2.2.3向量数乘运算及其几何意义第5课

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第二章 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

2．2.3 向量数乘运算及其几何意义学习目标 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．知识点一向量数乘的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ>0时，与a 方向相同；当λ<0时，与a 方向相反.特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0. 知识点二向量数乘的运算律 1．λ(μa )＝(λμ)a . 2．(λ＋μ)a ＝λa ＋μa . 3．λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 知识点三向量共线定理 1．向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 2．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b . 思考共线向量定理中为什么规定a ≠0?答案若将条件a ≠0去掉，即当a ＝0时，显然a 与b 共线． (1)若b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa . (2)若b ＝0，则对任意实数λ，都有b ＝λa .1．若向量b 与a 共线，则存在唯一的实数λ使b ＝λa .( × ) 提示当b ＝0，a ＝0时，实数λ不唯一． 2．若b ＝λa ，则a 与b 共线．( √ ) 提示由向量共线定理可知其正确．3．若λa ＝0，则a ＝0.( × ) 提示若λa ＝0，则a ＝0或λ＝0.题型一向量的线性运算例1 (1)3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋13b ＝________. 考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算答案 9a解析 3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋13b ＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a . (2)若3(x ＋a )＋2(x －2a )－4(x －a ＋b )＝0，则x ＝______. 考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算答案 4b －3a解析由已知得3x ＋3a ＋2x －4a －4x ＋4a －4b ＝0，所以x ＋3a －4b ＝0，所以x ＝4b －3a . 反思感悟向量线性运算的基本方法(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算．跟踪训练1 计算：(a ＋b )－3(a －b )－8a . 考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算解 (a ＋b )－3(a －b )－8a ＝(a －3a )＋(b ＋3b )－8a ＝－2a ＋4b －8a ＝－10a ＋4b .题型二向量共线的判定及应用命题角度1 判定向量共线或三点共线例2 已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)若a ＝12e 1－13e 2，b ＝3e 1－2e 2，判断向量a ，b 是否共线．考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理判定向量共线解 ∵b ＝6a ，∴a 与b 共线．(2)若AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线．考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理判定三点共线证明 ∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →， ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．反思感悟 (1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用b ＝λa (a ≠0)，还要说明向量a ，b 有公共点．跟踪训练2 已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋2e 2，BC →＝－5e 1＋6e 2，CD →＝7e 1－2e 2，则共线的三个点是________．考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理判定三点共线答案 A ，B ，D解析 ∵AB →＝e 1＋2e 2，BD →＝BC →＋CD → ＝－5e 1＋6e 2＋7e 1－2e 2＝2(e 1＋2e 2)＝2AB →， ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．命题角度2 利用向量共线求参数值例3 已知非零向量e 1，e 2不共线，欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定k 的值．考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理求参数解 ∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， ∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.反思感悟利用向量共线定理，即b 与a (a ≠0)共线⇔b ＝λa ，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．跟踪训练3 设两个不共线的向量e 1，e 2，若a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，问是否存在实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb 与c 共线？考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理求参数解 d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2) ＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2，要使d 与c 共线，则存在实数k ，使得d ＝k c ，即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2. 因为e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ.故存在实数λ和μ，使得d 与c 共线，此时λ＝－2μ. 题型三用已知向量表示其他向量例4 在△ABC 中，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.13AC →＋23AB → B.53AB →－23AC →C.23AC →－13AB → D.23AC →＋13AB → 考点向量共线定理及其应用题点用已知向量表示未知向量答案 D解析示意图如图所示，由题意可得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →.跟踪训练4 如图所示，四边形OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边的平行四边形．又BM＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.考点向量共线定理及其应用题点用已知向量表示未知向量解因为BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )，所以OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b .因为CN →＝13CD →＝16OD →，所以ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )． MN →＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .向量的综合应用典例如图，设O 是△ABC 内一点，且满足OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．答案 3解析如图所示，分别取BC ，AC 边的中点D ，E ，则OB →＋OC →＝2OD →，① OA →＋OC →＝2OE →，② 由①×2＋②可得OA →＋2OB →＋3OC →＝2(2OD →＋OE →)．又因为OA →＋2OB →＋3OC →＝0，所以2OD →＋OE →＝0，即OE →＝－2OD →，所以OD →，OE →共线，且|OE →|＝2|OD →|.所以S △AOC ＝2S △COE ＝2×23S △CDE ＝2×23×14S △ABC ＝13S △ABC ，所以S △ABC S △AOC＝3.[素养评析] 本题主要考查向量共线条件的应用，解题时需充分利用好几何图形，借助几何直观使问题得解，这正体现了数学中直观想象的核心素养.1．下列各式计算正确的有( ) (1)(－7)6a ＝－42a ； (2)7(a ＋b )－8b ＝7a ＋15b ； (3)a －2b ＋a ＋2b ＝2a ； (4)4(2a ＋b )＝8a ＋4b .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算答案 C解析 (1)(3)(4)正确，(2)错，7(a ＋b )－8b ＝7a ＋7b －8b ＝7a －b . 2．在△ABC 中，M 是BC 的中点，则AB →＋AC →等于( ) A.12AM → B.AM → C ．2AM → D.MA → 考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算答案 C解析如图，作出平行四边形ABEC ，因为M 是BC 的中点，所以M 也是AE 的中点，由题意知，AB →＋AC →＝AE →＝2AM →，故选C.3．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( ) A ．k ＝0B ．k ＝1C ．k ＝2D ．k ＝12考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理求参数答案 D解析当k ＝12时，m ＝－e 1＋12e 2，n ＝－2e 1＋e 2.∴n ＝2m ，此时m ，n 共线．4．已知P ，A ，B ，C 是平面内四点，且P A →＋PB →＋PC →＝AC →，则下列向量一定共线的是( ) A.PC →与PB → B.P A →与PB → C.P A →与PC →D.PC →与AB →考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理判定向量共线答案 B解析因为P A →＋PB →＋PC →＝AC →，所以P A →＋PB →＋PC →＋CA →＝0，即－2P A →＝PB →，所以P A →与PB →共线．5.如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →.考点向量共线定理及其应用题点用已知向量表示未知向量解 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →.1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的． 2．λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a|a |表示与向量a 同向的单位向量．3．向量共线定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．一、选择题1．下列说法中正确的是( ) A ．λa 与a 的方向不是相同就是相反 B ．若a ，b 共线，则b ＝λa C ．若|b |＝2|a |，则b ＝±2a D ．若b ＝±2a ，则|b |＝2|a | 考点向量数乘的定义及运算题点向量数乘的定义及几何意义答案 D解析显然当b ＝±2a 时，必有|b |＝2|a |. 2．3(2a －4b )等于( ) A ．5a ＋7b B ．5a －7b C ．6a ＋12bD ．6a －12b考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算答案 D解析利用向量数乘的运算律，可得3(2a －4b )＝6a －12b ，故选D.3．已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋2b ，AC →＝a ＋(λ－1)b ，且A ，B ，C 三点共线，则实数λ的值为( ) A ．－1 B ．2 C ．－2或1D ．－1或2考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理求参数答案 D解析因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数k 使AB →＝kAC →. 因为AB →＝λa ＋2b ，AC →＝a ＋(λ－1)b ，所以λa ＋2b ＝k [a ＋(λ－1)b ]．因为a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2＝k (λ－1)，解得λ＝2或λ＝－1.4．如图，△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，DC →＝3BD →，AE →＝2EC →，则DE →等于( )A ．－13a ＋34bB.512a －34bC.34a ＋13b D ．－34a ＋512b考点向量共线定理及其应用题点用已知向量表示未知向量答案 D解析 DE →＝DC →＋CE →＝34BC →＋⎝⎛⎭⎫－13AC → ＝34(AC →－AB →)－13AC →＝－34AB →＋512AC →＝－34a ＋512b ，故选D.5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于( )A ．a －12bB.12a －b C ．a ＋12bD.12a ＋b 考点向量共线定理及其应用题点用已知向量表示未知向量答案 D解析连接CD ，OD ，如图所示．∵点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点， ∴AC ＝CD ，∠CAD ＝∠DAB＝12×60°＝30°. ∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠DAO ＝30°. 由此可得∠CAD ＝∠ADO ＝30°，∴AC ∥DO . 由AC ＝CD ，得∠CDA ＝∠CAD ＝30°， ∴∠CDA ＝∠DAO ，∴CD ∥AO ， ∴四边形ACDO 为平行四边形， ∴AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .6．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列说法中正确的是( ) ①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ； ③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n . A ．②④ B ．①② C ．①③ D ．③④ 考点向量数乘的定义及运算题点向量数乘的运算及运算律答案 B解析 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．7．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( ) A.14a ＋12b B.13a ＋23b C.12a ＋14b D.23a ＋13b 考点向量共线定理及其应用题点用已知向量表示未知向量答案 D解析 ∵△DEF ∽△BEA ， ∴DF AB ＝DE EB ＝13，∴DF ＝13AB ， ∴AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋13AB →.∵AC →＝AB →＋AD →＝a ，BD →＝AD →－AB →＝b ，联立得AB →＝12(a －b )，AD →＝12(a ＋b )，∴AF →＝12(a ＋b )＋16(a －b )＝23a ＋13b .二、填空题8．(a ＋9b －2c )＋(b ＋2c )＝________.考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算答案 a ＋10b9．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理求参数答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又∵向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12. 10．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b表示)考点向量共线定理及其应用题点用已知向量表示未知向量答案 14b －14a 解析如图，MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝－12b －a ＋34AC → ＝－12b －a ＋34(a ＋b )＝14b －14a . 11．若非零向量a 与b 不共线，k a ＋2b 与3a ＋k b 共线，则实数k 的值为________．考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理求参数答案 ±6解析 ∵k a ＋2b 与3a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使得k a ＋2b ＝λ(3a ＋k b )，∴(k －3λ)a ＋(2－λk )b ＝0，∴(k －3λ)a ＝(λk －2)b .∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －3λ＝0，λk －2＝0，∴k ＝±6. 12．如图，在△ABC 中，延长CB 到D ，使BD ＝BC ，当点E 在线段AD 上移动时，若AE →＝λAB→＋μAC →，则t ＝λ－μ的最大值是________．考点向量共线定理及其应用题点向量共线定理在平面几何中的应用答案 3解析设AE →＝kAD →，0≤k ≤1，则AE →＝k (AC →＋2CB →)＝k [AC →＋2(AB →－AC →)]＝2kAB →－kAC →，∵AE →＝λAB →＋μAC →，且AB →与AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2k ，μ＝－k ，∴t ＝λ－μ＝3k . 又0≤k ≤1，∴当k ＝1时，t 取最大值3.故t ＝λ－μ的最大值为3.三、解答题13．计算：(1)6(3a －2b )＋9(－2a ＋b )；(2)12⎣⎡⎦⎤(3a ＋2b )－23a －b －76⎣⎡⎦⎤12a ＋37⎝⎛⎭⎫b ＋76a ； (3)6(a －b ＋c )－4(a －2b ＋c )－2(－2a ＋c )．考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算解 (1)原式＝18a －12b －18a ＋9b ＝－3b .(2)原式＝12⎝⎛⎭⎫3a －23a ＋2b －b －76⎝⎛⎭⎫12a ＋12a ＋37b ＝12⎝⎛⎭⎫73a ＋b －76⎝⎛⎭⎫a ＋37b ＝76a ＋12b －76a －12b ＝0. (3)原式＝6a －6b ＋6c －4a ＋8b －4c ＋4a －2c＝(6a －4a ＋4a )＋(8b －6b )＋(6c －4c －2c )＝6a ＋2b .14．在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.考点向量的线性运算及应用题点用已知向量表示未知向量解如图，设AB →＝a ，AD →＝b .∵M ，N 分别是DC ，BC 的中点，∴BN →＝12b ，DM →＝12a . ∵在△ADM 和△ABN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD →＋DM →＝AM →，AB →＋BN →＝AN →，即⎩⎨⎧ b ＋12a ＝c ，①a ＋12b ＝d . ②①×2－②，得b ＝23(2c －d )， ②×2－①，得a ＝23(2d －c )． ∴AB →＝43d －23c ，AD →＝43c －23d .15．已知在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，求证：四边形ABCD为梯形．考点向量共线定理及其应用题点向量共线定理在平面几何中的应用证明如图所示．∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2(－4a －b )，∴AD →＝2BC →.∴AD →与BC →共线，且|AD →|＝2|BC →|.又∵这两个向量所在的直线不重合，∴AD ∥BC ，且AD ＝2BC .∴四边形ABCD 是以AD ，BC 为两条底边的梯形．。

