上海市曹杨二中2018-2019学年高二上数学期末试卷(无答案)

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上海曹杨二中2018-2019学年度第二学期高三数学试题

上海曹杨二中2018-2019学年度第二学期高三数学试题(2019年5月14日)一、填空题(前6题每题4分,后6题每题5分,共54分)1.已知集合{}，，，，9102=A 集合{}，，，415=B 则=B A ________.2.双曲线1422=-y x 的渐近线方程为___________. 3.函数()()12-=＜x x x f 的反函数()=-x f 1_______.4.已知圆柱的主视图是边长为2的正方形，则该圆柱的体积等于_______.5.某次体检，6位同学的身高(单位:米)分别为：1.72、1.78、1.75、1.80、1.68、1.77，则这组数据的标准差为_______(米).6.若函数()34k tan -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f 在()，π0上恰有6个零点，则正整数k 的值为______. 7.若()ny x 22+的展开式中有一项为，26y mx 则m 的值为______. 8.若不等式2≤+a x 当[]21，∈x 时恒成立，则实数a 的取值范围是________.9.已知是夹角为120°的两个单位向量，若向量满足()，62-=+⋅b a c 则的取值范围是_____________.10.已知函数()x f 在R 上单调递减，且满足()()，02=-+x f x f 若实数b a 、满足不等式()()，0≤+b f a f 则22b a +的最小值为______. 11.已知△ABC 的顶点分别是⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛0242020，、，、，n C n B n A ，记△ABC 的外接圆的面积为，n S 则=∞→n n S lim _______. 12.从集合{}d c b a U ，，，=的子集中选出2个不同的子集,需同时满足以下两个条件:①b a 、都至少属于其中一个集合；②对选出的两个子集A 、B ，必有B A ⊆或，A B ⊆那么，共有________种不同的选法,二、选择题(每小题5分,共20分)13.下列函数中，为偶函数的是 A.21x y = B.31x y = C.2-=x y D.3x y = 14.已知向量()()，，，2211b a b a ==则“v u ∥”是“关于y x 、的线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 无解”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件15.已知正四面体ABCD 的棱长为1，平面α与该正四面体相交，对于实数()10＜＜d d ，记正四面体的四个顶点中到平面α的距离等于d 的点的个数为，m 则下列结论中正确的是A.m 不可能等于2B.m 不可能等于3C.m 不可能等于4D.以上三个答案都不正确16.设，，C w z ∈关于w 的方程02=++zi zw w 恒有实根，设z 在复平面上对应点Z 的轨迹为曲线，Γ,给出下列命题:①曲线Γ关于原点对称；②曲线在直线1=y 下方；③曲线Γ关于y 轴对称；④曲线Γ是封闭图形，其中正确命题的个数是A.0个B.1个C.2个D.3个三、解答题(共76分)17.如图，四棱锥ABCD S -的底面是边长为1的正方形，SD ⊥底面ABCD ，SB=2.(1)求证:BC ⊥SC ；(2)设棱SA 中点为M ，求异面直线DM 与BC 所成角大小。

2017-2018年上海市曹杨二中高二上期末

2018年曹杨二中高二上期末试卷 2018.1.17一、填空题1. 已知圆柱的侧面展开图是边长为2π的正方形，则该圆柱的体积为____________2. 若无穷等比数列{}n a 的首项及公比均为12，则数列{}n a 的各项和为____________ 3. 已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是121002-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y +=____________4. 若已知数列{}n a 为等比数列，且62a =，则3759a a a a -=____________5. 已知等边ABC 的边长为1，用斜二测画法作它的直观图'''A B C ，则'''A B C 的面积为____________6. 设()f n 表示()2*n n N ∈的各位数码之和，例如2864=，6+4=10，则f(8)=10，记()()1f n f n =，()()()*1k k f n f f n k N +=∈⎡⎤⎣⎦，则()20187f =____________7. 已知数列{}n a 的通项公式为2n a n kn =+，若对任意的正整数n ，都有1n n a a +>，则实数k 的取值范围是____________8. 以棱长为1的正方体的各个面中心为顶点的凸多面体的体积为____________ 9. 执行如图的程序框图，若p=9，则输出的S 的值为____________10. 半径为R 的两个球，其中一个球的球心在另一个球的球面上，则两球的交线长为____________ 11. 长方体1111ABCD A B C D -的八个顶点均在同一个球面上，若11AB AA ==，BC =A 、B 两点的球面距离为____________12. 设集合{n M n =位纯小数0.{}()12|0,11,2,1,1}n i n a a a a i n a ∈=-=，n T 是n M 中元素的个数，n S 是n M 中所有元素的和，则limnn nS T →∞=____________二、选择题13. 设“1P 、2P 、3P 、4P 为空间中有三点在同一条直线上”是“1P 、2P 、3P 、4P 在同一个平面上”的（） A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14. 在等差数列{}n a 中，10a >，且383a a =，设{}n a 的前n 项和为n S ，则数列{}n S 中的最大项是（） A. 5SB. 6SC. 10SD. 11S15. 将长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm ）的五根木棒连接（所有木棒都要用到），组成长方体共顶点的条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（） A. 2582cmB. 4142cmC. 4162cmD. 4182cm16. 已知数列1234,,,a a a a 的各项均不等于零，此数列前n 项的和为n S ，且满足()2214n n n S a a n =+≤≤，则满足条件的数列个数为（） A. 4 B. 5C. 6D. 7三、解答题17. 如图，1111ABCD A B C D -是棱长为2的正方体，M 、N 分别是1BB ，CD 的中点. （1）求三棱锥B-AMN 的体积；（2）求异面直线MN 与1DD 所成的角的大小（用反三角函数值表示）.SO ，AB=4，P是母线SA的中点，C 18. 如图，已知AB是底面SO的底面直径，O是底面圆心，23是底面圆周上一点，∠AOC=60°.（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线PC与底面所成的角的大小.19. 如图，在底面是棱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，∠ABC=60°，点E在线段PD上，且PE:ED=2:1.（1）求二面角E-AC-D的大小；（2）在棱PC上是否存在一点F，使得BF//平面AEC?证明你的结论.20. 如图，四边形ABCD 和ABEF 均为边长为1的正方形，且二面角C-AB-E 的大小为3π. （1）证明：直线AE 和直线BD 是异面直线；（2）求点B 到平面ACE 的距离；（3）求异面直线AE 和BD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.21. 记{}1,2,3,,100U =，对数列{}()*n a n N ∈和U 的子集T ，若T=∅，定义0T S =；若{}123,,,k T t t t t =，定义12n t t t t S a a a =+++，例如：{}1,3,6T =时，136T S a a a =++.设数列{}()*n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}2,4T =时，30T S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()199k k ≤≤，若{}1,2,3,,T k ⊆，求证：1T k S a +<；（3）设C U ⊆，D U ⊆，C D S S ≥，求证：2C C D D S S S ⋂+≥.参考答案一、填空题1. 22π2. 13. 74. 85. 166. 167. ()3,-+∞8. 169. 25R 11.3π12.118二、选择题13. A 14. C 15. C 16. C三、解答题17.（1）23（2）arctan arcsin arccos 66== 18.（1）8π（2）4π19.（1）6π（2）F 为PC 的中点20.（1）证明略（2（3）1arccos 421.（1）13n n a -=（2）证明略（3）证明略。

