. 【答案】{－1,2}【解析】 因为A ＝{－1,2,3,6}，B ＝{x |－2<x <3}，所以A ∩B ＝{－1,2}．(5)、（2015年江苏高考） 已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中元素的个数为________． 【答案】 5【解析】因为A ∪B ＝{1,2,3,4,5}，所以A ∪B 中元素的个数为5.2(1)、（2019江苏卷）..已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是_____. 【答案】2.【解析】本题根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据复数的概念，令实部为0即得a 的值.2(a 2)(1i)222(2)i a ai i i a a i ++=+++=-++Q ，令20a -=得2a =.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.(2)、（2018江苏卷）. 若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为________．【答案】2【解析】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.详解：因为，则，则的实部为.点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.(3)、（2017江苏卷）.已知复数(1i)(12i)z=++，其中i是虚数单位，则z的模是▲ ．【答案】10z=++=++=⨯=，故答案为10．【解析】(1i)(12i)1i12i2510(4)、（2016江苏卷）.复数(12i)(3i),其中i为虚数单位，则z的实部是▲ .z=+-【答案】5考点：复数概念(5)、（2015江苏卷）设复数z满足234=+（i是虚数单位），则z的模为_______.z i3、(1)、(2019年江苏卷)下图是一个算法流程图，则输出的S的值是_____.【答案】5.【解析】执行第一次，1,1422x S S x =+==≥不成立，继续循环，12x x =+=； 执行第二次，3,2422x S S x =+==≥不成立，继续循环，13x x =+=； 执行第三次，3,342xS S x =+==≥不成立，继续循环，14x x =+=； 执行第四次，5,442xS S x =+==≥成立，输出 5.S = （2）、（2018年江苏卷）.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．【答案】8【解析】分析：先判断6I <是否成立，若成立，再计算I S ，，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得3,2;5,4;7,8I S I S I S ======，因为76>，所以结束循环，输出8.S = （3）、（2017年江苏卷）. 如图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出y 的值是________．【答案】. －2【解析】思路分析 算法表示分段函数y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥1，2＋log 2x ，0＜x ＜1.)f ⎝⎛⎭⎫116＝2＋log 2116＝2＋(－4)＝－2.（4）、（2016年江苏卷）. 如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是________．【答案】 9【解析】 由a ＝1，b ＝9不满足a >b ，从而得a ＝5，b ＝7，也不满足a >b ，所以a ＝9，b ＝5，满足a >b ，故此时输出a ＝9.（5）、（2015年江苏卷）. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________． S ←1I ←1While I <8 S ←S ＋2 I ←I ＋3End While Print S 【答案】 7【解析】第一次循环得S ＝1＋2＝3，i ＝1＋3＝4<8；第二次循环得S ＝3＋2＝5，i ＝4＋3＝7<8；第三次循环得S ＝5＋2＝7，i ＝7＋3＝10>8，退出循环，故输出的S ＝7.4、（1）、（2019年江苏卷）.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.【答案】53.【解析】由题意首先求得平均数，然后求解方差即可. 由题意，该组数据的平均数为678891086+++++=，所以该组数据的方差是22222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63-+-+-+-+-+-=.【点睛】本题主要考查方差的计算公式，属于基础题.（2）、（2018年江苏卷）.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．【答案】90.【解析】先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数.由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为8989909191，，，，，故平均数为89+89+90+91+91905=.点睛：12,,,n x x x L 的平均数为12nx x x n+++L .（3）、（2017年江苏卷） 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件． 【答案】. 18【解析】思路分析 分层抽样就是按比例抽样．丙型产品所占比例为300200＋400＋300＋100＝310，应抽取件数为310×60＝18.（4）、（2016年江苏卷） 已知一组数据4.7, 4.8, 5.1, 5.4, 5.5，则该组数据的方差是________． 【答案】 0.1【解析】由题意得x －＝15(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5)＝5.1，所以s 2＝15(0.16＋0.09＋0.09＋0.16)＝0.1.（5）、（2015年江苏卷）. 已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为________． 【答案】. 6【解析】x －＝16×(4＋6＋5＋8＋7＋6)＝6.5、（1）、（2019年江苏卷）.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____. 【答案】710. 【解析】先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有2510C =种情况.若选出的2名学生恰有1名女生，有11326C C =种情况，若选出的2名学生都是女生，有221C =种情况，所以所求的概率为6171010+=. （2）、（2018年江苏卷）..某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________． 【答案】3.10【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为3.10（3）、（2017年江苏卷） 记函数()f x =的定义域为D ，在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ▲ .【答案】59【解析】由于()f x =[2,3]-，该区间长度为5，区间[4,5]-长度为9，故概率为59.（4）、（2016年江苏卷） 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________． 【答案】. 56【解析】抛掷一枚均匀的骰子两次所得的所有的基本事件共有6×6＝36个，其中出现向上的点数之和大于或等于10的基本事件有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,6)，(6,5)，(6,4)，共6个基本事件，故所求的概率为P ＝1－636＝56. （5）、（2015年江苏卷）. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________． 【答案】 56【解析】解法1 分别以1,2,3,4表示1只白球，1只红球，2只黄球，则随机摸出2只球的所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个基本事件，2只球颜色不同的基本事件有5个，故所求的概率P ＝56.解法2 分别以1,2,3,4表示1只白球，1只红球，2只黄球，则随机摸出2只球的所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个基本事件，2只球颜色相同的基本事件有1个，故所求的概率为P ＝1－16＝56. 6、（1）(2017江苏卷)．在平面直角坐标系xOy 中，(12,0),(0,6),A B -点P 在圆22:50O x y +=上，若20,PA PB ⋅u u u r u u u r≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ ．【答案】 [－52，1]解析： 满足P A →·PB →≤20，点P (x ，y )的轨迹方程是x 2＋y 2＋12x －6y ≤20.又因为x 2＋y 2＝50，所以2x －y ＋5≤0.点P (x ，y )满足的所有约束条件是⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝50，2x －y ＋5≤0.与线性规划类似，点P 对应的图形是：以E (－5，－5)，F (1,7)为端点的左侧圆弧EF ，圆弧EF 在x 轴上的射影为线段，点P 横坐标的范围是[－52，1]．易错警示 圆弧在x 轴上的射影与对应弦的射影和范围可能不一致．（2）、（2016江苏卷） 已知实数,x y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，，， 则22x y +的取值范围是 ▲ .【答案】. ⎣⎡⎦⎤45，13 思路分析 注意到x 2＋y 2表示坐标原点到平面区域内的点的距离的平方，因此，问题转化为求坐标原点到平面区域内的点的距离的最大值与最小值．作出如图所示的平面区域，则A (1,0)，B (2,3)，C (0,2)，所以当x ＝2，y ＝3时，x 2＋y 2取得最大值为13，x 2＋y 2的最小值为坐标原点到直线AC 的距离的平方，即为⎝⎛⎭⎪⎫|2|4＋12＝45，故x 2＋y 2的取值范围为⎣⎡⎦⎤45，13.二、近几年高考试卷分析1、集合部分2、复数部分3、算法部分4、概率5、统计六、线性规划1、从近五年江苏高考数学试题可以看出，集合部分高考主要以简单的送分题的形式出现，主要考察了集合的运算，即集合的子集、交集、并集以及补集2、复数每年都有考查,但都是最基本的考查. 位置一般在填空题的前4 题. 考查内容主要是复数的基本概念与四则运算,如纯虚数、实部、虚部等概念,3、算法中主要考查了伪代码和框图4、统计部分主要考查分层抽样、频率直方图，在五年中考均查过一次，但是样本的平均数与方差考查较多，这些知识点往往都是基础题，是送分题目5、概率每年都考一个题目，难度是容易题。
专题04 算法初步-十年高考(2009-)之高三数学分项与解读(江苏专版)
【考情概览】【命题规律】1程序框图中的条件分支结构及循环结构是高考对算法考查的主要内容，常与函数求值、方程求解、不等式求解、数列求和、统计量计算等问题交汇命题；给出程序框图的全部或部分，读出其功能，执行该程序框图并求输出结果及补齐框图是高考热点 .2．考题形式为填空题．【真题展示】1【2009江苏，7】右图是一个算法的流程图，最后输出的W ▲.【答案】22【解析】考查读懂算法的流程图的能力.2【2010江苏，7】下图是一个算法流程图，则输出S的值是__________．【答案】63【解析】由流程图得S＝1＋21＋22＋23＋24＋25＝1＋2＋4＋8＋16＋32＝63≥33.即S＝63.a,分别为2，3时，最后输出的m的值为. 3【2011江苏，4】根据如图所示的伪代码，当输入b【答案】34【2012江苏，4】下图是一个算法流程图，则输出的k 的值是__________．【答案】55【2013江苏，5】下图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是__________．Read a,b If a>b Thena m ←Else b m ← End Ifm【答案】3【解析】第一次循环后：a←8，n←2； 第二次循环后：a←26，n←3； 由于26＞20，跳出循环， 输出n ＝3.6【2014江苏，3】右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 .【答案】5【解析】本题实质上就是求不等式220n >的最小整数解．220n>整数解为5n ≥，因此输出的5n = 7【2015江苏高考，4】根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.【答案】7【解析】第一次循环：3,4S I ==;第二次循环：5,7S I ==;第三次循环：7,10S I ==;结束循环，输出7.S = 【考点定位】循环结构流程图8【2016江苏，6】右图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 ▲.【答案】9 【解析】【考点】循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起始条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 9【2017江苏，4】右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116,则输出的y 的值是 ▲. （第4题图）【答案】2-【解析】由题意212log 216y =+=-，故答案为－2． 【考点】循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10【2018江苏，理4】一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ▲ ．（第4题）【对症下药】循环结构的常考类型及解题思路(1)确定循环次数：分析进入或退出循环体的条件，确定循环次数．(2)完善程序框图：结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．(3)辨析循环功能：执行程序若干次，即可判断．【考题预测】1．【江苏省盐城中学2018届高三全仿真模拟检测数学试题】根据如下图所示的伪代码，当输入的值为3时，输出的值为___________.【答案】9点睛：解决算法语句有三个步骤：首先通读全部语句，把它翻译成数学问题；其次领悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行程序，解决问题．2．【江苏省苏州市2018届高三调研测试（三）数学试题】如图是一个算法的流程图，则输出的的值为__________.【答案】7点睛：（1）条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能，然后根据“是”的分支成立的条件进行判断；（2）对条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执行两个分支．3．【江苏省盐城中学2018届高三考前热身2数学试卷】执行如图所示的流程图，则输出的值为____．【答案】19.点睛：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.4．【江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题】如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是______．【答案】4点睛：考查本题考查程序框图的理解和运算．需要对程序框图进行若干次执行运算，当满足跳出循环条件时输出此时n值，属基础题5．【江苏省扬州树人学校2018届高三模拟考试（四）数学试题】运行如图所示的算法流程图，输出的的值为__________．【答案】9.【解析】分析：逐次运行程序框图中的程序可得输出结果．详解：依次运行程序框图中的程序，可得①，不满足条件，继续运行；②，不满足条件，继续运行；③，不满足条件，继续运行；④，满足条件，输出9．点睛：判断程序框图的输出结果时，一般采用的方法是依次运行框图给出的程序，逐步得到输出结果即可。
十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解1集合部分
十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解1集合部分一、选择题（共3小题；共15分）1. 设集合A=1,2，B=1,2,3，C=2,3,4，则A∩B∪C= A. 1,2,3B. 1,2,4C. 2,3,4D. 1,2,3,42. 已知全集U=Z，A=−1,0,1,2，B=x x2=x，则A∩∁U B为 A. −1,2B. −1,0C. 0,1D. 1,23. 若A，B，C为三个集合，A∪B=B∩C，则一定有 A. A⊆CB. C⊆AC. A≠CD. A=∅二、填空题（共10小题；共50分）4. 已知集合A=−1,2,3,6，B=x−2<x<3，则A∩B=．5. 已知集合A=−2,−1,3,4，B=−1,2,3，则A∩B=．6. 集合−1,0,1共有个子集．7. 已知集合A=−1,1,2,4，B=−1,0,2，则A∩B=．8. 已知集合A=1,2,4，B=2,4,6，则A∪B=．9. 设集合A=x x−12<3x+7,x∈R，则集合A∩Z中有个元素．10. 设集合A=−1,1,3，B=a+2,a2+4，A∩B=3，则实数a = ．11. 已知集合A=x log2x≤2，B=−∞,a，若A⊆B，则实数a的取值范围是c,+∞，其中c=．12. 已知集合A=1,2，B=a,a2+3．若A∩B=1，则实数a的值为．13. 设集合A=x,y m2≤x−22+y2≤m2,x,y∈R ，B=x,y2m≤x+y≤2m+ 1,x,y∈R，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是．三、解答题（共2小题；共26分）14. 设集合P n=1,2,⋯,n，n∈N∗．记f n为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆P n；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈∁Pn A，则2x∉∁PnA．（1）求f4；（2）求f n的解析式（用n表示）．15. 记U=1,2,⋯,100．对数列a n（n∈N∗）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T=t1,t2,⋯,t k，定义S T=a t1+a t2+⋯+a tk．例如：T=1,3,66时，S T=a1+a3+a66．现设a n（n∈N∗）是公比为3的等比数列，且当T=2,4时，S T=30．（1）求a n的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆1,2,⋯,k，求证：S T<a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D≥2S D．答案第一部分1. D 【解析】因为A∩B=1,2，所以A∩B∪C=1,2,3,4．2. A3. A第二部分4. −1,2【解析】由交集的定义可得A∩B=−1,2．5. −1,36. 87. −1,28. 1,2,4,69. 6【解析】集合A=x x2−5x−6<0=x−1<x<6，所以A∩Z的元素的个数为6．10. 111. 412. 113. 12,2+2【解析】因为A∩B≠∅，所以A≠∅，则m2≥m 2 ,即m≥1或m≤0;显然B≠∅．因为圆x−22+y2=m2m≠0与直线x+y=2m或x+y=2m+1有交点时，需2≤ m2≤ m ,所以2−22≤m≤2+2,①当m<0时，圆x−22+y2=m2与x+y=2m和x+y=2m+1均没有交点，且圆x−22+y2=m2在直线x+y=2m和x+y=2m+1的同侧，此时A∩B=∅；②当m=0时，点2,0不在0≤x+y≤1内，此时A∩B=∅．③当12≤m≤2+2时，圆x−22+y2=m2与直线x+y=2m或x+y=2m+1有交点，此时A∩B≠∅；④当m>2+2时，圆x−22+y2=m2与x+y=2m和x+y=2m+1均没有交点，且圆x−22+y2=m2在直线x+y=2m和x+y=2m+1的同侧，此时A∩B=∅．综上所述，满足条件的m的取值范围为12,2+2．第三部分14. （1） 当 n =4 时，P 4= 1,2,3,4 ，符合条件的集合 A 为 2 ， 1,4 ， 2,3 ， 1,3,4 ，故 f 4 =4．（2） 任取偶数 x ∈P n ，将 x 除以 2，若商仍为偶数，再除以 2⋯，经过 k 次以后，商必为奇数，此时记商为 m ，于是 x =m ⋅2k ，其中 m 为奇数，k ∈N ∗．由条件知， 若 m ∈A ，则 x ∈A ⇔k 为偶数；若 m ∉A ，则 x ∈A ⇔k 为奇数．于是 x 是否属于 A 由 m 是否属于 A 确定．设 Q n 是 P n 中所有奇数的集合，因此 f n 等于 Q n 的子集个数． 当 n 为偶数（或奇数）时，P n 中奇数的个数是 n 2（或 n +12）， 所以f n =2n ,n 为偶数,2n +1,n 为奇数.15. （1） 当 T = 2,4 时，S T =a 2+a 4=a 2+9a 2=30， 解得 a 2=3，从而 a 1=a 23=1，a n =3n−1．（2）S T ≤a 1+a 2+⋯+a k=1+3+32+⋯+3k−1=3k −12<3k =a k +1.（3） 设 A =∁C C ∩D ，B =∁D C ∩D ，则 A ∩B =∅， S C =S A +S C∩D ，S D =S B +S C∩D ，S C +S C∩D −2S D =S A −2S B ，因此原题就等价于证明 S A ≥2S B ． 由条件 S C ≥S D ，可知 S A ≥S B ．① 若 B =∅，则 S B =0，所以 S A ≥2S B ．② 若 B ≠∅，由 S A ≥S B 可知 A ≠∅．设 A 中最大元素为 l ，B 中最大元素为 m ．若 m ≥l +1，则由第（2）小题，S A <a l +1≤a m ≤S B ，矛盾． 因为 A ∩B =∅，所以 l ≠m ，所以 l ≥m +1，S B ≤a 1+a 2+⋯+a m=1+3+32+⋯+3m−1=3m −1<a m +1≤a l ≤S A , 即 S A >2S B ．综上所述，S A ≥2S B ，因此 S C +S C∩D ≥2S D ．。
