高中数学-导数与函数的单调性
浅谈高中数学函数的单调性
浅谈高中数学函数的单调性【摘要】高中数学函数的单调性是数学学习中一个重要的概念，本文将探讨函数的增减性及其判定方法、一阶导数与函数的单调性、函数单调性的应用举例、函数单调性的性质以及单调函数的图像特征。
通过这些内容，我们可以更好地理解函数的单调性在数学中的应用，以及单调性在数学学习中的重要性和深层意义。
通过学习函数的单调性，我们可以提高数学学习的效果，深化对数学知识的理解，从而更好地应对数学学习的挑战。
函数的单调性不仅是数学学习中的一个基础概念，更是我们理解数学世界中规律和关系的重要窗口。
通过本文的学习，我们将更深入地掌握高中数学函数的单调性，为提高数学学习效果提供有效的方法和思路。
【关键词】高中数学、函数、单调性、增减性、判定方法、一阶导数、应用举例、性质、图像特征、重要性、深层意义、提高学习效果1. 引言1.1 高中数学函数的重要性高中数学函数是数学学科中非常重要的一个概念，它在数学领域中具有重要的应用和意义。
在高中数学课程中，函数是一个核心概念，贯穿于整个数学学习的过程中。
函数不仅是理解和掌握数学知识的基础，更是解决实际问题和进行数学推理的重要工具。
函数是数学分析和推理的基础。
通过研究函数的性质和变化规律，可以辅助我们解决各种数学问题，例如求解方程、不等式，进行极限计算等。
函数在数学建模和实际问题中具有重要作用。
通过建立数学模型，可以用函数来描述和分析各种现实生活中的问题，如物理运动问题、经济增长问题等。
函数的概念也是数学学习中对逻辑推理和数学思维能力的锻炼。
通过分析函数的性质和特点，培养学生的数学思维和逻辑推理能力，提高他们的解决问题的能力。
1.2 单调性在数学中的应用单调性在数学中的应用十分广泛。
在数学中，函数的单调性直接关系到函数的增减性以及各种函数性质的研究和应用。
函数的单调性是判断函数增减性的基本方法之一。
通过研究函数在定义域内的单调性，我们可以轻松地确定函数在各个区间上是增函数还是减函数，从而更好地理解函数的变化规律。
浅谈高中数学函数的单调性
浅谈高中数学函数的单调性【摘要】高中数学函数的单调性是高中数学中重要的概念之一。
本文首先介绍了高中数学函数的重要性，并定义了函数的单调性。
随后，探讨了单调递增函数和单调递减函数的性质，以及函数单调性的判定方法。
通过例题分析，进一步探讨了高中数学函数单调性的具体应用。
讨论了函数单调性与导数的关系，并总结了函数单调性在数学学习中的重要性。
未来，应用函数单调性的方法将会在高中数学学习中得到更广泛的应用。
为了提高对函数单调性的理解，鼓励学生多加练习，并深入探讨函数单调性的相关知识。
【关键词】高中数学函数、单调性、单调递增、单调递减、判定方法、例题分析、导数、重要性、应用、练习、理解。
1. 引言1.1 介绍高中数学函数的重要性高中数学函数是数学学科中一个重要的概念，它在数学的各个领域中都有着重要的应用。
函数在数学中被定义为一种特殊的关系，它描述了自变量和因变量之间的依赖关系。
在高中数学中，学生需要掌握各种类型的函数，了解它们的性质和特点，从而能够更好地理解和解决数学问题。
函数的单调性是函数性质中的一个重要概念。
一个函数在定义域内的某个区间上，如果对于任意两个不同的自变量，函数值之间始终保持单调关系（单调递增或单调递减），则称该函数在该区间上是单调的。
函数的单调性直接反映了函数图像的走势和变化规律，对于理解函数的性质和解题有着重要的意义。
通过研究和探讨高中数学函数的单调性，可以帮助学生深入理解函数的性质，提高数学建模和问题解决能力。
在高中数学学习中，函数的单调性是一个必须要重视和掌握的概念。
通过对函数单调性的认识和应用，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，提高数学思维和解题能力。
1.2 定义函数单调性函数的单调性是指函数在定义域上的增减关系。
对于定义域为区间的函数来说，如果函数的值随着自变量的增加而增加，则称该函数在此区间上是单调递增的；如果函数的值随着自变量的增加而减少，则称该函数在此区间上是单调递减的。
高中数学第六章6.2.1导数与函数的单调性课件新人教B版选择性必修第三册
核心互动探究
探究点一 函数单调区间的判断及求解 【典例1】(1)设f(x)=x-sin x,则f(x) ( ) A.既是奇函数又是减函数 B.既是奇函数又是增函数 C.是有零点的减函数 D.是没有零点的奇函数 (2)求函数f(x)=3x2-2ln x的单调区间. 【思维导引】(1)利用奇偶性的定义判断f(x)=x-sin x的奇偶性,利用导数判断其 单调性. (2)先求导,令导函数值大于0,得到增区间,令导函数值小于0,得到减区间.
【解析】选D.从原函数y=f(x)的图像可以看出,其在区间(-∞,0)上是减函数, f′(x)<0;在区间(0,x1)上是增函数,f′(x)>0;在区间(x1,x2)上是减函数, f′(x)<0; 在区间(x2,+∞)上是增函数,f′(x)>0.结合选项可知,只有D项满足.
2.已知导函数y=f′(x)的图像如图所示,请根据图像写出原函数y=f(x)的单调 递增区间是________.
6.2 利用导数研究函数的性质 6.2.1 导数与函数的单调性
新课程标准
素养风向标
1.结合实例,借助几何 直观探索并了解函数的 单调性与导数的关系 2.能利用导数研究函数 的单调性 3.会求不超过三次的多 项式函数的单调区间
1.通过数与形的研究,探索导数与函数单调性 的关系(数学抽象) 2.通过新旧方法的比较,体会导数应用的优越 性(数学运算) 3.通过典型问题的解决,强化导数在函数单调 性中的应用意识(数学运算)
2.观察图像,完成下表:
高中数学专题 微专题4 导数的几何意义及函数的单调性
由 f(3x－2)<f(x2)可得x32x>－3x2－>02，， 解得23<x<1 或 x>2， 因此不等式 f(3x－2)<f(x2)的解集为23，1∪(2，＋∞).
跟踪训练3 (1)(2023·玉林模拟)设函数f(x)＝ex－e1x－2x，若f(a－3)＋ f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是
专题一 函数与导数
微专题4
导数的几何意义及函数的单调性
考情分析
1.此部分内容是高考命题的热点内容.在选择题、填空题中多考 查导数的计算、几何意义，难度较小. 2.应用导数研究函数的单调性多在选择题、填空题靠后的位置 考查，难度中等偏上，属综合性问题.
思维导图
内容索引
典型例题
热点突破
PART ONE
则 f(x)的单调递增区间为12，－1a，单调递减区间为0，12，－1a，＋∞. 2x－12
当 a＝－2 时，f′(x)＝－ x ≤0 恒成立， f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间. 当 a<－2 时，－1a<12， 由 f′(x)>0，得－1a<x<12；
由 f′(x)<0，得 0<x<－1a或 x>12，
则直线 l 的方程为 y－(3＋ln x2)＝x12(x－x2)， 即 y＝x12x＋ln x2＋2.