上海中学2018-2019学年第一学期期末高二年级期末考数学试卷2019.01

上海中学2018-2019学年第一学期期末高二年级期末考数学试卷2019.01时间：120分；满分：100分一、填空题（本大题共12题，共36分） 1、抛物线x y =2的准线方程是__________.2、若复数z 满足i x 232-=，其中i 为虚数单位，则=z ________.3、点()0,1p 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为________.4、双曲线141222=-y x 的两条渐近线的夹角为________. 5、在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆13222=+my m x 的焦距为6，则=m _______. 6、已知复数θθcos sin 3i z +=（i 是虚数单位）且，5=z 则当θ为钝角时，=θtan ________. 7、若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，则实数k 的取值范围是___. 8、设直线,3:,3:21x y l x y l -==点A 和点B 分别在直线1l 和2l 上运动，且2-=⋅OB OA ，其中O 为原点，则AB 的中点M 的轨迹方程为____________.9、已知椭圆()10122<<=+m y mx 上存在不同的两点B A ,关于直线1:+=x y l 对称，则m 的取值范围是________.10、双曲线2:22=-y x C 的右焦点为P F ，为其左支上任意一点，点A 的坐标为)1,1(-，则△APF 周长的最小值为________.11、椭圆134:221=+y x C ，抛物线x y C 4:22=，过抛物线2C 上一点P （异于原点O ）作不平行与x 轴的直线l ，使得直线l 与抛物线只有一个交点，且与椭圆1C 交于B A ,两点，则直线l 在x 轴上的截距的取值范围是_________.12、已知点n n B A ,在双曲线1=xy 上，且点n A 的横坐标为1+n n，点n B 的横坐标为()*1N n nn ∈+，记M 点的坐标为()1,1，()n n n y x P ,是△M B A n n 的外心，则=∞→n n x lim ________.二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分） 1、已知复数z 在复平面上对应的点为()1,2-z ，则（）A . i z 21+-=B . 5=z C. i z --=2 D . 2-z 是纯虚数2、下列以t 为参数方程所表示的曲线中，与1=xy 所表示的曲线完全一致的是（）A . ⎪⎩⎪⎨⎧==-2121t y t x B . ⎪⎩⎪⎨⎧==t y tx 1 C . ⎩⎨⎧==t y t x sec cos D . ⎩⎨⎧==ty tx cot tan 3、设双曲线()0,012222>>=-b a b y a x ，右焦点()20,=acc F ，，方程02=--c bx ax 的两个实数根分别为21,x x ，则点()21,x x P 与圆422=+y x 的位置关系是（）A . 点P 在圆外B . 点P 在圆上C . 点P 在圆内D . 不确定4、已知抛物线x y C 42=：的焦点为F ，对称轴与准线的交点为，T P 为抛物线C 上任意一点，当PTPF 取最小值时，∠=PTF （）A .3π B . 4π C . 5π D . 6π三、解答题（本大题共6题，共48分）1、（本题满分6分）若i z z z f 52)(-+=，i z f 36)(-=，试求z .2、（本题满分6分）已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 4cos 6y x （θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y y x x 4131得到曲线C '. （1）求曲线C '的普通方程；（2）若点A 在曲线C '上，点)3,1(D ，当点A 在曲线C '上运动时，若PD AP 2=，求P 点的轨迹方程.3、（本题满分7分）我边防局接到情报，在两个海标A 、B 所在直线的一侧M 处有走私团伙在进行交易活动，边防局迅速排出快艇前去搜捕. 如图，已知快艇出发位置在码头P 处，线段AB 布满暗礁，已知8=PA 公里，10=PB 公里， 60=∠APB ，且BM AM >.请建立适当的直角坐标系，求使快艇沿航线M A P →→或M B P →→的路程相等的点M 的轨迹方程，且画出轨迹的大致图形.4、（本题满分7分）已知关于x 的二次方程0)1()1(222=+++++i a x i a x i a 有实根，求实数a 的值及相应的实根.5、（本题满分10分）已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）经过点)21,26(P ，22=a c ，动点M 在直线2=x 上，O 为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程；（2）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，证明线段ON 的长为定值，并求出这个值.6、（本题满分12分）如图，点)0,3(-H ，动点P 在y 轴上，动点Q 在x 轴的非负半轴上，动点M满足0=⋅PM HP ，23-=，设动点M 的轨迹为曲线C ，过定点)0,(m D （0>m ）的直线l与曲线C 交于A 、B 两点.（1）求曲线C 的方程；（2）若点E 的坐标为)0,(m -，求证：BED AED ∠=∠；（3）是否存在实数a ，使得以AD 为直径的圆截直线a x l =':所得的弦长为定值？若存在，求出实数a 的值；若不存在，说明理由.。

上海市曹杨第二中学2018-2019学年高二上期末数学复习试卷2(无答案)

曹杨二中2018-2019学年度第一学期高二年级期未数学复习试卷2一、填空题(本大题满分54分，本大题共有12题,第1题到第6题每题4分,第7题到第12题每题5分)1.若，，∥A c b b a =⋂则c a 、的位置关系是_______.2.已知圆锥的底面半径为3，体积为12π，则圆锥侧面积为________.3.已知等边△ABC 的边长为1，用斜二测画法画它的直观图，△'''C B A 则'''C B A △的面积为_________.4.正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长AB=2，若直线C B 1与底面ABCD 所成角的大小为，2arctan 则四棱柱1111D C B A ABCD -的侧面积为________. 5.正△ABC 的三个顶点都在半径为2的球面上,球心O 到平面ABC 的距离为1,点D 是线段BC 的中点,过D 作球O 的截面,则截面面积的最小值为_________.6.如果一个正三棱锥的侧棱与底面所成角的大小为，π6那么它的侧面与底面所成角的大小为________. 7.已知非零向量b n 、及平面，α向量n 是平面α的一个法向量,则0=∙b n 是“向量b 所在直线在平面α内”的____________条件.8.设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点,且满足，，，000=∙=∙=∙则ΔBCD是________三角形(选填“锐角”、“直角”或“钝角”)。

9.设地球的半径为R,若甲地位于北纬45°东经120°,乙地位于南纬75东经120°,则甲乙两地的球面距离为_________.10.如图,边长为a 的正方形纸片ABCD,沿对角线AC 对折,使点D 在平面ABC 外,若BD=，a 则三棱锥ABC D -的体积是________.l1.在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体,如果任意转动该正方体,液面的形状都不可能是三角形,那么液体体积的取值范围是__________.12.如图,由编号n ，，，⋯21(*N n ∈且3≥n )的圆柱自下而上组成,其中每一个圆柱的高与底面圆的直径相等,且对于任意两个相邻圆柱,上面圆锥的高是下面圆柱的一半,若编号1的圆柱高位4,则所有圆柱的侧面积之和S 为_________.二、选择题(本大题满分20分，本大题共有4题,每题5分)13.下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。

曹杨二中高二期末(2019.06)

曹杨二中高二期末数学试卷2019.06一. 填空题1. 1-的平方根为2. 复数2i iz +=的虚部为 3. 抛物线2y x =的焦点到准线的距离为 4. 若复数z 满足||1z =，则|1i |z -+的最大值是5. 若双曲线的焦点在x 轴上，焦距为4，且过点(2,3)P ，则双曲线的标准方程为6. 用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求任意相邻两个数码的奇偶性都不同，则这样的六位数的个数是7. 已知直线1l ：10mx y +-=，2l ：(2)20m x my ++-=，若1l 与2l 平行，则实数m 的值为8. 已知方程220x x p -+=的两个虚根为α、β，且||4αβ-=，则实数p =9. 已知直线l 过点(0,5)，且它的一个方向向量为（1,2），则原点O 到直线l 的距离为10. 设6523001230(1)x x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅+，其中01230,,,,a a a a ⋅⋅⋅是各项的系数，则在01230,,,,a a a a ⋅⋅⋅这31个系数中，值为零的个数为11. 在直角坐标系中，已知(1,0)A ，(4,0)B ，若直线10x my +-=上存在点P ，使得||2||PA PB =，则实数m 的取值范围是12. 从集合{,,,}U a b c d =的子集中选出2个不同的子集，需同时满足以下两个条件：①a 、b 都至少属于其中一个集合；②对选出的两个子集A 、B ，必有A B ⊆或B A ⊆，那么共有种不同的选法二. 选择题13. 若12i +是关于x 的实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，则（）A. 2b =, 5c =B. 2b =-,5c =C. 2b =-,3c =-D. 2b =,1c =-14. 若m 是小于10的正整数，则(15)(16)(20)m m m --⋅⋅⋅-等于（）A. 515m P -B. 1520m m P --C. 520m P -D. 620m P -15. 已知曲线C :421x y +=，给出下列命题：①曲线C 关于x 轴对称；②曲线C 关于y 轴对称；③曲线C 关于原点对称；④曲线C 关于直线y x =对称；⑤曲线C 关于直线y x =-对称，其中正确命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 416. 在复数列{}n z 中，1816i z =+，1i 2n n z z +=⋅()n *∈N ，设n z 在复平面上对应的点为n Z ，则（） A. 存在点M ，对任意的正整数n ，都满足||10n MZ ≤B. 不存在点M ，对任意的正整数n ，都满足||55n MZ ≤C. 存在无数个点M ，对任意的正整数n ，都满足||65n MZ ≤D. 存在唯一的点M ，对任意的正整数n ，都满足||85n MZ ≤三. 解答题17. （1）已知2||()i 32i z z z ++=-，求复数z ；（2）已知复数z 满足2z z -为纯虚数，且|i |1z -=，求复数z .18. 已知41(2)n x x+的展开式的二项式系数之和为1024.（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中系数最大的项.19. 如图所示是竖直平面内的一个“通道游戏”，图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇，若有一条竖直线段的为第一层，有二条竖直线段的为第二层，以此类推，现有一颗小球从第一层的通道向下运动，在通道的交叉处，小球可以落入左右两个通道中的任意一个，记小球落入第n 层的第m 个竖直通道（从左向右计）的不同路径数为(,)A n m .（1）求(2,1)A ，(3,1)A ，(4,2)A 的值；（2）猜想(,)A n m 的表达式（不必证明），并求不等式(9,)28A m ≤的解集.20. 已知复数z 满足|1||1|z z -++=z 在复平面上对应点的轨迹为C ，A 、B 分别是曲线C 的上、下顶点，M 是曲线C 上异于A 、B 的一点.（1）求曲线C 的方程；（2）若M 在第一象限，且||OM =，求M 的坐标；（3）过点M 作斜率为1的直线分别交曲线C 于另一点N ，交y 轴于点D ，求证：存在常数λ，使得||||||||DM DN DA DB λ⋅=⋅恒成立，并求出λ的值.21. 已知抛物线Γ：24y x =，F 为其焦点，过F 的直线l 与抛物线Γ交于A 、B 两点.（1）若2AF FB =u u u r u u u r ，求B 点的坐标；（2）若线段AB 的中垂线l '交x 轴于M 点，求证：||||AB FM 为定值；（3）设(1,2)P ，直线PA 、PB 分别与抛物线的准线交于点S 、T ，试判断以线段ST 为直径的圆是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.参考答案一. 填空题1.i ±2.2-3.12 4. 1+5.2213y x -= 6. 72 7.1- 8. 510. 10 11. (,)-∞+∞U 12. 32二. 选择题13. B 14. D 15. C 16. D三. 解答题17.（1）1-±；（2）2i z =，1i z =-+，1i z =+.18.（1）180；（2）2515360x .19.（1）(2,1)1A =，(3,1)1A =，(4,2)3A =；（2）11m n C --，{1,2,3,7,8,9}.20.（1）2212x y +=；（2）；（3）43. 21.（1）1(,1)4±；（2）2；（3）(0,0)，(2,0)-.。