十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解12算法统计排列组合二项式定理部分
十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解12算法统计排列组合二项式定理部分一、选择题（共7小题；共35分）1. 某人5次上班途中所花时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则∣x−y∣的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 42. 在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( )A. 9.4，0.484B. 9.4，0.016C. 9.5，0.04D. 9.5，0.0163. 设k=1,2,3,4,5，则(x+2)5的展开式中x k的系数不可能是( )A. 10B. 40C. 50D. 804. (√x−13x )10的展开式中含x的正整数指数幂的项数是( )A. 0B. 2C. 4D. 65. 若对于任意实数x，有x3=a0+a1(x−2)+a2(x−2)2+a3(x−2)3，则a2的值为( )A. 3B. 6C. 9D. 126. 四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为( )A. 96B. 48C. 24D. 07. 下图中有一个信号源和五个接收器，接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号．若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机的平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是( )A. 445B. 136C. 415D. 815二、填空题（共25小题；共125分）8. Read a,bIf a>b Then m←aElse m←bEnd IfPrint m根据上述伪代码，当输入a,b分别为2,3时，最后输出的m的值是．9. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有根棉花纤维的长度小于20mm．10. 某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量．现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取，，辆．11. 下图是一个算法流程图，则输出的k的值是．12. 如图是一个算法的流程图，则输出a的值是．13. 如图是一个算法流程图，则输出的n的值是．14. 如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是．15. 右图是一个算法的流程图，最后输出的W=．16. 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是．17. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．18. 抽样统计甲乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为．19. 某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2=．20. 某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为s2=．21. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取名学生．22. 抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为．23. 今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法（用数字作答）．24. 现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m,n(m≤7,n≤9)可以任意选取，则m,n都取到奇数的概率为．25. 某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有种不同选修方案．（用数字作答）26. (x2−12x )9展开式中x9的系数是．27. 如图是一个算法流程图，则输出的k的值是．28. 如图是一个算法流程图：若输入x的值为116，则输出y的值是．29. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．S←1I←1While I<8 S←S+2 I←I+3End WhilePrint S30. 某地区为了了解70∼80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查．下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表：序号(i)分组(睡眠时间)组中值(G i)频数(人数)频率(F i)1[4,5) 4.560.122[5,6) 5.5100.203[6,7) 6.5200.404[7,8)7.5100.205[8,9]8.540.08在上述统计数据中，一部分计算见算法流程图，则输出的S的值是．31. 如图是一个算法的流程图，则输出S的值是．32. 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有种．（以数字作答）三、解答题（共6小题；共78分）33. 盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X)．34. 设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=1．（1）求概率P(ξ=0)；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．35. （1）求7C63−4C74的值；（2）设 m ，n ∈N ∗，n ≥m ，求证：(m +1)C m m+(m +2)C m+1m +(m +3)C m+2m +⋯+nC n−1m +(n +1)C n m =(m +1)C n+2m+2．36. 已知集合 X ={1,2,3}，Y n ={1,2,3,⋯,n }（n ∈N ∗），设 S n ={(a,b )∣ a 整除b 或b 整除a,a ∈X,b ∈Y n }，令 f (n ) 表示集合 S n 所含元素的个数． （1）写出 f (6) 的值；（2）当 n ≥6 时，写出 f (n ) 的表达式，并用数学归纳法证明．37. 已知 a >0,n 为正整数．（1）设 y =(x −a )n ，证明 yʹ=n (x −a )n−1；（2）设 f n (x )=x n −(x −a )n ，对任意 n ≥a ，证明 f n+1′(n +1)>(n +1)f n′(n )．38. 在等式 cos2x =2cos 2x −1(x ∈R ) 的两边对 x 求导得 (cos2x )ʹ=(2cos 2x −1)ʹ ，由求导法则得 (−sin2x )⋅2=4cosx ⋅(−sinx ) ，化简得 sin2x =2sinxcosx ．（1）利用上述想法（或其他方法），结合等式 (1+x )n =C n 0+C n 1x +C n 2x 2+⋯+C n n−1x n−1+C n n x n （ x ∈R ，整数 n ≥2 ），证明： n [(1+x )n−1−1]=∑kC n k xk−1n k=2 ； （2）对于整数 n ≥3 ，求证：① ∑(−1)k kC n k n k=1=0 ；② ∑(−1)k k 2C n k n k=1=0 ；③∑1k+1C nk n k=0=2n+1−1n+1．答案第一部分1. D【解析】由已知可得，{x+y+10+11+95=10,15[(x −10)2+(y −10)2+(10−10)2+(11−10)2+(9−10)2]=2.解得 {x =12,y =8. 或 {x =8,y =12. 故 ∣x −y ∣=4．2. D3. C【解析】(x +2)5=C 50⋅x 5+C 51⋅2⋅x 4+C 52⋅22⋅x 3+C 53⋅23⋅x 2+C 54⋅24⋅x +C 55⋅25=x 5+10x 4+40x 3+80x 2+80x +32.4. B 【解析】提示：通项 T r+1=C 10r(√x)10−r(−13x )r=C 10r(−13)rx 5−3r2，r =0,1,⋯,10．当 r =0,2时，对应含 x 的正整数指数幂的项．5. B【解析】令 x −2=t ，则原式变为 (t +2)3=a 0+a 1t +a 2t 2+a 3t 3，所求 a 2 即 (t +2)3 展开式中 t 2的系数，所以 a 2=C 31⋅2=6．6. B 【解析】由题意分析，如图，先把标号为 1、2、3、4 号化工产品分别放入①、②、③、④ 4个仓库内共有 A 44=24 种放法；再把标号为 5、6、7、8 号化工产品对应按要求安全存放：（不妨把标号为 1、2、3、4 号化工产品分别放入①、②、③、④ 4 个仓库内研究）7 放入①，8 放入②，5 放入③，6 放入④；或者 6 放入①，7 放入②，8 放入③，5 放入④两种放法．综上所述：共有 A 44×2=48 种放法．7. D 【解析】左端平均分成三组的不同方法总数为C 62C 42C 22A 33=15 种，右端平均分成三组也有 15 种，故接收器所有的连接方式有 15×15=225 种．要接收器同时接收到信号，信号源与五个接收器需要串接起来，考虑信号源左边与谁相连有 C 51 种选择，信号源右边与谁相连有 C 41 种选择；再考虑左边与信号源相连的接收器右边与谁相连有 C 31 种选择，右边与信号源相连的接收器左边与谁相连有 C 21 种选择，最后左边剩下两个接线点，右边剩下两个接线点直接相连．从而得到使得五个接收器能同时接收到信号的连接方式有 C 51C 41C 31C 21=120 种．故所求概率 P =120225=815．第二部分 8. 3【解析】该代码的作用是求两个数中的最大值． 9. 3010. 6，30，10 11. 5 12. 9【解析】第一次循环：a =5，b =7；第二次循环：a =9，b =5．因为 9>5，所以结束循环，则输出 a =9． 13. 5 14. 3 15. 22【解析】执行第一次 T =1，S =1 ，执行第二次 T =3，S =8 ，执行第三次 T =5，S =17>10 ，此时输出 W =S +T =17+5=22 ． 16. 0.1【解析】x =5.1，s 2=15(0.42+0.32+02+0.32+0.42)=0.1．17. 18 18. 2【解析】易知平均值是 90，乙的方差较小，s 2=15×[(89−90)2+(90−90)2+(91−90)2+(88−90)2+(92−90)2]=2． 19. 16520. 0.4 21. 15 22. 2 23. 1260【解析】先排序后除序，即 9!2!3!4!=1260 ． 24. 206325. 75【解析】分为两种情况：第一种，若从 A 、B 、C 三门中选一门，有 C 31C 63=60 种； 第二种，若从其他六门中选 4 门，有 C 64=15 种，所以，根据分类加法计数原理，得到共有 60+15=75 种不同的方法． 26. −212【解析】提示：C 93(−12)3．27. 5【解析】当 k =1 时，k 2−5k +4=0，不满足条件，k =1+1=2，继续执行循环体； 当 k =2 时，k 2−5k +4=−2，不满足条件，k =2+1=3，继续执行循环体； 当 k =3 时，k 2−5k +4=−2，不满足条件，k =3+1=4，继续执行循环体；当 k =4 时，k 2−5k +4=0，不满足条件，k =4+1=5，继续执行循环体； 当 k =5 时，k 2−5k +4=4，此时满足条件，跳出循环体，输出的 k 的值为 5． 28. −2 29. 7 30. 6.42【解析】S =4.5×0.12+5.5×0.20+6.5×0.40+7.5×0.20+8.5×0.08=6.42． 31. 63 32. 120【解析】记颜色为 A,B,C,D 四色，先栽 1,2,3 三个区域，有 A 43 种不同的栽法，不妨设 1,2,3 已分别栽 A,B,C 三种颜色，而 4,5,6 三个区域共有 5 种栽法，所以根据分步计数原理，不同栽种方法有 5A 43=120． 第三部分33. （1） 一次取 2 个球共有 C 92=36 种可能情况，2 个球颜色相同共有 C 42+C 32+C 22=10 种可能情况，所以取出的 2 个球颜色相同的概率 P =1036=518．（2） X 的所有可能取值为 4，3，2，则 P (X =4)=C 44C 94=1126， P (X =3)=C 43C 51+C 33C 61C 94=1363，P (X =2)=1−P (X =3)−P (X =4)=1114， 所以 X 的概率分布列为X 234P111413631126故 X 的数学期望为E (X )=2×1114+3×1363+4×1126=209.34. （1） 若两条棱相交，则交点必为正方体 8 个顶点中的 1 个，过任意 1 个顶点恰有 3 条棱，所以共有 8C 32对相交棱，因此P (ξ=0)=8C 32C 122=8×366=411.（2） 若两条棱平行，则它们的距离为 1 或 √2，其中距离为 √2 的共有 6 对，故P(ξ=√2)=6C 122=111,于是P (ξ=1)=1−P (ξ=0)−P(ξ=√2)=1−411−111=611, 所以随机变量 ξ 的分布列是ξ01√2P (ξ)411611111因此E (ξ)=1×611+√2×111=6+√211.35. （1） 7C 63−4C 74=7×20−4×35=0．（2） 对任意的 m ∈N ∗，① 当 n =m 时，左边 =(m +1)C m m=m +1，右边 =(m +1)C m+2m+2=m +1，所以等式成立．② 假设 n =k (k ≥m ) 时，命题成立，即(m +1)C m m +(m +2)C m+1m +(m +3)C m+2m +⋯+kC k−1m +(k +1)C k m =(m +1)C k+2m+2．当 n =k +1 时，左边=(m +1)C m m +(m +2)C m+1m +(m +3)C m+2m +⋯+kC k−1m +(k +1)C k m +(k +2)C k+1m =(m +1)C k+2m+2+(k +2)C k+1m, 右边 =(m +1)C k+3m+2．而(m +1)C k+3m+2−(m +1)C k+2m+2=(m +1)[(k+3)!(m+2)!(k−m+1)!−(k+2)!(m+2)!(k−m )!]=(m +1)×(k+2)!(m+2)!(k−m+1)![k +3−(k −m +1)]=(k +2)(k+1)!m!(k−m+1)!=(k +2)C k+1m.所以 (m +1)C k+2m+2+(k +2)C k+1m =(m +1)C k+3m+2，即左边 = 右边，因此 n =k +1 时命题也成立，综合①②可得命题对任意的 n ≥m 均成立．另解：因为 (k +1)C k m =(m +1)C k+1m+1，左边=(m +1)C m+1m+1+(m +1)C m+2m+1+⋯+(m +1)C n+1m+1=(m +1)(C m+1m+1+C m+2m+1+⋯+C n+1m+1). 又由 C n k =C n−1k +C n−1k−1，知C n+2m+2=C n+1m+2+C n+1m+1=C n m+2+C n m+1+C n+1m+1=⋯=C m+2m+2+C m+2m+1+⋯+C n+1m+1=C m+1m+1+C m+2m+1+⋯+C n+1m+1.所以，左边 = 右边．36. （1） Y 6={1,2,3,4,5,6}，S 6 中的元素 (a,b ) 满足：若 a =1，则 b =1,2,3,4,5,6；若 a =2，则 b =1,2,4,6；若 a =3，则 b =1,3,6． 所以 f (6)=13． （2） 当 n ≥6 时，f (n )={n +2+(n 2+n3),n =6t,n +2+(n−12+n−13),n =6t +1,n +2+(n 2+n−23),n =6t +2,n +2+(n−12+n3),n =6t +3,n +2+(n 2+n−13),n =6t +4,n +2+(n−12+n−23),n =6t +5,(t ∈N ∗)．下面用数学归纳法证明：① 当 n =6 时，f (6)=6+2+62+63=13，结论成立．② 假设 n =k (k ≥6) 时结论成立，那么 n =k +1 时，S k+1 在 S k 的基础上所增加的元素在 (1,k +1)，(2,k +1)，(3,k +1) 中产生，分以下情形讨论：a ．若 k +1=6t ，则 k =6(t −1)+5，此时有 f (k +1)=f (k )+3=k +2+k−12+k−23+3=(k +1)+2+k+12+k+13，结论成立；b ．若 k +1=6t +1，则 k =6t ，此时有 f (k +1)=f (k )+1=k +2+k2+k 3+1=(k +1)+2+(k+1)−12+(k+1)−13，结论成立；c ．若 k +1=6t +2，则 k =6t +1，此时有 f (k +1)=f (k )+2=k +2+k−12+k−13+2=(k +1)+2+k+12+(k+1)−23，结论成立；d ．若 k +1=6t +3，则 k =6t +2，此时有 f (k +1)=f (k )+2=k +2+k2+k−23+2=(k +1)+2+(k+1)−12+k+13，结论成立；e ．若 k +1=6t +4，则 k =6t +3，此时有f (k +1)=f (k )+2=k +2+k−12+k3+2=(k +1)+2+k+12+(k+1)−13，结论成立；f ．若 k +1=6t +5，则 k =6t +4，此时有 f (k +1)=f (k )+1=k +2+k2+k−13+1=(k +1)+2+(k+1)−12+(k+1)−23，结论成立．综上所述，结论对满足 n ≥6 的自然数 n 均成立．37. （1） 因为 (x −a )n =∑C n k n k=0 (−a )n−k x k，所以 yʹ=∑kC n k nk=0(−a )n−k x k−1=∑nC n−1k−1nk=0(−a )n−k x k−1=n (x −a)n−1.（2） 对函数 f n (x )=x n −(x −a )n 求导数：f n ʹ(x )=nx n−1−n (x −a )n−1， 所以 f n ʹ(n )=n [n n−1−(n −a )n−1]． 当 x ≥a >0 时，f n ′(x )>0．∴ 当 x ≥a 时，f n (x )=x n −(x −a )n 是关于 x 的增函数．因此，当 n ≥a 时，(n +1)n−(n +1−a )n >n n −(n −a )n ．所以f n+1′(n +1)=(n +1)[(n +1)n −(n +1−a )n ]>(n +1)(n n −(n −a )n )>(n +1)[n n −n (n −a )n−1]=(n +1)f n′(n ).即对任意 n ≥a ，f n+1ʹ(n +1)>(n +1)f n′(n )． 38. （1） 在等式 (1+x )n =C n 0+C n 1x +C n 2x 2+⋯+C n n−1x n−1+C n n x n两边对 x 求导，得n (1+x )n−1=C n 1+2C n 2x +⋯+(n −1)C n n−1x n−2+nC n n x n−1.移项得n [(1+x )n−1−1]=∑kC n k xk−1nk=2. (∗)（2） ①在 (∗) 式中，令 x =−1 ，整理得∑(−1)k kC n k nk=1=0.②由（1）知 n (1+x )n−1=C n 1+2C n 2x +⋯+(n −1)C n n−1x n−2+nC n n x n−1， n ≥3 ．两边对 x 求导，得n (n −1)(1+x )n−2=2C n 2+3⋅2C n 3x +⋯+n (n −1)C n n x n−2.在上式中，令 x =−1 ，得2C n 2+3⋅2C n 3(−1)+⋯+n (n −1)C n n (−1)n−2=0,即∑k (k −1)C n k nk=1(−1)k−2=0, 亦即∑(−1)k (k 2−k )C n k nk=1=0.又由①知 ∑(−1)k kC n kn k=1=0 ，上面两式相加，得∑(−1)k k 2C n k nk=1=0.③将等式 (1+x )n =C n 0+C n 1x +C n 2x 2+⋯+C n n−1x n−1+C n n x n 两边在 [0,1] 上对 x 积分，得∫(1+x )n 1dx =∫(C n 0+C n 1x +C n 2x 2+⋯+C n n−1x n−1+C n n x n )1dx, 由微积分基本定理，得1n +1(1+x )n+1∣∣∣01=(∑C n k k +1nk=0x k+1)∣∣∣∣01, 故∑1k+1C n knk=0=2n+1−1n+1.。