所以 ex1＝x12，且 x1ex1＋ex1＋1＝ln x2＋2，
消去x2得(x1－1)( ex1－1)＝0，
故x1＝1或x1＝0，
所以直线l的方程为y＝ex＋1或y＝x＋2.
跟踪训练1 (1)(2023·常德模拟)已知l为曲线y＝a＋xln x 在(1，a)处的切线，
函数的单调性与导数(教学设计)
函数的单调性与导数(教学设计)教学设计：函数的单调性与导数本节课的主要内容是函数的单调性与导数。
在研究本节课之前，学生已经研究了导数、函数及函数单调性等概念，对导数的几何意义与函数单调性有了一定的感性和理性的认识。
函数的单调性是高中数学中极为重要的一个知识点。
在以前的研究中，学生已经研究了如何利用函数单调性的定义和函数的图像来研究函数的单调性。
而在研究了导数之后，学生可以利用导数来研究函数的单调性，这是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用。
学好本课时的知识对接下来要研究利用导数研究函数的极值奠定知识基础，因此，研究本节内容具有承上启下的作用。
在本节课之前，学生已经研究了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算，研究了用导数求曲线的切线方程。
因此，本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单调性。
本节课的教学目标包括以下几点：1.知识与能力：1) 理解函数单调性与导数的关系：函数f(x)在区间(a,b)内可导，若f'(x)>0，则f(x)在区间(a,b)内单调递增；若f'(x)<0，则f(x)在区间(a,b)内单调递减。
2) 探究函数的单调性与导数的关系，利用导数与函数单调性的关系求函数的单调区间、画函数的简单图像。
2.过程与方法：通过利用导数研究单调性问题的研究过程，引导学生养成自主研究的研究惯，体会知识的类比迁移，体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法。
3.情感态度与价值观：1) 通过导数方法研究单调性问题，体会到不同数学知识间的内在联系，认识到数学是一个有机整体。
2) 通过导数研究单调性，使学生知道用导数判断函数的单调性比用单调性的定义更容易，知道导数作为研究函数的工具的实用价值。
本节课的教学重点是利用导数判断函数的单调性，并求函数的单调区间。
教学难点在于如何将导数与函数的单调性联系起来。
本节课的教学方法为启发引导式，课时安排为1课时。
教学准备包括多媒体平台和课件。
高考数学复习、高中数学 导数与函数的单调性附答案解析
第2节 导数与函数的单调性课标要求 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；2.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间。
【知识衍化体验】知识梳理1.函数的导数与单调性的关系函数y ＝f (x )在某个区间内可导：(1)若f ′(x )＞0，则f (x )在这个区间内 ； (2)若f ′(x )＜0，则f (x )在这个区间内 ； (3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间内是 . 【微点提醒】1．在某区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零．基础自测 1．函数f(x)＝ln x －x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(0，1)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)2．函数f (x )＝x 3－ax 为R 上增函数的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≤0 B ．a <0 C ．a ≥0 D ．a >03．函数y ＝f(x)的导函数f′(x)的图象如下图，则函数y ＝f(x)的图象可能是( )4．若函数f(x)＝ln x ＋ax 2－2在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2内单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－18，＋∞ 【考点聚焦突破】考点1利用导数求函数的单调区间【例1】已知函数f(x)＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，讨论f (x )的单调性．规律方法当方程f′(x)＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出实数根，把函数f(x)的间断点即f(x)的无定义点的横坐标和实根按从小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间.【训练1】函数f(x)＝axx2＋1(a>0)的单调递增区间是( )A．(－∞，－1) B．(－1,1)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)2．函数f(x)＝x＋2cos x(x∈(0，π))的单调递减区间为________．考点2利用导数讨论函数的单调区间【例2】 (2015江苏节选)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)．试讨论f(x)的单调性．规律方法1.研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.遇二次三项式因式常考虑二次项系数、对应方程的判别式以及根的大小关系，以此来确定分界点，分情况讨论.2.划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.3.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f x＝x3，f′x＝3x2≥0f′x＝0在x＝0时取到，f x在R上是增函数.【训练2】已知函数f(x)＝e x(ax2－2x＋2)(a＞0)，试讨论f(x)的单调性．考点3函数单调性的简单应用角度1比较大小或解不等式【例3-1】(1)已知函数f (x )＝－xex ＋ln 2，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12D ．大小关系无法确定 (2)已知定义域为R 的函数f (x )满足f (4)＝－3，且对任意的x ∈R 总有f ′(x )<3，则不等式f (x )<3x －15的解集为________．角度2 根据函数的单调性求参数【例3-2】已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(Ⅰ)若f (x )在(－1，1)上为减函数，则实数a 的取值范围为 ； (Ⅱ)若f (x )的单调递减区间为(－1，1)，则实数a 的值为 ； (Ⅲ)若f (x )在(－1，1)上不单调，则实数a 的取值范围为 .【训练3】（1）若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数，则a 的取值范围是________．(2)若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．（3）定义在R 上的奇函数f (x )，其导函数为f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，恒有xf ′(x )＜f (－x )，则满足13(2x －1)f (2x －1)＜f (3)的实数x 的取值范围是________．规律方法1.利用导数比较大小或解不等式的常用技巧，利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．2. f(x)在区间D上单调递增(减)，只要f′(x)≥0(≤0)在D上恒成立即可，如果能够分离参数，则尽可能分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系．反思与感悟【思维升华】1．函数的导数与函数的单调性在一个区间上，f′(x)≥0(个别点取等号)⇔f(x)在此区间上为增函数．在一个区间上，f′(x)≤0(个别点取等号)⇔f(x)在此区间上为减函数．2．根据函数单调性求参数的一般思路：(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解．【易错防范】1．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f′(x)＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点．2．研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．第2节 导数与函数的单调性【知识衍化体验】 知识梳理1.(1)单调递增；(2)单调递减；(3)常数函数．基础自测 1．B 2．B 3.D 4.D【考点聚焦突破】【例1】解：f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2(x ＋2)＝2(x ＋2)(2e x－1).令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝ln 12.当x 变化时， f (x )， f ′(x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，ln 12 ln 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12，＋∞ f ′(x ) ＋－＋f (x )极大值极小值∴y ＝f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(ln 12，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－2，ln 12.【训练1】B函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝a 1－x 2x 2＋12＝a 1－x 1＋xx 2＋12.由于a >0，要使f ′(x )>0，只需(1－x )·(1＋x )>0，解得x ∈(－1,1)．故选B.2．⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6解析 f ′(x )＝1－2sin x ，令f ′(x )<0得sin x >12，故π6<x <5π6.【例2】解：由题意， f (x )的定义域为R ， f ′(x )＝3x 2＋2ax ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2a 3当a ＝0时，有f ′(x )＝3x 2≥0，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增.当a ＞0时，令f ′(x )>0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－ 2a 3∪(0，＋∞)；令f ′(x )<0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0上单调递减.当a ＜0时，令f ′(x )>0，得x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞；令f ′(x )<0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2a 3，所以函数f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2a 3上单调递减.综上，当a＝0时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－2a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0上单调递减；当a ＜0时， f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫0，－2a 3上单调递减 【训练2】解 由题意得f ′(x )＝e x[ax 2＋(2a －2)x ](a ＞0)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2－2a a.(1)当0＜a ＜1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，2－2a a ；(2)当a ＝1时，f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增；(3)当a ＞1时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2－2a a 和(0，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，0. 【例3-1】C 解析 f ′(x )＝－e x－－x exe x ·e x＝x －1ex，当x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．∵1e <12<1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.故选C. (2) (4，＋∞)令g (x )＝f (x )－3x ＋15，则g ′(x )＝f ′(x )－3<0，所以g (x )在R 上是减函数．又g (4)＝f (4)－3×4＋15＝0，所以f (x )<3x －15的解集为(4，＋∞)．【例3-2】 解(Ⅰ)(法一)由题意，f ′(x )＝3x 2－a ，由f (x )在(－1，1)上为减函数，得f ′(x )≤0在(－1，1)上恒成立，即a ≥3x 2恒成立.又因为当x ∈(－1，1)时，函数y ＝3x 2的值域是[0，3)，所以实数a 的取值范围是[3，＋∞).(法二)当a ≤0时， f ′(x )＝3x 2－a ≥0，显然没有单调递减区间，不符合题意.当a ＞0时，令f ′(x )＝3x 2－a ＝0，得x ＝±3a 3，易知当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3时， f (x )单调递减.若f (x )在(－1，1)上为减函数，则(－1，1)应为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3的子区间，即3a 3≥1，解得a ≥3，所以实数a 的取值范围是[3，＋∞).(Ⅱ)由(Ⅰ)知f (x )的单调递减区间为( －3a 3， 3a 3)，所以3a 3＝1，解得a ＝3. (Ⅲ)由(Ⅰ)知，当a ≤0时，f (x )在R 上单调递增，不符合题意.当a >0时，由f ′(x )＝0，得x ＝±3a 3，因为f (x )在(－1，1)上不单调，所以0<3a3<1，解得0<a <3，所以a 的取值范围是(0，3).【训练3】（1） [3，＋∞)由条件知f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，即a ≥1x 2－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立．∵函数y ＝1x 2－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为减函数，∴y max ＜1⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2×12＝3，∴a ≥3.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞ 对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，解得a ＞－19.所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞.（3）(－1，2)∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴由xf ′(x )<f (－x )可得xf ′(x )＋f (x )<0，即[xf (x )]′<0，∵当x ∈(－∞，0]时，恒有xf ′(x )<f (－x )，∴当x ∈(－∞，0]时，恒有[xf (x )]′<0，设F (x )＝xf (x )，则函数F (x )＝xf (x )在(－∞，0]上为减函数，∵F (－x )＝(－x )f (－x )＝(－x )(－f (x ))＝xf (x )＝F (x )，∴函数F (x )为R 上的偶函数，∴函数F (x )＝xf (x )为[0，＋∞)上的增函数，∵13(2x －1)f (2x －1)<f (3)，∴(2x －1)f (2x －1)<3f (3)，∴F (2x －1)<F (3)，∴|2x －1|<3，解得－1<x <2.。
高中数学导数与函数的极值与单调性
高中数学导数与函数的极值与单调性在高中数学中，导数与函数的极值与单调性是一个重要且基础的概念。
理解导数与函数的极值与单调性对于解决一些函数的问题非常关键。
本文将通过讨论导数的概念、求导法则以及函数的极值和单调性来详细介绍这个主题。
一、导数的概念与求导法则1. 导数的概念函数的导数表示函数在某一点的变化率，可以理解为函数曲线在该点处的切线的斜率。
导数通常用符号"f'(x)"或"dy/dx"表示。
对于函数y=f(x)，其导数可以通过求导得到。
2. 求导法则求导法则是一类用于求函数导数的规则，常见的包括常数法则、幂函数法则、和差法则、乘积法则和商法则等。
这些法则可以帮助我们计算各种函数的导数，从而研究其极值和单调性。
二、函数的极值1. 极值的定义极值是函数在一定区间内取得的最大值或最小值。
极大值表示函数取得的最大值，而极小值表示函数取得的最小值。
2. 寻找极值的方法要寻找函数的极值，我们需要分析函数的导数和二阶导数。
首先，通过求导得到函数的导数，然后找到导数为零或不存在的点。
接下来，求取这些点的二阶导数，通过二阶导数的正负性来判断极值的情况。
三、函数的单调性1. 单调性的定义函数的单调性是指函数在定义域内的变化趋势。
如果函数在某个区间上的导数始终大于零，那么该函数在该区间上是递增的；如果导数始终小于零，函数在该区间上是递减的。
2. 单调性的判断方法为了判断函数的单调性，我们可以先求取函数的导数，并对导数进行分析。
通过导数的正负性可以判断函数在某个区间上是否递增或递减。
如果导数恒大于零，则函数在该区间上递增；如果导数恒小于零，则函数在该区间上递减。
四、综合应用举例下面通过一个例子来综合运用导数与函数的极值与单调性。
例：函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5，在[-2, 4]区间上的极值与单调性。
解：首先，求取函数的导数：f'(x) = 3x^2 - 6x - 9然后，令导数等于零，解方程：3x^2 - 6x - 9 = 0化简得：x^2 - 2x - 3 = 0解得：x = -1 或 x = 3接下来，求取导数的二阶导数：f''(x) = 6x - 6将x = -1 和 x = 3代入二阶导数得到：f''(-1) = -12f''(3) = 12根据二阶导数的正负性，当x = -1时，f(x)取得极大值；当x = 3时，f(x)取得极小值。
导数与函数的单调性【新教材】人教B版高中数学选择性必修第三册课件
激趣诱思
知识点拨
微思考1
函数图像的变化趋势与导数值的大小有怎样的关系?
提示:
导数的绝对值
越大
越小
函数值变化
快
慢
函数的图像
比较“陡峭”(向上或向下)
比较“平缓”(向上或向下)
微思考2
如果在某个区间内恒有f'(x)=0,那么函数f(x)有什么特征?
提示:f(x)是常数函数.
知识点拨
名师点析 导数与函数单调性关系的深入理解
(1)若在区间(a,b)上有f'(x)>0,则f(x)在该区间上单调递增;若在区间
(a,b)上有f'(x)<0,则f(x)在该区间上单调递减.
(2)若函数f(x)在区间(a,b)上是增函数,则f'(x)≥0在x∈(a,b)内恒成立;
同理,若函数f(x)在区间(a,b)上是减函数,则f'(x)≤0在x∈(a,b)内恒成
所以f(x)的单调递增区间是(-∞,0]和[1,+∞),单调递减区间是[0,1].
(2)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且
1-ln
>0,得
2
1-ln
f'(x)<0,即 2 <0,得
令 f'(x)>0,即
0<x<e;
令
x>e,
1-ln
f'(x)= 2 .
所以 f(x)的单调递增区间是(0,e],单调递减区间是[e,+∞).