上海市曹杨二中2018-2019学年高三第一学期数学期末考试

曹杨二中2018学年第一学期期终考试数学试卷一、填空题1、函数()sin cos f x x x =的最小正周期为_________2、2lim 12n P n →∞++=_________3、函数()()()3log 212x f x x =-≥的反函数()1f x -_________ 4、在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项为___________ 5、一直一组数据为2,11,9,8,10，则这组数据的方差为_________6、双曲线221x y -=的一条渐近线被圆()2224x y -+=截得线段长为________7、已知数列{}n a 的首项12a =，且满足()*22n n n a a n N +=∈，则20a =________8、已知函数()f x 是奇函数，()112f =，且()()()()22f x f x f x R +=+∈，则()5f =________ 9、将一颗均匀的骰子掷两次，第一次得到的点数记为a ，第一次得到的点数记为b ，则方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩有唯一解的概率是___________ 10、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1313,615a S ≤≤≤≤，则21a a 的取值范围是__________ 11、设函数()3,1,1x a x f x x a x ⎧-<=⎨-≥⎩，若()f x 有且仅有1个零点，则实数a 的取值范围是___________12、定义全集U 的子集M 的特征函数()10M U x M f x x C M ∈⎧=⎨∈⎩，对于两个集合,M N ，定义集合()(){}*1M N M N x f x f x =+=，已知集合{}{}2,4,6,8,10,1,2,4,8,16A B ==，并用S 表示有限集S 的元素个数，则对于任意有限集,**M M A M B +的最小值为________二、选择题13、若1+i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程20z bz c ++=的一个复数根，则（）A. 2,3b c ==B. 2,1b c ==-C. 2,3b c =-=D. 2,1b c =-=-14、已知,,x y z 为正实数，且230x y -+=，则2y xz的最小值为（） A.1 B.2 C.3 D.615、设平面α和平面β相交于直线m ，直线a 在平面α上，直线b 在平面β上，且b m ⊥，则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16、在ABC ∆中，若623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅，则A ∠=（）A.45°B.60°C.120°D.135°二、解答题17、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2,6a C π==，且ABC ∆（1）求c ；（2）若F 为边AC 上一点，且CF =，求sin BFC ∠18、如图，某甜品创作一种冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形，现把半径为10cm 的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个扇形蛋皮固成圆锥的侧面（蛋皮厚度忽略不计）。