2019-2020年高考数学江苏版1轮复习课件：第9章 概率、统计与算法 3 第3讲 算法初步
[解析] 循环语句，i 为计数变量，i 可取 1，3，5，7，9，故 S＝1＋3＋5＋7＋9＝25.
必明辨的 2 个易错点 (1)易忽视循环结构中必有条件结构，其作用是控制循环进 程． (2)易混淆当型循环与直到型循环．
1．(2016·高考江苏卷)如图是一个算法的流程图，则输出的 a 的值是____9______．
【解析】 从算法流程图可知，该图是统计成绩大于或等于 90 分的考试次数．从茎叶图可知输出的结果为 10.
执行如图所示的流程图，如果输入的 x，y∈R，那么 输出的 S 的最大值为____2______．
【解析】 当条件 x≥0，y≥0，x＋y≤1 不成立时输出 S 的 值为 1，当条件 x≥0，y≥0，x＋y≤1 成立时 S＝2x＋y，下面用线性规划的 方法求此时 S 的最大值．作出不等式
(3)条件语句 条件语句的一般形式是 ___I_f ___ A __T_h_e_n___
B __E__ls_e __
C __E_nd___If_
(4)循环语句 ①当型循环 (ⅰ)While 循环 当循环次数不能确定时，可用“While”语句来实现循环． “While”语句的一般形式为：
While p 循环体
【解析】 通过阅读题目和所给数据可知试验了 1 000 次．M 代表落在圆内的点的个数，根据几何概型，π4＝1 M000，对应 的圆周率 π 为 P＝140M00.
解决算法的交汇性问题的方法 (1)读懂流程图、明确交汇知识； (2)根据给出问题与流程图处理问题； (3)注意框图中结构的判断．
(2018·邢台摸底考试)阅读如图所示的流程 图，输出的 s 的值为____0______．
[解析] 该流程图循环 2 次，第 1 次，a＝5，b＝7；第 2 次， a＝9，b＝5，结束循环，故输出的 a 的值为 9.
2009年江苏高考数学试卷及答案
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为 元和 元，甲买进A与卖出B的综合满意度为 ，乙卖出A与买进B的综合满意度为
解：因为 所以
故曲线C的普通方程为： .
D.选修4 - 5：不等式选讲
设 ≥ ＞0,求证： ≥ .
[解析]本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。满分10分。
证明：
因为 ≥ ＞0,所以 ≥0， ＞0，从而 ≥0，
即 ≥ .
[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9.在平面直角坐标系 中，点P在曲线 上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________.
10.已知 ，函数 ，若实数 满足 ，则 的大小关系为_______
.
11.已知集合 ， ，若 则实数 的取值范围是 ，其中 ________.
12.设 和 为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 平行于 ；（2）若 外一条直线 与 内的一条直线平行，则 和 平行；（3）设 和 相交于直线 ，若 内有一条直线垂直于 ，则 和 垂直；（4）直线 与 垂直的充分必要条件是 与 内的两条直线垂直.
18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系 中，已知圆 和圆
专题03 统计初步-十年高考(2009-)之高三数学分项与解读(江苏专版)
专题03 统计初步【考情概览】【命题规律】1.考查的是总体特征数的估计，系统抽样和分层抽样、频率分布直方图、方差等，重点考查方差的计算，属于简单题.强化相关计算能力. 3．考题形式为填空题．【真题展示】1. 【2009江苏，6】某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个为2s = ▲ .【答案】5【解析】 考查统计中的平均值与方差的运算. 甲班的方差较小，数据的平均值为7，故方差222222(67)00(87)0255s -+++-+==. 2. 【2010江苏，4】某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，有__________根棉花纤维的长度小于20 mm.【答案】30【解析】由频率分布直方图观察得棉花纤维长度小于20 mm 的根数为(0.01＋0.01＋0.04)×5×100＝30(根)．3【2011江苏，6】某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10，6，8，5，6，则该组数据的方差 2s . 【答案】2.34【2012江苏，2】某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取__________名学生． 【答案】15【解析】根据分层抽样的特点，可得高二年级学生人数占学生总人数的310，因此在样本中，高二年级的学生所占比例也应该为310，故应从高二年级抽取50×310＝15(名)学生．. 5【2013江苏，6】抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙8990918892【答案】26【2014江苏，6】某种树木的底部周长的取值范围是[]90,130，它的频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株树木的底部周长小于100 cm..【答案】24【解析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.0150.025)106024+⨯⨯=． 7【2015江苏高考，2】已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________. 【答案】6 【解析】46587666x +++++==【考点定位】平均数8【2016江苏，4】已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 ▲ 【答案】0.1 【解析】 试题分析：这组数据的平均数为1(4.7 4.8 5.1 5.4 5.5) 5.15⨯++++=，2222221(4.7 5.1)(4.8 5.1)(5.1 5.1)(5.4 5.1)(5.5 5.1)0.15s ⎡⎤∴=⨯-+-+-+-+-=⎣⎦．故答案应填：0.1 【考点】方差9【2017江苏，3】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件. 【答案】18【解析】所求人数为300601810000⨯=，故答案为18．【考点】分层抽样10【2018江苏，理3】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ▲ ．点睛：12,,,n x x x 的平均数为12nx x x n+++.【对症下药】(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据．可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可求出其他数据．(2)已知频率分布直方图，求某种范围内的数据，可利用图形及已知范围结合求解．（3）平均数和方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的阐述．平均数、中位数、众数描述总体的集中趋势，方差和标准差描述波动大小．【考题预测】1．【江苏省盐城中学2018届高三全仿真模拟检测数学试题】有100件产品编号从00到99，用系统抽样方法从中抽取5件产品进行检验，分组后每组按照相同的间隔抽取产品，若第5组抽取的产品编号为91，则第2组抽取的产品编号为___________. 【答案】31【解析】分析：根据系统抽样原理的抽样间隔相等，求出第1组抽取的数据，再求第2组抽取的产品编号.点睛：（1）系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大．（2）使用系统抽样时，若总体容量不能被样本容量整除，可以先从总体中随机地剔除几个个体，从而确定分段间隔．（3）起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定．2．【江苏省苏州市2018届高三调研测试（三）数学试题】从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在 50 度到 350 度之间，频率分布直方图如图所示．则在这些用户中，用电量落在区间内的户数为__________.【答案】22【解析】分析：由频率分布直方图先求出用电量落在区间内的频率，由此能求出用电量落在区间内的户数.解析：由频率分布直方图得：用电量落在区间内的频率为：1-（0.0024+0.0036+0.0024+0.0012）50=0.22，用电量落在区间内的户数为：1000.22=22.故答案为：22.点睛：明确频率分布直方图的意义，即图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1.3．【江苏省盐城中学2018届高三考前热身2数学试卷】某中学有高中生3500人，初中生1500人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取70人，则为____．【答案】100.点睛：本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样方法的特征是关键．分层抽样适用于总体内的个体间有明显差异，将特性相同的分为一类.4．【江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题】某公司生产甲、乙、丙三种不同型号的轿车，产量分别为1400辆、5600辆、2000辆．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取45辆进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取______件．【答案】10【解析】分析：根据题意求出抽样比例，再计算应从丙种型号的产品中抽取的样本数据．详解：抽样比例是，故应从丙种型号的产品中抽取故答案为：10．点睛：本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题．5．【江苏省海门中学2018届高三5月考试（最后一卷）数学试题】已知样本数据的均值=5，则样本数据的均值为______.【答案】16【解析】分析：由题意结合均值的性质计算均值即可.详解：由题意结合均值的性质可知：样本数据的均值为.点睛：本题主要考查均值的性质及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．【江苏省扬州树人学校2018届高三模拟考试（四）数学试题】为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间的一等品，在区间和的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为__________．【答案】100.点睛：频率分布直方图的纵坐标为，因此每一个小矩形的面积表示样本个体落在该区间内的频率，把小矩形的高视为频率时常犯的错误．7．【江苏省南京市2018届高三第三次模拟考试数学试题】某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在元的学生人数为_________．【答案】点睛：本题考查频率分布直方图的应用，考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.8．【江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研（二）】一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如右图所示，则这五人成绩的方差为____．【答案】.【解析】分析:先计算出数据的平均数,再求数据的方差得解.详解：由题得所以成绩的方差为故答案为：20.8点睛：本题主要考查茎叶图和数据方差的计算，意在考查统计的基础知识的掌握能力.9．【江苏省2018年高考冲刺预测卷一数学】已知某高级中学，高一、高二、高三学生人数分别为880、860、820，现用分层抽样方法从该校抽调128人，则在高二年级中抽调的人数为__________．【答案】43【解析】由题意可知，在高二年级中抽调的人数为10．【江西省抚州市临川区第一中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学（文）试题】已知一组数据分别是，若这组数据的平均数、中位数、众数成等差数列，则数据的所有可能值为__________．【答案】-11或3或17点睛：本题考查众数，中位数，平均数，考查等差数列的性质，考查未知数的分类讨论，是一个综合题目，这是一个易错题目．在求数列的中位数时，必须分类讨论,不能不分类讨论.。
历年(2019-2023)高考数学真题专项(概率与统计选择题及填空题)汇编(附答案)
历年（2019-2023）高考数学真题专项（概率与统计选择题及填空题）汇编考点01：排列组合与二项式定理一选择题：1．(2023年新课标全国Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)． 2．(2020年高考课标Ⅱ卷理科)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．二、填空题1．(2023年天津卷)在6312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为_________． 2．(2021年高考浙江卷·)已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =___________，234a a a ++=___________3．(2020年高考课标Ⅲ卷理科)262()x x+的展开式中常数项是__________(用数字作答)．4．(2020年浙江省高考数学试卷)设()2345125345612 x a a x a x a x a x a x +=+++++，则a 5=________；a 1+a 2 +a 3=________．5．(2022新高考全国I 卷·)81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中26x y 的系数为________________(用数字作答)． 6．(2021高考天津)在6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，6x 的系数是__________．7．(2021高考北京)在341()x x-的展开式中，常数项为__________．8．(2020天津高考)在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________．9．(2019·浙江·)在二项式9)x +的展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是 ．10．(2019·天津·理·)83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为 ．.的考点02 事件概率1．(2023年天津卷)甲乙丙三个盒子中装有一定数量黑球和白球，其总数之比为5:4:6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．2．(2022年高考全国甲卷数学(理)·)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．3．(2022年高考全国乙卷数学(理))从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．4．(2021高考天津·)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．5．(2020天津高考·)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．6．(2020江苏高考·)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____．7．(2019·上海·)某三位数密码锁，每位数字在90-数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是_______.8．(2019·江苏·第6题)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 .考点03 随机事件分布列1．(2020年浙江省高考数学试卷)一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______；()E ξ=______．的2．(2022年浙江省高考数学试题)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则(2)P ξ==__________，()E ξ=_________．3．(2019·全国Ⅰ·理·)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主” ．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是 ．4．(2021年高考浙江卷)袋中有4个红球m 个黄球，n 个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则m n -=___________，()E ξ=___________．5．(2022新高考全国II 卷)．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且(2 2.5)0.36P X <≤=，则( 2.5)P X >=____________．参考答案考点01：排列组合与二项式定理一选择题：1．(2023年新课标全国Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)． 【答案】64【答案解析】：(1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有144116C C =种； (2)当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有1244C C 24=种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有2144C C 24=种； 综上所述：不同的选课方案共有16242464++=种． 故答案为：64．2．(2020年高考课标Ⅱ卷理科)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种． 【答案】36【答案解析】： 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学∴先取2名同学看作一组，选法有：246C = 现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A = 根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636⨯=种 故答案为：36． 二、填空题1．(2023年天津卷)在6312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为_________．【答案】60【答案解析】：展开式的通项公式()()6361841661C 212C kkk kk kk k T x x x ---+⎛⎫=-=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭， 令1842k -=可得，4k =，则2x 项的系数为()4644612C 41560--⨯⨯=⨯=．故答案为：60．2．(2021年高考浙江卷·)已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =___________，234a a a ++=___________.