泰勒级数
泰勒级数_中文
┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊外文文献翻译泰勒级数出自维基百科，自由的百科全书，对于其他系列扩展概念，见系列（数学）。
在数学中，泰勒级数是一个具有代表性的利用单点的导数来实现无穷计算的函数。
泰勒级数的概念是由英国数学家布鲁克·泰勒在1715年正式提出。
如果泰勒级数在零点展开，则该级数称为麦克劳林级数。
科林·麦克劳林是苏格兰数学家，他在18世纪针对该级数做了广泛的使用，泰勒级数便以他的名字命名。
一般，通过使用其泰勒级数的有限项来逼近一个函数。
泰勒定理给出针对该逼近的误差估计。
一个函数的任何有限数量的泰勒级数被称为泰勒多项式。
一个函数的泰勒级数是该函数的泰勒多项式的无限逼近。
一个函数可能不等于它的泰勒级数，即使在每一个点其泰勒级数都收敛。
如果一个函数等于其在一个开放的区间（或在复平面上的盘）的泰勒级数，则它是已知的解析函数。
定义泰勒级数的实（复）函数()f x在实（复）数a的领域上是无限可微的幂级数：Λ+-+-+-+332)(!3)()(!2)('')(!1)(')(axafaxafaxafaf这也可以写成更简洁的形式：nnnaxnaf)(!)()(-∑∞=其中！n表示n的阶乘，)()(af n表示f在a点的n阶导数。
f的零阶导数是它本身，)(ax-和!0的值都为1，在0=a的情况下，该级数也称为麦克劳林级数。
例子对于任何多项式的麦克劳林级数都是该多项式本身。
1)1(--x，1||<x的麦克劳林级数就是如下的集合级数：Λ++++321xxx因此1x-在1a=上的泰勒级数为：Λ+---+--32)1()1()1(1xxx对上面的麦克劳林级数积分，得到)1log(x-（log为自然对数的符号）的麦克劳林级数为：Λ-----432413121xxxx而log()x在1a=上对应的泰勒级数就为：Λ+---+---432)1(41)1(31)1(21)1(xxxx指数函数x e在0a=处的泰勒级数为：┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊ΛΛ++++++=++++++12024621!5!4!3!2!11543254321xxxxxxxxxx上面的展开式成立，因为x e的导数关于x仍为x e而且10=e，这使得项nx)0(-以!n为分母的项，在无穷项和式中每一项式子都成立。
泰勒级数
§7.7泰勒级数【导语】在前两节，我们看到一个幂级数在其收敛区间内定义一个函数，这个函数连续并有各阶导数．我们还运用几何级数的级数展开获得了一些其他函数的级数展开．在这一节，我们将找到函数展开成幂级数的一般方法，即泰勒级数．我们也会研究泰勒级数和原函数之间的关系． 【正文】一、泰勒级数的概念假设函数()f x 在0x 处的幂级数展开为230102030()(())()a x x a x x x a a x x f =+-+-+-+ ．下面讨论这个幂级数的系数012,,,a a a 是怎样由()f x 确定的？在等式两边，令0x x =，得00()a f x =． 在等式两边求一次导数，有2323140002()3(()4))(f x a a x x a x x a x x '=+-+-+-+ ，等式两边，令0x x =，得10()f a x '=．再次求导数，有23423000532()43()()54()2f x a x x a a a x x x x +⋅-+⋅-'+⋅-'=+ ，20()012(1)!()(2)((1)43())!n n n n n a x x n f x a a x n n x ++++-+++⋅-+= ，定理24 如果函数()f x 可以写成0x 处的幂级数Remark 一般地说，我们不知道()f x 是不是可以写成中心在0x 的幂级数．但如果可以，一定是泰勒级数．写出()f x 的泰勒级数后，需要研究它的收敛半径、收敛域，并需要研究泰勒级数在收敛域内是否收敛到()f x 的问题．例1 写出函数()e x f x =的麦克劳林级数，并求其收敛域． 解 因为()()e n x f x =，所以()(0)1n f =．从而函数()e x f x =的麦克劳林级数为收敛域是(,)-∞∞．Remark 现在还没有说明这个幂级数收敛到e x ．例2 写出函数()sin f x x =的麦克劳林级数，并求其收敛域． 解 因为所以函数()sin f x x =的麦克劳林级数为-∞∞．故收敛域为(,)Remark 还没有证明这个幂级数收敛到sin x．二、泰勒级数收敛于函数的条件前面曾介绍过带有拉格朗日型余项的泰勒公式，即：例4 证明Euler 公式：i e cos isin x x x =+． 证 因为例5 将函数2()cos f x x =作麦克劳林级数展开． 所以例6 写出函数()(1)m f x x =+的麦克劳林级数，并求其收敛半径． 解 计算()f x 的各阶导数，我们有()(1),(0)1m f f x x ==+， 1()(1),(0)m f x m x f m -''=+=， 2()(1)(1)(0)(1)m f x m m x f m m -''''=-+=-，，一般地，()()(1)(1)(1)k m k x m k x f m m -=--++ ，()(0)(1)(1)k f m m m k =--+ ．所以()f x 的麦克劳林级数为因为m k ⎛⎫ ⎪⎝⎭叫作二项式系数．当m 是正整数时，m k ⎛⎫⎪⎝⎭正是从m 个元素中取出k 个的组合数． Remark2 可以证明 0,(1,()1)1k mk m x x k x ∞==∈-⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑．【本讲总结与下讲预告】。
taylor 级数展开式
taylor 级数展开式
泰勒级数是一种无限级数，将某个函数在某点附近展开成一系列次幂函数的和。
泰勒级数由泰勒公式得出，其公式如下：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + f'''(a)(x-a)³/3! + ... + f(n)(a)(x-a)^n/n! + ...