2022-2023学年上海市曹杨第二中学高二上学期期末考试数学试卷含详解

上海市曹杨第二中学2022学年度第一学期高二年级总结性评价数学试卷命题人：黄坪校对人：郭天翔试卷共4页1张考生注意：1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚.2、本试卷共有21道试卷，满分150分，评价时间120分钟.请同学们将选择题答案直接点击在智学网上，非选择题用黑色水笔将答案写在答题卷上，并按要求拍照上传至智学网相关位置.一、填空题：（共12题，满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分）1.半径为1cm 的球的体积是___________3cm .2.设正四面体的棱长为1，则该正四面体的高为______.3.两条平行直线3410x y -+=与3420x y --=之间的距离为______.4.若直线l的一个法向量为(-，则过原点的直线l 的方程为______.5.如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC 的直观图，其中1O B O C ''''==，则三角形A B C '''的面积为______.6.如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为___．7.一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的离心率为________.8.已知直线:cos 10l x y θ+-=，R θ∈，则直线l 的倾斜角的取值范围是______.9.已知正三棱台111ABC A B C -上、下底面边长分别为1和2，高为1，则这个正三棱台的体积为______.10.已知圆22:16C x y +=，直线()():20l a b x b a y a -+--=（a 、b 不同时为0），当a 、b 变化时，圆C 被直线l 截得的弦长的最小值为______.11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，M ，N ，Q ，P 分别为棱11A B ，11B C ，1BB ，1CC 的中点，三棱锥M PQN-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为___________.12.如图，已知F 是椭圆22143x y +=的左焦点，A 为椭圆的下顶点，点P 是椭圆上任意一点，以PF 为直径作圆N ，射线ON 与圆N 交于点Q ，则AQ的取值范围为______.二、选择题：（共4题，满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分）13.设1234P P P P 、、、为空间中的四个不同点，则“1234P P P P 、、、中有三点在同一条直线上”是“1234P P P P 、、、在同一个平面上”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.若点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅ 的最小值为A.22- B.12C.22D.115.已知曲线C ：()3222216x yx y +=，命题p ：曲线C 仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点；命题q ：曲线C上的点到原点的最大距离是2.则下列说法正确的是（）A.p 、q 都是真命题B.p 是真命题，q 是假命题C.p 是假命题，q 是真命题D.p 、q 都是假命题16.四面体ABCD 的所有棱长都为1，棱AB 平面α，则四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是（）A.21,22⎤⎢⎥⎣⎦ B.31,42⎤⎥⎣⎦C.21,42⎤⎥⎣⎦D.23,44⎣⎦三、解答题：（共5题，满分78分，前3题每题14分，其中第1问6分，第2问8分；后2题每题18分，其中第1问4分，第2问6分，第3问8分）17.已知圆C 经过(3,2)A 、(1,6)B 两点，且圆心在直线2y x =上．（1）求圆C 的方程；（2）若直线l 经过点(1,3)P -且与圆C 相切，求直线l 的方程．18.如图，在三棱锥D ABC -中，平面ACD ⊥平面ABC ，AD AC ⊥，AB BC ⊥，E 、F 分别为棱BC 、CD 的中点.（1）求证：直线//EF 平面ABD ；（2）若直线CD 与平面ABC 所成的角为45°，直线CD 与平面ABD 所成角为30°，求二面角B AD C --的大小.19.如图，A 、B 是海岸线OM 、ON 上的两个码头，海中小岛有码头Q 到海岸线OM 、ON 的距离分别为2km 、710km 5.测得tan 3MON ∠=-，6km OA =.以点O 为坐标原点，射线OM 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.码头Q 在第一象限，且三个码头A 、B 、Q 均在一条航线上.（1）求码头Q 点的坐标；（2）海中有一处景点P （设点P 在平面xOy 内，PQ OM ⊥，且6km PQ =），游轮无法靠近.求游轮在水上沿旅游线AB 航行时离景点P 最近的点C 的坐标.20.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11DD DA ==，2AB =，点E 在棱AB 上运动.（1）证明：11B C D E ⊥；（2）设E 为棱AB 的中点，在棱1CC 上是否存在一点F ，使得//BF 平面1DEC ，若存在，求1CFCC 的值，若不存在，说明理由；（3）求直线AB 与平面1DEC 所成角的取值范围.21.已知椭圆22:142x y C +=，过动点()()0,0M m m >的直线l 交x 轴于点N ，交C 于点A 、P （P 在第一象限），且M 是线段PN 的中点，过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .设()11,A x y 、()22,B x y.（1）若点N的坐标为()，求PNQ V 的周长；（2）设直线PM 的斜率为k ，QM 的斜率为k '，证明：k k'为定值；（3）求直线AB 倾斜角的最小值.上海市曹杨第二中学2022学年度第一学期高二年级总结性评价数学试卷命题人：黄坪校对人：郭天翔试卷共4页1张考生注意：1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚.2、本试卷共有21道试卷，满分150分，评价时间120分钟.请同学们将选择题答案直接点击在智学网上，非选择题用黑色水笔将答案写在答题卷上，并按要求拍照上传至智学网相关位置.一、填空题：（共12题，满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分）1.半径为1cm 的球的体积是___________3cm .【答案】4π3【分析】根据球体积公式计算．【详解】由题意球体积为()3344π1πcm 33V =⨯=．故答案为：4π3．2.设正四面体的棱长为1，则该正四面体的高为______.【答案】63【分析】设正四面体为A BCD -，过A 作AO ⊥底面BCD ，可知O 为底面正三角形的中心，然后求解直角三角形得答案．【详解】如图，设正四面体为A BCD -，过A 作AO ⊥底面BCD ，垂足为O ，四面体为正四面体，∴O 为底面正三角形的中心，连接CO 并延长交BD 于G ，则G 为BD 中点，底面边长为1，323CO CG ∴==，63AO ∴==，∴该正四面体的高为3．故答案为：3．3.两条平行直线3410x y -+=与3420x y --=之间的距离为______.【答案】35##0.6【分析】根据两平行直线间的距离公式求得正确答案.【详解】两条平行直线3410x y -+=与3420x y --=之间的距离为：35=.故答案为：35.4.若直线l的一个法向量为(-，则过原点的直线l 的方程为______.【答案】0x -=【分析】根据直线法向量，可设出直线方程，由直线过原点，求出未知系数.【详解】若直线l的一个法向量为(-，可设直线方程为0x c -++=，由直线过原点，∴0c =，故所求直线方程为0x -=，即0x -=.故答案为：0x -=5.如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC 的直观图，其中1O B O C ''''==，则三角形A B C '''的面积为______.【答案】4【分析】根据直观图和平面图的关系可求出O A ''，进而利用面积公式可得三角形A B C '''的面积【详解】由已知可得12222O A ''=⨯⨯=则132622224A B C S '''=⨯⨯=故答案为：64.6.如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为___．【答案】2π【分析】由圆锥的侧面积公式即可求解．【详解】由题意，圆锥底面周长为2π×1=2π，又母线长为2，所以圆锥的侧面积12222S ππ=⨯⨯=．故答案为：2π.7.一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的离心率为________.【答案】2【分析】根据已知可知：2a b =，再代入离心率公式e =即可.【详解】由题知：222a b =⨯，即2a b =.32c e a =====.故答案为：2【点睛】本题主要考查离心率的求法，根据题意找到关系式为解题的关键，属于简单题.8.已知直线:cos 10l x y θ+-=，R θ∈，则直线l 的倾斜角的取值范围是______.【答案】π3π[0,[,π)44⋃【分析】由题意可得直线l 的斜率cos [1,1]k θ=-∈-，设直线l 的倾斜角为β，则有tan [1,1]β∈-，[0,π)β∈，再根据正切函数的性质即可求得答案.【详解】解：因为直线:cos 10l x y θ+-=，R θ∈，所以直线l 的斜率cos k θ=-，所以[1,1]k ∈-，设直线l 的倾斜角为β，则有tan [1,1]k β=∈-，又因为[0,π)β∈，所以π3π[0,][,π)44β∈⋃.故答案为：π3π[0,[,π)44⋃9.已知正三棱台111ABC A B C -上、下底面边长分别为1和2，高为1，则这个正三棱台的体积为______.【答案】12【分析】先计算两个底面的面积，再由体积公式计算即可.【详解】上底面的面积为1311sin 6024⨯⨯⨯︒=，下底面的面积为122sin 602⨯⨯⨯︒=积为113412⎛⨯+⨯= ⎝.故答案为：731210.已知圆22:16C x y +=，直线()():20l a b x b a y a -+--=（a 、b 不同时为0），当a 、b 变化时，圆C 被直线l 截得的弦长的最小值为______.【答案】【分析】由题意知直线l 恒过定点(1,1)--，当圆心到直线距离取最大值时，此时圆C 被直线l 截得的弦长为最小值，即可求出答案.【详解】把直线()():20l a b x b a y a -+--=化为(21)()0a x y b x y --+-+=，210101x y x x y y --==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==-⎩⎩，恒过定点(1,1)--，当圆C 被直线l 截得的弦长的最小值时，圆心(0,0)到定点(1,1)--=，圆心到直线()():20l a b x b a y a -+--=距离最大值时即为，此时直线弦长为最小值=故答案为：.11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，M ，N ，Q ，P 分别为棱11A B ，11B C ，1BB ，1CC 的中点，三棱锥M PQN -的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为___________.【答案】8π【分析】由正方体性质确定三棱锥M NPQ -的性质，从而确定其外接球球心O 所在位置，然后由直角梯形和直角三角形求出半径得表面积．【详解】如图，取PQ 中点K ，11A D AD H = ，由正方体性质知HK ⊥平面11BCC B ，由已知NPQ △是等腰直角三角形，PQ 是斜边，则三棱锥M NPQ -的外接球球心O 在HK 上，连接,OM OP ，由HK ⊥平面11BCC B 知1,HK KB HK PQ ⊥⊥，同理111A B B K ⊥，1OKB M 是直角梯形，11MB =，1B K =，1KP =，设外接球半径为R ，则1OK =在直角三角形OPK 中，222(11R =+，解得R =．所以球表面积为248S R ππ==．故答案为：8π．【点睛】关键点点睛：本题考查求三棱锥外接球的表面积，解题关键是找到外接球的球心，一般外接球球心必在过三棱锥各面外心且与此面垂直的直线上．确定球心位置后通过直角梯形与直角三角形求得半径．12.如图，已知F 是椭圆22143x y +=的左焦点，A 为椭圆的下顶点，点P 是椭圆上任意一点，以PF 为直径作圆N ，射线ON 与圆N 交于点Q ，则AQ 的取值范围为______.【答案】23,23⎡⎤+⎣⎦【分析】由题意求得点Q 轨迹，根据轨迹判断计算AQ 的取值范围.【详解】F '为椭圆右焦点，连接PF '，如图所示：,O N 分别为,FF FP '的中点，12ON PF '=，PF 为直径，12NQ PF =，()1112222OQ ON NQ PF PF PF PF ''=+=+=+=，所以点Q 轨迹是以O 为圆心2为半径的圆，(0,3A -在圆内，所以AQ 的最小值为23-，最大值为23+，即AQ 的取值范围为23,23⎡⎤-+⎣⎦.故答案为：23,23⎡⎤-+⎣⎦二、选择题：（共4题，满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分）13.设1234P P P P 、、、为空间中的四个不同点，则“1234P P P P 、、、中有三点在同一条直线上”是“1234P P P P 、、、在同一个平面上”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【分析】由公理2的推论()()12即可得到答案.【详解】由公理2的推论:过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面,可得1234P P P P 、、、在同一平面,故充分条件成立;由公理2的推论：过两条平行直线,有且只有一个平面,可得,当11213242,P l P l P l P l ∈∈∈∈、、、12l l 时,1234P P P P 、、、在同一个平面上,但1234P P P P 、、、中无三点共线,故必要条件不成立;故选:A【点睛】本题考查点线面的位置关系和充分必要条件的判断,重点考查公理2及其推论;属于中档题;公理2的三个推论：()1经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;()2经过两条平行直线,有且只有一个平面;()3经过两条相交直线,有且只有一个平面;14.若点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅ 的最小值为A.22-B.12C.22+ D.1【答案】B【详解】试卷分析：设点，所以，由此可得(,)(1,)OP FP x y x y ⋅=⋅-，[2,2]x ∈，所以OP FP ⋅的最小值为12.考点：向量数量积以及二次函数最值．15.