【答案】(1)． 5; (2)． 10．【答案解析】:332(1)331x x x x -=-+-， 4432(1)4641x x x x x +=++++，所以12145,363a a =+==-+=，34347,110a a =+==-+=，所以23410a a a ++=故答案为5,10．3．(2020年高考课标Ⅲ卷理科)262()x x+的展开式中常数项是__________(用数字作答)．【答案】240【答案解析】： 622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭其二项式展开通项： ()62612rrrr C xx T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭=1226(2)r rr r xC x --⋅=⋅ 1236(2)r r r C x -=⋅当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=．故答案为：240．【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握()na b +的展开通项公式1C rn rr r n T ab -+=，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．4．(2020年浙江省高考数学试卷)设()2345125345612 x a a x a x a x a x a x +=+++++，则a 5=________；a 1+a 2 +a 3=________．【答案】(1)．80 (2)．122【答案解析】：5(12)x +的通项为155(2)2rr r r r r T C x C x +==，令4r =，则444455280T C x x ==，580a ∴=；113355135555222122a a a C C C ∴++=++=5．(2022新高考全国I 卷·)81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中26x y 的系数为________________(用数字作答)． 【答案】‐28【答案解析】：因为()()()8881=y y x y x y x y x x⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭， 所以()81y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中含26x y 的项为6265352688C 28y x y C x y x y x-=-， ()81y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为‐28故答案为：‐28 6．(2021高考天津)在6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，6x 的系数是__________．【答案】160.的【答案解析】：6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()636184166122rrrr r r r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭， 令1846r -=，解得3r =， 所以6x 的系数是3362160C =．故答案：160．7．(2021高考北京)在341()x x-的展开式中，常数项为__________．【答案】4- 【答案解析】：的展开式的通项令1240r -=，解得， 故常数项为．8．(2020天津高考)在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________．【答案】10【答案解析】因为522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()5531552220,1,2,3,4,5rr r rr r r T C x C x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，令532r -=，解得1r =．所以2x 的系数为15210C ⨯=．故答案为：10．9．(2019·浙江·)在二项式9)x +的展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是 ．【答案】，5【答案解析】9)x展开式的通项为919(0,1,2,,9)r r r r T C x r -+== ，当0r =时，可得二项式9)x +展开式的常数项是0919T C =．若系数为有理数，则(9)r -为偶数即可，故r 可取1,3,4,5,7,9，即246810,,,,T T T T T 共5项．10．(2019·天津·理·)83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为 ．【答案】28【答案解析】：83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为2268311(2)286428864C x x ⎛⎫⋅⋅-=⨯⨯= ⎪⎝⎭． 考点02 事件概率1．(2023年天津卷)甲乙丙三个盒子中装有一定数量黑球和白球，其总数之比为5:4:6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．为的【答案】①． 0.05 ②．35##0.6 【答案解析】：设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5,4,6n n n ，所以总数为15n ， 所以甲盒中黑球个数为40%52n n ⨯=，白球个数为3n ； 甲盒中黑球个数为25%4n n ⨯=，白球个数为3n ； 甲盒中黑球个数为50%63n n ⨯=，白球个数为3n ；记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A ，所以，()0.40.250.50.05P A =⨯⨯=；记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件B ， 黑球总共有236n n n n ++=个，白球共有9n 个， 所以，()93155n P B n ==．故答案为：0.05；35． 2．(2022年高考全国甲卷数学(理)·)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________． 【答案】635． 【答案解析】从正方体的8个顶点中任取4个，有48C 70n ==个结果，这4个点在同一个平面的有6612m =+=个，故所求概率1267035m P n ===．故答案为：635．3．(2022年高考全国乙卷数学(理))从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．【答案】310【答案解析】：从5名同学中随机选3名的方法数为35C 10= 甲、乙都入选的方法数为13C 3=，所以甲、乙都入选的概率310P = 故答案为：3104．(2021高考天津·)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________． 【答案】①．23 ②． 2027【答案解析】：由题可得一次活动中，甲获胜的概率为564253⨯=； 则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为23232122033327C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：23；2027．5．(2020天津高考·)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 【答案】 (1)．16 (2)． 23【答案解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为11,23，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子概率为111236⨯=，甲、乙两球都不落入盒子的概率为111(1(1)233-⨯-=，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为23．故答案为：16；23．6．(2020江苏高考·)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____． 【答案】19【答案解析】根据题意可得基本事件数总为6636⨯=个． 点数和为5的基本事件有()1,4，()4,1，()2,3，()3,2共4个． ∴出现向上的点数和为5的概率为41369P ==．故答案为：19．7．(2019·上海·)某三位数密码锁，每位数字在90-数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是_______.【答案】27100【答案解析】法一：100271031923110=⋅⋅=C C C P (分子含义：选相同数字×选位置×选第三个数字) 法二：100271013310110=+-=P C P (分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同) 8．(2019·江苏·第6题)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 . 【答案】710的【答案解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中不含女生的方法有3种，因此所求概率为371=1010－．考点03 随机事件分布列1．(2020年浙江省高考数学试卷)一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______；()E ξ=______． 【答案】(1)．13(2)． 1 【答案解析】：因为0ξ=对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球， 所以1111(0)4433P ξ==+⨯=， 随机变量0,1,2ξ=，212111211(1)434324323P ξ==⨯+⨯⨯+⨯⨯=，111(2)1333P ξ==--=，所以111()0121333E ξ=⨯+⨯+⨯=．2．(2022年浙江省高考数学试题)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则(2)P ξ==__________，()E ξ=_________． 【答案】 ①．1635， ②． 127##517【答案解析】:从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有37C 种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有112424C C C +种，所以11242437C C C 16(2)C 35P ξ+===，由已知可得ξ的取值有1，2，3，4，2637C 15(1)C 35P ξ===，16(2)35P ξ==，，()()233377C 31134C 35C 35P P ξξ======所以15163112()1234353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=,故答案为：1635，127．3．(2019·全国Ⅰ·理·)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主” ．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是 ．【答案】0.18 【答案解析】：因为甲队以4：1获胜，故一共进行5场比赛，且第5场为甲胜，前面4场比赛甲输一场，若第1场或第2场输1场，则12120.60.40.50.60.072P C =⨯⨯⨯⨯=， 若第3场或第4场输1场，则21220.60.50.50.60.108P C =⨯⨯⨯⨯=，所以甲以4：1获胜的概率是120.18P P +=．4．(2021年高考浙江卷)袋中有4个红球m 个黄球，n 个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则m n -=___________，()E ξ=___________．【答案】 (1)． 1 (2)． 89【答案解析】:2244224461(2)366m n m n m n C P C C C ξ++++++====⇒=，所以49m n ++=， ()P 一红一黄114244133693m m n C C m m m C ++⋅====⇒=, 所以2n =, 则1m n -=． 由于11245522991455105(2),(1),(0)63693618C C C P P P C C ξξξ⋅⨯========== 155158()2106918399E ξ∴=⨯+⨯+⨯=+=．故答案为1；89．5．(2022新高考全国II 卷)．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且(2 2.5)0.36P X <≤=，则( 2.5)P X >=____________．【答案】0.14 【答案解析】 因为()22,X N σ ，所以()()220.5P X P X <=>=，因此()()()2.522 2.50.50.360.14P X P X P X >=>-<≤=-=． 故答案为：0.14．。
十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解9复数部分
十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解9复数部分
一、填空题（共9小题；共45分）
1. 复数z=1+2i3−i，其中i为虚数单位，则z的实部是．
2. 若复数z1=4+29i，z2=6+9i，其中i是虚数单位，则复数z1−z2i的实部为．
3. 已知复数z=5+2i2（i为虚数单位），则z的实部为．
4. 设z＝2−i2（i为虚数单位），则复数z的模为．
表示为a+b i（a,b∈R,i是虚数单位）的形式，则a+b=．
5. 若将复数1+i
1−i
6. 设z=2−i2（i为虚数单位），则复数z的模为．
7. 设复数z满足z2−3i=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为．
8. 设复数z满足i z+1=−3+2i（i是虚数单位），则z的实部是．
9. 已知复数z=1+i1+2i，其中i是虚数单位，则z的模是．
答案
第一部分
1. 5
【解析】由复数的乘法，得z=5+5i，则z的实部是5．
2. −20
3. 21
4. 5
【解析】因为z=3−4i，所以∣z∣=32+−42=5．5. 1
【解析】因为1+i
1−i =1+i1+i
1−i1+i
=2i
2
=0+i．
所以a=0，b=1，a+b=1．
6. 5
7. 2
8. 1
9.。
专题06 概率-十年高考(2009-)之高三数学分项与解读(江苏专版)
【考情概览】【命题规律】古典概型主要考查实际背景的等可能事件，通常与互斥事件、对立事件等知识相结合进行考查. 几何概型主要考查事件发生的概率与构成事件区域的长度、角度、面积、体积有关的实际问题，注重考查数形结合思想和逻辑思维能力.【真题展示】【2009江苏，5】现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为▲ .【答案】0.2【2010江苏，3】盒子中共有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是__________．【答案】1 2【解析】基本事件总数为C24＝6种情况，其中颜色不同共有C13×1＝3种情况，所以所求概率为36＝12.【2011江苏，5】从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数3的两倍的概率是 . 【答案】31【解析】本题考查了概率的概念和古典概型的概率计算，是B 级要求，容易题.由题意得取出的两个数为：1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4共六种基本情况，则其中一个数是另一个数的两倍的为1和2及2和4两种，所以所求的概率为3162=.要熟知概率的概念和古典概型及几何概型的特征及计算方法. 【2012江苏，6】现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是__________． 【答案】35【解析】由题意可知，这10个数分别为1，－3,9，－27,81，－35，36，－37,38，－39，在这10个数中，比8小的有5个负数和1个正数，故由古典概型的概率公式得所求概率63105P ==. 【2013江苏，7】现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为__________． 【答案】2063【2014江苏，4】从1,2,3,6这四个数中一次随机地取2个数，则所取两个数的乘积为6的概率为 . 【答案】13【解析】从1,2,3,6这4个数中任取2个数共有246C =种取法，其中乘积为6的有1,6和2,3两种取法，因此所求概率为2163P ==． 【2015江苏高考，5】袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.【答案】5.6【解析】从4只球中一次随机摸出2只，共有6种摸法，其中两只球颜色相同的只有1种，不同的共有5种，所以其概率为5 . 6【考点定位】古典概型概率【2016江苏，7】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是▲ .【答案】5 6【解析】基本事件总数为36，点数之和小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为305. 366=【考点】古典概型【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率的考查，属于简单题.江苏对古典概型概率的考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往利用对立事件的概率公式进行求解.【2017江苏，7】记函数()f x D.在区间[4,5]-上随机取一个数x,则x D∈的概率是▲ .【答案】5 9【考点】几何概型概率【名师点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．【2018江苏，理6】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为▲ ．分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.【对症下药】1.求古典概型概率的基本步骤 (1)算出所有基本事件的个数n .(2)算出事件A 包含的所有基本事件的个数m . (3)代入公式P (A )＝mn，求出P (A )． 2.在几何概型中，事件A 的概率的计算公式P (A )＝__构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积__.3.几种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关．(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题； (3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．【考题预测】1．【江苏省盐城中学2018届高三全仿真模拟检测数学试题】一只口袋内装有大小相同的4只球，其中2只黑球，2只白球，从中一次随机摸出2只球，恰有1只黑球的概率是___________. 【答案】点睛：求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择．2．【江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题】小明随机播放A，B，C，D，E 五首歌曲中的两首，则A，B 两首歌曲至少有一首被播放的概率是______．【答案】【解析】分析：先求出基本事件总数，A、B,2首歌曲至少有1首被播放的对立事件是A、B 2首歌曲都没有被播放，由此能求出A、B ,2首歌曲至少有1首被播放的概率．详解：小明随机播放A，B，C，D，E 五首歌曲中的两首，基本事件总数，A、B 2首歌曲都没有被播放的概率为：，故A，B 两首歌曲至少有一首被播放的概率是1-，故答案为点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．3．【江苏省扬州树人学校2018届高三模拟考试（四）数学试题】书架上有5本书，其中语文书2本，数学书3本，从中任意取出2本，则取出的两本书都是数学书的概率为__________．【答案】.【解析】分析：列举可得从5本书中任取2本书的所有可能结果和取出的两本书都是数学书的所有结果，然后根据古典概型概率公式求解．