其中，f(x)是函数，f(a)是函数在a点的函数值，f'(a)是函数在a点的一阶导数值，f''(a)是函数在a点的二阶导数值，f'''(a)是函数在a点的三阶导数值，以此类推。
n是自然数，是展开式的项数。
Σ表示求和运算。
这个公式是在一个充分连续的区间上成立的，并且可以根据需要逐项进行截断或者是添加新的项。
泰勒级数展开通常用于在某个点周围进行局部近似，从而推导和计算某些数学上复杂的函数或算法，比如微积分，信号处理，图像处理等领域。
值得注意的是，每一个函数都有其独特的泰勒级数展开，而且展开式的项数通常需要根据所求问题而定，因此，展开式的求取需要仔细的推导和计算过程。
泰勒展开常用公式
泰勒展开常用公式摘要：一、泰勒展开简介1.泰勒展开的定义2.泰勒级数的重要性二、泰勒展开公式1.泰勒展开的通项公式2.泰勒级数的收敛性3.泰勒级数的性质三、泰勒展开在数学中的应用1.近似计算2.求解微分方程四、泰勒展开在实际生活中的应用1.物理学2.工程学3.经济学正文：一、泰勒展开简介泰勒展开，又称泰勒级数，是数学上一种用于描述一个可微函数在某点附近的近似值的方法。
泰勒展开将函数展开为一个无穷级数，该级数的每一项都与该点的各阶导数有关。
泰勒级数在数学、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
1.泰勒展开的定义给定一个可微函数f(x)，我们可以将其在点x附近的值近似表示为：f(x) ≈ f(x) + f"(x)(x-x) + (f""(x)(x-x)^2)/2! + ...+ (f^n(x)(x-x)^n)/n!其中，f"(x)、f""(x) 等表示函数f(x) 在点x 的各阶导数，n! 表示n 的阶乘。
2.泰勒级数的重要性泰勒级数提供了一种将复杂函数简化为多项式的方法，这有助于我们更容易地研究和分析函数的性质。
同时，泰勒级数还可以用于近似计算、求解微分方程等问题。
二、泰勒展开公式1.泰勒展开的通项公式泰勒展开的通项公式为：T_n(x) = f(x) + f"(x)(x-x) + (f""(x)(x-x)^2)/2! + ...+ (f^n(x)(x-x)^n)/n!其中，T_n(x) 表示泰勒级数的前n 项和，f"(x)、f""(x) 等表示函数f(x) 在点x的各阶导数。
2.泰勒级数的收敛性泰勒级数的收敛性取决于函数f(x) 在点x处的各阶导数的收敛性。
如果f(x) 在x处的各阶导数都有限，那么泰勒级数是收敛的。
3.泰勒级数的性质泰勒级数具有以下性质：- 泰勒级数是唯一的；- 泰勒级数可以扩展到整个定义域；- 泰勒级数的每一项都与点x的各阶导数有关。
泰勒级数展开公式
泰勒级数展开公式一、概念介绍泰勒级数是一种用无穷项多项式来表示一个函数的方法。
它可以将一个函数在某一点附近展开成无穷项的幂级数，并通过级数的前几项来逼近原函数。
泰勒级数展开公式的一般形式如下：f(x) = a₀ + a₁(x - c) + a₂(x - c)² + a₃(x - c)³ + ...其中，f(x)表示待展开的函数，c表示展开的中心点，a₀、a₁、a₂等表示展开系数。
二、应用领域1. 数学分析：泰勒级数展开公式在数学分析中起着至关重要的作用，它可以将复杂的函数用简单的多项式来逼近，从而简化问题的求解过程。
2. 物理学：泰勒级数展开公式在物理学中也有广泛的应用。
例如，在牛顿力学中，可以通过泰勒级数展开公式来近似计算物体的运动轨迹和速度。
3. 工程学：泰勒级数展开公式在工程学中也有重要的应用。
例如，在电路分析中，可以利用泰勒级数展开公式来近似计算电流和电压的关系。
三、推导过程泰勒级数展开公式的推导过程可以通过对函数进行逐阶求导得到。
首先，我们假设函数f(x)在某一点c处具有n阶可导性，即函数在该点的前n阶导数存在。
然后，我们可以得到泰勒级数展开公式的一般形式：f(x) = f(c) + f'(c)(x - c) + f''(c)(x - c)²/2! + f'''(c)(x - c)³/3! + ...其中，f'(c)、f''(c)等表示函数在点c处的一阶、二阶导数。
四、重要性和应用举例泰勒级数展开公式在数学和物理领域有着广泛的应用。
以下是一些具体的应用举例：1. 计算指数函数的近似值：利用泰勒级数展开公式，我们可以将指数函数近似为多项式形式，从而简化指数函数的计算过程。
2. 计算三角函数的近似值：泰勒级数展开公式可以将三角函数展开为多项式形式，从而方便计算和求解三角函数相关的问题。
常见泰勒级数
常见泰勒级数一、概述泰勒级数是数学中的一个重要概念，用来近似表示函数。
通过泰勒级数可以把一个函数表示成无穷级数的形式，从而可以更好地理解函数的性质和行为。
常见的泰勒级数包括正弦级数、余弦级数和指数级数等。
二、正弦级数正弦级数是指将一个任意的函数表示成无穷级数形式的一种表示方法。
对于一个可导的函数f(x)，正弦级数的形式为：f(x)=a0+a1sin(x)+a2sin(2x)+⋯+a n sin(nx)+⋯其中，a n是f(x)的傅里叶系数，具体计算公式为：a n=1π∫fπ−π(x)sin(nx)dx三、余弦级数余弦级数是将函数表示成无穷级数形式的另一种表示方法。
对于一个可导的函数f(x)，余弦级数的形式为：f(x)=a0+a1cos(x)+a2cos(2x)+⋯+a n cos(nx)+⋯余弦级数的傅里叶系数的计算公式为：a n=1π∫fπ−π(x)cos(nx)dx四、指数级数指数级数是将一个函数表示成无穷级数形式的一种重要方法。
形式如下：f(x)=⋯+a−2e−2x+a−1e−x+a0+a1e x+a2e2x+⋯其中，a n是f(x)的傅里叶系数，计算公式为：a n=12π∫fπ−π(x)e−inx dx五、常见函数的泰勒级数展开1.指数函数的泰勒级数展开式为：e x=1+x+x22!+x33!+x44!+⋯2.正弦函数的泰勒级数展开式为：sin(x)=x−x33!+x55!−⋯+(−1)nx2n+1(2n+1)!+⋯3.余弦函数的泰勒级数展开式为：cos(x)=1−x22!+x44!−⋯+(−1)nx2n(2n)!+⋯六、应用泰勒级数的应用非常广泛，可以用来近似计算各种复杂函数。
比如，在物理学、工程学等领域中，常常需要对复杂的曲线进行近似，这时可以使用泰勒级数来展开函数，从而得到更简洁、易于计算的表达式。
另外，泰勒级数还可以用来研究函数的性质和行为。
通过泰勒级数展开，我们可以更好地理解函数的变化规律，推导出一些重要的数学结论。
泰勒级数
1.在数学中，泰勒级数（Taylor series）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。
泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克·泰勒（Sir Brook Taylor）来命名的。
通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做迈克劳林级数，以苏格兰数学家科林·麦克劳林的名字命名。
拉格朗日在1797年之前，最先提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。
实际应用中，泰勒级数需要截断，只取有限项，可以用泰勒定理估算这种近似的误差。
一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒多项式。
一个函数的泰勒级数是其泰勒多项式的极限（如果存在极限）。
即使泰勒级数在每点都收敛，函数与其泰勒级数也可能不相等。
开区间（或复平面开片）上，与自身泰勒级数相等的函数称为解析函数。
定义在数学上，一个在实数或复数a邻域上的无穷可微实变函数或复变函数ƒ(x)的泰勒级数是如下的幂级数：这里，n! 表示n的阶乘而表示函数f在点a处的n阶导数。
如果a = 0，那么这个级数也可以被称为麦克劳伦级数。
解析函数柯西在1823年指出函数e−1/x²在x = 0处不解析。
如果泰勒级数对于区间（a-r, a+r）中的所有x都收敛并且级数的和等于f(x)，那么我们就称函数f(x)为解析的（analytic）。
当且仅当一个函数可以表示成为幂级数的形式时，它才是解析的。
为了检查级数是否收敛于f(x)，通常采用泰勒定理估计级数的余项。
上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。
泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：1幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。
2一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。
3泰勒级数可以用来近似计算函数的值。
对于一些无穷可微函数f(x)虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f(x)。
例如，分段函数，当x≠ 0且f (0) = 0，则当x = 0所有的导数都为零，所以这个f(x)的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，虽然这个函数f仅在x= 0处为零。
泰勒级数
泰泰勒级数（Taylor series）是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克·泰勒（Sir Brook Taylor）来命名的。
目录[隐藏]∙ 1 简介∙ 2 历史∙ 3 简易多项式泰勒展开式o 3.1 定义o 3.2 求法o 3.3 用法∙ 4 泰勒级数列表∙ 5 多元函数的展开∙ 6 参见[编辑]简介在数学上，一个定义在开区间（a-r, a+r）上的无穷可微实变函数或复变函数f的泰勒级数是如下的幂级数：这里，n! 表示n的阶乘而表示函数f在点a处的n阶导数。
如果泰勒级数对于区间 (a-r, a+r)中的所有x都收敛并且级数的和等于f(x)，那么我们就称函数f(x)为解析的（analytic）。
当且仅当一个函数可以表示成为幂级数的形式时，它才是解析的。
为了检查级数是否收敛于f (x)，我们通常采用泰勒定理估计级数的余项。
上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。
如果a = 0，那么这个级数也可以被称为麦克劳伦级数。
泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：1.幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。
2.一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。
3.泰勒级数可以用来近似计算函数的值。
对于一些无穷可微函数f (x)虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f (x)。
例如，分段函数，当x≠ 0且f (0) = 0，则当x = 0所有的导数都为零，所以这个f(x)的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，虽然这个函数f仅在x=0处为零。
而这个问题在复变函数内并不成立，因为当z沿虚轴趋于零时并不趋于零。
一些函数无法被展开为泰勒级数因为那里存在一些奇点。
但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。
例如，就可以被展开为一个洛朗级数。
Parker-Sockacki method（英语）[1]是最近发现的一种用泰勒级数来求解微分方程的定理。
泰勒级数的定义和应用
泰勒级数的定义和应用1. 泰勒级数的概念泰勒级数（Taylor series）是一种在数学分析中常用的工具，它是一个函数在某一点的邻域内的无穷级数展开式。
其目的在于用一组多项式来逼近一个连续函数，使得在给定误差范围内，该多项式与原函数的值尽可能接近。
2. 泰勒级数的表达式设函数f(x)在点a处可导，且导数在该点连续，那么函数f(x)在点a处的泰勒级数可以表示为：[ f(x) = f(a) + f’(a)(x-a) + (x-a)^2 + (x-a)^3 + + (x-a)^n + R_n(x) ]其中，( f^{(n)}(a) )表示f(x)在点a处的第n阶导数，n为正整数；( R_n(x) )表示余项，表示泰勒级数中余项部分的误差。
当n趋于无穷大时，如果余项趋于0，则泰勒级数收敛于函数f(x)。
3. 泰勒级数的性质（1）收敛性：泰勒级数的收敛性与余项密切相关。
如果余项满足一定的条件，例如幂级数展开的余项为( R_n(x) (x-a)^{n+1} )，其中M为常数，则泰勒级数收敛。
（2）唯一性：在某一区间内，一个函数的泰勒级数是唯一的，除非该函数在该区间内具有多个极值点。
（3）对称性：如果函数f(x)是偶函数，则其泰勒级数在原点对称；如果函数f(x)是奇函数，则其泰勒级数关于原点对称。
4. 泰勒级数的应用泰勒级数在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，以下列举几个典型例子：（1）求解微分方程：泰勒级数可以用来求解许多微分方程，特别是那些形式复杂的非线性微分方程。