已知曲线C ：()3222216x y x y +=，命题p ：曲线C 仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点；命题q ：曲线C上的点到原点的最大距离是2.则下列说法正确的是（）A.p 、q 都是真命题B.p 是真命题，q 是假命题C.p 是假命题，q 是真命题D.p 、q 都是假命题【答案】A【分析】结合均值不等式得到当且仅当22x y =时，等号成立，以及224x y +≤，从而可判断命题q 的真假性，检验点()()()()()()()()()0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0,0,2,0,2------是否在曲线上即可判断命题p 的真假性.【详解】因为()2223222216162x y x y x y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，当且仅当22x y =时，等号成立，所以224x y +≤，因此曲线C 所围成的区域的在圆224x y +=2£，故曲线C 上的点到原点的最大距离是2，因此命题q 为真命题，圆224x y +=上以及内部横坐标与纵坐标都是整数的点有()()()()()()()()()0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0,0,2,0,2------，其中点()0,0显然在曲线C 上，但是()()()()()()()()1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0,0,2,0,2------不在曲线上，故曲线C 仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点，因此命题p 为真命题，故选：A.16.四面体ABCD 的所有棱长都为1，棱AB 平面α，则四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是（）A.1,22⎤⎢⎥⎣⎦ B.31,42⎤⎥⎣⎦ C.21,42⎤⎥⎣⎦ D.23,44⎣⎦【答案】D【分析】设A 、B 、C 、D 在平面α内的射影依次为1111A B C D 、、、，分别讨论11C D 、在11A B 两侧、11C D 、其中一点在11A B 上、11C D 、在11A B 同侧时的投影图形，其中11C D 、在11A B 同侧时，CD α⊥时面积最小、平面ABD α 时面积最大，结合正四面体的几何性质及投影性质即可求面积.【详解】四面体ABCD 的所有棱长都为1，则为正四面体，由正四面体的性质可知AB CD ⊥,正四面体的侧面上的高为2h ¢==，正四面体的高3h ==.∵棱AB 平面α，设A 、B 、C 、D 在平面α内的射影依次为1111A B C D 、、、，则111A B AB ==，i.当11C D 、在11A B 两侧时，构成的图形即为四边形1111A C B D ，此时1111A B C D ^，11h C D CD <£，即11613C D <£，则所求面积即11111111161,262A B C D S A B C D ú=ú棼；ii.当11C D 、在11A B 同侧或其中一点在11A B 上时，构成的图形即为111A B C △，1D 在111A B C △的高1C E 上（或1C 在111A B D 的高上，由对称性，只研究其中一种即可），其中①当平面ABD α^时，163C E h ==；②当平面ABD α 时，132C E h ¢==；③当CD α⊥时，1C E 为CD 到面α的距离，即12C E ==.故12322C E ＃，则所求面积即111111123,244A B C S A B C E 犏=鬃犏臌.综上，四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是,44⎣⎦.故选：D三、解答题：（共5题，满分78分，前3题每题14分，其中第1问6分，第2问8分；后2题每题18分，其中第1问4分，第2问6分，第3问8分）17.已知圆C 经过(3,2)A 、(1,6)B 两点，且圆心在直线2y x =上．（1）求圆C 的方程；（2）若直线l 经过点(1,3)P -且与圆C 相切，求直线l 的方程．【答案】（１）22(2)(4)5x y -+-=；（２）250250x y x y -+=+-=或【详解】试卷分析：（1）根据圆心在弦的垂直平分线上，先求出弦AB 的垂直平分线的方程与2y x =联立可求得圆心坐标，再用两点间的距离公式求得半径，进而求得圆的方程；（2）当直线l 斜率不存在时，与圆相切，方程为=1x -；当直线l 斜率存在时，设斜率为k ，写出其点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程求解出k 的值.试卷解析：（1）依题意知线段AB 的中点M 坐标是()2,4，直线AB 的斜率为62213-=--，故线段AB 的中垂线方程是()1422y x -=-即260x y -+=，解方程组260{2x y y x -+==得2{4x y ==，即圆心C 的坐标为()2,4，圆C的半径r AC ==，故圆C 的方程是()()22245x y -+-=（2）若直线l 斜率不存在，则直线l 方程是1x =-，与圆C 相离，不合题意；若直线l 斜率存在，可设直线l 方程是()31y k x -=+，即30kx y k -++=，因为直线l 与圆C=解得2k =或12k =-．所以直线l 的方程是250x y -+=或250x y +-=.18.如图，在三棱锥D ABC -中，平面ACD ⊥平面ABC ，AD AC ⊥，AB BC ⊥，E 、F 分别为棱BC 、CD 的中点.（1）求证：直线//EF 平面ABD ；（2）若直线CD 与平面ABC 所成的角为45°，直线CD 与平面ABD 所成角为30°，求二面角B AD C --的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）45【分析】（1）根据//EF BD 即可证明；（2）证明AD ⊥平面ABC ，BC ⊥平面ABD ，进而结合已知条件证明ABC 为等腰直角三角形，45BAC ∠= ，再根据二面角的概念求解即可.【小问1详解】证明：因为E 、F 分别为棱BC 、CD 的中点.所以，在BCD △中，//EF BD ，因为EF ⊄平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以，直线EF P 平面ABD 【小问2详解】解：因为平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，AD ⊂平面ACD AD AC ⊥,所以AD ⊥平面ABC ，所以，DCA ∠是直线CD 与平面ABC 所成的角，因为直线CD 与平面ABC 所成的角为45°，所以，45DCA ∠= ，所以AD AC=因为AD ⊥平面ABC ，,AB BC ⊂平面ABC ，所以AD BC ⊥，AD AB ⊥，因为AB BC ⊥，AB AD A ⋂=，,AB AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥平面ABD ，所以，BDC ∠是直线CD 与平面ABD 所成角，因为直线CD 与平面ABD 所成角为30°，所以30BDC ∠=o ，所以1,2BC CD BD ==，不妨设1BC =，则2,1CD BD AD AC AB =====，所以，ABC 为等腰直角三角形，45BAC ∠= 因为AD AB ⊥，AD AC ⊥，所以BAC ∠是二面角B AD C --的平面角，所以二面角B AD C --的大小为4519.如图，A 、B 是海岸线OM 、ON 上的两个码头，海中小岛有码头Q 到海岸线OM 、ON 的距离分别为2km 、km 5.测得tan 3MON ∠=-，6km OA =.以点O 为坐标原点，射线OM 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.码头Q 在第一象限，且三个码头A 、B 、Q 均在一条航线上.（1）求码头Q 点的坐标；（2）海中有一处景点P （设点P 在平面xOy 内，PQ OM ⊥，且6km PQ =），游轮无法靠近.求游轮在水上沿旅游线AB 航行时离景点P 最近的点C 的坐标.【答案】（1）()42Q ，（2）(1,5)C 【分析】（1）根据已知条件，写出直线ON 方程，再求解Q 点坐标.（2）由直线AQ 的方程求解B 点坐标，进而求解AB 的直线方程.由（1）知C 为垂足，可联立直线AB 与PC 方程，即可求解C 点坐标.【小问1详解】由已知得，(6,0)A ，直线ON 方程：3y x =-设00(,2)(0)Q x x >，由5=及图，得04x =，()42Q ∴，.【小问2详解】直线AQ 的方程为(6)y x =--即60x y +-=由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩，解得39x y =-⎧⎨=⎩，即(3,9)B -则直线AB 方程60x y +-=，点P 到直线AB 的垂直距离最近，则垂足为C ，因为PQ OM ⊥，且6km PQ =，()42Q ，，(4,8)P ∴，则直线PC 方程为40x y -+=联立6040x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得15x y =⎧⎨=⎩轮在水上沿旅游线AB 航行时离景点P 最近的点C 的坐标为(1,5).20.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11DD DA ==，2AB =，点E 在棱AB 上运动.（1）证明：11B C D E ⊥；（2）设E 为棱AB 的中点，在棱1CC 上是否存在一点F ，使得//BF 平面1DEC ，若存在，求1CFCC 的值，若不存在，说明理由；（3）求直线AB 与平面1DEC 所成角的取值范围.【答案】（1）证明详见解析（2）存在，且112CF CC =（3）15arcsin ,arcsin35⎡⎢⎣⎦【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得11B C D E ⊥.（2）根据向量法列方程，从而求得1CFCC .（3）利用向量法求得直线AB 与平面1DEC 所成角的正弦值，结合不等式的性质求得所成角的取值范围.【小问1详解】建立如图所示空间直角坐标系，()()()()1110,0,1,1,2,1,0,2,0,1,0,1D B C B C =--，设()1,,0,02E t t ≤≤，则()11,,1D E t =-，111010D E B C ⋅=-++=，所以11B C D E ⊥.【小问2详解】若E 是AB 的中点，则()1,1,0E ，()10,2,1C ，设平面1DEC 的法向量为()111,,x n y z =，则11111020n DE x y n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，故可设()1,1,2n =-- ，设()0,2,,01F λλ≤≤，()()1,2,0,1,0,B BF λ=-，若//BF 平面1DEC ，BF ⊄平面1DEC ，则1120,2n BF λλ⋅=-== ，所以F 是1CC 的中点，所以112CF CC =.【小问3详解】()0,2,0AB =，设()1,,0,02E t t ≤≤，设平面1DEC 的法向量为()222,,m x y z =，则22122020m DE x ty m DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，故可设(),1,2m t =-- ，设直线AB 与平面1DEC 所成角为π,02θθ≤≤，则sin m AB m AB θ⋅==⋅由于2202,04,559,3t t t ≤≤≤≤≤+≤，所以1sin ,35θ⎡=⎢⎣⎦，所以15arcsin ,arcsin35θ⎡∈⎢⎣⎦.21.已知椭圆22:142x y C +=，过动点()()0,0M m m >的直线l 交x 轴于点N ，交C 于点A 、P （P 在第一象限），且M 是线段PN 的中点，过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .设()11,A x y 、()22,B x y .（1）若点N 的坐标为()2,0-，求PNQ V 的周长；（2）设直线PM 的斜率为k ，QM 的斜率为k '，证明：k k'为定值；（3）求直线AB 倾斜角的最小值.【答案】（1）8（2）证明见解析（3）直线AB 倾斜角的最小值为6arctan2【分析】（1）利用椭圆C 的标准方程和点N 的坐标，结合题中条件可得PNQ V 为焦点三角形，周长为4a ；（2）设0000(,)(0,0)P x y x y >>，由(0,)(0)M m m >，可得02(),P x m ，0,2()Q x m -，求出直线PM 的斜率，QM 的斜率，推出k k'为定值．（3）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．直线PA 的方程为y kx m =+直线QB 的方程为3y kx m =-+，联立方程椭圆与椭圆方程，利用韦达定理，求解AB 坐标，然后求解AB 的斜率的表达式，利用基本不等式求解斜率的最小值，即可得到直线AB 倾斜角的最小值．【小问1详解】椭圆22:142x y C +=，由方程可知，椭圆两焦点坐标为()2,0，若点N 的坐标为()2,0-，点N 为左焦点，点()0,M m 是线段PN 的中点，故点P 的坐标为)2,2m ，PQ 垂直于x 轴，则PQ 与x 轴交点为椭圆右焦点，可得PNQ V 的周长为点P 到两焦点距离之和加上点Q 到两焦点距离之和，,P Q 都在椭圆上，所以PNQ V 的周长为8.【小问2详解】证明：设0000(,)(0,0)P x y x y >>，由(0,)(0)M m m >，可得02(),P x m ，0,2()Q x m -，所以直线PM 的斜率002m m m k x x -==，QM 的斜率0023m m m k x x '--==-，所以033mk x m kx -'==-，所以k k'为定值．【小问3详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线PA 的方程为y kx m =+，直线QB 的方程为3y kx m =-+，联立方程2224y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，整理得222(21)4240k x mkx m +++-=，根据根与系数可得20122421m x x k -=+，可得21202(2)(21)m x k x -=+，所以211202(2)(21)k m y kx m m k x -=+=++，同理222222002(2)6(2),(181)(181)m k m x y m k x k x ---==+++，所以22222122220002(2)2(2)32(2)(181)(21)(181)(21)m m k m x x k x k x k k x -----=-=++++，22222122220006(2)2(2)8(61)(2)(181)(21)(181)(21)k m k m k k m y y m m k x k x k k x ----+--=+--=++++，所以221216111644ABy y k k k x x k k -+⎛⎫===+ ⎪-⎝⎭．由0m >，00x >，可得0k >，所以16k k +≥16k k =，即66k =时，取得等号，6=，解得147m =，所以直线AB斜率的最小值为2，直线AB 倾斜角的最小值为6arctan 2．。