详解：设两本语文你书分别为，三本书学书分别为由题意得从从5本书中任取2本书的所有可能结果为，共10种．其中取出的两本书都是数学书的结果为，共3种．由古典概型概率公式可得所求概率为．点睛：解答古典概型概率问题的关键是正确得到基本事件的所有情况和所求概率的事件包含的基本事件的个数，常用的方法有列举法、树状图法和列表法，然后根据公式求解．4．【江苏省南京市2018届高三第三次模拟考试数学试题】已知三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么与在相邻两天值班的概率为_________．【答案】点睛：（1）本题主要考查排列组合的知识，考查古典概型，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)相邻的问题一般利用捆绑法，先把A和B捆绑在一起，有种捆法，再把捆绑在一起的A和B看成一个整体，和第三个人排列有种排法，共有=4种方法.5．【江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研（二）数学试题】欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是____．【答案】.点睛：本题主要考查几何概型的概率公式，意在考查概率的基础知识的掌握能力及基本的运算能力. 6．【江苏省无锡市2018届高三第一学期期末检测数学试卷】已知，直线，，则直线的概率为_________．【答案】【解析】由已知，若直线 与直线 垂直，则，使直线的，故直线的概率7．【江苏省南通、徐州、扬州等六市2018届高三第二次调研（二模）测试数学（文理）试题】在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm 2的概率为____． 【答案】13【解析】设AC x =，则12BC x =-，矩形的面积为()21212S AC BC x x x x =⨯=-=-.∵21232x x ->∴48x <<由几何概率的求解公式可得：该矩形的面积大于232cm 的概率为841123P -==. 故答案为13. 点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，要考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性，基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的的区域是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.8．【江苏省淮安市等四市2018届高三上学期第一次模拟数学试题】连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为____． 【答案】9．【2018年5月2018届高三第三次全国大联考（江苏卷）-数学】已知集合,．在集合中随机取一个数,则的概率是___________．【答案】【解析】由题意知集合表示函数的定义域,由,解得,即；集合表示该函数的值域,则由,得．根据几何概型的概率计算原理,得的概率是．10．【2018年4月2018届高三第二次全国大联考（江苏卷）-数学】在区间内任取两个数分别记为,则函数至少有一个零点的概率为___________.【答案】。
高考数学复数-集合-概率与统计专题讲解(含答案)
《复数》专项练习参考答案1．（2016全国Ⅰ卷，文2，5分）设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( )（A ）−3 （B ）−2 （C ）2 （D ）3 【答案】A【解析】(12i)(i)2(12)i a a a ++=-++，由已知，得a a 212+=-，解得3-=a ，选A ．2．（2016全国Ⅰ卷，理2，5分）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +( )（A ）1 （B （C （D ）2【答案】B【解析】因为(1i)=1+i,x y +所以i=1+i,=1,1,|i |=|1+i |x x y x y x x y +==+=所以故故选B ．3．（2016全国Ⅱ卷，文2，5分）设复数z 满足i 3i z +=-，则z ＝( ) （A ）12i -+ （B ）12i - （C ）32i + （D ）32i - 【答案】C【解析】由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，故选C ． 4．（2016全国Ⅱ卷，理1，5分）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )（A ）(31)-， （B ）(13)-， （C ）(1,)∞+ （D ）(3)∞--，5．（2016全国Ⅲ卷，文2，5分）若43i z =+，则||zz ＝( )（A ）1 （B ）1- （C ）43i 55+ （D ）43i 55-【答案】D【解析】∵43i z =+，∴z ＝4－3i ，|z |＝2234+．则43i ||55z z ==-，故选D ．6．（2016全国Ⅲ卷，理2，5分）若z ＝1＋2i ，则4i1zz =-( ) (A)1 (B)−1 (C)i (D)−i【答案】C【解析】∵z ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i ，则4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---，故选C ． 7．（2015全国Ⅰ卷，文3，5分）已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i 【答案】C【解析一】(z －1)i ＝1＋i ⇒ zi －i ＝1＋i ⇒ zi ＝1＋2i ⇒ z ＝1＋2i i＝(1＋2i)i i 2＝2－i ．故选C ．【解析二】(z －1)i ＝1＋i ⇒ z －1＝1＋i i⇒ z ＝1＋i i＋1 ⇒z ＝(1＋i)i i 2＋1＝2－i ．故选C ．8．（2015全国Ⅰ卷，理1，5分）设复数z 满足1+z1z-＝i ，则|z|＝( )（A ）1 （B （C （D ）2 【答案】A 【解析一】1+z1z-＝i ⇒ 1＋z ＝i(1－z) ⇒ 1＋z ＝i －zi ⇒ z ＋zi ＝－1＋i ⇒ (1＋i)z ＝－1＋i ⇒9．（2015全国Ⅱ卷，文2，5分）若a 为实数，且2＋ai 1＋i＝3＋i ，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4【答案】D【解析】由已知得2＋ai ＝(1＋i)(3＋i)＝2＋4i ，所以a ＝4，故选D ．10．（2015全国Ⅱ卷，理2，5分）若a 为实数，且(2＋ai)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 【答案】B【解析】(2＋ai)(a －2i)＝－4i ⇒ 2a －4i ＋a 2i ＋2a ＝－4i ⇒ 2a －4i ＋a 2i ＋2a ＋4i ＝0⇒ 4a ＋a 2i ＝0 ⇒ a ＝0．11．（2014全国Ⅰ卷，文3，5分）设z ＝11＋i＋i ，则|z|＝( )A ．12B ．√22C ．√32 D ．2【答案】B 【解析】z ＝11＋i＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，因此|z|＝√(12)2＋(12)2＝√12＝√22，故选B ．12．(1＋i )3(1－i )2＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 【答案】D 【解析】(1＋i )3(1－i )2＝(1＋i )2(1＋i)(1－i )2·＝(1＋i 2＋2i)(1＋i)1＋i 2－2i＝＝2i(1＋i)－2i＝－(1＋i)＝－1－i ，故选D ．13．（2014全国Ⅱ卷，文2，5分）1＋3i 1－i＝( )A ．1＋2iB ．－1＋2iC ．1－2iD ．－1－2i【答案】B 【解析】1＋3i 1－i＝(1＋3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝－2＋4i 2＝－1＋2i ，故选B ．14．（2014全国Ⅱ卷，理2，5分）设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )A ．－5B ．5C ．－4＋iD ．－4－i 【答案】A【解析】由题意得z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5，故选A ．15．（2013全国Ⅰ卷，文2，5分）1＋2i(1－i )2＝( )A ．－1－12i B ．－1＋12i C ．1＋12i D ．1－12i 【答案】B 【解析】1＋2i(1－i )2＝1＋2i －2i＝(1＋2i )i (－2i )i＝－2＋i 2＝－1＋12i ，故选B ．16．（2013全国Ⅰ卷，理2，5分）若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )A ．－4B ．－45C ．4D ．45【答案】D【解析】∵|4＋3i|＝√42＋32＝5，∴(3－4i)z ＝5，∴z ＝53－4i＝5(3＋4i )25＝35＋45i ，虚部为45，故选D ．17．（2013全国Ⅱ卷，文2，5分）|21＋i|＝( )A ．2√2B ．2C ．√2D ．1【答案】C 【解析】|21＋i|＝|2(1－i )2|＝|1－i|＝22)1(1-+＝√2．选C ．18（2013全国Ⅱ卷，理2，5分）设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1＋iD ．1－i 【答案】A【解析】由题意得z ＝2i 1－i＝2i ·(1＋i )(1−i )(1＋i)＝2i ＋2i 22＝2i−22＝－1＋i ，故选A ．19．（2012全国卷，文2，5分）复数z ＝－3＋i 2＋i的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－IC ．－1＋iD ．－1－i【答案】D 【解析】z ＝－3＋i 2＋i＝(－3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－5＋5i 5＝－1＋i ，∴z ＝－1－i ，故选D ．20．（2011全国卷，文2，5分）复数5i1－2i＝( )A ．2－iB ．1－2iC ．－2＋iD ．－1＋2i【答案】C 【解析】5i 1－2i＝5i (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝5(i －2)5＝－2＋i ，故选C ．21．（2016北京，文2，5分）复数( ) （A ）i （B ）1＋i （C ） （D ） 【答案】A【解析】，故选A ．22．（2016北京，理9，5分）设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则_____________．12i=2i+-i -1i -12i (12i)(2i)2i 4i 2i 2i (2i)(2i)5+++++-===--+a ∈R (1i)(i)a ++a =【答案】－1【解析】(1＋i)(a ＋i)＝a ＋i ＋ai ＋i 2＝a ＋i ＋ai －1＝(a －1)＋(1＋a)i ，由题意得虚部为0，即(1＋a)＝0，解得a ＝－1． 23．（2016江苏，文/理2，5分）复数其中i 为虚数单位，则z 的实部是____．【答案】524．（2016山东，文2，5分）若复数21iz =-，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) （A ）1＋i（B ）1−i（C ）−1＋i （D ）−1−i【答案】B25．（2016山东，理1，5分）若复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，则z ＝( )（A ）1＋2i （B ）1-2i （C ）12i -+ （D ）12i -- 【答案】B26．（2016上海，文/理2，5分）设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部等于_______． 【答案】-3【解析】32i 23i,iz +==-故z 的虚部等于−3．27．（2016四川，文1，5分）设i 为虚数单位，则复数(1＋i)2＝( )(A) 0 (B)2 (C)2i (D)2＋2i 【答案】C 【解析】22(1i)12i i 2i +=++=，故选C ．28．（2016天津，文9，5分）i 是虚数单位，复数z 满足(1i)2z +=，则z 的实部为_______．【答案】1【解析】2(1)211i i iz z +=⇒==-+，所以z 的实部为1．29．（2016天津，理9，5分）已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1+i)(1-b i)＝a ，则ab的值为____． 【答案】2【解析】由(1i)(1i)1(1)i b b b a +-=++-=，可得110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩，2ab =，故答案为2．(12i)(3i),z =+-《集合》专项练习参考答案1．（2016全国Ⅰ卷，文1，5分）设集合，，则A ∩B ＝（ ） （A ）{1，3} （B ）{3，5} （C ）{5，7} （D ）{1，7}【解析】集合A 与集合B 的公共元素有3，5，故}5,3{=B A ，故选B ．2．（2016全国Ⅱ卷，文1，5分）已知集合，则A ∩B ＝（ ） （A ） （B ） （C ） （D ）【解析】由29x <得33x -<<，所以{|33}B x x =-<<，因为{1,2,3}A =，所以{1,2}A B =，故选D ． 3．（2016全国Ⅲ卷，文1，5分）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ＝（ ）（A ）{48}， （B ）{026}，， （C ）{02610}，，， （D ）{0246810}，，，，， 【解析】由补集的概念，得{0,2,6,10}AB =，故选C ．4．（2016全国Ⅰ卷，理1，5分）设集合，， 则A ∩B ＝（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【解析】对于集合A ：解方程x 2－4x ＋3＝0得，x 1＝1，x 2＝3，所以A ＝{x |1＜x ＜3}（大于取两边，小于取中间）．对于集合B ：2x －3＞0，解得x ＞23．3{|3}2A B x x ∴=<<．选D ．5．2016全国Ⅱ卷，理1，5分）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）(31)-， （B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， 【解析】要使复数z 对应的点在第四象限，应满足3010m m +>⎧⎨-<⎩，解得31m -<<，故选A ．6．（2016全国Ⅲ卷，理1，5分）设集合{}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=>，则S ∩T ＝（ ）(A) [2，3] (B)（－∞ ，2] [3，＋∞）(C) [3，＋∞） (D)（0，2] [3，＋∞）7．（2016北京，文1，5分）已知集合{|24},{|3>5}A x x B x x x =<<=<或，则A B =（ ） （A ）{|2<<5}x x （B ）{|<45}x x x >或 （C ）{|2<<3}x x （D ）{|<25}x x x >或【解析】画数轴得，，所以，故选C ．8．（2016北京，理1，5分）已知集合，，则（ ） （A ）（B ）（C ）（D ）【解析一】对于集合A ：（解绝对值不等的常用方法是两边同时平方）|x |＜2，两边同时平方{1,3,5,7}A ={|25}B x x =≤≤{123}A =，，，2{|9}B x x =<{210123}--，，，，，{21012}--，，，，{123}，，{12}，2{|430}A x x x =-+<{|230}B x x =->3(3,)2--3(3,)2-3(1,)23(,3)2(2,3)AB ={|||2}A x x =<{1,0,1,2,3}B =-A B ={0,1}{0,1,2}{1,0,1}-{1,0,1,2}-得x 2＜4，解方程x 2＝4得，x 1＝－2，x 2＝2，所以A ＝{x |－2＜x ＜2}（大于取两边，小于取中间）．所以A ∩B ＝{－1，0，1}．故选C ．【解析二】对于集合A ：（绝对值不等式解法二：|x |＜2⇔－2＜x ＜2）．A ＝{x |－2＜x ＜2}．所以A ∩B ＝{－1，0，1}．故选C ． 9．（2016上海，文理1，5分）设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为_______． 【答案】(24)，【解析】试题分析：421311|3|<<⇔<-<-⇔<-x x x ，故不等式1|3|<-x 的解集为)4,2(．【解析一】对不等式31x -<：（解绝对值不等的常用方法是两边同时平方）|x －3|＜1，两边同时平方得(x －3)2＜1，解方程(x －3)2＝1得，x 1＝2，x 2＝4，所以A ＝{x |2＜x ＜4}． 【解析二】对于集合A ：（绝对值不等式解法二：|x －3|＜1⇔－1＜x －3＜1，解得2＜x ＜4）．A ＝{x |2＜x ＜4}． 10．（2016山东，文1，5分）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5},{3,4,5}U A B ===，则()U A B ＝（A ）{2,6} （B ）{3,6} （C ）{1,3,4,5} （D ）{1,2,4,6} 【答案】A11．（2016山东，理2，5分）设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A ∪B ＝（ ）（A ）(1,1)- （B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞ 【答案】C【解析】对于集合A ：∵y ＝2x ＞0，∴A ＝{y |y ＞0}．对于集合B ：∵x 2－1＝0，解得x ＝±1，∴B ＝{x |－1＜x ＜1}（大于取两边，小于取中间）．∴A ∪B ＝(1,)-+∞12．（2016四川，文2，5分）设集合A ＝{x |1≤x ≤5}，Z 为整数集，则集合A∩Z 中元素的个数是(A)6 (B)5 (C)4 (D)3 【答案】B【解析】{1,2,3,4,5}A =Z ，由Z 为整数集得Z ＝{…－3，－2，－1，0，1，2，3…}．故A Z 中元素的个数为5，选B ．13．（2016四川，理1，5分）设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A Z 中元素的个数是（ ）（A ）3（B ）4（C ）5（D ）6 【答案】C【解析】由题意，知{2,1,0,1,2}A =--Z ，由Z 为整数集得Z ＝{…－3，－2，－1，0，1，2，3…}．故AZ 中元素的个数为5，选C ．14．（2016天津，文1，5分）已知集合}3,2,1{=A ，},12|{A x x y y B ∈-==，则AB ＝（A ）}3,1{ （B ）}2,1{ （C ）}3,2{ （D ）}3,2,1{【答案】A【解析】∵},12|{A x x y y B ∈-==，∴当x ＝1时，y ＝2×1－1＝1；当x ＝2时，y ＝2×2－1＝3；当x ＝3时，y ＝2×3－1＝5．∴{1,3,5},{1,3}B A B ==．选A ．15．（2016天津，理1，5分）已知集合}{4,3,2,1=A ，}{A x x y y B ∈-==,23，则=B A （A ）}{1 （B ）}{4 （C ）}{3,1 （D ）}{4,1 【答案】D【解析】∵}{A x x y y B ∈-==,23，∴当x ＝1时，y ＝3×1－2＝1；当x ＝2时，y ＝3×2－2＝4；当x ＝3时，y ＝3×3－2＝7；当x ＝4时，y ＝4×3－2＝10．∴{14710}{14}B =A B =，，，，，．选D ．16．（2016浙江，文1，5分）已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，集合P ＝{1，3，5}，Q ＝{1，2，4}，则U P Q （）＝（ ） A ．{1} B ．{3，5} C ．{1，2，4，6} D ．{1，2，3，4，5} 【答案】C17．（2016浙江，理1，5分）已知集合P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R |x 2≥4}，则P ∪(C R Q )＝（ ）A ．[2，3]B ．(－2，3]C ．[1，2)D ．(−∞，−2]∪[1，＋∞)【答案】B【解析】对于集合Q ：∵x 2＝4，解得x ＝±2，∴B ＝{x |x ≤－2或x ≥2}（大于取两边，小于取中间）． 18．（2016江苏，文理1，5分）已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B _______． 【答案】{}1,2- 【解析】{}{}{}1,2,3,6231,2AB x x =--<<=-．故答案应填：{}1,2-19．