2.2.3-向量数乘运算及其几何意义(上课优秀课件)

则AD等于（ C ）
3
A
A. 1 (a b) 3
B. 1 (b a) 3
C.1 (2a b) 3
D.1 (2b a) B 3
D
C
5. 在平行四边形ABCD中,AB a,AD b,AN 3N,C M为BC的
中点,则 MN 等于＿＿1＿a＿＿＿1 b
4
4
分析:由 A 3 N N ,得 4 C A 3 N A （ 3 C a b ） ,A M a 1 b ,所以
M N 3 (a b ) (a 1 b ) 1 a 1 b 2
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4
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6. 如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点
1
N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C
3
三点共线。
提示：设AB = a BC = b
则MN= … = 1a +
1
b
63
MC= … = a1 + b
(1)a 2e,b 2e (2)a e1 e2,b 2e1 2e2 (3)a e1 e2,b e1 2e2
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一、概念与定理 ① λa 的定义及运算律 ② 向量共线定理 ( a≠0 )
b=λa 向量a与b共线二、知识应用：
1.证明向量共线； 2.证明三点共线:
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2
D O C O C O D 2 O C 2 a B b 2 b 2 a 5 b
3
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谢谢
结论（：1）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。
（2）对于任意的向量 a,b 以及任意实数 λ, μ1, μ2

2.2.3向量数乘运算及其几何意义(免费课件)

A
D
C
B
1 思考：（1）若将条件改为 DC = AB ， 3
（2）若将条件改为 AD
其形状如何？加以证明。梯形
BC ， AB AD ，
其形状如何？加以证明。
矩形
小结:
一、①λ a 的定义及运算律
②向量共线定理向量a (a≠0)与b共线
二、定理的应用： 1. 证明向量共线 2. 证明三点共线: AB=λBC 且有公共点Ｂ 3. 证明两直线平行: AB=λCD AB∥CD
C
a
b
3b 2b b A,B,C三点共线
B
小结:
证明三点共线的方法:
A
AB=λBC
且有公共点Ｂ
a
O
例 3、已知四边形 ABCD 满足条件 AB DC ，试判断其的形状，并证明。
解： AB DC AB DC 且 AB//DC ｜｜｜｜
ABDC是平行四边形
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
1.向量加法三角形法则:
2.向量加法平行四边形法则: 起点相同,对角为和
B
首尾相接，再连首尾
C
a
ab b
ab
A
b
C
b
A
a
B
O
a
3.向量减法三角形法则:
共起点，连终点，指向前终点
a b
O
b
B
a
BA a b
(3) (a b) a b. 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算 2、计算：解：（1） (4) 5a ；20a 【（2） 5(a 5a ；a b) b ； 2、计算：（1） (4) b) 3( 预 a 5b 3a 3b b 5 习（3） 5(a b) 3(a2(a ) b ；3c) ) b 2b 2a 7b c （2） (3 (5 a (5 1) 3) 3 b 自（3） (3a b c) 2(a 2b 3c) 测 3a b c 2a 4b 6c 】 (3 2)a (1 4)b (1 6)c a 5b 7c

课件8：2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

C．a与λ2a方向相同
D．|－λa|＝|λ|a
【解析】∵λ≠0，∴λ2>0，∴a与λ2a方向相同．故选C.
【答案】C
2．4(a－b)－3(a＋b)－b等于( )
A．a－2b
B．a
C．a－6b
D．a－8b
【解析】4(a－b)－3(a＋b)－b＝4a－4b－3a－】D
随堂练习
1．若 G 为△ABC 的重心，D，E，F 分别为 AB，BC，CA
的中点，则G→A＋G→B＋G→C等于( )
A．6G→D
B．－6G→D
C．－6G→E
D．0
【解析】G→A＋G→B＝2G→D，G→C＝－2G→D，G→A＋G→B＋G→C＝0.
【答案】D
2．已知点 M 是线段 AB 上的一点，点 P 是平面上任意一
2．向量共线定理共线定理有两方面的含义：向量b与非零向量a共线，则有且只有一个实数λ使得b＝λa；若b＝λa(λ∈R)，则向量a与b共线．注意：如果a＝b＝0，实数λ仍然存在，此时λ并不唯一，是任意数值．

(2)运算律：设μ，λ为实数，则 ①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb. 2．两个向量共线的条件向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
自主演练
1．设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论正确的
是( )
A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|
点，P→M＝53P→A＋25P→B，若A→M＝λM→B，则 λ 等于( )
3
2
A.5
B.5
3
2
C.2
D.3
【解析】用P→A，P→B表示向量A→M，M→B. ∵A→M＝A→P＋P→M＝A→P＋53P→A＋25P→B＝－25P→A＋52P→B， M→B＝M→P＋P→B＝－P→M＋P→B＝－(35P→A＋52P→B)＋P→B＝－35P→A＋ 35P→B，∴A→M＝32M→B. 【答案】D