+1
解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ax+1
利用导数研究函数的单调性-高中数学知识点讲解
利用导数研究函数的单调性1．利用导数研究函数的单调性【知识点的知识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0 的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0 的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0 的根；（4）用f′（x）＝0 的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【典型例题分析】题型一：导数和函数单调性的关系典例 1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4 的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，1/ 3∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0 得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4 的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例 2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为 45°，对于任意的t∈[1，2]，函数푔(푥)=푥3+푥2[푓′(푥) +푚2]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m 的取值范围；푙푛2（Ⅲ）求证：2×푙푛33×푙푛44×⋯×푙푛푛1푛(푛≥2，푛∈푁∗)．＜푛解：（Ⅰ）푓′(푥) =푎(1―푥)푥(푥＞0)（2 分）当a＞0 时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0 时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0 时，f（x）不是单调函数（4 分）（Ⅱ）푓′(2) =―푎2=1得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3 푚∴푔(푥)=푥3+(2―2푥，2+2)푥∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6 分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣22/ 3∴{푔′(푡3))＜0＞0(8 分)由题意知：对于任意的 t ∈[1，2]，g ′（t ）＜0 恒成立，푔′(1)＜0所以有：{푔′(2)＜0，∴― 푔′(3)＞0 37 3 ＜푚＜ ― 9（10 分）（Ⅲ）令 a ＝﹣1 此时 f （x ）＝﹣lnx +x ﹣3，所以 f （1）＝﹣2，由（Ⅰ）知 f （x ）＝﹣lnx +x ﹣3 在（1，+∞）上单调递增，∴当 x ∈（1，+∞）时 f （x ）＞f （1），即﹣lnx +x ﹣1＞0，∴lnx ＜x ﹣1 对一切 x ∈（1，+∞）成立，（12 分）∵n ≥2，n ∈N *，则有 0＜lnn ＜n ﹣1，푙푛푛 푛 ― 1∴0＜＜푛 푛푙푛2∴ 2 ⋅ 푙푛33 ⋅ 푙푛44 ⋅⋅ 푙푛푛 1 2 ⋅ ＜ 푛2 3 ⋅ 3 4 ⋅⋅ 푛 ― 1 푛 = 1 푛(푛 ≥ 2，푛 ∈ 푁 ∗) 【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使 f ′（x ）＝0，在其余的点恒有 f ′（x ）＞0，则 f （x ）仍为增函数（减函数的情形完 全类似）．即在区间内 f ′（x ）＞0 是 f （x ）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．3/ 3。
【高中数学】第二课时 导数与函数的单调性(二)
第二课时导数与函数的单调性(二) 课标要求素养要求1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性. 进一步理解函数的导数和其单调性的关系，提升数学运算素养与直观想象素养.题型一含参数函数的单调性【例1】讨论函数f(x)＝12ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性.解函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax＋1－a＋1x＝ax2＋x－（a＋1）x.①当a＝0时，f′(x)＝x－1 x，由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.②当a>0时，f′(x)＝a⎝⎛⎭⎪⎫x＋a＋1a（x－1）x，∵a>0，∴a＋1 a>0.由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.综上所述，当a≥0时，f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.规律方法(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.【训练1】求函数f(x)＝1x2＋a ln x(a∈R)的单调递减区间.解 易得函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝－2x 3＋a x ＝ax 2－2x 3. ①当a ≤0时，f ′(x )<0在(0，＋∞)上恒成立， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递减. ②当a >0时，若0<x <2a ，则f ′(x )<0；若x >2a ，则f ′(x )>0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞上单调递增. 综上可知，当a ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)，当a >0时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，2a . 题型二 根据函数的单调性求参数【例2】 (1)若函数f (x )＝(x 2－cx ＋5)e x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4上单调递增，则实数c 的取值范围是( ) A.(－∞，2] B.(－∞，4] C.(－∞，8]D.[－2，4](2)已知函数f (x )＝ln x ＋（x －b ）22在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上存在单调递增区间，则实数b 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，94 B.(－∞，3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32 D.(－∞，2)解析 (1)易得f ′(x )＝[x 2＋(2－c )x －c ＋5]e x .∵函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4上单调递增，等价于x 2＋(2－c )x －c ＋5≥0对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4恒成立， ∴c ≤x 2＋2x ＋5x ＋1对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4恒成立.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4，∴x 2＋2x ＋5x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1≥4，当且仅当x ＝1时等号成立，∴c ≤4.(2)易得f ′(x )＝12x ＋x －b ＝2x 2－2bx ＋12x .根据题意，得f ′(x )>0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上有解.令h (x )＝2x 2－2bx ＋1，因为h (0)＝1>0，所以只需h (2)>0或h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，解得b <94，故选A.答案 (1)B (2)A规律方法 (1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )恒成立，利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f ′(x )不恒等于0的参数的范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意.(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上不单调，则转化为f ′(x )＝0在(a ，b )上有解(需验证解的两侧导数是否异号).【训练2】 若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不单调，则实数k 的取值范围是( )A.(－∞，－3]∪[－1，1]∪[3，＋∞)B.(－3，－1)∪(1，3)C.(－2，2)D.不存在这样的实数k解析 由题意得，f ′(x )＝3x 2－12＝0在区间(k －1，k ＋1)上至少有一个实数根. 又f ′(x )＝3x 2－12＝0的根为±2，且f ′(x )在x ＝2或－2两侧导数异号，而区间(k －1，k ＋1)的区间长度为2，故只有2或－2在区间(k －1，k ＋1)内， ∴k －1<2<k ＋1或k －1<－2<k ＋1， ∴1<k <3或－3<k <－1，故选B. 答案 B题型三 函数单调性的应用【例3】(1)已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为f′(x)，且对于任意的x∈R，均有f(x)＋f′(x)>0，则()A.e－2 019f(－2 019)<f(0)，e2 019f(2 019)>f(0)B.e－2 019f(－2 019)<f(0)，e2 019f(2 019)<f(0)C.e－2 019f(－2 019)>f(0)，e2 019f(2 019)>f(0)D.e－2 019f(－2 019)>f(0)，e2 019f(2 019)<f(0)(2)已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)·f(x2－1)的解集是()A.(0，1)B.(2，＋∞)C.(1，2)D.(1，＋∞)解析(1)构造函数h(x)＝e x f(x)，则h′(x)＝e x f(x)＋e x f′(x)＝e x(f(x)＋f′(x))>0，所以函数h(x)在R上单调递增，故h(－2 019)<h(0)，即e－2 019f(－2 019)<e0f(0)，即e－2 019f(－2 019)<f(0).同理，h(2 019)>h(0)，即e2 019f(2 019)>f(0)，故选A.(2)构造函数y＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则y′＝f(x)＋xf′(x)<0，所以函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减.又因为f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)，所以(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，所以x＋1<x2－1，解得x>2或x<－1(舍).