（2015全国Ⅰ卷，文1，5分）已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N}，B ＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B 中元素的个数为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】D【解析】由已知得A ＝{2，5，8，11，14，17，…}，又B ＝{6，8，10，12，14}，所以A∩B ＝{8，14}． 20．（2015全国Ⅱ卷，文1，5分）已知集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∪B ＝( )A ．(－1，3)B ．(－1，0)C ．(0，2)D ．(2，3) 【答案】A【解析】因为A ＝(－1，2)，B ＝(0，3)，所以A ∪B ＝(－1，3)，故选A ． 21．（2014全国Ⅰ卷，文1，5分）已知集合M ＝{x |－1＜x ＜3}，N ＝{x |－2＜x ＜1}，则M∩N ＝( )A ．(－2，1)B ．(－1，1)C ．(1，3)D ．(－2，3) 【答案】B【解析】M∩N ＝{x |－1＜x ＜3}∩{x |－2＜x ＜1}＝{x |－1＜x ＜1}． 22．（2014全国Ⅱ卷，文1，5分）已知集合A ＝{－2，0，2}，B ＝{x |x 2－x －2＝0}，则A∩B ＝( )A ．∅B ．{2}C ．{0}D ．{－2}【答案】B【解析】∵集合A ＝{－2，0，2}，B ＝{x |x 2－x －2＝0}＝{2，－1}，∴A∩B ＝{2}，故选B ． 23．（2013全国Ⅰ卷，文1，5分）已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A}，则A∩B＝( )A ．{1，4}B ．{2，3}C ．{9，16}D ．{1，2} 【答案】A【解析】∵B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A}＝{1，4，9，16}，∴A∩B ＝{1，4}，故选A ． 24．（2013全国Ⅱ卷，文1，5分）已知集合M ＝{x |－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1，0，1}，则M∩N ＝( )A ．{－2，－1，0，1}B ．{－3，－2，－1，0}C ．{－2，－1，0}D ．{－3，－2，－1} 【答案】C【解析】由题意得M∩N ＝{－2，－1，0}．选C ． 25．（2012全国卷，文1，5分）已知集合A ＝{x |x 2－x －2＜0}，B ＝{x |－1＜x ＜1}，则( )（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A ＝B （D ）A∩B ＝∅【答案】B【解析】A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ＜1}，则B ⊂≠A ，故选B ． 26．（2011全国卷，文1，5分）已知集合M ＝{0，1，2，3，4}，N ＝{1，3，5}，P ＝M∩N ，则P 的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个 【答案】B【解析】由题意得P ＝M∩N ＝{1，3}，∴P 的子集为⌀，{1}，{3}，{1，3}，共4个． 27．（2010全国卷，文1，5分）已知集合，则（A ）（0，2）（B ）[0，2]（C ）|0，2|（D ）|0，1，2| 【解析】，，选D28．（2009全国卷，文2，5分）设集合A ＝｛4，5，7，9｝，B ＝｛3，4，7，8，9｝，全集，则集合中的元素共有( )(A)3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个 【解析】，．故选A ．29．（2008全国卷，文1，5分）已知集合M ＝{x |(x ＋2)(x －1)<0}，N ＝{x |x ＋1<0}，则M∩N ＝( )A.(－1，1)B.(－2，1)C.(－2，－1)D.(1，2) 【答案】C【解析】易求得{}{}|21,|1=-<<=<-M x x N x x ∴{}|21=-<<-MN x x30．（2007全国卷，文1，5分）设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T ⋂＝A ．∅B ．1{|}2x x <C ．5{|}3x x >D ．15{|}23x x -<<【答案】D ．《概率与统计》专项练习（解答题）1．（2016全国Ⅰ卷，文19，12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机2,,4,|A x x x R B x x Z =≤∈=∈A B ={}|22,{0,1,2}A x x B =-≤≤={}0,1,2A B =U AB =()UA B {3,4,5,7,8,9}AB ={4,7,9}(){3,5,8}U A B A B =∴=器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）若n ＝19，求y 与x 的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？解：（Ⅰ）当x ≤19时，y ＝3800当x ＞19时，y ＝3800＋500(x －19)＝500x －5700∴y 与x 的函数解析式为y ＝{3800， x ≤19500x −5700，x ＞19(x ∈N )（Ⅱ）需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7∴n 的最小值为19（Ⅲ）①若同时购买19个易损零件则这100台机器中，有70台的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800∴平均数为1100(3800×70＋4300×20＋4800×10)＝4000②若同时购买20个易损零件则这100台机器中，有90台的费用为4000，10台的费用为4500∴平均数为1100(4000×90＋4500×100)＝4050 ∵4000＜4050∴同时应购买19个易损零件2．（2016全国Ⅱ卷，文18，12分）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保（Ⅱ）记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”，求频数10162024P (B )的估计值；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值． 解：（Ⅰ）若事件A 发生，则一年内出险次数小于2则一年内险次数小于2的频率为P (A )＝60+50200＝0.55 ∴P (A )的估计值为0.55（Ⅱ）若事件B 发生，则一年内出险次数大于1且小于4一年内出险次数大于1且小于4的频率为P (B )＝30+30200＝0.3 ∴P (B )的估计值为0.3（Ⅲ）续保人本年度的平均保费为1200(0.85a ×60＋a ×50＋1.25a ×30＋1.5a ×30＋1.75a ×20＋2a ×10)＝1.1925a 3．（2016全国Ⅲ卷，文18，12分）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：参考数据：719.32i i y ==∑，7140.17i i i t y ==∑，∑=-712)(i iy y＝0.55，√7≈2.646．参考公式：相关系数r ＝∑∑∑===----ni ni i ini i iy y t ty y t t11221)()())((．回归方程y ̂＝a ̂＋b ̂t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： b̂＝∑∑==---ni ini i it ty y t t121)())((，a ̂＝y ̅－b̂t 解：（Ⅰ）由折线图中数据得t ＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4………………1分由附注中参考数据得∑=--71))((i i iy y t t＝∑=71i i i y t －∑=71i i y t ＝40.17－4×9.32＝2.89………………………………………………………………………2分∑=-712)(i it t＝27262424232221)4()4()4()4()4()4()4(-+-+-+-+-+-+-t t t t t t t ＝28………………………………………………………………3分∑=-712)(i i y y ＝0.55………………………………………………4分r ＝∑∑∑===----ni ni iini i iy yt ty y t t11221)()())((＝∑∑==-⨯-ni ini iy yt t1212)()(89.2＝55.02889.2⨯≈0.99………………………………………………………………………5分 ∵y 与t 的相关关系r 近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高 ∴可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系…………………………6分（Ⅱ）y ̅＝771∑=i iy＝9.327≈1.331………………………………………………7分b̂＝∑∑==---ni ini i it ty y t t121)())((＝2.8928≈0.103…………………………………8分a ̂＝y ̅－b̂t ≈1.331－0.103×4≈0.92…………………………………9分 ∴y 关于t 的回归方程为y ̂＝0.92＋0.103t …………………………10分 2016年对应的t ＝9…………………………………………………11分 把t ＝9代入回归方程得y ̂＝0.92＋0.103×9＝1.82∴预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨………12分4．（2015全国Ⅰ卷，文19，12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中w i ＝√x i ，w ＝8∑i ＝1w i ．（Ⅰ）根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d √x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x ．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（ⅰ）年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i ＝1n(u i －u )(v i －v )∑i ＝1n(u i －u )2，α^＝v －β^u ．解：（Ⅰ）y ＝c ＋d √x 适宜作为y 关于x 的回归方程类型………………………………………………………………………………………2分 （Ⅱ）令w ＝√x ，先建立y 关于w 的回归方程由于d ^＝∑i ＝18(w i －w)(y i －y)∑i ＝18(w i －w)2＝108.81.6＝68…………………3分c ^＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6…………………4分 ∴y 关于w 的回归方程为y ^＝100.6＋68w …………………5分 ∴y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68√x …………………6分 （Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当x ＝49时y 的预报值y ^＝100.6＋68√49＝576.6…………………7分 z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32…………………9分（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知z 的预报值z ^＝0．2(100.6＋68√x )－x ＝－x ＋13.6√x ＋20.12……10分 ∴当√x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值…………………11分∴年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大…………………12分5．（2015全国Ⅱ卷，文18，12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表．B 地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]频 数 2 8 14 10 6（Ⅰ）作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．解：（Ⅰ）…………4分B地区的平均值高于A地区的平均值…………5分B地区比较集中，而A地区比较分散…………6分（Ⅱ）A地区不满意的概率大…………7分记C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”…………9分由直方图得P(C A)＝(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6…………10分P(C B)＝(0.005＋0.02)×10＝0.25…………11分∴A地区不满意的概率大…………12分6．（2014全国Ⅰ卷，文18，12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125)频数62638228（Ⅰ）作出这些数据的频率分布直方图；（Ⅱ）估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（Ⅲ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？解：（Ⅰ）…………4分（Ⅱ）平均数为x ＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100方差为S 2＝1100[6×(80－100)2＋26×(90－100)2＋38×(100－100)2＋22×(110－100)2＋8×(120－100)2] ＝104∴平均数为100，方差为104…………8分（Ⅲ）质量指标值不低于95的比例为0.38＋0.22＋0.08＝0.68…………10分∵0.68＜0.8…………11分∴不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定…………12分 7．（2014全国Ⅱ卷，文19，12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率； （Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价． 解：（Ⅰ）甲的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75∴样本中位数为75＋752＝75∴甲的中位数是75乙的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68 ∴样本中位数为66＋682＝67 ∴乙的中位数是67（Ⅱ）甲的评分高于90的概率为550＝0.1乙的评分高于90的概率为850＝0.16∴甲、乙的评分高于90的概率分别为0.1，0.16 （Ⅲ）甲的中位数高于对乙的中位数甲的标准差要小于对乙的标准差甲的评价较高、评价较为一致，对乙的评价较低、评价差异较大8．（2013全国Ⅰ卷，文18，12分）为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h )．试验的观测结果如下： 服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ （Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？解：（Ⅰ）设A 的平均数为x ，B 的平均数为yx ＝120(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3 y ＝120(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.)＝1.6 ∴x ＞y∴A 药的疗效更好 （Ⅱ）茎叶图如下：从茎叶图可以看出A 的结果有710的叶集中在茎2，3上 B 的结果有710的叶集中在茎0，1上 ∴A 药的疗效更好9．（2013全国Ⅱ卷，文19，12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品，以X (单位：t ，100≤X ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润． （Ⅱ）将T 表示为X 的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率．解：（Ⅱ）当X Ⅱ[100，130)时，T ＝500X －300(130－X )＝800X －39000当XⅡ[130，150]时，T ＝500×130＝65000ⅡT ＝{800X －39000，100≤X ＜13065000，130≤X ≤150（Ⅱ）由（Ⅱ）知利润T 不少于57000元，当且仅当120≤X ≤150由直方图知需求量X Ⅱ[120，150]的频率为0.7Ⅱ下一个销售季度内的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.710．（2012全国卷，文18，12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（Ⅱ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ⅡN )的函数解析式；（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10（Ⅱ）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润(单位：元)的平均数；（Ⅱ）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．解：（Ⅱ）当日需求量n ≥17时，利润y ＝85当日需求量n ＜17时，利润y ＝10n －85所以y 关于n 的函数解析式为y ＝{10n －85，n ＜1785，n ≥17(n ⅡN )（Ⅱ）（Ⅱ）解法一：由表格可得有10天的日利润为5×14－5×3＝55元 有20天的日利润为5×15－5×2＝65元 有16天的日利润为5×16－5×1＝75元有16＋15＋13＋10＝54天的日利润为85元Ⅱ这100天的日利润的平均数为1100(55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4（Ⅱ）解法二：由（Ⅰ）y ＝{10n －85，n ＜1785，n ≥17(n ⅡN )得当n ＝14时，10天的日利润为10n －85＝10×14－85＝55元 当n ＝15时，20天的日利润为10n －85＝10×15－85＝65元 当n ＝16时，16天的日利润为10n －85＝10×16－85＝75元 当n ≥17时，54天的日利润为85元Ⅱ这100天的日利润的平均数为1100(55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4 （Ⅱ）利润不低于75元，当且仅当日需求量不少于16枝Ⅱ当天的利润不少于75元的概率为P ＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.711．（2011全国卷，文19，12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A 配方和B 配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表指标值分组 [90，94) [94，98) [98，102) [102，106) [106，110]频数 8 20 42 22 8B 配方的频数分布表指标值分组 [90，94) [94，98) [98，102) [102，106) [106，110]频数 4 12 42 32 10 （Ⅱ）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B 配方生产的一件产品的利润y (单位：元)与其质量指标值t 的关系式为y ＝{－2，t ＜942，94≤t ＜1024，t ≥102，估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润．解：（Ⅱ）A 配方的优质品的频率为22＋8100＝0.3 ⅡA 配方的优质品率为0.3 B 配方的优质品的频率为32＋10100＝0.42ⅡB 配方的优质品率为0.42（Ⅱ）用B 配方的利润大于0，当且仅当t ≥94Ⅱt ≥94的频率为0.96ⅡB 配方的利润大于0的概率为0.96B 配方的利润为1100×[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝2.68(元)。