向量数乘运算及其几何意义

(2 3)a
6?ar 5?a
(3r 2)ar 2a 3a
?5?6ara
2(a+b)=? 2a+2b=?
r
r
3(2ar) (3r 2)ar
(2 3)a 2a 3a
2(a+b) = 2a+2b
结合律（a） a
第一分配律 a a a
第二分配律 a b a b
向量的加、减、数乘运算
b // a
(2)若b // a(a 0),则b a是否成立?
成立
向量共线定理：
rr r r
向量a(a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数,
rr
使b a.
rr
r rr r
即a与b共线
b a (a 0)
思考:1)
r a
为什么要是非零向量?
r 2) b 可以是零向量吗?
练一练: 书本P90,练习4：判断两向量是否共线。
统称为向量的线性运算.
例5.计算：
r (1)(3) 4a;
rr rr r (2)3(a b) 2(a b) a;
r rr r rr (3)(2a 3b c) (3a 2b c).
思考:
r -12 a
r 5b r rr - a +5 b -2 c
(1)若b a(a 0),则a,b位置关r系r如何?
r a
的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘，记作 ar ，它的长度和方向
规定如下：
r
r
（1）| a || || a |;
（2）当
当
0时， 0时，
r ar a
的方向与的方向与
r ar
a
的方向相同；的方向相反。

向量数乘运算及其几何意义

例1．计算：
（1） 3 4a
-12a
（2）3a b 2a b a
5b
（3）2a 3b c 3a 2b c -a+5b-2c
例2.如图：已知 AD 3 AB，DE 3BC，试判断 AC与 AE
是否共线．解： AE AD DE
E C
3AB 3 BC
3AB BC
A B
3 AC
D
∴ AC与 AE 共线．
练习： (1)设 e1、e2 是两个不共线向量，已 AB 2e1 Re2 ， CB e1 3e2 ，若A、B、C三点共线，求的R值．
答:R=6
小节:
1、向量数乘运算及其几何意义 2、向量数乘运算的运算律 3、向量共线的判定
作业：
课本P103 9
数乘向量的运算律：
结合律
a a
第一分配律 a a a
第二分配律 a b a b
定理向量 b 与非零向量 a 共线的充分必要条件是有
且仅有一个实数，使得 b a ．
证明：（1）对于向量（a a 0) ，如果有一个实数
使 b a
那么，由向量数乘的定义知，a与b共线
（2）已知
向量 a 的
a与b共线
倍，即
，a 0
b
，且向量 b 的长度是
a ，那么当 a与b
同向时，有 b a ；当 a与b 反向时，有 b a
综上，如果（a a 0) b 与共线，那么有且只有一个实
数使 b a
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
学习目标：
1、向量数乘运算及其几何意义 2、向量数乘运算的运算律

人教新课标A版高一数学《必修4》2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

课后总结
1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如 λ＋a，λ－a 是没有意义的． 2.λa 的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或反方向扩 a 大或缩小为原来的|λ|倍．向量表示与向量 a 同向的单 |a| 位向量.
谢谢大家！
2 2 1 解：原式＝3(4a－3b)＋9b－6(6a－7b) 8 2 7 ＝ a－2b＋ b－a＋ b 3 9 6
8 2 7 5 11 ＝ 3－1 a＋－2＋9＋6 b＝3a－18b
5 11 ＝ (3i＋2j)－ (2i－j) 3 18 10 11 11 34 71 ＝5i＋ 3 j－ 9 i＋18j＝ 9 i＋18j.
自我检测
→等 1.如图所示， D 是△ABC 的边 AB 上的中点，则向量CD 于( B ) 1→ → A.BC＋2BA 1→ → C.－BC－2BA 1→ → B.－BC＋2BA 1→ → D.BC－2BA
1→ → → → → 解析 CD＝BD－BC＝2BA－BC.
2 1 2.设 a＝3i＋2j，b＝2i－j，试用 i，j 表示向量 [(4a－3b)＋ b－ 3 3 1 4(6a－7b)]．
小结对数乘运算的理解，关键是对实数的作用的认识， λ>0 时，λa 与 a 同向，模是|a|的 λ 倍；λ<0 时，λa 与 a 反向，模是|a|的－λ 倍；λ＝0 时，λa＝0.
跟踪训练 1 下面给出四个命题： ① 对于实数 m 和向量 a、b，恒有 m(a－b)＝ma－mb； ② 对于实数 m、n 和向量 a，恒有(m－n) a＝ma－na； ③ 若 ma＝mb(m∈R)，则有 a＝b； ④ 若 ma＝na (m，n∈R，a≠0)，则 m＝n. 其中正确命题的个数是( C ) A．1 B．2 C．3 D．4

§2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

b // a( a 0 ) 存在唯一实数，使b a
思考 (1)为什么规定 a 0 ? (2) 若 a 0 ,则情况会怎样?
当a 0, b 0时，显然a // b，但符合条件有无数多个
当a 0, b 0时，显然a // b，但符合条件不存在综上所述， a必须是非零向量
a
3a 3a
6a
2 (3a) (2 3)a
一般地
2013-1-10
( a) ( )a
重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@ 8
§2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
4.已知非零向量 a , b ,试作出 2(a b) 和 2a 2b , 并进行比较. a a
2013-1-10
重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@
16
§2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
课堂练习 <<教材>> P.90 书面作业 <<教材>> P.91 习题2.2 A组9.10 练习1.2.3.4.5.6
2013-1-10
重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@
共起点
A
a
首
尾
尾首
B
a b
A
a+b
b a
C
b
a+b
B
O
2013-1-10
重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@
3
§2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
3、向量减法的三角形法则
口决：共起点，指被减 4、向量减法的平行四边形法则共起点 b A A
a a a+b a

高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义第二章2.22.2.3向量数乘运算及其几何意义含答案