上海市2018-2019学年曹杨二中高三上期末数学期末试卷

曹杨二中2018学年第一学期期终考试数学试卷一、填空题1、函数()sin cos f x x x =的最小正周期为_________2、2lim 12n P n→∞++K =_________3、函数()()()3log 212x f x x =-≥的反函数()1f x -_________4、在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项为___________5、一直一组数据为2,11,9,8,10，则这组数据的方差为_________6、双曲线221x y -=的一条渐近线被圆()2224x y -+=截得线段长为________ 7、已知数列{}n a 的首项12a =，且满足()*22n n n a a n N +=∈，则20a =________ 8、已知函数()f x 是奇函数，()112f =，且()()()()22f x f x f x R +=+∈，则()5f =________ 9、将一颗均匀的骰子掷两次，第一次得到的点数记为a ，第一次得到的点数记为b ，则方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩有唯一解的概率是___________10、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1313,615a S ≤≤≤≤，则21a a 的取值范围是__________11、设函数()3,1,1x a x f x x a x ⎧-<=⎨-≥⎩，若()f x 有且仅有1个零点，则实数a 的取值范围是___________12、定义全集U 的子集M 的特征函数()10M U x Mf x x C M ∈⎧=⎨∈⎩，对于两个集合,M N ，定义集合()(){}*1M N M N x f x f x =+=，已知集合{}{}2,4,6,8,10,1,2,4,8,16A B ==，并用S 表示有限集S 的元素个数，则对于任意有限集,**M M A M B +的最小值为________二、选择题13、若i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程20z bz c ++=的一个复数根，则（） A. 2,3b c ==B. 2,1b c ==-C. 2,3b c =-=D. 2,1b c =-=-14、已知,,x y z 为正实数，且230x y -+=，则2y xz的最小值为（）A.1B.2C.3D.615、设平面α和平面β相交于直线m ，直线a 在平面α上，直线b 在平面β上，且b m ⊥，则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件16、在ABC ∆中，若623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则A ∠=（）A.45°B.60°C.120°D.135°二、解答题17、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2,6a C π==，且ABC ∆（1）求c ；（2）若F 为边AC 上一点，且CF =，求sin BFC ∠18、如图，某甜品创作一种冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形，现把半径为10cm 的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个扇形蛋皮固成圆锥的侧面（蛋皮厚度忽略不计）。

2018年上海市曹杨二中数学高二上期末

在等腰三角形 OAB 中，球心角 AOB = ，利用球面距离公式得出：球面距离为．
3
3
12. 设集合 M n = {n 位纯小数 0. a1a2 an | ai 0,1(i = 1, 2, n −1), an = 1} ，Tn 是 M n 中元素的个数，
Sn
是
M
n
中所有元素的和，则
lim
n→
Sn Tn
A. 258 cm2
【解析】 S = 1 + 1 + 1 = 1 − 1 = 2 2 3 3 4 9 10 2 10 5
10. 半径为 R 的两个球，其中一个球的球心在另一个球的球面上，则两球的交线长为____________ 【解析】将球的相交情形，转化为球的两个大圆相交的情形，由题意易得交线为半径为 3 R 的圆周，其长
C. S10
D. S11
【解析】由 a3
=
3a8
得 a1
=
− 19 2
d
，
Sn
=
na1
+
n(n −1) 2
d
=
d 2
n(n
−
20)
，所以 S10
最大，故选：C
15. 将长度分别为 2、3、5、6、9（单位：cm）的五根木棒连接（所有木棒都要用到），组成长方体共顶点
的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（）
2018 年曹杨二中高二上期末试卷
本卷解析：青浦新视角教育胡成老师
2018.1.17
一、填空题 1. 已知圆柱的侧面展开图是边长为 2 的正方形，则该圆柱的体积为____________
【解析】由题意知，圆柱的高和底面圆的周长均为 2 ，则底面圆的半径为 1，故体积为 2 2 .

上海市曹杨二中2018-2019学年高二上数学期末试卷(精品解析)

2018-2019学年曹二高二上期末数学试卷2019.1一、填空题：1、在空间中，若直线a 与b 无公共点，则直线,a b 的位值关系是________；答案：平行或异面2、若两个球的体积之比为8：27，则这两个球的表面积之比为____；答案：4:93、若正方体''''ABCD A B C D -中，异面直线AC 和'BD 所成角的大小为_____；答案：2π 4、若圆柱的轴截面面积为2，则其侧面积为___；答案：2π5、正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为_____；答案：1636、若增广矩阵1111a a -⎛⎫⎪-⎝⎭对应的线性方程组为无穷多紹，则实数a 的值为________；答案：-17、有一列正方体，它们的棱长组成以1位首项，12为公比的等比数列，设它们的体积依次为12,,,n V V V ，则()12lim n n V V V →∞+++=__________；答案：878、已知ABC ∆，用斜二测画法作它的直观图'''A B C ∆，若'''ABC ∆是斜边平行于'x 铀的等腰直角三角形，则ABC∆是________三角形（填“锐角”、“直角”、“钝角”）.答案：直角9、在北纬45°圈上有甲、乙两地，它们的经度差90°，则甲乙两地的球面距离与地球半径的比值为________；答案：3π101的正方体截去四个角后得到，类比这种方法，一个相对棱长都相等的四面体ABCD ，其三组对棱长分别为AB CD AD BC AC BD =====，则此四面体的体积为_______；答案：211、已知平面α截一球面得圆M ，过圆M 的圆心M 且与平面α呈45°二面角的平面β截该球面得圆N ，若球的半径为4，圆M 的面积为12π，则圆N 的面积为__________；答案：14π12、如图，棱长为3的正方体的顶点A 在平面α上，三条棱,,AB AC AD 都在平面α的同侧，如顶点,B C 到平面α的距离分别为D 到平面α的距离为___________；二、选择题13、“直线l 垂直于ABC ∆的边,AB AC ’’是“直线l 垂直于ABC ∆的边BC ”的（） A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分又不必要条件答案：A14、如果三棱锥S ABC -的底面不是等比三角形，网组对棱互相垂直，且顶点S 在底面的射影O 在ABC ∆内，那么O 是ABC ∆的（） A 、外心 B 、内心 C 、垂心 D 、重心答案：B15、底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥（）A 、一点时增三棱锥B 、一定是正四面体C 、不是斜三棱锥D 、可能是斜三棱锥答案：D16、在正方体1111ABCD A B C D -中，点P （异于点B ）是棱长一点，则满足BP 与1AC ，所成的角为45°的点P 的个数为（） A. 0B.3C.4D.6答案：B 三、解答题：17、如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点. （1）求三棱锥1D A BE -的体积；（2）求异面直线BE 与1CC 所成角大小.解：（1）因为11D A BE B A DE V V --=，121224A DEa a Sa ==，并且1AB A DE ⊥平面，所以11231133412D A BEA DEa a V a S a -=⋅== （2）因为11//CC DD ，所以异面直线BE 与1CC 所成角为直线BE 与直线1DD所成角，即BED∠，因为2aBE =，BD==，所以 32aBE ==，所以12332aCOS BED a ∠==，所以 1arccos()3BED ∠=，所以异面直线BE 与1CC 所成角为1arccos()3.18、如图，某甜品创作一种冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形，现把半径为10cm 的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个扇形蛋皮固成圆锥的侧面（蛋皮厚度忽略不计）。

2018-2019学年上海市曹杨第二中学高二上学期期末复习(一)数学试题(解析版)

