球的体积及表面积公式ppt课件

R
4 3
2
.
3
V3 4π3R 3 4π3 4( )32851 π 6 ;A
S4R241664 .
9 .9
O C
O
B
12
例题讲解
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它 的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。
分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心 对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与 球的直径相等。
一
步： 分
O
则球的表面积：
S S 1 S 2 S 3 S n
割
设 “ 小 锥 体 ” 的 体 积为 Vi
Si
O Vi
则球的体积为：
V V 1V 2V 3 V n
.
8
球的表面积
第 二 步： 求 近 似 和
Si
hi
O
O
Vi
Vi 13Sihi
由第一步得：
V V 1 V 2 V 3 V n
略解： Rt B 1 D 1 D 中 :
(2R )2 a 2 ( 2a)2,得
R 3a 2
S 4R 2 3a 2
D A
D1 A1
D A
D1 A1
C B O
C1
B1
C B O
C1
B1
练习一
课堂练习
1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿8 倍.
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm, 这个球的体积为＿32＿3＿ cm3.
O
OO R,ABC是正三角
2
A
C
O
OA2 3AB 23r
B
32
3
.
11
例题讲解
例2.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等
于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面
积．
解 R O ： O A t中 , O 在 2 O A O 2 O A 2 ,
R2 (R)2 (2 3)2,
1 3R (S iS 2S 3.. .S n)1 3RS
又球的体积V为 4： R3
3
4R 31R,S 从S 而 4 R 2
3
3 .
10
例题讲解
例1:已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离 等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积， 表面积．
解：如图，设球O半径为R， 截面⊙O′的半径为r，
.
3
球的体积
ri
R 2[R(i1)2 ],i1,2,,n n
V ir i2R n R n 3[1 (i n 1 )2 ]i, 1 ,2 ,n
V 半 球 V 1V 2V n
R 3 1222(n1)2
[n n
n2
]
R 3 1(n1)n(2n1)
n[nn2
] 6
R 3[1n 1 2(n1)6 2 (n1)]
.
1
问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积？
分割 A
求近似和
化为准确和
极限的思想
A
O
C2
O
B2
r1 R2 R,
r2
R2 (R)2 , n
r3
R2 (2R)2, n
.
2
一.球的体积
A
ri
O
R (i 1)
n
R
O
第i层“小圆片”下底面半的径：
r i R2[R n( i1 ) 2, i ]1 ,2,n .
3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于 正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这 三个球的体积之比_1_:_2_2_:_3_3__.
练习二
课堂练习
5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为 3, 5，, 15
则它的外接球的表面积为___9__.
6.若两球表面积之差为48π ,它们大圆周长之和为12π ,
则两球的直径之差为_____4_.
7.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么 这个大铅球的表面积是___1_2__3 . 3
课堂小结
了解球的体积、表面积推导的基本思路： 分割→求近似和→化为标准和的方法，是 一种重要的数学思想方法—极限思想，它 是今后要学习的微积分部分“定积分”内 容的一个应用； 熟练掌握球的体积、表面积公式：
①V 4 R 3 3
②S 4R 2
课堂小结
了解球的体积、表面积推导的基本思路： 分割→求近似和→化为标准和的方法，是 一种重要的数学思想方法—极限思想，它 是今后要学习的微积分部分“定积分”内 容的一个应用；
熟练掌握球的体积、表面积公式：
①V 4 R 3 3
②S 4R 2
.
17
退出
解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是
7.9[4(5)34x3]142
32 3
x3(5 2)37 1 .9 4 43 21.1 3
由计算器算得: x2.24
2x4.5
答:空心钢球的内径约为4.5cm.
.
6
二.球的表面积
o
ΔS i
o
.
7
球的表面积
球面被分割成n个网格，表面积分别为：
第
S 1 ， S 2 ， S 3, ,S n
.
4
球的体积
1
1
(1 )(2 )
V半 球 R3[1
n
n]
6
当 n 时源自文库, 10. n
V 半球
2 R 3
3
从而 V 4 R 3 .
3
定理：R 半 的径 球是 的体 V 积 4R 为 3 ：
3
.
5
例题讲解
例1：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)
1
1
1
1
V 3S 1h 1 3S 2h 2 3S 3h 3 3S nh n
.
9
球的表面积
第
如果网格分的越细,则:
三 步： 化 为
Si
hi
Vi
“小锥体”就越接近小棱锥
hi的 值 就 趋 向 于 球 的 半R径
Vi 13SiR
准 确
Si
R
和
O Vi
V 1 3S iR 1 3S 2R 1 3S 3R 1 3S n R