通过将方程两边展开成泰勒级数，可以简化方程求解过程。
（2）数值计算：在计算机计算中，为了提高计算精度，常常需要将函数在某一点附近展开成泰勒级数，然后利用级数的前几项进行数值计算。
（3）泰勒级数在物理学中的应用：在物理学中，许多自然现象可以用泰勒级数来描述，例如正弦函数、余弦函数等。
通过将物理量展开成泰勒级数，可以研究其在不同条件下的变化规律。
泰勒级数定义
泰勒级数定义
泰勒级数是指任意可导的函数在某一点处的无限阶的泰勒展开式，表示成无限级数的
形式。
从数学上来说，泰勒级数可以用于描述函数在该点附近的局部性质，如变化率、凹
凸性、极值等。
泰勒级数的具体定义是，对于一个具有无限阶可导性的函数 $f(x)$，如果在
$x=a$ 处进行泰勒展开，则展开式可以表示为：
$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$
其中，$f^{(n)}$ 表示函数 $f(x)$ 的 $n$ 阶导数，$n!$ 表示 $n$ 的阶乘。
泰勒级数展开式是一个无限级数和，包括了函数在该点的所有导数和该点处的函数值。
这可以被用于表示函数在该点的光滑程度和各种性质。
通常来说，展开式的前若干项可以
用来近似表示函数在该点附近的值。
因此，泰勒级数也是一种重要的近似方法。
泰勒级数可以表达一些常见函数的形式。
比如：
1. $e^x$（自然指数）的泰勒级数展开式：
泰勒级数展开式有许多应用，例如在数学上用于寻找函数的极值、高精度计算、微积
分等领域；在物理学上则用于描述物理现象并进行模拟，如波动物理、热力学、量子力学
等领域。
泰勒级数不仅在理论研究上具有价值，同时在实际应用中也有广泛的用途。
泰勒级数展开的若干方法
泰勒级数展开的若干方法泰勒级数是一种用于近似连续函数的方法。
它是由苏格兰数学家布鲁马尔·泰勒在18世纪提出的，并被广泛应用于数学、物理学和工程学中。
泰勒级数展开可以将一个函数表示为无穷级数的形式，使得我们可以在计算机上使用有限的项数来计算函数的值。
以下是泰勒级数展开的几种方法：1.泰勒级数定义：泰勒级数的定义可以用下面的公式表示：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...其中f(x)表示要展开的函数，a是展开点，f'(a)表示函数f在点a的导数，f''(a)表示f的二阶导数，依此类推。
这种形式的泰勒级数展开非常适合近似解析函数。
2.麦克劳林级数展开：麦克劳林级数展开是泰勒级数展开的一种特殊形式，展开点a=0。
麦克劳林级数展开的公式为：f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+f'''(0)x^3/3!+...这种展开方法非常适合近似解析函数在原点附近的值。
3.希尔伯特-埃尔米特展开：希尔伯特-埃尔米特展开是泰勒级数展开的一种特殊形式，用于近似解析函数在实数轴上的展开。
它基于埃尔米特多项式，展开公式为：f(x)=f(a)H_0(x-a)+f'(a)H_1(x-a)+f''(a)H_2(x-a)^2/2!+f'''(a)H_3(x-a)^3/3!+...其中H_n(x-a)为埃尔米特多项式的第n个项。
4.通过泰勒级数求解微分方程：泰勒级数展开方法还可以用来求解微分方程。
通过将未知函数展开成泰勒级数的形式，将函数的微分代入方程中，可以得到一个关于参数a的无穷级数方程。
通过比较系数，可以求解出这个无穷级数方程，并得到原微分方程的解析解。
常用泰勒级数
常用泰勒级数一、什么是泰勒级数？泰勒级数是一种用无限多个项的幂函数表示一个函数的方法，也被称为泰勒展开式。
它可以将任何光滑函数表示为一个无穷级数的形式，使得在某个区间内该级数收敛于原函数。
二、为什么要使用泰勒级数？使用泰勒级数可以将复杂的函数转化为简单的形式，从而更容易进行计算和分析。
此外，泰勒级数也可以用于近似计算，例如在物理学中常用于求解微积分方程或差分方程。
三、常用泰勒级数1. 正弦函数正弦函数可以表示为以下形式的泰勒级数：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...其中“!”表示阶乘运算。
2. 余弦函数余弦函数可以表示为以下形式的泰勒级数：cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...同样地，“!”表示阶乘运算。
3. 指数函数指数函数可以表示为以下形式的泰勒级数：e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...在这种情况下，“!”表示阶乘运算。
4. 自然对数函数自然对数函数可以表示为以下形式的泰勒级数：ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...其中x的值必须满足|x| < 1。
5. 反正切函数反正切函数可以表示为以下形式的泰勒级数：arctan(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + ...其中x的值必须满足|x| < 1。
四、总结泰勒级数是一种重要的数学工具，可以用于将复杂的函数转化为简单的形式，并且在计算和分析中具有广泛应用。
常用的泰勒级数包括正弦函数、余弦函数、指数函数、自然对数函数和反正切函数等。
熟练掌握这些常用泰勒级数对于理解高等数学和物理学等领域中许多重要概念非常有帮助。
泰勒级数——精选推荐
泰勒级数泰勒公式（Taylor Series）能把⼤多数的函数展开成幂级数，即f(x)=∞∑n=0A n x n式⼦当中只有加法与乘法，容易求导，便于理解与计算。
这种特性使得泰勒公式在数学推导（如：微分⽅程以幂级数作为解），数值逼近（如：求e、开⽅），函数逼近（在计算机某些计算优化时，可以把某些繁琐的式⼦进⾏泰勒展开，仅保留加法与乘法运算），复分析等多种应⽤中有⼴泛应⽤。
条件：有实函数f，f在闭区间[a,b]是连续的，f在开区间(a,b)是n+1阶可微。
则可以对函数f进⾏泰勒展开：f(x)=10!f(x0)+11!(x−x0)f′(x0)+12!(x−x0)2f″其中x_0为区间(a,b)中的某⼀点，x_0 \in (a,b)，变量x也在区间(a,b)内。
泰勒展开得到的是⼀个多项式，可以写成f(x) = \displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}\frac{(x-x_0)^k}{k!}f^{(k)}(x) + R_n }其中R_n为泰勒公式的余项（Remainder）。