2．2.3向量数乘运算及其几何意义预习课本P87～90，思考并完成以下问题(1)向量数乘的定义及其几何意义是什么？(2)向量数乘运算满足哪三条运算律？(3)向量共线定理是怎样表述的？(4)向量的线性运算是指的哪三种运算？[新知初探]1．向量的数乘运算(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a－b)＝λa－λb.[点睛](1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a均无法运算．(2)λa的结果为向量，所以当λ＝0时，得到的结果为0而不是0.2．向量共线的条件向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.[点睛] (1)定理中a 是非零向量，其原因是：若a ＝0，b ≠0时，虽有a 与b 共线，但不存在实数λ使b ＝λa 成立；若a ＝b ＝0，a 与b 显然共线，但实数λ不唯一，任一实数λ都能使b ＝λa 成立．(2)a 是非零向量，b 可以是0，这时0＝λa ，所以有λ＝0，如果b 不是0，那么λ是不为零的实数．3．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a ，b 及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)λa 的方向与a 的方向一致．( )(2)共线向量定理中，条件a ≠0可以去掉．( )(3)对于任意实数m 和向量a ，b ，若ma ＝mb ，则a ＝b .( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．若|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 方向相同，则下列关系式正确的是( ) A ．b ＝2a B ．b ＝－2a C ．a ＝2b D ．a ＝－2b答案：A3．在四边形ABCD 中，若AB ＝－12CD ，则此四边形是( )A ．平行四边形B ．菱形C ．梯形D ．矩形答案：C4．化简：2(3a ＋4b )－7a ＝______. 答案：－a ＋8b[例1] 化简下列各式： (1)3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋13b ； (2)12⎣⎡⎦⎤(3a ＋2b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b －2⎝⎛⎭⎫12a ＋38b ； (3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a .[解] (1)原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a .(2)原式＝12⎝⎛⎭⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0. (3)原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c .[活学活用] 化简下列各式：(1)2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )； (2)16[]2(2a ＋8b )－4(4a －2b ). 解：(1)原式＝6a －4b ＋3a ＋15b －20b ＋5a ＝14a －9b . (2)原式＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝16(－12a ＋24b )＝－2a ＋4b .[典例]N 分别是DE ，BC 的中点，已知BC ＝a ，BD ＝b ，试用a ，b 分别表示DE ，CE ，MN .[解] 由三角形中位线定理，知DE 綊12BC ，故DE ＝12BC ，即DE ＝12a . CE ＝CB ＋BD ＋DE ＝－a ＋b ＋12a ＝－12a ＋b .MN ＝MD ＋DB ＋BN ＝12ED ＋DB ＋12BC＝－14a －b ＋12a ＝14a －b .如图，四边形OADB 是以向量OA ＝a ，OB ＝b 为边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM ，ON ，MN .解：∵BM ＝13BC ＝16BA ＝16(OA －OB )＝16(a －b )，∴OM ＝OB ＋BM ＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b .∵CN ＝13CD ＝16OD ，∴ON ＝OC ＋CN ＝12OD ＋16OD＝23OD ＝23(OA ＋OB )＝23(a ＋b )． ∴MN ＝ON －OM ＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .1．已知两个非零向量a 与b 不共线，AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线．证明：∵AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB . ∴AB ，BD 共线，又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．题点二：利用向量的共线确定参数2．已知a ，b 是不共线的两个非零向量，当8a ＋kb 与ka ＋2b 共线时，求实数k 的值．解：∵8a ＋kb 与ka ＋2b 共线，∴存在实数λ，使得8a ＋kb ＝λ(ka ＋2b )，即(8－λk )a ＋(k －2λ)b ＝0.∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧8－λk ＝0，k －2λ＝0，解得λ＝±2，题点三：几何图形形状的判定3.如图所示，正三角形ABC 的边长为15，AP ＝13AB ＋25AC ，BQ ＝15AB ＋25AC .求证：四边形APQB 为梯形．证明：因为PQ ＝PA ＋AB ＋BQ ＝－13AB －25AC ＋AB ＋15AB ＋25AC ＝1315AB ，所以PQ ∥AB .又|AB |＝15，所以|PQ |＝13，故|PQ |≠|AB |，于是四边形APQB 为梯形．AB AC AB AC AB AC层级一学业水平达标1．若|a |＝5，b 与a 的方向相反，且|b |＝7，则a ＝( ) A ．57bB ．－57bC ．75bD ．－75b解析：选B b 与a 反向，故a ＝λb (λ＜0)，|a |＝－λ|b |，则5＝－λ×7，所以λ＝－57，∴a ＝57b .2．已知a ＝5e ，b ＝－3e ，c ＝4e ，则2a －3b ＋c ＝( ) A ．5e B ．－5e C ．23eD ．－23e解析：选C 2a －3b ＋c ＝2×5e －3×(－3e )＋4e ＝23e .3．已知AB ＝a ＋5b ，BC ＝－2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线解析：选B BD ＝BC ＋CD ＝－2a ＋8b ＋3(a －b )＝a ＋5b ＝AB ，又∵BD 与AB 有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．4．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ＝23CA ＋13CB ，又AP ＝t AB ，则t 的值为( )A ．13B ．23C ．12D ．53解析：选A 由题意可得AP ＝CP －CA ＝23CA ＋13CB －CA ＝13(CB －CA )＝13AB ，又AP ＝t AB ，∴t ＝13.5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线交DC 于点F ，若AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝( )A ．13a ＋bB ．12a ＋bC ．a ＋13bD ．a ＋12b解析：选A 由已知条件可知BE ＝3DE ，∴DF ＝13AB ，∴AF ＝AD ＋DF ＝AD ＋13AB ＝13a ＋b . 6．若3(x ＋a )＋2(x －2a )－4(x －a ＋b )＝0，则x ＝______. 解析：由已知得3x ＋3a ＋2x －4a －4x ＋4a －4b ＝0， ∴x ＋3a －4b ＝0，∴x ＝4b －3a . 答案：4b －3a7．下列向量中a ，b 共线的有________(填序号)． ①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.解析：①中，a ＝－b ；②中，b ＝－2e 1＋2e 2＝－2(e 1－e 2)＝－2a ；③中，a ＝4e 1－25e 2＝4⎝⎛⎭⎫e 1－110e 2＝4b ；④中，当e 1，e 2不共线时，a ≠λb .故填①②③. 答案：①②③8．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为________．解析：因为向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线且向量a ，b 是两个不共线的向量，所以存在实数λ，使得ma －3b ＝λ[a ＋(2－m )b ]，即(m －λ)a ＋(mλ－2λ－3)b ＝0，因为a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，mλ－2λ－3＝0，解得m ＝－1或m ＝3.答案：－1或3 9．计算：(1)25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )； (2)(2m －n )a －mb －(m －n )(a －b )(m ，n 为实数)．解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫25－23＋415a ＋⎝⎛⎭⎫－25－43＋2615b ＝0. (2)原式＝2ma －na －mb －m (a －b )＋n (a －b ) ＝2ma －na －mb －ma ＋mb ＋na －nb ＝ma －nb .10．已知e 1，e 2是两个非零不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝ke 1＋e 2，若a 与b 是共线向量，求实数k 的值．解：∵a 与b 是共线向量，∴a ＝λb ， ∴2e 1－e 2＝λ(ke 1＋e 2)＝λke 1＋λe 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λk ＝2，λ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，λ＝－1， ∴k ＝－2.层级二应试能力达标1．设a 是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是( ) A ．a 与λa 的方向相同 B ．a 与－λa 的方向相反 C ．a 与λ2a 的方向相同 D ．|λa |＝λ|a |解析：选C 只有当λ>0时，a 与λa 的方向相同，a 与－λa 的方向相反，且|λa |＝λ|a |.因为λ2>0，所以a 与λ2a 的方向相同．2．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为边BC 的中点，且2OA ＋OB ＋OC ＝0，则( )A ．AO ＝ODB ．AO ＝2ODC ．AO ＝3ODD ．2AO ＝OD解析：选A ∵在△ABC 中，D 为边BC 的中点，∴OB ＋OC ＝2OD ，∴2(OA ＋OD )＝0，即OA ＋OD ＝0，从而AO ＝OD .3．已知向量a ，b 不共线，若AB ＝λ1a ＋b ，AC ＝a ＋λ2b ，且A ，B ，C 三点共线，则关于实数λ1，λ2一定成立的关系式为( )A ．λ1＝λ2＝1B ．λ1＝λ2＝－1C ．λ1λ2＝1D ．λ1＋λ2＝1解析：选C ∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB ＝k AC (k ≠0)． ∴λ1a ＋b ＝k (a ＋λ2b )＝ka ＋kλ2b . 又∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝k ，1＝kλ2，∴λ1λ2＝1. 4．已知平面内有一点P 及一个△ABC ，若PA ＋PB ＋PC ＝AB ，则( ) A ．点P 在△ABC 外部 B ．点P 在线段AB 上 C ．点P 在线段BC 上D ．点P 在线段AC 上解析：选D ∵PA ＋PB ＋PC ＝AB ， ∴PA ＋PB ＋PC －AB ＝0，∴PA ＋PB ＋BA ＋PC ＝0，即PA ＋PA ＋PC ＝0， ∴2PA ＝CP ，∴点P 在线段AC 上．5．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2方向相反，则k ＝______. 解析：∵ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2共线， ∴ke 1＋2e 2＝λ(8e 1＋ke 2)＝8λe 1＋λke 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝8λ，2＝λk ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，k ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，k ＝－4.∵ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2反向， ∴λ＝－12，k ＝－4.答案：－46.如图所示，在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M为BC 的中点，则MN ＝________(用a ，b )表示．解析：MN ＝MC ＋CN ＝MC －NC ＝12AD －14AC＝12b －14(a ＋b )＝14b －14a ＝14(b －a )．答案：14(b －a )7．已知：在四边形ABCD 中，AB ＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，求证：四边形ABCD 为梯形．证明：如图所示．∵AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b ) ＝－8a －2b ＝2(－4a －b )， ∴AD ＝2BC .∴AD 与BC 共线，且|AD |＝2|BC |. 又∵这两个向量所在的直线不重合， ∴AD ∥BC ，且AD ＝2BC .∴四边形ABCD 是以AD ，BC 为两条底边的梯形．8.如图，已知△OCB 中，点A 是BC 的中点，D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA ＝a ，OB ＝b .(1)用a ，b 表示向量 OC ，DC ； (2)若OE ＝λOA ，求λ的值．解：(1)由A 是BC 的中点，则有OA ＝12(OB ＋OC )，从而OC ＝2OA －OB ＝2a －b .由D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，得OD ＝23OB ，从而DC ＝OC －OD ＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由于C ，E ，D 三点共线，则EC ＝μDC ，又EC ＝OC －OE ＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC ＝2a －53b ，从而(2－λ)a －b ＝μ⎝⎛⎭⎫2a －53b ，又a ，b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2μ，1＝53μ，解得λ＝45.。

2.2.3向量数乘运算及其几何意义

1 §2.2.3 向量数乘运算及其几何意义一、学习目的：1、掌握向量的数乘运算及几何意义；2、掌握向量数乘运算律，并会运用它们进行计算；3、理解两个向量共线的条件，能表示与某个非零向量共线的向量，能判断两个向量共线；4、进一步理解类比和化归思想．二、教学重点：向量的数乘运算及几何意义教学难点：对向量共线的充要条件的理解三、自学设计1、若向量a 是非零向量，则a a a ++ 记作________，其长度是a 的长度的______倍；()()()a a a -+-+-记作_______，其长度是a的长度的______倍。

2、向量的数乘的概念：实数λ与__________________________，这种运算叫做向量的数乘，记作________。

它的长度与方向规定如下：（1）||_________a λ=；（2）0λ>时，a λ 与a 方向相________；0λ<时，a λ 与a的方向相______。

3、若 2.5a b = ，则向量,a b的方向相______，a 的长度是b 的长度的___________倍。

若2a b =- ，则向量,a b的方向相______，a 的长度是b 的长度的___________倍。

4、填空：(1)()______;(2)()__________;(3)()__________(4)()__________a a ab a λμλμλλ=+=+=-==5、阅读P88例5，回答：（1）本例的运算与整式的运算类似吗？（2）请编三道与例5类型相似的题目给你的同桌做做。