上海市曹杨第二中学高二上学期期末复习（一）数学试题一、单选题1．设1234P P P P 、、、为空间中的四个不同点，则“1234P P P P 、、、中有三点在同一条直线上”是“1234P P P P 、、、在同一个平面上”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【解析】由公理2的推论()()12即可得到答案.【详解】由公理2的推论:过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面,可得1234P P P P 、、、在同一平面,故充分条件成立;由公理2的推论：过两条平行直线,有且只有一个平面,可得,当11213242,P l P l P l P l ∈∈∈∈、、、12l l P 时,1234P P P P 、、、在同一个平面上, 但1234P P P P 、、、中无三点共线,故必要条件不成立;故选:A【点睛】本题考查点线面的位置关系和充分必要条件的判断,重点考查公理2及其推论;属于中档题;公理2的三个推论：()1经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;()2经过两条平行直线,有且只有一个平面;()3经过两条相交直线,有且只有一个平面;2．已知正方体''''ABCD A B C D -记过点A 且与三直线AB AD 、、'AA 所成的角都相等的直线的条数为m ,过点A 与三个平面'',,AB AC AD 所成角都相等的直线的条数为n ，则（）A.11m n ==，B.41m n ==，C.34m n ==，D.44m n ==，【答案】D【解析】根据正方体的结构特征、空间中线线角、线面角定义,即可得到答案.【详解】作图如下:过点A 与三条直线'AB AD AA 、、所成角都相等的直线有：'AC ,过A 作'BD 的平行线,过A 作'A C 的平行线，过A 作'B D 的平行线,共4条,故4m =；过点A 与三个平面'',,AB AC AD 所成角都相等的直线分两类：第一类：通过点A 位于三条棱之间的直线有一条体对角线'AC ;第二类：在图形外部和每面所成角和另两个面所成角相等,有3条；故4n =.故选：D【点睛】本题考查空间直线与平面所成角和直线与直线所成角;结合正方体的结构特征,准确找出符合题意的线线角和线面角是求解本题的关键;注重考查学生的空间想象能力;本题属于抽象型、难度大型试题.3．已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，高为1，过顶点A 作一平面α与侧面11BCC B 交于EF ，且EF ∥BC ，若平面α与底面ABC 所成二面角的大小为06x x π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭＜，四边形BCEF 面积为y ，则函数()y f x =的图像大致是（） A. B. C. D.【答案】C【解析】先作出平面α与底面ABC 所成的二面角的平面角为x ，如图为GAH ∠,在直角三角形AGH 中用x ,及3AH =表示出GH ,再利用四边形BCEF 面积为y BC GH =⨯求出()f x ,根据解析式，作出简图，即可得到答案.【详解】作图如下：过A 作AM BC P ,,H G 分别是,BC EF 中点,则AH BC ⊥,所以AH AM ⊥,在等腰三角形AEF ∆中,AG EF ⊥，//EF BC Q ,AG AM ∴⊥,所以GAH ∠是平面α与底面ABC 所成角的平面角.GAH x ∴∠=,tan GH x AH =, 3tan GH x ∴=,所以四边形BCEF 面积为： ()y f x =BC GH =⨯23tan x =根据正切函数图象可知C 符合.故选:C【点睛】本题主要考查空间中两面所成二面角的平面角的求解及性质;利用线线平行、线线垂直证明GAH ∠是平面α与底面ABC 所成的二面角的平面角是求解本题的关键;本题属于难度较大型试题.4．如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点P 在截面1A DB 上,则线段AP 的最小值为（）A.13B.12 3 D.22【答案】C【解析】由已知可得,1AC ⊥平面1A DB ,可得P 为1AC 与截面1A DB 的垂足时线段AP 最小,然后利用等体积法求解即可.【详解】如图所示:连接1AC 交截面1A DB 于P ,由1CC ⊥底面ABCD ,可得,1CC BD ⊥,由AC BD ⊥,可得,BD ⊥面11A ACC ,则1AC BD ⊥.同理可得,11AC A B ⊥,1AC ∴⊥面1A DB ,此时线段AP 最小.由棱长为1,可得等边三角形1A BD 2,116322A BD S ∆∴==由11-ABD A A A BD V V -=,可得,1113111323AP ⨯⨯⨯⨯=，可得3AP =. 故选:C【点睛】本题考查点、线、面间距离的计算和线面垂直的判定;利用等体积法间接地求出AP 的距离是求解本题的关键;属于中档题;二、填空题5．直线l 和平面α相交于点A ,用集合符号表示_________.【答案】l A α=I【解析】由点、线、面位置关系的符号表示即可得解.【详解】由题意可得,答案为：l A α=I【点睛】本题考查直线与平面相交的符号表示,属于基础题,解题时注意符号的合理运用. 6．ABC ∆所在平面α外一点P 到三角形三个顶点距离相等,那么点P 在平面α内的射影一定是ABC ∆的_______.【答案】外心【解析】由ABC ∆所在平面α外一点P 到三角形三个顶点距离相等可得,斜线,,PA PB PC 在底面的射影相等;由三角形外心的性质可得是ABC ∆的外心.【详解】作图如下:由题意可得,PA PB PC ==,PO ⊥面ABC ,,,PO OA PO OB PO OC ∴⊥⊥⊥,故POA POB POC ∆≅∆≅∆,OA OB OC ∴==,故答案为:外心【点睛】本题主要考查线面垂直的性质及三角形外心的定义;属于中档题；三角形外心是三角形外接圆的圆心,亦是三角形三边垂直平分线的交点;其性质:到三角形三个顶点的距离相等.7．半径为2的球的表面积为________.【答案】16π【解析】代入球的表面积公式:2=4S R π表即可求得.【详解】 2R =Q ，∴由球的表面积2=4S R π表公式可得,2=42=16S ππ⨯⨯球表,故答案为:16π【点睛】本题考查球的表面积公式;属于基础题.8．已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于___________.【答案】15π【解析】试题分析：求圆锥侧面积必须先求圆锥母线，既然已知体积，那么可先求出圆锥的高，再利用圆锥的性质(圆锥的高，底面半径，母线组成直角三角形)可得母线，221131233V r h h πππ==⋅⋅=，4h =，5l ==，15S rl 侧ππ==．【考点】圆锥的体积与面积公式，圆锥的性质．9．已知地球的半径为R ，在北纬45︒东经30︒有一座城市A ，在北纬45︒西经60︒有一座城市B ，则坐飞机从城市A 飞到B 的最短距离是．(飞机的飞行高度忽略不计) 【答案】3R π【解析】欲求坐飞机从A 城市飞到B 城市的最短距离，即求出地球上这两点间的球面距离即可．A 、B 两地在同一纬度圈上，计算经度差，求出AB 弦长，以及球心角，然后求出球面距离．即可得到答案．【详解】解：由已知地球半径为R ，则北纬45°，又∵两座城市的经度分别为东经30°和西经60°，故连接两座城市的弦长L 2=R =R ，则A ，B 两地与地球球心O 连线的夹角∠AOB 3π=，则A 、B 两地之间的距离是3R π．故答案为：3R π．【点睛】本题考查球面距离及其他计算，考查空间想象能力，是基础题．10．设α表示平面,a b 、表示直线,给定下列四个命题：①a a b b αα⊥⇒P P ，；②a b a b αα⊥⇒⊥P ，；③a a b b αα⊥⊥⇒P ，；④.a b a b αα⊥⊥⇒P ，其中正确的命题是___________(填序号).【答案】②④【解析】利用线面垂直的判定方法、线面垂直的性质定理及线面平行的判断方法、性质,对已知中的四个结论逐一进行分析,即可得到答案.【详解】对于①,,a a b α⊥⇒P b 与α平行、相交或b α⊂，故①错误;对于②,a b a α⊥∥，,由直线与平面垂直的性质：两条直线平行,其中一条直线垂直与一个平面,则另外一条直线也垂直此平面.b α∴⊥.故②正确;对于③,,α⊥⊥a a b ,由线面垂直的性质可得,b αP ，或b α⊂,故③错误;对于④,,a b αα⊥⊥，由垂直于同一平面的两直线平行,a b ∴∥，故④正确;故答案为: ②④【点睛】本题考查立体几何中的线面垂直的判定、线面垂直的性质和线面平行的判定、线面平行的性质;线面垂直性质的应用是求解本题的关键;属于中档题;11．已知点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面1111D C B A 上一点(包括边界)，则PA PC ⋅u u u r u u u r 的取值范围是_________. 【答案】1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】建立空间直角坐标系,设(),,0P x y ,[](),0,1x y ∈.可得,()()22111111222PA PC x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⋅=----+=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v ，即可得出答案. 【详解】如图所示：建立空间直角坐标系.则()()()10,0,0,0,0,1,1,1,1A A C . 设(),,0P x y ，[](),0,1x y ∈.则(),,1PA x y =--u u u v ，()1,1,1PC x y =--u u u v .()()111PA PC x x y y ∴⋅=----+u u u v u u u v22111222x y ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. [],0,1x y ∈Q ,∴当11,22x y ==时, PA PC ⋅u u u v u u u v 有最小值12. 当点P 取()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0时,PA PC ⋅u u u v u u u v 有最大值1.故答案为:1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考在空间直角坐标系中两向量数量积的坐标表示:121212+a b x x y y z z ⋅=+v v 及其取值范围的求解;建立合适的空间直角坐标系是求解本题的关键;着重考查学生的运算能力和知识迁移能力; 属于中档题.12．半径为R 的两个球,其中一个球的球心在另一个球的球面上,则两球的交线长为_____. 3R π【解析】将两球的相交情形,转化为考虑球的两个大圆的相交情形,容易求得CD 的长为3R.从而求得其周长即可.【详解】将两球的相交情形,转化为考虑球的两个大圆的相交情形,如图所示:由题意得,,AB R AC R==，故22232RCD R R⎛⎫=-=⎪⎝⎭.所以两球交线所在圆面的半径为3r R =,所以所求的交线长为3232l R Rππ=⋅=.故答案为:3Rπ【点睛】本题考查球与球的位置关系和圆的周长公式;重点考查学生的空间想象能力;把空间立体几何中球的问题转化为平面几何中圆的问题是求解本题的关键;属于难度大型试题. 13．已知正四棱锥P ABCD-的棱长都相等，侧棱PB、PD的中点分别为M、N，则截面AMN与底面ABCD所成的二面角的余弦值是________．【答案】25【解析】如图，正四棱锥P﹣ABCD中，O为正方形ABCD的两对角线的交点，则PO⊥面ABCD，PO交MN 于E ，则PE=EO ，又BD ⊥AC ，∴BD ⊥面PAC ，过A 作直线l ∥BD ，则l ⊥EA ，l ⊥AO ， ∴∠EAO 为所求二面角的平面角．又EO=12AO=24a ，AO=22a ，∴AE=104a ∴cos ∠EAO=255． ∴截面AMN 与底面ABCD 所成的二面角的余弦值是255． 14．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】43【解析】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果. 详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于2，，所以该多面体的体积为21421(2).33⨯⨯⨯=点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决． 15．有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为。

2018-2019学年上海市曹杨第二中学高二上学期期末复习(二)数学试题(解析版)