该余项可以写成以下形式R_n = \displaystyle{ \int_{x_0}^x \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^ndt }余项R_n还可以进⼀步表⽰成：存在⼀点x_0<\xi<x使得下⾯的式⼦成⽴R_n = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}泰勒公式推导的起点为微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）：\displaystyle{ \int_{x_0}^x f'(t)dt } = f(x) – f(x_0)因此有：\displaystyle{ f(x) = f(x_0) + \int_{x_0}^x f'(t)dt }然后⽤分部积分法(Integration by parts)对积分部分进⾏分解:\begin{align*} f(x) &=\color{red}{f(x_0) + \int_{x_0}^x f'(t)dt} \\ &=f(x_0) + \left. tf'(t)\right|_{x_0}^x - \int_{x_0}^x tf''(t)dt \qquad udv = uv -vdu \\ &=f(x_0) + xf'(x) – x_0f'(x_0) - \int_{x_0}^x tf''(t)dt \\ &=f(x_0) + x\left( f'(x_0) + \int_{x_0}^x f''(t)dt \right ) – x_0f'(x_0) - \int_{x_0}^x tf''(t)dt \\ &\qquad Fundamental \ Theorem \ of \ Calculus\\ &=\color{red}{f(x_0) + (x-x_0)f'(x_0) + \int_{x_0}^x (x-t)f''(t)dt} \\ &=f(x_0) + (x-x_0)f'(x_0) + \left.(xt - \frac{1}{2}t^2)f''(t)\right|_{x_0}^x - \int_{x_0}^x(xt - \frac{1}{2}t^2) f'''(t)dt \qquad udv = uv - vdu \\ &=f(x_0) + (x-x_0)f'(x_0) + \frac{x^2} {2}f''(x) + \frac{-2x_0x + {x_0}^2}{2}f''(x_0) - \int_{x_0}^x\frac{2xt-t^2}{2} f'''(t)dt \\ &=f(x_0) + (x-x_0)f'(x_0) + \frac{x^2}{2}\left( f''(x_0) +\int_{x_0}^x f'''(t)dt \right ) + \frac{-2x_0x + {x_0}^2}{2}f''(x_0) \\ &\quad+ \int_{x_0}^x\frac{-2xt+t^2}{2} f'''(t)dt \quad Fundamental \ Theorem \ of \ Calculus\\ &=\color{red}{f(x_0) + (x-x_0)f'(x_0) + \frac{(x-x_0)^2}{2}f''(x_0) + \int_{x_0}^x\frac{(x-t)^2}{2} f'''(t)dt} \end{align*}运⽤微积分基本定理以及分部积分法继续推导下去可以得到：\begin{align*} f(x) &= \frac{1}{0!}f(x_0) \\ &+\frac{1}{1!}(x-x_0)f'(x_0) \\ &+\frac{1}{2!}(x-x_0)^2f''(x_0) \\ &+\cdot \cdot \cdot \\ &+\frac{1}{n!} (x-x_0)^nf^{(n)}(x_0) \\ &+\int_{x_0}^x \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^ndt \qquad * \end{align*}由此得到余项R_n = \int_{x_0}^x \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^ndt泰勒公式的余项能写成多种形式，我们这⾥只对它的拉格朗⽇（Lagrange）形式进⾏推导拉格朗⽇余项为：存在⼀点x_0<\xi<x使得下⾯的式⼦成⽴R_n = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}推导过程如下：令\begin{align*} F(x) &= \frac{1}{0!}f(x_0) \\ &+ \frac{1}{1!}(x-x_0)f'(x_0) \\ &+ \frac{1}{2!}(x-x_0)^2f''(x_0) \\ &+ \cdot\cdot\cdot \\ &+ \frac{1}{n!}(x-x_0)^nf^n(x_0) \end{align*}那么就有R_n(x) = f(x) – F(x)由于f(x)与F(x)在区间(a,b)上都有n+1阶导，因此R_n(x)在此区间上也有n+1阶导。
函数的泰勒级数
练 习 ： 将 f(x)(2 1 x)2展 开 成 x 的 幂 级 数 。
常用函数的幂级数展开式 课本 Page 264 (8)—(15)式
ex 1x1x2 1xn , x (, )
2!
n!
ln (1x)x1x 21x 3 ( 1 )n 1x n
定理 1 说明： 如果函数 f (x) 在 U(x0,) 内具有任 意阶导数, 且在 U(x0,) 内能展开成 (xx0) 的幂级
数, 即
n0 an (x x0 )n ,则其系数
an
1 n!
f
(n)( x0 )
(n 0,1,2,)且展开式是唯一的.
th 1 告 诉 我 们 ， 若 函 数 f( x ) 能 展 开 成 ( x -x 0 ) 的 幂 级 数 的 话 , 则 该 幂 级 数 必 定 是 泰 勒 级 数 .
例 3 将 函 数 f ( x ) l n ( 2 x 3 x 2 ) 展 开 成 x 的 幂 级 数
答 案 ： f(x)ln21(3 2)nxn(2x2)
n1 n
33
例 4将 f(x ) x 展 开 成 x 的 幂 级 数 。 x 2 x 2
答 案 ： f(x)1 3n 0[( 1 )n2 1 n]xn( 1x 1 )
Hale Waihona Puke 小结：将f(x)展成幂级数 an(xx0)n,须将f(x) n0
写成f[(xx0)x0]的形式，然后将其整理成已知 的函数的幂级数的形式.