6、向量共线定理：_________________________________________________________。

（1）定理中为什么规定0a ≠ ？（2）根据这个定理，你认为怎样判断向量,a b是否共线？7、阅读P89例6，回答：（1）用向量法判断A 、B 、C 三点共线的思路的怎样的？____________________________________ （2）你还有不同的解法吗？把你的解法写下来：2 8、阅读P89例7，回答：（1）根据三角形法则或平行四边形法则，能够直接用,a b表示的向量有哪些？这些向量与所要表示的向量有怎样的关系？（2）在图2.2-21中，如果规定,A C a B D b == ，你能用,a b 表示,A D A B吗？四、达标练习（A ）1、P90练习2，3，4，5.2、点 C 在线段AB 上，且3A C =A B 5，则AC 等于（）.A. 2B C 3B. 3B C 2C. 2B C 3-D. 3B C 2-（B ）3、已知m ,n不共线，若 a = m 2n , b = 3m + n , c = 2m + 3n - 则a b - 与c 的位置关系是（）.A. 不共线B. 共线C. 相等D. 无法确定4、设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论正确的是（）.A.a 与a λ- 反向B. ||||a a λ≤-C. a 与2a λ 同向 D. ||||a a λλ⋅≤-五、课后拓展延伸1、设21,e e 是两个不共线的向量，已知1228AB e e =-，213e e CB +=，212e e CD -=，则A 、B 、D三点是否共线？说明理由。

【高中数学必修四】2.2.3向量数乘运算

a
问题请作出a a a和( a ) ( a ) ( a ) 向量，并指出相加后和的长度和方向有什么变化？
a
O
问题请作出a a a和( a ) ( a ) ( a ) 向量，并指出相加后和的长度和方向有什么变化？
向相反，且 3(a ) 3 a 3 a
实数与向量积的定义：
实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 a，它的长度和方向规定如下：
(1) a a
(2) 当 0时， a的方向与a的方向相同；当 0时， a的方向与a的方向相反；特别地，当 0或a 0时， a 0 .
(1)称为“数乘结合律”;（2）与（3）称为“数乘分配率”.
例 1 : 计算：
(1) ( 3) 4a ( 2) 3(a b ) 2(a b ) a ( 3) (2a 3b c ) (3a 2b c )
说明：向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称为向量的线性运算。
思考：
反过来，如果a 与 b 是共线向量，那么b a？
湖南省江华县一中数学组
实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 a，它的长度和方向规定如下：
实数与向量积的定义：
(1) a a (2) 当 0时， a的方向与a的方向相同；当 0时， a的方向与a的方向相反；
a a a
E D P
F
问题
a
作 a a a
a a a

2.2.3向量数乘运算及其几何意义

如图， b 例1：如图，已知任意两个非零向量 a，, 试作 OA = a + b, OB = a + 2b, OC = a + 3b, 你能判断 A, B, C三点之间的位置关系吗？为什么？为什么？
C 3b 2b b B A
a
b
AC = 2 AB
所以A，，三点共线所以，B，C三点共线
λ > 1时，
0 < λ < 1时，
λ a是沿 a的方向放大了 λ 倍
λ a是沿 a的方向缩小了 λ 倍 λ < − 1时， λ a是沿 a的反方向放大了 | λ | 倍 − 1 < λ < 0时， λ a是沿 a的反方向缩小了 | λ | 倍
设a, b为任意向量，λ,µ为任意实数，则有： b为任意向量 λ,µ为任意实数，则有：为任意向量，为任意实数
例1 : 计算 (1) ( −3) × 4a ( 2) 3(a + b ) − 2(a − b ) − a ( 3) ( 2a + 3b − c ) − ( 3a − 2b + c )
b 例 2 : 若 3 m + 2 n = a , m − 3 n = b , 其中 a，是已知向量， n 已知向量，求 m，
结论：结论：若 OP = x OA + yOB , 且x + y = 1，则 P，A，B 三点共线，三点共线，反之也成立。
如图，例 3：如图，点 O为三角形 ABC 的重心 2 A 求证： AO 求证： = AE 3
F O B E C D
AM 1 AN 1 如图，例4：如图，在 ∆ ABC 中， = , = , BN 与 CM 交 AB 3 AC 4 b表示 AP . 于点 P ，且 AB = a , AC = b , 用向量 a，

223向量数乘运算及其几何意义第5课

数与向量积
a 一只兔每次位移向量 ,
3次位移多少? 3a
n(n N )次位移多少? na
s = t v 位移与速度的关系：
1、实数与向量的积定义
实数与向量 a 的积是一个向量，
记作 a , 它的长度和方向规定如下：
（1） a a
（2）当 0时， a 的方向与 a 的方向
相同；当 0 时，a的方向与 a 的方
问题2:如果a与b共线,那么b a吗? a
b
定理:向量b与非零向量a共线,当且仅当有唯一
一个实数,使得b a.
思考：若a 0 则结论如何？
例2、已知任意两个非零向量a, b, 且OA
a b,OB a 2b,OC a 3b, 证明A, B,C 三点共线. 解：分别作向量 OA,OB,OC. 过点A,C
A
ab
a
b
D
E 2a
C
2b
B
（3）(a b ) a b
2、实数与向量的积运算律
（1）(a) ()a 结合律
（2）( )a a a 分配律（3）(a b ) a b 分配律
例5．计算：
（1） 3 4a 12a
（2） 3 a b 2 a b a
3a 3b 2a 2b a 5b
作直线AC (如图)观察发现，不论向量怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A、 B、C三点共线。事实上，因为
AB=OB -OA = a+2b ( a b )=b ,
而 AC= OC-OA = a+3b -（ a +b ） 2b ，
于是 AC=2AB 。所以，A、B、C 三点共线。
例3、如图, 平行四边形ABCD的两条对角

2.2.3向量数乘运算及其几何意义

[解析] 把已知中的两等式看做关于m、n的方程，联立方程组3mm－＋32nn＝＝ba，，解得mn＝＝111311aa－＋113211bb.，
规律总结：此题在求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的运算律．另外，解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法相同．
若向量a＝3i－4j，b＝5i＋4j，则(13a－b)－3(a＋23b)＋(2b －a)＝________.
个点，动点
P
满足O→P＝O→A＋λ
→ AB →
＋
→ AC →
，λ∈[0，＋∞)，则
|AB| |AC|
点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( )
A．外心 C．重心
[答案] B
B．内心 D．垂心
[解析]
易知A→P＝λ
→ AB →
＋
→ AC →
.
|AB| |AC|
→→
因为
AB →
与
AC →
是单位向量，
注：向量与实数之间可以像多项式
一样进行运算.
三、共线向量基本定理：
向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当
有唯一一个实数，使得 b a
思考:1) a 为什么要是非零向量? 2) b 可以是零向量吗?
定理的应用:
(1)有关向量共线问题:
例2:如图：已知 AD 3AB ，DE 3BC ，
试判断 AC 与 AE 是否共线． E
(1)掌握实数与向量的积的定义; (2)掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算; (3)掌握共线向量基本定理，并会判断两个向量是否共线； (4)能运用向量判断点共线、线共点等.
已知非零向量 a
a
作出：a a a a a a

课件5：2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

学习重点、难点重点：向量的数乘运算及其几何意义，向量共线定理．难点：向量共线定理的应用．
知识点 1：向量的数乘运算问题导思 1．我们知道，x＋x＋x＝3x，那么 a＋a＋a 是否等于 3a 呢？等于 2．3a 与 a 的方向有什么关系？－3a 与 a 的方向呢？相同，相反
总结
1．定义：一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 λa. 2．规定：①|λa|＝|λ||a|，②当 λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向相同；当 λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当 λ＝0 时，λa＝0.
解：(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a. (2)原式＝12(2a＋32b)－a－34b ＝a＋34b－a－34b＝0. (3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
规律方法 1．要注意向量的线性运算的结果仍是一个向量． 2．向量的数乘运算类似于实数运算，先算小括号再算中括号，将相同的向量看作同类项进行合并．
例 3.如图所示，已知▱ABCD 的边 BC，CD 上的中点分别为 K， L，且A→K＝e1，A→L＝e2，试用 e1，e2 表示B→C，C→D.
图 2－2－15
ห้องสมุดไป่ตู้
解：设B→C＝x，C→D＝y，则B→K＝12x，D→L＝－12y.
由A→B＋B→K＝A→K，A→D＋D→L＝A→L得－x－y＋12y＝12x＝e2，e1，
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
学习目标 1．知识与技能 (1)掌握向量的数乘运算及其几何意义． (2)理解向量共线定理，并应用其解决相关问题．
2．过程与方法通过由向量加法运算探究向量的数乘运算的过程，形成数形结合的研究问题的方法，由 λ 符号来判断 λa 与 a 方向是否相同的过程，培养用分类讨论的思想研究问题的方法． 3．情感、态度与价值观通过对向量数乘运算的探究学习，经历数学探究活动的过程，培养探索精神和创新意识；通过数乘向量的实际应用，体会数学的应用价值，学会用数学的方式解决问题．