所以不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(2，＋∞).故选B.答案(1)A(2)B【迁移1】把例3(1)中的条件“f(x)＋f′(x)>0”换为“f′(x)>f(x)”，比较e2 019f(－2 019)和f(0)的大小.解令g(x)＝f（x）e x，则g′(x)＝f′（x）－f（x）e x，因为对任意的x∈R，都有f′(x)>f(x)，所以g′(x)>0，即g(x)在R上单调递增，所以h(－2 019)<h(0)，即f （－2 019）e－2 019<f （0）e 0，所以e 2 019f (－2 019)<f (0). 【迁移2】 把例3(2)中的条件“f (x )<－xf ′(x )”换为“f (x )<xf ′(x )”，解不等式(x 2＋1)f (2x ＋1)>(2x ＋1)f (x 2＋1).解 设g (x )＝f （x ）x ，则g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2，∵f (x )<xf ′(x )，∴g ′(x )>0，故g (x )在(0，＋∞)上是增函数， 由(x 2＋1)f (2x ＋1)>(2x ＋1)f (x 2＋1)得 f （2x ＋1）2x ＋1>f （x 2＋1）x 2＋1即g (2x ＋1)>g (x 2＋1)，所以⎩⎨⎧2x ＋1>0，2x ＋1>x 2＋1，解得0<x <2. 即不等式(x 2＋1)f (2x ＋1)>(2x ＋1)f (x 2＋1)的解集为(0，2).规律方法 用函数单调性比较大小或解不等式时常构造函数，常见的有： (1)对于f ′(x )>g ′(x )，构造h (x )＝f (x )－g (x ). (2)对于f ′(x )＋g ′(x )>0，构造h (x )＝f (x )＋g (x ). (3)对于f ′(x )＋f (x )>0，构造h (x )＝e x f (x ). (4)对于f ′(x )>f (x )，构造h (x )＝f （x ）e x . (5)对于xf ′(x )＋f (x )>0，构造h (x )＝xf (x ). (6)对于xf ′(x )－f (x )>0，构造h (x )＝f （x ）x .【训练3】 (多选题)已知定义在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (0)＝0，f ′(x )cos x ＋f (x )sin x <0，则下列判断中正确的是( ) A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<62f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln π3>0C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 D.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3解析 令g (x )＝f （x ）cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，则g ′(x )＝f ′（x ）cos x ＋f （x ）sin xcos 2x，因为f ′(x )cos x ＋f (x )sin x <0，所以g ′(x )＝f ′（x ）cos x ＋f （x ）sin x cos 2x <0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上恒成立，因此函数g (x )＝f （x ）cos x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上单调递减， 又π6<π4，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，即f⎝ ⎛⎭⎪⎫π6cos π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos π4， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>62f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，故A 错；又f (0)＝0，所以g (0)＝f （0）cos 0＝0，所以g (x )＝f （x ）cos x ≤0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上恒成立，因为ln π3∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln π3<0，故B 错；又π6>π3，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6cos π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，故C 正确； 又π4<π3，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以f⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos π4>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，故D 正确；故选CD.答案 CD一、素养落地1.通过学习导数与函数的单调性，提升数学运算与逻辑推理素养.2.对于含参数的导数的单调性，要清楚分类讨论的标准，做到不重不漏.3.利用函数的单调性求参数的取值范围的关键是转化为不等式的恒成立问题或存在性问题，再利用分离参数法或函数的性质求解. 二、素养训练1.设函数f (x )＝2x ＋sin x ，则( ) A.f (1)>f (2)B.f (1)<f (2)C.f(1)＝f(2)D.以上都不正确解析f′(x)＝2＋cos x>0，故f(x)是R上的增函数，故f(1)<f(2). 答案 B2.若f(x)＝13x3－ax2的单调减区间是(0，2)，则正数a的值是()A.1B.2C.3D.4解析f′(x)＝x2－2ax，令f′(x)<0，由于a>0，故解得0<x<2a，故2a＝2，即a＝1. 答案 A3.已知f(x)＝ln xx，则()A.f(2)>f(e)>f(3)B.f(3)>f(e)>f(2)C.f(3)>f(2)>f(e)D.f(e)>f(3)>f(2)解析f(x)的定义域是(0，＋∞)，∵f′(x)＝1－ln xx2，∴x∈(0，e)，f′(x)>0，x∈(e，＋∞)，f′(x)<0，故x＝e时，f(x)max＝f(e)，又f(2)＝ln 22＝ln 86，f(3)＝ln 33＝ln 96，则f(e)>f(3)>f(2).答案 D4.若函数y＝x2－2bx＋6在(2，8)内是增函数，则实数b的取值范围是________. 解析由题意得y′＝2x－2b≥0在(2，8)内恒成立，即b≤x在(2，8)内恒成立，所以b≤2.答案(－∞，2]5.若f(x)＝－12x2＋b ln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________.解析∵f(x)在(－1，＋∞)上为减函数，∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立.∵f′(x)＝－x＋bx＋2，∴－x＋bx＋2≤0在(－1，＋∞)上恒成立，即b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立. 设g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1，则当x>－1时，g(x)>－1，∴b≤－1.答案(－∞，－1]基础达标一、选择题1.已知函数f(x)＝e xx，当1<x<3时，下列关系正确的是()A.f(x)<f(x)<f2(x)B.f(x)<f(x)<f2(x)C.f2(x)<f(x)<f(x)D.f2(x)<f(x)<f(x)解析由题意得f′(x)＝（x－1）e xx2，当1<x<3时，f′(x)>0，所以f(x)在(1，3)上单调递增.又1<x<x<3，所以f(x)<f(x).由f(x)在(1，3)上单调递增，可知当x∈(1，3)时，f(x)>f(1)＝e，所以f2(x)>f(x).综上f(x)<f(x)<f2(x).答案 A2.已知函数f(x)，g(x)对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0时，有f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时，有()A.f′(x)>0，g′(x)>0B.f′(x)>0，g′(x)<0C.f′(x)<0，g′(x)>0D.f′(x)<0，g′(x)<0解析由已知，得f(x)为奇函数，g(x)为偶函数.∵当x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上均单调递增，∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，g(x)在(－∞，0)上单调递减，∴当x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.答案 B3.已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0，1)上为减函数，函数g(x)＝x2－a ln x在(1，2)上为增函数，则a＝()A.1B.2C.0D. 2解析∵函数f(x)＝x2－ax＋3在(0，1)上为减函数，∴a2≥1，得a≥2.g′(x)＝2x－a x ，依题意g ′(x )≥0在(1，2)上恒成立，即2x 2≥a 在x ∈(1，2)时恒成立，有a ≤2，∴a ＝2. 答案 B4.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在R 上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－3]∪[3，＋∞)B.[－3，3]C.(－∞，－3)∪(3，＋∞)D.(－3，3)解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1，由题意，可知f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在R 上恒成立，∴(2a )2－4×(－3)×(－1)≤0，解得－3≤a ≤ 3. 答案 B5.若函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 解析 由题意，得函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x .令f ′(x )＝0，解得x ＝12或x ＝－12(舍去).当0<x <12时，f ′(x )<0，函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减；当x >12时，f ′(x )>0，函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增.因为函数f (x )在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以k －1<12<k ＋1，解得－12<k <32.又k －1≥0，所以1≤k <32.故选C. 答案 C 二、填空题6.若函数f (x )＝(x 2＋mx )e x 的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，则实数m 的值为________.解析 f ′(x )＝[x 2＋(m ＋2)x ＋m ]e x .