第三节偏导数与全微分

z ′x = 2(sin xy )(cos xy ) y + y 2 z ′y = 2(sin xy )(cos xy ) x + 2 yx
dz = z′ dx + z′ dy x y
= [2(sin xy )(cos xy ) y + y ]dx
2
+ [2(sin xy )(cos xy ) x + 2 yx ]dy .
2.偏导数 设有函数 z = f ( x , y ), 如果极限 偏导数
f ( x 0 , y 0 + ∆y ) − f ( x 0 , y0 ) lim = lim0 ∆y → ∆y → 0 ∆ y ∆y
∆ yz
存在, 存在 则称此极限为 f ( x , y )在点
( x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数 的偏导数.
第三节 偏导数与全微分
一.二元函数的偏导数 二元函数的偏导数 1.改变量 改变量
全改 变量 偏改 变量 偏改 变量
x : x 0 → x 0 + ∆x
y : y 0 → y 0 + ∆y
∆ z = f ( x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) − f ( x 0 , y 0 )
∆ x z = f ( x 0 + ∆x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 )
+ x ln x
y
f x′ (1,2) = 2e 2 + 2 f y′ (1,2) = e 2 .
y ∂z ∂z 例3 设 z = arctan x , 求证 x + y = 0. ∂x ∂y
证
∂z = ∂x
y y (− 2 ) = − 2 2 y 2 x +y x 1+ ( ) x ∂z 1 x 1 = ( ) = 2 y 2 x ∂y x + y2 1+ ( ) x y x ∂z ∂z x ) + y( 2 ) = 0. +y = x(− 2 2 2 x +y x +y ∂x ∂y
故 f x′ (ξ 1 , y + ∆y ) = f x′ ( x , y ) + α
f y′ ( x , ξ 2 ) = f y′ ( x , y ) + β
∆z = [ f x′ ( x , y ) + α ]∆x +[ f y′ ( x , y ) + β ]∆y
偏导存在不一定可微. 附: 偏导存在不一定可微
xy
例如 函数 f ( x , y ) =
x +y
2
2
( x, y) ≠ 0
0
( x, y) = 0
用定义求 f x′ (0,0) = 0
f y′ (0,0) = 0
但不可微. 但不可微.
反证法: 反证法 假设 f ( x , y ) 在 (0,0) 处可微 则 ∆z = f x′ (0,0)∆x + f y′ (0,0)∆y + o( ρ ) = o( ρ )
∆x∆y lim 不存在. 即 lim ρ = 0 而 lim ρ = ∆x →0 ( ∆x )2 + ( ∆y )2 不存在 ρ →0 ρ →0 ∆y → 0
∆z
∆z
定理8.2 如果函数 f ( x , y ) 在点P ( x , y ) 及其邻域 定理 内有连续的偏导数 f x′ ( x , y ) 和 f y′ ( x , y ), 则该函数在点 P ( x , y ) 处可微 处可微. 证 ∆z = f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y )
A = f x′ ( x , y )
B = f y′ ( x , y )
证 因 f ( x , y ) 可微 所以 ∆z = A∆x + B∆y + o( ρ ) ( ρ = ( ∆x )2 + ( ∆y )2 → 0) 令 ∆y = 0 则 ∆ x z = A∆x + o( ρ ) ( ρ = ∆x → 0)
ρ
=0 Q
∆ x∆ y
ρ
= ρ⋅
∆x
ρ
⋅
∆y
ρ
≤ρ )
二.二元函数的全微分 二元函数的全微分 1.定义 如果函数 f ( x , y ) 在点P ( x , y ) 处的全 定义 改变量 ∆z 可以表成如下形式
∆z = A∆x + B∆y + o( ρ )
( ρ = ( ∆x ) + ( ∆ y ) → 0 )
∂z = 2 ln 2 + 1. ∂x ( 1 , 0 )
的偏导数. 例4 求函数 f ( x , y , z ) = x 的偏导数
yz
解