专题01 集合及其运算-十年高考(2009-)之高三数学分项与解读(江苏专版)
【考情概览】年份 题号 考点 难度层次考查内容，方式，模型等 学科素养 2018 1 集合的交集运算 简单 交集的定义 数学计算 2017 1 已知交集求参数 简单 交集的定义 数学计算 2016 1 集合的交集运算 简单 交集的定义 数学计算 2015 1 集合的并集运算 简单 并集的定义 数学计算 2014 1 集合的交集运算 简单 交集的定义 数学计算 2013 4 子集的个数一般子集的概念 数学计算 2012 1 集合的并集运算 简单 并集的定义 数学计算 2011 1 集合的交集运算 简单 交集的定义 数学计算 2010 1 已知交集求参数 简单 交集的定义 数学计算 2009 无【命题规律】1. 常考集合间的运算：交集、并集、子集等．2．常运用数轴或韦恩图及数形结合思想来求解含未知参数的集合间的关系、运算，常用分类讨论求解． 3．考题形式为填空题．【真题展示】1. 【2018江苏，1】已知集合，，那么________．【答案】{1，8}点睛：本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小.2. 【2017江苏，1】已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =则实数a 的值为 . 【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．【考点】元素的互异性【名师点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误. (3)防范空集.在解决有关,A B A B =∅⊆等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.3. 【2016江苏，1】已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B . 【答案】{}1,2- 【解析】 试题分析：{}{}{}1,2,3,6231,2AB x x =--<<=-．故答案应填：{}1,2-【考点】集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，属于基本题，难度不大.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心而出错，二是明确江苏高考对于集合题的考查立足于列举法，强调对集合运算有关概念及法则的理解.4. 【2015江苏，1】已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为_______. 【答案】5【解析】{123}{245}{12345}A B ==，，，，，，，，，,，则集合B A 中元素的个数为5个. 【考点定位】集合运算5. 【2014江苏，1】已知集合{}2,1,3,4A =--，{}1,2,3B =-，则A B ⋂= . 【答案】{1,3}- 【解析】由题意得{1,3}AB =-.6. 【2013江苏，4】集合{－1,0,1}共有__________个子集． 【答案】8【解析】由于集合{－1,0,1}有3个元素，故其子集个数为23＝8..7. 【2012江苏，1】已知集合A ＝{1,2,4}，B ＝{2,4,6}，则A ∪B ＝__________. 【答案】{1,2,4,6}【解析】根据集合的并集运算法则得，A∪B＝{1,2,4,6}．8. 【2011江苏，1】已知集合{}4,2,1,1-=A ，{}2,0,1-=B ,则=⋂B A . 【答案】{}2,1-9. 【2010江苏，1】设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为__________． 【答案】1【解析】∵A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}， ∴由题意得a ＋2＝3，a ＝1.又由a 2＋4＝3无解，不符合题意； 经检验得：a ＝1.【对症下药】1. 集合元素性质的应用警示(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性． 2. 集合的基本关系(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题． 3. 集合基本运算的求解规律(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn 图求解．(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到等号的情况． (3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解． 4. 集合定义新情景的解决方法（出现在2016解答题20） 解决集合的新情景问题，应从以下两点入手：(1)正确理解创新定义，这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题，而是以集合为载体的有关新定义问题．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等．(2)合理利用集合性质．运用集合的性质是破解新定义型集合问题的关键，在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质．【考题预测】1.已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是_______【解析】∵A ＝{0,1,2}，∴B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }＝{0，－1，－2，1,2}．故集合B 中有5个元素．2.若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝_______ 【解析】当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98.3.已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为_______4.已知集合A ＝{x |y ＝ln(1－2x )}，B ＝{x |x 2≤x }，全集U ＝A ∪B ，则∁U (A ∩B )＝_______【解析】因为A ＝{x |y ＝ln (1－2x )}＝{x |1－2x >0}＝⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12，B ＝{x |x (x －1)≤0}＝[0,1]，所以U ＝A ∪B ＝(－∞，1]，又A ∩B ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，所以∁U (A ∩B )＝(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1。
近年届高考数学一轮复习第九章概率、统计与算法第2讲随机事件的概率、古典概型与几何概型演练直击高考文
（江苏专版）2019届高考数学一轮复习第九章概率、统计与算法第2讲随机事件的概率、古典概型与几何概型分层演练直击高考文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（江苏专版）2019届高考数学一轮复习第九章概率、统计与算法第2讲随机事件的概率、古典概型与几何概型分层演练直击高考文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第2讲随机事件的概率、古典概型与几何概型1．先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是________．解析:至少一次正面朝上的对立事件的概率为错误!，故P＝1－错误!＝错误!。
答案:782. 如图，在一不规则区域内，有一边长为1米的正方形,向区域内随机地撒1 000 颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界)的黄豆数为375颗，以此实验数据为依据，可以估计出该不规则图形的面积为________平方米．解析:设该不规则图形的面积为x平方米,向区域内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界）的黄豆数为375,所以根据几何概型的概率计算公式可知错误!＝错误!，解得x＝错误!.答案:错误!3．已知函数f（x）＝x2－x－2，x∈［－5，5］，若从区间[－5，5]内随机抽取一个实数x,则所取的x0满足f(x0)≤0的概率为________．解析：令x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2,由几何概型的概率计算公式得P＝错误!＝错误!＝0。
3。
答案：0。
34．从2,3，8,9中任取两个不同的数字，分别记为a,b，则log a b为整数的概率是__________．解析：从2,3，8，9中任取两个不同的数字，(a，b）的所有可能结果有（2，3)，(2,8），(2，9）,（3，2)，（3，8),（3,9)，(8，2),(8，3），（8，9)，(9，2），(9，3），(9,8）,共12种,其中log28＝3，log39＝2为整数，所以log a b为整数的概率为错误!.答案:错误!5．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是错误!，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．解析：设“从中取出2粒都是黑子"为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B,“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C,则C＝A＋B,且事件A与B互斥．所以P（C）＝P（A)＋P（B）＝错误!＋错误!＝错误!。
(江苏专用)高考数学 专题10 计数原、概率与统计 79 排列与组合 理-人教版高三全册数学试题
【步步高】（某某专用）2017版高考数学专题10 计数原、概率与统计 79 排列与组合理n∈A)至少有一个根x0∈A，就称方程为合格方程，则合格方程的个数为________．2．(2015·德阳诊断)学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有________种．3．“2 012”含有数字0,1,2，且有两个数字2.则含有数字0,1,2，且有两个相同数字的四位数的个数为________．4．(2015·某某二中期末)设集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{a1，a2，a3}，A⊆S，a1，a2，a3满足a1<a2<a3且a3－a2≤6，那么满足条件的集合A的个数为________．5．(2015·某某模拟)将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有________种．6．(2015·某某一中、安师大附中等六校素质测试)某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动(含x，y正半轴上的整点)，其运动规律为(m，n)→(m＋1，n＋1)或(m，n)→(m＋1，n －1)．若该动点从原点出发，经过6步运动到(6,2)点，则有________种不同的运动轨迹．7．将数字1,2,3,4填入表格内，要求每行、每列的数字互不相同，如图所示，则不同的填表方式共有________种.8.某校开设A类选修课3门，B3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有________种．9．某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告，2个不同的两会宣传片，1个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且两会宣传片与公益广告不能连续播放，2个两会宣传片也不能连续播放，则不同的播放方式的种数是________．10．某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行．那么安排这6项工程的不同排法种数是________(用数字作答)．11．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么互不相同的分配方案共有________种．12．(2015·某某某某武昌区调考)“渐升数”是指除最高位数字外，其余每一个数字比其左边的数字大的正整数(如13456和35678都是五位的“渐升数”)．(1)共有________个五位“渐升数”(用数字作答)；(2)如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列，则第110个五位“渐升数”是____________．13．(2015·某某名校交流卷一)A，B，C，D，E，F六位同学和一位数学老师站成一排合影留念，数学老师穿白色文化衫，A，B和C，D分别穿白色和黑色文化衫，E和F分别穿红色和橙色文化衫．若老师站中间，穿着相同颜色文化衫的都不相邻，则不同的站法种数为________．14.如图所示，将圆分成n个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为a n.(1)a4＝________；(2)a n＝________.答案解析1．17解析当m＝0时，取n＝0,1,4，方程为合格方程；当m＝1时，取n＝0,2,6，方程为合格方程；当m＝2时，取n＝0,3，方程为合格方程；当m＝3时，取n＝0,4，方程为合格方程；当m＝4时，取n＝0,5，方程为合格方程；当m＝5时，取n＝0,6，方程为合格方程；当m＝6时，取n＝0,7，方程为合格方程；当m＝7时，取n＝0，方程为合格方程．综上可得，合格方程的个数为17.2．30解析由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从4科中任选2科看作一个整体，然后做3个元素的全排列，共C24A33种方法，再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共A33种方法，故总的方法种数为C24A33－A33＝36－6＝30.3．24解析依题意，就所含的两个相同数字是否为0进行分类计数：第一类，所含的两个相同数字是0, 则满足题意的四位数的个数为C23A22＝6；第二类，所含的两个相同数字不是0，则满足题意的四位数的个数为C12·C13·C13＝18.由分类计数原理得，满足题意的四位数的个数为6＋18＝24.4．83解析在集合S中任取三个数共有C39＝84种情况，这三个数大小关系确定，其中不满足a3－a2≤6，即最大数减去次大数大于6的情况只有1种，即a1＝1，a2＝2，a3＝9，其他均满足题意，所以满足条件的集合A的个数为C39－1＝83.5．72解析共有选法：C14C13C12C11C12＋C14C13C12C11C11＝72种．6．9解析方法一如图所示，该动点从原点出发，第一次运动到点K(1,1)，第二次从K点运动到点I(2,2)或者J(2,0)，以此类推，最后到达A(6,2)，则不同的运动轨迹有：O→K→I→G→D→B→A；或O→K→J→H→E→B→A；……一共有9种不同的运动轨迹．方法二每一步向右上或右下，所以只关心在竖直方向上的运动情况，即确定6步运动中哪两步往下即可，共有C26种，其中第一步不能向下，不符合要求的有C15种，当第一步向上，第二、三步向下时，也不符合要求，去掉这一种情况，所以不同的运动轨迹种数为C26－(C15＋1)＝9.7．576解析因为每行、每列的数字互不相同，所以每填一个数字，就会去掉一行一列，因此按全排列：42×32×22×1＝576.8．30解析方法一可分两种互斥情况：A类选1门，B类选2门或A类选2门，B类选1门，共有C13C24＋C23C14＝18＋12＝30(种)选法．方法二总共有C37＝35(种)选法，减去只选A类的C33＝1(种)，再减去只选B类的C34＝4(种)，故有30种选法．9．108解析首先排列3个商业广告，有A33种结果，再在3个商业广告形成的4个空中排入另外3个广告，注意最后一个位置的特殊性，共有C13A23种结果，故不同的播放方式的种数为A33C13A23＝108.10．20解析依题意，知工程甲、乙、丙、丁的进行顺序一定并且丙、丁相邻，因此只需将剩余两个工程插在甲、乙、丙丁的中间或两端，由分步计数原理得不同排法的种数为4×5＝20.也可以这样考虑，先把丙、丁捆绑看做一个工程，如果不考虑甲、乙、丙丁的顺序，则有A 55种排法，而甲、乙、丙丁共有A 33种排法，因此共有A 55A 33＝20种排法．11．112解析 不同的分配方案共有 C 27C 55＋C 37C 44＋C 47C 33＋C 57C 22＝112(种)． 12．(1)126 (2)34579解析 (1)根据题意，“渐升数”中不能有0， 则在其他9个数字中任取5个， 每种取法对应一个“渐升数”， 则共有“渐升数”C 59＝126个．(2)对于这些“渐升数”，1在首位的有C 48＝70个， 2在首位的有C 47＝35个， 3在首位的有C 46＝15个． 对于3在首位的“渐升数”中，前四位数字是3456的五位“渐升数”有C 13＝3个， 前四位数字是3457的五位“渐升数”有2个， 依次为34578,34579，所以第110个五位“渐升数”是34579. 13．160解析 按先排白色，再排黑色，最后排红色和橙色的顺序进行， 白色分下面4种情况：4444排完白色和黑色后，红色和橙色有2种排法， 所以共有(4C 24－4)A 22A 22A 22＝160种排法．⎩⎪2＋2－1，n ≥2解析 (1)设三种不同颜色分别为甲、乙、丙三种．n ＝4时，第1区域有3种选择，第2区域有2种选择，因为第4区域要与第1区域颜色不同， 故对第3区域的选择分类讨论：当第3区域与第1区域颜色相同时，第4区域有2种选择； 当第3区域与第1区域颜色不同时，第4区域仅有1种选择． 所以a 4＝3×2×(2＋1)＝18.(2)当将圆分成n (n ≥3)个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色时， 第1区域有3种染色方案，第2区域至第n －1区域有2种染色方案． 此时考虑第n 区域也有2种涂色方案， 在此情况下有两种情况：情况一：第n 区域与第1区域同色，此时相当于将这两区域重合，这时问题转化为用3种不同颜色给圆上n －1个区域涂色，且相邻区域颜色互异， 即为a n －1种染色方案；情况二：第n 区域与第1区域不同色，此时问题就转化为用3种不同颜色给圆上n 个区域染色，且相邻区域颜色互异，即此时的情况就是a n .根据分类原理可知3·2n －1＝a n ＋a n －1，且满足初始条件：a 4＝18.即递推公式为⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝3·2n －1－a n －1，a 4＝18.由a n ＝3·2n －1－a n －1变形得a n －2n＝－(a n －1－2n －1)，所以数列{a n －2n}是以－1为公比的等比数列， 所以a n －2n＝(a 4－24)(－1)n －4，即a n ＝2n＋(18－16)(－1)n －4＝2n＋2(－1)n.当n ＝1时，易知有3种染色方法， 即a 1＝3，不满足上述通项公式； 当n ＝2时，易知有3×2＝6种染色方法， 即a 2＝6，满足上述通项公式；当n ＝3时，易知有3×2×1＝6(种)染色方法， 即a 3＝6，满足上述通项公式．⎩⎪2＋2－1，n≥2.。
江苏高考数学专题温习集合及其应用
江苏省高考数学综合专题1－集合及其应用部份 高考命题规律：从考查内容上，高考命题仍以考查概念和计算为主，考查两个集合的交集与并集、补集。
形式上以填空题为主。
从能力要求上看，注重基础知识和大体技术的教材，要求具有数形结合的思想意识，会借助Venn 图、数轴等工具解决集合问题。
知识的综合联系上看，本考点会纵横关系数学各个方面的知识体系，如不等式的解集与不等关系，方程与曲线，函数的图象性质，三角函数等。
重难点：集合的三个大体特征：肯定性，互异性，无序性。
集合中三种语言的互化是解决集合问题的关键，即：文字语言、符号语言、图象语言的互化。
方式技能：一、数形结合：把题设条件有效转化成图形或图象类型，利用几何的直观性，以“形”助“数” ，形象、直观、方便快捷。
专门是韦恩图法、数轴法、函数图象法。
二、补集思想：对正面求解困难的问题，则可考虑先求解问题的反面，采用“正难则反”的解题策略。
具体地说，就是将研究的对象的全部视为全集，求了使问题反面成立的集合A ，则A 的补集即所求结论。
【2011年考题精选】1。