因为f (x )的单调减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，所以f ′(x )＝0的两个根分别为x 1＝－32，x 2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝0，f ′（1）＝0，解得m ＝－32.答案 －327.函数f (x )＝13x 3－12(2a ＋1)x 2＋(a 2＋a )x ＋4的单调减区间是________.解析 f ′(x )＝x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ＝[x －(a ＋1)](x －a )，令f ′(x )<0，得a <x <a ＋1，故f (x )的减区间是(a ，a ＋1). 答案 (a ，a ＋1)8.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，若当x >0时，xf ′(x )＋f (x )>0，则不等式xf (x )>0的解集是________. 解析 由题意设g (x )＝xf (x )， 则g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x ).∵当x >0时，xf ′(x )＋f (x )>0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增. ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴g (x )是定义在R 上的偶函数. 又f (2)＝0，则g (2)＝2f (2)＝0， ∴不等式xf (x )>0等价于g (x )>0＝g (2)， ∴|x |>2，解得x <－2或x >2，∴不等式xf (x )>0的解集是(－∞，－2)∪(2，＋∞). 答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞) 三、解答题9.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－a 2x ＋2.(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若a >0，求函数f (x )的单调区间. 解 (1)∵a ＝1，∴f (x )＝x 3＋x 2－x ＋2， ∴f ′(x )＝3x 2＋2x －1，∴f ′(1)＝4.又f (1)＝3，∴切点坐标为(1，3)，∴所求切线方程为y －3＝4(x －1)，即4x －y －1＝0. (2)f ′(x )＝3x 2＋2ax －a 2＝(x ＋a )(3x －a )，由f ′(x )＝0得x ＝－a 或x ＝a3. 又a >0，由f ′(x )<0，得－a <x <a3， 由f ′(x )>0，得x <－a 或x >a3，故f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，a 3，单调递增区间为()－∞，－a 和⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞.10.试讨论函数f (x )＝kx －ln x 的单调区间. 解 函数f (x )＝kx －ln x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝k －1x ＝kx －1x .当k ≤0时，kx －1<0，∴f ′(x )<0， 则f (x )在(0，＋∞)上单调递减. 当k >0时，由f ′(x )<0，即kx －1x <0， 解得0<x <1k ； 由f ′(x )>0，即kx －1x >0，解得x >1k. ∴当k >0时，f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1k ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，＋∞.综上所述，当k ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间； 当k >0时，f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1k ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，＋∞.能力提升11.已知函数f (x )＝x ln x ＋x (x －a )2(a ∈R ).若存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得f (x )>xf ′(x )成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫94，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C.(2，＋∞)D.(3，＋∞)解析 由f (x )>xf ′(x )成立，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2<0.设g (x )＝f （x ）x ＝ln x ＋(x －a )2，则存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得g ′(x )＝1x ＋2(x －a )<0成立，即a >⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x min .又x ＋12x ≥2x ·12x ＝2，当且仅当x ＝12x ，即x ＝22时取等号，所以a > 2.故选C. 答案 C12.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋1，a ∈R . (1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)设函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13内是减函数，求a 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，Δ＝4(a 2－3). 当Δ＞0，即a ＞3或a ＜－3时， 令f ′(x )＞0，即3x 2＋2ax ＋1＞0，解得x ＞－a ＋a 2－33或x ＜－a －a 2－33；令f ′(x )＜0，即3x 2＋2ax ＋1＜0， 解得－a －a 2－33＜x ＜－a ＋a 2－33.故函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a －a 2－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋a 2－33，＋∞； 单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －a 2－33，－a ＋a 2－33. 当Δ＜0，即－3＜a ＜3时，对所有的x ∈R 都有f ′(x )＞0，故f (x )在R 上单调递增.当Δ＝0，即a ＝±3时，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝0，且对所有的x ≠－a 3都有f ′(x )＞0，故f (x )在R上单调递增.(2)由(1)，知只有当a ＞3或a ＜－3时， f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －a 2－33，－a ＋a 2－33内是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a －a 2－33≤－23，－a ＋a 2－33≥－13.解得a ≥2.故a 的取值范围是[2，＋∞).创新猜想13.(多选题)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f ′(x )<f (x )，对任意的x ∈R 恒成立，则( ) A.f (ln 2)<2f (0) B.f (2)<e 2f (0) C.f (ln 2)>2f (0)D.f (2)>e 2f (0)解析 令g (x )＝f （x ）e x ，则g ′(x )＝f ′（x ）－f （x ）e x <0，故g (x )在R 上单调递减，而ln 2>0，2>0，故g (ln 2)<g (0)，g (2)<g (0)，即f （ln 2）2<f （0）1，f （2）e 2<f （0）1，所以f (ln 2)<2f (0)，f (2)<e 2f (0). 答案 AB14.(多空题)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0).(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是________； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)由题知h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2.由h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，可得当x ∈(0，＋∞)时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x 有解.设G (x )＝1x 2－2x (x >0)，所以只要a >G (x )min 即可.而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.因为a ≠0，所以－1<a <0或a >0.(2)由h (x )在[1，4]上单调递减，得当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立.设H (x )＝1x 2－2x ，x ∈[1，4]，所以a ≥H (x )max ，而H (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以H (x )max ＝－716(此时x ＝4). 因为a ≠0，所以－716≤a <0或a >0.答案 (1)(－1，0)∪(0，＋∞) (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，0∪(0，＋∞)高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
高中数学1.3.1 函数的单调性与导数
1.函数的单调性与其导数的关系
在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单
调递增;如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减;如果恒
有f'(x)=0,那么函数y=f(x)在这个区间内是常数函数.
名师点拨“在某区间内f'(x)>0(f'(x)<0)”是“函数f(x)在此区间上为
增(减)函数”的充分条件,而不是必要条件.如果出现个别点使f'(x)=0,
不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间上的单调性.例如函数
f(x)=x3,在定义域(-∞,+∞)上是增函数,但因为f'(x)=3x2,所以f'(0)=0,
即并不是在定义域内的任意一点处都满足f'(x)>0.
【做一做】 若定义域为R的函数f(x)的导数f'(x)=2x(x-1),则f(x)在
反思感悟运用导数研究函数单调性的方法
利用导数判断或证明函数的单调性时,一般是先确定函数的定义 域,再求导数,最后判断导数在所给区间上的符号,从而确定函数的 单调性.
-6-
1.3.1 函数的单调性与导数
课前篇自主预习 课课堂堂篇篇探探究究学学习习
探究一
探究二
探究三
思想方法 当堂检测
变式训练1(1)在下列函数中,在区间(-1,1)内是减函数的是( ) A.y=2-3x2 B.y=ln x C.y=������1-2 D.y=sin x (2)求证:函数f(x)=sin x+cos x+3x在R上单调递增.