第二章 2.2.3向量数乘运算及其几何意义

2.2.3向量数乘运算及其几何意义学习目标 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题.知识点一向量数乘的定义思考1向量3a，－3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系？答3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相同.－3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相反.思考2一般地，我们规定：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作λa，该向量的长度与方向与向量a有什么关系？答一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当a＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝0.(3)λa几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当|λ|＞1时，表示a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍.知识点二向量数乘的运算律思考类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？答结合律，分配律.(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.知识点三向量共线定理思考若b＝2a，b与a共线吗？答根据共线向量及向量数乘的意义可知，b与a共线.如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b＝λa.类型一向量数乘的基本运算例1 (1)化简23⎣⎡⎦⎤(4a －3b )＋13b －14(6a －7b )；解原式＝23⎝⎛⎭⎫4a －3b ＋13b －32a ＋74b ＝23⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫4－32a ＋⎝⎛⎭⎫－3＋13＋74b ＝23⎝⎛⎭⎫52a －1112b ＝53a －1118b . (2)已知向量为a ，b ，未知向量为x ，y ，向量a ，b ，x ，y 满足关系式3x －2y ＝a ，－4x ＋3y ＝b ，求向量x ，y .解 ⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝a ①，－4x ＋3y ＝b ②，由①×3＋②×2得，x ＝3a ＋2b ，代入①得3×(3a ＋2b )－2y ＝a ，所以x ＝3a ＋2b ，y ＝4a ＋3b .反思与感悟 1.向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.2.向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.跟踪训练1 计算： (1)(a ＋b )－3(a －b )－8a ；解 (a ＋b )－3(a －b )－8a ＝(a －3a )＋(b ＋3b )－8a ＝－2a ＋4b －8a ＝－10a ＋4b .(2)若2⎝⎛⎭⎫y －13a －13(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则未知向量y ＝________. 答案 29a －29b ＋19c解析 2⎝⎛⎭⎫y －13a －13(c ＋b －3y )＋b ＝0， 3y －23a ＋23b －13c ＝0，所以y ＝29a －29b ＋19c .类型二向量的表示例2 (1)如图，在△ABC 中，D ，E 为边AB 的两个三等分点，CA →＝3a ，CB →＝2b ，求CD →，CE →.解 ∵CA →＝3a ，CB →＝2b ， ∴AB →＝CB →－CA →＝2b －3a ，又D ，E 为边AB 的两个三等分点，所以AD →＝13AB →＝23b －a ，所以CD →＝CA →＋AD →＝3a ＋23b －a ＝2a ＋23b ，CE →＝CA →＋AE →＝3a ＋23AB →＝3a ＋23(2b －3a )＝a ＋43b .(2)在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.解如图，设AB →＝a ，AD →＝b .∵M ，N 分别是DC ，BC 的中点， ∴BN →＝12b ，DM →＝12a .∵在△ADM 和△ABN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD →＋DM →＝AM →，AB →＋BN →＝AN →，即⎩⎨⎧b ＋12a ＝c ， ①a ＋12b ＝d . ②①×2－②，得b ＝23(2c －d ).②×2－①，得a ＝23(2d －c ).∴AB →＝43d －23c ，AD →＝43c －23d .反思与感悟用已知向量表示未知向量的求解思路：(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中；(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量. (3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.跟踪训练2 如图，在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC ＝BA ，在OB 上取点D ，使DB ＝13OB ，DC 与OA 交点为E ，设OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，DC →.解 ∵AC ＝BA ， ∴A 是BC 的中点， ∴OA →＝12(OB →＋OC →)，∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b . ∴DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b .类型三共线问题例3 (1)已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋2e 2，BC →＝－5e 1＋6e 2，CD →＝7e 1－2e 2，则共线的三个点是________.(2)已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y ＝________. 答案 (1)A ，B ，D (2)1解析 (1)∵AB →＝e 1＋2e 2，BD →＝BC →＋CD →＝－5e 1＋6e 2＋7e 1－2e 2＝2(e 1＋2e 2)＝2AB →.∴AB →，BD →共线，且有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线.(2)由于A ，B ，P 三点共线，则AB →，AP →在同一直线上，由共线向量定理可知，必存在实数λ使得AP →＝λAB →即OP →－OA →＝λ(OB →－OA →)，∴OP →＝(1－λ)OA →＋λOB →. ∴x ＝1－λ，y ＝λ，则x ＋y ＝1.反思与感悟 (1)有关三点共线，通常转化为三点构成的其中两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据.(2)已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，A ，P ，B 三点共线⇔m ＋n ＝1.跟踪训练3 (1)设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值. 解 BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2.因为A ，B ，D 三点共线，故存在实数λ，使得AB →＝λBD →，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2.由向量相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝－4λ，所以k ＝－8.(2)已知O 为平面ABC 内任意一点，若存在α，β∈R ，使OC →＝αOA →＋βOB →，α＋β＝1，那么A ，B ，C 三点是否共线？解共线，因为存在α，β∈R ，使OC →＝αOA →＋βOB →，且α＋β＝1.∴β＝1－α，∴OC →＝αOA →＋(1－α)OB →， ∴OC →＝αOA →＋OB →－αOB →， ∴OC →－OB →＝α(OA →－OB →)， ∴BC →＝αBA →，∴A ，B ，C 三点共线.1.设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( ) A.k ＝0 B.k ＝1 C.k ＝2D.k ＝12答案 D解析当k ＝12时，m ＝－e 1＋12e 2，n ＝－2e 1＋e 2.∴n ＝2m ，此时，m ，n 共线. 2.下列各式计算正确的有( )①(－7)6a ＝－42a ；②7(a ＋b )－8b ＝7a ＋15b ； ③a －2b ＋a ＋2b ＝2a ；④4(2a ＋b )＝8a ＋4b . A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案 C3.已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，且P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则( ) A.P 在△ABC 内部 B.P 在△ABC 外部C.P 在AB 边上或其延长线上D.P 在AC 边上答案 D解析 P A →＋PB →＋PC →＝PB →－P A →， ∴PC →＝－2P A →，∴P 在AC 边上.4.若|a |＝5，b 与a 方向相反，且|b |＝7，则a ＝________b . 答案－57解析 ∵|a |＝57|b |，且a 与b 方向相反，∴a ＝－57b .5.如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →.解 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →.1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的.2.λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍.向量a|a |表示与向量a 同向的单位向量.3.共线向量定理是证明三点共线的重要工具.即三点共线问题通常转化为向量共线问题.一、选择题1.在△ABC 中，如果AD ，BE 分别为BC ，AC 上的中线，且AD →＝a ，BE →＝b ，那么BC →为( ) A.23a ＋43b B.23a －23b C.23a －43bD.－23a ＋43b答案 A解析由题意，得BC →＝BE →＋EC →＝b ＋12AC →＝b ＋12(AD →＋DC →)＝b ＋12a ＋14BC →，即BC →＝b ＋12a ＋14BC →.解得BC →＝23a ＋43b .2.若AB →＝5e 1，CD →＝－7e 1，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 是( ) A.平行四边形 B.等腰梯形C.菱形D.梯形但两腰不相等答案 B解析 CD →＝－75AB →，∴CD ∥AB ，且CD ≠AB ，而且|AD →|＝|BC →|， ∴四边形ABCD 是等腰梯形.3.在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2 DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.13B.23C.12D.34答案 B解析 ∵A ，B ，D 三点共线，∴13＋λ＝1，λ＝23.4.已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( )①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ；③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n . A.①④ B.①② C.①③D.③④答案 B解析 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误. 5.设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3 CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 A解析 AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.故选A.6.若非零向量a 与b 不共线，k a ＋b 与a ＋k b 共线，则实数k 的值为( ) A.k ＝－1 B.k ＝1 C.k ＝±1D.k ＝12答案 C解析 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴存在实数λ使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， ∴(k －λ)a ＋(1－λk )b ＝0， ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.7.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 B解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴点M 是△ABC 的重心. ∴AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3. 二、填空题8.(a ＋9b －2c )＋(b ＋2c )＝________. 答案 a ＋10b9.在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________(用a ，b 表示). 答案 14b －14a解析如图，MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝－12b －a ＋34AC →＝－12b －a ＋34(a ＋b )＝14(b －a ). 10.已知向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝5，且a ＝λb ，则实数λ的值是________. 答案 ±3511.设a ，b 是不共线的两个向量，已知AB →＝2a ＋k b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为________. 答案－1解析 BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ， ∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →∥BD →，则存在实数λ使得： AB →＝λBD →，2a ＋k b ＝λ(2a －b )，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λk ＝－λ得：k ＝－1. 三、解答题12.如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，AB 边上的点，CD DA ＝AE EB ＝12，记BC →＝a ，CA →＝b .试用向量a ，b 表示DE →.解因为AE →＝13AB →＝13(CB →－CA →) ＝13(－a －b )，AD →＝23AC →＝－23b ，所以DE →＝AE →－AD →＝13(－a －b )－⎝⎛⎭⎫－23b ＝13(b －a ). 13.设a ，b ，c 为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则b 与a ＋c 是否共线？请证明你的结论. 解 b 与a ＋c 共线.证明如下： ∵a ＋b 与c 共线，∴存在唯一实数λ，使得a ＋b ＝λc . ① ∵b ＋c 与a 共线，∴存在唯一实数μ，使得b ＋c ＝μa . ② 由①－②得，a －c ＝λc －μa .∴(1＋μ)a ＝(1＋λ)c . 又∵a 与c 不共线，∴1＋μ＝0,1＋λ＝0， ∴μ＝－1，λ＝－1，∴a ＋b ＝－c ，即a ＋b ＋c ＝0.∴a＋c＝－b.故a＋c与b共线.。