∂f z y z −1 = y x ∂x ∂f yz z −1 = x ln x ⋅ zy ∂y ∂f yz z = x ln x ⋅ y ln y ∂z
二.二元函数的全微分 二元函数的全微分
∆z = f x′ (ξ 1 , y + ∆y )∆x + f y′ ( x , ξ 2 )∆y
lim lim 又 ∆x →0 f x′ (ξ 1 , y + ∆y ) = f x′ ( x , y ) ∆x →0 f y′ ( x , ξ 2 ) = f y′ ( x , y )
∆y → 0
∆y → 0
= [ f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y + ∆y )] + [ f ( x , y + ∆y ) − f ( x , y )] = f x′ (ξ 1 , y + ∆y )∆x + f y′ ( x , ξ 2 )∆y
• x
ξ1
•
• x + ∆x
• y
ξ2
•
• y + ∆y
因为 dx = 1 ⋅ ∆x + 0 ⋅ ∆y = ∆x
dy = 0 ⋅ ∆x + 1 ⋅ ∆y = ∆y
′ 所以 dz = f x ( x, y)dx + f y′( x, y)dy
对x偏微分 偏微分
对y偏微分 偏微分
例5 求 z = (sin xy ) 2 + y 2 x 的全微分 的全微分. 解
xy x2 + y2 例1 已知 f ( x , y ) = 0
( x, y) ≠ 0
( x, y) = 0
求：f x′ (0,0) 、f y′ (0,0). 解
f (0 + ∆x ,0) − f (0,0) 0−0 f x′ (0,0) = lim = lim =0 ∆x → 0 ∆x → 0 ∆ x ∆x 0−0 f (0,0 + ∆y ) − f (0,0) = lim =0 f y′ (0,0) = lim ∆y → 0 ∆ y ∆y → 0 ∆y
x
∆S = ( x + ∆x )( y + ∆y ) − xy y = y∆x + x∆y + ∆x∆y ∆y (1) ( 2)
(1)是关于∆x 和 ∆y 的线性式子 是关于 (2)是比 ρ 高阶的无穷小量 是比
( lim
ρ →0
∆x
( ρ = ( ∆x ) 2 + ( ∆y ) 2 → 0)
∆x∆y
重要注意事项
f ( x , y ) = e xy + x y , 例2 已知
求 f x′ ( x , y ), f y′ ( x , y ), f x′ (1,2), f y′ (1,2). 解
′ ( x , y ) = ye xy + yx y −1 fx
f y′ ( x , y ) = xe
xy
的偏导函数,简称偏导数 的偏导函数 简称偏导数. 简称偏导数 注 (1)记号 记号
f x′ ( x , y )
z ′x z ′y
(2)记号 f y′ ( x , y ) 记号
∂z ∂x ∂z ∂y
∂f ∂x ∂f ∂y
(3)关系 函数 f ( x , y )在 ( x0 , y0 ) 处的偏导数等于 关系 处的函数值. 偏导函数在 ( x0 , y0 ) 处的函数值 (4)偏导函数求法 对 x 求偏导把 y 看作常数 偏导函数求法 看作常数, 对 y 求偏导把 x 看作常数 看作常数, 原 始 法 则 按一元函数求导法则求. 按一元函数求导法则求
1
∂z = 补充 设 z = ( x + e ) , 则 ∂x ( 1, 0 )
y x
年考研真题4分 （2009年考研真题 分） 年考研真题 解
∂z ∂[( x + e ) ] ∂[e = = ∂x ∂x ∂x
y x
y x y
x ln( x + e y )
]
x ] = ( x + e ) ⋅ [ln( x + e ) + y x+e
存在,则称此极限值为 存在 则称此极限值为f ( x , y )在点
( x0 , y0 ) 处对 x 的偏导数 的偏导数.
注 (1)记号 f x′ ( x0 , y0 ) 记号
z ′x
x = x0 y = y0
∂z ∂x
x = x0 y = y0
∂f ∂x
x ห้องสมุดไป่ตู้ x0 y = y0
(2) f ( x , y ) 在 ( x0 , y0 ) 处对 x 的偏导数等于 处的导数. 一元函数 f ( x , y0 ) 在 x0 处的导数
o( ∆ x ) o( ρ ) ∆ xz lim lim lim 从而 ∆x →0 ∆x = ∆x →0[ A + ∆x ] = ∆x →0[ A + ∆x ] o( ∆x ) ∆x ] =A = lim [ A + ⋅ ∆x → 0 ∆x ∆x 故 f x′ ( x , y ) = A.