答案:C
(2) 证明:∵f'(x)=cos x-sin x+3=3- 2sin x-π4 ,而 2sin x-π4 ≤ 2, ∴3- 2sin x-π4 >0,即 f'(x)>0.故函数 f(x)=sin x+cos x+3x 在 R 上单
【高中数学】导数与函数的单调性
＝ex(x＋1)，当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，∴函数 f(x)＝xex 在(0，＋∞)上为增函数；对于 C，
高中数学学科
f′(x)＝3x2－1，令 f′(x)>0，得 x>
3或 x<－
3，∴函数
f(x) ＝ x3 － x
在
－∞，－
3 3
和
3
3
3，＋∞ 3
上单调递增；对于
D，f′(x)＝－1＋1＝－x－1，令
－∞，－4
即 f(x)的单调递增区间是
3 ，(0，＋∞)．
3．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝sin 2x
B．f(x)＝xex
C．f(x)＝x3－x
D．f(x)＝－x＋ln x
kπ－π，kπ＋π
解析：选 B 对于 A，f(x)＝sin 2x 的单调递增区间是 4
4 (k∈Z)；对于 B，f′(x)
x
x
f′(x)>0，得
0<x<1，
∴
函数 f(x)＝－x＋ln x 在区间(0,1)上单调递增．综上所述，应选 B.
4．已知函数 f(x)＝x2＋2cos x，若 f′(x)是 f(x)的导函数，则函数 f′(x)的图象大致是( )
解析：选 A 设 g(x)＝f′(x)＝2x－2sin x，g′(x)＝2－2cos x≥0，所以函数 f′(x)在 R
ax2
a
由 f′(x)＝ax－1<0，得 0<x<1，
ax2
a
1，＋∞
0，1
∴函数 f(x)在 a
上单调递增，在 a 上单调递减．
高中数学学科
综上所述，当 a<0 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
高中数学_函数的单调性与导数教学设计学情分析教材分析课后反思
1.3.1函数的单调性与导数【教学目标】1.知识与能力：会利用导数解决函数的单调性及单调区间。
2.过程与方法：通过利用导数研究单调性问题的探索过程,体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法。
3.情感态度与价值观：通过导数方法研究单调性问题，体会到不同数学知识间的内在联系，同时通过学生动手、观察、思考、总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。
通过导数研究单调性的步骤的形成和使用，使得学生认识到利用导数解决一些函数（尤其是三次、三次以上的多项式函数）的问题，因而认识到导数的实用价值。
【教学重点和难点】对于本节课学生的认知困难主要体现在：用准确的数学语言描述函数单调性与导数的关系，这种由特殊到一般、数到形、直观到抽象的转变，对学生是比较困难的。
根据以上的分析和新课程标准的要求，我确定了本节课的重点和难点。
教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。
教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。
【教学设计思路】现代教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变，本节可从单调性与导数的关系的发现到应用都有意识营造一个较为自由的空间，让学生能主动的去观察、猜测、发现、验证，积极的动手、动口、动脑，使学生在学知识同时形成思想、方法。
整个教学过程突出了三个注重：1、注重学生参与知识的形成过程，体验应用数学知识解决简单数学问题的乐趣。
2、注重师生、生生间的互相协作、共同提高。
3、注重知能统一，让学生获得知识同时，掌握方法，灵活应用。
根据新课程标准的要求，本节课的知识目标定位在以下三个方面：一是能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；二是掌握判断函数单调性的方法；三是能由导数信息绘制函数大致图像。
【教法预设】1．教学方法的选择：为在课堂上，突出学生的主体地位，本节课拟运用“问题--- 解决”课堂教学模式，采用启发式、讲练结合的教学方法。
通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神。
高中数学_函数的单调性与导数教学设计学情分析教材分析课后反思
1.3.1函数的单调性与导数普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2【内容解析】1．导数这个概念是微积分的核心概念，又是中学阶段数学学习函数的一个主干知识，它是研究函数相关性质的重要工具之一.2．单调性作为函数的主要性质之一，主要用来刻画图象的变化趋势，函数的单调性的定义在《数学1》中已经介绍，并且在学习《数学1》《数学4》幂、指、对及三角函数时进行了应用，能够借助于函数图象特征和单调性的定义来研究函数的单调性.3．这节课我们是在学习了导数的概念、几何意义及运算之后，运用导数这个工具来研究函数的单调性，体会导数在研究函数中的应用，为后面学习函数的极值、最值的做铺垫、能力基础和方法指导。
并与《数学1》《数学4》中的方法进行比较，体会导数在研究函数中的优越性.【教学目标】知识与技能：1．借助几何直观，通过实例归纳函数的单调性与导数的关系；2．理解并掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数单调区间.过程与方法：在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想、分类讨论思想.情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生观察、思考、总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯.【学情分析】1. 已有的知识储备：（1）本节课的授课对象是青岛第二中学分校外语学院的学生，已经基本了解探究函数性质的基本思想和研究方法，具备了一定的发现问题、探究问题、分析问题和解决问题的能力.（2）学生已经掌握了基本初等函数的图象特征和基本性质，而且已经掌握了导数的概念、几何意义与导数的计算，已经具备了用导数探究函数单调性的知识储备。
2. 存在问题：将导数与函数单调性联系起来，学生的抽象概括能力还不够；【教学重点】导数与函数单调性的关系的探索和发现；利用导数研究函数的单调性.【教学难点】发现和揭示导数与函数单调性的关系；并利用导数研究函数的单调性．【教学过程】一、课前思维导学1.预习课本22-25页，猜想导数与函数的单调性有什么联系？然后结合我们学习过的基本初等函数，验证你的猜想.2.思考如何判断函数f (x)=2x3-6x2+7的单调性，并求出单调区间?【设计意图】通过复习回顾，巩固旧知，合理猜想，把学习任务转移给学生；让学生完成对函数单调性与导数关系的第一次认识，逐步浮现本节课的探讨任务，明确研究课题。
高中数学 选修1-1 27.函数的单调性与导数
27.函数的单调性与导数教学目标 班级____姓名________1.掌握函数单调性与导数的关系.2.能够利用导数研究函数的单调性.3.会求函数的单调区间.教学过程一、函数单调性与导数（正负）的关系.（函数单调性是局部性质）1.（1）函数递增的充分条件：0)('>x f ；（2）函数递减的充分条件：0)('<x f .2.（1）函数递增的充要条件：①0)('≥x f ，②0)('=x f 不连续；（2）函数递减的充要条件：①0)('≤x f ，②0)('=x f 不连续.3.求函数的单调区间.（1）求定义域；（①分式：分母0≠；②偶次根式：被开方数0≥；③对数式：真数0>）（2）求导函数；（3）解不等式；（利用函数递增（递减）的充要条件列不等式）（4）下结论.（若单调区间不止一个，不能用“ ”连接，只能用“逗号”或“和”字连接.）二、函数变化快慢与导数（增减）的关系.1.若)('x f 递增，则函数)(x f y =为凹函数；（“越增越快”或“越减越慢”）2.若)('x f 递减，则函数)(x f y =为凸函数.（“越增越慢”或“越减越快”）三、例题分析.1.求函数单调区间.例1：求下列函数的单调区间：（1）x x x f 3)(3-=； （2）)0(ln )(2>-=a x a x x f .练1：（1）求函数a x x y +-=42的单调区间；（2）求函数)0(ln >-=a ax x y 的单调区间.2.函数的变化快慢与导数的关系.例2：如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象．练2：已知)('x f 是)(x f 的导函数，)('x f 的图象如图所示，则)(x f 的图象只可能是( )作业：求函数x x y -=ln 的单调区间.。
新教材2023版高中数学第二章导数及其应用6用导数研究函数的性质6
题型二 用导数研究不含参数的函数单调性 例2 判断下列函数的单调性 (1)f(x)＝x2－ln x； (2)f(x)＝xe−x2； (3)f(x)＝x3＋3x.