高中数学必修4公开课教案2.2.3向量数乘运算及其几何意义

2.2.3向量数乘运算及其几许含义全体规划教育剖析向量的数乘运算,其实是加法运算的推行及简化,与加法、减法统称为向量的三大线性运算.教育时从加法下手,引进数乘运算,充沛展示了数学常识之间的内在联络.实数与向量的乘积,仍然是一个向量,既有巨细,也有方向.特别是方向与已知向量是共线向量,然后引出共线向量定理.共线向量定理是本章节中重要的内容,使用适当广泛,且简略犯错.尤其是定理的前提条件:向量a对错零向量.共线向量定理的使用首要用于证明点共线或平行等几许性质,且与后续的常识有着严密的联络.三维方针1.经过阅历探求数乘运算规则及几许含义的进程,把握实数与向量积的界说,了解实数与向量积的几许含义,把握实数与向量的积的运算律.2.了解两个向量共线的等价条件,能够运用两向量共线条件断定两向量是否平行.3.经过探求,领会类比搬迁的思维办法,浸透研讨新问题的思维和办法,培育立异才能和活跃进取精神.经过处理详细问题,领会数学在生活中的重要作用.关键难点教育关键:1.实数与向量积的含义.2.实数与向量积的运算律.3.两个向量共线的等价条件及其运用.教育难点:对向量共线的等价条件的了解运用.课时组织1课时教育进程导入新课思路1.前面两节课,咱们一同学习了向量加减法运算,这一节,咱们将在加法运算基础上研讨相同向量和的简洁核算及推行.在代数运算中,a+a+a=3a,故实数乘法能够看成是相同实数加法的简洁核算办法,那么相同向量的求和运算是否也有相似的简洁核算.思路2.一物体做匀速直线运动,一秒钟的位移对应的向量为a,那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表明？是3a吗？怎样用图形表明？由此打开新课.推动新课新知探求提出问题①已知非零向量a,试一试作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a).②你能对你的探求成果作出解说,并阐明它们的几许含义吗?③引进向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间的方位联络吗?怎样了解两向量平行？与两直线平行有什么异同？活动:引导学生回忆相关常识并猜测成果,关于运算律的验证,指点学生经过作图来进行.经过学生的着手作图,让学生清晰向量数乘运算的运算律及其几许含义.教师要引导学生特别留意0·a=0,而不是0·a=0.这个零向量是一个特别的向量,它好像很不起眼,但又处处存在,稍不留意就会犯错,所以要引导学生正确了解和处理零向量与非零向量之间的联络.实数与向量能够求积,可是不能进行加、减运算,比方λ+a,λ-a都无法进行.向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似,仅仅数乘运算的分配律有两种不同的方式:(λ+μ)a=λa+μa 和λ(a+b)=λa+λb,数乘运算的要害是等式两头向量的模持平,方向相同.判别两个向量是否平行(共线),实际上便是看能否找出一个实数,使得这个实数乘以其间一个向量等于另一个向量.一定要实在了解两向量共线的条件,它是证明几许中的三点共线和两直线平行等问题的有用手法.对问题①,学生经过作图1可发现,=++=a+a+a.相似数的乘法,可把a+a+a记作3a,即=3a.明显3a的方向与a的方向相同,3a的长度是a的长度的3倍,即|3a|=3|a|.相同,由图1可知,图1==(-a)+(-a)+(-a),即(-a)+(-a)+(-a)=3(-a).明显3(-a)的方向与a的方向相反,3(-a)的长度是a的长度的3倍,这样,3(-a)=-3a.对问题②,上述进程推行后即为实数与向量的积.咱们规则实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规则如下:1.|λa|=|λ||a|;2.当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反.由(1)可知,λ=0时,λa=0.依据实数与向量的积的界说,咱们能够验证下面的运算律.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数,那么1.λ(μa)=(λμ)a;2.(λ+μ)a=λa+μa;3.λ(a+b)=λa+λb.特别地,咱们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.对问题③,向量共线的等价条件是:假如a(a≠0)与b共线,那么有且只需一个实数λ,使b=λa.推证进程教师可引导学生自己完结,推证进程如下:关于向量a(a≠0)、b,假如有一个实数λ,使b=λa,那么由向量数乘的界说,知a与b共线.反过来,已知向量a与b共线,a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的μ倍,即|b|=μ|a|,那么当a与b同方向时,有b=μa;当a与b反方向时,有b=-μa.关于向量共线的条件,教师要指点学生做进一步深层探求,让学生考虑,若去掉a≠0这一条件,上述条件树立吗?其意图是经过0与恣意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的知道.在判别两个非零向量是否共线时,只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可,与这两个向量的长度无关.在没有指明非零向量的状况下,共线向量可能有以下几种状况:(1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)同向且模持平;(4)同向且模不等;(5)反向且模持平;(6)反向且模不等.评论成果:①数与向量的积仍是一个向量,向量的方向由实数的正负及原向量的方向确认,巨细由|λ|·|a|确认.②它的几许含义是把向量a沿a的方向或a的反方向扩大或缩小.③向量的平行与直线的平行是不同的,直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点;而向量的平行既包括没有交点的状况,又包括两个向量在同一条直线上的景象.使用示例思路1例1 核算:1.(-3)×4a;2.3(a+b)-2(a-b)-a;3.(2a+3b-c)-(3a-2b+c).活动:本例是数乘运算的简略使用,可让学生自己完结,要求学生娴熟运用向量数乘运算的运算律.教育中,指点学生不能将本题看作字母的代数运算,能够让他们在代数运算的一起说出其几许含义,使学生清晰向量数乘运算的特色.一起向学生点出,向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.关于恣意向量a、b,以及恣意实数λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.解:(1)原式=(-3×4)a=-12a;(2)原式=3a+3b-2a+2b-a=5b;(3)原式=2a+3b-c-3a+2b-c=-a+5b-2c.点评:运用向量运算的运算律,处理向量的数乘.其运算进程能够模仿多项式运算中的“兼并同类项”.变式操练若3m+2n=a,m-3n=b,其间a,b是已知向量,求m,n.解:因3m+2n=a, ①m-3n=b. ②3×②得3m-9n=3b. ③①-③得11n=a-3b.∴n=a-b. ④将④代入②,有m=b+3n=a+b.点评:此题可把已知条件看作向量m、n的方程,经过方程组的求解取得m、n.在此题求解进程中,使用了实数与向量的积以及它所满意的交换律、结合律,然后解向量的二元一次方程组的办法与解实数的二元一次方程组的办法共同.图2例2 如图2,已知恣意两个非零向量a、b,试作=a+b,=a+2b,=a+3b.你能判别A、B、C三点之间的方位联络吗?为什么?活动:本例给出了使用向量共线判别三点共线的办法,这是判别三点共线常用的办法.教育中能够先引导学生作图,经过调查图形得到A,B,C三点共线的猜测,再将平面几许中判别三点共线的办法转化为用向量共线证明三点共线.本题只需引导学生理清思路,详细进程可由学生自己完结.别的,本题是一个很好的与信息技术整合的体裁,教育中能够经过核算机作图,进行动态演示,提醒向量a、b改变进程中,A、B、C三点一直在同一条直线上的规则.图3解:如图3别离作向量、过点A、C作直线AC.调查发现,不管向量a、b怎样改变,点B一直在直线上,猜测A、B、C三点共线.事实上,由于=-=a+2b-(a+b)=b,而=-=a+3b-(a+b)=2b,所以=2.所以A、B、C三点共线.点评:关于三点共线问题,学生触摸较多,这里是用向量证明三点共线,办法是必须先证明两个向量共线,并且有公共点.教师引导学生解完后进行反思,领会向量证法的新颖共同.例3 如图4, ABCD的两条对角线相交于点M,且=a,=b,你能用a、b表明和吗?图4活动:本例的回答要用到平行四边形的性质.别的,用向量表明几许元素(点、线段等)是用向量办法证明几许问题的重要过程,教育中能够给学生清晰指出这一点.解:在ABCD中,∵=+=a+b,=-=a-b,又∵平行四边形的两条对角线相互平分,∴==(a+b)=a-b,==(a-b)=a-b,==a+b,==-=-a+b.点评:结合向量加法和减法的平行四边形规则和三角形规则,将两个向量的和或差表明出来,这是处理这类几许题的要害.思路2例1 凸四边形ABCD的边AD、BC的中点别离为E、F,求证:=(+).活动:教师引导学生探求,能否结构三角形,使EF作为三角形中位线,借助于三角形中位线定了处理,或发明相同起点,以树立向量间联络.鼓舞学生多角度调查考虑问题.图5解:办法一:过点C在平面内作=,则四边形ABGC是平行四边形,故F为AG中点.(如图5)∴EF是△ADG的中位线.∴EF DG.∴=.而=+=+,∴=(+).办法二:如图6,衔接EB、EC,则有=+,=+,图6又∵E是AD之中点,∴有+=0,即有+=+.以与为邻边作EBGC,则由F是BC之中点,可得F也是EG 之中点.∴==(+)=(+).点评:向量的运算首要从以下几个方面加强操练:(1)加强数形结合思维的操练,画出草图协助处理问题;(2)加强三角形规则和平行四边形规则的运用操练,做到精确娴熟运用.例2 已知和是不共线向量=t(t∈R),试用、表明.活动:教师引导学生考虑,由=t(t∈R)知A、B、P三点共线,而=+,然后以表明,然后树立,的联络.本题可让学生自己处理,教师当令指点.解:=+=+t·=+t·(-)=(1-t)·+t·.点评:灵活运用向量共线的条件.若令1-t=m,t=n,则=m·+n·,m+n=1.变式操练1.设两个不共线的向量e1、e2,若向量a=2e1-3e2,向量b=2e1+3e2,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数λ、μ,使向量d=λa+μb与向量c共线？解:d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2,要使d与c共线,则存在实数k使d=kc,即(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2=2k e1-9k e2.由2λ+2μ=2k及3μ-3λ=-9k得λ=-2μ.故存在这样的实数λ和μ,只需λ=-2μ就能使d与c共线.2.(2007浙江高考),7 若非零向量a、b满意|a+b|=|b|,则( )A.|2a|>|2a+b|B.|2a|<|2a+b|C.|2b|>|a+2b|D.|2b|<|a+2b|答案:C3.(2007全国高考),5 在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=+λ,则λ等于( )1. B. C.- D.-答案:A知能操练本节操练回答:1.图略.2.=,=.点评:本题可先画一个示意图,依据图形简略得出正确答案.值得留意的是与反向.3.(1)b=2a;(2)b=a;(3)b=-a;(4)b=a.4.(1)共线;(2)共线.5.(1)3a-2a;(2)a+a;(3)2y a.6.图略.讲堂小结1.让学生回忆本节学习的数学常识:向量的数乘运算规则,向量的数乘运算律,向量共线的条件,领会本节学习中用到的思维办法:特别到一般,概括、猜测、类比,分类评论,等价转化.2.向量及其运算与数及其运算能够类比,这种类比是咱们进步思维性的有用手法,在往后的学习中应予以充沛的注重,它是咱们学习中巨大的引路人.作业讲义习题2.2 A组题11、12.规划感触1.本教案的规划流程契合新课程理念,充沛捉住本节教育中的学生探求、猜测、推证等活动,引导学生画出草图协助了解题意和处理问题.先由学生探求向量数乘的成果仍是向量(特别地0·a=0),它的几许含义是把向量a沿a的方向或a的反方向扩大或缩小,当λ>0时,λa与a方向相同,当λ<0时,λa与a方向相反;向量共线定理用来判别两个向量是否共线.然后对所探求的成果进行运用拓宽.2.向量具有的几许方式和代数方式的双重身份在本节中得以充沛体现,因此成为中学数学常识网络的一个交汇点,由此可看出在中学数学教材中的位置的重要,也成为近几年各地高考出题的关键和热门,教师要引导学生对平面向量中有关常识关键进行概括收拾.。