上海市曹杨第二中学高二上学期期末复习数学试题一、单选题1．下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。

其中真命题的编号是（）A.③④B.①②C.①③④D.①④【答案】D【解析】根据正三棱锥的定义，结合二面角判断①的正误；侧棱与底面所成的角判断④的正误；找出反例否定②，找出反例对选项③否定可得正确结论．【详解】解：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．可推出底面中心是棱锥顶点在底面的射影，所以是正确的．②显然不对，比如三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况，侧面都是等腰三角形的三棱锥但不是正三棱锥．③底面是等边三角形，侧面的面积都相等，说明顶点到底面三边的距离（斜高）相等，根据射影长的关系，可以得到顶点在底面的射影（垂足）到底面三边所在直线的距离也相等，由于在底面所在的平面内，到底面三边所在直线的距离相等的点有4个：内心（本题的中心）1个、旁心3个，因此不能保证三棱锥是正三棱锥．④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．是正确的．正确的为：①④故选：D【点睛】本题考查棱锥的结构特征，二面角及其度量，考查作图能力，是基础题．2．下列命题中，错误的是 ( )A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一平面的两个不同平面平行C ．如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D ．若直线不平行平面，则在平面内不存在与平行的直线【答案】D【解析】若直线与另外一个平面不相交，则直线与该平面平行，由此可得直线与该平面平行的平面也平行，矛盾，所以命题A 正确；命题B 显然正确；若存在有，则根据面面垂直判定可得，矛盾，所以命题C 正确；不平行于平面，则相交或。

2018-2019学年上海市曹杨二中高二上学期期末数学试题解析版

绝密★启用前上海市曹杨二中2018-2019学年高二上学期数学期末试卷评卷人得分一、单选题1．“直线l 垂直于ABC △的边AB ，AC ”是“直线l 垂直于ABC △的边BC ”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】试题分析：由直线l 垂直于ABC △的边AB ，AC 可得l ⊥平面ABC l BC ∴⊥，反之不成立考点：线面垂直的判定与性质 2．如果三棱锥的底面不是等边三角形，两组对棱互相垂直，且顶点在底面的射影在内，那么是的（）A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心【答案】C 【解析】【分析】由题意知，，根据线面垂直的判定定理可得平面，即，即为AB 边上的高，同理可得AH 为BC 边上的高，即可得答案。

【详解】如图所示，两组对棱互相垂直，不妨设，，连接CO ，并延长，交AB于M ，连接AO ，并延长，交BC 于H 。

因为O 为S 在底面的射影，所以平面ABC，所以，，所以平面，所以，即为AB边上的高，同理，AH为BC边上的高，所以O为两垂线的交点，即O为的垂心，故选C【点睛】本题考查线面垂直的判定与性质定理，考查学生空空间想象能力，属基础题。

3．底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥（）A．一定是正三棱锥B．一定是正四面体C．不是斜三棱锥D．可能是斜三棱锥【答案】D【解析】【分析】侧面是等腰三角形，可能是底面边长和一条侧棱相等，分析选项，即可得结果。

【详解】底面是正三角形，且每个侧面都是等腰三角形的三棱锥中，有可能是底面边长和一条侧棱相等，所以该棱锥可能是斜三棱锥，故选D。

【点睛】本题考查三棱锥的概念，解题时要认真审题，熟练掌握三棱锥的结构特征，属基础题。

4．在正方体中，点（异于点）是棱长一点，则满足与，所成的角为45°的点的个数为（）A．0 B．3 C．4 D．6【答案】B【解析】【分析】建立空间坐标系，通过分类讨论，利用向量法求异面直线所成的夹角，即可找出满足条件的点P的个数。

2022-2023学年上海市曹杨第二中学高二上学期期末考试数学试卷含答案

上海市曹杨第二中学2022学年度第一学期高二年级总结性评价数学试卷试卷共4页1张考生注意：1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚.2、本试卷共有21道试题，满分150分，评价时间120分钟.请同学们将选择题答案直接点击在智学网上，非选择题用黑色水笔将答案写在答题卷上，并按要求拍照上传至智学网相关位置.一、填空题：（共12题，满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分）1.半径为1cm 的球的体积是___________3cm .2.设正四面体的棱长为1，则该正四面体的高为______.3.两条平行直线3410x y -+=与3420x y --=之间的距离为______.4.若直线l 的一个法向量为(-，则过原点的直线l 的方程为______.5.如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC 的直观图，其中1O B O C ''''==，则三角形A B C '''的面积为______.6.如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为___．7.一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的离心率为________.8.已知直线:cos 10l x y θ+-=，R θ∈，则直线l 的倾斜角的取值范围是______.9.已知正三棱台111ABC A B C -上、下底面边长分别为1和2，高为1，则这个正三棱台的体积为______.10.已知圆22:16C x y +=，直线()():20l a b x b a y a -+--=（a 、b 不同时为0），当a 、b 变化时，圆C 被直线l 截得的弦长的最小值为______.11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，M ，N ，Q ，P 分别为棱11A B ，11B C ，1BB ，1CC 的中点，三棱锥M PQN -的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为___________.12.如图，已知F是椭圆22143x y+=的左焦点，A为椭圆的下顶点，点P是椭圆上任意一点，以PF为直径作圆N，射线ON与圆N交于点Q，则AQ的取值范围为______.二、选择题：（共4题，满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分）13.设1234P P P P、、、为空间中的四个不同点，则“1234P P P P、、、中有三点在同一条直线上”是“1234P P P P、、、在同一个平面上”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.若点O和点F分别为椭圆2212x y+=的中心和右焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP FP⋅的最小值为A.2-B.12C.2D.115.已知曲线C：()3222216x y x y+=，命题p：曲线C仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点；命题q：曲线C上的点到原点的最大距离是2.则下列说法正确的是（）A.p、q都是真命题B.p是真命题，q是假命题C.p是假命题，q是真命题D.p、q都是假命题16.四面体ABCD的所有棱长都为1，棱AB 平面α，则四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是（）A.1,22⎤⎢⎥⎣⎦B.31,42⎤⎥⎣⎦C.21,42⎤⎥⎣⎦D.,44⎢⎥⎣⎦三、解答题：（共5题，满分78分，前3题每题14分，其中第1问6分，第2问8分；后2题每题18分，其中第1问4分，第2问6分，第3问8分）17.已知圆C 经过(3,2)A 、(1,6)B 两点，且圆心在直线2y x =上．（1）求圆C 的方程；（2）若直线l 经过点(1,3)P -且与圆C 相切，求直线l 的方程．18.如图，在三棱锥D ABC -中，平面ACD ⊥平面ABC ，AD AC ⊥，AB BC ⊥，E 、F 分别为棱BC 、CD 的中点.（1）求证：直线//EF 平面ABD ；（2）若直线CD 与平面ABC 所成的角为45°，直线CD 与平面ABD 所成角为30°，求二面角B AD C --的大小.19.如图，A 、B 是海岸线OM 、ON 上的两个码头，海中小岛有码头Q 到海岸线OM 、ON 的距离分别为2km 、710km 5.测得tan 3MON ∠=-，6km OA =.以点O 为坐标原点，射线OM 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.码头Q 在第一象限，且三个码头A 、B 、Q 均在一条航线上.（1）求码头Q 点的坐标；（2）海中有一处景点P （设点P 在平面xOy 内，PQ OM ⊥，且6km PQ =），游轮无法靠近.求游轮在水上沿旅游线AB 航行时离景点P 最近的点C 的坐标.20.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11DD DA ==，2AB =，点E 在棱AB 上运动.（1）证明：11B C D E ⊥；（2）设E 为棱AB 的中点，在棱1CC 上是否存在一点F ，使得//BF 平面1DEC ，若存在，求1CFCC 的值，若不存在，说明理由；（3）求直线AB 与平面1DEC 所成角的取值范围.21.已知椭圆22:142x y C +=，过动点()()0,0M m m >的直线l 交x 轴于点N ，交C 于点A 、P （P 在第一象限），且M 是线段PN 的中点，过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .设()11,A x y 、()22,B x y.（1）若点N的坐标为()，求PNQ V 的周长；（2）设直线PM 的斜率为k ，QM 的斜率为k '，证明：k k'为定值；（3）求直线AB 倾斜角的最小值.上海市曹杨第二中学2022学年度第一学期高二年级总结性评价数学试卷一、填空题：（共12题，满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分）【1题答案】4π3【2题答案】63【3题答案】35##0.6【4题答案】0x -=【5题答案】64【6题答案】2π【7题答案】32【8题答案】π3π[0,][,π)44⋃【9题答案】7312【10题答案】【11题答案】8π【12题答案】22⎡-+⎣二、选择题：（共4题，满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分）【13题答案】A 【14题答案】B 【15题答案】A 【16题答案】D三、解答题：（共5题，满分78分，前3题每题14分，其中第1问6分，第2问8分；后2题每题18分，其中第1问4分，第2问6分，第3问8分）【17题答案】（１）22(2)(4)5x y -+-=；（２）250250x y x y -+=+-=或【18题答案】（1）（2）45【19题答案】（1）()42Q ，（2）(1,5)C 【20题答案】（1）（2）存在，且112CF CC =（3）1arcsin ,arcsin 35⎡⎢⎣⎦【21题答案】（1）8（2）（3）直线AB倾斜角的最小值为arctan2。