（2011江苏）已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 则_______,=⋂B A .2．（2011安徽科）设集合{}1,2,3,4,5,6,A ={}4,5,6,7,B =则知足S A ⊆且∅≠⋂B S 的集合S 为__________个.3. （2011北京理科）已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是____4. （2011广东理科）已知集合(){,A x y = ∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =,x y 为实数，且}y x =，则A B ⋂的元素个数为 ______5. （2011江西理科）若集合}02|{},3121|{≤-=≤+≤-=xx x B x x A ,则B A ⋂= _____ 6. （2011山东理科）设集合 M ={x|x 2+x-6<0}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =_______ 7. （2011湖北理科）已知{}21|log ,1,|,2U y y x x P y y x x ⎧⎫==>==>⎨⎬⎩⎭,则U C P =____ 8. （2011上海理科）若全集U R =，集合{|1}{|0}A x x x x =≥≤，则U C A =【2010年考题精选】1．（2010浙江理数）设P=｛x ︱x <4｝,Q=｛x ︱2x <4｝，则P 与Q 关系是＿＿＿＿＿＿2．（2010辽宁理数）1.已知A ，B 均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B={3},U C B ∩A={9},则A=＿＿＿＿＿＿＿3.(2010全国2卷)＿＿＿＿＿＿4．（2010江西数）若集合{}A=|1x x x R ≤∈，，{}2B=|y y x x R =∈，，则A B ⋂=＿＿＿＿＿＿5. （2010北京数）集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则M P ⋂=_____6. （2010天津数）设集合{}{}A x||x-a|<1,x R ,|15,.A B B x x x R =∈=<<∈⋂=∅若，则实数a 的取值范围是_______7. （2010山东数）已知全集U=R ，集合M={x||x-1|≤2},则U C M=________ 8.（2010安徽理数）若集合121log 2A x x ⎧⎫⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则A C R =_________ 9. （2010湖北理数）2．设集合()22{,|1}416x y A x y =+=，{(,)|3}x B x y y ==，则A B ⋂的子集的个数是______10. （2010江苏卷）设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a 2+4},A ∩B={3}，则实数a =______▲_____. 09江苏11.已知集合{}2|log 2A x x =≤，(,)B a =-∞，若A B ⊆则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c = ★ .4．由2log 2x ≤得04x <≤，(0,4]A =；由A B ⊆知4a >，所以c =4。
(二)2012-2019江苏高考数学卷考点分析
2012年——2017年江苏高考数学卷考点分析题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 112012年简单集合的并集分层抽样复数的概念与四则运算流程图函数的定义域，简单不等式的解法古典概型，等比数列通项公式求四棱锥的体积双曲线的几何性质向量的概念与数量积分段函数，函数的周期性二倍角的三角函数公式，两角差的正弦公式直线与圆的位置关系2013年三角函数的周期复数的四则运算，复数的模双曲线的渐近线方程集合的子集个数2014年简单集合的交集复数的概念流程图古典概型三角函数图象交点及已知三角函数值求角频率分布直方图等比数列通项公式圆柱的侧面积与体积直线与圆的相交的弦长问题二次函数的性质2015年简单集合的并集平均数复数的模循环结构伪代码2016年简单集合的交集复数的概念双曲线的几何性质样本均值与方差2017年简单集合的交集复数的模分层抽样流程图两角和差的正切公式圆柱与球函数定义域，几何概型双曲线几何性质等比数列的性质函数应用，基本不等式函数的单调性与奇偶性平面向量基本定理及数量积，三角求值，两角和差三角公式圆方程向量数量积函数周期性函数与方程2018年简单集合的交集复数的实部茎叶图伪代码2019年简单集合的交集复数乘积运算流程图函数定义域流程图样本的均值与方差古典概型几何体体积比线性规划，导数的几何意义与运算向量的加减法与线性表示函数的奇偶性,一元二次不等式的解法古典概型向量的相等及坐标运算指数不等式与一元二次不等式两角差正切公式圆柱及圆锥体积直线与圆位置关系函数的定义域函数的定义域样本均值与方差循环结构流程图古典概型等差数列性质三角函数图象古典概型三角函数图象双曲线几何性质分段函数古典概型双曲线几何性质等差数列基本量运算体积比体积计算点到直线的距离或基本不等式或一元二次方程导数的几何意义椭圆的离心率正八面体体积导数的几何意义数列通项，裂项求函数周期性、分段两直线平行位置和函数关系向量的线性运算及数量积双曲线渐近线，恒成立问题三次函数闭区间最值问题12椭圆的几何性质线性规划直线与圆平面向量数量积平面向量数量积13 14一元二次不等式函数的零点，周期二次函数的最值，与二次函数的关性，函数图象交点基本不等式系，函数的值域问题线性规划，导数的几何意义与运算向量的数量积，正弦定理，同角三角函数的基本关系式，两角和的正切公式线面平行、面面垂直的判定及性质（直三棱柱）等比数列正、余弦定理基本不等式分段函数函数与方程平面向量数量积三角基本不等式生成数列三角恒等变换分段函数函数与方程解三角形三角恒变换三角求值线面平行线面垂直线线垂直向量数量积，三角三角恒等变换，函函数性质数求值，正切函数15向量的模、垂直关同角三角函数关同角三角函数基系，同角三角函数系，二倍角公式，正、余弦定理，二本关系式，两角和线面平行、面面垂线面平行、面面垂基本关系式，两角两角和与差的正、倍角公式的三角函数公式，直（三棱锥）直（平行六面体）和的三角函数公余弦公式正余弦定理式面面平行的判定，线面平行、面面垂线面垂直的判定直（三棱锥）与性质（三棱锥）线面平行判定定线面平行的判定，向量数量积，向量同角基本关系式理，线面垂直判定线面垂直的判定平行，三角求值，两角和差三角函定理（直三棱柱）与性质（三棱柱）辅助角公式数公式（二倍角）1617基本不等式，一元二次方程的判别式函数的极值与导数的关系，函数的奇偶性、单调性与零点椭圆的方程与几何性质，直线的方程直线的方程，点到直线的距离公式，阿波罗圆，两圆位置关系椭圆的方程及离心率函数的实际应用，利用导数求函数利用导数求函数椭圆的方程直线最值，导数几何意的最值，棱柱棱锥方程义直线的方程，圆方椭圆方程，直线方程，直线与直线，正四棱柱，正四棱程，直线与椭圆位直线与圆，圆与圆台，正弦定理，两置关系位置关系平面向角和正弦公式量的运算指数函数，基本不利用导数求函数等式，利用导数研单调性、极值、函究函数的单调性数零点及零点等差、等比数列的等比数列的通项定义及性质，函数公式，等比数列求与方程和新定义数列，等差数列，数列证明题函数的极值点、零点，不等式的解法，一元二次方程根与系数的关系三角最值问题应用导数求最值椭圆方程圆方程直线与圆直线与椭圆三角函数应用解方程直线与圆18解析几何的应用题，直线方程，直解三角形，二次函线交点，点到直线数最值，解不等式的距离，两点间距离等差数列前n项和，证明等差数列的充要条件利用导数研究指、对数函数的单调性、最值，零点个数偶函数的判断不等式恒成立导数与函数单调性，比较大小新定义数列，数列的项与整除性，数列证明题（构造法）椭圆方程圆方程直线与圆直线与椭圆19函数与导数新定义利用导数研究函数性质20等差数列、等比数列的综合应用等差等比数列综合应用等差等比数列定义、通项、性质21b 21c 22逆矩阵矩阵运算线性变换曲线的极坐标方程空间向量异面直线所成角线面角计数原理排列逆矩阵，特征值逆矩阵，矩阵运算矩阵运算矩阵运算，特征值矩阵运算，椭圆在逆矩阵，矩阵运算与特征向量新变换下的方程圆的极坐标方程，极坐标与之间坐标互化直线与椭圆的参数方程直线与抛物线位置关系直线的参数方程点到直线的距离二面角、异面直线所成角曲线极坐标方程直线与圆的极坐标方程随机变量的概率分布、数学期望直线与抛物线的参数方程直线的参数方程与抛物线不等式选讲空间向量应用空间向量、二面随机变量的概率角、异面直线所成分布、数学期望角三角，导数，数学归纳法计数原理、数学归纳法二项式定理组合数计数原理古典概型随机变量及其分布23集合的概念和运算，计数原理数列，计数原理组合数及其性质随机变量的概率分布、数学期望。
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第九部分集合复数算法统计概率一．填空题（共25小题）1．（2013•江苏）设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为．2．（2013•江苏）集合{﹣1，0，1}共有个子集．3．（2013•江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为．4．（2013•江苏）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为．5．（2013•江苏）现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为．6．（2014•江苏）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=．7．（2014•江苏）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为．8．（2014•江苏）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是．9．（2014•江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是．10．（2014•江苏）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm．11．（2015•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为．12．（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为．13．（2015•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．14．（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．15．（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．16．（2016•江苏）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3＝，则A∩B=．17．（2016•江苏）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是．18．（2016•江苏）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是．19．（2016•江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．20．（2016•江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是．21．（2017•江苏）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为．22．（2017•江苏）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．23．（2017•江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．24．（2017•江苏）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是．25．（2017•江苏）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．第九部分集合复数算法统计概率参考答案与试题解析一．填空题（共25小题）1．（2013•江苏）设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为5．【解答】解：z=（2﹣i）2=4﹣4i+i2=3﹣4i．所以，|z|==5．故答案为5．2．（2013•江苏）集合{﹣1，0，1}共有8个子集．【解答】解：因为集合{﹣1，0，1}，所以集合{﹣1，0，1}的子集有：{﹣1}，{0}，{1}，{﹣1，0}，{﹣1，1}，{0，1}，{﹣1，0，1}，∅，共8个．故答案为：8．3．（2013•江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为5．【解答】解：当n=1，a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3；满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5；满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为5故答案为：5．4．（2013•江苏）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 2 ．【解答】解：由图表得到甲乙两位射击运动员的数据分别为：甲：87，91，90，89，93；乙：89，90，91，88，92；，．方差=4．=2．所以乙运动员的成绩较稳定，方差为2．故答案为2．5．（2013•江苏）现在某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n （m ≤7，n ≤9）可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为 ．【解答】解：m 取小于等于7的正整数，n 取小于等于9的正整数，共有7×9=63种取法． m 取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n 取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况， 则m ，n 都取到奇数的方法种数为4×5=20种．所以m ，n 都取到奇数的概率为． 故答案为．6．（2014•江苏）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A ∩B= {﹣1，3} ．【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，∴A ∩B={﹣1，3}，故答案为：{﹣1，3}7．（2014•江苏）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为21．【解答】解：z=（5+2i）2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i，故z的实部为21，故答案为：218．（2014•江苏）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是5．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，∵24=16＜20，25=32＞20，∴输出n=5．故答案为：5．9．（2014•江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是．【解答】解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个，所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个，故所求概率P=．故答案为：．10．（2014•江苏）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有24株树木的底部周长小于100cm．【解答】解：由频率分布直方图知：底部周长小于100cm的频率为（0.015+0.025）×10=0.4，∴底部周长小于100cm的频数为60×0.4=24（株）．故答案为：24．11．（2015•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为5．【解答】解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：512．（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为6．【解答】解：数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为：=6．故答案为：6．13．（2015•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．【解答】解：复数z满足z2=3+4i，可得|z||z|=|3+4i|==5，∴|z|=．故答案为：．14．（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7．【解答】解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8，S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8，S=7，I=10不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．15．（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．【解答】解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=，故答案为：．16．（2016•江苏）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B={﹣1，2} ．【解答】解：∵集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，∴A∩B={﹣1，2}，故答案为：{﹣1，2}17．（2016•江苏）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是5．【解答】解：z=（1+2i）（3﹣i）=5+5i，则z的实部是5，故答案为：5．18．（2016•江苏）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是0.1．【解答】解：∵数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数为：=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1，∴该组数据的方差：S2=[（4.7﹣5.1）2+（4.8﹣5.1）2+（5.1﹣5.1）2+（5.4﹣5.1）2+（5.5﹣5.1）2]=0.1．故答案为：0.1．19．（2016•江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是9．【解答】解：当a=1，b=9时，不满足a＞b，故a=5，b=7，当a=5，b=7时，不满足a＞b，故a=9，b=5当a=9，b=5时，满足a＞b，故输出的a值为9，故答案为：920．（2016•江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是．【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数为n=6×6=36，出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共6个，∴出现向上的点数之和小于10的概率：p=1﹣=．故答案为：．21．（2017•江苏）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为1．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，∴a=1或a2+3=1，当a=1时，A={1，1}，B={1，4}，成立；a2+3=1无解．综上，a=1．故答案为：1．22．（2017•江苏）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，∴|z|==．故答案为：．23．（2017•江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取18件．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60件进行检验，抽样比例为=，则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件，故答案为：1824．（2017•江苏）如图是一个算法流程图：若输入x 的值为，则输出y的值是﹣2．【解答】解：初始值x=，不满足x≥1，所以y=2+log 2=2﹣=﹣2，故答案为：﹣2．25．（2017•江苏）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，则D=[﹣2，3]，则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P==，故答案为：第11页（共11页）。