2.2.3向量的数乘运算及其几何意义

2.2.3向量的数乘运算及其几何意义编写：马桂新审阅：高一数学组 2010-5-11目标引领:(1)掌握向量数乘运算法则，并理解其几何意义；(2)让学生能由实数运算律类比向量运算律，并且验证强化对知识的形成过程的认识，正确表示结果；(3)初步学会用向量的方法解决几何问题和实际应用问题。

重点：向量的数乘运算法则的理解及几何意义。

难点：正确运用法则解决几何问题。

复习回顾：前两节我们介绍了解了向量的加法和减法，其中“加法”我们要牢固掌握两种法则___________________________________向量的减法我们可以看成一个向量加上另一个向量的等模、反向、或记住口诀“连结终点，指向被减”直接由代数形式求得结果。

相同的几个数相加可以转化为数乘运算，如3＋3＋3＋3＋3=5×3=15.那么相等的几个向量相加是否也能转化为数乘运算呢？自学探究合作解疑探究一：向量的数乘运算及其几何意义思考1：已知非零向量a，如何求作向量a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋（－a）？思考2：向量a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋（－a）分别如何简化其表示形式？思考3：向量3a和－3a与向量a的大小和方向有什么关系？思考4：设a为非零向量，那么a还是向量吗？它们分别与向量a有什么关系？23-思考5：一般地，我们规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作λa ，该向量的长度与方向与向量a 有什么关系？用向量表示探究二:向量的数乘运算性质思考2：一般地，设λ，μ为实数，则λ(μa )，(λ＋μ) a ，λ(a ＋b )分别等于什么？思考3：对于向量a （a ≠0）和b ，若存在实数λ，使b =λa ，则向量a 与b 的方向有什么关系？思考4：若向量a （a ≠0）与b 共线，则一定存在实数λ，使b =λa 成立吗？思考5：综上可得向量共线定理：向量a （a ≠0）与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b =λa . 若a ＝0，上述定理成立吗？思考6：若存在实数λ，使，则A 、B 、C 三点的位置关系如何？思考1：你认为－2×（5a ），2a ＋2b ，a 可分别转化为什么运算？ (3+AB BC l =uuu r uuu r思考7：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、x、y，λ(x a±y b）可转化为什么运算？精讲点拨例1 计算（1）（－3）×4a；（2）3（a＋b）－2（a－b）－a；（3）（2a＋3b－c）－（3a－2b＋c）例2 如图，已知任意两个非零向量a，b，试作OA =a＋b，OB =a＋2b，OC =a＋3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？训练巩固1.计算下列各式: (1)(2)1-⨯2a ; (2)2()3()+--ab a b ;(3)()()()()λμλμ+---+a b a b .拓展运用1.设x 是未知向量,解方程:5()3().++-=0x a x b2.已知'''3 , 3,OA OA A B AB −→−→−→−→==说明向量OB −→与'OB −→的关系.小结：1.实数与向量可以相乘，其积仍是向量，但实数与向量不能相加、相减.实数除以向量没有意义，向量除以非零实数就是数乘向量.2.若λa =0，则可能有λ=0，也可能有a =0.3.向量的数乘运算律，不是规定，而是可以证明的结论.向量共线定理是平面几何中证明三点共线，直线平行，线段数量关系的理论依据.作业： A 组题目和B 组1,2小题。

(完整word版)2.2.3向量数乘运算及其几何意义(教学设计)

SCH 高中数学(南极数学)同步教学设计(人教 A 版必修4第二章)•'•I 入（pa ）I=I （入 2）I1223向量数乘运算及其几何意义(教学设计)一、知识与能力：1理解掌握向量数乘运算及其几何意义，数乘运算的运算律，并能熟练运用定义、运算律进行有关计算。

2、理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。

3、通过向量数乘运算的学习和探究，培养学生的观察、分析、归纳、抽象思维能力，以及运算能力和逻辑推理能力。

二、过程与方法：1. 经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程； 2 •体会数形结合的数学思想方法 . 三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题. 教学重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件. 教学难点：向量共线的充要条件. 一、复习回顾，新课导入探究：已知非零向量a ,作出a+a+a 和(-a)+(-a)+(-a),并说明它类似数的乘法，把 a+a+a 记作3a ,显然3a 的方向与a 的方向倍，即即 |3a|=3|a|.同样，(-a)+( -a)+( -a)=3( -a)，显然3(-a)的方向与a 的方向相反, 由学生作图，归纳几何意义，教师补充完善，引出本节课所学的内容。

、师生互动，新课讲解 1.定义：实数与向量a 的积是一个向量，称为向量的数乘，记作a ，它的长度与方向规定如下: (1) I a|=||| a| ;(2) 当>0时，a 的方向与向量a 的方向相同；当 <0时，a 的方向与a 的方向相反. 2. 特别地，当 =0或a=0时，a=0 ;当=-1时，(-1) a=-a ，就是a 的相反向量. 3.实数与向量的积的运算律设、为实数，那么 (1)( a)=( ) a ;(结合律)(2) ( + )a= a+ a ;(第一分配律) (3)(a+b)= a+ b.(第二分配律)结合律证明：如果入=0,尸0, a =0至少有一个成立，则①式成立们的几何意义•相同，3a 的长度是a 的33(-a)的长度是a 的3倍，这样3(-a)=-3a.如果入0，卩0, a 0有：|入(旧)1=1入II旧1=1入II川a I1(入2 a|=入训a I=I入II训a I解：(1)原式=(-3 4) a=-12a;2解：(1)原式=(-3 4) a=-12a;3如果入、卩同号，则①式两端向量的方向都与 a 同向；如果入、卩异号，则①式两端向量的方向都与a 反向。