例 6( 1 )将 f(x )1展 开 成 x 1 的 幂 级 数 。 x 1
( 2 )将 f(x ) x 2 1 4 x 3 展 开 成 x 1 的 幂 级 数 。
数学分析中的泰勒级数
数学分析中的泰勒级数泰勒级数是数学分析中的重要概念，它在近似计算、数学模型等领域有着广泛的应用。
本文将介绍泰勒级数的定义、计算方法以及其在数学分析中的应用。
一、泰勒级数的定义泰勒级数是指将一个函数展开成无穷级数的形式，使得该级数在某个点的附近能够近似表示原函数。
泰勒级数的一般形式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a) (x-a)^2/2! + f'''(a) (x-a)^3/3! + ...其中，f(x)为要展开的函数，a为展开点，f'(x)、f''(x)等为函数f(x)的各阶导数。
二、泰勒级数的计算方法泰勒级数的计算方法通常有两种：经典泰勒级数和麦克劳林级数。
1. 经典泰勒级数经典泰勒级数的计算方法是首先求出原函数在展开点的各阶导数，然后代入泰勒级数的公式中进行展开。
例如，对于函数f(x) = sin(x)，要在展开点a=0处计算其泰勒级数。
首先求得f(x)的各阶导数：f(x) = sin(x)f'(x) = cos(x)f''(x) = -sin(x)f'''(x)= -cos(x)...然后代入泰勒级数公式，得到：f(x) = f(0) + f'(0) x + f''(0) (x^2/2!) + f'''(0) (x^3/3!) + ...2. 麦克劳林级数麦克劳林级数是泰勒级数的一种特殊形式，指展开点a为0的泰勒级数。
计算方法与经典泰勒级数类似，只需将展开点代入泰勒级数公式即可。
例如，对于函数f(x) = e^x，在展开点a=0处计算其麦克劳林级数。
首先求得f(x)的各阶导数：f(x) = e^xf'(x) = e^xf''(x) = e^xf'''(x)= e^x...然后代入麦克劳林级数公式，得到：f(x) = f(0) + f'(0) x + f''(0) (x^2/2!) + f'''(0) (x^3/3!) + ...三、泰勒级数在数学分析中的应用泰勒级数在数学分析中有广泛的应用，主要体现在以下几个方面：1. 近似计算泰勒级数可将复杂的函数近似表示为无穷级数的形式，使得计算更加简便。
10个最常见的泰勒级数展开
10个最常见的泰勒级数展开泰勒级数展开是一种重要的数学工具，广泛应用于多个科学领域。
泰勒级数展开可以将一个函数表示为无限级数的形式，并且可以通过截取有限项来近似计算函数的值。
在实际应用中，有一些函数的泰勒级数展开具有特殊的形式，它们更易于计算和应用。
下面将介绍10个最常见的泰勒级数展开。
1. 正弦函数的泰勒级数展开正弦函数的泰勒级数展开公式为：$$\sin(x) = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots+\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}+\cdots $$利用这个展开式，我们可以计算任意角度的正弦值。
2. 余弦函数的泰勒级数展开余弦函数的泰勒级数展开公式为：$$\cos(x) = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots+\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}+\cdots$$利用这个展开式，我们可以计算任意角度的余弦值。
3. 指数函数的泰勒级数展开指数函数的泰勒级数展开公式为：$$e^x =1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots$$指数函数的泰勒级数展开具有简洁的形式，被广泛应用于概率论、统计学和物理学等领域。
4. 自然对数函数的泰勒级数展开自然对数函数的泰勒级数展开公式为：$$\ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+\cdots$$这个展开式在概率论、统计学和计算机科学等领域中有广泛应用。
5. 正切函数的泰勒级数展开正切函数的泰勒级数展开公式为：$$\tan(x) =x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}+\cdots+\frac{2^nB_ {2n}}{(2n)!}x^{2n-1}+\cdots$$其中，$B_{2n}$是伯努利数。
泰勒级数
令 x a, 即得
1 ( n) an f (a ) n! ( n 0,1, 2,)
泰勒系数
泰勒系数是唯一的
f ( x )的展开式是唯一的.
泰勒级数
§9.3 幂级数
定义
如果 f ( x ) 在点 a 处任意阶可导,则幂级数
n 0
f ( n ) (a ) ( x a )n 称为 f ( x ) 在点 a 的泰勒级数. n!
f ( k ) ( x) k ! ck
f ( k 1) ( x) 0
f (0) c1
f (0) 2! c2
f (0) c0
f (0) 3! c3
f ( k ) (0) k !ck
泰勒级数
§9.3 幂级数
lim Rn x 0nf 0 2 f 0 k f x f 0 f 0 x x x 2! k!
定理2 若函数f ( x )在区间(a r , a r )存在任意阶导数，
且x (a r , a r ), 泰勒公式的余项Rn ( x) 0(n ),
则x (a r , a r ), 有f ( x )
n 0
f
( n)
(a ) n ( x a) . n!
n 0
f
( n)
(a ) n ( x a) . n!
证明:泰勒公式中的拉格朗日余项
f ( n1) ( ) Rn ( x ) ( x a )n 1 ( n 1)!
n1
（ 在a与x之间）
xa r n 1 M M ( n 1)! (n 1)!