解析：因为f(x)＝sin x－x，x∈(0，π)， 所以f′(x)＝cos x－1<0. 所以函数f(x)＝sin x－x在(0，π)上单调递减．
题型三 用导数研究含参函数的单调性
例3 已知函数f(x)＝12ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数f(x)的单 调性．
变式探究 本例中的条件“a>0”改为“a∈R”，结果如何？
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则( ) A．f′(3)>0 B．f′(3)<0 C．f′(3)＝0 D．f′(3)的符号不确定
答案：B
解析：由图象可知，函数f(x)在(1，5)上单调递减，则在(1，5)上有f′(x)<0，所以 f′(3)<0.故选B.
3 ． 导 函 数 y ＝ f′(x) 的 图 象 如 图 所 示 ， 则 函 数 y ＝ f(x) 的 图 象 可 能 是 ()
【易错警示】
出错原因
纠错心得
忽略了函数f(x)的定义 在讨论函数的单调性时，要特别注意函数
域．
的定义域．
[课堂十分钟] 1．已知f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可 能是( )
答案：C 解析 ： 由 导函数的 图象可知 ， 当 x<0时 ，f′(x)>0，即 函 数f(x)为增函数 ；当 0<x<x1时，f′(x)<0，即函数f(x)为减函数；当x>x1时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数， 观察选项易知C正确，故选C.
高中数学第一章《函数的单调性与导数》【教案】
1.3。
1函数的单调性与导数
教学目标：
(1)知识目标：能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间，
能由导数信息绘制函数大致图象。
（2）能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。
（3)情感目标：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。
教学重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求函数的单调区间。
教学难点:利用导数信息绘制函数的大致图象。
教学方法:发现式、启发式
教学手段：多媒体课件等辅助手段。
教学过程预设：
教学环
节
师生活动设计意图
一、回顾
与思考
提
问1．判断函数的单调性有哪
些方法?
（引导学生回答“定义法
"，“图象法”。
)
2．比如，要判断y=x2+1的
单调性,如
何进行？（引导学生回顾分
以问题形式复
习相关旧知识，
同时引出新问
题：三次函数判
断单调性，定义
法、图象法很不
方便，有没有捷。
第03讲 利用导数求函数的单调性-《高中数学选修2-2重难点解读》(解析版)
第三讲 利用导数求函数的单调性1．函数单调性与导数的关系在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )＞0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增； 如果f ′(x )＜0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减；如果恒有f ′(x )＝0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内是常数函数．注意：在某个区间内，()0f x '>（()0f x '<）是函数()f x 在此区间内单调递增（减）的充分条件，而不是必要条件.函数()f x 在(,)a b 内单调递增（减）的充要条件是()0f x '≥（()0f x '≤）在(,)a b 内恒成立，且()f x '在(,)a b 的任意子区间内都不恒等于0.2. 函数图象的变化趋势与导数值大小的关系如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化的快，其图象比较陡峭．即|f ′(x )|越大，则函数f (x )的切线的斜率越大，函数f (x )的变化率就越大考点一 利用导数求单调区间【例1】求下列函数的单调区间。
（1）3()23f x x x =-； （2）2()ln f x x x =-. （3）f (x )＝2x －x 2.【答案】见解析【解析】（1）由题意得f(x)的定义域为R ，2()63f x x '=-.令2()630f x x '=->，解得x <或x >.当(,)2x ∈-∞-时，函数为增函数；当)2x ∈+∞时，函数也为增函数.令2()630f x x '=-<，解得x <<.当(x ∈时，函数为减函数.故函数3()23f x x x =-的单调递增区间为(,2-∞-和,)2+∞，单调递减区间为(22-.（2）函数2()ln f x x x =-的定义域为(0,)+∞.11)()2f x x x x -+'=-=.令()0f x '>，解得2x >；令()0f x '<，解得02x <<.故函数2()ln f x x x =-的单调递增区间为)2+∞，单调递减区间为(0,2. (3)要使函数f (x )＝2x －x 2有意义，必须2x －x 2≥0，即0≤x ≤2.∴函数的定义域为[0,2]．f ′(x )＝(2x －x 2)′＝12(2x －x 2)－12·(2x －x 2)′＝1－x 2x －x 2 .令f ′(x )＞0，则1－x 2x －x 2＞0.即⎩⎨⎧ 1－x ＞0，2x －x 2＞0，∴0＜x ＜1.∴函数的单调递增区间为(0,1)．令f ′(x )＜0，则1－x 2x －x 2＜0，即⎩⎨⎧ 1－x ＜0，2x －x 2＞0，∴1＜x ＜2.∴函数的单调递减区间为(1,2)．1．函数()e x f x x -=的单调递减区间是 。
高中数学知识重组、网络建构之函数与导数：专题三 导数应用之函数的单调性 含解析
● 主干知识互联，提纲挈领1．函数的单调性定义：设()f x 的定义域为D ，区间I D ⊆，若对于1212,,x xI x x ∀∈<，有()()12f x f x <，则称()f x 在I 上单调递增，I 称为单调递增区间．若对于1212,,x xI x x ∀∈<，有()()12f x f x >，则称()f x 在I 上单调递减，I 称为单调递减区间． 2．导数与函数的单调性：在某个区间(),a b 内，如果()0f x '≥,那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '≤，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．●重点难点突破,抓住核心考向1 利用导数判断函数的单调性或求单调区间【例1】【2016北京高考，理18】设函数()a xf x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（I)求a ，b 的值；（II ）求()f x 的单调区间．【答案】(Ⅰ)2a =，b e =；（II ）●方法规律提升，融会贯通 求可导函数单调区间的一般步骤和方法（1）确定函数()f x 的定义域．（2)求()f x '，令()0f x '=，求出它们在定义域内的一切实数)(x f 的单调递增区间为(,)-∞+∞． 【解析】（I ）()ea xf x x bx-=+，∴()e e (1)e a xa x a x f x xb x b---'=-+=-+．∵曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+，∴(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=-，即2(2)2e22(e 1)4a fb -=+=-+①2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=-②由①②解得：2a =，e b =． (II)由（I ）可知:2()ee xf x x x-=+，2()(1)e ex f x x -'=-+．令2()(1)e xg x x -=-,∴222()e(1)e (2)e xx x g x x x ---'=---=-根．（3）把函数()f x 的间断点（即()f x 的无定义点）的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间．（4）确定()f x '在各个开区间内的符号，根据()f x '的符号判定函数()f x 在每个相应小开区间内的增减性．∴()g x 的最小值是22(2)(12)e 1g -=-=-，∴()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=->,即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立，∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增,无减区间．综上可知，0)(>'x f ,),(+∞-∞∈x ，故)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞．【变式训练】已知函数22()2()ln 22f x x a x xax a a =-++--+，其中0a >．设()g x 是()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性;【答案】当104a <<时，()g x 在区间)+∞上单调递增， 在区间11(22上单调递减;当14a ≥时,()g x 在区间(0,)+∞上单调递增．【解析】由已知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，。