泰勒级数
泰勒级数范围
泰勒级数范围1. 什么是泰勒级数？泰勒级数是一种用无限多项式来表示一个函数的方法。
它以数学家布鲁诺·约瑟夫·奥伊斯特瓦尔德·泰勒的名字命名，他在18世纪提出了这个概念。
泰勒级数将一个函数表示为无限多个项的和，每个项都是函数在某一点处的导数值与对应自变量幂次的乘积。
这种表示方法可以将任意光滑函数近似为多项式，从而简化复杂函数的计算和分析。
2. 泰勒级数的公式泰勒级数可以用以下公式表示：%5Cfrac{%28x-a)%5E3}%7B3!}%20+%20…)其中，f(x)是要近似表示的函数，a是近似点，f'(a)、f''(a)、f^3(a)分别是f(x)在点a处的一阶、二阶和三阶导数。
3. 泰勒级数的收敛性泰勒级数的收敛性取决于函数在近似点附近的性质。
如果函数在该点处具有光滑性，并且各阶导数有界，那么泰勒级数将收敛于函数本身。
然而，并非所有函数都能用泰勒级数来表示。
有些函数在某些点附近可能具有奇异性或发散，导致泰勒级数无法收敛。
4. 泰勒级数的应用泰勒级数广泛应用于科学和工程领域中。
以下是一些常见的应用：4.1 函数逼近通过使用泰勒级数，可以将复杂的函数近似为多项式。
这种逼近方法在计算和分析中非常有用，因为多项式比一般函数更易处理。
4.2 数值计算使用泰勒级数可以简化复杂函数的计算。
通过截断无限项求和，可以得到一个有限项的多项式逼近解。
这种方法在科学计算和工程领域中经常使用。
4.3 物理建模物理学中的许多现象可以通过泰勒级数来建模。
例如，牛顿力学中的运动方程可以用泰勒级数表示，从而推导出运动物体的轨迹和速度。
4.4 工程优化在工程领域，泰勒级数可用于优化设计和分析。
通过将复杂的系统模型近似为多项式，可以简化计算和优化过程，提高工程效率。
5. 泰勒级数的范围泰勒级数适用于光滑函数，并且其收敛性取决于函数在近似点附近的性质。
因此，泰勒级数不适用于那些具有奇异性或发散行为的函数。
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第二节二、泰勒定理泰勒级数一、问题的引入三、将函数展开成泰勒级数 四、典型例题 五、小结与思考一、问题的引入问题: 任一个解析函数能否用幂级数来表达？设函数 f ( z ) 在区域 D 内解析 , ζ − z0 = r为 D 内以 z0 为中心的任一圆周 ,它与它的内部全包含于 D, 记为 K , K 内任意点 .z如图:z0. r .ζK圆周 ζ − z0 = rD2由柯西积分公式 , 有1 f (ζ ) f (z) = dζ , 其中 K 取正方向. ∫ 2π i K ζ − z因为积分变量 ζ 取在圆周 K 上, 点 z 在 K 的内部,z − z0 所以 < 1. ζ − z0 1 1 1 = 则 ζ − z ζ − z0 1 − z − z0 ζ − z031 ⎡ z − z0 z − z0 2 ⎤ z − z0 n = 1+ ( )+( ) +" + ( ) + "⎥ ⎢ ζ − z0 ⎣ ζ − z0 ζ − z0 ζ − z0 ⎦1 n =∑ ( z − z ) 0 . n +1 n = 0 (ζ − z0 )∞⎡ 1 f (ζ )dζ ⎤ n 于是 f ( z ) = ∑ ⎢ ( z − z ) 0 n +1 ⎥ ∫ 2 π i ( z ) ζ − n= 0 ⎣ 0 ⎦ KN −11 ⎡ ∞ f (ζ ) n⎤ + ∑ n + 1 ( z − z0 ) ⎥ dζ . ∫ ⎢ 2π i K ⎣ n= N (ζ − z0 ) ⎦4由高阶导数公式, 上式又可写成f (z) =N −1∑ n= 0f ( n ) ( z0 ) ( z − z 0 ) n + RN ( z ) n!1 ⎡ ∞ f (ζ ) n⎤ ( z − z0 ) ⎥ dζ 其中 RN ( z ) = ∑ n +1 ⎢ ∫ 2 πi K ⎣ n= N (ζ − z0 ) ⎦若 lim RN ( z ) = 0,N →∞可知在K内 f ( z ) = ∑n= 0∞f ( n ) ( z0 ) ( z − z0 ) n n!5即 f ( z ) 在 K 内可以用幂级数来表示 ,令z − z0 z − z0 = =q ζ − z0 rq 是与积分变量 ζ 无关的量 , 且 0 ≤ q < 1,f ( z ) 在 D ( K ⊂ D ) 内解析 , 则在K上连续, 因此 f (ζ ) 在 K 上也连续 , f (ζ ) 在 K 上有界 ,6即存在一个正常数M,在 K上 f (ζ ) ≤ M .∞ 1 f (ζ ) n RN ( z ) ≤ ( z − z ) ds ∑ 0 n +1 ∫ 2 π K n= N (ζ − z0 )n ∞ ⎡ f (ζ ) z − z0 ⎤ 1 ≤ ⎥ ds ⎢∑ ∫ 2π K ⎢ ⎣ n = N ζ − z0 ζ − z0 ⎥ ⎦n Mq 1 M n . ≤ ⋅ ∑ q ⋅ 2 πr = 1− q 2π n= N r ∞7N →∞lim q = 0nlim RN ( z ) = 0 在 K 内成立, N →∞∞从而在K内 f ( z ) = ∑n= 0f ( n ) ( z0 ) ( z − z0 ) n n! 泰勒级数f ( z ) 在 z0 的泰勒展开式,圆周 K 的半径可以任意增大,只要 K 在 D内成立.8如果 z0 到 D 的边界上各点的最短距离为 d , 那末 f ( z ) 在 z0 的泰勒展开式在 z − z0 < d内成立． 但 f ( z ) 在 z0 的泰勒级数 的收敛半径 R 至少等于 d ， 因为凡满足 z − z0 < d 的 z 必能使f (z) = ∑∞f(n)n= 0( z0 ) ( z − z0 )n 成立， 即 R ≥ d . n!由上讨论得重要定理——泰勒展开定理9二、泰勒定理定理 设 f ( z ) 在区域 D 内解析, z0 为 D 内的一 点, d 为 z0 到 D 的边界上各点的最短距离, 那末n f ( z ) = c ( z − z ) z − z < d 当 成立, 时, ∑n 0 0 n= 0 ∞泰勒级数 泰勒展开式 1 (n) 其中 cn = f ( z0 ), n = 0, 1, 2,"" n!泰勒介绍10说明:1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多; (想一想, 为什么?); , , )( .200z d z d D z f −=αα即之间的距离一个奇点到最近等于则内有奇点在如果;,0.30级数称为麦克劳林级数时当=z 4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的. (为什么?)注意)f(z因为解析，可以保证无限次可各阶导数的连续性;所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多.问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数，展开式是否唯一？: )( 0已被展开成幂级数在设z z f "+−+−+=202010)()()(z z a z z a a z f ,)(0"+−+n n z z a 那末,)(00a z f =,)(10a z f =′即",)(!10)(z f n a n n =""因此, 任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数, 因而是唯一的.三、将函数展开成泰勒级数常用方法:直接法和间接法.1.直接法:",2,1,0,)(!10)(==n z f n c n n .)( 0展开成幂级数在将函数z z f 由泰勒展开定理计算系数例如，.0 的泰勒展开式在求=z e z ),2,1,0(,1)(0)("===n e z n z 故有∑∞==+++++=02!!!21n n n z n z n z z z e "", 在复平面内处处解析因为ze .∞=R 所以级数的收敛半径,)( )(zn z e e =因为仿照上例, ,)!12()1(!5!3sin 1253""++−+−+−=+n z z z z z n n )(∞=R ,)!2()1(!4!21cos 242""+−+−+−=n z z z z nn )(∞=R .0 cos sin 的泰勒展开式在与可得=z z z2. 间接展开法:借助于一些已知函数的展开式, 结合解析函数的性质, 幂级数运算性质(逐项求导, 积分等)和其它数学技巧(代换等) , 求函数的泰勒展开式.间接法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径, 因而比直接展开更为简洁, 使用范围也更为广泛.例如，.0 sin 的泰勒展开式在利用间接展开法求=z z )(21sin iz iz e e iz −−=∑∞=++−=012)!12()1(n n n n z ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=∑∑∞=∞=00!)(!)(21n n nn n iz n iz i附: 常见函数的泰勒展开式,!!!21)102∑∞==+++++=n nn z n z n z z z e "",111)202∑∞==+++++=−n n n z z z z z "",)1()1(111)302∑∞=−=+−+−+−=+n n n n n z z z z z "",)!12()1(!5!3sin )41253""++−+−+−=+n z z z z z n n )1(<z )1(<z )(∞<z )(∞<z,)!2()1(!4!21cos )5242""+−+−+−=n z z z z n n )(∞<z ,1)1(32)1ln()6132""++−+−+−=++n z z z z z n n ∑∞=++−=011)1(n n n n z )1(<z +−−+−++=+32!3)2)(1(!2)1(1)1()7z z z z ααααααα,!)1()1("""++−−+n z n n ααα)1(<z例1. )1(1 2的幂级数展开成把函数z z +解""+−+−+−=+nn z z z z)1(11121<z 四、典型例题,11)1(12−==+z z z 上有一奇点在由于,1内处处解析且在<z ,的幂级数可展开成z′⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=+z z 11)1(12.1,)1(321112<+−+−+−=−−z nzz z n n ""上式两边逐项求导,例2.0 )1ln( 泰勒展开式处的在求对数函数的主值=+z z 分析,1 , 1 )1ln( 是它的一个奇点平面内是解析的向左沿负实轴剪开的在从−−+z .1 的幂级数内可以展开成所以它在z z =如图,1=R o1−1xyz z z z zzn nn d )1(d 11000∫∫∑∞=−=+即""++−+−+−=++1)1(32)1ln(132n z z z z z n n 1<z 将展开式两端沿C 逐项积分, 得解zz +=′+11)]1[ln(∑∞=−=+−+−+−=02)1()1(1n nn nn zz z z "")1(<z ,0 1 的曲线到内从为收敛圆设z z C <例3.231)( 的幂级数展开成把函数z z z f −=解231121231zz −⋅−=−])23()23(231[212""+++++−=n z z z ""−−−−−−=+1322223232321n nn zz z ,2301∑∞=+−=n n n n z.32,123<<z z 即例4 .0arctan 的幂级数展开式在求=z z 解,1d arctan 02∫+=zz zz 因为1,)()1(11 022<⋅−=+∑∞=z z z n n n且∫+=zz z z 021d arctan 所以∫∑∞=⋅−=z n n nz z 002d )()1(.1,12)1(012<+−=∑∞=+z n zn n n例5.cos 2的幂级数求z 解),2cos 1(21cos 2z z +=因为"+−+−=!6)2(!4)2(!2)2(12cos 642z z z z ∞<+−+−=z z z z "!62!42!221664422)2cos 1(21cos 2z z +=所以∞<+−+−=z z z z "!62!42!22165432例6.1展为麦克劳林级数将zez+解,1)(z ez f z+=令即微分方程)()()1(=−′+z zf z f z 对微分方程逐次求导得:,1所以收敛半径为,1 内进行展开可在<z ,11−=+z z ez 的唯一奇点为因为求导得对)(z f (),)(21z ze z f z+=′",2)0(,1)0(,0)0(,1)0(−=′′′=′′=′=f f f f 得由的麦克劳林级数为所以)(z f .1,31211132<+−+=+z z z ze z"0)()()1()()1(=−′−+′′+z f z f z z f z 0)()2()()1(=′′−+′′′+z f z z f z ""五、小结与思考通过本课的学习, 应理解泰勒展开定理,熟记五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成泰勒级数的方法, 能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数.思考题奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?31思考题答案奇函数的泰勒级数只含z 的奇次幂项, 偶函数的泰勒级数只含z 的偶次幂项.放映结束，按Esc退出.3233泰勒资料Born:18 Aug 1685 in Edmonton,Middlesex, EnglandDied:29 Dec 1731 in Somerset House, London, EnglandBrook Taylor。